Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 1 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Roman Plch, Petra Šarmanová, Petr Sojka Integrální počet funkcí více proměnných Interaktivní sbírka příkladů a testových otázek Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 2 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Vážený čtenáři, dostává se Ti do rukou Multimediální sbírka příkladů z Integrálního počtu funkcí více proměnných. Naším cílem bylo vytvořit interaktivní materiál, který povede k maximálně efektivnímu zvládnutí a procvičení této pro studenty často obtížné partie. Přitom jsme chtěli, aby naše učební pomůcka byla nezávislá na operačním systému, nevyžadovala použití nějakého LMS či instalaci dodatečného softwaru a připojení k Internetu. Z tohoto důvodu jsme jako výstupní formát zvolili PDF. Formát PDF již několik let dominuje na poli digitálních dokumentů nejen ve vědecké literatuře, ale rozšířil se díky přenositelnosti i mezi širokou veřejnost. Původní myšlenkou pro vznik formátu PDF byla právě přenositelnost textových dokumentů mezi různými platformami, kdy výsledný dokument vypadá na všech platformách i různém hardwaru stejně. Formát PDF se však stále vyvíjí a přináší nové možnosti. Dnes je možné do PDF dokumentů začleňovat animace, video a audio nahrávky či 3D objekty. Výukový text je zpracován sázecím systémem TeX ve formátu pdfLATEX. Vzhledem k tomu, že jde o matematický text obsahující řadu i značně komplikovaných Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 3 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka vzorců, je použití sázecího systému TeX jedinou rozumnou alternativou. Zaručuje totiž vysokou typografickou kvalitu a snadnou modifikovatelnost textu. Při vytváření sbírky jsme se snažili o vytvoření uživatelsky příjemného a efektivního výukového prostředí. Student má stále k dispozici ovládací panel, který umožňuje volit mezi celoobrazovkovým režimem a zobrazením v okně, obsahuje tlačítko posuvu o stranu vpřed a vzad, skok na začátek nebo konec dokumentu a posouvání v historii prohlížení. Důležitá je také možnost skoku na konkrétní stranu v textu a na začátek kapitol. Text je přizpůsoben velikosti obrazovky (posuv textu na obrazovce není nutný). Základním učebním textem, na který je tato sbírka příkladů navázána, je skriptum [2], používané ve výuce jak na MU v Brně, tak na VŠB TU v Ostravě. Text je tvořen pěti kapitolami (Úvod, Dvojný integrál, Trojný integrál, Souhrnné testy a Úlohy na procvičení). Na začátku kapitol Dvojný a Trojný integrál uvádíme shrnutí potřebné teorie, následuje několik podrobně vyřešených úloh, které jsou ilustrovány interaktivní 3D grafikou. Interaktivní 3D grafika Vhodně vytvořená a okomentovaná grafika přispívá k pochopení probírané problematiky a rozvoji geometrické představivosti studentů. Ilustrační grafiku lze použít k objasňování nového teoretického pojmu či závislosti daného jevu na parametrech, k dokreslení geometrického významu řešených úloh a případně k ověření „reálnosti“ řešení. Jedním z možných dělení grafiky je na grafiku statickou a dynamickou. Mezi statickou grafiku počítáme jakékoliv obrázky, s nimiž nemůžeme dále manipulovat. Interaktivní grafika nám naproti tomu umožňuje aktivně pracovat s objektem, např. prohlédnout si ho ze všech stran, zvětšovat a zmenšovat, zobrazit Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 4 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka detail vybrané části, zobrazit normálové vektory, měnit nastavení barev, průhlednost objektu a mnoho dalšího (dle možností zobrazovacího programu). Z tohoto důvodu jsou všechny 3D obrázky ve sbírce v interaktivní podobě. 3D obrázky jsme vytvořili v CAS systému Maple a následně konvertovali do formátu U3D pomocí programu Deep Exploration. 3D objekty ve formátu U3D jsme pak vkládali do PDF dokumentu pomocí pdfLATEXu a balíčku movie15. Technika tvorby interaktivní 3D grafiky a její následné začlenění do PDF dokumentu je podrobně popsána v [9]. Na obrázku 1 vidíte ukázku interaktivní 3D grafiky. K manipulaci s grafikou je nutné zobrazit 3D Toolbar (je součástí Adobe Readeru). Toolbar se zobrazí kliknutím pravého tlačítka myši na obrázek. Základní možnosti Toolbaru jsou dynamický zoom, posunutí, natočení, změna osvětlení, změna barvy pozadí či skrytí, zobrazení nebo izolování pouze určitých prvků modelu. Možné je rovněž využití různých zobrazovacích módů (Solid, Transparent, Shaded Illustration atd.). Pro korektní zobrazení interaktivní 3D grafiky musíte použít Adobe Reader verze 8.1.1 (a vyšší). Interaktivní testy K důkladnému procvičení studované problematiky jsme do každé kapitoly začlenili interaktivní testové otázky (přímo do textu za testované učivo) a na závěr několik souhrnných testů (kapitola Souhrnné testy). Protože rozeznávání ploch, které ohraničují integrační obor, je nezbytné pro úspěšné zvládnutí trojného integrálu, zařadili jsme i testové otázky na rozeznávání množin bodů v prostoru. Kapitola Úlohy na procvičení je tvořena výpočetními příklady, u kterých si je možno pomocí testového prostředí zkontrolovat správnost výsledku. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 5 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka obr. 1 Grafický objekt ve formátu U3D Tyto testové otázky byly vytvořeny pomocí kolekce LATEXových maker AcroTEX (více např. v [4] a na webových stránkách [13]. Během práce s těmito makry jsme narazili na některé chyby, zejména při použití otázky s více správnými odpovědmi. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 6 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Tyto chyby byly po korespondenci s autorem maker profesorem D. P. Story následně opraveny. Následující test ukazuje použité typy testových otázek a slouží k vyzkoušení práce s testy. Test zahájíte kliknutím na tlačítko „Zacatek testu“. U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Ukázkový test 1. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 −1 1 x y Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 7 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka x2 0 0 −1 f (x, y) dy dx 0 −1 1 0 f (x, y) dy dx 0 −1 x2 0 f (x, y) dy dx 0 −1 √ x 0 f (x, y) dy dx x2 1 0 −1 f (x, y) dx dy 1 0 − √ y −1 f (x, y) dx dy 1 0 1 0 f (x, y) dx dy 1 0 √ y −1 f (x, y) dx dy 2. (4b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u integrálu: 2 0   √ 2x−x2 0 f (x, y) dy   dx, 1 0 − √ 1−y2+1 √ 1−y2+1 f (x, y) dx dy 1 0 √ 1−y2+1 − √ 1−y2−1 f (x, y) dx dy 1 0 √ 1−y2+1 − √ 1−y2+1 f (x, y) dx dy 1 0 √ 1−y2−1 − √ 1−y2+1 f (x, y) dx dy 3. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 4 1 3 −2 x2 y dy dx = Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 8 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Pro ukončení testu je třeba kliknout na tlačítko „Konec testu“. Opravení testu se provede kliknutím na tlačítko „Výsledky“, správné odpovědi budou označeny zeleně a červeně budou označeny odpovědi chybné. Při použití otázky s tvořenou odpovědí se správná odpověď zobrazí v rámečku umístěném vpravo dole v navigačním panelu po kliknutí na tlačítko „Odpoved“. Pro zápis matematických výrazů v otázkách s tvořenou odpovědí používejte následující syntaxi. • Základní matematické operace zapisujte takto: + sčítání (př.: x+1), - odčítání (př.: x-1), * nebo mezera pro násobení (př.: 3*x nebo 3x nebo 3␣x pro 3x) a / pro dělení a zlomky (př.: 1/x pro 1 x ) • Mezery jsou před zpracováním odpovědi odstraněny. Při násobení čísel tedy musíte napsat explicitně *. • Pro zapsání mocniny využijte symbol ^ a exponent uzavřete do libovolných závorek závorek (př.: x^(-2) pro x−2 ). • Pořadí operací definujete uzavřením jednotlivých operací do závorek, je možné používat i hranaté nebo složené závorky (př.: (sin(x))^(2) pro (sin(x))2 ). • Odmocninu zapíšete pomocí sqrt a odmocněnec umístíte do závorek (př.: sqrt(x) pro √ x), pro odmocninu můžete také použít zápis (př.: x^(1/3) pro 3 √ x). Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 9 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka • Základní funkce zapisujte takto: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x), asin(x), acos(x), atan(x), ln(x). • Exponenciální funkci ex zapisujte exp(x) nebo e^x. • Číslo π zapisujte jako pi (př.: 6*pi pro 6π nebo 6+pi pro 6 + π). • Absolutní hodnotu zapisujte abs() nebo pomocí | | (př. abs(x) nebo | x | pro |x|) . Pokud vaše odpověď není platný matematický výraz, nepočítá se vám chybná odpověď, ale musíte si výsledek opravit. Všechny 3D obrázky v testech jsou interaktivní. Můžete s nimi otáčet a kliknutím pravým tlačítkem myši můžete vyvolat Toolbar, pomocí něhož je možno využít dalších možností práce s 3D grafikou (změna velikosti, osvětlení, zobrazovacího módu, skrytí, zobrazení nebo izolování pouze určitých prvků modelu, atd.). Závěrem bychom rádi poděkovali panu doc. RNDr. J. Kubenovi, CSc. za pečlivé přečtení celé sbírky a přípravu metapostových obrázků, studentce Přírodovědecké fakulty N. Jalové za přípravu metapostových obrázků a některých testových otázek. Tato multimediální sbírka příkladů a testových otázek vznikla za podpory Fondu rozvoje VŠ v rámci řešení projektu č. 92/2008. Pro tvorbu a začlenění interaktivní grafiky do PDF dokumentů jsme navrhli a následně otestovali nový postup, založený na konverzi 3D grafiky z CAS systému Maple. Tento postup byl zdokumentován a následně publikován v [9] a [10]. Zkušenosti s tvorbou multimediálních učebních pomůcek v PDF formátu jsme prezentovali na konferenci Setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol, příspěvek je možno najít ve sborníku [11]. Brno a Ostrava, srpen 2009 Autoři Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 10 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Integrální počet funkcí více proměnných Dvojný a trojný integrál je zobecněním určitého integrálu funkce jedné proměnné, který funkci jedné proměnné přiřazoval číslo. Toto číslo pak mohlo mít různý geometrický nebo fyzikální význam, např. vyjadřovalo obsah rovinné oblasti, objem rotačního tělesa nebo obsah jeho pláště, hmotnost nebo moment setrvačnosti rotačního tělesa. Obdobně dvojný integrál bude přiřazovat funkci dvou proměnných definované na rovinné oblasti jisté číslo a trojný integrál bude přiřazovat funkci tří proměnných definované na prostorové oblasti jisté číslo. Toto číslo může mít opět různý geometrický nebo fyzikální význam, např. obsah, objem, hmotnost nebo moment setrvačnosti. V dalším textu budeme místo o délce, obsahu a objemu nějaké množiny A často mluvit o míře této množiny a používat označení m(A). Abychom rozlišili, zda se jedná o délku, obsah nebo objem, budeme používat index, který odpovídá tomu, v jakých jednotkách (délkových, plošných, objemových) se daná míra měří. Tedy m1(A) bude značit délku, m2(A) obsah a m3(A) objem množiny A. