Obsah Seznam obrázku Seznam animací Předmluva 1 Nekonečné číselné řady - základní pojmy 1.1 Součet řady............... 1.2 Operace s číselnými řadami....... 2 Číselné řady s nezápornými členy 2.1 Kriteria konvergence.......... 3 Rady absolutně a neabsolutně konvergentní 3.1 Alternující řady............. 3.2 Absolutní konvergence číselných řad................ 70 3.3 Přerovnávání řad.......................... 77 Součin řad a numerická sumace řad 88 4.1 Součin řad.............................. 88 4.2 Numerická sumace......................... 95 Posloupnosti a řady funkcí 101 5.1 Pojmy posloupnost a řada funkcí.................. 102 5.2 Stejnoměrná konvergence...................... 106 5.3 Kritéria stejnoměrné konvergence ................. 109 5.4 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad funkcí . 116 Mocninné řady 127 6.1 Obor konvergence.......................... 128 6.2 Vlastnosti a součet mocninné řady................. 140 6.3 Taylorova a Maclaurinova řada................... 147 Užití mocninných řad 170 7.1 Přibližný výpočet funkčních hodnot................ 170 7.2 Určování funkčních hodnot logaritmů............... 176 7.3 Výpočet limit............................ 178 7.4 Přibližný výpočet integrálů..................... 181 7.5 Řešení diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad ...... 185 Obsah « 1 | ► _Zpět_| Videa Dif. počet] Zavřít Konec Strana z 8 Fourierovy řady 8.1 Fourierovy řady vzhledem k systému {(pn(x)} . . . . 8.2 Fourierovy řady vzhledem k systému {cosnx, únnx] 8.3 Konvergence Fourierovy řady ............ 9 Videoukázky 9.1 Klipl: přednáška - nekonečné číselné řady...... 9.2 Klip2: cvičení - řešené příklady na konvergenci řad 9.3 Klip3: přednáška - nekonečné řady funkcí...... Výsledky cvičení Použitá literatura Rejstřík Verze k tisku « < 1 ► 1 _Zpět Videa Dif. počet Zavřít Konec | Strana 4 z 261 Seznam obrázků 1.1 Posloupnost částečných součtů řady (3n_-,])0ll+l)......... 22 1.2 Sierpiňského koberec pro « = 2 a « = 3............... 35 2.1 Dolní odhad integrálu /2°° dx pomocí součtu řady ...... 59 2.2 Horní odhad integrálu /2°° áx pomocí součtu řady ...... 59 3.1 Monotonie posloupnosti {}.................. 69 3.2 Přerovnaná Leibnizova řada se součtem 1,8............ 84 3.3 Částečné součty přerovnané Leibnizovy řady ........... 84 3.4 Přerovnaná Leibnizova řada se součtem 0,7............ 85 3.5 Částečné součty přerovnané Leibnizovy řady ........... 85 3.6 Přerovnaná Leibnizova řada se součtem —0,6........... 86 3.7 Částečné součty přerovnané Leibnizovy řady ........... 86 5.1 Posloupnosti funkcí {xn} a {arctg«x} ............... 104 5.2 Částečné součty řady ^ pro x e [0, 2jt].......... 114 Seznam obrázků Rejstřík Obsah Verze k tisku J 5.3 Částečný součet řady ^ pro n = 45 ............ 115 6.1 Funkce ln(l + x) a její Maclaurinovy polynomy.......... 151 6.2 Funkce (1 + x)3 a její Maclaurinovy polynomy .......... 157 6.3 Funkce e-*2 a její Maclaurinovy polynomy ............ 160 8.1 Funkce x2, x e (—tt, tt) a její Fourierův polynom pro n = 3 . . . . 216 8.2 Periodické rozšíření funkce x2, x € (—tt, tt)............ 222 8.3 Periodické rozšíření funkce x2 a jeho Fourierův polynom pro n - 0 222 8.4 Periodické rozšíření funkce x2 a jeho Fourierův polynom pro « = 2 223 8.5 Periodické rozšíření funkce x2 a jeho Fourierovy polynomy .... 223 8.6 Periodické rozšíření funkce e*, x e (0, 2jt) ............ 225 8.7 Sudé periodické rozšíření funkce x, x e (0, tt)........... 226 8.8 Periodické rozšíření funkce x, x e(—1,1)............. 227 8.9 Funkce sgn(x), x € (—tt, tt) a její Fourierův polynom pro n - 3 . 231 8.10 Periodické rozšíření funkce sgn(x) a jeho Four. polynom pro n - 1 232 8.11 Periodické rozšíření funkce sgn(x) a jeho Four. polynom pro n - 5 232 8.12 Periodické rozšíření funkce sgn(x) a jeho Fourierovy polynomy . 234 Seznam obrázků Verze k tisku Zpět Videa Dif. počet Zavřít Konec Seznam animací Taylorovy rozvoje Funkce ex v bodě x0 = — 2 2 Funkce e~x v bodě x0 - 0 Funkce ln(l + x) v bodě xQ - 0 Funkce sin x v bodě xQ - 0 Funkce ^/x v bodě x0 = 1 Funkce | v bodě xQ - 3 Fourierovy rozvoje Funkce x2 na intervalu (—tt, tt) Funkce x2 na intervalu (0, 2jt) Funkce sgnx na intervalu (—Tt, Tt) Funkce ex na intervalu (0, 2tt) Funkce ex na intervalu (—1, 1) Funkce |x| na intervalu (—1, 1) Funkce x na intervalu (—1, 1) |(jt — x) pro x e [0, tt] ^(tt + x) pro x e [—tt, 0] na intervalu (0, tt) pro x e [0, tt] pro x e [—tt, 0] na intervalu (—tt, tt) cosx pro x e [0, |] cosx pro x e [y, tt] na intervalu (0, tt) Seznam animací « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 8 z 21 Předmluva Když jsme v roce 1999 vydávali první CD-ROM Matematická analýza s programem Maple, uvedli jsme, že v příštích letech plánujeme pokračovat v edici dalšími partiemi matematické analýzy Jsme rádi, že díky finanční podpoře FRVS můžeme tento záměr realizovat a studentům nabídnout další díl, tentokrát věnovaný tématu Nekonečné řady. Tento CD-ROM je učebním textem nového typu využívající možností současné výpočetní techniky. Ukazuje moderní způsob výuky matematické analýzy, kdy prostřednictvím počítačových technologií se student učí matematickou analýzu a naopak. Používaná symbolika je shodná se symbolikou užívanou v [13, 14]; zejména symbol N označuje množinu všech přirozených čísel, symbol Z označuje množinu všech celých čísel, symbol M množinu všech reálných čísel a M* značí rozšířenou množinu reálných čísel, tj. M* = M U { -oo,oo}. Stejně jako Diferenciální počet funkcí více proměnných jsou i Nekonečné řady tématem vhodným pro počítačově podporovanou výuku. Zejména rozvoje funkcí do mocninných a Fourierových řad se programem Maple velmi pěkně graficky ilustrují. Při výkladu probírané problematiky pomocí Maplu jsme se snažili o dodržování následujícího postupu: Nejdříve je problém řešen „krok za krokem" tak, jak bychom postupovali při řešení pomocí „tužky a papíru", Maple je používán pouze k dílčím výpočtům. Pokud je to dále možné, následuje zobecnění a automatizace řešení problému pomocí Mapleovského programovacího jazyka. Tyto části jsou v textu označeny pomocí y, další příklady je pak možno nalézt v odpovídajících zápisnících v adresáři Maple. Při tvorbě nových procedur byl důraz kladen především na jejich jednoduchost-tak, aby je byli studenti schopni psát v rámci cvičení z Maplu. Často je tedy potlačováno testování koreknosti zadávání vstupních parametrů, důraz je především kladen na vlastní algoritmus výpočtu. Komentáre v zápisnících jsou psány bez diakritiky, protože Maple zatím není lokalizován v českém jazyce. Mapleovské zápisníky jsou určeny pro verzi Maple 7, většinou jsou však použitelné i ve verzi Maple V 5.1. Ve srovnání s prvním CD-ROMem přinášíme dvě novinky v počítačovém zpracování. První novinkou jsou animace, pomocí nichž lze pohyblivě znázorňovat rozvoje funkcí do nekonečných řad. Věříme, že tyto animace pomohou studentům pochopit význam mocninných a Fourierových řad a rozdíl mezi nimi. Druhou novinkou je videozáznam přednášky, sloužící k repetitoriu daného tématu. Obsahuje tři sekvence, přehled základní teorie o nekonečných číselných řadách, ukázku řešení několika typických příkladů a přehled základní teorie o řadách funkcí. Základem pro vznik CD-ROMu se stal učební text Došlá Z., Novák V: Nekonečné řady, MU 1999 a 2002 a Mapleovské zápisníky s ukázkami řešení příkladů a novými procedurami. Pro čtenáře, kteří licenci Maplu nevlastní přinášíme i roz- šířené HTML verze některých zápisníků, které je možno číst libovolným z webových prohlížečů. Pomocí těchto prohlížečů je možno přehrávat i všechny uvedené animace. Vlastní text je opět uložen ve formátu PDF (Portable Document Formát), který je standardem pro elektronickou publikační činnost a je nezávislý na platformě. Kromě jiného umožňuje prostřednictvím křížových odkazů rychle vyhledávat souvislosti napříč celým textem. Text se nachází na CD ve dvou variantách; design první (kterou čtete) je optimalizován pro čtení na obrazovce obvyklého barevného monitoru, design druhé verze je vhodný pro tisk na formát A4. Nově přidáváme odkazy na videosekvence (jsou na CD-ROM v adresáři video) a na PDF soubory s animacemi (vyžadují však Acrobat Reader verze alespoň 5). Videonahrávka byla pořízena s pomocí laboratoře LEMMA Fakulty informatiky MU v Brně. I když jde o simulovanou přednášku, byla natáčena naostro bez opakování záběrů. Nese proto prvky autentičnosti, včetně několika nepřesností odborných a jazykových. Uvádíme toto video s přesvědčením, že učební text oživí a posune vývoj podobných učebních textů opět o krůček dopředu. Pro lepší čitelnost textu napsaného během přednášky na tabuli jsou tyto texty uvedeny v kapitole na straně 239. CD-ROM je určen pro posluchače bakalářského studia matematiky, fyziky, informatiky, a dále všem zájemcům o výuku matematické analýzy s využitím počítače a uživatelům CAS systému Maple. Spojení textu, grafiky, počítačových vstupů, výstupů, animací a videonahrávky se shrnutím základních pojmů probíraného tématu by mělo vytvořit prostředí sloužící k maximálně efektivnímu zvládnutí probírané problematiky. CD-ROM dále obsahuje inovovanou verzi textu Diferenciální počet více proměnných, a to zase ve dvou verzích: verzi optimalizovanou pro čtení na obrazovce a verzi optimalizovanou pro tisk Některé materiály z CD-ROMu jsou uloženy také na webové stránce projektu http ://w w w. math. muni .czrplch/nkpm/. Závěrem bychom rádi poděkovali studentům Přírodovědecké fakulty P. Křížovi a K. Srotovi za Mapleovské zápisníky k mocninným a Fourierovým řadám, studentům Fakulty informatiky P. Kynčlové za animace k části Diferenciální počet funkcí více proměnných, M. Liškovi, V. Holerovi, P. Hromkovi a kolegovi R. Haklovi za pomoc při natáčení a M. Rollerovi a T. Závodnému za pomoc při střihu a zpracování videa. Dále děkujeme kolegyni L. Langerové za účinkování při natáčení přednášky a panu A. Kalinovi za vytvoření instalačního programu a grafickou úpravu instalační brožurky CD-ROMu. Tento CD-ROM vznikl za podpory Fondu rozvoje VŠ v rámci řešení projektu č. 801/2002. Brno, prosinec 2002 Autoři Kapitola 1 Nekonečné číselné řady - základní pojmy základní pojmy Teorie nekonečných číselných řad vznikla ve druhé polovině 17. století spolu s utvářením infinitezimálního počtu. Mnohé myšlenky zrály řadu století, než se přiblížily dnešní podobě. V průběhu vývoje se někteří matematikové dopustili při počítání s řadami omylů, zejména v době, kdy nebyl pojem konvergence řady konstituován, a také v době, kdy panovala jakási hrůza z nekonečna. Tímto problémem se od počátku zabývali nejenom matematikové, ale i filozofové. Například Zenon z Eleje (490-430 př.n.l.) považoval za nemožné, že by nekonečný součet kladných čísel mohl být konečné číslo; připomeňme jeho aporii1 Achilles a želva: „Rýchlonohý Achilles nikdy nedožene želvu, jestliže se želva nachází v nějaké vzdálenosti před ním." Se součty nekonečných geometrických řad již pracoval (aniž používal dnešní symboliku) Archimedes (287-212 př. n. 1.), aporie - slepá ulička rozumu Zpět /idea lavřít Dif. počet | Konec Strana 13 z 2( když určoval kvadraturu paraboly; první nekonečnou řadu, která nebyla geometrická, sečetl na základě fyzikálních úvah až ve středověku (kolem roku 1350) R. Swineshead. V celé historii matematiky byla snaha zodpovědět dvě základní otázky pro počítání s nekonečnými číselnými řadami: Jak sečíst nekonečnou (přesněji spočetnou) množinu čísel? Platí pro nekonečné součty podobné zákony jako pro konečné součty, zejména zákon distributivní, asociativní a komutativní? Odpověď na obě otázky ukážeme v průběhu prvních čtyř kapitol, které jsou věnovány nekonečným číselným řadám. Cílem první kapitoly je zavést pojem součet řady a ukázat některé základní operace s číselnými řadami. 