Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 1 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Roman Plch, Petra Šarmanová, Petr Sojka
Integrální počet funkcí více proměnných
Interaktivní sbírka příkladů a testových otázek
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 2 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Vážený čtenáři,
dostává se Ti do rukou Multimediální sbírka příkladů z Integrálního počtu funkcí
více proměnných. Naším cílem bylo vytvořit interaktivní materiál, který povede
k maximálně efektivnímu zvládnutí a procvičení této pro studenty často obtížné
partie. Přitom jsme chtěli, aby naše učební pomůcka byla nezávislá na operačním
systému, nevyžadovala použití nějakého LMS či instalaci dodatečného softwaru a
připojení k Internetu. Z tohoto důvodu jsme jako výstupní formát zvolili PDF.
Formát PDF již několik let dominuje na poli digitálních dokumentů nejen ve
vědecké literatuře, ale rozšířil se díky přenositelnosti i mezi širokou veřejnost.
Původní myšlenkou pro vznik formátu PDF byla právě přenositelnost textových
dokumentů mezi různými platformami, kdy výsledný dokument vypadá na všech
platformách i různém hardwaru stejně. Formát PDF se však stále vyvíjí a přináší
nové možnosti. Dnes je možné do PDF dokumentů začleňovat animace, video a
audio nahrávky či 3D objekty.
Výukový text je zpracován sázecím systémem TeX ve formátu pdfLATEX. Vzhledem
k tomu, že jde o matematický text obsahující řadu i značně komplikovaných
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 3 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
vzorců, je použití sázecího systému TeX jedinou rozumnou alternativou. Zaručuje
totiž vysokou typografickou kvalitu a snadnou modifikovatelnost textu.
Při vytváření sbírky jsme se snažili o vytvoření uživatelsky příjemného a efektivního
výukového prostředí. Student má stále k dispozici ovládací panel, který
umožňuje volit mezi celoobrazovkovým režimem a zobrazením v okně, obsahuje
tlačítko posuvu o stranu vpřed a vzad, skok na začátek nebo konec dokumentu a
posouvání v historii prohlížení. Důležitá je také možnost skoku na konkrétní stranu
v textu a na začátek kapitol. Text je přizpůsoben velikosti obrazovky (posuv textu
na obrazovce není nutný).
Základním učebním textem, na který je tato sbírka příkladů navázána, je skriptum
[2], používané ve výuce jak na MU v Brně, tak na VŠB TU v Ostravě. Text
je tvořen pěti kapitolami (Úvod, Dvojný integrál, Trojný integrál, Souhrnné testy a
Úlohy na procvičení). Na začátku kapitol Dvojný a Trojný integrál uvádíme shrnutí
potřebné teorie, následuje několik podrobně vyřešených úloh, které jsou ilustrovány
interaktivní 3D grafikou.
Interaktivní 3D grafika
Vhodně vytvořená a okomentovaná grafika přispívá k pochopení probírané problematiky
a rozvoji geometrické představivosti studentů. Ilustrační grafiku lze použít
k objasňování nového teoretického pojmu či závislosti daného jevu na parametrech,
k dokreslení geometrického významu řešených úloh a případně k ověření
„reálnosti“ řešení. Jedním z možných dělení grafiky je na grafiku statickou a dynamickou.
Mezi statickou grafiku počítáme jakékoliv obrázky, s nimiž nemůžeme
dále manipulovat. Interaktivní grafika nám naproti tomu umožňuje aktivně pracovat
s objektem, např. prohlédnout si ho ze všech stran, zvětšovat a zmenšovat, zobrazit
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 4 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
detail vybrané části, zobrazit normálové vektory, měnit nastavení barev, průhlednost
objektu a mnoho dalšího (dle možností zobrazovacího programu). Z tohoto
důvodu jsou všechny 3D obrázky ve sbírce v interaktivní podobě.
3D obrázky jsme vytvořili v CAS systému Maple a následně konvertovali do
formátu U3D pomocí programu Deep Exploration. 3D objekty ve formátu U3D
jsme pak vkládali do PDF dokumentu pomocí pdfLATEXu a balíčku movie15.
Technika tvorby interaktivní 3D grafiky a její následné začlenění do PDF dokumentu
je podrobně popsána v [9].
Na obrázku 1 vidíte ukázku interaktivní 3D grafiky. K manipulaci s grafikou
je nutné zobrazit 3D Toolbar (je součástí Adobe Readeru). Toolbar se zobrazí
kliknutím pravého tlačítka myši na obrázek. Základní možnosti Toolbaru jsou dynamický
zoom, posunutí, natočení, změna osvětlení, změna barvy pozadí či skrytí,
zobrazení nebo izolování pouze určitých prvků modelu. Možné je rovněž využití
různých zobrazovacích módů (Solid, Transparent, Shaded Illustration atd.). Pro korektní
zobrazení interaktivní 3D grafiky musíte použít Adobe Reader verze 8.1.1
(a vyšší).
Interaktivní testy
K důkladnému procvičení studované problematiky jsme do každé kapitoly začlenili
interaktivní testové otázky (přímo do textu za testované učivo) a na závěr několik
souhrnných testů (kapitola Souhrnné testy). Protože rozeznávání ploch, které
ohraničují integrační obor, je nezbytné pro úspěšné zvládnutí trojného integrálu,
zařadili jsme i testové otázky na rozeznávání množin bodů v prostoru. Kapitola
Úlohy na procvičení je tvořena výpočetními příklady, u kterých si je možno pomocí
testového prostředí zkontrolovat správnost výsledku.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 5 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
obr. 1 Grafický objekt ve formátu U3D
Tyto testové otázky byly vytvořeny pomocí kolekce LATEXových maker AcroTEX
(více např. v [4] a na webových stránkách [13]. Během práce s těmito makry jsme
narazili na některé chyby, zejména při použití otázky s více správnými odpovědmi.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 6 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Tyto chyby byly po korespondenci s autorem maker profesorem D. P. Story následně
opraveny.
Následující test ukazuje použité typy testových otázek a slouží k vyzkoušení
práce s testy. Test zahájíte kliknutím na tlačítko „Zacatek testu“.
U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí),
je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a
špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí,
je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou
špatnou odpověď bude odečten jeden bod.
Ukázkový test
1. (6b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina
A zvýrazněná na obrázku.
y = x2
−1
1
x
y
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 7 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
x2
0
0
−1
f (x, y) dy dx
0
−1
1
0
f (x, y) dy dx
0
−1
x2
0
f (x, y) dy dx
0
−1
√
x
0
f (x, y) dy dx
x2
1
0
−1
f (x, y) dx dy
1
0
−
√
y
−1
f (x, y) dx dy
1
0
1
0
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
−1
f (x, y) dx dy
2. (4b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace
u integrálu:
2
0


√
2x−x2
0
f (x, y) dy

 dx,
1
0
−
√
1−y2+1
√
1−y2+1
f (x, y) dx dy
1
0
√
1−y2+1
−
√
1−y2−1
f (x, y) dx dy
1
0
√
1−y2+1
−
√
1−y2+1
f (x, y) dx dy
1
0
√
1−y2−1
−
√
1−y2+1
f (x, y) dx dy
3. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál
4
1
3
−2
x2
y dy dx =
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 8 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Pro ukončení testu je třeba kliknout na tlačítko „Konec testu“. Opravení testu
se provede kliknutím na tlačítko „Výsledky“, správné odpovědi budou označeny
zeleně a červeně budou označeny odpovědi chybné. Při použití otázky s tvořenou
odpovědí se správná odpověď zobrazí v rámečku umístěném vpravo dole v navigačním
panelu po kliknutí na tlačítko „Odpoved“.
Pro zápis matematických výrazů v otázkách s tvořenou odpovědí používejte
následující syntaxi.
• Základní matematické operace zapisujte takto: + sčítání (př.: x+1), - odčítání
(př.: x-1), * nebo mezera pro násobení (př.: 3*x nebo 3x nebo 3␣x pro 3x)
a / pro dělení a zlomky (př.: 1/x pro 1
x
)
• Mezery jsou před zpracováním odpovědi odstraněny. Při násobení čísel tedy
musíte napsat explicitně *.
• Pro zapsání mocniny využijte symbol ^ a exponent uzavřete do libovolných
závorek závorek (př.: x^(-2) pro x−2
).
• Pořadí operací definujete uzavřením jednotlivých operací do závorek, je možné
používat i hranaté nebo složené závorky (př.: (sin(x))^(2) pro (sin(x))2
).
• Odmocninu zapíšete pomocí sqrt a odmocněnec umístíte do závorek (př.:
sqrt(x) pro
√
x), pro odmocninu můžete také použít zápis (př.: x^(1/3)
pro 3
√
x).
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 9 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
• Základní funkce zapisujte takto:
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x), asin(x),
acos(x), atan(x), ln(x).
• Exponenciální funkci ex
zapisujte exp(x) nebo e^x.
• Číslo π zapisujte jako pi (př.: 6*pi pro 6π nebo 6+pi pro 6 + π).
• Absolutní hodnotu zapisujte abs() nebo pomocí | | (př. abs(x) nebo | x |
pro |x|) .
Pokud vaše odpověď není platný matematický výraz, nepočítá se vám chybná odpověď,
ale musíte si výsledek opravit.
Všechny 3D obrázky v testech jsou interaktivní. Můžete s nimi otáčet a kliknutím
pravým tlačítkem myši můžete vyvolat Toolbar, pomocí něhož je možno využít
dalších možností práce s 3D grafikou (změna velikosti, osvětlení, zobrazovacího
módu, skrytí, zobrazení nebo izolování pouze určitých prvků modelu, atd.).
Závěrem bychom rádi poděkovali panu doc. RNDr. J. Kubenovi, CSc. za pečlivé
přečtení celé sbírky a přípravu metapostových obrázků, studentce Přírodovědecké
fakulty N. Jalové za přípravu metapostových obrázků a některých testových otázek.
Tato multimediální sbírka příkladů a testových otázek vznikla za podpory
Fondu rozvoje VŠ v rámci řešení projektu č. 92/2008. Pro tvorbu a začlenění
interaktivní grafiky do PDF dokumentů jsme navrhli a následně otestovali nový
postup, založený na konverzi 3D grafiky z CAS systému Maple. Tento postup byl
zdokumentován a následně publikován v [9] a [10]. Zkušenosti s tvorbou multimediálních
učebních pomůcek v PDF formátu jsme prezentovali na konferenci
Setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol, příspěvek je možno najít ve
sborníku [11].
Brno a Ostrava, srpen 2009 Autoři
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 10 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Integrální počet funkcí více proměnných
Dvojný a trojný integrál je zobecněním určitého integrálu funkce jedné proměnné,
který funkci jedné proměnné přiřazoval číslo. Toto číslo pak mohlo mít různý
geometrický nebo fyzikální význam, např. vyjadřovalo obsah rovinné oblasti, objem
rotačního tělesa nebo obsah jeho pláště, hmotnost nebo moment setrvačnosti
rotačního tělesa.
Obdobně dvojný integrál bude přiřazovat funkci dvou proměnných definované
na rovinné oblasti jisté číslo a trojný integrál bude přiřazovat funkci tří proměnných
definované na prostorové oblasti jisté číslo. Toto číslo může mít opět různý
geometrický nebo fyzikální význam, např. obsah, objem, hmotnost nebo moment
setrvačnosti.
V dalším textu budeme místo o délce, obsahu a objemu nějaké množiny A
často mluvit o míře této množiny a používat označení m(A). Abychom rozlišili,
zda se jedná o délku, obsah nebo objem, budeme používat index, který odpovídá
tomu, v jakých jednotkách (délkových, plošných, objemových) se daná míra měří.
Tedy m1(A) bude značit délku, m2(A) obsah a m3(A) objem množiny A.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 11 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Kapitola 1
Dvojný integrál
Dvojný integrál a Fubiniova věta
 Typové řešené příklady

Test
Transformace dvojného integrálu
 Typové řešené příklady

Test
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 12 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
1.1. Dvojný integrál
Dvojný integrál přiřazuje omezené funkci dvou proměnných definované na nějaké
měřitelné množině A v R2
číslo, které může mít v závislosti na konkrétním tvaru
integrandu následující geometrický význam:
A f (x, y) dxdy představuje míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora
ohraničeno nezápornou funkcí f (x, y) a zdola funkcí nulovou g(x, y) = 0. Obě
funkce uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A.
A ( f (x, y) − g(x, y)) dxdy, kde f (x, y) g(x, y) pro [x, y] ∈ A, představuje
míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora ohraničeno funkcí f (x, y) a zdola
funkcí g(x, y). Obě funkce opět uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A.
A 1 dxdy představuje míru m3(S) (objem) tělesa S, které je shora ohraničeno
konstantní funkcí f (x, y) = 1 a zdola funkcí nulovou g(x, y) = 0. Obě funkce
uvažujeme na množině A, tj. D( f ) = D(g) = A. Vzhledem k tomu, že je objem
roven součinu obsahu podstavy a výšky, platí
A
1 dxdy = m2(A). (1.1)
Tento vztah říká, že číselně je objem tělesa s podstavou A a výškou rovnou jedné
roven obsahu množiny A.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 13 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
1.2. Dvojný integrál – Fubiniova věta
Fubiniova věta nám dává návod, jak převést dvojný integrál na dvojnásobný. Převádíme
tak výpočet dvojného integrálu na výpočet dvou po sobě jdoucích jednorozměrných
integrálů.
