Matematická ekonomie Jan Paseka 15. prosince 2010 2 Úvod Matematickou ekonomii bychom mohli definovat jakožto oblast vedy, která obsahuje různé aplikace matematických pojmu a technik pro ekonomii, zejména pak pro ekonomické teorie. Alternativní prístup pak je, že provedeme váCet vsech souCastí matematicke ekonomie. V tomto Úvodu je historie matematicke ekonomie roždelena do trá širokých a cástecne se překrývajících období: období marginalistú (1837-1947), období množinove-teoretických/lineárních modelu (1948-1960) a soucasne obdobá integrace (1961-nyná). 1. Období marginalistú: 1838-1947 Pocatecná obdobá matematicke ekonomie bylo to, ve kterém si ekonomie vypujcila metodologii pnrodmch ved a nastroje matematiky, aby vyvinula formalná teorii založenou na matematicke analáže. Za predpokladu dostatecne hladkách funkcá (napr. funkce užitecnosti a vyrobná funkce) a maximaližujácáho chovaná ácastnáku byla vyvinuta dostatecne áplná teorie chováná mikroekonomickách agentu a teorie obecne rovnováhy. Zakladnám prostredkem byl kalkulus - tj. diferencialná a integrální' pocet, žejmena použitá totálná a parciálná derivace a metody Lagrangeovách multiplikatoru pro charakterižaci maxim. Zaroven byly v tomto obdobá vyvinuty moderná teorie spotreby, vároby, oligopolu a obecne rovnováhy. Puvodná pracá, kterou mužeme považovat ža pocátecná bod matematicke ekonomiky, byla Cournotova práce ž roku 1883. Cournotuv prános lže roždelit na dva hlavná smery: teorie podniku - firem a interakce firem a spotrebitelu v jednoduche tržná ekonomice. Cournotova žakladná hypotéža byla, že firmy si vybárajá tak, aby 3 4 maximalizovaly svůj zisk. Cournot studoval a přesně definoval případy dokonale soutěže a monopolu. Zároveň zavedl rovnost mezi nabídkou a poptávkou v jednoduchí tržní ekonomice a studoval problem oligopolu, kde je omezena soutezivost prodavajících. Cournotovo resení oligopolu zustalo standardním prístupem a jeho vhodne zobecnení hraje dulezitou roli v teorii her. Teorie firmy: Cournotova maximalizační hypoteza byla rozsírena v rímci zkoumaní vírobní funkce v poslední ctvrtine 19. století tak, ze mohla vzniknout íplna teorie poptavky po vstupech a nabídky výstupu. Vyvoj byl sdílen mnoha autory jako jsou napr. Walras (1874), Wicksteed (1894), Wicksell (1893) a J.B. Clark (1889). Teorie spotřebitele: Rozvoj teorie spotrebitele zavisející na maximalizaci funkce uzitecnosti pri omezenem rozpoctu spotreby byl zapocat v roce 1854 Gossenem a dale studovan Jevonsem (1871), Walrasem (1874) a díle dopracovín Marshallem (1890). Uplne odvození vlastností funkce uzitecnosti bylo provedeno Slutskím (1915) a dale studovíno Hicksem a Allenem (1934) aj. Zíklady teorie uzitecnosti byly prohloubeny nekolika zpusoby: nahrazení kardinalní uzitecností ordinalní prinílezí Fisherovi (1892) a Paretovi (1909); axiomatizace kardinalní uzitecnosti je dílem Frische (1926, 1932) a Alta (1936); prístup pomocí preferencí byl zapocat Samuelsonem (1938) a dale rozvíjen Houthakkerem (1950) a Uzawou (1960). Obecná rovnováha: Zakladní pojetí, ze trhy jsou ve vzajemnem vztahu a ze proto je rovnovízní stav ekonomie charakterizovan soucasne existující rovností mezi nabídkou a poptavkou na vsech trzích, prinalezí Walrasovi (1874). Toto pojetí bylo díle rozvinuto a vylozeno Paretem (1896, 1909). To, ze rovnovazny stav muze bít dosazen, bylo dokazano tím, ze pocet rovnic byl rovny poctu neznímych (viz Marshall (1890)). Optimalita konkurencní rovnovahy byla diskutovana jak Walrasem tak Paretem. Stabilita rovnováhy: V prípade rovnovahy jednoducheho trhu byly podmínky stability diskutovany Courno-tem (1838) a Marshallem (1890). Otazky stability obecne rovnovahy byly diskutovany rozsahle Walrasem (1874). První diskuse z presneho pohledu se objevila v Hicksovi (1939a) a Samuelsonem (1941). Z posledních prací jmenujme praíce Arrowa, Hahna, Hurwicze aj. Optimální alokace zdrojů: První systematickí vípocet uzitku a nakladu prinalezí Dupuitovi (1844). Jasna definice optimality v prípade mnoha ucastníku byla podína Paretem (1909). Charakterizace optimalních a 5 částečně optimálních stavů je nyní známa jakožto tzv. ekonomie blahobytu, tuto syntézu provedli Hotelling, Bergson a Hicks. Specialní problem optimalizace v čase byl poprve studovan Ramseyem (1928) a nasledovne Hotellingem (1931). Zobecněné vyjednávání: Edgeworth (1881) jakožto první studoval výstupy ekonomie, ve ktere mohly být reali-zovany vsechny druhy dohod o zboží, nikoliv toliko ty možne v cenovem systemu. Množina možnych vystupu se nazývala smluvní krivka. Obecný verze tohoto pojmu, nyní znýmý jakožto jádro, byla dale studovana v plnýe obecnosti v teorii her. Vyvrcholení skoly marginalistu založene na kalkulu, ktere zkombinovalo mnoho predchazejících výsledku s novejsím vývojem, lze najít ve dvou klasických knihach, ktere jsou stale velmi duležite: Hicks (1946) a Samuelson (1947). 2. Období množinově teoretického/lineárního modelu: 1948-1960 Obdobý množinove teoretičkeho/linearního modelu bylo obdobý po 2. svetove valce, ve kterem byl drývejsý kalkul matematicke analýzy nahrazen množinove-teoretickými zaklady a linearnými modely. Použitý teorie množin znamena vetsľ obecnost v tom, že klasicke predpoklady hladkosti funkcý mohly být nahrazeny podstatne obecnejsími funkcemi. Použití linearního modelu znamena zachazení s pojmy, ktere neslo vyjýdrit pomocý hladkých funkci', tj. napr. vrcholy polyedru. Tento nový pfístup byl ve skutecnosti zapocat duležitým clýnkem von Neumanna (1937) v obdob! ekono-mickeho rustu. Pritom v tomto clanku je metodologie podstatne důleZitejSí než jeho obsah. Jina prace, ktera hrýla duležitou roli v rozvoji množinove-teoretickeho prístupu byla Arrowova kniha o axiomatizaci teorie socialnýho vyberu a individualnmi ohodnocený (1951). Byly v ný použity množinove-teoreticke metody, ktere umožnily vytvorený systemu pro studium problemu obecne teorie rovnovýhy. Dva z velmi duležitých clanku pro rozvoj teorie obecne rovnovahy byly Wald (1933-34), který provedl první presnou analýzu obecne rovnovahy, a Arrow s Debreuem (1954), který pomocí množinove-teoretickych prostredku formulovali problem existence konkurencní rovnovahy a dokazali její existenci za patricnych podmínek. Problem existence byl dale analyzovan McKenziem, Galem, Nikaidou a Debreuem. Duležitým nýstrojem byla Kakutaniho veta o pevnem bode (1941) - zobecnení Brouwerovy vety o pevnem bode. 6 V rámci teorie spotřebitele byly pro další axiomatický rozvoj důležité články Debreua a Radera. Aplikace množinově-teoretických pojmů kulminovala pak v klasicke Debreůove knize (1959) a jejíž ůloha je srovnatelna s pracemi Samůelsona a Hickse pro klasicke období. Linearní model pro meziodvetvove vztahy byl vyvinůt Leontievem (1941, 1966). Dalsí príbůzne aktivity na tomto poli patrí Koopmansovi, Morgensternovi a Kantorovicovi. Dale byl stůdovan von Neůmannův mnohaodvetvovy model růstů. Tento model hral důlezitoů roli jak v obecne teorii rovnovahy tak v teorii růstů. Zaroveň bylo v tomto období vyvinůto linearní programovaní, vychazející z prací Dantziga. Tento prístůp kůlminoval v pracích Dorfmana, Samůelsona, Solowa a Galeho. Tyto prace pritom neobsahovaly poůze linearní programovaní, nybrz linearní modely obecne rovnovíhy a linearní růstove modely. Jedním z nejdůlezitejsích modelů je pak Malinvaůdův model akůmůlace kapitílů. Teorie her byla rovnez zalozena na analýže linearních modelů. Její pocatky se datůjí k von Neůmannovi (1928), ale zakladní vívoj se objevil v praci von Neůmanna s Morgensternem (1947) a Nashe (1950). 3. Současné období integrace: 1961-nyní Soůňcasníe období je období integrace, ve kteríem moderní matematickía ekonomie kombinůje prvky kal-kůlů, teorie mnozin a linearních modelů. Je zaroven obdobím, ve kterem byly matematicke idee rozsíreny potencionaílnňe do vňsech oblastí ekonomie. V soůňcasníe dobňe jsoů mnohíe odvňetví matematickíe ekonomie ve vívoji a tento vívoj se ůkazůje bít na^jvís prínosnym. Zminme mj. 11 důležitých temat ve vívoji v teto etapňe. (1) Nejistota a informace: Toto tema sestava z teorie averze k riskovaní (viz prace Pratta a Arrowa); rov-novazny stav pri nejistote (viz prace Diamonda a Radnera); mikroekonomicke aplikace (viz príce McCalla); pojistení dle Borche aj. (2) Globálni analýza: Toto tema obsahůje matematicke metody, ktere kombinují kalkůlůs a topologii, a jsoů poůzity ke stůdiů vlastností ekonomickích rovnovažných stavů a jejich zmene v dane ekonomii. Debreů (1970) byl průkopníkem v tomto stůdiů za podmínek, ze mame poůze konecní pocet rovnovýžných stavů. 7 (3) Teorie duality: Tato teorie používá a kombinuje množinově-teoretické metody a metody kalkulu, zejména v mikroekonomice. Pripomenme mj. prace Hotellinga, Roye, McKenzieho, Shepharda, Samuelsona a Diewerta. (4) Agregovaná funkce poptávky: Teorie spotrebitele ukazuje, že funkce poptavky jednotlivcu maximalizujích užitek musí splnovat jiste omezující podmínky. Sonnenschein (1973) jako první podal argument, že agrego-vane funkce poptavky nejsou omezeny podmínkou, že individuální funkce poptavky vznikají z maximalizace užitku. Díle zminme prace Mantela (1974) a Debreua (1974). (5) Jádro ekonomie a trhy s kontinuem obchodníků: Intuitivní pojem velkeho poctu obchodníku spolu s predpokladem dokonale souteže vedl k tomu, že pocet obchodníku konverguje k nekonecnu nebo že mame kontinuum obchodníku. Pripomenme prace Shubika (1959), Scarfa a Debreua (1962) aj. (6) Dočasná rovnováha: Pojem docasne rovnovíhy byl zaveden Hicksem (1939). V takoveto rovnovíze se obchod uskutecnuje sekvencionílne tak, že každí ucastník predpovída svuj budoucí zisk na zaklade soucasneho a minuleho stavu ekonomie. Rovnovaha muže obsahovat vsechny ceny pohybující se dostatecne rychle k vyprodaní vsech trhu, nebo jinak receno dovolí prídelovy system. (7) Vypočet rovnováZnách cen: To je specialní prípad vípoctu pevních bodu zobrazení, pro ktera je pevní bod interpretovín jako rovnovažní cenoví vektor, pricemž získane rozdelení je prijatelne, pokud se vyprodají vsechny trhy. Hlavní príce jsou Scarf (1967, 1973). (8) Teorie socialního vyberu: Teorie sociílního víberu se zabíva agregací preferencí jednotlivcu do sociílního víberu. Zíklady byly položeny Arrowem (1951), v teto knize jsou položeny zakladní kameny teorie a dokazany vety o možnosti resp. nemožnosti takovehoto vyberu. (9) Optimalní zdanení: První prace z teto oblasti patrí Ramseyovi (1937) a Hotellingovi (1938), nejduležitejsí clanky pak Boiteuxovi (1956), Mirrleesovi (1971) a Diamondovi s Mirrleesem (1971). (10) Teorie optimalního růstu: Toto tema bylo studovano zejmena Samuelsonem se Solowem (1956), Samu-elsonem (1965), Koopmansem, Galem a dalsími. Puvodne byl tento problem formulovín jakožto problem optimalních íspor Ramseyem (1928). Tento problem byl pak zobecnen a zkombinovan s meziodvetvovím modelem rustu. Matematicke zaklady jsou založeny na teorii dynamických systemni a teorii rízení. 8 (11) Teorie organizování: Tato oblast obsahuje teorii týmove prace, decentralizace, plánovaní a problém stimulace. Z novejsích prací pripomenme prace Marschaka a Hurwicze. Tento ucební text si neklade zadne naroky na Úplnost ci původnost. Prípadne komentare ci kriticke pripomínky k textu ocekívím nejlepe na e-mailove adrese paseka@math.muni.cz ci jinou formou. Text je prubeZne dopMovan a menen a je umísten k volnemu použití na ftp serveru oboru matematika PrF MU. Časti textu jsou tvoreny referaty zpracovaními studenty Pavel Janík ml., Monika Ryn-dova, Libuse Tomínkoví v ramci stejnomenne prednísky na Prírodovedecke fakulte Masarykovy univerzity. Veskera zodpovednost za styl a obsah je na autorovi. Obsah 1 MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII 13 1 Uvod a přehled........................................... 13 2 Uloha matematického programovaní a způsoby jejího řešení................... 14 2.1 Weieřstřassova veta..................................... 15 2.2 Veta o lokainím a globálním maximů........................... 16 3 Uloha bez omezení......................................... 17 3.1 Veta o podmínkach prvního řadů............................. 17 3.2 Veta o podmínkach 2. řadů ................................ 18 3.3 Veta o postačujících podmínkích............................. 18 3.4 Příklad : Kvadřaticke ícelove fůnkce........................... 19 4 Klasicke přogřamovíní: Lagřangeovy můltiplikatořy....................... 20 4.1 Veta o Lagřangeovích můltiplikatořech.......................... 20 4.2 Veta o ohřanicene Hessove matici............................. 23 4.3 Veta o postacůjících podmínkích přo klasicke přogřamovíní.............. 24 4.4 Příklad: Kvadřaticko-lineařní íloha............................ 24 5 Nelineařní přogřamovíní - Kůhn-Tůckeřovy podmínky...................... 26 5.1 Veta o Kůhn-Tůckeřovích podmínkach.......................... 27 9 10 OBSAH 10 5.2 Veta Kuhn-Tuckera o sedlovém bode . . . . 5.3 Príklad: Uloha kvadratickeho programovaní Lineární programování................ 6.1 Veta o existenci................ 6.2 Veta o dualite................. 6.3 Slaba doplňující veta............. Mikroekonomie: matematicke programovaní a teorie srovnavací stability ............. 7.1 Veta srovnívací stability........... Neoklasicka teorie domícnosti............ 8.1 Veta o poptavce................ 8.2 Slutskeho veta................. Neoklasicka teorie firmy ............... 9.1 Veta o nabídce................ 9.2 Teorie srovnavací stability firmy....... Zavery......................... 29 31 32 33 34 34 35 36 38 41 42 45 46 48 51 2 Teorie spotřebitele 1 Komodity a ceny ................ 2 Spotňrebitelíe ................... 3 Preference.................... 4 Funkce uzitecnosti ............... 5 Vlastností preferencí a funkcí uzitecnosti . . . 5.1 Monotonie, nenasycenost a konvexnost 5.2 Separabilita ............... 5.3 Spojitía poptaívka ............ 5.4 Poptívka bez tranzitivity ....... 53 53 54 55 59 61 61 63 65 67 6 7 8 9 OBSAH 11 5.5 Poptávka za předpokladů separability........................... 69 6 Fůnkce nakladu a nepřímé fůnkce ůzitků............................. 70 7 Vlastnosti diferencovatelne fůnkce ůzitků............................. 73 7.1 Diferencovatelna poptavka................................. 79 3 Teorie ekonomické rovnováhy 83 1 Zakladní pojmy........................................... 83 1.1 Prostor komodit....................................... 83 1.2 Cenová prostor....................................... 84 1.3 Agenti............................................ 84 1.4 Existence rovnovahy.................................... 85 1.5 Walrasův zákon....................................... 86 1.6 Aproximace vícehodnotovyích zobrazení .......................... 87 1.7 Vlastnosti konvexních množin a obalů........................... 88 2 Várobce............................................... 91 2.1 Úvod............................................. 91 2.2 Vlastnosti prodůkcních množin .............................. 92 2.3 Maximalizace zisků..................................... 93 3 Spotrebitel.............................................. 94 3.1 Úvod............................................. 94 3.2 Vlastnosti spotrební ch mnozin............................... 94 3.3 Preference spotrebitele................................... 95 3.4 Úzitkova fůnkce....................................... 96 3.5 Rozpoctove omezení.................................... 96 3.6 Rovnovaha spotrebitele................................... 97 4 Rovnovíaha ekonomiky ....................................... 98 4.1 Definice rovnovíhy..................................... 98 12 OBSAH 4.2 Arrowova-Debreuova veta 99 4 Globální analýza a ekonomie 1 Existence rovnovaZneho stavu............................. 2 Ekonomika uplne smeny: existence rovnovaZneho stavu............... 3 Paretova optimalita ................................... 4 Zíakladní vňeta ekonomiky blahobytu .......................... 5 Dualita v mikroekonomii 1 Uí vod ........................................... 2 Dualita mezi nakladovou (vídajovou) a produkcní (užitkovou) funkcí: Zjednoduseny pohled................ 3 Dualita mezi níkladovími a agregacními (produkcními nebo užitkovími) funkcemi 4 Dualita mezi pňrímyími a nepňrímyími agregaňcními funkcemi .............. 5 Dualita mezi pňrímyími agregaňcními a distancními nebo deflacními funkcemi........................ 6 Dalňsí vňety o dualitňe ................................... 7 Minimalizace nakladu a derivovaní poptavka po vstupech.............. 8 Funkce zisku ....................................... 9 Dualita a nesoutňeňzivíe pňrístupy k mikroekonomickíe teorii .............. 9.1 První pňrístup: Problíem monopolu ....................... 9.2 Druhyí pňrístup: Problíem monopsonu ...................... 9.3 Tňretí pňrístup: Problíem monopolu jinak .................... 9.4 Ctvrty prístup: Problem monopolu jeste jednou............... 9.5 Historicke poznamky.............................. 10 Zíavňer ........................................... 123 123 138 147 153 163 163 165 183 187 192 195 200 204 209 209 210 212 213 214 215 Literatura 215 Kapitola 1 MATEMATICKÉ PROGRAMOVAnI S APLIKACEMI V EKONOMII 1 Uvod a přehled Matematické programování se vztahůje k zíkladnímů matematickemů přoblemů maximalizace fůnkce *. Podstata tohoto přoblemů a způsoby jeho řesení jsoů diskůtovany v casti 2. Histořicky mí tento přoblem kořeny v řozvoji pocetních metod. Odtůd tedy jeho přvní vyůzití bylo ve zpřacovaní nejednodůsího typů matematickeho přogřamovaní, a sice hledíní nevízaneho extřemů (maximalizace), coz je přobřano v císti 3. Zakladní motivací přo dalsí řozvoj pocetních metod byla snaha vyřesit obecnejsí ůlohů mat. přogřamovaní. To se casto nazíva íloha klasického programováni, ve kteře se hleda maximům fůnkce při omezení mnozinoů řovnic. Nekteře ílohy matematickeho přogřamovaní, kteře byly ovlivneny stůdiem ekonomických přoblemů se vsak nepodařilo vyřesit ani ve 20. století. Mezi tyto ůlohy například patří úlohy nelinearního matematického *Ulohy jsou zde řešeny jako maximalizace funkce. Pokud chceme funkci minimalizovat, stačí pouze změnit znaménko funkce a jinak postupovat stejne. 13 14 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII programovaní kde se hleda maximum funkce pri omežená množinou nerovnic, viž cást 5. Specialná prápad, duležitá sam o sobe, a která mel žnacny vliv na rožvoj teorie matematickeho programovaná, je ůloha linearného programované tj. maximaližace linearná funkce pri omežená množinou linearnách nerovnic, viž cast 6. Aplikace matematickeho programovaná má sirsá uplatnená, napr. v ekonomii nasla radu uplatnená. Vedla take k ružnám srovnavacím analážam stability, ktere sloužily k porovnavaní jeji ácinnosti. Matematicke programováni' vedlo žejmena k hlubsámu nahledu do oblasti mikroekonomie , jak je dale diskutovano v casti 7. Aplikace matematickeh programovaní jsou roždeleny do dvou áseku, na neoklasickou teorii domacnosté v casti 8 a neoklasickou teorii firmy v casti 9. Krome použití v žakladní matematicke teorii (cast 2 - 6) a aplikacích v ekonomii (cást 7-8), nm take matematicke programovaní využití v jinych oblastech (napr. fyžika, chemie, aj.). O tech se žde vsak nebudeme žminovat, odkaž na ne je možne najít v literature citovane na konci. Take opomineme ružna specifika matematickeho programovaní, jako je celoďselne programovaní, vícekriterialní programovaní, odkaž je opet uveden v literature. 2 Úloha matematického programování a způsoby jejího reSení Obecna forma ulohy matematickeho programované, muže bát žapsaná ve tvaru: max F(x), (2.1) kde x je sloupcová vektor n vybranách promennách, x = (xi,X2, ... ,£„)', (2.2) F (x) je funkce reálnách promennych, F (x) = F (Xi,X2, ...,Xn), (2.3) 2. ULOHA MATEMATICKÉHO PROGRAMOVANÍ A ZPŮSOBY JEJIHO RESENI 15 a X je podmnozina n-rozmerneho eůklidovskeho prostorů, X C En. (2.4) Obecne bůdeme predpokladat, ze X je neprazdna, tj., ze existůje přípustný vektor x, kde x je prípůstní prave tehdy, kdyz x G X .V ekonomii se vektor x casto nazíva vektor nastrojil , fůnkce F (x) Ucelova funkce a mnozina X množina příležitostí. Zakladní ekonomicky problem alokace vžacných zdrojů mezi navzíjem si konkůrůjícími potrebami můze byít interpretovían jako problíem matematickíeho programovíaní, kde jednotlivía alokace zdroje je reprezen-tovana príslůšným víberem vektorů nastrojů; vzacnost zdrojů je reprezentovana mnozinoů prílezitostí, odrazející omezenost nastrojů. Potreby jsoů reprezentovany ícelovoů fůnkcí, jejichz vísledky jsoů hodnoty príslůsne ke kazde alternativní alokaci. Fůnkce 2.1 můze bít tůdiz interpretovína v ekonomickem jazyků, jako víber nastroje v ramci mnoziny prílezitostí, tedy jako maximalizace ůcelove fůnkce. Existůje více způsobů resení problemů 2.1. Globální, maximum fůnkce F je vektor x* takovy, ze x* G X a F (x*) > F (x) V x G X (2.5) Resení je tedy vektor nastrojů, získaní jako hodnota ůcelove fůnkce, ktera je vetsí nebo rovna nez hodnota v libovolnem jinem vektorů nístrojů. Ostre globálni maximum je vektor x*, kterí splňůje: x* G X a F (x*) >F (x) V x G X, x = x*. (2.6) 2.1 Weierstrassova véta Véta 2.1 Weierstrassova veta Je-li funkce F (x) spojita a množina X je uzavřena a ohraničena tj. kompaktní a navíc neprizdni, pak existuje globální maximum. DUkaz. Důkaz teto vety je zalozen na faktů, ze obraz X v zobrazení F je definovín jako 16 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII F (X ) = {F (x)|x G X }, (2.7) coz je uzavrena a ohranicena mnozina na realne ose, a tedy musí obsahovat i maximílní prvek, coz je F (x*). Meli by jsme vsak dat pozor na to, ze podmínky vety jsou dostatecne, ale ne nutne pro existenci maxima. Maximum tedy muze existovat, aniz jsou tyto podmínky splneny. (Napr. maximalizace x2 na intervalu 0 < x < 2 ma resení). Weirstrassova veta muze bít zesílena za predpokladu, ze F (x) bude shora polospojita. ■ 2.2 Veta o lokálním a globálním maximu Lokílní maximum je vektor x* G X takoví, ze existuje nejake e > 0, pricemz F (x*) > F (x) V x G X n Ne(x*). (2.8) Zde Ne(x*) je nejake e-okolí bodu x*. Maximum je lokílní, ponevadz vektor nastroju získaní jako hodnota ucelove funkce není mensí nez hodnota v jakemkoliv jinem bode nílezejícím X a dostatecne blízko (tj. v Ne(x*) pro nejake e > 0). Ostre lokalní maximum je vektor x* G X, ktery splnuje pro nejake e > 0 F (x*) >F (x) V x G X n Ne(x*), x = x*. (2.9) Zrejme, globíalníí maximum je zíaroven lokaílníí (coz vsak neplatíí obraícene). Ostríe (globíalníí, resp. lokaílníí) maximum je takíe (globíalníí resp. lokíalníí) maximum, opet to neplatíí obríacene. Ostríe lokíalníí maximum je jednoznacne urceno. Veta 2.2 Veta o lokálním a globálním maximu Je-li účelova funkce F (x) konkavní funkce a mnoZina příležitostí X konvexní mnoZina, pak každé lokální maximum je i zároven globální a mnoZina všech ta-kováchto resení je konvexní. Je-li navíc F (x) ostre konkavní funkce, pak resení je jedine. Je-li F (x) ostre 3. ULOHA BEZ OMEZENI 17 kvazikonkévné, je lokélné maximum jedine a zéroven globélné t. Veta 2.2 je velice duležitá, nebot' prakticky vsechny metody resácá álohu matematickeho programovaná spíse identifikují lokální než globalní maximum. S použitím teto vety je možne usužovat na žaklade vlastností konkavnosti a konvexity, že lokálná optimum je take globalná. 3 "Úloha bez omezení Úloha maximalizace bez omezené je ta, že vybereme hodnoty ž n promennách tak, že maximaližujeme funkci F techto promennyách: maxF(x) (3.1) x V tomto prípade je množina príležitostí X (ž 2.1) celá prostor En (nebo otevrena podmnožina En). 3.1 Veta o podmínkach prvního rádů Veta 3.1 Veta o podmínkách prvního rádú Je-li F (x) diferencovatelna funkce, pak nutne podmínky prvního radu proto, aby bod x* byl bodem lokélného maxima funkce F (x) jsou, že x* je stacionarná bod funkce F (x), ve kterem jsou vsechny prvné parcialné derivace nulove. dF (dF dF dF \ sx (x*H šxr (x*)-š^ (x*),...,ftx: (x*0=0. (3.2) ^Funkce F (x) je kvazikonkávná funkce právě tehdy, když pro x1, x2 G X, kde F (x1) > F (x2) platí F (ax1 + (1 — a)x2) > F (x2) pro všechna a, 0 < a < 1. Funkce F je ostře kvazikonkávní prave tehdy, když pro x1, x2 G X, x1 = x2, kde F (x1) > F (x2) platí štejná nerovnost jako pro kvažikonkavní funkci, ale ostra, pro všechna a, 0 < a < 1. Všimneme ši, že konkávni funkce je kvažikonkavní, ale kvažikonkavní funkce nemuší byt konkávni. 18 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII (ôF/ôx)(x*) je vektor gradientů tj., (1 x n) řádkový vektor vsech 1. parciálních derivací F (x) a 0 je (1 x n)-rozměrní vektor nul. Tedý, je-li x* = (x£,x*, ....,x^) lokální maximum, pak dF ~qXX~ (x\,X2, . . . ,Xn, ) = °> j = 1) 2,...,n. (3.3) Důkaz. Důkaz teto vety můze být proveden pomocí Taylorova rozvoje pro hodnotu fůnkce kolem x*. ■ 3.2 Veta o podmínkách 2. řádů Věta 3.2 Věta o podmínkách 2. řádů Je-li F (x) spojitě diferencovatelna do 2. radu, pak podmínka nutna proto, abý x* býl bodem lokílníha maxima funkce F (x), je, Ze príslusna Hessova matice týpu (n x n) a tvaru d 2 F äx^ (x) = / d!F (x) d2 F (x) d2 F (x) x V d2F (x) d2F (x) d^F (x) J \ dxndxi v / 3xndx2^ ' dx2 v ' / (3.4) je v bode x* negativne semidefinitní. Důkaz. Důkaz můZe být opet proveden pomocí Taylorova rozvoje. ■ 3.3 Věta o postaCůjících podmínkach Věta 3.3 Je-li funkce F (x) spojite diferencovatelní do 2. rídu a podmínky 1. radu jsou splnený pro vektor gradientů, 3.2 a navíc platí zesílené podmínky 2. rídu tj. 3.4 je negativně definitní, pak x* je (ostré) lokální, maximum pro F(x*). Důkaz. V důkazů opet vyůzijeme Taylorovů vetů. I 3. ULOHA BEZ OMEZENI 19 Tyto tři podmínky uvedené pro úlohu bez omezení jsou analogické pro úlohu s omezením, která je diskutována v Části 4 a 5. 3.4 Příklad : Kvadratické účelové funkce Jako príklad ulohy bez omezení si uvedeme maximalizaci kvadratické účelové funkce 1 n i n n max F (x) = cx + - x'Qx = ^ Cj x j + - ^ ^ XiXj, (3.5) x 2 2 j=1 i=1 j=1 kde c je n-rozmerní vektor a Q je symetrickí matice radu (n x n). První císt ucelove funkce je linearní cx, druha cast je kvadratickí x'Qx (vydelena dvema pro pozdejsí snadnejsí upravy). Z nutne podmínky 2. radu pro existenci lokíalníího maxima 3.2 dostaneme dF — (x*) = c + x*'Q = 0, (3.6) Z nutních podmínek 2. radu 3.4 dostívame, ze Q je negativne semidefinitní. Z vety o postacujících podmínkach víme, ze je-li Q negativne definitní, pak x* je ostre lokílní maximum. Tedy Q je negativne definitní, pak F (x) je ostre konkívní a x* je globílní maximum. Mimo to, je-li Q regulírní, pak pro x* dostíavíame x* = -Q-V. (3.7) Maximum ucelove funkce potom je F(x*)= -cQ-1c' + 2(cQ-1)Q(Q-1 c') = -1 cQ-1c' > 0, (3.8) protoze Q je negativne definitní. 20 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII 4 Klásicke programovaní: Lágrángeovy multiplikátory Úloha klasického programované je ta, že vybereme hodnoty z n promenných tak, že maximalizujeme funkci techto promennych na množine stejných omezení. max F (x) pro g(x) = b. (4.1) Tento vektor nastroju x a hlavný (cflova, ýcelový) funkce F (x) jsou stejne, jako v 2.1, kde F (x) je realný funkce definovýna na En. Vektor reýlnych funkcý g (x) je zobrazený z En do Em, znazorňujKý m-omezene fce a sloupcový vektor b je m x 1 rozmerny vektor omezujKých konstant, g(x) ( £l(Xl,£2, ... ,Xn) \ g2(xl, x2, . . . , Xn) b í bl \ (4.2) \ gm(Xl,X2, ...,Xn) J V termýnech primýarnýho (zýakladnýho) problýemu 2.1 klasickyý problýem matematickýeho programovýaný koresponduje s prýpadem, ve kterem množina príleZitostí muže být zapsana jako X = {x G En|g(x) = b} = , x2, . . . , xn);| 9i(x1, x2, . . . , xn) = bi, Í = 1, 2,..., m}. (4.3) 4.1 Vetá o Lágrangeových multiplikátorech Popis ňreňsený klasickýeho problýemu programovýaný, kteryý je analogickýy s Vňetou o podmýnkaých 1. ňraýdu pro neomezene ulohy, je zýskýn pomocý Vety o Lagrangeových multiplikýtorech. Pro tuto vetu zavedeme rýdkový vektor m-dodatecnych nových promenných nazývaných Lagrangeovy multiplikatory, y = (yl,y2, ... ^m). (4.4) 4. KLASICKÉ PROGRAMOVÁNI: LAGRANGEOVY MULTIPLIKÁTORY 21 a to jeden přo kazde dane omezení, Lagrangeova fúnkce je pak definovana jako nasledůjící řeílna fůnkce n-původních a m-přidaních přomennych, L(x, y) = F(x)+ y(b - g(x)) (45) = F(X1,X2, . . . ,Xn) + YaIi Vi(bi - gi(Xi,X2,. . . ,Xn)), kde poslední vyřaz je skalířním soůcinem řídkoveho vektořů Lagřangeovych můltiplikítořů a sloůpcoveho vektořů slozeneho z řozdílů omezůjících konstant a omezůjících fůnkcí. Potom, v soůladů s vetoů o Lagřan-geovích můltiplikítořech, předpoklídíme, ze n > m (kde n — m je stůpen volnosti), F (x) a g(x) je m + 1 fůnkcí se spojitími přvními pařciílními deřivacemi a omezůjící podmínky jsoů lineířne nezavisle v řesení, tj. jestlize x* je lokalní maximům ůlohy, /1(x*) ... Sn(x*) \ 3x\\ ' '' dxn 9gm (x* ) dgm , = m, (4.6) (x) ... dXn(x)/ (tj. Jacobiho matice slozena z 1. pařcialních deřivací omezůjících fůnkcí řozmeřů m x n ma plnoů řídkovoů hodnost), nůtne podmínky 1. řadů tvoří pak m + n nůlovacích podmínek přvních pařciílních deřivací Lagřan-geovy fůnkce L(x, y), (x*, y*) = dF(x*) — y*dg(x*) = 0 ( n podmínek), (4.7) dx dx dx dL — (x*, y* ) = b — g(x*) = 0 (m podmínek), (4.8) kde posledních m podmínek vyzadůje, aby omezení bylo nalezeno příve v x*. Veta 4.1 Veta o Lagřangeovych multiplikátorech Je-li x* bod lokálního maxima (extremú), pak existuje m-rozměrný vektor Lagrangeovych multiplikátorů y* takovy, že dle 4-7 je gradient F (x) v x* je linearní 22 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII kombinací gradientů, funkcí g»(x) v tomto bode, pňčemZ Lagrangeovy multiplikátory budou koeficienty teto lineární kombinace, a to dX(x*)=y*dx(x) tj. I(x*) = £>#x*),j = 1-2,...,n. (4.9) Důkaz. Tato veta je obvykle dokazovana užitím vety o implicitní funkci. I ■ Techto n podmínek je analogickích s podmínkami 1. radu 3.2 nulovíní vektoru gradientu. Ve skutecnosti proto veta redukuje na Vetu o podmínkach 1. radu v prípade, že m = 0, což je prave neomezení prípad. Druha cast vety o Lagrangeovích multiplikatorech nam dava interpretaci techto m dodatecnych promenních. Nezahrnuje jednu ulohu klasickeho programovíní, ale celou množinu takovích íloh, ktere jsou charakteri-zovany omezujícími konstantami b. Jestliže se nektera z techto konstant zmení, zmení se i hodnota maximalizující ucelove funkce. Maximalní hodnotu dostaneme jako F * = F (x*) = L(x*, y*), (4.10) kde druha rovnost vychazí z faktu, že omezení vyhovují resení 4.8. Lagrangeovy multiplikatory v jejich optimílních hodnotích y* merí stupen prírustku maximalizovane hodnoty F *, podle toho, jak se príslusne omezující konstanty mení, y* = dF */dbi.e. y* = dF */dbi, i = 1, 2,...,m. (4.11) Tedy každí Lagrangeuv multiplikator merí citlivost maximalizovane hodnoty ucelove funkce na zmeny príslusních omezujících konstant, pricemž cela dalsí cast ulohy zustava stejna. V ekonomickych ílohach, ve kterích F mí rozmer hodnoty (cena x množství) zisku ci duchodu a b ma rozmer množství jako vstup ci vístup, Lagrangeovy multiplikatory b* interpretujeme jako cena, nazyvame ji stínová cena, z toho duvodu, abychom ji odlisili od tržní ceny. Merí pritom prírustek hodnoty v prípade zmeny omezení. 4. KLASICKÉ PROGRAMOVANÍ: LAGRANGEOVY MULTIPLIKÁTORY 2B Geometrickou interpretaci a charakter resení muzeme pro klasicke programovaní získat pres Lagrangeovy multiplikatory. Rovnost omezení definuje mnozinu prílezitostí X v 4.3, ktere za predpokladu 4.6 mí rozmer n — m. Nezívislost predpokladu v 4.6 implikuje, ze v resení x*, kazda smernice dx vyhovující -x(x*) dx = G tj. (x*) dxj = 0, i = 1, 2,... ,m, j=1 j (4.12) lezí v tecnem nadrovine k X v bode x*. Gradienty vektorů omezůjících fůnkcí Tgj(x*) jsoů ortogonalní k teto tecnemů nadrovine v bode x*. Podmínky 1. radů 4.9 znamenají geometricky, ze gradient vektorů ůcelove fůnkce (<9F/<9x)(x*), pro kteroů fůnkcní hodnoty bodů F (x) ve smerů gradientů zvetsí smerem k x*, je vízena kombinací gradientů vektorů omezůjících fůnkcí, vahy jsoů Lagrangeovy můltiplikatory y*. Tedy (<9F/ôx)(x*) je take ortogonílní k tecne nadrovine k X v bode x* a to ve smerů dx v tecne nadrovine, -F -g — (x*) d x = y*-g (x*) d x = 0. -x -x (4.1B) 4.2 Véta o ohranicené Hessové matici Analogií v prípade klasickeho programovaní k vete o podmínkach 2.radu pro neomezene problemy je veta o ohranicene Hessove matici. Podle teto vety Hessova matice druhích parcialních derivací Lagrangeovy funkce -2L -x2 V 8x1 d2 L 82L 8xi8xn d2 L 8x2 \ 1 (4.14) 8x2 8x1 musí bát negativne semidefinitní na mnozine vektorů dx urcene splnením m podmínek dg = -g (x*) d x = 0, -x (4.15) 24 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII kde (x*,y*) je bod lokalního maxima. 4.3 Veta o postačujících podmínkách pro klasicke programovaní Poslední analogií je vňeta o postaňcůjících podmínkíach. Podle vňety o postaňcůjících podmínkíach pro klasickíe programovíní, jestlize je splneno n + m podmínek hradů 4.7 a 4.8 pro bod x*, potom zesílene podmínky ohranicene Hessovy matice, ktere zarůcí, ze Hessova matice v 4.14 je negativne definitní na mnozine ůrcene 4.15, níam zajistí, ňze x* je bod lokíalního maxima pro fůnkci F(x) s m omezůjícími podmínkami. Ekvivalentne, podmínky vyzadůjí aby ohranicena Hessova matice, definovaní jako Hessova matice fůnkce L(x, y) na vsech promennych ( 0 S ^ 1 dg d2L j \ dx dx2 / / 0... 0 0... 0 dgi dgm dxi ' dxi dgi dxi dxi dgi \ dxidxn (4.16) . ddgi dgm d2L d2L . \ dx„ ' ' ' dx„ dx„dxi dx2l ' ' ' / kde ôg/ôx je Jacobiho matice z 4.6, splní n — m podmínek tak, ze v posledních n — m hlavních minorech se strídají znamenka, pricemz znamenko prvního bůde (—1)m+1. Poznamenejme, ze obe tyto vety, tato i predcházející, se redůkůjí na odpovídající vety pro neomezená prípad, kdy m = 0. 4.4 Príklad: Kvadraticko-linearní úloha Príklad klasickeho programovíní, kterí vychízí z oddílů 3.4, je kvadraticko-lineýrní íloha: max F (x) = cx +— x'Qx pro A x = b. x2 (4.17) 4. KLASICKÉ PROGRAMOVANL LAGRANGEOVY MULTIPLIKÁTORY 25 Zde je ucelova funkce stejna jako v 3.5, a omezení je m linearních rovnic, n A x = b i.e. ^^aý- Xj = 6j, i = 1, 2,...,m, (4.18) urceních maticí A typu m x n a sloupcovím vektorem b typu m x 1. Lagrangeova funkce je pak -(x, y) = cx +2 x'Qx + y (b - Ax), (4.19) kde y je vektor Lagrangeovích multiplikatoru. Pouzitím n + m podmínek l.radu 4.7, 4.8, — = c + x*'Q - y*A = 0, (4.20) d- = b - Ax* = 0. (4.21) d y Techto n + m podmínek vyzaduje, aby platilo x* = -Q-1(c' - A'y*'). (4.22) Lagrangeuv multiplikator muze bít získín vynasobením maticí A a uzitím omezení Ax* = -AQ-y + (AQ-1A')y*' = b. (4.23) Najdeme tedy resení pro vektor Lagrangeovích multiplikítoru y* = (b' + cQ-1A')(AQ-1A')-1, (4.24) a dosazením tohoto resení do 4.22 obdrzíme 26 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII x* = -Q-1 [c7 - A'(AQ-1A')-1(b' + AQ-V)]. (4.25) Oznacíme-li x* resení ulohy bez omezení v 3.1 dane 3.7, resení omezeneho problemu muže bít psat jako x* = x* + Q-1A7(A Q-1A,)-1(b/ - Ax*). (4.26) Tedy, jestliže x* odpovída omezujícím podmínkam, potom to je take resení ílohy s omezením. Mimo to rozdíl mezi resením ílohy s omezením a bez omezení, x* — x* je lineírní funkcí množství, pro ktera resení ulohy bez omezení nevyhovuje omezující podmínce b — Ax*. 5 Nelineární programování - Kůhn-Tůckerovy podmínky Úloha nelinearního programovaní spocíví ve volbe nezaporních hodnot n promenních tak, aby maximalizovaly funkci techto n promennych, ktere splňují m nerovností, max F (x) pro g(x) < b, x > 0. (5.1) x Zde vektor nastrojuj, x a ácelová funkce F (x) jsou stejne jako v 2.1, kde F (x) je realna spojite diferencovatelní funkce definovana na En. Hodnoty vektorove omezující funkce g (x) a vektor omezení b jsou stejne jako v 3.1, kde g (x) je spojite diferencovatelne zobrazení z En do Em. Z hlediska zakladního problemu 2.1, uloha nelineírního programovíní koresponduje s prípadem, ve ktere množina príležitostí muže byt zapsaní jako: X = {x G En | g(x) < b, x > 0} = {(xi,X2,...,xn)'lgi(xi,X2,...,xn) < bi, i = 1, 2,..., m, (5.2) x3 > 0, j = 11, 2,...,n}. Tato uloha je zevseobecnení ulohy klasickeho programovaní 4.1, protože rovnosti jsou specialním prípadem nerovností. 5. NELINEARNI PROGRAMOV AM - KUHN-TUCKEROVY PODMINKY 27 5.1 Vetá o Kuhn-Tuckerových podmínkých Charakteristika resem ulohy nelinearního programovým', ktera je analogický jak s Vetou o podmmkach 1.radu pro uýlohy bez omezenýí a s Vňetou o Lagrangeovyých multiplikaýtorech pro klasickýe programovaýnýí, je zajiňstňena Vňetou o Kuhn-Tuckerovyých podmýínaých. Stejnňe jako v pňrýípadňe klasickýeho programovýanýí zavedeme ňrýadkovyý vektor m dodateňcnýych novyých promňennyých, nazyývanýych Lagrangeovy multiplikaýtory, y = (y1,y2,...,ym), (5.3) a to pro každe omezení. Lagrangeova funkce muže být definovana jako nýsledující realna funkce o n puvodních a m pňridanyých promňennýych: 1(x, y) = F(x)+ y(b - g(x)) m (54) = F(Xl,X2, . . . ,Xn) + YľiLl Vi(bi - gi(Xl,X2, . . .Xn)), stejne jako v 4.5. Kuhn-Tuckerovy podmínky jsou potom definovýny v bodech x*,y*, jako 2n + 2m nerovnostý a 2 rovnosti: f (x*, y*) < 0, § (x*, y*) > 0 (n + m podmmek), g (x*, y*)x* = 0, y* f (x*, y* ) = 0 (2podmínky), (5.5) x* > 0 y* > 0 (n + m podmýínek). Z toho n + m nerovností reprezentuje omezení puvodního problemu: dy(x*, y*) = b — g(x*) > 0 (m podmýnek), (5.6) x* > 0 (n podmýnek), (5.7) zatýmco pňridanyých n + m nerovnostý vyňzaduje 28 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII ^(x*, y*) = ^(x*) - y*^(x*) < 0 (n podmínek), (5.8) dy dx dx y* > 0 (m podmínek), (5.9) Přitom n podmínek v 5.8 je napsáno radeji jako nerovnosti nez rovnosti ve 4.7, kvůli nezáporným omezením na x v 5.7, nebo, více vSeobecne, protože hraniční reSení jsoů prípůstne. DalSích m podmínek v 5.9 vyžaduje nezípornost Lagrangeova můltiplikatorů, je to z toho důvodů, že omezení v 5.6 jsoů psana radeji jako nerovnosti nez rovnosti: jestlize omezení je rovnost, potom príslůsny element y* je neomezeny stejne jako v klasickem prípadů programovíní. Dve podmínky rovnosti Kůhna-Tůckera: (x*, y*)x* = £ (^ (x*) - y* J| (x*0x** = °' (5.10) y*T(x*, y*) = £ y*(bi - gť(x*)) = °, (5.11) y i=l dohromady s ostatními podmínkami, je vyzadovano, aby vsechny vírazy v oboů techto sůmach byly nůlove. Tedy jestlize jedna z nerovností vyhovuje resení i v prípade, ze je ostra, potom je odpovídající (důílní) promenna rovna nůle. d F d g — (x*) - y* (x*) < 0 implikůje x* = 0, j = 1, 2,..., n, (5.12) gi(x*) < bi implikůje y* = 0, i = 1, 2,..., m, (5.13) Tyto podmínky jsoů zname jako slabé doplňující podmínky nelineárního programování. Podmínka 5.11 take implikůje, ze pro resení je hodnota Lagrangianů zíroveň maximalní hodnota ůcelove fůnkce. 