1.1. Součet řady Ze střední školy je dobře známa nekonečná geometrická řada. Postup použitý při určení jejího součtu, tj. utvoření tzv. částečných součtů a provedení limitního přechodu, je návodem pro obecnou definici. Nekonečné číselné řady základní pojmy Zpět /idea lavřít Dif. počet | Konec Strana 14z2( Definice 1.1. Nechť {fln}^i je posloupnost reálných čísel. Symbol oo an nebo a\ + a2 + 03 + • • • + an + • • • (1-1) nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {in}^j, kde S\ — Cl\, S2 — a\ + a2, . . . , Sn — Cl\ + a2 + • • • + an, ■ ■ ■ , nazýváme posloupnost částečných součtů této řady. Existuje-li vlastní limita lim sn - s, řekneme, že řada YľŽĹi an konverguje a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita limsn, řekneme, že řada YľžĹi fl« diverguje. Nekonečná řada je tedy symbol YľžĹi fl« nebo ax + a2 + ■ ■ ■ + an + ■ ■ ■ , kde {an} je daná posloupnost. K tomuto symbolu je přiřazena posloupnost částečných součtů {sn}. Prvky posloupnosti {an} nazýváme členy řady YľžĹi fl«' kde an je n-tý člen. Číslo sn nazýváme «-tým částečným součtem této řady. V případě, kdy řada diverguje, rozlišujeme tři případy: > Je-li limi„ = 00, říkáme, že řada určitě diverguje k +00; > Je-li limi„ = — 00, říkáme, že řada určitě diverguje k —00; > Jestliže limi„ neexistuje, říkáme, že řada osciluje. Má-li konvergentní řada an součet s, píšeme YľžĹi an - s. Je-li řada divergentní k ±00, píšeme YľžĹi fl« = 00> případně YľžĹi an = —oc. Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 15 z 2( Příklad 1.1. Vyšetřete, kdy konverguje nekonečná geometrická řada oo a + aq + ■■■+ aq"~l + ■■■ - ^ aq"~l, kde a / 0, q 4 0, n=l a určete její součet. Řešení. Postupujeme podle Definice 1.1: určíme sn a provedeme limitní přechod. a) Nechť q - 1. Pak s„ = «a a platí lim,sn = limna - ±oo, tj. řada fl Je divergentní. b) Nechť q - — 1. Řada má tvar a + (—a) + • • • + (—l)n_1a + • • •, takže částečný součet je 0 pro sudé n, s — " [a pro liché n. Posloupnost {0, a, 0, a, ...} nemá limitu, proto je tato řada oscilující. c) Nechť \q\ ^1. Platí sn - a + aq + ■ ■ ■ + aqn~l. Užitím vztahu (1 - q)(l +q+q2 + ---+ qn~l) = 1 - qn dostaneme i — q" sn - fl(l + q + q2 + ■ ■ ■ + qn~l) - a-. 1 - q Uvažujme následující případy: pro \q\ < 1 je limg" = 0, proto limsn - -r£-; 1 q pro q > 1 je limg" = oo, proto limsn - ±oo; pro q < — 1 limita lim qn neexistuje. Proto je geometrická řada pro \q\ > 1 divergentní a pro \q\ < 1 konvergentní. V tomto případě je její součet Příklad 1.2. Určete součet řady: a) F — n(n + n(n + 1) n=l v ' lil b) -+-+-+ • • • = > 1.4 4.7 7 . 10 00 7 ,Z_^ on 1-4 4-7 7-10 ^ (3n - 2)(3n + 1) n-l n=l 00 d) y^(V»+2 - 2V» +1+y») n=l 1 1 1 e) arcte - + arcte - + •••+ arcte —- + • • • Řešení. Ve všech případech postupujeme podle Definice 1.1: určíme n-tý částečný součet sn dané řady a provedením limitního přechodu určíme její součet. a) Výraz pro člen an rozložíme v součet parciálních zlomků n(n'+1) = ^ — ^ - Pak 111 1111 1 s„ = 1--+---+ ••• +---+---= 1 22 3 n — 1 «« « + 1 « + 1 a proto s = lim^n = limí 1 n + 1 b) Postupujeme obdobně: provedeme rozklad členu an v součet parciálních zlomků, tj. 1 A B (3«-2)(3« + l) 3«-2 3« + l Z rovnice 1 = (3n - 2)B + (3n + 1)A plyne B = -|, A = |, tj. 1 1 / 1 (3«-2)(3« + l) 3\3«-2 3« + l 1 Pak 1 / 111 s„ - -1--+--- 3V 4 4 7 3« - 5 3« - 2 3« - 2 3« + 1 3 V 3n + 1 a proto 1 i = lim sn - lim -1 1 1 \ 1 3 V 3n + 1 / 3 Nekonečné číselné řady základní pojmy Ukážeme si nyní řešení s využitím programu Maple. > rada:=Sum(l/((3*n-2)*(3*n+l)), n=l..infinity); rada := (3 n - 2) (3 n + 1) Rozklad členu an v součet parciálních zlomků provedeme pomocí příkazu convert: > convert(op(1,rada),'parfrac',n); 11 11 3 3n- 2 3 3« + 1 Pro zjednodušení určování «-tého částečného součtu zadané řady vytvoříme proceduru poslcass (expr, down, k) ,kde expr je výraz odpovídající an, down je dolní mez řady a k je přirozené číslo, udávající kolik členů posloupnosti částečných součtů si přejeme vypsat. Procedura vypíše prvních k členů posloupnosti částečných součtů, její «-tý člen a pokud je to možné vrátí součet zadané řady. > poslcass := proč (a, b, d) local i, j, s, e; > s := 0; j := 0; > for i from b to d+b-1 do > j := j + 1; s := s + eval(subs (n = i,a)); > lprint(evaln(s [ j] ) = s) > od; > e := sum(a,n = b .. n); > lprint(evaln ( s [n] ) = e); > Sum(a,n = b .. infinity) = > limit(e,n = infinity) > end: Nekonečné číselné řady základní pojmy Použití této procedury při řešení uvedeného příkladu dává tento výstup: > poslcass(op(1,rada) , 1, 5 ) ; 1/4 s[l] = s[2] = s[3] = s[4] = s[5] = s[n] = 2/7 3/10 4/13 5/16 1/3-1/3/(3*n+l) oo E 1 1 (3 n - 2) (3 n + 1) 3 it=i Pro kontrolu výpočtu můžeme použít i příkaz sum. > Sum(l/((3*n-2)*(3*n+l)), n=l..infinity)= > sum(l/((3*n-2)*(3*n+l)), n=l..infinity); E n=l 1 1 (3 n - 2) (3 n + 1) 3 Pro vykreslení grafu posloupnosti částečných součtů můžeme použít proceduru sumplots (Sum (rada, n=a . . b) ), viz Obr. 1.1. Nekonečné číselné řady základní pojmy sumplots := proc (rada) local term, n, a, b, psum, m, points, i, c, sn, pi, p2; if nargs = 2 then c := args[2] else c := 0 fi; if typematch(rada,('Sum')(term::algebraic, n::name = a::integer .. b::integer)) then psum :='@' (evalf, unapply(Sum(term,n = a .. a+m-1),m)); points := [seq([[i, psum(i)+c], [i+1, psum(i)+c]], i = 1 .. b-a+1)]; points := map(op,points); pi := PLOT(CURVES(points),AXESLABELS(n, "s[n]")) ; sn := evalf(c+sum(term,n = a .. infinity)) else ERROR("expecting a Sum structure as input") fi; if sn < infinity then p2 := plot(sn,n = a .. b,linestyle = 4); display({p2, pi}) else pi fi end: sumplots(Sum(op(1,rada) , n=l. .20)) ; Nekonečné číselné řady základní pojmy 0.3- s[n] 0.28 0.26- 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Obr. 1.1: Posloupnost částečných součtů řady j^z i ■2)(3n+l) Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 22 z 2( odkud po vydělení dvěma plyne £» - 1 — -2 " 22 + 23 + 24 + ' Odečtením druhé rovnice od první dostaneme *„ 1 1 1 2 2 22 23 n 2«+i .Sn — 2 1 1 1 2 + 7? + 2? 7« on+l Jelikož lim je součet řady 1 1 1 2 + 7? + 2? 1 \ v-^ 1 « -)=> — = 1, lim—-=0, ' 7 n=\ En — = lim s„ - 2. in " Jiný způsob určení součtu této řady ukážeme v Příkladu 6.3 pomocí součtu mocninné řady. Z historického hlediska je tato řada první negeometrickou řadou, u které byl určen její součet. Určil ho středověký matematik Richard Swineshead v knize Liber calculationum napsané kolem roku 1350, když řešil tuto fyzikální úlohu: Jaká je průměrná rychlost v hmotného bodu s počáteční rychlostí vQ v časovém intervalu t e [0,1], který se pohybuje takto: během první poloviny časového Nekonečné číselné řady základní pojmy intervalu konstantní rychlostí, během další čtvrtiny intervalu rychlostí, která je dvojnásobkem počáteční rychlosti, během následující osminy intervalu se pohybuje rychlostí, která je trojnásobkem počáteční rychlosti atd. az do nekonečna. Využijeme-li výše odvozený součet řady, dostaneme Sl + s2 + ■ 1 1 v0.-+2v0.- 1 2 2 + 22 n 2" 2v0 tj. průměrná rychlost během celého časového intervalu se bude rovnat dvojnásobku počáteční rychlosti. d) Platí ax = y/3 - 2V2+ 1 a2 = V5 - 2 y/3 + V2 Vš - 2V4 +Vš a„_2 = \fň — 2\Jn — 1 + V« — 2 a„_i = V« + 1 — 2y/ň + V« — 1 an - \Jn + 2 — 2V« + 1 + Vň Z uvedeného schématu je zřejmé, ze sn- l — \[2 — V« + 1 + V« + 2, a proto 5 = lim s„ = 1 — V2 + lim (V« + 2 — V« + 1) = 1 - V2 + lim 1 V« + 2 + V« +1 1 - V2. Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 24 z 2( e) Pro \x\ < 1, \y \ < 1 platí vztah arctg x + arctg y - arctg Užitím tohoto vztahu postupně dostáváme x + y 1 — xy 1 1 s2 — ci\ + a2 - arctg - + arctg - = arctg 2 8 s, = si + — arctg - + arctg — 6 3 18 2 8 2 , 1 arctg t 1 io 3 arctg--1- = arctg - 1--— 4 3.18 Nekonečné číselné řady základní pojmy s„ = sn-i +an= arctg ■ n - 1 n-l _J_ n 2n2 ■ arctg —- = arctg 2n2 6 i _ «=I Z" 1 2n3 = arctg ■ Součet řady je n(2n2 - 2n + 1) 2«3 - n + 1 = arctg n(2n2 - 2n + 1) (2«2 - 2« + 1)(« + 1) ~"°n + l = arctg i = lim sn - lim arctg n 7t n + 1 4 Příklad 1.3. Vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru číslo 0,215. Řešení. Platí _ 2 / 15 15 0,215 = — + (— + — 10 V 103 105 2 15 / 1 — + — 1 + — 10 103 V 102 15 1 15 1 71 66 ~ 330' 10 103 1 - 5 10 • 99 Následující věta udává nutnou podmínku konvergence řady. Věta 1.1. Jestliže řada YľŽĹi an konverguje, pak platí lim an - 0. Důkaz. Nechť fl« konverguje a an - s. Tedy \vcasn = se an — sn — s„-i, plyne odtud lima„ = lim(i„ — s„_i) — s — s — 0. a protože □ Je třeba si uvědomit, že opak této věty neplatí. Je-li totiž pro řadu splněna podmínka lima„ = 0, pak z ní konvergence řady ještě neplyne. Tuto skutečnost ilustruje následující příklad. Příklad 1.4. Řada ~ se nazývá harmonická. V této řadě je každý člen harmonickým průměrem dvou sousedních členů, tj. platí 1 ^ + ^ -1 an-\ an+\ Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 26 z 2( Řada splňuje nutnou podmínku konvergence, neboť lim - = 0. Ukažme, že je tato řada divergentní. K tomuto účelu provedeme následující odhady: Sl S16 1 1 1 + - 2 11 11 1 - + - >s2 + - + - = l+ 2.