evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Sbírka pro předmět Středoškolská fyzika v příkladech 1 a 2 Termodynamika a statistická fyzika: ideální plyn - zadání Řešení 1. Válec délky / = 60 cm, naplněný vzduchem atmosférického tlaku p = 72cmHg, byl ponořen dnem vzhůru do rtuti. Jak dlouhý je vzdušný sloupec, je-li dno válce h = 4 cm nad hladinou rtuti (viz obrázek 1)? Obrázek 1: [40 cm] 2. * Působí-li 1 g slitiny zinku a kadmia na kyselinu sírovou, vyvine se při teplotě t = 26° C vodík objemu V = 230 cm3. Určete složení slitiny. [Zn 0,074 g, Cd 0,926 g] 3. *Kolik litrů vodíku teploty t = 36,44° Ca tlaku p = 1,6 at vznikne, působí-li 14 g zinku na kyselinu sírovou? [3,41] 1 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ 4. Kolikrát musíme stlačit píst hustilky, která má objem 40cm3, abychom naplnili vzduchem prázdnou pneumatiku jízdního kola tak, aby styčná plocha pneumatiky s vozovkou byla 60 cm2? Zatížení kola je 35 N, objem pneumatiky 2000 cm3. Tuhost pneumatiky zanedbejte. Předpokládejte, že atmosférický tlak je 100 000 Pa. [73 krát] 5. Dva balóny jsou spojeny trubkou s kohoutkem. (a) V prvním baloně je plyn při tlaku p\ = 760 mm Hg, tlak plynu ve druhém balóně je velmi malý (p2 = 0). Objem prvního balónu je V\ =21, objem druhého balónu je V2 = 71. Jaký bude výsledný tlak v balónech, jestliže je otevřením kohoutku spojíme? Teplota je konstantní. (b) Řešte tuto úlohu, je-li ve druhém baloně tlak p2 = 400 mm Hg. [p = P1V1+P2V2 (a) 169 mm Hg 480 mm Hg] 6. ** Do rtuťového manometru se dostala bublinka vzduchu, a proto barometr ukazuje menší tlak, než je ve skutečnosti. Pro srovnání se správným barometrem se ukázalo, že při tlaku 768 mm Hg barometr ukazoval 748 mm Hg, přičemž vzdálenost horní hladiny rtuti od horního konce trubice byla 80 mm. Jaký je správný tlak, ukazuje-li barometr (se vzduchem nad rtutí) 734 mm Hg (při stálé teplotě)? [751mmHg] 7. ** V trubici dlouhé / = 70 cm, postavené zataveným koncem dolů, je sloupec vzduchu uzavřený shora sloupcem rtuti o výšce h = 20 cm. Rtuf dosahuje až k hornímu okraji trubice (viz obrázek 2). Trubici opatrně obrátíme. Část rtuti vyteče. (a) Jak vysoký sloupec rtuti zůstane v kapiláře, je-li barometrický tlak 750 mm Hg? (b) Za jaké podmínky vyteče rtuf z kapiláry úplně? [(a)x= £±í _ + /)2 - Ah(H + h - l) = 3, 5 cm (b) / - h > H] 8. ** Bomba o objemu 201 je naplněna stlačeným vzduchem. Při teplotě t = 20°C ukazuje manometr tlak 12 MPa. Jaký objem vody je možné vytěsnit z komory ponorky vzduchem z této bomby, jestliže je ponorka 30 m pod hladinou a teplota je 5°C? Počítejte, že sloupec vody výšky deset metrů působí tlakem 100 000 Pa a že atmosférický tlak je 100 000 Pa. [5541] 2 sociální -;- MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OPVzdelavam ?v.