MASARYKOVA UNIVERZITA • PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
Josef Kalas a Jaromír Kuben
Integrální počet funkcí více
proměnných
První vydání
Brno 2009
Recenzent: doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc.
c Josef Kalas, Jaromír Kuben, 2009
ISBN 978-80-210-4975-8
Předmluva
Integrální počet funkcí více proměnných je důležitou částí matematické analýzy
a má významné aplikace ve fyzice a v technických disciplínách. K výkladu problematiky
lze přistoupit různým způsobem: buď budovat teorii vícerozměrných
integrálů moderním způsobem (Lebesgueův integrál, Henstockův-Kurzweilův integrál),
nebo výklad pojmout klasicky, tj. studovat Riemannův, popř. Darbouxův
vícerozměrný integrál. Protože předkládaný učební text je určen pro použití v základním
kurzu matematické analýzy, je zvolen klasický přístup, který navazuje
přirozeným způsobem na Riemannův integrál funkce jedné proměnné.
Text je rozdělen do pěti kapitol. Ve snaze o maximální srozumitelnost budujeme
nejprve v kapitole 1 teorii dvojného Riemannova integrálu a poté v následující
kapitole se zabýváme integrálem trojným, n-rozměrným a jednoduchým.
Nezastupitelnou úlohu při výpočtu vícerozměrných integrálů má záměna proměnných
nazývaná rovněž transformace integrálu. Transformacím vícerozměrných
integrálů je věnována kapitola 3. Vícerozměrné integrály nacházejí využití
v různých disciplínách, významné jsou zejména geometrické a fyzikální aplikace,
které jsou probírány v kapitole 4. V závěrečné páté kapitole je uvedena definice
a základní vlastnosti nevlastního vícerozměrného integrálu, který je důležitý jak
z teoretického, tak z aplikačního hlediska.
Učební text je určen pro posluchače bakalářského studia učitelské a odborné
matematiky, fyziky a aplikované matematiky Přírodovědecké fakulty Masarykovy
univerzity. Svým rozsahem pokrývá látku přednášenou v základním kurzu
matematické analýzy. Pro studium textu se předpokládá znalost diferenciálního
počtu funkcí více proměnných a znalost Riemannova integrálu v R. Věříme, že
vydání tohoto textu zaplní mezeru v pokrytí problematiky vícerozměrného integrálu
učebními texty na Přírodovědecké fakultě MU. Vždyť od vydání posledního
titulu s touto problematikou (skripta Miloše Rába [24]) uplynulo již 21 let. Autoři
vycházeli z přednášek prvního autora, které konal na Přírodovědecké fakultě
iii
Masarykovy univerzity pro posluchače učitelského studia, a z učebního textu [14]
vydaného druhým autorem a jeho spolupracovníky na Fakultě vojenských technologií
Univerzity obrany. Zvolený přístup k výkladu látky byl částečně ovlivněn
přednáškami prof. RNDr. Vítězslava Nováka, DrSc. konanými na Pedagogické
fakultě MU a učebnicemi [17] a [19].
Pro lepší názornost a srozumitelnost je text doplněn řadou ilustračních obrázků
a poměrně velkým počtem řešených příkladů. Za každou kapitolou jsou
zařazena cvičení k samostatnému řešení. Učební text tak může sloužit rovněž
jako sbírka úloh, nicméně k procvičování látky doporučujeme využít také
specializovaných sbírek úloh uvedených v seznamu literatury, např. [1], [3],
[9], [18]. Cvičení obsažená v textu mají rozdílnou obtížnost, pro lepší orientaci
čtenářů jsou obtížnější cvičení označena symbolem . Z důvodu úplnosti
jsou do textu zařazeny i obtížnější partie, popř. partie překračující rozsah látky
přednášené v základním kurzu matematické analýzy. Tyto partie jsou vysázeny
menším typem písma. Text byl připraven sázecím systémem TEX ve formátu
pdf LATEX 2ε, většina obrázků byla vytvořena programem METAPOST s použitím
balíku TEXovských maker mfpic, část obrázků byla připravena programem
Maple.
Je naší milou povinností poděkovat všem, kdo přispěli v jakékoliv formě
při práci na rukopisu tohoto učebního textu. Obzvláště děkujeme doc. RNDr.
Jaromíru Šimšovi, CSc. za velice pečlivé přečtení celého rukopisu a za řadu
cenných rad, námětů a připomínek, které přispěly ke zlepšení textu. Zavázáni
jsme i prof. RNDr. Ondřeji Došlému, DrSc., který rovněž pozorně prostudoval
rukopis tohoto textu a přispěl k jeho konečné podobě mnoha užitečnými
postřehy a vylepšeními. Část textu přečetl Bc. Jaromír Kuben, kterému si touto
cestou rovněž dovolujeme poděkovat. V neposlední řadě děkujeme PhDr. Pavlíně
Račkové, Ph.D. za překontrolování zadání i výsledků všech cvičení zařazených
do učebního textu.
Brno, září 2009 Autoři
iv
Obsah
Předmluva iii
1 Dvojný integrál 1
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ekvivalentní definice dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Měřitelné množiny v R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5 Další řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Integrály v prostorech obecné dimenze 84
2.1 Trojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou . 93
2.3 n-rozměrný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4 Jednorozměrný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Transformace integrálů 119
3.1 Transformace dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.1.1 Některé běžné typy transformací dvojného integrálu . . . 124
3.2 Transformace trojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.1 Některé běžné typy transformací trojného integrálu . . . 138
3.3 Transformace n-rozměrného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.1 Některé běžné typy transformací n-rozměrného integrálu 155
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu . . . . . . . . 161
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
v
4 Aplikace vícerozměrných integrálů 197
4.1 Geometrické aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.1.1 Míra (obsah) rovinné množiny . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.1.2 Míra (objem) měřitelné množiny v trojrozměrném prostoru
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.1.3 Míra měřitelné množiny v n-rozměrném prostoru . . . . 203
4.1.4 Míra (obsah) plochy v trojrozměrném prostoru . . . . . . 206
4.1.5 Míra (obsah) (n − 1)-rozměrné plochy v n-rozměrném
prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.2 Fyzikální aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.2.1 Hmotnost a těžiště rovinné desky . . . . . . . . . . . . . 212
4.2.2 Hmotnost a těžiště trojrozměrného tělesa . . . . . . . . . 214
4.2.3 Moment setrvačnosti rovinné desky a trojrozměrného tělesa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.2.4 Elektrický náboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.2.5 Další fyzikální aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5 Nevlastní vícerozměrné integrály 240
5.1 Nevlastní integrál z neohraničené funkce . . . . . . . . . . . . . 240
5.2 Nevlastní integrál na neomezené množině . . . . . . . . . . . . . 249
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Literatura 267
Rejstřík 270
vi
1
Kapitola 1
Dvojný integrál
Většina čtenářů tohoto textu je již nepochybně seznámena s teorií Riemannova1
určitého integrálu funkce jedné proměnné, který se přednáší v rámci přednášky
z matematické analýzy. Tento jednorozměrný integrál se značí
b
a f (x) dx a je
definován pro funkci f jedné proměnné integrace schopnou, a tedy zejména
ohraničenou, na uzavřeném intervalu a, b . Tento integrál přiřazuje funkci f
s výše uvedenými vlastnostmi jisté reálné číslo. V základním kurzu matematické
analýzy se při úvodním studiu Riemannova integrálu obvykle nedefinuje integrál
funkce jedné proměnné na obecnější množině (např. M = a, b ∪ c, d , kde
a, b ∩ c, d = ∅), ani integrál funkce více proměnných.
Naším cílem bude vybudovat teorii Riemannova integrálu funkce n proměnných
na dosti obecných množinách M ⊆ Rn
. Tento integrál bude zobecněním
Riemannova určitého integrálu funkce jedné proměnné. Pro jednoduchost a názornost
soustředíme pozornost zejména na případy n = 1, 2, 3. V případě n = 1
mluvíme o jednoduchém, v případě n = 2 o dvojném a v případě n = 3 o trojném
integrálu. Nejprve se budeme zabývat integrálem dvojným.
Teorie dvojného Riemannova integrálu se obvykle buduje tím způsobem, že
se nejdříve definuje tzv. Jordanova2
míra množiny a vydělí se třída množin, které
jsou jordanovsky měřitelné. Dvojný integrál funkce f dvou proměnných ohraničené
na jordanovsky měřitelné množině M se pak zavádí tak, že se definuje
1Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) (čti ríman) — německý matematik. Zabýval
se teorií funkcí, geometrií, matematickou a teoretickou fyzikou a diferenciálními rovnicemi.
Jeden z nejvýznamnějších matematiků všech dob.
2Marie Edmond Camille Jordan (1832–1922) (čti žordan) — francouzský matematik. Zabýval
se matematickou analýzou, algebrou, teorií funkcí, topologií, krystalografií, kinematikou,
stabilitou, geometrickou pravděpodobností, teorií čísel a diferenciálními rovnicemi. Jeden z tvůrců
moderní matematiky.
2 Dvojný integrál
vhodným způsobem dělení D množiny M na jisté speciální měřitelné podmnožiny
(tzv. dílky dělení), sestaví se horní a dolní součet S(D, f ), s(D, f ) a dále
se postupuje podobně jako v definici jednoduchého Riemannova integrálu.
V tomto textu však volíme jiný přístup: Dvojný integrál definujeme nejprve
na dvojrozměrném intervalu, poté pomocí charakteristické funkce množiny definujeme
měřitelnou množinu a následně zavádíme pojem dvojného integrálu na
měřitelné množině M, a to převedením na dvojný integrál na dvojrozměrném
intervalu, který množinu M obsahuje.
1.1. Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu
Zaveďme nejprve pojem intervalu v rovině.
Definice 1.1. Intervalem v rovině neboli dvojrozměrným intervalem budeme
rozumět množinu J, která je kartézským součinem dvou intervalů J1, J2 ⊆ R.
Tedy J = J1 × J2.
x
y
a b
c
d
J1
J2 M
Obr. 1.1: Interval v rovině
Intervaly J1 a J2 mohou být libovolného
typu — omezené, neomezené, uzavřené, otevřené
nebo polootevřené. Bude-li některý z nich
degenerovaný, tj. bude-li to bod, bude i dvojrozměrný
interval J tzv. degenerovaný. Může to
být bod, úsečka, polopřímka nebo přímka.
Pro nás ale bude nejdůležitější případ, kdy
oba dva intervaly J1 a J2 budou omezené
a uzavřené. Odpovídající dvojrozměrný interval
M = J1 × J2 pak bude omezený a uzavřený obdélník,
jehož strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými
osami — viz obr. 1.1, kde J1 = a, b
a J2 = c, d . Lze ho zapsat také takto:
M = {[x, y] ∈ R2
: a x b, c y d}.
V dalším, nebude-li řečeno jinak, budeme obdélníkem rozumět vždy nedegenerovaný
dvojrozměrný uzavřený a omezený interval. Podobně dvojrozměrným
intervalem budeme rozumět nedegenerovaný interval, pokud nebude uvedeno
jinak.
Buď M = a, b × c, d obdélník v R2
. Nechť Dx : a = x0 < x1 < · · · <
< xm = b je dělení intervalu a, b a nechť Dy : c = y0 < y1 < · · · < yn =
= d je dělení intervalu c, d . Označme Mik = xi−1, xi × yk−1, yk , kde
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 3
x
y
a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 = b
c = y0
y1
y2
d = y3
O
M
M11 M12 M13 M14 M15
M21 M22 M23 M24 M25
M31 M32 M33 M34 M35
Obr. 1.2: Dělení dvojrozměrného intervalu
i ∈ {1, 2, . . . , m}, k ∈ {1, 2, . . . , n}. Systém obdélníků {Mik : i = 1, 2, . . . , m;
k = 1, 2, . . . , n} nazýváme dělením obdélníku M a značíme D = Dx × Dy. Obdélníky
Mik nazýváme dílky dělení D (viz obr. 1.2). Normou dělení D = Dx ×
× Dy budeme rozumět číslo ν(D) = max (xi − xi−1)2 + (yk − yk−1)2 : i =
= 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n , tj. délku nejdelší z úhlopříček všech dílků
dělení. V našich úvahách budeme pracovat také s posloupnostmi dělení. Posloupnost
dělení {Dn} nazveme nulovou posloupností dělení, platí-li lim
n→∞
ν(Dn) = 0.
x
y
xi xi+1
yk
yk+1
O
Mik
Obr. 1.3: Zjemnění dělení
Symbolem D(M) nebo D označíme
množinu všech dělení obdélníku
M. Dělení D1 = D1
x × D1
y se nazývá
zjemnění dělení D = Dx × Dy,
je-li D1
x zjemněním dělení Dx a D1
y
zjemněním dělení Dy. Je-li D1 zjemnění
dělení D, pak zřejmě každý dílek
Mik dělení D je v D1 rozdělen
na konečný počet dílků dělení D1 (viz
obr. 1.3). Snadno se ověří, že ke každým
dvěma dělením D1 = D1
x × D1
y,
D2 = D2
x × D2
y ∈ D(M) existuje jejich
společné zjemnění. (Tím je např. dělení D = Dx ×Dy, kde Dx je tvořeno všemi
dělicími body dělení D1
x a dělení D2
x a Dy je tvořeno všemi dělicími body dělení
D1
y a dělení D2
y. Toto dělení budeme nazývat největším společným zjemněním
dělení D1, D2.)
Buď f ohraničená funkce dvou proměnných definovaná na obdélníku M =
= a, b × c, d a nechť D = Dx × Dy je dělení obdélníku M o dílcích Mik,
4 Dvojný integrál
i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n. Označme
vik = inf {f (x, y) : [x, y] ∈ Mik},
Vik = sup{f (x, y) : [x, y] ∈ Mik}
a položme
s(D, f ) =
m
i=1
n
k=1
vik(xi − xi−1)(yk − yk−1),
S(D, f ) =
m
i=1
n
k=1
Vik(xi − xi−1)(yk − yk−1).
Číslo s(D, f ) nazýváme dolním součtem, číslo S(D, f ) horním součtem funkce
f při dělení D (viz obr. 1.4 a 1.5).
Nazveme-li číslo m(R) = (β − α)(δ − γ ) mírou (obsahem) obdélníku R =
= α, β × γ, δ , můžeme při označení I = {(i, k) : i = 1, 2, . . . , m; k =
= 1, 2, . . . , n} psát stručněji
s(D, f ) =
(i,k)∈I
vik m(Mik),
S(D, f ) =
(i,k)∈I
Vik m(Mik).
Podobně jako v případě jednorozměrného integrálu pro každou ohraničenou
funkci f platí:
Lemma 1.2.
a) s(D, f ) S(D, f ) pro každé D ∈ D.
b) Jsou-li D1, D2 ∈ D a D2 je zjemnění D1, pak je s(D1, f ) s(D2, f ),
S(D1, f ) S(D2, f ).
c) Jsou-li D1, D2 ∈ D libovolná, pak s(D1, f ) S(D2, f ).
Důkaz.
a) Pro každé (i, k) ∈ I platí vik Vik. Odtud plyne
s(D, f ) =
(i,k)∈I
vik m(Mik)
(i,k)∈I
Vik m(Mik) = S(D, f ).
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 5
x
y
z
z = f (x, y)
M
a)
x
y
z
b)
Obr. 1.4: Geometrický význam dolního součtu
x
y
z
z = f (x, y)
M
a)
x
y
z
b)
Obr. 1.5: Geometrický význam horního součtu
6 Dvojný integrál
b) Libovolný dílek Mik dělení D1 přispívá do dolního součtu s(D1, f ) hodnotou
vik m(Mik). V dělení D2 je pevně zvolený dílek Mik rozdělen na dílky Mpq,
(p, q) ∈ J, kde J je vhodná množina uspořádaných dvojic indexů, přičemž
(p,q)∈J
m(Mpq) = m(Mik). Příspěvek dílku Mik do součtu s(D2, f ) je tedy
(p,q)∈J
˜vpq m(Mpq), kde ˜vpq = inf {f (x, y) : [x, y] ∈ Mpq}. Protože zřejmě
platí vik ˜vpq pro libovolné (p, q) ∈ J, máme
vik m(Mik) = vik
(p,q)∈J
m(Mpq) =
(p,q)∈J
vik m(Mpq)
(p,q)∈J
˜vpq m(Mpq),
tj. příspěvek dílku Mik do součtu s(D2, f ) je větší nebo roven příspěvku
tohoto dílku do s(D1, f ). Sečtením pro všechna (i, k) ∈ I vyjde tvrzení pro
dolní součty. Pro horní součty se důkaz provede analogicky.
c) Buď D3 společné zjemnění dělení D1 a D2. Užitím a) a b) dostáváme
s(D1, f ) s(D3, f ) S(D3, f ) S(D2, f ).
Buď D0 ∈ D libovolné pevně zvolené dělení dvojrozměrného intervalu M =
= a, b × c, d . Podle lemmatu 1.2 platí s(D, f ) S(D0, f ) pro každé D ∈ D.
Množina {s(D, f ) : D ∈ D} je tedy neprázdná a shora omezená. Existuje proto
sup{s(D, f ) : D ∈ D}, které značíme
M
f (x, y) dxdy.
Zřejmě platí
M
f (x, y) dxdy S(D0, f ).
Dělení D0 však bylo voleno libovolně, takže S(D, f )
M
f (x, y) dxdy pro
každé D ∈ D a množina všech horních součtů funkce f je zdola omezená
a neprázdná. Existuje tudíž inf {S(D, f ) : D ∈ D}, které značíme
M
f (x, y) dxdy.
Přitom platí
M
f (x, y) dxdy
M
f (x, y) dxdy.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 7
Definice 1.3. Čísla
M
f (x, y) dxdy resp.
M
f (x, y) dxdy nazveme dolním
resp. horním integrálem ohraničené funkce f na množině (přes množinu) M.
Platí-li rovnost
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy,
říkáme, že f je integrovatelná (integrace schopna) na množině M a definujeme
dvojný integrál
M
f (x, y) dxdy funkce f na množině (přes množinu) M
vztahem
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy.
Funkce f se nazývá integrand, množina M integrační obor.
Poznámka 1.4. Je-li integrand f konstantní funkce rovná jedné, používáme
místo zápisu
M
1 dxdy stručnější podobu
M
dxdy. Obdobně pro dolní a horní
integrály.
Příklad 1.5. Vypočtěte
M
f (x, y) dxdy, kde f (x, y) = c ∈ R pro každý bod
[x, y] daného obdélníku M = a, b × c, d .
Řešení. Buď D = {Mik : (i, k) ∈ I} libovolné dělení obdélníku M. Zřejmě platí
vik = c, Vik = c. Tedy
s(D, f ) =
(i,k)∈I
c m(Mik) = c
(i,k)∈I
m(Mik) = c m(M),
S(D, f ) =
(i,k)∈I
c m(Mik) = c
(i,k)∈I
m(Mik) = c m(M).
Odtud
M
f (x, y) dxdy = c m(M) =
M
f (x, y) dxdy,
a tedy
M
f (x, y) dxdy =
M
c dxdy = c m(M) = c(b − a)(d − c).
8 Dvojný integrál
Příklad 1.6. Buď f funkce definovaná na obdélníku M = 0, 1 × 0, 1 takto:
f (x, y) =
1 je-li x ∈ Q a y ∈ Q,
0 v ostatních případech.
Rozhodněte, zda funkce f je integrovatelná na obdélníku M.
Řešení. Buď D = {Mik : (i, k) ∈ I} libovolné dělení obdélníku M. Pak vik = 0,
Vik = 1, protože mezi každými dvěma různými reálnými čísly leží jak nekonečně
mnoho racionálních tak nekonečně mnoho iracionálních čísel ([7, str. 7]), a
s(D, f ) =
(i,k)∈I
vik m(Mik) =
(i,k)∈I
0 · m(Mik) = 0,
S(D, f ) =
(i,k)∈I
Vik m(Mik) =
(i,k)∈I
1 · m(Mik) = 1.
Odtud
M
f (x, y) dxdy = 0 = 1 =
M
f (x, y) dxdy.
Daná funkce není integrovatelná na obdélníku M.
Lemma 1.7. Buď f ohraničená funkce v obdélníku M = a, b × c, d . Pak ke
každému číslu ε > 0 existuje číslo δ > 0 tak, že pro každé dělení D obdélníku M,
pro jehož normu platí ν(D) < δ, je
M
f (x, y) dxdy S(D, f ) <
M
f (x, y) dxdy + ε. (1.1)
Důkaz. Nechť K > 0 je konstanta taková, že |f (x, y)| K pro [x, y] ∈ M.
Buď ε > 0 libovolné. Podle definice horního integrálu (jako infima horních
součtů) existuje dělení D1
= D1
x × D1
y, D1
x : a = x1
0 < x1
1 < · · · < x1
m = b,
D1
y : c = y1
0 < y1
1 < · · · < y1
n = d, obdélníku M s vlastností
S(D1
, f ) <
M
f (x, y) dxdy +
ε
2
. (1.2)
Nechť M1
ij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) jsou dílky tohoto dělení. Označme
I = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n}. Položme
δ =
ε
4[(d − c)m + (b − a)n]K
.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 9
x
y
a = x1
1 x1
m = b
c = y1
1
d = y1
n
a) Dělení D1 s dílky M1
ij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n)
x
y
a = x1 xp = b
c = y1
d = yq
< δ
< δ
b) Dělení D (ν(D) < δ) s dílky Mij (i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q)
x
y
a = x2
1 x2
r = b
c = y2
1
d = y2
s
c) Dělení D2 s dílky M2
ij (i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s)
Obr. 1.6: Dělení D1
a D a jejich největší společné zjemnění D2
10 Dvojný integrál
Buď nyní D libovolné dělení obdélníku M o normě menší než δ s dílky Mij
(i = 1, 2, . . . , p; j = 1, 2, . . . , q). Označme J = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , p; j =
= 1, 2, . . . , q}. Uvažujme dále dělení D2
obdélníku M, které je největším společným
zjemněním dělení D, D1
(viz obr. 1.6). Nechť dílky dělení D2
jsou M2
ij
(i = 1, 2, . . . , r; j = 1, 2, . . . , s). Označme L = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , r; j =
= 1, 2, . . . , s}. Položme J = {(i, j) ∈ J : existuje (k, l) ∈ I s vlastností Mij ⊆
⊆ M1
kl}, J = J J . Zřejmě pro (i, j) ∈ J je Mij dílkem dělení D2
.
Pro (i, j) ∈ J existují (k, l) ∈ I, (¯k, ¯l) ∈ I, (k, l) = (¯k, ¯l) tak, že Mij ∩
∩ (M1
kl M1
¯k¯l
) = ∅, Mij ∩ (M1
¯k¯l
M1
kl) = ∅. Protože ν(D) < δ, platí pro součet
měr m(Mij ) všech obdélníků Mij , kde (i, j) ∈ J , nerovnosti
(i,j)∈J
m(Mij ) ν(D)[(d − c)m + (b − a)n] <
< δ[(d − c)m + (b − a)n] =
ε
4K
.
(1.3)
Položme L = {(k, l) ∈ L : existuje (i, j) ∈ J s vlastností M2
kl = Mij }, L =
= L L . Nechť pro (i, j) ∈ J, (k, l) ∈ L je Vij = sup{f (x, y) : [x, y] ∈ Mij },
V 2
kl = sup{f (x, y) : [x, y] ∈ M2
kl}. Pak podle (1.3)
(i,j)∈J
Mij =
(k,l)∈L
M2
kl,
(i,j)∈J
Mij =
(k,l)∈L
M2
kl,
(i,j)∈J
Vij m(Mij ) K
(i,j)∈J
m(Mij ) < K
ε
4K
=
ε
4
,
(i,j)∈J
Vij m(Mij ) =
(k,l)∈L
V 2
kl m(M2
kl).
Podobně užitím (1.3) dostáváme
(k,l)∈L
V 2
kl m(M2
kl) K
(k,l)∈L
m(M2
kl) = K
(i,j)∈J
m(Mij ) < K
ε
4K
=
ε
4
.
Protože
S(D, f ) − S(D2
, f ) =
(i,j)∈J
Vij m(Mij ) +
(i,j)∈J
Vij m(Mij ) −
−
(k,l)∈L
V 2
kl m(M2
kl) −
(k,l)∈L
V 2
kl m(M2
kl) ,
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 11
máme
S(D, f ) − S(D2
, f )
(i,j)∈J
Vij m(Mij ) +
(k,l)∈L
V 2
kl m(M2
kl) <
<
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
.
(1.4)
Užitím (1.4) a (1.2) dostáváme odhad
M
f (x, y) dxdy S(D, f ) < S(D2
, f ) +
ε
2
S(D1
, f ) +
ε
2
<
M
f (x, y) dxdy + ε,
čímž je vztah (1.1) dokázán.
Poznámka 1.8. Analogické tvrzení platí i o dolním součtu a dolním integrálu.
Lemma 1.9. Buď f funkce ohraničená na obdélníku M = a, b × c, d . Pak
je f integrovatelná na M právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje takové
dělení D ∈ D(M), že platí S(D, f ) − s(D, f ) < ε.
Důkaz. Nechť f je integrovatelná na M. Buď ε > 0 libovolné. Pak existuje
takové D1 ∈ D(M), že
S(D1, f ) <
M
f (x, y) dxdy +
ε
2
=
M
f (x, y) dxdy +
ε
2
,
a takové D2 ∈ D(M), že
s(D2, f ) >
M
f (x, y) dxdy −
ε
2
=
M
f (x, y) dxdy −
ε
2
.
Buď D společné zjemnění dělení D1 a D2. Pak S(D, f ) S(D1, f ), s(D, f )
s(D2, f ), a tudíž
S(D, f ) <
M
f (x, y) dxdy +
ε
2
, s(D, f ) >
M
f (x, y) dxdy −
ε
2
.
12 Dvojný integrál
Odtud
S(D, f ) − s(D, f ) <
M
f (x, y) dxdy +
ε
2
−
M
f (x, y) dxdy −
ε
2
= ε.
Nechť naopak pro libovolné ε > 0 existuje D ∈ D(M) tak, že S(D, f ) −
− s(D, f ) < ε. Protože
M
f (x, y) dxdy S(D, f ),
M
f (x, y) dxdy s(D, f ),
platí
0
M
f (x, y) dxdy −
M
f (x, y) dxdy < ε.
Jelikož poslední vztah platí při libovolném ε > 0, je
M
f (x, y) dxdy −
M
f (x, y) dxdy = 0,
takže
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy
a f je integrovatelná na M.
Věta 1.10. Buď f ohraničená funkce na obdélníku M = a, b × c, d .
a) Je-li {Dn} libovolná nulová posloupnost dělení obdélníku M, pak pro n → ∞
platí
s(Dn, f ) →
M
f (x, y) dxdy, S(Dn, f ) →
M
f (x, y) dxdy.
b) Je-li funkce f integrovatelná na obdélníku M, pak pro n → ∞ platí
s(Dn, f ) →
M
f (x, y) dxdy, S(Dn, f ) →
M
f (x, y) dxdy
pro libovolnou nulovou posloupnost dělení {Dn} obdélníku M.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 13
c) Jestliže pro aspoň jednu nulovou posloupnost {Dn} dělení obdélníku M platí
lim
n→∞
s(Dn, f ) = lim
n→∞
S(Dn, f ), pak funkce f je integrovatelná na obdélníku
M.
Důkaz.
a) Buď ε > 0 libovolné. Podle lemmatu 1.7 existuje δ > 0 tak, že pro libovolné
dělení D o normě ν(D) < δ platí
0 S(D, f ) −
M
f (x, y) dxdy < ε.
Protože pro libovolnou nulovou posloupnost {Dn} dělení obdélníku M platí
ν(Dn) → 0, existuje N ∈ N tak, že ν(Dn) < δ pro všechna n N. Tedy
0 S(Dn, f ) −
M
f (x, y) dxdy < ε
pro každé n N. Podle definice limity číselné posloupnosti to znamená, že
S(Dn, f ) →
M
f (x, y) dxdy.
Podobně se dokáže, že
s(Dn, f ) →
M
f (x, y) dxdy.
b) Druhé tvrzení věty plyne z tvrzení a) a z toho, že funkce f je integrovatelná
na M právě tehdy, když
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy.
c) Podle předpokladu existuje číslo L ∈ R takové, že platí lim
n→∞
s(Dn, f ) =
= lim
n→∞
S(Dn, f ) = L. Podle tvrzení a) je
M
f (x, y) dxdy = L =
M
f (x, y) dxdy,
takže f je na M integrovatelná.
14 Dvojný integrál
V důkazu následující věty použijeme tvrzení o stejnoměrné spojitosti funkce
spojité na kompaktní množině: Je-li funkce f spojitá na kompaktní množině
M ⊆ Rn
, pak ke každému ε > 0 existuje číslo δ > 0 takové, že pro libovolná
X1 ∈ M, X2 ∈ M, (X1, X2) < δ, platí |f (X1) − f (X2)| < ε. Přitom značí
eukleidovskou metriku v prostoru Rn
.
Věta 1.11. Buď f spojitá funkce na obdélníku M = a, b × c, d . Pak je f
integrovatelná na M.
Důkaz. Množina M je kompaktní, takže podle Weierstrassovy věty ([5, str. 20])
je funkce f na množině M ohraničená, tudíž má na M horní a dolní integrál.
Buď ε > 0 libovolné. Z tvrzení zmíněného před touto větou plyne existence čísla
δ > 0 takového, že pro [x1, y1] ∈ M, [x2, y2] ∈ M, [x1, y1], [x2, y2] < δ,
platí |f (x1, y1) − f (x2, y2)| < ε/ m(M).
(wik, zik) (wik, ˜zik)
δMik
Buď nyní D = {Mik : (i, k) ∈ I} dělení obdélníku
M o normě menší než δ, tj. takové dělení,
že úhlopříčka každého jeho dílku Mik je kratší
než δ. Protože množiny Mik jsou kompaktní a f
je spojitá, nabývá funkce f na každém Mik své
největší a nejmenší hodnoty, to jest existují body
[wik, zik] ∈ Mik, [wik, ˜zik] ∈ Mik takové, že pro
funkční hodnoty f (wik, zik), f (wik, ˜zik) platí
f (wik, zik) = min{f (x, y) : [x, y] ∈ Mik} = vik,
f (wik, ˜zik) = max{f (x, y) : [x, y] ∈ Mik} = Vik.
Zároveň máme
0 f (wik, ˜zik) − f (wik, zik) <
ε
m(M)
,
neboť (wik, zik), (wik, ˜zik) < δ. Odtud
S(D, f ) − s(D, f ) =
(i,k)∈I
Vik m(Mik) −
(i,k)∈I
vik m(Mik) =
=
(i,k)∈I
(Vik − vik) m(Mik),
a tedy
S(D, f ) − s(D, f ) =
(i,k)∈I
f (wik, ˜zik) − f (wik, zik) m(Mik) <
<
(i,k)∈I
ε
m(M)
m(Mik) =
ε
m(M) (i,k)∈I
m(Mik) = ε.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 15
Podle lemmatu 1.9 je funkce f na M integrovatelná.
Lemma 1.12. Nechť funkce f je ohraničená na obdélníku M = a, b × c, d
a platí f (x, y) = 0 pro každý vnitřní bod [x, y] obdélníku M. Pak je funkce f
na obdélníku M integrovatelná a
M
f (x, y) dxdy = 0.
Důkaz. Podle předpokladu existuje konstanta K > 0 tak, že |f (x, y)| K pro
každé [x, y] ∈ M. Nechť Dx : a = x0 < x1 < · · · < xm = b je dělení intervalu
a, b a Dy : c = y0 < y1 < · · · < yn = d je dělení intervalu c, d . Pak
D = Dx × Dy je dělení obdélníku M s dílky Mij = xi−1, xi × yj−1, yj ,
(i, j) ∈ I, kde I = {(i, j) : i = 1, . . . m; j = 1, . . . , n}. Dále označme Vij =
= sup{f (x, y) : [x, y] ∈ Mij }, (i, j) ∈ I. Nechť J = {(i, j) ∈ I : 1 < i <
< m, 1 < j < n}. Pro (i, j) ∈ J je podle předpokladu Vij = 0, pro (i, j) ∈ I J
platí |Vij | K. Tedy
0 |S(D, f )| =
(i,j)∈I
Vij m(Mij )
(i,j)∈I
|Vij | m(Mij ) =
=
(i,j)∈I J
|Vij | m(Mij ) K
(i,j)∈I J
m(Mij )
2K(b − a)ν(D) + 2K(d − c)ν(D) = 2K(b − a + d − c)ν(D).
Buď {Dn} nulová posloupnost dělení obdélníku M. Protože podle předchozího
platí 0 |S(Dn, f )| 2K(b − a + d − c)ν(Dn), limitním přechodem pro
n → +∞ dostaneme podle věty 1.10, že
0
M
f (x, y) dxdy 0,
tudíž
M
f (x, y) dxdy = 0.
Analogicky se ověří, že také
M
f (x, y) dxdy = 0. Odtud již plyne integrovatelnost
funkce f a zároveň i rovnost
M
f (x, y) dxdy = 0.
Poznámka 1.13. Buď f funkce dvou proměnných x, y definovaná na množině
M. Pro x ∈ R definujme Mx = {y ∈ R : [x, y] ∈ M}. Tudíž Mx je kolmým
průmětem na osu y množiny, která je průnikem M a rovnoběžky s osou y, procházející
bodem [x, 0]. Pak pro x ∈ R, pro něž je Mx = ∅, budeme symbolem
f (x, ·) značit funkci jedné proměnné y, která je definovaná na množině Mx
16 Dvojný integrál
a číslu y přiřazuje hodnotu f (x, y). Tedy f (x, ·)(y) = f (x, y) pro y ∈ Mx.
Vlastně x je „zafixovaná“ hodnota a tečka zastupuje proměnnou y. Obdobně se
zavede symbol f (·, y) pro funkci jedné proměnné x. Analogické značení budeme
používat pro funkce tří a více proměnných, např. f (x, y, ·), f (x, ·, ·) apod.
V důkazu následující věty využijeme dvě vlastnosti jednoduchého horního
integrálu, které se snadno ověří, ale obvykle se v základním kurzu neuvádí.
1) Nechť funkce f je ohraničená na intervalu a, b a a < c < b. Pak platí
b
a f (x) dx =
c
a f (x) dx +
b
c f (x) dx.
2) Nechť funkce f , g jsou ohraničené na intervalu a, b a f (x) g(x) pro
každé x ∈ a, b . Pak
b
a f (x) dx
b
a g(x) dx.
Obdobná tvrzení platí pro jednoduchý dolní integrál.
Věta 1.14 (Fubiniova1
věta). Buď f funkce integrovatelná na obdélníku M =
= a, b × c, d . Pak platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a
d
c
f (x, y) dy dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy =
=
b
a
d
c
f (x, y) dy dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy.
Důkaz. Důkaz provedeme podrobně pro první rovnost. Označme pro libovolné
x ∈ a, b
F(x) =
d
a
f (x, y) dy.
Protože f (x, ·) je ohraničená funkce na intervalu c, d , má na tomto intervalu
horní integrál. Nechť D = Dx × Dy je dělení M, kde Dx : a = x0 < x1 < · · · <
< xm = b, Dy : c = y0 < y1 < · · · < yn = d. Nechť Mik = xi−1, xi × yk−1, yk
jsou dílky tohoto dělení. Položme Vik = sup{f (x, y) : [x, y] ∈ Mik}. K pevně
zvolenému x ∈ a, b najděme takové i ∈ {1, 2, . . . , m}, že x ∈ xi−1, xi (je-li
x = xi pro některé i, 0 < i < m, platí následující úvaha jak pro interval
xi−1, xi tak pro interval xi, xi+1 ). Pak s využitím tvrzení 1) a 2) zmíněných
před touto větou dostáváme
F(x) =
d
c
f (x, y) dy =
n
k=1
yk
yk−1
f (x, y) dy
1Guido Fubini (1879–1943) (čti fubiny) — italský matematik. Zabýval se projektivní diferenciální
geometrií, diferenciálními rovnicemi, variačním počtem a mnoha dalšími matematickými
disciplínami.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 17
n
k=1
yk
yk−1
Vik dy =
n
k=1
Vik(yk − yk−1).
Protože odvozená nerovnost platí pro každé x ∈ a, b , z tvrzení 1) a 2) dále
plyne
b
a
F(x) dx =
m
i=1
xi
xi−1
F(x) dx
m
i=1
xi
xi−1
n
k=1
Vik(yk − yk−1) dx
m
i=1
n
k=1
Vik(xi − xi−1)(yk − yk−1) = S(D, f ).
Pro každé D ∈ D(M) je tedy
b
a F(x) dx S(D, f ), a odtud
b
a
F(x) dx
M
f (x, y) dxdy.
Analogicky se dokáže nerovnost mezi dolními integrály
b
a
F(x) dx
M
f (x, y) dxdy.
Celkem tedy platí
M
f (x, y) dxdy
b
a
F(x) dx
b
a
F(x) dx
M
f (x, y) dxdy. (1.5)
Protože funkce f je podle předpokladu na M integrovatelná, platí v (1.5) všude
rovnosti, takže funkce F je integrovatelná na a, b a platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a
F(x) dx =
b
a
d
c
f (x, y) dy dx.
S ohledem na symetrii proměnných platí zároveň
M
f (x, y) dxdy =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy.
Podobně se dokáže rovněž varianta s dolními vnitřními integrály.
Z praktického hlediska je nejdůležitější následující speciální verze předchozí
věty, s níž se nejčastěji setkáváme při výpočtech dvojných integrálů na obdélníku.
18 Dvojný integrál
Důsledek 1.15 (Fubiniova věta pro spojitou funkci). Buď f spojitá funkce na
obdélníku M = a, b × c, d . Pak platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a
d
c
f (x, y) dy dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy.
Důkaz. Funkce f je podle věty 1.11 integrovatelná na obdélníku M. Protože
funkce f (x, ·) proměnné y je spojitá na intervalu c, d , platí
d
c f (x, y) dy =
=
d
c f (x, y) dy =
d
c f (x, y) dy pro libovolné x ∈ a, b . První rovnost pak
plyne z Fubiniovy věty. Obdobně se dokáže druhá rovnost.
Poznámka 1.16.
1. Dvojný integrál
M
f (x, y) dxdy se někdy označuje jako integrál dvojrozměrný,
zatímco integrály
b
a
d
c f (x, y) dy dx,
d
c
b
a f (x, y) dx dy a jejich
varianty s horními a dolními vnitřními integrály jako integrály dvojnásobné.
2. V literatuře je možno se setkat také s následujícím označením dvojnásobných
integrálů:
b
a dx
d
c f (x, y) dy, resp.
d
c dy
b
a f (x, y) dx.
Příklad 1.17. Nechť M = −1, 3 × 0, 2 . Vypočtěte
M
(x + y2
) dxdy.
Řešení. Funkce f (x, y) = x + y2
je spojitá na obdélníku M. Podle Fubiniovy
věty platí:
M
(x + y2
) dxdy =
3
−1
2
0
(x + y2
) dy dx =
3
−1
xy +
y3
3
2
0
dx =
=
3
−1
2x +
8
3
− (0 + 0) dx = 2
x2
2
+
8
3
x
3
−1
=
= 9 + 8 − 1 +
8
3
=
56
3
.
I když ve Fubiniově větě je možné volit libovolné pořadí integrace, někdy je
v konkrétním případě jedna varianta výrazně jednodušší, jak ukazuje následující
příklad.
Příklad 1.18. Vypočtěte dvojný integrál
M
xy
dxdy, kde M = 0, 1 × 1, 2
(pro y > 0 klademe 0y
= 0).
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 19
Řešení. Integrand je funkce spojitá na M. Pro x > 0 je to zřejmé. Pro 0 < x < 1
a 1 y 2 platí nerovnosti 2 ln x y ln x ln x, a tedy x2
xy
x. Odtud
plyne spojitost integrandu v bodech [0, y], 1 y 2. Použijeme Fubiniovu
větu a začneme integrovat nejprve podle proměnné y:
M
xy
dxdy =
1
0
2
1
xy
dy dx.
Vnitřní integrál bude
2
1
xy
dy =
xy
ln x
2
1
=
x2
− x
ln x
pro x = 0 a x = 1,
2
1
0y
dy = 0 pro x = 0 a
2
1
1y
dy = 1 pro x = 1.
Protože existence a hodnota jednoduchého určitého integrálu nezávisí na hodnotě
integrandu ve dvou konkrétních bodech, můžeme hodnoty v nule a jedničce
ignorovat. Navíc je snadné se přesvědčit pomocí l’Hospitalova pravidla,
že lim
x→0+
(x2
− x)/ ln x = 0 a lim
x→1−
(x2
− x)/ ln x = 1. Vnitřní integrál proto
představuje spojitou funkci na intervalu 0, 1 .
Avšak vnější integrál
1
0
x2
− x
ln x
dx (1.6)
se nám elementárními metodami nepodaří spočítat. Nenajdeme totiž primitivní
funkci.
Zkusíme tedy integrovat nejprve podle proměnné x:
M
xy
dxdy =
2
1
1
0
xy
dx dy.
Vnitřní integrál bude
1
0
xy
dx =
xy+1
y + 1
1
0
=
1
y + 1
.
Celkově dostaneme
M
xy
dxdy =
2
1
dy
y + 1
= ln |y + 1|
2
1
= ln(y + 1)
2
1
= ln 3 − ln 2 = ln
3
2
.
20 Dvojný integrál
Je dobré si uvědomit, že toto číslo je současně hodnotou integrálu (1.6), který
jsme nedokázali spočítat. To je důsledkem toho, že oba dvojnásobné integrály
musí mít podle Fubiniovy věty stejnou hodnotu.
Poznámka 1.19. Ve Fubiniově větě 1.14 nelze ve vnitřních integrálech obecně
nahradit horní resp. dolní jednoduchý integrál jednoduchým integrálem. Uvažujme
např. funkci f definovanou na obdélníku a, b × c, d vztahem
f (x, y) =
0 pro a x < b, c y d,
χ(y) pro x = b, c y d,
kde χ je tzv. Dirichletova1
funkce (χ(y) = 1 pro racionální y a χ(y) = 0 pro
iracionální y). Funkce f je na obdélníku integrovatelná. To lze dokázat přímo
(viz cvičení 1 k této kapitole) nebo to plyne z lemmatu 1.12. Ale
d
c f (b, y) dy =
=
d
c χ(y) dy neexistuje, protože
d
c χ(y) dy = 0 < d − c =
d
c χ(y) dy.
Věta 1.20. Buďte f , g funkce integrovatelné na obdélníku M = a, b × c, d
a nechť C je konstanta. Pak
a) funkce Cf je integrovatelná na M a
M
Cf (x, y) dxdy = C
M
f (x, y) dxdy; (1.7)
b) funkce |f | je integrovatelná na M a
M
f (x, y) dxdy
M
|f (x, y)| dxdy; (1.8)
c) funkce f + g je integrovatelná na M a
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
(1.9)
1Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) (čti diriklé) — německý matematik.
Zabýval se teorií čísel, matematickou analýzou a rovnicemi matematické fyziky.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 21
Důkaz.
a) Z příkladu 1.5 víme, že
M
0 dxdy = 0 · m(M) = 0. Tvrzení a) tedy platí pro
C = 0.
Předpokládejme nyní, že C > 0. Pro libovolné dělení D = {Mik : (i, k) ∈ I}
obdélníku M zřejmě platí
inf {Cf (x, y) : [x, y] ∈ Mik} = C inf {f (x, y) : [x, y] ∈ Mik} = Cvik,
kde vik = inf {f (x, y) : [x, y] ∈ Mik}. Analogicky
sup{Cf (x, y) : [x, y] ∈ Mik} = CVik,
kde Vik = sup{f (x, y) : [x, y] ∈ Mik}. Odtud dostáváme
s(D, Cf ) = Cs(D, f ), S(D, Cf ) = CS(D, f )
pro libovolné dělení D obdélníku M. Tedy
M
Cf (x, y) dxdy = sup{s(D, Cf ) : D ∈ D} = sup{Cs(D, f ) : D ∈ D} =
= C sup{s(D, f ) : D ∈ D} = C
M
f (x, y) dxdy,
M
Cf (x, y) dxdy = inf {S(D, Cf ) : D ∈ D} = inf {CS(D, f ) : D ∈ D} =
= C inf {S(D, f ) : D ∈ D} = C
M
f (x, y) dxdy.
Protože jsme zjistili, že
M
Cf (x, y) dxdy =
M
Cf (x, y) dxdy = C
M
f (x, y) dxdy,
je funkce Cf na M integrovatelná a platí
M
Cf (x, y) dxdy = C
M
f (x, y) dxdy.
V případě C < 0 platí s(D, Cf ) = CS(D, f ), S(D, Cf ) = Cs(D, f ) a zbytek
důkazu se provede analogicky jako v případě C > 0.
22 Dvojný integrál
b) Buď D libovolné dělení obdélníku M s dílky Mij , (i, j) ∈ I. Položme
uij = inf {f (x, y) : [x, y] ∈ Mij }, Uij = sup{f (x, y) : [x, y] ∈ Mij },
vij = inf {|f (x, y)| : [x, y] ∈ Mij }, Vij = sup{|f (x, y)| : [x, y] ∈ Mij }
pro (i, j) ∈ I. Pro každé dva body [x, y], [˜x, ˜y] ∈ Mij platí
−(Uij − uij ) = uij − Uij f (x, y) − f (˜x, ˜y) Uij − uij ,
takže |f (x, y) − f (˜x, ˜y)| Uij − uij . Odtud plyne
|f (x, y)| = |f (x, y) − f (˜x, ˜y) + f (˜x, ˜y)| |f (x, y) − f (˜x, ˜y)| +
+ |f (˜x, ˜y)| Uij − uij + |f (˜x, ˜y)|.
pro každé [x, y], [˜x, ˜y] ∈ Mij . Necháme-li v posledním vztahu proběhnout
proběhnout bod [x, y] celý dílek Mij , zjistíme, že pro libovolný bod
[˜x, ˜y] ∈ Mij platí
Vij Uij − uij + |f (˜x, ˜y)|.
Odtud vyplývá nerovnost
Vij Uij − uij + vij ,
takže
0 Vij − vij Uij − uij ,
a tudíž po vynásobení čísly m(Mij ) a sečtení přes všechna (i, j) ∈ I obdržíme
0 S(D, |f |) − s(D, |f |) S(D, f ) − s(D, f ).
Položíme-li v předchozích nerovnostech D = Dn, kde {Dn} je libovolná
nulová posloupnost dělení obdélníku M, dostáváme podle věty 1.10 limitním
přechodem n → ∞
0
M
|f (x, y)| dxdy −
M
|f (x, y)| dxdy
M
f (x, y) dxdy −
M
f (x, y) dxdy = 0.
Je tedy |f | na M integrovatelná. Nerovnost mezi integrály plyne z nerovnosti
−S(D, |f |) S(D, f ) S(D, |f |),
která snadno vyplývá ze zřejmých nerovností −Vij Uij Vij .
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 23
c) Buď D libovolné dělení obdélníku M s dílky Mij , (i, j) ∈ I. Označme
uij = inf {f (x, y) : [x, y] ∈ Mij }, vij = inf {g(x, y) : [x, y] ∈ Mij },
wij = inf {f (x, y) + g(x, y) : [x, y] ∈ Mij }.
Pak f (x, y)+g(x, y) uij +vij pro každé [x, y] ∈ Mij , a tedy uij +vij wij .
Odtud
s(D, f + g) =
i∈I
wij m(Mij )
i∈I
(uij + vij ) m(Mij ) =
=
i∈I
uij m(Mij ) +
i∈I
vij m(Mij ) = s(D, f ) + s(D, g).
Podobně se dokáže
S(D, f + g) S(D, f ) + S(D, g).
Pro libovolné dělení D obdélníku M tedy platí
s(D, f ) + s(D, g) s(D, f + g) S(D, f + g) S(D, f ) + S(D, g).
Pro libovolnou nulovou posloupnost {Dn} dělení obdélníku M tudíž máme
s(Dn, f )+s(Dn, g) s(Dn, f +g) S(Dn, f +g) S(Dn, f )+S(Dn, g).
Limitním přechodem pro n → ∞ dostáváme
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
Odtud vzhledem k rovnosti krajních výrazů plyne, že
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy =
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy =
=
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
Je tedy funkce f + g integrovatelná na M a platí
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
24 Dvojný integrál
Věta 1.21. Nechť funkce f je ohraničená na obdélníku M. Buď D dělení obdélníku
M s dílky dělení Mij , (i, j) ∈ J, kde J = {(i, j) : i = 1, . . . , r; j =
= 1, . . . , s}.
Pak funkce f je integrovatelná na obdélníku M právě tehdy, když je integrovatelná
na všech obdélnících Mij , (i, j) ∈ J. V tom případě platí
M
f (x, y) dxdy =
(i,j)∈J Mij
f (x, y) dxdy. (1.10)
Důkaz. Předpokládejme nejprve, že dělení D má jen dva dílky, označme je M1,
M2 (obdélníky M1, M2 leží buď vedle sebe, nebo nad sebou).
Buď {Dn} libovolná nulová posloupnost dělení obdélníku M1, {Dn} libovolná
nulová posloupnost dělení obdélníku M2. Pak dílky dělení Dn, Dn určují
dělení Dn obdélníku M takové, že dílky tohoto dělení ležící v obdélníku M1
jsou zjemněním Dn dělení Dn a dílky ležící v obdélníku M2 jsou zjemněním Dn
dělení Dn. Zřejmě jsou posloupnosti {Dn}, {Dn} a {Dn} nulové a pro každé n
platí
s(Dn, f ) = s(Dn, f ) + s(Dn, f ).
Odtud limitním přechodem pro n → ∞ dostáváme, že
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy. (1.11)
Podobně se ukáže, že
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy. (1.12)
Odečtením rovností (1.11) a (1.12) obdržíme
M2
f (x, y) dxdy −
M2
f (x, y) dxdy +
M1
f (x, y) dxdy −
−
M1
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy −
M
f (x, y) dxdy.
(1.13)
Předpokládejme nejprve, že funkce f je integrovatelná na obdélníku M, tedy
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy,
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 25
takže pravá strana rovnosti (1.13) je rovna nule. Protože
M2
f (x, y) dxdy −
M2
f (x, y) dxdy 0,
M1
f (x, y) dxdy −
M1
f (x, y) dxdy 0,
dostáváme z nulové levé strany rovnosti (1.13)
M1
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy,
M2
f (x, y) dxdy =
M2
f (x, y) dxdy =
M2
f (x, y) dxdy.
Proto je funkce f integrovatelná na M1 i M2. Ze vztahů (1.11) a (1.12) nyní
plyne
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy. (1.14)
Analogicky se z rovnosti (1.13) dokáže, že z integrovatelnosti funkce f na
M1, M2 plyne její integrovatelnost na M i rovnost (1.14).
Nyní se tvrzení snadno rozšíří indukcí na případ r = 1 a s je libovolné (dílky
leží nad sebou) nebo s = 1 a r je libovolné (dílky leží vedle sebe). Obecný případ
libovolných r, s pak dostaneme spojením těchto dvou speciálních případů.
Důsledek 1.22. Nechť R1 ⊆ R2 jsou obdélníky, funkce f je ohraničená na R1
a f (x, y) = 0 pro každé [x, y] ∈ R2 R1. Pak je funkce f integrovatelná na R1
právě tehdy, když je integrovatelná na R2; přitom, nastane-li tento případ, platí
R1
f (x, y) dxdy =
R2
f (x, y) dxdy. (1.15)
Důkaz. Buď D dělení obdélníku R2 takové, že jeden z jeho dílků je obdélník R1.
Tvrzení plyne z věty 1.21 a lemmatu 1.12.
26 Dvojný integrál
Věta 1.23. Buďte f , g integrovatelné funkce na obdélníku M = a, b × c, d .
Pak platí:
a) Je-li f (x, y) g(x, y) pro každé [x, y] ∈ M, pak
M
f (x, y) dxdy
M
g(x, y) dxdy. (1.16)
b) Funkce max{f, g} a min{f, g} jsou integrovatelné na M.
Důkaz.
a) Je-li f (x, y) g(x, y) pro každé [x, y] ∈ M, je
inf {f (x, y) : [x, y] ∈ Mik} inf {g(x, y) : [x, y[∈ Mik},
sup{f (x, y) : [x, y] ∈ Mik} sup{g(x, y) : [x, y] ∈ Mik}.
Odtud s(D, f ) s(D, g), S(D, f ) S(D, g) pro libovolné D ∈ D(M).
Poslední nerovnosti implikují
M
f (x, y) dxdy
M
g(x, y) dxdy,
M
f (x, y) dxdy
M
g(x, y) dxdy,
takže z integrovatelnosti funkcí f , g na M plyne
M
f (x, y) dxdy
M
g(x, y) dxdy.
b) Protože
max{f (x, y), g(x, y)} =
1
2
f (x, y) + g(x, y) + |f (x, y) − g(x, y)| ,
min{f (x, y), g(x, y)} =
1
2
f (x, y) + g(x, y) − |f (x, y) − g(x, y)|
a funkce f , g jsou integrovatelné na M, jsou podle věty 1.20 na M integrovatelné
i funkce f + g, f − g a |f − g|, a tudíž i f + g + |f − g|,
f + g − |f − g|.
1.2 Ekvivalentní definice dvojného integrálu 27
1.2. Ekvivalentní definice dvojného integrálu
Myšlenka zavést integrál pomocí horních a dolních součtů pochází od Darbouxe1. Původní
Riemannův přístup byl jiný. Uvedeme si jeho definici a dokážeme, že je ekvivalentní
s definicí integrálu z předchozího oddílu. Pro účely tohoto oddílu označíme
integrál ve smyslu definice 1.3 symbolem (D)
M
f (x, y) dxdy a nazveme (D)-integrál.
Funkci mající (D)-integrál nazveme (D)-integrovatelnou.
Nechť M = a, b × c, d je dvojrozměrný interval a D jeho dělení s dílky Mik, kde
(i, k) ∈ J, J = {(i, k) : i = 1, . . . , m; k = 1, . . . , n}. Vyberme v každém dílku Mik
bod [ξi, ηk]. Množinu bodů Ξ = {[ξi, ηk] : (i, k) ∈ J} nazýváme výběrem reprezentantů
dílků dělení D.
Buď f funkce dvou proměnných definovaná na obdélníku M. Položme
σ(D, Ξ, f ) =
m
i=1
n
k=1
f (ξi, ηk) m(Mik).
Číslo σ(D, Ξ, f ) nazýváme integrálním součtem funkce f při dělení D a výběru reprezentantů
Ξ (viz obr. 1.7, kde za reprezentanty dílků jsou zvoleny jejich středy).
Definice 1.24. Řekneme, že funkce f je (R)-integrovatelná (má (R)-integrál) na
obdélníku M, jestliže existuje konstanta I ∈ R s následující vlastností:
K libovolnému číslu ε > 0 existuje číslo δ > 0 takové, že pro každé dělení D ∈ D(M)
s normou ν(D) < δ a pro libovolný výběr Ξ reprezentantů dílků tohoto dělení platí
|I − σ(D, Ξ, f )| < ε.
Číslo I nazýváme dvojným (R)-integrálem funkce f na množině M a píšeme
(R)
M
f (x, y) dxdy = I.
Snadno se ověří, že číslo I z předchozí definice je určeno jednoznačně.
Zatímco pro konstrukci z definice 1.3 bylo podstatné, aby funkce f byla ohraničená
na obdélníku M, v definici 1.24 tento předpoklad nepotřebujeme.
Věta 1.25. Nechť funkce f je (D)-integrovatelná na obdélníku M. Pak je funkce f
na M také (R)-integrovatelná a platí
(D)
M
f (x, y) dxdy = (R)
M
f (x, y) dxdy.
1Jean Gaston Darboux (1842–1917) (čti darbu) — francouzský matematik. Zabýval se diferenciální
geometrií a matematickou analýzou.
28 Dvojný integrál
x
y
z
z = f (x, y)
M
a)
x
y
z
b)
Obr. 1.7: Geometrický význam integrálního součtu
Důkaz. Pro libovolné dělení D obdélníku M s dílky Mik, (i, k) ∈ J, a libovolný výběr
Ξ = {[ξi, ηk] : (i, k) ∈ J} reprezentantů dílků tohoto dělení platí vik f (ξi, ηk) Vik,
kde vik = inf{f (x, y) : [x, y] ∈ Mik}, Vik = sup{f (x, y) : [x, y] ∈ Mik}. Z definice
dolního, horního a integrálního součtu odtud dostáváme
s(D, f ) =
(i,k)∈J
vik m(Mik)
(i,k)∈J
f (ξi, ηk) m(Mik) = σ(D, Ξ, f )
(i,k)∈J
Vik m(Mik) = S(D, f ).
Kromě toho z definice (D)-integrálu plyne nerovnost
s(D, f ) (D)
M
f (x, y) dxdy S(D, f ).
Pro každé dělení D a libovolný výběr Ξ reprezentantů jeho dílků tedy platí
(D)
M
f (x, y) dxdy − σ(D, Ξ, f ) S(D, f ) − s(D, f ).
Buď ε > 0 libovolné číslo. Podle lemmatu 1.7 a poznámky 1.8 k číslu ε/2 > 0
1.2 Ekvivalentní definice dvojného integrálu 29
existuje číslo δ > 0 takové, že pro libovolné dělení D s normou ν(D) < δ platí
0 (D)
M
f (x, y) dxdy − s(D, f ) <
ε
2
,
0 S(D, f ) − (D)
M
f (x, y) dxdy <
ε
2
,
takže
0 S(D, f ) − s(D, f ) < ε.
Pro každé dělení D, které má normu ν(D) < δ, a libovolný výběr Ξ reprezentantů jeho
dílků tudíž platí
(D)
M
f (x, y) dxdy − σ(D, Ξ, f ) < ε,
což podle definice 1.24 znamená, že funkce f je na obdélníku M (R)-integrovatelná
a hodnota (R)-integrálu je rovna hodnotě (D)-integrálu.
Lemma 1.26. Je-li funkce f (R)-integrovatelná na obdélníku M, je na M ohraničená.
Důkaz. K číslu ε = 1 existuje podle definice 1.24 číslo δ > 0 takové, že pro každé
dělení D ∈ D(M) s normou ν(D) < δ a libovolný výběr Ξ reprezentantů dílků tohoto
dělení je
|I − σ(D, Ξ, f )| < 1,
kde I = (R)
M
f (x, y) dxdy. Pak
|σ(D, Ξ, f )| = |σ(D, Ξ, f ) − I + I| |σ(D, Ξ, f ) − I| + |I| < 1 + |I| = K.
Absolutní hodnoty integrálních součtů příslušných všem dělením D ∈ D(M) s normou
ν(D) < δ jsou tudíž bez ohledu na výběr reprezentantů dílků dělení ohraničené
konstantou K.
Zvolme pevně jedno takové dělení D obdélníku M s dílky Mik, (i, k) ∈ J. Připusťme,
že funkce f není ohraničená na M. Pak existuje (i0, k0) ∈ J tak, že na obdélníku
Mi0k0 není f ohraničená. Položme J0 = J {(i0, k0)}.
Pro každé (i, k) ∈ J0 zvolme libovolný bod [ξi, ηk] ∈ Mik. Označme
L =
(i,k)∈J0
f (ξi, ηk) m(Mik).
Protože funkce f není na dílku Mi0k0 ohraničená, lze najít bod [ξi0 , ηk0 ] ∈ Mi0k0 tak,
že
f (ξi0 , ηk0 )
K + |L| + 1
m(Mi0k0 )
.
30 Dvojný integrál
Položme Ξ = {[ξi, ηk] : (i, k) ∈ J}. Pak
|σ(D, Ξ, f )| = f (ξi0 , ηk0 ) m(Mi0k0 ) +
(i,k)∈J0
f (ξi, ηk) m(Mik)
f (ξi0 , ηk0 ) m(Mi0k0 ) −
(i,k)∈J0
f (ξi, ηk) m(Mik)
K + |L| + 1 − |L| = K + 1,
což je spor. Funkce f je tedy na obdélníku M ohraničená.
Lemma 1.27. Nechť funkce f je ohraničená na obdélníku M a D je dělení M. Pak
k libovolnému číslu ε > 0 existují výběry Ξ1, Ξ2 reprezentantů dílků dělení D takové,
že S(D, f ) < σ(D, Ξ1, f ) + ε, s(D, f ) > σ(D, Ξ2, f ) − ε.
Důkaz. Nechť D je dělení obdélníku M s dílky Mik, (i, k) ∈ J. Označme r celkový
počet dílků Mik.
Buď ε > 0 libovolné číslo a (i, k) ∈ J. Z definice suprema Vik funkce f na Mik
vyplývá, že existuje bod [ξi, ηk] ∈ Mik, pro nějž
0 Vik − f (ξi, ηk) <
ε
r m(Mik)
.
Položme Ξ1 = {[ξi, ηk] : (i, k) ∈ J}. Potom
S(D, f ) − σ(D, Ξ1
, f ) =
(i,k)∈J
Vik − f (ξi, ηk) m(Mik) <
<
(i,k)∈J
ε
r m(Mik)
m(Mik) =
(i,k)∈J
ε
r
= ε,
což je první nerovnost. Obdobně se dokáže existence Ξ2 z nerovnosti pro dolní součet.
Věta 1.28. Nechť funkce f je (R)-integrovatelná na obdélníku M. Pak je funkce f
na M také (D)-integrovatelná a platí
(R)
M
f (x, y) dxdy = (D)
M
f (x, y) dxdy.
Důkaz. Podle lemmatu 1.26 je (R)-integrovatelná funkce f na obdélníku M ohraničená,
můžeme tedy konstruovat její dolní a horní součty.
Buď ε > 0 libovolné číslo. Podle definice 1.24 k číslu ε/4 > 0 existuje číslo δ > 0
takové, že pro každé dělení D ∈ D(M) s normou ν(D) < δ a pro libovolný výběr Ξ
reprezentantů dílků tohoto dělení platí
(R)
M
f (x, y) dxdy − σ(D, Ξ, f ) <
ε
4
.
1.3 Měřitelné množiny v R2
31
Zvolme pevně jedno takové dělení D. Podle lemmatu 1.27 lze k číslu ε/4 > 0 nalézt
takové výběry Ξ1, Ξ2 reprezentantů dílků dělení D, že S(D, f ) < σ(D, Ξ1, f ) + ε/4
a s(D, f ) > σ(D, Ξ2, f ) − ε/4. Z předchozích nerovností dostaneme
S(D, f ) − s(D, f ) < σ(D, Ξ1
, f ) − σ(D, Ξ2
, f ) +
ε
2
=
= σ(D, Ξ1
, f ) − (R)
M
f (x, y) dxdy +
+ (R)
M
f (x, y) dxdy − σ(D, Ξ2
, f ) +
ε
2
<
<
ε
4
+
ε
4
+
ε
2
= ε.
Podle lemmatu 1.9 je tudíž funkce f na obdélníku M (D)-integrovatelná. Rovnost
(R)
M
f (x, y) dxdy = (D)
M
f (x, y) dxdy
plyne z věty 1.25.
1.3. Měřitelné množiny v RRR2
V tomto oddílu přiřadíme některým omezeným množinám v rovině nezáporné
číslo, které bude zobecněním pojmu obsah množiny, známého z elementární
geometrie. Při konstrukci použijeme dvojný integrál funkce definované na ob-
délníku.
Definice 1.29. Buď M ⊆ R2
množina. Funkce χM : R2
→ R daná předpisem
χM(x, y) =
1 pro [x, y] ∈ M,
0 pro [x, y] ∈ M
se nazývá charakteristická funkce množiny M.
Poznámka 1.30. Je-li množina M ⊆ R2
omezená, existuje zřejmě vhodný obdélník
R = a, b × c, d tak, že M ⊆ R. Funkce χM je definovaná v celé
rovině R2
, tedy i na obdélníku R — viz obr. 1.8, kde M je kruh.
32 Dvojný integrál
Definice 1.31. Řekneme, že omezená množina M ⊆ R2
je (jordanovsky) měřitelná,
jestliže pro nějaký obdélník R ⊇ M je charakteristická funkce χM
množiny M integrovatelná na obdélníku R. Přitom klademe
m(M) =
R
χM(x, y) dxdy
a číslo m(M) nazýváme (Jordanovou) mírou množiny M.
M
R
1
x
y
z
z = χM(x, y)
Obr. 1.8: Charakteristická funkce kruhu
Poznámka 1.32.
1. Místo m(M) budeme také psát m2(M), abychom zdůraznili, že jde o míru ve
dvojrozměrném prostoru R2
.
2. Definice míry je korektní. Nechť R1, R2 jsou dva obdélníky takové, že platí
M ⊆ R1, M ⊆ R2, a nechť je funkce χM integrovatelná na R1. Buď R takový
obdélník, že R1 ∪ R2 ⊆ R. Podle důsledku 1.22 je funkce χM integrovatelná
na R, a tedy také na R2. Přitom platí
R1
χM(x, y) dxdy =
R
χM(x, y) dxdy =
R2
χM(x, y) dxdy.
Existence ani hodnota integrálu z definice 1.31 tedy nezávisí na volbě obdélníku
R, který zkoumanou množinu M obsahuje.
3. Je-li M = a, b × c, d obdélník, lze zvolit R = M. Pak
m(M) =
R
χM(x, y) dxdy =
R
1 dxdy = (b − a)(d − c).
Definice 1.31 tedy pro obsah obdélníku dává stejnou hodnotu, jako se zavádí
v elementární geometrii (a ve shodě s tím, jak byl symbol m(M) zaveden na
str. 4).
1.3 Měřitelné množiny v R2
33
M
a) S(D, χM)
M
b) s(D, χM)
Obr. 1.9: Geometrické znázornění horního a dolního součtu funkce χM
Poznámka 1.33. Všimněme si geometrického významu horního a dolního součtu
integrálu
R
χM(x, y) dxdy vystupujícího v definici 1.31. Horní součet S(D, χM)
je součet obsahů všech dílků, které obsahují aspoň jeden bod množiny M, dolní
součet s(D, χM) je součet obsahů všech dílků, které jsou podmnožinou množiny
M (viz obr. 1.9). Součet S(D, χM) tedy aproximuje „obsah“ množiny M
shora, zatímco součet s(D, χM) aproximuje „obsah“ množiny M zdola.
Jak již bylo zmíněno v úvodu kapitoly, někdy se Jordanova míra zavádí „přímo“
bez použití integrálu. V různých pramenech — viz např. [21, 23] — se konstrukce
v detailech liší, nicméně vedou na tentýž systém měřitelných množin, jako jsme dostali
my. Naznačíme si princip, jak lze Jordanovu míru alternativně zavést.
Nechť M ⊂ R2 je omezená množina a R = a, b × c, d , a < b, c < d, je obdélník
obsahující M, přičemž a, b, c, d jsou celá čísla. Pro n ∈ N0 označme D1
n ekvidistantní
dělení intervalu a, b s normou ν(D1
n) = 1/2n, D2
n ekvidistantní dělení intervalu c, d
s normou ν(D2
n) = 1/2n a Dn = D1
n × D2
n dělení obdélníku R. Dílky dělení Dn jsou
čtverce o stranách 1/2n.
Buď Jn(M) sjednocení všech dílků dělení Dn, které jsou podmnožinou M, a On(M)
sjednocení všech dílků dělení Dn, které mají neprázdný průnik s M. Definujme míry
těchto množin m(Jn(M)) resp. m(On(M)) jako součty obsahů dílků dělení Dn, které
tvoří tyto množiny. Zřejmě platí m(Jn(M)) = s(Dn, χM) a m(On(M)) = S(Dn, χM)
— srovnejte obr. 1.9.
Snadno se ověří že pro každé m n platí Jm(M) ⊆ Jn(M), Om(M) ⊇ On(M),
m(Jm(M)) m(Jn(M)), m(Om(M)) m(On(M)) a pro libovolné m, n platí Jm(M) ⊆
⊆ On(M), m(Jm(M)) m(On(M)). Z těchto nerovností vyplývá existence konečných
limit lim
n→∞
m(Jn(M)) = m∗(M) a lim
n→∞
m(On(M)) = m∗(M). Platí m∗(M) m∗(M).
Tato čísla nazýváme vnitřní míra a vnější míra množiny M. Definujeme, že množina M
34 Dvojný integrál
je měřitelná, když m∗(M) = m∗(M). Z věty 1.10 plyne, že
R
χM(x, y) dxdy = m∗(M)
a
R
χM(x, y) dxdy = m∗(M). Tudíž takto zavedený pojem měřitelnosti splývá s pojmem
zavedeným v definici 1.31.
Lemma 1.34. Je-li h(M) hranice omezené množiny M ⊆ R2
a je-li R ⊇ M
libovolný obdélník, pak
R
χM(x, y) dxdy −
R
χM(x, y) dxdy
R
χh(M)(x, y) dxdy.
Důkaz. Buď D libovolné dělení obdélníku R s dílky Rik, (i, k) ∈ I. Označme
vik = inf {χM(x, y) : [x, y] ∈ Rik}, Vik = sup{χM(x, y) : [x, y] ∈ Rik},
Uik = sup{χh(M)(x, y) : [x, y] ∈ Rik}.
Zřejmě 0 vik Vik 1 a 0 Uik 1; přitom platí:
i) je-li h(M) ∩ Rik = ∅, pak Uik = 1;
ii) je-li h(M) ∩ Rik = ∅, pak Uik = 0 a vik = Vik.
Poslední rovnost zdůvodníme takto (
◦
M značí vnitřek množiny M):
Je M =
◦
M ∪(h(M)∩M), takže M ∩Rik = (
◦
M ∩Rik)∪(h(M)∩M ∩Rik) =
=
◦
M ∩ Rik, protože h(M) ∩ Rik = ∅. Je-li
◦
M ∩ Rik = ∅, je vik = Vik = 0,
je-li naopak
◦
M ∩ Rik = ∅, je nutně Rik ⊂
◦
M. Připusťme, že tomu tak
není. Označme ext M = R2
(M ∪ h(M)) vnějšek množiny M. Protože
R2
=
◦
M ∪ h(M) ∪ ext M, platí Rik = (
◦
M ∩ Rik) ∪ (h(M) ∩ Rik) ∪ (ext M ∩
∩ Rik) = (
◦
M ∩ Rik) ∪ (ext M ∩ Rik). Tedy otevřené a disjunktní množiny
◦
M a ext M pokrývají dílek Rik, přičemž
◦
M ∩ Rik = ∅, ext M ∩ Rik = ∅.
To ale není možné, protože dílek Rik je souvislá množina. Tedy Rik ⊂
◦
M
a vik = Vik = 1.
Z vlastností i) a ii) plynou nerovnosti Vik − vik Uik. Odtud
S(D, χM) − s(D, χM) =
(i,k)∈I
Vik m(Rik) −
(i,k)∈I
vik m(Rik) =
=
(i,k)∈I
(Vik − vik) m(Rik)
(i,k)∈I
Uik m(Rik) = S(D, χh(M)).
Tudíž
R
χM(x, y) dxdy −
R
χM(x, y) dxdy S(D, χh(M))
1.3 Měřitelné množiny v R2
35
pro libovolné D ∈ D(M), a tedy
R
χM(x, y) dxdy −
R
χM(x, y) dxdy
R
χh(M)(x, y) dxdy.
Věta 1.35. Je-li M ⊆ R2
omezená množina a m(h(M)) = 0, pak je M měřitelná.
Důkaz. Je-li R ⊇ M libovolný obdélník, pak využitím lemmatu 1.34 dostáváme
0 = m(h(M)) =
R
χh(M)(x, y) dxdy =
R
χh(M)(x, y) dxdy
R
χM(x, y) dxdy −
R
χM(x, y) dxdy 0.
Poslední nerovnost je tedy rovností, tudíž funkce χM je integrovatelná na R,
takže množina M je měřitelná.
Poznámka 1.36. Obrácené tvrzení k větě 1.35 dokážeme později jako větu 1.40.
Věta 1.37. Je-li M1 ⊆ M2 ⊆ R2
a je-li M2 měřitelná a m(M2) = 0, pak rovněž
M1 je měřitelná a m(M1) = 0.
Důkaz. Buď R ⊇ M2 libovolný obdélník. Pak z M1 ⊆ M2 plyne 0 χM1
(x, y)
χM2
(x, y) pro každý bod [x, y] ∈ R2
. Odtud vyplývá 0 s(D, χM1
),
S(D, χM1
) S(D, χM2
) pro libovolné dělení D obdélníku R, a tudíž
0
R
χM1
(x, y) dxdy
R
χM1
(x, y) dxdy
R
χM2
(x, y) dxdy =
R
χM2
(x, y) dxdy = 0,
což implikuje
R
χM1
(x, y) dxdy =
R
χM1
(x, y) dxdy =
=
R
χM1
(x, y) dxdy = m(M1) = 0.
36 Dvojný integrál
Věta 1.38. Pro Jordanovu míru platí následující tvrzení:
a) m(∅) = 0.
b) Jsou-li M1, M2 měřitelné množiny, M1 ⊆ M2, pak m(M1) m(M2).
c) m(M) 0 pro libovolnou měřitelnou množinu M.
d) Jsou-li množiny M1, M2 měřitelné, pak také množiny M1 ∪ M2, M1 ∩ M2,
M1 M2 jsou měřitelné.
e) Je-li y = g(x), x ∈ α, β , spojitá funkce, pak graf funkce g, tj. množina
G = {[x, g(x)] : x ∈ α, β }, je měřitelná množina a má míru rovnu nule.
f) Je-li x = h(y), y ∈ γ, δ , spojitá funkce, pak graf funkce h, tj. množina
H = {[h(y), y] : y ∈ γ, δ }, je měřitelná množina a má míru rovnu nule.
Důkaz.
a) Tvrzení plyne z toho, že prázdná množina je obsažena v jakémkoliv obdélníku
a její charakteristická funkce je nulová.
b) Nechť R ⊇ M2 je obdélník. Díky inkluzi M1 ⊆ M2 platí χM1
(x, y)
χM2
(x, y) pro každý bod [x, y]. Odtud podle věty 1.23 plyne
m(M1) =
R
χM1
(x, y) dxdy
R
χM2
(x, y) dxdy = m(M2).
c) Položíme-li v b) M1 = ∅, M2 = M, dostáváme
0 = m(M1) m(M2) = m(M).
d) Zřejmě pro každý bod [x, y] platí
χM1∪M2
(x, y) = max{χM1
(x, y), χM2
(x, y)},
χM1∩M2
(x, y) = min{χM1
(x, y), χM2
(x, y)}.
Podle věty 1.23 jsou funkce χM1∪M2
, χM1∩M2
integrovatelné na libovolném
obdélníku R ⊇ M1 ∪ M2, takže množiny M1 ∪ M2, M1 ∩ M2 jsou měřitelné.