Věta 1.1. (Fubiniova věta v R2
) Nechť je funkce f dvou proměnných x, y spojitá
na množině A = x, y ∈ R2
: a x b; ϕ(x) y ψ(x) , kde ϕ, ψ jsou
funkce spojité na intervalu a, b takové, že ϕ(x) ψ(x) pro ∀x ∈ a, b . Pak
platí
A
f (x, y) dxdy =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
f (x, y) dy dx. (1.2)
Množinu typu A = x, y ∈ R2
: a x b; ϕ(x) y ψ(x) budeme
dále nazývat elementární oblastí vzhledem k x.
Obdobně množinu typu A = x, y ∈ R2
: c y d; ϕ(y) y ψ(y)
budeme dále nazývat elementární oblastí vzhledem k y.
Typové řešené příklady:
• Převeďte (oběma způsoby) dvojný integrál I na dvojnásobný a vypočtěte jej.
Příklad 1.1
• Zaměňte pořadí integrace.
Příklad 1.2
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 14 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
• Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy.
Příklad 1.3
• Vypočítejte obsah množiny.
Příklad 1.4
• Vypočítejte objem tělesa.
Příklad 1.5
Příklad 1.1. Převeďte (oběma způsoby) dvojný integrál I na dvojnásobný a vypočtěte
jej:
I =
A
yx2
dxdy, kde A = x, y ∈ R2
, x2
y 1 .
Řešení: Hraniční křivky jsou y = x2
(parabola) a y = 1 (přímka). Integrační
obor A je znázorněn na obrázku 1.1. Určíme x-ové souřadnice průsečíků obou
křivek. Dostáváme rovnici 1 = x2
, tj. x1 = 1, x2 = −1.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 15 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
y = x2
−1 1
1
x
y
obr. 1.1 Množina A
Chápeme-li množinu A jako elementární množinu vzhledem k x, pak integrační
meze jsou:
−1 x 1,
x2
y 1.
Integrand yx2
je spojitá funkce na A. Podle Fubiniovy věty bude
I =
A
yx2
dx dy =
1
−1
1
x2
yx2
dy dx =
1
−1
1
2
y2
x2
1
x2
dx =
=
1
2
1
−1
(x2
− x6
) dx =
1
2
1
3
x3
−
1
7
x7
1
−1
=
1
2
1
3
−
1
7
+
1
3
−
1
7
=
4
21
.
Chápeme-li množinu A jako elementární množinu vzhledem k y, pak integrační
meze budou následující:
0 y 1,
−
√
y x
√
y.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 16 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
I =
A
yx2
dxdy =
1
0
√
y
−
√
y
yx2
dx dy =
1
0
1
3
x3
y
√
y
−
√
y
dy =
=
1
3
1
0
y
5
2 + y
5
2 dy =
2
3
2
7
y
7
2
1
0
=
4
21
.
Příklad 1.2. Zaměňte pořadí integrace
I =
1
−1
2
0
f (x, y) dy dx.
Řešení: Ze zadání vidíme, že se jedná se o čtverec, kde −1 x 1 a 0 y 2.
Tedy
I =
2
0
1
−1
f (x, y) dx dy.
Příklad 1.3. Vypočtěte M
y
x+y2 dxdy, kde množina M je ohraničena křivkami
y = 1, y = 1/2, x = 4 − y2
a x = y2
.
Řešení: První dvě křivky jsou přímky, druhé dvě paraboly. Integrační obor M je
znázorněn na obrázku 1.2. Určíme ještě y-ovou souřadnici horního průsečíku P
obou parabol, abychom se přesvědčili, že máme přímky y = 1 a y = 1/2 správně
umístěny. Z rovnic parabol dostaneme 4 − y2
= y2
, tj. y2
= 2, a tedy y =
√
2.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 17 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
x
y
1/2
1
√
2
y = 1/2
y = 1
P
x = y2
x = 4 − y2
M
obr. 1.2 Množina M
Množina M je elementární množina vzhledem k y. Ve vzorci (1.2) se tedy
zamění role x a y. Integrační meze jsou
1/2 y 1, y2
x 4 − y2
.
Integrand y/(x + y2
) je spojitá funkce na M. Podle Fubiniovy věty bude
I =
M
y
x + y2
dxdy =
1
1/2
4−y2
y2
y
x + y2
dx dy.
Vnitřní integrál vyjde
4−y2
y2
y
x + y2
dx = y ln |x + y2
|
4−y2
y2 = y(ln 4 − ln 2y2
) =
= y(2 ln 2 − ln 2 − 2 ln y) = y ln 2 − 2y ln y
vzhledem k tomu, že v našem případě je y > 0.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 18 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Při výpočtu vnějšího integrálu použijeme mimo jiné metodu per partes. Dosta-
neme:
I =
1
1/2
(y ln 2 − 2y ln y) dy = ln 2
1
1/2
y dy − 2
1
1/2
y ln y dy =
=
u = ln y u = 1
y
v = y v = y2
2
= ln 2
y2
2
1
1/2
− 2
y2
2
ln y
1
1/2
+ 2
1
1/2
y
2
dy =
= ln 2
1
2
−
1
8
−
1
4
ln 2 +
y2
2
1
1/2
=
1
8
ln 2 +
1
2
−
1
8
=
1
8
(ln 2 + 3).
Příklad 1.4. Vypočítejte obsah množiny
A = x, y ∈ R2
, x2
y, y − x 2 .
Řešení: Obsah m2(A) množiny A budeme počítat podle vztahu (1.1), tj.
m2(A) =
A
1dxdy.
Množina A je shora ohraničena křivkou y = 2 + x, zdola křivkou y = x2
, viz
obrázek 1.3. Najděme x-ové souřadnice průsečíků těchto křivek. Musí platit:
2 + x = x2
,
x2
− x − 2 = 0,
(x + 1)(x − 2) = 0.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 19 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Odtud x1 = −1 a x2 = 2. Dostali jsme následující integrační meze:
−1 x 2,
x2
y 2 + x.
y = x2
y = 2 + x
2−1
2
x
y
obr. 1.3 Množina A
m2(A) =
A
1dxdy =
2
−1
2+x
x2
1dy dx =
2
−1
y
2+x
x2 dx =
2
−1
2 + x −
− x2
dx = 2x +
x2
2
−
x3
3
2
−1
= 4 + 2 −
8
3
− −2 +
1
2
+
1
3
=
9
2
.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 20 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Příklad 1.5. Vypočítejte objem tělesa S ležícího pod paraboloidem z = x2
+ y2
a nad množinou A v rovině xy ohraničenou přímkou y = 2x a parabolou y = x2
.
Řešení: Pro objem m3(S) tělesa S platí
m3(S) =
A
f (x, y) dxdy,
kde A představuje podstavu tělesa S a funkce f (x, y) ohraničuje těleso S shora –
viz obrázek 1.4. Množina A je shora ohraničená přímkou y = 2x a zdola parabolou
y = x2
. Spočítáme x-ové souřadnice průsečíků těchto křivek: x1 = 0, x2 = 2.
Dostali jsme následující integrační meze:
0 x 2, x2
y 2x.
y = x2
y = 2x
20
4
x
y
obr. 1.4 Množina A
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 21 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
m3(S) =
A
(x2
+ y2
) dx dy =
2
0
2x
x2
(x2
+ y2
) dy dx =
=
2
0
x2
y +
y3
3
2x
x2
dx =
2
0
14x3
3
− x4
−
x6
3
dx =
=
7x4
6
−
x5
5
−
x7
21
2
0
=
216
35
.
U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí),
je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná
odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je
součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou
odpověď bude odečten jeden bod.
Dvojný integrál – Fubiniova věta
1. (2b.) Uveďte název věty, která pojednává o převedení vícerozměrného integrálu
na integrál vícenásobný.
Fubiniova Cauchyova
Weierstrassova Greenova
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 22 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2. (2b.) Platí
A
f (x, y) dxdy =
2π
0
2+sin x
0
y
3
dy dx =
3π
2
. Rozhodněte,
které z následujících tvrzení je pravdivé.
Číslo
3π
2
představuje obsah rovinné oblasti A.
Číslo
3π
2
představuje obsah rovinné oblasti, která je ohraničena funkcemi
z =
y
3
a z = 2 + sin x.
Číslo
3π
2
představuje objem tělesa, které je shora ohraničeno grafem funkce
z =
y
3
a jehož podstava je A.
Číslo
3π
2
představuje objem tělesa, které je ohraničeno grafem funkce
z = 2 + sin x a jehož podstava je A.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 23 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (6b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina
A zvýrazněná na obrázku.
y = x2
−1
1
x
y
x2
0
0
−1
f (x, y) dy dx
0
−1
1
0
f (x, y) dy dx
0
−1
x2
0
f (x, y) dy dx
0
−1
√
x
0
f (x, y) dy dx
x2
1
0
−1
f (x, y) dx dy
1
0
−
√
y
−1
f (x, y) dx dy
1
0
1
0
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
−1
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 24 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (6b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina
A zvýrazněná na obrázku.
y = x2
−1
1
x
y
x2
0
0
−1
f (x, y) dy dx
0
−1
1
0
f (x, y) dy dx
0
−1
√
x
0
f (x, y) dy dx
0
−1
1
x2
f (x, y) dy dx
0
−1
0
√
y
f (x, y) dx dy
0
−1
1
−
√
y
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
−1
f (x, y) dx dy
1
0
0
−
√
y
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 25 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (6b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina
A zvýrazněná na obrázku.
y = 1 − x
y = 1 − x2
1
1
x
y
1
0
1−x
1−x2
f (x, y) dy dx
1
0
1−x2
1−x
f (x, y) dy dx
1
0
1−x
0
f (x, y) dy dx
1
0
1−x2
0
f (x, y) dy dx
1
0
√
1−y
0
f (x, y) dx dy
1
0
−
√
1−y
1−y
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
0
f (x, y) dx dy
1
0
√
1−y
1−y
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 26 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (4b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina
A zvýrazněná na obrázku.
y = x2
y = 1 − x2
1
1
x
y
1√
2
0
1−x2
x2
f (x, y) dy dx
1√
2
− 1√
2
1−x2
x2
f (x, y) dy dx
1√
2
0
1
0
f (x, y) dy dx
1√
2
0
x2
1−x2
f (x, y) dy dx
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 27 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
7. (4b.) U následujícího příkladu vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou
pořadí integrace u integrálu:
0
−2
0
y2−4
dx dy.
0
−2
0
−
√
x+4
dy dx
0
−4
0
√
x+4
dy dx
0
−2
0
−
√
x−4
dy dx
0
−4
0
−
√
x+4
dy dx
8. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál
3
0
2
1
x2
y dy dx =
9. (2b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál
2
0
1
0
(x2
+ 2y) dx dy =
10. (3b.) Nechť je trojúhelník určený body A = [0, 0], B = [0, 2], C = [2, 0],
pak
dxdy=
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 28 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 29 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
1.3. Transformace dvojného integrálu
Výpočet dvojného integrálu pomocí transformace do polárních souřadnic spočívá
v tom, že změníme souřadnicový systém a tím převedeme výpočet jistého dvojného
integrálu na jiný dvojný integrál. Dojde přitom jak ke změně integračního oboru,
tak ke změně integrandu.
Jde o jistou analogii substituční metody pro jednoduchý určitý integrál. Zde
nám však šlo především o to, abychom substitucí zjednodušili integrand. Integrační
obor se změnil z jistého intervalu na jiný interval, což pro nás nebylo podstatné.
U dvojného integrálu nám však půjde především o změnu integračního oboru
tak, abychom mohli využít Fubiniovu větu. Přitom dojde samozřejmě i ke změně
integrandu, tato změna však pro nás nebude důležitá.
Mějme množiny A, B ⊆ R2
a zobrazení F : A → B takové, že
F[u, v] = [x, y] ∈ F(A) ⊆ B pro každé [u, v] ∈ A. Pak existují funkce
x = g(u, v), y = h(u, v) tak, že každý bod [u, v] ∈ A se zobrazí na bod
[g(u, v), h(u, v)] = [x, y]. A naopak, jsou-li na množině A definovány reálné
funkce x = g(u, v), y = h(u, v), je jimi určeno zobrazení A → R2
.
Je-li F spojitě diferencovatelné zobrazení, pak se determinant
J(u, v) =
gu(u, v) gv(u, v)
hu(u, v) hv(u, v)
nazývá jakobián zobrazení F. Připomeňme, že zobrazení F se nazývá regulární
právě tehdy, když je jakobián různý od nuly.
Uveďme nyní větu o transfomaci dvojného integrálu, kterou budeme používat
při řešení konkrétních úloh.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 30 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Věta 1.2. Buď M1 ⊆ M ⊆ R2
, kde M1 je otevřená množina, M je měřitelná
množina a platí m2(M \ M1) = 0.