-3 4 4 4 2 1111 2 1111 - + - + - + - > 1 + - + - + - + - + - 5678 28888 11111111 ^2 S4 3 1 + - 2 3 ^8 - + - + - + - + - + - + - + - > 1 + - + - 9 10 11 12 13 14 15 16 2 16 S 2" > 1 +- 16 n 1 + - 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 4 — = 1 + -16 2 Posloupnost {sn} je rostoucí, proto má buď vlastní limitu nebo nevlastní limitu oo. Tutéž limitu má i vybraná posloupnost {i2«}; avšak z nalezeného odhadu plyne s2n -» oo, a proto také limsn - oo. Proto harmonická řada " určitě diverguje. Jak ukážeme později, divergenci této řady lze dokázat velmi jednoduše pomocí integrálního kritéria. Harmonická řada byla první řadou, u níž byla poprvé ukázána divergence řady. Učinil to právě uvedeným způsobem francouzský matematik Nicole Oresme (1323-1382). Bezprostředně z Definice 1.1 plyne tato věta: Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 27 z 2( Veta 1.2. Nechť p e N. Rady fl«> X^^+i fl« současně buď konvergují nebo divergují. Jestliže konvergují, pak platí n=l ■ E a"- n=p+l Poznámka 1.1. Z předcházející věty plyne, že na konvergenci, resp. divergenci řady nemá vliv chování konečného počtu jejích členů. Proto budeme užívat tuto úmluvu: > pokud nějaký předpoklad nemusí platit pro konečný počet členů, budeme říkat, že platí pro skoro všechna n, tj. platí až od jistého indexu počínaje; > pokud budeme vyšetřovat konvergenci (divergenci) řady, budeme místo YľžĹi an psát jen Y an. Nutnou a postačující podmínkou konvergence řady je následující věta, kterou budeme používat v dalších důkazech; k praktickým výpočtům není příliš vhodná. Lemma 1.1 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium konvergence). Rada YľŽĹ\ an Jekonvergentníprávě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů je cauchyovská, tj. pro libovolné s > 0 existuje nQ e N takové, že pro n e N, n > nQ a libovolné m e N platí \an+l + an+2 + < s. Důkaz. Plyne z Definice 1.1 a z úplnosti prostom M, což znamená, že každá posloupnost v M je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská (viz např. [3]). □ Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Pif, počet] Zavřít Konec | Strana 28 z 2( 1.2. Operace s číselnými řadami Zdrojem omylů mnoha matematiků byla skutečnost, že s nekonečnými součty nelze zacházet jako s konečnými součty. Uveďme příklad z historie: italský matematik Guido Grandi (1671-1742) uvažoval řadu ! + (-!) +! + (-!) + n=0 dnes se tato řada nazývá Grandiho řada. Tato řada diverguje, protože s\ - 1, s2 - 0, s3 = 1,..., tj. limita sn neexistuje. Danou řadu lze uzávorkovat dvojím způsobem a dostaneme tyto řady: > řada 1 + [(—1) + 1] + [(—1) +1] + • • • konverguje, neboťsn - 1 pro všechna n e N a s — lim s„ — 1; > řada [1 + (—1)] + [1 + (— 1)] + • • • konverguje, neboť sn - 0 pro všechna n e N a s - lim sn - 0. Jedná se o tři různé řady, kde první diverguje a druhé dvě konvergují, neboli uzávorkováním se porušila divergence řady. Grandiho výpočet byl následující: o = 0 + 0 + 0 + 0 + - - - = (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + ■ ■ ■ = = 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)----= 1-0-0-0----= = 1, což si Grandi vyložil jako symbol stvoření světa bohem z ničeho. To vyvolalo bouřlivou polemiku, které se kromě Grandiho zúčastnil Leibniz, Nicolaus Bernoulli Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 29 z 2( a jim. V těchto diskusích se upřesňovaly pojmy součet nekonečne číselne řady, konvergence a divergence těchto řad. Grandi se dopustil dvou omylů: zkoumaná řada je divergentní, proto nemá konečný součet a kromě toho při svém výpočtu použil asociativní zákon, který obecně pro nekonečné řady neplatí. Základní operací s nekonečnými řadami je součet dvou konvergentních řad: Veta 1.3. Buďte ^ an, 5ľ ^« konvergentní řady a nechťan — s, ^2b„ — t. Pak je konvergentní i řada XX<2n + b„) a platí XX<2n + b„) — s + t. Důkaz. Označme {sn} posloupnost částečných součtů řady ^ an, {tn} posloupnost částečných součtů řady ^bn, {wn} posloupnost částečných součtů řady XXfl« + + b„). Pak je limsn - s, limř„ - t awn - (a\+b\) + {a2 + b2) + • • • + (an +bn) - (a\ + +a2 + - • •+an) + (b\ +b2 + - • •+bn) - sn+tn. Odtud plyne lim wn - hm(sn+tn) - s+t, kde k e M, k ^ O, konverguje i řada Eoo Důkaz. Nechť Xfl« konverguje, Xfl« = s- Označime-li {sn} posloupnost částečných součtů řady ^an, {tn} posloupnost částečných součtů řady ^kan, je lim sn - s a pro libovolné n e N platí tn - kax + ka2 + ■ ■ ■ + &a„ = &(a! + a2 + ■ ■ ■ + + an) — ksn. Odtud plyne lim t„ — ks, tj. X kan - ks. Nechť naopak konverguje X kan a k ý 0. Podle již dokázané první části věty pak konverguje řada X | (&a„) = fl«- ^ Poznámka 1.3. Tvrzení Věty 1.3 lze zřejmě úplnou indukcí rozšířit na libovolný konečný počet sčítanců. Navíc lze podle Věty 1.4 nahradit součet uvažovaných řad jejich libovolnými lineárními kombinacemi. Z konvergence řady XXfl« + ^«) však naopak neplyne konvergence řad X a„, X ^« Jak ukazuje příklad řad l)n_1, XX-1)"- Příklad 1.5. Dokažte konvergenci a najděte součet řady 5.4" - 3n+1 E n=0 6" (1.2) Řešení. Obě řady X ^ - XXf)"> X ^ = XX 2)" konvergují a jejich součet je '2\n Podle Věty 1.3 a 1.4 je konvergentní i řada (1.2) a její součet je roven 5=5-3 -3-2 = 9. Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 31 z 2( Z příkladu Grandiho řady je zřejmé, že mezi členy nekonečné číselné řady nelze libovolně rozmístit závorky. Pouze v případě konvergentní řady můžeme sdružovat její členy, aniž se změní její součet. Tato skutečnost je zformulována v následující větě, která bývá nazývána asociativním zákonem pro konvergentní řady. Věta 1.5. Necht'Y^Li an je konvergentní řada a nechť{nk} je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme nQ — 0 a pro k e N označme Ok - ank-i+l + ank-i+2 1 Pak řada Ylkti bk konverguje a platí Nekonečné číselné řady základní pojmy i=l n=l Důkaz. Označíme-li {sn} posloupnost částečných součtů řady ^ an, {tk} posloupnost částečných součtů řady ^ bk, pak platí tk - snk, takže posloupnost {tk} je vybrána z posloupnosti {sn}. Podle věty o vybraných posloupnostech (viz např. [13]) posloupnost {tk} konverguje a platí lim tk - limsn, tj. ^bk - ^an. □ Poznámka 1.4. Asociativní zákon znamená zákon o sdružení - v řadě můžeme jednotlivé členy sdružovat (uzávorkovat), aniž se změní její součet. Tedy Větu 1.5 lze vyslovit takto: Konverguje-li řada ax + a2 + ■ ■ ■ + an + • • •, pak konverguje i řada (a; +a2 + ■ ■ ■ + ani) + (a„í+l +a„1+2 + • • • +a„2) + • • • + (ank_^ +a„k_í+2 + - ■ ■ + + ant) + • • • a má týž součet. Obrácené tvrzení však neplatí. Z konvergence řady (fl! + a2 + • • • + fl„,) + (a„1+i + a„1+2 + • • • + a„2) + • • • obecně neplyne konvergence řady ax + a2 + • • • , jak ukazuje úvodní příklad o Grandiho řadě. « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 32 z 2f Analogie třetího, komutativního zákona o záměně, resp. o přerovnávání členů řady, obecně pro konvergentní řady neplatí. Jak ukážeme v Kapitole 3, k jeho platnosti je třeba silnější vlastnost řady, tzv. absolutní konvergence. Cvičení 1.1. Určete součet těchto řad: DO 30 a) Y-h »=i SO f) E2^ 71 = 1 ;i = l 3C 3C g) E(l^T (X; (X; d) Eí^TT 1.2. Vyjádřete ve tvaru zlomku v základním tvaru: a) - 0,12 b) 0,539 1.3. Rozhodněte, zda konvergují tyto řady: a) ^2 In n n=l b) E C) E 2n"+l 1.4. S využitím nekonečné geometrické řady řešte rovnice v a) log x + log *Jx + log f/x + log tyx + ■ ■ ■ = 2 tglx b) 1 - tg x + tg x — tg x + • • • = 1 + tg 2x 1.5. Do čtverce o délce strany 2 je vepsán čtverec, jehož strany jsou spojnicemi středů stran daného čtverce. Do vepsaného čtverce je stejným způsobem vepsán další čtverec atd. Vypočítejte součet obvodů a součet obsahů všech takovýchto čtverců. 1.6. Vypočtěte obsah obrazce utvořeného z nekonečně mnoha obdélníků, jestliže se délky jejich vodorovných stran zmenšují v poměru 4:1a délky jejich svislých stran se zvětšují v poměru 1 : 2., přičemž obsah výchozího obdélníka je 48 cm2. (Tuto úlohu řešil N. Oresme ve svém traktátu O konfiguraci kvalit, kde naznačil konstrukce útvarů, které mají nekonečné rozměry, ale konečný obsah). Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 34 z 2( Obr. 1.2: Sierpiňského koberec pro n - 2 a n - 3 1.7. Určete obsah následujícího obrazce (tzv. Sierpiňského koberec): Jednotkový čtverec rozdělíme na devět shodných čtverců a odstraníme vnitřek prostředního čtverce. Každý ze zbývajících čtverců rozdělíme znovu na devět shodných čtverečků a znovu odstraníme v každém z nich jeho střední čtvereček. Po třetím kroku takové operace dostaneme útvar zobrazený na Obrázku 1.2. Když tuto operaci prodloužíme do nekonečna, dostaneme útvar, který se nazývá Sierpiňského koberec. Sierpiňského koberec lze v Maplu vykreslit pomocí procedury sierpkob ( kde parametr n udává úroveň iterace. > sierpkob:=proc (n) > local x,y,d,i,j; > global s,kr,sez,poms,kre,sq; > s:=[x,y],[x+d,y],[x+2*d,y],[x,y+d],[x+2*d,y+d] [x,y+2*d],[x+d,y+2*d],[x+2*d,y+2*d]; > kr:=POLYGONS([s[5],s[8],s[7], [x+d,y+d] ] ) ; > x:=0;y:=0;d:=l/3; > kre:=kr;sez:=s;poms:=sez; > sq:=POLYGONS( [[0,0], [1,0], [1,1], [0,1]], > COLOR(RGB,0,1,0)); > for i to n-1 do > d:=d/3; > for j to nops ( [sez] ) do > x:=sez [ j, 1] ;y:=sez [ j,2]; > poms:=poms,s; kre:=kre,kr; > od; sez:=poms; od; > PLOT(kre,sq,AXESSTYLE(NONE) , > SCALING(CONSTRAINED)); > end; > o:=array(1. .2) : > o[l]:=sierpkob(2): > o[2]:=sierpkob(3): > display (o); Obsah jednotkového čtverce je roven jedné a od tohoto obsahu budeme odečítat obsah odstraněných čtverců. Označme an obsah odstraněných čtverců v «-té iteraci a P hledaný obsah Sierpiňského koberce. V «-té iteraci odstraňujeme čtverce o straně (|) a jejich počet v «-té iteraci je 8n_1. Pak tedy « gn-1 v9) 9n Celkový obsah Sierpiňského koberce je pak 00 00 gn-1 ^ i' = i-Efl- = 1-E-5r = 1-ôE 00 /n\ n-1 n=l 1 1 x . , 1--T=0. Ukažme nyní výpočet v Maplu: nejdrříve přímým výpočtem s využitím příkazu sum a poté pomocí nových procedur pro určování součtu geometrické řady. 8"(n-1)/9~n; > a In j(n-l) > P:=1-Sum(a[n], n=l..infinity); value (P); 0 Nyní vytvořme vlastní procedury pro určování součtu geometrické řady kvocgeom a geom: Nekonečné číselné řady základní pojmy « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 37 z 2( > kvocgeom := proc (rada) > local i; global operát, kvoc, b, a; > b := expand(rada); > if type(b,'+y) then operat := nops(b); > for i to operat do > kvoc[i] := simplify(subs(n = n+1, > op(i,b))/op(i,b)); > a[i] := simplify(op(i,b)/(kvoc[i]~(n-1))); > lprint(evaln(kvoc[i]) = kvoc[i]); > lprint(evaln(a[i]) = a[i]) od > else > operat := 1; > kvoc := simplify(subs(n = n+l,b)/b); > a := simplify(b/(kvoc"(n-1) ) ) ; > lprint(('kvoc') = kvoc); lprint(('a') = a) fi > end: Použití těchto procedur na vyšetřovanou řadu dává následující výstup: > kvocgeom(a[n]); kvoc = 8/9 a = 1/9 > geom := proc (k, fclen) local s, i; s := 0; if 1 < operat then for i to operat do s := s + fclen[i]/(1-k [i] ) od else s := fclen/ (1-k) fi end: Nekonečné číselné řady základní pojmy > geom(kvoč,a); 1 Dostali jsme tedy - 1- Obsah Sierpiňského koberce je proto P - 1 -1 = 0. 