Měřitelnost množiny M1 M2 plyne ze vztahu
χM1 M2
(x, y) = χM1
(x, y) − χM2∩M1
(x, y)
a z věty 1.20, neboť podle dokázané části d) je M1 ∩ M2 měřitelná.
e) Funkce g je spojitá na intervalu α, β , existuje tedy na α, β její maximum
a minimum. Položme a = α, b = β a zvolme c, d ∈ R tak, aby platilo c <
< min{g(x) : x ∈ α, β }, d > max{g(x) : x ∈ α, β }. Pak graf G funkce g
1.3 Měřitelné množiny v R2
37
leží v obdélníku R = a, b × c, d . Protože g je spojitá na α, β , existuje
podle tvrzení před větou 1.11 k libovolnému číslu ε > 0 číslo δ > 0 takové,
že x, x ∈ α, β , |x − x | < δ implikuje |g(x) − g(x )| < ε. Zejména tedy
k libovolnému číslu n ∈ N existuje číslo m ∈ N takové, že pro x, x ∈ α, β ,
|x − x | (b − a)/m platí |g(x) − g(x )| < (d − c)/n.
x
y
a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 = b
c = y0
y1
y2
y3
d = y4
O
y = g(x)
Obr. 1.10
Zvolme dělení D = Dx × Dy obdélníku R s dílky Rik, (i, k) ∈ I, takové, že
Dx : a = x0 < x1 < · · · < xm = b, Dy : c = y0 < y1 < · · · < yn = d, kde
xi = a+(b−a)i/m (i = 0, 1, . . . , m), yk = c+(d −c)k/n (k = 0, 1, . . . , n).
Položme Vik = sup{χG(x, y) : [x, y] ∈ Rik}. Pro x, x ∈ xi−1, xi je |g(x) −
−g(x )| < (d −c)/n. Graf G může tedy mít neprázdný průnik maximálně se
dvěma sousedícími dílky dělení D ležícími nad (pod) sebou (viz obr. 1.10).
Celkový počet dílků majících neprázdný průnik s grafem G je tedy roven
maximálně 2m. Pro tyto dílky platí Vik = 1, pro ostatní Vik = 0, tudíž
S(D, χG) =
(i,k)∈I
Vik m(Rik) 2m
b − a
m
·
d − c
n
=
2(b − a)(d − c)
n
.
Jelikož
lim
n→∞
2(b − a)(d − c)
n
= 0,
platí inf {S(D, χG) : D ∈ D(R)} = 0. Odtud
R
χG(x, y) dxdy = 0. Protože
38 Dvojný integrál
χG je nezáporná funkce, dostáváme
0
R
χG(x, y) dxdy
R
χG(x, y) dxdy = 0.
Tedy
m(G) =
R
χG(x, y) dxdy = 0.
f) Důkaz se provede podobně jako v e) záměnou rolí x a y.
Věta 1.39. Jsou-li M1, M2 měřitelné množiny, pak platí:
a) m(M1 ∪ M2) = m(M1) + m(M2) − m(M1 ∩ M2).
b) m(M1 ∪ M2) m(M1) + m(M2).
c) m(M1 M2) = m(M1) − m(M1 ∩ M2).
d) Je-li navíc M1 ⊇ M2, pak m(M1 M2) = m(M1) − m(M2).
e) Platí-li navíc m(M1 ∩ M2) = 0, pak m(M1 ∪ M2) = m(M1) + m(M2).
Důkaz. Vzhledem k větě 1.38 plyne z měřitelnosti množin M1, M2 měřitelnost
množin M1 ∪ M2, M1 ∩ M2 a M1 M2. Buď R ⊇ M1 ∪ M2 obdélník.
a) Protože χM1∪M2
(x, y) = χM1
(x, y) + χM2
(x, y) − χM1∩M2
(x, y), máme
m(M1 ∪ M2) =
R
χM1∪M2
(x, y) dxdy =
=
R
χM1
(x, y) dxdy +
R
χM2
(x, y) dxdy −
R
χM1∩M2
(x, y) dxdy =
= m(M1) + m(M2) − m(M1 ∩ M2).
b) Plyne z a), neboť m(M1 ∩ M2) 0.
c) Protože χM1 M2
(x, y) = χM1
(x, y) − χM1∩M2
(x, y), platí
m(M1 M2) =
R
χM1 M2
(x, y) dxdy =
=
R
χM1
(x, y) dxdy −
R
χM1∩M2
(x, y) dxdy = m(M1) − m(M1 ∩ M2).
d) Plyne z c).
e) Plyne z a).
1.3 Měřitelné množiny v R2
39
Dá se ukázat, že platí i obrácené tvrzení k větě 1.35:
Věta 1.40. Je-li množina M ⊆ R2
měřitelná, pak je i její hranice h(M) měřitelná
a platí m(h(M)) = 0.
Důkaz. Buď ε > 0 libovolné. Nechť R ⊇ M je libovolný obdélník. Bez újmy na
obecnosti lze předpokládat, že R je tak velký, že existuje obdélník R1 s vlastností
M ⊆ R1 ⊂
◦
R, kde
◦
R je vnitřek obdélníku R. Protože množina M je měřitelná,
je funkce χM integrovatelná na R a podle lemmatu 1.9 existuje dělení D ∈ D(R)
s dílky Rij , (i, j) ∈ I, takové, že S(D, χM) − s(D, χM) < ε. Nechť I , I a I
jsou podmnožiny I takové, že
(i, j) ∈ I , právě když Rij ⊆ M,
(i, j) ∈ I , právě když Rij ∩ M = ∅,
(i, j) ∈ I , právě když Rij ∩ M = ∅.
Pak I = I I , I ⊆ I , I = I ∪(I I )∪I , I ∩(I I ) = ∅, I ∩I = ∅
a I ∩I = ∅. Množina I je tak rozdělena na tři disjunktní (ne nutně neprázdné)
třídy I , I I a I . Přitom platí
(i,j)∈I
Rij ⊆ M ⊆
(i,j)∈I
Rij ⊆ R. Položme
Vij = sup{χM(x, y) : [x, y] ∈ Rij }, vij = inf {χM(x, y) : [x, y] ∈ Rij } pro
každé (i, j) ∈ I.
Je-li (i, j) ∈ I , pak vzhledem k tomu, že Rij ⊆ M, platí Vij = vij = 1. Je-li
(i, j) ∈ I I , pak Rij ⊆ M, Rij ∩M = ∅ a Vij = 1, vij = 0. Je-li (i, j) ∈ I ,
pak vzhledem k tomu, že Rij ∩ M = ∅, máme Vij = vij = 0.
Ukážeme ve třech krocích, že h(M) ⊆ K, kde K =
(i,j)∈I I
Rij .
i) Protože M ⊆ R1 a obdélník R1 je uzavřený, je h(M) ⊆ R1 ⊂
◦
R ⊂
(i,j)∈I
Rij .
ii) Nechť A ∈ h(M) a A ∈ Rij , kde (i, j) ∈ I . Pak A /∈
◦
Rij (jinak by A byl
vnější bod množiny M) a A /∈ M. Tedy A je hromadný bod M, který leží
na některé straně obdélníku Rij a přitom M ∩ Rij = ∅. Musí tedy existovat
další dílky dělení D, na jejichž některé straně leží bod A, a alespoň jeden
z těchto dílků, nechť je to Rkl, je takový, že (k, l) ∈ I . Přitom z A /∈ M
plyne, že (k, l) /∈ I . To znamená, že A ∈ K. A byl libovolný bod s danou
vlastností, tedy h(M) ∩
(i,j)∈I
Rij ⊆ K.
iii) Nechť A ∈ h(M) a A ∈ Rij , kde (i, j) ∈ I . Pak A /∈
◦
Rij (jinak by A
byl vnitřní bod M) a A ∈ M. Dílek Rij není „krajním“ dílkem dělení D
(tj. žádná jeho strana není částí některé strany obdélníku R — „krajní“ dílek
nemůže být podmnožinou M, protože M ⊆ R1 a R1 ⊂
◦
R). Existují tedy
40 Dvojný integrál
další dílky Rrs, (r, s) ∈ I , na jejichž některé straně leží bod A, a alespoň
jeden z těchto dílků, nechť je to Rkl, je takový, že (k, l) ∈ I I (jinak by
A byl vnitřní bod M). To znamená, že A ∈ K. Bod A byl libovolný, tedy
h(M) ∩
(i,j)∈I
Rij ⊆ K.
Užitím věty 1.39 e) dostáváme
ε > S(D, χM) − s(D, χM) =
(i,j)∈I
Vij m(Rij ) −
(i,j)∈I
vij m(Rij ) =
=
(i,j)∈I
m(Rij ) −
(i,j)∈I
m(Rij ) =
(i,j)∈I I
m(Rij ) = m(K).
Z dokázané inkluze K ⊇ h(M) plyne nerovnost χK(x, y) χh(M)(x, y) 0
pro každé [x, y] ∈ R, takže platí
ε > m(K) =
R
χK(x, y) dxdy =
R
χK(x, y) dxdy
R
χh(M)(x, y) dxdy
R
χh(M)(x, y) dxdy 0.
Protože ε > 0 bylo libovolné, je
R
χh(M)(x, y) dxdy =
R
χh(M)(x, y) dxdy =
R
χh(M)(x, y) dxdy = 0,
tj. množina h(M) je měřitelná a m(h(M)) = 0.
Důsledek 1.41. Omezená množina M ⊆ R2
je jordanovsky měřitelná právě
tehdy, když m2(h(M)) = 0.
Definice 1.42. Nechť ϕ, ψ jsou spojité funkce na intervalu a, b takové, že
ϕ(x) ψ(x) pro x ∈ a, b . Označme A = {[x, y] ∈ R2
: x ∈ a, b , ϕ(x)
y ψ(x)}. Říkáme, že A je elementární množina vzhledem k ose x.
Podobně, jsou-li ϕ, ψ spojité funkce na intervalu c, d takové, že ϕ(y) ψ(y)
pro y ∈ c, d , a je-li A = {[x, y] ∈ R2
: y ∈ c, d , ϕ(y) x ψ(y)},
řekneme, že A je elementární množina vzhledem k ose y.
Říkáme, že množina A ⊆ R2
je elementární, je-li elementární vzhledem k ose x
nebo vzhledem k ose y.
1.3 Měřitelné množiny v R2
41
x
y
a b
y = ϕ(x)
y = ψ(x)
M1
a)
x
y
c
d
x = ϕ(y) x = ψ(y)
M2
b)
Obr. 1.11: Příklady elementárních množin v rovině
Věta 1.43. Každá elementární množina je měřitelná.
Důkaz. Nechť A je pro určitost elementární množina vzhledem k ose x. Pak
h(A) = U1 ∪U2 ∪G1 ∪G2, kde U1, U2 jsou úsečky (rovnoběžné s osou y), které
lze chápat jako grafy (konstantních) funkcí proměnné y spojitých na kompaktním
intervalu, a G1, G2 jsou grafy spojitých funkcí proměnné x na kompaktním
intervalu. Podle věty1.38 je m(U1) = m(U2) = m(G1) = m(G2) = 0. Abychom
dokázali, že A je měřitelná, stačí podle věty 1.35 ukázat, že m(h(A)) = 0. To
však plyne z věty 1.39, neboť
0 m(h(A)) = m(U1 ∪ U2 ∪ G1 ∪ G2)
m(U1) + m(U2) + m(G1) + m(G2) = 0.
Poznámka 1.44.
a) Obrazce studované v elementární geometrii (např. trojúhelník, čtverec, obdélník,
mnohoúhelník, kruh) jsou elementární množiny nebo sjednocení konečného
počtu elementárních množin. Jsou tedy měřitelné.
b) Z předchozích výsledků vyplývá, že systém jordanovsky měřitelných množin
v rovině má následující vlastnosti:
1) S každými dvěma množinami M1, M2 obsahuje i jejich rozdíl M1 M2.
2) S libovolnou konečnou posloupností množin M1, . . . , Mk obsahuje i jejich
sjednocení
k
i=1
Mi a průnik
k
i=1
Mi.
42 Dvojný integrál
Takový systém množin se nazývá množinový okruh. Říkáme také, že systém
jordanovsky měřitelných množin je uzavřený vzhledem k rozdílu a konečným
sjednocením a průnikům.
V řadě aplikací, zejména u limitních přechodů, je důležité, aby systém měřitelných
množin byl uzavřený i vzhledem ke spočetným sjednocením (tzv.
množinový σ-okruh) a spočetným průnikům (tzv. množinový δ-okruh), tj.
aby z měřitelnosti množin M1, M2, . . . plynula i měřitelnost množin
∞
i=1
Mi
a
∞
i=1
Mi. Tyto vlastnosti však systém jordanovsky měřitelných množin nemá
— viz cvičení 27 k této kapitole. To je důvodem, proč se zavádějí obecnější
míry než Jordanova. Nejrozšířenější z nich je bezesporu Lebesgueova1
míra.
1.4. Dvojný integrál na měřitelné množině
Definice 1.45. Nechť M ⊆ R2
je měřitelná množina a nechť f je ohraničená
funkce na M. Funkci f nazveme integrovatelnou (integrace schopnou)
na množině M, jestliže funkce χMf určená předpisem
(χMf )(x, y) =
f (x, y) pro [x, y] ∈ M,
0 pro [x, y] ∈ M
je integrovatelná na nějakém obdélníku R ⊇ M. Dvojný integrál funkce f na
množině M (přes množinu M) pak definujeme vztahem
M
f (x, y) dxdy =
R
(χMf )(x, y) dxdy.
Poznámka 1.46.
a) Podobně jako u definice míry (definice 1.31) lze ukázat, že definice 1.45 je
korektní, tj. že integrál
M
f (x, y) dxdy nezávisí na volbě obdélníku R ⊇ M.
b) Je-li M obdélník, lze zvolit R = M. Pak
M
f (x, y) dxdy =
R
(χMf )(x, y) dxdy =
R
f (x, y) dxdy,
1Henri Léon Lebesgue (1875–1941) (čti lebeg) — francouzský matematik. Zabýval se teorií
funkcí a integrálu. Jím zavedená míra a integrál významně ovlivnily matematiku 20. století.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 43
pokud aspoň jeden z uvedených integrálů existuje. Integrál funkce f přes
obdélník tedy nezávisí na tom, použijeme-li definici 1.3, nebo definici 1.45.
Následující věta je zobecněním dříve uvedené věty pro obdélník.
Věta 1.47. Funkce f spojitá a ohraničená na měřitelné množině M ⊆ R2
je na
množině M integrovatelná.
Důkaz. Buď ε > 0 libovolné. Nechť R ⊇ M je libovolný obdélník. Vzhledem
k ohraničenosti funkce f na množině M existuje konstanta K > 0 taková, že
|(χMf )(x, y)| K pro každé [x, y] ∈ R. Protože množina M je měřitelná,
je podle věty 1.40 m(h(M)) = 0 a podle lemmatu 1.7 existuje číslo δ1 > 0
s vlastností, že pro libovolné dělení D ∈ D(R) s normou ν(D) < δ1 platí
0 = m(h(M)) =
R
χh(M)(x, y) dxdy S(D, χh(M)) <
ε
4(K + 1)
.
Nechť Rij , (i, j) ∈ I, značí dílky dělení D. Buď I podmnožina množiny I
taková, že Rij , (i, j) ∈ I , jsou všechny dílky dělení D mající neprázdný průnik
s hranicí h(M) množiny M. Podobně nechť I je podmnožina množiny I taková,
že Rij , (i, j) ∈ I , jsou všechny dílky dělení D, pro něž Rij ⊆ M, Rij ∩h(M) =
= ∅. Je I ∩ I = ∅. Položme M1 =
(i,j)∈I
Rij . Zřejmě je h(M) ⊆ M1 ⊆ R
a s ohledem na větu 1.39 platí
m(M1) = m
(i,j)∈I
Rij =
(i,j)∈I
m(Rij ) = S(D, χh(M)) <
ε
4(K + 1)
.
Položme nyní M2 =
(i,j)∈I
Rij . Množina M2 je zřejmě kompaktní a platí M2 ⊆
⊆ M ⊆ M1 ∪ M2.
Poslední inkluzi dokážeme takto: Nechť A ∈ M M2. Jestliže A ∈ h(M),
pak A ∈ M1. Nechť A /∈ h(M), tj. A ∈
◦
M, a nechť A ∈ Rij , kde Rij je dílek
dělení D, (i, j) /∈ I , tj. Rij ∩ (R2
◦
M) = ∅. Připusťme, že h(M) ∩ Rij = ∅.
Pak Rij ⊆
◦
M ∪ ext M, kde ext M = R2
(M ∪ h(M)) je vnějšek množiny M.
Přitom
◦
M, ext M jsou otevřené, disjunktní a Rij ∩
◦
M = ∅, Rij ∩ ext M = ∅. To
je spor s tím, že obdélník Rij je souvislá množina. Tedy (i, j) ∈ I a A ∈ M1.
Protože množina M2 je kompaktní, existuje podle tvrzení před větou 1.11
číslo δ2 > 0 takové, že pro [x1, y1] ∈ M2, [x2, y2] ∈ M2, ((x1, y1), (x2, y2)) <
< δ2 platí |f (x1, y1)−f (x2, y2)| < ε/(2 m(R)). Položme δ = min(δ1, δ2). Nechť
D1 je dělení obdélníku R s dílky R1
kl, (k, l) ∈ J, které je takovým zjemněním
dělení D, že ν(D1) < δ. Buď J ⊆ J je takové, že R1
kl ⊆ M1 právě pro (k, l) ∈ J .
44 Dvojný integrál
Nechť J ⊆ J je takové, že R1
kl ⊆ M2 právě pro (k, l) ∈ J . Snadno se ověří,
že
(i,j)∈I
Rij =
(k,l)∈J
R1
kl = M1 a
(i,j)∈I
Rij =
(k,l)∈J
R1
kl = M2. Položme
Vij = sup{(χMf )(x, y) : [x, y] ∈ Rij }, vij = inf {(χMf )(x, y) : [x, y] ∈ Rij }
pro (i, j) ∈ I,
V 1
kl = sup{(χMf )(x, y) : [x, y] ∈ R1
kl}, v1
kl = inf {(χMf )(x, y) : [x, y] ∈ R1
kl}
pro (k, l) ∈ J. Zřejmě platí V 1
kl = max{f (x, y) : [x, y] ∈ R1
kl} pro (k, l) ∈ J
a v1
kl = min{f (x, y) : [x, y] ∈ R1
kl} pro (k, l) ∈ J , |V 1
kl| K, |v1
kl| K pro
(k, l) ∈ J a V 1
kl = v1
kl = 0 pro (k, l) ∈ J (J ∪ J ). Nyní
0 S(D1, χMf ) − s(D1, χMf ) =
(k,l)∈J
V 1
kl m(R1
kl) −
(k,l)∈J
v1
kl m(R1
kl) =
=
(k,l)∈J
(V 1
kl − v1
kl) m(R1
kl) +
(k,l)∈J
V 1
kl m(R1
kl) −
(k,l)∈J
v1
kl m(R1
kl)
ε
2 m(R) (k,l)∈J
m(R1
kl) + 2K
(k,l)∈J
m(R1
kl)
ε
2 m(R)
m(R) + 2K
(i,j)∈I
m(Rij ) =
=
ε
2
+ 2KS(D, χh(M)) <
ε
2
+ 2K
ε
4(K + 1)
<
ε
2
+
ε
2
= ε.
Podle lemmatu 1.9 je funkce χMf integrovatelná na R, a tudíž funkce f je
integrovatelná na M.
Důsledek 1.48. Buď f spojitá funkce na kompaktní měřitelné množině M. Pak
funkce f je integrovatelná na M.
Podobně jako u dvojných integrálů přes daný obdélník mají integrály přes
měřitelnou množinu následující vlastnosti.
Věta 1.49. Nechť f , g jsou funkce integrovatelné na měřitelné množině M ⊆ R2
.
Pak platí:
a) Funkce f + g je integrovatelná na M a platí
M
[f (x, y) + g(x, y)] dxdy =
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 45
b) Je-li c ∈ R konstanta, pak funkce cf je integrovatelná na M a platí
M
cf (x, y) dxdy = c
M
f (x, y) dxdy.
c) Funkce |f | je integrovatelná na M a platí
M
f (x, y) dxdy
M
|f (x, y)| dxdy.
d) Je-li f (x, y) g(x, y) pro každé [x, y] ∈ M, pak
M
f (x, y) dxdy
M
g(x, y) dxdy.
Vlastnost z tvrzení b) se nazývá homogenita integrálu vzhledem k integrandu,
vlastnost z tvrzení a) se nazývá aditivita integrálu vzhledem k integrandu.
Důkaz. Protože každý dvojný integrál přes množinu M je definován vztahem
M
f (x, y) dxdy =
R
(χMf )(x, y) dxdy,
kde R ⊇ M je obdélník, plynou uvedená tvrzení z věty 1.20 a věty 1.23 pro
integrály přes obdélník, neboť pro každý bod [x, y] platí
(χM(f + g))(x, y) = (χMf )(x, y) + (χMg)(x, y),
(χM(cf ))(x, y) = c(χMf )(x, y),
−|(χMf )(x, y)| = −(χM|f |)(x, y)
(χMf )(x, y) (χM|f |)(x, y) = |(χMf )(x, y)|,
(χMf )(x, y) (χMg)(x, y), je-li f (x, y) g(x, y).
Věta 1.50.
a) Je-li M ⊆ R2
měřitelná a je-li k ∈ R konstanta, pak
M
k dxdy = k m(M).
46 Dvojný integrál
b) Nechť f je funkce ohraničená na množině M ⊆ R2
míry nula. Pak je f na M
integrovatelná a platí
M
f (x, y) dxdy = 0.
c) Je-li funkce f integrovatelná na měřitelné množině M1 ⊆ R2
i na měřitelné
množině M2 ⊆ R2
a je-li m(M1 ∩ M2) = 0, pak f je integrovatelná na
M1 ∪ M2 a platí
M1∪M2
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy.
Vlastnost z tvrzení c) se v případě, kdy M1 ∩ M2 = ∅, nazývá aditivita
integrálu vzhledem k integračnímu oboru.
Důkaz.
a) Konstantní funkce f daná předpisem f (x, y) = k pro každé [x, y] ∈ M je
ohraničená a spojitá na M, takže podle věty 1.47 je integrovatelná na M. Je-li
R ⊇ M obdélník, platí
M
f (x, y) dxdy =
R
(χMf )(x, y) dxdy =
= k
R
χM(x, y) dxdy = k m(M).
b) Protože funkce f je ohraničená na množině M, existuje konstanta K > 0
taková, že −K f (x, y) K, je-li [x, y] ∈ M. Odtud −KχM(x, y)
(χMf )(x, y) KχM(x, y) pro každé [x, y] ∈ R, kde R ⊇ M je obdélník.
Tedy
s(D, −KχM) s(D, χMf ) s(D, KχM),
S(D, −KχM) S(D, χMf ) S(D, KχM)
pro libovolné D ∈ D(R). Díky předpokladu m(M) = 0 tudíž
0 = −K m(M) =
R
(−K)χM(x, y) dxdy
R
(χMf )(x, y) dxdy
R
(χMf )(x, y) dxdy
R
KχM(x, y) dxdy = K m(M) = 0.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 47
Odtud plyne integrovatelnost funkce f na M s výsledkem
M
f (x, y) dxdy =
R
(χMf )(x, y) dxdy =
R
(χMf )(x, y) dxdy =
=
R
(χMf )(x, y) dxdy = 0.
c) Buď R ⊇ M1 ∪ M2 libovolný obdélník. Zřejmě pro každý bod [x, y] platí
(χM1∪M2
f )(x, y) = (χM1
f )(x, y) + (χM2
f )(x, y) − (χM1∩M2
f )(x, y).
Protože m(M1 ∩ M2) = 0, je podle b)
M1∩M2
f (x, y) dxdy = 0. Celkově
s přihlédnutím k větě 1.49 dostáváme
M1∪M2
f (x, y) dxdy =
R
(χM1∪M2
f )(x, y) dxdy =
=
R
(χM1
f )(x, y) dxdy +
R
(χM2
f )(x, y) dxdy −
−
R
(χM1∩M2
f )(x, y) dxdy =
=
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy −
M1∩M2
f (x, y) dxdy =
=
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy.
Věta 1.51. Nechť funkce f a g jsou integrovatelné na měřitelné množině M ⊆
⊆ R2
. Pak i jejich součin fg je integrovatelný na M.
Důkaz. Předpokládejme nejprve, že funkce f a g jsou na M nezáporné. Nechť
R ⊇ M je obdélník. Z integrovatelnosti f a g plyne, že jsou ohraničené, takže
existuje konstanta K taková, že 0 (χMf )(x, y) K, 0 (χMg)(x, y) K,
kdykoliv [x, y] ∈ R. Buď ε > 0 libovolné. Podle lemmatu 1.9 k číslu ε/2K > 0
existují dělení D1, D2 obdélníku R tak, že S(D1, χMf )−s(D1, χMf ) < ε/(2K),
S(D2, χMg) − s(D2, χMg) < ε/(2K). Je-li D společné zjemnění D1 a D2, pak
s(D1, χMf ) s(D, χMf ) S(D, χMf ) S(D1, χMf ),
s(D2, χMg) s(D, χMg) S(D, χMg) S(D2, χMg),
48 Dvojný integrál
a tedy
S(D, χMf ) − s(D, χMf ) S(D1, χMf ) − s(D1, χMf ) < ε/(2K) ,
S(D, χMg) − s(D, χMg) S(D2, χMg) − s(D2, χMg) < ε/(2K) .
Nechť Rij , kde (i, j) ∈ I = {(k, l) : k = 1, . . . , m; l = 1, . . . , n}, jsou dílky
dělení D. Pro každé (i, j) ∈ I označme
uij = inf{(χMf )(x, y) : [x, y] ∈ Rij }, Uij = sup{(χMf )(x, y) : [x, y] ∈ Rij },
vij = inf{(χMg)(x, y) : [x, y] ∈ Rij }, Vij = sup{(χMg)(x, y) : [x, y] ∈ Rij },
wij = inf{(χM(fg))(x, y) : [x, y] ∈ Rij },
Wij = sup{(χM(fg))(x, y) : [x, y] ∈ Rij }.
Protože uij vij (χMf )(x, y) · (χMg)(x, y) Uij Vij pro každé [x, y] ∈ Rij ,
platí uij vij wij Wij Uij Vij . Odtud dostaneme
Wij − wij Uij Vij − uij vij = Uij Vij − Uij vij + Uij vij − uij vij =
= Uij (Vij − vij ) + vij (Uij − uij ) K(Vij − vij + Uij − uij ).
Nyní vynásobíme tuto nerovnost číslem m(Rij ) a sečteme přes všechna (i, j) ∈ I.
Vyjde:
S(D, χM(fg)) − s(D, χM(fg))
K S(D, χMf ) − s(D, χMf ) + S(D, χMg) − s(D, χMg) <
< K
ε
2K
+
ε
2K
= ε.
Podle lemmatu 1.9 je funkce χM(fg) integrovatelná na R, což vzhledem k definici
1.45 znamená, že funkce fg je integrovatelná na M.
Nechť nyní f a g jsou libovolné funkce integrovatelné na M. Z integrovatelnosti
plyne, že jsou na M zdola ohraničené. Tedy existuje konstanta L taková,
že f (x, y) L, g(x, y) L pro každé [x, y] ∈ M. Funkce f − L a g − L
jsou nezáporné a podle vět 1.50, část a) a 1.49, část a) integrovatelné. Podle
první části důkazu je proto integrovatelná funkce (f − L)(g − L). Vzhledem
k rovnosti fg = (f − L)(g − L) + Lf + Lg − L2
je podle věty 1.49, části a)
a b) funkce fg integrovatelná na M.
Věta 1.52. Nechť funkce f je integrovatelná na měřitelné množině M ⊆ R2
a N ⊆ M je její měřitelná podmnožina. Pak je funkce f integrovatelná i na N.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 49
Důkaz. Nechť R ⊇ M je obdélník. Podle předpokladů existují integrály
R
(χMf )(x, y) dxdy a
R
χN (x, y) dxdy.
Podle věty 1.51 existuje integrál
R
(χMf )(x, y)χN (x, y) dxdy =
R
(χN f )(x, y) dxdy,
neboť z N ⊆ M plyne χMf · χN = χN f . To znamená, že funkce f je integrovatelná
na N.
Věta 1.53. Nechť funkce f a g jsou definované na měřitelné množině M, přičemž
f je integrovatelná, g je ohraničená a platí m(M1) = 0, kde M1 =
= {[x, y] ∈ M : f (x, y) = g(x, y)}. Pak funkce g je na množině M integrovatelná
a platí
M
f (x, y) dxdy =
M
g(x, y) dxdy.
Důkaz. Položme M2 = M M1. Podle věty 1.38, část d) je M2 měřitelná,
a protože χM1
(g − f ) je ohraničená funkce, která je na M2 nulová, platí podle
věty 1.38 s přihlédnutím k m(M1) = 0 a k větě 1.50 rovnosti
M2
χM1
(g − f )(x, y) dxdy = 0,
M1
χM1
(g − f )(x, y) dxdy = 0.
Podle věty 1.50, část c) je funkce χM1
(g − f ) integrovatelná na M a platí
M
χM1
(g − f )(x, y) dxdy =
=
M1
χM1
(g − f )(x, y) dxdy +
M2
χM1
(g − f )(x, y) dxdy = 0.
Zřejmě f + χM1
(g − f ) = g na M, takže podle věty 1.49 je funkce g na M
50 Dvojný integrál
integrovatelná a
M
g(x, y) dxdy =
M
f (x, y) + χM1
(g − f )(x, y) dxdy =
=
M
f (x, y) dxdy +
M
χM1
(g − f )(x, y) dxdy =
=
M
f (x, y) dxdy.
Poznámka 1.54. Předchozí věta říká, že změna integrovatelné funkce na množině
míry nula nemění integrovatelnost funkce ani hodnotu integrálu.
Jinak řečeno, funkce, která je definovaná a ohraničená na měřitelné množině,
avšak není integrovatelná, se po změně na množině míry nula nemůže
stát integrovatelnou (jinak by podle předchozí věty musela být původní funkce
integrovatelná, protože by se lišila od integrovatelné funkce pouze na množině
nulové míry).
Pro vyjádření dvojného integrálu přes elementární množinu pomocí dvojnásobného
integrálu platí
Věta 1.55 (Fubiniova věta). Buď M elementární množina v R2
vzhledem k ose x,
tj.
M = {[x, y] ∈ R2
: x ∈ a, b , ϕ(x) y ψ(x)},
kde ϕ, ψ jsou spojité funkce na a, b takové, že ϕ(x) ψ(x) pro každé
x ∈ a, b . Je-li funkce f spojitá na M, pak platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
f (x, y) dy dx.
Důkaz. Elementární množina je kompaktní a měřitelná, tedy podle důsledku 1.48
je spojitá funkce f na množině M integrovatelná. Buď c < min{ϕ(x):x ∈ a, b },
d > max{ψ(x) : x ∈ a, b }, R = a, b × c, d . Pro každý bod [x, y] ∈ R
platí
(χMf )(x, y) =
f (x, y) je-li ϕ(x) y ψ(x),
0 je-li y < ϕ(x), nebo y > ψ(x).
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 51
Podle definice a podle Fubiniovy věty (věta 1.14) je
M
f (x, y) dxdy =
R
(χMf )(x, y) dxdy =
b
a
d
c
(χMf )(x, y) dy dx.
(1.17)
x
y
a bx
c
d
y = ϕ(x)
y = ψ(x)
R
M
Mx
1
Mx
2
Mx
3
Obr. 1.12
Označme pro x ∈ a, b
Mx
1 = c, ϕ(x) ,
Mx
2 = ϕ(x), ψ(x) ,
Mx
3 = ψ(x), d ,
viz obr. 1.12. Funkce (χMf )(x, ·)
je spojitá na intervalu Mx
2 , přičemž
(χMf )(x, y) = f (x, y) pro každé
y ∈ Mx
2 , a je rovna nule (s případnou
výjimkou hodnoty v jednom krajním
bodě) na intervalech Mx
1 , Mx
3 . Tedy
je integrovatelná na Mx
1 , Mx
2 , Mx
3 ,
a tudíž i na intervalu c, d . Proto
d
c
(χMf )(x, y) dxdy =
d
c
(χMf )(x, y) dxdy =
=
ϕ(x)
c
(χMf )(x, y) dxdy +
ψ(x)
ϕ(x)
(χMf )(x, y) dxdy +
+
d
ψ(x)
(χMf )(x, y) dxdy =
ψ(x)
ϕ(x)
f (x, y) dxdy.
Dosazením do (1.17) dostáváme tvrzení.
Poznámka 1.56.
a) Je-li M elementární množina vzhledem k ose y, tj.
M = {[x, y] ∈ R2
: y ∈ c, d , ϕ(y) x ψ(y)},
kde ϕ, ψ jsou spojité funkce na c, d takové, že ϕ(y) ψ(y) pro každé
y ∈ c, d , a je-li funkce f spojitá na M, pak platí
M
f (x, y) dxdy =
d
c
ψ(y)
ϕ(y)
f (x, y) dx dy.
52 Dvojný integrál
b) Zatímco integrál
M
f (x, y) dxdy se nazývá dvojný integrál, integrály
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
f (x, y) dy dx,
d
c
ψ(y)
ϕ(y)
f (x, y) dx dy
se nazývají dvojnásobné integrály.
c) Předchozí věta zůstane v platnosti, i když bude funkce f pouze integrovatelná
(tj. ne nutně spojitá) na množině M. Ve vnitřních integrálech je však třeba
použít horní resp. dolní jednoduchý integrál (srov. s větou 1.14).
d) K označení dvojnásobných integrálů se používá rovněž zápisu
b
a
dx
ψ(x)
ϕ(x)
f (x, y) dy, resp.
d
c
dy
ψ(y)
ϕ(y)
f (x, y) dx.
Příklad 1.57. Vypočtěte:
a)
M
(x + y) dxdy, kde množina M je omezena křivkami y = x2
, y = x.
b)
M
xy dxdy, kde množina M je trojúhelník o vrcholech [0, 0], [1, 1], [2, 0].
Řešení.
a) Množina M je elementární vzhledem k ose x i vzhledem k ose y.
1. Zapíšeme-li množinu M jako elementární
množinu vzhledem k ose x,
máme
M :
0 x 1,
x2
y x. x
y
1
1
O
M
y = x2
y = x
Odtud
M
(x + y) dxdy =
1
0
x
x2
(x + y) dy dx =
1
0
xy +
y2
2
x
x2
dx =
=
1
0
x2
+
x2
2
− x3
+
x4
2
dx =
1
0
3
2
x2
− x3
−
x4
2
dx =
=
x3
2
−
x4
4
−
x5
10
1
0
=
1
2
−
1
4
−
1
10
=
10 − 5 − 2
20
=
3
20
.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 53
2. Ke stejnému výsledku dojdeme i v případě, uvažujeme-li množinu M jako
elementární množinu vzhledem k ose y:
M :
0 y 1,
y x
√
y.
Pak
M
(x + y) dxdy =
1
0
√
y
y
(x + y) dx dy =
1
0
x2
2
+ yx
√
y
y
dy =
=
1
0
y
2
+ y3/2
−
y2
2
+ y2
dy =
1
0
y
2
+ y3/2
−
3
2
y2
dy =
=
y2
4
+
2
5
y5/2
−
y3
2
1
0
=
1
4
+
2
5
−
1
2
=
5 + 8 − 10
20
=
3
20
.
b) Množina M je elementární vzhledem k ose y. Lze ji však rovněž vyjádřit
jako sjednocení dvou množin elementárních vzhledem k ose x. Příklad proto
vyřešíme opět dvěma způsoby.
1. Množinu M vyjádříme jako elementární
množinu vzhledem k ose y:
M :
0 y 1,
y x 2 − y. x
y
1 2
1
O
[1, 1]
y = x y = 2 − x
M
Pak
M
xy dxdy =
1
0
2−y
y
xy dx dy =
1
0
x2
2
y
2−y
y
dy =
=
1
0
(2 − y)2
2
y −
y3
2
dy =
=
1
0
2y − 2y2
+
y3
2
−
y3
2
dy =
= y2
−
2
3
y3
1
0
= 1 −
2
3
=
1
3
.
54 Dvojný integrál
2. Nyní množinu M vyjádříme jako sjednocení dvou množin M1, M2 elementárních
vzhledem k ose x:
M = M1 ∪ M2, M1 :
0 x 1,
0 y x,
M2 :
1 x 2,
0 y 2 − x.
Poněvadž m(M1 ∩ M2) = 0, platí podle části c) věty 1.50
M
xy dxdy =
M1
xy dxdy +
M2
xy dxdy.
Tudíž
M
xy dxdy =
1
0
x
0
xy dy dx +
2
1
2−x
0
xy dy dx =
=
1
0
x
y2
2
x
0
dx +
2
1
x
y2
2
2−x
0
dx =
=
1
0
x3
2
dx +
2
1
x(2 − x)2
2
dx =
=
x4
8
1
0
+
2
1
2x − 2x2
+
x3
2
dx =
=
1
8
+ x2
−
2
3
x3
+
x4
8
2
1
=
=
1
8
+ 4 −
16
3
+ 2 − 1 +
2
3
−
1
8
= 5 −
14
3
=
1
3
.
1.5. Další řešené příklady
Příklad 1.58. Vypočtěte I =
M
xy dxdy, kde M je množina bodů [x, y]
určená nerovnostmi 1 x 4, 1/x y
√
x.
Řešení. Integrační obor M je znázorněn na obr. 1.13. Integrand f (x, y) = xy je
spojitá funkce. Při označení a = 1, b = 4, ϕ(x) = 1/x a ψ(x) =
√
x dostaneme
z Fubiniovy věty 1.55
I =
M
xy dxdy =
4
1
√
x
1/x
xy dy dx.
1.5 Další řešené příklady 55
x
y
1
1 4O
y =
1
x
y =
√
x
M
Obr. 1.13
Vnitřní integrál vyjde
√
x
1/x
xy dy = x
y2
2
√
x
1/x
=
x
2
x −
1
x2
=
1
2
x2
−
1
x
.
Celkový výsledek bude
I =
4
1
1
2
x2
−
1
x
dx =
1
2
x3
3
− ln |x|
4
1
=
=
1
2
64
3
− ln 4 −
1
2
1
3
− ln 1 =
21
2
− ln 2.
Příklad 1.59. Vypočtěte I =
M
y
3
dxdy, kde množina M je ohraničená přímkami
x = 0, x = 2π, y = 0 a grafem funkce y = 2 + sin x.
x
y
2
2π0
y = 2 + sin x
M
Obr. 1.14
Řešení. Integrační obor M je znázorněn na
obr. 1.14. Jde o elementární množinu vzhledem
k ose x. Integrand f (x, y) = y/3 je
spojitá funkce. Použijeme-li tedy Fubiniovu
větu 1.55, obdržíme:
I =
M
y
3
dxdy =
2π
0
2+sin x
0
y
3
dy dx.
Vnitřní integrál vyjde
2+sin x
0
y
3
dy =
y2
6
2+sin x
0
=
1
6
(2 + sin x)2
=
1
6
(4 + 4 sin x + sin2
x).
56 Dvojný integrál
Při výpočtu vnějšího integrálu použijeme vzorec sin2
x = (1 − cos 2x)/2.
Dostaneme:
I =
2π
0
1
6
4 + 4 sin x +
1 − cos 2x
2
dx =
=
2π
0
3
4
+
2
3
sin x −
1
12
cos 2x dx =
=
3
4
x −
2
3
cos x −
1
24
sin 2x
2π
0
=
3π
2
.
Příklad 1.60. Vypočtěte I =
M
x3
y dxdy, kde množina M je čtvrtkruh o daném
poloměru r > 0 se středem v počátku O ležící v prvním kvadrantu.
x
y
r
rO
x2 + y2 = r2
M
Obr. 1.15
Řešení. Integrační obor je znázorněn na obr. 1.15. Je to
elementární množina jak vzhledem k ose x, tak vzhledem
k ose y. Vzhledem k jednoduchosti spojitého integrandu
f (x, y) = x3
y je pořadí integrace z hlediska její pracnosti
zcela lhostejné. Rozhodneme-li se pro popis čtvrtkruhu M
nerovnostmi 0 x r, 0 y
√
r2 − x2, z Fubiniovy
věty 1.55 dostaneme
I =
M
x3
y dxdy =
r
0
√
r2−x2
0
x3
y dy dx.
Pro vnitřní integrál dostáváme
√
r2−x2
0
x3
y dy = x3 y2
2
√
r2−x2
0
=
1
2
x3
(r2
− x2
).
Celkově tedy vyjde
I =
r
0
1
2
(x3
r2
− x5
) dx =
1
2
x4
r2
4
−
x6
6
r
0
=
r6
24
.
Příklad 1.61. Vypočtěte I =
M
y
x + y2
dxdy, kde množina M je ohraničena
křivkami y = 1, y = 1/2, x = 4 − y2
a x = y2
.
1.5 Další řešené příklady 57
x
y
1/2
1
√
2
y = 1/2
y = 1
P
x = y2
x = 4 − y2
M
Obr. 1.16
Řešení. První dvě křivky jsou přímky,
druhé dvě paraboly. Integrační obor
M je znázorněn na obr. 1.16. Určíme
ještě y-ovou souřadnici horního průsečíku
P obou parabol, abychom se
přesvědčili, že máme přímky y = 1
a y = 1/2 správně umístěny. Z rovnic
parabol dostaneme 4 − y2
= y2
,
tj. y2
= 2, a tedy y =
√
2. Množina
M je elementární vzhledem k y.
Vidíme, že c = 1/2, d = 1, ϕ(y) =
= y2
a ψ(y) = 4 − y2
. Integrand
f (x, y) = y/(x + y2
) je spojitá funkce na M. Podle Fubiniovy věty bude
I =
M
y
x + y2
dxdy =
1
1/2
4−y2
y2
y
x + y2
dx dy.
Vnitřní integrál vyjde
4−y2
y2
y
x + y2
dx = y ln |x + y2
|
4−y2
y2 = y(ln 4 − ln 2y2
) =
= y(2 ln 2 − ln 2 − 2 ln y) = y ln 2 − 2y ln y,
vzhledem k tomu, že y > 0.
Při výpočtu vnějšího integrálu použijeme metodu per partes. Dostaneme:
I =
1
1/2
(y ln 2 − 2y ln y) dy = ln 2
1
1/2
y dy − 2
1
1/2
y ln y dy =
=
u = ln y u = 1
y
v = y v = y2
2
= ln 2
y2
2
1
1/2
− 2
y2
2
ln y
1
1/2
+ 2
1
1/2
y
2
dy =
= ln 2
1
2
−
1
8
−
1
4
ln 2 +
y2
2
1
1/2
=
1
8
ln 2 +
1
2
−
1
8
=
1
8
(ln 2 + 3).
Příklad 1.62. Označme M vystínovanou množinu na obr. 1.17, kde k je horní
půlkružnice se středem v počátku O a s poloměrem r = 2, l je kružnice se
středem v bodě B = [2, 0] s poloměrem r = 2 a C je jejich průsečík. Buď
A = [−2, 0]. Vypočtěte integrál I =
M
6xy dxdy.
58 Dvojný integrál
x
y
2−2 1 2
√
3
O
k
l
M
A B
C
M1
M2
Obr. 1.17
Řešení. Nalezneme souřadnice bodu C.
Platí k : x2
+y2
= 4, l : (x −2)2
+y2
= 4.
Odečtením rovnic dostaneme 4x − 4 = 0,
tj. x = 1 a odtud vypočteme y =
√
3.
Vyjde tudíž C = [1,
√
3].
Integrační obor M není zřejmě elementární
množinou ani vzhledem k ose x
ani vzhledem k ose y. Rozdělíme ho proto
na dvě části — část M1, omezenou obloukem
AC půlkružnice k a její tětivou AC,
a část M2, omezenou obloukem BC půlkružnice k, obloukem OC kružnice l
a osou x. Z Thaletovy věty plyne, že ¡BCA je pravý. To znamená, že tětiva AC
leží na tečně ke kružnici l v bodě C, takže má s obloukem OC kružnice l společný
jen bod C, jak je znázorněno na obrázku. Podle věty 1.50, část c) je
I =
M
6xy dxdy =
M1
6xy dxdy +
M2
6xy dxdy.
Obě části M1 i M2 jsou elementárními množinami jak vzhledem k ose x, tak
vzhledem k ose y. Množinu M1 popíšeme jako elementární množinu vzhledem
k ose x, zatímco M2 jako elementární množinu vzhledem k ose y. Bude to tak
vhodnější pro praktickou integraci.
Najdeme rovnici přímky procházející body A a C. Z pravoúhlého trojúhelníku
ADC, kde D = [1, 0], vypočítáme, že směrnice je
√
3/3, tedy
y = (
√
3/3)(x + 2). Z rovnice půlkružnice k určíme y = ±
√
4 − x2 resp.
x = ± 4 − y2 a z rovnice kružnice l určíme x − 2 = ± 4 − y2. S pomocí
obr. 1.17 zvolíme správná znaménka u odmocnin. Celkem dostaneme
M1 :
−2 x 1,√
3
3
(x + 2) y 4 − x2,
M2 :
0 y
√
3,
2 − 4 − y2 x 4 − y2.
Integrand f (x, y) = 6xy je spojitá funkce. Použijeme Fubiniovu větu a dosta-
neme:
I1 =
M1
6xy dxdy =
1
−2
√
4−x2
√
3
3 (x+2)
6xy dy dx.
1.5 Další řešené příklady 59
Vnitřní integrál bude
√
4−x2
√
3
3 (x+2)
6xy dy = 3x y2
√
4−x2
√
3
3 (x+2)
= 3x 4 − x2
−
3
9
(x + 2)2
=
= 8x − 4x2
− 4x3
a vnější integrál vyjde
I1 =
1
−2
(8x − 4x2
− 4x3
) dx = 4x2
−
4
3
x3
− x4
1
−2
=
= 4 −
4
3
− 1 − 16 +
32
3
− 16 = −9.
Podobně dostaneme:
I2 =
M2
6xy dxdy =
√
3
0
√
4−y2
2−
√
4−y2
6xy dx dy.
Vnitřní integrál bude
√
4−y2
2−
√
4−y2
6xy dx = 3y x2
√
4−y2
2−
√
4−y2
= 3y 4 − y2
− 2 − 4 − y2 2
=
= 3y 4 4 − y2 − 4 .
Při výpočtu vnějšího integrálu rozdělíme integrand na dvě části a na první integrál
použijeme substituční metodu. Vyjde nám:
I2 =
√
3
0
3y 4 4 − y2 − 4 dy =
√
3
0
12y 4 − y2 dy −
√
3
0
12y dy =
=
4 − y2
= u2
−2y dy = 2u du
y dy = −u du
0 ; 2,
√
3 ; 1
= −12
1
2
u2
du − 6 y2
√
3
0
= 4 u3 2
1
− 18 = 10.
Celkový výsledek je tedy
I = I1 + I2 = −9 + 10 = 1.
Příklad 1.63. Vypočtěte I =
M
x
1 + y2
dxdy, kde M je množina omezená
křivkami y = x2
a x2
+ y2
= 16 (část nad parabolou).
60 Dvojný integrál
x
y
4−4 x1 x2 4
4
y1 x2 + y2 = 16
O
y = x2
P1 P2
M
Obr. 1.18
Řešení. První křivka je parabola, druhá
kružnice. Integrační obor M je znázorněn
na obr. 1.18. Určíme souřadnice průsečíků
P1 = [x1, y1] a P2 = [x2, y2]. Vyloučením
x dostaneme kvadratickou rovnici
y2
+ y − 16 = 0, která má kořeny
−1 ±
√
65 /2. Pro nás má význam
jen kladný z nich, je tedy y1 = y2 =
= −1 +
√
65 /2. Odtud vyjde:
x2 = −x1 = −1 +
√
65 /2.
Integrační obor M je elementární množinou jak vzhledem k x, tak vzhledem
k y. Jednodušší je popis vzhledem k x:
M :
x1 x x2,
x2
y 16 − x2.
Integrand f (x, y) = x/(1 + y2
) je spojitá funkce. Z Fubiniovy věty dostaneme
I =
M
x
1 + y2
dxdy =
x2
x1
√
16−x2
x2
x
1 + y2
dy dx.
Vnitřní integrál vyjde
√
16−x2
x2
x
1 + y2
dy = x arctg y
√
16−x2
x2 =
= x arctg 16 − x2 − x arctg x2
= f (x).
Integrace funkce f (x) je však velmi nepříjemná, na každý sčítanec by se musela
použít postupně substituce a metoda per partes. Snadno je však vidět, že f (x)
je lichá funkce, tj. f (−x) = −f (x) pro každé x ∈ −4, 4 . Protože integrační
obor je interval souměrný vzhledem k počátku (x2 = −x1), musí platit
I =
x2
x1
x arctg 16 − x2 − x arctg x2
dx = 0.
Zdlouhavé integrace jsme tedy byli ušetřeni.
Rovněž by šlo vyjádřit množinu M jako elementární množinu vzhledem
k ose y, museli bychom ji však nejprve rozdělit úsečkou P1P2, aby horní a dolní
meze vnitřního integrálu měly jednoduchý popis. Snadno se lze přesvědčit, že
oba vnitřní integrály jsou pak rovny nule, takže vnější integrály jsou triviální.
Cvičení 61
Poznámka 1.64. Je-li integrační obor dvojrozměrný interval J = a, b × c, d
a integrand má tvar součinu f (x)g(y), kde f je spojitá funkce na intervalu a, b
a g je spojitá funkce na intervalu c, d , je možné výpočet podle Fubiniovy věty
zjednodušit a výrazně urychlit:
J
f (x)g(y) dxdy =
b
a
d
c
f (x)g(y) dy dx = (1.18)
=
b
a
f (x)
d
c
g(y) dy dx =
b
a
f (x) dx ·
d
c
g(y) dy.
Integrál
d
c g(y) dy je totiž konstanta, kterou lze z vnějšího integrálu vytknout.
Příklad 1.65. Vypočtěte
J
x sin y dxdy, kde J = 0, 2 × 0, π/2 .
Řešení. Podle vztahu (1.18) bude
J
x sin y dxdy =
2
0
x dx ·
π/2
0
sin y dy =
x2
2
2
0
· − cos y
π/2
0
=
= (2 − 0) · (0 + 1) = 2.
Cvičení
1. Dokažte bez použití lemmatu 1.12, že funkce f z poznámky 1.19 je integrovatelná
a její integrál je roven nule.
2. Nechť M, M1, M2 jsou obdélníky, M = M1 ∪ M2,
◦
M1 ∩
◦
M2 = ∅ a funkce f
je ohraničená na M. Dokažte, že
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy,
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy.
62 Dvojný integrál
3. Nechť R1, R2 jsou obdélníky a M je taková množina (nemusí být měřitelná),
že M ⊆ R1 ∩ R2. Buď f funkce ohraničená na M. Dokažte, že pak
R1
(χMf )(x, y) dxdy =
R2
(χMf )(x, y) dxdy,
R1
(χMf )(x, y) dxdy =
R2
(χMf )(x, y) dxdy.
4. Nechť M je obdélník a funkce f, g jsou ohraničené na M. Dokažte, že
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy,
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
5. Nechť funkce f je (D)-integrovatelná na obdélníku M, {Dn} je nulová posloupnost
dělení M a Ξn je libovolný výběr reprezentantů dílků dělení Dn,
n ∈ N. Ukažte bez použití věty 1.25, že σ(Dn, Ξn, f ) →
M
f (x, y) dxdy
pro n → ∞.
6. Nechť funkce f je ohraničená na obdélníku M a {Dn} je libovolná nulová
posloupnost dělení M. Ukažte, že existují výběry Ξ1
n , Ξ2
n reprezentantů
dílků dělení Dn, n ∈ N, takové, že platí σ(Dn, Ξ1
n , f ) →
M
f (x, y) dxdy,
σ(Dn, Ξ2
n , f ) →
M
f (x, y) dxdy pro n → ∞.
7. Nechť funkce f je definována na obdélníku M. Dokažte, že funkce f je
integrovatelná na M právě tehdy, když {σ(Dn, Ξn, f )} je konvergentní pro
libovolnou nulovou posloupnost dělení {Dn} obdélníku M a libovolný výběr
Ξn reprezentantů dílků dělení Dn, n ∈ N.
8. Nechť funkce f je definována na obdélníku M. Dokažte, že funkce f je
integrovatelná na M právě tehdy, když ke každému ε > 0 existují funkce g, h
integrovatelné na M takové, že g(x, y) f (x, y) h(x, y) pro [x, y] ∈ M
a
M
h(x, y) − g(x, y) dxdy < ε.
9. Nechť funkce ϕ je integrovatelná na intervalu a, b a funkce ψ je integrovatelná
na intervalu c, d . Pak je funkce f (x, y) = ϕ(x)ψ(y) integrovatelná
na obdélníku M = a, b × c, d a platí
M
f (x, y) dxdy =
=
b
a ϕ(x) dx ·
d
c ψ(y) dy. Dokažte.
Cvičení 63
10. Nechť funkce ϕ je definovaná na intervalu a, b , funkce ψ je definovaná na
intervalu c, d a jsou obě nezáporné. Nechť funkce f (x, y) = ϕ(x)ψ(y) je
integrovatelná na obdélníku M = a, b × c, d a
M
f (x, y) dxdy > 0. Pak
je funkce ϕ integrovatelná na intervalu a, b , funkce ψ je integrovatelná na
intervalu c, d a platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a ϕ(x) dx
d
c ψ(y) dy. Dokažte.
11. Nechť funkce f je integrovatelná na obdélníku M = a, b × c, d . Buď F
libovolná funkce jedné proměnné taková, že platí
d
c f (x, y) dy F(x)
d
c f (x, y) dy pro x ∈ a, b . Dokažte, že pak je F integrovatelná
na a, b a platí
b
a F(x) dx =
M
f (x, y) dxdy.
12. Nechť funkce f je integrovatelná na obdélníku M a Imf ⊆ α, β . Nechť
funkce ϕ jedné proměnné je definovaná na intervalu α, β a má na tomto
intervalu ohraničenou derivaci. Dokažte, že pak je funkce ϕ◦f integrovatelná
na obdélníku M.
13. S využitím cvičení 12 uveďte jiný důkaz věty 1.51.
14. Množina M ⊆ R2
je měřitelná právě tehdy, když ke každému ε > 0 existují
měřitelné množiny M1, M2 tak, že M1 ⊆ M ⊆ M2 a m(M2) − m(M1) < ε.
Dokažte.
15. Množina M ⊆ R2
je měřitelná právě tehdy, když ke každému ε > 0 existují
obdélníky N1, . . . , Nn takové, že kterékoli různé dva z nich nemají společné
vnitřní body, a přirozené číslo k, 0 k n, tak, že při označení M1 = N1 ∪
∪· · ·∪Nk, M2 = N1 ∪· · ·∪Nn platí M1 ⊆ M ⊆ M2 a m(M2)−m(M1) < ε.
(Pro k = 0 klademe M1 = ∅.) Dokažte.
16. Nechť M, A ⊆ R2
, M je měřitelná a
◦
M ⊆ A ⊆ M, kde
◦
M je vnitřek M
a M je uzávěr M. Ukažte, že pak je množina A měřitelná.
17. Dokažte, že omezená množina M ⊆ R2
má Jordanovu míru nula právě tehdy,
když k libovolnému číslu ε > 0 existují obdélníky R1, . . . , Rk takové, že
M ⊆
k
i=1
Ri a
k
i=1
m(Ri) < ε.
18. Dokažte, že konečná množina M ⊆ R2
má Jordanovu míru nula.
64 Dvojný integrál
19. Nechť M = {An}∞
n=1 ⊆ R2
je konvergentní posloupnost bodů. Ukažte, že
m2(M) = 0.
20. Nechť M ⊂ R2
je měřitelná množina. Dokažte, že m(M) = 0, právě když
◦
M = ∅. Je možné v implikaci „zprava doleva“ vynechat předpoklad měřitelnosti
M?
21. Nechť kladná funkce f je integrovatelná na množině M ⊆ R2
kladné míry.
Dokažte, že pak
M
f (x, y) dxdy > 0.
22. Nechť funkce f, g jsou integrovatelné na množině M ⊆ R2
kladné míry
a f (x, y) > g(x, y) pro každé [x, y] ∈ M. Pak platí
M
f (x, y) dxdy >
>
M
g(x, y) dxdy. Dokažte.
23. Nechť funkce f je integrovatelná na množině M ⊆ R2
a existuje konstanta
c > 0 taková, že f (x, y) c pro každé [x, y] ∈ M. Dokažte, že funkce 1/f
je integrovatelná na M.
24. Nechť funkce f, g jsou integrovatelné na množině M ⊆ R2
a existuje konstanta
c > 0 taková, že g(x, y) c pro [x, y] ∈ M. Dokažte, že funkce f/g
je integrovatelná na M.
25. Nechť křivka γ o parametrických rovnicích x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ α, β
(ϕ, ψ jsou spojité funkce), má konečnou délku. Potom její graf, tj. množina
G = {[ϕ(t), ψ(t)] : t ∈ α, β }, má míru nula. Dokažte.
26. Uveďte příklad funkce spojité na jednorozměrném kompaktním intervalu,
jejíž graf má nekonečnou délku. (Podle věty 1.38 e) bude rovinná míra
tohoto grafu nula. Tedy konečná délka křivky není nutnou podmínkou pro
to, aby graf křivky měl rovinnou míru nula — srovnejte s cvičením 25.)
27. Najděte příklady posloupností jordanovsky měřitelných množin An, Bn, Cn
a Dn, n ∈ N, v R2
takových, že:
a) Množina
∞
n=1
An je neomezená.
b) Množina
∞
n=1
Bn je omezená, není však jordanovsky měřitelná.
Cvičení 65
c) Množina
∞
n=1
Cn není jordanovsky měřitelná.
d) Množina
∞
n=1
Dn je omezená, avšak ani tato množina ani množina
∞
n=1
Dn
nejsou jordanovsky měřitelné.
28. Nechť funkce f a g jsou definované na množině M. Uvažujme funkce
max{f, g} a min{f, g} dané vztahy max{f, g}(x, y) = max{f (x, y), g(x, y)}
a min{f, g}(x, y) = min{f (x, y), g(x, y)}, (x, y) ∈ M.
Dokažte, že jsou-li f a g integrovatelné na měřitelné množině M, jsou také
funkce max{f, g} a min{f, g} integrovatelné na M.
29. Pro funkci f definovanou na množině M položme f +
= max{f, 0} a f −
=
= max{−f, 0} (funkce f +
resp. f −
se nazývá kladná resp. záporná část
funkce f ).
Nechť M je měřitelná množina. Dokažte, že funkce f je integrovatelná na M
právě tehdy, když jsou na M integrovatelné funkce f +
i f −
; v tom případě
platí
M
f (x, y) dxdy =
M
f +
(x, y) dxdy −
M
f −
(x, y) dxdy.
30. Pomocí integrálu
Ω
dxdy vypočtěte míru množiny Ω omezené křivkami
zadanými rovnicemi:
a) Ω : x + y = 1, x + y = 2, y = x/2, y = 2x,
b) Ω : y = ex
, y = e−x
, x = −4, x = 4 (srovnejte s příkladem 30 c),
c) Ω : y = ex
, y = e−x
, x = −4, x = 4, y = 0,
d) Ω : y = cos x, x = 0, y = 0,
e) Ω : y = x2
, y = 4 − x2
, f) Ω : y = 1/x, y = 4x, y = 8,
g) Ω : y = x2
, y =
√
x, h) Ω : y = ln x, x = 3, y = 0,
i) Ω : y = x, x = 2, xy = 1, j) Ω : y2
= 2x, x2
= 2y,
k) Ω : y = 0, x + 2y = 3, y = x2
, l) Ω : x = 0, y = ex
− 1,
y = ex
− x.
66 Dvojný integrál
31. Vypočtěte dvojný integrál dané funkce přes danou množinu Ω:
a)
Ω
x2
y dxdy, Ω : x = 1, x = 4, y = −2, y = 3,
b)
Ω
x2
1 + y2
dxdy, Ω : x = 0, x = 1, y = 0, y = 1,
c)
Ω
√
xy dxdy, Ω : 0 x 2, 0 y 3,
d)
Ω
sin(2x + y) dxdy, Ω : 0 x π, π/4 y π,
e)
Ω
x cos y dxdy, Ω : 1 x 2, −π/2 y π/2,
f)
Ω
(ey
+ 2x) dxdy, Ω : y x 1, 0 y 1.
32. Vypočtěte dvojný integrál
A
xy dxdy, je-li množina A:
a) obdélník omezený přímkami x = 0, x = a, y = 0, y = b, a, b > 0,
b) množina [x, y] ∈ R2
: 4x2
+ y2
4 ,
c) parabolická úseč omezená křivkami y = 4 − x, y2
= 2x.
33. Vypočtěte následující dvojnásobné integrály:
a)
2
0
1
0
(x2
+ 2y) dx dy, b)
π
2
0
1
cos y
x4
dx dy,
c)
2
0
1
0
(x2
+ y3
) dy dx, d)
π
2
− π
2
3 cos ϕ
0
r2
sin2
ϕ dr dϕ,
e)
4
0
√
x
0
dy dx, f)
1
0
√
1−x2
0
1 − x2 − y2 dy dx,
g)
2
1
ln y
0
ex
dx dy, h)
2
1
π
2
0
x sin y dy dx,
Cvičení 67
i)
2π
0
a
0
2
sin2
ϕ d dϕ, j)
π
2
0
a(1+cos ϕ)
a cos ϕ
d dϕ,
k)
1
0
x
0
4x2 − y2 dy dx, l)
3π
4
π
4
3 sin y
sin y
(x + cos y) dx dy,
m)
π
0
π
2
− π
2
sin x cos y dy dx, n)
π
2
0
a(1+cos ϕ)
a cos ϕ
d dϕ.
34. Vypočtěte dvojný integrál dané funkce přes množinu Ω omezenou zadanými
křivkami:
a)
Ω
(x − y) dxdy, Ω : y = 0, y = x, x + y = 2,
b)
Ω
(x2
+ y) dxdy, Ω : y = x2
, y2
= x,
c)
Ω
x
y
dxdy, Ω : x = 1, x = 2, y = 1, y = x,
d)
Ω
x
3
dxdy, Ω : x = 2 + sin y, x = 0, y = 0, y = 2π,
e)
Ω
y
x
dxdy, Ω : x = 2, x = 4, y = x, y = 2x,
f)
Ω
e2x+y
dxdy, Ω : x + y = 2, y = 0, y = 1, x = 0,
g)
Ω
x
x2 + y2
dxdy, Ω : π/4 x π/3, y = x, y = x tg x,
h)
Ω
cos(x + y) dxdy, Ω : x = 0, y = π, y = x,
i)
Ω
(3xy2
− 2x) dxdy, Ω : 0 x 1, x2
y x,
j)
Ω
x3
y dxdy, Ω : x = 0, x = 1, y = x, y = x3
,
68 Dvojný integrál
k)
Ω
ln x dxdy, Ω : y = 1/x, x + 2y = 3,
l)
Ω
x2
y2
dxdy, Ω : x = 2, xy = 1, y = x,
m)
Ω
xy dxdy, Ω : b2
x2
+ a2
y2
a2
b2
, x 0, y 0,
a, b > 0,
n)
Ω
y dxdy, Ω : y = x2
, y = 4 − x2
.
35. Vypočtěte dvojné integrály:
a)
M
y dxdy, kde M = [x, y] ∈ R2
: y 0, x2
+
+ y2
1, (x − 1)2
+ y2
1 ,
b)
M
x2
y2
dxdy, kde M je kompaktní množina omezená
křivkami x = 2, y = x, xy = 1,
c)
M
(|x| + |y|) dxdy, kde M = [x, y] ∈ R2
: |x| + |y| 1 ,
d)
M
| cos(x + y)| dxdy, kde M = 0, π × 0, π ,
e)
M
sgn(x2
+ y2
− 2) dxdy, kde M = [x, y] ∈ R2
: x2
+ y2
4 ,
f)
M
sgn(x2
− y2
+ 2) dxdy, kde M = [x, y] ∈ R2
: x2
+ y2
4 .
36. Vypočtěte dvojnásobné integrály:
a)
d
c
b
a
xy dx dy, a < b, c < d, b)
2
1
3−y
1
dx
(x + y)3
dy,
c)
r
0
√
r2−y2
0
xy dx dy, r > 0, d)
e
√
e
y3
y2
ln x
xy
dx dy,
e)
4
0
√
x
x/2
(2y −
√
x) dy dx, f)
3π
4
π
4
3 sin y
sin y
(x + cos y) dx dy.
Cvičení 69
37. V daných integrálech zaměňte pořadí integrace (načrtněte si integrační obor):
a)
b
a
x
a
f (x, y) dy dx, a < b, b)
0
−2
0
y2−4
f (x, y) dx dy,
c)
1
0
x2
x3
f (x, y) dy dx, d)
1
0
− e
e−1 y+ e2
e−1
ey
f (x, y) dx dy,
e)
1
0
√
2x−x2
x2
f (x, y) dy dx, f)
1
0
e
ey
f (x, y) dx dy,
g)
2
1
√
2x−x2
2−x
f (x, y) dy dx, h)
4
0
2
√
x
x
f (x, y) dy dx,
i)
1
0
√
y
y
f (x, y) dx dy, j)
2
0
√
4x−x2
x
f (x, y) dy dx,
k)
1
0
3−2y
√
y
f (x, y) dx dy, l)
2
0
ln(y+1)
y ln
√
3
f (x, y) dx dy,
m)
1
0
1+
√
y
1−
√
y
f (x, y) dx dy +
4
1
1+
√
y
y−1
f (x, y) dx dy,
n)
3
0
y
2−
√
4−y
f (x, y) dx dy +
4
3
2+
√
4−y
2−
√
4−y
f (x, y) dx dy,
o)
2
1
y
1
f (x, y) dx dy +
4
2
2
y/2
f (x, y) dx dy.
V úlohách m), n), o) spojte vzniklé dvojnásobné integrály do jednoho.
38. Vypočtěte dvojnásobné integrály přes množinu Ω určenou mezemi integrálů:
a)
π
2
− π
2
3+sin y
1+sin y
ex
cos y dx dy, b)
3
1
y+ 1
y
1
y
1
√
xy − 1
dx dy,
c)
2
0
2x
x2
x2
y dy dx, d)
√
3
0
3x
x3
(x2
+ y) dy dx,
70 Dvojný integrál
e)
4
0
√
x
x
2
2y −
√
x dy dx, f)
4
1
−(x−2)2+4
−x+4
dy dx,
g)
5π
6
0
2 sin x
6x
5π
dy dx, h)
ln 3
ln 2
8
4
yexy/4
dx dy.
39. Vypočtěte dvojné integrály přes množinu Ω vymezenou danými podmín-
kami:
a)
Ω
xy dxdy, Ω : y2
= 2x, x = 3 − y2,
b)
Ω
(x + y + 10) dxdy, Ω : x2
+ y2
= 4,
c)
Ω
(x − y) dxdy, Ω : y = 1 − x2
, 2y = x + 1,
d)
Ω
x
(1 + y)2
dxdy, Ω : x2
y 16 − x2,
e)
Ω
y dxdy, Ω je horní polovina vnitřku elipsy
b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
, a, b > 0,
f)
Ω
x2
y dxdy, Ω je trojúhelník s vrcholy A = [0, 0],
B = [2a, 0], C = [a, a], a > 0,
g)
Ω
a2 + x2 dxdy, Ω : x = 0, x = a, y2
− x2
= a2
,
a > 0, y 0,
h)
Ω
1
√
x + 4y + 3
dxdy, Ω : x = y2
+ 1, y = 0, y = 2,
y = −x/4,
i)
Ω
2x −
√
y dxdy, Ω : y = 0, y = x2
, y = (x − 1)2
,
j)
Ω
(y − x + 1) dxdy, Ω : y = 1, y = 2, y = x, y = x + 1,
k)
Ω
4y2
dxdy, Ω : x = 1, y = x + 1, x2
+ y2
= 1,
Cvičení 71
l)
Ω
1
x
dxdy, Ω : y = 0, y = ln x, y = e − x + 1.
40. Vypočtěte dvojné integrály přes množinu Ω:
a)
Ω
y dxdy, Ω : x2
+ y2
a2
, x + y a, a > 0,
b)
Ω
ex+y
dxdy, Ω : x = 0, y = 2, y = ex
,
c)
Ω
dxdy, Ω je trojúhelník s vrcholy A = [0, 0], B = [0, 2],
C = [2, 0],
d)
Ω
x dxdy, Ω : cos
y
2
x 2 sin y,
π
2
y π,
e)
Ω
1
y
dxdy, Ω : 0 x 1, ex
y (e − 1)x + 1,
f)
Ω
ex
dxdy, Ω : 0 x ln y, 1 y a, a > 1.
41. Vypočtěte dvojné integrály (danou množinu vhodně rozdělte):
a)
Ω
(2xy + 1) dxdy, Ω : x = 0, x = 2, y = 0, y = 2,
y = 1 − x, y = 3 − x,
b)
Ω
(x2
+ y) dxdy, Ω : x 0, xy = 2, y = x/2, y = 2x,
c)
Ω
dxdy, Ω : x + y = 2, x + y = 4, y = 3x,
y = 5x,
d)
Ω
dxdy, Ω : x2
= 4y, x2
= 8y, y2
= 2x, y2
= 4x,
e)
Ω
(x2
+ 2y) dxdy, Ω : x = 0, x = 2, y = 0, y = 1 + x,
y = 3 − x,
f)
Ω
(x3
− 2y + 3) dxdy, Ω : y = 2x, y = x/2, y = 3 − x.
72 Dvojný integrál
42. Vypočtěte dvojné integrály (danou množinu vhodně rozdělte):
a)
Ω
2y dxdy, Ω : x2
+ y2
= 1, x2
+ y2
= 4, x 0,
y 0,
b)
Ω
(x − y + 4) dxdy, Ω : x = 4, y = 0, y = x2
, y = 6 − x,
c)
Ω
(x2
− y + 2) dxdy, Ω : y = 1/x, y = 4x, y = x/4, x 0,
d)
Ω
3x2
dxdy, Ω : y = 3x + 1, y = (x − 1)/3,
y = 1 − x, y = 5 − x,
e)
Ω
(x + 1) dxdy, Ω : y = 3x, y = 3(2 − x),
y = 1 − (x − 1)2
,
f)
Ω
2y dxdy, Ω : y 2(x − 2), y x/3 + 1,
x2
/4 + y2
1, x 0, y 0,
g)
Ω
xey
dxdy, Ω : x = e, y = 0, y = x, y = ln x.
43. Vypočtěte následující dvojné integrály pomocí Fubiniovy věty — zkuste obě
pořadí integrace a porovnejte výsledky.
a)
M
sin y
y
dxdy, M : 0 x π2
,
√
x y π,
b)
M
dxdy
1 − y2 sin2 x
, M = 0, π/2 × 0, 1/2 ,
c)
M
f (x, y) dxdy, M = 2, 3 × 0, π/2 ,
f (x, y) =
1
1+x2 tg2 y
, [x, y] ∈ M, y = π/2
0, [x, y] ∈ M, y = π/2.
Cvičení 73
Výsledky
1. Pro libovolné dělení D obdélníku M = a, b × c, d je 0 = s(D, f ) S(D, f )
(d − c)ν(D). Tedy
M
f (x, y) dxdy = 0 =
M
f (x, y) dxdy.
2. Postupujte obdobně jako při důkazu rovností (1.11) a (1.12) ve větě 1.21.
3. S využitím cvičení 2 této kapitoly dokažte pro horní a dolní integrály analogie
rovností (1.10) a (pro R1 ⊆ R2) (1.15). Pak postupujte jako v poznámce 1.32,
část 2.
4. V důkazu věty 1.20 c) byla odvozena pro libovolné dělení D obdélníku M nerovnost
s(D, f ) + s(D, g) s(D, f + g) S(D, f + g) S(D, f ) + S(D, g). Tvrzení
nyní plyne z věty 1.10 a).
5. Platí s(Dn, f ) σ(Dn, Ξn, f ) S(Dn, f ). S použitím věty 1.10 c) dostaneme
limitním přechodem n → ∞ tvrzení.
6. Pro každé n ∈ N existuje podle lemmatu 1.27 výběr reprezentantů Ξ1
n dílků dělení
Dn tak, že 0 σ(Dn, Ξ1
n , f ) − s(Dn, f ) < 1/n. Tedy σ(Dn, Ξ1
n , f ) −
− s(Dn, f ) → 0 pro n → ∞. Tvrzení pak plyne z věty 1.10 a). Analogicky pro
horní integrál.
7. ⇒: Plyne ze cvičení 5.
⇐: Předpokládejme, že σ(Dn, Ξn, f ) je konvergentní pro libovolnou nulovou posloupnost
dělení {Dn} obdélníku M a libovolný výběr reprezentantů Ξn dělení {Dn}.
Připusťme, že σ(D1
n, Ξ1
n , f ) → I1, σ(D2
n, Ξ2
n , f ) → I2 a I1 = I2. Pak {Dn} =
= {D1
1, D2
1, D1
2, D2
2, . . . } je nulová posloupnost. Označíme-li {Ξn} = {Ξ1
1 , Ξ2
1 , Ξ1
2 ,
Ξ2
2 , . . . }, posloupnost {σ(Dn, Ξn, f )} není konvergentní, protože má podposloupnosti
s různými limitami. To je spor, a tedy všechny posloupnosti mají stejnou limitu
I ∈ R. Jestliže číslo I není integrálem z funkce f na M, podle definice 1.24 existuje
číslo ε > 0 takové, že pro každé číslo 1/n > 0, n ∈ N, existuje dělení Dn s normou
ν(Dn) < 1/n a výběr Ξn reprezentantů dělení Dn tak, že |I − σ(Dn, Ξn, f )| ε.
To je spor s tím, že posloupnost {σ(Dn, Ξn, f )} konverguje k I.
8. ⇒: Nechť funkce f je integrovatelná na obdélníku M. Buď ε > 0. Položme g =
= h = f . Pak funkce g, h mají požadované vlastnosti.
⇐: Buď ε > 0 libovolné. Podle předpokladu k číslu ε/3 existují funkce g, h integrovatelné
na M takové, že g f h na M a
M
h(x, y) − g(x, y) dxdy < ε/3.
Buď D libovolné dělení obdélníku M. Vzhledem k nerovnostem g f h platí
s(D, g) s(D, f ) S(D, f ) S(D, h), tedy S(D, f ) − s(D, f ) S(D, h) −
74 Dvojný integrál
− s(D, g). Z definice integrálu vyplývá existence dělení D1, D2 obdélníku M takových,
že S(D1, h) −
M
h(x, y) dxdy < ε/3,
M
g(x, y) dxdy − s(D2, g) < ε/3;
tyto nerovnosti budou platit i pro společné zjemnění D dělení D1, D2. Celkově
tedy S(D, f ) − s(D, f ) S(D, h) − s(D, g) = S(D, h) −
M
h(x, y) dxdy +
+
M
h(x, y) dxdy −
M
g(x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy −s(D, g) < ε. Podle lemmatu
1.9 je funkce f integrovatelná na M.
