Kapitola 6 Dvojný integral
V této kapitole se budeme zabývat integrálem funkce dvou proměnných - tzv. dvojným integrálem. Ukážeme dva zpUsobý, jak lze výpoCítat dvojný integrál: prevedení dvojneho integrálu na dva jednoduche integrály (tzv. Fubiniova veta) nebo pomocí transformace do polarních souradnic.
6.1   Co je dvojný integrál
Pripomeňme si, co je integral funkce jedne promenne (jednoduchý integral). Je-li funkce f (x) nezáporná a spojita na intervalu [a, b], pak integrál teto funkce na intervalu [a, b]
/  f (x) dx
J a
je cáslo, ktere vyjadruje obsah rovinného obrazce M ohraniceneho grafem teto funkce, osou x a prímkami x = a a x = b. Pomocí nerovností muzeme mnozinu M zapsat
M = {[x, y] g R2 : a < x < b, 0 < y < f (x)}.
Tento integral lze spocátat pomocá primitivná funkce F k funkci f jako F (b) — F (a).
Dvojná integral je integral funkce dvou promenných. Pri zavedem tohoto pojmu vyjdeme z geometrickeho významu dvojneho integralu:
Necht' funkce f (x, y) je nezaporna a spojitá na mnozine M c R2
M = {[x,y] g R2 : a < x < b, p(x) < y < ^(x)}, (6.1)
kde ^(x), ^(x) jsou spojite funkce na intervalu [a, b] a t/?(x) < ^(x). Pak dvojný integrál této funkce na množine M
f(x, y) dxdy
M
je cáslo, ktere výjadruje objem telesa V ohraniceneho grafem teto funkce, rovinou xy a plastem vedenám pres hranici mnoziný M. Pomocí nerovností muzeme toto teleso zapsat
V = {[x,y,z] g R3 : 0 < z < f (x, y) pro [x, y] g M}.
1
6.2 Fubiniova věta pro dvojný integrál
Dvojný integrál
Poznamenejme, ze přesné zavedení dvojného integrálu je poměrně technicky náročné, nebot' je třeba zavest míru v rovine a pomocí míry pak definujeme RiemannUv dvojny integrál.
Je-li M obdelník o stranách a, 6 a f (x, y) = c, pak dvojná integral vyjadruje objem kvádru a platí
jfcdx dy = a . 6 . c
M
Je-li f (x, y) = 1 na mnozine M, pak dvojny integrál vyjadruje obsah (míru) mnoziny M:
[j dx dy = m(M).
6.2   Fubiniova veta pro dvojný integrál
Zakladní metodou pro vápocet dvojneho integrálu je prevod dvojneho integralu na dva jedno-duche integraly. Tato metoda je popsana v nasledujíčíčh dvou vetach.
Veta 6.1 (Fubini). Necht funkce f (x, y) je spojitá na obdélníku J = [a, 6] x [c, d]. Pák platí
jj f (x,y)dx dy = J {^Jc f (x,y )dy) dx (6.2)
Poznámka 6.2. a) Integrál na prave strane vyrazu (6.2) se nazáva dvojnasobny integral. V tomto integralu integrujeme postupne nejprve podle y a pak podle x. Zamenou promennych x a y dostaneme
jj f (x,y )dx dy = Jc {^f f (x,y)d^ dy-j
Znamena to, ze nezalezí na poradí, v jakem na prave strane integrujeme.
b) Dulezitym predpokladem je spojitost funkce. Není-li funkce f (x, y) spojitá na obdelníku J, pak uvedene tvrzení neplatí - dvojná integrál nemusí existovat a nelze zmenit poradí integrace v dvojnasobnem integralu.
c) V prípade, ze ma integrovana funkce tvar soucinu f (x)g(y), kde f je spojita funkce na [a, 6] a g je spojitá funkce na [c, d], je mozne vápocet zjednodusit
J J f (x)g (y )dxdy = J {^Jc f (x)g(y)d^ dx = f f (x)dx ' g(y)dy-j
Príklad 6.3. Vypoctete
j j x2 y dx dy,
M
kde mnozina M je obdelník s vrcholy A = [0,1], B = [2,1], C = [2, 2] a D = [0, 2].
2
Dvojný integrál
6.2 Fubiniová větá pro dvojný integrál
Rešeni. Vidíme, ze platí 0 < x < 2 a 1 < y < 2. Podle Fubiniovy vety pak dostáváme
x2y dx dy
M
2
= i   i 2x2 — -x2 | dx o   \ 2
r3 2
dx
x
T
4.