1.8. Dokažte: Jestliže ^ an konverguje, ^ bn určitě diverguje k +oo, pak XXfl; + bn) určitě diverguje k +oo. Jestliže ^ an konverguje, ^ bn osciluje, pak XXfl; + bn) osciluje. Spetka praxe vydá za tunu teorie. Kapitola 2 Číselné řady s nezápornými členy Stanovení součtu řad bývá v jednotlivých případech obtížný úkol. Proto se při vyšetřování řad často orientujeme na zjištění, zda řada konverguje či diverguje, aniž bychom určovali její součet. Předmětem této kapitoly jsou právě tyto úlohy pro řady s nezápornými členy. Odvodíme tzv. kritéria konvergence, udávající postačující podmínky pro konvergenci, resp. divergenci řady. 2.1. Kriteria konvergence Řada En^i an se nazývá řada s nezápornými (kladnými) členy, je-li an > 0 (an > > 0) pro všechna n e N. Tyto řady mají některé specifické vlastnosti: posloupnost jejich částečných součtů {sn} je neklesající, neboťsn+l - an+l +sn > sn. Je-li navíc tato posloupnost shora ohraničená, pak existuje vlastní limsn, tj. řada Efln je Číselné řady s nezápornými členy konvergentní. Proto řady s nezápornými členy jsou buď konvergentní nebo určitě divergentní k oo. Věta 2.1 (Srovnávací kritérium). Buďte E an> E ^« rody s nezápornými členy a nechťan < bn pro skoro všechna n e N. Potom platí: konverguje-li řada E b„, konverguje i řada E anl diverguje-li řada E an, diverguje i řada E b„. Důkaz. Důkaz provedeme pro případ, kdy platí an < bn pro všechna n e N. Platí-li an < bn až od jistého indexu počínaje, je důkaz analogický. Buď {sn} posloupnost částečných součtů řady ^an, {tn} posloupnost částečných součtů řady E bn; zřejmě platí sn < tn pro všechna n e N. Konverguje-li ^bn, pak je {tn} konvergentní, a proto shora ohraničená, tj. existuje iei tak, že tn < k pro všechna n e N. Pak je však i sn < k pro všechna n e N, tj. {sn} je shora ohraničená. Navíc je neklesající, a proto má vlastní limitu, tudíž E an konverguje. Diverguje-li ^an, pak diverguje i ^6„, neboť kdyby ^bn konvergovala, pak podle první části tvrzení by konvergovala E an, což je spor. □ Příklad 2.1. Rozhodněte o konvergenci řady a) b) kde a > 0, a £ (1, 2). Řešení a) Danou řadu porovnáme s řadou E n(n+l) . Platí 1 1 — < - pro n > 2. Řada y^°°T , ' = ,1 je, jak jsme ukázali v Příkladu 1.2-a), konver- t—in=2 (n-l)n i—m=l n(n+l) J ' J J gentní, a proto je podle Vety 2.1 konvergentní i řada ^ ^. b) Nechť a > 2. Platí a proto je v tomto případě řada ^ konvergentní. Je-li a - 1, jde o harmonickou řadu ^ ^, která je, jak jsme ukázali v Příkladu 1.4, divergentní. Je-li a e (0, 1), platí a proto je podle Věty 2.1 divergentní i řada Celkem dostáváme, že řada ^ je konvergentní pro a > 2 a divergentní pro a e (0, 1]. Jiný způsob řešení, kdy vyřešíme i zbývající případ a e (1, 2), uvedeme později (viz Příklad 2.6). Věta 2.2 (Limitní srovnávací kritérium). Buďte ^ an, Y, bn řady s nezápornými členy a nechť existuje lim ^=L. Je-li L < oo a konverguje-li řada b„, pak konverguje i řada an. Je-li L > 0 a diverguje-li řada b„, pak diverguje i řada an. Důkaz. Nechť L < oo a ^ bn konverguje. K číslu s > 0 existuje n0 e N tak, že pro « e N, « > «o platí 1 1 na n1 pro n e N, 1 1 — > -na n pro n e N, L - odkud an < (L + s)bn. Protože XX^ + s)bn konverguje, konverguje podle srovnávacího kritéria (Věta 2.1) i řada X an- Nechť L > Oa^/j„ diverguje. Je-li 0 < L < oo, pak existuje s > 0 a «o £ N tak, že 0 < L — e < ^ pro všechna n > n0- Odtud (L — e)ŕ„ < a„ a podle srovnávacího kritéria (Věta 2.1) je řada E an divergentní. V případě L - oo existuje ř > 0 a íi0 e N tak, že |^ > K pro všechna « > n0. Podobně pak ze vztahu an > Kbn plyne divergence řady E fl« ■ ^ Poznámka 2.1. Jsou-li E fln» E ^« řa(ty s nezápornými členy a platí-li a„ < r„ pro skoro všechna neN, nazývá se Emajorantní řadou k řadě a řada Efln minorantní řadou k řadě E • Příklad 2.2. Rozhodněte o konvergenci řady: a) siní b) Ind+ ^)- Řešení, a) Danou řadu porovnáme s harmonickou řadou E ~> která je divergentní (Příklad 1.4). Podle 1'Hospitalova pravidla určíme limitu L - lim sin lim ircos* (±V _n \n/ lim JT • cos — = JT. Protože L > 0 a řada E ^ diverguje, je podle Věty 2.2 divergentní i řada E sin ~ • Číselné řady s nezápornými členy b) Danou řadu porovnáme s řadou ^ ^> která je, jak jsme ukázali v Příkladu 2.1, konvergentní. Platí ln(l + \) ~u\ (^) lim . " = lim —^-— = 1. n2 \„2) Podle Vety 2.2 konverguje také řada ln(l + ^). K výpočtu limit v limitním srovnávacím kritériu lze s výhodou využít Maplu. Řešení příkladu 2.2a) pak vypadá takto: > rada:=Sum(sin(Pi/n), n=l..infinity); oo EJt sin(—) n n=l > Limit(op(1,rada)/(l/n), n=infinity):%=value(%); jt lim sm(—) n - ti a tedy vyšetřovaná řada ^ sin ^ diverguje. Poměrně jednoduchým cvičením je také naprogramování (napsání procedury) limitního srovnávacího kritéria v Maplu. Jedno z možných řešení vypadá např. takto: limsrovk := proc (a) local b, L; if nargs = 1 then b := l/n~2; L := limit(a/b, n = infinity); if evalf(L) < infinity then print(Sum(a,n = 1 ..infinity)); print(konverguje) else b := 1/n; L := limit(a/b,n = infinity); if 0 < evalf(L) then print(Sum(a,n = 1 .. infinity)); print(diverguje) else print('tímto kriteriem nelze rozhodnout') fi f i elif nargs o 3 then ERROR("chybný počet parametru") elif args[3] = ('k') then b := args[2]; L :=limit(a/b,n = infinity); if evalf(L) < infinity then print(Sum(a,n = 1 .. infinity)); print(konverguje) else print('tímto kriteriem nelze rozhodnout') fi elifargs[3] = ('d') then b := args[2]; L := limit(a/b,n = infinity); if 0 < evalf(L) then print(Sum(a,n = 1 .. infinity)); print(diverguje) else print('tímto kriteriem nelze rozhodnout') fi else ERROR("treti parametr musi byt 'k' nebo 'd'") fi end: Číselné řady s nezápornými členy Syntaxe příkazu je limsrovk (rada, por, konv), parametr por je nepovinný a udává, s jakou řadou budeme porovnávat řadu rada. Použijeme-li parametr por, musíme také použít parametr konv, kterým určujeme, zda parametr por reprezentuje konvergentní či divergentní řadu. Za parametr konv dosazujeme d pro divergentní řadu, resp. k pro řadu konvergentní. Při volání procedury bez volitelných parametrů porovnáváme s implicitně nastavenou divergentní řadou ^ a konvergentní řadou . > limsrovk(op(1, rada) ) ; oo E7T sin(-) n n=l diverguje Tuto novou proceduru nyní využijeme při řešení příkladu 2.2b): > limsrovk (ln (l + l/n~2) , l/iT2,'k'); oo £ln(l + 4) í—' nl n=l konverguje K určování konvergence, resp. divergence číselných řad je možno použít i proceduru c sum Roberta Israela z Maple Advisor Database. Procedura je určena pro Maple 6 a vyšší a najdete ji i na CD-ROMU v adresáři maple. Ověřme nyní předcházející výsledky pomocí této procedury: > read 'csum4.txt': > csum(op(1,rada),n); falše > csum(ln(1+1/n~2),n); tme Procedura vrací hodnotu true - řada konverguje, nebo falše -řada diverguje. Veta 2.3 (Odmocninové kritérium - Cauchyovo). Nechť'X an je řada s nezápornými členy. (i) Platí-li pro všechna n e N nerovnost ffä^ < q < 1, pak řada konverguje. Platí-li pro nekonečně mnoho n e N nerovnost ^fa~^ > 1, řada diverguje. (ii) Existuje-li lim !lfän=q, kde q e R*, (2.1) pak v případě q < 1 řada X an konverguje a v případě q > 1 řada X an diverguje. Poznámka 2.2. Tvrzení (ii) se nazývá limitní odmocninové kritérium. Poznamenejme, že je-li v (2.1) q - 1, nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout. Důkaz. Důkaz provedeme pro tvrzení (ii); důkaz tvrzení (i) probíhá analogicky. Je-li q < 1, zvolme s > 0 tak, aby platilo q + s < 1. Pak existuje nQ e N tak, že pro n e N, n > nQ je ^fäň < q+s < 1, odkud an < (g + e)n. Rada ^(q+s)n je konvergentní geometrická řada, proto podle srovnávacího kritéria (Věta 2.1) také X fl« konverguje. Je-li q > 1, pak existuje «0 e N tak, že pro n e N, « > nQ je ^/o-^ > 1, tj. a„ > la není splněna nutná podmínka konvergence (Věta 1.1). Proto Xfl« diverguje. □ Příklad 2.3. Vyšetřete konvergenci, resp. divergenci následujících řad: Řešení, a) Užijeme limitní odmocninové kritérium (Věta 2.3 (ii)). Platí lim Hfän - lim 4 n yň 1 -:— = lim -r — - < 1, (3 + 1)« n^oo 3 + 1 3 neboť podle 1'Hospitalova pravidla je lim - 1. Proto daná řada konverguje. ; Maplu opět nejdříve využijeme k výpočtu lim ýči^, poté napíšeme proceduru, která celý výpočet automatizuje. > a[n]:=n/(3+1/ n) ~n:Sum(a[n],n=l..infinity); En r~ «=i (3 + -)" n > Limit((a[n])~(1/n),n=infinity):%=value(%); / (i) lim 1(3 + -)" \ n ' infinity)); odmock := proc (a) local q; q := evalf(limit(convert(surd(a,n), power) , n = infinity)); if q < 1 then print(Sum(a,n = 1 print(konverguje) elif 1 < q then print(Sum(a,n = 1 .. infinity)); print(diverguje) else print{'tímto kriteriem nelze rozhodnout') fi end: odmock(a[n]); «=1 (3 + -)" n konverguje b) K vyšetření opět použijeme limitní odmocninové kritérium (Věta 2.3 (ii)). Platí lim Hjan - lim J I — arccos — ) = lim I — arccos — n^oo n^oo y yjt n) n^ooyjt n Jedná se o neurčitý výraz typu 1°°, proto ho upravíme tak, abychom mohli použít 1'Hospitalovo pravidlo. Platí /2 l\ lim n ln(— arccos-) lim I — arccos — ) = e"^°° n^oo V 7t n Číselné řady s nezápornými členy a pro limitu v exponentu již můžeme použít 1'Hospitalovo pravidlo ln(^arccosl) - (^ arccos I)"1 1 (l - 4)"'/2 i1)' 2 lim —^—■-^ = lim —^-^--—-— =-- n^>co — n^>co (— \ Jt « \n! Hledaná limita je e * < 1, tj. daná řada konverguje, c) Zde máme \fá~n — 1 pro liché n, 2 5+ (—!)" i pro sudé «. Limitní odmocninové kritérium není použitelné. Protože však tfČL^ < | pro všechna n e N, z Věty 2.3 (i) plyne konvergence této řady. Věta 2.4 (Podílové kritérium - d'Alembertovo). Buď Efl« řada s kladnými členy. (i) Platí-li pro všechna n e N nerovnost < q < 1, £>a& řada Efln konverguje. Platí-li pro všechna n e N nerovnost > 1, £>a& řada Efl« diverguje. (ii) Existuje-li lim —=q, kde o e M*, (2.2) pak v případě q < 1 řada E fln konverguje a v případě q > 1 řada E fln diverguje. Poznámka 2.3. Tvrzení (ii) se nazývá limitní podílové kritérium. Poznamenejme, že je-li v (2.2) q - 1, nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout. Důkaz. Opět provedeme důkaz tvrzení (ii); důkaz tvrzení (i) probíhá analogicky. Je-li q < 1, zvolme s > 0 tak, aby platilo q + s < 1. Pak existuje n0 e N tak, že pro n e N, n > n0 je 9 - e < < q + s, tj. (q — s)an < an+1 < (q + s)a, an Odtud indukcí pro libovolné ieN platí ano+k < (q + s)kano. Řada (9 + £)" Je konvergentní geometrická řada, proto podle srovnávacího kritéria (Věta 2.1) také XXn0+i fl« konverguje, a proto podle Věty 1.2 také fl« konverguje. Je-li g > 1, pak existuje n0eN tak, že pro n e N, « > n0 je lim — > 1, tj. posloupnost {a„} je pro n > nQ neklesající, a proto nemůže platit lima„ = 0 a J^fln diverguje podle Věty 1.1. □ Příklad 2.4. Rozhodněte o konvergenci řady: Řešení, a) Podle limitního podílového kritéria (Věta 2.4 (ii)) dostáváme a) b) nl(n + l)(n+1) (« + 1)!