Nechť F je spojitě diferencovatelné zobrazení M do R2
, které je regulární a
prosté v M1. Označme = F(M), 1 = F(M1). Nechť je množina měřitelná
a platí m2( \ 1) = 0.
Buď funkce f ohraničená na množině a spojitá na 1. Dále nechť je funkce
f g(u, v), h(u, v) |J(u, v)| ohraničená na množině M. Pak platí
f (x, y) dx dy =
M
f g(u, v), h(u, v) |J(u, v)| du dv. (1.3)
S využitím předchozí věty lze provádět různé transformace souřadnic, my si
zde uvedeme nejčastější transformaci, a to do polárních souřadnic.
Transformace do polárních souřadnic
Uvažujme bod T v rovině s kartézskými souřadnicemi [x, y]. Označme r vzdálenost
bodu T od počátku O kartézské soustavy souřadnic a ϕ úhel, který svírá
polopřímka OT s kladnou částí osy x.
x
y
x
y
O
T
r
ϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 31 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Z definicí funkcí sinus a kosinus vyplývá, že vztah mezi kartézskými souřadnicemi
[x, y] a polárními souřadnicemi [r, ϕ] je dán rovnicemi:
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
Přitom r 0 a ϕ nabývá hodnot z intervalu 0, 2π nebo z jiného intervalu délky
2π.
Zobrazení F dané těmito rovnicemi přiřazuje polárním souřadnicím daného
bodu kartézské souřadnice téhož bodu, tj. F[r, ϕ] = [x, y]. Spočtěme si jakobián
této transformace:
J =
∂
∂r
(r cos ϕ) ∂
∂ϕ
(r cos ϕ)
∂
∂r
(r sin ϕ) ∂
∂ϕ
(r sin ϕ)
=
cos ϕ −r sin ϕ
sin ϕ r cos ϕ
= r cos2
ϕ + sin2
ϕ = r
|J| = r
Typové řešené příklady:
• Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy (po transformaci dostaneme konstantní
meze).
Příklad 1.6
• Vypočítejte dvojný integrál M f (x, y) dxdy (po transformaci dostaneme nekonstantní
meze).
Příklad 1.7
• Vypočítejte objem tělesa.
Příklad 1.8
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 32 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Příklad 1.6. Vypočtěte (x2
+y2
) dxdy, kde množina je určena podmínkami
1 x2
+ y2
4, y |x|.
Řešení: Rovnice x2
+ y2
= 1 a x2
+ y2
= 4 určují kružnice k1 a k2 se středy
v počátku O a poloměry 1 a 2. První podmínka tedy zadává mezikruží. Graf
funkce y = |x| je tvořen dvěma polopřímkami (osami prvního a druhého kvadrantu)
o rovnicích y = x a y = −x. Body splňující nerovnost y |x| leží nad tímto
grafem. Dohromady tudíž obě podmínky zadávají množinu – viz obrázek 1.6.
x
y
1 2O
y = xy = −x
k1
k2
obr. 1.5
ϕ
r
π/4 3π/4
1
2
O
M
obr. 1.6
Určíme, jak bude tato množina popsána v polárních souřadnicích. Polopřímky
vycházející z počátku O, které protínají množinu , musí svírat s kladnou částí
osy x úhel v rozmezí π/4 (y = x je osa prvního kvadrantu) až 3π/4 (y = −x je
osa druhého kvadrantu). Tedy π/4 ϕ 3π/4.
Libovolná taková polopřímka protíná množinu v úsečce, jejíž koncové body
mají od počátku O stále stejné vzdálenosti, a to 1 a 2. Tedy 1 r 2. To znamená,
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 33 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
že transformací do polárních souřadnic přejde množina v obdélník M – viz
obrázek 1.6.
I = (x2
+ y2
) dxdy =
M
(r cos ϕ)2
+ (r sin ϕ)2
r dr dϕ =
=
M
r3
(cos2
ϕ + sin2
ϕ) dr dϕ =
M
r3
dr dϕ =
3π/4
π/4
2
1
r3
dr dϕ =
=
3π/4
π/4
r4
4
2
1
dϕ =
3π/4
π/4
15
4
dϕ =
15
4
ϕ
3π/4
π/4
=
15
4
3π
4
−
π
4
=
15π
8
.
Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu.
Příklad 1.7. Vypočtěte x2 + y2 dxdy, kde množina je určena podmínkou
x2
+ y2
− 2ax 0, a > 0.
Řešení: Rovnice x2
+ y2
− 2ax = 0 zadává nějakou kuželosečku. Doplněním na
čtverec určíme, o jakou kuželosečku jde:
x2
+ y2
− 2ax = (x − a)2
− a2
+ y2
= 0 ⇒ (x − a)2
+ y2
= a2
.
Jde o kružnici se středem v bodě [a, 0] a poloměrem a. Integračním oborem
je tedy kruh – viz obr. 1.7, proto použijeme transformaci do polárních souřadnic.
Vzhledem k poloze množiny (leží v prvním a čtvrtém kvadrantu) bude výhodnější
volit rozmezí úhlů z intervalu (−π, π . Polopřímky vycházející z počátku O,
které protínají množinu i v jiných bodech než v počátku O, svírají potom s kladnou
částí osy x úhly z intervalu (−π/2, π/2). Protože s uzavřenými množinami se
nám lépe pracuje, zahrneme i koncové body, takže budeme mít −π/2 ϕ π/2.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 34 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
x
y
a 2aO
(x − a)2 + y2 = a2
T
ϕ
obr. 1.7
ϕ
r
π/2−π/2 π/2O
r = 2a cos ϕ
M
obr. 1.8
Nyní určíme omezení pro r. Z obrázku je zřejmé, že délky úseček OT , které
jsou průnikem uvažovaných polopřímek s množinou , se budou měnit a budou
záviset na úhlu ϕ. Dosazením polárních souřadnic do rovnice kružnice obdržíme:
(r cos ϕ)2
+ (r sin ϕ)2
− 2ar cos ϕ = 0 ⇒ r(r − 2a cos ϕ) = 0.
Hodnotě r = 0 odpovídá počátek O, pro druhý průsečík polopřímky s kružnicí platí
r = 2a cos ϕ. (Tento výsledek lze snadno zdůvodnit i geometricky. V trojúhelníku
s vrcholy O, [2a, 0] a T je podle Thaletovy věty u vrcholu T pravý úhel. Z definice
kosinu vyplývá, že r = OT = 2a cos ϕ.) Celkově tedy dostáváme, že
M :
−
π
2
ϕ
π
2
,
0 r 2a cos ϕ.
Množina M je tudíž elementární vzhledem k ϕ.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 35 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Použitím vztahu (1.3) dostaneme:
I = x2 + y2 dxdy =
M
(r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2 r dr dϕ =
=
M
r2
dr dϕ =
π/2
−π/2
2a cos ϕ
0
r2
dr dϕ =
π/2
−π/2
r3
3
2a cos ϕ
0
dϕ =
=
π/2
−π/2
8
3
a3
cos3
ϕ dϕ =
8
3
a3
π/2
−π/2
(1 − sin2
ϕ) cos ϕ dϕ =
=
sin ϕ = t
cos ϕ dϕ = dt
−π
2
−1, π
2
1
=
8
3
a3
1
−1
(1 − t2
) dt =
8
3
a3
t −
t3
3
1
−1
=
32
9
a3
.
Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu, vzniklý jednoduchý
integrál jsme pak řešili substituční metodou.
Příklad 1.8. Vypočítejte objem tělesa S ležícího pod rovinou z = y a nad množinou
:
= x, y ∈ R2
, x2
− 2x + y2
0 ∧ x2
− 4x + y2
0 ∧ y
√
3
3
x ∧ y x .
Řešení: Pro objem m3(S) tělesa S platí
m3(S) = f (x, y) dx dy,
kde představuje „podstavu tělesa S“ a funkce f (x, y) ohraničuje těleso S shora.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 36 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Ohraničující funkcí je rovina z = y, tj. f (x, y) = y. Podívejme se podrobněji
na množinu . Hraniční křivky množiny jsou následující:
• x2
− 2x + y2
= 0. Po úpravě na tvar (x − 1)2
+ y2
= 1 vidíme, že se jedná
o kružnici se středem v bodě [1, 0] a poloměrem 1.
• x2
− 4x + y2
= 0. Po úpravě na tvar (x − 2)2
+ y2
= 4 vidíme, že se jedná
o kružnici se středem v bodě [2, 0] a poloměrem 2.
• y =
√
3
3
x je přímka.
• y = x je také přímka.
y = x
y =
√
3
3 x
x2 − 4x + y2 = 0
20 43
2
3
1
2
x
y
obr. 1.9
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 37 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Uvedené křivky ohraničují množinu – viz obrázek 1.9. Celé těleso je znázorněno
na obrázku 1.10.
p28.u3d
obr. 1.10
Vzhledem ke tvaru množiny je vhodné provést transformaci do polárních
souřadnic. Polopřímky vycházející z počátku O, které protínají množinu , musí
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 38 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
svírat s kladnou částí osy x úhel v rozmezí π/6 až π/4. Tedy π/6 ϕ π/4.
Ukážeme si nyní, jak lze tyto hodnoty dostat dosazením polárních souřadnic do
rovnic přímek:
y =
√
3
3
x ⇒ r sin ϕ =
√
3
3
r cos ϕ ⇒ tg ϕ =
√
3
3
⇒ ϕ =
π
6
y = x ⇒ r sin ϕ = r cos ϕ ⇒ tg ϕ = 1 ⇒ ϕ =
π
4
Nyní určíme omezení pro r. Z obrázku je zřejmé, že r bude záviset na ϕ. Dosazením
polárních souřadnic do rovnic kružnic dostáváme:
x2
− 2x + y2
= 0 ⇒ r2
− 2r cos ϕ = 0 ⇒ r(r − 2 cos ϕ) = 0
x2
− 4x + y2
= 0 ⇒ r2
− 4r cos ϕ = 0 ⇒ r(r − 4 cos ϕ) = 0.
Řešení r = 0 předchozích rovnic neodpovídá zadané množině, proto ho neuvažujeme.
Pro průsečík libovolné polopřímky vycházející z počátku s menší kružnicí
platí r = 2 cos ϕ a pro průsečík této polopřímky s větší kružnicí platí r = 4 cos ϕ.
Integrační meze transformované množiny jsou tedy následující:
π
6
ϕ
π
4
,
2 cos ϕ r 4 cos ϕ.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 39 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
y dx dy =
π
4
π
6
4 cos ϕ
2 cos ϕ
r2
sin ϕ dr dϕ =
π
4
π
6
sin ϕ
r3
3
4 cos ϕ
2 cos ϕ
dϕ =
=
π
4
π
6
sin ϕ
64
3
cos3
ϕ −
8
3
cos3
ϕ dϕ =
56
3
π
4
π
6
cos3
ϕ sin ϕ dϕ =
=
cos ϕ = t
− sin ϕ dϕ = dt
π
6
√
3
2
, π
4
√
2
2
= −
56
3
√
2
2
√
3
2
t3
dt =
56
3
√
3
2
√
2
2
t3
dt =
=
14
3
t4
√
3
2√
2
2
=
35
24
.
U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí),
je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná
odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je
součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou
odpověď bude odečten jeden bod.
Dvojný integrál – transformace do polárních souřadnic
1. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do polárních souřadnic při
použití r, ϕ je:
r cos ϕ r r2
r sin ϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 40 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací x2 + y2 dxdy do polárních souřadnic,
je-li = {[x, y] ∈ R2
: x2
+ y2
4}.
x2 + y2 = 4
−2 2
2
−2
x
y
2π
0
2
0
r2
dr dϕ
2
0
2π
0
dr dϕ
2
0
r2
2π
0
dr dϕ
2π
0
4
0
√
r2 dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 41 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací sin x2 + y2 dxdy do polárních
souřadnic, je-li = {[x, y] ∈ R2
: π2
x2
+ y2
(4π)2
}.
x2 + y2 = π2
x2 + y2 = 16π2
4ππ
x
y
2π
0
2π
π
sinr dr dϕ
4π
0
r2
2π
0
r dϕ dr
2π
0
4π
π
r sinr dr dϕ
4π
π
4π
π
r sin
√
r2 dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 42 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací (x2
+ y2
) dxdy do polárních souřadnic,
je-li = {[x, y] ∈ R2
: 1 x2
+ y2
4 ∧ x y 2x}.
y = x
y = 2x
x2 + y2 = 4
20 1
1
2
x
y
4
1
2π
π/4
r3
dϕ dr
4
1
2π
π/4
r2
dr dϕ
2
1
π/3
π/4
r2
dϕ dr
2
1
arctg 2
π/4
r3
dϕ dr
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 43 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
ln (x2
+ y2
)
x2 + y2
dxdy do polárních
souřadnic, je-li = {[x, y] ∈ R2
: 1 x2
+ y2
4 ∧ y 0}.
x2 + y2 = 4
20 1−1−2 x
y
2
1
2π
0
lnr2
r2
dϕ dr
π
0
2
1
lnr2
r2
r dϕ dr
2
1
π
0
lnr2
r2
r dϕ dr
π
0
2
1
lnr2
r2
dϕ dr
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 44 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (3b.) Transformujte integrál f (x, y) dxdy, kde : x2
+ y2
2, y x do
polárních souřadnic.