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 11 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Kapitola 1 Dvojný integrál Dvojný integrál a Fubiniova věta  Typové řešené příklady Test Transformace dvojného integrálu  Typové řešené příklady Test Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 12 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 1.1. Dvojný integrál Dvojný integrál přiřazuje omezené funkci dvou proměnných definované na nějaké měřitelné množině A v R2 číslo, které může mít v závislosti na konkrétním tvaru integrandu následující geometrický význam: A f (x, y) dxdy představuje míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora ohraničeno nezápornou funkcí f (x, y) a zdola funkcí nulovou g(x, y) = 0. Obě funkce uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A. A ( f (x, y) − g(x, y)) dxdy, kde f (x, y) g(x, y) pro [x, y] ∈ A, představuje míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora ohraničeno funkcí f (x, y) a zdola funkcí g(x, y). Obě funkce opět uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A. A 1 dxdy představuje míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora ohraničeno konstantní funkcí f (x, y) = 1 a zdola funkcí nulovou g(x, y) = 0. Obě funkce uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A. Vzhledem k tomu, že je objem roven součinu obsahu podstavy a výšky, platí A 1 dxdy = m2(A). (1.1) Tento vztah říká, že číselně je objem tělesa s podstavou A a výškou rovnou jedné roven obsahu množiny A. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 13 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 1.2. Dvojný integrál – Fubiniova věta Fubiniova věta nám dává návod, jak převést dvojný integrál na dvojnásobný. Převádíme tak výpočet dvojného integrálu na výpočet dvou po sobě jdoucích jednorozměrných integrálů. Věta 1.1. (Fubiniova věta v R2 ) Nechť je funkce f dvou proměnných x, y spojitá na množině A = x, y ∈ R2 : a x b; ϕ(x) y ψ(x) , kde ϕ, ψ jsou funkce spojité na intervalu a, b takové, že ϕ(x) ψ(x) pro ∀x ∈ a, b . Pak platí A f (x, y) dxdy = b a ψ(x) ϕ(x) f (x, y) dy dx. (1.2) Množinu typu A = x, y ∈ R2 : a x b; ϕ(x) y ψ(x) budeme dále nazývat elementární oblastí vzhledem k x. Obdobně množinu typu A = x, y ∈ R2 : c y d; ϕ(y) y ψ(y) budeme dále nazývat elementární oblastí vzhledem k y. Typové řešené příklady: • Převeďte (oběma způsoby) dvojný integrál I na dvojnásobný a vypočtěte jej. Příklad 1.1 • Zaměňte pořadí integrace. Příklad 1.2 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 14 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka • Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy. Příklad 1.3 • Vypočítejte obsah množiny. Příklad 1.4 • Vypočítejte objem tělesa. Příklad 1.5 Příklad 1.1. Převeďte (oběma způsoby) dvojný integrál I na dvojnásobný a vypočtěte jej: I = A yx2 dxdy, kde A = x, y ∈ R2 , x2 y 1 . Řešení: Hraniční křivky jsou y = x2 (parabola) a y = 1 (přímka). Integrační obor A je znázorněn na obrázku 1.1. Určíme x-ové souřadnice průsečíků obou křivek. Dostáváme rovnici 1 = x2 , tj. x1 = 1, x2 = −1. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 15 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka y = x2 −1 1 1 x y obr. 1.1 Množina A Chápeme-li množinu A jako elementární množinu vzhledem k x, pak integrační meze jsou: −1 x 1, x2 y 1. Integrand yx2 je spojitá funkce na A. Podle Fubiniovy věty bude I = A yx2 dx dy = 1 −1 1 x2 yx2 dy dx = 1 −1 1 2 y2 x2 1 x2 dx = = 1 2 1 −1 (x2 − x6 ) dx = 1 2 1 3 x3 − 1 7 x7 1 −1 = 1 2 1 3 − 1 7 + 1 3 − 1 7 = 4 21 . Chápeme-li množinu A jako elementární množinu vzhledem k y, pak integrační meze budou následující: 0 y 1, − √ y x √ y. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 16 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka I = A yx2 dxdy = 1 0 √ y − √ y yx2 dx dy = 1 0 1 3 x3 y √ y − √ y dy = = 1 3 1 0 y 5 2 + y 5 2 dy = 2 3 2 7 y 7 2 1 0 = 4 21 . Příklad 1.2. Zaměňte pořadí integrace I = 1 −1 2 0 f (x, y) dy dx. Řešení: Ze zadání vidíme, že se jedná se o čtverec, kde −1 x 1 a 0 y 2. Tedy I = 2 0 1 −1 f (x, y) dx dy. Příklad 1.3. Vypočtěte M y x+y2 dxdy, kde množina M je ohraničena křivkami y = 1, y = 1/2, x = 4 − y2 a x = y2 . Řešení: První dvě křivky jsou přímky, druhé dvě paraboly. Integrační obor M je znázorněn na obrázku 1.2. Určíme ještě y-ovou souřadnici horního průsečíku P obou parabol, abychom se přesvědčili, že máme přímky y = 1 a y = 1/2 správně umístěny. Z rovnic parabol dostaneme 4 − y2 = y2 , tj. y2 = 2, a tedy y = √ 2. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 17 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka x y 1/2 1 √ 2 y = 1/2 y = 1 P x = y2 x = 4 − y2 M obr. 1.2 Množina M Množina M je elementární množina vzhledem k y. Ve vzorci (1.2) se tedy zamění role x a y. Integrační meze jsou 1/2 y 1, y2 x 4 − y2 . Integrand y/(x + y2 ) je spojitá funkce na M. Podle Fubiniovy věty bude I = M y x + y2 dxdy = 1 1/2 4−y2 y2 y x + y2 dx dy. Vnitřní integrál vyjde 4−y2 y2 y x + y2 dx = y ln |x + y2 | 4−y2 y2 = y(ln 4 − ln 2y2 ) = = y(2 ln 2 − ln 2 − 2 ln y) = y ln 2 − 2y ln y vzhledem k tomu, že v našem případě je y > 0. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 18 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Při výpočtu vnějšího integrálu použijeme mimo jiné metodu per partes. Dosta- neme: I = 1 1/2 (y ln 2 − 2y ln y) dy = ln 2 1 1/2 y dy − 2 1 1/2 y ln y dy = = u = ln y u = 1 y v = y v = y2 2 = ln 2 y2 2 1 1/2 − 2 y2 2 ln y 1 1/2 + 2 1 1/2 y 2 dy = = ln 2 1 2 − 1 8 − 1 4 ln 2 + y2 2 1 1/2 = 1 8 ln 2 + 1 2 − 1 8 = 1 8 (ln 2 + 3). Příklad 1.4. Vypočítejte obsah množiny A = x, y ∈ R2 , x2 y, y − x 2 . Řešení: Obsah m2(A) množiny A budeme počítat podle vztahu (1.1), tj. m2(A) = A 1dxdy. Množina A je shora ohraničena křivkou y = 2 + x, zdola křivkou y = x2 , viz obrázek 1.3. Najděme x-ové souřadnice průsečíků těchto křivek. Musí platit: 2 + x = x2 , x2 − x − 2 = 0, (x + 1)(x − 2) = 0. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 19 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Odtud x1 = −1 a x2 = 2. Dostali jsme následující integrační meze: −1 x 2, x2 y 2 + x. y = x2 y = 2 + x 2−1 2 x y obr. 1.3 Množina A m2(A) = A 1dxdy = 2 −1 2+x x2 1dy dx = 2 −1 y 2+x x2 dx = 2 −1 2 + x − − x2 dx = 2x + x2 2 − x3 3 2 −1 = 4 + 2 − 8 3 − −2 + 1 2 + 1 3 = 9 2 . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 20 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Příklad 1.5. Vypočítejte objem tělesa S ležícího pod paraboloidem z = x2 + y2 a nad množinou A v rovině xy ohraničenou přímkou y = 2x a parabolou y = x2 . Řešení: Pro objem m3(S) tělesa S platí m3(S) = A f (x, y) dxdy, kde A představuje podstavu tělesa S a funkce f (x, y) ohraničuje těleso S shora – viz obrázek 1.4. Množina A je shora ohraničená přímkou y = 2x a zdola parabolou y = x2 . Spočítáme x-ové souřadnice průsečíků těchto křivek: x1 = 0, x2 = 2. Dostali jsme následující integrační meze: 0 x 2, x2 y 2x. y = x2 y = 2x 20 4 x y obr. 1.4 Množina A Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 21 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka m3(S) = A (x2 + y2 ) dx dy = 2 0 2x x2 (x2 + y2 ) dy dx = = 2 0 x2 y + y3 3 2x x2 dx = 2 0 14x3 3 − x4 − x6 3 dx = = 7x4 6 − x5 5 − x7 21 2 0 = 216 35 . U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Dvojný integrál – Fubiniova věta 1. (2b.) Uveďte název věty, která pojednává o převedení vícerozměrného integrálu na integrál vícenásobný. Fubiniova Cauchyova Weierstrassova Greenova Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 22 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2. (2b.) Platí A f (x, y) dxdy = 2π 0 2+sin x 0 y 3 dy dx = 3π 2 . Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé. Číslo 3π 2 představuje obsah rovinné oblasti A. Číslo 3π 2 představuje obsah rovinné oblasti, která je ohraničena funkcemi z = y 3 a z = 2 + sin x. Číslo 3π 2 představuje objem tělesa, které je shora ohraničeno grafem funkce z = y 3 a jehož podstava je A. Číslo 3π 2 představuje objem tělesa, které je ohraničeno grafem funkce z = 2 + sin x a jehož podstava je A. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 23 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 −1 1 x y x2 0 0 −1 f (x, y) dy dx 0 −1 1 0 f (x, y) dy dx 0 −1 x2 0 f (x, y) dy dx 0 −1 √ x 0 f (x, y) dy dx x2 1 0 −1 f (x, y) dx dy 1 0 − √ y −1 f (x, y) dx dy 1 0 1 0 f (x, y) dx dy 1 0 √ y −1 f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 24 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 −1 1 x y x2 0 0 −1 f (x, y) dy dx 0 −1 1 0 f (x, y) dy dx 0 −1 √ x 0 f (x, y) dy dx 0 −1 1 x2 f (x, y) dy dx 0 −1 0 √ y f (x, y) dx dy 0 −1 1 − √ y f (x, y) dx dy 1 0 √ y −1 f (x, y) dx dy 1 0 0 − √ y f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 25 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = 1 − x y = 1 − x2 1 1 x y 1 0 1−x 1−x2 f (x, y) dy dx 1 0 1−x2 1−x f (x, y) dy dx 1 0 1−x 0 f (x, y) dy dx 1 0 1−x2 0 f (x, y) dy dx 1 0 √ 1−y 0 f (x, y) dx dy 1 0 − √ 1−y 1−y f (x, y) dx dy 1 0 √ y 0 f (x, y) dx dy 1 0 √ 1−y 1−y f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 26 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (4b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 y = 1 − x2 1 1 x y 1√ 2 0 1−x2 x2 f (x, y) dy dx 1√ 2 − 1√ 2 1−x2 x2 f (x, y) dy dx 1√ 2 0 1 0 f (x, y) dy dx 1√ 2 0 x2 1−x2 f (x, y) dy dx Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 27 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 7. (4b.) U následujícího příkladu vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u integrálu: 0 −2 0 y2−4 dx dy. 0 −2 0 − √ x+4 dy dx 0 −4 0 √ x+4 dy dx 0 −2 0 − √ x−4 dy dx 0 −4 0 − √ x+4 dy dx 8. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 3 0 2 1 x2 y dy dx = 9. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 2 0 1 0 (x2 + 2y) dx dy = 10. (3b.) Nechť je trojúhelník určený body A = [0, 0], B = [0, 2], C = [2, 0], pak dxdy= Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 28 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 29 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 1.3. Transformace dvojného integrálu Výpočet dvojného integrálu pomocí transformace do polárních souřadnic spočívá v tom, že změníme souřadnicový systém a tím převedeme výpočet jistého dvojného integrálu na jiný dvojný integrál. Dojde přitom jak ke změně integračního oboru, tak ke změně integrandu. Jde o jistou analogii substituční metody pro jednoduchý určitý integrál. Zde nám však šlo především o to, abychom substitucí zjednodušili integrand. Integrační obor se změnil z jistého intervalu na jiný interval, což pro nás nebylo podstatné. U dvojného integrálu nám však půjde především o změnu integračního oboru tak, abychom mohli využít Fubiniovu větu. Přitom dojde samozřejmě i ke změně integrandu, tato změna však pro nás nebude důležitá. Mějme množiny A, B ⊆ R2 a zobrazení F : A → B takové, že F[u, v] = [x, y] ∈ F(A) ⊆ B pro každé [u, v] ∈ A. Pak existují funkce x = g(u, v), y = h(u, v) tak, že každý bod [u, v] ∈ A se zobrazí na bod [g(u, v), h(u, v)] = [x, y]. A naopak, jsou-li na množině A definovány reálné funkce x = g(u, v), y = h(u, v), je jimi určeno zobrazení A → R2 . Je-li F spojitě diferencovatelné zobrazení, pak se determinant J(u, v) = gu(u, v) gv(u, v) hu(u, v) hv(u, v) nazývá jakobián zobrazení F. Připomeňme, že zobrazení F se nazývá regulární právě tehdy, když je jakobián různý od nuly. Uveďme nyní větu o transfomaci dvojného integrálu, kterou budeme používat při řešení konkrétních úloh. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 30 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Věta 1.2. Buď M1 ⊆ M ⊆ R2 , kde M1 je otevřená množina, M je měřitelná množina a platí m2(M \ M1) = 0. Nechť F je spojitě diferencovatelné zobrazení M do R2 , které je regulární a prosté v M1. Označme = F(M), 1 = F(M1). Nechť je množina měřitelná a platí m2( \ 1) = 0. Buď funkce f ohraničená na množině a spojitá na 1. Dále nechť je funkce f g(u, v), h(u, v) |J(u, v)| ohraničená na množině M. Pak platí f (x, y) dx dy = M f g(u, v), h(u, v) |J(u, v)| du dv. (1.3) S využitím předchozí věty lze provádět různé transformace souřadnic, my si zde uvedeme nejčastější transformaci, a to do polárních souřadnic. Transformace do polárních souřadnic Uvažujme bod T v rovině s kartézskými souřadnicemi [x, y]. Označme r vzdálenost bodu T od počátku O kartézské soustavy souřadnic a ϕ úhel, který svírá polopřímka OT s kladnou částí osy x. x y x y O T r ϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 31 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Z definicí funkcí sinus a kosinus vyplývá, že vztah mezi kartézskými souřadnicemi [x, y] a polárními souřadnicemi [r, ϕ] je dán rovnicemi: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Přitom r 0 a ϕ nabývá hodnot z intervalu 0, 2π nebo z jiného intervalu délky 2π. Zobrazení F dané těmito rovnicemi přiřazuje polárním souřadnicím daného bodu kartézské souřadnice téhož bodu, tj. F[r, ϕ] = [x, y]. Spočtěme si jakobián této transformace: J = ∂ ∂r (r cos ϕ) ∂ ∂ϕ (r cos ϕ) ∂ ∂r (r sin ϕ) ∂ ∂ϕ (r sin ϕ) = cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r cos2 ϕ + sin2 ϕ = r |J| = r Typové řešené příklady: • Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy (po transformaci dostaneme konstantní meze). Příklad 1.6 • Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy (po transformaci dostaneme nekonstantní meze). Příklad 1.7 • Vypočítejte objem tělesa. Příklad 1.8 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 32 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Příklad 1.6. Vypočtěte (x2 +y2 ) dxdy, kde množina je určena podmínkami 1 x2 + y2 4, y |x|. Řešení: Rovnice x2 + y2 = 1 a x2 + y2 = 4 určují kružnice k1 a k2 se středy v počátku O a poloměry 1 a 2. První podmínka tedy zadává mezikruží. Graf funkce y = |x| je tvořen dvěma polopřímkami (osami prvního a druhého kvadrantu) o rovnicích y = x a y = −x. Body splňující nerovnost y |x| leží nad tímto grafem. Dohromady tudíž obě podmínky zadávají množinu – viz obrázek 1.6. x y 1 2O y = xy = −x k1 k2 obr. 1.5 ϕ r π/4 3π/4 1 2 O M obr. 1.6 Určíme, jak bude tato množina popsána v polárních souřadnicích. Polopřímky vycházející z počátku O, které protínají množinu , musí svírat s kladnou částí osy x úhel v rozmezí π/4 (y = x je osa prvního kvadrantu) až 3π/4 (y = −x je osa druhého kvadrantu). Tedy π/4 ϕ 3π/4. Libovolná taková polopřímka protíná množinu v úsečce, jejíž koncové body mají od počátku O stále stejné vzdálenosti, a to 1 a 2. Tedy 1 r 2. To znamená, Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 33 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka že transformací do polárních souřadnic přejde množina v obdélník M – viz obrázek 1.6. I = (x2 + y2 ) dxdy = M (r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2 r dr dϕ = = M r3 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) dr dϕ = M r3 dr dϕ = 3π/4 π/4 2 1 r3 dr dϕ = = 3π/4 π/4 r4 4 2 1 dϕ = 3π/4 π/4 15 4 dϕ = 15 4 ϕ 3π/4 π/4 = 15 4 3π 4 − π 4 = 15π 8 . Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu. Příklad 1.7. Vypočtěte x2 + y2 dxdy, kde množina je určena podmínkou x2 + y2 − 2ax 0, a > 0. Řešení: Rovnice x2 + y2 − 2ax = 0 zadává nějakou kuželosečku. Doplněním na čtverec určíme, o jakou kuželosečku jde: x2 + y2 − 2ax = (x − a)2 − a2 + y2 = 0 ⇒ (x − a)2 + y2 = a2 . Jde o kružnici se středem v bodě [a, 0] a poloměrem a. Integračním oborem je tedy kruh – viz obr. 1.7, proto použijeme transformaci do polárních souřadnic. Vzhledem k poloze množiny (leží v prvním a čtvrtém kvadrantu) bude výhodnější volit rozmezí úhlů z intervalu (−π, π . Polopřímky vycházející z počátku O, které protínají množinu i v jiných bodech než v počátku O, svírají potom s kladnou částí osy x úhly z intervalu (−π/2, π/2). Protože s uzavřenými množinami se nám lépe pracuje, zahrneme i koncové body, takže budeme mít −π/2 ϕ π/2. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 34 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka x y a 2aO (x − a)2 + y2 = a2 T ϕ obr. 1.7 ϕ r π/2−π/2 π/2O r = 2a cos ϕ M obr. 1.8 Nyní určíme omezení pro r. Z obrázku je zřejmé, že délky úseček OT , které jsou průnikem uvažovaných polopřímek s množinou , se budou měnit a budou záviset na úhlu ϕ. Dosazením polárních souřadnic do rovnice kružnice obdržíme: (r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2 − 2ar cos ϕ = 0 ⇒ r(r − 2a cos ϕ) = 0. Hodnotě r = 0 odpovídá počátek O, pro druhý průsečík polopřímky s kružnicí platí r = 2a cos ϕ. (Tento výsledek lze snadno zdůvodnit i geometricky. V trojúhelníku s vrcholy O, [2a, 0] a T je podle Thaletovy věty u vrcholu T pravý úhel. Z definice kosinu vyplývá, že r = OT = 2a cos ϕ.) Celkově tedy dostáváme, že M : − π 2 ϕ π 2 , 0 r 2a cos ϕ. Množina M je tudíž elementární vzhledem k ϕ. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 35 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Použitím vztahu (1.3) dostaneme: I = x2 + y2 dxdy = M (r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2 r dr dϕ = = M r2 dr dϕ = π/2 −π/2 2a cos ϕ 0 r2 dr dϕ = π/2 −π/2 r3 3 2a cos ϕ 0 dϕ = = π/2 −π/2 8 3 a3 cos3 ϕ dϕ = 8 3 a3 π/2 −π/2 (1 − sin2 ϕ) cos ϕ dϕ = = sin ϕ = t cos ϕ dϕ = dt −π 2 −1, π 2 1 = 8 3 a3 1 −1 (1 − t2 ) dt = 8 3 a3 t − t3 3 1 −1 = 32 9 a3 . Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu, vzniklý jednoduchý integrál jsme pak řešili substituční metodou. Příklad 1.8. Vypočítejte objem tělesa S ležícího pod rovinou z = y a nad množinou : = x, y ∈ R2 , x2 − 2x + y2 0 ∧ x2 − 4x + y2 0 ∧ y √ 3 3 x ∧ y x . Řešení: Pro objem m3(S) tělesa S platí m3(S) = f (x, y) dx dy, kde představuje „podstavu tělesa S“ a funkce f (x, y) ohraničuje těleso S shora. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 36 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Ohraničující funkcí je rovina z = y, tj. f (x, y) = y. Podívejme se podrobněji na množinu . Hraniční křivky množiny jsou následující: • x2 − 2x + y2 = 0. Po úpravě na tvar (x − 1)2 + y2 = 1 vidíme, že se jedná o kružnici se středem v bodě [1, 0] a poloměrem 1. • x2 − 4x + y2 = 0. Po úpravě na tvar (x − 2)2 + y2 = 4 vidíme, že se jedná o kružnici se středem v bodě [2, 0] a poloměrem 2. • y = √ 3 3 x je přímka. • y = x je také přímka. y = x y = √ 3 3 x x2 − 4x + y2 = 0 20 43 2 3 1 2 x y obr. 1.9 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 37 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Uvedené křivky ohraničují množinu – viz obrázek 1.9. Celé těleso je znázorněno na obrázku 1.10. p28.u3d obr. 1.10 Vzhledem ke tvaru množiny je vhodné provést transformaci do polárních souřadnic. Polopřímky vycházející z počátku O, které protínají množinu , musí Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 38 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka svírat s kladnou částí osy x úhel v rozmezí π/6 až π/4. Tedy π/6 ϕ π/4. Ukážeme si nyní, jak lze tyto hodnoty dostat dosazením polárních souřadnic do rovnic přímek: y = √ 3 3 x ⇒ r sin ϕ = √ 3 3 r cos ϕ ⇒ tg ϕ = √ 3 3 ⇒ ϕ = π 6 y = x ⇒ r sin ϕ = r cos ϕ ⇒ tg ϕ = 1 ⇒ ϕ = π 4 Nyní určíme omezení pro r. Z obrázku je zřejmé, že r bude záviset na ϕ. Dosazením polárních souřadnic do rovnic kružnic dostáváme: x2 − 2x + y2 = 0 ⇒ r2 − 2r cos ϕ = 0 ⇒ r(r − 2 cos ϕ) = 0 x2 − 4x + y2 = 0 ⇒ r2 − 4r cos ϕ = 0 ⇒ r(r − 4 cos ϕ) = 0. Řešení r = 0 předchozích rovnic neodpovídá zadané množině, proto ho neuvažujeme. Pro průsečík libovolné polopřímky vycházející z počátku s menší kružnicí platí r = 2 cos ϕ a pro průsečík této polopřímky s větší kružnicí platí r = 4 cos ϕ. Integrační meze transformované množiny jsou tedy následující: π 6 ϕ π 4 , 2 cos ϕ r 4 cos ϕ. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 39 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka y dx dy = π 4 π 6 4 cos ϕ 2 cos ϕ r2 sin ϕ dr dϕ = π 4 π 6 sin ϕ r3 3 4 cos ϕ 2 cos ϕ dϕ = = π 4 π 6 sin ϕ 64 3 cos3 ϕ − 8 3 cos3 ϕ dϕ = 56 3 π 4 π 6 cos3 ϕ sin ϕ dϕ = = cos ϕ = t − sin ϕ dϕ = dt π 6 √ 3 2 , π 4 √ 2 2 = − 56 3 √ 2 2 √ 3 2 t3 dt = 56 3 √ 3 2 √ 2 2 t3 dt = = 14 3 t4 √ 3 2√ 2 2 = 35 24 . U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Dvojný integrál – transformace do polárních souřadnic 1. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do polárních souřadnic při použití r, ϕ je: r cos ϕ r r2 r sin ϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 40 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací x2 + y2 dxdy do polárních souřadnic, je-li = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y2 4}. x2 + y2 = 4 −2 2 2 −2 x y 2π 0 2 0 r2 dr dϕ 2 0 2π 0 dr dϕ 2 0 r2 2π 0 dr dϕ 2π 0 4 0 √ r2 dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 41 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací sin x2 + y2 dxdy do polárních souřadnic, je-li = {[x, y] ∈ R2 : π2 x2 + y2 (4π)2 }. x2 + y2 = π2 x2 + y2 = 16π2 4ππ x y 2π 0 2π π sinr dr dϕ 4π 0 r2 2π 0 r dϕ dr 2π 0 4π π r sinr dr dϕ 4π π 4π π r sin √ r2 dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 42 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací (x2 + y2 ) dxdy do polárních souřadnic, je-li = {[x, y] ∈ R2 : 1 x2 + y2 4 ∧ x y 2x}. y = x y = 2x x2 + y2 = 4 20 1 1 2 x y 4 1 2π π/4 r3 dϕ dr 4 1 2π π/4 r2 dr dϕ 2 1 π/3 π/4 r2 dϕ dr 2 1 arctg 2 π/4 r3 dϕ dr Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 43 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací ln (x2 + y2 ) x2 + y2 dxdy do polárních souřadnic, je-li = {[x, y] ∈ R2 : 1 x2 + y2 4 ∧ y 0}. x2 + y2 = 4 20 1−1−2 x y 2 1 2π 0 lnr2 r2 dϕ dr π 0 2 1 lnr2 r2 r dϕ dr 2 1 π 0 lnr2 r2 r dϕ dr π 0 2 1 lnr2 r2 dϕ dr Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 44 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (3b.) Transformujte integrál f (x, y) dxdy, kde : x2 + y2 2, y x do polárních souřadnic. 