9. Předpokládejme nejprve, že ϕ, ψ jsou nezáporné. Nechť Dx : a = x0 < x1 < · · · <
< xm = b je dělení intervalu a, b a Dy : c = y0 < y1 < · · · < yn = d je dělení
intervalu c, d . Nechť J = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n}. Označme
ui = inf {ϕ(x) : x ∈ xi−1, xi }, i = 1, . . . , m,
Ui = sup{ϕ(x) : x ∈ xi−1, xi }, i = 1, . . . , m,
vj = inf {ψ(y) : y ∈ yj−1, yj }, j = 1, . . . , n,
Vj = sup{ψ(y) : y ∈ yj−1, yj }, j = 1, . . . , n,
wij = inf {f (x, y) : [x, y] ∈ xi−1, xi × yj−1, yj }, (i, j) ∈ J,
Wij = sup{f (x, y) : [x, y] ∈ xi−1, xi × yj−1, yj }, (i, j) ∈ J.
Platí uivj wij Wij UiVj pro (i, j) ∈ J. Odtud při označení D = Dx × Dy
dostaneme s(Dx, ϕ) · s(Dy, ψ) s(D, f ) S(D, f ) S(Dx, ϕ) · S(Dy, ψ).
Je-li {Dn} libovolná nulová posloupnost dělení obdélníku M, dostaneme pro n → ∞
z předchozích nerovností podle věty 1.10, že
b
a ϕ(x) dx
d
c ψ(y) dy
M
f (x, y) dxdy
M
f (x, y) dxdy
b
a ϕ(x) dx
d
c ψ(y) dy.
Musí tedy platit
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy, takže funkce f je integrovatelná
na obdélníku M a
b
a ϕ(x) dx
d
c ψ(y) dy =
M
f (x, y) dxdy.
Tvrzení rovněž platí, pokud ϕ, ψ nemění znaménka. Je-li např. ϕ nezáporná na
a, b a ψ nekladná na c, d , stačí použít předchozí výsledek na ϕ a −ψ = |ψ|
a výslednou rovnost vynásobit číslem −1.
V obecném případě zvolme konstantu C takovou, že ϕ C na a, b a ψ C na
c, d . Taková konstanta existuje, protože obě funkce jsou integrovatelné, a tudíž
ohraničené. Pak
ϕ(x)ψ(y) = ϕ(x) − C + C ψ(y) − C + C =
= ϕ(x) − C ψ(y) − C + C ϕ(x) − C + C ψ(y) − C + C2
.
Funkce ϕ(x)−C a ψ(y)−C jsou nezáporné, takže podle předchozí části a věty 1.20,
Cvičení 75
část c), je funkce f integrovatelná. Integrací předchozí rovnosti a úpravou vzniklých
integrálů se pak snadno ověří vztah
b
a ϕ(x) dx
d
c ψ(y) dy =
M
f (x, y) dxdy.
Poznámka: Všimněte si, že v důkazu nebyla použita Fubiniova věta. Jinou možností
je nejprve dokázat, že ϕ(x), ψ(y) (chápané jako funkce dvou proměnných) jsou integrovatelné
na M. Pak je integrovatelný jejich součin ϕ(x)ψ(y). Důkaz se dokončí
užitím Fubiniovy věty.
10. Funkce f je integrovatelná, a tedy ohraničená na M. Existuje x0 ∈ a, b tak,
že ϕ(x0) > 0 (jinak by měla funkce f nulový integrál přes M). Tedy ψ(y) =
= f (x0, y)/ϕ(x0) pro y ∈ c, d , takže funkce ψ je ohraničená na c, d . Obdobně
se ověří, že funkce ϕ je ohraničená na a, b .
Nechť funkce h je ohraničená na intervalu α, β a k 0. Snadno se ověří, že
β
α kh(t) dt = k
β
α h(t) dt. Dále platí, že pro k = 0 je funkce h integrovatelná na
α, β právě tehdy, když je na tomto intervalu integrovatelná funkce kh.
Podle Fubiniovy věty platí 0 <
M
f (x, y) dxdy =
b
a
d
c ϕ(x)ψ(y) dy dx =
=
b
a ϕ(x)
d
c ψ(y) dy dx =
d
c ψ(y) dy
b
a ϕ(x) dx. Poslední krok je možný,
protože musí být
d
c ψ(y) dy > 0. Z toho také vyplývá, že funkce ϕ je integrovatelná
na intervalu a, b . Obdobně se dokáže, že funkce ψ je integrovatelná
na intervalu c, d . Odtud už plyne i dokazovaná rovnost.
11. Označme F1(x) =
d
c f (x, y) dy a F2(x) =
d
c f (x, y) dy Podle Fubiniovy věty
1.14 jsou tyto funkce integrovatelné na a, b a platí
b
a F1(x) dx =
b
a F2(x) dx =
=
M
f (x, y) dxdy. Odtud vyjde
b
a F1(x) dx =
b
a F1(x) dx
b
a F(x) dx
b
a F(x) dx
b
a F2(x) dx =
b
a F2(x) dx. Tudíž
b
a F(x) dx =
b
a F(x) dx,
takže funkce F je integrovatelná. Zbytek tvrzení je zřejmý.
12. Funkce ϕ je diferencovatelná, tedy i spojitá na kompaktním intervalu α, β . Podle
Weierstrassovy věty je zde ohraničená, takže rovněž funkce ϕ ◦ f je ohraničená
na M.
Podle předpokladu existuje konstanta K > 0 tak, že |ϕ (x)| K na α, β . Pro libovolná
t1, t2 ∈ α, β existuje podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě číslo
ξ ∈ (α, β) takové, že ϕ(t2) − ϕ(t1) = ϕ (ξ)(t2 − t1), tedy |ϕ(t2) − ϕ(t1)|
K|t2 − t1|. Pro libovolné body [x1, y1], [x2, y2] ∈ M proto platí ϕ f (x2, y2) −
− ϕ f (x1, y1) K|f (x2, y2) − f (x1, y1)|. Pro libovolnou neprázdnou podmnožinu
N ⊆ M pak platí
sup ϕ f (x2, y2) − ϕ f (x1, y1) ; ([x1, y1], [x2, y2]) ∈ N × N
K sup{|f (x2, y2) − f (x1, y1)|; ([x1, y1], [x2, y2]) ∈ N × N}.
76 Dvojný integrál
Avšak
sup ϕ f (x2, y2) − ϕ f (x1, y1) ; ([x1, y1], [x2, y2]) ∈ N × N =
= sup ϕ f (x, y) ; [x, y] ∈ N − inf ϕ f (x, y) ; [x, y] ∈ N
a podobně
sup{|f (x2, y2) − f (x1, y1)|; ([x1, y1], [x2, y2]) ∈ N × N =
= sup{f (x, y); [x, y] ∈ N} − inf{f (x, y); [x, y] ∈ N},
takže platí
sup ϕ f (x, y) ; [x, y] ∈ N − inf ϕ f (x, y) ; [x, y] ∈ N
K sup{f (x, y); [x, y] ∈ N} − inf{f (x, y); [x, y] ∈ N} .
Nechť D je libovolné dělení obdélníku M. Z předchozí nerovnosti vyplývá, že
S(D, ϕ ◦f )−s(D, ϕ ◦f ) K S(D, f )−s(D, f ) . Buď ε > 0 libovolné. Protože
je funkce f integrovatelná na M, podle lemmatu 1.9 existuje k číslu ε/K > 0 dělení
D ∈ D(M) tak, že S(D, f ) − s(D, f ) < ε/K. Pak S(D, ϕ ◦ f ) − s(D, ϕ ◦ f ) < ε.
Funkce ϕ ◦ f je tedy podle téhož lemmatu integrovatelná na M.
Poznámka: Z důkazu je zřejmé, že tvrzení bude platit pro libovolnou funkci ϕ,
která je na intervalu α, β lipschitzovská1 (existuje konstanta K > 0 taková, že
|ϕ(t2) − ϕ(t1)| K|t2 − t1| pro libovolné t1, t2 ∈ α, β ). Např. funkce ϕ(t) =
= |t| je lipschitzovská, protože |t2| − |t1| |t2 − t1|. Máme tedy další důkaz, že
z integrovatelnosti funkce f plyne integrovatelnost funkce |f |.
13. Je-li funkce h integrovatelná na obdélníku N, je také funkce h2 integrovatelná na N.
To plyne ze cvičení 12 volbou ϕ(t) = t2, t ∈ −k, k , kde k > 0 je taková konstanta,
že |h(x, y)| k na N.
Nechť R ⊇ M je obdélník. Protože funkce f, g jsou integrovatelné na M, tj.
funkceχMf, χMg jsou integrovatelné na R, budou na R integrovatelné podle předchozího
také funkce (χMf + χMg)2 a (χMf − χMg)2. Avšak platí χM(fg) =
= χMf · χMg = (χMf + χMg)2 − (χMf − χMg)2 4, což dokazuje tvrzení.
14. ⇒: Nechť množina M je měřitelná a ε > 0. Položme M1 = M2 = M. Pak množiny
M1, M2 mají požadované vlastnosti.
⇐: Nechť R je obdélník obsahující množinu M a ε > 0. Najděme k tomuto ε
množiny M1, M2 splňující předpoklady. Položme M2 = M2 ∩ R. Potom M1 ⊆
⊆ M ⊆ M2 ⊆ M2 a m(M2) m(M2). Zřejmě χM1
χM χ bM2
na R. Dále
1Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (1832–1903) (čti lipšic) — německý matematik. Zabýval
se diferenciálními rovnicemi, teorií čísel, vícerozměrnou geometrií a dalšími oblastmi. Pracoval
rovněž v hydrodynamice a analytické mechanice.
Cvičení 77
R
χ bM2
(x, y) dxdy −
R
χM1
(x, y) dxdy = m(M2) − m(M1) < ε. Podle cvičení 8
je funkce χM integrovatelná na obdélníku R, a tedy množina M je měřitelná.
15. Postačitelnost plyne ze cvičení 14. Dokážeme nutnost.
Nechť R je obdélník a M ⊆ R je měřitelná. Pak je funkce χM integrovatelná
na R. Buď ε > 0. Podle lemmatu 1.9 existuje dělení D obdélníku R takové, že
S(D, χM) − s(D, χM) < ε. Označme N1, . . . , Nk ty dílky dělení D, které jsou
podmnožinami M, a Nk+1, . . . , Nn ty dílky dělení D, které nejsou podmnožinami
M, ale mají s M neprázdný průnik. Zřejmě platí M1 = N1 ∪ · · · ∪ Nk ⊆ M ⊆
⊆ N1 ∪ · · · ∪ Nn = M2. Z definice dolních a horních součtů vyplývá (srovnejte
poznámku 1.33 a obrázek 1.9), že s(D, χM) = m(N1) + · · · + m(Nk) = m(M1)
a S(D, χM) = m(N1)+· · ·+m(Nn) = m(M2). Tedy obdélníky N1, . . . , Nn a číslo k
mají požadované vlastnosti.
16. Je
◦
M ⊆
◦
A ⊆ A ⊆ M, tedy h(A) = A
◦
A ⊆ M
◦
M = h(M). Množina M
je měřitelná, tedy podle věty 1.40 je m(h(M)) = 0 a podle věty 1.37 je rovněž
m(h(A)) = 0. Tudíž podle věty 1.35 je množina A měřitelná.
17. ⇒: Předpokládejme, že m(M) = 0. Nechť K ⊃ M je obdélník. Protože platí
K
χM(x, y) dxdy =
K
χM(x, y) dxdy = 0, pro každé ε > 0 existuje dělení D
obdélníku K tak, že S(D, χM) < ε. Jsou-li Ri dílky dělení D, pro něž Ri ∩M = ∅,
i = 1, . . . , k, pak S(D, χM) =
k
i=1
m(Ri) — viz poznámka 1.33.
⇐: Předpokládejme, že k libovolnému ε > 0 existují obdélníky R1, . . . , Rk takové,
že M ⊆
k
i=1
Ri,
k
i=1
m(Ri) < ε. Označme R =
k
i=1
Ri a nechť K ⊃ R je obdélník.
Pak χM χR = max
i=1,...,k
{χRi
}
k
i=1
χRi
. Podle cvičení 4 platí
K
χM(x, y) dxdy
k
i=1 K
χRi
(x, y) dxdy =
k
i=1
m(Ri) < ε. Tedy platí 0
K
χM(x, y) dxdy
K
χM(x, y) dxdy < ε pro libovolné ε > 0, takže
K
χM(x, y) dxdy = 0, tj.
množina M je měřitelná a m(M) = 0.
18. Množina M je omezená v R2. Je-li M = ∅, tvrzení platí. Buď M = {x1, . . . , xn},
n ∈ N. Nechť ε > 0 je libovolné. Označme Rj , j = 1, . . . , n, čtverec se středem xj
o straně
√
ε/(2n). Pak M ⊂
n
j=1
Rj a
n
j=1
m(Rj ) = n ε
2n = ε
2 < ε. Podle cvičení 17
je m(M) = 0.
19. Množina M je omezená v R2, protože její prvky jsou členy konvergentní po-
78 Dvojný integrál
sloupnosti. Označme A = lim
n→+∞
An. Buď ε > 0 libovolné. K
√
ε/8 > 0 existuje
n0 tak, že (An, A) <
√
ε/8 pro každé n > n0 ( je eukleidovská metrika
na R2). Nechť R0 je čtverec se středem A o straně 2
√
ε/8 =
√
ε/2 a R1, . . . , Rn0
jsou shodné čtverce se středy A1, . . . , An0 o straně
√
ε/(4n0). Pak M ⊂
n0
i=0
Ri
a
n0
i=0
m(Ri) = ε
2 + ε
4n0
n0 = 3ε
4 < ε. Podle cvičení 17 je m(M) = 0.
20. ⇒: Předpokládejme, že m(M) = 0 a připusťme, že
◦
M = ∅. Pak existuje obdélník
R ⊂
◦
M, m(R) > 0. Podle věty 1.38 je m(M) m(R) > 0, což je spor.
⇐: Předpokládejme, že
◦
M = ∅. Pak M ⊆ M =
◦
M ∪ h(M) = h(M). Protože M
je podle předpokladu měřitelná, je podle důsledku 1.41 m(h(M)) = 0, takže podle
věty 1.37 je M měřitelná a m(M) = 0.
Předpoklad měřitelnosti M v postačující podmínce nelze vynechat. Např. množina
M = R ∩ (Q × Q), kde R = 0, 1 × 0, 1 je obdélník, má prázdný vnitřek, ale
není měřitelná, protože
R
χM(x, y) dxdy neexistuje — viz příklad 1.6.
21. Lze předpokládat, že M je uzavřená, tj. M = M. Pokud je totiž M = M, tj.
h(M) M = ∅, položíme f (x, y) = 1 na h(M) M. Pak h(M) M ⊆ h(M)
a m(h(M)) = 0, tedy podle věty 1.37 je m(h(M) M) = 0. Podle věty 1.50, částí
b) a c), je f integrovatelná na M a
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy.
Nechť R ⊇ M je libovolný obdélník. Připusťme, že platí rovnost
M
f (x, y) dxdy =
=
R
(χMf )(x, y) dxdy =
R
(χMf )(x, y) dxdy = 0. Buď ε > 0 libovolné.
Pak existuje dělení D obdélníku R s dílky Rij , (i, j) ∈ I = {(i, j) : i =
= 1, . . . , m; j = 1, . . . , n}, takové, že S(D, χMf ) < ε m(M). Označme Vij =
= sup{(χMf )(x, y) : [x, y] ∈ Rij }, Mij = M ∩ Rij , (i, j) ∈ I, J = {(i, j) ∈ I :
Mij = ∅}, K = {(i, j) ∈ I : m(Mij ) > 0}. Protože 0 < m(M) =
(i,j)∈J
m(Mij ) =
=
(i,j)∈K
m(Mij ), je K = ∅. Platí Vij = 0 pro (i, j) ∈ I J, Vij = sup{f (x, y) :
[x, y] ∈ Mij } pro (i, j) ∈ J, m(Mij ) m(Rij ) pro (i, j) ∈ I. Pak ε m(M) >
> S(D, χMf ) =
(i,j)∈I
Vij m(Rij ) =
(i,j)∈J
Vij m(Rij )
(i,j)∈J
Vij m(Mij ) =
=
(i,j)∈K
Vij m(Mij ). Existuje (i0, j0) ∈ K tak, že Vi0j0 < ε, jinak bychom dostali
(i,j)∈K
Vij m(Mij ) ε
(i,j)∈K
m(Mij ) = ε
(i,j)∈J
m(Mij ) = ε m(M), což je spor.
Tedy platí 0 < f (x, y) < ε pro každé [x, y] ∈ Mi0j0 , množina Mi0j0 je uzavřená
a m(Mi0j0 ) > 0. Přitom lze předpokládat (přechodem ke zjemnění D), že
d(Mi0j0 ) < δ, kde δ > 0 je libovolné předem dané číslo (d(A) = sup{ (X, Y) :
X, Y ∈ A} je průměr množiny A ⊆ R2; je eukleidovská metrika v R2). Konečně
Cvičení 79
Mi0j0
f (x, y) dxdy = 0 (jinak by
M
f (x, y) dxdy > 0).
Nechť εn > 0, n ∈ N a εn → 0 pro n → ∞. Podle předchozího najdeme množinu
M1 ⊆ M tak, že M1 = M1, m(M1) > 0, d(M1) < ε1 a 0 < f (x, y) < ε1 na M1.
Dále postupujeme indukcí. Jsou-li zkonstruovány množiny M1 ⊇ M2 ⊇ · · · ⊇ Mi,
najdeme pomocí předchozího postupu množinu Mi+1 ⊆ Mi tak, že Mi+1 = Mi+1,
m(Mi+1) > 0, d(Mi+1) < εi+1 a 0 < f (x, y) < εi+1 na Mi+1. Sestrojili jsme
neklesající (vzhledem k inkluzi) posloupnost uzavřených množin {Mn}∞
n=1, přičemž
d(Mn) → 0 pro n → ∞. Protože (R2, ) je úplný metrický prostor, je průnik
této posloupnosti jednoprvkový, tj.
∞
n=1
Mn = {(x0, y0)} — viz např. [6, věta 3.5 na
str. 31]. Platí tudíž 0 < f (x0, y0) < εn pro každé n ∈ N, což není možné, protože
εn → 0 pro n → ∞.
22. Použijte výsledek cvičení 21 na funkci f − g.
23. Nechť nejprve M je obdélník. Buď ε > 0 libovolné. K číslu εc2 > 0 existuje dělení
D obdélníku M s dílky Mij , (i, j) ∈ I = {(i, j) : i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n}
tak, že S(D, f ) − s(D, f ) < εc2. Označme vij = inf{f (x, y) : (x, y) ∈ Mij },
Vij = sup{f (x, y) : (x, y) ∈ Mij }, wij = inf{1/f (x, y) : (x, y) ∈ Mij }, Wij =
= sup{1/f (x, y) : (x, y) ∈ Mij }, (i, j) ∈ I. Platí wij = 1/Vij , Wij = 1/vij , vij
c, Vij c, (i, j) ∈ I. Pak S(D, 1/f )−s(D, 1/f ) =
(i,j)∈I
(Wij −wij ) m(Mij ) =
=
(i,j)∈I
(1/vij −1/Vij ) m(Mij ) =
(i,j)∈I
(Vij −vij )/(vij Vij ) m(Mij )
(i,j)∈I
(Vij −
−vij )/c2 m(Mij ) = 1/c2 S(D, f )−s(D, f ) < (1/c2)εc2 = ε. Podle lemmatu 1.9
je funkce 1/f integrovatelná na M.
Jiný důkaz lze udělat pomocí cvičení 12 (zvolíme ϕ(t) = 1/t, t ∈ 1/k, 1/c , kde
0 < c f (x, y) k na M).
Není-li M obdélník, zvolme obdélník R ⊃ M. Pak R M je měřitelná podle
věty 1.38, část d) a rozšíření funkce f na R M dané předpisem f (x, y) = c
je na R M integrovatelná funkce podle věty 1.47. Tedy podle věty 1.50, část c)
je funkce f integrovatelná na R; přitom f (x, y) c na R. Podle předchozí části
je funkce 1/f integrovatelná na R. Protože M je měřitelná, je funkce 1/f podle
věty 1.52 integrovatelná i na M.
24. Plyne ze cvičení 23 a věty 1.51.
Poznámka: Uvedený výsledek lze následovně zobecnit:
Nechť funkce f, g jsou integrovatelné na množině M ⊆ R2. Předpokládejme, že
jejich podíl f/g je definovaný a ohraničený na M. Pak f/g je integrovatelná na M.
Důkaz lze provést s využitím nutné a postačující podmínky riemannovské integrovatelnosti,
která se dokazuje v teorii Lebesgueova integrálu — viz [15, str. 447].
80 Dvojný integrál
25. Označme T (t) = [ϕ(t), ψ(t)], t ∈ α, β . Nechť α = t0 < t1 < · · · < tn = β je
dělení intervalu α, β . Délkou lomené čáry L s vrcholy T (t0), . . . , T (tn) „vepsané“
křivce γ rozumíme číslo m1(L) =
n
i=1
(T (ti−1), T (ti)) ( je eukleidovská metrika
v rovině). Délku křivky γ definujeme vztahem m1(γ ) = sup{m1(L) : L je lomená
čára „vepsaná“ γ }. Protože ϕ, ψ jsou spojité na kompaktním intervalu α, β , jsou
podle Weierstrassovy věty ohraničené, a tudíž i graf G je omezená množina v R2.
Buď ε > 0 libovolné. Označme δ = min ε/(8 m1(γ )),
√
ε/4 . Nechť K0 je uzavřený
kruh se středem T (t0), t0 = α, a poloměrem δ. Buď je T (t) ∈ K0 pro
t ∈ α, β , nebo existuje t1, t0 < t1 < β, takové, že (T (t0), T (t1)) = δ, T (t) ∈ K0
pro t0 t t1 a není pravda, že T (t) ∈ K0 pro všechna t ∈ (t1, β .
Pokud nastane druhá možnost, označme K1 uzavřený kruh se středem T (t1) a poloměrem
δ. Buď je T (t) ∈ K1 pro t ∈ t1, β , nebo existuje t2, t1 < t2 < β, takové,
že (T (t1), T (t2)) = δ, T (t) ∈ K1 pro t1 t t2 a není pravda, že T (t) ∈ K1 pro
všechna t ∈ (t2, β . Dále pokračujeme indukcí.
Po konečném počtu kroků k musí nastat první možnost. Jinak bychom mohli najít
lomenou čáru L vepsanou křivce γ délky větší než m1(γ ). Skutečně, pro lomenou
čáru L s vrcholy T (t0), T (t1), . . . , T (tk), T (β) je m1(L) = kδ + (T (tk), T (β))
kδ → ∞ pro k → ∞. Pak K0 ∪ · · · ∪ Kk ⊇ G, k ∈ N, a k m1(γ )/δ.
Označme Ri čtverec se středem T (ti) o straně 2δ, i = 0, . . . , k. Platí m2(R0)+· · ·+
+m2(Rk) = (k+1)4δ2 4δ2 m1(γ )/δ +4δ2 = 4δ m1(γ )+4δ2 ε/2+ε/4 < ε.
Podle cvičení 17 je m2(G) = 0.
26. Definujme f (1/n) = 0 pro liché n ∈ N a f (1/n) = 1/n pro sudé n ∈ N.
Na intervalech 1/(n + 1), 1/n , n ∈ N, dodefinujme f na lineární funkci. Konečně
položme f (0) = 0. Snadno se ověří, že f je spojitá na 0, 1 . Označme
Tn = [0, f (1/n)], n ∈ N, T0 = [0, f (0)]. Nechť Ln je lomená čára s vrcholy
T1, T2, . . . , Tn, T0, n ∈ N. Pak pro k ∈ N platí ( je eukleidovská metrika v R2)
m1(L2k+1) =
2k
i=1
(Ti, Ti+1) + (T2k+1, T0) > 2
k
i=1
1/(2i) =
k
i=1
1/i → ∞ pro
k → ∞. Tedy pro graf G funkce f platí m1(G) = +∞.
27. Označme M = 0, 1 × 0, 1 . Množina E = M ∩ Q2 je spočetná, tedy její prvky
lze uspořádat do posloupnosti {en}∞
n=1. Dále pro S ⊆ R2 položme S = {s +
+ [2, 0] : s ∈ S} (S vznikne posunutím S o dvě doprava).
a) Jednoprvkové množiny An = {[0, n]}, n ∈ N, jsou měřitelné, protože funkce
χAn
se liší od nulové funkce v jediném bodě (věta 1.53). Množina A =
∞
n=1
An
je zřejmě neomezená v R2.
b) Množiny Bn = {en}, n ∈ N, jsou měřitelné ze stejného důvodu jako v části a).
Avšak množina B =
∞
n=1
Bn není měřitelná, protože funkce χB není podle příkladu
1.6 integrovatelná.
Cvičení 81
c) Protože množina B z části b) není měřitelná, není měřitelná ani množina C =
= M B =
∞
n=1
(M Bn). Přitom množiny Cn = M Bn, n ∈ N, jsou měřitelné
protože jsou rozdílem dvou měřitelných množin.
d) Množiny Dn = Bn ∪ Cn, n ∈ N, jsou měřitelné, protože jsou sjednocením dvou
měřitelných množin (měřitelnost Cn se zdůvodní obdobně jako v části c)). Ale
ani množina D =
∞
n=1
Dn = B ∪ M ani množina F =
∞
n=1
Dn = C nejsou
měřitelné. V prvním případě to plyne z toho, že podle věty 1.38, část d), by byla
měřitelná i množina D ∩ M = B, což je spor. V druhém případě se stejně jako
v části c) ověří, že množina C je rozdílem měřitelné množiny M a neměřitelné
množiny B.
28. Pro libovolné a, b ∈ R platí: max{a, b} = (a + b + |a − b|)/2, min{a, b} = (a +
+ b − |a − b|)/2. Tvrzení plyne z věty 1.49.
29. Je-li f integrovatelná, jsou podle cvičení 28 integrovatelné i f + a f −. Naopak,
jsou-li integrovatelné f + a f −, je integrovatelná i f = f + −f −. Rovnost integrálů
je pak zřejmá.
30. a) 1
2
, b) 2(e4
+ e−4
− 2), c) 2 − 2e−4
, d) 1,
e) 16
√
2
3
, f) 15
2
− ln 4, g) 1
3
, h) 3 ln 3 − 2,
i) 3
2
− ln 2, j) 4
3
, k) 4
3
, l) 1
2
.
31. a) 105
2
, b) π
12
, c) 8
3
√
6 d) 0, e) 3, f) e − 4
3
.
32. a) a2b2
4
, b) 0, c) 90.
33. a) 14
3
, b) 15π−16
150
, c) 19
6
, d) 12
5
, e) 16
3
,
f) π
6
, g) 1
2
, h) 3
2
, i) πa3
3
, j) π
2
a,
k) 1
3
π
3
+
√
3
2
, l) π + 2, m) 4, n) a2
4
(π + 4).
34. a) 2
3
, b) 33
140
, c) 2 ln 2 − 3
4
, d) 3π
2
, e) 9,
f) e4−e3−e+1
2
, g) π2
288
, h) −2, i) − 11
120
, j) 1
30
,
k) 2 ln 2 − 1
2
ln2
2 − 9
8
, l) 9
4
, m) a2b2
8
, n) 32
3
√
2.
82 Dvojný integrál
35. a) 11
24
, b) 9
4
, c) 4
3
, d) 2π, e) 0, f) 4π
3
+ 8 ln 1+
√
3√
2
.
36. a) (b2−a2)(d2−c2)
4
, b) 1
36
, c) r4
8
, d) 35
48
, e) 16
15
, f) π + 2.
37. a)
b
a
b
y f (x, y) dx dy, b)
0
−4
0
−
√
x+4 f (x, y) dy dx,
c)
1
0
3√
y
√
y f (x, y) dx dy,
d)
e
1
ln x
0 f (x, y) dy dx +
e2
e−1
e
e+ 1−e
e x
0 f (x, y) dy dx,
e)
1
0
√
y
1−
√
1−y2
f (x, y) dx dy, f)
e
1
ln x
0 f (x, y) dy dx,
g)
1
0
1+
√
1−y2
2−y f (x, y) dx dy, h)
4
0
y
y2/4 f (x, y) dx dy,
i)
1
0
x
x2 f (x, y) dy dx, j)
2
0
y
2−
√
4−y2 f (x, y) dx dy,
k)
1
0
x2
0 f (x, y) dy dx +
3
1
(3−x)/2
0 f (x, y) dy dx,
l)
ln 3
0
2x/ ln 3
ex−1 f (x, y) dy dx, m)
3
0
x+1
(x−1)2 f (x, y) dy dx,
n)
3
0
4−(x−2)2
x f (x, y) dy dx, o)
2
1
2x
x f (x, y) dy dx.
38. a) (e2
− 1)2
, b) 4, c) 128
35
, d) 9
4
+ 18
√
3
7
,
e) 16
15
, f) 9
2
, g)
√
3 + 2 − 5π
12
, h) 6.
39. a) 0, b) 40π, c) −153
320
, d) 0,
e) 2
3
ab2
, f) 11
30
a5
, g) 4
3
a3
, h) 4(3 −
√
3),
i) 1
16
, j) 3
2
, k) 7
3
− π
4
, l) (e + 1)[ln(e + 1) − 1] − 1
2
.
40. a) a3
6
, b) e, c) 2, d) 3π
8
+ 1
4
, e) 3−e
2(e−1)
, f) (a−1)2
2
.
41. a) 49
6
, b) 17
6
, c) 1
2
, d) 8
3
, e) 17
2
, f) 15
4
.
42. a) 14
3
, b) 652
15
, c) ln 16 − 1
16
, d) 84,
e) 10
3
, f) 13
3
, g) ee
(e − 1) + 5−2e3
6
.
Cvičení 83
43. a)
π
0
y2
0
sin y
y
dx dy = π,
π2
0
π
√
x
sin y
y
dy dx — vnitřní integrál nelze vyjádřit pomocí
elementárních funkcí,
b)
1/2
0
π/2
0
dx
1−y2 sin2 x
dy = tg x = t =
1/2
0
∞
0
dt
t2(1−y2)+1
dy =
= π
2
1/2
0
dy√
1−y2
= π2
12
,
π/2
0
1/2
0
dy
1−y2 sin2 x
dx =
parciální
zlomky
=
π/2
0
1
2 sin x
ln 2+sin x
2−sin x
dx =
= tg x
2
= t =
1
0
1
2t
ln t2+t+1
t2−t+1
dt =
per
partes =
1
0
t2−1
t4+t2+1
ln t dt,
c)
3
2
π/2
0
dy
1+x2 tg2 y
dx = tg y = t =
3
2
∞
0
dt
(1+x2t2)(1+t2)
dx =
=
parciální
zlomky
= π
2
3
2
dx
x+1
= π
2
ln 4
3
,
π/2
0
3
2
dx
1+x2 tg2 y
dy =
π/2
0 cotg y(arctg 3 tg y − arctg 2 tg y) dy =
= tg y = t =
∞
0
arctg 3t−arctg 2t
t(t2+1)
dt.
84
Kapitola 2
Integrály v prostorech obecné
dimenze
V kapitole 1 byl zaveden integrál funkcí dvou proměnných. Naprosto obdobně je
možné vybudovat integrál funkcí libovolného konečného počtu proměnných. Nejprve
se definuje integrál na n-rozměrných intervalech, pomocí něho se zavedou
měřitelné množiny a nakonec se definuje integrál na měřitelných množinách.
Veškeré definice i výsledky předchozí kapitoly se snadno přenesou na případ
obecného n, po technické stránce jsou důkazy všech tvrzení obdobné, jen zápisy
jsou komplikovanější. Proto většinou jejich formulace ani důkazy nebudeme
opakovat.
V následujících oddílech si všimneme nejprve případu n = 3. Ten je důležitý
v aplikacích a navíc si při něm dokážeme ještě představit integrační obory. Potom
se zmíníme o případu obecného n a nakonec krátce o případu n = 1, který
bude zobecněním konstrukce jednorozměrného integrálu na intervalu, známé ze
základního kurzu matematické analýzy.
2.1. Trojný integrál
Při definici trojného integrálu postupujeme zcela analogicky jako u integrálu
dvojného. Nejprve definujeme trojný integrál funkce f ohraničené na nedegenerovaném
trojrozměrném uzavřeném omezeném intervalu M = a, b × c, d ×
× q, r . Takový interval budeme stručně nazývat kvádrem. Pro dělení D kvádru
M používáme označení D = Dx × Dy × Dz, přičemž Dx : a = x0 < x1 <
< · · · < xm = b je dělení intervalu a, b , Dy : c = y0 < y1 < · · · < yn = d
je dělení intervalu c, d a Dz : q = z0 < z1 < · · · < zp = r je dělení intervalu
2.1 Trojný integrál 85
x
y
z
a
b
c d
q
r M
a)
x
y
z
a = x0
x1
b = x2
c = y0 y1 y2 y3 y4 = d
q = z0
z1
z2
r = z3 M
b)
Obr. 2.1: Trojrozměrný interval M a jeho dělení
q, r . Roviny x = xi, y = yj , z = zk (i = 1, . . . , m − 1; j = 1, . . . , n − 1; k =
= 1, . . . , p − 1) dělí kvádr M na menší kvádry zvané dílky, které se značí Mijk
(viz obr. 2.1); přitom Mijk = xi−1, xi × yj−1, yj × zk−1, zk . Horní a dolní
součty pro danou funkci f jsou nyní tvaru
S(D, f ) =
m
i=1
n
j=1
p
k=1
Vijk(xi − xi−1)(yj − yj−1)(zk − zk−1),
s(D, f ) =
m
i=1
n
j=1
p
k=1
vijk(xi − xi−1)(yj − yj−1)(zk − zk−1),
kde
Vijk = sup{f (x, y, z) : [x, y, z] ∈ Mijk},
vijk = inf {f (x, y, z) : [x, y, z] ∈ Mijk}.
Označíme-li m(Mijk) = (xi − xi−1)(yj − yj−1)(zk − zk−1), pak lze psát
S(D, f ) =
m
i=1
n
j=1
p
k=1
Vijk m(Mijk),
s(D, f ) =
m
i=1
n
j=1
p
k=1
vijk m(Mijk),
86 Integrály v prostorech obecné dimenze
přičemž m(Mijk) budeme nazývat mírou (objemem) kvádru Mijk. Dolní a horní
integrál funkce f přes kvádr M definujeme vztahy
M
f (x, y, z) dxdydz = sup{s(D, f )}
a
M
f (x, y, z) dxdydz = inf{S(D, f )}.
Jejich případnou společnou hodnotu nazýváme trojný integrál a značíme
M
f (x, y, z) dxdydz.
Všechny vlastnosti uvedené pro dvojný integrál na obdélníku platí analogicky
i pro trojný integrál na kvádru. Vzorce Fubiniovy věty pro trojný integrál na
kvádru M = a, b × c, d × q, r mají pro různá pořadí proměnných integrace
tvar
M
f (x, y, z) dxdydz =
a,b × c,d
r
q
f (x, y, z) dz dxdy =
=
a,b × q,r
d
c
f (x, y, z) dy dxdz =
=
c,d × q,r
b
a
f (x, y, z) dx dydz =
=
a,b × c,d
r
q
f (x, y, z) dz dxdy =
=
a,b × q,r
d
c
f (x, y, z) dy dxdz =
=
c,d × q,r
b
a
f (x, y, z) dx dydz
a také (při jiném „sdružení“ integračních proměnných)
M
f (x, y, z) dxdydz =
b
a
c,d × q,r
f (x, y, z) dydz dx =
2.1 Trojný integrál 87
=
d
c
a,b × q,r
f (x, y, z) dxdz dy =
=
r
q
a,b × c,d
f (x, y, z) dxdy dz =
=
b
a
c,d × q,r
f (x, y, z) dydz dx =
=
d
c
a,b × q,r
f (x, y, z) dxdz dy =
=
r
q
a,b × c,d
f (x, y, z) dxdy dz.
Zejména pro funkci f spojitou na kvádru M = a, b × c, d × q, r platí
M
f (x, y, z) dxdydz =
b
a
d
c
r
q
f (x, y, z) dz dy dx =
=
b
a
r
q
d
c
f (x, y, z) dy dz dx =
=
d
c
b
a
r
q
f (x, y, z) dz dx dy =
=
d
c
r
q
b
a
f (x, y, z) dx dz dy =
=
r
q
b
a
d
c
f (x, y, z) dy dx dz =
=
r
q
d
c
b
a
f (x, y, z) dx dy dz.
Trojný integrál
M
f (x, y, z) dxdydz se někdy označuje jako integrál trojrozměrný,
zatímco integrály
b
a
d
c
r
q
f (x, y, z) dz dy dx,
b
a
r
q
d
c
f (x, y, z) dy dz dx,
d
c
b
a
r
q
f (x, y, z) dz dx dy,
d
c
r
q
b
a
f (x, y, z) dx dz dy
88 Integrály v prostorech obecné dimenze
a rovněž integrály
r
q
b
a
d
c
f (x, y, z) dy dx dz,
r
q
d
c
b
a
f (x, y, z) dx dy dz
jako integrály trojnásobné.
Poznámka 2.1. K označení trojnásobných integrálů se používá rovněž zápisů
b
a
dx
d
c
dy
r
q
f (x, y, z) dz,
b
a
dx
q
r
dz
d
c
f (x, y, z) dy
a čtyř dalších analogických zápisů pro zbývající permutace proměnných x, y, z.
Příklad 2.2. Vypočtěte trojný integrál I =
M
(x + 2y − 3z) dxdydz, kde
integrační obor M je kvádr 1, 3 × −1, 1 × 0, 2 .
Řešení. Integrand je funkce spojitá na M (dokonce na R3
). Podle Fubiniovy věty
platí
I =
M
(x + 2y − 3z) dxdydz =
3
1
1
−1
2
0
(x + 2y − 3z) dz dy dx.
Pro přehlednost vypočteme postupně jednotlivé jednoduché integrály samostatně.
2
0
(x + 2y − 3z) dz = xz + 2yz −
3
2
z2
2
0
= 2x + 4y − 6.
Dále
1
−1
(2x + 4y − 6) dy = 2xy + 2y2
− 6y
1
−1
=
= (2x + 2 − 6) − (−2x + 2 + 6) = 4x − 12.
Celkově dostaneme
I =
3
1
(4x − 12) dx = 2x2
− 12x
3
1
= (18 − 36) − (2 − 12) = −8.
Zvolili jsme pořadí integrace nejprve podle z, pak podle y a nakonec podle x.
Jakékoliv jiné pořadí by dalo díky Fubiniově větě stejný výsledek a výpočet by
byl přibližně stejně obtížný.
2.1 Trojný integrál 89
Také charakteristická funkce množiny M ⊆ R3
a její měřitelnost se definují
analogicky jako v R2
. Vzorec pro (Jordanovu) míru omezené množiny M ⊆ R3
je tvaru
m(M) =
R
χM(x, y, z) dxdydz,
kde R je takový kvádr, že M ⊆ R a
χM(x, y, z) =
1 pro [x, y, z] ∈ M,
0 pro [x, y, z] ∈ M
je charakteristická funkce množiny M. Někdy, abychom odlišili míru v R3
od měr
v prostorech jiných dimenzí, píšeme m3(M) místo m(M). Míra v R3
má stejné
vlastnosti jako v R2
. Je-li z = f (x, y) spojitá funkce na kompaktní množině
M ⊆ R2
, pak míra grafu této funkce v R3
je rovna 0. Analogické tvrzení platí
pro grafy funkcí y = f (x, z), x = f (y, z) spojitých na kompaktních množinách.
Trojný integrál funkce f ohraničené na měřitelné množině M ⊆ R3
definujeme
rovností
M
f (x, y, z) dxdydz =
R
(χMf )(x, y, z) dxdydz,
kde R ⊇ M je libovolný kvádr a funkce χMf je dána vztahem
(χMf )(x, y, z) =
f (x, y, z) pro každé [x, y, z] ∈ M,
0 pro každé [x, y, z] ∈ M.
Trojný integrál má stejné vlastnosti jako integrál dvojný. Elementární množina
vzhledem k rovině xy je definována takto:
Definice 2.3. Buď M elementární množina v R2
(vzhledem k ose x nebo
vzhledem k ose y) a nechť Φ(x, y), Ψ (x, y) jsou spojité funkce na M takové,
že Φ(x, y) Ψ (x, y) pro každé [x, y] ∈ M. Množinu
Ω = [x, y, z] ∈ R3
: [x, y] ∈ M, Φ(x, y) z Ψ (x, y)
nazýváme elementární množinou vzhledem k rovině xy v R3
(viz obr. 2.2).
Analogicky definujeme elementární množinu vzhledem k rovině xz, resp. vzhledem
k rovině yz v R3
.
Elementární množinou v R3
rozumíme elementární množinu vzhledem k některé
z rovin xy, resp. xz, resp. yz.
90 Integrály v prostorech obecné dimenze
x
y
z
z = Φ(x, y)
z = Ψ (x, y)
M
Ω
O
Obr. 2.2: Elementární množina Ω v trojrozměrném prostoru
Podobně jako v R2
platí, že elementární množina v R3
je měřitelná a že
funkce spojitá na elementární množině v R3
je integrovatelná. Analogicky jako
v R2
platí věta:
Věta 2.4. Buď Ω elementární množina v R3
vzhledem k rovině xy, tj. Ω =
= [x, y, z] ∈ R3
: [x, y] ∈ M, Φ(x, y) z Ψ (x, y) , kde Φ, Ψ jsou
funkce spojité na M takové, že Φ(x, y) Ψ (x, y) pro každé [x, y] ∈ M a M
je elementární množina v R2
. Je-li funkce f spojitá na Ω, pak
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
M
Ψ (x,y)
Φ(x,y)
f (x, y, z) dz dxdy. (2.1)
Předpokládáme-li např., že M je elementární množina vzhledem k ose x, tj.
M = [x, y] ∈ R2
: a x b, ϕ(x) y ψ(x) , přičemž ϕ, ψ jsou funkce
spojité na a, b , takové, že ϕ(x) ψ(x) pro každé x ∈ a, b , pak
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
Ψ (x,y)
Φ(x,y)
f (x, y, z) dz dy dx. (2.2)
2.1 Trojný integrál 91
Poznámka 2.5.
a) Analogicky platí další dvě tvrzení, ve kterých vzorec (2.1) nabývá tvaru
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
eM
eΨ (x,z)
eΦ(x,z)
f (x, y, z) dy dxdz,
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
bM
bΨ (y,z)
bΦ(y,z)
f (x, y, z) dx dydz.
b) Záměnou pořadí proměnných v (2.2) dostáváme dalších pět vzorců:
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
b
a
ψ1(x)
ϕ1(x)
Ψ1(x,z)
Φ1(x,z)
f (x, y, z) dy dz dx,
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
d
c
ψ2(y)
ϕ2(y)
Ψ2(x,y)
Φ2(x,y)
f (x, y, z) dz dx dy,
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
d
c
ψ3(y)
ϕ3(y)
Ψ3(y,z)
Φ3(y,z)
f (x, y, z) dx dz dy,
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
r
q
ψ4(z)
ϕ4(z)
Ψ4(x,z)
Φ4(x,z)
f (x, y, z) dy dx dz,
Ω
f (x, y, z) dxdydz =
r
q
ψ5(z)
ϕ5(z)
Ψ5(y,z)
Φ5(y,z)
f (x, y, z) dx dy dz.
c) Integrál
M
f (x, y, z) dxdydz se nazývá trojný integrál, integrály na pravé
straně rovnosti (2.2) a na pravých stranách posledních pěti rovností se nazývají
trojnásobné integrály.
d) Tvrzení první části věty 2.4 a tvrzení části a) poznámky 2.5 zůstane v platnosti,
i když bude funkce f integrovatelná (tj. ne nutně spojitá) na množině Ω.
Ve vnitřních integrálech je však třeba doplnit znaky pro horní resp. dolní
jednoduchý integrál.
Příklad 2.6. Vypočtěte
Ω
x2
dxdydz, kde Ω ⊆ R3
je množina omezená
plochami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
92 Integrály v prostorech obecné dimenze
x
y
z
1
1
1
O
a)
x
y
1
1
O
y = 1 − x
b)
Obr. 2.3
Řešení. Všechny čtyři plochy uvedené v zadání jsou roviny, přičemž první tři
jsou souřadnicové roviny. Integrační obor je čtyřstěn, který je znázorněn na
obr. 2.3 a). Jeho průmět do roviny xy je trojúhelník z obr. 2.3 b).
Zapíšeme-li Ω jako elementární množinu vzhledem k rovině xy, máme
0 x 1,
Ω : 0 y 1 − x,
0 z 1 − x − y.
Integrovaná funkce je spojitá na Ω (dokonce na R3
). Užitím vzorce (2.2) dostá-
váme
Ω
x2
dxdydz =
1
0
1−x
0
1−x−y
0
x2
dz dy dx =
=
1
0
1−x
0
x2
z
1−x−y
0
dy dx =
1
0
1−x
0
(x2
− x3
− x2
y) dy dx =
=
1
0
x2
y − x3
y −
1
2
x2
y2
1−x
0
dx =
=
1
0
x2
− x3
− x3
+ x4
−
1
2
x2
(1 − x)2
dx =
=
1
0
x2
− 2x3
+ x4
−
1
2
x4
+ x3
−
1
2
x2
dx =
=
1
0
1
2
x4
− x3
+
1
2
x2
dx =
1
10
x5
−
1
4
x4
+
1
6
x3
1
0
=
=
1
10
−
1
4
+
1
6
=
6 − 15 + 10
60
=
1
60
.
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou 93
2.2. Další příklady na výpočet trojného integrálu
Fubiniovou větou
Příklad 2.7. Vypočtěte I =
V
(x − y + 2z) dxdydz, kde množina V je dána
nerovnostmi:
V :
1 x 2,
x y 2x,
x + y z 2x + 3y.
Řešení. Integračním oborem je rovnoběžnostěn znázorněný na obr. 2.4 a integrand
je funkce, která je na něm spojitá. Podle Fubiniovy věty bude:
I =
V
(x − y + 2z) dxdydz =
2
1
2x
x
2x+3y
x+y
(x − y + 2z) dz dy dx.
Vypočteme postupně jednotlivé integrály:
2x+3y
x+y
(x − y + 2z) dz = (x − y)z + z2 2x+3y
x+y
=
= (x − y)(2x + 3y) + (2x + 3y)2
− (x − y)(x + y) + (x + y)2
=
= 4x2
+ 11xy + 6y2
,
x
y
1 2O
y = x
y = 2x
M
a)
x
y
z
1
2
M
V
z = x + y
z = 2x + 3y
b)
Obr. 2.4
94 Integrály v prostorech obecné dimenze
2x
x
(4x2
+ 11xy + 6y2
) dy = 4x2
y +
11
2
xy2
+ 2y3
2x
x
=
= 4x2
· 2x +
11
2
x(2x)2
+ 2(2x)3
− 4x2
· x +
11
2
x · x2
+ 2x3
=
=
69
2
x3
,
takže celkový výsledek bude
I =
2
1
69
2
x3
dx =
69
2
x4
4
2
1
=
69
8
(16 − 1) =
1035
8
.
Příklad 2.8. Vypočtěte I =
M
1
1 − x − y
dxdydz, kde množina M je omezena
plochami x = 0, y = 0, z = 0 a x + y + z = 1/2.
Řešení. Integračním oborem je čtyřstěn, který je znázorněn na obr. 2.5 a). Jeho
průmět do roviny xy je trojúhelník z obr. 2.5 b). Množinu M, která je elementární
vzhledem k rovině xy, popíšeme následovně:
M :
0 x 1/2,
0 y 1/2 − x,
0 z 1/2 − x − y.
x
y
z
1/2
1/2
1/2
O
a)
x
y
1/2
1/2
O
y = 1
2 − x
b)
Obr. 2.5
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou 95
Integrand 1/(1−x −y) je funkce spojitá na množině M, neboť 1−x −y 1/2
pro každé [x, y, z] ∈ M. Podle Fubiniovy věty platí:
I =
V
1
1 − x − y
dxdydz =
=
1/2
0
1/2−x
0
1/2−x−y
0
1
1 − x − y
dz dy dx.
Postupně vypočítáme:
1/2−x−y
0
1
1 − x − y
dz =
1
1 − x − y
z
1/2−x−y
0
=
1/2 − x − y
1 − x − y
=
=
1 − x − y − 1/2
1 − x − y
= 1 +
1
2(x + y − 1)
,
1/2−x
0
1 +
1
2(x + y − 1)
dy = y +
1
2
ln |x + y − 1|
1/2−x
0
=
=
1
2
− x +
1
2
ln x +
1
2
− x − 1 −
1
2
ln |x − 1| =
=
1
2
−
1
2
ln 2 − x −
1
2
ln(1 − x).
Při úpravě jsme využili toho, že pro 0 x 1/2 je x − 1 < 0, takže |x − 1| =
= 1 − x. Celkově tedy dostaneme s použitím metody per partes (všimněte si
drobného triku, když místo očekávaného v = x zvolíme v = x − 1, čímž se
následující integrál u v dx značně zjednoduší):
I =
1/2
0
1
2
−
1
2
ln 2 − x −
1
2
ln(1 − x) dx =
1/2
0
1
2
−
1
2
ln 2 − x dx −
−
1
2
1/2
0
ln(1 − x) dx =
u = ln(1 − x) u = 1
x−1
v = 1 v = x − 1
=
=
1
2
−
1
2
ln 2 x −
x2
2
1/2
0
−
1
2
(x − 1) ln(1 − x)
1/2
0
+
1
2
1/2
0
dx =
=
1
4
(1 − ln 2) −
1
8
−
1
4
ln 2 +
1
2
x
1/2
0
=
1
8
−
1
2
ln 2 +
1
4
=
3
8
−
1
2
ln 2.
Příklad 2.9. Vypočtěte
M
2z dxdydz, kde množina M je část prvního oktantu
x, y, z 0 omezená plochami x2
+ y2
− z2
= −1, x + y = 1.
96 Integrály v prostorech obecné dimenze
x
y
z
1
1
M
z = x2 + y2 + 1
x + y = 1
a)
x
y
1
1
O
y = 1 − x
b)
Obr. 2.6
Řešení. První plochou je dvojdílný rotační hyperboloid s osou rotace v ose z.
Druhou plochou je rovina, která je rovnoběžná s osou z. Z hyperboloidu nás tedy
bude zajímat jen jeho horní část ležící v prvním oktantu. Integrační obor M je
znázorněn na obr. 2.6 a). Jeho průmětem do roviny xy je trojúhelník z obr. 2.6 b).
Integrační obor je tedy elementární množinou vzhledem k rovině xy. Z rovnice
hyperboloidu určíme, že z = x2 + y2 + 1. Množinu M popíšeme následovně:
M :
0 x 1,
0 y 1 − x,
0 z x2 + y2 + 1.
Podle Fubiniovy věty bude:
I =
M
2z dxdydz =
1
0
1−x
0
√
x2+y2+1
0
2z dz dy dx =
=
1
0
1−x
0
z2
√
x2+y2+1
0
dy dx =
1
0
1−x
0
(x2
+ y2
+ 1) dy dx =
=
1
0
x2
y +
1
3
y3
+ y
1−x
0
dx =
=
1
0
x2
(1 − x) +
1
3
(1 − x)3
+ 1 − x dx =
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou 97
=
1
0
−
4
3
x3
+ 2x2
− 2x +
4
3
dx =
= −
1
3
x4
+
2
3
x3
− x2
+
4
3
x
1
0
=
2
3
.
Poznámka 2.10. Podobně jako u dvojného integrálu (viz poznámka 1.64), v případě,
že integrační obor je trojrozměrný interval J = a, b × c, d × q, r
a integrand má tvar součinu g(x)h(y)k(z), kde g je funkce spojitá na intervalu
a, b , h je funkce spojitá na intervalu c, d a k je funkce spojitá na intervalu
q, r , lze výpočet podle Fubiniovy věty zjednodušit a výrazně urychlit:
J
g(x)h(y)k(z) dxdydz =
b
a
d
c
r
q
g(x)h(y)k(z) dz dy dx =
=
b
a
d
c
g(x)h(y)
r
q
k(z) dz dy dx =
=
b
a
g(x) ·
r
q
k(z) dz
d
c
h(y) dy dx =
=
b
a
g(x) dx ·
d
c
h(y) dy ·
r
q
k(z) dz. (2.3)
Integrály
d
c h(y) dy a
r
q k(z) dz jsou totiž konstanty, které lze z integrálů vy-
tknout.
Příklad 2.11. Vypočtěte integrál
Ω
(1−x2
) 1 − y2 dxdydz, kde množina Ω
je omezena plochami x = 1, x = −1, y = 1, y = −1, z = 1, z = −1.
x
y
z
Ω
Obr. 2.7
Řešení. Integrační obor je krychle omezená šesti rovinami,
kolmými k souřadnicovým osám, která je znázorněná
na obr. 2.7. Jde tedy o trojrozměrný interval
−1, 1 3
, tj.
Ω :
−1 x 1,
−1 y 1,
−1 z 1.
Vzhledem ke tvaru integrandu, který je na Ω spojitý,
můžeme při použití Fubiniovy věty výpočet zjednodušit
98 Integrály v prostorech obecné dimenze
pomocí vzorce (2.3) (označíme g(x) = 1 − x2
, h(y) = 1 − y2 a k(z) = 1).
Vyjde (na druhý integrál použijeme substituční metodu):
Ω
(1 − x2
) 1 − y2 dxdydz =
1
−1
(1 − x2
) dx ·
1
−1
1 − y2 dy ·
1
−1
dz =
=
y = sin u
dy = cos u du
−1 ; −π
2
, 1 ; π
2
=
= x −
1
3
x3
1
−1
·
π/2
−π/2
1 − sin2 u · cos u du · z
1
−1
=
=
8
3
π/2
−π/2
cos2
u du =
8
3
π/2
−π/2
1
2
(1 + cos 2u) du =
=
4
3
u +
1
2
sin 2u
π/2
−π/2
=
4
3
π.
Při úpravách jsme využili, že
√
1 − sin2 u =
√
cos2 u = | cos u| = cos u, protože
cos u 0 pro každé u ∈ −π/2, π/2 .
Příklad 2.12. Vypočtěte
Ω
dxdydz, kde Ω :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
1, a, b, c > 0.
−a
0
a0
b
−b
0
c
−c x
y
z
a)
x
y
−a a
−b
b
O
b)
Obr. 2.8
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou 99
Řešení. Integrační obor Ω je tvořen obecným elipsoidem (včetně vnitřku), jehož
osy jsou umístěny v souřadnicových osách. Je znázorněn na obr. 2.8 a). Jeho
průmětem do roviny xy je elipsa (včetně vnitřku) z obr. 2.8 b) daná nerovností
x2
/a2
+ y2
/b2
1, kterou dostaneme jako průsečnici daného elipsoidu a roviny
o rovnici z = 0. Jde tedy o elementární množinu vzhledem k rovině xy, kterou
lze popsat následovně:
Ω :
−a x a,
−b 1 −
x2
a2
y b 1 −
x2
a2
,
−c 1 −
x2
a2
−
y2
b2
z c 1 −
x2
a2
−
y2
b2
.
Integrand je roven konstantě jedna, takže integrál vyjadřuje objem m3(Ω)
množiny Ω, tj. obecného elipsoidu. Podle Fubiniovy věty dostaneme:
m3(Ω) =
Ω
dxdydz =
a
−a
b
r
1− x2
a2
−b
r
1− x2
a2
c
r
1− x2
a2 − y2
b2
−c
r
1− x2
a2 − y2
b2
dz dy dx =
=
a
−a
b
r
1− x2
a2
−b
r
1− x2
a2
z
c
r
1− x2
a2 − y2
b2
−c
r
1− x2
a2 − y2
b2
dy dx =
=
a
−a
b
r
1− x2
a2
−b
r
1− x2
a2
2c 1 −
x2
a2
−
y2
b2
dy dx.
Nyní určíme samostatně vnitřní integrál. Při výpočtu rozlišíme dva případy. Pro
pevné x, kde −a < x < a, je 1 − x2
/a2
> 0. Užitím substituce tedy vyjde:
b
r
1− x2
a2
−b
r
1− x2
a2
2c 1 −
x2
a2
−
y2
b2
dy =
y = b 1 − x2
a2 sin t
dy = b 1 − x2
a2 cos t dt
−b 1 − x2
a2 ; −π
2
, b 1 − x2
a2 ; π
2
=
= 2c
π
2
− π
2
1 −
x2
a2
− 1 −
x2
a2
sin2 t · b 1 −
x2
a2
cos t dt =
= 2bc 1 −
x2
a2
π
2
− π
2
1 − sin2 t · cos t dt =
100 Integrály v prostorech obecné dimenze
= 2bc 1 −
x2
a2
π
2
− π
2
cos2
t dt = bc 1 −
x2
a2
π
2
− π
2
(1 + cos 2t) dt =
= bc 1 −
x2
a2
t +
1
2
sin 2t
π
2
− π
2
= πbc 1 −
x2
a2
.
Přitom pro t ∈ −π/2, π/2 je
√
1 − sin2 t =
√
cos2 t = | cos t| = cos t.
Pro x = ±a je 1 − x2
/a2
= 0, takže v tomto případě má vnitřní integrál tvar
0
0
2c −
y2
b2
dy = 0.
Tedy pro libovolné x, kde −a x a, platí:
b
r
1− x2
a2
−b
r
1− x2
a2
2c 1 −
x2
a2
−
y2
b2
dy = πbc 1 −
x2
a2
.
Celkově tudíž dostaneme:
m3(Ω) =
a
−a
πbc 1 −
x2
a2
dx = πbc x −
x3
3a2
a
−a
=
4
3
πabc.
Ve speciálním případě a = b = c = r dostáváme známý vzorec pro objem
koule.
Předchozí výpočet byl poměrně komplikovaný. V kapitole 3 si ukážeme, jak
lze vypočítat objem obecného elipsoidu podstatně snáze a rychleji (příklad 3.27).
2.3. n-rozměrný integrál
Zcela analogicky, jako tomu bylo u dvojných a trojných integrálů, lze definovat
integrály přes množiny v prostorech libovolné dimenze n, kde n 2, a vyšetřovat
jejich vlastnosti. V této souvislosti mluvíme o n-rozměrných integrálech. K jejich
označení používáme zápisu
· · ·
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxn,
přičemž f je funkce integrovatelná (integrace schopná) na měřitelné množině M
v Rn
. Při označení x = [x1, x2, . . . , xn], dx = dx1dx2 · · · dxn, lze n-rozměrný
2.3 n-rozměrný integrál 101
integrál psát rovněž ve tvaru
· · ·
M
f (x) dx1 dx2 · · · dxn nebo · · ·
M
f (x) dx.
Míru měřitelné množiny M v prostoru Rn
značíme m(M) nebo mn(M). Je-li M
speciálně n-rozměrný uzavřený omezený nedegenerovaný interval v Rn
, značí
symboly
· · ·
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxn,
· · ·
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxn
dolní resp. horní integrál ohraničené funkce f na intervalu M. Fubiniovu větu
lze zformulovat například následujícím způsobem:
Věta 2.13 (Fubini). Je-li funkce f integrace schopna na n-rozměrném intervalu
M = M1 × M2, kde M1 je uzavřený omezený nedegenerovaný interval v Rm
,
přičemž m < n, a M2 je uzavřený omezený nedegenerovaný interval v Rn−m
,
pak obě funkce
· · ·
M2
f (x1, x2, . . . , xn) dxm+1 dxm+2 · · · dxn,
· · ·
M2
f (x1, x2, . . . , xn) dxm+1 dxm+2 · · · dxn
jsou integrovatelné na M1 a platí
· · ·
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxn =
= · · ·
M1
· · ·
M2
f (x1, x2, . . . , xn) dxm+1 dxm+2 · · · dxn dx1 dx2 · · · dxm =
= · · ·
M1
· · ·
M2
f (x1, x2, . . . , xn) dxm+1 dxm+2 · · · dxn dx1 dx2 · · · dxm.
102 Integrály v prostorech obecné dimenze
Platí také modifikace poslední věty: za předpokladů uvedených ve větě 2.13
jsou rovněž funkce
· · ·
M1
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxm,
· · ·
M1
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxm
integrovatelné na množině M2 a platí
· · ·
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxn =
= · · ·
M2
· · ·
M1
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxm dxm+1 dxm+2 · · · dxn =
= · · ·
M2
· · ·
M1
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxm dxm+1 dxm+2 · · · dxn.
Pro funkci f spojitou na n-rozměrném intervalu M = a1, b1 × a2, b2 ×
× · · · × an, bn dostáváme
· · ·
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxn =
=
b1
a1
b2
a2
· · ·
bn
an
f (x1, x2, . . . , xn) dxn · · · dx2 dx1. (2.4)
Integrál na pravé straně rovnosti (2.4) se nazývá n-násobný integrál. Analogické
vzorce lze obdržet záměnou pořadí proměnných.
Pojem elementární množiny v Rn
pro n > 3 zavádíme induktivně: elementární
množinou v Rn
vzhledem k nadrovině x1x2 . . . xn−1 (tj. nadrovině o rovnici
xn = 0) rozumíme množinu tvaru
Ω = {[x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: [x1, x2, . . . , xn−1] ∈ M,
Φ(x1, x2, . . . , xn−1) xn Ψ (x1, x2, . . . , xn−1},
kde M je elementární množina v Rn−1
a Φ, Ψ jsou funkce n − 1 proměnných
spojité na množině M. Pro funkci f spojitou na této elementární množině Ω
2.3 n-rozměrný integrál 103
platí
· · ·
Ω
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2 · · · dxn =
= · · ·
M
Ψ (x1,...,xn−1)
Φ(x1,...,xn−1)
f (x1, x2, . . . , xn) dxn dx1 dx2 · · · dxn−1.
(2.5)
Příklad 2.14. Vypočítejte čtyřrozměrný integrál
M
(1 − x − y − z − u) dxdydzdu,
kde M = [x, y, z, u] ∈ R4
: x +y +z+u 1, x 0, y 0, z 0, u 0 .
Řešení. Funkce f (x, y, z, u) = 1 − x − y − z − u je spojitá na množině M.
Přitom množina M je elementární množina, kterou lze vymezit nerovnostmi
M :
0 x 1,
0 y 1 − x,
0 z 1 − x − y,
0 u 1 − x − y − z.
Označíme-li M1 = {[x, y, z] : 0 x 1, 0 y 1 − x, 0 z 1 − x − y},
M2 = {[x, y] : 0 x 1, 0 y 1−x}, můžeme v souladu se vzorcem (2.5)
psát
M
(1 − x − y − z − u) dxdydzdu =
=
M1
1−x−y−z
0
(1 − x − y − z − u) du dxdydz =
=
M2
1−x−y
0
1−x−y−z
0
(1 − x − y − z − u) du dz dxdy =
=
1
0
1−x
0
1−x−y
0
1−x−y−z
0
(1 − x − y − z − u) du dz dy dx =
104 Integrály v prostorech obecné dimenze
=
1
0
1−x
0
1−x−y
0
(1 − x − y − z)u −
u2
2
1−x−y−z
0
dz dy dx =
=
1
0
1−x
0
1−x−y
0
1
2
(1 − x − y − z)2
dz dy dx =
=
1
2
1
0
1−x
0
−
(1 − x − y − z)3
3
1−x−y
0
dy dx =
=
1
6
1
0
1−x
0
(1 − x − y)3
dy dx =
=
1
6
1
0
−
(1 − x − y)4
4
1−x
0
dx =
1
24
1
0
(1 − x)4
dx =
=
1
24
−
(1 − x)5
5
1
0
=
1
120
.
Příklad 2.15. Pro dané přirozené n vypočtěte
· · ·
M
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n dx1 dx2 · · · dxn,
kde M = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: 0 xj 1 (j = 1, . . . , n) .
Řešení. Ukážeme si dva způsoby výpočtu tohoto integrálu ze spojité funkce přes
n-rozměrnou krychli 0, 1 n
.
Užitím vzorce (2.4) dostáváme
· · ·
M
(x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n) dx1 dx2 · · · dxn =
=
1
0
1
0
· · ·
1
0
1
0
(x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n) dxn dxn−1 · · · dx2 dx1 =
=
1
0
1
0
· · ·
1
0
(x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n−1)xn +
x3
n
3
1
0
dxn−1 · · · dx2 dx1 =
=
1
0
1
0
· · ·
1
0
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n−1 +
1
3
dxn−1 · · · dx2 dx1 =
=
1
0
1
0
· · ·
1
0
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n−2 +
1
3
xn−1 +
+
x3
n−1
3
1
0
dxn−2 · · · dx2 dx1 =
2.4 Jednorozměrný integrál 105
=
1
0
1
0
· · ·
1
0
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n−2 +
1
3
+
1
3
dxn−2 · · · dx2 dx1 =
= · · · =
=
1
0
n − 1
3
+ x2
1 dx1 =
n − 1
3
x1 +
x3
1
3
1
0
=
n
3
.
Druhou možností je využití symetrie integračního oboru a integrandu. Zřejmě
· · ·
M
(x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n) dx1 dx2 · · · dxn = n · · ·
M
x2
1 dx1 dx2 · · · dxn.
Analogicky jako v poznámkách 1.64 a 2.10 platí
· · ·
M
x2
1 dx1 dx2 · · · dxn =
1
0
x2
1 dx1
1
0
dx2 · · ·
1
0
dxn =
x3
1
3
1
0
=
1
3
,
což dává celkově stejný výsledek.
2.4. Jednorozměrný integrál
Postupujeme-li analogickým způsobem u integrálu v R1
, pak definici integrálu
přes uzavřený omezený nedegenerovaný interval odpovídá integrál přes jednorozměrný
kompaktní interval a, b , což je zřejmě Riemannův určitý integrál definovaný
v základním kurzu integrálního počtu. Definujeme-li charakteristickou
funkci množiny M ⊆ R1
analogicky jako dříve, pak vzorec pro míru měřitelné
množiny je
m(M) =
b
a
χM(x) dx,
kde a, b je takový interval, že a, b ⊇ M. Míru v R1
značíme také m1(M).
Jednoduchý (jednorozměrný) integrál na měřitelné množině M definujeme rov-
ností
M
f (x) dx =
b
a
(χMf )(x) dx,
kde a, b ⊇ M a funkce χMf je dána vztahem
(χMf )(x) =
f (x) pro každé x ∈ M,
0 pro každé x ∈ M.
106 Integrály v prostorech obecné dimenze
Jednorozměrný integrál má stejné základní vlastnosti jako integrál dvojrozměrný
či trojrozměrný a je zobecněním Riemannova určitého integrálu s mezemi
a, b na integrál přes obecnější množinu než je interval a, b .
Příklad 2.16. Vypočítejte integrál M x dx, kde M = M1 ∪M2 ∪I1 ∪I2, přičemž
M1 = {1, 2}, M2 = {4 + 1/k : k ∈ N}, I1 = −2, −1), I2 = 3, 4 .
Řešení. Charakteristická funkce množiny M je znázorněna na obr. 2.9. Množina
M1 je konečná, takže m1(M1) = 0 (viz cvičení 18 ke kapitole 1). Pro každé
ε > 0 lze psát M2 = M∗
2 ∪ M∗∗
2 , kde M∗
2 = {4 + 1/k : k ∈ N, k > 1/ε + 1},
M∗∗
2 = {4+1/k : k = 1, 2, . . . , 1/ε +1}, přičemž 1/ε značí celou část čísla
1/ε (obecně pro a ∈ R platí a − 1 < a a). Pak χM2
= χM∗
2
+ χM∗∗
2
, protože
M∗
2 ∩ M∗∗
2 = ∅.
Jelikož M∗∗
2 je konečná, platí
5
4+1/(1+ 1/ε )χM∗∗
2
(x) dx = m1(M∗∗
2 ) = 0 pro
každé ε > 0. Dále pro každé ε > 0 máme 0
4+1/(1+ 1/ε )
4 χM∗
2
(x) dx
m1 4, 4 + 1
1+ 1/ε
= 1
1+ 1/ε
< ε. Podle poznámky 1) na str. 16 před
Fubiniovou větou (viz též cvičení 2 ke kapitole 1) dostáváme
0
5
4
χM2
(x) dx =
4+1/(1+ 1/ε )
4
χM2
(x) dx +
5
4+1/(1+ 1/ε )
χM2
(x) dx =
=
4+1/(1+ 1/ε )
4
χM∗
2
(x) dx +
5
4+1/(1+ 1/ε )
χM∗∗
2
(x) dx =
=
4+1/(1+ 1/ε )
4
χM∗
2
(x) dx,
tedy 0
5
4 χM2
(x) dx < ε pro každé ε > 0. To znamená, že
5
4 χM2
(x) dx = 0.
Jelikož funkce χM2
je nezáporná, platí 0
5
4 χM2
(x) dx
5
4 χM2
(x) dx 0,
x
y
2−2 1−1 1 2 3 4 5
1 χM(x)
Obr. 2.9: Charakteristická funkce množiny M
Cvičení 107
takže
5
4 χM2
(x) dx =
5
4 χM2
(x) dx = 0. Tudíž integrál
5
4 χM2
(x) dx existuje
a je roven nule. Množina M2 je proto měřitelná a m1(M2) =
5
4 χM2
(x) dx = 0.
Protože funkce f (x) = x je ohraničená na množinách M1, M2 míry 0, platí
M1
x dx = 0, M2
x dx = 0. Užitím aditivity integrálu vzhledem k integračnímu
oboru dostáváme
M
x dx =
M1
x dx +
M2
x dx +
I1
x dx +
I2
x dx =
=
I1
x dx +
I2
x dx =
−1
−2
x dx +
4
3
x dx =
=
x2
2
−1
−2
+
x2
2
4
3
=
1
2
− 2 + 8 −
9
2
= 2.
Poznámka 2.17. Pro úplnost si všimněme v předchozím příkladu podrobněji integrálu
I1
x dx, jehož integračním oborem je polootevřený interval I1 = −2, −1). Označme
I = −2, −1 . Podle definice integrálu přes obecnou měřitelnou množinu pak je
I1
x dx =
I
(χI1
x)(x) dx =
−1
−2
(χI1
x)(x) dx =
−1
−2
x dx,
protože funkce (χI1
x)(x) a x se na intervalu I liší jen v pravém konci x = −1. Přitom
poslední dva integrály mají za integrační obor kompaktní interval, jsou to tedy
Riemannovy určité integrály, se kterými jste se seznámili v základním kurzu.
Cvičení
1. Ověřte, že úlohy 2–29 ze cvičení k první kapitole lze formulovat pro integrály
libovolné dimenze. Udělejte potřebné úpravy a rozmyslete si, jak by bylo
nutné modifikovat důkazy.
2. Vypočtěte integrál
Ω
dxdydz přes danou množinu Ω:
a) Ω : − 1 x 0, −π/4 y −x, −1 z x2
,
b) Ω : −
√
y x
√
y, 0 y 1, 0 z 4 − x − y,
c) Ω : x 0, y 0, z 0, z 1 − x − 2y,
108 Integrály v prostorech obecné dimenze
d) Ω : 0 z 3, x2
+ y2
4,
e) Ω : 0 x 1, 0 y 1 − x2
, 0 z 2 − x − y,
f) Ω : 3y z 4 − 2x, x2
+ y2
1,
g) Ω : 0 x 2, x y x + 1, 0 z xy,
h) Ω je těleso omezené plochami x = 0, y = 0, z = 0, 2x + y = 4,
z = 4 − x2
,
i) Ω je těleso omezené plochami z = xy, y =
√
x, x + y = 2,
y = 0, z = 0,
j) Ω : y2
x 2 − y, 0 y 1, 0 z 2 − x − y,
k) Ω : 0 x 1, x2
y 1, 0 z x2
+ y2
,
l) Ω je těleso omezené plochami y = 1/x, 2x + 2y + z = 5, z = 0,
přičemž x, y 0.
3. Vypočtěte trojný integrál přes danou množinu Ω:
a)
Ω
xy2
z dxdydz, Ω : 0 x 2, 1 y 3, 1 z 2,
b)
Ω
6e3x+2y+z
dxdydz, Ω : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1,
c)
Ω
y2
z cos x dxdydz, Ω : 0 x 2π, 0 y b,
− a/2 z a/2, a, b > 0,
d)
Ω
1
1 − x − y
dxdydz, Ω : 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4,
e)
Ω
2x2
yexzy
dxdydz, Ω je těleso omezené plochami x = 0,
x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1,
f)
Ω
(x2
+ y2
) dxdydz, Ω : − b x b, −c y c,
− a z a, a, b, c > 0,
Cvičení 109
g)
Ω
y2
z cos xyz dxdydz, Ω je těleso omezené plochami x = 0,
x = 1, y = 0, y = π, z = 0, z = 2,
h)
Ω
z cos y
x2
dxdydz, Ω : 1 x 2, −π/2 y π/2,
2 z 4.
4. Vypočtěte trojný integrál přes danou množinu Ω:
a)
Ω
xyz dxdydz, Ω je těleso omezené plochami y = 0,
z = 0, x = a, y = x, z = y, kde a > 0,
b)
Ω
xy dxdydz, Ω je těleso omezené plochami x = 0,
y = 0, z = 0, x + y = 1, z = xy,
c)
Ω
xy dxdydz, Ω : 0 x 1, 0 y 1,
0 z 4 − 2x − 2y,
d)
Ω
y cos(x + z) dxdydz, Ω je těleso omezené plochami y = 0,
y =
√
x, z = 0, x + z = π/2,
e)
Ω
dxdydz
(x + y + z + 1)3
, Ω je čtyřstěn omezený rovinami x = 0,
y = 0, z = 0, x + y + z = 1,
f)
Ω
(x + y)z dxdydz, Ω je osmina koule x2
+ y2
+ z2
1
ležící v I. oktantu.
5. Vypočtěte trojný integrál přes danou množinu Ω:
a)
Ω
z dxdydz, Ω : 0 x 1, 0 y 1 − x2
,
0 z 2 − x − y,
b)
Ω
z(x2
+ y2
)
(2y + 1)2
dxdydz, Ω : 0 x 1, 1 − x y 2 − 2x,
0 z 1 x2 + y2,
c)
Ω
x2
dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
a2
, a > 0,
d)
Ω
r4
sin α cos α drdαdϕ, Ω : 0 r R, 0 α π/2,
0 ϕ 2π,
110 Integrály v prostorech obecné dimenze
e)
Ω
y2
z dxdydz, Ω : 0 x π/2, 0 y 2 cos x,
0 z 1,
f)
Ω
z2
dxdydz, Ω : x 0, y 0, z 0,
x + y + z 1.
6. Trojný integrál
Ω
f (x, y, z) dxdydz vyjádřete jako trojnásobný:
a) Ω je těleso určené nerovnostmi: z 0, x 1/2, x2
+ y2
+ z2
1,
b) Ω je těleso omezené plochami: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1,
c) Ω je těleso omezené plochami: y = 0, z = 0, −x + 3y + 3z = 3,
přičemž x 2,
d) Ω je těleso omezené plochami: 2x + 3y + 4z = 1, y = 0,
y =
√
x 3, z = 0,
e) Ω je těleso omezené plochami: x = 0, z = 0, z = 4 − y2
, přičemž
y 0, y ln x.