5. NELINEARNI PROGRAMOV AM - KUHN-TUCKEROVY PODMINKY 29 -(x*, y*) = F (x*) = F *. (5.14) Podle podmínek Vety Kuhna-Tuckera platí, ze jestlize je splneno vhodne silne omezení, pak Kuhn-Tuckerovy podmínky jsou nutne podmínky pro ulohy nelinearního programovíní, takze kdyz x* je resením 5.1, pak zde existuje vektor Lagrangeovych multiplikítoru y* splňující 5.5. Stejne jako v prípade klasickeho programovaní, resení metodou Lagrangeovích multiplikatoru interpretujeme jako citlivosti maximalizovaníe hodnoty uíňcelovíe funkce na zmňeny omezujících konstant, y* = i.e. yi = , i = 1, 2,...,m, (5.15) kde F * je definovana jako F * = F (x*) = -(x*, y*). (5.16) Pňresnňeji, z doplnňujících podmínek 5.13 vyplyíva, ňze kdyňz v ňreňsení je ostría nerovnost, pak pňrísluňsnyí Lagrangeuv multiplikator je roven nule a tedy rust omezující konstanty o vhodne malou hodnotu nezmení maximalizovanou hodnotu uíňcelovíe funkce. 5.2 Veta Kuhn-Tuckera o sedlovém bodě Vňeta, ktería je analogickía Vňetňe o postaňcujících podmínkíach pro uílohy bez omezení a Vňetňe o postaňcujících podmínkíach uílohy klasickíeho programovíaní, je reprezentovíana Kuhn-Tuckerovou vňetou o sedlovíem bodu. Vezmeme-li Lagrangeovu funkci definovanou v 5.4, pak sedlovy bod je definovan jako: maxmin —(x,y) pro x > 0, y > 0. (5.17) x y Tudíz x*, y* resí ulohu o sedlovem bode príve tehdy, kdyz pro vsechna x > 0, y > 0 platí, 30 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII L(x,y*) < L(x*,y*) < L(x*,y) (5.18) Podle Kuhna-Tuckerovy vety o sedlovem bodu, postacující podmínka pro x*, resící ílohu nelinearního programovíní 5.1 je, kdyz existuje y* takove, ze x*, y* splňuje podmínku 5.17. Tedy jestlize x*, y* splňuje podmínky sedloveho bodu v 5.18, potom x* reňí ílohu nelinearního programovaní. Zatímco tato cast vety nevyňzaduje ňzíadnou konvexnost nebo omezující pňredpoklady, obraícení vňety takovíe pňredpoklady vyňzaduje. Podle druhíe ňcaísti vňety platí, ňze kdyňz x* ňreňsí uílohu nelineíarního programovaíní a pňredpoklíadía se, ňze podmínka vhodne kvalifikace omezení je splnena a ze se jední o úlohu konkavního programovaní, ve ktere F (x) je konkívní funkce a kazdí omezující funkce gi(x) je konvexní funkce, potom zde existuje nenuloví vektor y* takovíy, ňze x*, y* je ňreňsením problíemu nalezení sedlovíeho bodu. Tudíz za techto predpokladu jsou obe ulohy shodne. Meli bychom davat pozor na to, ze zadna císt vety o sedlovem bode nevyzaduje predpoklad diferencovatelnosti F (x) nebo g(x). Bude-li diferencovatelní, pak se jedna o ulohu konkavního programovíní, Kuhn-Tuckerovy podmínky jsou dostaňcujícími podmínkami tak, ňze kdyňz x*, y* vyhovují 5.5, pak x* je ňreňsení 5.1. Tudíňz, pro uílohu konkíavního programovíaní, ve kteríem vhodnía omezující podmínka je splnňena, Kuhn-Tuckerovy podmínky jsou nutníe a postaňcující pro x* ňreňsící uílohu nelineíarního programovíaní. Napňríklad je-li uíloha uílohou konkíavního programovíaní, potom za pňredpokladu, ňze x*, y* splnňuje Kuhn-Tuckerovy podmínky, x*, y* take resí ulohu o sedlovem bode a x* reňí ílohu nelinearního programovíní. Kdyz je navííc splnena vhodnaí omezujíícíí podmíínka, potom vsechny tri uílohy jsou shodníe. Jako v prípade klasickeho programovaní, geometricka interpretace muze byt dína pro ulohu nelinearního programovaíní a jeho ňreňsení pomocí dvou vňet Kuhna-Tuckera. Z podmínek Kuhna-Tuckera 5.8 a 5.9, ve vnitňrním ňreňsení, kde vňsechna x* > 0 (nebo kdyňz nezíapornost x není castí ulohy), podmínky 5.8 a 5.9, kdyz vsechna x* > 0 (nebo kdyz nezípornost x není cast problemu). —(x*)= y*, y* > 0. (5.19) -x -x Tudíz gradient ucelove funkce musí byt v resení nezaporní vazena kombinace gradientu omezující funkce. 5. NELINEARNI PROGRAMOV AM - KUHN-TUCKEROVY PODMINKY 31 Vektor gradientů ýCelove fůnkce můsí proto lezet v kůzelů generovanem normílami k mnozine prílezitostí v bode x*. 5.3 Príklad: "Úloha kvadratickeho programovaní Príkladem ílohy nelinearního programovaní je ůloha kvadratickeho programovíní (jako v 4.17, kde omezení jsoů ve forme mnoziny nerovností) (5.20) max F (x) = cx +— x'Qx pro Ax < b, x > 0. (5.20) x2 Zde c je daní 1 x n radkoví vektor, Q je daní n x n negativne semidefinitní symetrický matice, A je dana m x n matice a b je daní m x 1 sloůpcovy vektor. Lagrangian (Lagrangeho polynom) je daní v 4.19 a Kůhn - Tůckerovy podmínky jsoů dL = c + x*'Q — y*A < 0, § = b — Qx* > 0, dL x* = (c + x*'Q — y*A)x* = 0, y*dL = y*(b — Qx* ) = 0, (5.21) x* > 0, y* > 0. Tyto podmínky charakterizůjí resení ůlohy. Protoze Q je negativne semidefinitní, ůcelova fůnkce F (x) je konkavní a linearní transformace Ax je konvexní. Mimoto jsoů splneny omezůjící kvalifikovane podmínky. Uloha je jedna z ůloh konkavního programovíní, ve ktere Kůhn - Tůckerovy podmínky 5.21 jsoů obe nůtne a dostacůjící. Vektor x* tak resí ůlohů kvadratickeho programovíní 5.20 prave tehdy, kdyz y* je takove, ze x*, y* vyhovůjí Kůhn - Tůckerovým podmínkam 5.21. 32 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII 6 Lineární programování Uloha linearnáho programovaná je to, že vybereme nežaporne hodnoty n promennách tak, že maximaližujeme linearná tvar techto promennych, ža podmánek omežená m lineárnámi nerovnicemi. max cx pro Ax < b, x > 0. (6.1) x x je vektor nástroju stejne jako v 2.1, 3.1 a 4.1; A je daná m x n matice (aij); b je daná sloupcovy vektor s m prvky jako v 4.1 a 5.1; a c je daná radková n-rožmerná vektor. Z pohledu ulohy nelinearnáho programovaná 5.1 linearná uloha odpováda prápadu, ve kterém je ucelová funkce v lineárnám tvaru. n f (x) =cx = j2 cj xj, (6.2) a každá ž omežujácách funkcá je rovnež v linearnám tvaru n g (x) = Ax tj. gi(xi,X2,... ,Xn) = ^2 aij x j, i = 1, 2,..., m. (6.3) j=i Uloha je tedy specialnám prápadem ulohy nelinearnáho programováni' a je dvojnásobne lineárni' proto, že je linearná jak v ácelove funkci, tak i v omežujácách podmánkách. Ponevadž linearná tvar je jak konkavná, tak i konvexná, áloha, uvažovaná jako specialná pn'pad ulohy nelinearnáho programovaná, je ekvivalentná s uálohou sedlováeho bodu maxminL(x,y) = cx + y(b — Ax) pro x > 0, y > 0. (6.4) x y S každou ulohou linearnáho programovaná souvisá dualná áloha. Jestliže primárná áloha je daná jako v 6.1, pak dualná uloha je 6. LINEARNI PROGRAMOVANI 33 minyb pro yA > c, y > 0. (6.5) y Tato uloha je rovnež hledýním extremu linearní formy s omezujíýými podmínkami množiny linearních nerovností omezene výberem nezaporných hodnot promennych. Promenne dualní ulohy, y, jsou Lagrangeovými multiplikýatory primaýrný uýlohy. Duýalný uýloha duýalný uýlohy je primýarný uýloha, duaýlný uýlohou minimalizaňcný ulohy je maximalizační ýloha, v dualní ýloze omezující konstanty se stavají koeficienty učelove funkce, zatímco koeficienty učelove funkce se stavají omezujícími konstantami. Uloha sedloveho bodu pro dualní ýlohu je minmaxL(y,x) = yb + (c — yA)x pro y > 0, x > 0. (6.6) y x a tedy Lagrangeova funkce je stejná jak pro primární, tak pro dualní úlohu L(x, y) = L(y, x) = cx + yb — yAx. (6.7) Kuhn - Tuckerovy podmínky, ktere jsou stejne jak pro primární, tak pro dualní úlohu, jsou £ = c — y*A < 0, dk = b — Ax* > 0, f| x* = (c — y*A)x* = 0, y* fk = y* (b — Ax*) = 0, (6.8) x* > 0, y* > 0 Tri hlavní vety linearního programovaní - veta o existenci, veta o dualite a siaha doplňující veta - mohou býyt dokaýzýany na zýakladňe tňechto Kuhn-Tuckerovýych podmýnek. 6.1 Veta o existenci Podle vety o existenci platí, ze kdyz prípustne body existují jak pro primírní, tak pro duílní ulohu, pak optimalní resení existují pro obe ulohy. Tedy jestliže existují x0, yo takove, že 34 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII Ax0 < b, x0 > 0, y0A > c, y0 > 0, (6.9) pak existují x*, y* resící jak primarní, tak i dualní ílohu. 6.2 Veta o dualite Z vety o dualite vyplíva ze, pro kazde pn'pustne vektory x0, y0 jak pro primarní, tak duílní ulohu platí cx0 < y0b. (6.10) Mimoto prípustne vektory, ktere vyhovují temto nerovnostem a rovnostem, poskytují resení x*, y* dualní uílohy, kde cx* = y*b. (6.11) 6.3 Slabá doplňující veta Podle teto vety x*, y*, ktere jsou prípustními vektory dualní ílohy, jsou resením teto ulohu tehdy a jen tehdy, kdyz vyhovují dvema podmínkam rovnosti Kuhn - Tuckerovích podmínek 6.8, dane jako (c - y*A)x* = 0, y*(b - Ax*) = 0. (6.12) Z techto podmínek optimalizovane hodnoty duílní ucelove funkce jsou si rovny navzajem a rovnez hod-notam obou Lagrangeovích funkcí v tomto resení cx* = y*Ax* = y*b = L(x*, y*) = L(y*, x*). (6.13) 7. MIKROEKONOMIE: MATEMATICKÉ PROGRAMOVANIA TEORIE SROVNÁVACÍ STABILITY35 Spolu s ostatními Kuhn - Tuckerovými podmínkami podmínky v 6.12 znamenají, ze kdyz jedna z omezujících nerovností je vyhovující v resení jako ostra nerovnost, pak odpovídající dualní promenne jsou nulove, tj. {cj — E y*aij) < 0 implikuje x* = 0, j = ^ 2,... , {bi — E aijx*) > 0 implikuje y* = 0, i =1, 2,..., m. Tyto podmínky jsou zníme jako slabe dopmující podmínky lineírního programovím. Stejne jako v posledních dvou sekcích, muzeme ulohu linearního programovíní a její resení interpretovat i geometricky. Mnozina prílezitostí je polyedr - uzavrena konvexní mnozina, ponevadz to je prasečík m + n poloprostoru definovaný m nerovnostmi a n nezaporními omezeními. Vrstevnice ucelove funkce jsou nadroviny a probRém je resen nejvyssí nadrovinou uvnitr polyedru. Toto resení nemuze bít ve vnitrním bode. Resení se musí naclmzet ve vrcholu {v tomto prípade je jednoznacne) nebo podel hranicní plochy {v tom prípade je nejednoznacne). 7 Mikroekonomie: matematické programování a teorie srovnávací stability Mikroekonomicke ílohy jsou typicky formulovane pro ekonomicke subjekty {jako jsou napr. domícnosti, firmy), které se pokousejí maximalizovat ucelovou funkci pri jistích omezeních. Proto jsou formulovane jako ulohy matematickeho programovaní. Teorie matematickeho programovíní je pak pouzívana pro analízu techto problemu - tj., specificky charakterizovat rovnovazne resení a urcit jak se resení mení pri zmene parametru ulohy. Posledne zmínene vymezení - tj., jak zmeny v parametrech ovlivňují resení - je nazívano srovnívací stabilita, protoze porovnaví dve rovnovazne situace - pocatecní rovnovahu a rovnovahu po jedne nebo více zmňenaích v parametrech. Charakteristika resení je obycejne zalozena na podmínkach 1. radu ílohy matematickeho programovaní a analyíza srovnaívacíí statistikyje zaloňzena na rozdíílu podmíínek 1. ňríadu. Vyísledek kvalitativníího nebo kvan- {6.14) 36 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII titativního ůrčení o tom, jak parametry ovlivňují rešení, dýva jiste omezení v rešení. 7.1 Věta srovnávací stability Predpokiadana úloha jisteho ekonomickeho šůbjektů můze bít charakterizovína jako víber jistích promenních x stejne jako v ůloze klasickeho programovaní 4.1 s jednodůchým omezením. Ucelova fůnkce a omezení mo-hoů zíviset na q-rozmernem sloůpcovem vektorů parametrů a, a tedy ůloha můze bít vyjídrena jako max F (x, a) pro q(x, a) = b. (7.1) x Resení teto ůlohy je charakterizovano podmínkami 1. radů 4.7 a 4.8, které zde jsoů ve tvarů b - q(x, a) = 0, (7.2) dF, dq, . . dx (x, a) - vA(x, a)=0, (7.3) kde y je jednodůchý Lagrangeův můltiplikítor odpovídající jednodůchemů omezení. iResení x*, y* zívisejí celkove na q + 1 parametrech ílohy (a, b) x* = x*(a,b), (7.4) y* = y*(a,b). (7.5) Vloňzením tohoto ňreňsení do podmínek 1. ňríadů dostaívíame n + 1 identit b - q(x(a,b), a) = 0, (7.6) 7. MIKROEKONOMIE: MATEMATICKÉ PROGRAMOVANIA TEORIE SROVNAVACISTABILITY37 dx Wa^), a) - y(a,b)|x(x(a,b) a) = 0. (7.7) Predpokladane fůnkce F (x) a g(x) jsoů spojite diferencovatelne, identity 7.6 a 7.7 můzeme diferencovat do tvarů kde d b - ^d x - ^ d a = 0, x a <92Fn ô 2F 1 -d x + -——d a — x2 x a x x2 x a q q q ( q ) d x = (d x1, d x2,..., d xn)', (7.8) (7.9) (7.10) (7.11) d a = (d a1, d a2,..., d ara)' Resení pro dx a dy dava, v maticovem zípisů, ( d X ) ( 0 dg dx d2 L dx2 j^d a - da d2L dxda d b da ) (7.12) (7.13) kde predpokladame, ze ohranicena Hessova matice je regůlarní. S ůzitím tohoto vísledků a s predpoklady, ze F (x) a g(x) jsoů spojite diferencovatelne, je zde prípůstní bod a ohraniňcenía Hessova matice je regůlíarní, srovníavací statickía vňeta ůdaívía, ňze existůje tíemňeňr vňzdy zo-becnňenaí Slůtskíeho rovnice ve formňe 38 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII Zde "comp" znací, že je kompenzovana parcialní derivace podle a b tak, že F je konstantní. Tuto zobecnenou rovnici lze prepsat do tvaru ôx + ôx ôg = / ôx\ + 1 ôx ô F = s(a b) (7 15) ôa ôb ôa \ ô a) Comp y ôb ô a ' ' ' Zde jsou vírazy vlevo "pozorovatelne", derivace vybraních promenych podle q +1 parametru, derivace podle b, važení derivací g dle a. Vírazy vpravo jsou "nepozorovatelne", první je matice kompenzovane parcialní derivace a druha je nepozorovatelní, když je ícelova funkce jedinecna pouze na monotoní transformaci. Matice n x q vpravo, S (a, b), je zobecnená matice substitučního efektu. Druha císt vety dava, že pokud q = n, tedy S (a, b) je ctvercova, potom je symetricka tehdy a jen tehdy, když obe funkce, ucelova funkce F (x, a) a omezující funkce g(x, a) mohou bít zapsíny jako F (x, a) = AF a7x + pF (x) + lF (x), (7.16) g(x, a) = Aga7x + pä(x) + 7fl(x), (7.17) kde AF a Aä jsou konstanty. Konecne, kvadraticka forma S (a, b) je negativne semidefinitní, pokud platí Af - yAg > 0 (7.18) 8 Neoklasicka teorie domacnosti Domacnost a firma jsou dva velmi duležite mikroekonomicke subjekty. Stejne jako u ekonomickeho subjektu, je u domícnosti predpoklídíno chovaní vedoucí k maximalizaci užitecnosti podrízene rozpoctovemu 8. NEOKLASICKA TEORIE DOMACNOSTI 39 omezení. Predpoklídejme n dostupnych druhu zbozí (a sluzeb), oznacme x sloupcoví vektor mnozství zbozí nakupovaníeho a spotňrebovíavaníeho domaícností x = (x1,x2,... ,xn)'; (8.1) U(x) oznaňcme funkci uňziteňcnosti pro domíacnost, U(x) = U(x1, x2, . . . , xn), (8.2) udavající uzitecnost jako funkci spotrebovaneho mnozství; p buď radkoví vektor (kladnych) daních cen zboňzí, p = (p1,p2,...,pn); (8.3) a 7 buď (kladní) daní dostupní príjem domacnosti. Problem domícnosti pak lze zapsat max U (x) pro px < 7, x > 0 (8.4) x Domacnost vybíra nezaporna mnozství zbozí x tak, aby maximalizovala funkci uzitecnosti pri respek-tovíaní rozpoňctovíeho omezení n px =Y1 pjxJ < 7 (8.5) j=1 coz ríka, ze celkove vydaje na n druhu zbozí nemohou prekrocit príjem domacnosti. Jde o ulohu nelineírního programovíní, ktera vede k zavedení Lagrangeova multiplikatoru y a definuje Lagrangian jako —(x,y) = U(x)+ y(7 - px). Kuhn-Tuckerovy podmínky davají pro resení x* a y* (8.6) 40 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII fx t au ~\ n %l j ~^ n x > 0, y > 0. (8.7) Navác y* ma interpretaci marginálná užitecnosti penež (nebo marginalná užitecnosti prájmu), MUm, y* = dU */3I = MUm, (8.8) kde U * je maximaližovaná hodnota užitecnosti U* = U(x*). (8.9) Totiž pri konstantnám y* mame ž predchožáho vžtahu 8.7 fXx*(I) = y*I. Derivujeme-li dle I, obdržáme pak dU= f ax1I) = y*. X Jsou-li ceny a prájem kladne a užitecnost je monotone rostoucá ve vsech spotrebnách urovnách dU/dxj = MUj > 0, (8.10) kde MUj je (kladná) marginalná užitecnost žbožá j, mužeme pak odvodit, že rust prájmu umožná domácnosti nakoupit více žboží a tak žvásit užitek. Takže y*, marginalní užitecnost žvásení príjmu, je kladná a, že slabe doplnujíCí podmánky px* = I (8.11) plyne, že celá príjem je utracen. Z Kuhn-Tuckerovách podmínek plyne, že produkt marginalní užitecnosti príjmu a cena žboží urcují horní hranici pro marginalní užitecnost každeho žboží MUj < y*pj, j = 1, 2,...,n. (8.12) 8. NEOKLASICKA TEORIE DOMACNOSTI 41 Ze slabe doplnůjící podmínky plyne, ze pokůd je zbozí nakůpovano (x* > 0), podmínka 8.12 prechíízí v rovnost. Takze je-li j-te zbozí nakůpovano MUj /pj = y* = MUm, (8.13) takňze pomňer marginaílní ůňziteňcnosti k cenňe je tentyíňz pro vňsechny drůhy zboňzí, kteríe jsoů aktůíalnňe naků-povíany, tento pomňer nazveme marginíalní ůňziteňcností penňez. Pokůd 8.12 díavía ostroů nerovnost, pak dle komplementarní podmínky není dane zbozí nakůpovano (x* = 0). 8.1 Věta o poptavcě V soůladů s vňetoů o poptaívce zde existůje ňreňsení pro poňzadovaníe nakůpovaníe zboňzí x* a marginaílní ůňziteňcnost penez y*, jez mohoů bít povazovany za fůnkci n +1 parametrů, jmenovite n cen a príjmů, p a /, x* = x*(p,1), (8.14) y* = y*(p,i), (8.15) predpokladame x* > 0, U (x) spojite diferencovatelní do drůheho rídů vcetne v nejblizsím okolí x*, px* = / (nenasycení) a Hessova matice H = Ô^U x2 (8.16) je regulární. Funkce 8.14 je poptávková funkce pro n druhů zboží, její existence plyne z teori implicitní funkce. Omezíme-li pozornost ná zboží, které je áktuálne poptáváno, podmínka prvního rádu, užívaje rešení, muže bát zápsáná jáko n + 1 identit (x* (p,/ )) = y* (p,/ )p, (8.17) 42 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII px*(p,I) = I. (8.18) (Omezení pozornosti na zbozí, ktere je aktualne poptívano, nepripoustí situaci, ve ktere pri zmene parametru zbozí, jez není poptavano, muze toto jiz byt poptavano). V souladu s teorii, podmínky charakterizují rovnovazny stav domacnosti. Pokud poptavkoví funkce U (x) je ostre konkavní, jsou obe nutnými a dostacujícími podmínkami pro rovnovahu. Dale podle teorie je n poptavkovích funkcí v 8.14 pozitivne homogenních stupnňe nula v ceníach a pňríjmu, x*(Ap,AI)= x*(p,I), V A, A> 0 (8.19) jestlize zmena p, I na A • p, A • I nezmení ílohu pokud A > 0. (Pouze donucení je ovlivneno, a A • p • x < A • I je ekvivalentní k p • x < I pri A > 0.) Zvolíme-li A = 1/I, poptavkova funkce muze bít psana x = x x* (p*), (8.20) kde p * je vektor cen relativne vztazeních k duchodu, p * = (p1/I,P2/I,...,Pn/I) (8.21) Zde poptívka zavisí pouze na cenach relativne vztazeních k duchodu. Teorie poptavky potom charakterizuje poptíavkovíe funkce, urňcuje jejich homogenitu a indikuje jejich zaívislost na relativních ceníach. 8.2 Slutskeho veta Slutskeho veta sumarizuje porovnavací statiku domícnosti, obdrzenou jako diferenciaci podmínek 8.17 a 8.18 podle cen a duchodu. Dle kapitoly 7 dostívíme zakladní maticovou rovnici teorie domacnosti 8. NEOKLASICKA TEORIE DOMÁCNOSTI 43 V dy* dl dx* dl dy* ídy* dp V dp dx* I dx* \ dp V dp i comp comp f o -p y1 f -i x*' o \ V -p' n J l o y*in y*in j (8.22) kde vísledky porovnívací stability jsoů sůmarizovany dle zmen v resení y*, x* jako parametrů zmen I a p, dy* _ d2 U * dl _ d/2 d/ \ d/ ' d/ ' • • • ' d/ dy* _ ŕ dy* dy* dp y dpi ' dp2 dx* dp dy* ' ^ ^ ^' dpn dpi dpi dp2 dp2 (8.23) dpn > dpn a vsechny promenne a derivace jsoů pocítíny pro hodnoty resení y*, x*. Zde "comp" znací, ze je kom-penzovana parcialní derivace podle cen, kde důchod je kompenzovín tak, ze poptavka je konstantní; H je Hessova matice dle 8.16, ů níz je predpoklídana negativní definitnost a invertibilita, hranicní Hessova matice je regůlarní a In je identickí matice typů n x n. Resení zíkladní rovnosti, pri invertovíní řozloZenách matic, díavía Slůtskíeho rovnost, 44 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII = fe) - {&)x* tj. (8.24) vyjadňrujíícíí, ňze celkovyí efekt zmňeny ceny na poptaívku je souňctem substituňcníího efektu kompenzovaníe zmňeny na poptavku a duchodoveho efektu zmeny duchodu na poptavku, kde duchodoví efekt postihuje vazene - x* . Tato rovnice je prvníí ňcíastíí Slutskíeho vňety. Druhaí ňcíast teorie uvíadíí, ňze matice substituňcníího efektu je symetricka a negativne semidefinitní, /<9x*\ dx* dx* dx* dx* — je symetrickí tj. + —jx*k = ^rJk + x** V j, k, (8.25) \dpJ comp dpk 07 dpj 07 j comp Poslední cast vety je Engelova podmínka agregace ' ôx* p ' z I -ô-) z' < 0 a = 0 pro z = ap. (8.26) comp (ar) = 1 tj. ^Pjw = 1; (8.27) j=1 Cournotova podmínka agregace í ôx* \ n / ôx* \ p( äp J + x*' = 0 tj. £pj( d£) + x* = 0, V1; (8.28) a podmínka homogenity 9. NEOKLASICKA TEORIE FIRMY 45 ôx* dx* 0. (9.4) q, x Firma zvolí odpovídající hodnotu vstupu a výstupu tak, aby maximalizovala zisk n, uvedený ve vztahu 9.4 jako rozdýl mezi pňrýjmy pq a nýaklady, kterýe jsou danýe jako celkovýe vyýdaje za vňsechny vstupy n wx = wt xt. (9.5) 46 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII Produkcní funkce muže byt dosazena prímo do ucelove funkce, takže problem muže byt zapsan max n (x) = pf (x) - wx pro x > 0. (9.6) x Kuhn - Tuckerovy podmínky pak vyjadňrují ňreňsení x* i=p f- w <0, tx = (p i - w)x =0, (9.7) x > 0. Pak pomer vstupní hodnoty k vístupní udíva horní limit marginílní (mezní) produkce každeho vstupu MPj = ôf/ôxj < wj /p, j = 1, 2,..., n. (9.8) Ze slabe doplnkove podmínky vyplíva, že pokud je vstup j nakoupen (tj. xj > 0), podmínka 9.8 se staví rovností, tedy je-li vstup j nakoupen, platí MPj = wj /p, (9.9) a tedy pomňer marginíalní produkce k bohatství (hodnota vstupu) je stejnyí pro vňsechny aktuíalnňe nakoupeníe vstupy, bežní pomer bíví prevracení hodnota vístupní hodnoty (ceny). 9.1 Veta o nabídce Podle vety o nabídce existuje resení pro nakoupene vstupy x*, ktere mohou obsahovat funkce z n + 1 parametru, tedy n vah w a vístupní cena p x* = x*(w, p), (9.10) 9. NEOKLASICKAI TEORIE FIRMY 47 za predpokladu x* > 0, f (x) je dvojnasobne spojite diferencovatelna funkce v okolí x* a Hessova matice H=S=ôx (ôx) (9.11) je regularní. Funkce v 9.10 jsou vstupní poptívkove funkce, jejichž existence je zaručena. Výstupní nabídkova funkce je pak q* = q*(w,p) = f (x*). (9.12) Omezeníme-li pozornost na vstupy, ktere jsou aktualne nakoupeny, podmínky 1. radu, použite pri resení, jsou identity f pôL (x* (w,p)) = w, (9.13) q*(w,p) = f (x*(w,p)). (9.14) (Je to podobne jako u domacnosti. Omezena pozornost vstupu, ktere jsou aktualne nakoupeny, vyloučí prípad, ve kterem díky zmene parametru vstup, který nebyl nakoupen, muže být nakoupen.) Podle vety o nabídce tyto podmínky charakterizují rovnovahu firmy. Jestli produkční funkce f (x) je ostre konkavní, jsou obe podmínky nutne a postačující pro rovnovahu. Navíc podle teorie n vstupní poptavkova funkce 9.10 a vystupní nabídkový funkce 9.12 jsou positivní homogenní stupne 0 pro vsechny hodnoty vstupu a vyýstupný ceny x*(Aw, Ap) = x*(w,p), V A> 0, q (Aw, Ap) = q (w, p), (9.15) 48 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII protože změna w,p na Aw, Xp změní pouze n ve vztahu 9.4 a maximalizací A7r dostáváme stejné řešení jako maximalizací n za předpokladu A > 0. Výberem A = 1/p pak vstupní poptavkove funkce a výstupní nabídkova funkce mohou být zapsaný x* = x* (1W = x*(w*), y J (9.i6) q* = q* ( p W = q*(w*), kde w* je vektor reálných hodnot vstupu (bohatství), tj. relativní hodnoty k výstupní ceně w* = (wi /p,W2/p,...,Wn/p). (9.17) Pak vstupní poptávka zavisí pouze na n reálnych vahach. Veta o nabídce proto charakterizuje jak vstupní poptávkovou tak i vístupní nabídkovou funkci, udava jejich homogenitu a ukazuje jejich zavislost na reainych vahíach. 9.2 Teorie srovnávací stability firmy Teorie srovnívací stability firmy je získana pomocí rozdílu podmínek první nabídky 9.13 a 9.14 s ohledem na vstupní ceny w a vístupní cenu p. Sledujíce prístup z odstavce 7 obdrzíme základní maticovou rovnici teorie firmy í V dq* dp dx* dp (K)' \ dx* dw -1 0 x pH 0 vdx) 0 In (9.18) kde srovnívací stabilita resení je shrnuta pomocí zmeny na resení q*, x* taktez s parametry p a w. 9. NEOKLASICKA TEORIE FIRMY 49 iq* fp fx* fp p p p fq* _ í fq* fq* fq* \ (9.19) fx** w /fx* fx* v fx*n fx*n x* fx*n a vsechny promenne a derivace jsou vypocteny v hodnotach resení q*, x*. Derivací df/dx je žde vektor marginálních produktu, H je Hessova matice 9.11, o které predpokládáme, že je negativne definitní a In je identická matice typu n x n. Resení žakladní rovnice vede na vžtah q*/dw = —dx*/dp tj. dq*/dWj = —dx**/dp, Vj, (9.20) což nam ríka, že efekt jakekoliv hodnoty na vástupu je identická, ale s opacnám žnamenkem než efekt vástupu ceny na stejná vstup. Tato rovnice je první castí vety. Druhá cast vety uvadí, že matice efektu vah vstupních poptavek je symetricka a negativne definitní dx*/dw je symetrická t.j. dx*/dwk = 3x*k/dwj, Vj, k, (9.21) z(dx*/dw)z' < 0 a =0 pro z = aw. Poslední cast vety tvrdí, že vžrust vístupní ceny bude žvysovat nabídku vástupu (9.22) 50 KAPITOLA 1. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII ôq*/ôp > 0. (9.23) Firma muže použít teorii linearního programovíní. V takovem prípade firma produkuje n vístupu xi,... ,xn s využitím m vstupu bi,..., bm. Produkce jedne jednotky vístupu j požaduje aj jednotek na vstupu i. Predpokladejme, že kratkodobe vsechny vstupy jsou fixní, potom víber firmy pouze je rozhodnout, jakí mix vístupu produkce je dín temito vstupy. Uloha je pak uloha klasickeho lineírní programovaní maxcx pro Ax < b, x > 0, (9.24) x jako v 6.1. Ucelova funkce maximalizace je celkoví príjem, daní vztahem cx = cixi + 02x2 +----+ c„x„, (9.25) kde c j je daní cena a xj j e vybraní uroven vystupu j. Pak m omezení je ve forme aiixi + ai2x2 +-----+ aíraxra < b;, i = 1, 2,...,m, (9.26) což ním ríka, že celkove množství vstupu i použite k produkci vístupoveho vektoru x nemuže presíhnout uroven dostupneho vstupu i, což je b^. Uloha je pak vyber nezíporních vystupu tak, aby maximalizoval zisk, v daníe technologií a dostupnyími vstupy. Duaílní uíloha je minyb pro yA > c, y > 0, (9.27) jako v 6.5. Tato uloha muže bít interpretovan jako víber nezapornych hodnot (stínové ceny) pro vstupy yi, y2,... ym tak, aby minimalizoval níklady vstupu yb = yibi + y2b2 +-----+ ymbm, (9.28) 10. ZAVERY 51 kde yi je vybranaí hodnota a bi je danía uírovenň vstupu i. Pak n omezení je ve tvaru y1 «1j + y2«2j +-----+ ymamj > cj, j = 1, 2,..., n, (9.29) kterí nam ríkí, ze jednotkove níklady na zbozí j, získane sectením nakladu produkce jedne jednotky ze vsech vstupu, není mensí nez cena tohoto zbozí. Dualní problem k problemu rozdelení, primírní uloha 9.24 je proto problíem ohodnocení, duíalní uíloha k 9.27. Podle doplnňující podmínky 6.14, jestliňze pro nňejakyí víystup j je nerovnost 9.29 ostrou nerovností, tak níakladovaí jednotka pňrekroňcí cenu ( víystup je produkovían se ztrítou), pak tento vístup není produkovín (x* = 0). Podobne, jestlize pro nejakí vstup i je nerovnost 9.26 ostría nerovnost, tak není celíy vstup vyuňzit (pňreroste níam nabídka), pak tento vstup je zboňzí zdarma (yi = 0). A navíc z 6.13 cx = y b, (9.30) pak pri resení dualní ulohy celkove príjmy z vístupu se rovnají celkovym nakladum vstupu, tj. firma vyrabí s nulovyím ziskem. 10 Zavery Z tohoto shrnutí matematickíeho programovíaní s aplikací na ekonomii níam vyjdou dva zíavňery. 1. Ruzne problemy matematickeho programovaní, ktere zde jsou zpracovína - íloha bez omezení, klasicke programovaíní, nelineaírní programovíaní a lineíarní programovíaní - vňsechny jsou vzaíjemnňe uzavňreny, s analogickyími teoriemi ve vňsech pňrípadech. 2. Stejne problemy matematickeho programovaní jsou dulezite pri aplikaci v ekonomii, zvlaste v mikroeko-nomicke teorii domacností a firem. Resení matematickeho programovaní vede u obou k charakteristice rovnovahy kazdeho z techto subjektu a analyza jejich srovnavací statistiky odpovída zmene parametru, jako jsou ceny a duchod. 52 KAPITOLA l. MATEMATICKE PROGRAMOVANI S APLIKACEMI V EKONOMII Kapitola 2 Teorie spotrebitele Hlavním ůcelem teorie spotrebitele je ůrcení vlivů požorovatelných komoditních pozadavků pri alternativních predpokladech na cíle a pravidla chovaní ůzivatele a na omezení, ktera prijíma pri tvorbe rozhodnůtí. Tradicní model spotrebitele je zalozen na preferencích pri moznych výberech, ktere popisůjí cíle spotrebitele. Pritom jeho pravidla chovaní jsoů ůrcena maximalizací techto preferencí pri omezení daními rozpoctem, kterí ůrcůjí smenne moznosti. Hlavní výsledek nasí teorie sestava z kvalitativních aspektů požorovaných pozadavků pri zmene jejich parametrů, ktere ůrcůjí rozhodnůtí spotrebitele. Historickí vívoj teorie spotrebitele vyjadruje dloůhoů tradici zajmů ekonomů v tomto predmetů zkoůmíní, kterí prosel podstatními koncepcními zmenami az do jeho soůcasne podoby. 1 Komodity a ceny Komodity lze rozdelit na zbozí a slůzby. Každý komodita je zcela popsana svymi fyzikalními charakteristikami, svím ůmístením a casem, ve kterem je dostůpna. V prípade, ze ůvazůjeme chovíní komodit pri jistem stůpni nejasnosti, lze pak pridat jeste dodatecne ůpresnení. Tradicní teorie obvykle predpokladí, ze existůje 53 54 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE l komodit, pricemz pro zkoumany problem stací konecní pocet fyzikílních charakteristik, umístení atd. Komoditní svazek je posloupnost realnych císel (xh), h = 1,..., l vyjadrujích mnozství kazde komodity, lze jej tedy popsat jako l-dimenzionalní vektor x = (x1,... , xj), tj. jako bod l-dimenzionalního euklidovskeho prostoru Rl, tzv. komoditního prostoru. Za predpokladu dokonale delitelnosti vsech komodit je mozne vzít kazde reílne císlo jako mnozství kazde komodity, tj. kazdí bod komoditního prostoru Rl je mozním komoditním svazkem. Konecna specifikace poctu komodit pritom vylucuje aplikaci situací, ve kterích se charakteristika muze menit spojite. Pritom takoveto situace vznikají prirozením zpusobem v kontextu víberu komodit na zaklade kvality resp. v teorii umístení, kdy je vhodním kriteriem skutecna vzdílenost na povrchu. Cena ph komodity h, h = 1,... , l je realne císlo, ktere nam vyjadruje mnozství placene pri vímene jedne jednotky teto komodity. Lze tedy cenovyí systíem (cenovyí vektor) p = (p1, . . . , pl) reprezentovat jako bod v euklidovskíem prostoru Rl. Hodnota komoditního svazku x pri danem cenovem vektoru p je pak p • x = h=1 phxh. 2 Spotřebitele Nňekteríe svazky komodit jsou spotňrebitelem vylouňceny na zíakladňe fyzikíalních nebo logickyích omezeních. Mnozina vsech mozní spotrebních svazku, ktere jsou mozne, se nazyva spotrební množina. To je pak neprázdna podmnozina komoditního prostoru, kterou budeme oznacovat jako X. Obvykle jsou vstupy spotňreby popsíany pozitivními mnoňzstvími a vyístupy negativními. To pak zejmíena implikuje, ňze vňsechny sloňzky príace spotňrebního svazku x jsou nekladníe. Obvykle budeme pňredpoklíadat, ňze spotňrební mnoňzin X je uzavrení, konvexní a omezena zdola. Pritom omezení zdola je oduvodneno konecními omezeními na mnoňzství príace, kterou je spotňrebitel schopen vykonat. Spotňrebitel si musí vybrat svazek ze svíe spotňrební mnoňziny, aby si zajistil existenci. Je-li dan cenoví vektor p, hodnota p • x pro x G X nam oznacuje ciste naklady, tj. príjmy spojene se svazkem x odectene od príslusních vídaju. Protoze navíc spotrebitel obchoduje na trhu, jsou jeho mozne vyíbňery omezeny poňzadavkem, ňze hodnota jeho spotňreby by nemňela pňrevíyňsit jeho poňcíateňcní bohatství (pňríjem). To lze zadat ve tvaru pevneho nezaporneho císla w. Navíc muze mít spotrebitel k dispozici pevny vektor oj G Rl pocítecních zdroju. Nutne pak w = p • uj. Mnozina moznych spotrebních svazku, jejichz hodnota 3. PREFERENCE 55 neprevysí počýteční bohatství spotrebitele se nazyva rozpoctova množina a je určena vztahem P (p, w) = {x G X : p • x < w}. (2.1) Konečne rozhodnutí spotrebitele pro výber svazku ze spotrební množiny zývisí na jeho zalibach a praních. Ty jsou pak reprezentovýny jeho relací preference >, což je binarní relace na X . Pro každe dva svazky x a y, x, y G X, x > y znamena, že x je alespon tak dobre jako y. Vzhledem k temto preferncím si spotrebitel vybere nejvíce preferovaný svazek v rozpočtove množine jako svuj požadavek (poptavku). Ten je pak definovýn jako t/?(p, w) = {x G P (p, w) : x' G P (p, w) ==>- (x > x' nebo neplatí x' > x)}. (2.2) Vetsí čast teorie spotrebitele je založena spíse na popisu chovýní spotrebitele pomocí maximalizace funkcí užitečnosti než maximalizací preferencí. Pritom pojem relace preference je zakladnejsí pojem v teorii spotrebitele a je tedy bran jako výchozí bod každe analyzy chovaní spotrebitele. Vztah mezi relací preference a funkcí užitečnosti je hlavní kamen zýkladu teorie spotrebitele. Nasledující analýza je proto založena na dvou častech. V první čísti se budeme venovat axiomatickym zýkladum teorie preferencí a teorie užitku spolu se zýakladnýím poznatky o spotrebitelovyých pozadavcýích. V nýasledujýícýí cýasti se budeme spýíse venovat klasičtejsím výsledkum v kontextu diferencovatelnosti funkcí požadavku. 3 Preference Mezi alternativními svazky komodit ze spotrební množiny mame vztah určený relací preference > na X. Pro dva svazky x a y z X budeme číst výrok x > y jako svazek komodit x je alespoň tak dobrý jako svazek komodit y. Obvykle predpokladame tri zýkladní axiomy vložene na relaci preference, ktere často považujeme za definici racionalního spotrebitele. Axiom 1 (Reflexivita) Pro vňsechna x G X platýí x > x, tj. kaňzdýy svazek je alesponň tak dobrýy jako on sýam. 56 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Axiom 2 (Tranzitivita) Pro kazde tri svazky x, y, z G X takove, ze x > y, y > z platí x > z. Axiom 3 ("Úplnost) Pro kazde dva svazky x, y G X platí bůd' x > y nebo y > x. Relace preference >, ktera splnůje výše ůvedene tri axiomy, se nazíva úplné předuspořádánia my bůdeme mlůvit o preferenčním uspořádáni. Pritom lze z preferencního ůšporýdaní odvodit dva jine vztahy - relaci silne preference y a relaci indiference ~. Definice. Svazek x je ostre preferovín pred svazkem y, tj. xyy prave tehdy, kdyz x>y a neplatí y>x. Svazek x je indiferentní se svazkem y, tj. x~y prave tehdy, kdyz x>y a y>x. Protoze je preferencní ůšporadýní reflexivní a tranzitivní, je nůtne relace ostré preference ireflexivní a tranzitivní. Bůdeme dale predpoklídat, ze existůjí alespoň dva svazky x' a x'' tak, ze x'yx''. Relace indiference definůje na X relaci ekvivalence, tj. je reflexivní, symetrický a tranzitivní. Platnost techto trí axiomů není žpochybnovýna ve vetsine teorií spotrebitele. Tyto axiomy ním predstavůjí predpoklady, ktere vetsinoů odpovídají empirickym pozorovaním. Obcas ale nektere chovíní spotrebitele vy-kazůje nekonzistenci zejmíena s tranzitivioů a ůíplností. Totiňz, nňekteňrí ekonomovíe argůmentůjí tím, ňze je pňríliňs moc poňzadovat po spotňrebiteli porovnat vňsechny moňzníe svazky, kdyňz jeho skůteňcnía rozhodnůtí bůdoů reali-žovýna poůze na jiste podmnozine spotrební mnoziny. Empiricka pozorovaní nebo experimentalní výsledky casto indikůjí netranzitivitů výberů. To můze nastat v důsledků jednodůchych chyb, ktere jednotlivci delají v realnem zivote. Z drůhe strany, tranzitivita můze bít narůsena jako důsledek jistích teoretických prícin. Napríklad, jestlize mnozina spotrebitelů tvorí domacnost, kde se rozhodůje podle pravidla vetsiny, relace preference můze byt netranzitivní. Pritom lze místo tranzitivity poůzít slabsí axiomy, abychom dostali smys-lůplnoů teorii. Moznost definovaní ostre preference y ze slabsího preferencního ůsporadaní a obracene, indikůje v principů mozní alternativní prístůp vyjití z relace ostre preference a odvození > a ~. To lze povazovat za vhodní 3. PREFERENCE 57 príístup v nekteryích situacíích, kteryí je o neco obecnejsíí, protoze axiom uíplnosti nemaí takovou roli jako pro preferencníí usporaídaíníí. Pritom vsak odvozenía relace indiference nemusíí byít tranzitivníí. Z empirickíeho pohledu je vsak pojem preferencního usporídaní prirozenejsí. Pozorovaní víber svazku x pred svazkem y lze interpretovat ve smyslu preferencníího usporíadíaníí a ne ve smyslu ostríe preference. Axiomy 1-3 popisujíí vlastnosti usporíadíaníí relace preference, kteríe majíí intuitivníí vyíznam v teorii víyberu. Pritom je nutno predpoklídat jiste topologicke vlastnosti relace y. Nejvííce pouzíívíanyí je níasledujíícíí: Axiom 4 (Spojitost) Pro vsechna x G X jsou mnoziny f (x) = {y G X : yíyxj a J,(x) = {y G X : x>yyj uzavrene vzhledem k mnozine X. Mnozina |(x) se nazíva hlavní filtr a mnozina J,(x) se nazíva hlavní ideíl. Intuitivne axiom 4 pozaduje, aby se spotrebitel choval konzistentne v malem okolí tj. je-li dana nejakí posloupnost yn —► y, yn G J,(x) pro vsechna n, je i y G J (x). Podobne i duílne. Zaroven dostívíme, ze pro preferencní usporídíní y je prunik hlavního filtru a hlavního idealu trída indiference 7(x) = {y G X : y~xj uzavrení mnozina na zaklade axiomu 4. Alternativní svazky indiferentní s x tvorí zníme krivky indiference pro prípad, kdy X C R2. Mimo to okamzite z axiímu 1-4 dostívíme, ze mnoziny Ts(x) = {y G X : y^xj a Js(x) = {y G X : x^yj jsou otevrene vzhledem k mnozine X. Mluvíme pak o ostrem hlavním filtru a ostrem hlavním idealu. Pňripomenňme, ňze mnoho zníamíych relací preference nemía vlastnost spojitosti. Nejzníamňejňsím pňríkladem je lexikograficke usporadaní, coz je ve skutecnosti relace ostre preference, jejízz trídy indiference jsou jednoprv-kovíe. Definice. Bud'te x = (x1,..., xj), y = (y1,... ,y«) G R1. Pak ríkíme, ze x je lexikograficky vetší nez y a .,.,-,^,^,,1^ x, = y, pro i < k píseme xLexy, jestlize existuje k, 1 < k < l tak, ze ^ > y Snadno se pak overí, ze filtr |(x) není ani uzavrení ani otevrení. 