5π
4
π
4
√
2
0
r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ
π
4
−π
4
√
2
0
r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ
π
4
−π
4
√
2
0
r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ
5π
4
π
4
√
2
0
r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 45 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
7. (4b.) Nechť = x, y ∈ R2
: x2
+ y2
1 ∧ x + y 1 . Transformujte integrál
xy dxdy do polárních souřadnic.
π
2
0
1
1
sin ϕ+cos ϕ
r3
cos ϕ sin ϕ dr dϕ
π
2
0
1
sin ϕ+cos ϕ
1
r3
cos ϕ sin ϕ dr dϕ
π
2
0
1
0
r3
cos ϕ sin ϕ dr dϕ
1
1
sin ϕ+cos ϕ
π
2
0
r3
cos ϕ sin ϕ dϕ dr
8. (4b.) Nechť = x, y ∈ R2
: x2
+ y2
1 ∧ x 0 ∧ y 0 . Pomocí transformace
do polárních souřadnic vypočítejte integrál:
(x + y)dxdy =
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 46 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 47 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Kapitola 2
Trojný integrál
Množiny bodů v prostoru

Test
Trojný integrál a Fubiniova věta
 Typové řešené příklady

Test
Transformace trojného integrálu
Transformace do válcových souřadnic
 Typové řešené příklady

Test
Transformace do sférických souřadnic
 Typové řešené příklady

Test
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 48 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2.1. Množiny bodů v prostoru
Při výpočtech trojných integrálů pracujeme s množinami v trojrozměrném prostoru.
Integračními obory jsou množiny bodů x, y, z ∈ R3
. Doporučujeme proto
čtenáři, aby si zopakoval rovnice základních kvadrik (koule, elipsoid, jednodílný a
dvojdílný hypeboloid, kužel, eliptický a hyperbolický paraboloid) a kvadratických
válců (rotační válec, eliptický válec, parabolický válec a hyperbolický válec).
Vzhledem k tomu, že rozpoznání ploch, které ohraničují integrační obor, je pro
úspěšné zvládnutí trojného integrálu nezbytné, zařazujeme na začátek test, kde si
své znalosti ověříte.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 49 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí),
je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná
odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je
součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou
odpověď bude odečten jeden bod.
Množiny bodů v prostoru
1. (2b.) K množině zobrazené na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitomi
a, b, c, p, q > 0.
x2
a2
+
y2
b2
= 1
x2
a2
−
y2
b2
= 1
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 z =
x2
2p
+
y2
2q
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 50 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2. (2b.)
(a) (b)
(c) (d)
Kvadrika s rovnicí x2
+ y2
+ z2
= r2
, r > 0 je na obrázku
(a) (b) (c) (d)
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 51 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (2b.)
(a) (b)
(c) (d)
Kvadrika s rovnicí
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= −1, kde a, b, c > 0, je na obrázku
(a) (b) (c) (d)
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 52 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (2b.)
(a) (b)
(c) (d)
Kvadrika s rovnicí z =
x2
2p
+
y2
2q
, kde p, q > 0, je na obrázku
(a) (b) (c) (d)
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 53 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (2b.) K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitom
a, b, c, p, q > 0
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 1 z =
x2
2p
−
y2
2q
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= −1
x2
a2
−
y2
b2
= 1
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 54 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (2b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku, je li z 0
test2.u3d
2x2
+ 2y2
− z2
= 0, x2
+ y2
− z2
= −9
2y2
+ 2z2
− x2
= 0, x2
+ y2
− z2
= −9
2x2
+ 2y2
− z2
= 0, x2
+ y2
+ z2
= 1
2x2
+ 2y2
+ z2
= 0, x2
+ y2
− z2
= 1
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 55 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
7. (2b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku
test5.u3d
x2
+ y2
= 1, x2
+ y2
= 4, z = 0, z = 3 − y
x2
− y2
= 1, x2
− y2
= 4, z = 0, z = 3 − y
x2
− y2
= 1, x2
+ y2
= 4, z = 0, z = 3 − x
x2
+ y2
+ z2
= 1, x2
+ y2
+ z2
= 4, z = 0, z = 3 − x
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 56 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
8. (2b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku
test6.u3d
M = [x, y, z] ∈ R3
: x2
− y2
9, 0 y, 0 z 2
M = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
9, 0 y, 0 z 2
M = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
9, 0 y, 0 z 2
M = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
− z2
9, 0 y, 0 z 2
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 57 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
9. (2b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku
test9.u3d
M = [x, y, z] ∈ R3
: − 1 x 1, −1 y 1, y2
+ 2 z 1 − x2
M = [x, y, z] ∈ R3
: − 1 x 1, −1 y 1, 1 + x2
z x2
+ y2
M = [x, y, z] ∈ R3
: − 1 x 1, −1 y 1, 1 − x2
z x2
+ y2
M = [x, y, z] ∈ R3
: − 1 x 1, −1 y 1, 1 − x2
z y2
+ 2
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 58 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 59 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2.2. Trojný integrál
Trojný integrál přiřazuje omezené funkci tří proměnných definované na nějaké
měřitelné množině M v trojrozměrném prostoru číslo, které může mít v závislosti
na konkrétním tvaru integrandu následující geometrický význam:
M f (x, y, z) dxdydz představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena
nezápornou funkcí f (x, y, z) a zdola funkcí nulovou g(x, y, z) = 0. Obě
funkce uvažujeme na množině M, tj. D( f ) = D(g) = M.
M ( f (x, y, z) − g(x, y, z)) dxdydz, kde f (x, y, z) g(x, y, z), [x, y, z] ∈ M,
představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena funkcí f (x, y, z) a
zdola funkcí g(x, y, z). Obě funkce opět uvažujeme na množině M, tj. D( f ) =
= D(g) = M.
M 1 dxdydz představuje míru m4(S) množiny S, která je shora ohraničena
konstantní funkcí f (x, y, z) = 1 a zdola funkcí nulovou g(x, y, z) = 0. Obě funkce
uvažujeme na množině M, tj. D( f ) = D(g) = M. Vzhledem k tomu, že je míra
m4(S) rovna součinu míry podstavy (množiny A) a výšky, platí
M
1 dxdydz = m3(M). (2.1)
Tento vztah říká, že číselně je míra m4(S) množiny s podstavou M a výškou rovnou
jedné rovna objemu množiny M.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 60 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2.3. Trojný integrál – Fubiniova věta
Fubiniova věta nám dává návod, jak převést trojný integrál na trojnásobný. Převádíme
tak výpočet trojného integrálu na výpočet tří po sobě jdoucích jednorozměrných
integrálů.
Věta 2.1. (Fubiniova věta v R3
) Nechť je funkce f tří proměnných x, y, z spojitá
na množině
M = x, y, z ∈ R3
: [x, y] ∈ A; u(x, y) z v(x, y) ,
kde u, v jsou funkce spojité na množině A takové, že u(x, y) v(x, y) pro každé
x, y ∈ A. Dále nechť
A = x, y ∈ R2
: a x b; ϕ(x) y ψ(x) ,
kde kde ϕ, ψ jsou funkce spojité na intervalu a, b takové, že ϕ(x) ψ(x) pro
každé x ∈ a, b . Pak platí
M
f (x, y, z) dxdydz =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
v(x,y)
u(x,y)
f (x, y, z) dz dy dx. (2.2)
V předchozí větě je množina A elementární množinou vzhledem k x. Jednoduše
lze přeformulovat Fubiniovu větu pro případ, kdy bude množina A elementární
oblastí vzhledem k y.
Bude-li integračním oborem množina M uvedená výše, budeme mluvit o elementární
oblasti vzhledem k xy. A to i v případě, že množina A je elementární
množinou vzhledem k y.
Analogicky lze Fubiniovu větu použít v případě elementárních oblastí vzhledem
k xz nebo yz.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 61 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Typové řešené příklady:
• Vypočítejte trojný integrál M f (x, y, z) dxdydz.
Příklad 2.1
• Vypočítejte objem tělesa.
Příklad 2.2 Příklad 2.3
Příklad 2.1. Vypočtěte
V
2z dxdydz, kde množina V je omezena plochami
x2
+ y2
− z2
= −1, x + y = 1, přičemž x, y, z 0.
Řešení: První plochou je dvojdílný rotační hyperboloid s osou rotace v ose z.
Druhou plochou je rovina, která je rovnoběžná s osou z. Podmínky x, y, z 0
znamenají, že se máme omezit jen na první oktant. Z hyperboloidu nás tedy bude
zajímat jen jeho horní část. Integrační obor V vidíme na obrázku 2.1 a jeho průmět
do roviny xy na obrázku 2.2.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 62 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
x
y
z
1
1
V
z = x2 + y2 + 1
x + y = 1
obr. 2.1
x
y
1
1
O
y = 1 − x
obr. 2.2
Integrační obor V je elementární množina vzhledem k xy. Z rovnice hyperboloidu
určíme, že z = x2 + y2 + 1. Množinu V popíšeme následovně:
V :
0 x 1,
0 y 1 − x,
0 z x2 + y2 + 1.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 63 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Na výpočet integrálu použijeme Fubiniovu větu.
I =
V
2z dxdydz =
1
0
1−x
0
√
x2+y2+1
0
2z dz dy dx =
=
1
0
1−x
0
z2
√
x2+y2+1
0
dy dx =
1
0
1−x
0
(x2
+ y2
+ 1) dy dx =
=
1
0
x2
y +
1
3
y3
+ y
1−x
0
dx =
1
0
x2
(1 − x) +
1
3
(1 − x)3
+ 1 − x dx =
=
1
0
−
4
3
x3
+ 2x2
− 2x +
4
3
dx = −
1
3
x4
+
2
3
x3
− x2
+
4
3
x
1
0
=
2
3
.
Příklad 2.2. Vypočítejte objem tělesa A ohraničeného plochami z = 4− y2
, z =
= 2 + y2
, x = −1, x = 2.
Řešení: Pro objem m3(A) tělesa A platí
m3(A) =
A
dxdydz.
Nejprve určíme mezní plochy, které ohraničují integrační obor A:
• z = 4 − y2
(parabolická válcová plocha),
• z = 2 + y2
(parabolická válcová plocha),
• x = −1 (rovina),
• x = 2 (rovina).
Průmětem tělesa A do roviny xy je obdélník B ohraničený přímkami x = −1,
x = 2, y = −1 a y = 1. Meze pro x jsou přímo zadány. Meze pro y získáme
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 64 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
jako průsečíky parabolických ploch, tj. jako řešení rovnice 4 − y2
= 2 + y2
. Odtud
2y2
= 2 a tedy y1 = −1, y2 = 1. Integrační obor A vidíme na obrázku 2.3 a jeho
průmět do roviny xy na obrázku 2.4.
Integrační meze tedy jsou:
−1 x 2,
−1 y 1,
y2
+ 2 z 4 − y2
.
o1.u3d
obr. 2.3 Těleso A
x
y
−1 2
−1
1
B
obr. 2.4
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 65 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
m3(A) =
A
dx dy dz =
2
−1
1
−1
4−y2
y2+2
dz dy dx =
=
2
−1
1
−1
[z]
4−y2
y2+2
dy dx = 2
2
−1
1
−1
1 − y2
dy dx =
= 2
2
−1
y −
1
3
y3
1
−1
dx = 2
2
−1
4
3
dx =
8
3
[x]2
−1 = 8.
Příklad 2.3. Vypočítejte objem tělesa A ohraničeného plochami
y = x2
, z = x2
+ y2
, z = 0, y = 1.
Řešení: Nejprve určíme mezní plochy, které ohraničují integrační obor A:
• z = x2
+ y2
(rotační paraboloid),
• y = x2
(parabolická válcová plocha),
• z = 0 (rovina),
• y = 1 (rovina).
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 66 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
o2.u3d
obr. 2.5
y = x2
−1 1
1
x
y
B
obr. 2.6
Průmětem tělesa A do roviny xy je množina B ohraničená parabolou y = x2
a přímkou y = 1 – viz obr. 2.6. Vidíme, že těleso A je souměrné podle roviny
x = 0. Výpočet tedy provedeme pouze pro první oktant a výsledek vynásobíme
dvěma. Dostáváme následující integrační meze:
0 x 1,
x2
y 1,
0 z x2
+ y2
.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 67 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
m3(A) = 2
1
0
1
x2
x2+y2
0
dz dy dx = 2
1
0
1
x2
x2
+ y2
dy dx =
= 2
1
0
x2
y +
1
3
y3
1
x2
dx = 2
1
0
x2
+
1
3
− x4
−
1
3
x6
dx =
= 2
1
3
x3
+
1
3
x −
1
5
x5
−
1
21
x7
1
0
=
88
105
.
