příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
PŘÍKLADY APLIKACE
GEOFYZIKÁLNÍCH
METOD
(seismika)
J. Havíř
Josef.Havir@ipe.muni.cz
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
PŘÍKLAD 3: MOCNOSTI ZEMSKÉ KŮRY Z HODOCHRONY LOMENÉ
VLNY (SEISMIKA)
Problém: Při seismickém experimentu byla získána data, z nichž byla
sestrojena hodochrona přímé vlny Pg a vlny lomené podél MOHO
rozhraní Pn. Chceme určit rychlosti vln Pg a Pn a mocnost kůry.
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Vyjdeme z dvouvrstevného modelu. První vrstva bude representovat
zemskou kůru, druhá vrstva zemský plášť.
Známe hodochrony přímé a lomené vlny. Hodochrona je křivka
popisující závislost mezi časem detekce a vzdáleností od bodu odpalu.
V homogenním prostředí je tato závislost přímková.
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Hodochrona vlny přímé
Přímá vlna se pohybuje pouze 1.vrstvou a to po nejkratší dráze. Je
detekována v epicentrální vzdálenosti x v čase t, pro který platí:
kde v1 je rychlost seismické vlny v 1. vrstvě.1v
x
t 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Zdroj seismického signálu (místo odpalu nálože při seismickém
experimentu) se nachází na povrchu.
Přímá vlna je tedy detekována v místě odpalu (x=0) v čase t=0 a její
hodochrona prochází počátkem souřadné soustavy.
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Pro rychlost v1 tedy platí:
Epicentrální vzdálenost x a k ní příslušný čas detekce t můžeme odečíst
přímo z hodochrony.
t
x
v
v
x
t 1
1

příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Snadno pak určíme hodnotu rychlosti v1:
1
1 m.s5935
7,33
200000
t
x
v 

příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Hodochrona vlny lomené
Dráha lomené vlny je komplikovanější.
Lomená vlna se šíří 1.vrstvou rychlostí v1, na rozhraní 1. a 2. vrstvy se
láme podél rozhraní, kudy se šíří rychlostí v2, a pak se opět vrací k
povrchu 1.vrstvou rychlostí v1.
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Aby se vlna lámala podél rozhraní, musí na něj dopadat pod kritickým
úhlem i, který odvodíme ze Snellova zákona.
Willebrord van Roijen Snell
(1580-1626)
2
2
1
1
v
sin
v
sin 

příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Při dopadu pod kritickým úhlem 1=i se paprsek láme podél rozhraní,
tj. 2=90°.
   
221
2
2
1
1
v
1
v
90sin
v
isin
v
sin
v
sin





příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Kritický úhel i si tedy můžeme vyjádřit vztahem:
Zatím ale neznáme rychlost v2.
    






2
1
2
1
21 v
v
arcsini
v
v
isin
v
1
v
isin
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Odvodíme si závislost mezi epicentrální vzdáleností a časem detekce
lomené vlny. Základem opět bude obecný vztah, že čas detekce je přímo
úměrný dráze paprsku a nepřímo úměrný rychlosti:
kde d je dráha paprsku.
v
d
t 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Dráhu paprsku (d) i epicentrální vzdálenost (x) si můžeme rozdělit na tři
úseky:
321
321
xxxx
dddd


31
31
xx
dd


příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Pro úsek d1 platí:
)icos(
h
d
d
h
)icos( 1
1

příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Totéž platí pro úsek d3:
)icos(
h
dd 13 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Pro úsek d2 platí:
Protože platí:
)xx(xxd 3122 
31 xx  )x2(xd 12 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Pro úsek x1 platí:
)i(tg.hx
h
x
)i(tg 1
1

příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Tedy, pro úsek d2 platí: )x2(xd 12 
)i(tg.hx
h
x
)i(tg 1
1

