Jednočásticové excitace v supravodičích a ve fermionových supratekutinách Dominik Munzar Brno, 2. 11. 2011 1/19 Osnova 1. Základní pojmy 2. Shrnutí teorie BCS • Cooperův problém • Schriefferův ansatz • Přechod BEC —> BCS ve fermiónových plynech • Jednočásticové excitace (Bogoljubovovy excitace) 3. Projevy Bogoljubovových excitací ve fotoemisních spektrech 4. Závěrečné poznámky 2/19 Definice supravodiče a kritická teplota 1.2 " — BaFe2As2 --- 1.0 - —•— KFe2As2 f 0.8 Supravodič 0.6 0.4 Normální vodič 0.2 0.0 ..... [50 100 150 200 250 300 Temperature (K) 0.0 - "3" -0.5 -1.0 ReFeAsO H = 1 Oe 180 160 140 120 ^ 100 ^ 80 60 40 20 0 Hg-Ba-Ca-Cu-0 (p=30 GPa) Hg-Ba-Ca-Cu-0 Tl-Ba-Ca-Cu-0 I Bi-Sr-Ca-Cu-0 I Y-Ba-Cu-0 f „Kupráty Heike Kamerlingh Onnes NbN Nb~ Hi Pb La-Ba-Cu-0 NbjSn NbJ°e_ VjSi Nb-Al-Ge SmFeAsO . • D Duben 1986 LaFeAsO „Arsenidy železa" iben 2008 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 HldeoHoSono ROK _ 0 10 20 30 40 50 60 70 Temperature (K) Rotteretal., PRL, 2008. Ren et al., Europhys. Lett., 2008. J. Georg Bednorz K. Alexander Müller 3/19 • Supra vod ivost=supratekutost nabitých částic. K příčinám supratekutosti • Landau: supratekutost způsobena vlastnostmi disperzní relace kolektivních módů (zejména linearita Eik) pro malé hodnoty k, totéž zařídí en. mezera). helia z nádoby skupiny na MIT 4/19 The Nobel Prize in Physics 1972 "for their jointly developed theory of superconductivity, usually called the BCS-theory" John Bardeen £> 1/3 of the prize USA University of Illinois Urbana, IL, USA b. 1908 d. 1991 Leon Neil Cooper © 1/3 of the prize USA Brown University Providence, Rl, USA b. 1930 John Robert Schrieffer © 1/3 of the prize USA University of Pennsylvania Philadelphia, PA, USA b. 1931 • Bardeen: přitažlivá interakce mezi elektrony vyvolaná elektron-fononovou interakcí. • Cooper: libovolně slabá přitažlivá interakce vede ke vzniku párů elektronů (Cooperovy páry). • Schrieffer: matematický popis kondenzátu párů (Schriefferova funkce). 5/19 Cooperův problém • Elektrony interagují s potenciální energií V(r\ — r2). • Řešení hledáme ve tvaru *(ri, r2, (Ji, a2) = (J)(rT)ifj(r)x((Jh cr2), 1 1 • Vlnovou funkci ip lze psát ve tvaru Vil kr k,|k|>/jj7 • Po dosazení do Schródingerovy rovnice dostaneme (energie páru E vztažená k 2Ep) frk2 , Vkk'9k' = {E + '2EF)gk , ek = k' • Rovnici lze řešit analyticky pro 2ek9k + J2 Vw9* = (E + 2EF)9k , ek = Vkk, = ^J y(r)e-^k-k>dr . Vkk' = — t^k^k', wk = 1 pro 0 < ek — í?f < Ťiujd i wk = 0 pro ek — .Ep > Hujd Cooperův problém - pokračování M COLUMNS■ 0 -V -V -V -V o -v • -v-v o -v For V = 0, M levels at F, = 0 Fig. 3 -V o -v -v-v o M ROWS • v • o -(M-I)V For V > 0,M —I levels at E —V and one level at E =—(M—1) V Příklad matice vystupující ve Schr. r. pro funkci 9k c • Výsledky: gk = ~E+2EF_2e]i pro ek — Ep < hwp, (oblast IS), = 0 jinak, povolené hodnoty energie řešením rovnice 1 = E 1 n ^ E + 2EF - 2ek • Vždy existuje jedno řešení o záporné energii E. Za