7. Vypočtěte trojnásobné integrály:
a)
a
0
x
0
xy
0
x3
y2
z dz dy dx, a > 0,
b)
1
0
1
0
x2+y2
0
x2
y dz dy dx,
c)
1
0
2
1
2
0
(3x2
y + z) dz dy dx,
d)
2
−2
4
y2
4−z
0
z + 1
(x + z + 1)2
dx dz dy,
e)
b
a
d
0
h
0
6xy2
b2d3h
+
2z
bdh2
dz dy dx, a < b, d > 0, h > 0,
f)
π/4
0
1
0
2−y
y2
dx
cos2 z
√
x + 2y + 1
dy dz.
Cvičení 111
8. Vypočtěte trojný integrál přes danou množinu Ω:
a)
Ω
y dxdydz, Ω je těleso omezené plochami y = 1,
y = x2 + z2,
b)
Ω
z2
dxdydz, Ω je těleso omezené plochami x = 0,
y = 0, z = 0, x = 2, y = 5, x + z = 6,
c)
Ω
z4
cos2
y dxdydz, Ω : 0 x π/2, 0 y π/2,
0 z sin x cos y,
d)
Ω
xy dxdydz, Ω : x 0, y 0, x + y 1,
0 z x2
+ y2
+ 1,
e)
Ω
dxdydz
x + y + 1
, Ω : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1,
f)
Ω
x2
yz3
dxdydz, Ω : z xy, y x, y 1, z 0.
9. Vypočtěte trojnásobné integrály:
a)
b
0
a
0
π
0
z2
r dt dr dz, a > 0, b > 0,
b)
h
2
− h
2
2π
0
a
0
3
sin ϕ cos ϕ d dϕ dz, h > 0,
c)
1
0
1−x
0
1−x−y
0
z dz dy dx,
d)
1
0
1−x
0
1−x−y
0
z
1 − x − y
dz dy dx,
e)
π
2
0
2 cos ϕ
0
a
0
2
z dz d dϕ, a > 0,
f)
a
0
a−y
0
a−x−y
0
(x + y + z) dz dx dy, a > 0,
g)
3
0
1
0
2
0
(x2
+ 4xy + 4y2
− 4x − 8y) dx dy dz.
112 Integrály v prostorech obecné dimenze
10. Vypočtěte čtverný integrál přes danou množinu Ω:
a)
Ω
(1 − x − y − z − u) dxdydzdu, Ω = 0, 1 4
,
b)
Ω
u4
ey2
dxdydzdu, Ω : 0 z u, 0 u 1,
0 y zu, 0 x yzu,
c)
Ω
xy2
zu dxdydzdu, Ω : x2
+ y2
+ z2
+ u2
1,
x 0, y 0, z 0, u 0.
11. Vypočtěte pětirozměrné a šestirozměrné integrály přes danou množinu Ω:
a)
Ω
(1 − x − y − z − u − v) dxdydzdudv, Ω = 0, 1 5
,
b)
Ω
(x + y)zuv dxdydzdudv, Ω : x + y + z 1, u + v 1,
x 0, y 0, z 0,
u 0, v 0,
c)
Ω
(x + y + z + t + u + v)2
dxdydzdtdudv, Ω = 0, 1 6
,
d)
Ω
xyztuv dxdydzdtdudv, Ω : x + y + z 2, x 0,
y 0, z 0, t + u + v 1,
t 0, u 0, v 0.
12. Vypočtěte n-rozměrné integrály:
a) · · ·
M
(x1 + x2 + · · · + xn)2
dx1 dx2 . . . dxn,
kde M = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: 0 xj 1 (j = 1, 2, . . . , n) .
b) · · ·
M
(x1 + x2
2 + · · · + xn
n ) dx1 dx2 . . . dxn,
kde M = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: 0 xk k (k = 1, 2, . . . , n) ,
c) · · ·
M
dx1 dx2 . . . dxn,
kde M = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: x1 + · · · + xn 1, 0 xj
(j = 1, 2, . . . , n) ,
Cvičení 113
d) · · ·
M
x1x2 · · · xn dx1 dx2 . . . dxn,
kde M = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: 0 x1 1, 0 x2 x1, . . . ,
0 xn xn−1 .
13. Dokažte, že
F(n, a) = · · ·
Mn
(x1 +x2 +· · ·+xn)a
dx1 dx2 . . . dxn =
1
(n + a)(n − 1)!
,
je-li Mn = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: x1 + x2 + · · · + xn 1, xj 0
(j = 1, 2, . . . , n) a a 0 (výsledek platí i pro −n < a < 0, kdy však jde
o nevlastní konvergentní integrál — viz cvičeni 6 ke kapitole 5).
14. Za předpokladu spojitosti funkce f dokažte:
a)
a
0
x1
0
· · ·
xn−1
0
f (x1, x2, . . . , xn) dxn · · · dx2 dx1 =
=
a
0
a
xn
· · ·
a
x2
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 · · · dxn−1 dxn,
je-li a > 0, n 2,
b)
t
0
t1
0
· · ·
tn−1
0
f (t1)f (t2) . . . f (tn) dtn · · · dt2 dt1 =
=
1
n!
t
0
f (s) ds
n
,
je-li t > 0, n 2,
c)
x
0
x1
0
· · ·
xn−1
0
f (xn) dxn · · · dx2 dx1 =
=
x
0
f (s)
(x − s)n−1
(n − 1)!
ds,
je-li x > 0, n 2,
114 Integrály v prostorech obecné dimenze
d)
x
0
x1
0
· · ·
xn
0
x1x2 · · · xnf (xn+1) dxn+1 · · · dx2 dx1 =
=
1
2nn!
x
0
x2
− s2 n
f (s) ds,
je-li x > 0, n 1.
15. Nechť K(x, y) je spojitá funkce v množině a, b × a, b a nechť
Kn(x, y) = · · ·
Mn
K(x, t1)K(t1, t2) · · · K(tn, y) dt1dt2 · · · dtn,
kde Mn = [t1, t2, · · · , tn] ∈ Rn
: a tj b (j = 1, 2 . . . , n) . Dokažte,
že
Kn+m+1(x, y) =
b
a
Kn(x, t)Km(t, y) dt.
16. Nechť M ⊂ Rm
je měřitelná množina. Nechť posloupnost {fn} funkcí integrovatelných
na M konverguje stejnoměrně na M k funkci f . Pak je f integrovatelná
na M a platí lim
n→∞
···
M
fn(x) dx = ···
M
f (x) dx. Dokažte.
17. Nechť M ⊂ Rm
je měřitelná množina. Nechť funkce fn, n ∈ N, jsou integrovatelné
na M a řada
∞
n=1
fn(x) konverguje stejnoměrně na M k funkci f .
Pak je součet f funkce integrovatelná na M a platí
∞
n=1
···
M
fn(x) dx =
= ···
M
f (x) dx. Dokažte.
18. Nechť M ⊂ Rn
je omezená množina a existují konstanty a1, . . . , an, b ∈ R,
|a1|+· · ·+|an| > 0, tak, že a1x1+· · ·+anxn = b pro každé [x1, . . . , xn] ∈ M
(M je podmnožinou nějaké nadroviny). Dokažte, že pak mn(M) = 0.
19. Nechť M ⊂ Rm
je libovolná množina a R ⊂ Rn
je kvádr. Uvažujme množinu
V = M × R ⊂ Rm+n
(„válec“ s podstavou M). Je-li mm(M) = 0, pak
mm+n(V ) = 0. Dokažte.
20. Nechť V ⊂ Rm+n
je omezená množina. Označme U její průmět na podprostor
Rm
, tj. U = {x ∈ Rm
: existuje y ∈ Rn
tak, že [x, y] ∈ V }. Dokažte,
že když mm(U) = 0, pak mm+n(V ) = 0.
Cvičení 115
21. Buďte A ⊂ Rm
a B ⊂ Rn
měřitelné množiny. Dokažte, že pak je množina
A × B ⊂ Rm+n
měřitelná.
22. Buďte A ⊂ Rm
a B ⊂ Rn
měřitelné množiny. Nechť funkce f je spojitá
a ohraničená na A × B ⊂ Rm+n
. Označme x = [x1, . . . , xm], y =
= [y1, . . . , yn]. Pak ···
A×B
f (x, y) dxdy = ···
A
···
B
f (x, y) dy dx.
Dokažte.
Výsledky
2. a) 9+4π
12
, b) 68
15
, c) 1
12
, d) 12 π, e) 49
60
, f) 4π,
g) 11
3
, h) 40
3
, i) 3
8
, j) 17
20
k) 44
105
, l) 57
8
− 10 ln 2.
3. a) 26, b) (e3
− 1)(e2
− 1)(e − 1), c) 0, d) 10 ln 4
5
,
e) 2e − 5, f) 8
3
abc (b2
+ c2
) , g) π, h) 6.
4. a) a6
48
, b) 1
180
, c) 1
3
, d) π2
16
− 1
2
, e) ln
√
2 − 5
16
, f) 2
15
.
5. a) 221
420
, b) 1
8
ln 3√
5
, c) 4
15
πa5
, d) R5
5
π , e) 8
9
, f) 1
60
.
6. a)
1
2
−1
√
1−x2
−
√
1−x2
√
1−x2−y2
0 f (x, y, z) dz dy dx,
b)
1
0
1−x
0
1−x−y
0 f (x, y, z) dz dy dx,
c)
2
−3
1+ x
3
0
1+ x
3 −y
0 f (x, y, z) dz dy dx,
d)
1
6
0
1−3y
2
9y2
1−2x−3y
4
0 f (x, y, z) dz dx dy,
e)
2
0
ey
0
4−y2
0 f (x, y, z) dz dx dy.
7. a) a11
110
, b) 11
60
, c) 5, d) 256
75
, e) 2 − a2
b2 − a
b
, f) 23
3
− 4
√
3.
8. a) π
4
, b) 1 300
3
, c) 128
2 625
, d) 7
120
, e) 3
2
− 2 ln 2, f) 1
364
.
9. a) 1
6
πa2
b3
, b) 0, c) 1
24
, d) 1
12
, e) 8
9
a2
, f) a4
8
, g) −20.
10. a) −1, b) 2e−5
32
, c) 1
945
.
116 Integrály v prostorech obecné dimenze
11. a) −3
2
, b) 1
1 440
, c) 19
2
, d) 1
8 100
.
12. a) n(3n+1)
12
, b) n!
n
k=1
kk
k+1
, c) 1
n!
, d) 1
2nn!
.
13. Dokáže se úplnou indukcí. Vztah se snadno ověří pro n = 1 a libovolné a 0.
Indukční krok se provede pomocí Fubiniovy věty:
F(n + 1, a) = ···
Mn+1
(x1 + · · · + xn+1)a dx1 · · · dxn+1 =
= 1
a+1 ···
Mn
(x1 + · · · + xn+1)a+1 1−x1−···−xn
0
dx1 · · · dxn =
= 1
a+1 F(n, 0) − F(n, a + 1) .
14. a) Označme M = {[x1, . . . , xn] ∈ Rn : 0 x1 a, 0 x2 x1, . . . , 0 xn
xn−1} a N = {[x1, . . . , xn] ∈ Rn : 0 xn a, xn xn−1 a, . . . , x2
x1 a}. Snadno se ověří, že M = N, tedy
···
M
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · , dxn = ···
N
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · , dxn.
Protože množiny M, N jsou elementární, opakovaným použitím Fubiniovy věty
(viz (2.5)) na tyto integrály dostaneme dokazovanou rovnost.
b) Označme F(t) =
t
0 f (s) ds. Pro libovolné číslo k ∈ N platí
t
0 f (s)Fk(s) ds =
= Fk+1(t)/(k + 1). Opakovaným použitím tohoto vztahu ověříme dokazovanou
rovnost.
c) Při označení z části a) dostaneme po použití Fubiniovy věty na rovnost
···
M
f (xn) dx1 · · · dxn = ···
N
f (xn) dx1 · · · dxn,
že
x
0
x1
0 · · ·
xn−1
0 f (xn) dxn · · · dx2 dx1 =
=
x
0
x
xn
· · ·
x
x2
f (xn) dx1 · · · dxn−1 dxn.
Nyní postupným výpočtem pravého n-násobného integrálu dostaneme výsledek.
d) Obdobně jako v části c) odvodíme rovnost
x
0
x1
0 · · ·
xn
0 x1 · · · xnf (xn+1) dxn+1 · · · dx2 dx1 =
=
x
0
x
xn+1
· · ·
x
x2
x1 · · · xnf (xn+1) dx1 · · · dxn dxn+1
a postupným výpočtem pravého (n+1)-násobného integrálu dostaneme výsledek.
15. Protože Mn+m+1 = a, b × Mn × Mm, podle Fubiniovy věty je
Kn+m+1(x, y) = ···
Mn+m+1
K(x, t1) · · · K(tn+m+1, y) dt1 · · · dtn+m+1 =
Cvičení 117
=
b
a ···
Mn
···
Mm
K(x, t1) · · · K(tn+m+1, y)×
× dtn+2 · · · dtn+m+1 dt1 · · · dtn dtn+1 =
=
b
a ···
Mn
K(x, t1) · · · K(tn, tn+1)Kn(tn+1, y) dt1 · · · dtn dtn+1 =
=
b
a Km(x, tn+1)Kn(tn+1, y) dtn+1.
16. Buď R ⊇ M libovolný n-rozměrný kvádr. Protože fn f na M (symbol
značí stejnoměrnou konvergenci), podle definice stejnoměrné konvergence zřejmě
také χMfn χMf na R . Tudíž k libovolnému ε > 0 existuje index n0 tak, že
pro každé n n0 platí (χMfn)(x) − ε < (χMf )(x) < (χMfn)(x) + ε na M. Tedy
zejména χMf je ohraničená. Z předchozí nerovnosti vyjde
···
R
[(χMfn)(x) − ε] dx = ···
R
[(χMfn)(x) − ε] dx ···
R
(χMf )(x) dx
···
R
(χMf )(x) dx ···
R
[(χMfn)(x) + ε] dx =
= ···
R
[(χMfn)(x) + ε] dx.
Protože ···
R
[χMfn)(x) ± ε] dx = ···
R
χM(fn)(x) dx ± ε m(R), dostaneme, že
0 ···
R
(χMf )(x) dx − ···
R
(χMf )(x) dx 2ε m(R).
Protože ε > 0 bylo libovolné, musí se horní a dolní integrál z předchozího vztahu
rovnat, takže χMf je integrovatelná na R, tj. f je integrovatelná na M. Dále pro
n n0 platí
···
M
fn(x) dx − ···
M
f (x) dx = ···
M
[fn(x) − f (x)] dx
···
M
|fn(x) − f (x)| dx ···
M
ε dx = ε m(M).
Odsud již plyne zbytek tvrzení.
17. Použijte výsledek cvičení 16 na posloupnost částečných součtů dané řady.
18. Podle předpokladů je aspoň jeden koeficient ai nenulový, nechť je to např. an.
Uvažujme spojitou funkci f závisející na n−1 proměnných x1, x2, . . . , xn−1 danou
vztahem f (x1, . . . , xn−1) = −a1
an
x1 −. . .− an−1
an
xn−1 + b
an
. Podle předpokladu je M
omezená, takže existuje n-rozměrný kvádr R = R1 × a, b tak, že M ⊂ R; přitom
R1 je (n − 1)-rozměrný kvádr. Označme G graf funkce f na R1. Z předpokladů
plyne, že M ⊆ G. Podle analogie věty 1.38, část e), pro obecné n (viz též strana 89)
je mn(G) = 0, tedy podle analogie věty 1.37 pro obecné n platí mn(M) = 0.
19. Buď ε > 0 libovolné. Podle analogie cvičení 17 z kapitoly 1 pro obecné n existují
118 Integrály v prostorech obecné dimenze
m-rozměrné kvádry R1, . . . , Rk tak, že M ⊂ R1 ∪ · · · ∪ Rk a mm(R1) + · · · +
+ mm(Rk) < ε/ mn(R). Označme Vi = Ri × R, i = 1, . . . , k. Potom Vi jsou
(m + n)-rozměrné kvádry, mm+n(Vi) = mm(Ri) mn(R) a platí V ⊂ V1 ∪ · · · ∪ Vk,
mm+n(V1) + · · · + mm+n(Vk) < ε. Podle zmíněného cvičení je mm+n(V ) = 0.
20. Podle předpokladu existuje (m + n)-rozměrný kvádr R = R1 × R2, kde R1 je
m-rozměrný kvádr a R2 je n-rozměrný kvádr, takový, že V ⊂ R. Platí V ⊂ U ×R2.
Dále podle cvičení 19 k této kapitole je mm+n(U × R2) = 0, tudíž podle analogie
věty 1.37 pro obecné n je množina V měřitelná a mm+n(V ) = 0.
21. Označme po řadě h(A), int(A) a ext(A) hranici, vnitřek a vnějšek množiny A
(v Rm). Tyto množiny jsou po dvou disjunktní, první je uzavřená a zbývající dvě
otevřené. Analogicky zaveďme h(B), int(B) a ext(B) (v Rm). Snadno se ověří,
že platí rovnosti int(A × B) = int(A) × int(B), h(A × B) = (h(A) × h(B)) ∪
∪ (h(A) × int(B)) ∪ (int(A) × h(B)) = (h(A) × B) ∪ (A × h(B)) a ext(A × B) =
= (ext(A) × Rn) ∪ (Rm × ext(B)) (v Rm+n). Ze cvičení 20 k této kapitole plyne,
že mm+n(h(A × B)) = 0, tedy A × B je měřitelná množina.
22. Množina A × B je podle cvičení 21 k této kapitole měřitelná. Podle analogie
věty 1.47 pro více proměnných je funkce f na ní integrovatelná. Dále postupujte
jako v důkazu lemmatu 3.47.
119
Kapitola 3
Transformace integrálů
V předchozí kapitole jsme se seznámili se základní metodou výpočtu vícerozměrných
integrálů — převodem na násobné integrály. Z teorie jednorozměrného
Riemannova integrálu na intervalu víme, že významnou metodou výpočtu určitého
Riemannova integrálu je substituční metoda, kterou lze formulovat v následující
podobě:
Je-li funkce f spojitá na intervalu a, b a funkce ϕ na intervalu α, β , přičemž
ϕ(t) ∈ a, b pro každé t ∈ α, β , pak za předpokladu spojitosti funkce ϕ na
intervalu (α, β) platí
ϕ(β)
ϕ(α)
f (x) dx =
β
α
f (ϕ(t))ϕ (t) dt. (3.1)
Při užití této metody nás zajímá především změna integrandu, který chceme
„zjednodušit“, abychom dokázali najít primitivní funkci a mohli ji použít pro
výpočet určitého integrálu (Newtonova-Leibnizova formule). Rovněž v případě
vícerozměrných integrálů má substituční metoda značný význam pro jejich výpočet.
Motivace je zde však poněkud jiná. Často nám totiž jde zejména o změnu
integračního oboru do podoby, která umožní snadnější převod na násobné integrály,
a to mnohdy i za cenu případného zkomplikování integrandu. Místo
o substituční metodě se u vícerozměrných integrálů často mluví o záměně proměnných
v integrálu nebo o transformaci integrálu. Než vyslovíme příslušná
tvrzení, uveďme poněkud pozměněnou formulaci věty o substituci v jednorozměrném
integrálu, která bude více připomínat formulace vět o transformaci ve
vícerozměrných integrálech.
Věta 3.1. Nechť ϕ je funkce definovaná na kompaktním intervalu I a má derivaci
ϕ spojitou a různou od nuly v každém bodě z I. Nechť f je funkce spojitá na
120 Transformace integrálů
intervalu ϕ(I). Pak platí
ϕ(I)
f (x) dx =
I
f (ϕ(t))|ϕ (t)| dt. (3.2)
Důkaz. Protože I je kompaktní interval, existují reálná čísla α, β taková, že
I = α, β . Funkce ϕ má derivaci na intervalu I, je tedy na tomto intervalu
spojitá. Odtud vyplývá, že ϕ(I) je skutečně (kompaktní) interval. Protože ϕ
je spojitá a od nuly různá na I, platí buď ϕ (t) > 0 pro každé t ∈ I, nebo
ϕ (t) < 0 pro každé t ∈ I. V prvním případě je funkce ϕ rostoucí, takže platí
ϕ(I) = a, b , kde a = ϕ(α), b = ϕ(β) a ϕ(t) ∈ a, b pro každé t ∈ α, β .
Pak dostáváme
ϕ(I)
f (x) dx =
b
a
f (x) dx =
β
α
f (ϕ(t))ϕ (t) dt =
I
f (ϕ(t))|ϕ (t)| dt.
Ve druhém případě je funkce ϕ klesající, takže platí ϕ(I) = a, b , kde
a = ϕ(β), b = ϕ(α) a ϕ(t) ∈ a, b pro každé t ∈ α, β . V tomto případě
dostáváme
ϕ(I)
f (x) dx =
b
a
f (x) dx = −
a
b
f (x) dx = −
β
α
f (ϕ(t))ϕ (t) dt =
=
β
α
f (ϕ(t))[−ϕ (t)] dt =
I
f (ϕ(t))|ϕ (t)| dt.
Poznámka 3.2. Všimněte si, že v integrálu na levé straně vzorce (3.1) může
být ϕ(α) ϕ(β). Integrály ve vzorci (3.1), můžeme tedy chápat jako integrály
přes „orientované“ intervaly. Naproti tomu na levé straně rovnosti (3.2) vystupuje
integrál s integračním oborem ϕ(I), což je interval „neorientovaný“, jehož levý
krajní bod nemůže být větší než jeho pravý krajní bod.
Věty o transformaci integrálu v této kapitole nejprve uvedeme bez důkazů
a na konkrétních příkladech ukážeme způsoby jejich užití. Důkazům bude věnován
závěrečný oddíl celé kapitoly.
3.1. Transformace dvojného integrálu
Ve formulaci věty o transformaci dvojného integrálu budeme potřebovat, aby
funkce g a h, které realizují záměnu obou proměnných, měly spojité parciální
derivace. To má smysl jen ve vnitřních bodech množiny, na které funkce g, h
uvažujeme. Proto zavedeme následující pojem.
3.1 Transformace dvojného integrálu 121
Definice 3.3. Nechť g, h jsou funkce definované na dané množině B ⊆ R2
. Buď
F : B → R2
zobrazení přiřazující každému bodu [u, v] ∈ B bod F(u, v) =
= [g(u, v), h(u, v)]. Řekneme, že zobrazení F je spojitě diferencovatelné v B,
jestliže existuje otevřená množina Ω ⊇ B taková, že funkce g, h lze rozšířit
na Ω takovým způsobem, že funkce g, h mají v Ω spojité parciální derivace
prvního řádu podle obou proměnných u, v.
Je-li F : B → R2
spojitě diferencovatelné zobrazení v B, nazývá se při
označení použitém v definici 3.3 determinant
J =
gu gv
hu hv
jakobián zobrazení F. Jakobián J : B → R je funkcí proměnných u a v.
Definice 3.4. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : B → R2
na otevřené množině
B se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nuly v každém bodě
množiny B.
Nyní již můžeme zformulovat základní větu o transformaci dvojného inte-
grálu.
Věta 3.5. Nechť B ⊆ R2
je uzavřená měřitelná množina a Ω ⊆ R2
je otevřená
množina, B ⊆ Ω. Nechť F : Ω → R2
je prosté regulární zobrazení takové, že
F(u, v) = [g(u, v), h(u, v)] pro každé [u, v] ∈ B. Nechť funkce f proměnných
x a y je spojitá v množině A = F(B).
Pak platí vztah
A
f (x, y) dxdy =
B
f (g(u, v), h(u, v))|J(u, v)| dudv. (3.3)
Poznámka 3.6.
1. Všimněme si, že vzorec (3.3) je analogický vzorci (3.2).
2. Vysvětlíme si význam jakobiánu ve vzorci (3.3). Zvolíme-li f (x, y) = 1 pro
každé (x, y) ∈ A a předpokládáme-li pro jednoduchost, že jakobián zobrazení
F má konstantní hodnotu J = 0, dostáváme z (3.3) rovnost
A
dxdy =
=
B
|J| dudv = |J|
B
dudv. Podle definice 1.31 a 1.45 to znamená, že
m2(F(B)) = m2(A) = |J|
B
dudv = |J| m2(B). Lze tedy očekávat, že
122 Transformace integrálů
„malá“ souvislá množina B zobrazením F přejde v množinu A = F(B)
o míře m2(A) rovné m2(A) = |J(u, v)| m2(B) pro vhodné [u, v] ∈ B i v případě,
že jakobián není konstantní.
Ilustrujme tuto skutečnost na příkladě: Nechť B je obdélník 0, α × 0, β ,
kde α > 0, β > 0. Zřejmě m2(B) = αβ. Uvažujme lineární zobrazení F
takové, že F(u, v) = [au + bv, cu + dv], kde a, b, c, d ∈ R jsou takové
konstanty, že ad −bc = 0. Pro jakobián J zobrazení F v každém bodě [u, v]
platí
J =
a b
c d
= ad − bc = 0
a množina A = F(B) je rovnoběžník s vrcholy [0, 0], [aα, cα], [bβ, dβ],
[aα + bβ, cα + dβ]. Z elementární geometrie plyne m2(A) = det aα cα
bβ dβ =
= |ad − bc|αβ = |J| m2(B). Vzhledem k linearitě zobrazení F vyšla rovnost
m2(A) = |J(u, v)| m2(B) přesně pro každý bod [u, v] ∈ B.
Srovnejte též cvičení 4 k této kapitole.
Příklad 3.7. Vypočtěte
A
dxdy, kde množina A leží v prvním kvadrantu a je
omezena křivkami xy = 1, xy = 3, y = x/2 a y = 2x.
Řešení. První dvě křivky jsou hyperboly, druhé dvě přímky. Integrační obor A
je znázorněn na obr. 3.1 a). Množinu A lze popsat jako elementární množinu,
popřípadě sjednocení elementárních množin, vzhledem k ose x nebo vzhledem
k ose y. Najít tento popis by však bylo poměrně pracné. Ukážeme, že volbou
vhodné transformace se výpočet značně zjednoduší. Každým vnitřním bodem
x
y
O
xy = 1
xy = 3
y = x/2
y = 2x
A
a)
u
v
O
u = 1 u = 3
v = 1/2
v = 2
B
b)
Obr. 3.1
3.1 Transformace dvojného integrálu 123
prvního kvadrantu s kartézskými souřadnicemi [x0, y0] prochází právě jedna
z hyperbol xy = u0 a právě jedna z přímek y = v0x, kde u0 > 0, v0 > 0
jsou parametry. Čísla u0 a v0 jsou jednoznačně určena: u0 = x0y0 a v0 =
= y0/x0. Dvojici [u0, v0] lze tedy zvolit za nové souřadnice daného bodu. Vztah
mezi původními a novými souřadnicemi je tudíž dán rovnicemi (vynecháme
pro jednoduchost index nula) xy = u a y/x = v. Z nich snadno vypočítáme
x =
√
u/v , y =
√
uv. Dostáváme tedy prosté zobrazení se souřadnicovými
funkcemi g(u, v) =
√
u/v a h(u, v) =
√
uv. Tyto funkce mají uvnitř prvního
kvadrantu spojité první parciální derivace podle obou proměnných. Vypočteme
jakobián:
J(u, v) =
gu gv
hu hv
=
1
2
√
uv
−1
2
u
v3
1
2
v
u
1
2
u
v
=
1
4v
+
1
4v
=
1
2v
.
Jakobián je tedy uvnitř prvního kvadrantu nenulový, takže zobrazení je regulární.
Body ležící na hyperbole xy = 1 mají všechny novou první souřadnici u = 1.
Analogicky body ležící na hyperbole xy = 3 mají všechny novou první souřadnici
u = 3. Podobně body ležící na přímce y = x/2 mají všechny novou druhou
souřadnici v = 1/2 a body ležící na přímce y = 2x mají všechny novou druhou
souřadnici v = 2. Odtud je vidět, že množina A je v transformaci F dané
funkcemi g a h obrazem dvojrozměrného intervalu B = 1, 3 × 1/2, 2 — viz
obr. 3.1 b).
S použitím vztahů (3.3) a (1.18) dostaneme:
A
dxdy =
B
1
2v
dudv =
1
2
3
1
du ·
2
1/2
1
v
dv =
=
1
2
u
3
1
· ln v
2
1/2
=
1
2
· (3 − 1) · ln 2 − ln
1
2
= 2 ln 2.
Poznamenejme, že výsledné číslo 2 ln 2 je rovno míře množiny A.
V dalším uvedeme některé speciální transformace vhodné pro výpočet dvojných
integrálů. Než se jimi začneme zabývat jednotlivě, všimneme si podmínek
použití věty 3.5. Ukazuje se, že její univerzálnost má určité nedostatky. Předně,
integrand musí být spojitá funkce a integrační obor uzavřená množina. Závažnější
však je, že i u velmi jednoduchých transformací, se kterými se budeme
dále seznamovat, protože jsou důležité v aplikacích, často nelze splnit předpoklady
o transformačním zobrazení. Požadavek, aby je bylo možné prostě rozšířit
na otevřenou nadmnožinu integračního oboru při zachování regularity, je
124 Transformace integrálů
často nesplnitelný. Proto nyní uvedeme větu o transformaci dvojného integrálu
za obecnějších předpokladů. Formulace je sice komplikovanější, ale uplatnění
je mnohem širší, což uvidíme níže při řešení příkladů. Stručně řečeno, obecnější
věta 3.8 postihuje případy, kdy předpoklady věty 3.5 nejsou splněny na
množinách míry nula. V konkrétních úlohách je ověření předpokladů obvykle
snadné.
Věta 3.8. Nechť B1 ⊆ B ⊆ R2
, kde B1 je otevřená množina, B je měřitelná
množina a platí m2(B B1) = 0.
Buď F : B → R2
spojitě diferencovatelné zobrazení s jakobiánem J, které
je regulární a prosté v B1. Označme A = F(B), A1 = F(B1). Předpokládejme,
že množina A je měřitelná a platí m2(A A1) = 0.
Buď funkce f ohraničená na množině A a spojitá na množině A1. Nechť
funkce s hodnotou f (g(u, v), h(u, v))|J(u, v)| v každém bodě [u, v] ∈ B je
ohraničená.
Pak platí vztah (3.3), tj.
A
f (x, y) dxdy =
B
f (g(u, v), h(u, v))|J(u, v)| dudv.
3.1.1. Některé běžné typy transformací dvojného integrálu
Všimněme si nyní podrobněji několika běžných často užívaných transformací
x = g(u, v) , y = h(u, v) dvojného integrálu.
Posunutí
Posunutí (translace) je dáno rovnicemi
x = u + a,
y = v + b,
(3.4)
kde a, b jsou konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(u, v) =
gu gv
hu hv
=
1 0
0 1
= 1.
3.1 Transformace dvojného integrálu 125
Dilatace
Dilatace (ve speciálním případě a > 0, b > 0 změna měřítek na souřadnicových
osách) je dána rovnicemi
x = au,
y = bv,
(3.5)
kde a = 0, b = 0 jsou konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(u, v) =
gu gv
hu hv
=
a 0
0 b
= ab.
Transformace do polárních souřadnic
Transformace do polárních souřadnic je dána rovnicemi
x = cos ϕ,
y = sin ϕ,
(3.6)
přičemž nové proměnné (tzv. polární souřadnice bodu [x, y]) značíme , ϕ
namísto u, v. Jakobián zobrazení (3.6) je roven
J( , ϕ) =
g gϕ
h hϕ
=
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
= (cos2
ϕ + sin2
ϕ) = .
x
y
x
y
O
T
ϕ
Obr. 3.2
Připomeňme význam polárních souřadnic v rovině:
Je-li T bod s kartézskými souřadnicemi [x, y],
značí vzdálenost bodu T od počátku O kartézské
souřadnicové soustavy a ϕ úhel, který svírá vek-
tor
−→
OT s kladnou poloosou x (viz obr. 3.2). Proměnná
nabývá nezáporných hodnot, proměnná
ϕ obvykle hodnot z vhodného intervalu délky 2π.
Zobrazení do polárních souřadnic je regulární na
množinách neobsahujících počátek. Transformace
do polárních souřadnic se používá zvláště v případech,
kdy popis množiny A v polárních souřadnicích
je tvaru
B :
α ϕ β,
r(ϕ) R(ϕ),
přičemž α < β jsou konstanty a r, R jsou spojité funkce na intervalu α, β , viz
obr. 3.3. Označíme-li F zobrazení dané rovnicemi (3.6), platí F(B) = A.
126 Transformace integrálů
r(ϕ)
x
y
αβ
ϕ
O
R(ϕ)
A
a)
ϕ
α βϕ
= r(ϕ)
= R(ϕ)
O
B
b)
Obr. 3.3: Transformace do polárních souřadnic
Poznámka 3.9. V předchozím textu bylo uvedeno, že polární souřadnice ϕ nabývá
obvykle hodnot z vhodného intervalu délky 2π. Slovo „obvykle“ bylo
použito záměrně, neboť existují i množiny, pro které toto tvrzení neplatí — viz
obr. 3.4, kde ϕ ∈ 0, 3π .
Transformace do eliptických (zobecněných polárních) souřadnic
Transformace do eliptických souřadnic , ϕ je dána rovnicemi
x = a cos ϕ,
y = b sin ϕ,
(3.7)
kde a = 0, b = 0 jsou konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J( , ϕ) =
g gϕ
h hϕ
=
a cos ϕ −a sin ϕ
b sin ϕ b cos ϕ
= ab (cos2
ϕ + sin2
ϕ) = ab .
Transformace do zobecněných eliptických souřadnic
Transformace do zobecněných eliptických souřadnic , ϕ je dána rovnicemi
x = a cosn
ϕ,
y = b sinn
ϕ,
(3.8)
3.1 Transformace dvojného integrálu 127
x
y
O
A
a) Kartézské souřadnice [x, y]
ϕ
O 3π
B
= 2ϕ
3π + e−ϕ/50
= 2ϕ
3π + (3/2) eϕ/50
b) Polární souřadnice [ϕ, ]
Obr. 3.4: Množina, jejíž polární souřadnice ϕ nenabývá hodnot
z intervalu délky 2π.
kde a = 0, b = 0 a n ∈ N jsou konstanty. Pro jakobián zobrazení (3.8) v tomto
případě platí
J( , ϕ) =
g gϕ
h hϕ
=
a cosn
ϕ −na cosn−1
ϕ sin ϕ
b sinn
ϕ nb sinn−1
ϕ cos ϕ
=
= nab cosn−1
ϕ sinn−1
ϕ(cos2
ϕ + sin2
ϕ) = nab cosn−1
ϕ sinn−1
ϕ.
Poznámka 3.10. Kromě uvedených obvyklých transformací připadají v úvahu
i jiné transformace vhodné pro danou oblast integrace nebo daný integrand.
Při výpočtu některých složitějších integrálů je mnohdy účelné provádět několik
transformací postupně za sebou.
Příklad 3.11. Vypočtěte
A
(x2
+ y2
) dxdy, kde množina A je určena podmínkami
1 x2
+ y2
4, y |x|.
Řešení. Rovnice x2
+ y2
= 1 a x2
+ y2
= 4 určují kružnice k1 a k2 se středy
v počátku O a poloměry 1 a 2. První podmínka tedy zadává mezikruží. Dále
graf funkce y = |x| je tvořen dvěma polopřímkami (osami prvního a druhého
kvadrantu) o rovnicích y = x a y = −x. Body splňující nerovnost y |x| leží
nad tímto grafem. Dohromady tudíž obě podmínky zadávají výseč mezikruží A
z obr. 3.5 a).
Určíme, jak bude tato výseč popsána v polárních souřadnicích. Polopřímky
vycházející z počátku O, které protínají množinu A, svírají s kladnou částí osy x
128 Transformace integrálů
x
y
1 2O
y = xy = −x
k1
k2
A
a)
ϕ
π/4 3π/4
1
2
O
B
b)
Obr. 3.5
úhel v rozmezí π/4 (y = x je osa prvního kvadrantu) až 3π/4 (y = −x je osa
druhého kvadrantu). Tedy π/4 ϕ 3π/4.
Libovolná taková polopřímka protíná množinu A v úsečce, jejíž koncové
body mají od počátku O stále stejné vzdálenosti, a to r = 1 a R = 2. Tedy
1 2. To znamená, že množina B uspořádaných dvojic [ϕ, ] bude dvojrozměrný
interval v rovině s kartézskými souřadnicemi ϕ, — viz obr. 3.5 b).
Snadno se ověří, že jsou splněny předpoklady věty 3.5. Za množinu Ω z této
věty lze zvolit libovolný otevřený dvojrozměrný interval, který bude obsahovat
uzavřený interval B, bude ležet v prvním kvadrantu a jehož horizontální rozměr
bude menší než 2π. Zobrazení F dané rovnicemi (3.6) pak bude na Ω prosté
a regulární. Protože integrand f (x, y) = x2
+ y2
je funkce spojitá na A, lze
zmíněnou větu skutečně použít. Podle (3.3) platí:
I =
A
(x2
+ y2
) dxdy =
B
( cos ϕ)2
+ ( sin ϕ)2
d dϕ =
=
B
3
(cos2
ϕ + sin2
ϕ) d dϕ =
B
3
d dϕ =
3π/4
π/4
dϕ ·
2
1
3
d =
= ϕ
3π/4
π/4
·
4
4
2
1
=
3π
4
−
π
4
·
16
4
−
1
4
=
15π
8
.
Při výpočtu transformovaného integrálu jsme použili kromě Fubiniovy věty rovněž
vztah (1.18).
3.1 Transformace dvojného integrálu 129
Příklad 3.12. Vypočtěte
A
(2x −3y) dxdy, kde množina A je určena podmínkou
x2
+ y2
9.
Řešení. Integračním oborem je kruh se středem v počátku souřadnic O a poloměrem
3 (obr. 3.6 a)). Použijeme opět transformaci do polárních souřadnic.
Tentokrát integrační obor protíná libovolná polopřímka vycházející z počátku O.
Tedy 0 ϕ 2π. Průnikem každé takové polopřímky s integračním oborem
je úsečka délky 3 vycházející z počátku O, tedy 0 3. Množinou B
uspořádaných dvojic [ϕ, ] je dvojrozměrný interval (obr. 3.6 b)).
Předpoklady věty 3.5 tentokrát nelze splnit. Zobrazení F : B → A není
prosté na množině B. Všechny body dolní hraniční úsečky obdélníku B se zobrazí
na počátek O. Dále pro každé c ∈ 0, 3 se body [0, c] a [2π, c] ležící na
levé resp. pravé hraniční úsečce obdélníku B zobrazí na tentýž bod [c, 0] ∈ A.
Pokud bychom za B zvolili např. obdélník popsaný nerovnostmi 0 ϕ < 2π,
0 < 3 doplněný o bod [0, 0], bylo by sice zobrazení F prosté, ale B by
nebyla uzavřená množina.
Lze však použít větu 3.8. Za množinu B1 z této věty lze zvolit vnitřek intervalu
B. Pak množina B B1 je tvořena čtyřmi hraničními úsečkami intervalu B
a množina F(B) F(B1) je tvořena hraniční kružnicí kruhu A a úsečkou spojující
jeho střed O s bodem [3, 0]. Na množině B1 je zobrazení F regulární
i prosté a rovněž všechny další předpoklady věty 3.8 jsou splněny. Platí proto:
I =
A
(2x − 3y) dxdy =
B
(2 cos ϕ − 3 sin ϕ) d dϕ =
x
y
O
x2 + y2 = 9
3
A
a)
ϕ
2π
3
O
B
b)
Obr. 3.6
130 Transformace integrálů
=
B
2
(2 cos ϕ − 3 sin ϕ) d dϕ =
2π
0
(2 cos ϕ − 3 sin ϕ) dϕ ·
3
0
2
d =
= 2 sin ϕ + 3 cos ϕ
2π
0
·
3
3
3
0
= (0 + 3 − 0 − 3)(9 − 0) = 0.
Při výpočtu transformovaného integrálu jsme opět použili kromě Fubiniovy věty
i vztah (1.18).
Příklad 3.13. Vypočtěte
A
x2 + y2 dxdy, kde množina A je určena podmínkou
x2
+ y2
− 2ax 0, kde a > 0 je daná konstanta.
Řešení. Rovnice x2
+ y2
− 2ax = 0 zadává nějakou kuželosečku. Doplněním na
čtverec určíme jakou:
x2
+ y2
− 2ax = (x − a)2
− a2
+ y2
= 0, takže (x − a)2
+ y2
= a2
.
Jde o kružnici se středem v bodě [a, 0] a poloměrem a. Integračním oborem A
je tedy kruh — viz obr. 3.7 a). S ohledem na tvar integrované funkce použijeme
transformaci do polárních souřadnic. Kdybychom se místo o zjednodušení
integrandu pokusili zjednodušit integrační obor posunutím středu kruhu A do
počátku s následným zavedením polárních souřadnic, integrovaná funkce by se
nepříjemně zkomplikovala. Vzhledem k poloze množiny A (leží v prvním a čtvrtém
kvadrantu) bude výhodnější volit rozmezí úhlů z intervalu (−π, π . Polopřímky
vycházející z počátku O, které protínají množinu A i v jiných bodech než
x
y
a 2aO
(x − a)2 + y2 = a2
T
ϕ
A
a)
ϕ
π/2−π/2 π/2O
= 2a cos ϕ
B
b)
Obr. 3.7
3.1 Transformace dvojného integrálu 131
v počátku O, svírají totiž s kladnou částí osy x úhly z intervalu (−π/2, π/2).
Budeme tedy mít −π/2 ϕ π/2.
Nyní určíme omezení pro . Z obrázku je zřejmé, že délky úseček OT ,
které jsou průnikem uvažovaných polopřímek s množinou A, se budou měnit
a budou záviset na úhlu ϕ. Dosazením polárních souřadnic do rovnice kružnice
obdržíme:
( cos ϕ)2
+ ( sin ϕ)2
− 2a cos ϕ = 0, odkud ( − 2a cos ϕ) = 0.
Hodnotě = 0 odpovídá počátek O, pro druhý průsečík polopřímky s kružnicí
platí = 2a cos ϕ. (Tento výsledek lze snadno zdůvodnit i geometricky.
V trojúhelníku s vrcholy O, [2a, 0] a T (obr. 3.7 a)) je podle Thaletovy věty
u vrcholu T pravý úhel. Z definice kosinu vyplývá, že = OT = 2a cos ϕ.)
Celkově tedy dostáváme, že
B :
−
π
2
ϕ
π
2
,
0 2a cos ϕ.
Množina B je tudíž elementární vzhledem k ϕ (obr. 3.7 b)).
Použitím věty 3.8 dostaneme (zdůvodněte sami obdobně jako v předchozím
příkladu, že všechny její předpoklady jsou splněny):
I =
A
x2 + y2 dxdy =
B
( cos ϕ)2 + ( sin ϕ)2 d dϕ =
=
B
2
d dϕ =
π/2
−π/2
2a cos ϕ
0
2
d dϕ =
π/2
−π/2
3
3
2a cos ϕ
0
dϕ =
=
π/2
−π/2
8
3
a3
cos3
ϕ dϕ =
8
3
a3
π/2
−π/2
(1 − sin2
ϕ) cos ϕ dϕ =
=
sin ϕ = t
cos ϕ dϕ = dt
−π
2
; −1, π
2
; 1
=
8
3
a3
1
−1
(1 − t2
) dt =
8
3
a3
t −
t3
3
1
−1
=
32
9
a3
.
Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu 1.55, vzniklý
jednoduchý integrál jsme pak počítali substituční metodou.
Příklad 3.14. Vypočtěte
A
(x+y2
) dxdy, kde množina A je dána nerovnostmi
(x − 2)2
9
+
(y − 1)2
4
1, 2x −
√
3y +
√
3 − 4 0 a 2x + 3y − 7 0.
132 Transformace integrálů
x
y
2O
p1
p2
1
A
a)
u
v
O
p∗
1p∗
2
3
2
B
b)
ϕ
π/3 3π/4O
1
C
c)
Obr. 3.8: Eliptická výseč a eliptické souřadnice
Řešení. První nerovnost vyjadřuje elipsu (vnitřek včetně hranice) se středem
v bodě [2, 1], která má poloosy o velikostech 3 a 2 a jejíž osy jsou rovnoběžné
se souřadnicovými osami. Další dvě nerovnosti určují poloroviny. Označme
p1 : 2x −
√
3y +
√
3 − 4 = 0 a p2 : 2x + 3y − 7 = 0 jejich hraniční přímky.
Dosazením se můžeme přesvědčit, že obě tyto přímky procházejí středem elipsy.
Přímka p1 má kladnou směrnici 2/
√
3, přímka p2 má zápornou směrnici −2/3.
Integrační obor A je znázorněn na obr. 3.8 a). Jde o výseč elipsy.
K výpočtu integrálu použijeme nejdříve posunutí
x = u + 2,
y = v + 1,
|J| = 1,
po kterém přejde střed původní elipsy do počátku. Dosazením do nerovnosti
určující původní elipsu a do rovnic hraničních přímek dostaneme
u2
9
+
v2
4
1, 2u −
√
3v = 0, 2u + 3v = 0.
Po posunutí tedy množina A přešla v množinu B = [u, v] ∈ R2
: u2
9
+ v2
4
1, 2u −
√
3v 0, 2u + 3v 0 , což je shodná výseč shodné elipsy
3.1 Transformace dvojného integrálu 133
se středem v počátku souřadnicové soustavy proměnných u, v; přímky p1, p2
přitom přešly v přímky p∗
1, p∗
2 procházející počátkem (obr. 3.8 b)).
Nyní provedeme transformaci množiny B do eliptických souřadnic
u = 3 cos ϕ,
v = 2 sin ϕ,
|J| = 6 .
Dosazením do nerovnosti určující elipsu dostaneme
(3 cos ϕ)2
9
+
(2 sin ϕ)2
4
1, takže 2
1.
Tedy 0 1.
Dále dosadíme do rovnic posunutých přímek. Vyjde nám
p∗
1 : 2 · 3 cos ϕ −
√
3 · 2 sin ϕ = 0,
p∗
2 : 2 · 3 cos ϕ + 3 · 2 sin ϕ = 0,
odkud
tg ϕ =
√
3,
tg ϕ = −1.
Přímce p∗
1 tudíž odpovídá hodnota ϕ = π/3 a přímce p∗
2 hodnota ϕ = 3π/4,
takže π/3 ϕ 3π/4. Množina B tedy přešla v množinu C, která je obdélníkem
(obr. 3.8 c)):
C :
π/3 ϕ 3π/4 ,
0 1.
Použijeme větu 3.8 (ověřte sami, že všechny její předpoklady jsou splněny):
I =
A
(x + y2
) dxdy =
B
u + 2 + (v + 1)2
· 1 dudv =
=
B
u + v2
+ 2v + 3 dudv =
=
C
3 cos ϕ + (2 sin ϕ)2
+ 4 sin ϕ + 3 6 d dϕ =
= 6
C
(3 2
cos ϕ + 4 3
sin2
ϕ + 4 2
sin ϕ + 3 ) d dϕ =
= 24
C
3
sin2
ϕ d dϕ + 6
C
2
(3 cos ϕ + 4 sin ϕ) d dϕ +
+ 18
C
d dϕ = I1 + I2 + I3.
134 Transformace integrálů
Další výpočet provedeme odděleně pro každý ze tří integrálů I1, I2, I3. Na každý
z nich použijeme Fubiniovu větu a vztah (1.18). V prvním integrálu použijeme
identitu sin2
ϕ = (1 − cos 2ϕ)/2.
I1 = 12
1
0
3
d ·
3π/4
π/3
(1 − cos 2ϕ) dϕ = 3 4 1
0
· ϕ −
1
2
sin 2ϕ
3π/4
π/3
=
= 3
3π
4
−
1
2
(−1) −
π
3
+
1
2
·
√
3
2
=
5π
4
+
3
2
+
3
√
3
4
,
I2 = 6
1
0
2
d ·
3π/4
π/3
(3 cos ϕ + 4 sin ϕ) dϕ =
= 2 3 1
0
· 3 sin ϕ − 4 cos ϕ
3π/4
π/3
=
= 2
3
√
2
2
− 4 −
√
2
2
− 3
√
3
2
+ 4 ·
1
2
= 7
√
2 − 3
√
3 + 4,
I3 = 18
1
0
d ·
3π/4
π/3
dϕ = 9 2 1
0
· ϕ
3π/4
π/3
= 9
3π
4
−
π
3
=
15π
4
.
Sečtením dostaneme celkový výsledek:
I = 5π +
11
2
−
9
√
3
4
+ 7
√
2.
Příklad 3.15. Transformací u = x+y, v = x−y vypočtěte
M
(x2
− y2
)2
dxdy,
kde M = [x, y] ∈ R2
: 0 y x 1 .
Řešení. Množinu M lze zapsat ve tvaru [x, y] ∈ R2
: 0 x 1, 0 y x .
Geometricky se jedná o trojúhelník s vrcholy [0, 0], [1, 0], [0, 1] (obr. 3.9 a)).
Inverzní transformace k transformaci u = x + y, v = x − y je transformace
F : x = (u + v)/2, y = (u − v)/2. Snadno se ověří, že pro její jakobián platí
J = −1/2. Dosazením vztahů x = (u + v)/2, y = (u − v)/2 do nerovností
0 x 1, 0 y x dostáváme
0
1
2
(u + v) 1, 0
1
2
(u − v)
1
2
(u + v).
Odtud plynou nerovnosti
0 v, u v, v 1, u 2 − v.
Naopak se snadno ověří, že z posledních nerovností plynou původní nerovnosti
0 x 1, 0 y x. Množina M tedy transformací F−1
přejde v množinu
3.1 Transformace dvojného integrálu 135
x
y
1
1
O
M
a)
v
u
1
1
2
O
M∗
b)
Obr. 3.9: Afinní transformace
M∗
= [u, v] ∈ R2
: 0 v 1, v u 2−v (obr. 3.9 b)). Užitím věty 1.55
nyní dostáváme
M
(x2
− y2
)2
dxdy =
M∗
u2
v2 1
2
dudv =
1
2
1
0
2−v
v
u2
v2
du dv =
=
1
2
1
0
u3
v2
3
2−v
v
dv =
1
2
1
0
8v2
− 12v3
+ 6v4
− v5
− v5
3
dv =
=
1
6
1
0
8v2
− 12v3
+ 6v4
− 2v5
dv =
1
3
4
3
v3
−
6
4
v4
+
3
5
v5
−
1
6
v6
1
0
=
=
1
3
4
3
−
3
2
+
3
5
−
1
6
=
1
3
40 − 45 + 18 − 5
30
=
4
45
.
Příklad 3.16. Vypočtěte integrál
M
(x + 1) dxdy, kde
M = [x, y] ∈ R2
:
x
2
2/3
+
y
3
2/3
1 .
Řešení. Množina M je omezena uzavřenou křivkou γ , která je dána rovností
x
2
2/3
+
y
3
2/3
= 1, (3.9)
136 Transformace integrálů
x
y
2−2 2
3−3
3
g1g2
g3 g4
M
Obr. 3.10:
Množina M omezená křivkou
γ : x
2
2/3
+ y
3
2/3
= 1
prochází body [2,0], [0,3], [−2,0], [0,−3] a je tvořena
grafy čtyř funkcí gj (x) (j = 1, 2, 3, 4) —
viz obr. 3.10. Ze vztahu (3.9) lze snadno získat
funkční předpisy pro funkce gj (x) a výpočtem jejich
první a druhé derivace ověřit, že grafy těchto
funkcí mají skutečně tvar nakreslený v obr. 3.10.
K výpočtu zadaného integrálu použijeme
transformace do zobecněných eliptických souřadnic
x = 2 cos3
ϕ, y = 3 sin3
ϕ — viz 3.8. Pro
příslušný jakobián platí J = 18 cos2
ϕ sin2
ϕ.
Dosazením transformačních vztahů do nerovnosti
x
2
2/3
+
y
3
2/3
1
dostáváme 2/3
(cos2
ϕ + sin2
ϕ) 1, což je splněno
právě tehdy, když 1. Množině M v polárních
souřadnicích odpovídá obdélník M∗
=
= [ϕ, ] ∈ R2
: 0 ϕ 2π, 0 1 .
Ověřte si sami, že na jeho vnitřku je transformace prostá. Nyní
M
(x + 1) =
M∗
(2 cos3
ϕ + 1)18 cos2
ϕ sin2
ϕ d dϕ =
= 36
2π
0
cos5
ϕ sin2
ϕ dϕ ·
1
0
2
d + 18
M∗
cos2
ϕ sin2
ϕ d dϕ =
= 36
2π
0
(1 − sin2
ϕ)2
sin2
ϕ cos ϕ dϕ ·
1
0
2
d +
9
2
M∗
sin2
2ϕ dϕ =
= 36
2π
0
(sin6
ϕ − 2 sin4
ϕ + sin2
ϕ) cos ϕ dϕ ·
1
0
2
d +
+
9
2
2π
0
sin2
2ϕ dϕ ·
1
0
d =
= 36
sin7
ϕ
7
− 2
sin5
ϕ
5
+
sin3
ϕ
3
2π
0
·
1
0
2
d +
+
9
2
2π
0
1 − cos 4ϕ
2
dϕ ·
1
2
=
= 0 ·
1
0
2
dr +
9
8
ϕ −
sin 4ϕ
4
2π
0
=
9
8
· 2π =
9
4
π.
3.2 Transformace trojného integrálu 137
3.2. Transformace trojného integrálu
Problematika transformace trojného integrálu je zcela analogická jako u transformace
dvojného integrálu. Definice spojitě diferencovatelného zobrazení, jeho
jakobiánu a regulárního zobrazení mají v trojrozměrném případě následující po-
dobu:
Definice 3.17. Nechť B ⊆ R3
a nechť g, h, k jsou funkce definované na množině
B. Buď F : B → R3
zobrazení přiřazující každému bodu [u, v, w] ∈ B
bod F(u, v, w) = [g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)]. Řekneme, že zobrazení
F je spojitě diferencovatelné v B, jestliže existuje otevřená množina
Ω ⊇ B taková, že funkce g, h, k lze rozšířit na Ω takovým způsobem, aby
měly v Ω spojité parciální derivace prvního řádu podle všech tří proměnných
u, v, w.
Je-li F : B → R3
spojitě diferencovatelné zobrazení v B, determinant
J =
gu gv gw
hu hv hw
ku kv kw
se při označení použitém v definici 3.17 nazývá jakobián zobrazení F. Jakobián
J : B → R je funkcí proměnných u, v a w.
Definice 3.18. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : B → R3
na otevřené
množině B se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nuly v každém
bodě množiny B.
Větu o transformaci trojného integrálu analogickou větě 3.5 lze zformulovat
takto:
Věta 3.19. Nechť B ⊆ R3
je uzavřená měřitelná množina a Ω ⊆ R3
je otevřená
množina, B ⊆ Ω. Nechť F : Ω → R3
je prosté regulární zobrazení
s jakobiánem J takové, že F(u, v, w) = [g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)] pro
každé [u, v, w] ∈ B. Nechť funkce f proměnných x, y a z je spojitá v množině
A = F(B).
138 Transformace integrálů
Pak platí vztah
A
f (x, y, z) dxdydz =
=
B
f (g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w))|J(u, v, w)| dudvdw.
(3.10)
Podobně jako u dvojného integrálu je někdy užitečná následující obecnější,
avšak poněkud komplikovanější věta, analogická větě 3.8:
Věta 3.20. Nechť B1 ⊆ B ⊆ R3
, kde B1 je otevřená množina, B je měřitelná
množina a platí m3(B B1) = 0.
Buď F : B → R3
spojitě diferencovatelné zobrazení s jakobiánem J, které
je regulární a prosté v B1. Označme A = F(B), A1 = F(B1). Předpokládejme,
že množina A je měřitelná a platí m3(A A1) = 0.
Buď funkce f ohraničená na množině A a spojitá na množině A1. Nechť
funkce s hodnotou f (g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w))|J(u, v, w)| v každém
bodě [u, v, w] ∈ B je ohraničená.
Pak platí vztah (3.10), tj.
A
f (x, y, z) dxdydz =
=
B
f (g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w))|J(u, v, w)| dudvdw.
3.2.1. Některé běžné typy transformací trojného integrálu
Uveďme nyní podrobněji několik běžných, často užívaných transformací x =
= g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w) trojného integrálu.
Posunutí
Posunutí (translace) je dáno rovnicemi
x = u + a,
y = v + b,
z = w + c,
(3.11)
3.2 Transformace trojného integrálu 139
kde a, b, c jsou konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(u, v, w) =
gu gv gw
hu hv hw
ku kv kw
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 1.
Dilatace
Dilatace (ve speciálním případě a > 0, b > 0, c > 0 změna měřítek na souřadnicových
osách) je dána rovnicemi
x = au,
y = bv,
z = cw,
(3.12)
kde a, b, c jsou nenulové konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(u, v, w) =
gu gv gw
hu hv hw
ku kv kw
=
a 0 0
0 b 0
0 0 c
= abc.
Transformace do válcových souřadnic
Transformace do válcových (cylindrických) souřadnic , ϕ, z je dána vztahy
x = cos ϕ,
y = sin ϕ,
z = z.
(3.13)
Jakobián zobrazení (3.13) je roven
J( , ϕ, z) =
g gϕ gz
h hϕ hz
k kϕ kz
=
cos ϕ − sin ϕ 0
sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
= cos2
ϕ + sin2
ϕ = .
Všimněme si nyní geometrického významu cylindrických souřadnic bodu T
majícího kartézské souřadnice [x, y, z]. Označme T kolmý průmět bodu T do
souřadnicové roviny xy, tedy T má souřadnice [x, y, 0]. Bod T vyjádříme
v polárních souřadnicích [ , ϕ] v rovině xy. Polohu bodu T v prostoru lze
nyní určit trojicí čísel [ , ϕ, z], což jsou cylindrické souřadnice bodu T — viz
obr. 3.11. Podotkněme ještě, že vzdálenost je nezáporná, úhel ϕ obvykle volíme
140 Transformace integrálů
x
y
z
O
T
T
z
ϕ
x
y
z
Obr. 3.11: Cylindrické souřadnice
z vhodného intervalu délky 2π a souřadnice z se nemění. Všimněme si, že při
konstantním 0 > 0 je rovnicí = 0 určena „nekonečná“ rotační válcová
plocha s osou v souřadnicové ose z, zatímco při ϕ0 ∈ R je rovnicí ϕ = ϕ0 v R3
dána polorovina, jejíž hranicí je souřadnicová osa z. Transformace do válcových
je výhodné užívat zejména v případech, kdy integrační obor je rotační těleso
s osou rotace v ose z, nebo jeho vhodná část. V případě, že integrand je těleso
mající osu rotace v ose x nebo v ose y, je možné použít patřičně modifikované
transformace do válcových souřadnic.
Transformace do sférických souřadnic
Transformace do sférických (kulových) souřadnic , ϕ, ϑ je dána vztahy
x = cos ϕ sin ϑ,
y = sin ϕ sin ϑ,
z = cos ϑ.
(3.14)
Jakobián zobrazení (3.14) je roven
J( , ϕ, ϑ) =
g gϕ gϑ
h hϕ hϑ
k kϕ kϑ
=
cos ϕ sin ϑ − sin ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ
sin ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ
cos ϑ 0 − sin ϑ
=
= − 2
cos2
ϕ sin3
ϑ − 2
sin2
ϕ cos2
ϑ sin ϑ − 2
cos2
ϕ cos2
ϑ sin ϑ −
− 2
sin2
ϕ sin3
ϑ = − 2
(sin2
ϕ + cos2
ϕ) cos2
ϑ sin ϑ +
− 2
(sin2
ϕ + cos2
ϕ) sin3
ϑ = − 2
sin ϑ(cos2
ϑ + sin2
ϑ) = − 2
sin ϑ.
3.2 Transformace trojného integrálu 141
x
y
z
O
T
T
ϑ
ϕ
x
y
z
Obr. 3.12: Sférické souřadnice
Věnujme nyní pozornost geometrickému významu sférických souřadnic bodu
T majícího kartézské souřadnice [x, y, z]. Označme T kolmý průmět bodu T
do souřadnicové roviny xy, který má souřadnice [x, y, 0]. Označme vzdálenost
bodu T od počátku O kartézské souřadnicové soustavy. Dále označme ϕ úhel,
který svírá polopřímka
−−→
OT s kladnou částí osy x (analogicky jako v polárních
souřadnicích). Konečně označme ϑ úhel, který svírá polopřímka
−→
OT s kladnou
částí osy z. Polohu bodu T v prostoru pak určíme trojicí čísel [ , ϕ, ϑ], což
jsou sférické souřadnice bodu T — viz obr. 3.12. Protože OT T je pravoúhlý
s pravým úhlem u vrcholu T , platí OT = sin ϑ a z = cos ϑ. Přitom
vzdálenost je nezáporná, úhel ϕ volíme obvykle z intervalu délky 2π a úhel
ϑ je obvykle z intervalu 0, π . Všimněme si, že při konstantním 0 > 0 je
rovnicí = 0 určena kulová plocha se středem v počátku o poloměru 0, při
konstantním ϑ0 ∈ (0, π/2) ∪ (π/2, π) je rovnicí ϑ = ϑ0 v R3
dána část rotační
kuželové plochy s vrcholem v počátku a osou v souřadnicové ose z, zatímco
při konstantním ϕ0 ∈ R rovnice ϕ = ϕ0 v R3
popisuje polorovinu, jejíž hranicí
je souřadnicová osa z. Transformace do sférických souřadnic se používá hlavně
v případě, kdy integrační obor je koule nebo její vhodná část.
Transformace do zobecněných válcových souřadnic
Transformace do zobecněných válcových (cylindrických) souřadnic , ϕ, z je
dána vztahy
x = a cos ϕ,
y = b sin ϕ,
z = z,
(3.15)
142 Transformace integrálů
kde a = 0, b = 0 jsou konstanty. Jakobián zobrazení (3.15) je roven
J( , ϕ, z) =
g gϕ gz
h hϕ hz
k kϕ kz
=
a cos ϕ −a sin ϕ 0
b sin ϕ b cos ϕ 0
0 0 1
=
= ab (cos2
ϕ + sin2
ϕ) = ab .
Používá se nejčastěji, je-li integrační obor eliptický válec nebo jeho vhodná část.
Transformace do zobecněných sférických souřadnic
Transformace do zobecněných sférických (kulových) souřadnic , ϕ, ϑ je dána
vztahy
x = a cos ϕ sin ϑ,
y = b sin ϕ sin ϑ,
z = c cos ϑ,
(3.16)
kde a = 0, b = 0, c = 0 jsou konstanty. Jakobián zobrazení (3.16) je roven
J( , ϕ, ϑ) =
g gϕ gϑ
h hϕ hϑ
k kϕ kϑ
=
a cos ϕ sin ϑ −a sin ϕ sin ϑ a cos ϕ cos ϑ
b sin ϕ sin ϑ b cos ϕ sin ϑ b sin ϕ cos ϑ
c cos ϑ 0 −c sin ϑ
=
= abc
cos ϕ sin ϑ − sin ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ
sin ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ
cos ϑ 0 − sin ϑ
= −abc 2
sin ϑ.
Používá se nejčastěji, je-li integrační obor elipsoid nebo jeho vhodná část.
Příklad 3.21. Vypočtěte
A
xz x2 + y2 dxdydz, kde množina A je množina
omezená plochami x2
+ y2
= 1, x2
+ y2
= 4, z = 0, z = 3 a ležící v průniku
poloprostorů x 0, y 0.
Řešení. Rovnice x2
+ y2
= 1 a x2
+ y2
= 4 zadávají rotační válcové plochy
s osou v souřadnicové ose z o poloměrech 1 a 2. Ty určují dutý válec, z něhož
je rovinami z = 0 a z = 3 odříznuta část o výšce 3. Z ní pak nerovnosti
x 0 a y 0 určí jednu čtvrtinu — viz obr. 3.13 a). Průmětem tohoto tělesa
do roviny xy je množina M, představující jednu čtvrtinu mezikruží ve druhém
kvadrantu — viz obr. 3.13 b).
3.2 Transformace trojného integrálu 143
−2
−1
0
0 1 2
0
1
2
3
x
y
z
a)
y
1 2
−2
−1
O
x
M
b)
Obr. 3.13
Vyjádření množiny M v polárních souřadnicích je snadné — zřejmě π/2
ϕ π a 1 2. Obrazem množiny A v transformaci do cylindrických
souřadnic je tedy množina
B :
π
2
ϕ π,
1 2,
0 z 3,
což je trojrozměrný interval. Použijeme větu 3.19. Za množinu Ω v ní lze zvolit
trojrozměrný otevřený interval Ω ⊃ B, který bude mít jen nepatrně větší rozměry
než B. Na něm bude zobrazení F dané rovnicemi (3.13) regulární a prosté.
Vzniklý trojný integrál vypočteme pomocí Fubiniovy věty. Výpočet proběhne
takto:
I =
A
xz x2 + y2 dxdydz =
=
B
cos ϕ · z 2 cos2 ϕ + 2 sin2 ϕ · d dϕdz =
=
B
3
z cos ϕ d dϕdz =
π
π/2
cos ϕ dϕ ·
2
1
3
d ·
3
0
z dz =
= sin ϕ
π
π/2
·
1
4
4
2
1
·
1
2
z2
3
0
= (0 − 1) ·
16 − 1
4
·
9 − 0
2
= −
135
8
.
144 Transformace integrálů
Příklad 3.22. Vypočtěte
A
4xyz dxdydz, kde množina A je určena podmínkami
z x2
/2 + y2
/2, x2
+ y2
+ z2
3, x 0 a y 0.
Řešení. Rovnice z = x2
/2+y2
/2 určuje rotační paraboloid s osou v souřadnicové
ose z a vrcholem v počátku. Rovnice x2
+ y2
+ z2
= 3 určuje kulovou plochu se
středem v počátku o poloměru
√
3. Půjde tedy o rotační těleso, které je zdola
omezené paraboloidem a shora kulovou plochou. Nerovnosti x 0 a y 0 pak
říkají, že z tohoto tělesa máme uvažovat jen čtvrtinu — viz obr. 3.14 a).
Abychom množinu A popsali v cylindrických souřadnicích, uvažujme její řez
souřadnicovou rovinou x = 0. Výsledek je znázorněn na obr. 3.14 b). Určíme
souřadnice průsečíku paraboly z = y2
/2 a kružnice y2
+ z2
= 3. Dosazením
první rovnice do druhé obdržíme kvadratickou rovnici z2
+ 2z − 3 = 0, která
má kořeny 1 a −3. Pro nás má smysl pouze kladný kořen. K němu pak určíme,
že y = ±
√
2. Průsečíky tedy mají souřadnice ±
√
2, 1 . Z toho je vidět, že
0
0 √
2 xy
z
0
1
√
3
x2
+ y2
+ z2
= 3
z = 1
2
x2
+ 1
2
y2
a)
y
z
√
2−
√
2
√
2O
z = 1
2 y2
√
3y2 + z2 = 3
1
b)
y
x
O
√
2
√
2 x2 + y2 = 2
M
c)
Obr. 3.14
3.2 Transformace trojného integrálu 145
kolmým průmětem M množiny A do roviny xy je čtvrtkruh se středem v počátku
a poloměrem
√
2, ležící v prvním kvadrantu — viz obr. 3.14 c).
Vyjádření množiny M v polárních souřadnicích je snadné: 0 ϕ π/2
a 0
√
2. Dále dosazením z rovnic (3.13) do rovnice paraboloidu dosta-
neme
z =
1
2
x2
+
1
2
y2
=
1
2
( 2
cos2
ϕ + 2
sin2
ϕ) =
1
2
2
a do rovnice kulové plochy (její horní poloviny) dostaneme
z = 3 − x2 − y2 = 3 − 2 cos2 ϕ − 2 sin2 ϕ = 3 − 2.
Množina A se tedy při přechodu k cylindrickým souřadnicím transformuje na
množinu B, jejíž popis je:
B :
0 ϕ
π
2
,
0
√
2,
1
2
2
z 3 − 2.
Větu 3.19 tentokrát není možné použít. Všechny body z B tvaru [0, ϕ, z],
kde 0 ϕ π/2, se transformací F danou rovnicemi (3.13) zobrazí na body
[0, 0, z], tj. F není prosté ani na množině B. Jsou však splněny předpoklady
věty 3.20, když za množinu B1 zvolíme vnitřek množiny B. Na vzniklý integrál
použijeme Fubiniovu větu. Vzhledem k popisu množiny B je přitom nutné,
aby integrace vzhledem k proměnné z proběhla dříve než integrace vzhledem
k proměnné . Pořadí integrace vzhledem k proměnné ϕ je libovolné. Při výpočtu
použijeme mimo jiné vzorec 2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ. Vyjde nám:
I =
A
4xyz dxdydz =
B
4 cos ϕ · sin ϕ · z · d dϕdz =
=
B
2 3
z sin 2ϕ d dϕdz =
=
π/2
0
√
2
0
√
3− 2
2/2
2 3
z sin 2ϕ dz d dϕ =
=
π/2
0
√
2
0
3
sin 2ϕ z2
√
3− 2
2/2
d dϕ =
=
π/2
0
√
2
0
3
sin 2ϕ 3 − 2
−
1
4
4
d dϕ =
146 Transformace integrálů
=
π/2
0
√
2
0
sin 2ϕ 3 3
− 5
−
1
4
7
d dϕ =
=
π/2
0
sin 2ϕ
3
4
4
−
1
6
6
−
1
32
8
√
2
0
dϕ =
=
π/2
0
sin 2ϕ 3 −
4
3
−
1
2
dϕ =
7
6
π/2
0
sin 2ϕ dϕ =
= −
7
12
cos 2ϕ
π/2
0
= −
7
12
(−1 − 1) =
7
6
.
Příklad 3.23. Vypočtěte
A
dxdydz
x2 + z2 + 1
, kde množina A je omezená plochami
y = 2 −
√
x2 + z2 a y = 1.
Řešení. Rovnice první plochy je rovnicí části rotační kuželové plochy v poloprostoru
y 2 s osou rotace v souřadnicové ose y a vrcholem v bodě [0, 2, 0].
Toto je vidět ze skutečnosti, že řezy plochy rovinami y = c, kde c < 2, jsou
kružnice, zatímco průměty plochy do rovin x = 0, resp. z = 0, mají rovnice
y = 2 − |z|, resp. y = 2 − |x|. Množina A je tedy kuželem na obr. 3.15 a).
Můžeme ji snadno popsat v cylindrických souřadnicích, jen musíme oproti rovnicím
(3.13) zaměnit role souřadnicových os, což nemá vliv na vyjádření jakobiánu
v polárních souřadnicích příslušné souřadnicové roviny. Zvolíme
x = cos ϕ,
z = sin ϕ,
y = y,
|J| = .
Průmětem M množiny A do souřadnicové roviny xz je kruh. Jeho rovnici dostaneme
dosazením vztahu y = 1 do rovnice kuželové plochy. Vyjde x2
+ z2
= 1,
takže poloměr kruhu je jedna (obr. 3.15 b)). Bude tedy 0 ϕ 2π a 0 1.
Dále dosadíme vyjádření x a z pomocí ϕ a do rovnice poloviny kuželové plochy.
Vyjde
y = 2 − x2 + z2 = 2 − 2 cos2 ϕ + 2 sin2 ϕ = 2 − .
Množina A se tedy transformuje na množinu B, jejíž popis je:
B :
0 ϕ 2π,
0 1,
1 y 2 − .
3.2 Transformace trojného integrálu 147
0
1
−1
0 1 x
y
2
z 0
1
−1
y = 2 −
√
x2 + z2
a)
x
z
O
x2 + z2 = 1
1
M
b)
Obr. 3.15
Použijeme větu 3.20. Za množinu B1 se v ní zvolí vnitřek množiny B. Výsledný
integrál upravíme pomocí Fubiniovy věty. Vzhledem k popisu množiny B
musí integrace podle y předcházet integraci podle . Integrace podle ϕ může
proběhnout kdykoli. Dostaneme:
I =
A
dxdydz
x2 + z2 + 1
=
B
d dϕdy
2 + 1
=
=
1
0
2−
1
2π
0
dϕ
2 + 1
dy d =
1
0
2−
1
2 + 1
ϕ
2π
0
dy d =
=
1
0
2π
2 + 1
y
2−
1
d = 2π
1
0
− 2
2 + 1
d =
= 2π
1
0
− 2
− 1 + + 1
2 + 1
d = 2π
1
0
−1 +
1
2
2
2 + 1
+
1
2 + 1
d =
= 2π − +
1
2
ln( 2
+ 1) + arctg
1
0
= 2π −1 +
1
2
ln 2 +
π
4
.
Příklad 3.24. Vypočtěte
A
(x + y + z) dxdydz, kde množina A je určena
nerovnostmi x2
+ y2
+ z2
4, y 0, z 0.
Řešení. Rovnice x2
+y2
+z2
= 4 je rovnicí kulové plochy se středem v počátku O
souřadnicového systému a poloměrem 2. První podmínka tedy určuje kouli. Další
148 Transformace integrálů
−2
0
20
2
0
2
x
y
z
a)
y
z
O 2
2
b)
y
x
O 2
−2
2
M
c)
Obr. 3.16
dvě podmínky určují poloprostory, vymezené rovinami xz a xy. Celkově dostáváme,
že množina A je čtvrtina koule, která je znázorněná na obr. 3.16 a). Pro
výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic.
Libovolná rovina, která prochází osou z a svírá s kladnou částí osy x úhel
z intervalu (0, π), protne množinu A ve čtvrtkruhu — viz obr. 3.16 b), kde je
znázorněn řez rovinou yz. Z toho vidíme, že 0 ϑ π/2.
Dále průmětem M množiny A do roviny xy je půlkruh z obr. 3.16 c). To
znamená, že 0 ϕ π. Konečně je zřejmě 0 2. Obrazem množiny A
v transformaci do sférických souřadnic tudíž bude množina
B :
0 2,
0 ϕ π,
0 ϑ
π
2
,
což je trojrozměrný interval. Zobrazení Φ dané rovnicemi (3.14) není na této
množině prosté. Např. Φ(0, ϕ, ϑ) = (0, 0, 0) pro libovolná ϕ a ϑ, tj. celá jedna
stěna kvádru B se zobrazí na počátek O. Proto použijeme větu 3.20. Za množinu
B1 z této věty lze zvolit vnitřek intervalu B. Transformovaný integrál rozdělíme
na dva a na každý z nich pak použijeme Fubiniovu větu. S použitím
vztahů (3.14) a |J| = 2
sin ϑ pro sférické souřadnice a jejich jakobián dosta-
neme:
I =
A
(x + y + z) dxdydz =
3.2 Transformace trojného integrálu 149
=
B
( cos ϕ sin ϑ + sin ϕ sin ϑ + cos ϑ) 2
sin ϑ d dϕdϑ =
=
B
3
(cos ϕ + sin ϕ) sin2
ϑ d dϕdϑ +
B
3
cos ϑ sin ϑ d dϕdϑ =
=
2
0
3
d ·
π
0
(cos ϕ + sin ϕ) dϕ ·
π/2
0
1
2
(1 − cos 2ϑ) dϑ +
+
2
0
3
d ·
π
0
dϕ ·
π/2
0
1
2
sin 2ϑ dϑ =
=
4
4
2
0
· sin ϕ − cos ϕ
π
0
·
1
2
· ϑ −
sin 2ϑ
2
π/2
0
+
4
4
2
0
· ϕ
π
0
×
×
1
2
· −
cos 2ϑ
2
π/2
0
= 4 · 2 ·
1
2
·
π
2
+ 4 · π ·
1
2
· 1 = 4π.