))i(tg.h.2(xd2 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Přitom drahami d1 a d3 se signál šíří rychlostí v1, dráhou d2 se signál šíří
rychlostí v2. Pro čas detekce t tedy platí:
1
3
2
2
1
1
v
d
v
d
v
d
t 
2
2
1
1
31
v
d
v
2.d
tdd 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Tedy:
212
2
1
1
v
2.h.tg(i)x
v
cos(i)
h
2.
v
d
v
2.d
t


))i(tg.h.2(xd2 
)icos(
h
d1 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
221
21
v
2.h.tg(i)
v
x
.cos(i)v
2.h
v
2.h.tg(i)x
v
cos(i)
h
2.
t




Tedy:
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Ze Snellova zákona víme, že:
 
 icos.v
2.h.v
v
x
.cos(i)v
2.h
t
icos.v
2.h.sin(i)
v
x
.cos(i)v
2.h
t
2
1
21
221
2


2
1
v
v
sin(i) 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Upravíme:
 










2
1
12
2
1
21
2
2
v
v
v
1
cos(i)
2.h
v
x
t
icos.v
2.h.v
v
x
.cos(i)v
2.h
t
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Pro goniometrické funkce platí:
Přičemž:
Takže:
 
1
2
21
2
2
2
1
2
2
1
12
v
icos
.
cos(i)
2.h
v
x
v
v
v
-1
.
cos(i)
2.h
v
x
t
v
v
v
1
cos(i)
2.h
v
x
t
2











     isin1icos1icos(i)sin 222

    2
2
2
12
2
2
2
1
2
1
v
v
1icos
v
v
1icos
v
v
sin(i) 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Tedy:
   
121
2
2 v
icos
2h
v
x
t
v
icos
.
cos(i)
2.h
v
x
t 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Všimněte si, že vztah:
je rovnicí přímky.
Přitom sklon přímky je úměrný rychlosti v2 a přímka protíná svislou osu v
čase t0, který získáme dosazením x=0:
 
12 v
icos
2h
v
x
t 
 
 
1
0
12
0
v
icos
2ht
v
icos
2h
v
0
t


příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Ze sklonu hodochrony lomené vlny tedy můžeme odvodit rychlost v2:
1
2 m.s8403
9,11
100000
t
x
v 




příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Z času t0, který odečteme jako průsečík prodloužení hodochrony lomené
vlny se svislou osou, můžeme určit hloubku rozhraní mezi první a druhou
vrstvou:
 
 i2cos
vt
h
v
icos
2ht 10
1
0 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
s5,7t0 
t0
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Dosadíme:
Ještě musíme dopočítat kritický úhel i.
   icos2
59355,7
i2cos
vt
h 10 

1
1 m.s5935v 
 s5,7t0 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Protože ze Snellova pravidla:
1
1 m.s5935v 

1
2 m.s8403v 








2
1
v
v
arcsini






 9,44
8403
5935
arcsini
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Můžeme tedy dosadit i hodnotu kritického úhlu i:
   
km4,31
44,9cos2
59355,7
i2cos
vt
h 10




příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Závěr:
Rychlost přímé vlny Pg = 5935 m.s-1.
Rychlost lomené vlny Pn = 8403 m.s-1.
Mocnost zemské kůry je 31,4 km.
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Typy možných praktických otázek pro závěrečný test:
Snellovo pravidlo - obecná aplikace:
Urči úhel, pod kterým se signál bude lámat do druhé vrstvy, jestliže na
rozhraní mezi 1. a 2. vrstvou dopadl pod úhlem 25°, rychlost v1 v
1.vrstvě je 500 m.s-1 a rychlost v2 ve 2. vrstvě je 750 m.s-1.






 39
v
sin.v
arcsin
v
sin
v
sin
1
12
2
2
2
1
1 


příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Snellovo pravidlo - lomená vlna:
Urči kritický úhel, pod kterým se signál bude lámat do druhé vrstvy,
jestliže na rozhraní mezi 1. a 2. vrstvou dopadl pod úhlem 25°, rychlost
v1 v 1.vrstvě je 500 m.s-1 a rychlost v2 ve 2. vrstvě je 750 m.s-1.