U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je
správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď
je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů
správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten
jeden bod.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 68 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Trojný integrál — Fubiniova věta
1. (2b.) Převeďte trojný integrál
A
f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li:
A = {[x, y] ∈ R2
: x 0, y 0, z 0, x + y + z 5}
t1.u3d
5
0
5−x
0
5−x−y
0
f (x, y, z) dx dy dz
5
0
5
0
5
0
f (x, y, z) dz dy dx
5
0
5−x
0
5−x−y
0
f (x, y, z) dz dy dx
5
0
5
0
5−x−y
0
f (x, y, z) dx dy dz
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 69 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2. (2b.) Převeďte trojný integrál
A
f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li:
A = {[x, y] ∈ R2
: 0 x 1, 0 y 1, 0 z x2
+ y2
+ 1}
t2.u3d
1
0
1+x
0
x2+y2+1
0
f (x, y, z) dz dy dx
1
0
1
0
x2+y2+1
0
f (x, y, z) dx dy dz
1
0
1+x
0
x2+y2+1
0
f (x, y, z) dz dx dy
1
0
1
0
x2+y2+1
0
f (x, y, z) dz dy dx
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 70 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (2b.) Převeďte trojný integrál
A
f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li:
A = {[x, y] ∈ R2
: x 0, y 0, z 0, 2x + y 4, z 4 − x2
}
t3.u3d
4
0
2x
0
4−x2
0
f (x, y, z) dx dy dz
2
0
4−2x
0
4−x2
0
f (x, y, z) dz dy dx
4
0
2x
0
4−x2
0
f (x, y, z) dz dy dx
2
0
4
0
4−x2
0
f (x, y, z) dz dy dx
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 71 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (2b.) Převeďte trojný integrál
A
f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li:
A = {[x, y] ∈ R2
: x 0, y 0, z 0, x + y 1, z xy}
t4.u3d
1
0
1−x
0
xy
0
f (x, y, z) dz dy dx
1
0
x
0
xy
0
f (x, y, z) dz dy dx
1
0
1
0
xy
0
f (x, y, z) dx dy dz
xy
0
1−x
0
1
0
f (x, y, z) dx dy dz
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 72 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (2b.) Vypočtěte
3
0
1
0
2
0
dz dy dx =
6. (3b.) Je-li : 0 x 2, 1 y 3, 1 z 2, pak
xy2
z dxdydz =
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 73 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2.4. Transformace trojného integrálu
Transformace trojného integrálu je velmi podobná transformaci dvojného integrálu. Rozdíl
je pouze v prostoru, v němž transformace probíhají.
Buď A ⊆ R3 otevřená množina. Buďte x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z =
= k(u, v, w) funkce definované na A, které zde mají spojité parciální derivace prvního
řádu. Nechť F je zobrazení, které každému bodu [u, v, w] ∈ A přiřadí bod
[g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w] ∈ F(A).
Je-li F spojitě diferencovatelné zobrazení, pak se determinant
J(u, v, w) =
gu(u, v, w) gv(u, v, w) gw(u, v, w)
hu(u, v, w) hv(u, v, w) hw(u, v, w)
ku(u, v, w) kv(u, v, w) kw(u, v, w)
nazývá jakobián zobrazení F. Připomeňme, že zobrazení F se nazývá regulární právě
tehdy, když je jakobián různý od nuly.
Uveďme nyní větu o transformaci trojného integrálu, kterou budeme používat při řešení
konkrétních úloh.
Věta 2.2. Buď M1 ⊆ M ⊆ R3, kde M1 je otevřená množina, M je měřitelná množina a
platí m3(M M1) = 0.
Nechť F je spojitě diferencovatelné zobrazení M do R3, které je regulární a prosté
v M1. Označme = F(M), 1 = F(M1). Dále nechť je množina měřitelná a platí
m3( 1) = 0.
Nechť je funkce f ohraničená na množině a spojitá na 1. Dále nechť je funkce
f g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w) |J(u, v, w)| ohraničená na množině M. Pak platí
f (x, y, z) dx dy dz =
=
M
f g(u,v,w), h(u, v, w), k(u, v, w) |J(u, v, w)| du dv dw.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 74 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Transformace do válcových souřadnic
Uvažujme bod T v prostoru s kartézskými souřadnicemi [x, y, z] a jeho kolmý průmět T
do roviny xy s kartézskými souřadnicemi [x, y, 0]. Jak již víme, v rovině lze provést transformaci
kartézských souřadnic [x, y] bodu T do polárních souřadnic [r, ϕ]. Nyní využijeme
tohoto vyjádření prvních dvou souřadnic bodu T v polárních souřadnicích k zavedení
nové transformace kartézských souřadnic [x, y, z] bodu T do tzv. válcových (cylindrických)
souřadnic [r, ϕ, z].
x
y
z
O
T
T
z
rϕ
x
y
z
Vztah mezi kartézskými souřadnicemi [x, y, z] bodu T a válcovými souřadnicemi
[r, ϕ, z] je dán rovnicemi:
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z = z.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 75 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Přitom r 0 a ϕ nabývá hodnot z intervalu 0, 2π nebo z jiného intervalu délky 2π.
Spočtěme jakobián uvedené transformace.
J =
∂
∂r (r cos ϕ) ∂
∂ϕ (r cos ϕ) ∂
∂z (r cos ϕ)
∂
∂r (r sin ϕ) ∂
∂ϕ (r sin ϕ) ∂
∂z (r sin ϕ)
∂
∂r z ∂
∂ϕ z ∂
∂z z
=
cos ϕ −r sin ϕ 0
sin ϕ r cos ϕ 0
0 0 1
=
= r cos2
ϕ + r sin2
ϕ = r = |J|
Vzhledem k tomu, že z-ová souřadnice zůstává po transformaci stále stejná, posuzujeme
vhodnost použití této transformace pouze podle tvaru množiny, která je průmětem
integračního oboru do roviny xy. Jinými slovy, množina musí být elementární oblastí
vzhledem k xy tvaru
= [x, y, z] ∈ R3
: [x, y] ∈ A, g(x, y) z f (x, y) ,
kde A je množina vhodná pro transformaci do polárních souřadnic.
Typové řešené příklady:
• Vypočítejte objem tělesa.
Příklad 2.4
• Vypočítejte míru množiny.
Příklad 2.5
Příklad 2.4. Vypočítejte objem tělesa . Přitom
= x, y, z ∈ R3
, x2
+ y2
1, 0 z x .
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 76 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Řešení: Rovnice x2 + y2 = 1 určuje kruhovou válcovou plochu. Rovnice z = 0, z = x jsou
roviny, které z válcové plochy vytnou množinu — viz obr. 2.7. Použijeme transformaci
do válcových souřadnic.
• Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy. Průmětem je množina A — viz
obr. 2.8.
o4.u3d
obr. 2.7 Množina
x2 + y2 = 1
1 x
y
obr. 2.8 Množina A
• Popíšeme množinu A v polárních souřadnicích:
−
π
2
ϕ
π
2
,
0 r 1.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 77 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
• Určíme omezení pro z. Dosadíme tedy transformační rovnice do rovnic zadaných ploch,
které množinu ohraničují shora a zdola.
shora : z = x ⇒ z = r cos ϕ,
zdola : z = 0 ⇒ z = 0.
Celkem tedy 0 z r cos ϕ.
• Transformací do válcových souřadnic přejde množina v množinu M — viz obr. 2.9.
Na obrázku je osa ϕ označena písmenem p. Množinu M popíšeme takto:
−
π
2
ϕ
π
2
,
0 r 1,
0 z r cos ϕ.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 78 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
obr. 2.9 Množina M
ϕ
r
−π/2 π/20
1
obr. 2.10 Průmět M do roviny ϕr
m3( ) =
π
2
− π
2
1
0
r cos ϕ
0
r dz dr dϕ =
π
2
− π
2
1
0
r [z]
r cos ϕ
0 dr dϕ =
=
π
2
− π
2
1
0
r2
cos ϕ dr dϕ =
π
2
− π
2
cos ϕ
r3
3
1
0
dϕ =
1
3
π
2
− π
2
cos ϕ dϕ =
=
1
3
[sin ϕ]
π
2
− π
2
=
1
3
(1 − (−1)) =
2
3
.
Příklad 2.5. Vypočítejte míru množiny , kde
= x, y, z ∈ R3
, x2
+ y2
− 3z2
0 ∧ z 2 − x2
− y2
.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 79 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Řešení: Rovnice x2 + y2 − 3z2 = 0 určuje kužel s osou v souřadnicové ose z a vrcholem
v počátku. Rovnici z = 2 − x2 − y2 upravíme na z = −(x2 + y2) + 2. Vidíme, že se jedná
o rotační paraboloid s osou v souřadnicové ose z otočený dolů a posunutý o 2 nahoru.
Těleso je tedy shora ohraničeno rotačním paraboloidem a zdola kuželem — viz
obr. 2.11. Použijeme transformaci do válcových souřadnic.
• Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy. K určení průmětu do roviny xy
potřebujeme znát křivku, v níž se kužel a paraboloid protínají. Řešíme tedy soustavu
rovnic:
x2
+ y2
− 3z2
= 0
−(x2
+ y2
) + 2 − z = 0.
Sečtením získáme −3z2 − z + 2 = 0. Tato rovnice má dvě řešení z1 = −1, z2 = 2/3.
Vzhledem ke tvaru tělesa vyhovuje pouze řešení z2 = 2/3. Dosazením do některé
z rovnic dostáváme x2 + y2 = 4/3. Kužel a paraboloid se tedy protínají v kružnici se
středem v bodě [0, 0, 2/3] a poloměrem 2/
√
3 ležící v rovině rovnoběžné s rovinou xy.
Průmětem tělesa do roviny xy je tedy kruh A — viz obr. 2.12.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 80 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
o5.u3d
obr. 2.11 Množina
x2 + y2 = 4
3
2√
3
x
y
obr. 2.12 Množina A
• Popíšeme množinu A v polárních souřadnicích:
0 ϕ 2π,
0 r 2/
√
3.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 81 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
• Určíme omezení pro z. Dosadíme tedy transformační rovnice do rovnic zadaných ploch,
které množinu ohraničují shora a zdola.
shora : z = 2 − x2
− y2
⇒ z = 2 − (r2
cos2
ϕ + r2
sin2
ϕ) ⇒
⇒ z = 2 − r2
,
zdola : x2
+ y2
− 3z2
= 0 ⇒ r2
cos2
ϕ + r2
sin2
ϕ − 3z2
= 0 ⇒
⇒ z = ±
r
√
3
.
Vyhovuje pouze z =
r
√
3
.
Celkem tedy r√
3
z 2 − r2.
• Transformací do válcových souřadnic přejde množina v množinu M — viz obr. 2.13,
kterou popíšeme takto:
0 ϕ 2π,
0 r 2/
√
3,
r/
√
3 z 2 − r2
.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 82 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
obr. 2.13 Množina M
ϕ
r
0 2π0
2√
3
obr. 2.14 Průmět M do roviny ϕr
m3( ) =
2π
0
2√
3
0
2−r2
r√
3
r dz dr dϕ =
2π
0
2√
3
0
r[z]2−r2
r√
3
dr dϕ =
=
2π
0
2√
3
0
2r − r3
−
r2
√
3
dr dϕ =
2π
0
r2
−
r4
4
−
r3
3
√
3
2√
3
0
dϕ =
=
2π
0
36
27
−
12
27
−
8
27
dϕ =
2π
0
16
27
dϕ =
16
27
[ϕ]2π
0 =
32
27
π.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 83 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je
správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď
je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů
správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten
jeden bod.
Trojný integrál – transformace do válcových souřadnic
1. (2b.) Vztah mezi kartézskými a válcovými souřadnicemi při použití r, ϕ, z je dán
rovnicemi:
x = r sin ϕ, y = r cos ϕ, z = ϕ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = ϕ
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z x = r sin ϕ, y = r cos ϕ, z = z
2. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do válcových souřadnic při použití r,
ϕ, z je:
r2
r
r sin ϑ r cos ϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 84 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
9, 0 y, 0 z 2 . Množina A je zobrazena na
obrázku.
test6.u3d
2π
0
1
0
2
0
r dz dr dϕ
π
0
3
0
2
0
r dz dr dϕ
3
0
3
0
2
0
r dz dr dϕ
3
0
2
0
2π
0
r dϕ dz dr
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 85 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = [x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
4, 0 z 3, x 0, y 0 . Množina A je
zobrazena na obrázku.
test8.u3d
π/2
0
2
1
3
0
r dz dr dϕ
2π
0
3
0
4
1
r dz dr dϕ
4
0
3
0
π
0
r dϕ dz dr
π
π/2
2
1
3
0
r dz dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 86 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = {[x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
4, 0 z 3 − y}. Množina A je zobrazena na
obrázku.
test5.u3d
2
1
2π
0
3−y
0
r dz dr dϕ
2
1
2π
0
3−y
0
r2
dz dr dϕ
2π
0
2
1
3−r sin ϕ
0
r dz dr dϕ
2π
0
1
0
3−r sin ϕ
0
r dz dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 87 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = [x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
4, 0 z 4, y |x| . Průmět množiny A do
roviny xy je zobrazen na obrázku.
x
y
1 2O
y = xy = −x
4
0
π
π
4
2
0
r dr dϕ dz
2π
0
2
1
4
0
r dz dr dϕ
3π
4
π
4
2
1
4
0
r dz dr dϕ
4
0
π
2
π
4
2
1
r dr dϕ dz
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 88 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
7. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
1, 1 z 3, y x, x 0 . Průmět množiny A do
roviny xy je zobrazen na obrázku.
x2 + y2 = 1
y = x
1
1
x
y
π
2
π
4
3
1
1
0
r dr dz dϕ
3
1
π
π
4
1
0
r dr dϕ dz
2π
0
1
0
3
0
r dz dr dϕ
3
0
π
2
π
4
2
1
r dr dϕ dz
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 89 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
8. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
− y 0, x2
+ y2
z 0 . Množina A je zobrazena
na obrázku.
test10.u3d
x2+y2
0
2π
0
1
0
r dr dϕ dz
π
0
sin ϕ
0
r2
0
r dz dr dϕ
π
0
1
0
r2
0
r dz dr dϕ
r
0
π
2
π
4
cos ϕ
sin ϕ
r dr dϕ dz
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 90 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Transformace do sférických souřadnic
Uvažujme bod T v prostoru s kartézskými souřadnicemi [x, y, z] a jeho kolmý průmět T
do roviny xy s kartézskými souřadnicemi [x, y, 0]. Označme r vzdálenost bodu T od
počátku O kartézské soustavy souřadnic a ϕ úhel, který svírá polopřímka OT s kladnou
částí osy x. Dále označme ϑ úhel, který svírá polopřímka OT s kladnou částí osy z. Polohu
bodu T v prostoru pak určíme trojicí čísel [r, ϕ, ϑ], kterou nazveme sférické souřadnice
bodu T .
