Teorie množin_
• Intuitivně je množina soubor (skupina, systém, třída, ...) objektů, ktere jsou navzájem ruzne a pro každý objekt lze jednoznačne určit zda je či není prvkem (objektem) dane mnoziny.
• Zápis a G A značí „prvek a patrí do mnoziny A". Zapis b G B značí „prvek b neparí do mnoziny B".
• Mnozinu, kterí neobsahuje zadny prvek, nazveme prázdnou množinou; značíme ji 0.
• Mnozina muze bít zadana:
1. výčtem prvku - A = {1, 2, 4, 5, 7}
2. charakteristickou vlastností - tj. vlastností, ktera je společní pro vsečhny prvky mnoziny - B = {x G Z+; x < 7}
3. rekurentně - zadaním jednoho či nekolika prvku a pomočí obečneho vyjadrení muzeme generovat vsečhny prvky mnoziny -1 G N; k G N == k + 1 G N
• Prvky mnoziny mohou bít opet mnoziny. Pokud vsečhny prvky dane mnoziny jsou mnoziny, pak takovou mnozinu nazívíme sýstem množin.
• PotenCní množina - mnozina vsečh podmnozin mnoziny A; značí se P (A). (Potenční mnozina je systemem mnozin.) Je-li A konečna a |A| = n, pak |P(A)| = 2n.
• Mnoziny A, B povazujeme za sobe rovne (identičke), píseme A = B , prave kdyz mají prave jen tytez prvky.
V opačnem prípade píseme A = B a ríkíme, ze mnozina A se nerovna mnozine B.
• Řekneme, ze A je podmnožinou (inkluží) B práve tehdý, kdýž platí
A C B = {x G Ua; x G A == x G B}
Pokud A = B, pak se jedna o tžv. ostrou inkluzi; značíme A C B. A je vlastní
podmnozina.
• Mnoziny A, B se rovnají prave tehdy, kdyz platí (A C B) A (B C A), tedy
A = B = {x G U; x G A ^ x G B}
Operače s mnozinami:
• Sjednocení: A U B = {x G U; x G A V x G B}
• Prunik: A n B = {x G U; x G A A x G B} Pozn.: Pokud A n B = 0, pak rekneme, ze mnoziny A a B jsou disjunktní.
• Roždíl: A - B = {x G U; x G A A x G B}
• Doplňek: A C B == B — A, značíme A'B.
(A n B)' = A' U B' 1 „ ... (a U B)' = A' n B' J       Morganova pravidla
• Symetrický roždíl: A -=- B = {x G U; x G A V x G B} = {x G U; x G (A — B) V x G
(B — A)}
"základní množina
1
1. Zapište výčtem prvků i charakteristickou vlastností množinu
(a) jejíž prvky jsou druhe mocniny všech celých čísel x, pro než platí 0 < x < 15
(b) jejíž prvky jsou tretí mocniny vsech celých císel x, pro než platí 0 < x < 5
2. Množina a je množina vsech priroženych císel, ktera jsou o jednu žmenseními ctverci lichích císel, množina b je množina vsech priroženych nasobku 8. Zapiste obe množiny charakteristickou vlastností i víctem prvku.
3. Je daní množina a = {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}. Rožhodnete, žda platí:
(a) {1,2} G A (e) {1} G A
(b) {1,2} C A (f) {1}C A
(c) {1,3} G A (g) {2,3} G A
(c) {{0},0} = {0,{0}}
(d) {0,0} = {0}
(e) {0} G {0,{{0}}}
(f) {{0}} G {{0}}
(g) {{0}} G {{0},{{0}}}
(h) {{0}}G{0, {0, {0}}}
5. Necht' a, b, c jsou množiny. Urcete, kolik prvku ma dana množina. (Požor, odpovedi se mohou lisit v žívislosti na množinach a, b, c.)
(a) {{{0,0}}, 0, {{0}, {0}}, {{0}},{{0},{0,0}}}
(b) {a,b,c}
(c) {a, {b,c}}
(d) {a,{b},0}
6. Dokažte, že pro libovolne množiny a, b,c platí:
(a) a - (b n c) = (a - b) U (a - c)
(b) a n b = a - (a - b)
(c) a U b = (a - b) U (b - a) U (a n b)
(d) a -ŕ (b -ŕ c) = (a -ŕ b) -ŕ c
(e) a n b C c    a n (b - c) = 0
(f) a C c    (a C b o- (c - b) C (c - a))
7. Rožhodnete, žda pro libovolne množiny a, b, c platí:
(a) a n (b - c) = (a n b) - c
(b) a U (b - c) = (a U b) - c
(c) a n c c b   ((a n b) u c = a n (b u c)   (a n b) u c = b n (a u c))
(d) {1,3}CA
(h) {2,3}CA
2