58 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Veta 3.1 [Schmeidler (1971)] Buď > tranzitivní binární relace na souvislém topologickém prostoru X. Definujme sdruženou relace ostre preference y predpisem xyy práve tehdy, kdyZ x>y a neplatí y>x. Zároven predpokládejme, Ze relace ostre preference je neprázdná tj. existuje alespon jedna dvojice x, y tak, Ze xyy. Jsou-li navíc všechny hlavní filtry a hlavní ideály uzavrená a všechny ostre hlavní filtry a ostre hlavní idealy otevrenáe, je relace > uáplnáa. Důkaz. Dukaz zasadne využíva tu skutecnost, že jedina neprazdna obojetní množina (tj. zaroven uzavrena i otevrena) je celí topologickí prostor X. Ukažme tedy nejprve, že míme-li dva prvky x a y tak, že xyy, je Zejmena pak leva strana inkluze je otevrena množina a prava strana je uzavrena množina. Stací tedy nutne X = {z : zyy} U {z : xyz}. Evidentne {z : zyy} U {z : xyz} C {z : z>y} U {z : x>z}. Predpokladejme nyní, že existují dva nesrovnatelne prvky v X, rekneme v a w. Protože existuje alespon jedna dvojice prvku x, y tak, že xyy, je nutne X = {z : zyy} U {z : xyz}. Nutne tedy bud' vyy nebo xyv. Predpokladejme nejprve, že vyy. Odtud pak X = {z : zyy} U {z : vyz}. Protože v a w nejsou srovnatelne, je wyy a vyy. Pritom množiny |s(v) a |s(w) jso otevrene, tedy i jejich prunik je otevrení množina. Protože y G |s(v) n |s(w), je prunik neprazdní a protože v a w jsou nesrovnatelne, nemohou oba prvky ležet v pruniku. 4. FUNKCE UŽITECNOSTI 59 Ukažme, že {z : vl^zj n {z : wl^z} = {z : vyzj U {z : wyzj. Necht' v^z, w^z a z neleží v pruniku tj. napr. neleží v {s : vl^sj. Tedy zyv. Z tranžitivity pak wyv, což je spor. Podobne, neleží-li zv {s : w^sj, je zyw a tedy vyw, což je opet spor. Celkem je pak {z : v^zj n {z : w^zj užavrena, nepraždná. Je tedy rovna X, což je opet spor. Jsou tedy v a w srovnatelne. I 4 Fůnkce úzitecnosti Problem reprežentace relace preference pomocí císelne funkce byl vyresen v publikacích Eilenberga (1941), Debreua (1954, 1959 a 1964), Radera (1963) a Bowena (1968). Z historickeho pohledu pojem funkce užitecnosti je žákladní pojem pro míru spotrebitelovy spokojenosti. Pareto (1896) byl první, která rožpožnal, že libo-volna rostoucí transformace dane funkce užitecnosti žajistí identicke maximaližacní chovaní spotrebitele. Jejich duležitost a metodologicke dusledky rožpožnali Slutsky (1915) a Wold (1943-1944), kterí provedli první vážnou studii problemu reprežentace. Definice. Bud' X množina a y binarní relace na X. Pak funkce u : X — R je reprezentace relace y tj. funkce užitečnosti pro preferencní relaci y, jestliže pro vsechny prvky x,y G X platí: u(x) > u(y) práve tehdy, když xyy. Je jasne, že pro každou funkci užitecnosti u a každou rostoucí transformaci f : R — R je složení v = f o u take funkce užitecnosti pro tutež relaci preference y. Požnamenejme pro áplnost, že v literature byly žavedeny žobecnení vyse uvedene definice. Jejich použití v teorii spotrebitele se vsak neukážalo užitecne. Zakladní požadavek na funkci užitecnosti pro aplikace v teorii spotrebitele je, že funkce užitecnosti má byt spojitá. Snadno je pak videt, že axiomy 1-4 jsou nutne podmínky pro existenci spojite funkce užitku. 60 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Totiz axiomy 1-3 prímo plynoů z definice reprezentace. Abychom dokazali nůtnost axiomů 4 o spojitosti fůnkce u, stací pozorovat, ze pro kazdí bod x G X platí |x = {z G X : u(z) > u(x)} a J,x = {z G X : u(z) < u(x)}, coz jsoů ůzavrene mnoziny ze spojitosti fůnkce u. Zíakladní vyísledek teorie ůňziteňcnosti je, ňze axiom 4 kombinovanyí s nňejakíymi slabyími pňredpoklady na mnoňzinů X je dostateňcnoů podmínkoů pro spojitost fůnkce u. Pritom platí nasledůjící tvrzení dokízane Debreůem (1964). Pripomenme, ze dárou mnoziny S C [-to, to] je maximalní nedegenerovaní interval obsazeny v doplňků mnoziny S, kterí ma horní a dolní zavorů obsazene v mnoňzinňe S. Věta 4.1 Je-li S C [-to, to], pak existuje rostoucí funkce q : S — [-to, to] tak, ze všechny díry mnoziny q(S) jsou otevrene. Věta 4.2 Bud' X topologicky prostor se spočetnou bazí (resp. souvislá nebo separabilní topologicky prostor). Dále bud' >z spojité preferencní uspomdaní definovane na X. Pak existuje spojita funkce uzitecnosti pro relaci y. Důkaz. Dokazme tvrzení pro prípad, kdy X nm spocetnoů bízi. Nejprve najdeme vhodnoů fůnkci ůzitecnosti. Necht' tedy O1,O2,... jsoů otevňreníe mnoňziny obsaňzeníe ve spoňcetníe bíazi. Pro kaňzdíe x ůvaňzme mnoňzinů N (x) = {n : x^z pro vsechnaz G On} a definůjme v(x)= Y, 2n. Je-li y>x, pak je i N (x) C N (y) a tedy i v (x) < v(y). Obrícene, je -li y^x, pak existůje n G N (y) tak, ze x G On, ale neplatí n G N (x). Proto je i N (x) C N (y). Je tedy v fůnkce ůzitecnosti. 5. VLASTNOSTI! PREFERENCII A FUNKCI UŽITEČNOSTI 61 Definujme nyní novou funkci u = g o v, kde g je funkce z vety 4.1. Pak jsou dle teto vety vsechny díry mnoziny u(X) = g(v(X)) otevrene. Abychom overili spojitost funkce u, stací ukízat, ze pro vsechna t G [—to, to] jsou mnoziny u-i([t, to]) a u-i([—TO,t]) uzavrene. Je-li t G u(X), pak existuje y G X tak, ze u(y) = t. Pak zejmena u-i([t, to]) = {x G X : x^yj a u-i([—TO,t]) = {x G X : y^xj. Obe tyto mnoziny jsou uzavrene na zíklade spojitosti relace Pokud t G u (X) a není-li t obsazeno v nejake díre, nutne platí (a) t < inf {u(x) : x G X j, nebo (b) t > sup{u(x) : x G X j, nebo (c) [t, to] = Q {[a, to] : a G u(X), a < to} [—to, t] = f]{[—to, a] : a G u(X),a < to}. Platí-li (a), je nutne u-i([t, to]) = X a u-i([-TO,t]) = 0. Platí-li (b), je zrejme u_i([t, to]) = 0 a u-i([-TO,t]) = X. Pritom jak X tak 0 jsou uzavrene mnoziny. Platí-li (c), je °°]),]) = }t -({([a^, : a G u(x u (I oo, 11) — I I u ({I oo, ca I : ca G Pritom mnoziny na prave strane jsou evidentne uzavrene, je tedy uzavrení i jejich pranik. Nechť tedy t lezl v otevrene díre, tj. t G ]a, b[, kde a, b G u(X). Pak u-i([t, to]) = u-i([b, to]) u-1([—to, t]) = u-1([—to, a]). Opetovne, mnoziny na prave strane jsou nutne uzavrene. I 5 Vlastností preferencí a funkcí užitečnosti V aplikacích se Často přidavají dodateCne předpoklady na relace preference a funkce uziteCnosti. Budeme v dalsíím diskutovat tý nejvííce rozsííreníe. 5.1 Monotonie, nenasycenost a konvexnost 62 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Definice. Relace preference y na R1 se nazíva monotonní, jestlize x > y a x = y implikuje x^y. Tato vlastnost vyjadňruje, ňze je preferovaníe vice zboňzíí pňred míenňe zboňzíím tj. vňsechna zboňzíí jsou ňzaídanía. Sdruzení funkce uzitecnosti monotonního preferencního usporídíní je rostoucí funkce na R1. Definice. Bod x G X se nazíví bod nasycenosti pro preferencní usporídíní y, jestlize xyy pro vsechna y g x . Je tedy bod nasycenosti maximíalní prvek vzhledem k relaci preference. Vňetňsí díl teorie spotňrebitele se vňenuje situacím, ve kteryích takovíato globaílní maxima neexistují nebo alesponň diskusím o problíemech poptavky, pokud zlepsení situace spotrebitele muze bít dosazeno zmenou jeho spotrebitelskeho svazku. Jinak ňreňceno, situace, kteríe budou diskutovíany, budou nenasyceníe body. Muzeme-li pro jistí bod x najít v jeho blízkem okolí zlepsení situace spotrebitele, rekneme, ze spotrebitel je lokíalnňe neuspokojenyí v bodňe x. Pňresnňeji: Definice. Řekneme, ze spotrebitel je lokálně neuspokojený v bode x G X, jestlize pro kazde okolí V bodu x existuje bod z G V tak, ze zl^x. Z tíeto vlastnosti vyplyívaí, ňze je vylouňcena existence tňríídy indiference bodu x s nepríazdnyím vnitňrkem a ňze je tedy funkce uňziteňcnosti nekonstantníí v okolíí bodu x. Definice. Relace preference y na mnozine X C R1 se nazíví konvexní, jestlize je mnozina {y G X : yyxj konvexníí pro vňsechny body x G X. Pripomenme, ze funkce u : X — R se nazíva kvazikonkavní, jestlize platí min{u(x), u(y) j < u(Ax + (1 -A)y) pro vsechna x,y G X a vsechna A, 0 < A < 1. Evidentne pak je funkce uzitecnosti u pro preferencní uspoňraídaíní y kvazikonkíavní príavňe tehdy, kdyňz je preferenňcní uspoňríadíaní konvexní. Je tedy kvazikonkaívnost vlastnost prímo spojena s usporídaním a je zachovavana pri rostoucích transformacích. O takovíchto vlastnostech funkce uzitecnosti mluvíme jako o ordinalních vlastnostech na rozdíl od kardinalních vlastností, ktere jsou spojeníe s urňcitou reprezentací u. Konkaívnost je pak takovíato kardinaílní vlastnost. 5. VLASTNOSTI PREFERENCI A FUNKCI UŽITEČNOSTI 63 Definice. Relace prefernce se nazýva ostre konvexní, jestliže pro vsechna x, x' G X, x = x', x>x', 0 < A < 1 implikuje Ax + (1 — A)x' > x'. Pridružena funkce užitečnosti ostre konvexní relace preference je vždy ostre kvazikonkýavnýí. Pňritom ostrýa konvexnost nýam zaruňcuje neexistenci takovýych relacýí preference, pro kterýe pňrýísluňsnýa relace preference a tňrýída indiference nemýa vnitňrnýí body. Je lehce videt, že hlavní filtry kvazikonkývní funkce jsou konvexní. Je proto funkce užitečnosti pro pre-ferenňcnýí uspoňrýadaýnýí > kvazikonkaývnýí prýavňe tehdy, kdyňz je preferenňcnýí uspoňrýadaýnýí konvexnýí. Je proto kvazi-konkýavnost zachovýavýana pňri rostoucýích transformacýí. Takovýe vlastnosti jako kvazikonkýavnost jsou nazyývaýny ordinálnína rozdíl od kardinalních vlastností, ktere jsou vztaženy ke specificke funkci užitečnosti u. Takovou vlastnostý je napňrýklad konkýavnost. Definice. Preferenční usporýdaní se nazýva ostre konvexní, jestliže pro každe dva svazky x a x', x = x', x>x' a pro 0 < A < 1, Ax + (1 — A)xVx'. 5.2 Separabilita Bud' N = {Nj }k=1 rozklad množiny {1,... ,1} a predpokladejme, že spotrební množina X ma tvar X = nk=1Xj. Takoveto rozklady vznikají prirozeným zpusobem, pokud uvažujeme spotrebu vzhledem k ruzne dobňe, mýstňe apod. Rňeňceno jednoduňse, separabilita pak implikuje, ňze preference pro svazky v kaňzdýem ňclenu rozkladu (tj. pro každou dobu, místo apod.) jdou nezývisle na spotrebných urovních mimo tento člen rozkladu. Bud' J = {1,..., k} a pro vsechna j G J, x G X definujme xj (xi,..., xj—i, xj+i,..., xk). Pro každe pevne x00 preferenční usporadýní > na X indukuje preferenční usporýdaní >xo tak, j j J j prýve tehdy, když (x°,xj )>(x°,xj) pro vsechna xj ,xj G S j. Pritom takoveto indukovane usporadaní bude zaviset na specialním výberu xj. První pojem separability tvrdí, že tato usporýdaní pro pevne zvoleny index j nezývisí na výberu x--. 64 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Definice. Preferencní usporádaní y na množine X = Iílk=iXj se nažíva slabe separabilné, jestliže pro vsechna j G J, x0, y0 G X = ni=j Xi, yxp = yyp. Indukovane usporádaní budeme žnacit jako y j. Podobne, funkce užitecnosti u : nk=iXj — R se nažívá slabě separabilné,, jestliže existují spojite funkce vj : S j — R, j G J a V : Rk — R tak, že u(x) = V (vi(xi),..., vk (xk)). Veta 5.1 Bud' y spojite usporédéné preference. Pak je y slabe separabilné préve tehdy, kdyz je kazda spojita reprezentace y slabe separabilnéé. Definice. Funkce užitecnosti u : nk=iXj — R se nažíva silne separabilné, jestliže existují spojite funkce vj : Sj — R, j G J a V : R — R, V rostoucí tak, že u(x) = V ^ 5ľjeJ vj (xj )j. Protože je funkce V rostoucí a spojitá, je funkce V-i o u aditivní a reprežentuje stejnou relaci preference. Je tedy probláem naleženáí podmáínek na relaci preference, aby byla silne separabilnáí, ekvivalentnáí k naleženáí podmáínek, ža nichž existuje aditivnáí reprežentace. Necht' tedy u(x) = jeJ v j (x j) ožnacuje aditivní funkci užitecnosti vžhledem k rožkladu N. Uvažujme nejakou nepraždnou vlastní podmnožinu I C J a dva svažky x a x' takove, že vsechny jejich komponenty x j a x j mají stejnou hodnotu x0 pro j G J — I. Mužeme proto psát x = (x/,xj_7) a x' = (x'j,xj_7). Je-li u aditivní, je bežprostredne žrejme, že indukovana funkce na soucinu HjeiSj je nežavisla na speciálním váberu hodnot xj_j a tedy je indukovane preferencní usporadání nežávisle na váberu xj_7. Tato vlastnost evidentne platí pro každou nepraždnou vlastní podmnožinu I C J a je žaroveň motivujícím prvkem pro definici silne separabilní relace usporádaní. Definice. Preferencní usporadaní y na množine X = nk=iXj se nažívá silne separabilné, jestliže je slabe separabilní vžhledem ke vsem vlastním rožkladu vsech možnách sjednocení množin Ni,..., Nk. To je ekviva-lentnás tám, ňže preferenňcnáuspoňraádáanáje silnňe separabilná, jestliňže pro kaňždou nepráaždnou vlastnápodmnoňžinu I C J je indukovane preferencní usporadání nežávisle na žvlástním váberu hodnot xj_7. 5. VLASTNOSTI! PREFERENCII A FUNKCI UZITECNOSTI 65 Veta 5.2 Bud > spojite usporídíní preference. Pak je > silne separabilní príve tehdy, kdyz je kaZdí spojita reprezentace > silne separabilní. 5.3 Spojitá poptavka Je-li dían cenovyí vektor p = 0 a poňcíateňcní bohatství w, spotňrebitel si vybíría nejlepňsí svazek ze svíe rozpoňctovíe mnoňziny jako svou poptíavku. Pro preferenňcní uspoňríadíaní splnňující axiomy 1-3 evidentnňe kaňzdíy maximíalní prvek vzhledem k relaci preference zíarovenň maximalizuje odpovídající funkci uňziteňcnosti a obraícenňe, kaňzdyí bod maxima funkce uňziteňcnosti maximalizuje relaci preference. Zejmíena tedy oba pňrístupy vedou ke stejnyím svazkum poptívky. Budeme nyní studovat zavislost poptavky na dvou vnejsích parametrech, cene a bohatství. Rozpoctova mnozina spotrebitele byla definovana jakozto P(p,w) = {x G X : p • x < w}. Nechť S C Rl+1 oznacuje mnozinu dvojic cena-bohatství, pro ktere je príslusna rozpoctova mnozina neprazdní. Pak P popisuje korespondenci z S do Rl (tj. mnozinovou funkci z S do P(Rl)). Definice. Korespondence ^ z S do T, kde T je kompaktní podmnozina z Rl, se nazíva horní hemispojita v bode y G S, jestlize pro vsechny posloupnosti zn — z, yn — y takove, ze zn G ^(yn) platí, ze z G ^(y). Víse uvedena definice je ekvivalentní s tím, ze funkce ^ mí uzavreny graf. Pritom evidentne kazdí horní hemispojita korespondence ^ takova, ze ^(y) je jednoprvkova mnozina, je ve skutecnosti spojita funkce. Definice. Korespondence ^ z S do T, kde T je podmnozina z Rl, se nazíví dolní hemispojita v bode y G S, jestlize pro kazdy bod z0 G ^(y) a pro kazdou posloupnost yn — y existuje posloupnost zn — z0 tak, ze zn G ^(yn) pro vsechna n. Korespondence se nazyívía spojitaí, je-li jak horní hemispojitía tak dolní hemispojitaí. Snadno lze pňritom dokíazat níasledující dvňe lemmata. 66 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Lemma 5.3 Korespondence rozpočtové množiny P : S — P (X) má uzávreny graf á její dolné hemispojitá v káždem bode (p, w), pro která pláti min{p • x : x G X} < w. Pritom podmínka min{p • x : x G X} < w se obvykle nazyva podménká minimálního bohátstvé. Jiz dríve bylo požnamenýno, ze maximalizace pomocí preferencní relace ci fůnkce ůzitecnosti vedoů ke stejne mnozine poptavkovych svazků, je-li preferencní relace reflexivní, tranzitivní a ůplna. Je-li tedy u : X — R fůnkce ůzitecnosti, lze definovat poptávku ůzivatele jako t/?(p,w) = {x G P (p, w) : u(x) > u(x'),x' G P (p, w)}, (5.1) coz je ekvivalentní definici 2.2. Pokůd navíc bůde fůnkce ůzitecnosti spojití a rozpoctova mnozina P(p,w) kompaktní, bůde poptavkoví mnozina <^(p, w) neprázdna. Pak, aplikůjeme-li Bergeho vetů, obdrzíme nasledůjící lemma. Lemma 5.4 Pro káždou spojitou funkci užitečnosti u : X — R je poptávková korespondence ^ : S — P (X) ták, že t/?(p, w) = 0 á ( je horné, hemispojitá v káždem bode (p, w) G S tákovem, že P(p, w) je kompáktné á min{p • x : x G X} < w. Z definice rozpoctove a poptavkove korespondence bezprostredne plyne, ze t/?(Ap, Aw) = <^(p, w) pro kazde A > 0 a pro kazdoů dvojici cena-bohatství (p, w). Totiz, x G P (p, w) -<=/- p • x < w -<=/- (Ap) • x < (Aw) -<=/- x G P (Ap, Aw). Podobne, x G <^(p,w) -<=>- x G P (p, w) a zaroven u(x) > u(x') pro vsechna 'x G P (p,w) -<=/- x G P (Ap, Aw) a zaroven u(x) > u(x') pro vsechna 'x G P (Ap, Aw) -<=/- x G ostre konvexné á spojité preferencní usporádáné. Pák je korespondence poptávky ^ : S — P (X) spojitá funkce v káždem bode (p,w) G S, pro která je množiná P(p,w) kompáktné á pláté min{p • x : x G X} < w. Návéc, pro vsechná A > 0, pláté yx' pro vsechna x' G ß (p,w)}. Veta 5.6 (Sonnenschein) Necht <^(p, w) = 0 pro vsechna (p, w) G S a předpokládejme, že korespondence ß je spojitá v bode (p0,w0) G S. Je-li relace prefernce spojitá, je i korespondence poptávky ^ horní hemispojitá v bode (p0 ,w0). Predpoklad, Ze mnoZina <^(p, w) = 0 pro vsechna (p, w) G S, je implikovín jistými modifikovanými predpoklady na ostrou relaci preference, jak plyne z nasledující vety. Veta 5.7 (Sonnenschein) Necht y ožnařuje spojitou relaci preference na množine X tak, ře množina {x' : xVx} je konvexní pro všechna x G X. Jestliže navíc ß(p,w) = 0, pak i <^(p,w) = 0. Z víse uvedeních dvou Sonnenscheinovích vísledku plyne, Ze muZeme získat spojitou funkci poptavky, pokud nahradíme tranzitivitu relace preference její konvexitou. Dalsí vísledky v teorii netranzitivního spotrebitele byly získany Shaferem (1974). Tento prístup formuluje chovaní spotrebitele jakoZto maximalizace spojite císelne funkce vzhledem k rozpoctovím omezením. Tato funkce, jejíZ existence a spojitost nezavisí na tranzitivite, muZe bít povaZovana za alternativní prístup k reprezentaci relace preference. 68 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Věta 5.8 (Shafer (1974)) Necht > označuje spojitou, áplnou a ostře konvexní relaci preference na R+. Pak existuje spojitá funkce k : R+ x R+ — R tak, če 1. k(x,y) > 0 x G 2. k(x,y) < 0 ^ x G |s(y), 3. k(x,y) = 0 -<=>- x>y a y>x, 4. k(x,y) = -k(y,x). Pňredpoklady vňety jsoů obvyklíe aňz na to, ňze je vynechían axiom tranzitivity. Za jeho pňredpokladů pak existůje fůnkce ůzitků a fůnkce k můze bít definovína, ze k(x,y) = u(x) - u(y). Stejne jako predtím, necht' //(p, w) oznacůje rozpoctovoů mnozinů spotrebitele. Pak poptívka spotrebitele sestava ze vsech bodů v rozpoctove mnozine, ktera maximalizůjí fůnkci k. Presneji, poptívka je definovana jako <^(p, w) = {x G ///(p,w) : k(x,y) > 0 pro vsechna y G //(p,w)} nebo ekvivalentnňe t/?(p, w) = {x G ///(p, w) : x>y pro vsechna y G ///(p,w)}. Pňredpoklad ostríe konvexity garantůje, ňze existůje jedinyí maximíalní prvek. Níasledůjící vňeta precizůje maximalizaňcní argůment. Věta 5.9 (Shafer) Za predpokladu vety 5.7 a pro kazdy kladny cenovy vektor p a kladne bohatství w je poptavka x = f (p,w) = {x G ///(p,w) : k(x,y) > 0 pro vsechna y G ///(p, w)} a tato funkce f je spojita v bode (p, w). 5. VLASTNOST1 PREFERENCI A FUNKCI UZITECNOSTI 69 5.5 Poptavka za předpokladů separability Separabilita preferencního usporídíní a funkce užitku, at' už slaba nebo silna, ma duležite dusledky pro funkci poptavky. Za použití oznacení a definic z odstavce 5.2 a za predpokladu separability funkce užitku mužeme psat u(x) = V(vi(xi),... ,vfc(xfc)), (5.2) kde x j, j = 1,..., k jsou vektory množství komodit v S j a X = Si x • • • x Sk. Pak v j (x j) jsou funkce užitku definovane na Sj. Budeme používat vektor pj pro ceny komodit v tríde rozkladu N j. Definice. Pro vsechny wj G R++ definujme podrozpoctovou množinu /j(pj, wj) = {xj G Sj : pj ^ xj < wj}. (5.3) Nyní mužeme zavest pojem podmínene poptívky /j(pj,wj) jakožto to xj, ktere maximalizuje funkci v j (xj) pres podrozpoctovou množinu (pj ,wj). Definice. Podmíněná funkce poptavky je definovana jako /j7(pj, wj) = {xj G /j(pj, wj) : vj(xj) > vjO^),x0 = xj,x0 G /j(pj, wj)}. (5.4) Tyto podmínene funkce poptavky sdílí vsechny vlastnosti obvyklích funkcí poptavky až na to, že jejich definicní obor a obor hodnot jsou omezeny promenními pj, wj a Sj. Jsou-li díny vj (xj), pj a wj, je i poptívka xj znama. Pritom promenna wj není dína vnejsne, ale jakožto cast obecneho optimalizacního problemu. Bud' dale /j (p, w) j-podvektor funkce poptívky /(p, w). Pak je wj díno jakožto w) = pj ^ fjw). (5.5) Poznamenejme, že v obecnosti je potreba celeho cenoveho vektoru, abychom urcili w*. Když používíme w* vznikle pomocí wj (p, w), lze ocekavat že z podmínenych funkcí poptívky získame tentíž vektor poptavky jako /j(p, w). 70 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTREEBITELE Veta 5.10 Za predpokladu separability funkce užitku platí f j (p, w) = fj (pj , w* (p,w)) pro všechna j. (5.6) Dúkaz. Uvazme libovolne, ale pevne vektor (p0,w0). Necht' x* = fj(p0j,w*(p0,w0)) pro jiste j a necht' x0 = f (p0,w0). Evidentne, x0j G //j (p0j ,w* (p0 ,w0)). Predpoklídejme, ze x* = x0j. Pak v j (x*) > v j (x0j) a u(x0) = V (v1(x0i ),...,vj (x0j ),...,vfc (x0fc)) (57) < V(v1(x0i),...,vj(x**),...,vfc(x0fc)), ( . ) protoze je funkce V monotone rostoucí v promenne v j (x j). Evidentne je prvek (x0_., x*) v rozpoctove mnozine // (p, w) a tedy predpoklad v j (x*) > Vj (x0j) neplatí. Tedy nutne v j (x*) = v j (x0j) tj. x* = x0j, protoze x j je jediní vektor maximalizující vj (xj) pres vsechna xj G /j (p0j ,w* (p0 ,w0)). Proto podmínka 5.6 platí pro (p0, w0). Protoze (p0, w0) bylo vybríno libovolne, platí pro vsechny prípustne (p, w) a veta je tímto dokazína. I Vyíznam vňety 5.10 je dvojí. Nejprve je zňrejmíe, ňze ostatní ceny ovlivnňují poptíavku pro xj pouze pomocí skalíarní funkce wj (p, w), coňz je podstatníe omezení na pj. Díale, pokud je moňzníe pozorovat a urňcit bohatství wj empirickou cestou, muzeme se koncentrovat na podmínenou funkci poptívky, pro kterou pouze potrebujeme zníat pouze cenu pj. Jako pňríklad lze uvíaňzit chovíaní poptaívky v jistíem ňcasovíem období, ňreknňeme jednom roce. Za obvykleho (implicitního) predpokladu separability behem ruzních casovích období je pak pouze nutníe zníat uíplníe naíklady pro tuto periodu (wj) a odpovíídajíícíí cenovyí vektor (pj). V tomto kontextu muzeme uvazovat (5.5) jako spotrební funkci spjatou s celkovími spotrebními níklady vzhledem k celkovemu bohatství a cenami pro vňsechny periody. 6 Funkce nakladú a nepříme funkce uZitku Alternativní prístup v analíze poptavky byl proveden Samuelsonem v roce 1947. V soucasnosti mluvíme o tzv. dualite v analíze poptavky. V jistych pn'padech dosahneme tímto zpusobem pnmejsí analízy senzitivity 6. FUNKCE NAKLADU A NEPRIME FUNKCE UZITKU 71 cen a dovoluje nam kratsí a transparentnejsí prehled jistích klasických vlastností funkce poptívky. Popisme v kratkosti zakladní vlastnosti a vysledky pro podstatne omezenejsí situace nez byly víse uvedene. Tato omezení budou pouzita v nísledujících paragrafech. Od doposud budeme predpoklídat, ze spotrební mnozina X bude kladní ortant R++ a ze vsechny ceny a bohatství jsou kladne. Toto implikuje, ze rozpoctoví mnozina je kompaktní a ze podmínka minimílního bohatství je splnena. Zejmena je pro spojitou funkci uzitku korespondence poptívky ^ horní hemi-spojita. Díle budeme predpokladat nenasycenost bud' relace preference nebo funkce uzitku. To pak implikuje, ze spotrebitel pouzije vsechno sve bohatství za maximalizace preferencí. Je-li dína dosazitelní íroven funkce uzitku v = u(x),x G X, je nákladová funkce minimílní mnozství nutne k získaní írovne uzitku alespon takove jako v pro danou cenu p. Je tudíz níkladova funkce E : R++ x R —► R definovaní jako E (p, v) = min{p • x : u(x) > vj. (6.1) Pritom lze snadno dokazat nasledující vlastnosti níkladove funkce. Lemma 6.1 Pokud spojitá funkce užitku splňuje axiom lokální, nenasycenosti, je pak nákladová funkce: 1. rostoucí a spojita v proměnné v pro kaZdá cenová vektor p, 2. neklesající, pozitivně lineárne homogenní a konkavná v proměnné p pro kaZdou árovež užitku v. Necht' nyní y = E (p, v) oznacuje minimalní uroven níkladu. Protoze je funkce E rostoucí a spojita v promenne v, existuje její inverzní funkce v = g(p,y), ktera vyjadrí uzitek v jakozto funkci níkladu a cen, ktera se nazíví neprímou funkcí užitku. Je snadne videt, ze g(p, y) = max{u(x) : p • x = y j. (6.2) Vzhledem k vlastnostem nakladove funkce je nutne nepríma funkce uzitku 1. rostoucí a spojita v promenne y pro kazdí cenoví vektor p, 72 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE 2. neklesající v cenach a homogenní stupne 0 v príjmech a cenach. Zejmena tedy z definice E a g obdržíme nasledující identity: v = g(p E(p, v)) a y = E(p, g(p y)). (6.3) Je-li dan cenový vektor p a ýroven užitku v, je nakladove minimum E (p, v) získano na jiste podmnožine určene E (p, v) a p. Jsou-li preference ostre konvexní, existuje jediný bod x G X minimalizující naklady a označme minimalizační funkci jako x = h(p, v). Nutne pak z definice E (p, v) = p • h(p, v). (6.4) Funkce h se nazývý Hicksova funkce poptávky kompenzovaná prijmem, h je spojita v obou argumentech a homogenný stupnňe nula v cenaých. Uvažme nyní nýs puvodní problem maximalizace funkce užitku vzhledem k rozpočtovým omezenímp-x < w. Pak nýaňs pňredpoklad lokaýlný nenasycenosti a ostrýe konvexity implikuje existenci spojitýe maximalizaňcný funkce f (p, w). Tato funkce se nazyvý Marskallova trZní funkce poptavky a splnuje vlastnost p • f (p, w) = w. (6.5) Z techto definic získame druhou dvojici identit, ktere popisují zakladní vztah mezi Hicksovou funkcí poptaývky kompenzovanýe pňrýjmem a Marshallovou trňzný funkcý poptýavky: f (p,w) = h(p,g(p,w)) (66) h(p, w) = f(p, E(p, w)). Jednu z duležitych vlastností Hicksovy funkce poptavky lze obdržet bezprostredne. Pro pevnou uroven uňzitku v, uvaňzujme dva cenovýe vektory p a p', daýle asociacovanýe vektory poptýavky x = h(p, v) a x' = h(p', v). Z toho, ňze x a x minimalizujýí nýaklady, obdrňzýíme (p— p') • (x — x') < 0. (6.7) 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNE FUNKCE UŽITKU 73 Pro zmenů Apk = pk - p'fc ceny jednotlive komodity k tak, ze vsechny ostatní ceny zůstanoů konstantní tj. Aph = ph - ph = 0, h = k implikůje Apfc • Axfc < 0. (6.8) Jinak reňeno, narůst ceny jedne komodity nezpůsobí nírůst poptívky pro tůto komoditů. Hicksova fůnkce poptavky není tedy rostoůcí fůnkcí ceny. Tato vlastnost se obcas nazyva jako nekladnost vlastního substitučního efektu. Detailní diskůse pro diferencovatelne fůnkce bůde provedena v dalsích paragrafech. 7 Vlastnosti diferencovatelně fůnkce ůZitků Níasledůjící paragrafy se vňenůjí fůnkcím ůňzitků a poptíavky za pňredpokladů diferencovatelnosti, kteíy je standardním pňredpoklad v teorii spotňrebitelskíe poptaívky. Bůd' tedy u : X — R fůnkce ůzitků, kterí je trídy C2 bez kritickích bodů * reprezentůjící ůplnoů a spojitoů relaci preference trídy C2 na X, ktera je monotonní a ostre konvexní. Pak je tato fůnkce 1. spojitaí, 2. rostoůcí tj. u(x) > u(y) pro x > y, x = y, 3. ostre kvazikonkavní tj. u(ax + (1 - a)y) > u(y) pro a G (0,1), x = y a u(x) > u(y). 4. dvojnaísobnňe spojitňe diferencovatelnaí tj. její drůhíe parciíalní derivace existůjí a jsoů spojityími fůnkcemi v promňenníe x. *Pro prvek x G U je derivace D f (x) v bode x lineární zobrazení z Rk do Rn (tj. matice parciálních derivací). Pak říkáme, že x se nazíví singulární (kritický) bod zobrazeni f, pokud tato derivace není surjektivní zobrazení. Poznamenejme, Ze pokud k < n, jsou vSechny prvky z U singulírní. Singulární hodnoty jsou jednoduSe obrazy vzhledem k f vSech singulírních bodU; prvek y G Rn se nazíví regulární hodnota, pokud není singularní hodnota. 74 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTRŽEBITELE Dále budeme predpokladat, že derivace prvního radu, tj. , i = 1,..., l, jsou kladne. Mluvíme o tžv. marginalnéch (meznéch) uzitcéch. Specialne pak vektor delky l marginalních užitku budem ožnacovat ux. Protože derivace druheho radu jsou spojite funkce jejich argumentu, máme nutne %j dxidxj dxj dxi j%' Bud' tedy Uxx Hessova matice rádu l funkce užitku u tj. matice druhách parciálních derivací funkce u s prvky uij. Ze symetrie druhách parcialních derivací pak mame, že Uxx je symetricka matice tj. Uxx = Uxx. Vlastnost ostré kvažikonkávnosti, kterou ma funkce užitku, pak implikuje dalsí omežení na první a druhe derivace funkce uňžitku. Veta 7.1 Bud' u ostre kvazikonkévné funkce uzitku. Pak pro vsechny prvky x G X platé zTUxxz < 0 pro všechna z G {y G R1 : ux • y = 0j. (7.1) Důkaz. Bud' x G X libovolny. Necht' z G R1 : ux • z = 0. Pak ž Taylorova vžorce máme u(y) = u(x) + aux1^ + a2z Uxxz + (7.2) kde y = x + az a g je realna funkce spojita v okolí x tak, že limy^x Hy^^||2 = 0. Tedy u(y) = 2 zTUxxz zTUxxz u(x) + a2—2xx—+ g(y). Predpoklídejme, že —2xxL~ > 0. Nutne pak existuje a0 > 0 tak, že pro vsechna a G (—a0,a0) platí f (a) = f (0) + ^ a2f''(0) + a(a), kde f (a) = u(x + az), f'(a) = ux+«z • z, f''(a) = zTUx+az>x+azz > 0, a(a) = ^^^sfz). Pritom lima^0 a^) = 0. Predpoklídejme, že a > 0. Pak ž ostre kvažikonkavnosti min{f (—a), f (a)j < f (0) a ž predchožího f (a) — f (0) > 0 a f (—a) — f (0) > 0, což je spor. Tedy z U^xz < 0. I 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNE FUNKCE UZITKU 75 Vlastnost ostre kvazikonkívnosti funkce užitku není dostatecna, abychom obdrželi vsude diferencovatelnou funkci poptavky. Proto zavedeme nasledující pojem. Definice. Ostre kvazikonkavní funkce užitku se nazíví silne kvazikonkávní, jestliže pro vsechna z G {y G R : Ux • y = 0, y = 0}. (7.3) Tato dodatecní vlastnost je ekvivalentní regularite tzv. hranicní Hessova matice H . (7.4) Veta 7.2 Hranicní Hessova matice H ostre kvazikonkavní monotonní rostoucí funkce uzitku u je regularní práave tehdy, kdyz je funkce uzitku silne kvazikonkáavnáí. D ů kaz.Dokažme nejprve dostatecnost. Predpokladejme tedy, že matice H je singularní. Pak existuje l-rožmerní vektor z a skalar r tak, že platí Uxxz + Uxr = 0; Ux • z = 0; (zT, r) = 0. (7.5) Necht' z = 0. Pak r = 0. Tedy nutne z uxr = 0 vyplyví, že ux = 0, ale to je spor s monotonií funkce užitku. Necht' tedy z = 0. Pak 0 = zT0 = zTUxxz + zTuxr = zT spor se silnou kvazikonkavností. Odtud pak dostavame, že nemužeme najít nenuloví vektor (zT, r) tak, že (zT, r)H = 0 a tedy je H regulírní. Dokažme nyní nutnost. Budeme postupovat ve trech krocích. Nejprve ukížeme, že je-li H regularní, mužeme najít reílne císlo a* tak, že je pro vsechna a < a* matice A(a) = Uxx + craj • ux regulírní. Díle ukížeme, že za predpokladu ostre kvazikonkívnosti existuje reílne císlo //* tak, že matice ) je negativne semidefinitní matice. Poslední krok je kombinací techto dvou kroku. Krok 1. Regularita matice H znamení, že pro vsechny nenulove /-rozmerne vektory ci takove, že ux • ci = 0, A(a)ci = 0 pro vsechna a. Uvažme dale vsechny vektory c2 tak, že c2 = 0 a normalizujme c2 tak, že 76 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTRŽEBITELE «Tc2 = 1. A(a)c2 = 0 znamena, že a = — Jxxc2. Necht' a* = min{—Jxxc2 : c2 = 1}. Pro a < a*, A(a)c2 = 0 a A(a) je tedy regularní. Krok 2. Je-li A(P) negativne semidefinitní matice pro nejake P tj. cTA(P)c < 0 pro vsechna c. Odtud pak pro vsechna /// platí zTJxxz < 0 pro vsechna z takový, že ujz = 0. Speciýlne, cTA(P)c < 0 pro vsechna P a pro vsechna z takový, že ujz = 0. Uvažme díle vsechny takove vektory c, že ujc = 0 a normujme je tak, že uXc = 1. Pokud pak cTA(P)c < 0, je nutne P < —cTJxxc. Položme proto P* = min{cTJxxc : cTux = 1}. Proto je pak A(P) negativne semidefinitní, jestliže P < P*. Krok 3. Z kroku 1-2 plyne, že existuje realne číslo 7 tak, že A(P) je regularní a negativne semidefinitní pro vsechna P < 7, pritom 7 < min{a*,P*}. Pritom z linearní algebry víme, že negativne semidefinitní matice, který je regularní, je nutne negativne definitní. Je proto zTA(7)z = zTJxxz < 0 pro vsechna nenulový z takový, že uTz = 0 tj. u je silne kvazikonkývní. I To, co bylo rečeno o vlastnosti derivací funkce užitku u, platí i pro každou diferencovatelnou rostoucí transformaci funkce u. To je zrejme v prípade, že kladne znamenko marginýlních užitku a dusledky silne kvazikonkavnosti jsou založeny prímo na vlastnostech preferenčního usporadaní tj. na monotonii a konvexite. Popisme explicitne dusledky takovychto transformací pro derivace. Bud' tedy F dvakrýt spojite diferen-covatelna rostoucí transformace F : R — R tj. F' > 0 (F' a F'' jsou skalýry) a F'' je spojitý. Položme v(x) = F (u(x)). Pak mezi prvními a druhými derivacemi funkcí u(x) a v (x) platí nýsledující vztahy: d_v_ = f' |« neboli = F'ux, /N (7.6) Oxid x j F dxidxj + F vdxV l dxj J = F'71°^ + F'' (|^ ) tj. Vxx = F'Uxx + F''uxuT. Protože je F' kladne, ma vx stejne znamenko jako ux. Naproti tomu prvky matice Vxx nemusí mít stejne znamenka jako prvky matice Jxx. Mýme vsak, že zT pro každý vektor z G {y G R1 : ux • y = 0, y = 0} implikuje zTVxxz < 0 pro každý vektor z G {y G R1 : vx • y = 0, y = 0}. Skutečne, vTz = F'uTz = 0 a tedy zTVxxz = zTF'Jxxz + zTF''uxuxz = F'zTJxxz + F''zTuxuTz = F'zT Jxxz tj. oba výrazy zT Jxxz a zTVxxz 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNÁ FUNKCE UZITKU 77 mají stejne znamenko z kladnosti F'. Poznamenejme, ze se nejedna o noví vysledek ale jiní zpusob dukazu, ňze ostraí a silnía kvazikonkíavnost odraíňzejí vlastnosti relace preference. Protoze ale marginalní (mezní) uzitky —^ nejsou invariantní vzhledem monotonním rostoucím transformacím, budou nís zajímat pomery dvojic marginalních uzitku, napr. -xi = (77) Nutnňe pak je vyíraz 7 7 invariantníí vzhledem k monotonníím rostoucíím transformacíím (F', kteríe je jak ve jmenovateli tak ňcitateli, se pokríatíí.). Zachovíame-li nyníí uírovenň funkce uňzitku konstantníí a mňenííme-li pouze promňenníe xi a xj, obdrňzííme lokaílnňe: —) dx * +(— -xi i -xj Tedy míame ©dx* +( -I)dx*=0. (7.8) Rij = £ =- dx*. (7.9) Rij se nazíva marginílní (mezní) míra substituce i-te komodity za j-tou komoditu. Pritom Rij- reprezentuje mnozství komodity j venovane na vymenu za zvysení komodity i, pricemz míra uzitku zustava konstantní. O Rij budeme pňredpoklíadat, ňze je klesající funkcí xi tj. pňri stejníe míňre uňzitku bude mnoňzství komodity xj mensí venovane na vymenu za zvísení komodity pri vetsím xi nez kdyz je xi mensí. Predpoklad o DMRS pro kaňzdou dvojici (i, j) plyne ze silníe kvazikonkíavnosti funkce uňzitku. Klesajíícíí marginíalníí mííra substituce znamenía, ňze f - Rij t < ^ (7.10) 78 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE coz nam dava — (u^u2 - 2ujujuij + ujju2) < 0. (7.11) Víraz v zívorkach je roven zTUxxz pro zk = 0, k = i Protoze je vyraz u j > 0 a uT = 0, míme ze silne kvazikonkívnosti, ze vyraz 7.10 je zíporní. Pritom obrícení implikace plyne pri jistích dodatecních predpokladech. Pojem marginalní míry substituce byl tradicne pouzívan ve spojitosti se slabou a silnou separabilitou. Nez se budeme teto spojitosti venovat, bude pro nas uzitecne si vsimnout dusledku diferencovatelnosti funkce u(x) v prípade (slabe) separability. Za predpokladu separability víme, ze u(x) = V(vi(xi),... ,vfc(xfc)). (7.12) Z diferencovatelnosti pro vsechna i G Aj, 1 < j < k dostaneme, ze (7.13) existuje a tedy existují i a ÍJX2-. Protoze vj (xj) ma vsechny vlastnosti funkce uzitku, je nutne ^ > 0. Je tedy i ^ > 0, protoze ddu > 0. Necht' nyní i, k A j. Pak - j + ^27^^, (7.14) ôxiôxk ôvj ôxiôxk ôv2 ôxi ôxk a pro vsechna i G Aj, k G Ng, j = g míme ôxiôxk ôvjôvg ôxi ôxk (7.15) 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNÉ FUNKCE UŽITKU 79 Zejména odtud obdržíme, že existence a symetrie matice Uxx implikuje existenci a symetrii Hessovy matice Vvv. V prípade silne separability je = V tj. stejna pro vsechna j. Nutne tedy du(x) = V' ^, (7.16) pricemž Hessova matice Vvv má vsechny prvky stejne. Věta 7.3 Marginální míra substituce mezi dvema komoditami i a k ležícími v množině N j je nezávislá na úrovni spotreby vně mnoZiny Nj tehdy a jen tehdy, když je funkce užitku slabě separabilní. To žnamena, že pro vsechna i G Nj je JX^- soucinem spolecneho faktoru a j (x) a specifickeho faktoru = aj (X)^JÍ(XJ )• (7.17) To ale odpovída tomu (viž 7.13), že aj(x) = Jpj a Pji(xj) = JX1. Věta 7.4 Marginalní míra substituce mezi dvema komoditami i a k leZícími po rade v množině N j a v mnoZine Ng, g = j lze psát jako podíl dvou funkcí ^ji(xl) a (3gf (xg) prave tehdy, kdyZ funkce u(x) uZitku je silne separabilní. nezavisla na írovni spotreby vne mnoziny Nj tehdy a jen tehdy, kdyz je funkce uzitku slabě separabilníí. 7.1 Diferencovatelná poptávka V lemmatu 5.5 jsou vysloveny podmínky pro žajistení existence spojite funkce poptávky f (p, w), ktera je navíc homogenní stupne 0 jak v cenách tak i v bohatství. V teto cásti se budeme venovat dusledkum predpokladu diferencovatelnosti funkce užitecnosti pro funkci poptavky. Zejmena bude studovana diferen-covatelnost funkce poptaívky. 80 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Omezíme se pritom na ten prípad, kdy bůde spotrební mnozina X otevrení kladní kůzel P C R1. Abychom obdrzeli poptavkove svazky v P, bůdeme dale predpoklídat, ze preferencní ůsporadaní je mono-tonní a trídy C2 a ze ůžývery krivek indiference jsoů cele obsazeny v P. Pak je za predpokladů pozitivních cen a pozitivního bohatství poptavkova fůnkce korektne definovana a její obor hodnot je podmnozinoů otevreneho kladneho kůzele P C R1. Navíc predpokladejme, ze spotrebitel vyůzije zcela sve maximalizacní preference. Lze tedy jeho vyber omezit na ty svazky x G P, pro ktere platí pTx = w. Je-li fůnkce ůzitků spojite diferencovatelna 2. stůpne, je pak fůnkce poptavky x = f (p,w) definovaní v 2.2 nebo v 5.1 ůrcena jakozto resení maximalizacního problemů: maximalizůjme fůnkci u(x) za omezůjících podmínek pTx = w. Stací pak ůtvorit Lagrangian L(x,A,p, w) = u(x) — A(pT x — w), (7.18) kde A je Lágrángeuv multiplikátor. Podmínky prvního stůpne pro nalezení stacionarních bodů fůnkce u(x) nam pak davají — = ux — Ap = 0, (7.19) dx dL = w — pT x = 0. (7.20) dA Stejne jako v predchozím paragrafů bůdeme predpokladat, ze parciílní derivace u > 0, i = 1,..., n. Jsoů tedy nůtne jak ux tak i p kladne vektory tj. prvky P, zejmena tedy z 7.19 dostavíme, ze Lagrangeův můltiplikaítor A je kladníe reaílníe cííslo. Nůtnía podmíínka drůhíeho ríadů pro nabyívaíníí maxima je pak zTLxxz < 0 pro vsechna z G R1 takoví, ze pTz = 0. (7.21) Pritom Lxx = 7TTT7 vycísleno v bode resení systemů 7.19 a 7.20. Za predpokladů ostre kvazikonkavnosti fůnkce ůzitků (viz 7.1) je tato podmínka splnena, protoze Lxx = Uxx a dale pTz = 0 implikůje uTz = 0 na zaklade 7.19 a kladnosti A. 