Příklad 3.25. Vypočtěte
A
x2 + y2 + z2 dxdydz, kde množina A je určená
nerovnostmi z x2 + y2, 1 x2
+ y2
+ z2
4.
Řešení. Rovnice z = x2 + y2 určuje rotační kuželovou plochu v poloprostoru
z 0 s osou v souřadnicové ose z a vrcholem v počátku. První nerovnost
tedy zadává množinu bodů ležících na a nad horní polovinou zmíněné rotační
kuželové plochy. Dále rovnice x2
+y2
+z2
= r2
je pro každé r > 0 rovnicí kulové
plochy se středem v počátku O a poloměrem r. Podmínka 1 x2
+y2
+z2
4
tudíž říká, že množina A je rovněž omezena dvěma soustřednými kulovými
plochami o poloměrech 1 a 2. Výsledek je znázorněn na obr. 3.17 a). Pro výpočet
integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic.
Protože zadané těleso je rotační, bude řez libovolnou rovinou procházející
rotační souřadnicovou osou z stejný. Na obr. 3.17 b) je znázorněn takový řez
rovinou yz. Z něho určíme rozmezí pro úhel ϑ. Protože přímka y = z je osou
prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel 45 ◦
, což znamená, že 0 ϑ π/4.
Průmětem M množiny A do roviny xy je zřejmě kruh se středem v počátku
O, jehož hraniční kružnice je průmětem kružnice, kterou dostaneme jako
průnik kuželové plochy a větší kulové plochy — srovnejte obr. 3.17 a). Vyloučením
proměnné z z rovnic z2
= x2
+ y2
a x2
+ y2
+ z2
= 4 dostaneme, že
x2
+ y2
= 2, tj. poloměr kruhu M je
√
2 — viz obr. 3.17 c). Tento údaj však
není důležitý, určili jsme jej jen pro úplnost; podstatné je, že pro úhel ϕ platí
0 ϕ 2π.
150 Transformace integrálů
x2
+ y2
+ z2
= 4
x2
+ y2
+ z2
= 1
z2
= x2
+ y2
a)
y
z
1 2
z = yz = −y
b)
y
x
O
√
2
M
c)
Obr. 3.17
Konečně pro sférickou souřadnici zřejmě platí 1 2. Obrazem
množiny A při transformaci do sférických souřadnic tedy je množina
B :
1 2,
0 ϕ 2π,
0 ϑ
π
4
,
což je trojrozměrný interval. Zobrazení F dané rovnicemi (3.14) není na B
prosté. Platí totiž např. F( , 0, ϑ) = F( , 2π, ϑ) pro libovolná 1 2
a 0 ϑ π/4 nebo F( , ϕ, 0) = F( , 0, 0) pro libovolná 1 2 a 0 ϕ
2π. Proto použijeme větu 3.20. Za množinu B1 z této věty lze zvolit vnitřek
3.2 Transformace trojného integrálu 151
intervalu B. Na transformovaný integrál použijeme Fubiniovu větu. S použitím
vztahů (3.14) pro sférické souřadnice a jejich jakobián a rovnosti x2
+y2
+z2
= 2
dostaneme:
I =
A
x2 + y2 + z2 dxdydz =
B
· 2
sin ϑ d dϕdϑ =
=
2
1
3
d ·
2π
0
dϕ ·
π/4
0
sin ϑ dϑ =
4
4
2
1
· ϕ
2π
0
· − cos ϑ
π/4
0
=
=
15
4
· 2π · −
√
2
2
+ 1 =
15π 2 −
√
2
4
.
Příklad 3.26. Vypočtěte
A
yz dxdydz, kde množina A je určena nerov-
nostmi
x2
9
+
y2
4
1 a 0 z −y.
Řešení. Rovnice x2
9
+ y2
4
= 1 určuje eliptický válec s osou v souřadnicové ose z.
Dále z = 0 a z = −y jsou rovnice dvou rovin, které ze zmíněného válce
vytnou „klín“ znázorněný na obr. 3.18 a). Kolmým průmětem množiny A do
roviny xy je polovina elipsy znázorněná na obr. 3.18 b). Použijeme transformaci
do zobecněných cylindrických souřadnic. V (3.15) zvolíme a = 3, b = 2:
x = 3 cos ϕ,
y = 2 sin ϕ,
z = z,
|J| = 6 .
−3
0
30−2
0
2
x
y
z
a)
y
x
3
−3
O−2
M
b)
Obr. 3.18
152 Transformace integrálů
Změna měřítek na souřadnicových osách x a y způsobí, že polovina elipsy přejde
v polovinu jednotkového kruhu, který musíme vyjádřit v polárních souřadnicích.
Pro ně bude tudíž platit π ϕ 2π a 0 1. Dosazením transformačních
rovnic do omezení pro z dostaneme 0 z −2 sin ϕ. Množina A se tedy
transformuje na množinu
B :
π ϕ 2π,
0 1,
0 z −2 sin ϕ.
Použijeme větu 3.20 (můžete se přesvědčit, že transformace není na B prostá).
Vzniklý integrál vypočítáme pomocí Fubiniovy věty. Množina B je elementární
vzhledem k ϕ. Nejprve tedy musíme integrovat podle proměnné z (v mezích
pro tuto proměnnou figuruje ϕ i ), další pořadí je libovolné. Dostaneme:
I =
A
yz dxdydz =
B
2 sin ϕ · z · 6 d dϕdz =
=
B
12 2
z sin ϕ d dϕdz =
=
2π
π
1
0
−2 sin ϕ
0
12 2
z sin ϕ dz d dϕ =
=
2π
π
1
0
6 2
sin ϕ z2 −2 sin ϕ
0
d dϕ =
2π
π
1
0
24 4
sin3
ϕ d dϕ =
=
2π
π
24
5
sin3
ϕ 5 1
0
dϕ =
24
5
2π
π
(1 − cos2
ϕ) sin ϕ dϕ =
=
cos ϕ = t
− sin ϕ dϕ = dt
sin ϕ dϕ = −dt
π ; −1, 2π ; 1
= −
24
5
1
−1
(1 − t2
) dt = −
24
5
t −
t3
3
1
−1
= −
32
5
.
Příklad 3.27. Vypočtěte
A
dxdydz, kde A:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
1, a, b, c > 0.
Řešení. Integračním oborem A je elipsoid z obrázku 3.19 a). Vzhledem k definicím
měřitelné množiny a trojného integrálu přes měřitelnou množinu bude
3.2 Transformace trojného integrálu 153
−a
0
a0
b
−b
0
c
−c x
y
z
a)
x
y
−a a
−b
b
O
b)
Obr. 3.19
výsledkem vzorec pro míru elipsoidu s poloosami a, b, c. Použijeme zobecněné
sférické souřadnice. Zvolíme
x = a cos ϕ sin ϑ,
y = b sin ϕ sin ϑ,
z = c cos ϑ,
|J| = abc 2
sin ϑ.
Změna měřítek na souřadnicových osách způsobí, že elipsoid přejde v jednotkovou
kouli. Tu musíme vyjádřit ve sférických souřadnicích. Množina A se přitom
transformuje v množinu
B :
0 ϕ 2π,
0 1,
0 ϑ π.
To je trojrozměrný interval, takže na integrál vzniklý po použití věty 3.20 můžeme
snadno aplikovat Fubiniovu větu. Dostaneme:
A
dxdydz =
B
abc 2
sin ϑ d dϕdϑ =
= abc
2π
0
dϕ ·
1
0
2
d ·
π
0
sin ϑ dϑ =
= abc ϕ
2π
0
·
3
3
1
0
· − cos ϑ
π
0
= abc · 2π ·
1
3
· 2 =
4
3
πabc.
154 Transformace integrálů
3.3. Transformace n-rozměrného integrálu
Pokud jde o transformaci n-rozměrného integrálu, je situace naprosto analogická
jako u transformace dvojného či trojného integrálu. Uvedeme proto přímo definice
spojitě diferencovatelného zobrazení, jakobiánu a regulárního zobrazení.
Definice 3.28. Předpokládejme, že B ⊆ Rn
a nechť gj , j = 1, 2, . . . , n,
jsou funkce definované na množině B. Buď F : B → Rn
zobrazení, které
přiřazuje libovolnému bodu [u1, u2, . . . , un] ∈ B bod F(u1, u2, . . . , un) =
= [g1(u1, u2, . . . , un), g2(u1, u2, . . . , un), . . . , gn(u1, u2, . . . , un)]. Řekneme,
že zobrazení F je spojitě diferencovatelné v B, jestliže existuje otevřená množina
Ω ⊇ B taková, že funkce gj (j = 1, 2 . . . , n) lze rozšířit na Ω takovým
způsobem, aby měly v Ω spojité parciální derivace prvního řádu podle všech
svých proměnných.
Je-li F : B → Rn
spojitě diferencovatelné zobrazení v B, determinant
J =
g1|u1 g1|u2 . . . g1|un
g2|u1 g2|u2 . . . g2|un
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
gn|u1 gn|u2 . . . gn|un
,
kde gi|uj = ∂
∂uj
gi, se při označení použitém v definici 3.28 nazývá jakobián
zobrazení F. Jakobián J : B → R je funkcí proměnných u1, u2, . . . , un.
Definice 3.29. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : B → Rn
na otevřené
množině B se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nuly v každém
bodě množiny B.
Věty o transformaci n-rozměrného integrálu lze zformulovat takto:
Věta 3.30. Nechť B ⊆ Rn
je uzavřená měřitelná množina a Ω ⊆ Rn
je otevřená
množina, B ⊆ Ω. Nechť F : Ω → Rn
je prosté regulární zobrazení
s jakobiánem J takové, že F(u1, u2, . . . , un) = [g1(u), g2(u), . . . , gn(u)] pro
každé u = [u1, u2, . . . , un] ∈ B. Označme A = F(B) a předpokládejme,že
funkce f : A → R je spojitá.
Pak platí vztah
· · ·
A
f (x) dx1 dx2 · · · dxn =
= · · ·
B
f (g1(u), g2(u), · · · , gn(u))|J(u)| du1 du2 . . . dun.
(3.17)
3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 155
Věta 3.31. Nechť B1 ⊆ B ⊆ Rn
, kde B1 je otevřená množina, B je měřitelná
množina a platí mn(B B1) = 0.
Buď F spojitě diferencovatelné zobrazení B do Rn
, které je regulární a prosté
v B1. Označme A = F(B), A1 = F(B1). Předpokládejme, že množina A je
měřitelná a platí mn(A A1) = 0.
Buď funkce f ohraničená na množině A a spojitá na množině A1. Nechť
funkce, která každému u ∈ B přiřazuje hodnotu f (g1(u), g2(u), . . . , gn(u))|J(u)|,
je ohraničená.
Pak platí vztah (3.17), tj.
· · ·
A
f (x) dx1 dx2 · · · dxn =
= · · ·
B
f (g1(u), g2(u), . . . , gn(u))|J(u)| du1 du2 · · · dun.
3.3.1. Některé běžné typy transformací n-rozměrného integrálu
Uveďme, podobně jako u dvojného a trojného integrálu, některé běžně užívané
transformace x1 = g1(u1, u2, . . . , un), x2 = g2(u1, u2, . . . , un), . . . , xn =
= gn(u1, u2, . . . , un) n-rozměrného integrálu.
Posunutí
Posunutí (translace) je dáno rovnicemi
x1 = u1 + a1, x2 = u2 + a2, . . . , xn = un + an, (3.18)
kde a1, a2, . . . , an jsou konstanty. Jakobián této transformace je J = 1.
Dilatace
Dilatace (ve speciálním případě a1 > 0, a2 > 0, . . . , an > 0 změna měřítek na
souřadnicových osách) je dána rovnicemi
x1 = a1u1, x2 = a2u2, . . . , xn = anun (3.19)
kde a1, a2, . . . , an jsou nenulové konstanty. Pro jakobián tohoto zobrazení platí
J(u1, u2, . . . , un) = a1a2 · · · an.
156 Transformace integrálů
Transformace do sférických souřadnic
Transformace do sférických souřadnic , ϕ, ϑ1, ϑ2, . . . , ϑn−2 (používá se též název
hypersférické souřadnice), kde n 2 (pro n = 2 jde o polární souřadnice),
je dána vztahy
x1 = cos ϕ sin ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−4 sin ϑn−3 sin ϑn−2,
x2 = sin ϕ sin ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−4 sin ϑn−3 sin ϑn−2,
x3 = cos ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−4 sin ϑn−3 sin ϑn−2,
x4 = cos ϑ2 · · · sin ϑn−4 sin ϑn−3 sin ϑn−2,
...
xn−2 = cos ϑn−4 sin ϑn−3 sin ϑn−2,
xn−1 = cos ϑn−3 sin ϑn−2,
xn = cos ϑn−2.
(3.20)
Označme Jn = Jn( , ϕ, ϑ1, ϑ2, . . . , ϑn−2) jakobián transformace (3.20). Pak,
značí-li gn
1 , gn
2 , . . . , gn
n pravé strany ve vztazích (3.20) (horní index n znamená,
že jde o transformaci v Rn
), máme
Jn =
gn
1| gn
1|ϕ gn
1|ϑ1
. . . gn
1|ϑn−3
gn
1|ϑn−2
gn
2| gn
2|ϕ gn
2|ϑ1
. . . gn
2|ϑn−3
gn
2|ϑn−2
...
...
...
...
...
...
gn
n−1| gn
n−1|ϕ gn
n−1|ϑ1
. . . gn
n−1|ϑn−3
gn
n−1|ϑn−2
gn
n| gn
n|ϕ gn
n|ϑ1
. . . gn
n|ϑn−3
gn
n|ϑn−2
. (3.21)
Platí gn
k = gn−1
k sin ϑn−2, k = 1, . . . , n − 1. Označme ještě hn
1, hn
2, . . . , hn
n
pravé strany ve vztazích (3.20) bez proměnné , tj. gn
k = hn
k, k = 1, . . . , n.
Vypočteme-li všechny parciální derivace vystupující v determinantu (3.21), vidíme,
že z druhého až (n − 1)-ního sloupce lze vytknout sin ϑn−2 a z n-tého
sloupce lze vytknout . Dále vynásobíme první sloupec determinantu Jn funkcí
sin ϑn−2 a přičteme k němu poslední sloupec vynásobený cos ϑn−2. Postupně
dostaneme
Jn =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
gn−1
1| sin ϑn−2 gn−1
1|ϕ sin ϑn−2 gn−1
1|ϑ1
sin ϑn−2 . . . gn−1
1|ϑn−3
sin ϑn−2 gn−1
1 cos ϑn−2
gn−1
2| sin ϑn−2 gn−1
2|ϕ sin ϑn−2 gn−1
2|ϑ1
sin ϑn−2 . . . gn−1
2|ϑn−3
sin ϑn−2 gn−1
2 cos ϑn−2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
gn−1
n−1| sin ϑn−2 gn−1
n−1|ϕ sin ϑn−2 gn−1
n−1|ϑ1
sin ϑn−2 . . . gn−1
n−1|ϑn−3
sin ϑn−2 gn−1
n−1 cos ϑn−2
cos ϑn−2 0 0 . . . 0 − sin ϑn−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 157
= sinn−2
ϑn−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
hn−1
1 sin ϑn−2 gn−1
1|ϕ gn−1
1|ϑ1
. . . gn−1
1|ϑn−3
hn−1
1 cos ϑn−2
hn−1
2 sin ϑn−2 gn−1
2|ϕ gn−1
2|ϑ1
. . . gn−1
2|ϑn−3
hn−1
2 cos ϑn−2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
hn−1
n−1 sin ϑn−2 gn−1
n−1|ϕ gn−1
n−1|ϑ1
. . . gn−1
n−1|ϑn−3
hn−1
n−1 cos ϑn−2
cos ϑn−2 0 0 . . . 0 − sin ϑn−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
= sinn−3
ϑn−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
hn−1
1 (sin2 ϑn−2 + cos2 ϑn−2) gn−1
1|ϕ gn−1
1|ϑ1
. . . gn−1
1|ϑn−3
hn−1
1 cos ϑn−2
hn−1
2 (sin2 ϑn−2 + cos2 ϑn−2) gn−1
2|ϕ gn−1
2|ϑ1
. . . gn−1
2|ϑn−3
hn−1
2 cos ϑn−2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
hn−1
n−1(sin2 ϑn−2 + cos2 ϑn−2) gn−1
n−1|ϕ gn−1
n−1|ϑ1
. . . gn−1
n−1|ϑn−3
hn−1
n−1 cos ϑn−2
0 0 0 . . . 0 − sin ϑn−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
= sinn−3
ϑn−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
gn−1
1| gn−1
1|ϕ gn−1
1|ϑ1
. . . gn−1
1|ϑn−3
hn−1
1 cos ϑn−2
gn−1
2| gn−1
2|ϕ gn−1
2|ϑ1
. . . gn−1
2|ϑn−3
gn−1
2 cos ϑn−2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
gn−1
n−1| gn−1
n−1|ϕ hn−1
n−1|ϑ1
. . . gn−1
n−1|ϑn−3
hn−1
n−1 cos ϑn−2
0 0 0 . . . 0 − sin ϑn−2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= − sinn−2
ϑn−2Jn−1.
Opakovaným užitím tohoto výsledku postupně plyne
Jn = − sinn−2
ϑn−2Jn−1 = 2
sinn−3
ϑn−3 sinn−2
ϑn−2Jn−2 = · · · =
= (−1)n−2 n−2
sin ϑ1 sin2
ϑ2 · · · sinn−2
ϑn−2J2.
Protože
J2 =
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
= ,
a (−1)n−2
= (−1)n
, dostáváme
Jn = (−1)n n−1
sin ϑ1 sin2
ϑ2 · · · sinn−2
ϑn−2. (3.22)
Snadno lze ověřit, že
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n = 2
.
Přitom souřadnice je nezáporná, úhel ϕ obvykle volíme z intervalu délky
2π a úhly ϑj (j = 1, 2, . . . , n − 2) jsou obvykle z intervalu 0, π . Zobrazení
dané vztahy (3.20) zobrazí takovou množinu na celý prostor Rn
a je prosté
a regulární na jejím vnitřku — viz cvičení 2 k této kapitole. Geometricky lze
vzorce (3.20) interpretovat následujícím způsobem: Hodnota je vzdálenost
bodu x = [x1, x2, . . . , xn] od počátku, tj. =
√
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n. Pro kolmý
průmět bodu x na souřadnicovou osu xn platí xn = cos ϑn−2, kde ϑn−2 je úhel,
158 Transformace integrálů
který svírá průvodič bodu x, tj. vektor určený počátkem a bodem x, s kladným
směrem osy xn. Označme x[1]
kolmý průmět bodu x do prostoru xn = 0, tj. do
podprostoru Rn
určeného souřadnicemi x1, x2, . . . , xn−1. Pro „délku“ 1 průvodiče
bodu x[1]
platí 1 = sin ϑn−2. Kolmý průmět bodu x[1]
do souřadnicové
osy xn−1 je tedy xn−1 = 1 cos ϑn−3 = cos ϑn−3 sin ϑn−2, kde ϑn−3 je úhel,
který svírá průvodič bodu x[1]
s kladným směrem souřadnicové osy xn−1. Nyní
bod x[1]
kolmo promítneme do podprostoru proměnných x1, x2, . . . , xn−2 a jeho
průmět označíme x[2]
. Tímto způsobem postupujeme dále, až po konečném počtu
kroků získáme všechny rovnosti v (3.20). Transformace do sférických souřadnic
se u n-rozměrného integrálu používá hlavně v případě, kdy integrační obor je
n-rozměrná koule nebo její vhodná část.
Příklad 3.32. Vypočtěte · · ·
V
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n
α
dx1 dx2 . . . dxn, kde
V = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n R2
, přičemž R > 0, α 0
jsou konstanty a n 2 je dané celé číslo.
Řešení. Předpokládejme, že n 3 a použijme transformaci do sférických souřadnic
(3.20). Množina V touto transformací přejde v množinu V ∗
, která je
vymezena následujícími nerovnostmi:
V ∗
:
0 R,
0 ϕ 2π,
0 ϑ1 π,
...
0 ϑn−2 π.
Pro absolutní hodnotu jakobiánu zvolené transformace platí
|J| = n−1
sin ϑ1 sin2
ϑ2 · · · sinn−2
ϑn−2.
Aplikací věty 3.31 a Fubiniovy věty dostáváme
· · ·
V
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n
α
dx1 dx2 . . . dxn =
= · · ·
V ∗
2α+n−1
sin ϑ1 sin2
ϑ2 · · · sinn−2
ϑn−2 d dϕ dϑ1 · · · dϑn−2 =
=
R
0
2π
0
π
0
· · ·
π
0
2α+n−1
sin ϑ1 sin2
ϑ2 · · · sinn−2
ϑn−2 ×
3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 159
× dϑ1 · · · dϑn−2 dϕ d =
=
R
0
2α+n−1
d ·
2π
0
dϕ ·
π
0
sin ϑ1 dϑ1 · · ·
π
0
sinn−2
dϑn−2. (3.23)
Užitím rekurentního vzorce
π
0
sink
ϑ dϑ =
k − 1
k
π
0
sink−2
ϑ dϑ,
který platí (viz pozn. 3.33) pro každé k ∈ N, k 2, snadno zjistíme, že
π
0
sink
ϑ dϑ =
k − 1
k
·
k − 3
k − 2
· · ·
2
3
·
π
0
sin ϑ dϑ =
=
(k − 1)!!
k!!
[− cos ϑ]π
0 = 2
(k − 1)!!
k!!
pro k liché
a
π
0
sink
ϑ dϑ =
k − 1
k
·
k − 3
k − 2
· · ·
1
2
·
π
0
dϑ = π
(k − 1)!!
k!!
pro k sudé.
Přitom k!! definujeme vztahem k!! = k · (k − 2) · (k − 4) · · · 3 · 1, je-li k 3
liché, a vztahem k!! = k ·(k −2)·(k −4) · · · 4·2, je-li k 2 sudé; dále klademe
0!! = 1, 1!! = 1. Položíme-li γn = π pro n sudé a γn = 2 pro n liché, dostáváme
dosazením do (3.23)
· · ·
V
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n
α
dx1 dx2 . . . dxn =
=
2α+n
2α + n
R
0
· [ϕ]2π
0 · 2 · π
1
2
· 2
2
3
· π
3 · 1
4 · 2
· 2
4 · 2
5 · 3
· · · γn
(n − 3)!!
(n − 2)!!
=
=
R2α+n
2α + n
· 2π · 2
¨ n−1
2
˝
· π
¨ n−2
2
˝
2 ·
1
2
·
2
3
·
3 · 1
4 · 2
·
4 · 2
5 · 3
· · ·
(n − 4)!!
(n − 3)!!
·
(n − 3)!!
(n − 2)!!
=
=
R2α+n
(2α + n)(n − 2)!!
· 2
¨ n+1
2
˝
· π
¨ n
2
˝
.
Přitom x značí celou část čísla x. Snadno se ověří, že výsledek platí i pro
n = 2. Podrobněji viz příklad 4.7 v kapitole 4.
160 Transformace integrálů
Poznámka 3.33. Při výpočtu integrálu v předcházejícím příkladu byl užit rekurentní
vzorec pro integrál z k-té mocniny funkce sinus. Tento vzorec se snadno
odvodí metodou per partes. Označme Ik =
π
0 sink
ϑ dϑ, kde k ∈ N, k 2. Pak
Ik =
π
0
sink
ϑ dϑ =
u = sink−1
ϑ u = (k − 1) sink−2
ϑ cos ϑ
v = sin ϑ v = − cos ϑ
=
= − sink−1
ϑ cos ϑ
π
0
+ (k − 1)
π
0
sink−2
ϑ cos2
ϑ dϑ =
= (k − 1)
π
0
sink−2
ϑ(1 − sin2
ϑ) dϑ =
= (k − 1)
π
0
sink−2
ϑ dϑ −
π
0
sink
ϑ dϑ = (k − 1)(Ik−2 − Ik).
Odtud dostáváme kIk = (k − 1)Ik−2, takže Ik = k−1
k
Ik−2, což je dokazovaný
rekurentní vzorec. Všimněte si, že stejný vzorec zůstává v platnosti, když funkci
sinus nahradíme funkcí kosinus, nebo když horní mez nahradíme libovolným
z čísel π/2, 3π/2, 2π.
Příklad 3.34. Vypočtěte integrál
V
dxdydzdu,
je-li V = [x, y, z, u] ∈ R4
: x2
+ y2
z2
+ u2
1 .
Řešení. S ohledem na oblast integrace použijeme transformace do nových proměnných
, ϕ, r, ϑ, které jsou s původními proměnnými vázány vztahy
x = cos ϕ, z = r cos ϑ,
y = sin ϕ, u = r sin ϑ.
Jde vlastně o pár polárních souřadnic v rovinách xy a zu. Jakobián této transformace
je
J =
cos ϕ − sin ϕ 0 0
sin ϕ cos ϕ 0 0
0 0 cos ϑ −r sin ϑ
0 0 sin ϑ r cos ϑ
= r.
Podmínky vymezující množinu V se v nových souřadnicích vyjádří nerovnostmi
2
r2
1. Napíšeme-li odpovídající množinu V ∗
ve tvaru elementární mno-
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 161
žiny, máme
V ∗
:
0 ϕ 2π,
0 ϑ 2π,
0 r 1,
0 r,
přičemž transformace je na vnitřku množiny V ∗
prostá a regulární. Označme
M = [ , r] ∈ R2
: 0 r 1, 0 r . Užitím věty 3.31 a Fubiniovy věty
dostáváme
V
dxdydzdu =
V ∗
r d dϕ dr dϑ =
=
2π
0
2π
0
M
r d dr dϑ dϕ =
2π
0
dϕ ·
2π
0
dϑ ·
M
r d dr =
= 2π · 2π ·
1
0
r
0
r d dr = 4π2
1
0
r
2
2
r
0
dr =
= 4π2
1
0
r3
2
dr = 2π2 r4
4
1
0
= 2π2
·
1
4
=
π2
2
.
3.4. Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu
Cílem tohoto oddílu je dokázat věty 3.30 a 3.31. Důkazy těchto tvrzení jsou technicky
poměrné náročné a rozsáhlé. Rozčleníme je proto do několika pomocných tvrzení. Hlavní
kroky důkazu budou tyto:
• Najdeme vzorec pro jakobián složeného zobrazení (lemma 3.35).
• Odvodíme některé vlastnosti prostých regulárních zobrazení. Zejména ukážeme, jak
zobrazují vnitřní a hraniční body (lemma 3.39), že obrazem množiny nulové míry je
opět množina nulové míry a že obrazem kompaktní měřitelné množiny je měřitelná
množina (lemma 3.43).
• Ukážeme, že regulární zobrazení je možné lokálně vyjádřit jako složení dvou regulárních
zobrazení s jistými speciálními vlastnostmi (lemma 3.44).
• Dokážeme, že jestliže vzorec (3.17) platí pro mnohorozměrné intervaly, platí pro
libovolné kompaktní měřitelné množiny v prostoru téže dimenze (lemma 3.46).
• Indukcí vzhledem k dimenzi dokážeme (s využitím předchozích dvou bodů a Fubiniovy
věty) platnost vzorce (3.17) pro intervaly libovolné dimenze (lemma 3.49).
• Z předchozích dvou bodů dostaneme důkaz věty 3.30.
162 Transformace integrálů
• Pomocí věty 3.30 dokážeme jistým aproximačním postupem větu 3.31.
Aby se princip důkazů neztratil v komplikovaném označení, provedeme většinu
z nich pro n = 2 nebo n = 3. Přenesení na případ obecné dimenze n je bez komplikací.
Lemma 3.35. Nechť Ω1, Ω2 ⊆ Rn jsou otevřené množiny a F : Ω1 → Ω2, G: Ω2 → Rn
jsou spojitě diferencovatelná zobrazení s jakobiány JF a JG. Pak pro jakobián složeného
zobrazení G ◦ F platí JG◦F (x) = JG(F(x))JF (x) pro každé x ∈ Ω1.
Důkaz. Dokážeme pro n = 2. Nechť F(x1, x2) = [f1(x1, x2), f2(x1, x2)], G(y1, y2) =
= [g1(y1, y2), g2(y1, y2)] a H(x1, x2) = [h1(x1, x2), h2(x1, x2)], kde H = G ◦ F. Pak
H(x1, x2) = g1 f1(x1, x2), f2(x1, x2) , g2 f1(x1, x2), f2(x1, x2) .
Označme po řadě
MF =
f1|x1 f1|x2
f2|x1 f2|x2
, MG =
g1|y1 g1|y2
g2|y1 g2|y2
, MH =
h1|x1 h1|x2
h2|x1 h2|x2
matice parciálních derivací zobrazení F, G a H. Nechť y = F(x). Podle vzorce pro derivaci
složené funkce dvou proměnných platí hi|xj (x) = gi|y1 (y)f1|xj (x)+gi|y2 (y)f2|xj (x),
i, j ∈ {1, 2}. Odtud plyne, že MH (x) = MG(y) · MF (x), kde · značí násobení matic.
Z definice jakobiánu zobrazení a Cauchyovy věty o determinantu součinu dvou matic
dostáváme tvrzení.
Lemma 3.36. Nechť Ω ⊆ Rn je otevřená množina a F : Ω → Rn je regulární zobrazení.
Pak k libovolnému bodu x ∈ Ω existuje otevřená množina U ⊂ Ω, x ∈ U, taková, že:
i) Zobrazení F je prosté na U.
ii) Množina F(U) je otevřená.
iii) Inverzní zobrazení k restrikci F|U , které je definované na množině F(U), je spojitě
diferencovatelné.
Důkaz. Dokážeme pro n = 2. Nechť F(x, y) = [f1(x, y), f2(x, y)] = [u, v]. Uvažujme
zobrazení G: Ω × R2 → R2 dané rovností
G(x, y, u, v) = [g1(x, y, u, v), g2(x, y, u, v)] = [f1(x, y) − u, f2(x, y) − v]
nebo stručněji G(z, w) = F(z) − w, položíme-li [x, y] = z a [u, v] = w. Označme JF
jakobián zobrazení F. Nechť z0 ∈ Ω a F(z0) = w0. Protože je zobrazení F regulární,
je JF (z0) = 0, tedy matice
Gz =
g1|x g1|y
g2|x g2|y
=
f1|x f1|y
f2|x f2|y
je regulární v bodě z0. Přitom G(z0, w0) = [0, 0]. Podle věty o implicitní funkci — viz
[5, str. 103] nebo [26, str. 211] — existují okolí O(z0), O(w0) a spojitě diferencovatelné
zobrazení H : O(w0) → O(z0), H = [h1, h2], takové, že O(z0) × O(w0) ⊂ Ω × R2,
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 163
G(H(w), w) = [0, 0] pro každé w ∈ O(w0) a přitom pro každé w ∈ O(w0) je H(w)
jediný bod z v O(z0), pro nějž platí G(z, w) = [0, 0], tj. F(z) = w.
Označme V = F−1(O(w0)) = {[x, y] ∈ Ω : F(x, y) ∈ O(w0)} úplný vzor okolí
O(w0) v zobrazení F a položme U = V ∩ O(z0). Protože zobrazení F je spojitě
diferencovatelné, a tudíž i spojité, je V otevřená množina obsahující vzhledem k rovnosti
F(z0) = w0 bod z0. Tedy množina U je rovněž otevřená a z0 ∈ U.
Z vlastností zobrazení H odvodíme, že F(U) = O(w0) a H(O(w0)) = U, že
restrikce F|U je prostá a že H = (F|U )−1. Protože U ⊆ V , je F(U) ⊆ O(w0). Buď
w ∈ O(w0) libovolný bod. Pak H(w) ∈ O(z0) a G(H(w), w) = [0, 0], tj. F(H(w)) =
= w. To znamená, že H(w) ∈ V , a tedy H(w) ∈ U, tj. H(O(w0)) ⊆ U. Tudíž F|U je
surjekce U na O(w0). Dále buď z1 ∈ U libovolný bod. Označme w1 = F(z1). Platí, že
z1 je řešením rovnice G(z, w1) = [0, 0], přičemž [z1, w1] ∈ O(z0) × O(w0). To však
znamená, že z1 = H(w1), tj. H(F(z1)) = z1, takže H je surjekce O(w0) na U. Protože
F|U ◦ H = id na O(w0) a H ◦ F|U = id na U, je F|U prosté zobrazení, tedy bijekce
U na O(w0) a H je zobrazení k němu inverzní.
Zejména je F(U) = O(w0), tj. množina F(U) je otevřená, a zobrazení (F|U )−1 =
= H je spojitě diferencovatelné na F(U) = O(w0).
Zobrazení, které je prosté a regulární na otevřené množině a takové, že inverzní zobrazení
F−1 je spojité, se nazývá difeomorfismus neboli difeomorfní zobrazení. Předchozí
lemma říká, že regulární zobrazení je tzv. lokálně difeomorfní. Je-li dokonce prosté, je
difeomorfní.
Důsledek 3.37. Je-li zobrazení F regulární na otevřené množině Ω, je množina F(Ω)
otevřená.
Důkaz. Z lemmatu 3.36, tvrzení ii) vyplývá, že každý bod množiny F(Ω) je vnitřní.
V případě prostého zobrazení tvrzení předchozího důsledku platí i za předpokladu
pouhé spojitosti (tzv. Brouwerova1 věta o invariantnosti oblasti). Důkaz je však daleko
obtížnější (přímý důkaz např. [12, str. 265]; obvykle se dokazuje prostředky algebraické
topologie, např. [4, str. 100]).
Důsledek 3.38. Je-li zobrazení F prosté a spojitě diferencovatelné na otevřené množině
B a inverzní zobrazení F−1 je rovněž spojitě diferencovatelné, jsou F i F−1 difeomorfní
zobrazení. Zejména, je-li F difeomorfismus, je F−1 také difeomorfismus.
Důkaz. Podle předpokladů existuje otevřená množina C ⊇ F(B) a zobrazení G, které je
spojitě diferencovatelné na C a takové, že G|F(B) = F−1. Platí G◦F = F−1◦F = idB,
kde idB je identické zobrazení na B, mající konstantní jakobián rovný jedné. Z lemmatu
3.35 vyplývá, že pro každé x ∈ B platí JF (x)JF−1 (F(x)) = 1, tedy jakobián JF
1Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881–1966) (čti brauer) — holandský matematik. Autor
významných výsledků z počátků vzniku topologie. Zakladatel matematického intuicionismu.
164 Transformace integrálů
je nenulový na B a jakobián JF−1 je nenulový na F(B). Podle důsledku 3.37 je množina
F(B) otevřená. Obě zobrazení F i F−1 jsou regulární na otevřených množinách,
tedy jsou to i difeomorfismy.
Je-li F difeomorfní zobrazení, plyne z lemmatu 3.36, že F−1 je spojitě diferencovatelné,
takže podle první části důkazu je rovněž difeomorfní.
Lemma 3.39. Nechť F : Ω → Rn je prosté a regulární zobrazení na otevřené množině
Ω ⊆ Rn. Nechť množina A je i se svým uzávěrem obsažena v Ω. Pak pro její hranici
platí F(h(A)) ⊆ h(F(A)). Je-li množina A omezená, je dokonce F(h(A)) = h(F(A)).
Důkaz. Nechť x0 ∈ h(A) a y0 = F(x0). Buď O(y0) libovolné okolí. Zobrazení F je
spojité, tedy existuje okolí O(x0) takové, že F(O(x0)) ⊆ O(y0). Jelikož x0 je hraniční
bod A, existují body x1, x2 ∈ O(x0) takové, že x1 ∈ A a x2 /∈ A. Pak F(x1) ∈ F(A)
a F(x2) /∈ F(A) (protože zobrazení F je prosté). Z F(x1), F(x2) ∈ O(y0) proto plyne
y0 ∈ h(F(A)), tj. F(h(A)) ⊆ h(F(A)).
Nechť je nyní množina A omezená. Potom je její uzávěr A ⊂ Ω kompaktní. Buď
y0 ∈ h(F(A)) libovolný bod. Pak existuje posloupnost {yn}∞
n=1 ⊂ F(A) taková, že
lim
n→∞
yn = y0. Nechť F(xn) = yn, kde xn ∈ A, n ∈ N. Protože je množina A kompaktní,
existuje vybraná posloupnost {xnk }∞
k=1 taková, že lim
k→∞
xnk = x0 ∈ A. Ze spojitosti F
vyplývá, že F(x0) = lim
k→∞
F(xnk ) = lim
k→∞
ynk , tedy F(x0) = y0. Připusťme, že x0 je
vnitřní bod A. Pak existuje okolí O(x0) takové, že O(x0) ⊂ A. Podle důsledku 3.37
je množina F(O(x0)) otevřená, obsahuje bod y0 a leží v F(A). Tudíž y0 je vnitřní
bod F(A), což je spor. Proto x0 ∈ h(A), takže h(F(A)) ⊆ F(h(A)). Odtud a z první
části důkazu již plyne dokazovaná rovnost.
Bez předpokladu omezenosti množiny A nemusí v předchozí větě nastat rovnost
F(h(A)) = h(F(A)). Zvolme např. n = 1, A = Ω = R a F = arctg. Pak h(A) = ∅ =
= F(h(A)), kdežto F(A) = (−π/2, π/2), tedy h(F(A)) = {±π/2}.
Řekneme, že zobrazení F : A → Rn, kde A ⊆ Rn, splňuje Lipschitzovu podmínku
neboli je lipschitzovské, jestliže existuje konstanta α > 0 taková, že pro každá x, y ∈ A
platí (F(x), F(y)) α (x, y); přitom značí eukleidovskou metriku v Rn. Každé
lipschitzovské zobrazení je zřejmě spojité.
Lemma 3.40. Nechť A ⊂ Rn je omezená množina a F : A → Rn je lipschitzovské
zobrazení s konstantou α. Buďte R1, R2 takové dva n-rozměrné uzavřené a ohraničené
intervaly, že A ⊆ R1 a F(A) ⊆ R2. Pak platí
···
R2
χF(A)(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn αn2nnn/2 ···
R1
χA(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn.
Důkaz. Poznamenejme nejprve, že z omezenosti množiny A a lipschitzovskosti zobrazení
F plyne omezenost F(A), takže interval obsahující tuto množinu skutečně existuje.
Dokážeme pro n = 2. Zvolme za R1 čtverec o straně délky a > 0. Označme Dm jeho
dělení na m2 stejných čtverců o délkách stran a/m, m ∈ N. Pak ν(Dm) = a
√
2 m. Nechť
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 165
M1, . . . , Mk, k m2, jsou dílky dělení Dm, které mají neprázdný průnik s A. Uvažujme
funkci χA na obdélníku R1. Platí S(Dm, χA) = m2(M1) + · · · + m2(Mk) = ka2/m2.
Nechť 1 j k je libovolné. Potom pro každou dvojici x, y ∈ Mj je (x, y)
ν(Dm), takže (F(x), F(y)) αν(Dm). Tedy obraz F(Mj ) je podmnožinou nějakého
kruhu Kj o poloměru αν(Dm) a ten je podmnožinou čtverce Cj o délce strany
2αν(Dm). Vyberme za R2 obdélník obsahující všechny čtverce Cj , j = 1, . . . , k. Platí
F(A) ⊆
k
j=1
F(Mj ) ⊆
k
j=1
Cj = C,
tudíž na R2 je
χF(A) χC = max χCj
: j = 1, . . . , k
k
j=1
χCj
.
Odtud podle cvičení 4 ke kapitole 1 dostaneme
R2
χF(A)(x, y) dxdy
k
j=1 R2
χCj
(x, y) dxdy =
k
j=1 R2
χCj
(x, y) dxdy =
=
k
j=1
m2(Cj ) = k · 4α2ν2(Dm) = k · 8α2a2/m2 =
= 8α2S(Dm, χA).
Limitním přechodem pro m → ∞ vyjde podle věty 1.10, že
R2
χF(A)(x, y) dxdy
8α2
R1
χA(x, y) dxdy. Podle cvičení 3 ke kapitole 1 dokázaný odhad nezáleží na
konkrétní volbě obdélníků R1 a R2.
Důsledek 3.41. Nechť A ⊂ Rn je měřitelná množina nulové míry a F : A → Rn je
lipschitzovské zobrazení. Pak množina F(A) je rovněž měřitelná a má míru nula.
Důkaz. Nechť kvádry R1, R2 mají stejný význam jako v lemmatu 3.40. Označme x =
= [x1, . . . , xn], dx = dx1 · · · dxn. Podle předpokladu je m(A) = ···
R1
χA(x) dx =
= ···
R1
χA(x) dx = 0. Protože funkce χF(A) je nezáporná, je
0 ···
R2
χF(A)(x) dx ···
R2
χF(A)(x) dx.
Z lemmatu 3.40 plyne, že
···
R2
χF(A)(x) dx = ···
R2
χF(A)(x) dx = 0.
Tudíž funkce χF(A) je integrovatelná na R2 a ···
R2
χF(A)(x) dx = 0 = m(F(A)).
Lemma 3.42. Nechť M je n-rozměrný interval a F : M → Rn je zobrazení, jehož složky
mají ohraničené parciální derivace na M. Pak je F lipschitzovské zobrazení.
166 Transformace integrálů
Důkaz. Dokážeme pro n = 2. Nechť F = [f1, f2]. Podle předpokladu existuje konstanta
K > 0 taková, že |fj|x(x, y)| K, |fj|y(x, y)| K, j = 1, 2, pro každé [x, y] ∈ M.
Nechť [xi, yi] ∈ M, i = 1, 2. Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě — viz [5,
str. 34] — existují čísla ξ ležící mezi x1, x2 a η ležící mezi y1, y2 taková, že platí
f1(x2, y2) − f1(x1, y1) = f1|x(ξ, y1)(x2 − x1) + f1|y(x2, η)(y2 − y1). Odtud dostaneme
|f1(x2, y2)−f1(x1, y1)| K(|x2 −x1|+|y2 −y1|) 2K ([x1, y1], [x2, y2]). Obdobná
nerovnost platí pro složku f2. Tudíž
2(F(x1, y1), F(x2, y2)) =
2
j=1
fj (x1, y1) − fj (x2, y2)
2
8K2 2([x1, y1], [x2, y2]).
Zobrazení F je tedy lipschitzovské s konstantou α = 2K
√
2.
Lemma 3.43. Nechť F : Ω → Rn, kde Ω ⊆ Rn je otevřená množina, je prosté regulární
zobrazení. Nechť M je omezená množina taková, že M ⊂ Ω. Pak množina M je měřitelná
právě tehdy, když je měřitelná množina F(M). Zejména, M má míru nula právě tehdy,
když F(M) má míru nula.
Důkaz. Podle lemmatu 3.39 pro hranici množiny M platí, že F(h(M)) = h(F(M)).
Předpokládejme nejprve, že M je měřitelná množina. Pak h(M) je kompaktní množina
a podle podle důsledku 1.41 je m(h(M)) = 0. Ke každému x ∈ h(M) najdeme
kvádr K(x) takový, že x ∈ int K(x) = L(x) ⊂ K(x) ⊂ Ω. Množiny L(x), x ∈ h(M),
tvoří otevřené pokrytí kompaktní množiny h(M), takže podle Heineho-Borelova lemmatu
— viz [6, str. 65] nebo [11, str. 50] — lze vybrat konečné podpokrytí L(x1) až
L(xk). Označme Mj = h(M) ∩ K(xj ), j = 1, . . . , k. Jelikož množina h(M) má míru
nula, platí podle věty 1.37, že m(Mj ) = 0, j = 1, . . . , k.
Protože zobrazení F je regulární, mají jeho složky spojité parciální derivace, které
jsou na kompaktních množinách K(xj ), j = 1, . . . , k, podle Weierstrassovy věty ohraničené.
Podle lemmatu 3.42 je zobrazení F na těchto obdélnících lipschitzovské, a tedy
podle důsledku 3.41 platí m(F(Mj )) = 0, j = 1, . . . , k. Jelikož F(h(M)) = F(M1 ∪
∪ · · · ∪ Mk) = F(M1) ∪ · · · ∪ F(Mk), platí podle věty 1.39, že m(F(h(M))) = 0. To
znamená, že rovněž m(h(F(M))) = 0, takže podle důsledku 1.41 je množina F(M)
měřitelná.
Má-li M míru nula, má nutně prázdný vnitřek, takže M ⊆ h(M). Tehdy F(M) ⊆
⊆ F(h(M)) = h(F(M)) a podle předchozí části má F(M) míru nula.
Podle lemmatu 3.36 a důsledků 3.37 a 3.38 je inverzní zobrazení F−1 prosté a regulární
na otevřené množině F(Ω). Protože F(M) = F(M) ∪ h(F(M)) = F(M) ∪
∪ F(h(M)) ⊂ F(Ω), vyplývá (záměnou F a F−1 a M a F(M)) z první části důkazu,
že měřitelnost F(M) implikuje měřitelnost M a nulová míra F(M) implikuje nulovost
míry M.
Lemma 3.44. Nechť Ω ⊆ Rn je otevřená množina a F : Ω → Rn je prosté a regulární
zobrazení. Buď x ∈ Ω libovolný bod. Pak existuje okolí U bodu x, zobrazení
Φ : U → Rn a Ψ : Φ(U) → Rn a přirozené číslo i, 1 i n, takové, že
platí:
i) Zobrazení Φ je prosté a regulární na U.
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 167
ii) Zobrazení Ψ je prosté a regulární na otevřené množině Φ(U).
iii) F = Ψ ◦ Φ na U.
iv) Zobrazení Φ : [x1, . . . , xn] → [y1, . . . , yn] má tvar
y1 = ϕ1(x1, . . . , xn),
y2 = x1, y3 = x2, . . . , yi = xi−1, yi+1 = xi+1, . . . , yn = xn,
kde ϕ = f1 (f1 je první složka zobrazení F).
v) Zobrazení Ψ : [y1, . . . , yn] → [z1, . . . , zn] má tvar
z1 = y1,
z2 = ψ2(y1, . . . , yn),
z3 = ψ3(y1, . . . , yn),
...
zn = ψn(y1, . . . , yn).
Důkaz. Dokážeme pro n = 3. Nechť F : [x1, x2, x3] → [z1, z2, z3] má složky
z1 = f1(x1, x2, x3),
z2 = f2(x1, x2, x3),
z3 = f3(x1, x2, x3).
Podle předpokladu má zobrazení F na Ω nenulový jakobián, takže JF (x) = 0. Tedy
alespoň jeden z prvků f1|x1 (x), f1|x2 (x), f1|x3 (x), které tvoří první řádek, je nenulový.
Nechť např. f1|x1 (x) = 0 a pro určitost nechť f1|x1 (x) > 0. Ze spojitosti derivace f1|x1
vyplývá existence kvádrového okolí U bodu x takového, že f1|x1 (x) > 0 pro každé
x ∈ U. Zobrazení Φ : [x1, x2, x3] → [y1, y2, y3] budeme definovat vztahy (viz tvrzení
iv) pro i = 1)
y1 = f1(x1, x2, x3), y2 = x2, y3 = x3, [x1, x2, x3] ∈ U.
Ukážeme, že Φ je prosté na U. Nechť [x1, x2, x3], [¯x1, ¯x2, ¯x3] ∈ U, [x1, x2, x3] =
= [¯x1, ¯x2, ¯x3]. Pak buď [x2, x3] = [¯x2, ¯x3], nebo [x2, x3] = [¯x2, ¯x3] a x1 = ¯x1. V prvním
případě je zřejmě Φ(x1, x2, x3) = Φ(¯x1, ¯x2, ¯x3). V druhém případě je f1(x1, x2, x3) =
= f1(¯x1, x2, x3), protože funkce f1 má při pevném druhém a třetím argumentu kladnou
derivaci f1|x1 na intervalu, který je průmětem U do osy x1 (U je kvádrové okolí), takže
je vzhledem k prvnímu argumentu rostoucí. Tedy opět Φ(x1, x2, x3) = Φ(¯x1, ¯x2, ¯x3).
Existuje tudíž inverzní zobrazení Φ−1 : [y1, y2, y3] → [x1, x2, x3], které má tvar
x1 = ω1(y1, y2, y3), x2 = y2, x3 = y3, [y1, y2, y3] ∈ Φ(U).
Přitom platí Φ ◦ Φ−1 = idΦ(U), zejména tedy
f1 ω1(y1, y2, y3), y2, y3 = y1, [y1, y2, y3] ∈ Φ(U). (3.24)
168 Transformace integrálů
Vypočteme jakobián JΦ zobrazení Φ:
JΦ =
f1|x1 f1|x2 f1|x3
0 1 0
0 0 1
= f1|x1 .
Jakobián je tedy na U nenulový (f1|x1 > 0 na U), takže Φ je regulární zobrazení. Podle
důsledku 3.37 je množina Φ(U) otevřená. Dále podle lemmatu 3.36 a důsledku 3.38 je
inverzní zobrazení Φ−1 regulární na množině Φ(U).
Položme nyní Ψ = F ◦ Φ−1 na množině Φ(U). Zobrazení Ψ je složením prostých
zobrazení, takže je rovněž prosté. Podle lemmatu 3.35 je regulární. Zřejmě platí F =
= Ψ ◦ Φ na U. Označme Ψ = [ψ1, ψ2, ψ3]. Vzhledem k rovnosti (3.24) platí
ψ1(y1, y2, y3) = f1 ω1(y1, y2, y3), y2, y3 = y1,
což je tvrzení v). Zobrazení Φ a Ψ mají všechny požadované vlastnosti.
Předchozí lemma říká, že prosté regulární zobrazení F lze lokálně vyjádřit jako
složení dvou zobrazení takových, že první z nich změní pouze jednu souřadnici a ostatní
souřadnice ponechá, zatímco druhé ponechá změněnou souřadnici a ostatní souřadnice
změní. Tento rozklad nám umožní udělat indukční krok v důkazu lemmatu 3.49.
Lemma 3.45. Nechť A, B jsou neprázdné disjunktní podmnožiny Rn, A je kompaktní
a B je uzavřená. Pak jejich vzdálenost d = inf{ (x, y) : x ∈ A, y ∈ B} je kladná
( značí eukleidovskou metriku na Rn).
Důkaz. Z definice infima plyne, že pro každé n ∈ N existují xn ∈ A a yn ∈ B tak, že d
(xn, yn) < d+1/n. Protože {xn} ⊆ A, je posloupnost {xn} ohraničená. Nechť L1 > 0
je taková konstanta, že (O, xn) L1 pro libovolné n ∈ N (O je počátek souřadnicové
soustavy). Z trojúhelníkové nerovnosti dostaneme pro každé n, že (O, yn) (O, xn)+
+ (xn, yn) L1 + d + 1 = L2. Označme K = {x ∈ Rn : (O, x) L2} kouli se
středem v počátku souřadnic O a poloměrem L2 a položme C = B ∩ K. Množina C je
omezená a uzavřená, což zaručuje v Rn její kompaktnost, a {yn} ⊆ C.
Podle definice kompaktní množiny (např. [6, str. 33]) lze z posloupnosti {xn} vybrat
konvergentní podposloupnost {xnk }. Podobně lze z posloupnosti {ynk } vybrat konvergentní
podposloupnost {ynkl
}. Nechť xnkl
→ x0, ynkl
→ y0 pro l → ∞. Protože
množiny A, C jsou uzavřené, platí x0 ∈ A, y0 ∈ C ⊆ B. Ze spojitosti metriky
vyplývá, že (xnkl
, ynkl
) → (x0, y0) pro l → ∞, a tedy vzhledem k tomu, že
(xn, yn) → d pro n → ∞, platí d = (x0, y0). Protože A ∩ B = ∅, je x0 = y0,
takže d = (x0, y0) > 0.
Připomeňme, že v oddílu 2.3 jsme pro x = [x1, . . . , xn] zavedli zkrácené označení
dx = dx1 · · · dxn.
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 169
Lemma 3.46. Nechť Ω ⊆ Rn je otevřená množina a F : Ω → Rn je prosté a regulární
zobrazení. Nechť pro každý uzavřený interval M ⊂ Ω a každou funkci f spojitou
na F(M) platí
···
F(M)
f (y) dy = ···
M
f [F(x)] · |JF (x)| dx, (3.25)
kde JF je jakobián zobrazení F.
Pak pro libovolnou uzavřenou měřitelnou množinu A ⊂ Ω a libovolnou funkci f
spojitou na F(A) platí
···
F(A)
f (y) dy = ···
A
f [F(x)] · |JF (x)| dx. (3.26)
Důkaz. Dokážeme pro n = 2.
1) Předpokládejme nejprve, že A = M1 ∪ · · · ∪ Mk, kde Mj , j = 1, . . . , k, jsou
obdélníky, přičemž žádné dva různé z nich nemají společné vnitřní body, tedy platí
m(Mi ∩ Mj ) = 0 pro i = j. Podle lemmatu 3.43 jsou množiny A, M1, . . . , Mk
měřitelné a m F(Mi) ∩ F(Mj ) = m F(Mi ∩ Mj ) = 0 pro i = j. Přitom F(A) =
= F(M1) ∪ · · · ∪ F(Mk). Je-li f funkce spojitá na F(A), podle předpokladu (3.25)
a věty 1.50, část c) platí
F(A)
f (y1, y2) dy1dy2 =
k
j=1F(Mj )
f (y1, y2) dy1dy2 =
=
k
j=1 Mj
f [F(x1, x2)] · |JF (x1, x2)| dx1dx2 =
=
A
f [F(x1, x2)] · |JF (x1, x2)| dx1dx2.
Tudíž rovnost (3.26) platí pro množiny, které jsou sjednocením konečně mnoha obdélníků
majících po dvou disjunktní vnitřky.
2) Nechť nyní A ⊂ Ω je libovolná neprázdná uzavřená měřitelná množina a R ⊇ A je
obdélník. Pak funkce χA je integrovatelná na R. Podle lemmatu 1.9 k libovolnému
ε > 0 existuje dělení D obdélníku R takové, že S(D, χA)−s(D, χA) < ε. Přitom lze
předpokládat, že norma ν(D) je libovolně malá, protože zjemněním dělení D se dolní
součty nezmenší a horní součty se nezvětší, takže uvedená nerovnost bude platit i pro
každé zjemnění dělení D. Označme M sjednocení všech dílků dělení D, které jsou
podmnožinami A, a N sjednocení všech dílků dělení D, které mají neprázdný průnik
s A. Platí M ⊆ A ⊆ N (srovnejte cvičení 15 ke kapitole 1). Protože A ⊂ Ω, je rovněž
M ⊆ Ω. Je-li Ω = R2, je i N ⊆ Ω. Pokud je Ω = R2, nemusí předchozí inkluze
platit. V tom případě je podle lemmatu 3.45 vzdálenost d kompaktní množiny A
a neprázdné uzavřené množiny R2 Ω kladná, protože tyto množiny jsou disjunktní.
Zvolme dělení D tak, aby ν(D) < d. Potom jeho dílky, které mají neprázdný průnik
s A, nemohou mít společné body s R2 Ω, takže jsou podmnožinami Ω. Bude
tedy platit M ⊆ A ⊆ N ⊂ Ω. Z definice dolního a horního součtu plyne, že
m(N) − m(M) = S(D, χA) − s(D, χA) < ε.
170 Transformace integrálů
3) Podle předchozí části k číslu ε = 1 existuje dělení D1 takové, že pro sestrojené
množiny M1, N1 platí M1 ⊆ A ⊆ N1 ⊂ Ω. Jakobián JF je spojitá funkce na
kompaktní množině N1, tedy podle Weierstrassovy věty existuje konstanta K > 0
taková, že |JF (x1, x2)| K pro každé [x1, x2] ∈ N1.
Buď ε > 0 libovolné číslo. K číslu ε/K > 0 existuje podle druhé části důkazu
dělení D a z něj sestrojené množiny M ⊆ A ⊆ N ⊂ Ω takové, že m(N) − m(M) <
< ε/K. Přitom lze předpokládat, že dělení D je zjemněním dělení D1, takže bude
platit M1 ⊆ M ⊆ A ⊆ N ⊆ N1 ⊂ Ω. Odtud máme F(M) ⊆ F(A) ⊆ F(N),
přičemž tyto množiny jsou podle lemmatu 3.43 měřitelné.
Množiny M a N jsou sjednocením konečně mnoha obdélníků, majících po dvou
disjunktní vnitřky. Tudíž podle první části důkazu a vztahu (3.26), v němž zvolíme
f (y1, y2) = 1 pro každé [y1, y2] ∈ N, dostaneme
m(F(N)) − m(F(M)) =
F(N)
dy1dy2 −
F(M)
dy1dy2 =
=
N
|JF (x1, x2)| dx1dx2 −
M
|JF (x1, x2)| dx1dx2 =
=
N M
|JF (x1, x2)| dx1dx2
K m(N M) = K[m(N) − m(M)] < ε.
Zejména tedy platí m(F(A)) − m(F(M)) m(F(N)) − m(F(M)) < ε.
4) Nechť f je funkce spojitá na F(A). Protože množina A je kompaktní, je rovněž množina
F(A) kompaktní a podle Weierstrassovy věty existuje konstanta L > 0 taková, že
|f (y1, y2)| L pro každé [y1, y2] ∈ F(A), a tedy f [F(x1, x2)]·JF (x1, x2) KL
pro každé [x1, x2] ∈ A. Nechť M je množina z třetí části důkazu. Podle první části
důkazu ze vztahu (3.26) obdržíme rovnost
F(M)
f (y1, y2) dy1dy2 =
M
f [F(x1, x2)] · |JF (x1, x2)| dx1dx2.
Jejím použitím dostaneme
F(A)
f (y1, y2) dy1dy2 −
A
f [F(x1, x2)] · |JF (x1, x2)| dx1dx2 =
=
F(A)
f (y1, y2) dy1dy2 −
F(M)
f (y1, y2) dy1dy2 +
+
M
f [F(x1, x2)] · |JF (x1, x2)| dx1dx2 −
−
A
f [F(x1, x2)] · |JF (x1, x2)| dx1dx2
F(A) F(M)
f (y1, y2) dy1dy2 +
A M
f [F(x1, x2)] · |JF (x1, x2)| dx1dx2
L[m(F(A)) − m(F(M))] + KL[m(A) − m(M)] < Lε + KL ε
K = 2Lε.
Protože číslo ε > 0 bylo libovolné, musí platit rovnost (3.26).
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 171
V důkazu lemmatu 3.49 budeme potřebovat jistou modifikaci Fubiniovy věty. Nechť
A ⊆ Rm+n je množina. Pro libovolné x ∈ Rm označme A(x,·) = {y ∈ Rn : [x, y] ∈ A}.
Analogicky zavedeme symbol A(·,y), kde y ∈ Rn. Množiny A(x,·) a A(·,y) jsou průměty
„řezů“ množiny A afinními podprostory prostoru Rm+n o rovnicích z1 = x1, . . . , zm =
= xm resp. zm+1 = y1, . . . , zm+n = yn — srovnejte též poznámku 1.13.
Lemma 3.47. Nechť A ⊂ Rm+n je měřitelná množina a f je funkce integrovatelná
na A. Buď R (m + n)-rozměrný kompaktní interval takový, že A ⊆ R = M × N, kde
M ⊂ Rm a N ⊂ Rn jsou kompaktní intervaly. Nechť pro každé x ∈ M existuje integrál
···
A(x,·)
f (x, y) dy. Pak platí, že ···
A
f (x, y) dxdy = ···
M
···
A(x,·)
f (x, y) dy dx.
Důkaz. Dokážeme pro m = n = 1. Podle předpokladu je funkce χAf integrovatelná
na R. S využitím Fubiniovy věty 1.14 dostaneme, že
A
f (x, y) dxdy =
R
(χAf )(x, y) dxdy =
M N
(χAf )(x, y) dy dx. (3.27)
Pro libovolné x ∈ M a y ∈ A(x,·) je (χAf )(x, y) = (χA(x.·)
f )(x, y), takže z existence
integrálu ···
A(x,·)
f (x, y) dy vyplývá, že
A(x,·)
f (x, y) dy =
N
(χA(x,·)
f )(x, y) dy =
N
(χAf )(x, y) dy =
N
(χAf )(x, y) dy.
Dosazením do (3.27) dostáváme tvrzení.
Lemma 3.48. Nechť množina A ⊂ Rn je sjednocením uzavřených nedegenerovaných
intervalů I1, . . . , Im. Pak existují uzavřené nedegenerované intervaly J1, . . . , Jk tak, že
i) A = J1 ∪ · · · ∪ Jk.
ii) Intervaly Ji, Jj , 1 i < j k, nemají společné vnitřní body.
iii) Každý interval Jj , j = 1, . . . , k, je podmnožinou některého intervalu Ii,
i = 1, . . . , m.
Důkaz. Dokážeme pro n = 2. Nechť Ii = ai, bi × ci, di , i = 1, . . . , m. Označme a =
= min{a1, . . . , am}, b = max{b1, . . . , bm}, c = min{c1, . . . , cm}, d = max{d1, . . . , dm}.
Položme M = a, b × c, d . Nechť D1 je dělení intervalu a, b , které obsahuje všechny
body ai, bi a D2 je dělení intervalu c, d , které obsahuje všechny body ci, di, i =
= 1, . . . , m. Buď D = D1×D2 dělení obdélníku M. Nechť J1, . . . , Jk jsou všechny dílky
dělení D, které jsou podmnožinami A. Snadno se ověří, že tyto uzavřené nedegenerované
intervaly mají požadované vlastnosti.
Lemma 3.49. Nechť Ω ⊆ Rn je otevřená množina a F : Ω → Rn je prosté a regulární
zobrazení. Potom pro libovolný uzavřený interval M ⊂ Ω a libovolnou funkci f spojitou
na F(M) platí rovnost (3.25).
172 Transformace integrálů
Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Přitom se stačí omezit na nedegenerované
intervaly. Pro degenerovaný interval M tvrzení totiž triviálně platí, protože pak
mn(M) = 0 a podle lemmatu 3.43 je také mn(F(M)) = 0, takže podle věty 1.50,
část b), resp. její analogie pro vícerozměrné integrály, jsou integrály na obou stranách
vztahu (3.25) rovny nule.
Pro jednorozměrné integrály, tj. n = 1, lemma platí — viz věta 3.1.
Předpokládejme nyní, že tvrzení lemmatu platí pro n-rozměrné integrály, kde n je
nějaké přirozené číslo. Dokážeme, že pak tvrzení platí i pro (n + 1)-rozměrné integrály.
Důkaz provedeme pro n = 2, tj. n + 1 = 3.
Nechť zobrazení F : [x1, x2, x3] → [z1, z2, z3] je dáno rovnicemi zi = fi(x1, x2, x3),
i = 1, 2, 3, kde [x1, x2, x3] ∈ Ω ⊆ R3 a Ω, F splňují předpoklady dokazovaného lem-
matu.
Ukážeme nejprve (v 8 krocích), že pro každý bod x ∈ Ω existuje okolí O(x) takové,
že pro každý kvádr I ⊂ O(x) a každou funkci f spojitou na F(I) platí
F(I)
f (z) dz =
I
f [F(x)] · |JF (x)| dx. (3.28)
1) Buď x ∈ Ω libovolný bod. Podle lemmatu 3.44 existuje okolí O(x) = U ⊆ Ω, na
němž má zobrazení F rozklad tvaru F = Ψ ◦Φ, kde Φ : U → R3 a Ψ : Φ(U) → R3
jsou prostá diferencovatelná zobrazení, přičemž Φ : [x1, x2, x3] → [y1, y2, y3] je
např. tvaru y1 = ϕ1(x1, x2, x3), y2 = x2, y3 = x3 a Ψ : [y1, y2, y3] → [z1, z2, z3]
je tvaru z1 = y1, z2 = ψ2(y1, y2, y3), z3 = ψ3(y1, y2, y3). Z rovnosti F = Ψ ◦ Φ
a tvaru zobrazení Φ a Ψ vyplývá, že ϕ1 = f1 na U. Pro jejich jakobiány podle
lemmatu 3.35 platí JF (x) = JΨ (Φ(x))JΦ(x) pro x ∈ U.
2) Množina Φ(U) je podle důsledku 3.37 otevřená (v R3), takže množina Φ(U)(y1,·,·)
je pro libovolné y1 rovněž otevřená (v R2). Pro každé y1, pro něž je Φ(U)(y1,·,·) = ∅,
definujme zobrazení Ψy1 : Φ(U)(y1,·,·) → R2 vztahy
z2 = ψ2(y1, y2, y3), z3 = ψ3(y1, y2, y3).
Ověříme, že zobrazení Ψy1 je regulární pro každé y1, pro něž je definované. Platí
JΨy1
=
ψ2|y2 ψ2|y3
ψ3|y2 ψ3|y3
=
1 0 0
ψ2|y1 ψ2|y2 ψ2|y3
ψ3|y1 ψ3|y2 ψ3|y3
= JΨ ,
tedy JΨy1
(y2, y3) = JΨ (y1, y2, y3) = 0 pro [y2, y3] ∈ Φ(U)(y1,·,·). Protože zobrazení
Ψ je prosté na Φ(U), je zobrazení Ψy1 prosté na Φ(U)(y1,·,·).
3) Buď I1 ⊂ Φ(U) libovolný kvádr. Nechť I1 = c1, d1 × c2, d2 × c3, d3 . Označme
I2 = c2, d2 × c3, d3 . Pak I1 = c1, d1 ×I2. Podle lemmatu 3.43 je množina Ψ (I1)
měřitelná (v R3). Přitom z vlastností zobrazení Ψ vyplývá, že tato množina je tvořena
právě body [z1, z2, z3], pro něž platí z1 ∈ c1, d1 a [z2, z3] ∈ Ψz1 (I2). Tudíž pro libovolné
z1 ∈ c1, d1 je Ψ (I1)(z1,·,·) = Ψz1 (I2). Protože podle části 2) je zobrazení Ψz1
prosté a regulární na otevřené množině Φ(U)(z1,·,·), která obsahuje obdélník I2, je
množina Ψz1 (I2) podle lemmatu 3.43 měřitelná (v R2) pro každé z1 ∈ c1, d1 .
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 173
4) Buď f libovolná funkce spojitá na Ψ (I1). Protože tato množina je kompaktní, existuje
podle důsledku 1.48 integrál
Ψ (I1)
f (z1, z2, z3) dz1dz2dz3. Ze stejných důvodů
bude pro každé z1 ∈ c1, d1 existovat integrál
Ψz1 (I2)
f (z1, z2, z3) dz2dz3. Podle lemmatu
3.47 (v němž zvolíme M = c1, d1 a za N vybereme libovolný dostatečně
velký obdélník) bude platit
Ψ (I1)
f (z1, z2, z3) dz1dz2dz3 =
d1
c1
Ψ (I1)(z1,·,·)
f (z1, z2, z3) dz2dz3 dz1 =
=
d1
c1
Ψz1 (I2)
f (z1, z2, z3) dz2dz3 dz1.
Podle indukčního předpokladu (rovnost (3.25) platí pro dvojné integrály) dostaneme
Ψz1 (I2)
f (z1,z2, z3) dz2dz3 =
=
I2
f [z1, ψ2(z1, y2, y3), ψ3(z1, y2, y3)] · JΨz1
(y2, y3) dy2dy3.
S využitím Fubiniovy věty pro trojný integrál přes kvádr (viz str. 86) a vztahu mezi
jakobiány odvozeného v části 2) celkem vyjde
Ψ (I1)
f (z1, z2, z3) dz1dz2dz3 =
=
d1
c1
I2
f [z1, ψ2(z1, y2, y3), ψ3(z1, y2, y3)] · JΨz1
(y2, y3) dy2dy3 dz1 =
=
I1
f [y1, ψ2(y1, y2, y3), ψ3(y1, y2, y3)] · JΨ (y1, y2, y3) dy1dy2dy3,
neboť integrand výsledného integrálu je funkce spojitá na kvádru I1 a označení integračních
proměnných není podstatné.
5) V bodu 4) jsme tedy dokázali, že pro libovolný kvádr I1 ⊂ Φ(U) a pro libovolnou
funkci f spojitou na Ψ (I1) ve stručnějším označení platí
Ψ (I1)
f (z) dz =
I1
f [Ψ (y)] · |JΨ (y)| dy.
Z lemmatu 3.46 plyne, že pro libovolnou kompaktní měřitelnou množinu A ⊂ Φ(U)
a libovolnou funkci f spojitou na F(A) platí
Ψ (A)
f (z) dz =
A
f [Ψ (y)] · |JΨ (y)| dy. (3.29)
6) Množina U je otevřená (v R3), proto je pro libovolné [x2, x3] otevřená i množina
U(·,x2,x3) (v R). Pro libovolné [x2, x3] takové, že U(·,x2,x3) = ∅, definujme zobrazení
174 Transformace integrálů
Φ(x2,x3) : U(·,x2,x3) → R vztahem Φ(x2,x3)(x1) = ϕ(x1, x2, x3). Protože Φ je prosté
na U, je Φ(x2,x3) prosté na U(·,x2,x3). Ukážeme, že je regulární. Platí
JΦ(x2,x3) = ϕ1|x1 =
ϕ1|x1 ϕ1|x2 ϕ1|x2
0 1 0
0 0 1
= JΦ,
tedy JΦ(x2,x3) (x1) = JΦ(x1, x2, x3) = 0 pro každé x1 ∈ U(·,x2,x3).
7) Buď nyní I ⊂ U libovolný kvádr. Nechť I = a1, b1 × a2, b2 × a3, b3 . Označme
I3 = a1, b1 a I4 = a2, b2 × a3, b3 . Pak I = I3 × I4. Množina Φ(I) je podle
lemmatu 3.43 měřitelná (v R3). Z vlastností zobrazení Φ vyplývá, že množina Φ(I)
je tvořena právě body [y1, y2, y3], pro něž platí [y2, y3] ∈ I4 a y1 ∈ Φ(y2,y3)(I3). Tudíž
pro libovolné [y2, y3] ∈ I4 je Φ(I)(·,y2,y3) = Φ(y2,y3)(I3). Protože podle části 6)
je zobrazení Φ(y2,y3) prosté a regulární na otevřené množině U(·,y2,y3), která obsahuje
interval I3, je množina Φ(y2,y3)(I3) podle lemmatu 3.43 měřitelná (v R) pro každé
[y2, y3] ∈ I4. (Vzhledem k tomu, že zobrazení Φ(y2,y3) je vlastně funkce jedné proměnné,
která je spojitá a prostá na kompaktním intervalu I3, musí být ve skutečnosti
ryze monotónní, takže Φ(y2,y3)(I3) je opět kompaktní interval.)
8) Protože množina Φ(I) ⊂ Φ(U) je kompaktní a měřitelná, pro libovolnou funkci f
spojitou na F(I) podle (3.29) platí
F(I)
f (z) dz =
Φ(I)
f [Ψ (y)] · |JΨ (y)| dy. (3.30)
Vypočteme integrál na pravé straně předchozí rovnosti. Pro každé [y2, y3] ∈ I4
existuje integrál
Φ(y2,y3)(I3)
f [y1, ψ2(y1, y2, y3), ψ3(y1, y2, y3)] · |JΨ (y1, y2, y3)| dy1.
Podle lemmatu 3.47 (v němž volíme M = I4 a za N vybereme libovolný dostatečně
veliký interval), bude platit
Φ(I)
f [y1, ψ2(y1, y2, y3), ψ3(y1, y2, y3)] · |JΨ (y1, y2, y3)| dy1dy2dy3 =
=
I4 Φ(I)(·,y2,y3)
f [y1, ψ2(y1, y2, y3), ψ3(y1, y2, y3)] · |JΨ (y1, y2, y3)| dy1 dy2dy3 =
=
I4 Φ(y2,y3)(I3)
f [y1, ψ2(y1, y2, y3), ψ3(y1, y2, y3)] · |JΨ (y1, y2, y3)| dy1 dy2dy3.
S využitím věty 3.1 (tj. vlastně podle vztahu (3.25) pro jednoduché integrály), vztahu
mezi jakobiány odvozeného v části 6) a vzorce pro jakobián JF z části 1) pro vnitřní
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 175
integrál dostaneme
Φ(y2,y3)(I3)
f [y1, ψ2(y1, y2, y3), ψ3(y1, y2, y3)] · |JΨ (y1, y2, y3)| dy1 =
=
I3
f {ϕ1(x1, y2, y3), ψ2[ϕ1(x1, y2, y3), y2, y3], ψ3[ϕ1(x1, y2, y3), y2, y3]} ×
× |JΨ (ϕ1(x1, y2, y3), y2, y3)| · |JJΦ(y2,y3)
(x1)| dx1 =
=
I3
f [f1(x1, y2, y3), f2(x1, y2, y3), f3(x1, y2, y3)] ×
× |JΨ (ϕ1(x1, y2, y3), y2, y3)| · |JΦ(x1, y2, y3)| dx1 =
=
I3
f [F(x1, y2, y3)] · |JΨ (Φ(x1, y2, y3)| · |JΦ(x1, y2, y3)| dx1 =
=
I3
f [F(x1, y2, y3)] · |JF ((x1, y2, y3)| dx1.
Z Fubiniovy věty pro trojný integrál přes kvádr (viz str. 86) tudíž pro integrál na
pravé straně vztahu (3.30) vyjde
Φ(I)
f [Ψ (y1, y2,y3)] · |JΨ (y1, y2, y3)| dy1dy2dy3 =
=
I4 I3
f [F(x1, y2, y3)] · |JF ((x1, y2, y3)| dx1 dy2dy3 =
=
I
f [F(x)] · |JF (x)| dx,
neboť integrand výsledného integrálu je funkce spojitá na kvádru I a označení integračních
proměnných není podstatné. Tím je vzhledem k rovnosti (3.30) vztah (3.28)
dokázán.
Nechť nyní M ⊂ Ω je libovolný kvádr a f libovolná funkce spojitá na F(M).
Podle dokázané lokální verze existuje ke každému bodu x ∈ M okolí O(x) takové, že
pro libovolný kvádr I ⊂ O(x) a libovolnou funkci g spojitou na F(I) platí
F(I)
g(z) dz =
I
g[F(x)] · |JF (x)| dx. (3.31)
Vyberme v každém okolí O(x) kvádr Ix tak, aby x byl jeho vnitřním bodem. Pak vnitřky
kvádrů Ix, x ∈ M, tvoří otevřené pokrytí kvádru M. Podle Heineho-Borelova lemmatu
lze z tohoto pokrytí vybrat konečné podpokrytí. Nechť je toto podpokrytí tvořeno vnitřky
kvádrů I1, . . . , Ip. Předpokládejme, že
◦
Ii ∩ M = ∅ („nepotřebné“ kvádry můžeme
vyřadit). Platí M ⊆ I1 ∪ · · · ∪ Ip. To znamená, že M = (M ∩ I1) ∪ · · · ∪ (M ∩ Ip).