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 91 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
x
y
z
O
T
T
ϑ r
ϕ
x
y
z
Z obrázku vidíme, že pro první dvě souřadnice bodu T platí x = |OT | cos ϕ,
y = |OT | sin ϕ. Z pravoúhlého trojúhelníku OT T dostaneme
sin
π
2
− ϑ =
z
r
⇒ cos ϑ =
z
r
⇒ z = r cos ϑ.
cos
π
2
− ϑ =
|OT |
r
⇒ sin ϑ =
|OT |
r
⇒ |OT | = r sin ϑ.
Dosadíme-li nyní vyjádření |OT | do vztahů pro x a y, dostáváme vztah mezi kartézskými
souřadnicemi [x, y, z] bodu T a sférickými souřadnicemi [r, ϕ, ϑ]:
x = r cos ϕ sin ϑ,
y = r sin ϕ sin ϑ,
z = r cos ϑ.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 92 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Přitom r 0, úhel ϕ nabývá hodnot z intervalu 0, 2π nebo z jiného intervalu délky 2π
a úhel ϑ nabývá hodnot z intervalu 0, π . Spočtěme ještě jakobián této transformace:
J =
∂
∂r (r cos ϕ sin ϑ) ∂
∂ϕ (r cos ϕ sin ϑ) ∂
∂ϑ (r cos ϕ sin ϑ)
∂
∂r (r sin ϕ sin ϑ) ∂
∂ϕ (r sin ϕ sin ϑ) ∂
∂ϑ (r sin ϕ sin ϑ)
∂
∂r (r cos ϑ) ∂
∂ϕ (r cos ϑ) ∂
∂ϑ (r cos ϑ)
=
=
cos ϕ sin ϑ −r sin ϕ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ
sin ϕ sin ϑ r cos ϕ sin ϑ r sin ϕ cos ϑ
cos ϑ 0 −r sin ϑ
=
= − r2
cos2
ϕ sin3
ϑ − r2
sin2
ϕ sin ϑ cos2
ϑ − r2
cos2
ϕ sin ϑ cos2
ϑ−
− r2
sin2
ϕ sin3
ϑ =
= − r2
sin3
ϑ sin2
ϕ + cos2
ϕ + sin ϑ cos2
ϑ sin2
ϕ + cos2
ϕ =
= − r2
sin ϑ sin2
ϑ + cos2
ϑ = −r2
sin ϑ
Absolutní hodnota jakobiánu je: |J| = r2 sin ϑ
Typové řešené příklady:
• Vypočítejte integrál f (x, y, z) dxdydz.
Příklad 2.6
• Vypočítejte míru množiny.
Příklad 2.7
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 93 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Příklad 2.6. Vypočtěte x2 + y2 + z2 dx dy dz, kde množina je určená nerovnostmi
z2 x2 + y2, 1 x2 + y2 + z2 4, přičemž z 0.
Řešení: Rovnice z2 = x2+y2 určuje rotační kuželovou plochu s osou v souřadnicové ose z.
První nerovnost tedy zadává její vnitřek. Vzhledem k nerovnosti z 0 budeme uvažovat
pouze horní část. Podmínka 1 x2 + y2 + z2 4 říká, že množina je dále omezena
dvěma soustřednými kulovými plochami o poloměrech 1 a 2. Výsledek je znázorněn na
obrázku 2.15. Pro výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic.
test3.u3d
obr. 2.15 Množina
x2 + y2 = 2
√
2
x
y
obr. 2.16 Množina A
• Určíme průmět tělesa do roviny xy a tím úhel ϕ. Průmětem A je zřejmě kruh se
středem v počátku, jehož hraniční kružnice je průmětem kružnice, kterou dostaneme
jako průnik kuželové plochy a větší kulové plochy. Vyloučením proměnné z z rovnic
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 94 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
z2 = x2 + y2 a x2 + y2 +z2 = 4 dostaneme, že x2 + y2 = 2, tj. poloměr kruhu A je
√
2.
Tento údaj ale není důležitý, určili jsme jej jen pro úplnost, podstatné je, že pro úhel ϕ
platí 0 ϕ 2π.
• Určíme řez tělesa libovolnou rovinou procházející osou z. Protože toto těleso je rotační
s osou rotace z, bude řez libovolnou rovinou procházející osou z stejný. Na obr. 2.17 je
znázorněn řez rovinou yz. Z něho určíme rozmezí pro úhel ϑ. Protože přímka y = z je
osou prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel π
4 . Tedy 0 ϑ π/4.
y
z
1 2
z = yz = −y
obr. 2.17 Řez rovinou yz
• Určíme meze pro r. Pro proměnnou r zřejmě platí 1 r 2.
• Transformací do sférických souřadnic přejde množina v množinu M — viz obr. 2.18
(písmeno „p“ značí osu ϕ, písmeno „t“ značí osu ϑ), kterou popíšeme takto:
M :
1 r 2,
0 ϕ 2π,
0 ϑ
π
4
.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 95 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
sf1.u3d
obr. 2.18 Množina M
I = x2 + y2 + z2 dx dy dz =
M
r · r2
sin ϑ dr dϕdϑ =
=
2
1
r3
dr ·
2π
0
dϕ ·
π/4
0
sin ϑ dϑ =
r4
4
2
1
· ϕ
2π
0
· − cos ϑ
π/4
0
=
=
15
4
· 2π · −
√
2
2
+ 1 =
15π 2 −
√
2
4
.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 96 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Příklad 2.7. Vypočítejte míru množiny T dané nerovnostmi
x2
+ y2
+ z2
− 4z 0 ∧ x2
+ y2
− z2
0.
Řešení: První rovnici x2 + y2 +z2 −4z = 0 lze upravit na tvar x2 + y2 +(z − 2)2
= 4. Vidíme,
že se jedná se o kulovou plochu. První nerovnost tedy zadává vnitřek kulové plochy.
Rovnice x2 + y2 − z2 = 0 určuje rotační kuželovou plochu s osou v souřadnicové ose z.
Druhá nerovnost tedy zadává vnitřek kuželové plochy. Množina je tedy omezena shora
kulovou plochou se středem v bodě [0, 0, 2] a poloměrem 2 a zdola kuželovou plochou.
Výsledek je znázorněn na obrázku 2.19. Pro výpočet integrálu použijeme transformaci do
sférických souřadnic.
o3.u3d
obr. 2.19 Množina
x2 + y2 = 4
2
x
y
obr. 2.20 Množina A
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 97 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
• Určíme průmět prostorové množiny do roviny xy a tím úhel ϕ. K určení průmětu
do roviny xy potřebujeme znát křivku, v níž se kužel a koule protínají. Řešíme tedy
soustavu rovnic:
x2
+ y2
+ (z − 2)2
= 4
x2
+ y2
− z2
= 0.
Odečtením získáme (z − 2)2 + z2 = 4. Tato rovnice má dvě řešení z1 = 0, z2 = 2.
Zajímá nás pouze řešení z2 = 2. Dosazením do některé z rovnic dostáváme x2 + y2 = 4.
Kužel a koule se protínají v kružnici se středem v bodě [0, 0, 2] a poloměrem 2, která
leží v rovině rovnoběžné s rovinou xy. Průmětem tělesa do roviny xy je tedy kruh A
— viz obr. 2.20. Pro úhel ϕ tedy platí 0 ϕ 2π.
• Určíme řez tělesa libovolnou rovinou procházející osou z. Protože toto těleso je rotační
s osou rotace z, bude řez libovolnou rovinou procházející osou z stejný. Na obr. 2.21 je
znázorněn řez rovinou yz. Z něho určíme rozmezí pro úhel ϑ. Protože přímka y = z je
osou prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel π
4 . Tedy 0 ϑ π/4.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 98 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
y
z
z = yz = −y
obr. 2.21 Řez rovinou yz
• Určíme meze pro r. Omezení pro r dostaneme dosazením transformačních rovnic do
rovnice kulové plochy, tj.
r2
cos2
ϕ sin2
ϑ + r2
sin2
ϕ sin2
ϑ + r2
cos2
ϑ − 4r cos ϑ = 0 ⇒
r2
sin2
ϑ + r2
cos2
ϑ − 4r cos ϑ = 0 ⇒ r = 4 cos ϑ.
Celkem tedy pro proměnnou r platí 0 r 4 cos ϑ.
• Transformací do sférických souřadnic přejde množina v množinu M — viz obr. 2.22,
kterou popíšeme takto:
M :
1 r 4 cos ϑ,
0 ϕ 2π,
0 ϑ
π
4
.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 99 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
sf2.u3d
obr. 2.22
m( ) = dxdydz =
M
r2
sin ϑ drdϕdϑ =
=
2π
0
π/4
0
4 cos ϑ
0
r2
sin ϑ dr dϑ dϕ =
=
16 · 8
3
π
π/4
0
4 cos3
ϑ sin ϑ dϑ =
=
cos ϑ = t
sin ϑ dϑ = −dt
0 1, π
4
√
2
2√
2
2 t 1
změna pořadí horní a dolní meze ⇒
změna znaménka před integrálem
=
=
16 · 8
3
π
1
√
2/2
t3
dt =
32
3
π t4
1
√
2/2
= 8π.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 100 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je
správná odpověď bodována počtem bodů uvedených v závorce u zadání a špatná odpověď
je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více správných odpovědí, je součet bodů
správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za každou špatnou odpověď bude odečten
jeden bod.
Trojný integrál — transformace do sférických souřadnic
1. (2b.) Vztah mezi kartézskými a cylindrickými souřadnicemi je při použití r, ϕ a ϑ
dán rovnicemi:
x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ
x = r sin ϕ sin ϑ, y = r cos ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ
x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r sin ϕ
x = r sin ϕ sin ϑ, y = r cos ϕ sin ϑ, z = r sin ϕ
2. (2b.) Absolutní hodnota jakobiánu transformace do sférických souřadnic při použití r,
ϕ a ϑ je:
r2
sin ϑ2
r cos ϑ2
r sin ϑ r2
sin ϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 101 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (4b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu
A
f (x, y, z) dxdydz do sférických
souřadnic, je-li: A = x, y, z : z x2 + y2, x2
+ y2
+ z2
2z
π
4
0
2π
0
2 cos ϑ
0
f (r cos ϕ sin ϑ,r sin ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
2
0
2π
0
2 cos ϑ
0
f (r cos ϕ sin ϑ,r sin ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
2
0
2π
0
2 cos ϑ
0
f (r sin ϕ sin ϑ,r cos ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
0
2π
0
2 cos ϑ
0
f (r sin ϕ sin ϑ,r cos ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2
sin ϑdr dϕ dϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 102 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do sférických souřadnic, je-li
A = {[x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
1, x2 + y2 z2
}. Množina A je zobrazena na
obrázku.
tsf1.u3d
π
4
0
2π
0
1
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
2
0
2π
0
2
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
2
0
π
0
2
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
0
π
0
2
1
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 103 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do sférických souřadnic, je-li
A = {[x, y, z] ∈ R3
: z2
x2
+ y2
, 1 x2
+ y2
+ z2
4, z 0, x 0}. Množina A
je zobrazena na obrázku.
tsf2.u3d
π
4
0
2π
0
2
1
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
− π
4
2π
0
1
1
2
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
0
π
2
− π
2
2
1
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
0
2π
0
2
1
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 104 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (2b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu
A
dxdydz do sférických souřadnic,
je-li:
A = x, y, z : x2
+ y2
+ z2
4, x2
+ y2
+ (z − 2)2
4, x 0 .
Množina A je zobrazena na obrázku na další straně.