5π 4 π 4 √ 2 0 r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ π 4 −π 4 √ 2 0 r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ π 4 −π 4 √ 2 0 r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ 5π 4 π 4 √ 2 0 r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 45 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 7. (4b.) Nechť = x, y ∈ R2 : x2 + y2 1 ∧ x + y 1 . Transformujte integrál xy dxdy do polárních souřadnic. π 2 0 1 1 sin ϕ+cos ϕ r3 cos ϕ sin ϕ dr dϕ π 2 0 1 sin ϕ+cos ϕ 1 r3 cos ϕ sin ϕ dr dϕ π 2 0 1 0 r3 cos ϕ sin ϕ dr dϕ 1 1 sin ϕ+cos ϕ π 2 0 r3 cos ϕ sin ϕ dϕ dr 8. (4b.) Nechť = x, y ∈ R2 : x2 + y2 1 ∧ x 0 ∧ y 0 . Pomocí transformace do polárních souřadnic vypočítejte integrál: (x + y)dxdy = Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 46 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 47 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Kapitola 2 Trojný integrál Množiny bodů v prostoru Test Trojný integrál a Fubiniova věta  Typové řešené příklady Test Transformace trojného integrálu Transformace do válcových souřadnic  Typové řešené příklady Test Transformace do sférických souřadnic  Typové řešené příklady Test Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 48 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2.1. Množiny bodů v prostoru Při výpočtech trojných integrálů pracujeme s množinami v trojrozměrném prostoru. Integračními obory jsou množiny bodů x, y, z ∈ R3 . Doporučujeme proto čtenáři, aby si zopakoval rovnice základních kvadrik (koule, elipsoid, jednodílný a dvojdílný hypeboloid, kužel, eliptický a hyperbolický paraboloid) a kvadratických válců (rotační válec, eliptický válec, parabolický válec a hyperbolický válec). Vzhledem k tomu, že rozpoznání ploch, které ohraničují integrační obor, je pro úspěšné zvládnutí trojného integrálu nezbytné, zařazujeme na začátek test, kde si své znalosti ověříte. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 49 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Množiny bodů v prostoru 1. (2b.) K množině zobrazené na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitomi a, b, c, p, q > 0. x2 a2 + y2 b2 = 1 x2 a2 − y2 b2 = 1 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 z = x2 2p + y2 2q Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 50 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2. (2b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí x2 + y2 + z2 = r2 , r > 0 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 51 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (2b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = −1, kde a, b, c > 0, je na obrázku (a) (b) (c) (d) Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 52 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (2b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí z = x2 2p + y2 2q , kde p, q > 0, je na obrázku (a) (b) (c) (d) Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 53 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (2b.) K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitom a, b, c, p, q > 0 x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 z = x2 2p − y2 2q x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = −1 x2 a2 − y2 b2 = 1 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 54 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (2b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku, je li z 0 test2.u3d 2x2 + 2y2 − z2 = 0, x2 + y2 − z2 = −9 2y2 + 2z2 − x2 = 0, x2 + y2 − z2 = −9 2x2 + 2y2 − z2 = 0, x2 + y2 + z2 = 1 2x2 + 2y2 + z2 = 0, x2 + y2 − z2 = 1 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 55 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 7. (2b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku test5.u3d x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3 − y x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 4, z = 0, z = 3 − y x2 − y2 = 1, x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3 − x x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 4, z = 0, z = 3 − x Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 56 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 8. (2b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test6.u3d M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 − y2 9, 0 y, 0 z 2 M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 9, 0 y, 0 z 2 M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 + z2 9, 0 y, 0 z 2 M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 − z2 9, 0 y, 0 z 2 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 57 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 9. (2b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test9.u3d M = [x, y, z] ∈ R3 : − 1 x 1, −1 y 1, y2 + 2 z 1 − x2 M = [x, y, z] ∈ R3 : − 1 x 1, −1 y 1, 1 + x2 z x2 + y2 M = [x, y, z] ∈ R3 : − 1 x 1, −1 y 1, 1 − x2 z x2 + y2 M = [x, y, z] ∈ R3 : − 1 x 1, −1 y 1, 1 − x2 z y2 + 2 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 58 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 59 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2.2. Trojný integrál Trojný integrál přiřazuje omezené funkci tří proměnných definované na nějaké měřitelné množině M v trojrozměrném prostoru číslo, které může mít v závislosti na konkrétním tvaru integrandu následující geometrický význam: M f (x, y, z) dxdydz představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena nezápornou funkcí f (x, y, z) a zdola funkcí nulovou g(x, y, z) = 0. Obě funkce uvažujeme na množině M, tj. D( f ) = D(g) = M. M ( f (x, y, z) − g(x, y, z)) dxdydz, kde f (x, y, z) g(x, y, z), [x, y, z] ∈ M, představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena funkcí f (x, y, z) a zdola funkcí g(x, y, z). Obě funkce opět uvažujeme na množině M, tj. D( f ) = = D(g) = M. M 1 dxdydz představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena konstantní funkcí f (x, y, z) = 1 a zdola funkcí nulovou g(x, y, z) = 0. Obě funkce uvažujeme na množině M, tj. D( f ) = D(g) = M. Vzhledem k tomu, že je míra m4(S) rovna součinu míry podstavy (množiny A) a výšky, platí M 1 dxdydz = m3(M). (2.1) Tento vztah říká, že číselně je míra m4(S) množiny s podstavou M a výškou rovnou jedné rovna objemu množiny M. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 60 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2.3. Trojný integrál – Fubiniova věta Fubiniova věta nám dává návod, jak převést trojný integrál na trojnásobný. Převádíme tak výpočet trojného integrálu na výpočet tří po sobě jdoucích jednorozměrných integrálů. Věta 2.1. (Fubiniova věta v R3 ) Nechť je funkce f tří proměnných x, y, z spojitá na množině M = x, y, z ∈ R3 : [x, y] ∈ A; u(x, y) z v(x, y) , kde u, v jsou funkce spojité na množině A takové, že u(x, y) v(x, y) pro každé x, y ∈ A. Dále nechť A = x, y ∈ R2 : a x b; ϕ(x) y ψ(x) , kde kde ϕ, ψ jsou funkce spojité na intervalu a, b takové, že ϕ(x) ψ(x) pro každé x ∈ a, b . Pak platí M f (x, y, z) dxdydz = b a ψ(x) ϕ(x) v(x,y) u(x,y) f (x, y, z) dz dy dx. (2.2) V předchozí větě je množina A elementární množinou vzhledem k x. Jednoduše lze přeformulovat Fubiniovu větu pro případ, kdy bude množina A elementární oblastí vzhledem k y. Bude-li integračním oborem množina M uvedená výše, budeme mluvit o elementární oblasti vzhledem k xy. A to i v případě, že množina A je elementární množinou vzhledem k y. Analogicky lze Fubiniovu větu použít v případě elementárních oblastí vzhledem k xz nebo yz. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 61 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Typové řešené příklady: • Vypočítejte trojný integrál M f (x, y, z) dxdydz. Příklad 2.1 • Vypočítejte objem tělesa. Příklad 2.2 Příklad 2.3 Příklad 2.1. Vypočtěte V 2z dxdydz, kde množina V je omezena plochami x2 + y2 − z2 = −1, x + y = 1, přičemž x, y, z 0. Řešení: První plochou je dvojdílný rotační hyperboloid s osou rotace v ose z. Druhou plochou je rovina, která je rovnoběžná s osou z. Podmínky x, y, z 0 znamenají, že se máme omezit jen na první oktant. Z hyperboloidu nás tedy bude zajímat jen jeho horní část. Integrační obor V vidíme na obrázku 2.1 a jeho průmět do roviny xy na obrázku 2.2. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 62 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka x y z 1 1 V z = x2 + y2 + 1 x + y = 1 obr. 2.1 x y 1 1 O y = 1 − x obr. 2.2 Integrační obor V je elementární množina vzhledem k xy. Z rovnice hyperboloidu určíme, že z = x2 + y2 + 1. Množinu V popíšeme následovně: V : 0 x 1, 0 y 1 − x, 0 z x2 + y2 + 1. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 63 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Na výpočet integrálu použijeme Fubiniovu větu. I = V 2z dxdydz = 1 0 1−x 0 √ x2+y2+1 0 2z dz dy dx = = 1 0 1−x 0 z2 √ x2+y2+1 0 dy dx = 1 0 1−x 0 (x2 + y2 + 1) dy dx = = 1 0 x2 y + 1 3 y3 + y 1−x 0 dx = 1 0 x2 (1 − x) + 1 3 (1 − x)3 + 1 − x dx = = 1 0 − 4 3 x3 + 2x2 − 2x + 4 3 dx = − 1 3 x4 + 2 3 x3 − x2 + 4 3 x 1 0 = 2 3 . Příklad 2.2. Vypočítejte objem tělesa A ohraničeného plochami z = 4− y2 , z = = 2 + y2 , x = −1, x = 2. Řešení: Pro objem m3(A) tělesa A platí m3(A) = A dxdydz. Nejprve určíme mezní plochy, které ohraničují integrační obor A: • z = 4 − y2 (parabolická válcová plocha), • z = 2 + y2 (parabolická válcová plocha), • x = −1 (rovina), • x = 2 (rovina). Průmětem tělesa A do roviny xy je obdélník B ohraničený přímkami x = −1, x = 2, y = −1 a y = 1. Meze pro x jsou přímo zadány. Meze pro y získáme Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 64 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka jako průsečíky parabolických ploch, tj. jako řešení rovnice 4 − y2 = 2 + y2 . Odtud 2y2 = 2 a tedy y1 = −1, y2 = 1. Integrační obor A vidíme na obrázku 2.3 a jeho průmět do roviny xy na obrázku 2.4. Integrační meze tedy jsou: −1 x 2, −1 y 1, y2 + 2 z 4 − y2 . o1.u3d obr. 2.3 Těleso A x y −1 2 −1 1 B obr. 2.4 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 65 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka m3(A) = A dx dy dz = 2 −1 1 −1 4−y2 y2+2 dz dy dx = = 2 −1 1 −1 [z] 4−y2 y2+2 dy dx = 2 2 −1 1 −1 1 − y2 dy dx = = 2 2 −1 y − 1 3 y3 1 −1 dx = 2 2 −1 4 3 dx = 8 3 [x]2 −1 = 8. Příklad 2.3. Vypočítejte objem tělesa A ohraničeného plochami y = x2 , z = x2 + y2 , z = 0, y = 1. Řešení: Nejprve určíme mezní plochy, které ohraničují integrační obor A: • z = x2 + y2 (rotační paraboloid), • y = x2 (parabolická válcová plocha), • z = 0 (rovina), • y = 1 (rovina). Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 66 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka o2.u3d obr. 2.5 y = x2 −1 1 1 x y B obr. 2.6 Průmětem tělesa A do roviny xy je množina B ohraničená parabolou y = x2 a přímkou y = 1 – viz obr. 2.6. Vidíme, že těleso A je souměrné podle roviny x = 0. Výpočet tedy provedeme pouze pro první oktant a výsledek vynásobíme dvěma. Dostáváme následující integrační meze: 0 x 1, x2 y 1, 0 z x2 + y2 . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 67 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka m3(A) = 2 1 0 1 x2 x2+y2 0 dz dy dx = 2 1 0 1 x2 x2 + y2 dy dx = = 2 1 0 x2 y + 1 3 y3 1 x2 dx = 2 1 0 x2 + 1 3 − x4 − 1 3 x6 dx = = 2 1 3 x3 + 1 3 x − 1 5 x5 − 1 21 x7 1 0 = 88 105 . U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 68 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Trojný integrál — Fubiniova věta 1. (2b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {[x, y] ∈ R2 : x 0, y 0, z 0, x + y + z 5} t1.u3d 5 0 5−x 0 5−x−y 0 f (x, y, z) dx dy dz 5 0 5 0 5 0 f (x, y, z) dz dy dx 5 0 5−x 0 5−x−y 0 f (x, y, z) dz dy dx 5 0 5 0 5−x−y 0 f (x, y, z) dx dy dz Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 69 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2. (2b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {[x, y] ∈ R2 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z x2 + y2 + 1} t2.u3d 1 0 1+x 0 x2+y2+1 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 x2+y2+1 0 f (x, y, z) dx dy dz 1 0 1+x 0 x2+y2+1 0 f (x, y, z) dz dx dy 1 0 1 0 x2+y2+1 0 f (x, y, z) dz dy dx Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 70 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (2b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {[x, y] ∈ R2 : x 0, y 0, z 0, 2x + y 4, z 4 − x2 } t3.u3d 4 0 2x 0 4−x2 0 f (x, y, z) dx dy dz 2 0 4−2x 0 4−x2 0 f (x, y, z) dz dy dx 4 0 2x 0 4−x2 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 0 4 0 4−x2 0 f (x, y, z) dz dy dx Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 71 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (2b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {[x, y] ∈ R2 : x 0, y 0, z 0, x + y 1, z xy} t4.u3d 1 0 1−x 0 xy 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 x 0 xy 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 xy 0 f (x, y, z) dx dy dz xy 0 1−x 0 1 0 f (x, y, z) dx dy dz Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 72 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (2b.) Vypočtěte 3 0 1 0 2 0 dz dy dx = 6. (3b.) Je-li : 0 x 2, 1 y 3, 1 z 2, pak xy2 z dxdydz = Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 73 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2.4. Transformace trojného integrálu Transformace trojného integrálu je velmi podobná transformaci dvojného integrálu. Rozdíl je pouze v prostoru, v němž transformace probíhají. Buď A ⊆ R3 otevřená množina. Buďte x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = = k(u, v, w) funkce definované na A, které zde mají spojité parciální derivace prvního řádu. Nechť F je zobrazení, které každému bodu [u, v, w] ∈ A přiřadí bod [g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w] ∈ F(A). Je-li F spojitě diferencovatelné zobrazení, pak se determinant J(u, v, w) = gu(u, v, w) gv(u, v, w) gw(u, v, w) hu(u, v, w) hv(u, v, w) hw(u, v, w) ku(u, v, w) kv(u, v, w) kw(u, v, w) nazývá jakobián zobrazení F. Připomeňme, že zobrazení F se nazývá regulární právě tehdy, když je jakobián různý od nuly. Uveďme nyní větu o transformaci trojného integrálu, kterou budeme používat při řešení konkrétních úloh. Věta 2.2. Buď M1 ⊆ M ⊆ R3, kde M1 je otevřená množina, M je měřitelná množina a platí m3(M M1) = 0. Nechť F je spojitě diferencovatelné zobrazení M do R3, které je regulární a prosté v M1. Označme = F(M), 1 = F(M1). Dále nechť je množina měřitelná a platí m3( 1) = 0. Nechť je funkce f ohraničená na množině a spojitá na 1. Dále nechť je funkce f g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w) |J(u, v, w)| ohraničená na množině M. Pak platí f (x, y, z) dx dy dz = = M f g(u,v,w), h(u, v, w), k(u, v, w) |J(u, v, w)| du dv dw. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 74 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Transformace do válcových souřadnic Uvažujme bod T v prostoru s kartézskými souřadnicemi [x, y, z] a jeho kolmý průmět T do roviny xy s kartézskými souřadnicemi [x, y, 0]. Jak již víme, v rovině lze provést transformaci kartézských souřadnic [x, y] bodu T do polárních souřadnic [r, ϕ]. Nyní využijeme tohoto vyjádření prvních dvou souřadnic bodu T v polárních souřadnicích k zavedení nové transformace kartézských souřadnic [x, y, z] bodu T do tzv. válcových (cylindrických) souřadnic [r, ϕ, z]. x y z O T T z rϕ x y z Vztah mezi kartézskými souřadnicemi [x, y, z] bodu T a válcovými souřadnicemi [r, ϕ, z] je dán rovnicemi: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 75 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Přitom r 0 a ϕ nabývá hodnot z intervalu 0, 2π nebo z jiného intervalu délky 2π. Spočtěme jakobián uvedené transformace. J = ∂ ∂r (r cos ϕ) ∂ ∂ϕ (r cos ϕ) ∂ ∂z (r cos ϕ) ∂ ∂r (r sin ϕ) ∂ ∂ϕ (r sin ϕ) ∂ ∂z (r sin ϕ) ∂ ∂r z ∂ ∂ϕ z ∂ ∂z z = cos ϕ −r sin ϕ 0 sin ϕ r cos ϕ 0 0 0 1 = = r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r = |J| Vzhledem k tomu, že z-ová souřadnice zůstává po transformaci stále stejná, posuzujeme vhodnost použití této transformace pouze podle tvaru množiny, která je průmětem integračního oboru do roviny xy. Jinými slovy, množina musí být elementární oblastí vzhledem k xy tvaru = [x, y, z] ∈ R3 : [x, y] ∈ A, g(x, y) z f (x, y) , kde A je množina vhodná pro transformaci do polárních souřadnic. Typové řešené příklady: • Vypočítejte objem tělesa. Příklad 2.4 • Vypočítejte míru množiny. Příklad 2.5 Příklad 2.4. Vypočítejte objem tělesa . Přitom = x, y, z ∈ R3 , x2 + y2 1, 0 z x . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 76 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Řešení: Rovnice x2 + y2 = 1 určuje kruhovou válcovou plochu. Rovnice z = 0, z = x jsou roviny, které z válcové plochy vytnou množinu — viz obr. 2.7. Použijeme transformaci do válcových souřadnic. • Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy. Průmětem je množina A — viz obr. 2.8. o4.u3d obr. 2.7 Množina x2 + y2 = 1 1 x y obr. 2.8 Množina A • Popíšeme množinu A v polárních souřadnicích: − π 2 ϕ π 2 , 0 r 1. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 77 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka • Určíme omezení pro z. Dosadíme tedy transformační rovnice do rovnic zadaných ploch, které množinu ohraničují shora a zdola. shora : z = x ⇒ z = r cos ϕ, zdola : z = 0 ⇒ z = 0. Celkem tedy 0 z r cos ϕ. • Transformací do válcových souřadnic přejde množina v množinu M — viz obr. 2.9. Na obrázku je osa ϕ označena písmenem p. Množinu M popíšeme takto: − π 2 ϕ π 2 , 0 r 1, 0 z r cos ϕ. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 78 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka obr. 2.9 Množina M ϕ r −π/2 π/20 1 obr. 2.10 Průmět M do roviny ϕr m3( ) = π 2 − π 2 1 0 r cos ϕ 0 r dz dr dϕ = π 2 − π 2 1 0 r [z] r cos ϕ 0 dr dϕ = = π 2 − π 2 1 0 r2 cos ϕ dr dϕ = π 2 − π 2 cos ϕ r3 3 1 0 dϕ = 1 3 π 2 − π 2 cos ϕ dϕ = = 1 3 [sin ϕ] π 2 − π 2 = 1 3 (1 − (−1)) = 2 3 . Příklad 2.5. Vypočítejte míru množiny , kde = x, y, z ∈ R3 , x2 + y2 − 3z2 0 ∧ z 2 − x2 − y2 . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 79 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Řešení: Rovnice x2 + y2 − 3z2 = 0 určuje kužel s osou v souřadnicové ose z a vrcholem v počátku. Rovnici z = 2 − x2 − y2 upravíme na z = −(x2 + y2) + 2. Vidíme, že se jedná o rotační paraboloid s osou v souřadnicové ose z otočený dolů a posunutý o 2 nahoru. Těleso je tedy shora ohraničeno rotačním paraboloidem a zdola kuželem — viz obr. 2.11. Použijeme transformaci do válcových souřadnic. • Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy. K určení průmětu do roviny xy potřebujeme znát křivku, v níž se kužel a paraboloid protínají. Řešíme tedy soustavu rovnic: x2 + y2 − 3z2 = 0 −(x2 + y2 ) + 2 − z = 0. Sečtením získáme −3z2 − z + 2 = 0. Tato rovnice má dvě řešení z1 = −1, z2 = 2/3. Vzhledem ke tvaru tělesa vyhovuje pouze řešení z2 = 2/3. Dosazením do některé z rovnic dostáváme x2 + y2 = 4/3. Kužel a paraboloid se tedy protínají v kružnici se středem v bodě [0, 0, 2/3] a poloměrem 2/ √ 3 ležící v rovině rovnoběžné s rovinou xy. Průmětem tělesa do roviny xy je tedy kruh A — viz obr. 2.12. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 80 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka o5.u3d obr. 2.11 Množina x2 + y2 = 4 3 2√ 3 x y obr. 2.12 Množina A • Popíšeme množinu A v polárních souřadnicích: 0 ϕ 2π, 0 r 2/ √ 3. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 81 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka • Určíme omezení pro z. Dosadíme tedy transformační rovnice do rovnic zadaných ploch, které množinu ohraničují shora a zdola. shora : z = 2 − x2 − y2 ⇒ z = 2 − (r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ) ⇒ ⇒ z = 2 − r2 , zdola : x2 + y2 − 3z2 = 0 ⇒ r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ − 3z2 = 0 ⇒ ⇒ z = ± r √ 3 . Vyhovuje pouze z = r √ 3 . Celkem tedy r√ 3 z 2 − r2. • Transformací do válcových souřadnic přejde množina v množinu M — viz obr. 2.13, kterou popíšeme takto: 0 ϕ 2π, 0 r 2/ √ 3, r/ √ 3 z 2 − r2 . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 82 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka obr. 2.13 Množina M ϕ r 0 2π0 2√ 3 obr. 2.14 Průmět M do roviny ϕr m3( ) = 2π 0 2√ 3 0 2−r2 r√ 3 r dz dr dϕ = 2π 0 2√ 3 0 r[z]2−r2 r√ 3 dr dϕ = = 2π 0 2√ 3 0 2r − r3 − r2 √ 3 dr dϕ = 2π 0 r2 − r4 4 − r3 3 √ 3 2√ 3 0 dϕ = = 2π 0 36 27 − 12 27 − 8 27 dϕ = 2π 0 16 27 dϕ = 16 27 [ϕ]2π 0 = 32 27 π. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 83 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Trojný integrál – transformace do válcových souřadnic 1. (2b.) Vztah mezi kartézskými a válcovými souřadnicemi při použití r, ϕ, z je dán rovnicemi: x = r sin ϕ, y = r cos ϕ, z = ϕ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = ϕ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z x = r sin ϕ, y = r cos ϕ, z = z 2. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do válcových souřadnic při použití r, ϕ, z je: r2 r r sin ϑ r cos ϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 84 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 9, 0 y, 0 z 2 . Množina A je zobrazena na obrázku. test6.u3d 2π 0 1 0 2 0 r dz dr dϕ π 0 3 0 2 0 r dz dr dϕ 3 0 3 0 2 0 r dz dr dϕ 3 0 2 0 2π 0 r dϕ dz dr Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 85 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 4, 0 z 3, x 0, y 0 . Množina A je zobrazena na obrázku. test8.u3d π/2 0 2 1 3 0 r dz dr dϕ 2π 0 3 0 4 1 r dz dr dϕ 4 0 3 0 π 0 r dϕ dz dr π π/2 2 1 3 0 r dz dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 86 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 4, 0 z 3 − y}. Množina A je zobrazena na obrázku. test5.u3d 2 1 2π 0 3−y 0 r dz dr dϕ 2 1 2π 0 3−y 0 r2 dz dr dϕ 2π 0 2 1 3−r sin ϕ 0 r dz dr dϕ 2π 0 1 0 3−r sin ϕ 0 r dz dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 87 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 4, 0 z 4, y |x| . Průmět množiny A do roviny xy je zobrazen na obrázku. x y 1 2O y = xy = −x 4 0 π π 4 2 0 r dr dϕ dz 2π 0 2 1 4 0 r dz dr dϕ 3π 4 π 4 2 1 4 0 r dz dr dϕ 4 0 π 2 π 4 2 1 r dr dϕ dz Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 88 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 7. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 1, 1 z 3, y x, x 0 . Průmět množiny A do roviny xy je zobrazen na obrázku. x2 + y2 = 1 y = x 1 1 x y π 2 π 4 3 1 1 0 r dr dz dϕ 3 1 π π 4 1 0 r dr dϕ dz 2π 0 1 0 3 0 r dz dr dϕ 3 0 π 2 π 4 2 1 r dr dϕ dz Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 89 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 8. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 − y 0, x2 + y2 z 0 . Množina A je zobrazena na obrázku. test10.u3d x2+y2 0 2π 0 1 0 r dr dϕ dz π 0 sin ϕ 0 r2 0 r dz dr dϕ π 0 1 0 r2 0 r dz dr dϕ r 0 π 2 π 4 cos ϕ sin ϕ r dr dϕ dz Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 90 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Transformace do sférických souřadnic Uvažujme bod T v prostoru s kartézskými souřadnicemi [x, y, z] a jeho kolmý průmět T do roviny xy s kartézskými souřadnicemi [x, y, 0]. Označme r vzdálenost bodu T od počátku O kartézské soustavy souřadnic a ϕ úhel, který svírá polopřímka OT s kladnou částí osy x. Dále označme ϑ úhel, který svírá polopřímka OT s kladnou částí osy z. Polohu bodu T v prostoru pak určíme trojicí čísel [r, ϕ, ϑ], kterou nazveme sférické souřadnice bodu T . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 91 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka x y z O T T ϑ r ϕ x y z Z obrázku vidíme, že pro první dvě souřadnice bodu T platí x = |OT | cos ϕ, y = |OT | sin ϕ. Z pravoúhlého trojúhelníku OT T dostaneme sin π 2 − ϑ = z r ⇒ cos ϑ = z r ⇒ z = r cos ϑ. cos π 2 − ϑ = |OT | r ⇒ sin ϑ = |OT | r ⇒ |OT | = r sin ϑ. Dosadíme-li nyní vyjádření |OT | do vztahů pro x a y, dostáváme vztah mezi kartézskými souřadnicemi [x, y, z] bodu T a sférickými souřadnicemi [r, ϕ, ϑ]: x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 92 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Přitom r 0, úhel ϕ nabývá hodnot z intervalu 0, 2π nebo z jiného intervalu délky 2π a úhel ϑ nabývá hodnot z intervalu 0, π . Spočtěme ještě jakobián této transformace: J = ∂ ∂r (r cos ϕ sin ϑ) ∂ ∂ϕ (r cos ϕ sin ϑ) ∂ ∂ϑ (r cos ϕ sin ϑ) ∂ ∂r (r sin ϕ sin ϑ) ∂ ∂ϕ (r sin ϕ sin ϑ) ∂ ∂ϑ (r sin ϕ sin ϑ) ∂ ∂r (r cos ϑ) ∂ ∂ϕ (r cos ϑ) ∂ ∂ϑ (r cos ϑ) = = cos ϕ sin ϑ −r sin ϕ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ r cos ϕ sin ϑ r sin ϕ cos ϑ cos ϑ 0 −r sin ϑ = = − r2 cos2 ϕ sin3 ϑ − r2 sin2 ϕ sin ϑ cos2 ϑ − r2 cos2 ϕ sin ϑ cos2 ϑ− − r2 sin2 ϕ sin3 ϑ = = − r2 sin3 ϑ sin2 ϕ + cos2 ϕ + sin ϑ cos2 ϑ sin2 ϕ + cos2 ϕ = = − r2 sin ϑ sin2 ϑ + cos2 ϑ = −r2 sin ϑ Absolutní hodnota jakobiánu je: |J| = r2 sin ϑ Typové řešené příklady: • Vypočítejte integrál f (x, y, z) dxdydz. Příklad 2.6 • Vypočítejte míru množiny. Příklad 2.7 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 93 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Příklad 2.6. Vypočtěte x2 + y2 + z2 dx dy dz, kde množina je určená nerovnostmi z2 x2 + y2, 1 x2 + y2 + z2 4, přičemž z 0. Řešení: Rovnice z2 = x2+y2 určuje rotační kuželovou plochu s osou v souřadnicové ose z. První nerovnost tedy zadává její vnitřek. Vzhledem k nerovnosti z 0 budeme uvažovat pouze horní část. Podmínka 1 x2 + y2 + z2 4 říká, že množina je dále omezena dvěma soustřednými kulovými plochami o poloměrech 1 a 2. Výsledek je znázorněn na obrázku 2.15. Pro výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic. test3.u3d obr. 2.15 Množina x2 + y2 = 2 √ 2 x y obr. 2.16 Množina A • Určíme průmět tělesa do roviny xy a tím úhel ϕ. Průmětem A je zřejmě kruh se středem v počátku, jehož hraniční kružnice je průmětem kružnice, kterou dostaneme jako průnik kuželové plochy a větší kulové plochy. Vyloučením proměnné z z rovnic Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 94 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka z2 = x2 + y2 a x2 + y2 +z2 = 4 dostaneme, že x2 + y2 = 2, tj. poloměr kruhu A je √ 2. Tento údaj ale není důležitý, určili jsme jej jen pro úplnost, podstatné je, že pro úhel ϕ platí 0 ϕ 2π. • Určíme řez tělesa libovolnou rovinou procházející osou z. Protože toto těleso je rotační s osou rotace z, bude řez libovolnou rovinou procházející osou z stejný. Na obr. 2.17 je znázorněn řez rovinou yz. Z něho určíme rozmezí pro úhel ϑ. Protože přímka y = z je osou prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel π 4 . Tedy 0 ϑ π/4. y z 1 2 z = yz = −y obr. 2.17 Řez rovinou yz • Určíme meze pro r. Pro proměnnou r zřejmě platí 1 r 2. • Transformací do sférických souřadnic přejde množina v množinu M — viz obr. 2.18 (písmeno „p“ značí osu ϕ, písmeno „t“ značí osu ϑ), kterou popíšeme takto: M : 1 r 2, 0 ϕ 2π, 0 ϑ π 4 . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 95 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka sf1.u3d obr. 2.18 Množina M I = x2 + y2 + z2 dx dy dz = M r · r2 sin ϑ dr dϕdϑ = = 2 1 r3 dr · 2π 0 dϕ · π/4 0 sin ϑ dϑ = r4 4 2 1 · ϕ 2π 0 · − cos ϑ π/4 0 = = 15 4 · 2π · − √ 2 2 + 1 = 15π 2 − √ 2 4 . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 96 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Příklad 2.7. Vypočítejte míru množiny T dané nerovnostmi x2 + y2 + z2 − 4z 0 ∧ x2 + y2 − z2 0. Řešení: První rovnici x2 + y2 +z2 −4z = 0 lze upravit na tvar x2 + y2 +(z − 2)2 = 4. Vidíme, že se jedná se o kulovou plochu. První nerovnost tedy zadává vnitřek kulové plochy. Rovnice x2 + y2 − z2 = 0 určuje rotační kuželovou plochu s osou v souřadnicové ose z. Druhá nerovnost tedy zadává vnitřek kuželové plochy. Množina je tedy omezena shora kulovou plochou se středem v bodě [0, 0, 2] a poloměrem 2 a zdola kuželovou plochou. Výsledek je znázorněn na obrázku 2.19. Pro výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic. o3.u3d obr. 2.19 Množina x2 + y2 = 4 2 x y obr. 2.20 Množina A Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 97 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka • Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy a tím úhel ϕ. K určení průmětu do roviny xy potřebujeme znát křivku, v níž se kužel a koule protínají. Řešíme tedy soustavu rovnic: x2 + y2 + (z − 2)2 = 4 x2 + y2 − z2 = 0. Odečtením získáme (z − 2)2 + z2 = 4. Tato rovnice má dvě řešení z1 = 0, z2 = 2. Zajímá nás pouze řešení z2 = 2. Dosazením do některé z rovnic dostáváme x2 + y2 = 4. Kužel a koule se protínají v kružnici se středem v bodě [0, 0, 2] a poloměrem 2, která leží v rovině rovnoběžné s rovinou xy. Průmětem tělesa do roviny xy je tedy kruh A — viz obr. 2.20. Pro úhel ϕ tedy platí 0 ϕ 2π. • Určíme řez tělesa libovolnou rovinou procházející osou z. Protože toto těleso je rotační s osou rotace z, bude řez libovolnou rovinou procházející osou z stejný. Na obr. 2.21 je znázorněn řez rovinou yz. Z něho určíme rozmezí pro úhel ϑ. Protože přímka y = z je osou prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel π 4 . Tedy 0 ϑ π/4. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 98 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka y z z = yz = −y obr. 2.21 Řez rovinou yz • Určíme meze pro r. Omezení pro r dostaneme dosazením transformačních rovnic do rovnice kulové plochy, tj. r2 cos2 ϕ sin2 ϑ + r2 sin2 ϕ sin2 ϑ + r2 cos2 ϑ − 4r cos ϑ = 0 ⇒ r2 sin2 ϑ + r2 cos2 ϑ − 4r cos ϑ = 0 ⇒ r = 4 cos ϑ. Celkem tedy pro proměnnou r platí 0 r 4 cos ϑ. • Transformací do sférických souřadnic přejde množina v množinu M — viz obr. 2.22, kterou popíšeme takto: M : 1 r 4 cos ϑ, 0 ϕ 2π, 0 ϑ π 4 . Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 99 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka sf2.u3d obr. 2.22 m( ) = dxdydz = M r2 sin ϑ drdϕdϑ = = 2π 0 π/4 0 4 cos ϑ 0 r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = = 16 · 8 3 π π/4 0 4 cos3 ϑ sin ϑ dϑ = = cos ϑ = t sin ϑ dϑ = −dt 0 1, π 4 √ 2 2√ 2 2 t 1 změna pořadí horní a dolní meze ⇒ změna znaménka před integrálem = = 16 · 8 3 π 1 √ 2/2 t3 dt = 32 3 π t4 1 √ 2/2 = 8π. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 100 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Trojný integrál — transformace do sférických souřadnic 1. (2b.) Vztah mezi kartézskými a cylindrickými souřadnicemi je při použití r, ϕ a ϑ dán rovnicemi: x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ x = r sin ϕ sin ϑ, y = r cos ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r sin ϕ x = r sin ϕ sin ϑ, y = r cos ϕ sin ϑ, z = r sin ϕ 2. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do sférických souřadnic při použití r, ϕ a ϑ je: r2 sin ϑ2 r cos ϑ2 r sin ϑ r2 sin ϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 101 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (4b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu A f (x, y, z) dxdydz do sférických souřadnic, je-li: A = x, y, z : z x2 + y2, x2 + y2 + z2 2z π 4 0 2π 0 2 cos ϑ 0 f (r cos ϕ sin ϑ,r sin ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 2 0 2π 0 2 cos ϑ 0 f (r cos ϕ sin ϑ,r sin ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 2 0 2π 0 2 cos ϑ 0 f (r sin ϕ sin ϑ,r cos ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 0 2π 0 2 cos ϑ 0 f (r sin ϕ sin ϑ,r cos ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2 sin ϑdr dϕ dϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 102 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 z2 }. Množina A je zobrazena na obrázku. tsf1.u3d π 4 0 2π 0 1 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 2 0 2π 0 2 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 2 0 π 0 2 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 0 π 0 2 1 r2 sin ϑdr dϕ dϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 103 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] ∈ R3 : z2 x2 + y2 , 1 x2 + y2 + z2 4, z 0, x 0}. Množina A je zobrazena na obrázku. tsf2.u3d π 4 0 2π 0 2 1 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 − π 4 2π 0 1 1 2 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 0 π 2 − π 2 2 1 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 0 2π 0 2 1 r2 sin ϑdr dϕ dϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 104 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu A dxdydz do sférických souřadnic, je-li: A = x, y, z : x2 + y2 + z2 4, x2 + y2 + (z − 2)2 4, x 0 . Množina A je zobrazena na obrázku na další straně. π 4 0 π 0 2 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ + π 2 π 4 π 0 2 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 3 0 π 2 − π 2 2 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ + π π 2 π 2 − π 2 1 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 3 0 π 2 − π 2 2 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ + π 2 π 3 π 2 − π 2 4 cos ϑ 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 3 0 2π 0 cos ϑ 0 r2 dr dϕ dϑ + π 2 π 3 2π 0 2 cos ϑ 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 105 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka tsf4.u3d Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 106 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Kapitola 3 Souhrnné testy Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 V této kapitole jsou zařazeny čtyři souhrnné testy, které by měly posloužit k procvičení problematiky dvojných a trojných integrálů. Začínáme otázkami k procvičení dvojných integrálů, dále následují otázky na rozpoznávání prostorových množin a nakonec jsou zařazeny testové otázky k trojnému integrálu. Při vyplňování testu platí stejná pravidla jako v testech zařazených k daným tématům: U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Z každého testu lze získat 100 bodů. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 107 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Kromě testových otázek, kdy pouze vybíráme odpověď z předem daných možností, jsou na konci testů zařazeny i otázky s tvořenými odpověďmi. Jedná se o jednoduché výpočty integrálů, které lze provést zpaměti nebo velmi jednoduchým rozepsáním. Další složitější úlohy k procvičení počítání jsou zařazeny v následující kapitole. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 108 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Souhrnný test 1 1. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 1 1 x y 1 0 x2 0 f (x, y) dy dx x2 0 0 −1 f (x, y) dy dx 1 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 0 √ x 0 f (x, y) dy dx 1 0 1 √ y f (x, y) dx dy 1 0 1 − √ y f (x, y) dx dy 1 0 −1 √ y f (x, y) dx dy 1 0 √ y −1 f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 109 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte- grálu: 2 0 √ 2x−x2 0 f (x, y) dy dx, 1 0 − √ 1−y2+1 √ 1−y2+1 f (x, y) dx dy 1 0 √ 1−y2+1 − √ 1−y2−1 f (x, y) dx dy 1 0 √ 1−y2+1 − √ 1−y2+1 f (x, y) dx dy 1 0 √ 1−y2−1 − √ 1−y2+1 f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 110 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (10b.) Transformujte integrál f (x, y) dxdy, kde : x2 + y2 1, x + y 1 do polárních souřadnic. π 2 0 1 1 cos ϕ+sin ϕ r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ π 4 0 1 1 cos ϕ+sin ϕ r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ π 4 0 1 1 cos ϕ+sin ϕ r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ π 2 0 1 1 cos ϕ+sin ϕ r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 111 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (9b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí x2 9 + y2 2 + z2 4 = 1 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 112 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (9b.) (a) (b) (c) (d) Nechť a, b > 0. Kvadrika s rovnicí x2 a2 + y2 b2 = 1 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 113 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku test10.u3d x2 + y2 − y = 0, x2 + y2 = z, z = 0, x2 − y2 = z, x2 + y2 = z, z = 0, x2 − y2 = 1, x2 + y2 = z,z = 0, x2 + y2 − y = 0, x2 − y2 = z Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 114 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 7. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test7.u3d M = [x, y, z] ∈ R3 : z 1 2 x2 + 1 2 y2 , x2 + y2 + z2 3, x 0, y 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : z x2 + y2 , x2 + y2 + z2 3, x 0, y 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : z 1 2 x2 − 1 2 y2 , x2 + y2 − z2 3, x 0, y 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : z 1 2 x2 + 1 2 y2 , x2 + y2 − z2 3, x 0, y 0 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 115 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 8. (10b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {[x, y] ∈ R2 : x 0, y 0, z 0, y 4 − 2x, z 6 − x2 } 4 0 2x 0 6−x2 0 f (x, y, z) dx dy dz 2 0 4−2x 0 6−x2 0 f (x, y, z) dz dy dx 4 0 2x 0 6−x2 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 0 4 0 6−x2 0 f (x, y, z) dz dy dx Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 116 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 9, 0 y, 0 z y . Množina A je zobrazena na obrázku. tv1.u3d 2π 0 3 0 y 0 r dz dr dϕ π 0 3 0 r sin ϕ 0 r dz dr dϕ π 0 3 0 r cos ϕ 0 r dz dr dϕ 3 0 y 0 π −π r dϕ dz dr Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 117 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 9, y − 3 z 3 − y, x 0}. Množina A je zobrazena na obrázku. tv6.u3d − π 2 − π 2 3 0 3−y y−3 r dz dr dϕ π 0 3 1 3−y y−3 r2 dz dr dϕ π 2 − π 2 3 1 3−r sin ϕ r sin ϕ−3 r dz dr dϕ π π 2 9 1 3−r cos ϕ 3−r sin ϕ r dz dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 118 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 11. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − z 0, x2 + y2 + z2 − 2z 0, x2 + y2 z}. Množina A je zobrazena na obrázku na další straně. π 4 0 2π 0 2 cos ϑ 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 − π 4 2π 0 1 1 2 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 0 2π 0 2 cos ϑ cos ϑ r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 0 2π 0 2 1 r2 sin ϑdr dϕ dϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 119 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 120 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Souhrnný test 2 1. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 1 1 x y x2 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 0 1 x2 f (x, y) dy dx 1 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 0 √ x 0 f (x, y) dy dx 1 0 − √ y 0 f (x, y) dx dy 1 0 1 √ y f (x, y) dx dy 1 0 √ y −1 f (x, y) dx dy 1 0 √ y 0 f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 121 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = x2 y = 1 − x2 1 1 x y 1√ 2 0 1−x2 x2 f (x, y) dy dx 1 0 1−x2 x2 f (x, y) dy dx 1√ 2 0 1 0 f (x, y) dy dx 1√ 2 0 x2 1−x2 f (x, y) dy dx Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 122 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu f (x, y) dxdy do polárních souřadnic, je-li = x, y ∈ R2 : x2 + y2 y, y x, x 0 . π 4 π 4 sin ϕ 0 r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ π 2 π 4 sin ϕ 0 r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ π 2 π 4 sin ϕ 0 r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ π 4 π 4 sin ϕ 0 r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 123 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (9b.) (a) (b) (c) (d) Nechť a, b, c > 0. Kvadrika s rovnicí x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 124 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku test11.u3d x2 + y2 − x = 0, x2 + y2 + z2 = 1 x2 − y2 = 1, x2 + y2 − z2 = 0 x2 + y2 − x = 0, x2 + y2 − z2 = 1 x2 − y2 = 1, x2 + y2 + z2 = 1 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 125 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test3.u3d M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 − z2 0, 1 x2 + y2 + z2 4, z 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 − z2 1, 1 x2 + y2 + z2 4, z 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 − z2 −1, 1 x2 + y2 + z2 4, z 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 1, 1 x2 + y2 + z2 4, z 0 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 126 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 7. (10b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {[x, y] ∈ R2 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z x2 + y2 } 1 0 1+x 0 x2+y2 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 x2+y2 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 x2+y2 0 f (x, y, z) dx dy dz 1 0 1+x 0 x2+y2 0 f (x, y, z) dz dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 127 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 8. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 4, y − 2 z 2 − y . Množina A je zobrazena na obrázku. tv3.u3d π 2 0 2 0 2 −2 r dz dr dϕ 2π 0 4 0 r sin ϕ r cos ϕ r dz dr dϕ 2 0 2+r 2−r 2π 0 r dϕ dz dr 2π 0 2 0 2−r sin ϕ r sin ϕ−2 r dz dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 128 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 4, −2 z 2, x 0 . Množina A je zobrazena na obrázku. tv7.u3d 2π 0 2 0 2 −2 r dz dr dϕ π π 2 2 1 2 −2 r dz dr dϕ π −π 2 0 r cos ϕ 0 r dz dr dϕ 3π 2 π 2 2 1 2 −2 r dz dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 129 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 + z2 4, y 0, z 0}. Množina A je zobrazena na obrázku. tsf3.u3d π 2 0 π 0 4 1 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 − π 4 2π 0 1 1 2 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 0 π 0 2 1 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 2 0 π 0 2 1 r2 sin ϑdr dϕ dϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 130 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 11. (5b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 4 0 √ x 0 dy dx = 12. (6b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 2 1 π 2 0 x sin y dy dx = Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 131 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Souhrnný test 3 1. (6b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = 1 − x 1 1 x y 1 0 x 0 f (x, y) dy dx 1 0 1 2 0 f (x, y) dy dx 1 0 1 0 f (x, y) dy dx 1 0 1−x 0 f (x, y) dy dx 1 0 −y 0 f (x, y) dx dy 1 0 1−y 0 f (x, y) dx dy 1 0 √ y 0 f (x, y) dx dy 1 0 √ y −1 f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 132 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2. (8b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. x2 + y2 = 1 y = x 1 1 x y 1√ 2 0 x √ 1−x2 f (x, y) dy dx 1 0 √ 1−x2 x f (x, y) dy dx 1√ 2 0 √ 1−x2 x f (x, y) dy dx 1 0 x √ 1−x2 f (x, y) dy dx Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 133 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte- grálu: 1 0 e ey f (x, y) dy dx. e 0 ln x 1 f (x, y) dx dy e 1 ln x 0 f (x, y) dx dy e 1 − ln x 1 f (x, y) dx dy e 0 ln x e f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 134 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (9b.) K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. x2 + y2 + z2 = 0 z = ± x2 + y2 x2 + y2 − z2 = 1 x2 + y2 + z2 = 1 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 135 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (9b.) (a) (b) (c) (d) Nechť a, b > 0. Kvadrika s rovnicí x2 a2 − y2 b2 = 1 je na obrázku (a) (b) (c) (d) Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 136 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku x2 + y2 + z2 − z = 0, x2 + y2 + z2 − 2z = 0, x2 + y2 − z2 = 0 x2 + y2 = 0, x2 + y2 + z2 = 0, x2 + y2 − z2 = 0 x2 + y2 − x = 0, x2 + y2 − z2 − 2z = 0, x2 + y2 + z2 = 1 x2 + y2 − z2 = 0, x2 + y2 + z2 = 1 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 137 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 7. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test4.u3d M = [x, y, z] ∈ R3 : z 1 2 x2 + 1 2 y2 , x2 + y2 + z2 3 M = [x, y, z] ∈ R3 : z x2 + y2 , x2 + y2 − z2 3 M = [x, y, z] ∈ R3 : z x2 + y2 , x2 + y2 − z2 3 M = [x, y, z] ∈ R3 : z x2 − y2 , x2 + y2 + z2 3 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 138 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 8. (10b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li: A = {[x, y] ∈ R2 : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1} 1 0 1−x 0 1−x−y 0 f (x, y, z) dx dy dz 1 0 1−x 0 1−x−y 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 1 0 f (x, y, z) dz dy dx 1 0 1 0 1−x−y 0 f (x, y, z) dx dy dz Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 139 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A 1 dx dy dz do válcových souřadnic, je-li A = [x, y, z] ∈ R3 : x2 + y2 4, −2 z 2, x 0 . Množina A je zobrazena na obrázku. tv2.u3d π 2 0 2 1 2 −2 r dz dr dϕ 2π 0 4 0 2 −2 r dz dr dϕ 2 0 2 −2 π 0 r dϕ dz dr π 2 − π 2 2 0 2 −2 r dz dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 140 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu A f (x, y, z) dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = x, y, z : x2 + y2 + z2 R2 , R > 0, x 0, y 0, z 0 . π 2 0 π 2 0 R 0 f (r cos ϕ sin ϑ,r sin ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 2 0 π 0 R 0 f (r cos ϕ sin ϑ,r sin ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 2 0 π 0 R 0 f (r sin ϕ sin ϑ,r cos ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 4 0 π 0 2 cos ϑ 0 f (r sin ϕ sin ϑ,r cos ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2 sin ϑdr dϕ dϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 141 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 11. (6b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 2 0 1 0 x2 + y3 dy dx = 12. (6b.) Vypočtěte trojnásobný integrál 1 −1 0 − 1 2 1 2 0 dz dy dx = Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 142 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Souhrnný test 4 1. (8b.) Převeďte dvojný integrál A f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A zvýrazněná na obrázku. y = 2x − x2 y = x2 1 1 x y 1 0 x2 0 f (x, y) dy dx 1 0 2x−x2 0 f (x, y) dy dx 1 0 x2 2x−x2 f (x, y) dy dx 1 0 2x−x2 x2 f (x, y) dy dx Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 143 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 2. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte- grálu: 1 0 x2 x3 f (x, y) dy dx, 1 0 3√ y √ y f (x, y) dx dy 1 0 − 3√ y √ y f (x, y) dx dy 1 0 3√ y − √ y f (x, y) dx dy 1 0 − 3√ y − √ y f (x, y) dx dy Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 144 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 3. (9b.) (a) (b) (c) (d) Kvadrika s rovnicí z = x2 2p − y2 2q , kde p, q > 0, je na obrázku (a) (b) (c) (d) Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 145 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (9b.) K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitom nechť a, b, c, p, q > > 0 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 0 z = x2 2p + y2 2q x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = −1 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 146 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 5. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku test1.u3d x2 + y2 = 1, z = 1 − x2 − y2 , z = 4 x2 − y2 = 1, z = 1 − x2 − y2 , z = 4 x2 + y2 = 1, z = x2 − y2 , z = 4 x2 + y2 = 1, z = x2 + y2 , z = 4 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 147 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 6. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku test8.u3d M = [x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 4, 0 z 3, x 0, y 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 − y2 4, 0 z 3, x 0, y 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 + z2 4, 0 z 3, x 0, y 0 M = [x, y, z] ∈ R3 : 1 x2 + y2 − z2 4, 0 z 3, x 0, y 0 Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 148 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 7. (10b.) Převeďte trojný integrál A f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li těleso A ohraničené plochami: x = 2, y = 0, z = 0, −x + 3y + 3z = 3. 2 −3 1 3 (x+3) 0 1 3 (3+x−3y) 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 0 1 0 1 3 (3+x−3y) 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 −2 1 0 1 3 (3+x−3y) 0 f (x, y, z) dz dy dx 2 0 x+1 0 1 3 (3+x−3y) 0 f (x, y, z) dz dy dx Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 149 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 8. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací A dxdydz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] ∈ R3 : x2 +y2 9, y−3 z 3−y, x 0}. Množina A je zobrazena na obrázku. tv4.u3d − π 2 − π 2 3 0 3−y y−3 r dz dr dϕ 2 1 2π 0 3−y y−3 r2 dz dr dϕ π 2 − π 2 3 0 3−r sin ϕ r sin ϕ−3 r dz dr dϕ 2π 0 3 0 3−r cos ϕ 3−r sin ϕ r dz dr dϕ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 150 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu A dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = x, y, z : x2 + y2 + z2 R2 , x2 + y2 + (z − R)2 R2 , R > 0 . π 4 0 2π 0 R 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ + π 2 π 4 2π 0 R 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 2 0 2π 0 R 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ + π π 2 2π 0 R 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 3 0 2π 0 R 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ + π 2 π 3 2π 0 2R cos ϑ 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ π 3 0 2π 0 R cos ϑ 0 r2 dr dϕ dϑ + π 2 π 3 2π 0 2R cos ϑ 0 r2 sin ϑdr dϕ dϑ Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 151 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 10. (9b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál π 0 π 2 − π 2 sin x cos y dy dx = 11. (9b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál 4 1 3 −2 x2 y dy dx = Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 152 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Kapitola 4 Úlohy na procvičení Úlohy k procvičení výpočtů 1. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: x + y = 1, x + y = 2, y = 1 2 x, y = 2x. Pak dxdy= 2. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = x2 , y = 4 − x2 . Pak dxdy = 3. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = x2 , y2 = x. Pak (x2 + y)dxdy = Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 153 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 4. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = 0, y = x, x + y = 2. Pak (x − y)dxdy = 5. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: x = 2, x = 4, y = x, y = 2x. Pak y x dxdy = 6. (3b.) Nechť = {[x, y] : 0 x 4, 0 y √ x}. Pak dxdy = 7. (3b.) Nechť = [x, y] : 1 x 4, 1 x y √ x . Pak xy dxdy = 8. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom : x2 + + y2 4, y x √ 3 , x 0. 15x2 y dxdy = 9. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom : 0 y x, x2 + y2 3, x2 + y2 5. (x2 − y2 )dxdy = Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 154 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 10. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic: Přitom : x2 + + y2 4, x2 + y2 16, x 0, y 0. xy dxdy = 11. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom : x2 + + y2 ax, y 0, a > 0 y dxdy = 12. (2b.) 0 −1 −x − 1 4 x2 −1 dz dy dx = 13. (2b.) 1 0 1−x2 0 2−x−y 0 dz dy dx = 14. (2b.) 2 0 x+1 x xy 0 dz dy dx = 15. (2b.) 1 0 √ y − √ y 4−x−y 0 dz dy dx = 16. (3b.) Nechť : y2 x 2 − y, 0 y 1, 0 z 2 − x − y. dxdydz = Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 155 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 17. (3b.) Nechť : 0 x 1, x2 y 1, 0 z x2 + y2 . dxdydz = 18. (3b.) Nechť : x 0, y 0, z 0, z 1 − x − 2y. dxdydz = 19. (2b.) 1 0 x 0 xy 0 x3 y2 zdz dy dx = 20. (2b.) 1 0 1 0 x2+y2 0 x2 ydz dy dx = 21. (2b.) 1 0 2 1 2 0 (3x2 y+z)dz dy dx = 22. (3b.) Nechť : 0 x 2, 1 y 3, 1 z 2. xy2 z dxdydz = 23. (3b.) Nechť : 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4. x2 + y2 dxdydz = 24. (4b.) Nechť : x2 + y2 z 2 − (x2 + y2 ). Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. 3z2 dxdydz = Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 156 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 25. (4b.) Nechť : x2 +y2 9, y 0, 0 z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. z x2 + y2 dxdydz = 26. (4b.) Nechť : 0 x 1, 0 y 1 − x2, 0 z 1 − x2 − y2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. z(x2 + y2 ) dxdydz = 27. (4b.) Nechť : x2 + y2 4z 16. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. xy (4 + z)2 dxdydz = 28. (4b.) Nechť : x2 + y2 + z2 1, x 0, y 0, z 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. xyz dxdydz = 29. (4b.) Nechť : x2 + y2 2 z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. (1 − 2x − y) dxdydz = 30. (4b.) Nechť : x2 + y2 2z, z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových souřadnic. (x2 + y2 ) dxdydz = Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 157 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 31. (4b.) Nechť : x2 +y2 +z2 4, y 0, z 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. (x + y + z) dxdydz = 32. (4b.) Nechť : x2 + y2 +z2 a2 v prvním oktantu, a > 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. z dxdydz = 33. (4b.) Nechť : x2 + y2 + z2 a2 , a > 0, z − x2 + y2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. 15 √ 2yz dxdydz = 34. (4b.) Nechť : x2 +y2 +z2 z. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. x2 + y2 + z2 dxdydz = 35. (4b.) Nechť : x2 +y2 +z2 2z, z2 x2 +y2 . Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. dxdydz = 36. (4b.) Nechť : x2 + y2 + (z − 2)2 4, z x2 + y2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. xy dxdydz = Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 158 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka 37. (4b.) Nechť : z2 x2 + y2 , 1 x2 + y2 + z2 4, z 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických souřadnic. x2 + y2 + z2 dxdydz = Správně zodpovězené otázky: Získané body: Procento úspěšnosti: Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 159 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Odkazy [1] Grahn A.: The movie15 package, 2008. Dostupné online na: http://ftp.cstug.cz/pub/tex/CTAN/macros/latex/contrib/ movie15/doc/movie15.pdf. [2] Hošková Š., Kuben J., Račková P.: Integrální počet funkcí více proměnných, skriptum Univerzita obrany, Brno, 2005. [3] Jalová N.: Testy z Integrálního počtu funkcí více proměnných, bakalářská práce, MU Brno, 2008. Dostupná online na: http://www.math.muni.cz/~plch/diplomky/jalova.pdf. [4] Mařík R., Tihlaříková M.: Pojďte pane, budeme si hrát (. . . s PDF), In Proceedings of 7th International Conference APLIMAT 2008, Bratislava: Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology, 2008, s. 63–73. [5] Mařík R.: Dvojný integrál, duben 2009. Dostupné online na: http://user.mendelu.cz/~marik/kvizy/dvojint-CZ.pdf. [6] Musil V.: Prezentace matematické grafiky (Integrální počet funkcí více proměnných) na webu s programem JavaView, diplomová práce MU Brno, 2007. Integrální počet funkcí více proměnných R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka Úvod Dvojný integrál Trojný integrál Souhrnné testy Úlohy na procvičení Odkazy Titulní strana Strana 160 z 160 Zpět Vpřed Přepnout režim obrazovky Konec c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka [7] Plch R., Šarmanová P.: Interaktivní prezentace matematické grafiky na webu a v PDF dokumentech. Sborník semináře Technologie pro e-vzdělávání, Praha, 2007, s. 31–38. [8] Plch R., Šarmanová P.: Galerie interaktivní grafiky pro podporu výuky matematické analýzy. Sborník příspěvků 3. konference Využití počítačů ve výuce matematiky. 1. vydání. České Budějovice, 2007, s. 193–198. [9] Plch R., Šarmanová P.: Interaktivní 3D grafika v HTML a PDF dokumentech, Zpravodaj CSTUG, CSTUG, 18, č. 1–2, 2008, s. 76–92. [10] Plch R., Šarmanová P.: An Interactive Presentation of Maple 3D Graphics in PDF Documents, Electronic Journal of Mathematics and Technology, Mathematics and Technology, LLC, Blacksburg, Volume 2, Number 3, 2008, s. 281–290. [11] Plch R., Šarmanová P.: Multimediální sbírka příkladů z Integrálního počtu funkcí více proměnných, Sborník konference Setkání učitelů matematiky Srní 2008, Plzeň, 2008, s. 243–246. [12] Stewart J.: Calculus, fifth edition, Thomson Learning, Brooks/Cole, 2003. [13] Story D.: AcroTEX, http://www.acrotex.net/, 2008. [14] Deep Exploration, http://www.righthemisphere.com/products/dexp/de_std.html, 2008.