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNÉ FUNKCE UŽITKU 81 System 7.19 a 7.20 je systém 1 + 1 rovnic v 2(1 + 1) proměnných - vektory x,p G R1 a skaláry A a w. Pro nas úCel budeme p a w povazovat za libovolně, pevně a x a A budou neznámé proměnně. Lemma 5.5 nám zaruCuje existenci jediněho resení x = f (p, w). Zejměna tedy existuje jedině resení pro A, totiz Aw = ApTx = «T x = uX f (p, w) tj. A = 6(p,w) = Wx ff'w). Snadno se ověrí, ze resení systěmu 7.19 a 7.20 je v proměnně x invariantní vzhledem k monotonním rostoucím transformacím funkce u(x), ale proměnna A uz ne. Pro takovouto transformaci F jsou podmínky 7.19 a 7.20 prevedeny na F'ux - A*p = 0, (7.22) a w - pTx = 0. (7.23) Podělíme-li 7.22 vírazem F' > 0 a polozíme-li A = , obdržíme rovnici 7.19. Evidentně je tedy resení pro x invariantní, zatímco A* je Lagrangeuv multiplikator pro transformovaný problěm. Věnujme se nyní diferencovatelnosti funkcí f (p,w) a 6(p, w) v bodě (x0,A0 ,p, w), kde x0 = f (p, w), A0 = 6(p,w). Mame dp = d T =-Ä2-(p,w) (7.24) tj. dx - pdA - A0dp = 0. (7.25) Podobně, dw = d(pT x) = pT dx + xT dp(p, w), (7.26) (7.27) rovnici poptévky spotřebitele: tj. dw - p dx - x dp = 0. Pritom U° = Uxx(x0) Po snadně upravě pak obdrzíme tzv. základné maticovou 82 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTRŽEBITELE "U0* pH d^i r a°e oi r dpi (7 28) _ pT 0 J [ -dA J [ -x0T 1 J [ dw J , (7.28) kde E je identickí matice typů l x l. Můzeme pritom formalne psat Kapitola 3 Těoriě ěkonomickě rovnovahy Tato kapitola je podstatním způsobem zalozena na clanků S. Smalea [27] a monografii G. Debreůa [7] ve zpracovíní v ramci diplomove prace Jirího Novotneho [20]. 1 Zakladní pojmy 1.1 Prostor komodit Prostor komodit je zaíkladním pojmem, na kteríem stojí i celyí matematickíy aparíat. Jeho podstatoů je, ňze v ekonomice je danyí poňcet komodit (komoditoů nerozůmíme jen zboňzí ňci slůňzby, ale cokoliv, co lze poůňzít ke smňenňe, vňcetnňe príace, komodita je ůrňcena svyími fyzickíymi vlastnostmi, datem a místem, kdy a kde je dostůpna). Necht' je techto komodit l, l G N. Akci jednotliveho ekonomickeho sůbjektů (v nasem prípade i-teho spotrebitele nebo vírobce) můzeme zapsat jako komoditní vektor v komoditním prostorů R1. xx i (xx ,xx ), xx cg lh 1,l 83 84 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Pomocí tohoto vyjadrení akce jednoho sůbjektů nyní můzeme popsat celoů ekonomiků. Pokůd je ícastníků daní pocet, napr. m, pak bůdoů vsechny akce v ekonomice popsíny vektorem komoditních vektorů z prostorů, z G Rim. Tedy z = (xi, ...,xm), xi G R1 i = 1,...,m. 1.2 Cenovy prostor Cenoví prostor lze povazovat za důalní koncept ke konceptů prostorů komoditního. Jako nejlepsí k ohodnocení komodit se hodí príve ceny. Tzn. ze ke komoditnímů prostorů priradíme cenovy vektor, pricemz jednotlive slozky si odpovídají (i-ta slozka cenoveho vektorů znací cenů i-te komodity). Aby cenoví prostor odpovídal nejlepe realne sitůaci bůdeme ůvazovat poůze nezíporne ceny - tůto mnozinů bůdeme znacit R+ = [0, to). * Tedy p =(pi,...,pl), ph G R+ h = 1,...,/ je cenovy vektor. Dalsí podmínkoů je, ze cenovy vektor je pro vsechny ícastníky stejní, takze vlastne repre-zentůje cenoví system. Hodnotů komoditního vektorů v danem cenovem systemů vyjídríme jako skalírní soůcin oboů vektorů. i w = p • x = phxh 1.3 Agenti Místo drívejsích, ponekůd kostrbatích pojmů "ícastník trhů, ícastník ekonomiky", nyní zavedeme pojem "agent". Z ekonomickeho hlediska agentem rozůmíme jak spotrebitele, tak vírobce. Pro odlisení techto pojmů v matematickem konceptů zavedeme nasledůjící znamenkovoů konvenci pro rozlisení vstůpů a vístůpů: pro spotrebitele bůdoů vstůpy kladne, vístůpy zaporne, pro vírobce naopak vstůpy zaporne a vístůpy * Komodity s nulovou cenou se v ekonomické teorii nazývají volné. 1. ZAKLADNI POJMY 85 kladne. Díky teto konvenci v matematickem vyjadrení nemusíme rozlisovat mezi pojmy spotrebitel a vírobce vystacíme pouze s pojmem agent. Je zíroven osetrena moznost, ze agent je soucasne vírobcem i spotrebitelem. 1.4 Existence rovnovahy Celkoví nabídka S (p) a celkoví poptívka D(p) jsou zobrazení z cenoveho do komoditního prostoru, tedy S, D : R+ - {0} — Rl. Predpoklídame, ze poptavka i nabídka jsou homogenní, tj. platí D(p) = D(Ap), S (p) = S (Ap) pro A G (0, oo). Ekonomika je v rovnovíze príve tehdy, kdyz zadní z agentu nechce zmenit její stav. Veskere vyrobene zbozí je take poptavíno a spotrebitele plne uspokojují sve potreby. D(p) = S(p), poptívka se rovna nabídce. Hledame tedy vektor p * G R+ — {0}, kterí splňuje D(p*) = S(p*). Oznacíme-li Z : R+ — {0} — Rl, Z (p) = D(p) — S (p) jako previs poptavky, pak hledame takoví vektor p*, pro kteríy Z (p*) = 0. Zobrazení Z je spojitíe a homogenní, neboli Z(Ap) = Z(p), pro vňsechna A > 0. 86 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY 1.5 Walras ův zakon Walrasuv zakon ríka, že celkoví hodnota poptívky je rovna celkove hodnote nabídky. Hodnotu nabídky lze interpretovat jako rozpoctove omezení cele ekonomiky a hodnota previsu poptavky je nulova: i p • z (p) = 0 cili ph zh(p) = 0 l Necht' je S1-1 = {p G ; ||p||2 = ^(p*)2 = 1} prostor normalizovanych cenovych systemu. Homogenita Z ním dovoluje zužit definicní obor Z na S1-1 G R. Podle Walrasova zíkona je Z (p) tecna S1-1 v bode p, nebot' vektor Z (p) je kolmy k p. Slaby Walrasuv zíkon ríkí, že pro každy cenoví vektor p G platí: p • Z (p) < 0. Definice 1.1 Necht' a G R a v G R1, pak zapis v < a znamení, že vh < a, pro h = 1,/. Necht' b G R1 a v G R1, pak zípis v < b znamení, že vh < bh, pro h =1, Podobne i pro =, <, >, >. Veta 1.1 (Debreů-Gale-Nikaido) Necht' je Z : R++ — {0} —► R1 spojite a splnuje slabí Walrasuv zakon. Pak existuje p* G R++ — {0} takove, že 1. ZÁKLADNI POJMY 87 Z (p*) < 0. Důkaz viz [27, strana 338-339]. Poznamka 1.1 Pokůd Z : R+ — {0} — R+ splňůje Walrasův zíkon a pro nejake p* platí Z (p*) < 0, pak bůd' Zh(p*) = 0 nebo p*h = 0. 1.6 Aproximace vícehodnotových zobrazení S (T) znací mnozinů konvexních podmnozin mnoziny T C R1. Definice 1.2 Necht' je K C R1 kompaktní, T C R1 kompaktní a konvexní. Pak zobrazení ^ : K — S (T) nazívame korespondence z K do T. Graf korespondence ^ je mnozina ľ, = {[x,y] G K x T; y G p(x)}. e-okolí grafů definůjeme takto: Be(ľ,) = {y G K x T; dist(y, ľ,) < e}. Veta 1.2 Jestlize je ^ korespondence z K do T s kompaktním grafem ľ^, potom pro dane e > 0 existůje spojite zobrazení f : K — T takove, ze ľ/ C Be(ľ^). Důkaz viz [6]. 88 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY 1.7 Vlastnosti konvexních množin a obalů Lemma 1.3 Soucet dvou konvexních mnozin R1 je konvexní mnozina. Důkaž: Necht' ai, a2 G A a bi, b2 gB, kde A a B jsou konvexní mnoziny. Pak platí t(ai + bi) + (1 - t)(a2 + b2) = (tai + (1 - t)a2) + (tbi + (1 - t)b2) G A + B. Lemma 1.4 Necht' Yj znaď konvexní obal mnoziny Yj v R1, pak m m D ůkaž: Staď dokízat, ze A + B = A + B. Tvrzení pro více mnozin se pak jiz jednoduse dokaze pomocí indukce. Podle lemmatu 1.3 je A + B konvexní mnozina. Protoze A + B je nejmensí konvexní mnozina obsahující A + B, platí A + B DA+B. Dukaz opacne inkluze je slozitejsí. Pro mnozinu X C R1 definujeme Xn = {J^tixj; xi G X, ti > 0, ^2ti = 1j, i=i i=i 1. ZÁKLADNI POJMY 89 tedy množina Xn je množinou všech konvexních kombinací n prvků z množiny X. Nechť 0,1,0,2 G A, b\, b2 G 5 a t, s G R takove, že t, s G (0,1). Platí toi + (1 - t)o2 + sbi + (1 - s)b2 = tOi + tbi + (s - t)bi + (1 - s)b2 + (1 - s)o2 + (s - t)02 = t(0i + bi) + (s - t)(02 + bi) + (1 - s)(02 + b2). (1.1) Dale doštávame 00 00 fc=1 r=1 Z platnosti vztahu (1.1) vyplývá, že Dále platí A2 + B2 C (A + B)a C A + B. X2k+l = (^2fc )2 Inkluze X2k+i D (X2k) je zřejmá. Obrácené: Necht' x G X2k+i. Pak x = íjXj; kde íj = 1, t > 0. i=1 i=1 (1.2) (1.3) Pokud 0 < t i < 1, pak i=1 i=1 ti i=1 ti i=1 2k+1 + ( ti ,i=2fc + 1 ti ^ 2k+1 5^ 2fc+l i=2k+1 tj V i=2k+1 / G (X2k)2 90 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY 2k Pokud U = 0, pak Analogicky pro Y t* = 1. Nyní indukcí dokížeme, že A2k + B2k C A + B. Pro k = 1 to plyne z (1.2). Dale pokracujeme indukcí. Predpokladame, že inkluze platí pro k. Pro k + 1 pomocí vztahu (1.2) a (1.3) dostaneme C (ATB )3 = A~+B Tedy platí A + B = \J A2k +U B2k = U (A2k + B2k) C fc=i fc=i fc=i C A + B. Rovnost A + B = A + B tedy platí a lemma 1.4 je dokízano. Lemma 1.5 Necht' A značí uzáver množiny A. Pak platí A + B C A + B. 2. VÝROBCE 91 Důkaz: Necht' a G A a b G B a pro an G A, resp. bn G B platí an — a, resp. bn — b. Pak platí, že a« + bn G A + B a žaroven an + bn — a + b, ž cehož vyplíva a + b G A + B. 2 Výrobce 2.1 Úvod Nyní se budeme žabyvat výrobní stranou ekonomiky. Hlavní rolí výrobce je sestavit a uskutecnit svuj vírobní plín. Pro každeho ž n, j = 1,..., n vírobcu to žnamena urcit množství vsech svích vstupu a vystupu. Bod y j G R1 se nažíva produkce a ožnacuje vsechny dosažitelne i nedosažitelne produkce daneho vyrobce, množina dosažitelních produkcí se žnaď Yj a nažíva se produkční množina. Celkova produkční množina a celkoví dosažitelna produkční mnozina vžniknou sectením dílcích množin, tedy: nn y = Y1 yj a Y = Y1 yj Jelikož tímto sectením dojde k odstranení presunu komodit meži vírobci, predstavuje y cistí vystup ekonomiky. 92 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY 2.2 Vlastnosti produkčních množin O prodůkcních mnozinach predpoklýdýme (na nekterých místech víkladů) nasledůjící: (a) Y j je ůžavrený. Necht' je yq posloůpnost prodůkcí doštůpných j-temů vyrobci a pokůd yq — y0, pak je i y0 dostůpní j-temů vyrobci. (a') Y je ůzavrena. (b) 0 G Yj (moznost zídne prodůkce) Vírobce ma moznost nedelat nic. (b') 0 G Y. (c) Y n (—Y) = {0} (podmínka nenavratnosti) Tato podmínka ríka, ze vyroba je "jednošmerný proces", kdy vystůp jiz nelze znovů "rozlozit" zpet na původní vstůpy. (d) Yj je konvexníí. Pokůd jsoů y1 a y2 dosazitelne prodůkce, je došažitelný i jejich važený průmer ty1 + (1 — t)y2 pro libovolne t G (0,1). (d') Y je konvexníí. (e) Y D (—R+) (podmínka volneho poůzití) Celkova prodůkce s nůlovími vístůpy je dosazitelna. Tzn. ze vyrobci poůzívají vsechny vyprodůkovane komodity jako vstůpy. (f) Y — R+ C Y Tato vlastnost je důsledkem vlastností (a'), (d') a (e) pro Y, viz [7], strana 42. 2. VYIROBCE 93 Z techto uvedeních podmínek vychazí Arrowova-Debreuova veta uvedena v nasledující kapitole. Produkcní mnoziny mají nekolik dalsích vlastností. (g) Nejprve necht' R+_ = {x G R1; x > 0j a Y C R1, pak platí: Y n R++ C {0 j (nemoznost volne produkce) Vístupy dosazitelne celkove produkce s nulovími vstupy jsou nulove. (h) (Yj + Yj) C Yj (aditivita) Pokud jsou dva vírobní plany dosazitelne samostatne, pak jsou dosazitelne i spolecne. (i) Yj- je kuzel s vrcholem v bode 0. (konstantní vínosy z rozsahu) Tzn. yj g Yj ^ tyj G Yj, t > 0. Pomery vstupu a vístupu ve vyrobe jsou stejne, ale rozsah muze bít libovolne menen. 2.3 Maximalizace žisků Kazdí racionalne uvazující a jednající vírobce (dale budeme uvazovat pouze tyto) se snazí maximalizovat zisk z prodeje svych vystupu. V danem cenovem systemu p a pri produkci yj se tedy snazí maximalizovat ziskovou funkci n j (p, yj) : Yj — R definovanou nj (p,yj) = p ^ yj. Pro tuto funkci platí nj (tp,yj) = tnj (p,yj). Celkoví zisk vsech vírobcu je p • y. Vírobce si vybírí takovou produkci z produkcní mnoziny Yj, kterí maximalizuje jeho zisk, tato se pak nazyví rovnovaZna produkce. Pokud p = 0 a yj je produkce maximalizující zisk, pak mnozina Yj lezí v uzavrenem poloprostoru pod nadrovinou H = {y G R1, p • y = p • yj j urcenou normalovím vektorem p. Mnozina maxim je dana průnikem Yj a H. 94 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Nabídkou j-teho výrobce rozumíme korespondenci Sj : R1 — {0} — Yj. Výsledkem je množina vsech dosažitelných produkcí, které maximalizují výrobcův zisk, tedy Sj(P) = {y ^ Yj; p • y = p • y}. Celková nabídka je korespondence S : R1 — {0} — Y definovana takto: n j=1 Celkova produkce y maximalizuje zisk na Y tehdy a jen tehdy maximaližuje—li zisk každe y j na Yj. 3 Spotřebitel 3.1 Úvod Spotrebitel je v ekonomice charakterizovýn svými preferencemi a svým rozpoctovym omezením. Jeho hlavní charakteristiky nam podavají spotřební množina X a jeho preference. Spotrební mnozina Xj je mnozina vsech dosazitelnych spotreb, spotrebu urcuje bod Xj komoditního prostoru. Spotrebitelovou rolí v ekonomice je vybrat si a uskutecnit spotrební plan pro budoucnost, tzn. urcit mnozství vstupu a výstupu. 3.2 Vlastnosti spotřebních množin Uvazujme m spotrébitelu. Spotrební mnozinu i-teho spotrebitele (i =1, 2, m) oznacme Xj. Platí pro ni nýsledující podmínky: (a) Xj je uzavréný mnozina. 3. SPOTŘEBITEL 95 (b) Xj je zdola ohraničená. To znamená, ze existuje takove dj G R1, Ze Xj C {x G R1 | x > dj}, coz zapisujeme take Xj > dj. (c) Xi je konvexní. Tzn., pokůd x1 a jsoů dve mozníe spotreby i-tíeho spotrebitele, je jeho moznoů spotreboů i jejich vízení průmer tx1 + (1 — t)x2, t G (0,1). 3.3 Preference spotřebitele Zakladem zkoumání chování spotřebitele pri výberu optimainího spotřebního koSe jsou spotřebitelovy preference. Na jejich zaklade spotrebitel rozhoduje, ktera ze spotreb je pro nej "lepsá" nebo "horsí". Preference zahrnují faktory biologicke, psychologicke, kulturní, spolecenske a dalsí. Tyto preference popisuje uplna pre-ferencní relace Váraz x1 _ x2 znamena, ze spotreba x1 je pro spotrebitele "nejvíse tak dobrá" jako spotreba x2. Tato relace je reflexivní a tranzitivní. Pro kazde xj G Xj jsou mnoziny {xj G Xj; xj xj} a {xj G Xj; xj yj xj} uzavrene v Xj (podmínka spojitosti). Váraz x1 ~ x2 znamena, ze spotrebitel je k obema vábením indiferentná, tedy ze nemuze ráci, která je "lepsí" a která "horsí". Tato relace je navíc i symetrická. Pro spotrebitelovy kose x1 a x2 platí x1 ~ x2 práve tehdy, kdyz x*1 x *2 a x*1 x *2 iAj j _J iAj j Cm j —_ j * Bod xj G Xj se nazává nasycení, pokud neexistuje lepsí dostupna spotreba. 96 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY 3.4 Uzitkova fůnkce Spotrebitelovy preference reprezentuje uzitková funkce^ u* : X* — R. Tato funkce je rostoucí a platí pro ni níasledující podmínka: (x ^ y) & (u(x) < u(y)) Užitkova funkce ma nasledující vlastnosti: (a) u* nema maximum (podmínka nenasycenosti). Vx* G X*, 3x7 G X* : x* x*. (b) u* splňuje podmínku konvexity: pokud x,x' G X* a u*(x) > u* (x'), potom u*(tx + (1 — t)x') > u* (x') pro každe t G (0,1). Poznámka 2.1 Funkce u* je konkívní a pritom splnuje podmínku konvexity (platí zíkon klesíjícího mezního užitku), naopak konvexní funkce podmínku konvexity splnňovat nemusí. Duležitím pojmem pro studium chovaní spotrebitele je indiferencní plocha, kterou definujeme jako vrstevnici funkce u*, {x G R1, u*(x) = c}. V dvourozmernem prípade mluvíme o indiferencní krivce, ta vyjadruje vsechny kombinace danych dvou komodit, ktere mají pro daneho spotrebitele stejní užitek. 3.5 Rozpoctove omezení Spotrebitel samozrejme nemuže spotrebovavat do nekonecna, je ohranicen svím rozpoctovám omezením. Hodnota w* techto prostredku spotrebitele omezuje pri víberu kombinací komodit z komoditního prostoru, a to tak, že nemuže tuto hodnotu prekrocit. Spotrebiteli jsou tedy dostupne pouze ty komoditní vektory, ^Nutnou a postačující podmínkou existence spojité funkce užitku je, aby množina A = {(x, y) G R1 x R1; x < y} byla vzhledem k R1 x R1 uzavřena. 3. SPOTŘEBITEL 97 jejichž hodnota je menší nebo rovna hodnotě jeho prostředků wi. V danem cenovém systému pak rozpočtové omezení definujeme jako skaiarní součin p • x = ph • xh = wj; ph,xh E R, wi E R, přičemž ph jsou složky cenoveho vektoru a xh složky komoditního vektoru. Nadrovina [a E R1; Y ph • ah = wi} se nazývá rozpočtová nadrovina. Nerovnost p • xi < wi ríká, že xi leží v h=l poloprostoru pod rožpočtovou nadrovinou. Každý spotrebitel disponuje majetkem ei E Xi, pričemž existuje takove xi E Xi, že platí ei > xi. Pokud uvažujeme ekonomiku se soukromými vlastníky, potom 6ij žnačí podíl i-teho agenta v j-te firme s výrobou m y j E R1. Je žrejme, že 0 < 9ij < 1 a Yl = 1. Pro daní čenoví system p je bohatství i-teho agenta m Wi = p • ei + 9ijrp • yj. j=l Vektor w E Rm se nažíví rozloZeni bohatství a jeho složkami jsou hodnoty bohatství jednotlivyčh spotrebitelu (wi). 3.6 Rovnováha spotřebitele Spotrebitel dosahuje optima, pokud si vybere takovy spotrební kos xi, kterí mu v preferenčním usporídaní prinísí nejvetsí užitek, a žaroveň platí, že vídaje p • xi na tento spotrební kos jsou ^jvíse rovny jeho bohatství wi. Ními uvažovaní račionílne jednajíčí spotrebitel si samožrejme takoví kos vybere a bude jej na trhu poptíavat. Spotrebitelovou poptávkou rožumíme korespondenči Di(p) : R1 — [0} —► Xi definovanou jako množinu vsečh 98 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY dosažitelných spotřeb xi g Xi, v nichž užitkový funkce ui(xi) nabyva sveho maxima na rozpočtove množine Bi = {x g Xi; p • x < wi}, tedy Di(p) = {x g Bi; ui(x) = maxui(x)}. Vsechny body z množiny Di(p) jsou navzýjem indiferentní a pro vsechny xi g Di(p) a xi g Bi platí nerovnost xi ^i xi. Pro poptavku samozrejme platí: Di(tp) = Di(p), pro libovolne t > 0. m Celkova poptavka je korespondence D (p) : R1 — {0} — \J Xi definovana takto: i=1 n D(p) = £ Di(p). i=1 4 Rovnováha ekonomiky 4.1 Definice rovnováhy m n l Rovnováha ekonomiky je její stav (x, y,p), kde x g n Xi, y g n Yj, p g S+-1 = {p g R+; ||p|2 = J^(pi)2 = i=1 j=1 i=1 1}, který splňuje nýsledující podmínky: m n m (A) Dosažitelnost, neboli Yl xi = Yl yj + Yl ei. i=1 j=1 i=1 (B) Každy spotrebitel se snaží maximalizovat svuj užitek, neboli xi je spotreba, pri níž ui dosahuje maxima n na rozpočtove množine Bi = {x g Xi; p • x < p • ei + ®ijp • yj}. j=1 4. ROVNOVAHA EKONOMIKY 99 (C) Kazdy vírobce se snazí maximalizovat svůj zisk, neboli y j je víroba, pri níz je n j (p, y,) = p • y, maximíalní na Yj. 4.2 Arrowova-Debreuova veta Arrowova-Debreuova veta: Pro ekonomiků splnůjící podmínky 2.2 (a'), (b'), (c), (d'), (e), (f) a 3.2 (a), (b), (c), 3.4 (a), (b) vzdy existůje rovnovažný stav. Nez dokazeme Arrowovů-Debreůovů vetů, ůvedeme a dokýžeme vetů 4.1 a vetů 4.6, ktere splnůjí silnejsí predpoklady. Definice 4.1: Konvexní mnozina K se nažývý striktne konvexní, jestlize pro vsechna x,y G K, x = y a t G (0,1) je tx + (1 — t)y G K°, kde K° je vnitřek K. Veta 4.1: Predpokladejme nyní, ze ekonomika popsana vyse splnůje krome predpokladů Arrowovy-Debreůovy vety tyto dodatecne podmínky: (1) Kazda Yj je ůzavrena a striktne konvexní. (2) Každý u splnůje podmínků ostre konvexity tj., pokůd u^(x) > c, uj(x') > c, x = x' a 0 < t < 1, potom u(tx + (1 — t)x') > c. Potom existůje rovnovazny stav. Požnamka 4.1 Podmínka (2) z vety 4.1 neznamena, ze u» je striktne konvexní. Díle si ůvedomme, ze podmínka ostre kon- 100 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY vexity je ekvivalentní s tím, ze funkce je ostre kvazikonkavní (viz str. 73). K dukazu vety 4.1 budeme potrebovat nekolik lemmat. Lemma 4.2: (zakladní odhad) Necht' je Y uzavrený konvexní podmnozina R1 s vlastnostmi Y n (—Y) = {0} a Y D — R+. Pak pro dane n b G R; a n prirozene existuje konstanta c takova, ze pokud yi, ...,yn G Y a Y yj > b, potom || yj ||< c pro vsechna j. K dukazu tohoto lemmatu pouzijeme nasledující tri tvrzení. V nich oznacme K = {y G Y; ||y|| = 1}. Tvřžení 4.1: Pocatek 0 prostoru R1 nelezí v konvexním obalu mnoziny K. Důkaž: r Predpoklýdejme, ze + ... + arxr = 0 pro xj G K, 0 < aj < 1, Y aj = 1. Pak j=i —a1 x1 = a1 • 0 + a2x2 + ... + ar xr Protoze 0, x2,..., xr G Y a Y je konvexní, lezí výraz na prave strane v Y. Výraz —a1x1 lze rozepsat takto: — 1 x1 = — ( 1 x1 + (1 — 1 ) • 0) Tedy —a1x1 lezí rovnez v —Y. Z toho vyplývý, ze a1x1 G Y n (—Y) = {0}. Zaroven ||x1| = 1, tedy a1 = 0, coz je spor s predpoklady. 0 tedy nepatrí do konvexního obalu mnoziny K. 4. ROVNOVAHA EKONOMIKY 101 Tvrzení 4.2: Existuje q = (q1, q2,..., q1) G R1, qh > 0 pro vsechna h, takove, ze pro vsechna x G K platí q • x < 0. D ůkaž: Jestlize A C R1 je kompaktní konvexní mnozina a bod b G R1 nelezí v A, pak lze A od b oddelit nadrovinou qixi + q2x2 + ... + q;x; = c. Necht' je nyní konkretne A konvexním obalem mnoziny K, pak dle tvrzení 1 platí 0 G A. Existuje tedy nadrovina, ktera oddeluje A a 0. Tato nadrovina ma rovnici q • x = c. Pro vsechna x A platí níasledující nerovnosti: q • x < c 0 = q • 0 > c Tedy pro vsechna x G K C A platí q • x < 0. Navíc pro vsechny vektory vh standardní baze v R1 platí -vh G K a - qh = q • (-vh) < 0. Tedy qh > 0, pro vsechna h. ■ Tvržení 4.3: Existují konstanty e > 0 a // > 0 tak, ze pro vsechna x G Y, platí q • x < /// + e - e||x||. D ůkaž: Necht' q G R1 je vektor z tvrzení 4.2. Nejprve definujme: /// = max{q • x; ||x|| < 1 j -e = max{q • x; x G K j 102 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY Nyní rozlisíme dve moznosti: (1) Necht' ||x|| < 1. Potom q • x < P < P + e — e||x||, nebot' e — e||x|| > 0. (2) Necht' ||x|| > 1, pak G K a platí: x —e > q • t.—t: . | x| Tedy —e| x| > q • x a odtůd q • x < —e||x|| < —e||x|| + P + e, nebot' P + e > 0. Uvedení nerovnost tedy platí. Dukaž lemmatu 4.2: Necht' q G R1 je vektor z tvrzení 4.2. n Predpokladejme, ze E yj > b pro y, G Y Potom platí: feyj) >b" 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 103 Nerovnost vynasobíme císlem qh > 0 a dostaneme _Jyj) qh > bhqh. Nyní vse secteme podle h a vísledkem je nerovnost / n \ h j= Odtud dostavame: nn b • q < J] yj • q <£ ((/? +e) - elly II) = n(/? + e) - ^ lly ll j= j= j= Po íprave: n e E llyjII + b • q < n(/3 + e) j= n E llyj ll < Lemma 4.3: Necht' i = 1,m a necht' Xi > di. Pro dane ci G Rl existuje a > 0 tak, že pro vsechna xi G Xi takova, že i= 104 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY platí || xj ||< a, pro vsechna i. D ůkaž: Platí níasledující nerovnost: (dj)h — (xj)h =(x1 + ... + xm)h — (x1)h — ... — (xj_1)h — (xj+1)h — ... ... — (xm)h — (c1)h — (d1)h — ... — (dj_1)h — (dj+1)h — ... — (dm)h Tedy pro |(xj)h| platí nýsledující: |(xj)h| — max(|(d1 |(dj_1)h|, |(dj+1)h|,..., |(dm)h|, mm |(c1)h — £ (dk)h + (d1)h|, |(c1)h — £ (dk)h + (d2. . . , k=1 k=1 m |(c1)h — £(dk)h + (dm)h|) = ah k=1 [T Tedy |(xj)h| — ah. Definujme a = J £(ah)2 + 1. Z toho dostívame k=1 ||xj|2 — É(x^)2 = É(ah)2 < í>h)2 + 1 = a2. h=1 h=1 h=1 Nabídka firmy j je definována jako Sj(p) = {y E Yj; p ■ y = maxyeyj. p ■ y}. Nyní nechť b = £ di — £ ei i=1 i=l m a zvolme c sťejne jako v Lemmaťu 4.2 ťak, ze kdyz £ yj > b, poťom || yj ||< c, pro všechna j. Nechť' j=l Yj = Yj- n Dc, kde Dc = {y E Dl; || y ||< c}. Pro p E R+ — {0}, je Sj(p) = y E Yj ťakove, ze funkce 4. ROVNOVAHA EKONOMIKY 105 n (p, y) = p • y, ma na Yj maximum v y. Potom se Sj nazíví falesná nabídka firmy j. Lemma 4.4: Funkce n (p, y) = p • y nabyva na Yj sveho maxima prave v jednom bode. Tedy funkce Sj : R++ — {0} — Yj je dobre definovína. Dale je spojita a platí pro ni: (1) Sj (Ap) = Sj (p) pro A > 0. (2) Jestliže ||Sj (p)|| < c, pak n (p, y) = p • y nabíva sveho maxima na Yj- rovnež v bode Sj (p). D ůkaz lemmatů 4.4: Sporem dokažeme, že funkce n (p, y) = p • y nabyva na Yj sveho maxima prave v jednom bode. Necht' n (p, y) = p • y nabyva sveho maxima v bodech y a y. Musíme dokízat, že y a y leží na hranici. Kdyby y G Y^j0, pak by pro vsechna t > 0 bylo (y + tp) ^ p = yp + t||pf >yp y a y musí tedy ležet na hranici a platí py = py = q. Predpoklídejme, že y = y. Potom funkce p • y nabíva sveho maxima ve vsech bodech ísecky yy. Platíí tedy p(ty + (1 — t)y) = tpy + (1 — t)py = tq + (1 — t)q = q. Body ty + (1 — t)y musí tedy ležet na hranici, což je ovsem spor se striktní konvexitou množiny Yj- n Dc. Dukaz spojitosti funkce Sj : R++ — {0} — Yj vynechíme. (1) Funkce n (p, y) = py a n(Ap, y) = Apy nabívají sveho maxima ve stejních bodech množiny Yj. Tedy SSj(Ap) = SSj(p). (2) Predpokladejme, že existuje y G Yj\Yj takove, že py > pSj(p). 106 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVÁHY Uvažujme ísecku y Sj(p). Tato ísecka leží cela v Yj, nebot' Yj- je konvexní. Navíc existuje e > 0 tak, že pro t G (0,e) je y =(1 - t)Sj(p) + ty G Yj-, nebot' llSj(p)ll < c. Potom n(py) = py = (1 - t)p ^ (1 - t)p ^ (p) + tp ^ (p) = p ^ u(x) = u(x), pro t G (0,1), coz je spor s tím, ze ui nabíva v bodech x a x sveho maxima. (2) Dukaz vynechame. (3) Di(Ap) nabíva maxima na mnozine BAp, pro niz platí m BAp = {x G Xj; Apx < Wi(Ap) = Apei + #ij^p ui(x). Pak usecka x x lezí cela v {x G R1; xp < íyi(p) j, cela v Xi a její císt v Da. Tedy existuje t > 0, t G (0,1) takove, ze (1 - t)x + tx G Xi n {x G R1; xp < wxi (p) j n Da = bBp 108 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY Z podmínky striktní konvexity na uj vyplývý, ze — ŕ)x + ŕ?) > u (x), coz je spor. ■ Důkaž vety 4.1: Nejprve si zvolíme konstanty. nn j=1 j=1 a c zvolme podle Lemmatu 4.2. Dýle necht' c1 = (mc + e1, mc + e2,..., mc + e1), n kde (e1, e2,..., e1) = £ e». Podle Lemmatu 4.3 zvolme a. Pro tato c a a dostaneme Yj a Xj a z nich falesnou j=1 nabídku a falesnou poptavku. Dale definujme funkce S?, -D, Z : R+ — {0} — R1 takto: m n n S = Xľ Sj + £ ej, D = £ DDj, Z? = D — S?. j=1 j=1 j=1 Z? ma nasleduj ící vlastnosti : (1) Je homogenní, nebot': n mm n ?(Ap) = D(Ap) — ?(Ap) = £ Dj(Ap) — £ Sj (Ap) — £ ej = j=1 j=1 j=1 n ^ m ^ n ^ ^ ^ = E Dj(p) — £ Sj (p) — £ ej = D (p) — S?(p) = Z?(p) j=1 j=1 j=1 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 109 (2) Z je spojita. (3) Splňuje slabý Walrasuv zakon: Pro vsechna p je p • Z(p) < 0. Platí totiž p ^ ^(p) = p ^D(p) — p ^ s(p) = E p ^ a(p) — E p ^ sj(p) — E p ^ ei = i=1 j=1 i=1 n ^ n n ^ = E p ^ A(p) — E wí(p) = E[p ^ Di(p) — w^(p)] < 0, i=1 i=1 i=1 nebot' A(p) g £>). Podle vety 1.1 existuje p* g R+ — {0} tak, že Z(p*) < 0. Definujme y* = Sj(p*), x* = Dj(p*). Protože i^(p*) < 0 dostívýme n Yx - Y yj*- Y ei -0 a tedy 5ľ x - Y yj* + 5ľ í=i j=i í=i í=i j=i í=i Dale platí ]Cy* ^Yx** — ei ^ Y di — ei =b j=1 i=1 i=1 i=1 i=1 a tedy podle Lemmatu 4.2 ||y*|| < c. Podle Lemmatu 4.4 je y* bodem maxima funkce n(p*,y) na Yj. Takže je splnena podmínka (C) z definice rovnovýhy. Platí nasledující nerovnosti n m n n y^x** < ^ y* + ^ ei < n(c, c,..., c) + ^ ei = (mc + ei,mc + e2,... ,mc + ei) = ci. i=1 j=1 i=1 i=1 110 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKEI ROVNOVAIHY Podle Lemmatů 4.3 11 xx* 11 a. Dle Lemmatů 4.5 je x* bodem, kde ui nabíví sveho maxima na . Tedy platí podmínka (B), podle níz spotrebitel maximalizůje svůj ůzitek na sve rozpoctove mnozine. Nyní dokaíňzeme zbyívající podmínků (A). Necht' n m n xi* i=1 j=1 i=1 x; = y* + 5ľ ei— z, z G R+ Skalírne vynísobíme s p* a dostaneme n m n >2_^ xip — 2^ yjp — eip =zp , i=1 j=1 i=1 pricemz vsechny slozky z a p* jsoů vetsí nebo rovny nůle. Odtůd plyne z • p* = 0. Podle vlastnosti 2.2(e) prodůkňcních mnoňzin, m Y — R+ C Y = £ Yj, j=1 platí, ňze m ";y* — z G Y. j=1 4. ROVNOVAHA EKONOMIKY 111 Tedy existůjí yj G Yj tak, ze j= j= Potom mm m m p*(£ yj) = p*(£ y; — z) = p* £ y;) — p*z = p*(£ y;), j= j= j= j= mm protoze p* • z = 0 a tedy E p*yj = E p*y;. j= j= y; je maximům n j na Yj, tedy mm Jelikoz E pyj = E pyj* můsí bít j= j= pyj = pyj;. Tedy pro (p*,x*,y) platí (C). Navíc n m n m n 5>* = Zy; + Z ej— z = Z yj + Z ej, i=l j'=l i=l j'=l i=l tedy (p*,x*,y) splnůje podmínků (A) dosazitelnosti stavů ekonomiky. Protoze platí podmínky (A), (B) a (C), je stav (p*,x*,y) rovnovaznym stavem ekonomiky a Veta 4.1 je tím dokíazíana. Zobecnením vety 4.1 a dalsím krokem k důkazů Arrowovy-Debreůovy vety je nasledůjící veta 4.6. 112 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY Veta 4.6 Necht' jsou splneny predpoklady Arrow-Debreuovy vety a necht' navíc každa Yj- je uzavrení a konvexní. Potom existuje rovnovíaňžníy stav. K jejímu dukazu budeme potrebovat definice falesne nabídky Sj a falesne poptavky D* jako korespondence. Definujme korespondenci Sj (p) : S1-1 — Yj takto: Sj(p) = {y G Sj = Yj n Dc; p ^ y = maxp ^ y}. Lemma 4.7 (vlastnosti SSj) Korespondence SSj mía tyto vlastnosti: (1) SSj(p) je konvexní užavňrenía mnoňžina. (2) Graf ľ^. = {(p, y) G x Yj, y G Sj(p)} je kompaktní. (3) Jestliňže yj G SSj(p) a | yj| < c, pak yj G Sj(p). D ůkaz: (1) Necht' yi,y2 G S>j(p) jsou ruzne a libovolne. Potom n(yi) = n(y2). Necht' y3 = tyi + (1 — t)y2 pro nejake t G (0, 1). Platíí n(y3) = py3 = ptyi + p(1 — t)y2 = tpyi + (1 — t)py2 = = tn(yi ) + — t)n(y2) = n(yi). Tedy y3 je prvkem mnoňžiny SSj(p). (2) Dukaz vynechanie. (3) Dukaz se provadí stejne jako v Lemmatu 4.4 (2). 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 113 Funkce Wi : Sl+ 1 — R definovaná takto: m Wi(p) = p • ei + ^ % • p • Sj(p) je dobře definovaná a spojitá. Falešnou poptávku definujeme jako korespondenci _Di : S1^1 — Xj uřCenou vztahem -Di(p) = {x G Xi n -Dc; funkce nabýva maxima v x na Bp = {x G Xi; p • x < Lemma 4.8 (Vlastnosti D*) Pro korespondenci platí: (1) D*(p) je konvexní a ůzavrena mnozina. (2) Graf ľg. = {(p, x) G S1^1 x X*, x G D* (p)} je kompaktní. (3) D*(Ap) = Di(p). ^ (4) Jestlize x* G D* (p) a yx*y < a, pak x* G D*(p). Důkaz: (1) Nejprve ůkazi, ze -D*(p) je ůzavrena. Pro xn G -D*(p) platí, ze u*(xn) je bodem maxima fůnkce u*(x) na mnozine -B(p). Necht' xn — x' G Bp, jelikoz je u*(x) spojití, platí u* (x') = lim u*(xn) = max u* (x), 114 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY tedy x E .Di(p) a Á (p) je užavrení. Nyní ukíži, že -Di(p) je konvexní. Pro body z, y E Xi splnujíčí ui(z) = ui(y) = maxxeBbp ui(x) platí p(tz + (1 — t)y) = tpz + (1 — t)py < < t • íSi(p) + (1 — t) • íSi(p) = íSi(p). Z toho vyplyva, že tz + (1 — t)y E -£>p. Podle vlastnosti (2.4b) ui(tz + (1 — t)y) > ui(x) = max ui(x). Tudíž ui(tz + (1 — t)y) = max ui(x) a ž toho vyplíva, že tz + (1 — t)y E Di(p). Di(p) je tedy konvexní. (2) Dukaž vynečhame. (3) Di(Ap) nabíva maxima na množine £>ap, pro niž platí m bBap = [x E Xj; Apx < íSi(Ap) = Apei + Y %ApSj(p)} j=1 m = [x E Xj;px < íSi(p) = pei + #ijpSj(p)} = 5P j=1 Hledame tedy bod maxima stejne funkče na stejne množine. (4) Dukaž se provadí stejne jako v Lemmatu 4.5 (4). Důkaz vety 4.6 Nejprve si opňet žvolíme konstanty. i=1 i=1 4. ROVNOVAHA EKONOMIKY 115 a c zvolme podle Lemmatů 4.2. Daíle necht' cl = (mc + el,mc + e2,...,mc + e1). Podle Lemmatů 4.3 zvolme a. Pro tato c a a dostaneme Yj a Xi a z nich falesnoů nabídků S j (p) s vlastnostmi v Lemmatů 4.7 a falesnoů poptívků Dj (p) s vlastnostmi v Lemmatů 4.8. Vezmeme e > 0. Podle vety 1.2 existůje spojití fůnkce Sje : — Yj tak, ze Tbj, C B Os,). Stejne pro .Dj dostaneme spojite zobrazení Die : — Xi s vlastností pro ktere navíc na platí p • Die(p) — jřSi(p) < e p • D je (p) < wSi (p) + e. Definůjme Z£ : — R1 a Z£ : — R1 takto n ^ m ^ n Z(p) = E Die(p) — E sSje(p) — E ei i=1 j=1 i=1 Ze(p) = Ze(p) — (p ^ Ze(p)) ^ p. Pak platí p ^ Ze(p) = p ^ Ze(p) — (p ^ Z(p))(p ^ p) = = p • Z ( p) — p • Z ( p) = 0. 116 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY Díale platíí n m n p ^ ze(p) = Y jDje(p) ^p—Y S?je(p) ^p—Y ej ^p= j=1 j=1 j=1 n m n m m = Y Dj£(p) ^p—Y ?je(p) ^p—Y ej ^p—Y ?j(p) ^p+Y ?j(p) ^p j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 n m nm m = S jDje(p) ^p—Y ?j(p) ^p—Y ej ^p+Y ?j(p) ^p—5ľ ?je(p) ^p j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 nm - S jDje(p) ^p—w?j(p) + Y ?j(p) ^p—Y ?j'e(p) ^p <2e j=1 j=1 j=1 Z£ splnuje Walrasuv zakon. Podle vety 1.1 existuje p£ G S+ 1 tak, ze Z£(p£) - 0. Podle poznaímky 1.1 je bud' Zh(p£) = 0 nebo = 0. (4.1) Z (4.1) a z nerovnosti pro p • Z£(p) plyne Zh(p£) = (pe • Z£(p£))ph < 2e • - 2e, pokud = 0 nebo Z£h(p£) - 0, pokud = 0. Tedy Z£*(p£) — 2e pro vsechna h. 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 117 Nečht jsou yje = Sj£(pe) a xie = _Die(pe). Díle mame posloupnost [ek}^=1 konvergujíčí k 0. Z ní lže vybrat podposloupnost tak, ňže pfc — p* E S+1, yj£fc — yj* E Sj (p) xi£fc — x* E Di(p). Stejne jako v dukažu vety 4.1 se ukaže, že když yj* E Sj(p*) a || < c, potom y* E Sj (p*), čož je podmínka (C) ž definiče rovnovahy, a že když x* E -Di(p*) a ||x*|| < a, potom x* E Di(p*), čož je podmínka (B) ž definiče rovnovíhy. Nyní již žbíví použe dokížat podmínku A ž definiče rovnovahy. Z definiče Z1 plyne, že nmn i=1 j=1 i=1 Limitním prečhodem dostaneme nerovnost nmn Ex*h — £ yľ' — £ eh < 0. i=1 j=1 i=1 Tudíňž platí i=1 j=1 i=1 118 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Nyní budeme postupovat stejne jako v dukažu vety 4.1. Poloňžme n m n J>* = J] y*i + S ei — z, z e R++. i=l j=l i=l Skalírne vynísobíme s p* a dostaneme nmn i=l j=l i=l pričemž vsečhny složky z a p* jsou vetsí nebo rovny nule. Odtud plyne z • p* = 0. Podle vlastnosti 2.2(e) produkčníčh množin, m Y — R++ c Y = £ Yj, j=l platí, ňže m Ey* — z e Y. j=l Tedy existují yj e Yj tak, že mm yj = yj* — z. j=l j=l Potom m m m m p*(£ yj) = p*E y* — z) = p*E y*) — p*z = p* E y*), j=l j=l j=l j=l 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 119 m m protože p* • z = 0 a tedy Y P*Vj = p*y*. j=i j=i y* je maximum n j na Yj, tedy nj(p yj) = pyj < py* = nj(py*) mm Jelikož Y pyj = Y py* musí být pyj = py*. Tedy pro (p*,x*,y) platí (C). Navíc n m n m n Zx** = Zy* + Z ei- z = Z yj + Z ei' i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 tedy (p*,x*,y) splňuje podmínku (A) dosažitelnosti stavu ekonomiky. Protože platí podmínky (A), (B) a (C), je stav (p*, x*, y) rovnovažným stavem ekonomiky a Veta 4.8 je tím dokíažíana. Než žacnu dokažovat vlastní Arrowovu-Debreuovu vetu musím jeste ukažat lemma o vlastnostech množin Yj a Y. Lemma 4.9 Necht' Yj* žnací užíver konvexního obalu množiny Yj, neboli Yj* = Y .Za predpokladu, že Y Y j = Y je j=1 konvexní a užavrena, platí m Eyj* = Y j=1 Důkaz: 120 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKEI ROVNOVAIHY Podle lemmatu 1.4 je m m m £y* 2£ >j- = £ Yj = y = y. j=i j=i j=i Podle lemmatu 1.5 platí, že m m _ m j=i j=i j=i Pro výraz E Yj platí j=i m m EY = E yj = y = y = y j=i j=i a lemma 4.9 je tedy dokazano. Důkaz Arrowovy-Debreuovy vety Rozdíl mezi Arrowovou-Debreuovou vetou a vetou 4.6 spočíva v podmínkých kladených na množiny Yj-. Yj- m obecne nejsou ani konvexní ani uzavrene, pouze o E Yj- se predpoklýda, že je uzavrený a konvexní. _ j=i Nyní místo Yj- uvažujme Yj* = Y. Platí mm Yj C Yj* a = Y = £ Yj*. j=i j=i 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 121 Aplikujeme-li vetu 4.6 na množiny Y*, obdržíme rovnovážný stav (x*, y*,p). Podle lemmatu 4.9 pro y* G Yj* platí, že Tedy existují yj G Yj- takove, že j=i j=i Dokažeme, že platí rovnež p • yj = p • yj*- Vynasobením výražu (*) cenovým vektorem p dostaneme p • y* je maximum funkce p • yj na množine Yj* D Yj-, pro všechna j. Platí tedy p ^ yj* > p ^ yj • Aby platila rovnost (+), musí bít splnena i rovnost (**). Nyní overíme, že stav (x*,yj,p) splnuje podmínky rovnovahy, víme-li, že (x*,y*,p) je rovnovížny stav a že m m p • yj = p • yj a yj = yj. j=i j=i 122 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKE ROVNOVAHY n m n m n (A) E x* = E y* + E ej = E yj + E ej. j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 (B) xj* maximalizuje uj na mnoňzinňe m Bj = {x g Xj; p • x — p • ej + E % • p • yj*} = j=1 m = {x g Xj; p • x — p • ej + E % • p • yj}. j=1 (C) yj maximalizuje funkci p • y na Yj-, nebot' y* maximalizuje p • y na Yj* a platí p • yj = p • y* a Yj* d Yj-. Arrowova-Debreuova vňeta je tedy dokíazíana. Kapitola 4 Globalní analáza a ekonomie V teto casti ukažeme, že existence rovnovažních stavu muže bít dokízana pomocí Sardovy vety. Pritom dukaz bude v jistem smyslu konstruktivní. Zíroven jsou dokazany optimizacní vety pro ekonomii blahobytu. 