Pokud zvolíme opačne pořadí integrace bude výpočet vypadat takto
x2y dx dy
M
li I./"        dy = J
x
y
/2 8
16 4
3 3
4.
Vzhledem k tomu, ze integrační oblast je obdeiník a integrovaná funkce je tvaru f (x, y) g(x)h(y), můžeme využít predchozí poznímky
J J x2 y dx dy = j x2 dx • j y dy
M 0 1
'x3'	2	V"
~3	o	2
Uvedenou vetu lze zobecnit pro integraci pres "deformovaní obdelník".
Věta 6.4 (Fubini). Nechi funkce f (x, y) je spojitá na množině M C E2, která je áána vztahem (6.1). Pak platí
// f (x,y)dxdy = /   [ /      f (x,y)dy] dx. (6.3)
M
Příklad 6.5. Vypoctete
x y dx dy,
M
kde mnozina M je ctvrtkruh o danem polomeru r > 0 se stredem v pocatku a lezící v prvním kvadrantu.
Řešeni. Mnozinu pres kterou integrujeme muzeme popsat nerovnostmi
0 < x < r,0 < y < Vr2 — x2,
Dosazením do (6.3) dostaneme
rr   / ľ\/r2—x2
x y dy dx.
x y dx dy = x y dy
o
2
i
i
3
6.2 Fubiniova věta pro dvojný integrál
Dvojný integrál
Pro vnitřní integrál dostáváme
r\/r2—x2
I x3y dy = x3
Jo
y_
2
\x3(r2 - x2).
Proto dvojný integrál je
j j x3y dx dy = - J (x3r2 — x5) dx
4 2
x4 r2
x
"ě"
r6 24
M
Příklad 6.6. Vypočtete
M
M
(2x + y) dx dy,
kde množina M je lichobežník určený prímkámi x =1, x = 2, y = 1 á y = 2x Rešeni. Z obrázku 6.1á vidíme, že plátí 1 < x < 2 á 1 < y < 2x. Dostáváme
//(2x +y)dx dy
M
j: <
(2x + y) dy ) dx
r-2
= i   \2xy + i2
4x2 + 2x^ 2x -
)dx = / .
- I da
y2
2x
dx
\ 3     2    1 l2 21
) "Y* _ _ _ "V* - _
2  i 2
y = 2xi
i      2 x (a)
y=x
y=-
i      2 x (b)
Obrížek 6.1: Množiny ž príkládů 6.6 á 6.7
Príklad 6.7. Vypočtete
f J ~íáxáV,
M
kde množiná M je ohraničená krivkámi y = x, x = 2 á xy =1.
o
o
4
Dvojný integrál
6.2 Fubiniová větá pro dvojný integrál
Řešení. Z obrázku 6.1b vidíme, že například platí l<x<2a^<y<x, přičemž souřadnici x = 1 jsem dostali z řešení rovnice \ = x. Integrovaná funkce je na oblasti M spojitá. Dostáváme
J — dxdy
M
y2
x*
y
dx
Příklad 6.8. Vypočtete
j {—x + x3) dx =
2 4
xx
T + T
9 4'
j j xy dx dy,
M
kde M je množina ohraničená přímkou y = x — 1 á parabolou y2 = 2x + 6.
3
5 x
(a)
y / 4	✓
	
/ -s, ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓	-2
(b)
1
Obražek 6.2: RUžne popisy množiny M ž příkladu 6.8
Řešeni. Nejprve vyjadríme danou množinu pomočí nerovností. K tomu potřebujeme určit prUsečíky prímky a paraboly. Vyjadríme-li ž obou predpisu promennou x, pak ž rovnosti
y2 — 6
dostaneme y-ove souradniče tečhto prusečíku, tj. y = —2 a y = 4. Dosažením do rovniče prímky žískame x-ove souradniče x = —1a x = 5. Míme dva žpusoby, jak vyjadrit množinu
M.
5
6.3 Polární souřadnice
Dvojný integrál
a) Při obvyklém pořadí integrace dy dx vyjadřujeme množinu M pomocí nerovností tvaru (6.1). Tj. je hraničena funkcemi a dolní hranice je složena že dvou castí, proto musíme v tomto prípade množinu M roždelit na dve množiny M = Mi U M2, kde
M1: - 3 < x < -1, M2: - 1 < x < 5,
■y/2x + 6 < V2x + 6,
x - 1 < V2x + 6.