Množiny M ∩ Ii, i = 1, . . . , p, jsou kvádry, nemohou to být degenerované intervaly,
neboť
◦
Ii ∩ M = ∅. Podle lemmatu 3.48 existují kvádry J1, . . . , Jq takové, že M = J1 ∪
∪ · · · ∪ Jq, žádné dva různé z nich nemají společné vnitřní body a každý z nich je
176 Transformace integrálů
podmnožinou některého kvádru M ∩ Ii. Z poslední vlastnosti vyplývá, že funkce f je
spojitá na každé množině F(Jj ), j = 1, . . . , q.
Ze vztahu (3.31) dostáváme, že
F(Jj )
f (z) dz =
Jj
f [F(x)] · |JF (x)| dx, j = 1, . . . , q.
Množiny Ji, Jj , 1 i < j q nemají společné vnitřní body, tedy m(Ji ∩ Jj ) = 0.
Platí tudíž m(F(Ji) ∩ F(Jj )) = 0 (viz část 1) důkazu lemmatu 3.46). Přitom F(M) =
= F(J1) ∪ · · · ∪ F(Jq) Podle analogie věty 1.50, část c) pro trojné integrály vyjde,
že
F(M)
f (z) dz =
q
j=1 F(Jj )
f (z) dz =
q
j=1 Jj
f [F(x)] · |JF (x)| dx =
=
M
f [F(x)] · |JF (x)| dx.
Tím je platnost vztahu (3.25) pro n + 1 = 3 dokázána. Zcela analogicky se postupuje
v obecném případě. Vzorec tedy platí pro libovolné n ∈ N.
Důkaz věty 3.30
Platnost tvrzení bezprostředně vyplývá z lemmat 3.49 a 3.46.
Důkaz věty 3.31
Dokážeme pro n = 2.
Protože m(B B1) = 0, je množina B B1 měřitelná. Tudíž i množina B1 =
= B (B B1) je měřitelná. Analogicky se zdůvodní, že i množina F(B1) je měřitelná.
Podle věty 1.50 platí
B
f [F(u)] · |JF (u)| du =
B1
f [F(u)] · |JF (u)| du +
B B1
f [F(u)] · |JF (u)| du =
=
B1
f [F(u)] · |JF (u)| du,
F(B)
f (x) dx =
F(B1)
f (x) dx +
F(B) F(B1)
f (x) dx =
F(B1)
f (x) dx.
Stačí tedy dokázat rovnost
F(B1)
f (x) dx =
B1
f [F(u)] · |JF (u)| du. (3.32)
Buď ε > 0 libovolné číslo. Protože je množina F(B1) měřitelná, existuje množina
M1 ⊂ F(B1) taková, že m(F(B1) M1) = m(F(B1)) − m(M1) < ε — viz část 2)
důkazu lemmatu 3.46 nebo cvičení 15 ke kapitole 1. Přitom M1 je sjednocením konečně
mnoha obdélníků, takže je kompaktní.
Cvičení 177
Protože množina B1 je otevřená, ke každému u ∈ B1 existuje kruhové okolí Oδ(u)
o poloměru δ > 0, které je podmnožinou B1 (δ závisí na u). Nechť Oδ/2(u) je uzavřený
kruh o poloměru δ/2 se středem v bodě u. Zřejmě Oδ/2(u) ⊂ Oδ(u). Protože
uzavřený kruh je měřitelná množina, jsou množiny Mu = F(Oδ/2(u)), u ∈ B1, podle
lemmatu 3.43 měřitelné. Dále podle lemmatu 3.39 je vnitřek množiny Mu okolím bodu
F(u). Tedy systém vnitřků
◦
MF−1(x), x ∈ M1, tvoří otevřené pokrytí množiny M1
(připomeňme, že F je prosté na B1). Podle Heineho-Borelova lemmatu lze z tohoto
pokrytí vybrat konečné podpokrytí. Nechť je toto podpokrytí tvořeno vnitřky množin
Mui = F(Oδi/2(u)), i = 1, . . . , p. Tedy M1 ⊆ Mu1 ∪ · · · ∪ Mup .
Rovněž množina B1 je měřitelná, takže existuje množina N1 ⊂ B1, tvořená sjednocením
konečně mnoha obdélníků, taková, že m(B1 N1) = m(B1)−m(N1) < ε. Položme
N = N1 ∪ Oδ1/2(u1) ∪ · · · ∪ Oδp/2(up). Množina N je kompaktní. Dále N1 ⊆ N ⊂ B1,
takže platí m(B1 N) = m(B1) − m(N) m(B1) − m(N1) < ε.
Nechť M = F(N). Potom M ⊇ F(Oδ1/2(u1)) ∪ · · · ∪ F(Oδp/2(up)) = Mu1 ∪ · · · ∪
∪ Mup ⊇ M1. Proto m(F(B1) M) = m(F(B1)) − m(M) m(F(B1)) − m(M1) < ε.
Vzhledem k předpokladům existují konstanty K, L takové, že |f (x)| < K na F(B)
a |f [F(u)] · JF (u)| < L na B. Podle věty 3.30 platí
M
f (x) dx =
N
f [F(u)] · |JF (u)| du.
Tudíž
F(B1)
f (x) dx −
B1
f [F(u)] · |JF (u)| du =
=
F(B1)
f (x) dx −
M
f (x) dx +
N
f [F(u)] · |JF (u)| du −
B1
f [F(u)] · |JF (u)| du
F(B1) M
f (x) dx +
B1 N
f [F(u)] · |JF (u)| du Kε + Lε = ε(K + L).
Protože ε > 0 bylo libovolné, musí platit (3.32).
Poznámka 3.50. Z důkazu věty 3.31 je zřejmé, že předpoklad spojité diferencovatelnosti
zobrazení F na B není nutný, stačí regularita F na B1. Pak ovšem nemá smysl jakobián
JF na B B1. Tato množina však má míru nula, takže hodnoty JF na ní můžeme
definovat libovolně tak, abychom dostali ohraničenou funkci.
Cvičení
1. Sférické souřadnice v R3
se někdy zavádějí odlišně. Význam souřadnic a ϕ
je stejný jako u transformace s rovnicemi (3.14), ale souřadnice ϑ udává orientovaný
úhel mezi průvodičem bodu s kartézskými souřadnicemi [x, y, z]
a průvodičem jeho průmětu do roviny xy. Najděte vztahy mezi souřadnicemi
x, y, z a , ϕ, ϑ a vypočtěte jakobián této transformace.
178 Transformace integrálů
2. Ukažte, že transformace do sférických souřadnic daná vztahy (3.20) zobrazuje
n-rozměrný kvádr A = 0, +∞)× 0, 2π × 0, π n−2
na Rn
a je prostá
a regulární na jeho vnitřku.
3. Sférické souřadnice v Rn
, kde n ∈ N, n 3, se rovněž zadávají vztahy
x1 = cos ϕ cos ϑ1 cos ϑ2 · · · cos ϑn−4 cos ϑn−3 cos ϑn−2,
x2 = sin ϕ cos ϑ1 cos ϑ2 · · · cos ϑn−4 cos ϑn−3 cos ϑn−2,
x3 = sin ϑ1 cos ϑ2 · · · cos ϑn−4 cos ϑn−3 cos ϑn−2,
x4 = sin ϑ2 · · · cos ϑn−4 cos ϑn−3 cos ϑn−2,
...
xn−2 = sin ϑn−4 cos ϑn−3 cos ϑn−2,
xn−1 = sin ϑn−3 cos ϑn−2,
xn = sin ϑn−2.
kde [ , ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2] ∈ B = 0, +∞) × 0, 2π × −π/2, π/2 n−2
. Vypočtěte
jakobián této transformace a ukažte, že tato transformace zobrazuje
n-rozměrný kvádr B na Rn
a je prostá a regulární na jeho vnitřku. Vysvětlete
geometrický význam úhlů ϕ, ϑ1, ϑ2, . . . , ϑn−2.
4. Nechť zobrazení F : Ω → Rn
je prosté a regulární na otevřené množině Ω.
Nechť x ∈ Ω je pevně zvolený bod. Buď {Mk}, k ∈ N, posloupnost uzavřených
měřitelných množin v Rn
majících následující vlastnosti:
1) mn(Mk) > 0 pro každé k ∈ N,
2) lim
k→+∞
d(Mk) = 0 (d(M) = sup{ (x, y) : x, y ∈ M} je průměr množiny
M ⊆ Rn
; je eukleidovská metrika v Rn
),
3) x ∈ Mk ⊂ Ω pro každé k ∈ N.
Pak lim
k→+∞
mn(F(Mk))/ mn(Mk) = |JF |(x), kde JF je jakobián zobrazení F.
(Tedy pro množinu M kladné míry, která obsahuje bod x a má velmi malý
průměr, platí mn(F(M))
.
= |JF |(x) mn(M), tj. absolutní hodnota jakobiánu
v bodě x přibližně udává, kolikrát se při zobrazení F zmenší resp. zvětší
míra „malé“ množiny M obsahující tento bod.)
5. Nechť F je prosté afinní zobrazení prostoru Rn
do sebe dané vztahy yT
=
= AxT
+ b, kde x = [x1, . . . , xn], y = [y1, . . . , yn], A je čtvercová matice
rozměrů n × n a b je n-rozměrný sloupec. Ukažte, že množina M ⊂ Rn
je
Cvičení 179
měřitelná právě tehdy, když je měřitelná množina F(M). Nastane-li tento
případ, platí mn(F(M)) = | det A| · mn(M); dokažte.
6. Nechť F je izometrické zobrazení prostoru Rn
do sebe. Ukažte, že množina
M ⊂ Rn
je měřitelná právě tehdy, když je měřitelná množina F(M).
V případě měřitelnosti M platí mn(F(M)) = mn(M).
(Množiny A, B ⊆ Rn
se nazývají kongruentní, jestliže existuje izometrické
zobrazení F na Rn
takové, že F(A) = B. Kongruentní množiny jsou buď
současně měřitelné a mají tutéž míru, nebo jsou současně neměřitelné.)
7. Nechť F : A → Rn
, kde A = (0, +∞)n
, je transformace daná vztahy x1 =
= u1, x2 = (u1 + u2)/u1, x3 = (u1 + u2 + u3)/(u1 + u2) až xn = (u1 +
+· · ·+un)/(u1 +· · ·+un−1). Vypočtěte její jakobián a dokažte, že je prostá
a regulární.
8. Nechť F : Rn
→ Rn
je transformace daná vztahy x1 = u1 + · · · + un,
x2 = u1u2 + u1u3 + · · · + un−1un, . . . , xn = u1 · · · un, ve kterých na pravých
stranách vystupují tzv. elementární symetrické mnohočleny proměnných
u1, u2, . . . , un. Vypočtěte její jakobián a dokažte, že je na množině
A = [u1, . . . , un] ∈ Rn
: u1 < u2 < · · · < un prostá a regulární.
9. Dané integrály transformujte do polárních souřadnic:
a)
Ω
f (x, y) dxdy, Ω : x2
+ y2
2, y x,
b)
Ω
f (x, y) dxdy, Ω : x2
+ y2
1, x + y 1,
c)
Ω
f (x, y) dxdy, Ω : x2
+ y2
y, y x, x 0
d)
Ω
f (x, y) dxdy, Ω je množina omezená křivkami y = x,
y = 2x, x2
+ y2
= 4x, x2
+ y2
= 8x,
e)
Ω
f (x, y) dxdy, Ω : x2
+ y2
ax, a > 0,
f)
Ω
f (x, y) dxdy, Ω : x2
+ y2
a2
, x2
+ y2
b2
, y 0, y x,
a > 0, b > 0, a < b,
180 Transformace integrálů
g)
Ω
f (x, y) dxdy, Ω : x2
+ y2
ax, x2
+ y2
by, a > 0, b > 0.
10. Vypočtěte dané integrály:
a)
Ω
1 − x2 − y2 dxdy, Ω : x2
+ y2
1, x 0, y 0,
b)
Ω
(x + y) dxdy, Ω : x2
+ y2
1, x 0, y 0,
c)
Ω
e−x2−y2
dxdy, Ω : x2
+ y2
1, x 0,
d)
Ω
y dxdy, Ω : x2
+ y2
ax, y 0, a > 0,
e)
Ω
x x2 + y2 dxdy, Ω : x2
+ y2
4, y 0,
f)
Ω
dxdy, Ω je množina omezená křivkami y = x,
y = 0, x2
+ y2
= 2x, x2
+ y2
= 4x.
g)
Ω
(x2
+ y2
) dxdy, Ω : (x − a)2
+ y2
a2
, a > 0,
h)
Ω
arctg
y
x
dxdy, Ω : x2
+ y2
1, x2
+ y2
3,
x
√
3 y
√
3x.
11. Vypočtěte dané integrály:
a)
Ω
arctg
y
x
dxdy, Ω : x2
+ y2
a2
, y 0, x > 0,
a > 0,
b)
Ω
1 − x2 − y2
1 + x2 + y2
dxdy, Ω : x2
+ y2
1, x 0, y 0,
c)
Ω
(x2
+ y2
) dxdy, Ω : x2
+ y2
a2
, x 0, y 0,
a > 0,
Cvičení 181
d)
Ω
dxdy, Ω : (x2
+ y2
)2
= 2a2
(x2
− y2
),
a > 0,
e)
Ω
x2 + y2 dxdy, Ω : x2
+ y2
a2
, a > 0,
f)
Ω
dxdy, Ω je množina omezená křivkami
x2
+ y2
= y, y = x, y = −x,
g)
Ω
cos x2 + y2
x2 + y2
dxdy, Ω : π2
/36 x2
+ y2
π2
/4,
y 0,
h)
Ω
(x2
+ y2
) ln(x2
+ y2
) dxdy, Ω : x2
+ y2
a2
, a > 0,
i)
Ω
(h − 2x − 3y) dxdy, Ω : x2
+ y2
a2
, a > 0, h ∈ R,
j)
Ω
ln(1 + x2
+ y2
) dxdy, Ω : x2
+ y2
a2
, x 0, y 0,
a > 0.
12. Vypočtěte dané integrály:
a)
Ω
2xy dxdy, Ω : 0 y x, x2
+ y2
9,
b)
Ω
15x2
y dxdy, Ω : x2
+ y2
4, y x
√
3, x 0,
c)
Ω
ex2+y2
dxdy, Ω : x2
+ y2
2,
d)
Ω
x
y3
dxdy, Ω : x2
+ y2
4, x2
+ y2
1,
x
√
3 y x
√
3,
e)
Ω
(x2
− y2
) dxdy, Ω : 0 y x, x2
+ y2
3, x2
+ y2
5,
f)
Ω
dxdy
1 + x2 + y2
, Ω : x2
+ y2
9, x2
+ y2
9/4,
y x
√
3, y −x
√
3,
182 Transformace integrálů
g)
Ω
dxdy
2 − x2 − y2
, Ω : x2
+ y2
1, 0 y x
√
3,
h)
Ω
xy dxdy, Ω : x2
+ y2
4, x2
+ y2
16, x 0,
y 0,
i)
Ω
(x2
+ y2
) dxdy, Ω : x4
+ y4
1,
j)
Ω
sin x2 + y2 dxdy, Ω : π2
x2
+ y2
4π2
.
13. Vypočtěte dané integrály:
a)
Ω
xy dxdy, Ω :
x2
a2
+
y2
b2
1, x 0, y 0,
a, b > 0,
b)
Ω
1 −
x2
a2
−
y2
b2
dxdy, Ω :
x2
a2
+
y2
b2
1, a, b > 0,
c)
Ω
xy dxdy, Ω :
x2
a2
+
y2
b2
1,
x2
4a2
+
y2
4b2
1
x 0, y 0, a, b > 0,
d)
Ω
(2x + y) dxdy, Ω : x2
+ 4y2
4,
e)
Ω
dxdy, Ω :
x2
9
+
y2
25
1, y
5
3
√
3x, y
5
3
x.
14. Vypočtěte dané integrály přes integrační obor Ω omezený uvedenými křivkami.
Použijte vhodnou transformaci:
a)
Ω
√
xy dxdy, Ω : y2
= x, y2
= 2x, xy = 1, xy = 2, volte transformaci
xy = u,
y2
x
= v,
b)
Ω
xy dxdy, Ω : xy = 1, x + y =
5
2
, volte transformaci xy = u,
x = v,
Cvičení 183
c)
Ω
(x2
− y + 2) dxdy, Ω : xy = 1, xy = 4, y = 4x, y =
x
4
, volte
transformaci xy = u,
y
x
= v,
d)
Ω
e− x−y
x+y dxdy, Ω : x = 0, y = 0, x + y = 1, volte transformaci
u = x + y, v = x − y.
e) Pomocí transformace u = x + y, v =
y
x
vyřešte úlohy 30 a) a 41 c) ze
cvičení ke kapitole 1.
f) Pomocí transformace u =
x2
y
, v =
y2
x
vyřešte úlohu 41 d) ze cvičení
ke kapitole 1.
15. Určete jakobiány zobrazení:
a) x = uv, y = u + v, b) x = uv, y = u/v,
c) x = uv, y = v2
/u, d) x = u + v, y = v/(u + v),
e) x = u (u2
+ v2
), y = v (u2
+ v2
), f) x = u/v, y = v/u,
g) x = u cos α − v sin α,
y = u sin α + v cos α,
α ∈ R (otočení o úhel α),
h) x = αu + βv,
y = γ u + δv,
αδ − βγ = 0, α, β, γ, δ ∈ R.
16. Dokažte, že pro každé a > 0 platí
1
2
π(1 − e−a2
) <
a
0 e−x2
dx < 1
2
π(1 − e−2a2
).
Pomocí těchto nerovností vypočtěte
∞
0 e−x2
dx.
17. Převeďte trojný integrál
Ω
f (x, y, z) dxdydz přes oblast Ω, která je omezena
danými plochami, resp. jejíž body vyhovují uvedeným nerovnostem, na
trojnásobný integrál v cylindrických souřadnicích:
a) Ω : x = 0, y = 1, z = 0, z = a, x = y2
, a > 0,
b) Ω : x =
√
y, y = 0, z = 0, z = 2, x2
+ y2
= 2,
c) Ω : x2
+ y2
a2
, y a − x, z = 0, z = a, a > 0,
d) Ω : x = 0, y = a, z = 0, z = 2a, (x − a)2
+ y2
= a2
, a > 0.
184 Transformace integrálů
18. Vypočtěte dané integrály:
a)
Ω
z x2 + y2 dxdydz, Ω : x2
+ y2
9, y 0, 0 z 2,
b)
Ω
z(x2
+ y2
) dxdydz, Ω : 0 x 1, 0 y 1 − x2,
0 z 1 − x2 − y2,
c)
Ω
xy
(4 + z)2
dxdydz, Ω : x2
+ y2
4z 16,
d)
Ω
xyz dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
1, x 0, y 0,
z 0,
e)
Ω
(x2
+ y2
) dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
a2
, z 0, a > 0,
f)
Ω
3z2
dxdydz, Ω : x2
+ y2
z 2 − (x2
+ y2
),
g)
Ω
2z dxdydz, Ω : 0 z y, x2
+ y2
1, x 0,
h)
Ω
(1 + 2x − y) dxdydz, Ω : (x2
+ y2
)/2 z 2,
i)
Ω
z x2 + y2 dxdydz, Ω : 0 x 2, 0 y 2x − x2,
0 z a, a > 0,
j)
Ω
(x2
+ y2
) dxdydz, Ω : x2
+ y2
2z, z 2.
19. Vypočtěte dané integrály:
a)
Ω
z x2 + y2 dxdydz, Ω : x2
+ y2
2y, z 0, z 1/2,
b)
Ω
x + y
x2 + y2
dxdydz, Ω : (x − 1)2
+ y2
1, y 3 − x,
x > 0, y x, y 0, 0 z 2,
c)
Ω
8y dxdydz, Ω : − 1 + 2 x2 + z2 y x2 + z2,
y 0,
Cvičení 185
d)
Ω
24x dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
2x, x y2
+ z2
,
e)
Ω
60xz dxdydz, Ω :
x2
+ z2
a
y x2 + z2, x 0,
z 0, a > 0,
f)
Ω
x2
y dxdydz, Ω : 1 x2
+ y2
4, 0 z 3 − y,
g)
Ω
1
x2 + y2
dxdydz, Ω :
b2
a2
x2
+ y2
a2
z 1, a > b > 0,
h)
Ω
(x2
+ y2
+ z2
) dxdydz, Ω : x2
+ y2
a2
, z 0, z b,
a, b > 0,
i)
Ω
(x2
+ y2
) dxdydz Ω : x2
+ y2
+ z2
1,
x2
+ y2
+ (z − 1)2
1.
20. Převeďte trojný integrál
Ω
f (x, y, z) dxdydz přes danou oblast Ω na trojnásobný
integrál ve sférických souřadnicích:
a) Ω je část koule x2
+ y2
+ z2
R2
ležící v prvním oktantu, R > 0,
b) Ω : z x2 + y2, x2
+ y2
+ z2
1,
c) Ω : (x2
+ y2
+ z2
)3
a2
z4
, a > 0,
d) Ω je průnik dvou koulí x2
+ y2
+ z2
R2
, x2
+ y2
+ (z − R)2
R2
,
R > 0.
21. Vypočtěte dané integrály:
a)
Ω
x2 + y2 + z2 dxdydz, Ω : 0 x a, 0 y a2 − x2,
0 z a2 − x2 − y2, a > 0,
b)
Ω
z dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
a2
, Ω leží v prvním
oktantu, a > 0,
c)
Ω
(x2
+ y2
) dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
a2
, z 0,
x2
+ y2
+ z2
b2
, 0 < a < b,
186 Transformace integrálů
d)
Ω
xy dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
r2
, x 0,
y 0, z 0, r > 0,
e)
Ω
15
√
2yz dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
a2
, a > 0,
z − x2 + y2,
f)
Ω
x2 + y2 + z2 dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
z,
g)
Ω
x2 + y2 + z2 dxdydz, Ω : 0 x, 0 z 4 − x2 + y2,
h)
Ω
4 x2 + y2 + z2 dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
a2
, y 0,
a > 0,
i)
Ω
dxdydz
16 − x2 − y2 − z2
, Ω je těleso omezené horní polovinou
kulové plochy x2
+ y2
+ z2
= 4
a kuželovou plochou z =
x2 + y2
3
,
j)
Ω
dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
2z,
z2
x2
+ y2
,
k)
Ω
z2
dxdydz, Ω : 0 x 1, 0 y 1 − x2,
x2 + y2 z 2 − x2 − y2.
22. Vypočtěte dané integrály:
a)
Ω
1
z
dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
a2
, z a/2,
z x2 + y2, a > 0,
b)
Ω
xydxdydz, Ω : x2
+ y2
+ (z − 2)2
4, z x2 + y2,
c)
Ω
dxdydz, Ω : (x2
+ y2
+ z2
)2
3z,
d)
Ω
xyz
x2 + y2
dxdydz, Ω : (x2
+ y2
+ z2
)2
< a2
xy, x > 0,
y > 0, z > 0, a > 0,
Cvičení 187
e)
Ω
√
z dxdydz, Ω : − R x R,
− R2 − x2 y R2 − x2,
0 z R2 − x2 − y2, R > 0,
f)
Ω
z2
, dxdydz, Ω : z x2
/4 + y2
, x2
/4 + y2
+ z2
6,
g)
Ω
z dxdydz, Ω je oblast omezená x2
+ y2
= 2ay,
x2
+ y2
+ z2
= 4a2
, z 0, a > 0,
h)
Ω
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
dxdydz, Ω :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
1,
a, b, c > 0,
i)
Ω
1 −
x2
a2
−
y2
b2
−
z2
c2
dxdydz, Ω :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
1,
a, b, c > 0.
23. Vypočtěte dané integrály pomocí transformace do sférických nebo cylindrických
souřadnic:
a)
Ω
x2 + y2 + z2 dxdydz, Ω : 0 x y, z 0,
x2
+ y2
+ z2
1,
b)
Ω
z2
13
dxdydz, Ω : x2
+ y2
+ z2
a2
,
z
x2
a
+
y2
a
− a, a > 0,
c)
Ω
dxdydz
(x2 + y2)2
, Ω : x2
+ y2
1/4,
x2
+ y2
− 1 z 1 − x2
− y2
,
d)
Ω
2z dxdydz, Ω : x 0,
x2 + y2 − 1 z 1 − x2 + y2.
24. Užitím transformace x = u, y = (u+v)/u, z = (u+v+w)/(u+v) vypočtěte
integrál
V
exyz
x2
y dxdydz, kde V = [x, y, z] ∈ R3
: x 1, y 1,
z 1, xyz 2 .
188 Transformace integrálů
25. Vypočtěte dané integrály:
a)
A
e−x2
1 −x2
2 −x3
3 −x2
4 dx1dx2dx3dx4,
kde A = [x1, x2, x3, x4] ∈ R4
: x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 a2
, a > 0,
b)
V
dx1dx2dx3dx4dx5,
kde V = [x1, x2, x3, x4, x5] ∈ R5
: x2
1 + x2
2 + x2
3 x2
4 + x2
5 1 .
26. Pro spojitou funkci f : 0, R → R, kde R > 0 je konstanta, vypočtěte
· · ·
V
f x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n dx1dx2 · · · dxn,
kde V = [x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
: x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n R2
a n 2.
27. Nechť K = [x1, . . . , xn] ∈ Rn
: x1 + · · · + xn 1, x1 0, . . . , xn 0 .
Vypočtěte následující integrály:
a) · · ·
K
(x1 + · · · + xn)α
dx1 · · · dxn, α 0,
b) · · ·
K
dx1 · · · dxn
(1 + x1 + · · · + xn)n
,
c) · · ·
K
f (x1 + · · · + xn) dx1 · · · dxn,
kde f je funkce spojitá na intervalu 0, 1 .
28. Najděte příklad spojité ohraničené funkce definované na omezeném intervalu
(a, b), která zobrazí nějakou množinu M ⊂ (a, b) jednorozměrné míry nula
na neměřitelnou množinu. V důsledku 3.41 tedy nestačí předpokládat pouhou
spojitost.
Cvičení 189
Výsledky
1. x = cos ϕ cos ϑ, y = sin ϕ cos ϑ, z = sin ϑ, J( , ϕ, ϑ) = 2
cos ϑ.
2. Nejprve ukážeme indukcí, že pro libovolný bod [t1, . . . , tn] ∈ Rn, t2
1 +· · ·+t2
n = 1,
existuje bod [ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2] ∈ B = 0, 2π × 0, π n−2 ⊂ Rn−1 takový, že
t1 = cos ϕ sin ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−4 sin ϑn−3 sin ϑn−2,
t2 = sin ϕ sin ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−4 sin ϑn−3 sin ϑn−2,
t3 = cos ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−4 sin ϑn−3 sin ϑn−2,
...
tn−1 = cos ϑn−3 sin ϑn−2,
tn = cos ϑn−2.
Pro n = 2 (odpovídá polárním souřadnicím) je t2
1 + t2
2 = 1, takže existuje úhel ϕ
z intervalu 0, 2π takový, že t1 = cos ϕ a t2 = sin ϕ.
Nechť tvrzení platí pro nějaké n − 1, kde n 2.
Je-li tn = 1 resp. tn = −1, je t1 = · · · = tn−1 = 0. Položme ϑn−2 = 0 resp. ϑn−2 =
= π. Pak sin ϑn−2 = 0, takže hodnoty ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−3 můžeme zvolit libovolně.
Je-li |tn| < 1, existuje úhel ϑn−2 ∈ (0, π) tak, že tn = cos ϑn−2; přitom sin ϑn−2 =
= 0. Položme uj = tj / sin ϑn−2 (j = 1, . . . , n − 1). Je u2
1 + · · · + u2
n−1 = (1 −
− t2
n)/ sin2 ϑn−2 = (1 − cos2 ϑn−2)/ sin2 ϑn−2 = 1. Podle indukčního předpokladu
tudíž existuje [ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−3] tak, že platí u1 = cos ϕ sin ϑ1 · · · sin ϑn−3 až
un−1 = cos ϑn−3. Odtud již plyne platnost tvrzení pro číslo n.
Označme F transformaci do sférických souřadnic danou vztahy (3.20). Ukážeme,
že F(A) = Rn:
Je-li x = [x1, . . . , xn] = [0, . . . , 0], zvolíme = 0 a hodnoty ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2
vybereme libovolně.
Je-li x = [x1, . . . , xn] = [0, . . . , 0], zvolíme =
√
x2
1 + · · · + x2
n > 0. Označíme-li
tj = xj / , platí t2
1 + · · · + t2
n = 1, takže podle první části důkazu existuje takový
bod [ϕ, ϑ1, . . . , ϑn] ∈ B, že F( , ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2) = x.
Ukážeme, že F je prostá na vnitřku kvádru
◦
A = (0, +∞) × (0, 2π) × (0, π)n−2:
Nechť [ , ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2] ∈
◦
A a F( , ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2) = [x1, . . . , xn] = x. Ze
vztahů (3.20) plyne, že =
√
x2
1 + · · · + x2
n, tedy hodnota je obrazem x jednoznačně
určena. Na intervalu (0, π) je funkce kosinus prostá a funkce sinus nenulová.
Protože xn = cos ϑn−2 a > 0 pro body v
◦
A, určuje rovnost xn/ = cos ϑn−2
jednoznačně úhel ϑn−2 ∈ (0, π). Dále platí xn−1 = cos ϑn−3 sin ϑn−2, takže ze
vztahu xn−1/( sin ϑn−2) = cos ϑn−3 je jednoznačně určen úhel ϑn−3 ∈ (0, π)
atd. Nakonec vztahy x1/( sin ϑ1 · · · sin ϑn−2) = cos ϕ, x2/( sin ϑ1 · · · sin ϑn−2) =
= sin ϕ jednoznačně určují úhel ϕ ∈ (0, 2π).
Regularita F na vnitřku A plyne ze vzorce pro jakobián.
190 Transformace integrálů
3. Jn = n−1
cos ϑ1 cos2
ϑ2 · · · cosn−2
ϑn−2 — postupujte obdobně jako při důkazu
vzorce (3.22). Vlastnosti transformace dokažte jako ve cvičení 2 k této
kapitole. Úhly mají podobný význam jako v (3.20) (viz označení z popisu za
vztahem (3.22)) — ϑn−2 je úhel, který svírá průvodič bodu x s průvodičem
bodu x[1]
, tj. s podprostorem o rovnici xn = 0, ϑn−3 je úhel, který svírá
průvodič bodu x[1]
s průvodičem bodu x[2]
, tj. s podprostorem o rovnicích
xn−1 = 0, xn = 0, atd.
4. Označme JF = JF (u1, . . . , un) jakobián transformace F. Pro každé k ∈ N je podle
věty 3.30 množina F(Mk) měřitelná a platí
mn(F(Mk)) = ···
F(Mk)
dx1 · · · dxn = ···
Mk
|JF | du1 · · · dun.
Označme ak = inf{|JF (u)| : u ∈ Mk} a bk = sup{|JF (u)| : u ∈ Mk}. Podle
vět 1.49 a 1.50 je ak mn(Mk) ···
Mk
|JF | du1 · · · dun bk mn(Mk). Položme
ck = ···
Mk
|JF | du1 · · · dun mn(Mk). Pak ak ck bk pro každé k ∈ N. Protože
funkce |JF | je spojitá na Mk, existují podle Weierstrassovy věty body Ak, Bk ∈ Mk
takové, že ak = |JF |(Ak) a bk = |JF |(Bk). Jelikož (Ak, x) d(Mk) a (Bk, x)
d(Mk), platí Ak → x a Bk → x pro k → +∞. Ze spojitosti |JF | vyplývá,
že ak = |JF |(Ak) → |JF |(x) a bk = |JF |(Bk) → |JF |(x) pro k → +∞. Z věty
o třech posloupnostech dostáváme, že rovněž ck → |JF |(x) pro k → +∞.
5. Afinní zobrazení F je prosté (a surjektivní) právě tehdy, když matice A je regulární.
Pro jeho jakobián JF zřejmě platí JF = det A = 0, takže transformace F je
regulární. Zbytek tvrzení plyne z lemmatu 3.43 a ze vztahu (3.17).
6. Ukážeme, že zobrazení F je izometrické, tj. pro libovolná x, y ∈ Rn platí (x, y) =
= (F(x), F(y)), kde značí eukleidovskou metriku, právě tehdy, když má tvar
zT = QxT + b, kde x = [x1, . . . , xn], z = [z1, . . . , zn], Q je čtvercová ortogonální
matice rozměrů n×n, tj. QT Q = E, kde E je jednotková matice, a b je n-rozměrný
sloupec.
Nechť F je izometrické zobrazení takové, že F(O) = O, kde O počátek souřadnicového
systému. Označme (x, y) = x1y1 +· · ·+xnyn skalární součin na Rn. Pro vzdálenost
bodů x, y platí 2(x, y) = (x−y, x−y), speciálně 2(x, O) = (x, x). Protože
F zachovává vzdálenosti, je 2(x, O) = 2(F(x), F(O)), tj. (x, x) = (F(x), F(x))
pro libovolné x ∈ Rn. Z rovnosti 2(x, y) = (x, x) − 2(x, y) + (y, y) dostaneme,
že 2(F(x), F(y)) = (F(x), F(x)) − 2(x, y) + (F(y), F(y)), a odtud vyjde, že
(F(x), F(y)) = (x, y). Tedy zobrazení F zachovává rovněž skalární součin.
Nechť e1, . . . , en je standardní ortonormální báze v Rn (j-tá složka ej je rovna
jedné, ostatní jsou nulové). Označme fj = F(ej ), j = 1, . . . , n. Protože F zachovává
skalární součin, tvoří f1, . . . , fn rovněž ortonormální bázi.
Cvičení 191
Ukážeme, že zobrazení F je lineární. Pro libovolné x, y ∈ Rn a α, β ∈ R platí
(F(x), fj ) = (F(x), F(ej )) = (x, ej ) = xj , a tedy (F(αx + βy), fj ) = (αx +
+ βy, ej ) = αxj + βyj . Odtud plyne, že (F(αx + βy) − αF(x) − βF(y), fj ) = 0,
j = 1, . . . , n. Protože f1, . . . , fn je ortonormální báze, musí platit F(αx + βy) −
− αF(x) − βF(y) = O, tj. F(αx + βy) = αF(x) + βF(y).
Z lineární algebry je známo, že zobrazení F má tvar F(x) = z, kde zT = QxT a Q
je čtvercová matice. Protože (x, y) = xyT , musí platit (F(x), F(y)) = xQT QyT =
= (x, y). Volbami x = ei, y = ej , i, j = 1, . . . , n, dostaneme, že QT Q = E, takže
matice Q je ortogonální.
Nechť nyní neplatí F(O) = O. Označme F(O) = b a položme G(x) = F(x) − b
pro x ∈ Rn. Pak G je izometrické zobrazení a G(O) = O, takže podle předchozí
části má tvar zT = QxT s ortogonální maticí Q, tedy F má tvar zT = QxT + b.
Naopak každé zobrazení tohoto tvaru je izometrické, protože platí:
2(F(x), F(y)) = (F(x)−F(y), F(x)−F(y)) = (xQT +bT −yQT −bT , xQT +
+ bT − yQT − bT ) = ((x − y)QT , (x − y)QT ) = (x − y)QT Q(x − y)T =
= (x − y)(x − y)T = (x − y, x − y) = 2(x, y).
Z rovnosti E = QT Q plyne 1 = det E = det QT · det Q = (det Q)2, tedy det Q =
= ±1. Zbytek tvrzení tudíž plyne ze cvičení 5 k této kapitole.
7. JF = 1
n−1
k=1
k
i=1
ui (prvky jakobiánu nad hlavní diagonálou jsou nulové).
Platí: u1 = x1, u2 = (x2 − 1)u1, . . . , un = (xn − 1)(u1 + · · · + un−1). Tedy
transformace je na A regulární a prostá.
8. Dokážeme indukcí, že Jn(u1, . . . , un) =
1 i<j n
(ui − uj ).
Pro n = 2 tvrzení zřejmě platí.
Nechť tvrzení platí pro nějaké n − 1, kde n 3. Označme gn
k , k = 1, . . . , n, pravé
strany vztahů, kterými je transformace definovaná (horní index n značí, že jede
o transformaci v Rn). Pak gn
1 = gn−1
1 +un, gn
k = gn−1
k +un gn−1
k−1 , k = 2, . . . , n − 1,
a gn
n = un gn−1
n−1. Po výpočtu derivací odečteme v determinantu od druhého řádku
un-násobek prvního řádku, pak od třetího řádku un-násobek druhého řádku atd. až
od posledního řádku odečteme un-násobek předposledního řádku. Postupně dosta-
neme
Jn =
gn
1|u1
. . . gn
1|un−1
gn
1|un
gn
2|u1
. . . gn
2|un−1
gn
2|un
gn
3|u1
. . . gn
3|un−1
gn
3|un
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gn
n−1|u1
. . . gn
n−1|un−1
gn
n−1|un
gn
n|u1
. . . gn
n|un−1
gn
n|un
=
192 Transformace integrálů
=
gn−1
1|u1
. . . gn−1
1|un−1
1
gn−1
2|u1
+ un gn−1
1|u1
. . . gn−1
2|un−1
+ un gn−1
1|un−1
gn−1
1
gn−1
3|u1
+ un gn−1
2|u1
. . . gn−1
3|un−1
+ un gn−1
2|un−1
gn−1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gn−1
n−1|u1
+ un gn−1
n−2|u1
. . . gn−1
n−1|un−1
+ un gn−1
n−2|un−1
gn−1
n−2
un gn−1
n−1|u1
. . . un gn−1
n−1|un−1
gn−1
n−1
=
=
gn−1
1|u1
. . . gn−1
1|un−1
1
gn−1
2|u1
. . . gn−1
2|un−1
gn−1
1 − un
gn−1
3|u1
. . . gn−1
3|un−1
gn−1
2 − un gn−1
1 + u2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gn−1
n−1|u1
. . . gn−1
n−1|un−1
gn−1
n−2 − un gn−1
n−3 + · · · + (−1)n−2un−2
n
0 . . . 0 gn−1
n−1 − un gn−1
n−2 + · · · + (−1)n−1un−1
n
=
= Jn−1 gn−1
n−1 − un gn−1
n−2 + · · · + (−1)n−1
un−1
n .
Zvolme pevně vzájemně různé hodnoty u1, . . . , un−1. Podle indukčního předpokladu
je Jn−1(u1, . . . , un−1) = 0, takže Jn je polynom stupně n−1 v proměnné un.
Položme un = uj pro některé j ∈ {1, . . . , n − 1}. Pak Jn = 0, protože determinant
má dva stejné sloupce. To znamená, že polynom Jn má n − 1 různých kořenů, tedy
Jn = (−1)n−1Jn−1(un − u1) · · · (un − un−1) = Jn−1(u1 − un) · · · (un−1 − un) pro
vzájemně různé hodnoty u1, . . . , un. Je-li ui = uj pro některou dvojici i = j,
rovnost rovněž platí, protože na obou stranách dostáváme nulu. Vzorec tudíž platí
i pro číslo n.
Z předchozího výsledku plyne, že transformace F je na množině A regulární. Ukážeme,
že je zde i prostá. Nechť u = [u1, . . . , un] ∈ A a F(u) = x = [x1, . . . , xn].
Označme Px(y) = yn − x1yn−1 + x2yn−2 + · · · + (−1)nxn. Tedy Px je mnohočlen
stupně n. Ze vztahů mezi kořeny a koeficienty algebraických rovnic plyne, že
u1, . . . , un jsou kořeny polynomu Px. Nechť také v = [v1, . . . , vn] ∈ A a F(u) =
= F(v) = x. Potom jsou v1, . . . , vn rovněž kořeny polynomu Px Avšak stupeň Px
je n a čísla uj jsou vzájemně různá, tedy Px nemůže mít další kořeny. To znamená,
že posloupnost (v1, . . . , vn) je permutací posloupnosti (u1, . . . , un). Protože souřadnice
prvků množiny A jsou uspořádané vzestupně podle velikosti, je uj = vj ,
j = 1, . . . , n.
9. a)
5π
4
π
4
√
2
0
f ( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ,
b)
π
2
0
1
1
cos ϕ+sin ϕ
f ( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ,
Cvičení 193
c)
π
2
π
4
sin ϕ
0
f ( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ,
d)
arctg 2
π
4
8 cos ϕ
4 cos ϕ
f ( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ,
e)
π
2
− π
2
a cos ϕ
0
f ( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ,
f)
π
4
0
b
a
f ( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ,
g)
arctg a
b
0
b sin ϕ
0
f ( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ +
+
π
2
arctg a
b
a cos ϕ
0
f ( cos ϕ, sin ϕ) d dϕ.
10. a) π
6
, b) 2
3
, c) π(e−1)
2e
, d) a3
12
,
e) 0, f) 3
4
(π + 2), g) 3
2
πa4
, h) π2
24
.
11. a) a2π2
16
, b) π
8
(π − 2), c) πa4
8
, d) 2a2
, e) 2
3
πa3
, f) π+2
8
,
g) π
2
, h) πa4
4
ln a4
e
, i) πha2
, j) π
4
(1 + a2
) ln(1 + a2
) − a2
.
V úloze a) je integrand ohraničený, protože arkuskotangens je ohraničená funkce.
V úloze h) je třeba ověřit ohraničenost integrandu v okolí počátku. V polárních
souřadnicích je: (x2 + y2) ln(x2 + y2) = 2 ln 2 → 0 pro → 0.
12. a) 81/8, b) 12
√
3, c) π(e2
− 1), d) ln 3
√
16, e) 2,
f) π
3
ln 40
13
, g) π
6
√
2 − 1 , h) −30, i) π√
2
, j) −6π2
.
13. a) a2b2
8
, b) 2
3
abπ, c) 15
8
a2
b2
, d) 0, e) 5
8
π.
14. a) 2
9
(2
√
2 − 1) ln 2, b) 165
128
− ln 2, c) 113
16
+ 12 ln 2, d) e−e−1
4
.
V úloze d) je třeba ověřit ohraničenost integrandu v okolí počátku. Pro [x, y] =
= [0, 0] je v prvním kvadrantu −x−y
x+y
x+y
x+y = 1.
15. a) v − u, b) −2u/v, c) 3v2
/u, d) 1/(u + v),
e) −1/(u2
+ v2
)2
, f) 0, g) 1, h) αδ − βγ.
194 Transformace integrálů
16. Porovnejte velikost integrálů
Mj
e−x2−y2
dxdy (j = 1, 2, 3) pro
M1 = [x, y] ∈ R2
: x2
+ y2
a2
x 0, y 0 ,
M2 = 0, a × 0, a ,
M3 = [x, y] ∈ R2
: x2
+ y2
2a2
x 0, y 0
a vypočtěte je. Limitním přechodem a → ∞ vyjde
∞
0 e−x2
dx =
√
π/2.
17. a)
a
0
π
2
π
4
1
sin ϕ
cos ϕ
sin2 ϕ
f ( cos ϕ, sin ϕ, z) d dϕ dz,
b)
2
0
π
4
0
√
2
sin ϕ
cos2 ϕ
f ( cos ϕ, sin ϕ, z) d dϕ dz,
c)
a
0
π
2
0
a
a
sin ϕ+cos ϕ
f ( cos ϕ, sin ϕ, z) d dϕ dz,
d)
2a
0
π
2
π
4
a
sin ϕ
2a cos ϕ
f ( cos ϕ, sin ϕ, z) d dϕ dz.
18. a) 18π, b) π
48
, c) 0, d) 1
48
, e) 4πa5
15
,
f) 7π
2
, g) π
8
, h) 4π, i) 8a2
9
j) 16π
3
.
19. a) 4
9
, b) π − 2, c) 5π
6
, d) 2π, e) −a5
,
f) −21π
8
, g) 2π 2
3
a + b3
3a2 − b , h) πa2
b a2
2
+ b2
3
, i) 53π
480
.
20. a)
π
2
0
π
2
0
R
0
2
sin ϑ f ( cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) d dϕ dϑ,
b)
π
4
0
2π
0
1
0
2
sin ϑ f ( cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) d dϕ dϑ,
c)
π
0
2π
0
a cos2 ϑ
0
2
sin ϑ f ( cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) d dϕ dϑ,
Cvičení 195
d)
π
3
0
2π
0
R
0
2
sin ϑ f ( cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) d dϕ dϑ +
π
2
π
3
2π
0
2R cos ϑ
0
2
sin ϑ f ( cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) d dϕ dϑ.
21. a) a4π
8
, b) a4π
16
, c) 4π
15
(b5
− a5
), d) r5
15
, e) 0, f) π
10
,
g) 4π, h) 2πa4
, i) 4
3
π2
− 2π
√
3, j) π, k) π
15
2
√
2 − 1 .
22. a) a2
π ln
√
2 − 1
8
, b) 0, c) π, d) 1
288
a4
, e) 8
21
πR7/2
,
f) 8π
5
6
√
6 − 7 , g) 5
4
πa4
, h) 4πabc
5
, i) π2abc
4
.
V úloze d) je třeba ověřit ohraničenost integrandu. Z nerovnosti (x −y)2 0 plyne
pro [x, y] = [0, 0], že |xy|
x2+y2
1
2 . Z první nerovnosti popisu Ω se odvodí, že ve
sférických souřadnicích je a, a tedy i z a.
23. a) π
16
, b) πa5
60
, c) 2π(3 − 2 ln 2), d) 0.
24. e
2
(e − 2).
25. a) π2
1 − (a2
+ 1)e−a2
, b) 8π2
15
.
V zadání b) použijte transformaci x1 = cos ϕ sin ϑ, x2 = sin ϕ sin ϑ, x3 =
= cos ϑ, x4 = r cos ψ, x5 = r sin ψ — srovnejte příklad 3.34.
26. π
¨ n
2
˝
2
¨ n+1
2
˝
(n−2)!!
R
0 un−1
f (u) du (srovnejte příklad 3.32).
27. a) 1
(n+α)(n−1)!
, b) 1
(n−1)!
ln 2 +
n−1
k=1
n−1
k
(−1)k 2k−1
k·2k ,
c) 1
(n−1)!
1
0 un−1
f (u) du.
1. řešení:
Použijte transformaci ui =
i
j=1
xj (i = 1, . . . , n). Platí x1 = u1 a xi = ui − ui−1,
i = 1, . . . , n, tedy J = 1. Množina K přejde v množinu L = [u1, . . . , un] ∈ Rn :
0 un 1, 0 ui−1 ui (i = 2, . . . , n) .
2. řešení:
Použijte transformaci xi = t2
i (i = 1, . . . , n) mající jakobián J = 2nt1 · · · tn. Množina
K přejde v množinu M = t1, . . . , tn] ∈ Rn : t2
1 + · · · + t2
n 1, ti 0 (i =
= 1, . . . , n)}. Pak použijte sférické souřadnice (3.20).
196 Transformace integrálů
28. Položme (a, b) = (0, 2), M = {1/n : n ∈ N}. Pak m1(M) = 0 (srovnejte cvičení 25
ke kapitole 1). Každé přirozené číslo n lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru n = 2k+m,
kde k, m ∈ N0 a 0 m < 2k. Funkci f : (0, 2) → (0, 1) definujme takto:
f (x) =



2m+1
2k+1 pro x = 1
n , n ∈ N,
1
2 na intervalu (1, 2),
lineární na každém intervalu 1
n+1 , 1
n , n ∈ N.
Funkce f je spojitá. Množina
f (M) =
∞
k=0
f (1/2k), f (1/(2k + 1)), . . . , f (1/(2k + 2k − 1)) =
=
∞
k=0
1/2k+1, 3/2k+1, . . . , (2k+1 − 1)/2k+1
je hustá v intervalu (0, 1) a její hranice je h(f (M)) = 0, 1 , takže má kladnou
míru. Tedy množina f (M) není měřitelná.
x
y
211
2
1
3
1
4
1
5
1
O
y = f (x)
197
Kapitola 4
Aplikace vícerozměrných
integrálů
Integrální počet funkcí více proměnných má rozsáhlé použití jak v matematice
a fyzice, tak i v oborech, které na nich staví. V této kapitole uvedeme některé
geometrické a fyzikální aplikace, přičemž se omezíme jen na základní z nich.
Vesměs se jedná o výpočet podobných veličin, které se vyskytují u aplikací
jednoduchého určitého integrálu, nyní je však budeme umět určit v podstatně
obecnější situaci (objem a hmotnost nepravidelných nehomogenních těles apod.).
4.1. Geometrické aplikace
Z geometrických aplikací se zaměříme na výpočet obsahů rovinných množin,
obsahů ploch v prostoru a objemů prostorových množin.
4.1.1. Míra (obsah) rovinné množiny
Nechť M je rovinná měřitelná množina. Z definic 1.31 a 1.45, popřípadě z tvrzení
a) věty 1.50 vyplývá, že pro míru (obsah) m2(M) této množiny platí
m2(M) =
M
dxdy. (4.1)
Podle důsledku 1.41 víme, že omezená množina je měřitelná právě tehdy, když
její hranice má míru nula. Tuto vlastnost mají všechny „rovinné obrazce“, se
kterými se setkáváme v geometrii a v dalších běžných aplikacích.
198 Aplikace vícerozměrných integrálů
Příklad 4.1. Vypočtěte obsah rovinné množiny M omezené křivkami xy = a2
,
x2
= ay, y = 2a, x = 0, kde a > 0 je konstanta.
x
y
a
a
2a
O
x2 = ay
xy = a2
M1
M2
Obr. 4.1
Řešení. Zjistíme nejprve průsečík křivek xy =
= a2
, x2
= ay. Z první z těchto rovnic vidíme,
že obě souřadnice průsečíku musí být různé
od nuly. Vypočítáme-li z první rovnice neznámou
y a dosadíme do druhé rovnice, obdržíme
x2
= a3
/x, takže x3
= a3
. Odtud plyne, že
x = a, a z rovnic křivek snadno určíme y = a.
Jediným průsečíkem uvažovaných dvou křivek
je tedy bod [a, a]. Množina M je znázorněna
na obr. 4.1.
Označíme-li
M1 :
0 y a,
0 x
√
ay,
M2 :
a y 2a,
0 x a2
/y,
máme M = M1 ∪M2, m2(M1 ∩M2) = 0. Užitím tvrzení c) věty 1.50 dostáváme
m2(M) =
M
dxdy =
M1
dxdy +
M2
dxdy =
=
a
0
√
ay
0
dx dy +
2a
a
a2/y
0
dx dy =
=
√
a
2
3
y3/2
a
0
+ a2
ln y|
2a
a
=
2
3
a2
+ a2
ln 2 = a2 2
3
+ ln 2 .
Příklad 4.2. Vypočtěte obsah množiny A omezené kardioidou, mající v polárních
souřadnicích rovnici = a(1 + cos ϕ), −π ϕ π, a > 0 je konstanta.
Řešení. Množina je znázorněna na obr. 4.2 a). Vzhledem ke způsobu zadání
kardioidy je vhodné použít transformaci do polárních souřadnic. Množina A se
transformuje na množinu
B :
−π ϕ π,
0 a(1 + cos ϕ),
4.1 Geometrické aplikace 199
x
y
2aO
a)
ϕ
π−π πO
2a
b)
Obr. 4.2
což je elementární množina vzhledem k ose ϕ (obr. 4.2 b)). Na integrál transformovaný
podle věty 3.8 proto můžeme použít Fubiniovu větu 1.55. Dostaneme:
m2(A) =
A
dxdy =
B
d dϕ =
π
−π
a(1+cos ϕ)
0
d dϕ =
=
π
−π
1
2
2 a(1+cos ϕ)
0
dϕ =
a2
2
π
−π
(1 + 2 cos ϕ + cos2
ϕ) dϕ =
=
a2
2
π
−π
1 + 2 cos ϕ +
1 + cos 2ϕ
2
dϕ =
=
a2
4
π
−π
(3 + 4 cos ϕ + cos 2ϕ) dϕ =
=
a2
4
3ϕ + 4 sin ϕ +
1
2
sin 2ϕ
π
−π
=
3πa2
2
.
Příklad 4.3. Vypočtěte obsah vnitřku elipsy A o poloosách a a b, a, b > 0.
x
y
a−a O
−b
b
Obr. 4.3
Řešení. Abychom si usnadnili výpočet, umístíme
střed elipsy do počátku souřadnicové
soustavy a osy souměrnosti do souřadnicových
os (na obsah to nemá vliv) — viz
obr. 4.3. Rovnice elipsy pak bude x2
a2 + y2
b2 =
= 1. Nyní použijeme transformaci do eliptických
souřadnic (3.7), konkrétně
x = a cos ϕ,
y = b sin ϕ,
|J| = ab .
200 Aplikace vícerozměrných integrálů
Změnou měřítek na osách se elipsa transformuje na jednotkový kruh, který vyjádříme
v „obyčejných“ polárních souřadnicích. Obrazem množiny A tedy bude
množina
B :
0 ϕ 2π,
0 1,
což je obdélník. S použitím věty 3.8 a následně Fubiniovy věty 1.14 nám vyjde:
m2(A) =
A
dxdy =
B
ab d dϕ =
2π
0
ab dϕ ·
1
0
d =
= ab ϕ
2π
0
·
2
2
1
0
= ab · 2π ·
1
2
= πab.
Pro a = b = r, kde r > 0, dostáváme jako speciální případ obsah πr2
kruhu
o poloměru r.
4.1.2. Míra (objem) měřitelné množiny v trojrozměrném prostoru
Nechť A je měřitelná množina v trojrozměrném prostoru. Z definice míry v R3
a z definice trojného integrálu vyplývá, že pro objem m3(A) této množiny platí
m3(A) =
A
dxdydz. (4.2)
Příklad 4.4. Vypočtěte objem tělesa A omezeného plochami 2(x2
+y2
)−z2
= 0
a x2
+ y2
− z2
= −9, leží-li A v poloprostoru z 0.
Řešení. První plochou je rotační kužel s osou z, druhou rotační dvojdílný hyperboloid
s osou z. To lze snadno nahlédnout pomocí řezů plochy rovinami
x = 0, y = 0 a z = c, kde c ∈ R je konstanta. Množina A je znázorněna na
obr. 4.4 a). Na obr. 4.4 b) je řez této množiny rovinou x = 0. Zadané plochy
se protínají v kružnici. Její rovnici dostaneme odečtením rovnic obou kvadrik.
Vyjde x2
+y2
= 9. Tedy kolmým průmětem množiny A do roviny xy je kruh K
se středem v počátku o poloměru 3 (obr. 4.4 c)).
Použijeme transformaci do cylindrických souřadnic. Nejprve vyjádříme průmět
K v polárních souřadnicích, tj. 0 ϕ 2π, 0 3. Z rovnic ploch
určíme, že
2(x2 + y2) z x2 + y2 + 9.
4.1 Geometrické aplikace 201
−3
0
3
0
3
−3
0
3
√
2
x
y
z
a)
y
z
3−3 3O
z2 = 2y2
3
√
2
y2 − z2 = −9
b)
y
x
O 3
3
c)
Obr. 4.4
Odtud dosazením za x = cos ϕ, y = sin ϕ dostaneme, že
√
2 z
2 + 9. Množina A má v cylindrických souřadnicích tedy popis
0 3,
B : 0 ϕ 2π,
√
2 z 2 + 9.
To je elementární množina vzhledem k souřadnicové rovině ϕ. Na transformovaný
integrál použijeme Fubiniovu větu. Integrace podle proměnné z musí
předcházet integraci podle proměnné , na pořadí integrace podle proměnné ϕ
nezáleží. Dostaneme:
m3(A) =
A
dxdydz =
B
d dϕdz =
=
3
0
√
2+9
√
2
2π
0
dϕ dz d =
3
0
√
2+9
√
2
ϕ
2π
0
dz d =
202 Aplikace vícerozměrných integrálů
=
3
0
√
2+9
√
2
2π dz d =
3
0
2π z
√
2+9
√
2
d =
= 2π
3
0
2 + 9 − 2
√
2 d =
= 2π
3
0
2 + 9 d − 2π
3
0
2
√
2 d =
2
+ 9 = t
2 d = dt
d = 1
2
dt
0 ; 9, 3 ; 18
=
= π
18
9
√
t dt − 2π
√
2
3
3
3
0
=
2π
3
√
t3
18
9
− 18π
√
2 =
=
2π
3
54
√
2 − 27 − 18π
√
2 = 18π
√
2 − 1 .
Častý je případ, kdy těleso A, jehož objem hledáme, je elementární množina
vzhledem k rovině xy, tj.
A = {[x, y, z] ∈ R3
: [x, y] ∈ M, f (x, y) z g(x, y)},
kde M ⊆ R2
je uzavřená měřitelná množina a f a g jsou spojité funkce na M,
přičemž f (x, y) g(x, y) pro každé [x, y] ∈ M (srovnejte obr. 2.2). Pak je
možné vzorec (4.2) pro výpočet objemu upravit pomocí Fubiniovy věty na tvar
m3(A) =
M
g(x, y) − f (x, y) dxdy, (4.3)
v němž figuruje jen dvojný integrál.
Příklad 4.5. Vypočtěte objem tělesa A určeného nerovnostmi z 1 − x2
a z
y2
+ 2, přičemž −1 x 1, −1 y 1.
Řešení. Plochy, které omezují množinu A zdola resp. shora, jsou parabolické
válce, jejichž povrchové přímky jsou rovnoběžné se souřadnicovou osou y resp. x
— viz obr. 4.5. Kolmým průmětem množiny A do roviny xy je čtverec M : −
−1, 1 × −1, 1 .
Použijeme vzorec (4.3), v němž zvolíme f (x, y) = 1−x2
a g(x, y) = y2
+2.
Vzniklý integrál vypočítáme pomocí Fubiniovy věty. Vyjde:
m3(A) =
M
(y2
+ 2) − (1 − x2
) dxdy =
4.1 Geometrické aplikace 203
−1
0
10
1
−1
0
3
x
y
z
Obr. 4.5
=
M
(x2
+ y2
+ 1) dxdy =
1
−1
1
−1
(x2
+ y2
+ 1) dy dx =
=
1
−1
x2
y +
y3
3
+ y
1
−1
dx =
1
−1
2x2
+
8
3
dx =
=
2x3
3
+
8x
3
1
−1
=
20
3
.
4.1.3. Míra měřitelné množiny v n-rozměrném prostoru
Stejně jako ve dvojrozměrném a trojrozměrném prostoru plyne z definice míry
a z definice integrálu pro míru měřitelné množiny M v Rn
vzorec
mn(M) = · · ·
M
dx1dx2 · · · dxn. (4.4)
Příklad 4.6. Vypočtěte míru Tn n-rozměrného jehlanu (simplexu)
Mn = [x1, x2, . . . , xn]: x1 0, x2 0, . . . , xn 0, x1 + x2 + · · · + xn h ,
kde h > 0 je konstanta.
Řešení. Proveďme nejprve dilataci x1 = hu1, x2 = hu2, . . . , xn = hun. Pro
jakobián J této transformace platí J = hn
— viz (3.19). Množina Mn přejde po
204 Aplikace vícerozměrných integrálů
zmíněné transformaci v množinu
M∗
n = [u1, u2, . . . , un]: u1 0, u2 0, . . . , un 0, u1 + u2 + · · · + un 1 .
Množinu M∗
n jakožto elementární množinu můžeme vymezit pomocí nerovností:
M∗
n :
0 un 1,
0 un−1 1 − un,
0 un−2 1 − un − un−1,
...
0 u2 1 − un − · · · − u3,
0 u1 1 − un − · · · − u3 − u2.
Dostáváme pak
Tn = · · ·
Mn
dx1dx2 · · · dxn = · · ·
M∗
n
hn
du1du2 . . . dun = hn
αn,
kde
αn = · · ·
M∗
n
du1du2 · · · dun.
Označíme-li při pevném un ∈ 0, 1
Mn−1 = [u1, u2, . . . , un−1]: u1 0, u2 0, . . . , un−1 0,
u1 + u2 + · · · + un−1 1 − un ,
vidíme, že
αn =
1
0
· · ·
eMn−1
du1du2 · · · dun−1 dun.
Provedeme-li ve vnitřním integrálu novou dilataci u1 = (1 − un)v1, u2 = (1 −
− un)v2, . . . , un−1 = (1 − un)vn−1 s jakobiánem Jn−1 = (1 − un)n−1
, obdržíme
αn =
1
0
(1 − un)n−1
αn−1 dun = αn−1
1
0
(1 − un)n−1
dun =
=
1 − un = t
−dun = dt
0 ; 1, 1 ; 0
= −αn−1
0
1
tn−1
dt = αn−1
1
n
.
Protože αn = αn−1/n, α1 = 1, snadno zjistíme, že αn = 1/n! pro každé n 1.
Odtud vyjde Tn = hn
/n!.
4.1 Geometrické aplikace 205
Příklad 4.7. Vypočtěte míru Vn n-rozměrné koule Kn = {[x1, x2, . . . , xn] ∈ Rn
:
x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n R2
}, kde R > 0 je její poloměr.
Řešení. Podle vzorce (4.4) máme Vn = ···
Kn
dx1dx2 · · · dxn. Užitím příkladu
3.32, kde volíme α = 0, dostáváme pro n 2
Vn =
Rn
n!!
· 2
¨ n+1
2
˝
· π
¨ n
2
˝
,
kde n!! = n(n − 2) · · · 3 · 1 pro n liché, n!! = n(n − 2) · · · 4 · 2 pro n sudé a x
značí celou část čísla x. Výsledek zřejmě platí i pro n = 1.
Pro míru (objem) Vn n-rozměrné jednotkové koule odtud dostáváme vzorce
V2k =
2k
πk
(2k)!!
pro n = 2k, resp. V2k+1 =
2k+1
πk
(2k + 1)!!
pro n = 2k + 1,
přičemž k ∈ N, resp. k ∈ N0.
Vypočtěme ještě pro zajímavost, jakou část objemu Vn = 2n n-rozměrné krychle
o hraně 2, do níž je koule Kn vepsána, představuje objem Vn. Pro n = 2k máme
Vn
Vn
=
πk
2k · (2k)!!
=
πk
22kk!
, (4.5)
zatímco pro n = 2k + 1 vychází
Vn
Vn
=
πk
2k · (2k + 1)!!
=
πkk!
(2k + 1)!
. (4.6)
Souhrnně pro všechna n ∈ N můžeme psát
Vn
Vn
=
π
2
¨ n
2
˝
1
n!!
.
(Zvažte, že pro libovolné celé n platí −n
2 = − n+1
2 , takže pro exponent mocniny
čísla 2 bude v předchozím podílu platit n+1
2 − n = n+1
2 − n = −n−1
2 = − n
2 .)
Dodejme, že poslední výraz má nulovou limitu pro n → ∞. To lze ověřit následovně:
Uvažujme nekonečné řady
∞
k=1
ak,
∞
k=1
bk, kde obecný člen ak je dán vztahem
(4.5) a obecný člen bk je dán vztahem (4.6). Platí ak+1/ak = π/(4(k + 1)) → 0,
bk+1/bk = π/(2(2k + 3)) → 0 pro k → ∞. Z limitního podílového kritéria pro řady
s nezápornými členy (viz [8, str. 17]) plyne, že obě řady jsou konvergentní. Podle nutné
podmínky konvergence číselných řad to znamená, že ak → 0, bk → 0 pro k → ∞.
Z toho již plyne, že i Vn/Vn → 0 pro n → ∞.
206 Aplikace vícerozměrných integrálů
4.1.4. Míra (obsah) plochy v trojrozměrném prostoru
Další geometrickou aplikací je výpočet obsahu plochy v prostoru. Definice plochy
je ovšem v obecném případu poměrně obtížná a stejně tak je tomu s definicí
jejího obsahu. Omezíme se proto na speciální případ plochy vytvořené grafem
funkce dvou proměnných. Příslušnou teorii, pojmy a vzorce lze nalézt v [26]
nebo [27].
Nechť Ω ⊆ R2
je omezená oblast (tj. souvislá otevřená množina), jejíž
hranice je sjednocením konečně mnoha po částech hladkých křivek. Předpokládejme,
že funkce f má spojité a ohraničené první parciální derivace na Ω a je
spojitá na uzávěru Ω. Označme
G = [x, y, f (x, y)] ∈ R3
: [x, y] ∈ Ω (4.7)
její graf. Pak lze dokázat, že pro obsah tohoto grafu platí:
S2(G) =
Ω
1 + fx(x, y)
2
+ fy(x, y)
2
dxdy. (4.8)
Náznak odvození vzorce (4.8). Nechť v R3 je dána rovina o rovnici z = ax + by + c,
kde a, b, c ∈ R jsou konstanty, a nechť [x0, y0] ∈ R2. Položme z0 = ax0 + by0 + c. Pro
libovolná v absolutní hodnotě malá nenulová čísla h, k uvažujme v rovině xy trojrozměrného
prostoru xyz obdélník M s vrcholy [x0, y0, 0], [x0 + h, y0, 0], [x0, y0 + k, 0],
[x0 + h, y0 + k, 0]. Přímky kolmé k rovině xy procházející těmito vrcholy protnou
danou rovinu v bodech A = [x0, y0, z0], B = [x0 + h, y0, z0 + ah], C = [x0, y0 +
+ k, z0 + bk], D = [x0 + h, y0 + k, z0 + ah + bk]. Tyto čtyři body jsou vrcholy rovnoběžníku
M ležícího v dané rovině. Označíme-li −→α =
−→
AB = (h, 0, ah),
−→
β =
−→
AC =
= (0, k, bk), můžeme pomocí známého vzorce z lineární algebry vypočítat obsah tohoto
rovnoběžníku: S2(M) = |−→α ×
−→
β | = |(−ahk, −bhk, hk)| =
√
1 + a2 + b2 |hk| =
=
√
1 + a2 + b2 m2(M). Vezmeme-li nyní speciálně v úvahu tečnou rovinu ke grafu
funkce f v bodě [x∗, y∗, f (x∗, y∗)], kde [x∗, y∗, 0] ∈ M, máme a = fx(x∗, y∗),
b = fy(x∗, y∗), c = f (x∗, y∗) − x∗fx(x∗, y∗) − y∗fy(x∗, y∗). Přijmeme-li předpoklad,
že obsah „kousku“ G grafu funkce f ležícího nad obdélníkem M je přibližně
roven obsahu „kousku“ M tečné roviny ležícího nad obdélníkem M, platí přibližně
S2(G) =
√
1 + a2 + b2 m2(M) =
√
1 + [fx(x∗, y∗)]2 + [fy(x∗, y∗)]2 m2(M).
Příklad 4.8. Vypočtěte obsah grafu G funkce f , která je definovaná na množině
Ω : x2
+ y2
4, je-li
a) f (x, y) = x2
+ y2
, b) f (x, y) = xy.
4.1 Geometrické aplikace 207
−2
0
2
0
−2
0
4
x
y
z
2
a) Eliptický paraboloid
−2
0
20−2
2
0
2
−2 x
y
z
b) Hyperbolický paraboloid
Obr. 4.6
Řešení. Na výpočet použijeme vzorec (4.8). Množina Ω je kruh se středem
v počátku a poloměrem 2, takže na vzniklý integrál v obou případech použijeme
transformaci do polárních souřadnic. Protože funkce f má v obou případech
spojité parciální derivace v celé rovině R2
, můžeme integrál počítat přes uzavřený
kruh Ω a ne jen přes otevřený kruh Ω (tyto množiny se liší o hraniční kružnici
a ta má dvojrozměrnou míru nula). Obrazem Ω bude množina
B :
0 ϕ 2π,
0 2,
což je dvojrozměrný interval, takže na transformovaný integrál můžeme použít
Fubiniovu větu.
a) Jde o část eliptického paraboloidu. Platí fx(x, y) = 2x a fy(x, y) = 2y, takže
S2(G) =
Ω
1 + 4x2 + 4y2 dxdy =
=
B
1 + 4 2 cos2 ϕ + 4 2 sin2 ϕ · d dϕ =
=
B
1 + 4 2 d dϕ =
2π
0
dϕ ·
2
0
1 + 4 2 d =
=
1 + 4 2
= t
8 d = dt
d = 1
8
dt
0 ; 1, 2 ; 17
= ϕ
2π
0
·
17
1
1
8
√
t dt =
208 Aplikace vícerozměrných integrálů
=
π
4
·
t3/2
3/2
17
1
=
π
6
17
√
17 − 1 .
b) Jde o část hyperbolického paraboloidu. Platí fx(x, y) = y a fy(x, y) = x,
takže
S2(G) =
Ω
1 + y2 + x2 dxdy =
=
B
1 + 2 sin2 ϕ + 2 cos2 ϕ · d dϕ =
=
B
1 + 2 d dϕ =
2π
0
dϕ ·
2
0
1 + 2 d =
=
1 + 2
= t2
2 d = 2t dt
d = t dt
0 ; 1, 2 ;
√
5
= ϕ
2π
0
·
√
5
1
t2
dt =
= 2π ·
t3
3
√
5
1
=
2π
3
5
√
5 − 1 .
Všimněte si, že pro procvičení jsme na zcela obdobný jednoduchý určitý integrál
vzhledem k proměnné použili pokaždé poněkud odlišnou substituci.
4.1.5. Míra (obsah) (n−1)-rozměrné plochy v n-rozměrném prostoru
Vzorec pro (n − 1)-rozměrnou míru (obsah) v n-rozměrném prostoru grafu
G = {[x1, x2, . . . , xn−1, f (x1, x2, . . . , xn−1)] ∈ Rn
: [x1, x2, . . . , xn−1] ∈ Ω}
funkce f o n − 1 proměnných je analogický vzorci (4.8):
Sn−1(G) = · · ·
Ω
1 +
n−1
j=1
f 2
xj
(x1, x2, . . . , xn−1)
1/2
dx1dx2 · · · dxn−1. (4.9)
Přitom předpokládáme, že Ω ⊂ Rn−1
je omezená oblast, funkce f je spojitá
na Ω a má spojité a ohraničené parciální derivace na oblasti Ω, jejíž hranice je
po částech hladká (tj. je sjednocením konečně mnoha grafů diferencovatelných
funkcí n − 2 proměnných xj1 , . . . , xjn−2 , 1 j1 · · · jn−2 n − 1, definovaných
na kompaktních množinách, přičemž různé grafy mají společné nejvýše
4.1 Geometrické aplikace 209
body svých „okrajů“). Přesný výklad pojmů plocha v Rn
a míra plochy v Rn
viz
např. [26] nebo [27].
Příklad 4.9. Vypočtěte obsah Sn−1 povrchu n-rozměrné koule Kn v n-rozměrném
prostoru, která má daný poloměr R > 0.
Řešení. Výpočet nejprve provedeme pro n 4. Určíme obsah „horní“ poloviny
povrchu (hranice) koule Kn. Užitím vzorce (4.9) dostáváme:
1
2
Sn−1 = · · ·
Kn−1
1 +
n−1
j=1
f 2
xj
(x1, x2, . . . , xn−1)
1/2
dx1dx2 · · · dxn−1,
kde f (x1, x2, . . . , xn−1) =
√
R2
− x2
1 − x2
2 − · · · − x2
n−1 a
Kn−1 = [x1, x2, . . . , xn−1] ∈ Rn−1
: x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n−1 < R2
.
Protože fxj
(x1, x2, . . . , xn−1) = −xj
√
R2
− x2
1 − x2
2 − · · · − x2
n−1 , máme
1 +
n−1
j=1
f 2
xj
(x1, x2, . . . , xn−1) =
R2
R2 − x2
1 − x2
2 − · · · − x2
n−1
.
Dosazením do vzorce z úvodu řešení dostáváme
1
2
Sn−1 = · · ·
Kn−1
R
√
R2
− x2
1 − x2
2 − · · · − x2
n−1
dx1dx2 · · · dxn−1.
Použitím transformace do sférických souřadnic
x1 = cos ϕ sin ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−5 sin ϑn−4 sin ϑn−3,
x2 = sin ϕ sin ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−5 sin ϑn−4 sin ϑn−3,
x3 = cos ϑ1 sin ϑ2 · · · sin ϑn−5 sin ϑn−4 sin ϑn−3,
x4 = cos ϑ2 · · · sin ϑn−5 sin ϑn−4 sin ϑn−3,
...
xn−3 = cos ϑn−5 sin ϑn−4 sin ϑn−3,
xn−2 = cos ϑn−4 sin ϑn−3,
xn−1 = cos ϑn−3
210 Aplikace vícerozměrných integrálů
přejde množina Kn−1 v množinu
K∗
n−1 :
0 < R,
0 ϕ 2π,
0 ϑ1 π,
...
0 ϑn−3 π.
Pro absolutní hodnotu jakobiánu této transformace platí
|J| = n−2
sin ϑ1 sin2
ϑ2 · · · sinn−3
ϑn−3.
Užitím vztahu x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n−1 = 2
dostáváme
1
2
Sn−1 = R · · ·
K∗
n−1
1
R2 − 2
n−2
sin ϑ1 sin2
ϑ2 · · · sinn−3
ϑn−3×
× d dϕ dϑ1 dϑ2 · · · dϑn−2 =
= R
R
0
2π
0
π
0
· · ·
π
0
n−2
R2 − 2
sin ϑ1 sin2
ϑ2 · · · sinn−3
ϑn−3×
× dϑ1 · · · dϑn−3 dϕ d =
= R
R
0
n−2
R2 − 2
d
2π
0
dϕ
π
0
sin ϑ1 dϑ1 · · ·
π
0
sinn−3
ϑn−3 dϑn−3.
Platí
R
0
n−2
R2 − 2
d =
= R sin t
d = R cos t dt
0 ; 0, R ; π
2
=
π
2
0
Rn−2
sinn−2
t
R cos t
R cos t dt =
=
π
2
0
Rn−2
sinn−2
t dt = Rn−2
π
2
0
sinn−2
t dt.
Pomocí rekurentního vzorce
π
0 sink
ϑ dϑ = k−1
k
π
0 sink−2
ϑ dϑ (viz poznámka
3.33) a jeho analogie
π/2
0 sink
ϑ dϑ = k−1
k
π/2
0 sink−2
ϑ dϑ, která se dokáže
obdobně, obdržíme
1
2
Sn−1 = 2πRn−1
γ ∗
n
(n − 3)!!
(n − 2)!!
· 2 · π
1
2
· 2
2
3
· π
3 · 1
4 · 2
· · · γn−1
(n − 4)!!
(n − 3)!!
,
4.2 Fyzikální aplikace 211
kde γn = π, γ ∗
n = π/2 pro n sudé, γn = 2, γ ∗
n = 1 pro n liché. Tedy
1
2
Sn−1 = 2π
Rn−1
(n − 2)!!
2
¨ n−3
2
˝
· π
¨ n−2
2
˝
=
Rn−1
(n − 2)!!
2
¨ n−1
2
˝
· π
¨ n
2
˝
,
kde x značí celou část čísla x. Obsah povrchu celé koule je tedy roven číslu
Sn−1 =
Rn−1
(n − 2)!!