1 Existence rovnovázneho stavů Zakladní idea rovnovížneho stavu je studium reňení rovnosti mezi poptavkou a nabídkou: S (p) = D (p). Pro jednoduchíy pňríípad jednoho trhu, kde jsou ceny hodnoceny v termíínech nňejakíeho trňžníího standardu, podaívía nasledující graf 4.1 opravnení pro existenci rovnovížne ceny p*. Teorie obecne rovnovahy se tímto problemem zabíva pro vícero trhu. Presneji: predpoklídejme ekonomiku s / druhy zboží. Pak poloprostor R++ = {(x1,...,x1 ) : (Vi)(x* > 0)} bude pro nís hrat dvojí roli: nejprve jakoňžto tžv. komoditnáí prostor, pňriňcemňž komodita je produkt nebo sluňžba urňcenaí k vyímňenňe; prvek x G R++ se nazíví komoditní svazek. Tedy x je /-tice (x1, ... , x1) tak, že první souradnice merí množství komodity císlo jedna, atd. Ale zaroveň je R++ bez pocatku prostor cenových systemů,; reprezentuje-li tedy p G — {0},p = (p1,... ,pz) množinu cen / komodit, je p1 cena jednotky první komodity, atd. 123 124 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE Obrízek 4.1: Rovnovažný stav Predpokladejme, ze stůdovaní ekonomika mí (axiomaticky) zavedene funkce poptávky á nábedky D, S : R+ — {0} — R+ z mnoziny cenových systemů do prostorů komodit. Pak D(p) je komoditní svazek požadovaný ekonomikoů (nebo jejími ůcastníky celkove) za ceny p. Jinak receno, za ceny p = (p1,... ,pž) lze koůpit komodity v mnozství D(p). Problem nalezení rovnovážneho stávu je nalezení a stůdiům (za vhodních podmínek na D, S) cenoveho systemů p* G R+ — {0} tak, ze D(p*) = S (p*). Polozme Z (p) = D(p) — S (p). Pak Z : R+ — {0} — R1 se nažývý nádbytek poptávky a bůdeme tedy hledat resení p* G R+ — {0} tak, ze Z (p*) = 0. (1.1) V teto casti vlozíme na Z podmínky, ktere jsoů primerene z hlediska ekonomie a pak ůkazeme existenci 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 125 ňreňseníí rovnice 1.1 pomocíí konstrůktivníího postůpů aparíatem diferenciíalníího poňctů. To vňse provedeme, aniňz bychom preňli k mikroekonomickím zakladům nadbytků poptívky. V dalsí casti podame klasickí mikroekonomicky prístůp k nadbytků poptavky pomocí agregace poptívkovích fůnkcí individůalních ícastníků ekonomiky pro príípad ekonomiky ůíplníe smeny. Podmíínky na fůnkci nadbytků poptíavky jsoů Z : R+ — {0} — Rl je spojita fůnkce, (1.2) Z(Ap) = Z(p) pro vsechna A > 0. (1.3) Tedy Z je homogenní fůnkce; jestlize se ceny kazde komodity ůmerne zvetsůjí ci zmensůjí, fůnkce nadbytků poptaívky se nemňeníí. To ovňsem pňredpoklaídía, ňze se pohybůjeme ůvnitňr ůíplníe nebo ůzavňreníe ekonomiky tak, ňze ceny komodit nejsoů zaívislíe na komoditňe leňzíícíí mimo systíem. i p • Z(p) = 0tj. p*Z*(p) = 0. (1.4) *=1 Vyíňse ůvedenía rovnost tvrdíí, ňze hodnota fůnkce nadbytků poptíavky je nůla a rovnost 1.4 se nazíyvía Walrasův zákon. Tůto rovnost můzeme chapat tak, ze poptívka v nasí ekonomice je v soůladů se zdroji ekonomiky. Jednía se o omezeníy rozpoňcet spotňreby. Celkovía hodnota poptíavky je rovna celkovíe hodnotňe nabídky ůcastníky ekonomiky. Bezpochyby je Walrasův zakon nejpropracovanejsí ze vsech podmínek, ktere jsme vloňzili na fůnkci Z. Mikroekonomickíe opodstatnňení podíame pozdňeji. Neňz zavedeme naňsí poslední podmínků na fůnkci nadbytků poptíavky, podíame geometrickoů interpretaci predchozích podmínek. Bůd' S+1 = {p g R+ : ||p||2 = i=1(pi)2 = 1} prostor normalizovaních cenovích systemů. Na zaklade homogenity fůnkce Z se stací omezit na její restrikci na mnozinů S+1. Podle Walrasova zakona je fůnkce Z kolmá k prostorů S+1 v kazdem bode; jinak receno p • Z(p) = 0 neríkí nic jineho, nez ze vektor p je kolmí k vektorů Z(p). Můzeme tedy povazovat Z za pole tecních vektorů na mnozine S+1. Dale definůjeme S1 -1 = {p g R1 : ||p||2 = E*=1(p*)2 = 1} 126 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Poslední podmínka na funkci nadbytku poptívky je hraniční podmínka: Z* > 0, jestliže p* = 0. (1.5) Pripomenme, že Z (p) = (Z i(p),...,Z1 (p)) a p = (pi,...,p1). Podmínka 1.5 mužeme byt jednoduse interpretovýna nasledovne: je-li i-ta komodita volný (je volne k dispozici, protože její cena je nulový), pak zaručene pro ni bude funkce nadbytku poptavky nezýporný. V nasem modelu mají komodity pozitivní hodnotu. Veta 1.1 Jestliže je funkce nadbytku poptavky Z : R+ — {0} — Rl spojitá, homogenní, splňuje Walrasuv zákon a hraniční podmínku tj. podmínky 1.2, 1.3, 1.4 a 1.5, pak existuje cenový systém p* g R+ — {0} tak, že Z (p*) = 0 . Nalezení, cenového systému p* bude provedeno konstruktivně. Dukaz vety 1.1 bude proveden pomocí vet 1.2 a 1.7. Veta 1.2 Bud' f : Dl — R1 spojité zobrazení splžující nasledující hraniční podmínku (BD) Pokud je x g 8Dl, pak f (x) není ve tvaru (x pro žadne ( > 0. Pak existuje prvek x* g Dl tak, že platí f (x*) = 0. Pritom D1 = {x g Rl : ||x||2 = E *=i(xi)2 < 1} a ÍDl = = {x g Rl : ||x||2 = E*=i(xi)2 = 1}. Obecne pak Dj, = {x g Rl : ||x||2 = *=i(xi)2 < r2} a ÍDj, = {x g Rl : ||x||2 = *=i(xi)2 = r2} pro vsechna r kladna. Pritom speciýlne mýme hladke zobrazení : — Dl_i c Rl_i definovane predpisem jl-i(xi,... ,xi) = (xi,... ,xl_i). Pro dukaz vety 1.2 použijeme dva hlavní výsledky globalní analyzy a jejich aplikace pro ekonomii - tj. Sardovu veta a veta o implicitní funkci (veta o inverzním zobrazení). Abychom mohli vyslovit tyto vety, je nutno využít ideu singulýrního bodu (kritickeho bodu) diferenciovatelneho zobrazení f : U — Rn, kde U je otevrený podmnožina kartezskeho prostoru Rk. Řekneme, že f je trídy Cr, jestliže vsechny derivace do radu 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 127 r včetne existují a jsou spojite. Pro prvek x E U je derivače D f (x) v bode x lineírní žobražení ž Rk do Rn (tj. matiče parčialníčh derivačí). Pak ríkame, že x se nažíva singulární (kritický) bod zobrazení f, , pokud tato derivače není surjektivní žobražení. Požnamenejme, že pokud k < n, jsou vsečhny prvky ž U singularní. Singulární hodnoty jsou jednoduse obražy vžhledem k f vsečh singularníčh bodu; prvek y E Rn se nažyva regulírní hodnota, pokud není singularní hodnota. Veta 1.3 Veta o implicitní fůnkci. Je-li y E Rn regulírní hodnota zobrazení f : U — Rn, které je trídy C1, U otevrení v Rk, pak bud' f-1(y) je prízdní mnozina nebo f-1(y) = V, V je podvarieta U dimenze k — n. Pritom V je podvarieta U dimenže k — n, pokud pro každe x E V mužeme najít diferenčovatelne žobražení h : N (x) — O s následůjícími vlastnostmi: 1. h ma diferencovatelnou inverži, 2. N (x) je otevrene okolí bodu x E U, 3. O je otevrení množina obsahující bod 0 E Rk, 4. h(N(x) n V) = O n C, kde C je system souradnic v Rk dimenže m. Veta 1.4 Veta o inverzní fůnkci. Necht Gi(x1,..., xn, y1,..., yk), i = 1,...,k jsou funkce trídy Cr, r > 1, definovane na okolí W bodu (a1,..., an, b1,..., bk) E Rn+fc, ktere splňují Gi(a1,..., an, b1,..., bk) = 0 í $G' \ deW -jj(ai,... ,a„,6i,..., 6fcM =0. (1.6) ^yj / 1 0 a r>k - n), pak množina singularních hodnot ma míru nula. Pripomíname, že množina S c Rn ma (Lebesgueovu) míru nula, jestliže pro každe e > 0 existuje takova posloupnost krychlí Zi, i =1, 2,... , že S c (J°=i Zi a pro objemy volZi techto krychlí platí ^i=i volZi < e. Sjednocení spocetne mnoha množin míry nula ma opet míru nula. Požnamenejme, že Sardova veta ma sice jednotnou formulaci, ale ž obsahoveho hlediska se delí na tri vížnamove odlisne prípady. Pri k < n cela množina f (U) sestíva ž kritickích hodnot - žde vklídame prostor mensí dimenže do prostoru vetsí dimenže a pak ma elementarne f (U) míru nula. I pro k = n jde o jednoduchíe tvržení, kteríe lže snadno dokíažat pňrímo. Teprve pňrípad n < k pňredstavuje obtíňžnou ňcíast Sardovy vňety. Pňritom o mnoňžinňe kritickyích hodnot hladkíeho žobražení nelže tvrdit více, neňž ňže maí míru nula. Tato množina muže bít napríklad hustí v Rn. Dukaž Sardovy vety lže najít napríklad v monografii [17]. Ma-li množina singularních hodnot míru nula, rekneme, že množina regularních bodu ma plnou míru. Obe ž víse uvedenych vet lže prímo aplikovat na prípad f : U — C, kde U je podvarieta dimenže k prostoru Rm a V je podvarieta dimenže n prostoru Rq. V tomto prípade je derivace Df (x) : TX(U) — Tf(x)(V) lineírní žobražení na teňcníem prostoru. Pro dukaž vety 1.2 uvažme funkci h : Dl — Rl trídy C2, ktera splnuje nísledující hranicní podmínku: (SB) f (x) = -x pro vsechna x g ÍDl. Problem je pak najít x* g Dl tak, že platí h(x*) = 0. Abychom jej vyreňili, definujme pomocne žobražení g : Dl - E — Sl-i predpisem g (x) = p^xy]}, kde E = {x g Dl : h(x) = 0} je množina reňení nasí rovnosti. Evidentne, g je trídy C2 a tedy dle Sardovy vety dostavame, že množina regularních hodnot ma plnou míru v Sl-i. Bud' nyní y g Sl-i = ÍDl takoví regulírní hodnota tak, že g-i(y) je nepraždna množina (jinak by totiž mela množina g(Dl - E) = Sl-i míru nula, což je nemožne). Pak dle vety o implicitní funkci dostavame, že g-i(y) je 1-dimenžionalní podvarieta, kterí musí obsahovat -y podle hranicní podmínky (SB). Bud' nyní V komponenta g-i(y) obsahující prvek -y (totiž y g ÍDl implikuje -y g ÍDl, g(-y) = n^'^n = = y). Zejmíena tedy musí V byít regulaírní kňrivka žaňcínající v bodňe -y a otevňrenou v opaňcníem konci. Pňripomenňme, 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 129 že krivka e se nazíví regulírní krivka trídy Cs, jestliže ke každemu bodu teto krivky existuje na teto krivce okolí, ktere je obloukem trídy Cs. Zaroveň je prunik V n ÍD1 = {—y} z hranicní podmínky (SB) a nutne je bod —y obsažen ve V pouze jednou jakožto pocítecní bod, protože je V regularní v bode —y. Specialne je V uzavrena podmnožina D1 — E a tedy vsechny její limitní body leží v E. Zejmena tedy je množina E neprazdna a pokud zacneme z bodu —y, musíme jednou dokonvergovat k E. Tím jsme podali geometrickí konstruktivní dukaz existence bodu x* G D1 tak, že platí h(x*) = 0. Poznamenejme, že pro priblížení si konstruktivní povahy víse uvedeneho resení mužeme ukízat, že V je resící krivka globalní Newtonovy obycejne rovnice Dh(x)dt = —Ah(x), kde A = ±1 je vybríno tak, že ma stejne znamenko jako Dh(x) a zívisí na x. Je-li totiž derivace Dh(x) regulírní, pak Eulerova metoda diskríetní aproximace naím díavía x„ = x„_i T (Dh(xra-i))-ih(xra-i), coňž není nic jiníeho, neňž Newtonova metoda pro ňreňsení rovnice h(x) = 0. Nyní predpoklídejme, že funkce h : D1 — R1 je pouze spojití a stíle splnuje h(x) = —x pro vsechna x G ÍD1. Definujme nove spojite zobrazení h0 : D2 — R1 predpisem h0(x) = h(x) pro ||x|| < 1, h0(x) = —x pro ||x|| > 1. Bud' díle e*, i = 1, 2,..., oo posloupnost reílních císel konvergující k nule. Pro každe i prirozene zkonstruujeme hladkou tj. C°° aproximaci h* funkce h0 tak, že ||h*(x) — h0(x)|| < e*. Bud' díle t/v hladkí funkce na R1 tak, že J t/v = 1 a nosic funkce t/v je obsažen v disku Dj, o polomeru r > 0. Ukažme konkretní konstrukci funkce ^r. Zaved'me nejprve pomocnou funkci 0 pro x < 0 ¥>(x) = < _i „ [ex pro x > 0. 130 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE Tato fůnkce je hladkí. Pak fůkce <^(x + r)^(r — x) je trídy C°°, je kladna v intervalů (—r, r) a rovna nůle mimo tento interval. Fůnkce i V>(x1,... ,xi) = Yl ¥>(xí + r)^(r — x*) *=1 je trídy C°°, je kladna v intervalů (—r, r)1 a rovní nůle mimo tento interval. Fůnkce t/v = j^h^ mí tedy vňsechny poňzadovaníe vlastnosti. Navíc platí, ňze ^r(x1,... ,xi) = (—x1,... ,xi) = • • • = 0 takove prirozene císlo i0, ze || h* (x) — h0(x)|| < e pro kazde x g A a pro kazde císlo i > i0. Můzeme pak aplikovat výse ůvedení výsledek na h* a pak tedy existůje x* g ÓD2 tak, ze (x*) = 0. Evidentne, x* g ÓD1 a zíroven x* — {x g Dl : h0(x) = 0} (lze se omezit na vybranoů podposloůpnost) tj. existůje x g ÓD1 tak, ze h(x) = 0. Totiz, pro vsechna ó > 0 existůje iá tak, ze ||h0(x*) — 0|| = ||(h0(x*) — h^x*)) + (h*(x*) — 0)|| < ó pro vsechna i > iá tj. ||h0(x)|| = 0. Dokazme nyní vetů 1.2 v plne obecnosti. Bůd' tedy fůnkce f : Dl — Rl poůze spojití a necht' splnůje podmínků (BD). Definůjme nove spojite zobrazení f0 : D2 — R1 takove, ze /(x) = —x pro x g ÓD2 x^r (x) = 0. DO 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 131 predpisem /(x) = f (x) pro /(x) = (2 — ||x||)f (x/||x||) + (||x|| — x) pro Z predchazejících výsledku pak víme, ze existuje x* G tak , ze /(x) = 0. Nutne pak ||x*|| — 1. Jinak by totiz nastal spor s hranicní podmínkou (BD). Tedy existuje x* G ÍD1 tak , ze f (x) = 0, címz je dukaz vety 1.2 ukoncen. Abychom mohli získat hlavní výsledek - vetu 1.1, bude nutno modifikovat vetu 1.2 z koulí na simplexy. Definujme Ai = {p G R+ :E í=ip* = = 1} íAi = {p G Ai :(3i)(pi = 0)} Aq = {z g Rl 0} (1//,... ,1//) G Ai, pc je střed simplexu Ai. V dalsím budeme pracovat se spojitými zobrazeními ^ : A1 — A0, který budou splnovat nýsledující hranicní podmínku: (B) Pokud je p G ÍA1, pak <^(p) není ve tvaru ^(p — pc) pro zadne ^ > 0. To neríký nic jineho, nez ze pro hranicní bod p nelezí <^(p) na poloprímce se smernicí p — pc. Lemma 1.6 Necht D = D1 n A0. Pak meži množinami D^1 a nD (D^1) = D n D^1 x R existuje vzájemně V VI VI jednožnacna korespondence pomocí zobrazená projekce nD : D — D^T1 a zobrazená nD : D^j"1 — D; přitom nD(x1, . . . ,xZ_1) = (x1, . . . ,xZ_1, £^1 xj). |x| \x\ < 1, 1. 132 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALYZA A EKONOMIE D u kaž. Nejprve ůkazeme, ze obe zobrazení jsoů korektne definovana tj. ze platí nD(x1,..., x1) g pro (x1,...,x1) g nD (D1-1) a nD (x1,..., x1ľ1) g nD (D1-1) pro (x1,..., x1ľ1) g D1-1. K tomů stací overit, ze V VI VI (x1,..., x1)|| < ^ a (x1,...,x || < 1. To ale vede na maximalizacní ůlohy -1 2 za podmínek (Pn) Ej=i x2 < 1 Z^j=i xi < i Ej=i xi =0 max E j=1x2 + (E j=1 xi)2 za podmínky (Pn) První je pak trivialne splnena a drůha je ekvivalentní s maximalizacními ůlohoů max E j=1 x2 + (E j=1 xi)2 za podmínky (P'n) Pomocí variacního poctů pak snadno overíme, ze maximům ílohy (P'n) naštývý napr. v bodů x1 = x2 = = x1 _1 = , 1 a ma hodnotů 1. Pritom je videt, ze slození oboů techto zobrazení ním daví identitů jak na D^-1 tak na nD(D1-1). Navíc VI jsoů tato dve zobrazení linearní izomorfizmy mezi S0 a R1 a 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 133 Veta 1.7 Buď : A1 — A0 spojité zobrazení splňující následující hraniční podmínku (B). Pak existuje prvek p* G A1 tak, če platí <^(p*) = 0. Abychom dokažali vetu 1.7 pomoci vety 1.2, budeme konstruovat homeomorfismus žachovavající paprsky. Definujme tedy žobražení h : A1 — A0 predpisem h (p) = p — pc; dale bud' A : A0 — {0} — R+ žobražení definovane predpisem A (p) = — | • min1p . Položme pak ^ : D — h(A1) jakožto ^(p) = A( j|p-pj )p. Evidentne, ^ je žobražení žachovíavající paprsky. Uvažujme nyní kompožici a : D — A0, D — h(A1) — A1 — Ao. Tvrdíme pak, že a splňuje hranicní podmínku (BD) vety 1.2. Bud' tedy q G í D a necht' p = -0(q) + pc = h-1(V>(q)). Ale dle podmínky (B) neexistuje žídne kladne /t tak, že <^(p) = //(p — pc) neboli ekvivalentne a(q) = //(p — pc). To je rovnocenne s tím, že neexistuje žídne kladne /t tak, že a(q) = /ť0(q) a protože ^ žachovaví paprsky, mame, že neexistuje žadne kladne / tak, že a(q) = /(q), což je presne nase tvržení. Okamžite pak ž vety 1.2 dostívíme, že existuje prvek q* G D tak, že platí a(q*) = 0. Položíme-li pak p* = VKq*) + pc, obdržíme <^(p*) = 0 a veta 1.7 je dokížína. Abychom dokažali 1.1, definujme pomocí funkce nadbytku poptívky Z : R+ — {0} — R1 novou funkci : A1 — A0 predpisem <^(p) = Z (p) — ^ Y\=1 Z*(p)j p. Požnamenejme, že Y Í=1 ¥^0?) = SÍ=1 Z1 (p) — SÍ=1 Z*(p) i=1 p* = 0. Je tedy ^ korektne definovane a je žrejme spojite, jakožto složení spojitích funkcí. Zíroven pokud p G íA1, je nutne p* = 0 pro jistí index i a tedy <£l(p) = Z*(p) > 0 dle podmínky 1.5. Je tedy podmínka (B) vety 1.7 splnena pro žobražení Existuje tedy p* G A1 tak, že <^(p*) = 0. Tedy Z (p*) = Y *=1 Z*(p*)p*. Uvažme nyní skalarní soucin obou stran rovnosti s vektorem Z (p*). Pak ||Z (p*)||2 = Z (p*) • Z (p*) = Y\=1 Z* (p*) (p* • Z (p*)) = 0 dle 1.4. Tedy i Z (p*) = 0 tj. veta 1.1 platí. Je vsak vhodne prlpomenout, že prirožený rovnovažní stav muže nastat i v prípade, že D(p*) = S (p*). Uved'me nasledující graf 4.2 jednoho trhu pro cenu p = 0. Tedy pro prebytek poptívky je nekdy cenoví vektor p* G R+ — {0} s vlastností Z (p*) < 0 nažívín 134 KAPITOLA 4. GLOBAÝLNÝI ANALYÝZA A EKONOMIE Obražek 4.2: Prirožení rovnovížní stav rovnovížním stavem. Jinak mužeme o takovemto p* g R± - {0} uvažovat jakožto o rovnovíze k volnému pouzití, pro poždejsí se žbavení prebytku nabídky pak mame rovnovažní stav Z(p) = 0. Tvrzení 1.8 Pokud funkce Z : R± - {0} — R1 splžuje Walrasuv zíkon 1.4 a zírovež Z(p*) < 0, pak pro všechna i bud' Zi(p*) = 0 nebo p*i = 0. Totiž jinak by existoval index i tak , že Zi(p*) < 0 a p*i > 0. Zaroven pro vsechna i míme Zi(p*)p*i < 0 a tedy Ei=i Zi(p*)p*i < 0, což je spor s Walrasovím žakonem. 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 135 Veta 1.9 ( Debreu-Gale-Nikaidô) Buď funkce Z : R+ — {0} — Rl spojití funkce splžující slaby tvar Wa-lrasova zíakona p • Z (p) < 0. (1.7) Pak existuje cenovy systém p* g R+ — {0} tak, že Z (p*) < 0. Poznamenejme, že veta 1.9 implikuje vetu 1.1. Totiž, splňuje-li funkce Z predpoklady vety 1.1, pak dle vety 1.9 existuje cenový system p* g R+ — {0} tak, že Z (p*) < 0. Podle tvrzení 1.8 pro vsechna i bud' Z*(p*) = 0 nebo p** = 0. Ale dle hraniční podmínky 1.5 je pro p** = 0 nutne Z*(p*) > 0 tj. Z*(p*) = 0 a tedy celkem Z(p*) = 0. Abychom mohli dokýzat vetu 1.9, zavedeme funkci P : R — R predpisem P (t) = 0 pro t < 0 a P (t) = t pro t > 0. Definujme dale funkci Z : R+ — {0} — Rl nasledovne: Z (p) = P (Z *(p)) pro vsechny indexy i a cenove vektory p. Podobne jako v dukazu vety 1.1 definujme zobrazení ^ : Ai — A0 predpisem t/?(p) = Z (p) — ^ EU Z* (p) j p. Pak splňuje predpoklady vety 1.7. Existuje tedy vektor p* g Ai tak, že p(p*) = 0. Tedy Z (p*) = EU Z (p*)p*. Uvažme nyní skalarní součin obou stran rovnosti s vektorem Z (p*). Pak Z(p*) • Z(p*) = EL Z(p*) (p* • Z(p*)) < 0 dle 1.7. Tedy EL P(Z*(p*)) • Z*(p*) < 0. Ale zrejme P(t)t > 0 pro t > 0 a P(t)t = 0 pro t < 0 . Nutnňe tedy Z (p*) < 0 pro vňsechna i tj. Z(p*) < 0 tj. vňeta 1.9 platí. Jine prirozene zobecnení vet 1.1 a 1.9 bude pro prípad, že p* — 0 implikuje Z*(p) — to (viz 4.3). Tato veta 1.10 je prirozenym zobecneným Arrow-Hahnovy vety. Predpoklýdejme nyní, že funkce prebytku poptívky Z je definovýna pouze na jiste podmnožine d množiny R+ — {0} tak, že d je podmnožiny množiny int(R+ — {0}) a pokud p g d, pak Ap g d pro vsechna A kladný. Uvažme funkci Z s nasledujícími vlastnostmi: Z : d — Rl je spojita funkce, (1.8) Z(Ap) = Z(p) pro vňsechna A > 0 a pro vňsechna p g d, (1.9) p • Z(p) < 0 pro vsechna p g d, (1.10) 136 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE Obrazek 4.3: Prirození rovnovížní stav pfc — p G D implikuje ^ Z'(pfc) — to. (1.11) Z *( Veta 1.10 Bud' funkce Z : D — R1 funkce splňující 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11. Pak existuje cenový system p* G D tak, že Z (p*) < 0 . Uvažme funkci P : R — R stejne jako v dukazu vety 1.9. Definujme pak novou funkci a : R — R v 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 137 závislosti na pevne zvoleném kladném číslu c předpisem 0 pro t < 0, a(t) = { 1 pro t > c, - jinak. c Definujme pomocnou funkci Z : R+, — {0} — R1 nísledovne: _i íl pokud p ^ D, 1--— — - 1 - a (Ej=i Zj(p))) /3(Z(p)) + a (Ej=i Zj(p)) jinak pro vňsechny indexy i a cenovíe vektory p. Podobne jako v dukazu vety 1.1 a 1.9 definujme zobrazení ^ : Ai — A0 predpisem <^(p) = Z (p) — {Y^í=\ Z (p) j p. Pak ^ splnuje predpoklady vety 1.7. Existuje tedy vektor p* G Ai tak, že <^(p*) = 0. Tedy Z (p*) = E i=i Z(p*)p*. Nejdríve predpokladejme, že p* G D. Uvažme nyní skalarní soucin obou stran rovnosti s vektorem Z (p*). Pak stejne jako v dukazu 1.9 dle 1.10 dostaneme Z (p*) • Z (p*) < 0. Tedy É (1 — a (É Zj (p*H J P(Z (p*))Z (p*) + J £ Zj (p*) ) É Z (p*) < 0. = j= j= = Protože pro vsechna reílní t platí ta (t) > 0, nutne pak É (1 — a (É Zj (p*)jj P(Z (p*))Z (p*) < 0. Tedy (\ - ^gzj(p*)jj £^(Z(p))Z(p) < 0. 138 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE Zaroveň pro vsechna realna ŕ platí (1 — a(ŕ)) > 0 tj. P(Zj(p*)) • Zj(p*) — 0. Ale zrejme P (ŕ)ŕ > 0 pro ŕ > 0 a P(t)t = 0 pro ŕ — 0 . Nutne tedy Zj(p*) — 0 pro vsechna i tj. Z (p*) — 0. Necht' p* G D. Pak Z (p*) = (1,..., 1) tj. /p* = Z (p*) = (1,..., 1) tj. p* = pc G D, spor. Tedy veta 1.9 platí. 2 Ekonomika úplne smeny: existence rovnovažneho stavů Tento odstavec se sklada ze dvou castí; v první z nich budeme uvazovat silnejsí predpoklady s durazem na diferenciovatelnost, pricemz v druhem budeme pracovat v obecnejsím ramci. Existencní tvrzení jsou speciýlními prípady Arrow-Debreuovy vety. Uvazme nejprve jednoho ucastníka s prostorem komodit P = {x G R1 : x = (x1,..., x1), (Vi)(xj > 0)} C R+. Tedy prvek x G P bude reprezentovat svazek komodit spojených s tímto ekonomickým agentem. Budeme predpokladat, ze preferencní relace na P je reprezentovýna funkcí uzitecnosti u : P — R tak, ze ucastník preferuje prvek x G P pred prvkem y G P presne tehdy, kdyz u(x) > u(y). Podmnoziny u_1(c) pro c G R (vrstevnice funkce u) nazyívíame indiferentními kňrivkami (pro preferenňcní relaci). V dalňsím budeme pňredpoklaídat silnyí pňredpoklad klasickíeho typu: Funkce u : P — R je trídy C2. (2.1) Bud' nyní g(x) orientovany jednotkový normalový vektor k indiferentní krivce t(_1(c) pro c G R tak, ze c = u(x). Muzeme pak vyjýdrit g(x) jakozto ||gradU(X)||, kde gradu = (J^r,..., . Pak je g : P — S1 _1 zobrazení trídy C1. Toto zobrazení hraje zakladní roli v analyze preferencí spotrebitele a teorie poptavky. Nas dalsí predpoklad je monotonie neboli více je lepe tj. g(x) G P n S1 _1 = int(S+_1) pro vsechna x G P. (2.2) Tedy 2.2 znamení, ze vsechny parciýlní derivace ^ jsou kladne. 2. EKONOMIKA UPLNE SMENY: EXISTENCE ROVNOVAZNEHO STAVU 139 Nase tretí hypoteza je konvexnost a to opet v silnem a diferencovatelnem tvarů. Pro x g P je derivace Dg (x) lineírní zobrazení z R1 do kolme nadroviny g(x)x k vektorů g (x). Můzeme pak ůvazovat o g(x)x jakozto o tecnem prostorů Tfl(x)(Sl_1) nebo o tecne rovine k indiferentní krivce. Pak restrikce Dg(x) z nadroviny g(x)x do sebe je symetricke linearní zobrazení. Restrikce Dg(x) z nadroviny g(x)x do sebe ma zíporne vlastní hodnoty. (2.3) Ekvivalentní podmínka k 2.3 je Drůhí derivace D2u(x) jakozto symetrickí bilineírní forma omezena na tecnoů nadrovinů g(x)x k indiferentní krivce v bode x je (2.4) negativne definitní. Ekvivalenci mezi 2.3 a 2.4 lze ůkíazat níasledovnňe: bůd' Du(x) : Ri — R bůd' první derivace fůnkce u v bode x s jídrem oznacením Ker (Du(x)). Pak mame v • g(x) = ^^X)^. Dale v g Ker (Du(x)) príve tehdy, kdyz v • gradu(x) = 0 tj. v • g(x) = 0 tj. v g g(x)x. Necht' v1 ,v2 g Ker(Du(x)). Pak v1 • g(x) = . Derivůjeme-li obňe strany podle x, maíme =0 D2u(x)(v1)||gradu(x)|| — Du(x)(v1)D (||gradu(x) v1 • Dg(x) =- || gradu( x) || Tedy v1 ^ Dg(x) = . Pripomenme nasledůjící dve tvrzení z lineírní algebry ([5]). Tvrzení 2.1 Bud' A matice nad tělesem T, majících n vlastních hodnot (ne nutně navzájem různých). Pak matice A je podobna Jordanově matici. 140 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALYZA A EKONOMIE Tvržení 2.2 Budd f2 regulární kvádrátická formá ná reálnem vektorovém prostoru Vn á bud A její mátice vzhledem k bázi M prostoru Vn. OznáCme Di, i = 1,...,n determinánt dílčí submátice mátice A, která vznikne z mátice A vynecháním posledních n — i rádku á posledních n — i sloupců. Pák f2 je pozitivně definitní, práve kdyz Di > 0, i = 1,..., n. Dale je vhodne si ůvedomit, ze forma f2 je pozitivne definitní, prave kdyz — f2 je negativne definitní. Nyní můzeme dokoncit důkaz ekvivalence podmínek 2.3 a 2.4. Totiz, ma-li matice Dg(x) vsechny vlastní hodnoty žýporne, ma v odpovídající bazi Jordanův (trojůhelníkovy) tvar B tak, ze na diagonale jsoů zaporna císla. Polozme A := —B. Pak A mí na diagoníle poůze kladna císla a dle 2.2 je odpovídající forma k A pozitivne definitní, tj. odpovídající forma k Dg(x) negativne definitní. Obracene, bůd' forma ||gradU(X)|| negativne definitní, A vlastní císlo matice Dg(x) a v príslůšný nenůloví vlastní vektor. Pak /, n /t-, / n n D2u(x)(v,v) ||gradu(x)|| Tedy A < 0, coz se melo dokízat. Ukazme nýsledůjící tvrzení. Tvržení 2.3 Pokud funkce užitečnosti u : P — R splnuje 2.3, je nutne u-1([c, to)) ostre konvexná, pro vesechná c g R. Ukazeme, ze minimům fůnkce u na kazdem intervalů nemůze nastat ve vnitrků tohoto intervalů. Presneji, necht' x, x' g P tak, ze u(x) > c, u(x') > c. Necht' díle S = {y : y = Ax + (1 — A)x', 0 < A < 1} je odpovídající interval s krajními body x, x' g P. Necht' dale x* = A*x + (1 — A*)x', 0 < A* < 1 je bod minima pro fůnkci u na S. Pak x* = x' — A*(x' — x). Navíc Du(x*)(v) = 0 pro v = x' — x. Protoze x* je bod minima, nůtne D2u(x*)(v, v) > 0. To je vsak spor 2.4, ze D2u(x*) < 0 na Ker (Du(x*)). Je proto u vetsí nez c na S. Zaverecna podmínka na fůnkci u je hranicní podmínka a jejím důsledkem je zbavení se prípadnych problemů spojených s hranicí podprostorů R+: Indiferentní krivka u 1(c) je ůžavrený v R1 pro vsechna c. (2.5) 2. EKONOMIKA UPLNE SMENY: EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 141 To lze interpretovat jakožto podmínku, že učastník si preje vlastnit od každe komodity alespoň neco. Je napríklad použita v praci [7] (1959). Odvod'me si nyní funkci poptívky od funkce užitečnosti ýčastníka. Predpoklýdejme proto, že mame dan cenovy systém p G intR+ = P a vektor bohatství w G R+. Tato definice R+ je vhodný ačkoliv ne zcela dusledna. Uvažujme díle rozpočtovou množinu Bpw = {x G P : p • x = w}. Mužeme pak za Bpw považovat za množinu komodit, ktere získame za ceny p pro bohatství w. Poptavka f (p, w) je komoditní svazek maximalizující užitečnost na množine BP;W. Poznamenejme, že BP;W je ohraničený a neprýzdný a tedy funkce u omezena na BP;W ma kompaktní indiferentní krivky. Zejmena tedy mý funkce u na BP;W maximum, ktere je jedine dle predpokladu konvexity 2.3 a dle 2.3. Je tedy x = f (p, w) poptavka naseho ýčastníka pri cenach p a bohatství w. Pritom je videt, že poptavka je spojite zobrazení f : intR+ — R+ — P. Tedy x = f(p,w) je maximum funkce u na Bpw, derivace Du(x) omezena na BP;W je nulový neboli platí g(x) = jj^y. Z definice p • f (p, w) = w a f (Ap, Aw) = f (p, w) pro vsechna A > 0. Celkem pak: Tvrzení 2.4 Individualní poptívka je spojite zobrazení f : intR+ — R+ — P a splžuje 1. g(f(p,w)) = jijíjj, 2. p ^ f (p,w) = ^ 3. f(Ap, Aw) = f(p, w) pro vžsechna A > 0. Dale ukažeme nýsledující znamou skutečnost [8]. Tvrzení 2.5 Funkce poptavky je trídy Ci. Obecne, funkce poptívky je stejné trídy Cr jakozto funkce g. Poznamenejme nejprve, že z tvrzení 2.4 mame zobrazení p : P — (intS+-i) x R+, ^(x) = (g(x),x ^ g(x)), 142 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALYZA A EKONOMIE což je inverzní zobrazení k restrikci f na množinu (intS1-1) x R+. Protože ^ je trídy Ci, bude f trídy C1 dle vety o implicitní funkci 1.4, pokud derivace D^(x) je regulírní pro vsechna x G P. Abychom ukízali, že D^(x) je regulírní, stací overit, že Dt/.(x)(n) = 0 implikuje n = 0. Necht' tedy n G R1. Pak D^(x)(n) = (Dg(x)( .O,n ^g(x) + x ^Dg(x)(n)). Je-li tedy Dt/. (x)(n) = 0 , pak Dg(x)(n) = 0 tj. n G KerDg(x). Ale i n • g(x) = 0 tj. n G g(x)x. Zaroven víme z 2.3 že restrikce Dg(x) z nadroviny g(x)x je regulírní tj. KerDg(x) n g(x)x = {0}. Tedy n = 0. Z vyse uvedeneho okamžite plyne, že mužeme psat R1 = KerDg(x) © g(x)x tj. každí vektor z R1 lze jednoznacne zapsat jakožto n = ni + n2, ni • g (x) = 0, Dg(x)(n2) = 0. Obríažek 4.4: Funkce uňžitku a poptíavka 2. EKONOMIKA UPLNE SMENY: EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 143 Mužeme pak orientovat pn'mku KerDg(x) tak, že rekneme, že vektor n g KerDg(x) je požitivní, pokud n • g (x) > 0. Zaroven mame: protože Dg(x) je vždy regulírní, je i krivka g-1 (p) s p = g(x), p g S+-1 pevne, regulírní. Mluvíme pak o krivce rozvoje príjmu. V bode x g P je tecní prímka k g-1 (p) prave pn'mka KerDg(x) (ž definice). Tuto krivku lže pak interpretovat jakožto krivku poptavky rostoucí s bohatstvím pri pevních ceních. Mužeme pak uvažovat bohatství jakožto funkci w : P — R definovanou jako w(x) = x• g(x). Pak w je ostre rostoucí podel každe krivky rožvoje príjmu. Skutecne, krivka g-1(p) je diferencovatelne parametrižovatelnía podle w. Predpoklídejme nyní, že bohatství ícastníka pochíží ž obdarení e ž P a je funkcí w = p • e ceny p. Poslední vlastnost poptíavky je díana tvržením: Tvrzení 2.6 Bud' p* posloupnost cenových vektorů, leZící v intR+ konvergující k p* g pro i — to. Pak ||f(p*,p* • e)|| — to pro i — to. Dukaz. Necht' neplatí, že ||f(p*,p* • e)|| — to pro i — to. Pak pro nejake x* g R+ existuje vhodní podpo-sloupnost ij, j = 1, 2,... , to tak, že f (p^. ,píj • e) — x*. Totiž pak vsechny prvky f (p*. ,píj • e) leží v nejake kompaktní kouli tj. ž teto posloupnosti lže vybrat konvergentní podposloupnost. Mužeme tedy v dalsím bež ujmy na obecnosti predpokladat, že posloupnost f (p*, p* • e) — x*. Pro každe i položme = p* • e. Pak e g BPi;W; tj. u(f (p*, p* • e)) > u(e). Speciílne f (p*, p* • e) g u-1([u(e), to)). Z užavrenosti množiny u-1([u(e), to)) pak nutne x* g u-1([u(e), to)). Dle 2.5 míme, že x* g P. Proto je g(x*) definovano a rovno p*. Ale protože p* g dostívíme spor s nasím predpokladem monotonie 2.2. Ekonomika uuplné smeny sestava ž: m ucastníku se stejním prostorem komodit P. Ucastník i pro i = 1,...,m ma preference reprežentovíny funkcí užitecnosti u* : P — R splňující podmínky 2.1, 2.2, 2.3 a 2.5. Zíroven predpoklídejme, že každí ucastník i mí k dispožici obdarení e* g P. Tedy pro cenoví system p* g R+ — {0} je bohatství ícastníka i rovno p • e*. Mužeme pak interpretovat tento model jakožto ekonomii smeny, ve které se každí ucastník pokousí smenit svíe obdaňreníe komodity ža svažek komodit, kteryí by žvíyňsil jeho uspokojení pňri omežení daníym rožpoňctem. Pojem ekonomiky lže pňredstavit níasledovnňe: 144 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE Stav ekonomiky se sklídí ž alokace x E Pm, x = (x1,... , xm) a cenoveho systemu pi E S+ľ . Alokace se nažíva prípustní, pokud Y xi = Y ei. Tedy celkove žísoby ekonomiky ukladají omežení na alokace; neexistuje produkce. Stav (x, p) E Pm x S+-1 se nažyví konkurenční (Walrasovův) rovnovízny stav, pokud splnuje podmínky (A) a (B): (A) xi = ei. což není nic jineho, než podmínka prípustnosti. (B) Pro vsechna i, xi maximaližuje ui na množine žísob [y E P : p • y = p • ei} tj. xi = f (p,p • ei). Požnamenejme, že podmínka (B) se nežmení (díky monotonii funkce jestliže množinu žasob nahradíme množinou [y E P : p • y < p • ei}. Díle pripomeňme, že podmínku (B) lže nahradit podmínkami (B1) a (B2): (B1) p • xi = p • ei pro vsechna i. (B2) Pro vsechna i, gi(xi) = pi. Veta 2.7 Bud' dana ekonomika úplne smeny tj. m obchodníků, s obdareními ei, 1 < i < m a preferencemi reprezentovanými funkcemi uziteznosti ui : P — R splňujícími podmínky 2.1, 2.2, 2.3 a 2.5. Pak existuje rovnovízny stav ekonomiky tj. můzeme najít xi E P, 1 < i < m a cenoví vektor p E S+-1 splnující (A) a (B). Preveďme podmínky (A) a (B) do problemu poptívky a nabídky. Bud' tedy S : R++ — [0} — R++ konstantní žobražení, S (p) = Y ei. Podobne klademe D : intR+ — [0} — R++ D (p) = Y fi(p,p • ei), kde fi(p,p • ei) je poptívka určení funkcí ui. Definujme nadbytek poptavky Z : intR++ — [0} — R1 predpisem Z (p) = D (p) — S (p). Požnamenejme, že rovnovažne podmínky (A) a (B) jsou splneny pro vektor (x,p) prave tehdy, když Z (p) = 0 a xi = fi(p,p • ei). Budeme aplikovat vetu 1.10. Overme, že jsou splneny podmínky 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11. Evidentne, Z je spojita funkce, Z je homogenní, protože jak S tak D jsou homogenní funkce, Z splnuje slaby Walrasuv žíkon. Totiž žejmena pro p E intR++ míme p ^ Z(p) = p ^ D(p) — p ^ S(p) = p ^ fi(p,p ^ ei) — p ^ ei = 5ľ(p ^ xi — p ^ ei) = 0. 2. EKONOMIKA UPLNE SMENY: EXISTENCE ROVNOVÁŽNEHO STAVU 145 Overme podmínku 1.11. Mame ukažat, že pk — p G intR± implikuje Ej=i Zj(pk) — to. Ale to je príve tehdy, když J2j Ei fi(pk,pk • ei)j — to. Z tvržení 2.6 míme, že pro každe i platí ||fi(pk,pk • ei)|| — to pro k — to tj^j=i (fi(pk,pk • ei)j)2 — to. Z nežípornosti fi pak nutne i Ej^ fi(pk,pk • ei)j — to. Celkem pak Ej Ei fi(pk,pk • ei)j — to. Tedy existuje cenovy vektor p* G intR± tak, že Z (p*) < 0. Z vety 1.8 pak nutne Z(p*) = 0. Vňenujme se nyníí ekonomice uíplníe smňeny takovíe, ňže budeme pňredpoklíadat použe spojitíe preference. Uvažme nyní preference na celem prostoru komodit R± reprežentovane spojitími funkcemi u : R± — R. Nahrad'me podmínky 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11 nasledujícím podmínkami: Funkce u : R± — R je spojitaí . (2.6) u(Ax + (1 - A)x') > c, pokud u(x), u(x') > c a0 || Yli ei|| a položme Xc = Dc n R±. Definujme díle pridruženou funkci faležne poptavky fi : (R± - {0} x R± — Xc) nísledovne: fi(p,w) := xo, u(xo) = max{ui(x) : x G Bp>w}, 146 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE kde BP;W = {x G Xc : p • x < w}. Protože je množina BP;W kompaktní, konvexní a neprýzdný, okamžite plyne z ostre konvexity u*, že je funkce f*(p, w) dobre definovana. Veta 2.9 Funkce falešné poptívky f* : (R+ — {0} x R+ — Xc) je spojité, je homogenní tj. f*(Ap, Aw) = f * (p, w) pro všechna A > 0 a p • f(p,w) < w. Zírovež, pokud || f* (p, w) || < c, pak maximum f*(p, w) funkce u* existuje na množině BP;W = {x G R+ : p • x < w} ( pravdiva poptavka) a navíc platí f*(p,w) = f(p, w). Důkaz. Je evidentní, že funkce falesne poptívky f* je spojitý, je homogenní a p • f(p, w) < w. Ukažeme zbyvající čast vety. Necht' x* = f*(p, w) tak, že || f*(p, w) || < c. Uvažme x* G BP;W tak, že u*(x*) > u*(x*). Necht' S = {y : y = Ax* + (1 — A)x*, 0 < A < 1} je odpovídající interval s krajními body x*, x*. Pro vsechna x* = x* na množine S n Xc mýme u*(x*) > u*(x*) z ostre konvexity, což je spor s vyberem x* jakožto bodu maxima funkce falesne poptívky. I Nyní definujme funkce D(p) = E * f (p, p • e*), S (p) = E * e* a Z : R+ — {0} — Rl jakožto Z (p) := D (p) — S (p). Pak evidentne Z splňuje slaby Walrasuv zakon a tedy dle vety 1.9 existuje cenový vektor p tak, že Z (p) = 0. Položíme-li tedy x* = f* (p, w), mýme E * x* = E * e* a || f* (p, w) || < c. Tedy dle 2.9 je nutne x* = fi(p,w) = f*(p, w) = x*. Zejmena je tedy vektor (xi, ... ,xm,p) rovnovažným stavem volného pouzití ekonomiky uplne smeny. I Predpokladejme nyní, že funkce užitku u* : R+ — R splnuje nasledující Podmínka nenasycenosti: Funkce u* : R+ — R nema maximum. Pak mužeme bez ýjmy na obecnosti tvrdit, že vektor komodit f*(p,w) = x* splnuje dokonce rovnost pf*(p, w) = w. Jinak bychom totiž mohli vybrat komoditní vektor x* G R+ mimo BP;W tak, že u*(x*) > u*(x*), což je opet spor podmínky ostre konvexity a výberem x* jakožto bodu maxima na BP;W. Celkem tedy dostaneme, že pro obvyklou funkci nadbytku poptavky Z (p) platí Walrasuv zýkon v rovnovažnem stavu. 3. PARETOVA OPTIMALITA 147 3 Paretova optimalita Budeme nyní pracovat na nejake otevrene množine W c Rn a funkcemi trídy C2 ui : W — R, 1 < i < m. Mužeme pak W považovat ža prostor stavu nejakeho sdružení, pricemž clenove tohoto sdružení mají preference reprežentovane funkcemi užitku ui. Bod x g W se nažíví Paretovym optimem, pokud neexistuje žídny prvek y g W tak, že ui(y) > ui(x) pro vsechna i a pro nejake i0 ui0(y) > ui0(x). O takovem y ríkíme, že dominuje stav x. Je-li m = 1, je Paretovo optimum príve obycejne maximum. Bod x g W je lokílní Paretovo optimum, jestliže existuje okolí N bodu x a x je Paretovo optimum pro funkce užitku ui : W — R, 1 < i < m omežene na okolí N. Bod x g W se nažíví silne Paretovo optimum, jestliže y g W splnuje ui(y) > ui(x) pro vsechna i, pak nutne x = y. Podobne, bod x g W se nažíví lokalní silne Paretovo optimum, jestliže existuje okolíí N bodu x a x je silníe Paretovo optimum pro funkce užitku ui : W — R, 1 < i < m omežene na okolí N. Požnamenejme, že tyto definice lže žavest obecne, napr. pro libovolnou podmnožinu W c Rn. Veta 3.1 Bud' ui : W — R, 1 < i < m, funkce trídy C2, kde W je otevrení podmnozina Rn. Je-li x g W lokílní Paretovo optimum, existují nezíporní císla Ai, ..., Am > 0, alespon jedno z nich nenulove tak, ze AiDui(x) = 0. (3.1) i Pokud navííc platíí, žze AiD2ui(x) je negativne definitní na (AiDui(x),..., ATODuTO(x))±, (3.2) i je x bod lokaílníího silníeho Paretova optima. Požnamenejme, že položíme-li m = 1, n = 1, je veta 3.1 standardní veta matematicke analížy funkcí jedne promenne pro maximum. Je-li m = 1 a n libovolne, jedna se o prípad maxima funkce více promenních. 148 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE Věta 3.2 Stiemkeho věta Proto, aby systém lineárních rovnic Ax = 0 měl kladné řešeni x > 0,x G Rm je nutné a dostatečné, aby byl průnik množin {ATp : p G Rn} a R7]7- — {0} prázdné. Veta 3.3 Tůckerova veta Sýstem linearních rovnic Ax = 0,x > 0 a sýstám lineárních nerovnic ATp > 0 mají vZdý dvojici řešení (x,p) takovou, Ze ATp + x > 0. Důkaz vety 3.1. Necht' Pos = {v G Rm : v = (v1,... , vm), v* > 0}, Pos príslůsní ůzaver. Pritom u = (u1,... ,um) : W — Rm. Bůd' x lokalní Paretovo optimům a predpokladejme, ze ImDu(x) n Pos = 0. Pak existůje v G Rn tak, ze Du(x)(v) G Pos. Dale bůd' a(t) krivka zacínající v x, obsazena ve W takova, ze a'(0) = v. Pak, z Taylorova rozvoje fůnkcí u*, dostavíme, ze existůje t0 tak, ze pro vsechna i a t < t0 je uí(a(t)) = uí(a(0)) + tDu(x)(v)* + R^t)*, kde ^ — 0 pro t — 0, Du(x)(v)* > R1(t)* tj. uí(a(t)) > ui(a(0)) = u*(x) tj. x není Paretovo lokalní optimům. Nůtne tedy ImDu(x) n Pos = 0. Predpoklaídejme nyníí, ze rovnice A • Du(x) = 0 mía poůze triviaílníí nezíaporníe reseníí. Pak dle 3.3 platíí, ze existůje vektor v G Rn tak, ze Du(x)(v) G Pos, coz neníí mozníe. Tedy rovnice A • Du(x) = 0 mía netriviaílníí nezaíporníe reseníí, cíímz je dokíazaína prvníí cíast vety. Ukazme víse ůvedene prímo pomocí aparatů linearního programovaní: Primíarní ůíloha *=1 A* za podmínek (Du1(x), . . . , Dum(x)) A* > 0 A1 Am (PU) =0 3. PARETOVA OPTIMALITA 149 a důíalní ůíloha min E n=1 0 • v j za podmínky (vi,... ,vn) • (Dui(x),..., Dum(x)) > 1 1 (DU) Protoze vsak primírní ůloha je neomezena prave tehdy, kdyz existůje netriviílní nežaporný vektor A splnůjící A • Du(x) = 0 a důalní úloha nema prípůstne resení príve tehdy, kdyz ImDu(x) n Pos = 0, mame z vety o důalite první císt nasí vety. Predpokladejme nyní, ze drůha císt nasí vety platí pro prípad Aj > 0,1 < i < m a ůvazme obecní prípad. Precíslůjme indexy tak, ze Aj > 0, 1 < i < k, Aj = 0, k + 1 < i < m. Pak podmínky 3.1 a 3.2 jsoů tytez pro optimalizaci u1,..., um v bode x a optimalizaci u1,..., uk v bode x. Protoze ale dle predpokladů je veta platna v tomto prípade, je x lokalní silne Paretovo optimům v bode x pro fůnkce u1,..., uk. Je tedy x lokalní silne Paretovo optimům v bode x pro fůnkce u1,..., um. Stací se tedy omezit na důkaz prípadů, kdy jsoů vsechna Aj kladna. Predpokladejme pro jednodůchost, ze bod x je pocatek Rn a ze u(x) = 0 G Rm. Můzeme tedy v dalsím volne poůzívat oznacení x pro libovolní bod z W. Zejmena tedy podmínka, ze 0 G W je bod lokílního silneho Paretova optima, je ekvivalentní podmínce, ze existůje okolí N pocatků 0 ve W tak, ze (u(N) — {0}) n Pos = 0. Ukazeme tedy, ze existůje takoveto okolí N. Oznacme K = KerDu(0) jadro lineírního zobrazení Du(0) a K± jeho ortogonalní doplnek. Lemma 3.4 Existují reálná čísla r,5 > 0 tak, že pokud \\x\\ < r, x = (x\)X2), x\ E K, X2 E K± a 11^2\\ < ^\\xi\\, pak platí pro nenulové x nerovnost A • u(x) < 0. 150 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALYZA A EKONOMIE D ů kaz.Necht' H = J2i AíD2Uj (0). Protože H je negativne definitní na K, je H (x, x) < —a||x||2 pro nejake vhodne kladne císlo a a pro vsechny vektory x G K (totiž stací se omezit na jednotkovou kouli v K, tam mí funkce H maximum, ktere je nutne zíporne a rovno —a). Necht' nyní x G Rn, x = (xi, x2), xi G K, x2 G K-1. Pak mužeme psat H (x, x) = H (xi, xi) + 2H (xi, x2) + H(x2,x2). Ale víme, že |H(xi,x2)| < C||xi|| • ||x2|| a |H(x2,x2)| < Ci||x2|| • ||x2|| pro vhodne nezíporne konstanty C a Ci. Mužeme tedy vybrat vhodna dostatecne malí kladní císla n, Í tak, že pokud ||x2|| < Í||xi||, pak H (x, x) < — n || x ||2. Aplikujeme-li Taylorovu vetu o rozvoji pro ||x|| < r, u (x) = Du(0)(x) + D2u(0)(x,x) + R3(x),kde |A^R3(x)| < n||x||2. Pak A-u(x) = A^Du(0)(x)+A^D2u(0)(x, x)+A^R3(x) < — n||x||2+A^R3(x) < 0. I Oznacme nyní J = ImDu(0) a pisme pro u G Rm jako u = (ua, ub), ua G J, ub G Jx. Lemma 3.5 Jsou-li dana reálna císla a > 0 a Í > 0, existuje realne císlo s > 0 tak, ze pokud ||x|| < r, x = (xi,x2), xi G K, x2 G Kx a ||x2|| > Í||xi||, pak nerovnost ||ub(x)|| < a||ua(x)||. D ů kaz. Restrikce Du(0)K± : K± — ImDu(0) zobrazení Du(0) : Rn — ImDu(0) je linearní izomorfismus. Totiž, je-li Du(0)(x) = Du(0)(y) je nutne Du(0)(x — y) = 0 t.j. x — y G K n K± = {0} tj. x = y. Necht' z G ImDu(0). Pak existuje x G Rn tak, že Du(0)(x) = z. Ale x = xi + x2, xi G K, x2 G Kx. Tedy z = Du(0)(x) = Du(0)(xi) + Du(0)(x2) = 0 + Du(0)(x2). Zaroveň poznamenejme, že pro každy linearní izomorfismus v euklidovskem prostoru existují kladne konstanty ki, k2 > 0 tak, že ki||x|| < ||F(x)|| < k2||x|| pro vsechna x. Specialne tedy existují kladne konstanty ci, c2 > 0 tak, že ||Du(0)(x)|| = ||Du(0)(x2)|| > ci||x2|| pro vsechna x = xi + x2 > c||x|| pokud ||x2|| > Í||xi||. 