Pri integraci v poradí dy dx tak musíme dany integral roždelit na dva integrály
-1 ry/Žč+š
xy dx dy =
M
-3  J-y/2x+&
xy dy dx
xy dy dx.
-1   Jx-1
b) Výhodnější proto bude integrovat v opačném pořadí dx dy. Pak M vyjádříme nerovnostmi
1
-2 < y < 4,
3 < x < y + 1
a dvojný integrál je roven
4    r-y+1 í-4
xy dx dy = xy dx dy =
b
4
x
y+1
dy =
y
1
(y + i)2-(^2-3)2
dy =
y
24
+ 4y3 + 2y2 - 8y dy
4y2
36.
6.3   Polární souřadnice
Integrujeme-li pres množinu M, kterí je ohranicení kružnicí (castí kružnice, mežikružím), pak místo kartežskích souradnic x, y je vyhodne používat polírní souradnice q,
Necht' bod v rovine ma kartežske souradnice [x, y]. Pak polírní souradnice q je vždalenost bodu od pocatku a t/? uhel, kterí svíra průvodič (tj. ísecka spojující bod s pocatkem) s kladným smerem osy x. Odtud plynou rovnice transformace pro prevod kartežskích souradnic do polarních:
y	l	
	x	
x = Q COS í/
y = q sin í/.
Například, kruh o poloměru r je v polýrníčh souřadnicích popsín q = r, 0 < t/ < 2n. Podobně polopřímka y = x pro x > 0 je popsána tp = |, q > 0.
6
Dvojný integrál
6.4 Transformace dvojného integrálu
Příklad 6.9. Nakreslete množinu, která je zapsaná v polárních souřadnicích:
Řešeni. Jde mezikruží ohranicene kružnicemi se středem v pocatku a polomery r = 2, r = 4 a vymezene prímkami y = x a x = 0 (tj. osa y). ▲
Pri transformaci integralu do polarních souradnic hraje důležitou roli determinant
J (u, v)
X Q			cos í/	sin í
			— q sin	q cos </?
q cos2 í/ + q sin2
Tento determinant se nazýva jakobián zobrazení F pro prevod kartezskych souradnic do po-líarních.
6.4   Transformace dvojného integrálu
Jestlize pri vípoctu dvojneho integralu pouzijeme pro vyjídrení mnoziny M polarní sourad-nice q, </?, pak daní integríl transformujeme do polarních souradnic, kde se objeví jakobian, a po te pouzijeme Fubiniovu vetu. Tento postup lze popsat nasledujícím zpusobem:
Véta 6.10. Necht funkce f (x, y) je spojitá na množině M a nechi je tato množina určena v polarních souřadnicích nerovnostmi
</>i < / < /2,    Qi(</>) < Q < Q2(/)-
Pak platí
//   f (x,y)dx dy =    / / f (Q cos /,Q sin /) Q dQ d/.
M
Příklad 6.11. Vypoctete
M
kde M je kruh x2 + y2 < 9.
Řešení. Nejprve popíseme mnozinu M v polarních souradnicích. Rovnice x2+y2 = 9 je rovnice kruznice se stredem v pocítku a polomerem 3. V polírních souradnicích tak dostavame
0 < r < 3,      0 < / < 2n.
Nyní podle vety 6.10 dostaneme
1
lj (x — y) dx dy = j   (^j r2 (cos </? — sin //) dr^j d/ = j
M
r-2n
(cos í — sin í ) dí
0
ľ27ľ
9      (sin </? + cos í/) d/ = 9 [sin </? + cos í/]2,71" = 00
0
7
6.4 Transformace dvojného integrálu
Dvojný integrál
Příklad 6.12. Vypočtěte
J J \J\ — x2 — y2 dxdy}
M
kde oblast M je čtvrtinou kruhu x2 + y2 < 1 ležící v prvním kvadrantu. Řešeni. Množinu M v polárních souřadnicích mužeme popsat nerovnostmi
0 < r < 1,      0 < p <
Podle vety 6.10 dostaneme
/ a/1 — x2 — y2 dx dy = / / rVl — r2 dr dp = / dp • / rVl — r2 dr ,/ Jo Jo Jo Jo
1 - r2 = t — 2r dr = dt 1 w 0, 0 w 1
' y = |x|
x2 + y2 =4
x2 + y2 = 1
Obražek 6.3: Množina M ž príkladu 6.13
Příklad 6.13. Vypoctete
J J (x2 + y2) dx dy,
M
kde pro oblast M platí 1 < x2 + y2 < 4, y > |x|.