předpokladu, že Ep » Hlúd, pro ně dostaneme \U\D(Ep] In E - 2huD E Za předpokladu, že \U\D(EF) « 1, dále dostaneme E = -2huDe~\lWF^ . • Rozměry páru. Odmocnina ze střední hodnoty kvadrátu vzdálenosti je rovna -^^p- 7/19 Schriefferův ansatz k\o -k\ uh -k\o k\ o + vk -k\ • k\ • 0< uk & diatomic molecules Cindy Regal, Ph.D thesis 3Sm _ 5 strongly interacting pairs Cooper pairs LU =3. • Zde kp je poloměr Fermiho koule, a veličina o rozměru délky charakterizující sílu interakce. 71 R a 2 1 + (27^2JR/l;o), Ketterle a Zwierlein, arXiv:0801.2500vl kde vo je mVo/(47rh2), Vo je Fourierova komponenta potenciální energie mezifermionové interakce, Vo < 0, h/R}e ,,cut-ofF' pro vlnový vektor. 1/kpa < 0 slabá interakce ... velké páry, BCS. 1/kpa > 0 silná interakce ... malé páry, BEC. 10/19 Přechod BEC-BCS - pokračování 0.5 1 1.5 2 k/kF Ketterle a Zwierlein. arXiv:0801.2500vl 1/kFa = 1 1/kFa = 0 kFr kFr Ketterle a Zwierlein, arXiv:0801.2500vl Nalevo: obsazení jednofermionových hladin v závislosti na l/{kpd). Dole:vlnová funkce páru v závislosti na l/(kpa). 0 10 20 30 0 20 40 60 kFr kFr 11/19 Jednočásticové excitace • Cíl: hamiltonián #r'ed = H - flN = ^ £kcksCks + Yl VWCt]C\lC-k'|Ck'T = ^CÍsC^ + ^kk'í &k' , ks kk' ks kk' kde by. = Cfc|C+k|, &k = c kjCkt a £k = £k — ££, převést do tvaru odpovídajícího systému neinteragujících fermionů. • Přiblížení středního pole. Ve stavu mají operátory 6k a &k nenulovou střední hodnotu: (*5|&í 1*5) = (*s|&k|*s) = ukvk = qk . Lze předpokládat, že pro nízkoexcitované stavy se tyto operátory příliš od svých středních hodnot neliší. Tj., lze psát K = * + 5b£ , 6k = qk + čfrk a předpokládat, že fluktuace 5 jsou malé. Po zanedbání členů druhého řádu v ô H[eá —> HMf, kde HMf = Y ^kCksck,s - Y AkcfTcíki - Y Akc k|Ckt + ^ Akgk , k,s k k k Ak = - Y ^kk'tfk' • k' 12/19 Jednočásticové excitace - pokračování HMF = ^2 ^kcf sCk;S - ^2 AkCktC-k| _ AkC k|CkT + ^ Ak% • k,s k k k • Bogoljubovova transformace. ck|, c-k|, cj?, cíki -> 7ok, 7ik, 7ok> 7Í > 7ok = wkckT - ^kcíki, 7Ík = ^kCkt + ukctkl. Při vhodné volbě parametrů, wk, vk, přejde í?mf do tvaru HM - konst. + ^2 Ek[lok7ok + 7Í7ifc], k tj. hamiltonián souboru nezávislých fermionů, tzv. Bogoljubovových excitací s disperzní relací Ek = + Ak. Podmínka selfkonsistence: Ak = - E^'^ŕt1 - 2/^(^)1. k' 13/19 Dispersní relace a hustota stavů pro Bogoljubovovy excitace -3 -2 \ 1 1 2 3 t ^>i N(E)/N(0) 3 2 Normál Superconducting 2 3 E -i / ■'' -i- -2--3 • V normálním stavu je hustota stavů N(E) v okolí Fermiho energie slabě závislá na energii, N{E) « N{0). • V supravodivém stavu je = 0 pro energie menší než A. Vzorec pro NS(E) lze odvodit takto. Z vzájemně jednoznačné korespondence mezi excitovanými stavy normálního kovu a exc. stavy supravodiče vyplývá Na(E)dE = Nn(Z)á£, NSC(E) = NSC(E) _ ᣠ_ á^/W^ě__E_ Nn{i) Nn{0) ' dE ~ dE VE2 - A2 ' 14/19 Projevy Bogoljubovových excitací ve fotoemisních spektrech • Spektrální funkce A(k,E). Zhruba: hustota stavů pro