3. PARETOVA OPTIMALITA 151 Rozviňme u(x) do Taylorovy rady. Pak u«(x) + ub(x) = u(x) = Du(0)(x) + R(x). Pritom pro P > 0 muzeme predpokladat, ze ||R(x)|| — P||x|| pro ||x|| < s, s > 0 vhodne realne císlo. Pritom R(x) = R«(x) + Rb(x), R«(x) G J, Rb(x) G Jx. Tedy ||u0(x)|| = ||Du(0)(x) + Ra(x)|| > ||Du(0)(x)|| — || — R«(x)|| > (c — P)||x|| a ||u6 (x)|| = ||Rb(x)|| — P||x||. Zvolme P tak, ze < a. Pak ||ub(x)|| — a||ua(x)||. I Dokonceme nyní dukaz vety 3.1. Vyberme a z lemma 3.5 tak, ze pokud ||ub(x)|| — a||ua(x)||, pak u(x) G PoS — {0}. Ukazeme nyní, ze rovnice A • Du(x) = 0 nm kladne resení prýve tehdy, kdyz ImDu(0) n Pos = 0. Ukaňzme vyíňse uvedeníe pomocíí aparíatu lineíarníího programovaíníí: Primíarníí uíloha maxAj za podmínek (PUj) A1 =0 (Du1(x), . . . , Dum(x)) Aj > 0 Am 152 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALYZA A EKONOMIE a duíalní uíloha max £n=1 0 • Vj za podmínky (DUj) j (V1,...,Vn) • (Du1(x),..., Dum(x)) > (0 ... 1 0). Protoňze vňsak vňsechny primaírní uílohy (PUj) jsou neomezeníe praívňe tehdy, kdyňz existuje netriviaílní kladnyí vektor A splnňující A • Du(x) = 0 a vňsechny duíalní uílohy (DUj) nemají pňrípustnaí ňreňsení praívňe tehdy, kdyňz ImDu(0) n Pos = {0}, mýme z vety o dualite nase tvrzení o pruniku ImDu(0) n Pos. Vyberme tedy kruh se stredem 0 a polomerem r0 < min(r, s), r z lemmatu 3.4 a s z lemmatu 3.5, ó z lemmatu 3.5 dle lemmatu 3.4. Nutne pak u(x) G Pos — {0} pokud ||x|| < r0 tj. 0 je bod lokalního silneho Paretova optima. I Prejdeme nyní k rozsírení vety 3.1 o podmínky omezení. Jsou tedy funkce trídy C2 u1,... , um definovýny na nejake otevrene mnozine W C R1 spolu s omezeními danými podmínkami tvaru (x) > 0, P = 1,... , k, kde : W — R je funkce trídy C2. Muzeme vyjadrit tento problem jakozto hledaní optima restrikcí funkcí u1,..., um na mnozine W0 C R1, W0 = {x G W : (x) > 0, P = 1,... , k}. Veta 3.6 Bud' uj : W0 — R, 1 — i — m, funkce jako výše uvedeno, x G W0 lokainá Paretovo optimum. Pak existuji nezáporná cásla A1, ..., Am > 0, ... > 0, alespon jedno ž nich nenulové tak, že Y] AjDuj(x) + Y Dgj(x) = 0, (3.3) j J pricemž = 0 pro (x) = 0. Pokud navíc platí, že Ej AjD2uj(x) + Ej Z-4/?D2gj(x) je negativne definitná na (A1Du1(x),..., Am Dum(x),^1Dg1(x),... Dgk (x))x, (3.4) je x bod lokáalnááho silnáeho Paretova optima. 4. ZAKLADNI VETA EKONOMIKY BLAHOBYTU 153 Důkaz. Abychom dokížali první číst vety, predpoklídejme (bež ujmy na obecnosti), že (x) = 0 príve pro vsechna // = 1,... , k a definujme žobražení ^ : W — Rm+k predpisem ^ = (u1,... , um, g1,... , gk). Tvrdíme pak, že ImD^(x) n Pos = 0. Jinak by, analogicky jako v 3.1, existoval vektor v E R1 tak, že D<^(x)(v) E Pos a necht' a(t) bud' krivka ve W splnující a(0) = x, c/(0) = v. Pro dostatečne malí e je a(e) E W0 a dominuje a(0) = x. Tedy x není lokální Paretovo optimum. Nutne tedy ImD^(x) n Pos = 0. Existuje pak vektor (A1,..., Am,^1,... ) E Pos — [0} normílní k podprostoru ImD^(x), stejne jako ve vete 3.1. Tím jsme dokažali první čast vety 3.6. K dukažu druhe časti nejprve požnamenejme, že ž definice lokalního silneho Paretova optima plyne pro bod x E W0, že pokud bod x je bodem lokalního silneho Paretova optima pro funkci ^ na W, pak je i bodem lokalního silneho Paretova optima pro funkce U1, ..., Um na W0. Ale ž 3.1 víme, ňže x je bodem lokíalního silneho Paretova optima pro funkci ^ na W. I Zakončeme tento odstavec s nekolika požnamkami: 1. Veta 3.1 je specialní prípad vety 3.6 pro k = 0. 2. Predpokladejme, že ga splňují podmínku nedegenerovanosti v bode x E W0. Pak je množina vektoru Dg? pro /// takove, že (x) = 0, lineírne nežívisla tedy specialne alespoň jedno Ai je kladne. 3. Pokud je ve vete 3.6 m = 1, není první čast nic jineho než Kuhn-Tuckerova veta. Je-li navíc splnena podmíínka nedegenerovanosti, lže volit A1 = 1. 4 Základní veta ekonomiky blahobytů Vrat' me se nyní k ekonomice uplne smeny ž odstavce 2. Pritom funkce užitečnosti ui : P — R i—teho obchodníka, i = 1,... ,m splnují podmínku 2.1 tj. že funkce ui : P — R je trídy C2, podmínku monotonie 2.2 tj., že gi(x) E P n S1-1 = int(S+ľ1) pro vsechna x E P, žde gi(x) = , kde gradUi = (g,..., g), 154 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE podmínků konvexnosti 2.3, ze restrikce Dg*(x) z nadroviny g*(x)± do sebe mí zaporne vlastní hodnoty a nakonec je hranicní podmínků 2.5, ze Indiferentní krivka u-1 (c) je ůzavrení v Rl pro vsechna c. Nebůdeme vsak predpoklídat, ze bohatství ícastníka pochízí z obdarení ei z P a je fůnkcí = p • ei ceny p. Bůdeme ale predpoklídat, ze íplne zdroje nasí ekonomiky jsoů díny pevním vektorem r G P. Pak mnozina W dosazitelnych alokací neboli stavů nm tvar W = {x G Pm : x = (x1, . . . , xm), x* G P, x* = r}. * Fůnkce individůílního ůzitků u* : P — R i-teho ůcastníka ním indůkůje zobrazení v* : W — R tak, ze v*(x) = u^x*). Je prirozene si któst otazků, jak vypadají Paretove optimalní stavy pro fůnkce v*, i = 1,..., m. Platí: Veta 4.1 Nasledující těi podmínky na alokaci x G W vzhledem k indukovaným funkcím užitku ví : W — R jsou ekvivalentní: 1. x je lokalní Paretovo optimum. 2. x je lokílní silne Paretovo optimum. 3. gí(xí) = p G S1-1 pro vsechna i. Pritom množinu vsech takovíchto x označíme 9. D ů kaz. Poznamenejme, ze evidentne podmínka (2) implikůje podmínků (1). Ukazme, ze (1) implikůje (3). Abychom to dokazali, stací nam poůze predpokladat o fůnkcích u* : P — R, ze jsoů trídy C1. Predpokladejme tedy, ze x G W je lokalní Paretovo optimům. Z první císti vety 3.1 mame, ze existůjí nezaporní císla A1, ..., Am > 0, alespoň jedno z nich nenůlove tak, ze i AíDví(x) = 0 tj. i AíDuí(xí) = 0. Bez ůjmy na obecnosti lze predpokladat, ze napríklad A1 je kladne. Uvazme nyní vektor x = (x1,... ,xm) G 4. ZÁKLADNI VETA EKONOMIKY BLAHOBYTU 155 (R1 )m tak, že Y * x* = 0, tj. jední se o tecní vektor k W. Je-li navíc speciílne x = (x1, 0,..., 0, —x1, 0,..., 0), míme pak Y* AjD«j(xj)(xj) = A1Du1(x1 )(x1) — AkDuk(xk)(x1) = 0 pro vsechna x1 G R1. Nutne tedy, protože Duj(xj) G P pro vsechna j, A1 je kladne, je i Ak kladne a A1 Du1(x1) = AkDuk(xk). Po podelení normou pak g1 (x1) = gk(xk). Je tedy podmínka (3) splnena. Abychom dokíažali ekvivalenci tňechto tňrí podmínek, žbyívaí ukaížat, ňže pokud x splnňuje podmínku (3), pak platí (2) tj. x je lokíalní silníe Paretovo optimum. Lemma 4.2 Bud' u : P — R funkce splčující 2.3. Pokud y G P, u(y) > u(x) a x = y, pak Du(x)(y — x) > 0. Pak i y • g(x) > x • g(x). Důkaz. Pro 0 < t < 1 dle 2.3 je nutne u(x) < u(x + t(y — x)). Nutne tedy je její derivace v bode x nežaporný tj. platí (d/dt)u(x + t(y — x))|t=0 > 0 tj. Du(x)(y — x) > 0. Predpokladejme, že Du(x)(y — x) = 0. Rožvojem v bode x dostavíme u(x + t(y — x)) = u(x) + 0 + D2u(x)(t(y — x),t(y — x)) +R3(t). Tedy pro dostatecne v-v-' u(x + t(y — x)), což je spor s výse uvedeným. Chceme nyní ukíažat, ňže x je bod lokaílního silníeho Paretova optima. Necht' nyní y je takovíy bod, ňže v*(x) < v*(y) pro vsechna i. Chceme ukažat, že x = y. Predpoklídejme opak. Pak pro nejake i0 víme, že platí yío • gío (xío) > xío • gío (xío). Položme p = gío (xío). Pak p = g* (x*) pro vsechna i. Tedy Y * y* • p > S * x* • p. Ale protože y G W, nutne Y * y* = r = S * x* tedy i Y * y* • p = r = S * x* • p. Nutne pak pro vsechna i mame x* = y* tj. x = y tj. x je silne Paretovo optimum. Zaved'me nyní pojem rovnovazneho stavu ekonomiky blahobytu. Rekneme, že stav (x,p) G W x S+-1 je rovnovažním stavem ekonomiky blahobytu, jestliže i-tí projekce x* je bodem maxima funkce u* na rožpoctove množine BP;P.Xi = {x G P : p • x = p • x*}. Množinu vsech rovnovýžných stavu ekonomiky blahobytu budeme ožnacovat A. Z teto definice plyne, že bod (x,p), x = (x1, ...,xm),x* G P,p G S+-1 leží v A, pokud platí: 156 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE (1E) Ei xi = ^ (2E) gi(xi) = p pro vsechna i = 1, ..., m. Míme-li navíc k dispožici ídaje o individuílních obdareních ei g P, i = 1, ... ,m tak, že Yli ei = r, dostavame Walrasuv rovnovažny stav (3e) p • ei = p • xí, i = 1, ... ,m. Veta 4.3 Mezi mnozinami 9 a A existuje vzíjemne jednoznacní korespondence P : A — 9 definovaní predpisem P ((x,p)) = x a a : 9 — A definovana nasledovne: a(x) = (x,gi(xi)). Důkaz. Evidentne, P je korektne definovaní surjekce. Totiž, vžorem prvku x je prvek (x,gi(xi)). Ukažme, že je i injekce. Necht' P (x, p) = P (x, q). Pak nutne p = gi(xi) = q. I V dalsím budeme o funkcích užitku ui predpokladat použe, že jsou trídy C2. Ožnacme 9s podmnožinu množiny W, ktera sestava ž lokalních silních Paretovych optim. Tvrzení 4.4 Je-li bod x g W bod lokalního optima pro indukovane funkce užitku na W, pak 1. existují nezíporna císla Ai, ..., Am > 0, alespon jedno z nich nenulove tak, ze AiDui(x) = 0, i což implikuje, že gi(xi) jsou nezavisle na i. Pokud navííc platíí, ze 2. AiD2ui(x)(xi) je zíporna na mnozine takovych x, ze i Ei xi = 0, xi • gi(xi) = 0 pro vsechna i a pro jistí i0 je xi0 = 0, je x bod lokalního silneho Paretova optima tj. x g 9s. 4. ZAKLADNI VETA EKONOMIKY BLAHOBYTU 157 D ů kaz. Stejne jako ve vete 3.1 víme, že ImDu(x) nPos = 0, tj. existuje vektor A tak, že rovnice A• Du(x) = 0 ma netrivialní nezaporne resení A, címž je pomocí 4.1 dokízína první cast vety. Položme K = {x : Ej xj = 0,x* • gj(xj) = 0 pro vsechna i}. Pak K je vektoroví podprostor a forma H = E % AiD2uí(x) je negativne definitní na množine K. Platí pak zejmena obdoba lemmat 3.4 a 3.5. Tedy pak nutne míme x G I Studujme nyníí situaci ž vety 4.1 pro prostory komodit s hranicíí. Predpoklaídejme, že každía funkce užitku u* : R++ — R je restrikce funkce trídy C2 na nejake otevrene množine obsahující množinu R++. Speciílne pak mame definovíny derivace Du*(x) a D2u*(x) na hranici ÍR++ a podmínky 2.2 a 2.3 mají smysl i pro hranicní body. Bud' r G intRf vektor celkovích zasob. Položme díle W0 = {x : x G R+f77-, Ej xj = r}. Pak W0 je prostor prípustních stavu nasí ekonomiky uplne smeny. Bud' díle W relativní okolí množiny W0 vzhledem k množine Wr = {x : x G R1m, Ej xj = r} tak, že funkce v* : W — R jsou zde definovíny jakožto v*(x) = u*(x*), i = 1,... ,m. Necht' jsou dale funkce omezení gk : W — R urceny predpisem gk(x) = xk. Pak nalezení optima ve W0 je ekvivalentní nalezení optima pro funkce v* : W — R s omezeními gk(x) > 0. Veta 4.5 Necht funkce u* : R++ — R splnují g^xO = g S+-1, (4.1) ||g^adui(xi ) || pro vsechna i a D2u*(x) je negativne definitní na g*(x*)-1. (4.2) Je-li bod x G W0 bod lokálního optima pro indukovane funkce užitku na W0, pak 1. existují normovaná nezaporná vektor p G S+-1 a nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, alespon jedno z nich nenulováe tak, ze p > A^u^x*) pro vsechna i, pricemz rovnost nastává v k-te souřadnici, jestlize xk = 0. Pokud naváíc platáí, ze 158 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALYZA A EKONOMIE 2. p • xj = 0 pro vsechna i, je x bod lokaálnááho silnáeho Paretova optima. D ů kaž. Pro omezení gk(x) = xk víme, ze Dgj(x)(x) = xj pro vsechny vektory x G (R1 )m takove, ze £j xj = 0. Dle vety 3.6 víme, ze existují nezýporný císla A1, ..., Am > 0, ... , Ak > 0, alespon jedno z nich nenulovíe tak, ňze Y AjDuj(xj)(xj) + Y Ajxj = 0, j j,j pricemz a j = 0 pro xj = 0. Proved'me nyní konkrétní volbu xj = 1, xk = —1a necht' vsechny ostatní souradnice jsou nulove. pak nutnňe AjDuj(xj)(xj )j + Aj = Ak Duk (xk )(xk )j + Ak, pricemz Duk(xk)(xk)j znací j-tou souradnici vektoru Duk(xk)(xk). Celkem tedy je vektor q = AkDuk(xk) + ^k nezývislý na indexu k. Pritom ^k = (Ak,..., Ak) > 0 a nutne Ak • xk = 0. Poznamenejme, ze q je nenulový j vektor (jinak by nutne vsechna Aj a Aj byla nulový). Polozme p = . Polozíme-li Aj = , Ajj = , mýme pak p = Ak Duk(xk) + Ak, pricemz A'k > 0, Ak > 0, Ak • xk = 0. To ale není nic jineho, nez první císt nasí vety. Abychom dokíazali zbyívající ňcaíst vňety, uvaňzme prvek y W0 tak, ňze uj(yj) > uj(xj) pro vňsechna i. Dle lemmatu 4.2 platí Duj(xj)(yj — xj) > 0, pricemz rovnost nastava prýve tehdy, kdyz yj = xj. Platí ale zaroveň, ňze p • xj = AjDuj(xj) • xj + Aj • xj = AjDuj(xj) • xj. Nutne tedy je Aj = 0, protoze p • xj = 0. Zopakujeme-li tuto uvahu jeste jednou, obdrzíme nerovnost p(yj — xj) > aj • yj tj. p • yj > p • xj, 4. ZAKLADNI VETA EKONOMIKY BLAHOBYTU 159 pricemz rovnost mstíva príve tehdy, kdyz yj = xj. Z drůhe strany nůtne Ej V% = r = Ej xj tj. EjP • y = p • r = EjP • xj a pro vsechna i skůtecne nastava rovnost. I Zaved'me nyní pojem rovnovázneho stávu ekonomiky bláhobytu pro W0. Řekneme, ze stav (x,p) G W0 x S+1 je rovnovýžným stavem ekonomiky blahobytů, jestlize i-tí projekce xj je bodem maxima fůnkce uj na rozpoctove mnozine Bpp.x. = {x G P : p • x < p • xj}. Mnozinů vsech takovíchto rovnovaznych stavů ekonomiky blahobytů bůdeme oznacovat A0. Pokůd bod (x,p) lezí v A0, pak Ejxj = r. Veta 4.6 Pokud (x,p) G A0, existuji nezáporná cáslá Aj > 0, i = 1,... ,m á nezáporne vektory G R+, i = 1,... ,m ták, že xj • = 0 á p = AjDuj(xj) + Obráceně, pokud (x,p) G W0 x S+ 1 ták, že p • xj = 0 pro vsechná i á návác Aj > 0, G R+, i = 1,... ,m splnujá vyše uvedene, pák (x,p) G A0. D ů kaz. Protoze xj je maximům fůnkce uj na Bv,p.Xi pro vsechna i, existůjí Aj,aj > 0 a nezaporne vektory /i G R+, i = 1,... , m ne vsechny nůlove tak, ze AjDuj(xj)(xj) + ^ /i\Dg (xj)(xj) — ajp • xj = 0 pro vsechna xj G R1. To je ekvivalentní s tím, ze AjDuj(xj) + //j = <7jp, /j • xj = 0. Pokůd by aj = 0, nůtne i Aj = 0, /j = 0. Můzeme tedy delit obe strany rovnosti aj a po preznacení míme AjDuj(xj) + / j = p, / j • xj = 0. Tím jsme dokízali první cast. Pro důkaz drůhe casti predpoklýdejme, ze existůje yj G Bv,p.Xi tak, ze uj(xj) < uj(yj). Pak dle 4.2 platí Duj(xj)(yj — xj) > 0 a pro p • yj > yj • AjDuj(xj) > p • xj, Aj = 0. Tedy y G Bp,p.xi, spor. Celkem (x,p) G A0. I 160 KAPITOLA 4. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE Ve zbývající čísti tohoto odstavce budeme predpoklýdat, že Du^x*) g intS+ i a D2uj(xj) < 0 na KerDu^x*). Řekneme, že pro bod x g W0 existuje izolovana komunita 0 c S c {1,...,m}, jestliže pro každý prvek i g S a každý nenulový prvek xj = 0 dostavíme, že xk = 0 platí pro vsechna k g S. Lemma 4.7 Predpoklédejme, že x g W0 je bez izolovanych komunit a ze i,q g {1,..., m} jsou dva éžastníci naší ekonomiky. Pak existuje posloupnost ii,..., in agentů, tak, ze ii = i, in = q a posloupnost zbozí ..., jn tak, ze xjk = 0 a pro vsechna k nutne bud' jk+1 = jk nebo ik+1 = ik. Důkaz. Sporem. Bez ujmy na obecnosti lze ríci, že i = ii = 1 a uvažme vsechny posloupnosti ... výse uvedeneho tvaru tak, že ii = 1. Označme S jakožto podmnožinu vsech možných in dosažitelných tímto zpusobem. Je-li S = 0 vlastní, pak ma x izolovanou komunitu. I D ů sledek 4.8 Necht bod x g W0 nemé izolovane komunity. Pak existuje jediny odpovídající cenové vektor p g S+_i. D ů kaz. Stejne jako ve vete 4.5 a dle vety 3.6 víme, že existují nezýporný čísla Ai, ..., Am > 0, ^i, ..., /xk > 0, alespon jedno z nich nenulove tak, že p = AíDuí(xí) + pričemž •x* = 0. Bez ujmy na obecnosti mužeme prečíslovat zboží a učastníky tak, že učastník 1 mý nejakou čast zboží 1 tj. xi = 0. Normujme vektor p nasledovne: pi = 1. Pak pi = 1 = A^u^x^1 + = A1Du1(x1)1, protože z1 = 0. Je tedy A1 jednoznačne určeno. Bud' q nejaký jiny ýčastník. Uvažme posloupnost i1,... ,in agentu tak, že i1 = = q a posloupnost zboží ..., jn tak, že xjk = 0 a pro vsechna k nutne bud' jk+1 = jk nebo ik+1 = ik. Predpoklídejme indukcí, že je určeno pro vsechna l < k a chceme určit A*,,. Jsou dve možnosti: bud' ik-1 = ik a pak Aífc = Aifc_1 nebo ik-1 = ik a potom jk-1 = jk a oba ýčastníci ik-1, ik mají nenulove množství zboží jk. Mame tedy rovnosti pjfc = Aifc_1 Du*^ (xjfc_1 )jk a p7fc = AífcDuífc (xífc )jk. Znýme tedy p7fc a nasledne Aifc. Opet jsme zde použili tu skutečnost, že odpovídající /j byla nulový. Zejmena tedy mýme tedy až na nýsobek jednoznačne určene vsechny koeficienty A*. Bud' díle k nejake zboží. Vyberme index i tak, že xk = 0. Pak pk = AjDu^x*)'11 jednoznačne určuje pk, což dokazuje nase tvrzení. I 4. ZAKLADNI VETA EKONOMIKY BLAHOBYTU 161 Nasledůjící vztah mezi Paretovymi optimy a rovnovaznymi stavy vyplíva bezprostredne z 4.8. Veta 4.9 Jestliže ekonomiká splžuje predpoklád neexistence izolováných komunit pro vžechná Páretová op-timá, pák mezi množinou #0 Páretovych optim á množinou A0 rovnovážnáych stávů existuje vzájemně jed-noznácná korespondence /30 : A0 — #0 definováná predpisem /30((x,p)) = x á a0 : #0 — A0 definováná následovne: a0(x) = (x,g1(x1)). 162 KAPITOLA i. GLOBALNI ANALÝZA A EKONOMIE Kapitola 5 Dualita v mikroekonomii 1 Úvod Co se myslí tím, když se řekne, že existuje dualita mezi nákladovou a produkční funkcí? Předpokládejme, že je dána produkční funkce F a že u = F (x), kde u je maximální množství vároby (produkce), ktere muže bít vyrobeno technologií behem určiteho období, jestliže vektor vloženeho (vstupního) množství x = (xi, x2,..., xN) je užit behem období. Tudíž produkční funkce F popisuje technologii dane firmy. Na druhou stranu minimální celkové náklady firemní vyroby na nejmensí vystup (produkci) írovne u dane vstupními cenami (p1,p2,... ,pN) = p jsou definovany jako C (u, p) ) a to je samožrejme funkce u, p a dane produkcní funkce F. To co není tak samožrejme, je to, že (ža urcitych podmínek regularity) nakladova funkce C (u, p) rovnež žcela popisuje technologii dane firmy, tj. dana firemní nakladova funkce C muže bít použita k definovíní firemní produkcní funkce F. Tudíž se jedna o dualitu meži nakladovou a produkcní funkcí v tom smyslu, že každa ž techto funkcí muže popisovat technologii firmy stejne dobre. V první casti teto kapitoly rožvineme tuto dualitu meži nakladovou a produkcní funkcí podrobneji. V druhe casti odvodíme podmínky regularity, jež nakladova funkce C musí mít (bež ohledu na tvar funkce 163 164 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII nebo žvlastních regůlárních vlastností produkční funkce F), a ukažeme, jak muže bít produkční funkce žkonstruovíana ž daníe naíkladovíe funkce. Ve tňretí ňcaísti rožvineme tuto dualitu meži níakladovou a produkňcní funkcí vícero formalnejsím žpusobem. Ve ňctvrtíe ňcíasti budeme uvaňžovat o dualitňe meži (pňrímou) produkňcní funkcí F a vžíajemnňe si odpovídající neprímou produkční funkcí G. Daná produkční funkce F, vstupní ceny p = (p1,p2,... ,pN) a vstupní rožpočet y dolaru, nepríme produkřní funkce G(y, p) je definovana jako maximální vástup (produkt) u = F (x), která muže bát vyroben (vyprodukovan) danám rožpočtem vynucenám vstupními naklady pTx = YN=1 pixi < y. Tudíňž nepňrímía produkňcní funkce G(y, p) je funkcí maximíalního pňrípustníeho rožpoňctu y, vstupních cen p, se kteryími vyírobce poňcítía a produkňcní funkci F víyrobce. Za urňcityích regulíarních podmínek se ukíaňže, ňže G muže take žcela popisovat technologii a tudíž je tu dualita meži prímou a neprímou produkční funkcí. Váse uvedene duality meži naklady, produkcí (várobou) a neprímou produkční funkcí se take muže interpretovat v kontextu teorie spotňreby: prostňe nechat (dovolit) F byít uzzitkovou funkcíí spotzrebitele, x vektorem nakoupeníeho žboňží (nebo níajemníe), u uňžitkovyím stupnňem spotňrebitele a y pzrííjmem spotňrebitele nebo vyídaji (naíklady) na N komodit. Potom C(u, p) je minimíalní níaklad (vyídaj) dosahující uňžitkovyí stupenň u danyí tak, ňže spotňrebitel poňcítaí s cenami p ža žboňží a to je dualita meži uňžitkovou funkcí F spotňrebitele a funkcí C, ktería je ňcasto nažyívíana níakladovou (vyídajovou) funkcíí v kontextu teorie spotňrebitele. Podobnňe G(y, p) muže bát nyní definovana jako maximalní užitek, která spotrebitel muže dosahnout tak, že počítá s cenami p a pňrííjem y vydaí na N komodit. V souvislosti se spotňrebitelem je G nažíyvaína jako nepzríímía uzzitkovía funkce spotňrebitele. Tudííňž kaňždaí ž naňsich duaílníích teoriíí mía dvňe interpretace: jednak v souvislosti s vyírobou a jednak v souvislosti se spotrebitelem. V části 2 chceme využít várobní teoretickou terminologii kvuli konkretnosti. Nicmene v níasledujíícíí ňcíasti budeme pouňžíívat vííce neutríalníí terminologii, kteraí bude žahrnovat jak produkňcníí tak i spotňrebníí interpretaci. Produkňcníí resp. uňžitkovou funkci F budeme nažyívat agregazcníí funkce, níakladovou resp. víydajovou funkci C naíkladovía funkce a nepňríímou produkňcníí resp. uňžitkovou funkci G nepzríímía agregazcníí funkce. V pate časti je žavedena funkce vždalenosti D(u, x). Vždaleností funkce poskytuje jeste dalsí žpusob charakteristiky technologie. Hlavní použití vždalenostní funkce je v konstrukci Malmquistova (1953) množstevního 2. DUALITA MEZINAKLADOVOU (VYDAJOVOU)A PRODUKCNI (UŽITKOVOU) FUNKCI: ZJEDNODUŠEN' indexu. V císti 6 prodiskutujeme nekolik dalsích teorií duality: tj. prodiskutujeme dalsí metody pro ekvivalentní popis technologie, bud' lokílne nebo globílne, v jednovstupem nebo v N-vstupem kontextu. Ctenar, kterí se žajíma o aplikaci, muže preskocit casti 3-6. Matematicke teorie prežentovane v císti 2-6 mohou vypadat jen jako ciste teoreticke vísledky (pro matematicke ucely) bež praktickeho využití. Avsak toto není ten prípad. V casti 7-10 predvedenie nektere aplikace dríve rožvinutych teorií. Tyto aplikace spadají do dvou hlavních kategorií: 1)merení technologií nebo preferencí (cast 9 a 10) 2)odvožení srovnatelních statistickích vísledku (cast 7 a 8). V casti 10 se žameríme na firmy, ktere mohou produkovat mnoho vístupu, žatímco žpracovívají mnoho vstupu (kdežto predtím jsme se žabívali použe jedním vstupem). Uvedeme nektere teorie duality a povsimneme si jejich nekterích aplikací. Nakonec v casti 11 a 12 se kratce žmíníme o nekterích dalsích oblastech ekonomiky, kde mohou bít duíalní teorie aplikovíany. Dukažy jsou v nekterych cístech vynechíny : dukažy mohou bít naleženy v odkažovane literature nebo v Diewertovi (1982). 2 Dualita mezi nakladovoů (výdajovou) a produkční (ůZitkovoů) fůnkcí: Zjednodušený pohled Predpoklídejme, že mame danu N-rožmernou vstupní produkcní funkci F: u = F (x), kde u je množství vy-produkovaneho vístupu ža urätou dobu a x = (xi,..., xN) > 0N je nežíporní vektor vstupu žpracovaneho ža tuto dobu. Dale predpoklídejme, že vyrobce muže nakoupit množství žpracovavaních vstupu ža pevne kladne ceny p = (pi,... , pN) >> 0N a že se vírobce nepokusí mít monopolní sílu na trhu vstupu.* *V části 11 je tato podmínka zmírněna. 166 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Nákladová funkce výrobce C je definována jako výsledek problému minimalizace ceny výroby při zachování výstupní ýrovne u, za podmínky, Ze výrobce pocíta se vstupním vektorem cen p: C (u, p) = min{pT x : F (x) > u}. (2.1) x V teto casti je ukazano, Ze nýkladova funkce C vyhovuje prekvapivemu poctu podmínek regularity, bez ohledu na funkcionalní tvar produkcní funkce F, poskytující jen resení cenoveho minimalizacního problemu 2.1. V nasledující casti je ukízano, jak tyto podmínky regularity nakladove funkce mohou bít puzity v prípade dukazu komparativních statistickích teorií o odvození poptavkove funkce pro vstupy ([23]). Dríve nez zavedeme vlastnosti níkladove funkce C, je vhodne dat prostor nasledujícím minimalizacním podmínkam regularity produkcní funkce F: Předpoklad 1 pro F F je spojití shora, tj. pro vsechna u g rangeF je L(u) = {x : x > 0N, F (x) > u} uzavrena mnozina. Jestlize F je spojita funkce, pak samozrejme F bude rovnez spojita shora. Predpoklad 1 je dostatecní k implikaci toho, ze resení cenoveho (níkladoveho) minimalizacního problemu 2.1 existuje. Nasledujících sedm vlastností pro níkladovou funkci C muze bít nyní odvozeno jen za predpokladu, ze produkcní funkce F vyhovuje predpokladu 1. Vlastnost 1 pro C Pro kazde u g prostor F a p ^> 0N, C (u, p) > 0, tj. C je nezaporní funkce. D ů kaz. C (u, p) = min{pTx : x > 0N, F (x) > u} x = pT x*, kde x* > 0n a F (x*) > u > 0, nebot' p ^> 0N a x* > 0N. 2. DUALITA MEZINAKLADOVOU (VYDAJOVOU)A PRODUKCNI (UZITKOVOU) FUNKCI: ZJEDNODUŠEN Vlastnost 2 pro C Jestlize p ^> 0N a k > 0, potom C (u, kp) = kC (u, p) pro kazde u G rangeF, tj. nakladoví fůnkce je (jednoznacne) lineírne homogenní ve vstůpních cenach pro fixní vystůpní íroveň. Důkaz. Necht' p ^> 0N ,k> 0a u G rangeF. Pak C (u, kp) = min{(kp)T x i F (x) > uj x = k min{pT x i F (x) > uj = k C (u, p). x Vlastnost S pro C Jestliňze nňejakía kombinace vstůpních cen roste, pak minimíalní prodůkňcní naíklady reíalníeho vyístůpů ůírovnňe ů se sníňzí, tj. jestliňze u G rangeF a p1 > p0, pak C(u, p1) > C(u, p0). D ůkaz. C (u, p1) = min{plTx i F (x) > uj x = plT, kde x1 > 0N a F (x1) > u > p0Tx1, nebot' p1 > p0 a x1 > 0W > min{p0T x i F (x) > u j, nebot' x1 je x prípůstní pro minimalizaci nakladů, ale není nůtnňe optimíalní = C (u, p0). Vlastnosti níkladove fůnkce byly intůitivne zrejme z ekonomickeho pohledů. Ale nasledůjící důlezite vlastnosti nejsoů tak intůitivnňe zňrejmíe. Vlastnost 4 pro C Pro vňsechna u G rangeF, C(u, p) je konkíavní fůnkce p. 168 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Důkaz: Necht' u g rangeF, p0 > 0N, p1 > 0N a 0 < A < 1. Pak C (u, p0) = min{p0T x : F (x) > u} = p0Tx0 a x C (u, p1) = min{p1T x : F (x) > u} = p1T x1. Nyní x C (u, Ap0 + (1 — A)p1) = min{(Ap0 + (1 — A)p1)T x : F (x) > u} = (AXp0 + (1 — A)p1)Tx^ = Ap0T xA + (1 — A)p1TxA > Ap0Tx0 + (1 — A)p1Tx1, nebot' xA je prípustne pro minimaližaci nakladu ve spojitosti s cenovím vektorem vstupu p0 a p1, ale není nutne optimíalní pro tyto uílohy = AC(u, p0) + (1 — A)C(u, p1). Základní idea ve výše uvedeném důkazu je opakovaně použita v duální teorii. Vzhledem k neintuitivní povaze vlastnosti 4 je asi výhodne poskytnout geometrickou interpretaci ve 2-vstupovem prípade (tj. N = 2). Předpokládejme, že výrobce produkuje výstup árovne u. Definujme množinu S° jako množinu nezáporných kombinací vstupu, ktere jsou bud' na nebo pod optimalní nakladovou carou (izokvantou), kdy výrobce pocíta s cenami p°; tj. S° = {x : p°T x < C (u, p°), x > 0N}, kde C° = C (u, p°) = p°Tx° je minimum produkcních nýkladu výstupu u daných tak, ze výrobce poďta s cenami p° ^> 0N. Vsimneme si, ze vektor vstupu x° resí nakladovou minimalizacní ýlohu v tomto prípade. Nyní predpokladejme, ze výrobce pocíta se vstupními cenami p1 ^> 0N a definujme S :,C:, a x1 analogicky, tj. S1 = {x : p1T x < C (u, p1), x > 0N },C1 = C (u, p1) = P1Tx1, kde vektor vstupu x1 resí nýkladový minimalizacní problem, kdy výrobce poďta s cenami p1. Necht' 0 < A < 1a nyní predpokladejme, ze výrobce pocíta s prumernymi cenovymi vstupy Ap°+(1 —A)p1. 2. DUALITA MEZINAKLADOVOU (VYDAJOVOU)A PRODUKCNI (UZITKOVOU) FUNKCI: ZJEDNODUŠEN Definujme SA, CA a xA jako predtím: S A C A {x : (Ap0 + (1 — A)pi)Tx < C(u,Ap0 + (1 — A)pi),x > 0n}, C (u, Ap0 + (1 — A)pi) = (Ap0 + (1 — A)pi)T xA, kde xA resí nakladoví minimalizacní problem, kdy vyrobce pocíta s prumerními cenami Ap0 + (1 — A)pi. Nakonec uvažujme nakladovou izokvantu, ktera by byla vísledkem, jestliže vírobce spotrebovava prumer ze dvou pocítecních nakladu AC0 + (1 — A)Ci, odpovídajících prumeru cen vstupu Ap0 + (1 — A)pi. Množina nezaporních kombinací vstupu, kterí je bud' na nebo pod nakladovou linií, je definovana jako množina S * = {x : (Ap0 + (1 — A)pi)Tx < AC0 + (1 — A)Ci, x > 0N}. K ukízíní konkívnosti C potrebujeme ukízat, že CA > AC0 + (1 — A) C1 nebo (ekvivalentne) potrebujeme ukízat, že SA obsahuje množinu S *. To muže bít dokízíno tak, že níkladova izokvanta príslusící množine S*, L* = {x : (Ap0 + (1 —A)pi)Tx = AC0+(1 —A)Ci} protína prunik nakladovích izokvant príslusící ch množiním S0 a Si. Nakladova izokvanta príslusící množine SA, LA = {x : (Ap0 + (1 — A)pi)Tx = CA} je zrejme soubežna (paralelní) s L*. A konecne LA musí byt bud' shodna s L* nebo ležet nad ní, protože kdyby LA byla pod L*, tak by existoval bod na u izokvante, kterí by ležel pod alespoň jednou z nakladovích izokvant L0 = {x : p0Tx = C0} nebo L1 = {x : piTx = Ci}, což by odporovalo minimalizaci nakladu v x0 nebo x1. Vlastnost 5 pro C Pro vsechna u G rangeF, C (u, p) je spojita v p pro p ^> 0N. [Dukaz teto vlastnosti je založen na vísledcích ve Fenchelovi (1953, str.75) a Rockafellarovi (1970, str. 82).] Vlastnost 6 pro C C (u, p) je neklesající v u pro pevne p, tj. jestliže p ^> 0N ,u0,ui G rangeF, a u0 < u1, pak C (u0, p) < C (u1, p). 170 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Důkaž: Necht' p ^> 0N, u0, u1 G prostor F a u0 — u1. Pak C (u1, p) min{pTx : F (x) > u1} x > min{pTx : F (x) > u0}, nebot'kdyby u0 — u1, pak x {x : F (x) > u1} C {x : F (x) > u0} a minimum pTx nad vetsí mnozinou nemuze rust C (u0, p). V porovnaíníí s predchíazejíícíími vlastnostmi naíkladovíe funkce vyzaduje naísledujíícíí vlastnost silnyí mate-matickyí aparaít. Protoze tyto matematickíe zíavery jsou uzitecníe nejenom v tíeto kapitole, ale i v kapitolaích níasledujíícíích, na chvííli odbocííme a uvedeme je. V nýsledujících definicích necht' S znaď podmnozinu RM, T je podmnozinou RK, {xn} je posloupnost bodu z mnoziny S a {yn} posloupnost bodu z mnoziny T. Pro uplnejsí diskusi o nasledujících definicích a teoriích — viz. [3, Chapter 1 of the Handbook, Green a Heller]. Definice: $ je korespondence (mnohoznacne zobrazení) z S do T, jestlize pro kazde x G S existuje neprázdna mnozina obrazu $(x), ktera je podmnozinou T. Definice: Korespondence $ je shora semispojita (neboli shora hemispojitá) v bode x0 G S, jestlize limnxn = x0, yn G $(xn), limnyn = y0, implikuje y0 G $(x0). Korespondence $ je ždola semispojitá v bode x0 G S, jestlize limnxn = x0, y0 G $(x0) implikuje, ze existuje posloupnost {yn}, tak ze yn G $(xn) a limnyn = y0. Korespondence $ je spojitáa v x0 S, jestliňze je shora a zdola semispojitaí v bodňe x0. Lemma 2 [Berge (1963, p. 116)]: 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VYDAJOVOU)A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCI: ZJEDNODUŠEN' $ je shora semispojitá korespondence na S právě tehdy, když graf $ = {(x,y) : x G S,y G $(x)} je uzavřená množina S x T. Theorem shora semi-spojiteho maxima [Berge (1963, p. 116)] Nechť f je shora spojitá funkce definovana na S x T, kde T je kompaktná (uzavrená, ohraničená) podmnožina RK. Predpokladejme, že $ je korespondence z S do T a že $ je shora semi-spojitá na S. Pak funkce g definovaná g(x) = maxV{f (x, y) : y G $(x)} je jednožnacne definována a je shora semi-spojitá na S. Theorem maxima [Debreu (1952, pp. 889 - 890); (1959, p. 19); Berge (1963, p. 116)] Necht' f je spojitá funkce realnách hodnot definovaná na S x T, kde T je kompaktná podmnožina RK. Necht' $ je korespondence ž S do T a necht' $ je spojita na S. Definujme (maximum) funkce g jako g(x) = maxy {f (x, y) : y G $(x)} a korespondenci £ jako £(x) = {y : y G $(x) a f (x, y) = g(x)}. Potom funkce g je spojita na S a korespondence £ je shora semi-spojita na S. Vlastnost 7 pro C Pro každe p ^> 0N, C (u,p) je ždola spojitá v u; tj. jestliže p* ^> 0N, u* G range F, un G rangeF pro vsechna n, u1 < u2 < ... a lim un = u*, pak limn C (un,p*) = C (u*,p*). Dukaž vlastnosti 7 se nachažá v Diewert (1982). Za ácelem priblážená teto vlastnosti v C, ctenar muže žjistit, že je váhodne žvolit N = 1 a nechat produkcní funkce F (x) jako nasledujácá krokovací funkci (shora spojitá) [Shepard (1970, p. 89)]: F (x) = {0, jestliže 0 < x <; 1, jestliže 1 < x < 2; 2, jestliže 2 < x < 3;... }. Pro p > 0 je odpovádajácá nakladova funkce C (u, p) nasledujácá (ždola spojita) krokovací funkce: C (u,p) = {0, jestliže 0 = u; p, jestliže 0 < u < 1; 2p, jestliže 1 < u < 2;... }. 172 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Víse uvedene vlastnosti nakladove funkce mají empiricke dusledky, jak si ukížeme poždeji. Nicmene, jeden dusledek muže byt uveden na tomto míste. Predpokladejme, že mužeme sledovat naklady, vstupní ceny a vystup (žisk) pro firmu a predpokladejme dale, že míme ekonometricky odhadnutou nísledující linearní níakladovou funkci: C (u,p) = a + PTp + yu (2.2) kde a a 7 jsou konstanty a P je vektor konstant. Muže bít (2.2) skutecnou níkladovou funkcí firmy? Odpovedí je ne, jestliže firma konkurencne minimaližuje naklady a jestliže jedna že dvou konstant a a 7 je nenulova, v tomto prípade C nevyhovuje Vlastnosti 2 (linearní homogenita cen vstupu). Nyní predpokladejme, že mame urcenou nejakou skutecnou nakladovou funkci C firmy, ale že nežname produkcní funkci F firmy (s víjimkou toho, že F splňuje Predpoklad 1). Jak mužeme použít danou nakladovou funkci C (u, p) (splňující víse uvedene vlastnosti 1 - 7) k vytvorení príslusne produkcní funkce F (x) firmy? Odpovídající k produkcní funkci u = F (x) je skupina produkcních isoploch {x : F (x) = u} nebo skupina rovinních množin L(u) = {x : F (x) > u}. Pro každe u g prostoru F muže bít nakladova funkce použita k vytvorení krajní aproximace množiny L(u) nísledujícím žpusobem. Vyberte ceny vstupu p1 ^> 0N a nakreslete povrch ižokvanty {x : piTx = C (u,p1)}. Množina L(u) musí ležet nad (a protínat) touto množinou, protože C (u,p1) = minx{piTx : x g L(u)}; tj. L(u) c {x : piTx < C (u,p1)}. Vyberte dalsí dodatecne vstupní cenove vektory p2 ^> 0N ,p3 ^> 0Na graf povrchu ižokvanty {x : piT x = C (u, p1)}. Je lehce videt, že L (u) musí bít podmnožinou vsech množin {x : piT x < C (u, p1)}. Tedy: L(u) c Q {x : pTx < C(u,p)} = L*(u), (2.3) P>0jV tj. L{u) množina skutečných produkčních možností musí být obsažena v množině L*{u) krajních aproximovaných produkčních možností, který je obdržena jako prUnik vSech opěrných celkových nakladových poloprostorU na skutecne množine technologií L(u). 