π
4
0
π
0
2
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ +
π
2
π
4
π
0
2
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
3
0
π
2
− π
2
2
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ +
π
π
2
π
2
− π
2
1
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
3
0
π
2
− π
2
2
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ +
π
2
π
3
π
2
− π
2
4 cos ϑ
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
3
0
2π
0
cos ϑ
0
r2
dr dϕ dϑ +
π
2
π
3
2π
0
2 cos ϑ
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 105 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
tsf4.u3d
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 106 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Kapitola 3
Souhrnné testy

Test 1

Test 2

Test 3

Test 4
V této kapitole jsou zařazeny čtyři souhrnné testy, které by měly posloužit k procvičení
problematiky dvojných a trojných integrálů. Začínáme otázkami k procvičení dvojných
integrálů, dále následují otázky na rozpoznávání prostorových množin a nakonec jsou
zařazeny testové otázky k trojnému integrálu. Při vyplňování testu platí stejná pravidla jako
v testech zařazených k daným tématům: U otázek, kde lze volit jen jednu odpověď (test
nedovolí zaškrtnout více odpovědí), je správná odpověď bodována počtem bodů uvedených
v závorce u zadání a špatná odpověď je bodována 0 body. U otázek, kde lze volit více
správných odpovědí, je součet bodů správných odpovědí uveden v závorce u zadání a za
každou špatnou odpověď bude odečten jeden bod. Z každého testu lze získat 100 bodů.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 107 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Kromě testových otázek, kdy pouze vybíráme odpověď z předem daných možností,
jsou na konci testů zařazeny i otázky s tvořenými odpověďmi. Jedná se o jednoduché
výpočty integrálů, které lze provést zpaměti nebo velmi jednoduchým rozepsáním. Další
složitější úlohy k procvičení počítání jsou zařazeny v následující kapitole.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 108 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Souhrnný test 1
1. (6b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A
zvýrazněná na obrázku.
y = x2
1
1
x
y
1
0
x2
0
f (x, y) dy dx
x2
0
0
−1
f (x, y) dy dx
1
0
1
0
f (x, y) dy dx
1
0
√
x
0
f (x, y) dy dx
1
0
1
√
y
f (x, y) dx dy
1
0
1
−
√
y
f (x, y) dx dy
1
0
−1
√
y
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
−1
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 109 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte-
grálu:
2
0
√
2x−x2
0
f (x, y) dy dx,
1
0
−
√
1−y2+1
√
1−y2+1
f (x, y) dx dy
1
0
√
1−y2+1
−
√
1−y2−1
f (x, y) dx dy
1
0
√
1−y2+1
−
√
1−y2+1
f (x, y) dx dy
1
0
√
1−y2−1
−
√
1−y2+1
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 110 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (10b.) Transformujte integrál f (x, y) dxdy, kde : x2
+ y2
1, x + y 1 do
polárních souřadnic.
π
2
0
1
1
cos ϕ+sin ϕ
r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ
π
4
0
1
1
cos ϕ+sin ϕ
r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ
π
4
0
1
1
cos ϕ+sin ϕ
r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ
π
2
0
1
1
cos ϕ+sin ϕ
r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 111 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (9b.)
(a) (b)
(c) (d)
Kvadrika s rovnicí
x2
9
+
y2
2
+
z2
4
= 1 je na obrázku
(a) (b) (c) (d)
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 112 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (9b.)
(a) (b)
(c) (d)
Nechť a, b > 0. Kvadrika s rovnicí
x2
a2
+
y2
b2
= 1 je na obrázku
(a) (b) (c) (d)
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 113 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku
test10.u3d
x2
+ y2
− y = 0, x2
+ y2
= z, z = 0,
x2
− y2
= z, x2
+ y2
= z, z = 0,
x2
− y2
= 1, x2
+ y2
= z,z = 0,
x2
+ y2
− y = 0, x2
− y2
= z
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 114 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
7. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku
test7.u3d
M = [x, y, z] ∈ R3
: z
1
2
x2
+
1
2
y2
, x2
+ y2
+ z2
3, x 0, y 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: z x2
+ y2
, x2
+ y2
+ z2
3, x 0, y 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: z
1
2
x2
−
1
2
y2
, x2
+ y2
− z2
3, x 0, y 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: z
1
2
x2
+
1
2
y2
, x2
+ y2
− z2
3, x 0, y 0
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 115 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
8. (10b.) Převeďte trojný integrál
A
f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li:
A = {[x, y] ∈ R2
: x 0, y 0, z 0, y 4 − 2x, z 6 − x2
}
4
0
2x
0
6−x2
0
f (x, y, z) dx dy dz
2
0
4−2x
0
6−x2
0
f (x, y, z) dz dy dx
4
0
2x
0
6−x2
0
f (x, y, z) dz dy dx
2
0
4
0
6−x2
0
f (x, y, z) dz dy dx
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 116 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
9, 0 y, 0 z y . Množina A je zobrazena na
obrázku.
tv1.u3d
2π
0
3
0
y
0
r dz dr dϕ
π
0
3
0
r sin ϕ
0
r dz dr dϕ
π
0
3
0
r cos ϕ
0
r dz dr dϕ
3
0
y
0
π
−π
r dϕ dz dr
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 117 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = {[x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
9, y − 3 z 3 − y, x 0}. Množina A je
zobrazena na obrázku.
tv6.u3d
− π
2
− π
2
3
0
3−y
y−3
r dz dr dϕ
π
0
3
1
3−y
y−3
r2
dz dr dϕ
π
2
− π
2
3
1
3−r sin ϕ
r sin ϕ−3
r dz dr dϕ
π
π
2
9
1
3−r cos ϕ
3−r sin ϕ
r dz dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 118 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
11. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do sférických souřadnic, je-li
A = {[x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
− z 0, x2
+ y2
+ z2
− 2z 0, x2 + y2 z}.
Množina A je zobrazena na obrázku na další straně.
π
4
0
2π
0
2 cos ϑ
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
− π
4
2π
0
1
1
2
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
0
2π
0
2 cos ϑ
cos ϑ
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
0
2π
0
2
1
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 119 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 120 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Souhrnný test 2
1. (6b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A
zvýrazněná na obrázku.
y = x2
1
1
x
y
x2
0
1
0
f (x, y) dy dx
1
0
1
x2
f (x, y) dy dx
1
0
1
0
f (x, y) dy dx
1
0
√
x
0
f (x, y) dy dx
1
0
−
√
y
0
f (x, y) dx dy
1
0
1
√
y
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
−1
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
0
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 121 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2. (6b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A
zvýrazněná na obrázku.
y = x2
y = 1 − x2
1
1
x
y
1√
2
0
1−x2
x2
f (x, y) dy dx
1
0
1−x2
x2
f (x, y) dy dx
1√
2
0
1
0
f (x, y) dy dx
1√
2
0
x2
1−x2
f (x, y) dy dx
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 122 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu f (x, y) dxdy do polárních
souřadnic, je-li
= x, y ∈ R2
: x2
+ y2
y, y x, x 0 .
π
4
π
4
sin ϕ
0
r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ
π
2
π
4
sin ϕ
0
r f (r sin ϕ, cos ϕ) dr dϕ
π
2
π
4
sin ϕ
0
r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ
π
4
π
4
sin ϕ
0
r f (r cos ϕ,r sin ϕ) dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 123 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (9b.)
(a) (b)
(c) (d)
Nechť a, b, c > 0. Kvadrika s rovnicí
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 1 je na obrázku
(a) (b) (c) (d)
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 124 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku
test11.u3d
x2
+ y2
− x = 0, x2
+ y2
+ z2
= 1
x2
− y2
= 1, x2
+ y2
− z2
= 0
x2
+ y2
− x = 0, x2
+ y2
− z2
= 1
x2
− y2
= 1, x2
+ y2
+ z2
= 1
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 125 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku
test3.u3d
M = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
− z2
0, 1 x2
+ y2
+ z2
4, z 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
− z2
1, 1 x2
+ y2
+ z2
4, z 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
− z2
−1, 1 x2
+ y2
+ z2
4, z 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
1, 1 x2
+ y2
+ z2
4, z 0
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 126 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
7. (10b.) Převeďte trojný integrál
A
f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li:
A = {[x, y] ∈ R2
: 0 x 1, 0 y 1, 0 z x2
+ y2
}
1
0
1+x
0
x2+y2
0
f (x, y, z) dz dy dx
1
0
1
0
x2+y2
0
f (x, y, z) dz dy dx
1
0
1
0
x2+y2
0
f (x, y, z) dx dy dz
1
0
1+x
0
x2+y2
0
f (x, y, z) dz dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 127 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
8. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
4, y − 2 z 2 − y . Množina A je zobrazena na
obrázku.
tv3.u3d
π
2
0
2
0
2
−2
r dz dr dϕ
2π
0
4
0
r sin ϕ
r cos ϕ
r dz dr dϕ
2
0
2+r
2−r
2π
0
r dϕ dz dr
2π
0
2
0
2−r sin ϕ
r sin ϕ−2
r dz dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 128 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = [x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
4, −2 z 2, x 0 . Množina A je zobrazena
na obrázku.
tv7.u3d
2π
0
2
0
2
−2
r dz dr dϕ
π
π
2
2
1
2
−2
r dz dr dϕ
π
−π
2
0
r cos ϕ
0
r dz dr dϕ
3π
2
π
2
2
1
2
−2
r dz dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 129 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do sférických souřadnic, je-li
A = {[x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
+ z2
4, y 0, z 0}. Množina A je zobrazena
na obrázku.
tsf3.u3d
π
2
0
π
0
4
1
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
− π
4
2π
0
1
1
2
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
0
π
0
2
1
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
2
0
π
0
2
1
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 130 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
11. (5b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál
4
0
√
x
0
dy dx =
12. (6b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál
2
1
π
2
0
x sin y dy dx =
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 131 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Souhrnný test 3
1. (6b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A
zvýrazněná na obrázku.
y = 1 − x
1
1
x
y
1
0
x
0
f (x, y) dy dx
1
0
1
2
0
f (x, y) dy dx
1
0
1
0
f (x, y) dy dx
1
0
1−x
0
f (x, y) dy dx
1
0
−y
0
f (x, y) dx dy
1
0
1−y
0
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
0
f (x, y) dx dy
1
0
√
y
−1
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 132 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2. (8b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A
zvýrazněná na obrázku.
x2 + y2 = 1
y = x
1
1
x
y
1√
2
0
x
√
1−x2
f (x, y) dy dx
1
0
√
1−x2
x
f (x, y) dy dx
1√
2
0
√
1−x2
x
f (x, y) dy dx
1
0
x
√
1−x2
f (x, y) dy dx
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 133 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte-
grálu:
1
0
e
ey
f (x, y) dy dx.
e
0
ln x
1
f (x, y) dx dy
e
1
ln x
0
f (x, y) dx dy
e
1
− ln x
1
f (x, y) dx dy
e
0
ln x
e
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 134 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (9b.) K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici.
x2
+ y2
+ z2
= 0 z = ± x2 + y2
x2
+ y2
− z2
= 1 x2
+ y2
+ z2
= 1
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 135 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (9b.)
(a) (b)
(c) (d)
Nechť a, b > 0. Kvadrika s rovnicí
x2
a2
−
y2
b2
= 1 je na obrázku
(a) (b) (c) (d)
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 136 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku
x2
+ y2
+ z2
− z = 0, x2
+ y2
+ z2
− 2z = 0, x2
+ y2
− z2
= 0
x2
+ y2
= 0, x2
+ y2
+ z2
= 0, x2
+ y2
− z2
= 0
x2
+ y2
− x = 0, x2
+ y2
− z2
− 2z = 0, x2
+ y2
+ z2
= 1
x2
+ y2
− z2
= 0, x2
+ y2
+ z2
= 1
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 137 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
7. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku
test4.u3d
M = [x, y, z] ∈ R3
: z
1
2
x2
+
1
2
y2
, x2
+ y2
+ z2
3
M = [x, y, z] ∈ R3
: z x2
+ y2
, x2
+ y2
− z2
3
M = [x, y, z] ∈ R3
: z x2
+ y2
, x2
+ y2
− z2
3
M = [x, y, z] ∈ R3
: z x2
− y2
, x2
+ y2
+ z2
3
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 138 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
8. (10b.) Převeďte trojný integrál
A
f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li:
A = {[x, y] ∈ R2
: x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}
1
0
1−x
0
1−x−y
0
f (x, y, z) dx dy dz
1
0
1−x
0
1−x−y
0
f (x, y, z) dz dy dx
1
0
1
0
1
0
f (x, y, z) dz dy dx
1
0
1
0
1−x−y
0
f (x, y, z) dx dy dz
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 139 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
1 dx dy dz do válcových souřadnic,
je-li A = [x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
4, −2 z 2, x 0 . Množina A je zobrazena
na obrázku.
tv2.u3d
π
2
0
2
1
2
−2
r dz dr dϕ
2π
0
4
0
2
−2
r dz dr dϕ
2
0
2
−2
π
0
r dϕ dz dr
π
2
− π
2
2
0
2
−2
r dz dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 140 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
10. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu
A
f (x, y, z) dxdydz do sférických
souřadnic, je-li
A = x, y, z : x2
+ y2
+ z2
R2
, R > 0, x 0, y 0, z 0 .