2
¨ n+1
2
˝
· π
¨ n
2
˝
.
Výsledek je zřejmě správný i pro n = 2 a n = 3. Poznamenejme ještě závěrem,
že pro limitu podílu objemu n-rozměrné koule o poloměru R (viz příklad 4.7)
a obsahu jejího povrchu platí
lim
n→∞
Vn
Sn−1
= lim
n→∞
R
n
= 0.
Poznámka 4.10. Pozorný čtenář si jistě všiml, že provedený výpočet nebyl zcela
korektní. Integrovaná funkce totiž nebyla na Kn−1 ohraničená. Náš výpočet však
lze ospravedlnit, předpokládáme-li, že obsah 1
2
S∗
n−1 (n − 1)-rozměrných kulových
vrchlíků s osou v ose xn, středem v počátku, o středovém úhlu 2ψ, kde
ψ ∈ (0, π/2 , je spojitou funkcí proměnné ψ. Skutečně, podobným postupem
jako dříve dostaneme
1
2
S∗
n−1 = 2πRn−1
ψ
0
sinn−2
t dt · 2
¨ n−2
2
˝
π
¨ n−3
2
˝ 1
(n − 3)!!
=
=
Rn−1
(n − 3)!!
ψ
0
sinn−2
t dt · 2
¨ n
2
˝
π
¨ n−1
2
˝
.
Vzhledem k tomu, že
ψ
0 sinn−2
t dt → γ ∗
n
(n−3)!!
(n−2)!!
pro ψ → π/2−, odtud snadno
zjistíme, že
1
2
Sn−1 = lim
ψ→π/2−
1
2
S∗
n−1 =
Rn−1
(n − 2)!!
γ ∗
n 2
¨ n
2
˝
π
¨ n−1
2
˝
=
Rn−1
(n − 2)!!
2
¨ n−1
2
˝
π
¨ n
2
˝
.
Lze ukázat, že vzorec (4.9) platí i v případě, že integrál stojící na jeho pravé
straně je nevlastní (viz kapitola 5) a konvergentní (parciální derivace fxj
tedy
nemusí být nutně ohraničené na Ω). Srovnejte poznámku 5.27.
4.2. Fyzikální aplikace
Z fyzikálních aplikací uvedeme výpočet hmotnosti, souřadnic těžiště, momentu
setrvačnosti a elektrického náboje. Odvození uvedených vzorců patří do teoretické
fyziky.
212 Aplikace vícerozměrných integrálů
4.2.1. Hmotnost a těžiště rovinné desky
Nechť A ⊆ R2
je uzavřená měřitelná množina, kterou chápeme jako model tenké
rovinné desky. Označme ρ(x, y) plošnou hustotu v bodě X = [x, y] ∈ A a předpokládejme,
že ρ je nezáporná integrovatelná funkce na množině A. Hmotnost
H(A) tenké desky A je dána vztahem
H(A) =
A
ρ(x, y) dxdy. (4.10)
p
n
+
−
Obr. 4.7
Nechť p je orientovaná přímka v rovině. To znamená, že je zvolen
normálový vektor n přímky p, který míří do kladné poloroviny
určené touto přímkou — viz obr. 4.7. O opačné polorovině
pak říkáme, že je záporná. Symbolem dist(X, p) označme orientovanou
vzdálenost bodu X od přímky p, tj. vzdálenost bodu X
od přímky p (která je vždy nezáporná) opatřenou znaménkem
plus pro body X v kladné polorovině a znaménkem mínus pro
body X v záporné polorovině. Statický moment množiny A vzhledem
k přímce p pak definujeme vztahem
Sp(A) =
A
dist(X, p)ρ(x, y) dxdy. (4.11)
Nás bude speciálně zajímat případ, když za přímku zvolíme některou ze souřadnicových
os s jejich standardní orientací. Přitom říkáme, že osa x, resp. osa y,
má standardní orientaci, jestliže platí dist(X, osa x) = y, resp. dist(X, osa y) =
= x pro každý bod X ∈ R2
. Tak dostaneme statické momenty vzhledem k souřadnicovým
osám
Sx(A) =
A
yρ(x, y) dxdy, (4.12)
Sy(A) =
A
xρ(x, y) dxdy. (4.13)
Označme konečně T (A) = [ξ, η] těžiště tenké desky A. Pro jeho souřadnice
platí:
ξ =
Sy(A)
H(A)
, η =
Sx(A)
H(A)
. (4.14)
4.2 Fyzikální aplikace 213
Poznámka 4.11. Statický moment hmotného bodu vzhledem k orientované přímce definujeme
jako součin jeho hmotnosti a jeho orientované vzdálenosti od přímky. Statický
moment konečné množiny hmotných bodů vzhledem k orientované přímce je pak algebraickým
součtem statických momentů jednotlivých bodů.
Tím je motivována definice statického momentu tenké desky. Rozdělíme ji na malé
části a v každé z nich zvolíme zástupce (bod). Statický moment jedné takové části bude
přibližně součinem hmotnosti této části a orientované vzdálenosti zástupce od přímky.
Hmotnost této části je opět přibližně součin jejího obsahu a plošné hustoty v zástupci.
Sečtením přes všechny části se dostáváme k integrálním součtům, vedoucím k dvojným
integrálům (4.12) a (4.13).
Představme si nyní, že celou hmotnost H(A) tenké desky jsme soustředili do těžiště,
tj. do bodu [ξ, η]. Vztahy (4.14) potom říkají, že statické momenty tohoto bodu jsou
stejné jako statické momenty celé tenké desky. Tak si můžeme tyto vzorce zapamatovat.
Poznamenejme ještě, že ačkoli termín statický moment zní „fyzikálně“, teoretická
fyzika takovou veličinu nezavádí. Termín se používá v technické mechanice a ve statice
pro označení integrálů (4.11)–(4.13) a jejich různých analogií.
Příklad 4.12. Určete těžiště tenké obdélníkové desky A: 0 x 2, 0 y
3/2, mající v každém bodě [x, y] plošnou hustotu ρ(x, y) = xy.
x
y
4/3 2
1
3/2
O
T
Obr. 4.8
Řešení. Nejprve určíme hmotnost desky A. Ze vzorce
(4.10) dostaneme s použitím Fubiniovy věty, že
H(A) =
A
xy dxdy =
2
0
x dx ·
3/2
0
y dy =
=
x2
2
2
0
·
y2
2
3/2
0
= 2 ·
9
8
=
9
4
.
Dále vypočítáme podle vzorců (4.12) a (4.13) statické
momenty desky A vzhledem k souřadnicovým osám:
Sx(A) =
A
xy2
dxdy =
2
0
x dx ·
3/2
0
y2
dy =
x2
2
2
0
·
y3
3
3/2
0
= 2 ·
9
8
=
9
4
,
Sy(A) =
A
x2
y dxdy =
2
0
x2
dx ·
3/2
0
y dy =
x3
3
2
0
·
y2
2
3/2
0
=
8
3
·
9
8
= 3.
Konečně ze vzorců (4.14) určíme souřadnice těžiště:
ξ =
3
9
4
=
4
3
, η =
9
4
9
4
= 1 ⇒ T (A) = [4/3, 1].
Výsledek je znázorněn na obr. 4.8. Poloha těžiště (je posunuté mimo střed obdélníku
A) odpovídá tomu, že směrem vpravo nahoru hustota dané desky roste.
214 Aplikace vícerozměrných integrálů
4.2.2. Hmotnost a těžiště trojrozměrného tělesa
Nechť V ⊆ R3
je uzavřená měřitelná množina, kterou budeme chápat jako model
zkoumaného tělesa. Označme ρ(x, y, z) jeho (objemovou) hustotu v bodě X =
= [x, y, z] ∈ V a předpokládejme, že nezáporná funkce ρ je integrovatelná na
množině V . Obdobně jako v předchozím oddílu bude hmotnost H(V ) tělesa V
dána vztahem
H(V ) =
V
ρ(x, y, z) dxdydz. (4.15)
Nechť τ je orientovaná rovina v prostoru. To znamená, že je zvolen normálový
vektor n roviny τ, mířící do kladného poloprostoru určeného touto rovinou.
Opačná polorovina je pak záporná. Označme dist(X, τ) orientovanou vzdálenost
bodu X od roviny τ. Tím myslíme, že vzdálenost bodu X od roviny τ (která
je vždy nezáporná) opatříme v kladném poloprostoru znaménkem plus a v záporném
poloprostoru znaménkem mínus. Statický moment množiny V vzhledem
k rovině τ definujeme vztahem
Sτ (V ) =
V
dist(X, τ)ρ(x, y, z) dxdydz. (4.16)
Opět bude nejdůležitější případ, kdy rovinami budou souřadnicové roviny
orientované standardním způsobem, tj. normálovým vektorem bude směrový
vektor odpovídající kladné souřadnicové poloose, která je kolmá k uvažované
souřadnicové rovině. Pak platí dist(X, rovina xy) = z, dist(X, rovina xz) = y
a dist(X, rovina yz) = x. Tak dostaneme statické momenty vzhledem k souřadnicovým
rovinám
Sxy(V ) =
V
zρ(x, y, z) dxdydz, (4.17)
Sxz(V ) =
V
yρ(x, y, z) dxdydz, (4.18)
Syz(V ) =
V
xρ(x, y, z) dxdydz. (4.19)
Označme konečně T (V ) = [ξ, η, ζ] těžiště trojrozměrného tělesa V . Pro
jeho souřadnice platí:
ξ =
Syz(V )
H(V )
, η =
Sxz(V )
H(V )
, ζ =
Sxy(V )
H(V )
. (4.20)
4.2 Fyzikální aplikace 215
Pro statické momenty trojrozměrných těles vzhledem k rovinám lze uvést
analogie poznámky 4.11.
Příklad 4.13. Vypočtěte hmotnost tělesa V : x2
+y2
+z2
z, majícího v každém
bodě [x, y, z] hustotu ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Řešení. Podle vzorce (4.15) platí, že
H(V ) =
V
x2 + y2 + z2 dxdydz.
Těleso V je omezeno kvadratickou plochou o rovnici x2
+ y2
+ z2
= z. Nejprve
určíme, o jakou plochu jde. Po doplnění na úplný čtverec dostaneme:
x2
+ y2
+ z −
1
2
2
=
1
4
.
Jde tedy o kulovou plochu se středem [0, 0, 1/2] o poloměru 1/2. Těleso V je
proto koule znázorněná na obr. 4.9 a).
Vzhledem k tvaru integrované funkce bude výhodné použít transformaci
do sférických souřadnic. Určíme závislost na úhlech ϕ a ϑ. Dosadíme-li do
rovnice kulové plochy sférické souřadnice (3.14), dostaneme s využitím rovnosti
x2
+y2
+z2
= 2
, že platí 2
= cos ϑ. Tedy buď = 0, což odpovídá počátku
souřadnic, nebo = cos ϑ.
Na obr. 4.9 b) znázorňujícím řez kulové plochy rovinou x = 0 je ukázán
význam tohoto výsledku. Pro délku úsečky OT platí OT = cos ϑ, což jinak
−1/2
0
1/20
−1/2
1/2
0
1/2
1
x
y
z
a)
y
z
1/2−1/2 1/2
1/2
1
O
T
ϑ
b)
Obr. 4.9
216 Aplikace vícerozměrných integrálů
plyne i z Thaletovy věty (srv. příklad 3.13). Z obrázku je také zřejmé, že do
popisu množiny V budou patřit nerovnosti 0 ϑ π/2. Protože kolmý průmět
koule V do roviny xy je zřejmě kruh se středem v počátku a poloměrem 1/2,
budou součástí popisu V také nerovnosti 0 ϕ 2π. Množina V se tedy
transformuje na množinu
B :
0 ϕ 2π,
0 ϑ
π
2
,
0 cos ϑ,
což je elementární množina vzhledem k rovině ϕϑ. Na transformovaný integrál
tedy použijeme Fubiniovu větu. Dostaneme:
H(V ) =
V
x2 + y2 + z2 dxdydz =
B
· 2
sin ϑ d dϕdϑ =
=
π/2
0
2π
0
cos ϑ
0
3
sin ϑ d dϕ dϑ =
=
π/2
0
2π
0
sin ϑ
4
4
cos ϑ
0
dϕ dϑ =
=
π/2
0
2π
0
1
4
cos4
ϑ sin ϑ dϕ dϑ =
π/2
0
1
4
cos4
ϑ sin ϑ ϕ
2π
0
dϑ =
=
π
2
π/2
0
cos4
ϑ sin ϑ dϑ =
cos ϑ = t
− sin ϑ dϑ = dt
sin ϑ dϑ = −dt
0 ; 1, π
2
; 0
=
= −
π
2
0
1
t4
dt =
π
2
t5
5
1
0
=
π
10
.
Poznámka 4.14. Možná by někdo považoval za výhodnější použít posunutí x = u,
y = v, z = w + 1/2 a poté transformaci do zobecněných sférických souřadnic
u =
1
2
cos ϕ sin ϑ,
v =
1
2
sin ϕ sin ϑ,
w =
1
2
cos ϑ .
Množina V by se transformovala postupně na jednotkovou kouli se středem v počátku
souřadnic a následně na trojrozměrný interval. Tím by se sice zjednodušilo omezení
4.2 Fyzikální aplikace 217
pro proměnnou , bylo by totiž 0 1, avšak velmi podstatně by se zkomplikoval
integrand. Vyšlo by (po úpravě):
x2 + y2 + z2 =
1
2
2 + 2 cos ϑ + 1.
Výpočet jednoduchého integrálu z této funkce (ať podle nebo ϑ) je však značně
netriviální.
Ze stejného důvodu by nebylo ani v příkladu 3.13 možné zvolit eliptické souřadnice
s posunutým středem. K výpočtu integrálu z příkladu 4.13 však bylo možné použít
transformace do válcových souřadnic (3.13). Popis koule V ve válcových souřadnicích je
V ∗ = {[ϕ, , z] ∈ R3 : 0 ϕ 2π, 0 z 1, 0
√
z − z2} a integrál H(V ) =
=
V ∗
2 + z2 dϕ d dz lze užitím věty 3.20 a Fubiniovy věty snadno spočítat.
Příklad 4.15. Vypočtěte souřadnice těžiště části koule se středem v počátku
a s poloměrem r > 0 ležící v prvním oktantu, je-li hustota v libovolném bodě
úměrná jeho vzdálenosti od počátku.
Řešení. Označme V zadanou osminu koule. Ta je znázorněna na obr. 4.10 a).
Pro výpočet trojných integrálů přes tuto množinu použijeme sférické souřadnice.
Na obr. 4.10 b) a 4.10 c) jsou znázorněny kolmé průměty V do rovin yz a xy.
V obou případech jde o čtvrtkruhy v prvním kvadrantu. Množina V se tedy
transformuje na trojrozměrný interval
B :
0 ϕ
π
2
,
0 r,
0 ϑ
π
2
.
Na vzniklé integrály pak budeme moci použít Fubiniovu větu.
0
r
0
r
0
r
x
y
z
a)
y
z
r
r
O
b)
y
x
r
r
O
c)
Obr. 4.10
218 Aplikace vícerozměrných integrálů
Ze zadání dále vyplývá, že existuje konstanta k > 0 taková, že pro hustotu
tělesa V platí ρ(x, y, z) = k x2 + y2 + z2.
Nejprve vypočteme podle vzorce (4.15) hmotnost tělesa V :
H(V ) =
V
k x2 + y2 + z2 dxdydz =
B
k · 2
sin ϑ d dϕdϑ =
= k
r
0
3
d ·
π/2
0
dϕ ·
π/2
0
sin ϑ dϑ =
= k
4
4
r
0
· ϕ
π/2
0
· − cos ϑ
π/2
0
= k
r4
4
·
π
2
· 1 = k
πr4
8
.
Dále vypočteme podle vzorců (4.17)–(4.19) potřebné statické momenty. Protože
hustota závisí pouze na vzdálenosti od počátku, tj. je sféricky symetrická,
lze vzhledem k tvaru tělesa V očekávat, že všechny tři statické momenty vyjdou
stejně. O tom se ale přesvědčíme výpočtem. Dostaneme:
Sxy(V ) =
V
kz x2 + y2 + z2 dxdydz =
=
B
k cos ϑ · · 2
sin ϑ d dϕdϑ =
=
B
k 4
cos ϑ sin ϑ d dϕdϑ =
=
k
2
r
0
4
d ·
π/2
0
dϕ ·
π/2
0
sin 2ϑ dϑ =
=
k
2
5
5
r
0
· ϕ
π/2
0
· −
1
2
cos 2ϑ
π/2
0
=
k
2
r5
5
·
π
2
· 1 = k
πr5
20
,
Sxz(V ) =
V
ky x2 + y2 + z2 dxdydz =
=
B
k sin ϕ sin ϑ · · 2
sin ϑ d dϕdϑ =
=
B
k 4
sin ϕ sin2
ϑ d dϕdϑ =
=
k
2
r
0
4
d ·
π/2
0
sin ϕ dϕ ·
π/2
0
(1 − cos 2ϑ) dϑ =
4.2 Fyzikální aplikace 219
=
k
2
5
5
r
0
· − cos ϕ
π/2
0
· ϑ −
1
2
sin 2ϑ
π/2
0
=
k
2
r5
5
· 1 ·
π
2
= k
πr5
20
,
Syz(V ) =
V
kx x2 + y2 + z2 dxdydz =
=
B
k cos ϕ sin ϑ · · 2
sin ϑ d dϕdϑ =
=
B
k 4
cos ϕ sin2
ϑ d dϕdϑ =
=
k
2
r
0
4
d ·
π/2
0
cos ϕ dϕ ·
π/2
0
(1 − cos 2ϑ) dϑ =
=
k
2
5
5
r
0
· sin ϕ
π/2
0
· ϑ −
1
2
sin 2ϑ
π/2
0
=
k
2
r5
5
· 1 ·
π
2
= k
πr5
20
.
Nyní ze vztahů (4.20) určíme souřadnice těžiště:
ξ = η = ζ =
k πr5
20
k πr4
8
=
2r
5
⇒ T =
2r
5
,
2r
5
,
2r
5
.
4.2.3. Moment setrvačnosti rovinné desky a trojrozměrného tělesa
Nechť A ⊆ R2
je uzavřená měřitelná množina, kterou budeme chápat jako model
tenké rovinné desky. Označme ρ(x, y) plošnou hustotu v bodě X = [x, y] ∈ A
a předpokládejme, že nezáporná funkce ρ je integrovatelná na množině A.
Buď p přímka v rovině. Označme d(X, p) vzdálenost bodu X od přímky p.
Moment setrvačnosti rovinné desky A vzhledem k přímce p pak definujeme
vztahem
Ip(A) =
A
d2
(X, p)ρ(x, y) dxdy. (4.21)
Všimněte si, že na rozdíl od statických momentů v rovině nepracujeme s orientovanou
vzdáleností. Výsledek by však byl stejný, protože ve vzorci je druhá
mocnina vzdálenosti, a tudíž d2
(X, p) = dist2
(X, p).
Nás bude speciálně zajímat případ, když za přímku zvolíme některou ze
souřadnicových os. Zřejmě platí d(X, osa x) = |y| a d(X, osa y) = |x|. Tak
220 Aplikace vícerozměrných integrálů
dostaneme momenty setrvačnosti
Ix(A) =
A
y2
ρ(x, y) dxdy, (4.22)
Iy(A) =
A
x2
ρ(x, y) dxdy. (4.23)
Příklad 4.16. Vypočtěte momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám
tenké rovinné homogenní lichoběžníkové desky A, která má vrcholy [−1, 0],
[2, 0], [2, 2] a [−1, 1] (viz obr. 4.11), je-li její plošná hustota ρ(x, y) = 1.
x
y
1−1 2
1
2
O
A
Obr. 4.11
Řešení. Lichoběžník A je elementární množina vzhledem
k ose x, která ho zároveň omezuje zdola. Najdeme
rovnici přímky, která ho omezuje shora, tj. která prochází
body [−1, 1], [2, 2]. Směrnice této přímky bude
k =
2 − 1
2 − (−1)
=
1
3
,
tedy její rovnice má tvar
y = 1 + k (x + 1) =
1
3
x +
4
3
.
Integrační obor je tudíž popsán nerovnostmi
A:
−1 x 2,
0 y
1
3
x +
4
3
.
Integrály (4.22) a (4.23) proto spočítáme snadno pomocí Fubiniovy věty. Vyjde:
Ix(A) =
A
y2
dxdy =
2
−1
x/3+4/3
0
y2
dy dx =
=
2
−1
y3
3
x/3+4/3
0
dx =
1
3
2
−1
1
3
x +
4
3
3
dx =
1
81
2
−1
(x + 4)3
dx =
=
x + 4 = t
dx = dt
−1 ; 3, 2 ; 6
=
1
81
6
3
t3
dt =
1
81
t4
4
6
3
=
64
− 34
81 · 4
=
15
4
,
4.2 Fyzikální aplikace 221
Iy(A) =
A
x2
dxdy =
2
−1
x/3+4/3
0
x2
dy dx =
=
2
−1
x2
y
x/3+4/3
0
dx =
2
−1
x2 1
3
x +
4
3
dx =
1
3
2
−1
(x3
+ 4x2
) dx =
=
1
3
x4
4
+
4x3
3
2
−1
=
1
3
16 − 1
4
+
4(8 + 1)
3
=
21
4
.
Nechť V ⊆ R3
je uzavřená měřitelná množina, kterou budeme chápat jako
model trojrozměrného tělesa. Označme ρ(x, y, z) jeho (objemovou) hustotu
v bodě X = [x, y, z] a předpokládejme, že nezáporná funkce ρ je integrovatelná
na množině V .
Nechť p je přímka v prostoru. Označme d(X, p) vzdálenost bodu X od
přímky p. Moment setrvačnosti trojrozměrného tělesa V vzhledem k přímce p
pak definujeme vztahem
Ip(V ) =
V
d2
(X, p)ρ(x, y, z) dxdydz. (4.24)
Všimněte si, že zatímco u statických momentů v prostoru jsme pracovali s orientovanou
vzdáleností od roviny, zde máme neorientovanou vzdálenost od přímky.
Nás bude speciálně zajímat případ, když za přímku zvolíme některou ze
souřadnicových os x, y resp. z. Zřejmě platí, že d(X, osa x) =
√
y2
+ z2
,
d(X, osa y) =
√
x2
+ z2
a d(X, osa z) = x2 + y2. Tak dostaneme momenty
setrvačnosti
Ix(V ) =
V
(y2
+ z2
)ρ(x, y, z) dxdydz, (4.25)
Iy(V ) =
V
(x2
+ z2
)ρ(x, y, z) dxdydz, (4.26)
Iz(V ) =
V
(x2
+ y2
)ρ(x, y, z) dxdydz. (4.27)
222 Aplikace vícerozměrných integrálů
Příklad 4.17. Vypočtěte moment setrvačnosti homogenní koule s jednotkovou
hustotou a poloměrem r vzhledem k libovolné přímce jdoucí jejím středem.
−r
0
r0
−r
r
0
r
−r
x
y
z
Obr. 4.12
Řešení. Z vzorce (4.24) je zřejmé, že vzhledem
k symetrii koule a vzhledem k tomu,
že je homogenní, bude výsledek pro libovolnou
přímku procházející středem koule
stejný bez ohledu na polohu koule. Umístíme
proto kouli do počátku a za přímku
vybereme například osu z. Označme tuto
kouli V . Tedy V : x2
+ y2
+ z2
r2
, kde
r > 0 je poloměr koule.
Na výpočet integrálu (4.27) použijeme
transformaci do sférických souřadnic.
Kouli V v těchto souřadnicích odpovídá trojrozměrný interval
B :
0 r,
0 ϕ 2π,
0 ϑ π.
Transformovaný integrál vypočteme pomocí Fubiniovy věty. Dostaneme:
Iz(V ) =
V
(x2
+ y2
) dxdydz =
=
B
( 2
cos2
ϕ sin2
ϑ + 2
sin2
ϕ sin2
ϑ) 2
sin ϑ d dϕdϑ =
=
B
4
sin3
ϑ d dϕdϑ =
=
r
0
4
d ·
2π
0
dϕ ·
π
0
(1 − cos2
ϑ) sin ϑ dϑ =
=
cos ϑ = t
− sin ϑ dϑ = dt
sin ϑ dϑ = −dt
0 ; 1, π ; −1
=
5
5
r
0
· ϕ
2π
0
·
−1
1
(1 − t2
)(−1) dt =
=
r5
5
· 2π · t −
t3
3
1
−1
=
2πr5
5
·
4
3
=
8πr5
15
.
4.2 Fyzikální aplikace 223
4.2.4. Elektrický náboj
Nechť A ⊆ R2
je uzavřená měřitelná množina, kterou budeme chápat jako model
tenké rovinné desky. Označme σ(x, y) plošnou hustotu elektrického náboje
v bodě X = [x, y] ∈ A a předpokládejme, že σ je integrovatelná funkce na
množině A, přičemž σ může nabývat kladných i záporných hodnot. Pak celkový
elektrický náboj Q(A) rozložený na desce A je určen vztahem
Q(A) =
A
σ(x, y) dxdy. (4.28)
Příklad 4.18. Vypočtěte celkový elektrický náboj rozložený na tenké desce A,
která leží v 1. kvadrantu a je omezena osou x a křivkou o rovnici (x2
+ y2
)
2
=
= 2(x2
− y2
), je-li plošná hustota elektrického náboje σ(x, y) = xy(x2
− y2
).
Řešení. Použijeme vzorec (4.28). Nejprve určíme, jak vypadá množina A. Při
úpravách budeme v dalším potřebovat vzorce cos 2α = cos2
α−sin2
α a sin 2α =
= 2 sin α cos α. K vyjádření použijeme polární souřadnice , ϕ. Po jejich dosazení
do rovnice křivky dostaneme:
( 2
cos2
ϕ + 2
sin2
ϕ)
2
= 2( 2
cos2
ϕ− 2
sin2
ϕ), odkud = 0, 2
= 2 cos 2ϕ.
Hodnota = 0 odpovídá počátku. Dále výraz 2 cos 2ϕ musí být nezáporný
(protože je roven 2
), tj. ϕ ∈ −π/4, π/4 ∪ 3π/4, 5π/4 . Celá křivka je
nakreslena tečkovaně na obr. 4.13 a). Jde o tzv. Bernoulliovu1
lemniskátu.
x
y
√
2
A
a)
ϕ
π/4O
=
√
2 cos 2ϕ
b)
Obr. 4.13
1Jacob Bernoulli (1654–1705) (čti bernuli) — významný švýcarský matematik. Pracoval
v matematické analýze, teorii diferenciálních rovnic, variačním počtu, pravděpodobnosti atd. Jeden
z rozsáhlé rodiny významných matematiků téhož jména (přes 10 osob). Článek o křivce publikoval
v r. 1694.
224 Aplikace vícerozměrných integrálů
Rovněž uvažovaná množina A je znázorněna na obr. 4.13 a). Její vyjádření
v polárních souřadnicích tudíž bude
B :
0 ϕ
π
4
,
0 2 cos 2ϕ,
což je zápis elementární množiny vzhledem k ose ϕ (viz obr. 4.13 b)). Na
transformovaný integrál proto použijeme Fubiniovu větu. Vyjde:
Q(A) =
A
xy(x2
− y2
) dxdy =
=
B
cos ϕ · sin ϕ( 2
cos2
ϕ − 2
sin2
ϕ) d dϕ =
=
1
2
B
5
sin 2ϕ cos 2ϕ d dϕ =
=
1
2
π/4
0
√
2 cos 2ϕ
0
5
sin 2ϕ cos 2ϕ d dϕ =
=
1
2
π/4
0
sin 2ϕ cos 2ϕ
6
6
√
2 cos 2ϕ
0
dϕ =
2
3
π/4
0
sin 2ϕ cos4
2ϕ dϕ =
=
cos 2ϕ = t
−2 sin 2ϕ dϕ = dt
2 sin 2ϕ dϕ = −dt
0 ; 1, π
4
; 0
= −
1
3
0
1
t4
dt =
1
3
t5
5
1
0
=
1
15
.
Nechť V ⊆ R3
je uzavřená měřitelná množina, kterou budeme chápat jako
model trojrozměrného tělesa. Označme σ(x, y, z) objemovou hustotu náboje
v bodě X = [x, y, z] ∈ V a předpokládejme, že σ je integrovatelná funkce na
množině V , jejíž hodnoty mohou mít libovolná znaménka. Pak celkový elektrický
náboj Q(V ) rozložený v tělese V je určen vztahem
Q(V ) =
V
σ(x, y, z) dxdydz. (4.29)
Příklad 4.19. Vypočtěte celkový elektrický náboj rozložený v trojrozměrném
tělese V , které leží v poloprostoru z 0 a je omezené plochou o rovnici
(x2
+ y2
+ z2
)
2
= −8xz, je-li objemová hustota elektrického náboje σ(x, y, z) =
= 2x + z.
4.2 Fyzikální aplikace 225
−1,6
0
0−1 1
0
1,6
x
y
z
Obr. 4.14
Řešení. Použijeme vzorec (4.29). Abychom si udělali představu, jak vypadá těleso
V , vyjádříme zadanou plochu ve sférických souřadnicích , ϕ, ϑ:
( 2
)
2
= −8 cos ϕ sin ϑ · cos ϑ, tj. = 0 nebo 2
= −4 cos ϕ sin 2ϑ.
Hodnota = 0 odpovídá počátku. Dále součin −4 cos ϕ sin 2ϑ musí být nezáporný
(protože je roven 2
). Z rovnice plochy plyne, že výraz −8xz je nezáporný.
Protože má být z 0 (tj. 0 ϑ π/2), musí být x 0 (tj. π/2 ϕ 3π/2).
Vyjádření množiny V ve sférických souřadnicích proto bude
π
2
ϕ
3π
2
,
B : 0 ϑ
π
2
,
0 2 − cos ϕ sin 2ϑ.
Těleso V je znázorněno na obrázku 4.14. Množina B je elementární množina
vzhledem k rovině ϕϑ, takže na transformovaný integrál budeme moci použít
Fubiniovu větu. Vzniklý integrál pak rozdělíme na části, které pro přehlednost
spočítáme samostatně. Pro velikost celkového elektrického náboje tudíž dosta-
neme:
Q(V ) =
V
(2x + z) dxdydz =
=
B
(2 cos ϕ sin ϑ + cos ϑ) 2
sin ϑd dϕdϑ =
226 Aplikace vícerozměrných integrálů
=
3π/2
π/2
π/2
0
2
√
− cos ϕ sin 2ϑ
0
3
(2 cos ϕ sin2
ϑ + cos ϑ sin ϑ) d dϑ dϕ =
=
3π/2
π/2
π/2
0
(2 cos ϕ sin2
ϑ + cos ϑ sin ϑ)
4
4
2
√
− cos ϕ sin 2ϑ
0
dϑ dϕ =
= 4
3π/2
π/2
π/2
0
(2 cos ϕ sin2
ϑ + cos ϑ sin ϑ) cos2
ϕ sin2
2ϑ dϑ dϕ =
= 8
3π/2
π/2
cos3
ϕ dϕ ·
π/2
0
sin2
ϑ sin2
2ϑ dϑ +
+ 2
3π/2
π/2
cos2
ϕ dϕ ·
π/2
0
sin3
2ϑ dϑ.
Při výpočtu vzniklých čtyř jednoduchých integrálů použijeme mimo jiné goniometrické
vzorce cos2
α = (1 + cos 2α)/2 a sin2
α = (1 − cos 2α)/2. Postupně
vyjde:
3π/2
π/2
cos3
ϕ dϕ =
3π/2
π/2
(1 − sin2
ϕ) cos ϕ dϕ =
sin ϕ = t
cos ϕ dϕ = dt
π
2
; 1, 3π
2
; −1
=
=
−1
1
(1 − t2
) dt = t −
t3
3
−1
1
= −
4
3
,
π/2
0
sin2
ϑ sin2
2ϑ dϑ =
1
2
π/2
0
(1 − cos 2ϑ) sin2
2ϑ dϑ =
=
1
2
π/2
0
sin2
2ϑ dϑ −
1
2
π/2
0
cos 2ϑ sin2
2ϑ dϑ =
=
sin 2ϑ = t
2 cos 2ϑ = dt
cos 2ϑ = 1
2
dt
0 ; 0, π
2
; 0
=
1
4
π/2
0
(1 − cos 4ϑ) dϑ −
−
1
4
0
0
t2
dt =
1
4
ϑ −
sin 4ϑ
4
π/2
0
− 0 =
π
8
,
3π/2
π/2
cos2
ϕ dϕ =
1
2
3π/2
π/2
(1 + cos 2ϕ) dϕ =
1
2
ϕ +
sin 2ϕ
2
3π/2
π/2
=
π
2
,
π/2
0
sin3
2ϑ dϑ =
π/2
0
(1 − cos2
2ϑ) sin 2ϑ dϑ =
cos 2ϑ = t
−2 sin 2ϑ dϑ = dt
sin 2ϑ dϑ = −1
2
dt
0 ; 1, π
2
; −1
=
4.2 Fyzikální aplikace 227
= −
1
2
−1
1
(1 − t2
) dt =
1
2
t −
t3
3
1
−1
=
2
3
.
Po dosazení čtyř dílčích hodnot do odvozeného vyjádření Q(V ) obdržíme
Q(V ) = 8 −
4
3
π
8
+ 2
π
2
2
3
= −
2π
3
.
4.2.5. Další fyzikální aplikace
Dosavadní ukázky se týkaly dvojných a trojných integrálů. Avšak i integrály
vyšších rozměrností mají významné aplikace. Jednu z nich nyní popíšeme. Uvažujme
trojrozměrné hmotné těleso a předpokládejme, že v jeho gravitačním poli
se nachází další těleso, které se s prvním tělesem neprotíná. Matematickým modelem
těchto těles jsou dvě kompaktní disjunktní měřitelné množiny A, B v R3
.
Nechť jejich hustoty jsou dány po řadě funkcemi ρA a ρB, které jsou nezáporné
a integrovatelné na množině A, resp. B. Označme F = (F1, F2, F3) gravitační
sílu, kterou první těleso přitahuje těleso druhé. Pak pro složky síly Fi síly F
platí
Fi =
A×B
GρA(x1, x2, x3)ρB(y1, y2, y3)(xi − yi)
[(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2]3/2
dx1dx2dx3dy1dy2dy3,
kde G je gravitační konstanta. Obdobně pro potenciální energii E tělesa B
v gravitačním poli tělesa A platí
E =
A×B
GρA(x1, x2, x3)ρB(y1, y2, y3)
[(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2]1/2
dx1dx2dx3dy1dy2dy3.
Poznámka 4.20. V oddílu o fyzikálních aplikacích jsme ukázali, jak se z jistých tzv.
intenzivních veličin (např. hustota, plošná hustota elektrického náboje, objemová hustota
elektrického náboje a další) určí pomocí dvojného resp. trojného integrálu tzv. extenzivní
veličiny jako hmotnost, momenty setrvačnosti a celkový elektrický náboj.
Všechny extenzivní veličiny mají důležitou vlastnost, tzv. aditivitu: rozdělíme-li
množinu A na dvě disjunktní části A1 a A2, pak veličina přiřazená množině A je
součtem veličin přiřazených množinám A1 a A2.
Ve fyzice i v jiných disciplínách se setkáváme s řadou dalších extenzivních veličin,
které mohou být často určeny pomocí integrálů z intenzivních veličin. Integrály totiž
jsou aditivní vzhledem k integračnímu oboru — viz věta 1.50, část c). U veličin, které
nejsou aditivní, proto nelze očekávat, že půjdou vyjádřit pomocí integrálů z intenzivních
veličin.
228 Aplikace vícerozměrných integrálů
Cvičení
1. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah množiny omezené křivkami:
a) xy = 4, y = x, x = 4, b) y2
= 4 + x, x + 3y = 0,
c) y = ln x, x − y = 1, y = −1, d) y = sin x, y = cos x, x 0,
e) xy = a2
, x + y =
5
2
a, a > 0, f) y = x2
, 4y = x2
, x = ±2,
g) y2
=
b2
a
x, y =
b
a
x, a, b > 0, h) y = tg x, y =
2
3
cos x, x = 0,
i) xy = 1, xy = 8, y2
= x, y2
= 8x.
2. Vypočtěte obsah rovinného obrazce určeného nerovnostmi:
a) y −x3
, y 2x3
, y x3
− 1,
b)
x2
9
+
y2
4
1,
x
3
+
y
2
1,
c) y 1, y x − 1, y ln x,
d) y x2
+ 1, y (x − 1)3
, y −x + 3, x 0,
e) y2
2px + p2
, y2
−2qx + q2
, p > 0, q > 0.
3. Vypočtěte obsah:
a) rovinného obrazce omezeného křivkami x2
+ y2
= 2x, x2
+ y2
= 4x,
y = 0, y = x,
b) rovinného obrazce určeného v prvním kvadrantu křivkou x3
+y3
= 3axy,
kde a > 0 (Descartův list),
c) asteroidy x2/3
+ y2/3
= a2/3
, kde a > 0 je konstanta,
d) „čtyřlístku“ = a| sin 2ϕ|, ϕ ∈ 0, 2π .
4. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte objem:
a) válce omezeného podstavou A = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
1, x 0,
y 0, z = 0 , válcovou plochou tvořenou rovnoběžkami s osou z
vedenými z bodů hranice množiny A a plochou z = x + y,
b) tělesa V = [x, y, z] ∈ R3
: x −2, 0 y −x,
0 z (x + 1)2
+ 1 .
Cvičení 229
5. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa omezeného plochami:
a) az = x2
− y2
, x = a, a > 0, v I. oktantu,
b)
x2
a2
+
z2
b2
= 1,
x2
a2
+
y2
b2
= 1, a, b > 0,
c) z2
= xy, x = 0, x = a, y = 0, y = a, a > 0,
d) z = a − x, y2
= ax, z = 0, a > 0,
e) z = sin
πy
2x
, z = 0, y = x, y = 0, x = π,
f) z = x + 6y, z = 0, y = x, y = 5x, x = 1,
g) y = x2
, x + y + z = 4, y = 1, z = 0,
h) x + y + z = 6, 3x + 2y = 12, x = 0, y = 0, z = 0,
i)
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1, x = 0, y = 0, z = 0, a, b, c > 0, v I. oktantu,
j) x = 0, x = 4, y = 0, y = 4, z = 0, z = x2
+ y2
+ 1.
6. Vypočtěte obsah:
a) části plochy z = 4 − x − y, omezené rovinami x = 0, y = 0, x = 2,
y = 2,
b) části plochy z = x2
/2, kde 0 x 2
√
2, x/2 y 2x,
c) části plochy z = (ex
+ e−x
)/2, kde 0 x 1, 0 y x,
d) části kuželové plochy z = x2 + y2 − 2x + 1, ležící uvnitř válcové plochy
x2
+ y2
= 4,
e) části plochy x2
+ z2
= 1, určené nerovnostmi y 0, z 0, x + y 2,
f) části plochy z2
= 2xy, kde x 0, x 3, y 0, y 6, z 0,
g) části plochy 2z = x2
+ y2
, kde x2
+ y2
1,
h) části plochy z = 2 − (x2
+ y2
), kde 0 y x, z 0,
i) plochy vyťaté na kulové ploše x2
+ y2
+ z2
= a2
plochou y2
= ay − x2
,
kde a > 0.
230 Aplikace vícerozměrných integrálů
7. Vypočtěte hmotnost rovinné desky A omezené danými křivkami resp. určené
danými nerovnostmi, je-li ρ plošná hustota:
a) A: 1 x 3, −1 y 2, ρ(x, y) = x2
+ y2
,
b) A: x 0, x 4, y 0, y 3, ρ(x, y) je v libovolném bodě přímo
úměrná druhé mocnině vzdálenosti tohoto bodu od počátku O = (0, 0),
c) A:
x2
a2
+
y2
b2
= 1, x 0, y 0, a, b > 0, ρ(x, y) = kxy, k > 0,
d) A: x2
− y − 1 0, x − y + 1 0, ρ(x, y) = |x − 1|,
e) A: x2
+ y2
− 2y 0, ρ(x, y) = |xy|,
f) A: x2
+ y2
− 2x 0, x2
+ y2
− 4x 0, ρ(x, y) = |y|.
8. Určete uvedený statický moment rovinné desky A omezené danými křivkami
resp. určené danými nerovnostmi, je-li ρ plošná hustota:
a) Sy, A: y x, y 1/x, y 1/2, ρ(x, y) = 2y,
b) Sx, A: 1 x2
+ y2
4, y x, y 0, ρ(x, y) = x2
,
c) Sx, A: y = x, x = y2
, ρ(x, y) = 1
√
x + 1,
d) Sy, A: x 0, y 0, ln x y 1, ρ(x, y) = xy,
e) Sy, A: x2
+ y2
4, x 0, ρ(x, y) = x 4 − x2 − y2,
f) statický moment vzhledem ke straně a, přičemž A je obdélník o stranách
a, b a ρ(x, y) = 1.
9. Určete těžiště T rovinné desky o plošné hustotě ρ (není-li dáno jinak, je
ρ = 1) omezené danými křivkami resp. určené danými nerovnostmi:
a) y = 0 a jedna půlvlna sinusoidy y = sin x, 0 x π,
b) y = x2
, x = 4, y = 0, c) x2
+ y2
= a2
, y 0, a > 0,
d) y2
= ax, x = a, y 0, a > 0, e) y = a2
− x2
, y = 0, a > 0,
f)
x
a
2
+
y
b
2
1, y 0, g) ay = x2
, x + y = 2a, a > 0,
a, b > 0, h) y = x, y = x2
,
Cvičení 231
i) x2
+ y2
a2
, a > 0, je-li ρ(x, y) přímo úměrné vzdálenosti bodu
[x, y] od bodu [a, 0].
10. Vypočtěte uvedený moment setrvačnosti rovinné desky A omezené danými
křivkami resp. určené danými nerovnostmi, je-li ρ plošná hustota:
a) Iy, A: x = 0, x = 4, y = x/2 + 3, y = x/2 − 3, ρ(x, y) = x,
b) Ix, A: x2
y x, ρ(x, y) = k, k > 0,
c) Ix, A: x2
+ y2
r2
, ρ(x, y) = 1, r > 0,
d) Ix, A: 1 x2
+ y2
4, y x, y −x, ρ(x, y) = y,
e) Ix, A:
x2
a2
1
+
y2
b2
1
= 1,
x2
a2
2
+
y2
b2
2
= 1, 0 < a1 < a2, 0 < b1 < b2,
ρ(x, y) = 1.
11. Vypočtěte objem tělesa omezeného danými plochami resp. určeného danými
nerovnostmi:
a) z = x2
+ y2
, x + y = 4, x = 0, y = 0, z = 0,
b) y = x2
, z = 0, y + z = 2,
c) x − y + z = 6, x + y = 2, x = y, y = 0, z = 0,
d) z = 4 − y2
, z = y2
+ 2, x = −1, x = 2,
e) z = x2
+ y2
, y = x2
, y = 1, z = 0,
f) z = x2
+ y2
, z = x2
+ 2y2
, y = x, y = 2x, x = 1,
g) y =
√
x, y = 2
√
x, z = 0, x + z = 6,
h) x + y + z = α, x2
+ y2
= R2
, x 0, y 0, z 0, α, R > 0,
α
√
2R.
12. Vypočtěte objem tělesa omezeného danými plochami pomocí transformace
do cylindrických resp. sférických souřadnic:
a) z = 4 (x2
+ y2
), x2
+ y2
= 1, x2
+ y2
= 4, z = 0,
b) x + y + z = 3a, x2
+ y2
= a2
, z = 0, a > 0,
232 Aplikace vícerozměrných integrálů
c) z = x2
+ y2
, x2
+ y2
= x, x2
+ y2
= 2x, z = 0,
d) x2
+ y2
= 4, x2
+ y2
− z2
= −4,
e) x2
+ y2
+ z4
= 1,
f) (x2
+ y2
+ z2
)2
= a3
x, a > 0.
13. Vypočtěte objem tělesa omezeného danými plochami resp. určeného danými
nerovnostmi pomocí transformace do zobecněných cylindrických resp. sférických
souřadnic:
a)
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1,
x2
a2
+
y2
b2
z2
c2
, z 0, a, b, c > 0,
b) z = xy,
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
x2
4a2
+
y2
4b2
= 1, a, b > 0, v I. oktantu,
c)
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= −1,
x2
a2
+
y2
b2
= 1, a, b, c > 0.
14. Vypočtěte objem tělesa V , kde
a) V = [x, y, z] ∈ R3
: 1 y x 2, 0 z x/y ,
b) V = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
r2
, 0 z (v/r)y , r > 0, v > 0,
c) V = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
ax, a2
z2
c2
(x2
+ y2
), z 0 ,
a > 0, c > 0,
d) V = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
x, x2
+ y2
2x, x + z 0, x2
+
+ y2
z ,
e) V = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
− 2x 0, z 2 − x2
− y2
, z 0 ,
f) V = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
r2
, x2
+ y2
a2
, 0 < a < r,
g) V je průnik válců x2
+ y2
a2
, x2
+ z2
a2
, a > 0,
h) V je omezeno horní polovinou kulové plochy x2
+ y2
+ z2
= 2az
a kuželovou plochou x2
+ y2
= z2
, a > 0,
i) V = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
r2
, x2
+ y2
rx , r > 0, je
Vivianiho1
těleso (průnik válce s koulí),
j) V je omezené plochami
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
2z
c
=
x2
p2
+
y2
q2
a z = 0, a > 0,
b > 0, c > 0, p > 0, q > 0,
1Vincenzo Viviani (1622–1703) (čti viviany) — italský inženýr. Zabýval se geometrií.
Cvičení 233
k) V je omezené plochami x + y + z = a, x + y + z = 2a, x + y = z,
x + y = 2z, y = x, y = 3x, a > 0,
i) pomocí transformace x = u − v, y = u + v, z = z,
ii) pomocí transformace x + y + z = u, (x + y)/z = v, y/x = w.
15. Vypočtěte hmotnost nehomogenního tělesa o objemové hustotě ρ(x, y, z)
a) omezeného rovinami x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 1,
z = 4, ρ(x, y, z) = x2
y,
b) omezeného válcovou plochou x2
= 2y a rovinami y + z = 1,
2y + z = 2, ρ(x, y, z) = y,
c) omezeného válcovou plochou x2
+ y2
= 9 a rovinami z = 0,
z = 5, ρ(x, y, z) = 4 + x,
d) omezeného plochou x2
+ y2
− z2
= 0 a rovinou z = c,
ρ(x, y, z) = z, c > 0,
e) omezeného plochou x2
+ y2
+ z2
= 4,
ρ(x, y, z) = k(x2
+ y2
+ z2
), k > 0.
16. Určete daný statický moment nehomogenního tělesa M o hustotě ρ(x, y, z):
a) Syz, M je omezeno plochami z = −x2
, z = −y3
, x 1, přičemž
− x y 0, ρ(x, y, z) = |y|,
b) Syz, M je omezeno plochami z = −x3
, z = ex
, y = 1 − x,
přičemž x 0, y 0, ρ(x, y, z) = x,
c) Sxy, M je omezeno plochami z = x2
+ y2
, z = 3, přičemž y |x|,
ρ(x, y, z) = y,
d) Sxz, M je určeno nerovnostmi x2
+ y2
1, 1 z 5 − x2
− y2
,
y |x|, ρ(x, y, z) = |y|.
17. Určete těžiště tělesa o hustotě ρ(x, y, z) (není-li dáno jinak, je ρ = 1), které
je omezené plochami:
a) x2
/p + y2
/q = 2z, z = c, p > 0, q > 0, c > 0, v I. oktantu,
b) z = y2
/2, x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y − 12 = 0,
c) x = 0, x = 2, y = 0, y = 2, z = 0, z = 4, ρ(x, y, z) = x,
d) az = a2
− x2
− y2
, z = 0, a > 0,
e) z = y2
/2, 2x + 3y − 12 = 0, x = 0, y = 0, z = 8.
234 Aplikace vícerozměrných integrálů
18. Určete těžiště (ρ je objemová hustota):
a) osminy elipsoidu x2
/a2
+ y2
/b2
+ z2
/c2
= 1 v prvním oktantu, kde
ρ(x, y, z) = κ, a, b, c, κ > 0,
b) části koule se středem v počátku a poloměrem r > 0 ležící v prvním
oktantu, je-li hustota ρ v každém bodě přímo úměrná jeho vzdálenosti
od počátku,
c) krychle 0, 1 × 0, 1 × 0, 1 , je-li hustota dána vztahem ρ(x, y, z) =
= κ x
2α−1
1−α y
2β−1
1−β z
2γ −1
1−γ , kde κ > 0, 1/2 α < 1, 1/2 β < 1, 1/2
γ < 1,
d) výseče koule o poloměru r > 0 se středem v počátku, která má středový
úhel 2α a jejíž osa leží v kladné části osy z; přitom ρ(x, y, z) = 1,
e) kulového klínu vyťatého z koule o poloměru r > 0 se středem v počátku;
roviny vytínající klín procházejí osou x a svírají úhel 2α, osa
souměrnosti klínu leží v kladné části osy z; přitom ρ(x, y, z) = 1.
19. Určete moment setrvačnosti (ρ je hustota):
a) homogenního rotačního válce vzhledem k ose rotace, je-li výška válce v
a podstava je určena kružnicí x2
+ y2
= r2
, v > 0, r > 0, ρ = 1,
b) nehomogenní koule x2
+ y2
+ z2
= R2
vzhledem k ose jdoucí středem,
R > 0, je-li ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2,
c) homogenního rotačního kužele o poloměru podstavy r > 0 a výšce
h > 0 vzhledem k jeho ose rotace, ρ = 1,
d) homogenního kvádru o rozměrech a × b × c vzhledem k ose jdoucí
středem kvádru rovnoběžně s hranami délky a, ρ = 1,
e) homogenní krychle o velikosti hrany a vzhledem k její tělesové úhlopříčce,
ρ = 1,
f) osminy koule x2
+ y2
+ z2
= a2
, a > 0, v I. oktantu vzhledem k ose z,
je-li ρ(x, y, z) = z,
g) rotačního válce (x − a)2
+ (y − b)2
r2
, 0 z v, kde r > 0, v > 0,
a, b ∈ R, vzhledem k ose z, je-li ρ(x, y, z) = 1.
20. Vypočtěte celkový elektrický náboj Q rozložený na rovinné desce M omezené
danými křivkami, resp. určené danými nerovnostmi, je-li dána jeho
plošná hustota σ:
a) M : 0 x 1, 0 y π/2, σ(x, y) = x sin y,
b) M : 1 x 3, x = y, y = x + 2, σ(x, y) = 2x + 3y,
Cvičení 235
c) M : y = x, y = x2
, σ(x, y) = x + y,
d) M : 0 x 1, y 0, y 1 − x, σ(x, y) = x + y − xy,
e) M : x = y, y = x2
, σ(x, y) = x2
+ y2
,
f) M : x + y = ±a, x − y = ±a, σ(x, y) = 2 a2 − x2, a > 0.
21. Vypočtěte celkový elektrický náboj Q rozložený v tělese M určeném danými
nerovnostmi, je-li dána objemová hustota σ tohoto náboje:
a) M : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1, σ(x, y, z) = xyz,
b) M : x + y 3, x 0, y 0, 0 z 4, σ(x, y, z) =
x + y
4 + z
,
c) M : x 0, y 0, z 0, 4x2
+ y2
+ z2
1, σ(x, y, z) = x2
yz,
d) M : 0 x e − 1, 0 y e − x − 1, e z x + y + e,
σ(x, y, z) =
ln(z − x − y)
(x − e)(x + y − e)
.
22. Vypočtěte objemy následujících těles:
a) n-rozměrného rovnoběžnostěnu omezeného rovinami ai1x1 + ai2x2 +
+ · · · + ainxn = ±hi (i = 1, 2, . . . , n), kde hi > 0 a det(aij ) = 0.
b) n-rozměrného jehlanu
x1
a1
+
x2
a2
+· · ·+
xn
an
1, xi 0 (i = 1, 2, . . . , n),
je-li ai > 0 (i = 1, 2, . . . , n).
c) n-rozměrného elipsoidu
x2
1
a2
1
+
x2
2
a2
2
+ · · · +
x2
n
a2
n
1, je-li ai > 0 (i =
= 1, 2, . . . , n).
23. Nechť M, N jsou měřitelné množiny v R3
, které leží mezi rovinami z =
= a a z = b, kde a < b. Nechť pro každé z ∈ a, b jsou řezy M(·,·,z),
N(·,·,z) měřitelné množiny v R2
(viz označení z lemmatu 3.47). Nechť existuje
konstanta k > 0 taková, že m2(M(·,·,z)) = k m2(N(·,·,z)) pro každé z ∈ a, b .
Dokažte, že pak platí m3(M) = k m3(N) (tzv. Cavalieriův1
princip).
24. Nechť A ⊂ Rn
je měřitelná množina. Označme B = [x1, . . . , xn, 0] ∈ Rn+1
:
[x1, . . . , xn] ∈ A . Buď V = [0, . . . , 0, v] ∈ Rn+1
, kde v > 0. Uvažujme
1Bonaventura Francesco Cavalieri (1598–1647) (čti kavalieri) — italský matematik. Ve své
teorii nedělitelných veličin rozvinul Archimedovu exhaustivní metodu — viz [25]. Jeho myšlenky
přispěly k rozvoji integrálního počtu.
236 Aplikace vícerozměrných integrálů
„jehlan“ s podstavou B a vrcholem V v Rn+1
, tj. množinu
M = [(1 − λ)x1, . . . , (1 − λ)xn, λv] : [x1, . . . , xn, 0] ∈ B, 0 λ 1
(M je tvořena body úseček spojujících vrchol V s body podstavy B). Je-li M
měřitelná množina, najděte vzorec pro vyjádření mn+1(M) pomocí mn(A)
a v.
25. Ukažte, že při označení ze cvičení 24 z měřitelnosti množiny A v Rn
plyne
měřitelnost množiny M v Rn+1
, takže tento předpoklad lze vynechat.
Výsledky
1. a) 6 − 4 ln 2, b) 20 5
6
, c) 1
2
− 1
e
, d)
√
2 − 1,
e) a2 15
8
− ln 4 , f) 4, g) ab
6
, h) 1
3
+ ln
√
3
2
, i) 7 ln 2.
2. a) 3
4
1 + 1
3√
2
, b) 3
2
π − 2 , c) 2e−5
2
, d) 17
6
, e) 2
3
(p + q)
√
pq.
3. a) 3π,
b) 3
2
a2
(použijte transformaci do zobecněných eliptických souřadnic
x = cos2
ϕ, y = sin2
ϕ),
c) 3
8
πa2
(použijte transformaci do zobecněných eliptických souřadnic
x = cos3
ϕ, y = sin3
ϕ),
d) 1
2
πa2
.
4. a) 2
3
, b) 8
3
.
5. a) a3
6
, b) 16
3
ab2
, c) 8
9
a3
, d) 8
15
a3
, e) π,
f) 76
3
, g) 68
15
, h) 32, i) abc
6
, j) 560
3
.
6. a) 4
√
3, b) 13, c) 1 − 1
e
, d) 4π
√
2, e) 2π,
f) 36, g) 2
3
π
√
8 − 1 , h) 13
24
π, i) 2a2
(π − 2).
7. a) 32, b) 100k, c) 1
8
ka2
b2
, d) 37
12
, e) 4
3
, f) 28
3
.
8. a) ln 2 − 15
64
, b) 31(
√
2+4)
60
, c) 6−4
√
2
5
,
d) 2e3+1
27
, e) 32
15
π, f) 1
2
ab2
.
Cvičení 237
9. a) T = π
2
, π
8
, b) T = 3, 24
5
, c) T = 0, 4a
3π
,
d) T = 3a
5
, 3a
8
, e) T = 0, 2a2
5
, f) T = 0, 4b
3π
,
g) T = −1
2
a, 8
5
a , h) T = 1
2
, 2
5
, i) T = −a
5
, 0 .
10. a) 384, b) k
28
, c) πr4
4
, d) 31
6
√
2, e) π
4
(b3
2a2 − b3
1a1).
11. a) 128
3
, b) 32
15
√
2, c) 16
3
, d) 8,
e) 88
105
, f) 1
2
, g) 48
5
√
6, h) παR2
4
− 2
3
R3
.
12. a) 8π ln 2, b) 3πa3
, c) 45
32
π,
d) 32π
3
2
√
2 − 1 , e) 8
5
π, f) πa3
3
.
13. a) π
3
abc(2 −
√
2), b) 15
8
a2
b2
, c) 4π
3
abc(2
√
2 − 1).
14. a) 2 ln 2 − 3
4
, b) 2
3
vr2
, c) 4
9
a2
c, d) 73
32
π,
e) 3
4
π, f) 4π
3
r3
− (r2
− a2
)
√
r2 − a2 , g) 16
3
a3
,
h) πa3
, i) 2
3
r3
π − 4
3
, j) πabc
8
a2
p2 + b2
q2 , k) 49a3
864
.
15. a) 2, b) 8
35
√
2, c) 180π, d) πc4
4
, e) 128kπ
5
.
16. a) 47
420
, b) 126e−335
42
, c) 18
√
6
7
, d) 9
8
(π + 2).
17. a) T = 16
15π
√
2cp, 16
15π
√
2cq, 2c
3
, b) T = 6
5
, 12
5
, 8
5
,
c) T = 4
3
, 1, 2 , d) T = 0, 0, a
3
, e) T = 54
25
, 28
25
, 112
25
.
18. a) T = 3
8
a, 3
8
b, 3
8
c , b) T = 2
5
r, 2
5
r, 2
5
r , c) T = [α, β, γ ],
d) T = 0, 0, 3
4
r cos2 α
2
, e) T = 0, 0, 3πr
16α
sin α .
19. a) 1
2
πvr4
, b) 4πR6
9
, c) πhr4
10
, d) 1
12
abc(b2
+ c2
),
e) 1
6
a5
, f) πa6
48
, g) πr2
v (r2
/2 + a2
+ b2
).
20. a) 1
2
, b) 52, c) 3
20
, d) 7
24
, e) 3
35
, f) 2
3
a3
(3π − 4).
238 Aplikace vícerozměrných integrálů
21. a) 1
720
, b) 9 ln 2, c) − 1
840
, d) 2e − 5.
22. a) 2nh1h2···hn
| det(aij )|
(použijte afinní transformaci ui = ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn,
i = 1, . . . , n, viz cvičení 5 ke kapitole 3),
b) a1a2···an
n!
(srovnejte příklad 4.6),
c) a1a2···an
n!!
· 2
¨ n+1
2
˝
· π
¨ n
2
˝
(použijte dilataci (3.19) a sférické souřadnice
(3.20) — srovnejte příklad 4.7).
23. Z verze Fubiniovy věty uvedené v lemmatu 3.47 vyplývá, že platí m3(M) =
=
M
dxdydz =
b
a
M(·,·,z)
dxdy dz =
b
a m2(M(·,·,z)) dz a analogicky m3(N) =
=
b
a m2(N(·,·,z)) dz. Tudíž m3(M) =
b
a k m2(N(·,·,z)) dz = k m3(N).
24. Množina M leží mezi nadrovinami xn+1 = 0 a xn+1 = v. Uvažujme její řezy
M(·,xn+1), 0 xn+1 v. Z rovnice λv = xn+1 plyne, že λ = xn+1/v, tedy
M(·,xn+1) = [(1 − xn+1/v)x1, . . . , (1 − xn+1/v)xn] : [x1, . . . , xn] ∈ A . Tudíž
M(·,xn+1) je afinním obrazem (konkrétně jde o dilataci — viz (3.19)) množiny
A. Podle cvičení 5 ke kapitole 3 je proto každý řez měřitelná množina a platí
mn(M(·,xn+1)) = (1−xn+1/v)n mn(A). Užitím verze Fubiniovy věty z lemmatu 3.47
dostaneme
mn+1(M) = ···
M
dx1 · · · dxn+1 =
v
0 ···
M(·,xn+1)
dx1 · · · dxn dxn+1 =
=
v
0 mn(M(·,xn+1)) dxn+1 =
v
0 1 − xn+1
v
n
mn(A) dxn+1 =
= mn(A) − v
n+1 1 − xn+1
v
n+1 v
0
= mn(A)v
n+1 .
25. Nejprve určíme vnitřek množiny M. Uvažujme zobrazení F : Rn+1 → Rn+1 dané
vztahem F(x1, . . . , xn, λ) = [(1 − λ)x1, . . . , (1 − λ)xn, λv]. Pak F je diferencovatelné
a pro jeho jakobián platí
JF =
1 − λ 0 . . . 0 −x1
0 1 − λ . . . 0 −x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 − λ −xn
0 0 . . . 0 v
= (1 − λ)nv.
Množina
◦
A×(0, 1) je otevřená v Rn+1 a F je na ní regulární. Podle důsledku 3.37 je
množina F(
◦
A×(0, 1)) otevřená a je částí M, takže F(
◦
A×(0, 1)) ⊆
◦
M. Protože body
uzávěru množiny M jsou limity konvergentních posloupností bodů této množiny,
snadno se ověří, že
M = [(1 − λ)x1, . . . , (1 − λ)xn, λv] : [x1, . . . , xn] ∈ A, 0 λ 1 .
Cvičení 239
Tudíž h(M) ⊆ B ∪ C, kde (připomeňme, že B = A × {0})
C = [(1 − λ)x1, . . . , (1 − λ)xn, λv] : [x1, . . . , xn] ∈ h(A), 0 λ 1 .
(Není těžké ověřit, že ve skutečnosti F(
◦
A×(0, 1)) =
◦
M a h(M) = B ∪C, ale tento
výsledek nebudeme potřebovat.) Protože množina B je omezená a je podmnožinou
nadroviny xn+1 = 0, je podle cvičení 18 ke kapitole 2 měřitelná a mn+1(B) = 0.
Nechť R ⊂ Rn je n-rozměrný nedegenerovaný interval. Uvažujme jehlan K s podstavou
R a vrcholem V . Hranice kvádru R v Rn je sjednocením 2n degenerovaných
n-rozměrných intervalů H1, . . . , H2n. Zavedeme-li množinu C analogickým způsobem
jako výše, bude platit C = C1 ∪ · · · ∪ C2n, kde
Ci = [(1 − λ)x1, . . . , (1 − λ)xn, λv] : [x1, . . . , xn] ∈ Hi, 0 λ 1 .
i = 1, . . . , 2n. Každá množina Ci je omezená a je podmnožinou jisté nadroviny
v Rn+1, takže podle cvičení 18 ke kapitole 2 je měřitelná a mn+1(Ci) = 0. To
však znamená, že mn+1(h(K)) = 0. Podle analogie důsledku 1.41 pro obecné n
je proto množina K měřitelná. Podle cvičení 24 k této kapitole platí mn+1(K) =
= mn(R)v/(n + 1).
Nyní již důkaz snadno dokončíme. Protože množina A je měřitelná v Rn, podle
zmíněného důsledku 1.41 je mn(h(A)) = 0. Podle analogie cvičení 17 ke kapitole
1 pro obecné n existují k libovolnému číslu ε > 0 n-rozměrné intervaly
R1, . . . , Rk takové, že
k
i=1
Ri ⊇ h(A) a
k
i=1
mn(Ri) < ε/v. Nechť Ki je jehlan
s podstavou Ri a vrcholem V , i = 1, . . . , k. Podle předchozího jsou množiny Ki
měřitelné a mn+1(Ki) = mn(Ri)v/(n + 1). Z definice původně zavedené množiny
C vyplývá, že C ⊆ K1 ∪ · · · ∪ Kk, tudíž platí mn+1(C) mn+1(K1) + · · · +
+mn+1(Kk) = mn(R1)v/(n+1)+· · ·+mn(Rk)v/(n+1) < ε/(n+1) < ε. Protože
ε > 0 bylo libovolné, musí být mn+1(C) = 0. Odtud mn+1(h(M)) = 0, takže podle
důsledku 1.41 je množina M měřitelná.
240
Kapitola 5
Nevlastní vícerozměrné integrály
Integrály, které jsme zavedli v předchozích kapitolách, měly dvě podstatná omezení —
integračním oborem byla omezená množina a integrand byla ohraničená funkce. Pro
jednoduchý určitý Riemannův integrál se v základním kurzu zavádí zobecnění, tzv.
nevlastní Riemannův integrál. Podobné rozšíření je možné udělat i pro vícerozměrné integrály.
Omezíme se na dva případy — funkci s omezeným integračním oborem, která
je neohraničená v okolí jednoho bodu, a funkci s neomezeným integračním oborem.
V poznámce 5.27 se zmíníme o obecnější definici. Kvůli jednoduchosti výklad provedeme
pro funkce dvou proměnných. Zobecnění na funkce většího počtu proměnných je
snadné.
5.1. Nevlastní integrál z neohraničené funkce
Uvažujme funkci f definovanou na neprázdné množině Ω ⊆ R2.
Definice 5.1. Bod A ∈ Ω se nazývá singulární bod funkce f , jestliže f není ohraničená
na žádné množině tvaru Ω ∩O(A), kde O(A) je libovolné kruhové okolí bodu A.
Protože bod A nemůže být izolovaným bodem množiny Ω, jsou možné dva případy.
Buď je A vnitřním bodem množiny Ω (obr. 5.1 a)), nebo je jejím hromadným hraničním
bodem (obr. 5.1 b)); v druhém případě nemusí A ležet v množině Ω.
Definice 5.2. Řekneme, že posloupnost omezených množin {Mn}, Mn ⊆ R2, n ∈ N,
se smršťuje k bodu A, jestliže:
i) Bod A je vnitřním bodem každé z množin Mn.
ii) Platí lim
n→∞
d(Mn) = 0.
Číslo d(M) = sup{ (X, Y) : X, Y ∈ M} je průměr množiny M ⊆ R2; přitom je
eukleidovská metrika v R2. Posloupnost {Mn} nemusí být monotonní (nerostoucí resp.
5.1 Nevlastní integrál z neohraničené funkce 241
Ω
A
O(A)
a) Vnitřní bod
Ω
A
O(A)
b) Hraniční bod
Obr. 5.1: Singulární bod
klesající) vzhledem k inkluzi, tj. nemusí platit M1 ⊇ M2 ⊇ · · · , a množiny Mn nemusí
být souvislé.
Dále učiníme o funkci f definované na omezené množině Ω a mající A za singulární
bod následující předpoklad (není podstatné, zda je f definovaná v bodě A).
Předpoklad 5.3. Funkce f je integrovatelná na každé množině Ω M, kde M ⊂ R2
je libovolná měřitelná množina obsahující A ve svém vnitřku. (Z tohoto předpokladu
plyne, že je množina Ω měřitelná — viz cvičení 1 k této kapitole.)
Nyní již můžeme zformulovat definici nevlastního integrálu.
Definice 5.4. Nechť funkce f je definovaná na omezené množině Ω {A}, Ω ⊂ R2,
kde A je singulární bod funkce f splňující předpoklad 5.3.
Řekneme, že nevlastní integrál z funkce f konverguje na množině Ω, jestliže existuje
číslo I ∈ R takové, že lim
n→∞
Ω Mn
f (x, y) dxdy = I pro libovolnou posloupnost
měřitelných množin {Mn} smršťující se k bodu A. Pak píšeme
Ω
f (x, y) dxdy = I.
V opačném případě, tj. pokud takové číslo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál
z funkce f na množině Ω diverguje.
Existence limity z předchozí definice ani její hodnota I tudíž nesmí záviset na
volbě posloupnosti množin smršťující se k singulárnímu bodu A. Integrál ve smyslu
definice 1.3 resp. 1.45 budeme v dalším textu pro odlišení nazývat vlastní. Podotkněme
ještě, že obecně může limita z definice 5.4 záviset na výběru posloupnosti měřitelných
množin smršťující se k bodu A. Situace je podobná jako v případě nevlastního integrálu
na neomezené množině (viz odstavec 5.2, příklad 5.22 a jemu předcházející komentář).
242 Nevlastní vícerozměrné integrály
Poznámka 5.5. Vzhledem k aditivitě vlastního integrálu vůči integračnímu oboru lze
při vyšetřování konvergence nevlastního integrálu funkce f přes omezenou množinu Ω
se singulárním bodem A nahradit Ω jinou vhodnou množinou Ω1. Je-li A vnitřní bod Ω,
lze za Ω1 vzít libovolnou měřitelnou podmnožinu množiny Ω, pro niž je A vnitřní bod.
Je-li A hraniční bod Ω, lze za Ω1 vzít průnik Ω s libovolnou měřitelnou množinou,
pro niž je A vnitřním bodem. Tím se sice obecně změní hodnota nevlastního integrálu,
ale nezmění se jeho vlastnost „být konvergentní“ resp. „být divergentní“.
Naskýtá se přirozená otázka, co se stane, když postup z definice 5.4 použijeme na
funkci f integrovatelnou na množině Ω, pro niž bod A není singulární. Odpověď dává
následující lemma, podle kterého, stručně řečeno, počítáme-li vlastní integrál jako by šlo
o nevlastní, dostaneme správný výsledek. (Jiná verze následujícího lemmatu je uvedena
jako cvičení 2 k této kapitole.).
Lemma 5.6. Nechť funkce f je integrovatelná na měřitelné množině Ω ⊂ R2. Nechť
posloupnost měřitelných množin {Mn} se smršťuje k bodu A ∈ Ω. Pak platí
lim
n→∞
Ω Mn
f (x, y) dxdy =
Ω
f (x, y) dxdy.
Důkaz. Podle předpokladu je funkce f integrovatelná na Ω, tedy existuje konstanta K
taková, že |f (x, y)| K pro každé [x, y] ∈ Ω. Dále pro každé n ∈ N platí rovnost
Ω (Ω Mn) = Ω ∩ Mn. Jelikož d(Mn) → 0 pro n → ∞, bude m(Mn) → 0
pro n → ∞. Protože množiny Ω ∩ Mn jsou měřitelné a Ω ∩ Mn ⊆ Mn, dostaneme
0 m(Ω ∩ Mn) m(Mn), takže m(Ω ∩ Mn) → 0 pro n → ∞. Odtud vyjde
Ω
f (x, y) dxdy −
Ω Mn
f (x, y) dxdy =
Ω∩Mn
f (x, y) dxdy
Ω∩Mn
|f (x, y)| dxdy
Ω∩Mn
K dxdy = K m(Ω ∩ Mn) → 0
pro n → ∞, což dokazuje tvrzení.
Následující výsledek ukazuje, že nevlastní integrál je (stejně jako vlastní integrál)
lineární funkcí svého integrandu.
Věta 5.7. Nechť funkce f, g jsou definované na omezené množině Ω {A}, Ω ⊂ R2,
a A je jejich společný singulární bod. Nechť obě funkce splňují předpoklad 5.3.
Jestliže nevlastní integrály
Ω
f (x, y) dxdy a
Ω
g(x, y) dxdy konvergují a α, β
jsou libovolné konstanty, pak konverguje také integrál
Ω
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy
(pokud je vůbec nevlastní) a platí
Ω
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = α
Ω
f (x, y) dxdy + β
Ω
g(x, y) dxdy. (5.1)
5.1 Nevlastní integrál z neohraničené funkce 243
Důkaz. Nechť {Mn} je libovolná posloupnost měřitelných množin, která se smršťuje
k bodu A. Podle předpokladů platí rovnosti lim
n→∞
Ω Mn
f (x, y) dxdy =
Ω
f (x, y) dxdy
a lim
n→∞
Ω Mn
g(x, y) dxdy =
Ω
g(x, y) dxdy. Z linearity vlastního integrálu vzhledem
k integrandu (věta 1.49) plyne, že
Ω Mn
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = α
Ω Mn
f (x, y) dxdy + β
Ω Mn
g(x, y) dxdy.
Odtud limitním přechodem pro n → ∞ dostáváme
lim
n→∞
Ω Mn
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = α
Ω
f (x, y) dxdy + β
Ω
g(x, y) dxdy.
Pokud je
Ω
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy nevlastní, znamená to podle definice 5.4, že je
konvergentní, protože posloupnost {Mn} byla libovolná, a že platí rovnost (5.1). Vzhledem
k lemmatu 5.6 je tato rovnost správná i v případě, že je zmíněný integrál vlastní.
Poznámka 5.8. Z důkazu věty 5.7 a lemmatu 5.6 je zřejmé, že jestliže jeden z integrálů,
např.
Ω
f (x, y) dxdy, bude vlastní, bude integrál
Ω
[αf (x, y)+βg(x, y)] dxdy (který
je nevlastní, pokud je β = 0) konvergentní a bude platit rovnost (5.1).
Následující věta udává nutnou a postačující podmínku konvergence nevlastního integrálu
pro případ, kdy je integrand nezáporná funkce.
Věta 5.9. Nechť nezáporná funkce f je definovaná na omezené množině Ω {A},
Ω ⊂ R2, kde A je singulární bod funkce f splňující předpoklad 5.3.
Pak nevlastní integrál
Ω
f (x, y) dxdy je konvergentní právě tehdy, když existuje
posloupnost měřitelných množin {Mn} smršťující se k bodu A taková, že číselná posloupnost
mající členy
Ω Mn
f (x, y) dxdy, n ∈ N, je ohraničená.
Důkaz. Nutnost podmínky je zřejmá. Dokážeme postačitelnost.
Předpokládejme, že existuje posloupnost množin {Mn} smršťující se k bodu A taková,
že číselná posloupnost se členy
Ω Mn
f (x, y) dxdy, n ∈ N, (5.2)
je ohraničená.
1) Nejprve ukážeme, že existuje posloupnost množin {Nn} smršťující se k bodu A,
jež je klesající vzhledem k inkluzi a taková, že číselná posloupnost (5.2) (v níž
244 Nevlastní vícerozměrné integrály
Mn nahradíme Nn) je konvergentní. Tuto posloupnost zkonstruujeme jako vybranou
podposloupnost z {Mn}.
Položme i1 = 1. Protože A je vnitřním bodem každé množiny Mn a d(Mn) → 0
pro n → ∞, musí existovat index i2 > i1 tak, že Mi1 ⊃ Mi2 . Obdobně najdeme index
i3 > i2 tak, že Mi2 ⊃ Mi3 , atd. Pro každé n zvolme Nn = Min a označme
Ωn = Ω Nn. Posloupnost množin {Ωn} je rostoucí. Protože dvojný integrál
je aditivní vzhledem k integračnímu oboru a funkce f je nezáporná na Ω, platí
Ωn+1
f (x, y) dxdy =
Ωn
f (x, y) dxdy +
Ωn+1 Ωn
f (x, y) dxdy
Ωn
f (x, y) dxdy
pro každé n. Tedy posloupnost se členy
Ω Nn
f (x, y) dxdy, n ∈ N, je neklesající.
Jelikož je vybraná z posloupnosti (5.2), je ohraničená, a tedy konvergentní (viz [7,
věta 2.20]). Označme její limitu I.