dané k. Přesněji: A(k,E) = A|_(k, E) + ^4_(k, —E), kde A+ je energiové spektrum stavu systému s elektronem přidaným do stavu s vlnovým vektorem k, energie vztaženy k Eq + /i; podobně A je energiové spektrum stavu systému s elektronem ubraným ze stavu s vlnovým vektorem k, energie vztaženy k Eq — /i. • Spektrální hustota. Zhruba: hustota stavů. Přesněji: A(E) = ^2kA(k,E). • Vztah mezi spektrální funkcí a spektrální hustotou /(k, E) fotoelektronů o daném k: /(k, E') - A(k, E = hv-E' - W)fFD{E). Matsui et al., PRL 2003. 15/19 Fotoemisní spektra pro supravodič BÍ2223 VOLUMli 90, NUMBĽR 21 PHYSICAL REVIEW LETTERS week endi ns> 30 MAY 2003 BCS-Like Bogoliubov Quasiparticles in High-Tc Superconductors Observed by Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy H. Matsui,1 T. Sato,1 T. Takahashi,1 S.-C. Wang,2 H.-B. Yang,2 H. Ding,2 T. Fujii,3-* T. Watanabe ,4-'' and A. Matsuda4 1 Department of Physics, Tohoku University, Sendai 980-8578, Japan 'Department of Physics, Boston College, Chestnut Hill, Massachusetts 02467, USA ^Department of Applied Physics, Faculty of Science, Science University of Tokyo, Tokyo 162-8601, Japan 4NTT Basic Research Laboratories, Atsugi 243-0198, Japan (Received 6 August 2002; published 29 May 2003) 80- IK2223 OD108K T=60K (37t/2, -it/2) .{3tó, Hü/2) 100 Er 80 40 80 40 £F -40 -80 Wave vector Binding Bnergy (mcV) FIG. 2 (color), (a) ARPFS spectra of Bi2223 in the normal state (140 K) measured along a yellow line in the Brillouin zone shown in the inset in (c). Spectrum at kF is indicated by a dark red line, (b) ARPES spectra taken under the same condition as in (a) but at Ihe superconducting stale (60 K). (c) Same as (b) in an expanded intensity scale above Et. (d) ARPES spectra in (b) divided by the FD function at 60 K convoluted with a Gaussian reflecting the instrumental resolution. Spectrum at kj. is indicated by a dark green line. Red lines are fitting curves for unoccupied states using a Lorentzian with energy-dependent broadening factor. Fittings are restricted to the spectra of which peak positions arc located within 5kRT from EF. (e) Intensity plot of normalized ARPES spectra in (d) as a function of binding energy and wave vector. Momentum region is the same in (a)-(d). 16/19 Matsui et al., PRL 2003. 17/19 Fotoemisní spektra pro systém fermionových atomů (40K) measured kinetic energy, ek = fi2l^l2m. Here h = hi2%, where h is Planck's constant, and m is the particle mass. By conservation of energy, we can determine the energy of the original single-particle state, Es, using Es = £k + BCS. • Energiová mezera a Bogoljubovovy excitace pozorovány ve fotoemisních spektrech kuprátových supravodičů (energie fotonů v eV, charakteristické energie v meV) i ve spektrech systémů se supratekutými fermionovými kondenzáty (energie fotonů a charakteristické energie v řádu 10 kHz). • Příští týden kurz Vladimíra Krasnova Tunneling experiments on superconductors". N. N. Bogoljubov