 39
v
sin.v
arcsin
v
sin
v
sin
1
12
2
2
2
1
1 


příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
rychlost přímé vlny:
Urči z hodochrony přímé vlny její rychlost .
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 50 100 150 200 250 300
vzdálenost (metry)
čas(milisekundy)
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
1
600
t
d
v 
 ms
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
rychlost lomené vlny:
Urči z hodochrony lomené vlny její rychlost .
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250
vzdálenost (metry)
čas(milimetry)
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
1
900
t
d
v 
 ms
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
PŘÍKLAD 4: HLOUBKA A SKLON ROZHRANÍ Z HODOCHRONY
ODRAŽENÉ VLNY (SEISMIKA)
Problém: Na seismickém profilu byl v rámci studia reliéfu podloží
sedimentárního bazénu umístěn ve staničení x=0 bod odpalu a v
intervalu -400m až +400m byly rozmístěny geofony, které registrovaly
čas příchodu vlny odražené od dna bazénu. Chceme určit normálovou
hloubku (hloubka kolmo na rozhraní) a úklon dna. Rychlost seismických
vln byla 2000 m.s-1. x [m] t [ms]
-400 432.2
-300 404.0
-200 380.3
-100 362.0
0 350.0
100 344.9
200 346.9
300 356.0
400 371.7
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Odražená vlna
V případě vodorovného rozhraní je délka dráhy do místa odrazu stejná,
jako délka dráhy z místa odrazu. Z pravoúhlého trojúhelníka snadno
odvodíme:
kde d je dráha paprsku odražené
vlny a  je úhel dopadu
 
d
2h
2
d
h
αcos 







příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Z obecného vztahu:
Získáme:
 αcos
2h
d 
1v
d
t 
  1v
1
αcos
2h
t 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Z Pythagorovy věty plyne:
222
bac 
Pythagoras ze Samu
(kolem 570 př.n.l.-po 510 př.n.l.)
22
2
2
2
2
2
x4hd
2
x
h2d
2
x
h
2
d



















příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Takže vztah pro odraženou vlnu:
můžeme přepsat také jako:
  1v
1
αcos
2h
t 
1
22
1 v
x4h
v
d
t


  22
x4h
2h
cos


22
x4hd 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Vztah pro odraženou vlnu není rovnicí přímky!
Hodochrona odražené vlny má tvar hyperboly s minimální hodnotou času
ve staničení x=0.
1
22
v
x4h
t


0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
-400 -200 0 200 400
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Pro x=0 platí.
2
.vt
h
v
2h
v
x4h
t 10
11
22
0 


0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
-400 -200 0 200 400
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Z časů detekce odražené vlny ve dvou různých staničení (pro
jednoduchost vezmeme staničení x=0 a x=x1) můžeme odvodit:
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
4h
x4h
v
4h
v
x4h
t
t 



0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
-400 -200 0 200 400
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Tedy:
1
t
t
2
x
hx4h
t
t
4h
4h
x4h
t
t
4h
x4h
t
t
2
0
1
12
1
2
2
0
12
2
2
1
2
2
0
1
2
2
1
2
0
1























0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
-400 -200 0 200 400
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
My ale máme ukloněné rozhraní. Vztah pro odraženou vlnu pak nabývá
obecnější formy:
kde q je sklon rozhraní (úhel q je kladný ve směru stoupání)
1
22
v
h.x.sinθ4x4h
t


příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Opět pro x=0 můžeme odvodit:
Tj., víme-li, že rychlost v1=2000 m.s-1:
2
.vt
h
v
2h
v
h.x.sinθ4x4h
t 10
11
22
0 


x [m] t [ms]
-400 432.2
-300 404.0
-200 380.3
-100 362.0
0 350.0
100 344.9
200 346.9
300 356.0
400 371.7
m350
2
2000350,0
2
.vt
h 10



příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Obecně opět můžeme časů detekce odražené vlny ve dvou různých
staničení (pro jednoduchost vezmeme staničení x=0 a x=x1) odvodit:
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
4h
h.x.sinθ4x4h
v
4h
v
h.x.sinθ4x4h
t
t 