2. DUALITA MEZINAKLADOVOU (vYdAJOVOU)A PRODUKCNiI (UŽITKOVOU) FUNKCĹ ZJEDNODUŠEN Obrážek (2.1) Na obražku (2.1) je L*(u) ožnacena prerusovanou carou. Povsimnete si, že okraj (hranici) teto množiny vytvará aproximace skutecnách isokvant u a že tyto aproximovane isokvanty se kryj á se skutecnámi jen žcasti, nemajá žpetne žakrivená a nekonvexná cásti skutecnách isokvant. Jestliže již byla skutecna skupina množin L*(u) aproximovanách produkcnách možnostá vytvorena, aproximovane produkcná funkce muže bát defi-novana jako F * (x) = max{u : x g L* (u)} = max{u : pTx < C (u, p) pro každe p ^ 0N} (2.4) pro x > 0N. Vsimneme si, že maximaližacná problem definovaná ve (2.4) ma nekonecná pocet omežená (jedno omežená pro každe p ^ 0N). Tedy (2.4) muže bát použito k definováná aproximovane produkcná funkce F *, máme-li použe nakladovou funkci C. Je jasne (viž. obražek 2.1), že aproximovaná produkcná funkce F * se nebude obecne prekrávat se skutecnou funkcá F. Je tedy take jasne, že ž hlediska sledovaneho tržnáho chovaná, jestliže várobce konkurencne mi-nimaližuje náaklady, potom nežáaležáá, žda vyárobce minimaližujáácáá naáklady podláehaá omeženáá produkcnáá funkce danáe jako F nebo F* : požorovanáa tržnáá data naás nikdy neprivedou ke žjistenáá, žda vyárobce máa vyárobnáá funkci F nebo aproximovanou funkci F* . Je takáe jasnáe, že jestliže chceme, aby se aproximovanaá produkcnáá funkce F* kryla se skutecnou funkcáá F, 174 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII pak je nežbytníe, aby F splnňovala níasledující dva pňredpoklady: Pzredpoklad 2 pro F F je neklesající, tj. jestliže x2 > x1 > 0N, pak F (x2) > F (x1). Pzredpoklad 3 pro F F je kvaži-konkávní funkce, tj. pro každe u E prostoru F, L(u) = [x : F (x) > u} je konvexní množina. Jestliže F splnuje Predpoklad 2, potom žpetne žakrivení ižokvant nemuže nastat, jestliže F splňuje Pňredpoklad 3, potom nekonvexní ižokvanty, žníažornňeníeho modelu, na obraížku 2.1, nemohou nastat. Není prílis obtížne si vsimnout, že pokud F splňuje Predpoklady 1-3 a nakladova funkce C se počíta podle (2.1), potom aproximovaná produkční funkce F * (spočítaná podle (2.4)) se bude krát se skutečnou produkňcní funkcí F, tj. je žde dualita meži níakladovyími funkcemi splnňujícími Vlastnosti 1-7 a produkňcními funkcemi splnňujícími Pňredpoklady 1-3. První ňclovňek, kteryí dokíažal Theorem formíalní duality byl Shephard (1953). V níasledující ňcaísti si uvedeme podobnyí Theoríem duality po žavedení nňekteríych silnňejňsích podmínek na pňrísluňsnou produkňcní funkci F. Níasledující vyísledek je podklad pro mnoho teoretickyích a empirickíych aplikací teorie duality. Lemma 3 [Hicks (1946, p. 331); Samuelson (1947, p. 68); Karlin (1959, p 272); a Gorman (1976)] Predpokladejme, že produkční funkce F splnuje Predpoklad 1 a že nákladova funkce C je definovana pomocí (2.1). Necht' u* E prostoru F, p* ^> 0N a predpokládejme, že x* je resení minimaližace nákladu pri produkci u*, když ceny vstupu p* existují, tj. C (u*,p*) = min[p*Tx : F (x) > u*} = p*Tx*. (2.5) x Jestliže navíc je C derivovatelná podle cen vstup; v bode (u*,p*), pak: x* = V PC (u* ,p*), (2.6) 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VYDAJOVOU)A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCI: ZJEDNODUŠEN kde v PC (u*,p*) = [dC (u*,p\... ,pN... ,dC fa*^... ,pN ]T je vektor prvních parciílních derivací C podle složek cenoveho vektoru vstupu p. Důkaz: Libovolní vektor vhodnych vstupních cen p ^> 0N, x* je prípustní pro problem minimaližace nakladu definovaní pomocí C (u*,p), ale není nutne optimílní, tj. pro každí p ^> 0N míme nasledující nerovnost: pTx* > C (u*,p). (2.7) Pro p ^> 0N definujme funkci g(p) = pTx* — C (u*,p). Z (2.7) plyne, že g(p) > 0 pro p ^> 0N až (2.5) g (p*) = 0. Tedy, g(p) nabíví globílního minima v p = p*. Protože g je diferencovatelna v p*, musí bít splnena první nežbytní podmínka pro lokílní minimum: Vpg(p*) = x* — VPC (u*,p*) = 0n , ktere implikuje (2.6). Q.E.D. Tedy derivace nakladove funkce vírobce C (u, p) podle cen vstupu p díva vyrobcuv system funkcí poptívky po vstupech, kterí minimaližuje níklady x(u,p) = VpC(u,p). Víse uvedení lemma by mela bít peclive srovnana s nasledujícím žaverem. Lemma 4 [Shephard (1953, p. 11)] Jestliže nakladova funkce C (u, p) splnuje Vlastnosti 1-7 a navíc je diferencovatelna podle cen vstupu v bode (u*,p*), pak x(u*,p*) = VpC (u*,p*), (2.8) kde x(u*,p*) = [x1(u*,p*),... ,xN(u*,p*)]T je vektor množství vstupu minimaližující níklady potrebních k vytvorení u* jednotek vístupu, mame-li ceny p*, kde príslusní produkcní funkce F * je definovana pomocí (2.4), u* G prostoru F * a p* > 0N. 176 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Rozdíl mezi Lemmatem 3 a Lemmatem 4 je, že Lemma 3 predpoklýdý existenci produkční funkce F a nestanovuje vlastnosti nýkladove funkce, krome derivovatelnosti, zatímco Lemma 4 predpokladý pouze existenci nakladove funkce splnující príslusne podmínky regularity a odpovídající produkční funkce F * je definovýna za použití dane nakladove funkce. Tedy, z ekonometrickeho pohledu, Lemma 4 je užitečnejsí než Lemma 3: za učelem získýní podobneho systemu vstupních poptavkovych funkcí, vse, co musíme udelat je predpoklýdat funkční tvar C, který splňuje príslusne podmínky regularity a derivovat C podle složek cenoveho vektoru vstupu p. Není nutne odhadnout odpovídající produkční funkci a take není nutne trvat na nekdy obtížne algebre pri derivovýní funkcí poptavky po vstupech prostrednictvím Lagrangeovych technik. Historické poznamky Tvrzení, že existují dva nebo více ekvivalentní zpusoby popisující vykony a technologii, tvorí jadro teorie duality. Matematickym zakladem pro ekonomickou teorii duality je Minkowskeho Veta (1911), uvedena v Fenchel (1953, p. 48-50) a Rockafellar (1970, p. 95-99): každa uzavrena konvexní množina muže být reprezentovýna jako prunik svých operných podprostoru. Tedy, za jistých podmínek, uzavrena konvexní množina L(u) = {x : F (x) > u, x > 0N} muže byt reprezentovýna jako prunik podprostoru generovaných (kde upotrebíme linearní homogenitu C v p) pro u jako funkci normalizovaných cen, p/y-. Nazveme vyslednou funkci G, tak že u = G(p/y). Alternativne, G muže být definovana prímo z produkční funkce F nasledujícím zpusobem pro p ^> 0N, y > 0: G*(p, y) = max F (x) : p x < y, x > 0N (2.10) nebo G p ) = max < F (x) : ( p yy x < 1, x > 0N 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VYDAJOVOU)A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCI: ZJEDNODUŠEN' Houthakker (1951-52, p. 157) nazval funkci G nepřímou užitkovou funkci a, stejně jako nákladovou funkci C, takě muze charakterizovat preference nebo technologické zvláštnosti za jistých podmínek (Gast 4 dale). Duvod pro uvedení tohoto u teto cásti oddílu je, ze historicky to bylo zavedeno do ekonomicke literatury pred nakladovou funkcí od Antonelliho (1971, p. 349) v 1886 a potom Komisem (Konyus) (1924). Tedy, první clanek, který pripustil, ze preference mohou být ekvivalentne popsany prímou nebo neprímou funkcí užitku ukazal Konyus a Byushgens (1926, p. 157), kterí si vsimli, ze rovnice u = F (x) a u = G(p/y) jsou ekvivalentní pro stejne body, ale v odlisních souradnicích: první rovnice je v bodovích souradnicích, zatímco druhí v rovinných a tecních souradnicích. Konyus a Byushgens (1926, p. 159) take zavedli minimalizacní problem, ktery dovoluje odvodit prímou uzitkovou funkci z nepríme uzitkove funkce a, konecne, znazornili do grafu ruzne preference v cenovem prostoru pro prípad dvou druhu zbozí. Teorie duality v anglicky psane literature pravdepodobne zacala dvema clanky od Hotellinga (1932, 1935), kterí asi jako první ekonom uzil slovo dualita: Stejne tak jako mame uzitkovou funkci u spotrebních velicin, jejichz derivací jsou ceny, tak míme duílne funkci cen, jejíz derivací jsou spotrební veliciny. [Hotelling (1932,p. 594)]. Hotteling (1932, p. 594) take pripustil, ze nakladova funkce muze bít zobrazovína krivkami, ktere jsou konkavne rostoucí, tj. poznal, ze nakladova funkce C (u, p) by vyhovovala doplněné podmínce v p. Hotelling (1932, p. 590; 1935, p. 68) take zavedl ziskovou funkci n, ktera poskytuje jeste dalsí zpusob jak muze byt popsana technologie klesajících vínosu z rozsahu. S pouzitím naseho zapisu je funkce n definovína jako n(p) = max {F(x) - pTx} (2.11) Hotelling urcil, ze poptavkove funkce, maximalizující zisk [xi(p),... , xN(p)]T = x(p), mohou bít obdrzeny diferencovaním ziskove funkce, tj. x(p) = -vpn(p). Tedy, jestlize je n trídy C2, tak lze snadno odvodit Ho-tellingovy podmínky symetrie (1935, p. 69): - £(p) = m =-H(p). (2.12) 178 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Roy (1942, p. 20) definoval nepřímou užitkovou funkci G* jako v (2.10) výše a potom odvodil analogii Lemma 3, výše uvedene, ktera je nažvana Royova identita (1942, pp. 18-19), x(p)=•.....(2.13) kde x(p/y) = [x^p/y),... ,xn(p/y)] je vektor poptavkových funkcí maximalizujících užitek získaných tak, že spotřebitel (vyrobce) ma ceny p ^> 0N a duchod y > 0 na spotřebu. Roy (1942, pp. 24-27) ukížal, že G* se snižuje v cene p, v duchodu a homogenní stupne 0 v (p,y); tj. G*(Xp,Xy) = G*(p, y) pro A > 0. Tedy G*(p,y) = G*(p/y, 1) = G(p/y) = G(v), kde v = p/y je vektor normaližovaních cen. V clanku ž roku 1947 Roy odvodil nasledující verži Royovy identity (1947, p. 219), kde nepríma užitkova funkce G je použita místo G* ■ ' xi(v)=^l^^w- *=1,2,...,N. (2.14) Francoužskí matematik Ville (1951, p. 125) take odvodil užitecne vžtahy (2.14) v roce 1946. Snad proto by mela (2.14) bít nažívana Villeho identita. Ville (1951, p. 126) si vsiml, že jestliže príma užitkova funkce F (x) je lineírne homogenní, potom neprímí funkce G(v) = max x{F (x) vTx < 1, x > 0N} je homogenní stupne —1, tj. G(Av) = A_1G(v) pro A > 0,v ^> 0n a tedy — G(v) = = ^^=1 v j (ôG(v)/ôvj). Substituce poslední identity do (2.14) daví jednodussí rovnici (viž. take Samuelson (1972)]: x,(v) = — d ln G(v)/ôvi, i = 1, 2,...,N. (2.15) V tomto oddíle by mel byt take uveden Antonelli (1971, p. 349), ktery žískal Royovu verži identity v 1886 a Konyus a Byushgens (1926, p. 159) temer odvodili toto v roce 1926 nasledujícím žpusobem: vžali v uvahu problem minimaližovaneho neprímeho užitku G(v) s normaližovanou cenou v pri omežení vTx = 1. Jak si Houthakker (1951-52, pp. 157-158) poždeji vsiml, tento minimaližacní problem s omežením generuje prímou užitkovou funkci, tj. pro x ^> 0N mame: F (x) = min{G(v) : vT x < 1, v > 0N}. (2.16) 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VYDAJOVOU)A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCI: ZJEDNODUŠEN' Konyus a Byushgens získali podmínky prvního řádu pro problém (2.16): VvG (v) = /xx. Jestliže vyloučíme Lagrangeův multiplikátor ^ z tohoto posledního systemu rovnic užitím vTx = 1, získame vztah x = VvG(v)/vTVvG(v), která je v (2.14) zapsan ve vektorovem tvaru. Konyus a Byushgens vsak tento poslední krok presne neprovedli. Jine pozoruhodne pojednaní napsal Wold (1943-44). Definoval zde neprímou uzitkovou funkci G(v) (nazval ji „funkce cenove preference") a ukazal, ze plochy indiference cenoveho prostoru jsou konvexní k pocítku nebo lineírní,tj. ukízal, ze G(v) je kvazikonvexní funkce"*" pri normalizovaních cenach v. Woldova rana prace je shrnuta v Wold (1953, str. 145-148). Malmquist (1953, str. 212) take definuje neprímou uzitkovou funkci G(v) a ukazuje, ze je to kvazikonvexní funkce ve v. Jestlize produkcní funkce F vyjadruje konstantní vínosy z rozsahu produkce (tj. F(Ax) = AF(x) pro vsechna A > 0,x > 0N) a je spojití, potom se odpovídající níkladoví funkce rozklídí nasledujícím zpusobem: Necht' u > 0,p ^> 0N; potom C (u, p) = min{pTx : F (x) > u} x = min{upT(x/u) : F (x/u) > 1} x = u min{pTz : F (z) > 1} z = u C(1,p). (2.17) (Víse uvedeny dukaz predpoklída, ze existuje alespoň jedno x* > 0 takove, ze F (x*) > 0N, takze mnozina {z : F (z) > 1} je neprázdna.) Samuelson (1953-54) predpokladí, ze produkcní funkce F je linearne homogenní a podleha zobecněnému zákonu klesajících výnosů, F (x' + x") > F (x') + F (x") (kterí je ekvivalentní konkívnosti F, pokud je F linearne homogenní). Definuje (str. 15) jednotkovou níkladovou funkci C(1,p) a zjist'uje, ze C(1,p) mí stejne vlastnosti v p jako F v x. Take poznameníva (str. 15), ze rovina na plose tFunkce G je kvazikonvexní právě tehdy, když (—G) je kvazikonkávní. 180 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII odpovídající jednotkovíemu vyístupu (oblast nekoneňcníe substituňcnosti) bude odpovídat rohu na jednotkovíe naíkladovíe ploňse. Tuto požníamku uňcinil jiňž Shephard (1953, str. 27-28). Shephardova monografie ž roku 1953 se ždá bát prvním moderním, presnám pojednaním o teorii duality. Shephard (1953, str. 13-14) uvádí, že nakladovou funkci C (u, p) mužeme interpretovat jako opernou funkci pro mnoňžinu [x : F(x) > u}, a uňžívía tohoto faktu k urňcení vlastností C(u, p) vžhledem k p. Shephard (1953, str. 13) take žminuje Minkowskeho vetu (1911) o konvexních množinach a Bonnesenovu a Fenchelovu monografii o konvexních množinach. Musíme požnamenat, že Shephard neobjevil prímo dualitu meži produkčními a nakladovymi funkcemi, objevil dualitu meži produkčními a distančními funkcemi, kterou budeme definovat v dalňsí ňcíasti, a pak meži distanňcními a naíkladovyími funkcemi. Shephard (1953, str. 4) definuje homotetickou produkční funkci. Je to taková funkce, kterou lže napsat ve tvaru F (x) = 0[f (x)], kde f je homogenní funkce stupne jedna a 0 je spojita, rostoucí funkce f. Sežnamíme se s nasledujícími dodateňcnyími pňredpoklady o F (nebo f): Predpoklad 4 o F F je (nežaporne) lineárne homogenní; tj. jestliže x > 0N, A > 0, pak F(Ax) = AF(x). Pzredpoklad 5 o F F je slabe požitivní; tj. pro každe x > 0N, F (x) > 0, ale F (x*) > 0 pro alespon jedno x* > 0N. Nyní mužeme usužovat, že 0(f) je spojitá, rostoucí funkce jedne promenne pro f > 0 a 0(0) = 0. Za techto podmínek existuje inveržní funkce 0-1, která nm stejne vlastnosti jako 0. Pro vsechna f > 0 platí 0-1[0(f)] = f. Jestliže f (x) splnuje váse uvedene predpoklady 1, 4 a 5, potom se nakladova funkce 2. DUALITA MEZINAKLADOVOU (VYDAJOVOU)A PRODUKCNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCI: ZJEDNODUŠEN' odpovádajácá F (x) = 0[f (x)] rožklada nasledovne: necht' u > 0,p ^> 0N; pak C(u, p) = kde c(p) = minz {pTz : f (z) > 1} je funkce jednotkových nakladu, která odpováda linearne homogenná funkci f, nežáporne (kladne) linearne homogenná, neklesajácá, konkavná a spojite funkci p (viž váse vlastnosti 1-5). Nebudeme, jako obvykle, schopni odvodit puvodná produkcná funkci 0[f (x)] ž nakladove funkce (2.18), ledaže by f take splnovala váse uvedene predpoklady 2 a 3. Shephard (1953, str.43) obdržel faktorižaci (2.18) pro nakladove funkce odpovádajácá homotetickám produkcnám funkcám. Shephard (1953, str.28-29) uvádá ružna praktická využitá teorie duality: (i) jako pomnicka pri agregaci promennách, (ii) v ekonometrickách studiách produkce v prápade, že nejsou dostupna vstupná data, ale naklady, vstupná ceny a vyástupná data dostupnaá jsou, (iii) jako pomnicka pri odvožovaná srovnavacách nemennych vásledku. Shephard odvodil, nebo predpovedel mnoho teoretických vásledku a praktických aplikacá teorie duality. Venujme se nyná urcitym vásledkum odvoženym v teto kapitole. McFadden (1966) ukažal, že minimum ž definice (2.1) existuje, pokud F splnuje predpoklad 1. Vlastnost 1 obdržel Shephard (1953, str. 14), vlastnost 2 Shephard (1953, str. 14) a Samuelson (1953-54, str. 15), vlastnost 3 Shephard (1953, str. 14), vlastnost 4 Shephard (1953, str. 15) [nasi metodu dukažu použil McKenžie (1956-57, str. 185)], vlastnosti 5 a 6 Užawa (1964, str. 217) a konecne vlastnost 7 žáskal Shephard (1970, str. 83). minx{pTx : 0[f (x)] > u} minx{pT : f (x) > 0-1[u]} 0-1[u] minx{pT(x/0"1[u]) : f (x/0"1 [u]) > 1}, (2.18) kde 0-1[u] > 0 pro u > 0, 182 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Metodu konstrukce mnoňžin pňribliňžnyích produkňcních moňžností L*(u) pomocí níakladovíe funkce odvodil Užawa (1964). Velmi duležita je skutecnost, že približne ižokvanty neobsahují žpetne žahnutí, nebo nekonvexní casti pravích ižokvant. V souvislosti s teorií spotrebitele na to upožornuje Hotelling (1935, str. 74), Wold (1943, str. 231; 1953, str. 146) a Samuelson (1950b, str. 359-360) a v souvislosti teorie produkce McFadden (1966, 1978a). Abychom tuto skutecnost žduražnili, budeme citovat Hotellinga a Samuelsona. Jestliže bude míít indiferencníí krivka pro níakupy vlnitíy charakter, na nekteryích cíastech bude konvexní k pocatku a na ostatních castech konkavní. Musíme ucinit žíver, že mužeme považovat ža podstatníe použe ty ňcíasti, kteríe jsou konvexní k poňcíatku. Ostatní jsou vpodstatňe nepožorovatelníe. Mužeme je objevit použe v nespojitostech, ktere mohou nastat v poptavce s nestalími cenovymi pomňery, kteríe vedou k neňcekanyím žmňeníam smňeru teňcny ke grafu poptíavky v místňe nespojitosti, pokud je pňrímka pootoňcena. Ale žatímco takovíeto nespojitosti mohou odhalit existenci mežery, nemohou nikdy žmňeňrit její hloubku. Pokud existují konkíavní ňcíasti indiferenňcních kňrivek a jejich vícerožmerne žobecnení, musejí navždy žustat v nemeritelne temnote. [Hotelling(1935, str.74), vlastní preklad] Musíme požnamenat, že na konkurencním trhu nemužeme požorovat body, kde jsou indiferencní kňrivky spíňse konvexní neňž konkíavní. Takovíe body jsou navňeky žahaleny v temnotňe - pokud neuňciníme naňseho spotňrebitele monopolistou, kteryí si vybíraí meži žboňžím leňžícím na velmi konvexní rozpoctovíe krivce, (ktería žohlednňuje cenu žboňží, kteríe spotňrebitel nakupuje). V monop-sonním prípade mužeme v bode rovnovahy klidne odvodit sklon spotrebitelovy indiferencní krivky od sklonu požorovaneho omežení. [Samuelson (1950b, str. 359-360), vlastní preklad] Nas dukaž lemmatu 3 sleduje dukaž pripsany Diamondem a McFaddenem (1974, str. 4) M. W. Gormanovi, nicmene stejna metoda dukažu byla použita take Karlinem (1959, str. 272). Hicksuv a Samuelsonuv dukaž lemmatu 3 pňredpoklíadía diferencovatelnost produkňcních funkcí a uňžívía podmínku prvního ňríadu pro níakla-dovou minimaližaci soucasne s vlastnostmi omežení. V nasí citaci uvedene víse Hotelling (1932, str. 594) 3. DUALITA MEZINAKLADOVYMIA AGREGACNIMI (PRODUKCMMINEBO UŽITKOVÝMI) FUNKCEMI18 naznačuje, že take obdržel Hicksovy (1946, str. 331) a Samuelsonovy (1947, str. 68; 1953-54, str. 15-16) výsledky v nepatrne odlisnem kontextu. 3 Dualita mezi nakladovými a agregačními (produkčními nebo ůzitkovými) funkcemi V teto časti predpokladejme, že agregační funkce F splňuje nasledující vlastnosti: Podmínky I pro F (i) F je reýlný funkce N promenných definovaný na nezýpornem ortantu Q = {x : x > 0N} a spojité na svem definičním oboru. (ii) F je rostoucí, t.j. x" ^> x' > 0N implikuje F (x") > F (x'). (iii) F je kvazikonkíavníí funkce. Poznamenejme, že uvedene vlastnosti (i) a (ii) jsou silnejsí než predpoklady 1 a 2 o F učinene v predchozí časti. To znamena, že mužeme odvodit o neco silnejsí podmínky pro nýkladovou funkci C (u, p), ktera od-povída F (x) splnující podmínky I. Necht' U je obor hodnot funkce F. Z (i) a (ii) je videt, že U = {u : u < u < u}, kde u = F(0N) < u. Poznamenejme, že nejmensí horní zavora u muže být konečne číslo nebo +oo. Pri aplikaci teorie spotrebitele nemame duvod predpoklýdat, že u je konečne číslo (tj. u muže byt rovno — oo), ale to jenom mírne ubíra na obecnosti. Definujme množinu kladných cen P = {p : p ^ 0N}. Veta 1 184 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Jestliže F splnuje podmínky I, pak C (u,p) = minx [pTx : F (x) > u} je definovana pro vsechna u E U a p E P splnňující podmínky II uvedeníe níňže. Důukaz viž Diewert(1982). Podmínky II pro C (i) C (u, p) je realná funkce N +1 promennách definovaná na U x P bodově spojita v (u, p) v definičním oboru. (ii) C (u, p) = 0 pro každe p E P. (iii) C (u,p) je rostoucí, v u pro každe p E P; t.j. pokud p E P, u', u" E U pri u' < u", potom C (u',p) < C (u'', p). (iv) C (u,p) = +00 pro každe p E P; tj. jestliže p E P, un E U, limn un = u, potom limn C (un,p) = +00. (v) C (u,p) je (požitivne) lineírně homogenní v p pro vsechna u E U; tj. u E U, A > 0,p E P implikuje C(u, Ap) = AC(u, p). (vi) C(u, p) je konkaívníí v p pro vňsechna u E U. (vii) C (u, p) je rostoucí v p pro u > u a u E U. (viii) C je taková, že funkce F *(x) = maxu [u : pTx > C (u,p) pro každe p E P, u E U} je spojita pro x > 0N. Důusledek 1.1 Jestliže C (u, p) splnuje podmínky II uvedene váse, potom definiční obor C muže bát rožsíren ž U x P na U x Q. Rožsírená funkce C je spojita v p pro p E Q = [p : p > 0N} pro vsechna u E U. * *C(u,p) nemusí být striktne rostoucí v u, pokud p leží na hranici fž. Např. uvažme funkci f = xi, která má duální nákladovou funkci C(u,pi,p2) = piu, která není rostoucí v u, pokud pi = 0. 3. DUALITA MEZINAKLADOVYMIA AGREGACNIMI (PRODUKČNÍMINEBO UŽITKOVÝMI) FUNKCEMI18 DUsledek 1.2 Pro kazde x > 0N, F *(x) = F (x), kde F * je funkce definovana níkladovou funkcí C v bode (viii) podmínek II. Dusledek 1.2 ukazuje, ze nakladova funkce dokaze kompletne popsat produkcní funkci, kterí splňuje podmínky I; tj. uzijeme-li McFaddenovu (1966) terminologii, níkladova funkce je postaěujácá statistika pro produkňcní funkci. Dukaz vety 1 je prímí s víjimkou bodu (i) a (viii), ktere obsahují vlastnost spojitosti produkcní nebo nakladove funkce. Spojitost se jeví jako obtízní pojem teorie duality. Proto se snazíme teto vlastnosti v predchozí casti vyhnout tak, jak je to jen mozne. O problemu spojitosti jiz dríve diskutovali Shephard (1970), Friedman (1972), Diewert (1974a), Blackorby, Primont a Russell (1978) a Blackorby a Diewert (1979). Abychom dokízali vztah mezi spojitostí L(u) a tím, ze C (u, p) je spojití na U x P, pozadujeme, aby byla funkce F rostoucí (vlastnost § Pokud je vlastnost nahrazena předpokladem slabe monotonie (tak, jako naíňs staryí pňredpoklad 2 o F z pňredchozí ňcaísti), pak naíhorní rovina na grafu F (,,tlustíe" indiferenňcní plochy v jazyce teorie uzitku) zpusobí nesouvislosti v C vzhledem k u [srov. Friedman (1972, str. 169)]. Poznamenejme, ze II(ii) a II(iii) implikují, ze C (u, p) > 0 pro u>ua p ^> 0N a ze II(iv) není nezavislí vlastnost C, protoze plyne z II(ii), (iii), (v) a (vi). poznamenejme take, ze F není ryze kvazikonkívní, tj. ze mnozina produkcních mozností L(u) = {x : F (x) > u} je ryze konvexní. Konecne, je zrejme, ze míme-li danou pouze níkladovou funkci podniku C, muzeme pouzít funkci F * definovanou ve smyslu níakladovíe funkce v II(viii), abychom vytvoňrili produkňcní funkci podniku. Tato skuteňcnost je formíalnňe zapsíana v níasledující vňetňe. § Friedman (1972) ukazuje, že a spojitost shora (predpoklad I o F v předchozí Části) postaCují k implikaci joint spojitosti C na U x P. Nicmene, pokud nebudeme předpokládat vlastnost aditivity F, ze spojitosti zdola nenrůzeme vyvodit, ze C (u, p) je rostoucí v u pro p G P (vlastnost, která plyne z az 186 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Veta 2 Jestliže C splnuje podmínky II uvedene váse, potom F * definovana II(viii) splnuje podmínky I. Navíc, pokud C *(u,p) = minx[pTx : F *(x) > u} je nákladová funkce definovana F *, potom C * = C. Důsledek 2.1 Množina supergradientu C vžhledem k p v bode (u*,p*) E U x P, ÔC(u*,p*) je množinou resení problemu nakladove minimaližace minx[p*T x : F *(x) > u*}, kde F * je agregační funkce odpovídající dane nákladove funkci, která splňuje podmínky II. [Supergradienty splnují x* E ÔC (u*,p*) prave tehdy, když C (u*,p) < C (u*,p*) + x*T(p — p*) pro vsechna p > 0N.] Důusledek 2.2 [Shephardovo (1953, str. 11) lemma] Jestliže C splnuje podmínky II a krome toho je diferencovatelná vžhledem k cenám vstupu v bode (u* ,p*) E U x P, potom ňreňsení x* problíemu níakladovíe minimaližace minx[p*Tx : F(x) > u*} je jediníe a je rovno vektoru parcialních derivací funkce C (u*, p*) podle prvku vektoru cen p; tj. x* = VPC (u*,p*). (3.1) Pňredchoží dvňe vňety poskytly verži Shephardovy (1953, 1970) vňety o dualitňe meži naíkladovyími a agergaňcními funkcemi. Podmínky pro C, kteríe odpovídají naňsim podmínkíam I pro F, se ždají byít žňrejmíe kromňe bodu II(viii), kteryí nežbytnňe žaruňcuje spojitost agregaňcní funkce F* odpovídající daníe naíkladovíe funkci C. Podmínku II(viii) mužeme vynechat, jestliže žesílíme podmínku II(iii): C (u,p) je rostoucí v u pro každe p naležející do S = [p : p > 0N, 1^p = 1}. Lže ukážat, že vásledne F * je spojite [srov. Blackorby, Pri- 4. DUALITA MEZI PRIMYMI A NEPRIMYMI AGREGACNMI FUNKCEMI 187 mont a Russell (1978)]. Mnoho užitecních funkcionalních tvaru vsak nesplnuje žesílení podmínky Alternativní metoda, jak se žbavit podmínky II(viii), krerí žachovíví spojitost príme agregacní funkce F * odpovídající dane nakladove funkci C, je objevit lokílní vety o dualite, tj. predpoklídejme, že C splňuje podmínky II(i)-II(vii) pro (u,p) G U x P, kde P je nyní omeženo na kompaktní, konvexní podmnožinu kladneho ortantu. Lokalne spojití funkce F* muže bít definovana pomocí C a naopak ma C jako svou nakladovou funkci na U x P. Tento prístup provožují Blackorby a Diewert (1979). Historické poznámky Vety o dualite meži F a C dokažali ža ružních podmínek Shephard (1953, 1970), McFadden (1962), Chipman (1970), Hanoch (1978), Diewert (1971a, 1974a), Afriat (1973a) a Blackorby, Primont a Russel (1978). Vety o dualite meži C a urovňovími množinami F, L(u) = {x : F (x) > u} dokížali Užawa (1964), McFadden (1966, 1978a), Shephard (1970), Jacobsen (1970, 1972), Diewert (1971a), Friedman (1972) a Sakai (1973). 4 Dualita mezi přímými a nepřímými agregačními funkcemi Pňredpoklíadejme, ňže pňrímíe agregaňcní (uňžitkovíe nebo produkňcní) funkce F splnňují Podmínky I vypsaníe v pňredchoží ňcíasti. Zíakladní optimaližaňcní problíem, o kteríem budeme v tíeto ňcíasti uvaňžovat, je problíem maxi-maližace užitku (nebo vístupu) F (x), kterí podleha rožpoctovemu omežení pTx < y, kde p ^> 0N je vektor cen komodit (nebo vstupu) a y > 0 je množství penež, které muže spotrebitel (vírobce) utratit. Protože y > 0, mužeme rožpoctove omežení pTx < y nahradit vTx < 1, kde v = p/y je vektor normalizovaných cen. ^Např. uvažme funkci C (u, p) = bTpu, kde b > 0N, ale b není ^> 0N. Tato funkce odpovídá Leontiefove agregacní funkci nebo agregacní funkci s pevnými koeficienty. 188 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Nepřímí agregacní funkce G(v) je definovaní pro v ^> 0N jako G(v) = max{F(x) : vTx < 1,x > 0W}. (4.1) x Veta 3 Jestliže príma agregacní funkce F splňuje podmínky I, potom nepríma agregacní funkce G splňuje nasledující podmínky: Podmínky III pro G (i) G(v) je reílní funkce N promenních definovaní na množine kladních normaližovaních cen V = {v : v ^> 0N} a na tomto definicním oboru je spojití. (ii) G je klesající; tj. jestliže v" ^> v' ^> 0N, pak G (v") < G(v'). (iii) G je kvazikonvexníí na V. (iv) G" je takova, že funkce F(x) = minv{G(v) : vTx < 1,v > 0N} definovaní pro x ^ 0N je spojita na tomto definicním oboru a mí spojite rožsírení** na nežíporní vísek Q = {x : x > 0N}. UG zde je rozšírení G na nezáporná vásek, kterě je definováno Fenchelovou (1953) uzávěrovou operací; tj. definujme nadgraf původního G jako r = {(u, v) : v ^ 0N, u > G(v)}, definujme uzáver r jako r a definujme rozšířené G jako G(v) = infu{u : (u, v) G r} pro v > 0N. Výsledne rozsírene G je zdola spojite (množiny {v : G(v) < u,v > 0N} jsou uzavrene pro všechna u). Pokud je oborem hodnot funkce F mnozina U = {u : u < u < u}, kde u < u, potom obor hodnot nerozsíreneho G je {u : u < u < u} a obor hodnot rozsíreneho G je {u : u < u < u}, takze pokud u = +oo, potom G(v) = +oo pro v = 0N a definovana pro ostatní body v na hranici nezaporneho ortantu. **F je rozsírena na nezaporný vásek Fenchelovou uzaverovou operací: definujme podgraf puvodního F1 jako A = {(u, x) : x ^ 0N ,u < i^(x)}, definujme uzáver A jako A a definujme rozšírenou F1 jako F (x) = supu{u : (u, x) G A} pro x > 0N Jestlize je nerozsírena funkce F spojita pro x ^ 0N, lze dokázat, ze rozsírena funkce F je spojitá shora pro x > 0N. Podmínka III(iv) implikuje, ze rozsírena funkce F je spojitá zdola pro x > 0N. 4. DUALITA MEZI PRIMYMIA NEPRIMYMIAGREGACNIMI FUNKCEMI 189 Dusledek 3.1 Prímí agregacní funkce F muže byt opet získana z nepríme agregacní funkce G; tj. pro x ^> 0N,F(x) = minv{G(v) : vTx < 1,v > 0N}. Dusledek 3.2 Necht' F splnuje podmínky I a necht' x* ^ 0N. Definujme uzavrenou konvexní množinu normalizovaních opernych nadrovin v bode x* jako uzavrenou konvexní množinu H (x*) = {x : F (x) > F (x*), x > 0N Pak (i) H(x*) je mnoňžina ňreňsení nepňrímíeho uňžitkovíeho (nebo produkňcního) minimaližaňcního problíemu minv{G(v) : vTx* < 1,v > 0N}, kde G je nepríma funkce, ktera odpovídí F podle definice (7.4) a (ii) pokud v* G H(x*), pak x* je ňreňsením pňrímíeho uňžitkovíeho (nebo produkňcního) maximaližaňcního problíemu maxx{F(x) : v*Tx < 1,x > 0N}. Dusledek 3.3 [Hotellingova (1935, str. 71); Woldova (1944, str. 69-71; 1953, str. 45) identita] Jestliže F splňuje podmínky I a navíc je diferencovatelna pro x* ^> 0N s nenulovím vektorem gradientu VF(x*) > 0N, potom x* je resením prímeho užitkoveho (nebo produkcního) maximalizacního problemu maxx{F(x) : v*Tx < 1,x > 0N}, kde v* = VF(x*) (42) x*TVF(x*) System rovnic (4.2) zname pod pojmem system inverzních poptavkovych funkcí; i-ta rovnice p*/y = v* = [dF(x*)/dxí] / V x*ôF(x*)/dx / rN / xj* -j=i tt Jestliže v* G H (x*), pak v*Tx* = l,x* > 0N a F (x) > F (x*) implikuje v*Tx > v*Tx* = 1. Uzavřenost a konvexnost H (x*) ukázal Rockafellar (1970, str. 215). 190 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII vyjadruje cenu i-te komodity p* podelenou vydaji y jako funkci vektoru množstvá x*, ktere si spotrebitel nebo várobce vybere, pokud bude maximaližovat F (x) pri rožpoctovem omežení v*Tx = 1. Nyná budeme predpokladat, že mame dánu dobre se chovající neprámou agregacná funkci G a ukažeme, že pomocá teto funkce lže definovat dobre se chovajácá funkci F takovou, že G je jejá nepráma funkce. Veta 4 Predpokládejme, že G splňuje podmánky III. Potom F(x), která je definovana pro x ^> 0N F(x) = min{G(v) : vTx < 1, v > 0W} (4.3) v má rožsárená na x > 0N, ktere splňuje podmánky I. Navác, jestliže definujeme G*(x) = maxx{_P(x) : vTx < 1,x > 0N} pro v ^> 0N, potom G*(v) = G(v) pro vsechna v ^> 0N. DUsledek 4-1 Necht' G splňuje podmánky III a necht' v* ^ 0N. Definujme užavrenou konvexná množinu normaližovanách opernych nadrovin v bode v* jako užavrenou konvexná množinu H*(v*) = {v : G(v) < G(v*),v > 0N}. Pak (i) H*(v*) je množina resená prámeho užitkoveho (nebo produkcnáho) maximaližacnáho problemu maxx{-^(x) : v*Tx < 1,x > 0N} kde F je prámá funkce, která odpovádá dane nepráme funkci G podle definice(4.3) a (ii) pokud x* G H (v*) , pak v* je resenám prámeho užitkoveho (nebo produkcnáho) minimaližacnáho problemu minv{G(v) : vTx* < 1,v > 0N}. DUsledek 4.2 [Villeova (1946, str. 35); Royova (1947, str. 222) identita] Jestliže G splňuje podmánky III a navác je diferencovatelna pro v* ^> 0N s nenulovám vektorem gradientu VG(v*) < 0N , potom x* je jedinám resenám prámeho užitkoveho (nebo produkcnáho) maximaližacnáho 4. DUALITA MEZI PRIMYMI A NEPRlMYMI AGREGAČNIMI FUNKCEMI 191 problemu maxx{F(x) : v*Tx < 1,x > 0N}, kde x* = vg(v*) (44) x = v*tvG(v*). () Vidíme, že (4.4) poskytuje protejsek Shephardovu lemmatu v predchoží císti. Jak uvidíme poždeji, Shephardovo lemma a Royova identita jsou žíakladem pro mnoho teoretickyích i empirickyích aplikací. Zaverem požnamenejme, že podmínka III(iv) se žda bít take trochu divna. Umožňuje nam odvodit prímou agregacní funkci ž dane nepríme funkce splňující podmínky IIL^ Historické poznámky Vety o dualite meži prímími a neprímími agregacními funkcemi dokížali Samuelson (1965, 1969, 1972); Newman (1965, str. 138-165); Lau (1969); Shephard (1970, str. 105-113); Hanoch (1978); Weddepohl (1970, kap. 5); Katžner (1970 str. 59-62); Afriat (1972a, 1973c) a Diewert (1974a). Prace, ktere uvadejí do souvislostí predpoklady na system poptívkovích funkcí spotrebitele a prímou agregaňcní funkci F (problíem integrovatelnosti) napsali Samuelson (1950b); Hurwicž a Užawa (1971); Hurwicž (1971) a Afriat (1973a, b). Geometrickou interpretaci Royovy identity najdeme v Darrough a Southey (1977), nekterí rožsírení viž Weymark (1980). ■^Bez podmínky III(iv) můžeme stále vyvozovat spojitost F^x) přes x ^> 0N, ale výsledná F nemusí nutně mít spojité rozšíření na x > 0N. (Pokud F není nutne konkavní, ale je pouze kvazikonkávní pro x ^ 0N, její řozsíření nemusí být nutne spojite.) Diskuse a příklady k problemu spojitosti viz Diewert (1974a, str. 121-123). 192 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII 5 Dualita mezi přímými agregačními a distančními nebo deflačními funkcemi V teto časti budeme uvažovat o čtvrte alternativní metode charakterižace preferencí spotrebitelu nebo technologií. Tato metoda je žvlaste užitečná pro definici jiste trídy indexních čísel podle Malmquista (1953, str. 232). Jako obvykle, necht' F (x) je agregační funkce splnující podmínky I uvedene váse v části 3. Pro u náležející do vnitrku oboru hodnot F (tj. u e int U, kde U = [u : u < u < u}) a x ^> 0N, definujme distancnínebo deflacní funkci.* t Pojem deflacní funkce pro D je vástižnejsí ž ekonomickeho pohledu. D jako D(u,x) = max j k : F (x) > u, k > 0} . (5.1) Takže D(u*,x*) je nejvetsí číslo, ktere bude snižovat (žvysovat pokud F (x*) < u*) bod x* ^> 0N na hranici množiny užitkovách (nebo produkčních) možností L(u*) = [x : F (x) > u*}. Pokud D(u*, x*) > 1, pak x* ^> 0N produkuje vyssí stupen užitku, nebo produkce než stupeň ožnačená u*. Ukažalo se, že matematicke vlastnosti D(u, x) podle x jsou ty same jako vlastnosti C (u, p) podle p, ale vlastnosti D podle u jsou pňrevríaceníe vlastnostem C podle u, jak ukažuje naísledující vňeta. Veta 5 Pokud F splnuje podmínku I, potom D definovane v (5.1) splňuje Podmínku IV níže. Podmínka IV pro D *Shephard (1953, str. 6; 1970, str. 65) žavedl distancní funkci do ekonomicke literatury. Užil márne odlisne, ale ekvivalentní definice D(u, x) = 1/ min^[A : F(Ax) > u, A > 0}. tMcFadden (1978 a) a Blackorbý, Primont a Russell (1978) nazvali D transformační funkcí. V matematicke literatuře [napr. Rockafellar (1970, str. 28)] je D nažývano jako -měrná (kontrolní) funkce. 5. DUALITA MEZI PRIMYMIAGREGACNIMIA DISTANCNIMI NEBO DEFLACNIMIFUNKCEMI193 (i) D (u, x) je funkce nabyvající reýlných hodnot s N + 1 promennymi definovanymi na intU x intQ = {u : u < u < u} x {x : x ^> 0N} a je spojité na teto oblasti. (ii) D (u, x) = +oo pro každe x G intQ; tj. u" G intU, limu" = u, x G intQ implikuje /imraD(u", x) = +oo (iii) D(u, x) je klesající v u pro každe x G intQ; tj. jestliže x G intQ, u', u'' G intU s u' < u'', potom D(u', x) > D (u'', x). (iv) D (u, x) = 0 pro každe x G intQ; tj. u" G intU, limu" = u, x G intQ implikuje /imraD(u", x) = 0 (v) D(u, x) je (pozitivne) linearne homogenní v x pro vsechna u G intU; tj. u G intU, A > 0, x G intQ implikuje D(u, Ax) = AD(u, x). (vi) D(u, x) je konkavní v x pro vsechna u G intU (vii) D(u,x) je rostoucí v x pro vsechna u G intU; tj. u G intU, x',x'' G intQ implikuje D(u,x' + x'') > D(u, x'). (viii) D je takový, že funkce F(x) = {u : u G intU, D(u, x) = 1} (5.2) definovana pro x ^> 0N ma spojite rozsírení na x > 0N. Dusledek 5.1 F(x) = {u : u G intU, D(u, x) = 1} = F (x) pro každe x ^> 0N a tudíž F = F; tj. puvodní agregační funkce F je získýna z distanční funkce D podle definice (5.2) pokud F splnuje Podmínku I. Stejne tak jako pro nakladovou funkci C (u, p) popisovanou v Sekci 3, D splňující Podmínky IV na intU x intQ muže být jednoznačne rozsírena na intU x Q použitím Fenchelovy uzaverove operace. Muže být overeno, že rozsírený D splňuje Podmínky IV (v), (vi) a (vii) na intU x Q, ale společna Podmínka spojitosti IV(i) a podmínky monotónnosti v u nemusí být splneny. Melo by byt take poznamenano, že jestliže Podmínka I (iii) (kvazi-konkývnost F) by byla vynechana, platnost Vety 5 by byla zachovana s tím rozdílem,že by musela byt vynechýna Podmínka IV(vi) (konkavnost D v x). Nýsledující veta ukazuje, že deflační funkce D muže být take použita pro definici spojite agregační funkce F. 194 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Veta 6 Jestliže D splňuje Podmínky IV, nm F definovaná v (5.2) pro x E intQ rožsírení na Q, ktere splňuje Podmínky I. Navíc, jestliže definujeme deflační funkci D* korespondující s F jako D*(u,x) = [k : FYx)= u,k> 0}, (5.3) k potom D*(u, x) = D(u, x) pro (u, x) E intU x intQ. Důusledek 6.1 Pokud D splnuje Podmínky IV a navíc je spojite diferencovatelná v (u*, x*) E intU x intQ s D (u*, x*) = 1 a aP(gU'X*'> < 0, potom x* je resení príme maximaližační álohy maxx[_P(x) : v*xx < 1, x > 0N}, kde F je definovano v (5.2) a v* > 0N je definovano jako v* =VxD(u*, x*). (5.4) Navíc, -P je spojite diferencovatelná v x* s D(u , x ) Vxf (x*)=aD(u*, x* )/3u. (5.5) Tudíž spotrebitelsky system inveržních poptávkovách funkcí muže byt žískan diferencovaním deflační funkce D splnňující Podmínky IV ( plus diferencovatelnost) podle sloňžek vektoru x. Historickí poznamky Vety o dualite meži distančními nebo deflačními funkcemi D a agregačními funkcemi byly dokažany Shephardem (1953,1970), Hanochem (1978), McFaddenem (1978a) a Blackorbyem, Primontem a Russellem (1978). 6. DALSI VETY O DUALITE 195 Je zde řada zajímavých souvislostí (a vet o dualitě) mezi přímou a nepřímou agregacní, nákladovou a deflační funkcí. Například Malmquist (1953, str. 214) a Shephard (1953, str. 18) ukazují, Ze se deflační funkce pro neprímou agregacní funkci, maxk {k : G( |) < u, k > 0}, rovní nákladove funkci , C (u, v). Úplný popis techto vzajemních vazeb a dalších vet o dualite s razními podmínkami regularitý mohou být nalezený v dílech Hanocha (1980) a Blackorbýho, Primonta a Russella (1978). Nektere aplikace jsou v Deatonovi (1979). Lokalní vetý o dualite mezi deflacní a agregacní funkcí jsou v dílech Blackorbýho a Diewerta (1979). 