Řešeni. Oblast ohranicení daními krivkami je císt mežikruží, ktera je ohranicení prímkami y = x a y = —x. Popsat mežikruží již umíme, jak mužeme popsat dane prímky? Jedna z možností je přímo, z názorného významu polárních souřadnic, tj. y = x je p = ^ a y = — x je p = '^f. Druhá možnost je pomocí dosazení transformačních rovnic a řešení příslušné goniometrické rovnice, například pro y = x, dostáváme cos p = sin t/? a odtud p = |. V polárních souradnicích tak mužeme množinu M popsat nerovnostmi:
1 < r < 2,
4-^-4
2
6
8
Dvojný integrál
6.5 Aplikace dvojného integrálu
Pro daný integrál platí
3-7T 2
J J (x2 + y2) áxáy = j        r3 (cos2 p + sin2 p) dr dp
2 3-7T
^ r3 dr • j (cos2
t/? + sin2 p) dp
r
[P]
3tt 4
7T
4
15
i
Závěrem podrobněji popířSeme transformaci dvojného integrálu. Tu lze provést nejen pro polární souradnice, ale pro libovolnou "peknou"transformaci. Príkladem je zobrazení, ktere transformuje lichobezník na obdelník (takove zobrazení je lineírní), nebo zobrazení ktere transformuje elipsu na obdelník. Výber transformace se provadí podle tvaru množiny, pres kterou integrujeme.
Nejprve zaved'me nísledující pojmy.
Definice 6.14. Necht' je díno zobrazení F: R2 — R2 urcene rovnicemi
x = k(u,v),   y = l(u,v), (6.4)
kde funkce k a l mají spojite parciílní derivace prvního radu. Pak F se nazíva spojité diferencovatelné zobrazeni a determinant
k k
J (u,v)=       l l
se nazýví jakobién zobrazení F. Jestlize J (u, v) = 0, pak se toto zobrazení nazývý regulérní.
Napríklad, linearní zobrazení x = au + bv, y = cu + dv mí jakobian J = ad — bc. Toto zobrazení je regularní, jestlize ad = bc. Toto zobrazení transformuje lichobezník v rovine xy na obdelník v rovine uv.
Veta 6.15. Necht je déna spojité funkce f proměnných x a y na mééitelne množině A. Nechť F: R2 — R2 je proste regulérní zobrazeni zadané rovnicemi (6.4) a necht A = F (B). Pak platí
j j f(x,y) dx dy = jj f [k(u, v), l(u, v)]| J(u, v)| du dv.
A B
6.5   Aplikace dvojného integrálu
Příklad 6.16. Urcete obsah kruhu o polomeru R.
ResSené. Pro urcení daneho obsahu musíme spocítat J J dx dy, kde mnozina M je tvorena
M
daným kruhem. Kvuli jednoduchosti umístíme kruh do pocítku a mnozinu M popíseme
9
6.5 Aplikace dvojného integrálu
Dvojný integrál
v polarních souradnicích, dostaneme tak 0 < q < R, 0 < p < 2n. Pro daná integral tak mame
dx dy
r-2n   r-R r-2n r-R
=       /   r dr dt/ = /    dt/ - /   r dr = [</?] Jo   Jo Jo Jo
M
2n
R
nR2
Príklad 6.17. Vypoctete obsah obrazce ohraniceneho kruznicí x2 + y2 = 2x a prímkami y = x y = 0.
ResSení. Hledaná obsah bude urcen integralem JJ dx dy, kde M je mnozina tvorena danym
M
obrazcem. Upravíme-li doplnením na uplní ctverec rovnici x2 + y2 = 2x, dostaneme
(x - 1)2 + y2 = 1,
coz je rovnice kruznice se stredem v bode [1, 0] a polomerem 1. Dosadíme-li za x = r cos t/? a za y = r sin t/ z transformacních rovnic, dostaneme pro danou kruznici rovnici r2 cos2 t/ + r2 sin (p = 2r cos ip a po úpravě r = 2 cos ip. Dané přímky mají rovnice p = 0 a p = |, máme tak popis mnoziny M
Podle vety 6.10 dostávame dx dy
0 < t <
0 < r < 2 cos t
lo Ji
i
'■2 cos ip
r dr dt
i n
2o
So   [r2]oCO"^ = 2^
dt = 2      cos2 t dt
(1 + cos t ) dt
7T
1 1 4
p+- sin2 p = 2o
n 1 4 + 2-
▲
-1
/y = x
2 x
x2 + y2 = 2x
Obrázek 6.4: Mnozina M z príkladu 6.17
Príklad 6.18. Urcete objem telesa, ktere je utvorene plochou rotacního paraboloidu z x2 + y2 nad ctvercem urceneho body [0, 0], [1, 0], [0,1] a [1,1].