^-^^ fond V CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy pro konkurenceschopnost ^4NA* INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Obrázek 2: 9. * Plynovodním potrubím teče oxid uhličitý při tlaku p = 400 000 Pa a při teplotě 7°C. Jaká je rychlost plynu v potrubí, jestliže za dobu r = 10 min proteče m = 2 kg oxidu uhličitého, je-li plocha průřezu potrubí S = 5 cm2? [u mRT MmpSr O^m.s-1] 10. Načrtněte přibližně grafy izochorického, izobarického, adiabatického a izotermického děje v diagramech: (a)T,p (b)T, V (c)T, U (d)V, ř/. [viz obrázek 3] 11. * Jaké měrné tepelné kapacity cp a cv má směs mi = 2 g oxidu uhličitého a m2 = 3 g dusíku? [ = cv,mi+cV2m2 = 707j.kg-iK-i c = 963 J.kg-^-1] v mi+mj o ť oj 12. *Určete podíl k = ^ pro směs 3 molů argonu a 5 molů kyslíku. [k = 1,47] 13. Ve válci spalovacího motoru vybuchne hořlavá směs. Jaká teplota t2 a jaký tlak p2 se vyvine při výbuchu při těchto podmínkách: Objem válce je 101, tlak před 3 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 3: výbuchem je p\ = 500 000 Pa a teplota tx = 210° C; množství petroleje ve směsi je m = 0, 9 g měrná tepelná kapacita spalin je cy = 712 J.kg^K-1, podíl molární plynové konstanty a molární hmotnosti je B = jj- = 280 J.kg_1K_1 a měrné spalné teplo petroleje je q = 41, 7MJ.kg_1. Poznámka: Považujte zahřátí při výbuchu za izochorický děj, neuvažujte změnu objemu při výbuchu. [1600° C, 2MPa] 14. Počáteční tlak dvouatomového plynu byl p0 = 12 MPa a objem V0 = 11. Jaké byly tlaky plynu při objemech Vi = 21, V2 = 31, V3 = 41 a V4 = 51, (a) jestliže se plyn rozpínal adiabaticky (b) jestliže se plyn rozpínal izotermicky? (c) řešte tuto úlohu pro jednoatomový plyn. Pro první dvě situace zakreslete změnu tlaku v diagramu V,p. [(a) (b) viz obrázek 4] 15. * Na obrázku 5 je nakreslen diagram děje v ideálním plynu. Co se děje s plynem, když přejde ze stavu 1 do stavu 2? Jaká je měrná tepelná kapacita plynu při tom ději? [tlak roste s VŤ, cv + ^f- 4 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 4: 0 1 2 3 4 5 V[l] 16. ick Na počátku určitého polytropického děje tlak a objem dané hmotnosti kyslíku byly 2,31 a 1 atm, na konci děje byly 4,11 a 0,5 atm. Teplota na začátku děje byla 26° C. Určete: (a) exponent v polytropické rovnici (b) práci vykonanou rozpínajícím se kyslíkem (c) množství tepla, které obdrží kyslík od okolního prostředí (d) změnu vnitřní energie kyslíku. [(a) 1,2 (b) 127J(c) 63,5J(d) -63,5J] 17. * Ve válci pod pístem je v uzavřeném objemu vzduch (viz obrázek 6). Jaká práce se musí vynaložit, aby byl stlačen píst o hx = 10 cm, je-li počáteční výška sloupce vzduchu h0 = 15 cm a vnější tlak p0 = 760 mm Hg. Plocha pístu S = 10 cm2. Hmotnost pístu zanedbejte. Teplota se nemění. [W = PoS (h± - h0 ln ) = 2, 37 J] 18. * 1 kg vzduchu při počátečním tlaku 100 000 Pa je stlačován na tlak 1000 000 Pa. Určete práci, která se vykoná při stlačování vzduchu, jestliže (a) stlačování se děje při stálé teplotě, (b) stlačování se děje adiabaticky. 5 sociální MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OPVzdělávání mládeže a tělovýchovy pro konkurenceschopnost fond V ČR EVROPSKÁ UNIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁN Obrázek 5: P i V [(a) 193kJ(b) 195 kj] 19. Přístroj zakreslený na obrázku 7 - vzduchové křesadlo - slouží k demonstraci zahřátí vzduchu při adiabatickém stlačení. Určete teplotu vzduchu v křesadle při rychlém zmenšení objemu na ^ původního objemu, byla-li počáteční teplota 15° C. [450°C] 