«" = lim (n + 1) n = lim 1 + - - e > l, proto řada ^ diverguje. Postupujeme stejně jako v předcházejícím příkladě: > a:=n->(n~n)/n!:Sum(a(n), n=l..infinity); > Limit(a(n+l)/a(n), n=infinity):%=value(%) ; > podilk := proc (a) local q; > q := evalf(limit(subs(n = n+l,a)/a, > n=infinity)); > if q < 1 then print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(konverguje) > elif 1 < q then > print(Sum(a,n = 1 .. infinity)); > print(diverguje) > else print{'tímto kriteriem nelze rozhodnout') > fi end: > podilk(a(n)); lim (n+ l)(n+1)«! (n + l)lnn = e diverguje b) Platí lim -= lim nn2nU(n + 1)! = 2 lim - n^oo \ n + 1 ) n 2 = - < 1, (n+ 1)(«+D • 2» •«! a proto daná řada konverguje podle Vety 2.4. Pro porovnání limitního podílového a limitního odmocninového kritéria použijeme následující tvrzení: Lemma 2.1. Nechť {an} je posloupnost kladných čísel. Pak platí Zejména, je-li lim ^p- — a e M*, je také lim ^/o^ = a. Důkaz. Dokážeme nerovnost lim sup ^/o^ < lim sup —; analogicky by se provedl důkaz vztahu lim inf — < liminf^/o^. Označme lim sup — = a. Je-li a - oo, je tvrzení triviální; nechť tedy a e M. Buď b e M, ŕ > a libovolné; existuje «o £ N tak, že pro n e N, n > n0 je ^ < ŕ. Napíšeme-li tuto nerovnost pro n0, «o + L • • •, n — 1 (n > «0) a všechny tyto nerovnosti vynásobíme, obdržíme an < Ŕn_n° a„0, a proto Ze spojitosti exponenciální funkce bx plyne lim ŕ » = b; dále platí lim ^/a^ľ = 1. Celkem lim b~^~ ýä~^0 - b. To znamená, že je-li s > 0 libovolné, existuje «i eN, «i > «o tak, že pro n > «! je dfl+l j- y- "71+1 lim inf- < lim inf ^Jan < lim sup Hjan < lim sup-. b < b + s, tj- ^/o^ < b + e , takže lim sup ^fä^ < b + s. Protože s > 0 bylo libovolné, platí i lim sup ^fä^ < b; protože b > a bylo libovolné, plyne odtud lim sup rfä^ < a. □ Z uvedeného lemmatu plyne, že je-li lim ^ = 1, je také lim ^fä^ = 1. Proto můžeme-li o konvergenci nebo divergenci nějaké řady s nezápornými členy rozhodnout podílovým kritériem, pak můžeme rozhodnout i odmocninovým kritériem - říkáme, že odmocninové kritérium je silnější než podílové kritérium. Následující kritérium uvádíme bez důkazu; ten lze nalézt např. v [8, 15, 18]. Věta 2.5 (Limitní Raabeovo kritérium). Nechť^ an je řada s kladnými členy a nechť existuje limnjl- — )=q, kde q e R*. n^oc \ an ) Je-li q > 1, pak řada VJ an konverguje; je-li q < 1, pak řada VJ an diverguje. Poznámka 2.4. Někdy se Raabeovo kritérium uvádí ve tvaru lim n( —---1 J - q. n^oo \an+l ) Lze ukázat, že Raabeovo kritérium je silnější než podílové kritérium - jestliže o konvergenci řady lze rozhodnout podílovým kritériem, pak lze rozhodnout i Raabeovým. Takto lze postupovat dále a odvozovat silnější kritéria. Naznačme, jak zjemňování kritérií probíhá. Obecnějším kritériem je Kummerovo kritérium. Nechť {c\, c2, ..., cn, ...} je posloupnost reálných čísel taková, že řada j~ Je divergentní. Nechť _ O-n _ a nechť existuje limi^n = K. Jestliže je K > O, řada YľžĹi fl« konverguje, jestliže < 0, řada fl« diverguje. Ukažme, jak lze z tohoto obecnějšího kritéria odvodit podílové a Raabeovo kritérium. a) Položíme-li cn = 1, pak K„ = - 1. Je-li = lim(^- - 1) < 0, tj. lim > an+\ an+\ an > 1, pak řada diverguje. Je-li K - lim(—— 1) > 0, tj. lim — < 1, pak řada konverguje. b) Nechť cn = n. Platí Kn = - (« + 1) = «(^- - 1) - 1. Je-li ]imKn = = lim«(—— 1) — 1 > 0, tj. lim«(—--1) > 1, pak řada konverguje. Je-li limi^n = lim«(^- — 1) < 1, řada diverguje. Existuje celá řada dalších kritérií pro ověření konvergence číselných řad s nezápornými členy, podrobnosti lze nalézt např. v [5]. Žádné z nich však není univerzální v tom smyslu, že bychom podle něj mohli rozhodnout o konvergenci (divergenci) libovolné řady s nezápornými členy. Takovým kritériem je pouze Cauchyovo-Bolzanovo kritérium (Lemma 1.1). Příklad 2.5. Nechť a e M, a > 0. Rozhodněte o konvergenci nebo divergenci řady ^ (a + \)(a + 2) ■ ■ ■ (a + n) n-l Řešení. Poznamenejme, že podílovým kritériem nelze o konvergenci rozhodnout, neboť lim — = 1. Raabeovo kritérium dává ( On+i \ a n lim «11--I = lim -= a. n^oo \ an / n^oo a + n + 1 Je-li tedy a > 1, řada konverguje, je-li a < 1, řada diverguje. Pro a - 1 obdržíme řadu Y ^yyy = (^Tj' tecty řadu harmonickou (bez prvního členu), která diverguje. Důležitým kritériem je kritérium jiného typu než dosavadní, které nám také ukazuje souvislost mezi nekonečnými řadami a nevlastními integrály: Veta 2.6 (Integrální kritérium). Nechť f je funkce definovaná na intervalu [1, 00), která je na tomto intervalu nezáporná a nerostoucí. Nechť f (n) - an pro n e N. Pak řada ^2 an konverguje právě tehdy, když konverguje nevlastní integrál ir f(x)dx. Důkaz. Především poznamenejme, že funkce / je integrovatelná na každém intervalu [1, b], kde b e M, b > 1, neboť je monotónní. Označíme-li dále F(t) -- Jl f {x) dx,je F zřejmě neklesající na [1, oo). Protože / je nerostoucí na každém intervalu [k, k + 1], kde k e N, platí na tomto intervalu ak+l < f (x) < ak, tedy i pk+\ pk+\ pk+\ ak+i = / ak+1dx< / f(x)dx < / akdx=ak. Jk Jk Jk Sečtením těchto nerovností pro k = 1,2, — 1 obdržíme ľ" a2 + a3 + ■ ■ ■ + an < j f (x) dx < a\ + a2 + ■ ■ ■ + a„_i, neboli sn — ax < F (n) < sn-\. Nechť nyní řada ^ an konverguje. Pak existuje h e M tak, že sn < h pro všechna n e N, a proto také F (n) < h pro všechna n e N. Protože F je neklesající, plyne odtud F (t) < h pro í e [1, oo). Podle věty o limitě monotónních funkcí existuje vlastní lim F(t), tj. konverguje nevlastní integrál f°° f (x) dx. Nechť naopak f(x) dx konverguje. Pak je funkce F shora ohraničená na [1, 00), takže existuje g e M tak, že F(t) < q pro t e [1, 00). Je tedy i F(n) < q a odtud sn < a\ + q pro všechna n e N. Posloupnost {sn} je shora ohraničená a neklesající, proto má vlastní limitu, tj. řada E an konverguje. □ Příklad 2.6. Rozhodněte, zda konverguje řada: ' l—m=2 n ln n b) E^i £ pro a > 0. Řešení, a) Užijeme integrálního kritéria. Nejprve ověříme, zdaje funkce f (x) -- na intervalu [2, 00) nerostoucí. Platí f'(x) - — ^"^2 < 0, a proto je f(x) na intervalu [2, 00) klesající. Zbývá vyšetřit, zda konverguje, resp. diverguje nevlastní integrál f£° dt. Přímým výpočtem dostaneme nx ^ rlnx j lim / -dt - lim / -dy= lim (ln(lnx) - ln(ln2)) x^oo J2 řlní x^oo Jla2 y X^QO a proto daná řada diverguje. 00, Číselné řady s nezápornými členy Maple dává následující výsledky: > a:=n->l/(n*ln (n) ) :Sum(a(n), n=2. .infinity) ; > solve(%<=0); RealRange(e(_1), Open(l)), RealRange(Open(l), oo) Ze získaného výsledku je vidět, že na intervalu [2, oo) jsou splněny předpoklady integrálního kritéria. Výpočtem integrálu dostáváme > Int(a(x),x=2..infinity):%=value(%); a proto daná řada diverguje. Výsledek ještě ověříme pomocí procedury c s um: > csum(a(n),n); Na tomto příkladě ilustrujme integrální kritérium. Ke grafickému znázornění použijeme následující příkazy: Interval, kde je funkce kladná: > solve(a(x)>=0,x); RealRange(Open(l), oo) Interval, kde je funkce klesající: > simplify(diff(a(x),x)); ln(x) + 1 x2 ln(x)2 false > plot ( [a(n),a(floor (n + 1) ) ], n=2..12, > color=[black,red]); > plot ( [a(n),a(floor (n) )], n=2..12, > color=[black,green]); Obr. 2.1: Dolní odhad integrálu pomocí Obr. 2.2: Horní odhad integrálu po-součtu řady mocí součtu řady Na Obrázku 2.1 je uvedena funkce y - —^ a schodovitá funkce y - a(n + 1) pro x e [n, n + 1). Tento obrázek představuje dolní odhad integrálu pomocí součtu řady f(x) ŮX. Na Obrázku 2.2 je uvedena funkce y - a schodovitá funkce y - a (n) pro x e [n, n + 1), což představuje horní odhad integrálu J f(x)dx < a2 + • • • +a„-1. Protože J2°° /(x) dx diverguje, z horního odhadu plyne divergence řady a„ (viz Obr. 2.2). Naopak, protože řada an je divergentní, z dolního odhadu plyne , divergence f£° /(x) dx (viz Obr. 2.1). b) Užijeme integrálního kritéria. Položme f(x) - pro x e [1, oo); což je pro a > 0 klesající funkce. Vyšetřujme konvergenci, resp. divergenci nevlastního integrálu této funkce na intervalu [1, oo). Platí r00 dx f i i / — = lim / — dx =- pro a > 1, Jl xa t^oo Jj ifl a — 1 Z"50 dx /" dx / — = lim / — = lim (lnř) = oo, C°° dx 1 / 1 \ / ~T = 1- lim ~TT ~ 1 ) = 00 Pro « e (0, 1). Jl xa \ — a \x^oo xa 1 / Proto daná řada konverguje pro a > 1 a diverguje pro a e (0, 1]. Cvičení 2.1. Pomocí vhodného kritéria rozhodněte o konvergenci řad: a> (n+i)(„+4) V 2-4-(2n-2) 2n-l n-1 n-2 n=l oo f) E ln(n+l) n-\ n=l oo b) V-*- V (n|)2 ' ^ n(n+l)(n+2) KJ Tôň)' n=l n=l oo c) E^r 1) Etg1 d) E 2^ „,\ „„„*„« 1 m) Earctg"i n=l e) E — (fl>0,«el) °° , .„ o) E í -r- ) (a > O, a e I) 7 \ arctg n / ' 7 n=l v 7 g) E (a > O, a e M) 00 „+I n=2 n-\ Y" " h) E T/T oo q) E-» n=2 ; Pomocí Maplu rozhodněte o konvergenci nebo divergenci řady z Cvičení 2.1b). > a:=n->l/(n*(n + 1)* (n + 2) ) : > Sum(a(n),n=l..infinity); oo £--— ^ n(n + 1) (n + n-l 2) Podílovým kritériem nelze o konvergenci rozhodnout: > podilk(a(n)); tímto kriteriem nelze rozhodnout Raabeovo kritérium dává > Limit(n*(l-(a(n+l)/a(n))),n=infinity) > %=value(%) ; n lim n (1 ;) = 3 n + 3 a řada tedy konverguje. Celý postup teď opět zautomatizujeme pomocí procedury limraabk. > limraabk := proc (a) local q; > q := evalf(limit(n*(1-subs(n = n+l,a)/a), > n = infinity)); > if 1 < q then print(Sum(a,n =1 .. infinity)); > print(konverguje) > elif q < 1 then > print(Sum(a,n = 1 .. infinity)); > print(diverguje) > else print('tímto kriteriem nelze rozhodnout') > fi end: Číselné řady s nezápornými členy limraabk(a(n)); oo T--— t—1 n (n + 1) (n + 2) n-l konverguje 2.2. Najděte příklad řady s kladnými členy, pro niž lim sup ^ > 1, ale která konverguje. 