Příklady na druhé cvičení v počítačové učebně, SMI, PS 2010
Definice stacionárního vektoru stochastické matice: Nechť a je stochastický vektor a P
stochastická matice odpovídající dimenze. Jestliže platí a = aP, pak vektor a se nazývá
stacionární vektor matice P.
Definice stacionárního rozložení HMŘ: Nechť  0n Nn;X  je homogenní markovský
řetězec s maticí přechodu P. Stochastický vektor a, který je stacionárním vektorem matice P,
se nazývá stacionární rozložení daného řetězce.
Definice limitního rozložení HMŘ: Nechť  0n Nn;X  je homogenní markovský řetězec
s vektorem počátečních pravděpodobností p(0). Jestliže existuje pp 

)n(lim
n
, pak vektor p
se nazývá limitní rozložení daného řetězce. Jestliže vektor p nezávisí na vektoru počátečních
pravděpodobností p(0), pak řekneme, že daný řetězec je ergodický (regulární).
Věta o vztahu mezi stacionárním a limitním rozložením HMŘ: Jestliže  0n Nn;X  je
ergodický homogenní markovský řetězec a existuje jeho stacionární rozložení a, pak limitní
rozložení p je rovno stacionárnímu rozložení a.
Markovova věta: Nechť  0n Nn;X  je homogenní markovský řetězec s maticí přechodu
P. Jestliže existuje takové číslo 0Nn  , že matice Pn
má všechny prvky kladné, pak
a) existuje stacionární rozložení daného řetězce a je jediné,
b) řetězec  0n Nn;X  je ergodický,
c) posloupnost matic Pn
konverguje k limitní matici A, jejíž řádky jsou stejné a jsou rovny
stacionárnímu vektoru a.
Návod na hledání stacionárního vektoru stochastické matice pomocí MATLABu
a) Zadáme matici přechodu P. Její řád zjistíme příkazem n = size(P,1).
b) Vytvoříme jednotkovou matici I = eye(n).
c) Získáme matici soustavy A = [[I-P]’;ones(1,n)].
d) Vytvoříme vektor pravých stran f = [zeros(n,1);1].
e) Vypočteme stacionární vektor a = (A\f)’.
Příklad 1.: Předpokládejme, že v nějaké oblasti může být počasí pouze ve třech stavech, a to
déšť, jasno, sníh. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že nikdy nebývají dva jasné dny
za sebou. Jestliže je v jistém dni jasno, pak další den bude buď déšť nebo sníh, a to se stejnou
pravděpodobností. Jestliže je v jistém dni sníh nebo déšť, pak následující den se počasí buď
nezmění, a to s pravděpodobností 0,5 nebo se změní, a pak v polovině případů bude jasno.
Popište stav počasí homogenním markovským řetězcem a vypočtěte jeho stacionární
rozložení.
Řešení: Homogenní markovský řetězec  0n Nn;X  má množinu stavů  3,2,1J  , kde stav
1 znamená déšť, stav 2 jasno a stav 3 sníh. Matice přechodu P má tvar:











5,025,025,0
5,005,0
25,025,05,0
P .
Vektor stacionárních pravděpodobností a = (a1, a2, a3), kde a1 + a2 + a3 = 1 vyhovuje rovnici
a = aP, tedy
a1 = 0,5a1 + 0,5a2 + 0,25a3,
a2 = 0,25a1 + 0a2 + 0,25a3,
a3 = 0,25a1 + 0,5a2 + 0,5a3,
a1 + a2 + a3 = 1.
Po úpravě:
0,5a1 – 0,5a2 - 0,25a3 = 0,
-0,25a1 + a2 - 0,25a3 = 0,
-0,25a1 – 0,5a2 + 0,5a3 = 0,
a1 + a2 + a3 = 1
Řešením tohoto systému je vektor a = (0,4 0,2 0,4)
Matice soustavy: A


















111
5,05,025,0
25,0125,0
25,05,05,0
, vektor pravých stran: f















1
0
0
0
. Řešení soustavy
Ax = f dostaneme ve tvaru x = A\f, tedy v našem případě x