20. * 8 g kyslíku při teplotě 27°C zaujímá objem 0,41. Vypočítejte práci plynu v těchto případech: (a) Plyn se rozepne adiabaticky na objem 4,11. (b) Plyn se rozepne izotermicky na objem 4,11 a potom se ochladí při nezměněném objemu na takovou teplotu, která vznikla na konci adiabatického rozepnutí. Jak se vyloží rozdíl mezi prací v případě (a) a mezi prací v případě (b)? [(a) 938 J (b) 1436 J] 6 sociální MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost fond V ČR EVROPSKÁ UNIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁN Obrázek 6: U 21. ** Ve válci uzavřeném na obou koncích a naplněném vzduchem je píst, který rozděluje objem válce na dva stejné díly (viz obrázek 8). Tlak vzduchu na obě strany pístu je po = 100 000 Pa. Píst je vychýlen nepatrně z rovnovážné polohy a puštěn. Začne kmitat, při čemž děje v plynu můžeme pokládat za adiabatické (izotermické). Vypočítejte periodu těchto kmitů, jestliže hmotnost pístu je m = 1, 5 kg, vzdálenost pístu od stěny je / = 20 cm a plocha pístu je S = 100 cm2. Tření je zanedbatelné. [T = 2tt ml 2S~po(k) =0,05 s (=0,036 s)] 22. * Dokažte, že pro jednoatomové plyny je součin pV přibližně roven | vnitřní ener- gie plynu, pro dvouatomové plyny | vnitřní energie plynu! [vyjděte z ekvipartičního teorému] 23. * Jaká je změna vnitřní energie dusíku, který má při normálním tlaku objem V\ 101, jestliže se rozepne na objem V2 = 121 (a) izobaricky? (b) adiabaticky? 7 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 7: [(a) AU p(V2-Vi) K-l 494 J (b) AU = ^ 1 - 1 1 v2 K-l -178 J] 24. Jakési množství suchého vzduchu stoupá v atmosféře. (a) Předpokládejme, že rozpínání vzduchu při stoupání se děje izotermicky. Dokažte, že za tohoto předpokladu se výška h, do které vzduch vystoupil, vypočte podle vzorce CpT0 k-l po h cpT0 k-l g k ' p kde T0 je teplota a p0 tlak na povrchu zemském, p je tlak ve výšce h. (b) Předpokládejte, že rozpínání vzduchu se při stoupání děje adiabaticky. Dokažte, že to vede k barometrickému vzorci tohoto tvaru: h cpTo I" - (c) Vypočítejte, vycházejícíce jednou z prvního a po druhé z druhého předpokladu, v jaké výšce je tlak vzduchu dvakrát menší než na povrchu zemském. Teplota na povrchu zemském je 14 °C. [5900 m a 5350 m] 25. ** Bomby, jejichž objemy jsou V\ a V2, obsahují dva plyny, které mají tlak p\ a p2 a teplotu Ti a T2. Bomby jsou spojeny trubicí opatřenou kohoutkem. Když kohoutek otevřeme, nastane smíšení plynů a ustálí se výsledný tlak p a výsledná 8 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 8: Po 1 m,S Po 1 teplota T. Dokažte: V případě, že poměr ^ je u obou plynů stejný, platí rovnice PiVí +P2V2 P T V1 + V2 P1V1 +P2V2 P1V1 i P2V2 Ti ^ T2 Bomby jsou z materiálu, který nevede teplo. [uvažujte o vnitřní energii plynů] 26. Na obrázku 9 je „teoretický" pracovní diagram komprese (při experimentálních měřeních jsou rohy zakulacené). Část AB odpovídá izotermickému stlačení vzduchu, BC protékání vzduchu do rezervoáru kompresoru (tlak zůstává konstantní), CD okamžitému snížení tlaku ve válci kompresoru při uzavření výpustného otvoru a otevření otvoru sacího, DA sání vzduchu při tlaku