2) Dokážeme, že pro libovolnou nerostoucí posloupnost měřitelných množin {Ln}, která
se smršťuje k bodu A, platí
lim
n→∞
Ω Ln
f (x, y) dxdy = I, (5.3)
kde I = ∞ je limita určená v závěru části 1).
Protože posloupnost {Ln} je nerostoucí, je posloupnost {Ω Ln} neklesající, takže
vzhledem k nezápornosti f na Ω je číselná posloupnost se členy
Ω Ln
f (x, y) dxdy
neklesající.
Nechť {Nn} je posloupnost z bodu 1). Podobně jako v předchozí části zkonstruujeme
posloupnost množin {Kn}, vybranou z {Nn} a takovou, že Kn ⊆ Ln pro každé
n ∈ N. Pak s ohledem na
Ω Kn
f (x, y) dxdy
Ω Ln
f (x, y) dxdy je posloupnost
se členy
Ω Ln
f (x, y) dxdy, n ∈ N, ohraničená. Protože je současně neklesající, je
konvergentní. Označme její limitu I1. Z předchozích nerovností limitním přechodem
vyplývá, že I1 I.
Záměnou posloupností {Nn} a {Ln} analogicky dostaneme, že I I1. Tudíž platí
rovnost (5.3).
3) Nakonec dokážeme, že rovnost (5.3) platí pro libovolnou (nikoliv nutně nerostoucí)
posloupnost měřitelných množin {Ln}, která se smršťuje k bodu A.
Buď a hromadný bod posloupnosti nezáporných čísel
Ω Ln
f (x, y) dxdy, n ∈ N
(viz [7, str. 32] — každá posloupnost má alespoň jeden hromadný bod). Pak 0 a
+∞ a existuje podposloupnost {Lkn } taková, že lim
n→∞
Ω Lkn
f (x, y) dxdy = a.
Přitom lze předpokládat (po případném přechodu k podposloupnosti), že {Lkn } je
nerostoucí. Z části 2) nyní vyplývá, že a = I. Připomeňme, že I = ∞.
Hromadný bod a byl libovolný, takže posloupnost
Ω Ln
f (x, y) dxdy, n ∈ N, má
jediný hromadný bod I. Tudíž je konvergentní (viz [7, věta 2.42]) a platí (5.3). Podle
definice 5.4 je integrál
Ω
f (x, y) dxdy konvergentní.
5.1 Nevlastní integrál z neohraničené funkce 245
V konkrétních případech obvykle vystačíme s následujícím důsledkem.
Důsledek 5.10. Nechť nezáporná funkce f je definovaná na omezené množině Ω {A},
Ω ⊂ R2, kde A je singulární bod funkce f splňující předpoklad 5.3. Buď {Kn}∞
n=1
posloupnost kruhů se středy v bodě A a poloměry rn, přičemž posloupnost {rn} je
klesající a rn → 0 pro n → ∞. Pak je integrál
Ω
f (x, y) dxdy konvergentní právě
tehdy, když je posloupnost
Ω Kn
f (x, y) dxdy, n ∈ N, ohraničená.
Příklad 5.11. Nechť M ⊂ R2 je měřitelná množina, A = [x0, y0] její vnitřní bod
a α reálné číslo. Označme r = (x − x0)2 + (y − y0)2. Dokažte, že nevlastní integrál
M
dxdy
rα konverguje pro 0 < α < 2 a diverguje pro α 2 (pro α 0 jde o vlastní
integrál).
Řešení. Bod A je pro α > 0 zřejmě singulárním bodem integrandu 1/rα, protože
1/rα → +∞ pro [x, y] → [x0, y0]. Podle poznámky 5.5 lze množinu M při vyšetřování
konvergence nahradit kruhem K se středem A o dostatečně malém poloměru R > 0.
Označme Kn kruh se středem v A a poloměrem 1/n, n ∈ N. Posloupnost {Kn} se
smršťuje k singulárnímu bodu A a pro každé n n0, kde n0 = 1/R + 1, je Kn ⊂ K.
Vypočítáme integrály
K Kn
dxdy
rα , n n0. Protože množina K Kn je mezikružím
se středem v bodě A s poloměry 1/n a R, použijeme transformaci T , která je složením
transformace do polárních souřadnic a posunutí o vektor (x0, y0). Tedy x = x0 + cos ϕ,
y = y0 + sin ϕ. Jakobián této transformace je JT = . Množina K Kn je obrazem
obdélníku Ln = 1/n, R × 0, 2π . Vyjde
K Kn
dxdy
rα
=
Ln
d dϕ
α
=
2π
0
dϕ
R
1/n
1−α
d =
=



2π
2−α
2−α
R
1/n
= 2π
2−α (R2−α − nα−2) pro α = 2,
2π[ln ]R
1/n = 2π(ln R + ln n) pro α = 2.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0
1
2
3
x
y
z
z = 1p
(x−3)2+(y−3)2
a)
y
x
y0 = 3
x0 = 3
K K3
b)
Obr. 5.2
246 Nevlastní vícerozměrné integrály
Odtud je vidět, že pro 0 < α < 2 je lim
n→∞
K Kn
dxdy
rα = 2πR2−α/(2 − α), zatímco
pro α 2 je lim
n→∞
K Kn
dxdy
rα = +∞. Protože integrand 1/rα je kladná funkce, podle
důsledku 5.10 integrál konverguje právě pro 0 < α < 2.
Na obr. 5.2 je znázorněno těleso omezené shora grafem funkce 1/rα a zdola rovinou
z = 0 na mezikruží K K3 pro α = 1, x0 = y0 = 3 a R = 2.
Poznámka 5.12. Analogicky lze dokázat zobecnění výsledku z příkladu 5.11:
Nechť M ⊂ Rn je měřitelná množina, A = [y1, . . . , yn] její vnitřní bod a α
reálné číslo. Označme r = (x1 − y1)2 + · · · + (xn − yn)2. Pak nevlastní integrál
···
M
dx1···dxn
rα konverguje pro 0 < α < n a diverguje pro α n (pro α 0 jde
o vlastní integrál).
Při výpočtu se použijí sférické souřadnice (3.20) — srovnejte příklad 3.32. Je-li
speciálně M = K, kde K je n-rozměrná koule se středem v bodě A a poloměrem
R > 0, vyjde pro α < n konvergentní integrál s hodnotou
· · ·
K
dx1 · · · dxn
rα
=
Rn−α
(n − α)(n − 2)!!
· 2
¨ n+1
2
˝
· π
¨ n
2
˝
.
Pro n = 1 je třeba v předchozím vzorci položit (−1)!! = 1. Vzorec platí i pro α 0,
kdy jde o vlastní integrál — srovnejte s výsledkem příkladu 3.32, v němž je vzhledem
k odlišnému označení integrandu třeba nahradit číslo α číslem −α/2.
Při rozhodování o konvergenci nevlastních integrálů nám může pomoci následující
kritérium, které je obdobou známého kritéria pro nevlastní jednorozměrné Riemannovy
integrály (viz [20, str. 45]).
Věta 5.13 (Srovnávací kritérium). Nechť nezáporné funkce f, g jsou definované na
omezené množině Ω {A}, Ω ⊂ R2, a A je jejich společný singulární bod. Nechť
obě funkce splňují předpoklad 5.3. Předpokládejme, že platí f (x, y) g(x, y) pro
každé [x, y] ∈ Ω.
i) Jestliže integrál
Ω
g(x, y) dxdy konverguje, konverguje i integrál
Ω
f (x, y) dxdy.
ii) Jestliže integrál
Ω
f (x, y) dxdy diverguje, diverguje i integrál
Ω
g(x, y) dxdy.
Důkaz. Tvrzení vyplývá bezprostředně z věty 5.9 a věty 1.49, část d).
Ve zbývající části tohoto oddílu se budeme zabývat vztahem mezi konvergencí integrálů
z funkcí f a |f |.
Lemma 5.14. Nechť funkce f je definovaná na omezené množině Ω {A}, Ω ⊂ R2,
kde A je singulární bod funkce f splňující předpoklad 5.3. Jestliže nevlastní integrál
Ω
|f (x, y)| dxdy konverguje, pak konverguje i integrál
Ω
f (x, y) dxdy.
5.1 Nevlastní integrál z neohraničené funkce 247
Důkaz. Položme g = |f | − f . Pak platí 0 g 2|f | na Ω. Ze srovnávacího kritéria
5.13 a předpokladu, že integrál
Ω
|f (x, y)| dxdy konverguje, plyne, že rovněž
integrál
Ω
g(x, y) dxdy konverguje. Protože f = |f | − g, vyplývá z věty 5.7, že inte-
grál
Ω
f (x, y) dxdy je konvergentní.
Věta 5.15. Nechť funkce f, g jsou definované na omezené množině Ω {A}, Ω ⊂ R2,
a A je jejich společný singulární bod. Nechť obě funkce splňují předpoklad 5.3. Předpokládejme,
že funkce g je nezáporná, |f (x, y)| g(x, y) pro každé [x, y] ∈ Ω {A} a in-
tegrál
Ω
g(x, y) dxdy je konvergentní. Pak je konvergentní i integrál
Ω
f (x, y) dxdy.
Důkaz. Tvrzení plyne bezprostředně z věty 5.13 a lemmatu 5.14.
Definice 5.16. Řekneme, že nevlastní integrál
Ω
f (x, y) dxdy konverguje absolutně,
jestliže konverguje integrál
Ω
|f (x, y)| dxdy.
Z lemmatu 5.14 vyplývá, že každý absolutně konvergentní integrál je rovněž konvergentní.
Ukážeme, že žádné jiné konvergentní integrály než absolutně konvergentní
neexistují. To vyplývá z následující věty, v níž se dokazuje opačné tvrzení k tvrzení
lemmatu 5.14.
Věta 5.17. Nechť funkce f je definovaná na omezené množině Ω {A}, Ω ⊂ R2,
kde A je singulární bod funkce f splňující předpoklad 5.3. Jestliže nevlastní integrál
Ω
f (x, y) dxdy konverguje, pak konverguje i integrál
Ω
|f (x, y)| dxdy.
Důkaz. Připusťme, že integrál
Ω
|f (x, y)| dxdy diverguje. Označme f + = (|f | +
+ f )/2 a f − = (|f | − f )/2 kladnou a zápornou část funkce f (srovnejte cvičení 29
ke kapitole 1). Zřejmě f + a f − jsou nezáporné a f = f + − f −, |f | = f + + f −.
Z věty 5.7 vyplývá, že oba integrály
Ω
f +(x, y) dxdy,
Ω
f −(x, y) dxdy musí být
divergentní.
Zvolme libovolnou klesající (vzhledem k inkluzi) posloupnost uzavřených soustředných
kruhů {Kn} majících střed v bodě A, která se smršťuje k bodu A, tj. d(Kn) → 0
pro n → ∞. Označme Kn = Kn ∩ Ω. Pak Ω ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ · · · . Protože {Kn} se
smršťuje k bodu A, Ω Kn = Ω Kn, funkce f + je nezáporná a její integrál přes Ω
diverguje, musí platit
lim
n→∞
Ω Kn
f +
(x, y) dxdy = +∞. (5.4)
Zvolme pevně n ∈ N. Pak pro přirozené m > n platí Ω Km = (Kn Km)∪(Ω Kn),
přičemž (Kn Km) ∩ (Ω Kn) = ∅. Platí tudíž Kn Km = (Ω Km) (Ω Kn).
248 Nevlastní vícerozměrné integrály
Jelikož rozdíl měřitelných množin je opět měřitelná množina, plyne z předpokladu 5.3,
že množina Kn Km je pro každé přirozené číslo m > n měřitelná. Z (5.4) nyní vyplývá,
že lim
m→∞
Kn Km
f +(x, y) dxdy = +∞. Lze tedy předpokládat (případným přechodem
k podposloupnosti), že posloupnost {Kn} je zvolena tak, že platí
Kn Kn+1
f +
(x, y) dxdy >
Ω Kn
|f (x, y)| dxdy + n. (5.5)
Zvolme pevně n ∈ N. Buď R obdélník takový, že R ⊃ Mn, kde Mn = Kn Kn+1.
Z definice vlastního dvojného integrálu a nerovnosti (5.5) plyne existence dělení D
obdélníku R s dílky Ri, i ∈ J = {1, . . . , k}, takového, že
Mn
f +
(x, y) dxdy =
R
(χMn
f +
)(x, y) dxdy
s(D, χMn
f +
) >
Ω Kn
|f (x, y)| dxdy + n. (5.6)
Označme ui = inf{(χMn
f +)(x, y) : [x, y] ∈ Ri} pro i ∈ J. Dále položme J1 =
= {i ∈ J : ui > 0}. Pro i ∈ J1 je Ri ⊆ Mn. Označme Gn =
i∈J1
Ri ⊆ Mn. Na
množině Gn platí f = f +.
Uvažujme nyní funkci χGn
f +. Označme vi = inf{(χGn
f +)(x, y) : [x, y] ∈ Ri},
i ∈ J. Pro i ∈ J1 platí ui = vi > 0 a pro i ∈ J J1 platí ui = vi = 0, tudíž
s(D, χMn
f +) = s(D, χGn
f +). Odtud a z (5.6) dostaneme
Gn
f (x, y) dxdy =
Gn
f +
(x, y) dxdy =
R
(χGn
f +
)(x, y) dxdy
s(D, χGn
f +
) = s(D, χMn
f +
) >
Ω Kn
|f (x, y)| dxdy + n. (5.7)
Zřejmě platí
Ω Kn
f (x, y) dxdy −
Ω Kn
|f (x, y)| dx. (5.8)
Označme Hn = (Ω Kn)∪Gn. Zřejmě Hn ⊆ Ω Kn+1, odkud plyne Kn+1 ⊆ Ω Hn.
Protože množiny Ω Kn a Gn jsou disjunktní, dostaneme sečtením (5.7) a (5.8), že
Hn
f (x, y) dxdy > n. (5.9)
Protože n bylo zvoleno libovolně, platí nerovnost (5.9) pro každé n ∈ N.
5.2 Nevlastní integrál na neomezené množině 249
Položme Pn = (Ω Hn)∪(Kn Ω). Pak platí Ω Pn = Hn a Kn ⊇ Pn ⊇ Kn+1. To
znamená, že A je vnitřním bodem Pn pro každé n ∈ N a d(Pn) → 0 pro n → ∞, takže
posloupnost {Pn} se smršťuje k bodu A. Protože integrál z funkce f podle předpokladu
konverguje na Ω, musí platit
lim
n→∞
Ω Pn
f (x, y) dxdy = lim
n→∞
Hn
f (x, y) dxdy = I,
kde I ∈ R, což není možné vzhledem k nerovnostem (5.9). Předpoklad, že integrál
Ω
|f (x, y)| dxdy diverguje, tedy vede ke sporu, takže tento integrál musí konvergovat.
Poznámka 5.18. Jak již bylo řečeno, analogicky lze vybudovat nevlastní n-rozměrné integrály
z neohraničené funkce přes omezené množiny pro libovolné n ∈ N. Tyto integrály jsou tzv.
absolutně konvergentní, tj. integrál z funkce f konverguje právě tehdy, když konverguje integrál
z |f |.
V základním kurzu se zavádí nevlastní Riemannův integrál funkcí jedné proměnné (viz [20,
str. 43]). Tento integrál však není absolutně konvergentní, existují funkce, jejichž integrál konverguje,
avšak integrál jejich absolutní hodnoty je divergentní. Pro n = 1 máme tedy dva různé pojmy
nevlastního integrálu, které dávají různé třídy funkcí majících konvergentní integrály. Nevlastní integrál
v základním kurzu se zavádí jen na intervalech. Např. je-li b jediný singulární bod funkce f
na Ω = a, b), definuje se
R b
a f (x) dx = lim
c→b−
R c
a f (x) dx. Tedy množiny smršťující se k bodu b
jsou pouze intervaly tvaru Kc = (c, b), takže Ω Kc = a, c jsou opět intervaly, tj. souvislé
množiny (jiné souvislé množiny než intervaly v R neexistují). V definici 5.4 se však souvislost
množin Ω Mn nepředpokládá. K rozdílu mezi těmito pojmy se ještě vrátíme v příkladu 5.25.
Dalo by se očekávat, že pro n 2 bude situace obdobná a že požadavek souvislosti množin
v definici 5.4 povede na jinou množinu funkcí majících konvergentní integrál. Tak tomu ale
není. Obecně není možné požadovat souvislost množin Ω Mn. Např. je-li počátek singulárním
bodem funkce f na množině Ω = (K1 K2) ∪ (K3 K4) ∪ · · · , kde Kn je kruh se středem
v počátku a poloměrem 1/n, n ∈ N, nelze najít smršťující posloupnost {Mn} tak, aby množiny
Ω Mn byly souvislé. Pokud je ovšem singulární bod vnitřním bodem množiny Ω, takže lze
vzhledem k poznámce 5.5 předpokládat, že Ω je kruh, je možné uvažovat pouze souvislé množiny
Ω Mn. I pak však věta 5.17 zůstane v platnosti. Z jejího důkazu je totiž vidět, že obdélníky Ri
tvořící množinu Gn lze spojit úzkými „pásky“ s mezikružím Ω Kn tak, aby zůstala zachovaná
nerovnost (5.9). Pak budou množiny Hn souvislé, přesto obdržíme stejný spor.
5.2. Nevlastní integrál na neomezené množině
Pro každé r > 0 označme K(r) kruh se středem v počátku a poloměrem r.
Definice 5.19. Buď Ω ⊆ R2 neomezená množina. Řekneme, že posloupnost omezených
množin {Mn}, Mn ⊆ R2, n ∈ N, vyčerpává množinu Ω, jestliže:
i) Platí Mn ⊂ Ω pro každé n ∈ N.
ii) Ke každému r > 0 existuje m ∈ N tak, že pro každé n m platí Ω ∩ K(r) ⊂ Mn
250 Nevlastní vícerozměrné integrály
Posloupnost {Mn} nemusí být monotonní (neklesající resp. rostoucí) vzhledem k inkluzi,
tj. nemusí platit M1 ⊆ M2 ⊆ · · · , a množiny Mn nemusí být souvislé.
Uvažujme funkci f definovanou na neomezené množině Ω ⊆ R2. O funkci f
učiníme následující předpoklad.
Předpoklad 5.20. Funkce f je integrovatelná na každé (omezené) měřitelné množině
M ⊂ Ω.
Nyní již můžeme zformulovat definici nevlastního integrálu.
Definice 5.21. Nechť funkce f je definovaná na neomezené množině Ω ⊆ R2. Nechť
je splněn předpoklad 5.20.
Řekneme, že nevlastní integrál z funkce f konverguje na množině Ω, jestliže existuje
číslo I ∈ R takové, že lim
n→∞
Mn
f (x, y) dxdy = I pro libovolnou posloupnost
měřitelných množin {Mn}, která vyčerpává množinu Ω. Pak píšeme
Ω
f (x, y) dxdy = I.
V opačném případě, tj. pokud takové číslo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál
z funkce f na množině Ω diverguje.
Existence limity z předchozí definice ani její hodnota I tudíž nesmí záviset na
volbě posloupnosti množin vyčerpávající Ω. Následující příklad ukazuje, že limita z definice
5.21 obecně může záviset na výběru posloupnosti množin vyčerpávající Ω.
Příklad 5.22. Ukažte, že nevlastní integrál
Ω
sin(x2 + y2) dxdy, kde Ω = {[x, y] ∈ R2 :
x 0, y 0}, diverguje.
Řešení. Nalezneme dvě vyčerpávající posloupnosti {Kn}, {Mn} takové, že
lim
n→∞
Kn
sin(x2
+ y2
) dxdy = lim
n→∞
Mn
sin(x2
+ y2
) dxdy.
Tím bude dokázáno, že daný integrál diverguje.
Označme KR = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 R2, x 0, y 0}, Ma = {[x, y] ∈ R2 :
0 x a, 0 y a} pro R > 0, resp. a > 0. Pak transformací do polárních
souřadnic dostaneme
KR
sin(x2
+ y2
) dxdy =
π
2
0
R
0
sin 2
d dϕ =
=
π
2
− cos 2
2
R
0
=
π
4
(1 − cos R2
),
5.2 Nevlastní integrál na neomezené množině 251
takže limita lim
R→∞KR
sin(x2 + y2) dxdy neexistuje. Naproti tomu
lim
a→∞
Ma
sin(x2
+ y2
) dxdy = lim
a→∞
Ma
(sin x2
cos y2
+ cos x2
sin y2
) dxdy =
= lim
a→∞
a
0
sin x2
dx
a
0
cos y2
dy + lim
a→∞
a
0
cos x2
dx
a
0
sin y2
dy =
= 2
∞
0
sin x2
dx
∞
0
cos x2
dx =
π
4
,
neboť pro Fresnelovy1 integrály
∞
0 sin x2 dx a
∞
0 cos x2 dx platí
∞
0 sin x2 dx =
=
∞
0 cos x2 dx =
√
2π
4 (viz např. [15], příklad 2 na str. 340 v kapitole VIII, nebo [16],
cvičení 23 v kapitole 5). Přitom posloupnosti Mn, Kn, kde n ∈ N, jsou posloupnosti
množin vyčerpávající Ω.
Nyní je možné přenést na tento typ nevlastního integrálu všechna tvrzení z oddílu
5.1. Zejména platí, že každý integrál konverguje absolutně. Důkazy jsou téměř
analogické, takže je nebudeme uvádět.
Příklad 5.23. Nechť M ⊂ R2 je vnějšek otevřeného kruhu se středem v bodě [x0, y0]
a poloměrem R > 0 a α je reálné číslo. Označme r = (x − x0)2 + (y − y0)2.
Dokažte, že nevlastní integrál
M
dxdy
rα konverguje pro α > 2 a diverguje pro α 2.
Řešení. Výpočet bude podobný jako v příkladu 5.11. Označme Kn mezikruží se středem
v bodě A = [x0, y0], vnitřním poloměrem R a vnějším poloměrem n, n ∈ N, n n0,
kde n0 = R + 1. Posloupnost {Kn} zřejmě vyčerpává množinu M.
Vypočítáme integrály
Kn
dxdy
rα , n n0. Protože množina Kn je mezikružím se
středem v bodě A s poloměry R a n, použijeme transformaci T , která je složením
transformace do polárních souřadnic a posunutí o vektor (x0, y0). Tedy x = x0 + cos ϕ,
y = y0 + sin ϕ. Jakobián této transformace je JT = . Množina Kn je obrazem
obdélníku Ln = R, n × 0, 2π . Vyjde
Kn
dxdy
rα
=
Ln
d dϕ
α
=
2π
0
dϕ
n
R
1−α
d =
=
2π
2−α
2−α
n
R
= 2π
2−α (n2−α − R2−α) pro α = 2,
2π[ln ]n
R = 2π(ln n − ln R) pro α = 2.
Odtud je vidět, že pro α > 2 je lim
n→∞
Kn
dxdy
rα = 2πR2−α/(α − 2), zatímco pro α 2
je lim
n→∞
Kn
dxdy
rα = +∞. Protože integrand 1/rα je kladná funkce, podle analogie
důsledku 5.10 integrál konverguje právě pro α > 2.
1Augustin Jean Fresnel (1788–1827) (čti frenel) — francouzský matematik, fyzik a inženýr.
252 Nevlastní vícerozměrné integrály
Poznámka 5.24. Analogicky lze dokázat zobecnění výsledku z příkladu 5.23:
Nechť M ⊂ Rn je vnějšek n-rozměrné koule se středem v bodě A = [y1, . . . , yn]
a poloměrem R > 0. Označme r = (x1 − y1)2 + · · · + (xn − yn)2. Pak nevlastní
integrál ···
M
dx1···dxn
rα konverguje pro α > n a diverguje pro α n.
Při výpočtu se použijí sférické souřadnice (3.20) — srovnejte příklad 3.32. Pro
α > n vyjde
· · ·
M
dx1 · · · dxn
rα
=
Rn−α
(α − n)(n − 2)!!
· 2
¨ n+1
2
˝
· π
¨ n
2
˝
.
Pro n = 1 je třeba v předchozím vzorci položit (−1)!! = 1.
Příklad 5.25. Pro každé n ∈ N označme In = n − 1, n). Definujme funkci f na
intervalu 0, ∞) vztahem f (x) = (−1)n−1/n pro x ∈ In (obr. 5.3). Rozhodněte, zda
integrál
∞
0 f (x) dx konverguje:
1) jako nevlastní integrál zaváděný v základním kurzu pomocí lim
b→∞
b
0 f (x) dx.
2) jako nevlastní integrál zavedený v definici 5.21.
Řešení. Položme g = |f |, h = f/|f |; pak f (x) = g(x)h(x), x 0. Platí lim
x→∞
g(x) =
= 0, 0
b
0 h(x) dx 1 pro každé b 0. Podle Dirichletova kritéria (viz [20,
str, 46]) tudíž integrál
∞
0 f (x) dx =
∞
0 g(x)h(x) dx konverguje jako nevlastní integrál
zaváděný v základním kurzu. Dále funkce F(b) =
b
0 |f (x)| dx je rostoucí na 0, ∞)
a pro n ∈ N je
n
0 |f (x)| dx = 1 + 1
2 + · · · + 1
n , což je n-tý částečný součet harmonické
řady, která diverguje. Proto lim
b→∞
F(b) = ∞. Konvergence je tedy neabsolutní, což
již znamená, že nevlastní integrál ve smyslu definice 5.21 diverguje. I když je řešení
příkladu úplné, posuďme ještě existenci a hodnotu limit z definice 5.21 pro některé
posloupnosti, které vyčerpávají interval 0, ∞).
Zvolme nejprve Mn = I1 ∪ · · · ∪ In = 0, n), n ∈ N. Pak platí Mn
f (x) dx =
=
n
0 f (x) dx = 1 − 1
2 + · · · + (−1)n−1 1
n . To je n-tý částečný součet alternující řady,
která podle Leibnizova kritéria konverguje (viz [8, str. 23]; její součet je ln 2, což není
x
y
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
Obr. 5.3
5.2 Nevlastní integrál na neomezené množině 253
podstatné — ověření lze provést např. pomocí mocninných řad). Řada konverguje neabsolutně,
protože řada z absolutních hodnot jejích členů je harmonická řada, která je
divergentní.
Označme an = (−1)n−1/n, n ∈ N. Podle Riemannovy věty (viz [8, str. 30]) existuje
takové přerovnání
∞
n=1
akn této řady, že
∞
n=1
akn = ∞. Zvolme Nn = Ik1 ∪ · · · ∪ Ikn ,
n ∈ N. Ukážeme, že posloupnost {Nn} vyčerpává interval 0, ∞). Buď r > 0 libovolné.
Označme m = r + 1. Pak existují indexy ks1 , . . . , ksm takové, že I1 = Iks1
, . . . , Im =
= Iksm
. Položme p = max{s1, . . . , sm}. Pro každé n p je Nn ⊃ 0, r . Přitom platí
lim
n→∞ Nn
f (x) dx = lim
n→∞
(ak1 + · · · + akn ) = ∞.
Podobně lze vzhledem k Riemannově větě najít vyčerpávající posloupnosti takové,
že limita příslušných integrálů z funkce f je rovna libovolnému předem danému číslu I,
resp. že tato limita vůbec neexistuje. Členy takových vyčerpávajících posloupností jsou
ovšem nesouvislé množiny (na přímce).
Poznámka 5.26.
1) V definicích 5.4 a 5.21 jsme předpokládali, že funkce má buď jediný singulární
bod, nebo nemá žádný singulární bod a integrační obor je neomezený. Analogicky
je možné zavést integrál v případě libovolného konečného počtu singulárních bodů
a případně současně neomezeného integračního oboru. K tomu stačí rozdělit integrační
obor na části tak, aby přesně jedna z nich byla neomezená a neobsahovala
žádný singulární bod a ostatní byly omezené a obsahovaly po jednom singulárním
bodu; přitom integrované funkce v těchto částech musí splňovat předpoklady 5.3
resp. 5.20. Výsledný integrál bude konvergentní právě tehdy, když budou konvergentní
všechny integrály na těchto částech; v tom případě bude roven jejich součtu.
Definice je korektní, protože výsledek nezávisí na konkrétním rozkladu, což plyne
z aditivity vlastního integrálu vzhledem k integračnímu oboru.
2) Pro jednorozměrný Riemannův nevlastní integrál se zavádí pojem hlavní hodnoty
(viz např. [13] poznámka 3.15 v kapitole 3). Obdobou pro vícerozměrné nevlastní
integrály je požadavek, že limity v definicích 5.4 a 5.21 existují pro monotónní
(vzhledem k inkluzi) posloupnosti soustředných kruhů resp. mezikruží.
Poznámka 5.27. V aplikacích se setkáváme s integrály majícími nekonečně mnoho singulárních
bodů, které vyplňují např. nějakou křivku nebo obecněji nadplochu. Takovým
je např. integrál z příkladu 4.9, kde množina singulárních bodů vyplňuje povrch Sn−2
(n − 1)-rozměrné koule Kn−1. Srovnejte též poznámku 4.10. Uvedeme nyní, jakým
způsobem je možné zobecnit definici nevlastního (vícerozměrného) integrálu na takové
případy (viz [27, str. 154]).
1) Nechť Ω ⊆ Rn je neprázdná množina. Řekneme, že posloupnost měřitelných množin
{Mk}, neklesající vzhledem k inkluzi, vyčerpává Ω, jestliže
∞
k=1
Mk = Ω.
2) Buď f funkce definovaná na celém Ω. Řekneme, že nevlastní integrál funkce f na
množině Ω konverguje, právě když existuje číslo I ∈ R takové, že pro libovolnou
254 Nevlastní vícerozměrné integrály
posloupnost {Mk}, která vyčerpává množinu Ω a je taková, že f je integrovatelná
na každé množině Mk, platí lim
k→∞
···
Mk
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn = I. (Předpokládáme,
že alespoň jedna taková posloupnost existuje.) Pak klademe
···
Ω
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn = I.
Pokud takové číslo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.
3) Pokud je množina Ω jordanovsky měřitelná a funkce f je na ní riemannovsky integrovatelná,
je nevlastní integrál roven vlastnímu integrálu — viz cvičení 2 k této
kapitole.
4) O takto definovaném nevlastním integrálu je možné dokázat všechna tvrzení z oddílu
5.1 resp. 5.2. Důkazy jsou vesměs analogické. Zejména platí:
a) Ke konvergenci integrálu z nezáporné funkce je nutné a stačí, aby existovala
alespoň jedna vyčerpávající posloupnost {Mk} taková, že číselná posloupnost integrálů
···
Mk
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn, k ∈ N, je ohraničená (viz cvičení 4 k této
kapitole).
b) Platí srovnávací kritérium a z absolutní konvergence plyne konvergence.
c) Z konvergence plyne absolutní konvergence (viz cvičení 5 k této kapitole).
5) Pro nevlastní integrály (jak pro předchozí typy, tak pro toto zobecnění) je možné
dokázat za jistých předpokladů Fubiniovu větu a větu o transformaci integrálu (detaily
viz [2, 10, 27]). Zhruba lze říci následující (formulace jsou kvůli jednoduchosti pro
dvojný integrál):
i) Pokud jde o Fubiniovu větu, lze přechodem k charakteristické funkci χMf vždy
předpokládat, že integračním oborem je R2. Je-li integrand nezáporný, konvergence
dvojnásobného integrálu
+∞
−∞
+∞
−∞ f (x, y) dy dx zaručuje konvergenci
dvojného integrálu
R2
f (x, y) dxdy; v tom případě pak platí rovnost
+∞
−∞
+∞
−∞ f (x, y) dy dx =
R2
f (x, y) dxdy. (5.10)
V případě integrandu majícího hodnoty libovolných znamének konvergence dvojnásobného
integrálu
+∞
−∞
+∞
−∞ |f (x, y)| dy dx zaručuje konvergenci integrálu
R2
f (x, y) dxdy a platnost rovnosti (5.10).
ii) Pokud jde o substituci, z konvergence integrálu
T (A)
f (x, y) dxdy, kde A ⊆ R2
je otevřená množina a T : A → T (A) je difeomorfismus, plyne konvergence
integrálu
A
(f ◦ T )(u, v)|JT (u, v)| dudv; oba integrály jsou si pak rovny. Často
se stává, že druhý integrál je vlastní.
Cvičení 255
Cvičení
1. Dokažte, že předpoklad 5.3 zaručuje, že množina Ω v něm vystupující je měřitelná.
2. Nechť {Mk} je neklesající posloupnost měřitelných množin v Rn
taková, že množina
M =
∞
k=1
Mk je měřitelná. Nechť funkce f je integrovatelná na M. Dokažte, že pak
platí:
a) lim
k→∞
mn(Mk) = mn(M).
b) lim
k→∞
···
Mk
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn = ···
M
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn.
3. Nechť {Nk} je posloupnost po dvou disjunktních měřitelných množin v Rn
taková, že
množina N =
∞
k=1
Nk je měřitelná. Nechť funkce f je integrovatelná na N. Dokažte,
že pak platí:
a)
∞
k=1
mn(Nk) = mn(N).
b)
∞
k=1
···
Nk
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn = ···
N
f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn.
4. Dokažte tvrzení 4 a) z poznámky 5.27.
5. Nechť Ω ⊆ Rn
je otevřená množina. Nechť funkce f , která je definovaná na Ω, je
integrovatelná na každé kompaktní měřitelné podmnožině množiny Ω. Jestliže nevlastní
integrál z funkce f přes množinu Ω konverguje (ve smyslu poznámky 5.27),
pak konverguje také nevlastní integrál z funkce |f | přes Ω. Dokažte.
6. Dokažte, že integrál ze cvičení 13 ke kapitole 2, který je nevlastní pro a < 0, je
konvergentní, právě když −n < a < 0, a pro tato a najděte jeho hodnotu.
7. Vypočtěte nevlastní dvojný integrál dané funkce přes danou množinu Ω:
a)
Ω
xy e−x2−y2
dxdy, Ω = 0, +∞)2
,
b)
Ω
dxdy
x2 + y2
, Ω : 0 < x2
+ y2
x,
256 Nevlastní vícerozměrné integrály
c)
Ω
dxdy
3
√
xy − x − y + 1
, Ω = 0, 1) ∪ (1, 28
2
,
d)
Ω
dxdy
1 − x2
a2 − y2
b2
, Ω :
x2
a2
+
y2
b2
< 1, x 0, y 0, a > 0, b > 0,
e)
Ω
ex/y
dxdy, Ω : 0 < y 1, x 0, y
√
x,
f)
Ω
ln
1
x2 + y2
dxdy, Ω : 0 < x2
+ y2
a, a > 0,
g)
Ω
ln sin(x − y) dxdy, Ω : 0 < y < x < π,
h)
R2
dxdy
1 + x2 + y2
,
i)
Ω
dxdy
(x2 + y2 + a2)2
, Ω = 0, +∞)2
, a > 0,
j)
Ω
e−x−y
dxdy, Ω : 0 x y,
k)
R2
e
− x2
a2 − y2
b2
dxdy, a > 0, b > 0,
l)
R2
e−|x|−|y|
dxdy,
m)
Ω
dxdy
xpyq
, Ω : xy 1, x 1, p > 0, q > 0,
n)
Ω
dxdy
(x + y)p
, Ω : x + y 1, 0 x 1, p > 0,
o)
Ω
dxdy
x4 + y2
, Ω : y x2
+ 1,
p)
R2
e−x2−y2
dxdy,
q)
R2
e−x2−y2
cos(x2
+ y2
) dxdy,
Cvičení 257
r)
R2
e−x2−y2
sin(x2
+ y2
) dxdy,
s)
Ω
ln(x2
+ y2
) dxdy, Ω : 0 < x2
+ y2
2ax, a > 0.
8. Vypočtěte nevlastní trojný resp. n-rozměrný integrál dané funkce přes danou množinu
Ω:
a)
Ω
dxdydz
(1 + x + y + z)7
, Ω = 0, +∞)3
,
b)
Ω
ln(x2
+ y2
+ z2
) dxdydz, Ω : 0 < x2
+ y2
+ z2
a2
, a > 0,
c)
R3
e−x2−y2−z2
dxdydz,
d)
Ω
exyz
x2
y dxdydz, Ω : 0 x 1/yz, 1 y +∞,
1 z +∞,
e)
Ω
dxdydz
xpyqzr
, Ω = (0, 1 3
, p > 0, q > 0, r > 0,
f) · · ·
Rn
e−(x2
1 +···+x2
n)
dx1 · · · dxn,
g) · · ·
Ω
ln(x2
1 + · · · + x2
n) dx1 · · · dxn, Ω : 0 < x2
1 + · · · + x2
n a2
, a > 0.
9. Vypočtěte gravitační potenciál U homogenní koule K : x2
+ y2
+ z2
R2
o hustotě
ρ a poloměru R > 0 v libovolném bodě A = [x0, y0, z0]. (Gravitační potenciál
je dán vztahem U(x0, y0, z0) =
K
Gρ dxdydz√
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2
, kde G je gravitační
konstanta. Jedná se vlastně o potenciální energii hmotného bodu [x0, y0, z0] o jednotkové
hmotnosti v gravitačním poli koule K.)
10. Vypočtěte intenzitu g gravitačního pole homogenní koule K : x2
+ y2
+ z2
R2
o hustotě ρ a poloměru R > 0 v libovolném bodě A = [x0, y0, z0]. (Intenzita
g(x0, y0, z0) = (g1, g2, g3) je dána vztahy
g1 =
K
Gρ(x−x0) dxdydz√
[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3
, g2 =
K
Gρ(y−y0) dxdydz√
[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3
,
g3 =
K
Gρ(z−z0) dxdydz√
[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3
,
258 Nevlastní vícerozměrné integrály
kde G je gravitační konstanta. Jedná se vlastně o sílu, kterou přitahuje koule K
hmotný bod [x0, y0, z0] o jednotkové hmotnosti.)
11. Vypočtěte gravitační potenciál U (viz příklad 9) gravitačního pole daného homogenního
tělesa M o hustotě ρ v daných bodech A, příp. B:
a) M je rotační válec o poloměru základny R > 0 a výšce h > 0, bod A je střed
základny.
b) M je rotační kužel o poloměru základny R > 0 a výšce h > 0, bod A je vrchol,
bod B je střed základny.
Výsledky
1. Nejprve dokážeme, že pro libovolné dvě množiny A, B ⊆ R2 platí h(A ∪ B) ⊆
⊆ h(A) ∪ h(B) (tvrzení platí pro libovolné metrické prostory). Připomeňme, že pro
každé C, D ⊆ R2 je h(C) = C ∩ C (C = R2 C je doplněk C), C ∪ D = C ∪ D
a C ∩ D ⊆ C ∩ D — viz [6]. Odtud h(A ∪ B) = A ∪ B ∩ (A ∪ B) = (A ∪ B) ∩
∩ A ∩ B ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∩ B ) = (A ∩ A ∩ B ) ∪ (B ∩ A ∩ B ) ⊆ (A ∩ A ) ∪
∪ (B ∩ B ) = h(A) ∪ h(B).
Buď ε > 0 libovolné. Nechť M je uzavřený čtverec se středem v singulárním bodě A
takový, že m(M) < ε/2. Platí Ω = (Ω M) ∪ (Ω ∩ M). Podle předpokladu 5.3
je množina Ω M měřitelná, tedy její hranice má míru nula (důsledek 1.41).
Podle cvičení 17 ke kapitole 1 existují obdélníky Mk, k = 1, . . . , n, takové, že
h(Ω M) ⊆
n
k=1
Mk,
n
k=1
m(Mk) < ε/2. Dále platí h(Ω ∩ M) ⊆ M. Pak h(Ω) ⊆
⊆ h(Ω M) ∪ h(Ω ∩ M) ⊆ M ∪
n
k=1
Mk a m(M) +
n
k=1
m(Mk) < ε. Podle téhož
cvičení je m(h(Ω)) = 0, takže množina Ω je měřitelná.
2. a) Protože posloupnost {m(Mk)} je neklesající a shora ohraničená, neboť m(Mk)
m(M), k ∈ N, existuje její limita a platí lim
k→∞
m(Mk) m(M). Stačí tedy
ukázat, že platí i opačná nerovnost.
Buď ε > 0 libovolné. Protože M je měřitelná, je podle důsledku 1.41 m(h(M)) =
= 0, takže podle cvičení 17 ke kapitole 1 existují obdélníky Rk, k = 1, . . . , r,
takové, že h(M) ⊂
r
k=1
Rk,
r
k=1
m(Rk) < ε. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat,
že obdélníky Rk jsou otevřené (stačí nepatrně zvětšit jejich rozměry tak,
aby zůstala v platnosti poslední nerovnost). Označme N =
r
k=1
Rk a M = N ∪M.
Pak M a N jsou otevřené, m(N) < ε a M ⊂ M.
Předchozí konstrukci zopakujeme pro každou množinu Mk, k ∈ N, s číslem ε/2k.
Dostaneme posloupnosti otevřených množin Nk a Mk = Mk ∪ Nk takových, že
Mk ⊆ Mk ⊂ Mk, m(Nk) < ε/2k a
∞
k=1
Mk ⊇
∞
k=1
Mk = M.
Otevřené množiny N, M1, M2, . . . tvoří pokrytí kompaktní množiny M. Podle
Cvičení 259
Heineho-Borelova lemmatu existuje index k0 tak, že N, M1, . . . Mk0 je konečné
pokrytí M. Protože M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mk pro každé k k0, jsou množiny
N, N1, . . . , Nk, Mk rovněž pokrytím M, přičemž m(M) m(M) m(Mk) +
+m(N)+m(N1)+· · ·+m(Nk) < m(Mk)+ε+ε/2+· · ·+ε/2k < m(Mk)+2ε.
Odtud vyplývá, že m(M) lim
k→∞
m(Mk) + 2ε. Protože ε > 0 bylo libovolné, je
m(M) lim
k→∞
m(Mk), což s první částí dává, že m(M) = lim
k→∞
m(Mk).
b) Protože funkce f je integrovatelná na M, existuje konstanta K > 0 tak, že
|f (x)| < K pro x ∈ M. Z dokázané části a), věty 1.52 a aditivity vlastního
integrálu vzhledem k integračnímu oboru vyplývá, že platí ···
M
f (x) dx −
− ···
Mk
f (x) dx = ···
M Mk
f (x) dx ···
M Mk
|f (x)| dx K m(M Mk) → 0
pro k → ∞.
3. Položme M = N, Mk = N1 ∪ · · · ∪ Nk, k ∈ N. Tvrzení plyne ze cvičení 2 k této
kapitole.
Tvrzení říká, že Jordanova míra je aditivní i vzhledem ke sjednocení spočetně mnoha
po dvou disjunktních měřitelných množin (tzv. σ-aditivita), pokud je jejich sjednocení
měřitelná množina (což obecně neplatí — srovnejte cvičení 27 ke kapitole 1).
Obdobný výsledek platí pro aditivitu integrálu vzhledem k integračnímu oboru,
pokud je funkce integrovatelná na sjednocení spočetně mnoha disjunktních integračních
oborů.
4. Nechť funkce f je nezáporná na množině Ω ⊆ Rn, posloupnosti množin {Am},
{Bm} vyčerpávají Ω (ve smyslu poznámky 5.27), f je integrovatelná na každé Am
resp. Bm a číselná posloupnost ···
Am
f (x) dx je ohraničená. Protože je neklesající,
existuje konečná limita lim
m→∞
···
Am
f (x) dx = IA. Pro pevné k označme Cm =
= Am ∩ Bk. Posloupnost {Cm} vyčerpává množinu Bk, tudíž podle cvičení 2 k této
kapitole platí ···
Bk
f (x) dx = lim
m→∞
···
Cm
f (x) dx lim
m→∞
···
Am
f (x) dx = IA.
Protože posloupnost ···
Bk
f (x) dx je neklesající, existuje lim
k→∞
···
Bk
f (x) dx =
= IB IA. Záměnou posloupností {Am} a {Bm} obdržíme opačnou nerovnost, takže
platí IA = IB. Jelikož posloupnost {Bm} byla libovolná, integrál ···
Ω
f (x) dx
konverguje (ve smyslu poznámky 5.27).
Poznámka: Dokázaný výsledek umožňuje zavést pojem neomezené měřitelné množiny
konečné míry.
Neomezenou množinu Ω ⊆ Rn nazveme měřitelnou, právě když konverguje nevlastní
integrál ···
Ω
dx1 · · · dxn. Míru měřitelné množiny pak definujeme vztahem
mn(Ω) = ···
Ω
dx1 · · · dxn. Z dokázaného výsledku plyne, že množina Ω bude
měřitelná právě tehdy, když existuje její vyčerpávající posloupnost (omezených)
měřitelných množin {Am} taková, že číselná posloupnost {mn(Am)} je ohraničená.
260 Nevlastní vícerozměrné integrály
5. Nejprve ukážeme, že libovolnou neprázdnou otevřenou množinu Ω ⊂ Rn lze vyjádřit
jako sjednocení spočetně mnoha kompaktních n-rozměrných nedegenerovaných
intervalů takových, že libovolné různé dva z nich nemají společné vnitřní body.
Uvažujme všechny n-rozměrné krychle o hraně délky 1 tvaru k1, k1 + 1 × · · · ×
× kn, kn + 1 , kde k1, . . . , kn ∈ Z. Buď A1 sjednocení všech takových krychlí,
které jsou podmnožinou Ω. Dále uvažujme všechny n-rozměrné krychle o hraně
délky 1/2 tvaru k1/2, k1/2 + 1/2 × · · · × kn/2, kn/2 + 1/2 , kde k1, . . . , kn ∈ Z.
Přidejme k A1 body všech takových krychlí, které jsou podmnožinou Ω, avšak
nejsou podmnožinou A1. Dostaneme množinu A2. Analogicky postupujeme dále.
Dostaneme posloupnost {Am}, která je neklesající vzhledem k inkluzi, každá Am je
sjednocením konečně nebo spočetně mnoha krychlí, které nemají společné vnitřní
body, přičemž
∞
m=1
Am = Ω. Systém všech krychlí tvořících množiny Am, m ∈ N,
má požadované vlastnosti. (Zvažte, že nemůže být konečný — Ω by byla omezená
neprázdná množina, která by byla současně otevřená i uzavřená, což je spor se
souvislostí prostoru Rn.)
Nechť {Kr} je výše popsaný systém krychlí. Označme Em = K1 ∪ · · · ∪ Km,
m ∈ N. Každá množina Em je sjednocením konečně mnoha krychlí, a je tudíž
kompaktní a měřitelná. Takovou množinu nazveme elementární kompaktní množina.
Posloupnost {Em} vyčerpává množinu Ω. Připusťme, že integrál funkce |f | přes Ω
diverguje. Pak lim
m→∞
···
Em
|f (x)| dx = +∞.
Tvrzení se nyní dokáže obdobně jako věta 5.17. Uvedeme tudíž jen hlavní body:
a) Protože integrál f přes Ω konverguje a integrál |f | diverguje, musí také integrály
f + = (|f | + f )/2 a f − = (|f | − f )/2 přes Ω divergovat.
b) Lze předpokládat (přechodem k podposloupnosti), že platí ···
Em+1 Em
f +(x) dx >
> ···
Em
|f (x)| dx + m pro každé m ∈ N.
c) Z definice dolního integrálu se odvodí pro každé m ∈ N existence elementární
kompaktní množiny Fm takové, že Fm ⊆ Em+1 Em a platí ···
Fm
f (x) dx >
> ···
Em
|f (x)| dx + m pro každé m ∈ N.
d) Posloupnost {Gm}, kde Gm = Em ∪ Fm, je tvořena elementárními kompaktními
množinami a vyčerpává Ω. Přitom ···
Gm
f (x) dx = ···
Fm
f (x) dx +
+ ···
Em
f (x) dx > ···
Em
|f (x)| dx + m − ···
Em
|f (x)| dx = m → ∞ pro
m → ∞, což je spor.
V následujících výsledcích {Sm} resp. {Vm} značí smršťující se resp. vyčerpávající posloupnost
množin, pomocí níž lze určit hodnotu daného integrálu.
Cvičení 261
6. 1
(n+a)(n−1)! , Sm = [x1, . . . , xn] ∈ Rn : |x1| + · · · + |xn| 1/m . Postupujte jako
ve cvičení 27 z kapitoly 3.
7. a) 1/4, Vm = 0, m 2,
b) 2, Sm : x2 + y2 x/m,
c) 144, Vm = ( 0, 1 − 1/m ∪ 1 + 1/m, 28 )2,
d) πab/2, Vm : x2/a2 + y2/b2 1 − 1/m, x 0, y 0,
e) 1/2, Sm : 0 < y 1/m, 0 x y2,
f) πa2(1 − 2 ln a)/2, Sm : x2 + y2 < 1/m2,
g) −(π2 ln 2)/2, Vm : 1/m < x < π − 1/m, 0 < y < x − 1/m,
h) diverguje, Vm : x2 + y2 m2,
i) π/(4a2), Vm : x2 + y2 m2, x 0, y 0,
j) 1/2, Vm : 0 x y m,
k) πab, Vm : x2/a2 + y2/b2 m2,
l) 4, Vm = −m, m 2,
m) 1/[(p − q)(q − 1)], p > q > 1 (jinak diverguje), Vm : 1 x m,
1/x y m/x,
n) 1/(p − 1), p > 1 (jinak diverguje), Vm : 0 x 1, 1 − x y m − x,
o) π 2(
√
2 − 1), Vm : − m x m, 1 + x2 y m + x2,
p) π, Vm : x2 + y2 m2,
q) π/2, Vm : x2 + y2 m2,
r) π/2, Vm : x2 + y2 m2,
s) 2πa2 ln a, Sm : x2 + y2 x/m.
Návod:
g) Použijte transformaci T : x = u + v, y = v a Fubiniovu větu. Platí JT = 1,
T −1(Ω): 0 < u < π, 0 < v < π − u. Podle poznámky 5.27, část 5), je
I =
Ω
ln sin(x −y) dxdy =
π
0
π−u
0 ln sin u dv du =
π
0 (π−u) ln sin u du =
= |subst. π − u = s| =
π
0 s ln sin s ds, odkud 2I = π
π
0 ln sin s ds. Dále
ze symetrie grafu funkce sinus vzhledem k přímce o rovnici x = π/2 plyne
π
0 ln sin s ds = 2
π/2
0 ln sin s ds. Konečně I1 =
π/2
0 ln sin s ds = |subst. s =
= 2t| = 2
π/4
0 ln sin 2t dt = 2
π/4
0 (ln 2 + ln sin t + ln cos t) dt = (π/2) ln 2 +
+ 2
π/4
0 ln sin t dt + 2
π/4
0 ln cos t dt = |subst. t = π/2 − r| = (π/2) ln 2 +
+ 2
π/4
0 ln sin t dt + 2
π/2
π/4 ln cos(π/2 − r) dr = (π/2) ln 2 + 2
π/4
0 ln sin t dt +
+ 2
π/2
π/4 ln sin r dr = (π/2) ln 2 + 2I1, takže I1 = −(π/2) ln 2.
o) Použijte Fubiniovu větu. Podle poznámky 5.27, část 5), je I =
Ω
dxdy
x4+y2 dxdy =
=
+∞
−∞
+∞
1+x2
dy
x4+y2 dx. Dále pro x = 0 je F(x) =
+∞
1+x2
dy
x4+y2 = 1
x2
π
2 −
− arctg x2+1
x2 a pro x = 0 je F(0) =
+∞
1
dy
y2 = 1. L’Hospitalovým pravidlem
se lze přesvědčit, že F je spojitá v nule.
Odtud integrací per partes (volíme u = π
2 −arctg x2+1
x2 a v = 1
x2 ; výraz [G(x)]+∞
−∞
262 Nevlastní vícerozměrné integrály
je třeba chápat jako lim
x→+∞
G(x)− lim
x→−∞
G(x)) dostaneme I =
+∞
−∞ F(x) dx =
= −2 1
x
π
2 −arctg x2+1
x2
+∞
−∞
+
+∞
−∞
dx
x4+x2+1/2
. Snadno se vidí, že lim
x→±∞
1
x
π
2 −
− arctg x2+1
x2 = 0, tedy I =
+∞
−∞
dx
x4+x2+1/2
.
Platí x4 + x2 + 1/2 = (x2 − 1
√
2)2 − (
√
2 − 1)x2 = x2 −
√
2 − 1x +
+1/
√
2 x2 +
√
2 − 1x+1/
√
2 . Označme h(x) = x2 +
√
2 − 1x+1/
√
2.
Pak x4 + x2 + 1/2 = h(−x)h(x). Rozklad na parciální zlomky má tvar
1
x4+x2+1/2
= Ax+B
h(−x) + Cx+D
h(x) ,
kde C = −A =
√
2 + 1
√
2, B = D = 1/
√
2.
Nevlastní integrál funkce 1/(x4 + x2 + 1/2) konverguje na intervalu (−∞, 0
i 0, +∞). Dále pro c > 0 je
c
−c
Ax+B
h(−x) dx =
c
−c
Cx+D
h(x) dx. Odsud odvodíme,
že I = 2 lim
c→+∞
c
−c
Cx+D
h(x) dx. (Pozor,
+∞
−∞
Cx+D
h(x) dx je divergentní!) Platí
c
−c
Cx+D
h(x) dx =
√√
2+1
2
√
2
ln h(x)
c
−c
+
√√
2−1√
2
arctg 2x+
√√
2−1√√
2+1
c
−c
→
→
√√
2+1
2
√
2
ln 1 +
√√
2−1√
2
π
2 + π
2 = π
√√
2−1√
2
pro c → +∞.
s) Použijte polární souřadnice a Fubiniovu větu. Množina Ω má v polárních souřadnicích
popis −π/2 ϕ π/2, 0 2a cos ϕ (srovnejte obrázek 3.7
k příkladu 3.13). Podle poznámky 5.27, část 5), je I =
Ω
ln(x2 + y2) dxdy =
=
π/2
−π/2
2a cos ϕ
0 ln 2 d dϕ. Vnitřní integrál je
2a cos ϕ
0 2 ln d =|p. p.|=
= 2a2(2 ln 2a − 1) cos2 ϕ + 4a2 cos2 ϕ ln cos ϕ. Tudíž, protože integrand je sudá
funkce, I = 2a2(2 ln 2a −1)
π/2
0 (1+cos 2ϕ) dϕ +8a2 π/2
0 cos2 ϕ ln cos ϕ dϕ =
= |subst. cos ϕ = t| = πa2(2 ln 2a − 1) + 8a2 1
0
t2 ln t√
1−t2
dt = 2πa2 ln a. Platí
totiž
I1 =
1
0
t2 ln t√
1−t2
dt =
u = t ln t u = ln t + 1
v = t√
1−t2
v = −
√
1 − t2 = −t ln t
√
1 − t2 1
0
+
+
1
0 (ln t + 1)
√
1 − t2 dt =
1
0
√
1 − t2 dt +
1
0 ln t
√
1 − t2 dt =
= π
4 +
1
0
(1−t2) ln t√
1−t2
dt = π
4 +
1
0
ln t√
1−t2
dt −
1
0
t2 ln t√
1−t2
dt.
Z předchozích rovnic dostaneme
I1 = 1
2
1
0
ln t√
1−t2
dt + π
4 = π
8 − π
4 ln 2,
protože
1
0
ln t√
1−t2
dt = |subst. t = sin u| =
π/2
0 ln sin u du = −π
2 ln 2 — viz
návod k úloze g) tohoto cvičení.
Cvičení 263
8. a) 1/120, Vm = 1/m, 1 3,
b) (8/9)πa3(3 ln a − 1), Sm : x2 + y2 + z2 < 1/m2,
c) π3/2, Vm = −m, m 3 (viz cvičení 16 ke kapitole 3),
d) e/2 − 1, Vm : 1 y m, 1 z m, 0 x 1/yz,
e) 1/[(1 − p)(1 − q)(1 − r)], p < 1, q < 1, r < 1 (jinak diverguje),
Vm = 1/m, 1 n,
f) πn/2, Vm = −m, m n (viz cvičení 16 ke kapitole 3),
g) an
n2 (n ln a − 1)2
¨ n+3
2
˝
· π
¨ n
2
˝
, Sm : x2
1 + · · · + x2
n < 1/m2.
9. Označme a =
√
x2
0 + y2
0 + z2
0. Při a R je integrál pro U(x0, y0, z0) nevlastní.
Jeho konvergence vyplývá z poznámky 5.12 (pro a < R) a věty 5.13 (pro a = R).
Vyjde:
U(x0, y0, z0) =
4
3 πR3ρG1
a pro a R,
2πR2 − 2
3 πa2 ρG pro a R.
(5.11)
Postup: Předpokládejme nejprve, že A = [0, 0, z0], z0 0, tj. a = z0. Podle
Fubiniovy věty 3.47 s použitím polárních souřadnic platí:
U(0, 0, z0) =
K
Gρ dxdydz√
x2+y2+(z−a)2
= Gρ
R
−R
K(·,·,z)
dxdy√
x2+y2+(z−a)2
dz =
= 2πGρ
R
−R(
√
R2 − 2az + a2 − |z − a|) dz,
kde K(·,·,z) = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 R2 − z2}. Dále
R
−R
√
R2 − 2az + a2dz = 1
3a [(R+a)3 −|R−a|3] =
2
3 R3 1
a + 2Ra pro a R,
2R2 + 2
3 a2 pro a R
a
R
−R |z − a| dz =
2Ra pro a R,
R2 + a2 pro a R,
odkud vyjde (5.11) pro tento případ.
Pro A = [0, 0, z0], z0 0, tj. a = −z0, použijeme transformaci S : x = u, y =
= v, z = −w s jakobiánem JS = −1. Z věty o transformaci integrálu dostaneme
U(0, 0, z0) = U(0, 0, −z0) = U(0, 0, a), takže (5.11) platí i v tomto případě.
V obecném případě, kdy x2
0 + y2
0 > 0, použijeme vhodnou izometrickou transformaci
T (viz cvičení 5 a 6 ke kapitole 3), která převede bod A = [x0, y0, z0] do
bodu B = [0, 0, a] a počátek souřadnicového systému ponechá na místě (např. otočení
kolem vhodné přímky procházející počátkem souřadnicové soustavy). Nechť
[x, y, z]T = Q[u, v, w]T , kde Q je jistá ortogonální matice; pak [x0, y0, z0]T =
= Q[0, 0, a]T , T (K) = K a pro jakobián platí |JT | = | det Q| = 1. Dále platí
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = x2 + y2 + z2 − 2(x0x + y0y + z0z) + x2
0 + y2
0 +
+z2
0 = [x, y, z][x, y, z]T −2[x0, y0, z0][x, y, z]T +a2 = [u, v, w]QT Q[u, v, w]T −
−2[0, 0, a]QT Q[u, v, w]T +a2 = [u, v, w][u, v, w]T −2[0, 0, a][u, v, w]T +a2 =
= u2 +v2 +w2 −2aw +a2 = u2 +v2 +(w −a)2. Z věty o transformaci dostaneme,
264 Nevlastní vícerozměrné integrály
že U(x0, y0, z0) = U(0, 0, a), což dokazuje (5.11). Všimněte si, že jsme nepotřebovali
konkrétní prvky matice Q, stačila nám jen informace, že jde o ortogonální
matici, tj. že QT Q je jednotková matice.
Poznamenejme, že Fubiniova věta i věta o transformaci zde platí i v případě, že
daný integrál je nevlastní — viz poznámka 5.27, část 5).
10. Označme a =
√
x2
0 + y2
0 + z2
0. Při a R jsou integrály pro složky gi nevlastní.
Jejich konvergence vyplývá z věty 5.13 a z poznámky 5.12. Pro A = (0, 0, 0) vyjde:
g(x0, y0, z0) = − x0√
x2
0 +y2
0 +z2
0
, y0√
x2
0 +y2
0 +z2
0
, z0√
x2
0 +y2
0 +z2
0
|g|, (5.12)
kde
|g| =
4
3 πρGR3
a2 pro a R,
4
3 πaρG pro a R.
Pro A = [0, 0, 0] je g(0, 0, 0) = (0, 0, 0).
Postup: Při výpočtu budeme postupovat obdobně jako ve cvičení 9 k této kapitole.
Předpokládejme nejprve, že A = [0, 0, z0], z0 0, tj. a = z0. Podle Fubiniovy
věty 3.47 s použitím polárních souřadnic platí:
g3(0, 0, z0) =
K
Gρ(z−a) dxdydz√
[x2+y2+(z−a)2]3
=
= Gρ
R
−R (z − a)
K(·,·,z)
dxdy√
[x2+y2+(z−a)2]3
dz =
= 2πGρ
R
−R
z−a
|z−a| − z−a√
R2−2az+a2
dz,
kde K(·,·,z) = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 R2 − z2}. Dále
R
−R
z−a
|z−a| dz =
R
−R sgn(z − a) dz =
−2R pro a R,
−2a pro a R
a (substitucí t =
√
R2 − 2az + a2 )
R
−R
z−a√
R2−2az+a2
dz =
2
3
R3
a2 − 2R pro a R,
−4
3 a pro a R.
Celkem vyjde
g3(0, 0, z0) =
−4
3 πρGR3
a2 pro a R,
−4
3 πaρG pro a R.
Cvičení 265
Dále analogicky dostaneme
g1(0, 0, z0) =
K
Gρx dxdydz√
[x2+y2+(z−a)2]3
= Gρ
R
−R
K(·,·,z)
x dxdy√
[x2+y2+(z−a)2]3
dz = 0,
g2(0, 0, z0) =
K
Gρy dxdydz√
[x2+y2+(z−a)2]3
= Gρ
R
−R
K(·,·,z)
y dxdy√
[x2+y2+(z−a)2]3
dz = 0
(vnitřní dvojné integrály jsou rovny nule pro každé z ∈ −R, R ), což odpovídá
vztahu (5.12).
Transformací S : x = u, y = v, z = −w s jakobiánem JS = −1 ověříme, že
vztah (5.12) platí i pro A = [0, 0, z0], z0 0, tj. a = −z0.
V obecném případě, kdy x2
0 + y2
0 > 0, použijeme izometrickou transformaci T
(viz cvičení 5 a 6 ke kapitole 3), která převede bod A = [x0, y0, z0] do bodu
B = [0, 0, a] a počátek souřadnicového systému ponechá na místě. Oproti cvičení
9 k této kapitole budeme potřebovat prvky ortogonální matice Q, která odpovídá
této transformaci. Nechť T1 je rotace kolem souřadnicové osy z taková, že
T1(x0, y0, z0) =
√
x2
0 + y2
0, 0, z0 , a T2 je rotace kolem souřadnicové osy y taková,
že T2
√
x2
0 + y2
0, 0, z0 = 0, 0,
√
x2
0 + y2
0 + z2
0 = [0, 0, a]. Pak transformace
T2 ◦ T1 má požadované vlastnosti. Matice odpovídající transformacím T1, T2
jsou
Q1 =







x0
√
x2
0 +y2
0
y0
√
x2
0 +y2
0
0
−
y0
√
x2
0 +y2
0
x0
√
x2
0 +y2
0
0
0 0 1







, Q2 =







z0
√
x2
0 +y2
0 +z2
0
0 −
√
x2
0 +y2
0
√
x2
0 +y2
0 +z2
0
0 1 0
√
x2
0 +y2
0
√
x2
0 +y2
0 +z2
0
0
z0
√
x2
0 +y2
0 +z2
0







.
Buď T = T2 ◦ T1 : [x, y, z] → [u, v, w] jejich složení. Potom platí [u, v, w]T =
= Q2Q1[x, y, z]T , tj. [x, y, z]T = QT
1 QT
2 [u, v, w]T . Odtud dostaneme, že
z = −
√
x2
0 +y2
0
a u +
z0
a w.
Stejně jako ve cvičení 9 odvodíme, že (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = u2 +
+ v2 + (w − a)2. Protože T (K) = K a jakobián JT = | det(Q2Q1)| = 1, obdržíme
z věty o transformaci integrálu, že
g3(x0, y0, z0) =
K
Gρ(z−z0) dxdydz√
[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3
=
= −
√
x2
0 +y2
0
a
K
Gρu dudvdw√
[u2+v2+(w−a)2]3
+
z0
a
K
Gρ(w−a) dudvdw√
[u2+v2+(w−a)2]3
=
= −
√
x2
0 +y2
0
a g1(0, 0, a) +
z0
a g3(0, 0, a) =
z0
a g3(0, 0, a).
266 Nevlastní vícerozměrné integrály
Obdobně se odvodí, že
g1(x0, y0, z0) =
x0
a g1(a, 0, 0) =
x0
a g3(0, 0, a),
g2(x0, y0, z0) =
y0
a g2(0, a, 0) =
y0
a g3(0, 0, a).
Poznamenejme, že Fubiniova věta i věta o transformaci zde platí i v případě, že
dané integrály jsou nevlastní — viz poznámka 5.27, část 5).
Platí g(x0, y0, z0) = grad U = ∂
∂x U, ∂
∂y U, ∂
∂z U , kde U je potenciál ze cvičení 9
k této kapitole. Takové pole g se nazývá potenciálové.
Všimněme si ještě pro zajímavost velikosti intenzity zemského gravitačního pole
v bodě na povrchu zeměkoule. Předpokládejme pro jednoduchost, že Země má tvar
dokonalé koule o poloměru R = 6378 · 103 m a že se jedná o homogenní těleso
o hustotě ρ = 5 518 kg m−3. Položíme-li a = R a vezmeme-li v úvahu, že pro gravitační
konstantu platí G = 6,67·10−11N m2 kg−2, dostáváme z odvozeného vzorce
hodnotu |g| = 9,83 m s−2. Tato hodnota představuje velikost gravitačního zrychlení
na povrchu Země. Podotkněme ještě, že gravitační zrychlení je třeba odlišovat od
tíhového zrychlení, ve kterém se bere v úvahu také odstředivá síla způsobená rotací
Země kolem své osy.
11. a) U(A) = ρGπR2 ln
h+
√
R2+h2
R + ρGπh
√
R2 + h2 − h .
Zvolte umístění M = {[x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 R, 0 z h}, A = [0, 0, 0].
b) U(A) = πh(l − h)ρG, U(B) = πR2h3
l3 ρG ln R(l+R)
h(l−h) + πR2h
l2 ρG(R − h), kde
l =
√
R2 + h2.
Zvolte umístění M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 (z − h)2 R2
h2 , 0 z h ,
A = [0, 0, h], B = [0, 0, 0].
Návod: Postupujte jako ve cvičení 9 k této kapitole.
267
Literatura
[1] Berman, G. N. Sbornik zadač po kursu matematičeskogo analiza. 7. izdanije.
Moskva: Gosudarstvennoje izdatelstvo techniko-teoretičeskoj literatury,
1957. 436 s.
[2] Budak, B. M. – Fomin, S. V. Multiple Integrals, Field Theory and Series.
Moscow: MIR Publishers, 1973. 640 s.
[3] Děmidovič B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Havlíčkův
Brod: Fragment, 2003. 460 s. ISBN 80-7200-587-1.
[4] Dold, A. Lectures on algebraic topology. Berlin: Springer, 1972. (Rusky
Moskva: MIR, 1976. 464 s.)
[5] Došlá, Z. – Došlý, O. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Třetí
vydání. Brno: Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity v Brně, 2006.
4+144 s. Skriptum. ISBN 80-210-4159-5.
[6] Došlá, Z. – Došlý, O. Metrické prostory. Třetí vydání. Brno: Přírodovědecká
fakulta Masarykovy univerzity v Brně, 2006. 8+90 s. Skriptum. ISBN
80-210-4160-9.
[7] Došlá, Z. – Kuben, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Druhý dotisk
1. vydání. Brno: Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity v Brně,
2008. 6+209 s. Skriptum. ISBN 80-210-3121-2.
[8] Došlá, Z. – Novák, V. Nekonečné řady. První dotisk 1. vydání. Brno: Přírodovědecká
fakulta Masarykovy univerzity v Brně, 2002. 4+113 s. Skriptum.
ISBN 80-210-1949-2.
[9] Eliaš, J. – Horváth, J. – Kajan, J. – Šulka, R. Zbierka úloh z vyššej matematiky.
4. časť. 2. vydanie. Bratislava: ALFA, 1972. 285 s.
268 Literatura
[10] Fichtengoľc, G. M. Kurs differenciaľnogo i integraľnogo isčislenija. Tom III.
5. izdanije. Moskva: Nauka, 1969. 656 s.
[11] Fuchs, E. Metrické prostory. Brno: Přírodovědecká fakulta Univerzity Jana
Evangelisty Purkyně v Brně, 1974. 65 s. Skriptum.
[12] Goluzin, G. M. Geometričeskaja teorija funkcij kompleksnogo peremennogo.
Moskva: Gosudarstvennoje izdateľstvo techniko teoretičeskoj literatury,
1952. 540 s.
[13] Hošková, Š. – Kuben, J. Integrální počet funkcí jedné proměnné. 1. vydání.
Brno: Vojenská akademie v Brně, 2004. 205 s. Skriptum. ISBN
80-85960-75-3.
[14] Hošková, Š. – Kuben, J. – Račková, P. Integrální počet funkcí více proměnných.
1. vydání. Brno: Vojenská akademie v Brně, 2005. 6+140 s.
Skriptum. ISBN 80-7231-031-3.
[15] Jarník, V. Integrální počet (II). Praha: Academia, 1976. 764 s.
[16] Kalas, J. Analýza v komplexním oboru. 1. vydání. Brno: Masarykova univerzita,
2006. 4+202 s. ISBN 80-210-4045-9.
[17] Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M. Matematika pre štúdium technických
vied. II. diel. 3. nezmenené vydanie. Bratislava: ALFA, 1970. 815 s.
[18] Minorskij, V. P. Sbornik zadač po vysšej matematike. 6. izdanije. Moskva:
Gosudarstvennoje izdatelstvo techniko-teoretičeskoj literatury, 1961. 350 s.
[19] Nagy, J. – Nováková, E. – Vacek, M. Integrální počet. Matematika pro
vysoké školy technické, sešit VI. Praha: SNTL, 1984. 311 s.
[20] Novák, V. Integrální počet v R. 3. vydání. Brno: Přírodovědecká fakulta
Masarykovy univerzity v Brně, 2001. 85 s. Skriptum. ISBN 80-210-2720-7.
[21] Novotný, M. Integrální počet. Praha: SPN, 1969. 132+11 s. Skriptum.
[22] Petr, K. Počet integrální. Praha: JČMF, 1915. XXIII+638 s.
[23] Ráb, M. Riemannův integrál v En
. Brno: Přírodovědecká fakulta Univerzity
Jana Evangelisty Purkyně v Brně, 1985. 80 s. Skriptum.
[24] Ráb, M. Zobrazení a Riemannův integrál v En
. 1. vydání. Praha: SPN,
1988. 97 s. Skriptum.
Literatura 269
[25] Schwabik, Š. – Šarmanová, P. Malý průvodce historií integrálu. Přírodovědecká
fakulta Masarykovy univerzity v Brně, Dějiny matematiky, sv. 6.
1. vydání. Praha: Prometheus, 1996. 96 s. ISBN 80-7196-038-1.
[26] Sikorski, R. Diferenciální a integrální počet. Funkce více proměnných.
Druhé, změněné a doplněné vydání. Vydání překladu 1. Praha: Academia,
1973. 496 s.
[27] Zorič, V. A. Matematičeskij analiz. Časť II. Moskva: Nauka, 1984. 640 s.
270
Rejstřík
A
aditivita
vzhledem k integračnímu
oboru, 46
vzhledem k integrandu, 45
B
Bernoulliova lemniskáta, 223
bod
singulární, 240
C
celkový elektrický náboj, 223, 224
D
dělení
kvádru, 84
obdélníku, 3
difeomorfismus, 163
dilatace, 125, 139, 155
F
funkce
integrace schopná, 7, 42
integrovatelná, 7, 42
lipschitzovská, 76
H
hlavní hodnota, 253
hmotnost
tenké desky, 212
trojrozměrného tělesa, 214
homogenita vzhledem k integrandu,
45
I
integrál
dolní, 7, 86, 101
dvojnásobný, 18, 52
dvojný, 52
na intervalu, 7
na množině, 42
přes interval, 7
přes množinu, 42
dvojrozměrný, 18
horní, 7, 86, 101
jednoduchý, 105
jednorozměrný, 105
nevlastní, 241, 250
divergentní, 241, 250
konvergentní, 241, 250
konvergentní absolutně, 247,
251
n-násobný, 102
n-rozměrný, 100
trojnásobný, 88, 91
trojný, 86, 91
trojrozměrný, 87
vlastní, 241
integrand, 7
interval
dvojrozměrný, 2
degenerovaný, 2
Rejstřík 271
n-rozměrný, 101
trojrozměrný, 84
v rovině, 2
J
jakobián, 121, 137, 154
K
kritérium
srovnávací, 246, 254
kvádr, 84
L
Lipschitzova podmínka, 164
M
míra, 86
grafu funkce, 206
Jordanova, 32, 89
množiny, 197
plochy, 206
(n − 1)-rozměrné, 208
vnější, 33
vnitřní, 33
množina
elementární, 40, 89, 102
vzhledem k nadrovině, 102
vzhledem k ose x, 40
vzhledem k ose y, 40
vzhledem k rovině, 89
množiny
kongruentní, 179
moment
setrvačnosti
rovinné desky, 219
trojrozměrného tělesa, 221
statický
tenké desky, 212
trojrozměrného tělesa, 214
N
norma
dělení, 3
O
objem, 86
objem množiny, 200
obor
integrační, 7
obsah
grafu funkce, 206
množiny, 197
plochy, 206
(n − 1)-rozměrné, 208
okruh
množinový, 42
P
posloupnost dělení
nulová, 3
posloupnost množin
smršťující se k bodu, 240
vyčerpávající množinu, 249, 253
posunutí, 124, 138, 155
princip
Cavalieriův, 235
S
součet
dolní, 4, 85
horní, 4, 85
integrální, 27
souřadnice
cylindrické, 139
kulové, 141
polární, 125
sférické, 141
válcové, 139
272 Rejstřík
T
těžiště
tenké desky, 212
trojrozměrného tělesa, 214
transformace
do cylindrických souřadnic, 139
do eliptických souřadnic, 126
do hypersférických souřadnic, 156
do kulových souřadnic, 140
do polárních souřadnic, 125
do sférických souřadnic, 140, 156
do válcových souřadnic, 139
do zobecněných cylindrických
souřadnic, 141
do zobecněných eliptických
souřadnic, 126
do zobecněných kulových
souřadnic, 142
do zobecněných polárních
souřadnic, 126
do zobecněných sférických
souřadnic, 142
do zobecněných válcových
souřadnic, 141
dvojného integrálu, 121, 124
integrálu, 119
n-rozměrného integrálu, 154
trojného integrálu, 137
translace, 124, 138, 155
V
věta
Fubiniova, 50, 86, 101
pro funkci dvou proměnných
na obdélníku, 16
pro funkci dvou proměnných
spojitou na obdélníku, 18
výběr reprezentantů, 27
Z
záměna proměnných, 119
zjemnění, 3
největší společné, 3
zobrazení
difeomorfní, 163
lokálně, 163
lipschitzovské, 164
regulární, 121, 137, 154
spojitě diferencovatelné, 121,
137, 154