π
2
0
π
2
0
R
0
f (r cos ϕ sin ϑ,r sin ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
2
0
π
0
R
0
f (r cos ϕ sin ϑ,r sin ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
2
0
π
0
R
0
f (r sin ϕ sin ϑ,r cos ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
4
0
π
0
2 cos ϑ
0
f (r sin ϕ sin ϑ,r cos ϕ sin ϑ,r cos ϑ)r2
sin ϑdr dϕ dϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 141 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
11. (6b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál
2
0
1
0
x2
+ y3
dy dx =
12. (6b.) Vypočtěte trojnásobný integrál
1
−1
0
− 1
2
1
2
0
dz dy dx =
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 142 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Souhrnný test 4
1. (8b.) Převeďte dvojný integrál
A
f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li množina A
zvýrazněná na obrázku.
y = 2x − x2
y = x2
1
1
x
y
1
0
x2
0
f (x, y) dy dx
1
0
2x−x2
0
f (x, y) dy dx
1
0
x2
2x−x2
f (x, y) dy dx
1
0
2x−x2
x2
f (x, y) dy dx
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 143 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
2. (8b.) Vyberte dvojnásobný integrál, který vznikne záměnou pořadí integrace u inte-
grálu:
1
0
x2
x3
f (x, y) dy dx,
1
0
3√
y
√
y
f (x, y) dx dy
1
0
− 3√
y
√
y
f (x, y) dx dy
1
0
3√
y
−
√
y
f (x, y) dx dy
1
0
− 3√
y
−
√
y
f (x, y) dx dy
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 144 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
3. (9b.)
(a) (b)
(c) (d)
Kvadrika s rovnicí z =
x2
2p
−
y2
2q
, kde p, q > 0, je na obrázku
(a) (b)
(c) (d)
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 145 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (9b.) K množině na obrázku přiřaďte odpovídající rovnici. Přitom nechť a, b, c, p, q >
> 0
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 0
z =
x2
2p
+
y2
2q
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= −1
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 146 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
5. (9b.) Rozhodněte, kterými plochami je ohraničeno těleso na obrázku
test1.u3d
x2
+ y2
= 1, z = 1 − x2
− y2
, z = 4
x2
− y2
= 1, z = 1 − x2
− y2
, z = 4
x2
+ y2
= 1, z = x2
− y2
, z = 4
x2
+ y2
= 1, z = x2
+ y2
, z = 4
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 147 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
6. (9b.) Rozhodněte, která z následujících množin je zobrazena na obrázku
test8.u3d
M = [x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
4, 0 z 3, x 0, y 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
− y2
4, 0 z 3, x 0, y 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
+ z2
4, 0 z 3, x 0, y 0
M = [x, y, z] ∈ R3
: 1 x2
+ y2
− z2
4, 0 z 3, x 0, y 0
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 148 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
7. (10b.) Převeďte trojný integrál
A
f (x, y, z) dxdydz na trojnásobný, je-li těleso A
ohraničené plochami: x = 2, y = 0, z = 0, −x + 3y + 3z = 3.
2
−3
1
3 (x+3)
0
1
3 (3+x−3y)
0
f (x, y, z) dz dy dx
2
0
1
0
1
3 (3+x−3y)
0
f (x, y, z) dz dy dx
2
−2
1
0
1
3 (3+x−3y)
0
f (x, y, z) dz dy dx
2
0
x+1
0
1
3 (3+x−3y)
0
f (x, y, z) dz dy dx
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 149 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
8. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací
A
dxdydz do válcových souřadnic, je-li
A = {[x, y, z] ∈ R3
: x2
+y2
9, y−3 z 3−y, x 0}. Množina A je zobrazena
na obrázku.
tv4.u3d
− π
2
− π
2
3
0
3−y
y−3
r dz dr dϕ
2
1
2π
0
3−y
y−3
r2
dz dr dϕ
π
2
− π
2
3
0
3−r sin ϕ
r sin ϕ−3
r dz dr dϕ
2π
0
3
0
3−r cos ϕ
3−r sin ϕ
r dz dr dϕ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 150 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
9. (10b.) Jaký integrál vznikne transformací integrálu
A
dxdydz do sférických souřadnic,
je-li
A = x, y, z : x2
+ y2
+ z2
R2
, x2
+ y2
+ (z − R)2
R2
, R > 0 .
π
4
0
2π
0
R
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ +
π
2
π
4
2π
0
R
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
2
0
2π
0
R
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ +
π
π
2
2π
0
R
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
3
0
2π
0
R
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ +
π
2
π
3
2π
0
2R cos ϑ
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
π
3
0
2π
0
R cos ϑ
0
r2
dr dϕ dϑ +
π
2
π
3
2π
0
2R cos ϑ
0
r2
sin ϑdr dϕ dϑ
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 151 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
10. (9b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál
π
0
π
2
− π
2
sin x cos y dy dx =
11. (9b.) Vypočtěte dvojnásobný integrál
4
1
3
−2
x2
y dy dx =
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 152 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Kapitola 4
Úlohy na procvičení
Úlohy k procvičení výpočtů
1. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: x + y = 1, x + y = 2, y =
1
2
x, y = 2x.
Pak
dxdy=
2. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = x2
, y = 4 − x2
. Pak
dxdy =
3. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = x2
, y2
= x. Pak
(x2
+ y)dxdy =
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 153 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
4. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: y = 0, y = x, x + y = 2. Pak
(x − y)dxdy =
5. (3b.) Nechť je množina určena křivkami: x = 2, x = 4, y = x, y = 2x. Pak
y
x
dxdy =
6. (3b.) Nechť = {[x, y] : 0 x 4, 0 y
√
x}. Pak
dxdy =
7. (3b.) Nechť = [x, y] : 1 x 4,
1
x
y
√
x . Pak
xy dxdy =
8. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom : x2
+
+ y2
4, y
x
√
3
, x 0.
15x2
y dxdy =
9. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom : 0
y x, x2
+ y2
3, x2
+ y2
5.
(x2
− y2
)dxdy =
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 154 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
10. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic: Přitom : x2
+
+ y2
4, x2
+ y2
16, x 0, y 0.
xy dxdy =
11. (4b.) Vypočítejte integrál pomocí transformace do polárních souřadnic. Přitom : x2
+
+ y2
ax, y 0, a > 0
y dxdy =
12. (2b.)
0
−1
−x
− 1
4
x2
−1
dz dy dx =
13. (2b.)
1
0
1−x2
0
2−x−y
0
dz dy dx =
14. (2b.)
2
0
x+1
x
xy
0
dz dy dx =
15. (2b.)
1
0
√
y
−
√
y
4−x−y
0
dz dy dx =
16. (3b.) Nechť : y2
x 2 − y, 0 y 1, 0 z 2 − x − y.
dxdydz =
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 155 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
17. (3b.) Nechť : 0 x 1, x2
y 1, 0 z x2
+ y2
.
dxdydz =
18. (3b.) Nechť : x 0, y 0, z 0, z 1 − x − 2y.
dxdydz =
19. (2b.)
1
0
x
0
xy
0
x3
y2
zdz dy dx =
20. (2b.)
1
0
1
0
x2+y2
0
x2
ydz dy dx =
21. (2b.)
1
0
2
1
2
0
(3x2
y+z)dz dy dx =
22. (3b.) Nechť : 0 x 2, 1 y 3, 1 z 2.
xy2
z dxdydz =
23. (3b.) Nechť : 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4.
x2
+ y2
dxdydz =
24. (4b.) Nechť : x2
+ y2
z 2 − (x2
+ y2
). Vypočtěte integrál pomocí transformace
do válcových souřadnic.
3z2
dxdydz =
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 156 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
25. (4b.) Nechť : x2
+y2
9, y 0, 0 z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace
do válcových souřadnic.
z x2 + y2 dxdydz =
26. (4b.) Nechť : 0 x 1, 0 y 1 − x2, 0 z 1 − x2 − y2. Vypočtěte
integrál pomocí transformace do válcových souřadnic.
z(x2
+ y2
) dxdydz =
27. (4b.) Nechť : x2
+ y2
4z 16. Vypočtěte integrál pomocí transformace do
válcových souřadnic.
xy
(4 + z)2
dxdydz =
28. (4b.) Nechť : x2
+ y2
+ z2
1, x 0, y 0, z 0. Vypočtěte integrál pomocí
transformace do válcových souřadnic.
xyz dxdydz =
29. (4b.) Nechť :
x2 + y2
2
z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do válcových
souřadnic.
(1 − 2x − y) dxdydz =
30. (4b.) Nechť : x2
+ y2
2z, z 2. Vypočtěte integrál pomocí transformace do
válcových souřadnic.
(x2
+ y2
) dxdydz =
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 157 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
31. (4b.) Nechť : x2
+y2
+z2
4, y 0, z 0. Vypočtěte integrál pomocí transformace
do sférických souřadnic.
(x + y + z) dxdydz =
32. (4b.) Nechť : x2
+ y2
+z2
a2
v prvním oktantu, a > 0. Vypočtěte integrál pomocí
transformace do sférických souřadnic.
z dxdydz =
33. (4b.) Nechť : x2
+ y2
+ z2
a2
, a > 0, z − x2 + y2. Vypočtěte integrál pomocí
transformace do sférických souřadnic.
15
√
2yz dxdydz =
34. (4b.) Nechť : x2
+y2
+z2
z. Vypočtěte integrál pomocí transformace do sférických
souřadnic.
x2 + y2 + z2 dxdydz =
35. (4b.) Nechť : x2
+y2
+z2
2z, z2
x2
+y2
. Vypočtěte integrál pomocí transformace
do sférických souřadnic.
dxdydz =
36. (4b.) Nechť : x2
+ y2
+ (z − 2)2
4, z x2 + y2. Vypočtěte integrál pomocí
transformace do sférických souřadnic.
xy dxdydz =
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 158 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
37. (4b.) Nechť : z2
x2
+ y2
, 1 x2
+ y2
+ z2
4, z 0. Vypočtěte integrál pomocí
transformace do sférických souřadnic.
x2 + y2 + z2 dxdydz =
Správně zodpovězené otázky:
Získané body:
Procento úspěšnosti:
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 159 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Odkazy
[1] Grahn A.: The movie15 package, 2008. Dostupné online na:
http://ftp.cstug.cz/pub/tex/CTAN/macros/latex/contrib/
movie15/doc/movie15.pdf.
[2] Hošková Š., Kuben J., Račková P.: Integrální počet funkcí více proměnných,
skriptum Univerzita obrany, Brno, 2005.
[3] Jalová N.: Testy z Integrálního počtu funkcí více proměnných, bakalářská práce,
MU Brno, 2008. Dostupná online na:
http://www.math.muni.cz/~plch/diplomky/jalova.pdf.
[4] Mařík R., Tihlaříková M.: Pojďte pane, budeme si hrát (. . . s PDF), In Proceedings
of 7th International Conference APLIMAT 2008, Bratislava: Department of
Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology,
2008, s. 63–73.
[5] Mařík R.: Dvojný integrál, duben 2009. Dostupné online na:
http://user.mendelu.cz/~marik/kvizy/dvojint-CZ.pdf.
[6] Musil V.: Prezentace matematické grafiky (Integrální počet funkcí více proměnných)
na webu s programem JavaView, diplomová práce MU Brno, 2007.
Integrální počet
funkcí více proměnných
R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
Úvod
Dvojný integrál
Trojný integrál
Souhrnné testy
Úlohy na procvičení
Odkazy
Titulní strana
Strana 160 z 160
Zpět Vpřed
Přepnout režim obrazovky
Konec
c 2009 R. Plch, P. Šarmanová, P. Sojka
[7] Plch R., Šarmanová P.: Interaktivní prezentace matematické grafiky na webu
a v PDF dokumentech. Sborník semináře Technologie pro e-vzdělávání, Praha,
2007, s. 31–38.
[8] Plch R., Šarmanová P.: Galerie interaktivní grafiky pro podporu výuky matematické
analýzy. Sborník příspěvků 3. konference Využití počítačů ve výuce matematiky.
1. vydání. České Budějovice, 2007, s. 193–198.
[9] Plch R., Šarmanová P.: Interaktivní 3D grafika v HTML a PDF dokumentech,
Zpravodaj CSTUG, CSTUG, 18, č. 1–2, 2008, s. 76–92.
[10] Plch R., Šarmanová P.: An Interactive Presentation of Maple 3D Graphics in PDF
Documents, Electronic Journal of Mathematics and Technology, Mathematics and
Technology, LLC, Blacksburg, Volume 2, Number 3, 2008, s. 281–290.
[11] Plch R., Šarmanová P.: Multimediální sbírka příkladů z Integrálního počtu funkcí
více proměnných, Sborník konference Setkání učitelů matematiky Srní 2008, Plzeň,
2008, s. 243–246.
[12] Stewart J.: Calculus, fifth edition, Thomson Learning, Brooks/Cole, 2003.
[13] Story D.: AcroTEX, http://www.acrotex.net/, 2008.
[14] Deep Exploration,
http://www.righthemisphere.com/products/dexp/de_std.html,
2008.