jedné atmosféry. Dokažte, že celková práce kompresoru v jednom cyklu se rovná práci vykonané při izoter-mickém stlačení vzduchu a její velikost je dána plochou ABGR 27. * Kompresor má dodávat za jednu hodinu 50 m3 stlačeného vzduchu o tlaku 800 000 Pa. Kompresor je ochlazován protékající vodou, takže stlačování můžeme považovat za děj izotermický. (a) Jaký výkon musí mít motor pohánějící kompresor, je-li účinnost kompresoru 60%? (b) Jaké množství chladící vody proteklo kompresorem, ohřeje-li se voda v chladiči z 11°C na 17°C? Vnější tlak je roven tlaku atmosférickému. [(a) 37,8 kW (b) 3250 kg.tr1] 9 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 9: p ° V2 Vt v 28. Na obrázku 10 je „teoretický" pracovní diagram cyklu výbušného motoru. Děj 1-2 je stlačení hořlavé směsi, 2-3 je výbuch, 3-4 pracovní chod, 4-5 pokles tlaku při otevření výpustního ventilu; 5-6 je výfuk plynů, které vykonaly práci, 6-1 je sání hořlavé směsi. Za předpokladu, že děje 1-2, 3-4 mohou být považovány za adiabatické a že děje 2-3,4-5 mohou být zaměněny izochorickými ději, vypočítejte teoretickou účinnost stroje, je-li známo, že ^ = 4; ^ pro hořlavou směs a pro produkty hoření je 1,3. 1 3 Obrázek 10: 2 4 6 1(5) V2 Vt v [r7 = 0,34] Literatura a prameny k dalšímu procvičování [1] Kolářová Růžena, Sálach S., Plazak T., Sanok S., Pralovszký, B.,500 testových úloh z fyziky pro studenty středních škol a uchazeče o studium na vysokých školách. Prome- 10 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ theus, Praha 2004, 2.vydání. [2] Široká Miroslava, Bednařík Milan, Ordelt Svatopluk Testy ze středoškolské fyziky. Prométheus, Praha 2004, 2. vydání [3] Lepil Oldřich, Široká Miroslava Sbírka testových úloh k maturitě z fyziky. Prométheus, Praha 2001,1. vydání [4] Ostrý Metoděj, Fysika v úlohách 516 rozřešených příkladů, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1958 [5] TypBeB JI. I\, KopTHeB A. B., Kyu,eHKo A. H., JlaTBeB B. B., MiiHKOBa C. E., IlpoTononoB P. B., PyÔJieB K). B., TniijeHKO B. B., IIIeneTypa M. H., CôopnuK 3adaH no o6cw,eMy nypcy KeHu,eB B. B., MaKHnieB T.JL, 3adanu no (pumne ôjičt nocmynawv^ux e ey3u, HayKa, MocKBa 1987 [9] Koubek Václav, Lepil Oldřich, Pišút Ján, Rakovská Mária, Široký Jaromír, Tomanová Eva, Sbírka úloh z fyziky 11.díl pro gymnázia, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1989 [10] Ungermann Zdeněk, Simerský Mojmír, Kluvanec Daniel, Volf Ivo, 27. ročník Fyzikální olympiády brožura, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1991 [11] Klepl Václav, Elektrotechnika v příkladech, Práce, Praha 1962 [12] Říman Evžen, Slavík Josef B., Šoler Kliment, Fyzika s příklady a úlohami, příručka pro přípravu na vysokou školu, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1966 [13] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy I, Prométheus, Praha 2007 [14] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy II, Prométheus, Praha 2008 [15] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy III, Prométheus, Praha 2008 [16] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy IV, Prométheus, Praha 2008 [17] vlastní tvorba 11