4,0
2,0
4,0
. Vektor stacionárních
pravděpodobností je roven transponovanému řešení x, tj. a = (0,4 0,2, 0,4).
Příklad 2.: Letka má při zahájení akcí tři letadla. Při akci je letadlo zničeno
s pravděpodobností 0,2. Letka se do akce vydá v případě, že má aspoň jedno letadlo. Pokud
jsou všechna letadla zničena, pak s akcemi končí. Určete vektor absolutních pravděpodobností
pro počty letadel v letce po třetí akci a vektor stacionárních pravděpodobností.
Řešení: Homogenní markovský řetězec  0n Nn;X  má množinu stavů  3,2,1,0J  , kde
stav j znamená, že po n-té akci má letka právě j letadel.
Vektor počátečních pravděpodobností: p(0) = (0,0,0,1).
Pro stanovení pravděpodobností přechodu použijeme binomické rozložení.
Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Y ~ Bi(k,  ) je     yky
1
y
k
yYP







 pro
y = 0, 1, …, k.
V našem případě k je postupně 0, 1, 2, 3 a  = 0,8.
0p,0p,0p,1p 03020100 
0p,0p,8,0p,2,0p 13121110 
0p,64,02,08,0
2
2
p,32,02,08,0
1
2
p,04,02,08,0
0
2
p 23
02
22
11
21
20
20 


















512,02,08,0
3
3
p
,384,02,08,0
2
3
p,096,02,08,0
1
3
p,008,02,08,0
0
3
p
03
33
12
32
21
31
30
30


























Matice přechodu:















512,0384,0096,0008,0
064,032,004,0
008,02,0
0001
P
Vektor absolutních pravděpodobností po třech akcích:
p(3) = p(0)P3
= (0,1162 0,3658 0,3838 0,1342)
Vektor stacionárních pravděpodobností:
(a0,a1,a2,a3) = (a0,a1,a2,a3)P, přičemž a0 + a1 + a2 + a3 = 1. Odtud dostaneme a = (1,0,0,0).
Znamená to, že po dostatečně velkém počtu akcí s pravděpodobností jedna nezbude letce
žádné letadlo.
Příklad 3.: Na malém městě jsou dva obchody, označme je A a B. Zajímáme se o nákupy
zákazníků v těchto obchodech. Uvažujeme přitom týdenní období a sledujeme, kde zákazníci
v jednotlivých týdnech nakupovali a jak tyto obchody střídali. Pro jednoduchost
předpokládejme, že v průběhu jednoho týdne navštěvovali buď pouze obchod A nebo obchod
B. Jako součást marketingového výzkumu byla shromážděna data od 1000 zákazníku
v časovém horizontu 10 týdnů. Na základě tohoto výzkumu bylo zjištěno, že 90% zákazníků
nakupujících v obchodě A tam bude nakupovat i v následujícím týdnu a 10% přejde
do obchodu B. Dále 80% zákazníků nakupujících v obchodě B tam bude nakupovat i
v následujícím týdnu a 20% přejde do obchodu A. Pro modelování této situace zavedeme
homogenní markovský řetězec  0n Nn;X  s množinou stavů J = {1, 2}, přičemž Xn = 1,
když zákazník v n-tém týdnu nakupuje v obchodě A a Xn = 2, když zákazník v n-tém týdnu
nakupuje v obchodě B.
a) Jestliže na začátku nakupovalo 1000 zákazníků v obchodě A, kolik jich bude po šesti
týdnech? (706 zákazníků)
b) Jestliže na začátku nakupovalo 1000 zákazníků v obchodě B, kolik jich bude po šesti
týdnech? (412 zákazníků)
c) Jak velký je tržní podíl těchto dvou obchodů za předpokladu dostatečně velkého počtu
období? (Tržní podíl obchodu A činí 66,7%, obchodu B 33,3%.)
d) Obchod B provede reklamní kampaň, aby přilákal zákazníky nakupující v obchodě A.
Došlo k určitému přesunu zájmu nakupovat v obchodě B. Dle nového průzkumu byla
stanovena matice přechodu 





80,020,0
15,085,0
. Jak se nyní změnil tržní podíl obchodů A a B za
předpokladu dostatečně velkého počtu období? (Tržní podíl obchodu A činí 57,1%, obchodu
B 42,9%.)
Příklad 4.: Obchodník prodává tři druhy pracích prášků, které označíme A, B, C. Aby zjistil,
jak se vyvíjí poptávka po těchto prášcích, provedl v 1. měsíci prodeje průzkum, v němž se
zjišťovalo, který druh prášku zákazníci kupují. Při tomto průzkumu bylo zjištěno, že prášek A
kupuje 50% zákazníků, prášek B 20% a prášek C 30% zákazníků. Za měsíc byl proveden
další průzkum, který zjišťoval, ke kterému druhu prášků zákazníci přešli. Výsledky průzkumu
zachycuje matice přechodu:











2,01,07,0
3,03,04,0
01,09,0
P .
a) Určete absolutní pravděpodobnosti po dvou měsících a interpretujte je. (Po dvou měsících
bude prášek A nakupovat 80,6% zákazníků, prášek B 12,8% a C 6,6% zákazníků.
b) Najděte vektor limitních pravděpodobností a limitní matici přechodu.
(  0469,0125,08281,0p ,











0469,0125,08281,0
0469,0125,08281,0
0469,0125,08281,0
A )