o
y
1
1
10
Dvojný integrál
Cviěení
Řešeni. Objem daneho telesa je dan integralem JM(x2 + y2) dx dy, kde M je množina tvorení danym čtverčem. Pro hledaný objem tak dostavame
V
(x2 + y2) dy dx
/ (x2 + y2) dx dy = / / J m Jo Jo
x2 + - ) dx
o
o
y
= i   \x2y + o   \ 3
dx
3
xx
¥+3
1
▲
Příklad 6.19. Určete hmotnost obdélníkové desky M: 0 < x < 2, 0 < y < |, která má v každem bode [x,y] plosnou hustotu p(x,y) = xy.
Řešeni. Pro hmotnost H tenke desky M platí
H
Jf p(x,y) dx dy-
m
Dostaívíame tak
H
m
m
xy dx dy
o
3 ' 2
= xy dx dy
oo
= j x dx - j
ydy
r 21	2	21
x2		V
T	o	2
3
2        9 9 = 2-- = -.
8 4
▲
Poznámka 6.20. Meži dalsí fyžikílní aplikače patrí napríklad určení momentu setrvačnosti či težiste daneho rovinneho utvaru, prípadne určení čelkoveho električke naboje na rovinne desče.
o
o
Cvičení
1. Vypočtete nísledujíčí integraly
a^/(x2 + y2)dxdy, kde M je čtvereč určeny body [0, 0],[2, 0],[0, 2] a [2, 2].
m
b) J J xy2 dx dy, kde M je ličhobežník omežení prímkami y = —1, y = x, x = 0a x = 2.
M
c) j j xydxdy, kde M je množina ohraničena nerovnostmi 1 < x < A, - < y < \fx.
d) H xy dx dy, kde M je trojuhelník určení body [0, 0], [1,1] a [2, 0].
m
e) J J (x + y) dx dy, kde M je ohraničena krivkami y = x2, y = x.
m
f) JJ(12 + y — x2) dx dy, kde M je ohraničena parabolami y = x2, y2 = x.
m
g) JJ ^dxdy, kde M je ohraničena přímkami x = 0,x = 27r,y = 0& grafem funkce
M3
y = 2 + sin x.
11
Cviěená
Dvojnáý integráál
2. Pomocí tránsformáce do polírních sourádnic vypočtete nýsledůjíčí integrály á) JT(x + y) dx dy, kde pro množinu M plátí x2 + y2 < 1, x > 0, y > 0.
M
b) II xy2 dx dy, kde množiná M je menší kruhová useč výt'átá prímkou x + y = 1 v kruhu
M
x2 + y2 < 1.
c) JJ e-x -y dx dy, kde pro množinu M plátí x2 + y2 < 1, x > 0.
M
d) J J \J x2 + y2 dx dy, kde pro množinu M platí x2 + y2 — 2y < 0.
M
e) J J arctg | dx dy, kde pro množinu M platí x2 + y2 > 1, x2 + y2 < 3, y > -jř,y< \[Žx
f) II(x2 + y2) dx dy, kde pro množinu M plátí 1 < x2 + y2 < 4, y > 0, y < x.
M
g) II y dx dy, kde pro množinu M plátí x2 + y2 < 4, y < x, y > —x.
M
3. Určete obsáh množiny M
á) Množiná M je ohraničená hyperbolou xy = 1 á prímkou 2x + 2y = 5.
b) Množiná M je omežení kružnicemi x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x á prímkámi y = x, y = 0.
Výsledky:
1. a) f, b) f, c) f - ln2, d) |, e)     f) 4 + ± g) f.
2. a) |,b)^,c)^,d)f,e)í,f)lf7r,g)0.
3. a) f -21n2, b) f vr + f
12