0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-400 -200 0 200 400
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Tedy:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-400 -200 0 200 400
0xh.x.sinθ41
t
t
4h
4h
h.x.sinθ4x4h
t
t
4h
h.x.sinθ4x4h
t
t
2
1
2
0
12
2
2
1
2
2
0
1
2
2
1
2
0
1


























příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Hloubku již známe, vyjádříme si sklon rozhraní:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-400 -200 0 200 400















































4h.x
1
t
t
4hx
arcsinθ
0xh.x.sinθ41
t
t
4h
2
0
122
1
2
1
2
0
12
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Dosadíme hodnoty pro x0=0 a např. x1=400:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-400 -200 0 200 400































 10
4003504
1
350,0
371,7
3504004
arcsinθ
2
22
x [m] t [ms]
-400 432.2
-300 404.0
-200 380.3
-100 362.0
0 350.0
100 344.9
200 346.9
300 356.0
400 371.7
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Metoda záseček
Velmi výhodná je v takovém případě aplikace grafická metody
záseček, pokud známe rychlost šíření seismické vlny.
Metoda záseček spočívá v konstrukci zrcadlového bodu
odpalu O*, který leží na kolmici k rozhraní vedené z bodu
odpalu O a je stejně vzdálen od rozhraní jako pod odpalu O.
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Jak je patrno z obrázku, trojúhelníky ABO a ABO* jsou pak
stejné (jen zrcadlově obrácené), protože mají stejné délky
dvou stran (AB=AB a AO=AO*) a shodný jeden úhel
(OAB=O*AB=90°).
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Ze shodnosti trojúhelníků ABO a ABO* plyne také shodnost
úhlů ABO=ABO*, přičemž ABO+a=90°.
Pak tedy také ABO*+a=90° a z toho plyne, že linie CBO* není
lomená čára, ale (nelomená) úsečka.
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Zrcadlový bod odpalu O* tedy leží vůči bodu detekce ve
vzdálenosti, která je shodná s délkou dráhy odraženého
paprsku.
d … délka dráhy
t … čas detekce
v … rychlost
t.vd 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Rychlost (určena nezávisle) je v našem případě 2000 ms-2.
Časy detekce byly získány z geofonů rozmístěných na
seismickém profilu.
t.vd 
x [m] t [ms] d [m]
-400 432.2 864.4
-300 404.0 808.0
-200 380.3 760.7
-100 362.0 724.1
0 350.0 700.0
100 344.9 689.7
200 346.9 693.8
300 356.0 712.1
400 371.7 743.5
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Zkonstruujeme-li v určitém měřítku profil s body, na nichž byly
umístěny geofony, pak bod O* leží na kružnicích opsaných
těmto bodům s poloměrem odpovídajícím délce dráhy
odražené vlny ve zvoleném měřítku.
t.vd 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Je-li zkonstruován zrcadlový bod odpalu O*, můžeme
zkonstruovat také rozhraní, jako přímku kolmou na úsečku
OO* a půlící tuto úsečku. Z konstrukce pak snadno odečteme
úhloměrem sklon a hloubku rozhraní.
t.vd 
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Závěr:
Dno pánve se nachází v hloubce (kolmo na rozhraní) 350 m.
Sklon dna pánve je 10°.
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Typy možných praktických otázek pro závěrečný test:
odražená vlna – hloubka rozhraní:
Urči z hodochrony odražené vlny hloubku vodorovného rozhraní, jestliže
rychlost odražené vlny je 2000 ms-1 a bod odpalu byl na povrchu
uprostřed profilu, tj. ve staničení x=0
340
350
360
370
380
390
400
410
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
x [metry]
čas[milisekundy]
příklady aplikace (seismika)podzim 2011, Brno Základy Geofyziky
Pro x=0 platí.
2
.vt
h
v
2h
v
x4h
t 10
11
22
0 


340
350
360
370
380
390
400
410
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
x [metry]
čas[milisekundy]
m350
2
2000350.0
2
.vt
h 10


