M1101 Matematická analýza I – 18. 01. 2011 – řešení
1. (4 body) Vypočtěte limitu posloupnosti:
lim
n→∞
n +
√
n
2
√
n + 3n2
.
Řešení:
lim
n→∞
n +
√
n
2
√
n + 3n2
=
∞
∞
= lim
n→∞
n2
· n
n2 +
√
n
n2
n2 · 2
√
n
n2 + 3n2
n2
= lim
n→∞
1
n
+ 1
n
√
n
2
n
√
n
+ 3
= 0.
2. (6 bodů) Vypočtěte limitu funkce:
lim
x→2
x2
− 4
x2
· tg
πx
4
.
Řešení:
lim
x→2
x2
− 4
x2
· tg
πx
4
= (0 · ∞) = lim
x→2
x2
− 4
x2 · cotg πx
4
=
0
0
.
Môžeme napríklad použiť L’Hospitalovo pravidlo:
lim
x→2
x2
− 4
x2 · cotg πx
4
= lim
x→2
(x2
− 4)
x2 · cotg πx
4
= lim
x→2
2x
2x · cotg πx
4
− x2
sin2 πx
4
· π
4
=
=
4
0 − 4 · π
4
= −
4
π
.
3. (7 bodů) Určete definiční obor funkce a její první diferenciál:
f(x) = arcsin
x − 2
3
+ ln
x − 2
x + 2
.
Řešení:
Prípustné hodnoty premennej x musia súčasne spĺňať tieto nerovnosti:
−1 ≤
x − 2
3
≤ 1 ∧
x − 2
x + 2
> 0.
1
Prvá nerovnosť má riešenie x ∈ −1, 5 . Druhá nerovnosť má riešenie
x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞) (napr. pomocou metódy nulových bodov).
Definičný obor funkcie f je potom prienikom týchto riešení, teda
D(f) = (2, 5 .
Prvý diferenciál funkcie f:
df(x) = f (x)dx,
f (x) =
1
9 − (x − 2)2
+
2
x2 − 4
,
df(x) =
1
9 − (x − 2)2
+
2
x2 − 4
dx.
4. (10 bodů) Vyšetřete průběh funkce a načrtněte její graf:
g(x) =
3
√
x3 + x2.
Můžete využít vyjádření druhé derivace
g (x) = −
2
9 3
x4 (x + 1)5
,
a limity:
lim
x→∞
3
√
x3 + x2 − x = lim
x→−∞
3
√
x3 + x2 − x =
1
3
.
Řešení:
• D(f) = R, nie je ani lichá, ani sudá, nie je periodická, je spojitá
na celom R
• nulové body x = −1, x = 0, funkcia je záporná na (−∞, −1) a
kladná na (−1, ∞)
• monotónnosť a extrémy:
g (x) =
3x + 2
3 3
x (x + 1)2
.
body podozrivé na extrém – −1, −2
3
, 0
2
• konkávnosť, konvexnosť a inflexné body:
g (x) = −
2
9 3
x4 (x + 1)5
.
body podozrivé na inflexiu – −1, 0
(−∞, −1) −1 (−1, −2
3 ) −2
3 (−2
3 , 0) 0 (0, ∞)
f + nedef. + 0 − nedef. +
f + nedef. − − − nedef. −
f rast. inflexia rast. lok. max. kles. lok. min. rast.
f konvex. 0 konkáv.
3√
4
3 konkáv. 0 konkáv.
• asymptoty – bez smernice nie sú
so smernicou – y = x + 1
3
(pre x → ∞ i pre x → −∞)
• graf – z predchádzajúcej diskusie sa dá už ľahko načrtnúť.
5. (7 bodů) Integrujte:
ln
√
x + 1 +
√
x − 1 dx.
Řešení:
Kombinácia metódy per-partes a substitúcie:
ln
√
x + 1 +
√
x − 1 dx =
u = 1, v = ln
√
x + 1 +
√
x − 1
u = x, v = 1
2
√
x2−1
=
= x ln
√
x + 1 +
√
x − 1 −
1
2
x
√
x2 − 1
dx =
t = x2
− 1
dt = 2xdx
=
= x ln
√
x + 1 +
√
x − 1 −
1
4
1
√
t
dt = x ln
√
x + 1 +
√
x − 1 −
−
1
4
· 2
√
t + C = x ln
√
x + 1 +
√
x − 1 −
1
2
√
x2 − 1 + C.
6. (6 bodů) Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací elementární
oblasti M kolem souřadnicové osi x:
M = [x, y] ∈ R2
: 0 ≤ x ≤
π
4
, 0 ≤ y ≤ tg x .
3
Řešení:
V (M) = π
π
4
0
[(tg x)2
− 02
] dx = π
π
4
0
(tg x)2
dx = π
π
4
0
sin2
cos2 x
dx =
= π
π
4
0
1 − cos2
cos2 x
dx = π
π
4
0
1
cos2 x
− 1 dx = π [tg x − x]
π
4
0 = π 1 −
π
4
.
4