2.3. Existuje konvergentní řada VJ an s nezápornými členy, pro niž lim sup ^fa^ > > 1? 2.4. Nalezněte příklad řady VJ an s kladnými členy, o jejíž konvergenci nebo divergenci a) lze rozhodnout odmocninovým kritériem a nelze rozhodnout podílovým kritériem, b) lze rozhodnout Raabeovým kritériem a nelze rozhodnout odmocninovým kritériem, c) lze rozhodnout Raabeovým kritériem a nelze rozhodnout podílovým kritériem, d) lze rozhodnout odmocninovým kritériem a nelze rozhodnout Raabeovým kritériem. Číselné řady s nezápornými členy Zákon pro pedagogy: Nikdo vás neposlouchá, dokud se nespletete. Kapitola 3 Rady absolutně a neabsolutně konvergentní neabsolutně konvergentní Předmětem této kapitoly budou číselné řady ^an, kde an e M. Nejprve si všimneme speciálního případu, kterými jsou řady se střídavými znaménky, tzv. alternující řady. Dále zavedeme důležitý pojem pro řady s libovolnými členy, kterým je absolutní, resp. neabsolutní konvergence. Také se vrátíme k otázce z Kapitoly 1, zda pro nekonečné řady platí analogie komutativního zákona, tj. zda lze přerovnávat členy číselné řady, aniž se poruší její součet. Ukážeme, že pro přerovnávání řad je rozhodující právě skutečnost, zda jsou tyto řady absolutně konvergentní. « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 65 z 2( 3.1. Alternující řady Definice 3.1. Nekonečná řada fl« se nazývá alternující, právě když platí sgnan+1 = — sgna„ pro všechna n e N. Vyloučíme-li případ řady, jejíž všechny členy jsou nulové, lze každou alternující řadu psát ve tvaru YľžĹi (—l)n_lfln nebo tvaru l)"fln, kde an > 0 pro všechna « e N. Pro alternující řady platí následující Leibnizovo kritérium konvergence. Veta 3.1 (Leibnizovo kritérium). Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada l)"_lfln konverguje právě tehdy, když platí lim an - 0. Důkaz. Nutnost uvedené podmínky plyne ihned z Věty 1.1, neboť vztah lim an - 0 je ekvivalentní se vztahem lim[(—l)n_1a„] = 0. Dokážeme její dostatečnost. Nechť jsou předpoklady věty splněny a uvažme posloupnost {sn} částečných součtů řady XX-l)"~lfln- Pro libovolné n e N je 52n = (fll - fl2> + («3 - a4) + • • • + (fl2«-l - «2«)- Protože je zde každý sčítanec nezáporný, platí s2 < s4 < ■ ■ ■ < s2n, tj. vybraná posloupnost {s2n} je neklesající. Analogicky je Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | ■^n+i — a\ — (a2 — aj) — (a4 — a$) (a2n — a2n+1), Strana 66 z 2( a protože opět čísla v závorkách jsou nezáporná, je s\ > s3 > • • • > s2n+i, takže {^2«+i} je nerostoucí. Obě posloupnosti {s2n}, {sm+i} jsou tedy monotónní a obě jsou ohraničené, neboť pro libovolné neN platí a\ — a2 - $2 < ^2« < ^2n + fl2n+l - $2n+l < ^1 - fll • Podle věty o monotónních posloupnostech jsou tedy obě konvergentní a přitom mají stejnou limitu, neboť lim 52n+i — lim^n = limfen+i — ^2«) = fřma2n+i = 0. Je-li limi2n = lim^2n+i = s, pak zřejmě i \imsn - s, takže l)n_1an je konvergentní a má součet s. □ Příklad 3.1. Rozhodněte o konvergenci řady: a) Eľ^-D"-1^ b) Eľ^C-D"-1^ Řešení. Všechny uvedené řady jsou alternující; ověříme, zda jsou splněny podmínky Leibnizova kritéria (Věta 3.1). a) Tato alternující řada se nazývá Leibnizova řada. Posloupnost {^} je klesající a platí, že lim an - lim - = 0. Proto podle Leibnizova kritéria Leibnizova řada konverguje. Později ukážeme, že její součet je ln 2 (viz Příklad 6.4). b) Platí lima„ = |, a proto je daná řada divergentní (nesplňuje nutnou podmínku konvergence, tj. lima„ /O). Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 67 z 2f c) Nejprve ověřme, zda je posloupnost {n_\an} klesající. Uvažujme funkci y - —\—. Platí, že y = lnx 1 / 1 . --- II--) < 0 pro x > 1, (x — lnx)2 \ x . tj. tato funkce je klesající na intervalu (1, oo), odkud plyne, že také posloupnost {—\—] je klesající. Dále je lim(« — ln«) = lim ln — = oo, a proto lim —\— = 0. In—mní J J j v / n > ť n—\nn Podle Leibnizova kritéria daná řada konverguje. Ukažme si nyní řešení tohoto příkladu s využitím Maplu. Radu nejdříve zadefinujeme > a:=n->l/(n-ln (n) ) : > Sum((-1)~n*a(n), n=l..infinity); E n=l (-1)" - ln(n) Ověříme, že je posloupnost {n_'lnn} je klesající. > solve(diff(a(x),x)<=0); RealRange(l, oo) > plot(a(x), x=1..50); Tedy funkce y - xJlax je na intervalu intervalu [l, oo) klesající (což je dobře vidět i z Obrázku 3.1), a odtud plyne, že také posloupnost {n_'lnn} je klesající. Dále > Limit(a(n), n=infinity):%=value(%) ; 1 lim — ln(n) = 0 Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 68 z 2( 10 20 30 40 50 x Obr. 3.1: Funkce f (x) i x-ln(x) pro x > 1 a proto podle Leibnizova kritéria daná řada konverguje. Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Pif, počet] Zavřít Konec | Strana 69 z 2( 3.2. Absolutní konvergence číselných řad Věta 3.2. Konverguje-li řada X \an \ , konverguje i řada X an Důkaz. Nechť Xlfl«l konverguje a buď s e M, s > 0 libovolné. Pak podle Cauchyova-Bolzanova kritéria konvergence (Lemma 1.1) existuje /i0éN takové, že pro n e N, n > n0 a libovolné m e N platí: |an+11 + \an+2\ + ■ ■ ■ + |an+m| < e. Potom též platí, že \an+1 + an+2 + ■■■ + an+m\ < \an+1 \ + \an+2 \ + ••• + ! < s pro n e N, n > nQ,m e N, tj. podle Cauchy-Bolzanova kritéria řada X a„ konverguje. □ Opačná implikace neplatí, jak ukazuje příklad Leibnizovy řady X (—l)(n_1) -: tato řada je konvergentní, avšak řada X lfl« I = X ÍJe divergentní. Proto má smysl zavést u řad s libovolnými členy silnější vlastnost než je konvergence: Definice 3.2. Řekneme, že řada X an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada X \an\ . Jestliže řada X an konverguje a X \an \ diverguje, říkáme, že řada X an konverguje neabsolutně. Příklad 3.2. Leibnizova řada XX-l)n+1- je neabsolutně konvergentní, naopak řada XX-l)n+1_r je absolutně konvergentní, neboť řada X ~r konverguje (viz Příklad 2.1). Lemma 3.1. Nechť X an < XKI- s je absolutně konvergentní řada. Pak platí \s\ < Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 70 z 2( Důkaz. Označme {sn} posloupnost «-tých částečných součtů řady Efl« a íř«} posloupnost n -tých částečných součtů řady E I an I ■ Protože | sn \ < \tn\ pro všechna n e N, platí lim|i„| = |s| < limř„ = Elfl«l- (Tvrzení také okamžitě plyne z Poznámky 1.2, uvědomíme-li si, že an < \an\). □ Řada E lfln I je řada s nezápornými členy, a proto můžeme pro určování absolutní konvergence řad použít všechna kritéria z Kapitoly 2. Věta 3.3 (Srovnávací kritérium). Nechť E bn je konvergentní řada s nezápornými členy a^an je řada s libovolnými členy. Jestliže pro všechna n e N platí \an\ < bn, pak řada *Y^an konverguje absolutně. Důkaz. Plyne z Věty 2.1. □ Věta 3.4 (Odmocninové kritérium). Jestliže pro všechna n e N platí Zj\an\ < < q < 1, pak řada E an konverguje absolutně. Platí-li pro nekonečně mnoho n e N nerovnost J/\an\ > 1, pak tato řada diverguje. Existuje-li lim Zj\an\ — q e M*, pak v případě q < 1 řada E an konverguje absolutně a v případě q > 1 řada diverguje. Důkaz. První a třetí tvrzení plyne z odmocninového kritéria pro řadu E l^nl (Věta 2.3). Je-li ^/|a„| > 1 pro nekonečně mnoho n e N, je i \an\ > > 1 pro nekonečně mnoho n e N, takže neplatí lima„ = 0a^a„ diverguje podle Věty 1.1. □ Věta 3.5 (Podílové kritérium). Bud"}2 an řada s nenulovými členy. Jestliže pro všechna n e N platí \ \ < q < 1, pak řada E an konverguje absolutně. Platí-li pro všechna n e N nerovnost > 1, řada diverguje. Existuje-li lim = q, pak v případě q < 1 řada ^2 an konverguje absolutně a v případě q > 1 tato řada diverguje. Důkaz. První a třetí tvrzení plyne z podílového kritéria pro řadu E \an | (Věta 2.4). Je-li > 1, tj. |an+11 > \an\ pro všechna n e N, je posloupnost {\an\} neklesající, takže neplatí lima„ = 0a^a„ diverguje podle Věty 1.1. □ Příklad 3.3. Zjistěte, zda jsou následující řady absolutně konvergentní: a) E(-Dn+1^ b) J^(-í)n+l^^- - — — 1 — c) E(-i)n+1H/- ln"(n+l) ln 2 ln2 3 ln3 4 2 d) E(-l) n-l (2+vT)(2+V2) ... (2+V«) Řešení Ve všech případech budeme ověřovat konvergenci řady E lflnl (2n+l)3 podle Věty 3.3 daná řada absolutně konvergentní a) Pro všechna n e N platí lle Věty : b) Platí: lim y/|a„| = lim ^3. Řada E ^3 Je konvergentní, proto je lim ,_ ln"(« + l) n^oo yinn(n + 1) «->°o ]n(n + 1) Podle Věty 3.4 je daná řada absolutně konvergentní. 1 lim 1 Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 72 z 2( Podle Vety 3.4 je daná řada absolutně konvergentní. Pro řešení příkladu využijeme dvě z procedur uvedených v předcházející kapitole. > a:=n->(-l)~ (n + 1)* ( (n + 1)/n)~(iT2)/3~n: > Sum(a(n), n=l..infinity); oo (_1)(«+D (1±l)(n2) E— 3" odmock(abs(a(n))); oo E , n + 1 ,2-, (_)(« ) n csum(a(n),n); 3" konverguje true Obdobně můžeme postupovat i při řešení ostatních úloh. Rady absolutně a neabsolutně konvergentní d) V tomto případě se ukazuje výhodné použít Raabeovo kritérium pro řadu £M - Hatí lim n (2 + y/l) ... (2 + y/n + 1) (2 + y/l) ... (2 + Jn) lim n 2 + y/n+l v y/n + 1 proto je vyšetřovaná řada absolutně konvergentní. Příklad 3.4. Určete, pro která i e Mje řada lim - _ «^°° y/n + 1 oo, E X X - + — 1 2 X y absolutně konvergentní, pro která neabsolutně a pro která diverguje. Řešení. Pro x 0 je lim = lim xn+1 n n + 1 x" = lim n^oo « + 1 ' X = X Podle Věty 3.5 řada absolutně konverguje pro |x| < 1, pro |x| > 1 řada diverguje. Pro x = 1 dostáváme harmonickou řadu E \ > která je divergentní, a pro x = — 1 Leibnizovu řadu E (—l)(n+1)~» která je neabsolutně konvergentní. Na závěr tohoto odstavce uveďme dvě kritéria k určení konvergence řady s libovolnými členy. Jejich důkaz lze nalézt např. v [8, 18]. Veta 3.6 (Ábelovo a Dirichletovo kriterium). Nechť {bn} je monotónní posloupnost a platí jedna z následujících podmínek: 1. (Dirichlet) Posloupnost částečných součtů řady Xfl« Je ohraničená a lim bn — 0; 2. (Abel) Rada X an konverguje a posloupnost {bn}je ohraničená. Pak řada X anbn konverguje. Příklad 3.5. Dokažte, že řada oo a) X konverguje pro libovolné iéI; n=l " °° Vň inn b) X je konvergentní. n=l " Řešení, a) Případ kdy x = /:jt, & e Z je triviální, neboť se jedná o nulovou řadu. Nechť tedy x ^ k%. Položme bn - - a an - sin«x. Ukážeme, že jsou splněny podmínky Dirichletova kritéria (Věta 3.6). Zřejmě je posloupnost {bn} monotónní a lim bn - 0. Zbývá dokázat, že posloupnost částečných součtů řady X an je ohraničená. Označme sn — sin x + sin 2x + • • • + sin nx, rn - cos x + cos 2x + • • • + cos nx, q — cos x + i sin x. Z Moivreovy věty plyne qn - (cosx + i sinx)" = cos«x + i sin«x, Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 75 z 2( odkud qn — q~n - cos nx + i sin«x — (cos(—nx) + i sin(—nx)) - 2i sin«x. Užitím těchto vzorců dostaneme rn +isn - cos x + i sin x + cos 2x + i sin 2x + 1 q2(q2 q-2(q2 - g 2) 2 „ r = g + g + • • • + q - q — Nyní porovnáme reálnou a imaginární část r„ - cos x + cos 2x + • • • + cos nx ■ co&nx + i sin«x = -q 2) = q li sin |x 2i sin |x « + 1 n + 1 = I cos-x + ř sin-x cos ^x sin |x sin ^x sin ^x sin jx s„ = sin x + sin 2x + • • • + sin nx - sin ^x sin |x sin |x r, a proto je posloupnost {,$„} částečných součtů řady Odtud plyne |s„| < E sin nx ohraničená. Tím jsme dokázali, že řada VJ je konvergentní pro všechna x e M. b) Použijeme Ábelovo kritérium (Věta 3.6) při volbě bn - tfň, an - mIL. Podle předchozího příkladu ^an konverguje. Protože limj/ň - 1, je {bn} ohraničená; ukážeme ještě, že pro n > 3 je klesající. Vskutku, j/ň > "ty'n + 1 právě když > (n + 1)", což je ekvivalentní n > (1 + ^)" a tato nerovnost platí pro n > 3, neboť {(1 + i)"} je rostoucí posloupnost s limitou e < 3. Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 76 z 2f 3.3. Přerovnavam řad Již v první kapitole jsme ukázali, že s nekonečnými součty nemůžeme zacházet stejně jako se součty konečnými. V tomto odstavci se budeme zabývat analogií komutativního zákona - přerovnáváním nekonečných řad. Zaveďme následující definici: Definice 3.3. Nechť ^2 an je řada, {kn} permutace množiny N (tj. {kn} je prostá posloupnost přirozených čísel, v níž se každé přirozené číslo vyskytuje). Pak říkáme, že ^2 akn vznikla přerovnáním řady ^2 an ■ Věta 3.7. Nechťřada ^2 an konverguje absolutně. Pak konverguje absolutně také každá řada ^2 akn vzniklá přerovnáním řady ^lan a platí ^2 akn =Ž2 an ■ Důkaz. Buď s > 0 libovolné. Protože řada ^2 an je absolutně konvergentní, existuje «0 £ N takové, že pro n > n0 a libovolné m e N platí \an+l ! + ••• + + l^n+ml < £■ Dále protože {&n}^i je permutace množiny N, existuje p s N tak, že {1, 2, . Označíme-li t + ■ ■ ■ + \at | < s. Podle Cauchy-Bolzanova kritéria řada ^2 \^kn I konverguje, tj. řada ^2 akn konverguje absolutně. Zbývá dokázat, že obě řady mají stejný součet. Označme sn částečné součty řady ^2an ,tn částečné součty řady ^2 ^kn - Pro n > max{«0, kp) platí , nQ] c {ki,k2, ..., kp}. Buď nyní n > p a m e N libovolné. }, platí \akn+l\ + --- + \akn+m\ < \a, no+l I \Sn t„ \ - fli 2„0+i + • • • + an - (ak{ + ■ ■ ■ + akn)\ < < |a„0+i| + |a„0+2| + • • • + Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Pif, počet] Zavřít Konec | Strana 77 z 2( kde nQ+q = max{«, k\, ...,&„}. Je tedy lim (sn — tn) - O, tj. lim sn - lim tn. □ Právě jsme dokázali, že pro absolutně konvergentní řady platí komutativní zákon. Vyvstává otázka, jak se chovají při přerovnávání neabsolutně konvergentní řady. Zaveďme následující označení: pro a e M položme a+ = max{a,0}, a~ — max{—a, 0}. Potom je zřejmě a+ > 0, a~ > 0, a - a+ — a~, \a\ - a+ + a~. Proto je-li E an nekonečná řada, můžeme uvažovat dvě nekonečné řady s ne- zápornými členy E an a E aň ■ Tyto řady mají následující vlastnost: n-l n-l Lemma 3.2. Nechť řada E an konverguje neabsolutně. Pak obě řady E fl« a E aň divergují k +oo. Důkaz. Protože E an a E aň Jsou s nezápornými členy, každá z nich buď konverguje nebo diverguje k +oo. Kdyby obě konvergovaly, pak by podle Věty 1.3 konvergovala i řada XXfln + aň^ ~ E \an\> tj- Efl« °y konvergovala absolutně. Kdyby např. E fln divergovala k +oo, E flř7 konvergovala, pak by podle Cvičení 1.8 řada XXfln ~~ aň^ ~ E fl« divergovala k +oo. Tedy obě řady E fl^> E aň divergují. □ Nyní můžeme dokázat větu o neabsolutně konvergentních řadách, která říká, jak „labilní" jsou tyto řady vzhledem k přerovnávání. Rady absolutně a neabsolutně konvergentní « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 78 z 2( Věta 3.8 (Riemannova). Nechťřada X an konverguje neabsolutně a nechť s e M je libovolné. Pak existuje takové přerovnání X akn řady X an , Že X aK - s> existuje takové přerovnání X ap„ řady X an , Že X ap„ urcitě diverguje a takové přerovnání X aqn> Že X aqn osciluje. Důkaz. Dříve než provedeme přesný důkaz, naznačme velmi zjednodušeně, jakým způsobem bude důkaz veden. Myšlenkou důkazu tvrzení, že Xfl/tn - s, je přerovnat danou řadu následujícím způsobem: nejdříve ponecháme kladné členy, dokud „nepřekročíme" předepsaný součet. Poté začneme odčítat záporné členy až bude částečný součet řady menší než součet předepsaný a stejným způsobem pokračujeme dál. Nakonec dokážeme, že takto přeskládaná řada opravdu konverguje k předem určenému číslu. (i) Ukažme, že lze řadu přerovnat tak, že přerovnaná řada konverguje a má součet s. Předpokládejme pro určitost, že s > 0. Nechť nx e N je nejmenší takové, že a+! + • • • + fl+„, > s; vzhledem k divergenci Xfln takové nx existuje. Nechť m\ e N je nejmenší takové, že a+x + ■ ■ ■ +a+„, — (a~i + • • • + a~mi) < s; existence takového mx plyne z divergence řady ^a~. Nechť dále n2 e N, n2 > nx je nejmenší takové, že a+x + • • • + a+„, — (a~x + • • • + a~mí) + a+„1+i + • • • + a+„2 > > s. Takové n2 opět existuje ze stejných důvodů jako nx. V této konstrukci lze pokračovat indukcí; jejím výsledkem je jistá řada, která vznikla přerovnáním řady XX ■ Dokažme, že součet takto přerovnané řady je s. Z konstrukce je patrné, že částečný součet sni+mi+...+nk přerovnané řady se od požadovaného součtu s liší maximálně o a+nk, částečný součet sni+mi+...+nk+mk se liší od s maximálně o a~mk a částečný součet sn, kde nx + mx + • • • + nk < n < nx + mx + • • • + nk + mk, resp. «! + m! + •••+ nk + mk < n < nx + mx + • • • + nk + mk + nk+x se liší od s nanejvýš o max{ank, amk} resp. o max{amk, a„k+í}. Protože Xfl« konverguje, je lima„ = 0, tedy i lima+„ = lima~„ = 0; odtud limsn - s. (ii) Ukažme, že lze řadu přerovnat tak, že přerovnaná řada diverguje k oo. Nechť «! e N je nejmenší takové, že a+\ + ■ ■ ■ + a+ni > 1; n2 > «i nejmenší takové, že a+\ + • • • + a+„, — a~i +a+„1+i + • • • +fl+„2 > 2, «3 > «2 nejmenší takové, že a+! + • • • + fl+n, — a~! + a+„1+i + • • • + a+„2 — a~2 + fl+n2+i + • • • + fl+n3 > 3 atd. Vzniklá přerovnaná řada určitě diverguje k oo. (iii) Obdobně určíme nejmenší nx e N tak, že a+\ + ■ ■ ■ + a+ni > 1, nejmenší mi eN tak, že a+\ + ■ ■ ■ + a+ni — (a~\ + ■ ■ ■ + a~mi) < 0, nejmenší n2 > «1 tak, že a+! + • • • + fl+n, — (a~i + • • • + a~m,) + fl+„,+i + • • • + a+„2 > 1 atd. Vzniklá přerovnaná řada osciluje. □ Rady absolutně a neabsolutně konvergentní Příklad 3.6. Přerovnejte Leibnizovu řadu XX-1) „ tak' aDy součet přerov nané řady byl: a) 1,8 b) 0,7 c) -0,6. Řešení. Podle příkladu 3.2 je Leibnizova řada neabsolutně konvergentní, tedy splňuje podmínky věty 3.8 a existují její přerovnání taková, že konverguje k zadaným číslům. oo \(n+DI V příkladu 6.4 jsme ukázali, že XX-1) n=l > a:=n->(-1)~ (n + l)/n: Sum(a(n), n=l ln 2 = 0,693. infinity) =value (% ) ; < ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 80 z 2( E (-i) (n+l) ln(2) > evalf(lhs (%)); 0.6931471806 V zadání máme tedy tři různé typové příklady. Při řešení tohoto příkladu budeme postupovat podle důkazu Riemannovy věty. Maplu využijeme k znázorňování přeskládaných řad a posloupností jejich částečných součtů. Využijeme nových procedur rieman a pre ski. Procedura rieman(ps,n,fce,prom) přeskládá zadanou neabsolutně konvergentní řadu tak, aby konvergovala k předepsanému součtu a zobrazí její částečné součty. Procedura má čtyři argumenty: p s součet, k němuž má konvergovat přeskládaná řada, n počet zobrazených částečných součtů přeskládané řady, f c e předpis pro «-tý člen řady a prom proměnná použitá ve výrazu f ce. > cast_s := proč (ps, f) > local s; globál old_s, nk, nz; > s := old_s; if s <= ps > then s := s+f(nk); nk := nk+2 else > s := s+f(nz); > nz := nz+2 > fi; > old_s:= s; > RETURN(s) > end; Rady absolutně a neabsolutně konvergentní > rieman := proc (ps, n, fee, prom) > local f, s, 1; global old_s, nk, nz; > f := unapply(fee,prom); > if 0 < f(l) then nk := 1; nz := 2 > else nk := 2; nz := 1 fi; > s := 0; old_s := 0; > 1 := [seq([i, cast_s(ps,f,nk,nz)],i = 1 .. n)]; > RETURN(display ({pointplot(1,symbol = CIRCLE, > symbolsize=4), > plot(ps,x = 0 ..n,labels = ['', ''])})) > end; Procedura pre ski (ps, n, fee, prom) má stejné parametry jako procedura rieman a slouží ke znázornění prvních n členů přeskládané řady. > clen := proc (ps, f) local s, h; > global old_s, nk, nz; s := old_s; > if s <= ps > then h := f(nk); s := s+h; nk := nk+2 > else h := f(nz); s := s+h; nz := nz+2 > fi; > old_s := s; RETURN(h) > end; Rady absolutně a neabsolutně konvergentní > preskl := proč (ps, n, fce, prom) > local f, s, 1; globál old_s, nk, nz; > f := unapply(fce,prom); > if 0 < f(l) then nk := 1; nz := 2 > else nk := 2; nz := 1 fi; > s := 0; old_s := 0; > 1 := [seq([i, clen(ps,f,nk,nz)],i = 1 .. n)]; > RETURN(pointplot (1, symbol = CIRCLE, > symbolsize=4)) > end; Nyní aplikujeme tyto procedury na jednotlivé případy V případě a) je předepsaný součet dostatečně větší než součet ln 2, proto v přeskládané řadě převažují kladné členy, viz Obr. 3.2. > preskl(1.8,150,a(n) , n) ; Je vidět, že nejdříve sčítáme jen kladné členy, čímž posloupnost částečných součtů roste dokud nepřekročí předepsaný součet, tj. sn > 1,8. Poté následuje člen záporný, který způsobí, že sn+\ < 1,8. Opět následuji členy kladne, až sn > 1,8, pote člen záporný atd. (viz Obr. 3.3). > rieman(1.8,150,a(n),n); Obrázky 3.4 a 3.5 ukazují případ b), kdy předepsaný součet je velmi blízko hodnotě ln2. Pořadí členů řady (Obr. 3.4) se proto mění až u členů s vyššími indexy a přeskládání není z grafu téměř patrné. U částečných součtů (Obr. 3.5) to má za následek, že oscilují okolo předepsaného součtu bez větších skoků. > preskl(0.7,150,a(n) , n) ; > rieman(0.7, 150, a(n),n); Rady absolutně a neabsolutně konvergentní 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 20 40 . 