6 Další vety o dualitě Konkavní funkce mohou být take popsaný pomocí konjungovanych funkcí. Navíc se ukazalo, ze uzavrene konvexní mnoziný mohou take bít za urcitých podmínek (viz Rockafellar (1970, str. 102-105) a Karlin (1959. str. 226-227)) popsaný pomocí konjugovane funkce. Tudíz príma agregacní funkce F, mající mnoziný na konvexní írovni L(u) = {x : F (x) > u}, muze být take popsana svojí konjugovanou funkcí stejne tak jako svojí nakladovou, deflacní ci neprímou agregacní funkcí. Tento prístup pomocí konjugovaních funkcí býl zapocat Hotellingem (1932, str. 36-39; 1960; 1972) a rozsíren Samuelsonem (1947, str. 36-39; 1960; 1972), atd. Nebudeme se zabívat tímto prístupem detailne, i kdýz v dalsí casti si zopakujeme tesnou spojitost vet o dualite mezi uzitkovou a transformovanou funkcí. Dalsí trída vet o dualite ( ktere take zacal Hotelling (1935, str. 75) a Samuelson(1960)) je získana rozdelením komoditního vektoru x > 0N na dva vektorý x1 a x2 a potom definovaním spotrebitelskou promennou agregítní funkcí ( alternativne je nazvana podmínkovou neprímou funkcí uzitku) g jako g(x\ p2,y2) = maxx2{F(x1, x2) : p2Tx2 < y2, x2 > 0Wa, (6.1) kde p2 ^> 0N je pozitivní spotrebitelskí cenoví vektor zbozí x2, a y2 > 0 je spotrebitelskí rozpocet, kterí býl urcení na utracení za zbozí x2. Mnozina resení (6.1), x2(x1, p2, y2), je spotrebitelska podmínení (na x1) poptavkoví korespondence. Pokud g splnuje nalezitosti podmínek regularitý, podmínene poptívkove funkce mohou bít generovaný aplikovaním Roýový identitý (4.4) na funkci G(v2) = g(x1,v2,1), kde v2 = p2/y2. Pro formílní vetý o dualite mezi prímou a variabilne neprímou agregacní funkcí viz. Epstein, Diewert a 196 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Blackorby, Primont a Russell. Pro další aplikace teto duality viz. Epstein ( pro aplikace spotřebitelské volby v nejistote) a Pollak a Diewert (estimace preferencí pro veřejne zboží použitím tržních poptavkových funkcí). KoneCne, variabilne nepríma funkce užitku muže byt použita pro dukaz Hicksovy verze vety o složenem zboží - skupina zboží se chova stejne jako jedna komodita, pokud se ceny ve skupine zboží mení ve stejnem pomeru - pro aplikace pri mene striktních podmínkach než u Hickse viz. Pollak, Diewert a Blackorby, Primont a Russell. Nyní strucne pojedname o rozsahle literature, tj. o dusledcích ružních specialních struktur jedne z mnoha ekvivalentních reprezentací technologie (jako treba prímí ci neprímí agregacní funkce nebo nakladova funkce). Napríklad Shephard ukazal, že homoteticita príme funkce implikuje, že níkladoví funkce je fakto-rovaní do 0_1(u)c(p)( viz rovnice (2.18)). Jiním príkladem specialní struktury je separabilita. Reference, ktere se zabívají implikacemi separability a/nebo homoteticity zahrnují Shephard, Samuelson, Gorman, Lau, McFadden, Hanoch, Pollak, Diewert, Jorgenson a Lau, Blackorby, Primont a Russell a Blackorby a Russell. Pro implikace separability a/nebo homoteticity na Slutskeho koeficientech nebo na parcialních elasticitach substituce viz Sono, Pearce, Goldman a Uzawa, Geary a Morishima, Berndt, Blackorby a Russell, Diewert a Blackorby a Russell. Pro implikace Hicksovy Vety o agregovaných elasticitach substituce viz. Diewert. Pro empiricke testy predpokladu separability viz. Berndt a Christensen, Burgess a Jorgenson a Lau; pro teoreticke diskuse o techto testovích procedurach viz. Blackorby, Primont a Russell a Jorgenson a Lau, Lau, Woodland a Denny a Fuss. Pro implikace predpokladu konkavnosti príme agregacní funkce nebo predpokladu konvexity nepríme agregacní funkce viz. Diewert. Víse zmínene vety o dualite jsou v podstate "globílní". "Lokalní" prístup uvedl ve sve príci Blackorby a Kiewer, kde je predpoklídíno, že dana níkladoví funkce C (u, p) splňuje Podmínky II na U x P, kde U je konecní interval a P je uzavrena, konvexní a ohranicena podmnožina pozitivních cen. Potom zkonstruovali odpovídající prímou agregacní, neprímou agregacní a deflacní funkci, ktere jsou dualní k dane "lokílne" platne nakladove funkci C. Dukazy techto "lokílních" vet o dualite se ukízaly byt mnohem jednodussí než odpovídající "globalní" vety o dualite presentovane v tomto clínku ( a jinde), a to z toho duvodu, protože problem spojitosti se neobjevuje díky predpokladu, že U x P je kompaktní. Tyto "lokalní" vety o dualite 6. DALŠI VETY O DUALITE 197 jsou prospňeňsníe v empirickíych aplikacích, protoňže ekonometrickíe estimace naíkladovyích funkcí ňcasto nesplnňují pňrísluňsníe podmínky regulariy pro vňsechny ceny, ale podmínky mohou byít splnňeny na menňsí podmnoňžinňe cen, kteraí je empiricky relevantní mnoňžinou cen. Epstein rozsíril teorii duality tak, aby pokryvala více obecních maximaližacních íloh. V Epsteinovi je uvaňžovaína níasledující uíloha maximaližace uňžitku, ktería se objevila v kontextu teorii volby v podmínkaích nejistoty: maxX)Xi)X2{F(x, x1, x2) : x > 0N, x1 > 0Nl, x2 > 0N2, (6.2) pTx + piTxi < y1, pTx + p2Tx2 < y2}, (6.3) kde x pňredstavuje souňcasnou spotňrebu, x* pňredstavuje spotňrebu ve stavu i(i = 1, 2), p je souňcasnyí cenovyí vektor, p* je diskontní budoucí cenovíy vektor, kteríy nastane jestliňže nastane stav i a y* > 0 je spotňrebitelskyí diskontní pňríjem jestliňže nastane stav i. V Epsteinovi je uvaňžovíana naísledující maximaližaňcní uíloha: max{F(x) : x > 0n, c(x, a) < 0}, (6.4) X kde c je dana omezovací funkce, ktera zívisí na vektoru parametru a. Nebudeme se snažit provest detailní analyzu Epsteinovích vísledku, ale radeji budeme prezentovat více abstraktní verzi jeho zakladní techniky, kterí snad zachytí zaklad teorie duality. Zakladní maximalizacní uloha, kterou jsme studovali je maxX{F (x) : x g B (v)}, kde F je funkce N reílních promenních x definovaních na nejake množine S a B (v) je omezující množina , ktera zavisí na vektoru o M parametrech v, ktere se mení na množine V. Nase predpoklady o množinach S a V a o omezující množine odpovídající B jsou: (i) S a V jsou neprízdne kompaktní množiny v RN a RM. (ii) Pro každe v g V, je B(v) neprazdna a B (v) c S. (iii) Pro každe x g S, je inverzní korespondence B-i(x) neprazdní a B-i(x) c V. (6.5) 198 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII (iv) Korespondence B je spojita na V. (v) Korespondence B-1 je spojita na S. Naňse pňredpoklady na zíakladní funkci F jsou: (i) F je realna funkce N pramenných definovana na S a je na S spojití. (6.6) (ii) Pro kazde x* g S, existuje v* g V takove, ze F (x*) = maxx{F (x) : x g B(v*)}. Funkce G dualní k F je definovaní pro v g V takto: G(v) = max{F (x) : x g B (v)}. (6.7) Veta 7 Jestlize S, V a B splnují (6.4) a F splnuje (6.5), potom G definovana v (6.6) splňuje nasledující podmínky: (i) G je realní funkce M promenních definovana na V a je na V spojita. (6.8) (ii) Pro kazde v* g V, existuje x* g S takove, ze G(v*) = mmv{G(v) : v g B-1(x*)}. Navíc, defnujeme-li funkci F* duaílní k G pro x g S takto: F*(x) = mm„{G(v) : v g B-1(x), (6.9) potom F*(x) = F(x) pro kaňzdíe x g S. 6. DALSI VETY O DUALITE 199 Důsledek 7.1 Necht' x* g S a definujeme H (x*) jako množinu v* g V takovích, že F (x*) = maxx{F (x) : x g B(v*)}. Jestliže v* g H (x*), potom x* je resením maxx{F (x) : x g B (v*)} a v* je resením minv {G(v) : v g B-1(x*)}. Dukaž viž. Diewert (1982). Vsimnete si, že predpoklad na F (6.5) (ii) je naíhražka naseho staríeho predpokladu kvaži-konkíavnosti v Sekci 4 a množina H (x*) definovana v dusledku 7.1. nahražuje množinu normaližovaních pomocných nadrovin, ktere se objevují v dusledku 3.2. Díky symetricke podstate nasich predpokladu, je žrejme, že dukaž nasledující vety je stejní jako dukaž vňety 7 aňž na to, ňže nerovnosti jsou pňrevríaceníe. Veta 8 Jestliže S, V a B splnují (6.4) a G splňuje (6.7), potom F * definovaní v (6.8) splnuje (6.5). Navíc, definujeme-li funkci G* jako duílní k F * pro v g V takto: G* (v) = maxx{F *(x) : x g B (v)}, (6.10) potom G*(v) = G(v) pro kaňždíe v g V. Důsledek 8.1 Necht' v* g V a definujeme H*(v*) jako množinu x* g S takovích, že G(v*) = {G(v) : v g B-1(x*)}. Jestliže x* g H*(v*), potom v* je resení {G(v) : v g B-1(x*)} a x* je resením maxx{F*(x) : x g B(v*)}. Vsimneme si, že Podmíínka (6.7) (ii) pro G nahražuje nasi starou podmíínku kvaži-konvexity pro G v Sekci 4, a množina H*(v*) definovana v dusledku 8.1 nahražuje množinu normaližovaních pomocnych nadrovin, ktere se objevují v dusledku 4.1. 200 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Nemužeme stanovit doplnek k dusledku 3.3 (identita Hotelling-Woldova) a dusledku 4.2 (Ville-Royova identita), protože bylo nutne v techto dusledcích použít diferencovatelnost F a G a príslusnou omezující funkci. Tudíž, abychom odvodili doplnky k dusledkum 3.3 a 4.2 v soucasnem kontextu, museli bychom pňridat pňredpoklady pro F (nebo G) a pro omežující korespondenci B. Pňresto víyňse žmínňeníe vňety ilustrují podstatu struktury teorie duality. Mohou bít take interpretovíny jako príklady lokílních vet o dualite. 7 Minimalizace náklad ů a derivovaná poptávka po vstupech Predpokladejme, že technologie firmy muže bít popsana její produkcní funkcí F, kde u = F (x) je maximalní vístup, kterí muže bít vyprodukovín použitím nezíporneho vektoru vstupu x > 0N. Predpoklídejme, že F splnuje Predpoklad 1 Sekce 2 (tj. produkcní funkce je spojita shora). Jestliže si firma vezme ceny vstupu p ^ 0N jako dane (tj. firma se nechoví jako vstupní monopol), potom v Sekci 2 uvidíme, že funkce celkovích níkladu firmy C (u, p) = minX{pTx : F (x) > u} byla korektne definovana pro vsechna p ^> 0N a u G R(F), kde R(F) je obor hodnot F. Navíc C (u, p) byla lineírne homogenní a konkavní v ceních p pro každe u a byla neklesající v u pro kaňždíe pevníe p. Nyní predpoklídejme že C mí druhou spojitou derivaci podle jeho argumentu v bode (u*,p*), kde u* G R(F) a p* = (pi,..., pN) 3> 0N. Z Lemmatu 3 v Sekci 2 nakladove funkce minimalizující poptavku po vstupech xi(u, p),xN(u, p) existují v (u*, p*) a jsou rovny parciílním derivacím níkladove funkce podle N vstupních cen: xi(u , p ) =-ô-,i =1,...,N. (7.1) dpi Tudíňž, pňredpoklad ňže C maí spojitíe druhíe derivace v (u , p ) žajiňst'uje, aby níakladovíe funkce minimaližující poptívku po vstupech x^u, p) existovaly a mely první spojitou derivaci v (u *, p *) Definujeme [cbři/dpj] = [dx^u *, p *)/dpj] jako matici typu N x N derivací N-vstupních funkcí x^u *, p *) 7. MINIMALIZACE NAKLADU A DERIVOVANÁ POPTÁVKA PO VSTUPECH 201 podle N cen p*, i, j = 1, 2,N. Z (7.1) plyne, ze [ ] = VP/ľ (U, p), (7.2) kde VppC(u*, p*) = [ô2C(u*, p*)/<9pi<9p.,-] je Hessova matice nákladove funkce podle vstupních cen vyčíslených v (u*, p*). Druhá spojitá derivovatelnost C podle p v (u*, p*) implikuje (viz. Youngova veta), ze V^pC(u*, p*) je symetrická matice taková, Ze pouZitím (7.2) dostaneme tj. ôXj(tt*, p*)/ôpj = ôXj(u*, p*)/ôpj pro vsechna i a j. ProtoZe je C konkávni v p a má druhou spojitou derivaci podle p v okolí bodu (u*, p*), plyne z toho podle Fenchela nebo Rockafellara, ze VC(u*, p*) je negativne semidefinitni matice. Takze podle (7.2), ôx' zT[——j]z < 0 pro vsechny vektoryz. (7.4) Takze pro z = i-tá jednotková vektor,(7.4) implikuje ÔXi(^> < 0,i =1,2,...,N, (7.5) ôp' tj. i-ta nakladová funkce minimalizující poptavku po vstupech nemuze mít pozitivní sklon vzhledem k i-te vstupní cene pro i =1, 2,N. Protoze je C linearne homogenní v p, mame C(tí*,Ap*) = AC(u*, p*) pro vsechna A > 0. Budeme-li derivovat tuto poslední rovnici podle pj pro A blízke 1, získáme rovnici Cj(w*,Ap*)A = ACj(m*, p*), kde Cj(m*, p*) = C (u*, p* )/ôpj. Tudáz Cj(M*,Ap*) = Cj(m*, p*) a derivovánám teto posledná rovnice podle A dostaneme (pokud se A = 1) N J>*ô2C (u*, p* )/ôpiôpj = 0, i=1 202 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII pro i = 1, 2,..., N. Takže, použitím (7.2) najdeme vstupní poptávkove funkce x»(u*, p*) splnující následujících N omežení: [|j ]p* = VPPC (u*, p*)p* = 0n , (7.6) kde p* = [p1, p*,..., pN ]t. Záverečne obecne omežení pro derivovaní vstupní poptavkove funkce mužeme žískat nasledovne: pro A blížke 1, derivujme obe strany C (u*, Ap*) = AC (u*, p*) podle u a potom váslednou rovnici derivujme podle A. Pro A = 1 dostaneme poslední rovnici ve tvaru: N 2 J]p** Ô2C (u*, p*)/Ôuôpj = ÔC (u*, p*)/Ôu. i=1 Vňsimnňeme si, ňže druhía parciíalní diferencovanost C a (7.1) implikují, ňže Ô2 C (u*, p* )/ôuôp,- = Ô2 C (u*, p*)/% Ôu = = Ô [ÔC(u*, p* )/%]/<9u = Ôx, (u*, p*)/Ôu. Takňže A p* Ô2 C (u*, p*) = " p* Ô x, (u*, p*) = 3=1 13 3=1 = ÔC(f p*) > 0. (7.7) Nerovnost ÔC(u*, p*)/Ôu > 0 plyne ž vlastnosti, že C neklesá v u. Nerovnost (7.7) nam ráka, že žmeny v nákladove funkci minimaližující poptavku po vstupech indukovane rožsírením vystupu nemužou byt vsechny žíaporníe, tj. ne vňsechny vstupy mohou byít nevyížnamníe. S dodateňcnyím pňredpokladem, ňže F je lineaírnňe 7. MINIMALIZACE NAKLADU A DERIVOVANA POPTAVKA PO VSTUPECH 203 homogenná (a tedy existuje x > 0N takove, že F (x) > 0), mužeme vyvodit (Sekce 2), že C (u, p) = uc(p), kde c(p) = C(1, p). Tedy, když je F linearne homogenná, Xi(u*, p*) = u* dc(p*) ,i = 1,...,N, (7.8) a dx*(u*, p*)/du = dc(p*)/dp*. Tedy jestliže x* = x*(u*, p*) > 0 pro i = 1, 2,..., N, užitám (7.8) dostaneme dodateňcnáe omežená d x* (u*, p*) u* u*[dc(p*)/dp*] du = 1 , (7.9) jestliňže je F lineáarnňe homogenná, tj. vňcechny elasticity vstupu k vyástupu jsou jednotkováe. Pro obecná prápad dvou vstupu nam obecne omežená (7.3)-(7.7) umožná dostat se k nasledujácám ome-ženám sesti parciálnách derivacá poptavkove funkce pro dva vstupy x1(u*, p1, p*) a x2(u*, p*, p2): dx1/dp1 < 0, dx2/dp2 < 0, dx1/dp2 > 0, dx2/dp1 > 0 (a jestliže je jedna ž nerovnostá ostra, potom jsou ostre vsechny, protoňže p1dx1/dp1 = -p*dx1/dp2 = -p*dx2/dp1 = (p*)2(p*)-1dx2/dp2) a p* dx1/du + p*dx2/du > 0. Tedy, žnamenka u dx1 /du a u dx2/du jsou nežname, ale pokud je jedno žaporne, druhe mus á byt kladne. Pro konstatná vynosy ž rožsahu vyroby nejasnost ohledne žnamenek vymižá: mame dx*(u*, p*)/du > 0,dx2(u*, p*)/du > 0 a alespon jedna nerovnost musá bát ostrá pokud je u* > F(02). Váhoda derivovaná techto dobre žnamych komparativnách statickách vásledku použávanám teorie duality je ta, že omežená (7.2)-(7.7) jsou platná i v prápadech, kdy práma produkcná funkce F nená diferencovatelna. Napráklad Leontiefova produkcná funkce má lineárná nakladovou funkci C (u, p) = uaTp, kde (a1,a2, ...,aN) = aT > 0N je konstantná vektor. Muže bát overeno, že omežená (7.2) jsou platná pro tuto nediferencovatelnou produkcná funkci. Historicke poznamký 204 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Analogie k (7.3) a (7.4) v kontextu ziskovách funkcá byly záskany Hotellingem. Hicks a Samuelson dostali vztahy (7.2)-(7.6) a Samuelson záskal take (7.7). Vsichni tito autori predpokladali, ze primárná funkce F byla diferencovatelná a jejich dukazy pouzávaly podmínku prvnáho radu pro ulohu minimalizace nákladu (nebo maximalizace uzitku) a vlastnosti determinantu pro dukaz svách výsledku. 8 Funkce zisku Doposud jsme se zabávali problemem firmy, která pouzíva mnoho ruznách vstupu na várobu jednoho várobku. Avsak ve skutecnem svete chrlá prevazna vetsina firem mnoho druhu ruznách vyrobku. Proto bude nezbytne zamyslet se nad problemem modelovaná firmy s mnoha vstupy a vástupy. Pro ekonomicke aplikace bude uzitecne zavest tzv. variabilní funkci zisku n(p, x), ktera oznacuje maximum trzeb mánus variabilná platby za vstupy, které mnize byt dosazeno pri danách cenach p ^> 0/ variabilnách vstupu a vystupu a pri danem vektoru pevne danych vstupu x ^> 0j. Oznacme variabilná vstupy a vástupy I-rozmernám vektorem u = (u , u2,...,u/), fixná vstupy necht' jsou oznaceny J-rozmernym vektorem —x = (—x1, —x2,..., —xJ). Dále oznacme T mnozinu vsech moznách kombinacá vstupu a vástupu, ktere rákáme mnoZina produkčních moZností. Vástupy jsou zachyceny kladnámi cásly, vstupy zapornámi, takze je-li u > 0, pak i-te variabilní zbozí jest vástup produkovany nasí firmou. Formálne se definuje n pro p ^> 0/ a —x 0J (poslednách J zbozá jsou vzdy vstupy); (ii) pokud (u', —x') G T,u' < u" a —x' < —x", potom (u", —x") G T (volná dispozice); (iii) pokud (u, —x) G T, potom jsou komponenty vektoru u ohranicene shora (hranice moznostá pri pevnách vstupech). Potom ma n následujácá vlastnosti: (i) n(p, x) je nezáponm reálná funkce definovaná pro kazde p ^> 0/ a x > 0J taková, ze: n(p, x) < pTb(x) pro kazde p ^> 0J. (ii) pro kazde x > 0J je n(p, x) (pozitivnr) lineárne homogenná, konvexná a spojitá v p a (iii) pro kazde p ^> 0/ je n(p, x) (pozitivne) lineárne homogenná, konkavná spojitá 8. FUNKCE ZISKU 205 a neklesající v x. Navíc, Gorman (1968), McFadden (1966) a Diewert (1973a) ukázali, ze množina T může Tudíž, existuje dualita mezi množinami produkčních možností T a funkcemi variabilního zisku II, pokud jsou splněny výSe uvedene podmínky regularity. Pomocí Shephardova lematu (3.1) a Royovy identity (4.4) mužeme dokízat nísledující tvrzení: Holellingovo lemma (1932, str. 594) Splnuje-li funkce variabilního zisku n podmínky regularity (10.1) a navíc je diferencovatelní vzhledem k cenam variabilního mnozství v bode p* ^> 0/ a x* > 0j, potom dn(p*, x*)/3'pi = Ui(p*, x*) pro i = 1, 2,..., I, kde Ui(p*, x*) je takove mnozství cisteho vístupu i, ktere maximalizuje zisk pricemz je dín vektor variabilních cen p* a vektor fixních vstupu x*, ktere jsou k dispozici. Hotellingovo lema lze použít k odvození funkce nabídky variabilního výstupu a poptavky po variabilních vstupech. Potrebujeme pouze, aby byl zarucen funkcionalní tvar n(p, x) konzistentní s podmínkami regularity pro n a diferencovatelnost vzhledem ke komponentam vektoru p. Napríklad uvazme funkci transloga-ritmickeho variabilního zisku n definovanou: byt zkonstruovana pomocí n nasledujícím zpusobem: T = {(u, -x) : pTu < n(p, x), Vp > 0/; x > 0j}. (8.2) / 1 / / 2 i=1 i=1 h=1 / J J 1 J J + i=1 j=1 2 j=1 k=1 (8.3) 206 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII kde 7ih = 7hi a 0jk = . Lehce nahledneme, že n definovaní vžtahem (8.3) je homogenní stupne jedna v p tehdy a jen tehdy, pokud: = 1; J] čij = 0, j = 1, 2,..., J; J] = 0, i = 1, 2,...,I. (8.4) i=i i=i h=i Podobne, n(p, x) je homogenní stupne jedna v x tehdy a jen tehdy, když: j j j J]Pj = 1; J] čij = 0, i = 1, 2,...,I 0jfc = 0, j = 1, 2,..., J. (8.5) j=i j=i k=i Je-li n(p,x) > 0, definujeme podíl nabídky i-te promenne jako: piui(p,x)/n(p,x) = si(p,x). Hotellingovo lemma použite na translogaritmickou funkci definovanou v (8.3) díva nasledující system funkcí podílu ciste nabídky: i j Si(p, x) = ai + ^2 Yihlnph + ^ čij Zrač,-; i = 1, 2,..., I. (8.6) Nebot' je suma vsech podílu jednicka, jenom I — 1 rovnic v (8.6) je nežívislích. Rovnice (8.3) a I — 1 rovnic ž (8.6) lže použít k odhadu parametru funkce translogaritmickeho variabilního žisku. Povsimneme si pritom, že tyto rovnice jsou linearní v nežnamích parametrech stejne jako omežení (8.4) a že mužeme použít modifikace lineírních regresních technik. Alternativní funkcionílní tvary funkcí variabilního žisku jsou navržene v McFadden (1978b), Diewert (1973a) a Lau (1974a). Empiricke požnatky vypracoval Kohli (1978), Woodland (1977c), Harris(Appelbaum (1977) a Epstein (1977). Velice príbužní je prístup tžv. sdruzene níkladove funkce C (u, w) = minx{wxx : (u, —x) G T}, kde T je množina produkcních možností stejne jako dríve, w ^> 0J je kladní vektor cen vstupu. Jako obycejne, pokud je C (u, w) diferencovatelní vžhledem k cením vstupu w (a splňující príslusne podmínky regularity), potom 8. FUNKCE ZISKU 207 mužeme z Shephardova lemmatu odvodit system poptavkovích funkcí x(u,w), ktere minimalizují naklady. Dostavame pak: x(u,v) = vw C (u,w). (8.7) Sdružene nakladove funkce empiricky odhadoval Burgess (1976a) (ktery využíval funkcionílní tvar Halla (1973)), Brown, Caves, Christensen (1975) a Christensen, Greene (1976) (ktery využíval translogaritmickí funkcionílní tvar pro C(u,w), což je analogicky jako u transabilního zisku definovane v (8.3). Historické poznámky Samuelson (1953-54, str.20) nas obeznamil s funkcí narodní produkce, což je prístup zmínene funkce variabilního zisku. Zaroven upozornil na nektere vlastnosti. Gorman (1968) a McFadden (1966, 1978a) vynesl na svetlo sveta tvrzení o dualite mezi množinou produkcních možností (splňující razne podmínky regularity) a korespondující funkcí variabilního zisku. Alternativní tvrzení o dualite jsou v Shephard (1970), Diewert (1973a, 1974b), Sakai (1974) a Lau (1976). Pro speciílní prípad jedineho fixního vstupu se lze poucit z Shephard (1970, str.248-250) nebo Diewert (1974b). McFadden (1966, 1978a) zavedl funkci sdružene níkladove funkce, sepsal její vlastnosti a dokazal tvrzení 0 formílní dualite mezi sdruženou nakladovou funkcí a množinou produkcních možností T, stejne jako je to 1 v Shephard (1970) a Sakai (1974). Existují take mnohem jednodussí tvrzení o množine produkcních možností a transformacních funkcí, ktere davají maximalní množství jednoho vístupu, jenž dana firma muže vyrobit (nebo optimalní množství požadovaneho vstupu) pri pevne daních množstvích ostatních vstupu a vístupu. To nalezneme napríklad v Diewert (1973), Jorgenson; Lau (1974a, 1974b) a Lau (1976). Hotellingovo lemma lze zobecnit tak, abychom postihli i prípad nediferencovatelne funkce variabilního zisku: gradient funkce n vzhledem k p je nahrazen množinou subgradientu. Toto zobecnení bylo poprve uverejneno v Gorman (1968, str.150-151) a McFadden (1966, str.11) a opakovano v Diewert (1973a, str.313) a Lau (1976, str.142). Je-li n(p, x) diferencovatelna vzhledem ke komponentím vektoru fixních vstupu, potom wj = dn(p, x)/<9xj lze interpretovat jako hodnotu, kterou firma prisuzuje jedne dodatecne jednotce j-teho fixního vírobního faktoru. Neboli je to "stínova cena" j-teho vstupu (Lau (1976, str.142)). Pokud je navíc firma vystavena 208 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII vektoru cen w ^> 0j vírobních faktoru pro "fixní" vstupy a behem urciteho období lže menit množství techto "fixních" faktoru, pak pokud firma minimaližuje naklady na dosažení daneho množství variabilního žisku, dostaneme ( Diewert (1974a, str. 140)) Translogaritmickyí varibalní žisk byl nežíavisle navrňžen v Russel(Boyce (1974) a Diewert (1974a, str.139). Jde žjevne o prímou modifikaci translogaritmickeho funkcionalního tvaru podle Christen, Jorgenson(Lau (1971) a Saragan (1971). Vlastnosti porovnívacích statistik n(p, x) nebo C(u,w) byly popsíny v Samuelson (1953-54), McFadden (1966, 1978a), Diewert (1974, str. 142-146) a Sakai (1974). V teorii mežiníarodního obchodu se vňseobecnňe pňredpoklíadía existence sektorovyích produkňcních funkcí, fixní domící ždroje x a pevne ceny p mežinírodne obchodovatelneho žboRí. Pokousíme-li se v takovem pňrípadňe maximaližovat ňcistou hodnotu mežiníarodnňe obchodovatelníeho žboňží vyríabňeníeho ekonomikou, dostaívíame variabilní funkci žisku ekonomiky, n(p, x) nebo Samuelsonovu funkci národního produktu. Pokud jsou sek-torove produkcní funkce "vystaveny" konstantním vynosum ž rožsahu, bude mít n(p, x) obvykle vlastnosti žmínňeníe vyíňse. Avňsak existence sektorovyích technologií implikuje dodateňcnía omežení na porovníavací statistiky narodní produkcní funkce n: viž. Chipman (1966,1972, 1974b), Samuelson (1966), Ethier (1974), Woodland (1977a, 1977b), Diewert and Woodland (1977), Jones, Schienkman (1977) a dalňsí v odkažech techto prací. Zíverem požnamenejme, že vlastnosti n(p, x) vžhledem k x jsou presne ty vlastnosti, ktere ma neoklasicka produkcní funkce. Když je x vektor primarních vstupu, potom mužeme n(p, x) interpretovat jako funkci pridane hodnoty. Pokud se mení ceny p (pramenné) proporcionílne v case, muže byt n(p, x) ocistena od inflace trendem vseobecnych cen, címž dostavame funkci realne pridane hodnoty, ktera ma vlastnosti neoklasickíe produkňcníí funkce; viž. Khang (1971), Bruno (1971) a Diewert (1978c, 1980). w = VxII(p, x), (8.8) A tyto vžtahy mohou bíyt rovnňeňž vyuňžity v ekonometrickíych aplikacíích. 9. DUALITA A NESOUTEZIVE PRISTUPY K MIKROEKONOMICKE TEORII 209 9 Dualita a nesoutezive prístupy k mikroekonomické teorii Doposud jsme pňredpoklaídali, ňže víyrobci a spotňrebitelíe berou ceny jako daníe a optimaližují mnoňžství promňenníych, ktere mají pod kontrolou. V teto kapitole naznacíme, jak muže byt teorie duality využito v prípade mo-nopsonickeho ci monopolistickeho chovíní na strane spotrebitelu nebo vyrobcu. Nebudeme se to pokouset pňresnňe vysvňetlovat, toliko ilustrujeme pouňžívaníe techniky na 4 pňríkladech. 9.1 První prístup: Problem monopolů Predpoklídejme, že monopolista produkuje vístup x0 pri produkcní funkci F (x), kde x ^> 0N je vektor variabilních vstupu Necht' je dale monopolista vystaven (inverzní) poptívkove funkci p0 = wD(x0), tzn. p0 > 0 je cena, pri ktere se prodí x0 jednotek vístupu, D je spojití, kladna funkce v x0, promenna w > 0 reprezentuje vliv "dalsích promennych" na poptavku. Dlužno dodat, že pokud prodaví monopolista spotrebitelum, w muže vyrovnat disponibilní duchod uvažovaneho casoveho období. Pokud monopolista prodava vyrobcum, w muže bít linearne homogenní funkce cen, kterym jsou vystaveni ostatní vyrobci. A konecne, predpokladejme, že monopolista chova "soutežne" na trhu vstupu, když cenoví vektor cen vstupu je dían pevnňe. Potom lže problíem maximaližace monopolistova žisku žapsat takto: max {p0x0 - pTx : x0 = F(x),p0 = wD(x0), x > 0n} = Po,xo,x = max{wD[F(x)]F(x) - pTx : x > 0n} = X = max{wF*(x) - pTx : x > 0n} = n *(w, p), (9.1) X kde F*(x) = D = [F(x)]F(x) = p0x0/w je funkce tržeb odstena od inflace w nebo pseudoprodukcní funkce a n * je príslusní funkce pseudozisku (vzpomeňme kapitolu 10), kterí korespondující s F *. Povsimneme si, že w hraje roli ceny pro F * (x). Pokud je F * konkívní funkce, potom bude n *(l,p/w) funkce konjugovana k F * [vzpomenme na: Samuelson (1960), Lau (1969, 1978) a Jorgenson, Lau (1974a, 1974b) konjugovane prístupy 210 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII k teorii duality] a n* bude duílní k F * (tžn. F * muže bít dopoctena ž n*). I když není F * konkývní, existuje-li maximum v (11.1) v relevantním okolí cen (w, p), potom muže bít n* využito k reprežentaci relevantní casti F * (tžn. "volny dostupní" obal F * dostaneme ž n*). Pokud je navíc n* diferencovatelna v (w*, p*) a x0,p0, x* rest' (11.1), pak Hotellingovo lemma díví: u0 = pWx0 = Vwn*(w*, p*)a — x* = Vpn*(w*, p*). (9.2) Pokud je k tomu n* spojite diferencovatelna druheho radu v (w*, p*), pak mužeme odvodit obvykle vísledky pro porovnavací statistiky funkcí prodeje ocistenych od inflace, uo(w*, p*) = Vwn*(w*, p*) a funkce poptavky —x(w*, p*) = Vpn*(w*, p*); žejmena V2n*(w*, p*) je požitivne semidefinitní symetrickí matice a [w*, p*T]V2n*(w*, p*) = 0^+1. Vžtah (9.2) lže využít k odhadu ekonometrickích parametru n* a tudíž neprímo k odhadu F*: jednoduse ňreňceno, postulujeme funkcioníalní tvar n , diferencujeme n , coňž "napasujeme" na (9.2) pro danou ňcasovou redu požorovanych hodnot p0,p, w,x0 a x. Nevíhodou metody jsou: (i) nelže vyjadrit D ž F; (ii) nelže testovat, žda-li se vlastne vírobce choví "tržne" na trhu vyrobki; (iii) nemužeme použít nase odhadnute rovnice k predikci víroby x0 nebo prodejní ceny p0 oddelene. 9.2 Druhý přístup: Probiem monopsonu Uvaňžme problíem spotňrebitele, kteryí maximaližuje funkci uňžitku F(x), kteraí splnňuje "Podmínky I", ale odtud již díle pro spotrebitele nepredpokladame fixní ceny nakupovaních komodit. Takže je spotrebitel schopen monopsonicky využít jednoho ci více svích dodavatelu. Pak v období r necht' je vystaven nelineírnímu rožpoctovemu omežení ve tvaru: hr(x) = 0, kde x > 0N je vektor jeho níkupu (nebo rent). Necht' xr > 0N je ňreňseníí pro obdobíí r problíemu maximaližace "omeženíeho" uňžitku, tžn.: max{F (x): hr (x) = 0, x > 0N} = F (xr); r =1,...,T. (9.3) x Dale necht' r-tí funkce rožpoctoveho omežení hr je diferencovatelní v xr s Vxh(xr) ^> 0N pro každe r. Pak mužeme linearižovat r-te rožpoctove omežení okolo x = xr tak, že vežmeme rožvoj Taylorovy rady prvního 9. DUALITA A NESOUTEZIVE PRISTUPY K MIKROEKONOMICKE TEORII 211 radu. Linearižovane rožpoctove omežená je hr(xr) + [Vxhr(xr)]T(x — xr) = 0 nebo [Vxhr(xr)]T(x — xr) = 0, nebot' hr (xr) = 0 použitám (9.3). Lehce se nahledne, že povrch užitku: {x : F (x) = F (xr), x > 0N} je tecná nejenom k puvodnámu nelineárnámu rožpoctovemu povrchu {x : hr(x) = 0, x > 0N} v x = xr, ale take k povrchu linearižovaneho rožpoctoveho omežená {x : [Vhr(xr)]T(x — xr) = 0,x > 0N} v x = xr. Nebot' se predpokláda F kvažikonkávná, je množina {x : F (x) > F(xr), x > 0N} konvexná a linearižovane rožpoctove omežená je opernou nadrovinou k teto množine, tžn.: max{F (x): prTx < prTxr, x > 0W} = F (xr), r = 1,...,T, (9.4) x kde pr = Vhr(xr) pro r = 1, 2,..., T. Nyná je (9.4) pouhou radou "agregátorovách" maximaližacnách uloh typu, která jsme studovali v kapitole 4 (r-tá vektor normaližovanách cen se definuje jako vr = pr/prTxr) a odhadovacá techniky nastánene v kapitole 9 (vžpomenme napráklad vžtah (9.9)) mohou byt použity k odhadu parametru prámách užitkovách funkcá dualnách k F. Kapitola 4 se žabyvá linearnámi rožpoctovámi omeženámi a proto je irelevantná, jestli je F kvažikonkavná nebo ne (vžpomeňme nasi diskusi a diagram v kapitole 2). Avsak nyná požadujeme dodatecne predpoklady, že F je kvažikonkavná, aby se rigoróžne ospravedlnila žámena (9.3) ža (9.4). Povsimnete si take, že abychom mohli použát tuto proceduru, je nežbytne žnat vektor derivacá Vxhr (xr) pro každe r; tžn. musáme žnát derivace nabádkovách funkcá, ktere spotrebitel využává v každem obdobá - informace, kterou prvná prástup nepoňžaduje. Model monopsonu žde prežentovaná je ve skutecnosti mnohem sirsá než klasicky model monopsonis-tickeho využávaná: ceny, kterám je spotrebitel vystaven se mohou menit s nakupovanym množstvám kvuli neprebernemu množstvá duvodu, žahrnujáce v to i náklady transakce, množstevná slevy a existenci pro-gresivnáho ždanená. Vetsina danovách systemu vede k rožpoctovám omeženám se skoky nebo nediferencova-telnymi body. To nežpusobuje žadne problemy s váse uvedenou procedurou, jestliže požorovana spotrebitelova volba meži spotrebou a volnám casem nepadne presne do bodu skoku v tomto rožpoctovem omežená. 212 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII 9.3 Třetí přístup: Problém monopolu jinak Znovu se venujme problemu monopolu vyloženemu vyse. Necht' x0 > 0, xr > 0N je resením problemu maximaližace žisku monopolu pro r-tíe obdobíí, coňž lže žapsat: max{wr D(x0)x0 — prTx : x0 = F (x), x > 0N} = x = wrD(x0)x0 — prTxr, r =1, 2,T, (9.5) kde p0 = wrD(x0) > 0 je požorovaní prodejní cena vístupu behem r-teho období, wrD(x0) je inveržní poptívkoví funkce pro období r, p ^> 0N je vektor cen vstupu pro období r. Pokud je funkce F spojití a konkíavní (tak, ňže mnoňžina produkňcních moňžností {(x0, x) : x0 < F(x), x > 0N} je užavňrenía a konvexní) a když inveržní poptavkova funkce D je diferencovatelní v x0 pro r =1, 2, ...,T, pak je cílova funkce r-teho maximaližacního problemu v (9.5) muže bít linearižovan v okolí (x0, xr) a tato linearižovaní cíloví funkce bude tecna k povrchu produkce x0 = F (x) v (x0, xr). Tudížž: max{^00 xo — prTx : xo = F (x), x > 0n } = II(p0, pr) = xo,x = x0 — prTxr ,r =1,...,T, (9.6) kde p0 = wrD(x0) + wrD'(x0)x0 = p0 + wrD'(x0)x0 > 0 je stínové neboli mezní cena vístupu r-teho období (p0 < p0 jestliže wr > 0 a D'(x0) < 0 a n je "pravdiva" funkce firemního žisku, ktera je duílní k produkcní funkci F (vžpomenme n* definovanou v prvním prístupu, ktera je dualní ke konvexnímu obalu D[F(x)]F(x) = F*(x)). Takňže problíem maximaližace pravdivíe nelineíarní funkce monopolistickíeho žisku (9.6), kterí mí obvyklou strukturu jakmile mežní ceny vístupu p5^0 byly vypocteny tak, aby mohly bít pouňžity obvyklíe ekonometrickíe techniky [vžpomenňme vžtah (10.5) v Kapitole 10]. Porovníaním tňretího pňrístupu s prvním žjistíme, ňže tňretí pňrístup vyňžaduje extra pňredpoklad o konkaívnosti produkňcní funkce (konvexní technologie) a dodateňcníe informace, jako napňríklad žnalost sklonu poptíavkovíe funkce, kterou monopolista vyuňžívía, se poňžaduje pro kaňždíe období. 9. DUALITA A NESOUTEZIVE PRÍSTUPY K MIKROEKONOMICKE TEORII 213 Lehce se nahledne, že tento prístup lže žobecnit na firmu vyrabející víc vyrobku, ktera soucasne využíva trh se vstupy i vyístupy: vňsechno co potňrebujeme je pňredpoklad konvexnosti technologií a (lokíalní) žnalosti poptavkovych a nabídkovích funkcí, ktere firma využíva, aby mohly bít spocítany príslusne stínove ceny. Víse uvedene techniky mohou nyt žrejme použity v situacích, kdy se firma nechova monopolisticky ani monopsonisticky ve smyslu využívíní trhu, ale je vystavena cenam jejích vstupu a vístupu, ktere žavisí na poňríženíem nebo prodaníem mnoňžství, žahrnujíce níaklady na transakce a mnoňžstevní slevy. 9.4 Čtvrtý přístup: Problém monopolu ještě jednou Predpoklídejme nyní, že produkcní funkce spMuje, jako obycejne, "Podmínky I" a necht' x0 > 0, xr > 0N je resení maximaližacní ílohy monopolistickeho žisku pro období r (9.5), ktere lže prepsat jako max{wrD(x0)x0 — C(x0, pr) : x0 > 0} = wrD(x0)x0 — prTxr, r = 1,... ,T, (9.7) xo kde C žnaď nakladovou funkci dualní k F. Pokud je inveržní poptavkova funkce D diferencovatelna v x0 > 0 a ÔC(x0, pr)/ôx0 existují, pak podmínky prvního rídu pro r-tí maximaližacní problem v (9.7 dívají podmínku wrD(x0) + wrD'(x0)x0 — ÔC(x0, pr)/ôx0 = 0 nebo, s použitím požorovane prodejní ceny vístupu v r-tem období p0 = wrD(x0), p0 = —wrD'(x0)x0 + ÔC^p) ,r = 1,... ,T. (9.8) Jestliže je níkladoví funkce C diferencovatelní v cenach vstupu v bode (x0, pr) pro každe období r, pak daívaí Shephardovo lemma dodateňcníe rovnice xr = VPC (x0, pr ),r =1,...,T. (9.9) Pňredpoklíadejme, ňže ňcíast inveržní poptíavkovíe funkce, kteraí žíaleňží na x0, lže D(x0) adekvíatnňe aproximovat v relevantním okolí x0 naísledující funkcí: D(x0) = a — P/nx0, (9.10) 214 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII kde a > 0,// > 0 jsou konstanty. Substituce (9.10) do (9.8) dava rovnice p0 = wr// + dC ^ pr) ,r =1,...,T. (9.11) Pri daních pozorovanych rozhodovíních dane firmy o cenach a množstvích p0, pr, x0, x a pfí informaci o w (vetsinou lze predpokladat, že w = 1) muže bít system rovnic (9.9) a (9.11) naraz ekonometricky odhadnut jakmile žníame diferenciaílní funkcionaílní tvar níakladovíe funkce C(x0, p). Pokud je / = 0 v (9.11), pak se producent choví tržne, prodíví-li vístup za cenu p rovnou mezním níkladum, dC(x0, pr)/dx0. Rovnice (9.11) je žíarovenň konžistentní s chovíaním producenta jako monopolisty, kteryí tvoňrí cenu "naivní pňriríaňžkou", neboli "naivní markup", (žaíleňží na hodnotňe w). Maíme tak žaíklad pro statistickíe testovíaní trňžní struktury: (i) když /// = 0, pak je chovíní producenta v souladu s tržní situací znímou jako "price taking"; (ii) kdyR je /// > 0 a /3wr/p0 < 1 pro vsecna r =1, 2, ...,T, pak dostavame chovíní klasickeho monopolisty; (iii) pokud je /// > 0, ale /3wr/p0 > 1 pro nejake r, potom míme chovíní "markup" monopolisty; (iv) když /// < 0, pak nebude chovaní firmy v souladu s žídním ze trí popsaních zpusobu. Tento prístup nabízí oproti predchozím prístupum nekolik víhod: (i) mužeme nyní statisticky testovat soutňeňžní chovíaní; (ii) poňžadavky na informace jsou nížkíe - nepotňrebujeme exogenní informaci o poptíavkovíe elasticitňe; (iii) nemusíme pňredpoklíadat, ňže produkňcní funkce F je je konkíavní, takňže model je konsistentní s rostoucími víynosy ž rožsahu produkce; a nakonec (iv) postup je velmi jednoduchyí - jen vloňžíme podmínku /3wr do rovnice souteže, cena se rovní mezním níkladum. 9.5 Historičke poznamky Zíaklad prvního pňrístupu je v Lau (1974a, str. 193-4; 1978), ale svíe koňreny mía uňž v Hotelling (1932, str. 609). Druhí prístup je v Diewert (1971b), ale koreny jsou v praci Fisch (1936, str. 14). Tretí prístup (izomorfní ke druhemu prístupu) je popsan v Diewert (1974a, str. 155). Ctvrtí prístup je od Appelbaum (1975), kterí požaduje trochu jine predpoklady pro funkcionílní tvar inverzní popavkove funkce. Appelbaum(1975, 1979) take naznacuje, jak by bylo možne jeho prístup rozsírit na nekolik monopolistickích nabídkovích vístupu 10. ZAVER 215 nebo monopsonistickích poptívkovích vstupu a ukazuje príklad empirickeho testovaní zalozeneho na datech o americkeho odvetví zpracovavající naftu a zemní plyn. Dalsí empirickí príklad teto techniky je zalozen na obchodu mezi USA a Kanadou v Appelbaum(1979). (Čtvrtí prístup byl pouzit v Schworm (1980) v kontextu investicní teorie, kde se ceny investicního zbozí odvíjí od nakupovaneho mnozství. 10 Záver Venovali jsme velkou pozornost dualnímu prístupu k mikroekonomicke teorii v Sekcích 2-6 teto kapitoly. V Sekcích 7 a 8 jsme ukazali, jak muze bít teorie duality vyuzito k odvození obvyklích porovnavacích statistickích tvrzení pro teorii výrobcu a spotrebitehi. Bohuzel, pocet del, vyuzívajících teorii duality je tak velikí, ze nejsme schopni je vsechny uvest. 216 KAPITOLA 5. DUALITA V MIKROEKONOMII Literatura [1] R.G.D. Allen : Mathematical economics. Macmillan, London 1963. [2] K.J. Arrow: Social choice and individual values. Wiley, New York 1951, 2nd edition 1963. [3] K.J. Arrow, M.D. Intriligator: Handbook of mathematical economics. Elsevier Science, Amsterdam 1994. [4] C. Berge: Topological spaces, Macmillan, New York 1963. [5] L. Bican : Lineární algebra. SNTL, Praha 19T9. [6] Cellina, A.: A Theorem on the Approximation of Compact Multi-valued Mappings. Rendiconti Academia Nazionale Lincei, (8) 4T (1969), 429-433 [T] G. Debreu: Theory of value, An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. John Wiley & Sons, Inc.,New York, 1959. [8] G. Debreu: Smooth preferences, Econometrica, 38:38T-616, 19T2. [9] Debreu, G.: Ekonomicka teorie v matematické formulaci (prednaska pri prílezitosti udelení Nobelovy ceny), Nobelova cena za ekonomii, Academia, Praha, 1993 21T 218 LITERATURA [10] W.E. Diewert: Duality theory in economics, North Holland, Amsterdam 1982. [11] J. Dupačová, J. Plesník, M Vlach: Linearne programovanie. ALFA, Bratislava 1990. [12] W. Fenchel: Convex cones, sets and functions, Lecture Notes, Department of mathematics, Princeton University, Princeton 1953. [13] J. Green, W.P. Heller: Mathematical analysis and convexity with application to economics in Handbook of mathematical economics, editors K.J. Arrow, M.D. Intriligator, Elsevier Science, Amsterdam 1994, p. 15-53. [14] J.R. Hicks: Value and capital, Oxford University Press, New York 1946. [15] H. Hotelling: Demand functions with limited budgets, Econometrica, 3, 1925, p. 66-78. [16] S. Karlin: Mathematical methods and theory in games, programming and economics, vol. I, Addison-Wesley, Palo Alto, California 1959. [17] I. Kolár: Úvod do Thomovy teorie katastrof, Academia, Praha 1988. [18] H. Minkowski: Theorie der konvexen Körper, Gesammelte Abhandlungen II, B.G. Teubner, Leipzig und Berlin 1911. [19] H. Nikaido: Convex structures and economic theory, Academic Press, New York 1968. [20] J. Novotná: Existence rovnovažného stavu v ekonomice s produkci, Brno, 2002. [21] A. Pultr: Podprostory euklidovských prostoru, SNTL, Praha 1986. [22] R.T. Rockafellar: Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton 1970. [23] P.A. Samuelson: Foundations of Economic Analysis, Cambridge 1963. LITERATURA 219 [24] R.W. Shephard: Cost and production functions, Princeton University Press, Princeton 1953. [25] R.W. Shephard: Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton 1970. [26] R. Sikorski: Diferenciální a integrální pocet funkce vice proměnných, Academia, Praha 1973. [27] S. Smale: Global Analysis and Economics, Handbook of Mathematical Economics. 8.kap. Elsevier Science, Amsterdam, 1994, 331-369. [28] J. Soukupova a kol.: Mikroekonomie. 2.vyd. Management Press, Praha, 1999. [29] J. von Neumann: Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwers-chen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 8:73-83, 1937. [30] M.S. Vosvrda: Teoreticka ekonomie, Univerzita Karlova, Praha 1994. [31] J. Zalská: Teorie všeobecné rovnovahy, vybrane problemy, Brno, 2000. Index A aditivita vírobních planu 93 alokace 144 Arrowova-Debreuova vňeta 99 C cena komodity 123 cenovyí systíem 141 E ekonomika uíplníe smňeny 143 F falesna nabídka firmy 105 faleňsnía poptaívka 106 faleňsnyí pňríjem spotňrebitele i 106 funkce faleňsníe poptíavky 145 funkce kolmía k prostoru 125 funkce nabídky 124 funkce ostňre kvažikonkíavní 73 funkce poptaívky 124, 141 funkce splnňující podmínku ostríe konvexity 99 funkce uňžiteňcnosti 141 I ižolovanía komunita 160 K komoditní prostor 123 komoditní svažek 123 konkurenňcní rovnovaíňžníy stav 144 konstantní víynosy ž rožsahu 93 kritickíy bod žobražení 127 krivka rožvoje príjmu 143 L lokíalní Paretovo optimum 147 lokaílní silníe Paretovo optimum 147 M moňžnost ňžíadníe produkce 92 N nadbytek poptaívky 124 nemoňžnost volníe produkce 93 220 INDEX 221 P Paretovo optimum 147 plnaí míra mnoňžiny 128 poňcaíteňcní obdaňrení agenta 106 podmínka nedegenerovanosti 153 podmínka nenasycenosti 146 podmínka volníeho pouňžití 92 poptíavka 141 poptaívka i-tíeho spotňrebitele 106 prostor cenovích systemnů 123 pňrípustnía alokace 144 R regulíarní hodnota 127 rovnovíaha ekonomiky 98 rovnovíaha k volníemu pouňžití 134 rovnovíaňžnyí stav 124 rovnovíaňžnyí stav ekonomiky blahobytu 155, 159 rožpoňctovía mnoňžina 141 S silníe Paretovo optimum 147 singulíarní bod žobražení 127 singulaírní hodnota 127 stav ekonomiky 144 stav y dominuje stav x 147 striktnňe konvexní mnoňžina 99 W Walrasovuv rovnovážná stav 144 Walrasuv zákon 125