60 100" 120' 140 Obr. 3.2: Prvních 150 členů přeskládané řady konvergující k 1,8 0 20 40 60 100 120 140 Obr. 3.3: Posloupnost částečných součtů konvergující k l,i Poslední případ (znázorněný na obrázcích 3.6 a 3.7), kdy předepsaný součet je záporný a dostatečně menší než ln 2, je v podstatě „inverzní" k případu a). > preskl(-0.6,150,a(n),n); > rieman(-0.6,150,a (n),n); 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 ■20" 40 60 100 120 140 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 20 40 60 100 120 140 Obr. 3.4: Prvních 150 členů přeskládané řady konvergující k 0,7 Cvičení Obr. 3.5: Posloupnost částečných součtů konvergující k 0,7 3.1. Rozhodněte o konvergenci alternujících řad: a) E (-0"-' 3n-l c) E u-> „+100 C-iy-n 5n-2 d) V^11" Rady absolutně a neabsolutně konvergentní 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 "20 40 60 100 120 140 Obr. 3.6: Prvních 150 členů přeskládané řady konvergující k — 0,6 e) E(-l)""1^— 0.2-0 -0.2 -0.4 -0.6 20 40 60 100 120 140 Obr. 3.7: Posloupnost částečných součtů konvergující k — 0,6 f) E ln(n+l) 3.2. Vyšetřete, které řady konvergují absolutně, které konvergují neabsolutně a které divergují: a) E(-D"if n=2 c) EC-1)"^— 7 ^—' 7 n—ln n n=l b) E(-D"^ n=l d) E(-l)"-1^- n=l Rady absolutně a neabsolutně konvergentní 3.3. Určete, pro která reálná čísla x následující řady absolutně konvergují, pro která neabsolutně a pro která divergují: OO OO OO OO a) b) £lnnx c) £ g±x" d) £ ^ «=i «=i «=i" «=ie neabsolutně konvergentní Kapitola 4 Součin řad a numerická sumace řad V této kapitole ukážeme, za jakých předpokladů a jakým způsobem lze násobit dvě nekonečné řady. Dále ukážeme některé odhady zbytku při numerické sumaci číselné řady, což později budeme používat při přibližném výpočtu funkčních hodnot. 4.1. Součin řad Součin dvou konečných součtů Y17=i fl< > ELi reálných čísel lze podle distributivního zákona vypočítat tak, že utvoříme všechny součiny a,ŕ* (1 < i < m, 1 < < k < n) a tyto součiny sečteme: m n m n J2a> -J2bk = JlJlaibk = - ci\b\ + a\b2 + • • • + ci\bn + a2b\ + • • • + a2bn + • • • + amb\ + • • • + ambn. Chceme-li analogicky postupovati v případě dvou (konvergentních) řad ^an, ^bn, je třeba utvořit všechny součiny aibk (i, k e N) a tyto součiny sečíst. Systém {a,^; i,k e N} je však spočetnou množinou reálných čísel opatřených dvěma indexy, kterou můžeme napsat ve tvaru „nekonečné matice" ci\b\ ci\b2 axbj, a2bx a2b2 a2b3 a^b\ a^b2 a^bj, amb\ amb2 ambT, — 11 a2bn a3bn (4.1) Prvky takovéto množiny lze sčítat (ve smyslu předchozí teorie), pokud je nějakým způsobem srovnáme do obyčejné posloupnosti, tj. utvoříme posloupnost {c„}, jež je permutací množiny {a,^; i, k e N}. Každou řadu ^cn, která vznikne tímto způsobem, nazýváme součinem řad ^an, ^bn. Obecně tedy existuje nekonečně mnoho různých součinů řad X an, X ^« při čemž jeden z druhého vznikne přeřazením. V Kapitole 3 jsme viděli, že v obecném případě se u konvergentních řad hodnota součtu při přeřazení nezachovává. Proto různé součiny dvou konvergentních řad mohou mít různé hodnoty; dokonce uvidíme, že součin dvou konvergentních řad může být divergentní. Jednoduchá situace je však v případě, kdy obě řady X an, X bn konvergují absolutně: Věta 4.1. Nechť řady Xfl« - a> - b konvergují absolutně. Je-li {cn} li- bovolná posloupnost, jež je permutací množiny {aibk; i,k e N}, pak řada Xc« konverguje absolutně a platí ^2cn - a ■ b. Důkaz. Nechť X \an\ - s, X \bn\ - ť takže \ax\ + \a2\ + ■ ■ ■ + \a(\ < s pro každé i e N a \bi \ + \b2\ + ■ ■ ■ + \bk\ < t pro každé íéN. Zvolme libovolně n e N a nechť cx = a,,^,, c2 = ahbkl, ..., c„ = fl,„^„- Je-li i0 = max^j, ř2, ..., /„}, kQ — max{ki, k2, ..., k„}, pak zřejmě Tedy řada X lc« I má ohraničené částečné součty, takže X lc« I konverguje, tj. X cn konverguje absolutně. Podle Věty 3.7 platí Xcn - Ylckn, kde {kn} je libovolná permutace množiny N. Speciálně platí \c\ I + \c2\ + ■ ■ ■ + \cn| = \ah | \bkl | + \ah\ \bkl ! + ••• + \ain \ \bK \ < < (|fl!| + |a2| + • • • + Kl) • (l^iI + \b2\ + ■■■ + \bko\) 3 $n — tn Wn. Odtud plyne sn -» a ■ b, tj. ^ cn - a ■ b. □ Předpoklad absolutní konvergence obou řad ^ an, ^ bn je však značně silný a dá se očekávat, že při speciální volbě permutace (c„) množiny {a,^; i, k e N} lze dokázat konvergenci součinu ^ cn za slabších podmínek. Zaveďme dva typy součinů konvergentních řad: Dirichletovým součinem řad ^ a„, ^ rozumíme řadu ^ c„, kde c„ = fliŔ„ + a2^n + • • • + anbn + a„b„_i +■■■ + anbx; tato řada odpovídá postupu ve schématu (4.1) „po čtvercích": ci\b\ a2bl a^b\ a4b\ a\b2 ; a2b2 a3b2 a4b2 axbj, ; a2b3 ; a4Ŕ3 a\b4 i a2b4 ; ; a4b4 Součin řad a numerická sumace řad Cauchyovým součinem řad ^an, ^bn rozumíme řadu ^ cn, kde c„ = axbn + a2bn_-í + • • ■ + an_xb2+anbx\ tato řada odpovídá postupu ve schématu (4.1) „po diagonálách": ci\b\ a\b2 axbj, ci\b4 ... / / / a2bx a2b2 a2b3 a2b4 ... / / / a^b\ a^b2 a^bj, a^b4 ... / / / a4b\ a4b2 a4bj, a4b4 ... Věta 4.2. Nechť ^an - a, ^bn — b jsou konvergentní řady a nechť ^cn je jejich Dirichletův součin. Pak ^ cn je konvergentní a platí ^ cn — a ■ b. « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 92 z 2f Důkaz. Označíme-li tn částečné součty řady X fl«' wn částečné součty řady X bn a sn částečné součty jejich Dirichletova součinu X cn, potom - jak jsme odvodili v důkaze věty 4.1 - platí sn - tn ■ wn pro každé neN. Avšak tn -» a, wn -» b a tedy sn -» a ■ b, tj. X cn — a • b. □ Pro Cauchyův součin takové tvrzení neplatí: Příklad 4.1. Nechť X<2n = X^« = X(—1)"-^- P°dle Leibnizova kritéria řady Xfln, X^« konvergují. Ukážeme, že jejich Cauchyův součin Xc« diverguje. Vskutku, Cn = ("I) takže n+l y/í y/ň y/Ť, y/n - 1 V« -1 V2 V« VT/ ' i i i yfl ■ y/ň yfl- y/n - 1 1 1 yfň ■ yfl 1 > y/n ■ . 1 1 - + - n n - = 1. Neplatí tedy limc„ = 0 a X cn diverguje podle Věty 1.1. Věta 4.3 (Mertensova). Nechť řady Xfl« = a> ^2lbn — b konvergují a alespoň jedna z nich absolutně. Nechť X cn je Cauchyův součin těchto řad. Pak X cn konverguje a platí ^cn - a ■ b. Součin řad a numerická sumace řad ii « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 93 z 2( Důkaz. Předpokládejme pro určitost, že E an konverguje absolutně. Označme tn částečné součty řady ^an, wn částečné součty řady ^bn a j„ částečné součty jejich Cauchyova součinu ^cn. Je tedy Sn — cl + c2 + ' ' ' + cn — - a\b\ + (a\b2 + aib\) + (fli^3 + a2b2 + a^b\) + ... ■ ■ ■ + (aib„ + a2bn_l + ■■■+ anb\) = - al(bl+b2 + ---+bn)+a2(bl+b2 + ---+bn_l) + ---+anbl - - aiwn+a2wn-\ + ■ ■ ■ +anw\. Označme wn — b - vn; pak je wn - b + vn a protože wn -» b, platí vn -» 0. Odtud s„ =ai(b + vn)+a2(b + t>n-i) + • • -+an(b + vx) = = (fl! + a2 + • • • + an) ■ b + a\Vn + ú^n-i + • • • + a„i;i - tn ■ b + u„, kde m„ = a\vn + a2vn_\ + • • • + a„i;i. Protože ř„ -» a, platí t„ ■ b -» a • takže ukážeme-li , že platí lim m„ = 0, bude tím dokázáno lim sn - a ■ b, tj. E cn - a • b. Protože Elflnl konverguje, je posloupnost jejích částečných součtů shora ohraničená, tj. existuje h e M, h > 0 tak, že platí \a^ \ + \a2\ + • • • + \an\ < h pro všechna n e N. Protože limi;n = 0, je posloupnost {u„} ohraničená, tj. existuje i é 1, i > 0 tak, že platí \vn\ < k pro všechna n e N. Buď e e M, e > 0 libovolné. Protože limi;n = 0, k číslu ^ > 0 existuje «! e N tak, že pro n > nx platí |u„ | < ^.Protože E lflnl konverguje, k číslu ^ > 0 existuje podle Cauchy-Bolzanova kritéria n2 e e N tak, že pro n > n2 a pro všechna m e N platí \an+l \ + \an+2 ! + ••• + \an+m | < jr. Položme «0 = max{ni, n2}. Pak pro všechna n e N, n > 2nQ platí \un\ = \a\Vn + a2vn-\ + ■ ■ ■ + anovn-„0+1 + ano+1vn-„0 + ■ ■ ■ + anV\\ < < |fli| • \vn\ + \a2\ ■ |f„-i| + • • • + \ano\ ■ |u„_„0+i| + + \a„\ -\vi\ < s < (Iflil + \a2\ + ■ ■ ■ + |a„0|) • — + (|fl„0+i| + • • • + \an\) ■ k < 2h < h ■--1--• k — s. 2h 2k Je tedy vskutku lim un — 0 a cn — a ■ b. □ 4.2. Numerická sumace Nechť 2_^i an je konvergentní řada. Její součet s lze psát ve tvaru kde s„ — ci\ + • • • + an je n-tý částečný součet řady a Rn — an+l + an+2 + • • • se nazývá zbytek po «-tém členu. To znamená, že číslo Rn udává velikost chyby, jíž se dopustíme, jestliže přesnou hodnotu součtu dané konvergentní řady aproximujeme částečným součtem. Přitom platí lim Rn - lim(s — sn) = s — s = 0.V tomto odstavci odvodíme některé odhady pro velikost zbytku \Rn\. Aplikace těchto odhadů při přibližném vyjadřování funkčních hodnot a integrálů budou ukázány v Kapitole 7. Lemma 4.1. Necht'^2 an je řada, ^21>„ je konvergentní řada s nezápornými členy a nechť platí \an\ < bn pro všechna n e N. Značí-li rn zbytek po n-tém členu řady ^2,an a Rn zbytek po n-tém členu řady ^ bn> Pak platí \r„ \ < Rn. Důkaz. Z předpokladů věty plyne, že £ an konverguje absolutně. Tedy také konverguje absolutně řada YlkĹi fl«+* a P°dle Poznámky 1.2 a Lemmatu 3.1 platí lr»l = |£!El fl«+-t| < J2Zl lfl«+/fcl < EiEl Ŕ«+/fc = □ Věta 4.4. Nechť {an}^íQ je nerostoucí posloupnost kladných čísel taková, že lima„ = 0. Pak pro zbytek po n-tém členu Rn alternující řady ^(—l)n_1a„ platí I Rn I < • Důkaz. Z Leibnizova kritéria (Věta 3.1) plyne, že řada J^(—l)n_1a„ je konvergentní. Dále platí Rn = (-l)"fln+i + (-l)n+1fln+2 + • • • + (-l)"4*-1^ + ... = = (— l)"(fln+1 — an+2 + fln+3 — fl„+4 + • • • + (—1)* + ...). Opakováním úvah z důkazu Leibnizova kritéria zjistíme, že pro součet a řady v závorce platí an+l — an+2 < er < an+l. Je tedy zejména a > 0 a protože = (-1)" • o-, platí |/ř„| = a < an+l. □ Pokud daná řada není alternující, můžeme pro určování chyby použít následující dvě tvrzení. Věta 4.5. Nechť ^ an je číselná řada, pro kterou platí q < 1 pro všechna n e N. Pak pro zbytek Rn této řady platí \R„ \ < \a„ Součin řad a numerická sumace řad « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 96 z 2( Důkaz. Uvedený předpoklad zaručuje absolutní konvergenci řady Efl« podle Vety 3.5. Protože pro všechna n e N platí \an+l \ < \an \ ■ q, je i \an+2\ < |an+i I • • q < \a„\ ■ q2, \an+3\ < \an+2\ ■ q < \an\ • q3 a obecně indukcí |an+)t| < \an\ ■ qk. Proto podle Poznámky 1.2 a Lemmatu 3.1 platí \R„ k=l £=0 □ Součin řad a numerická sumace řad Veta 4.6. Nechť^2anje konvergentní řada s nezápornými členy. Nechťan - f(n), kde f je nezáporná a nerostoucí funkce na intervalu [1, oo). Pak pro zbytek Rn řady E an platí Rn < Jn°° f(x) dx. Důkaz. Z konvergence řady Efl« plyne konvergence nevlastního integrálu f(x) dx (podle Věty 2.6) a tedy i nevlastního integrálu f(x) dx pro libovolné řieN.V důkazu Věty 2.6 jsme dále odvodili nerovnost an+l < Jn"+1 f (x) dx platnou pro všechna n e N. Dosadíme-li do ní za « postupně «+1, n+2, ... , n+k — l a sečteme takto vzniklé nerovnosti, obdržíme an+l+an+2+- ■ -+an+k < J^+k f(x) dx, kde k e N je libovolné. Protože funkce / je nezáporná na intervalu [n, oo), platí /;+* f(x) dx < /~ f(x) dx. Je tedy an+l + an+2 + • • • + dn+k - ir /wd* pr° všechna ieNa odtud již plyne an+k - Rn < /n°° f{x)dx. □ Příklad 4.2. a) Nalezněte odhad zbytku řady ^ 1 > —, kde p € R, p > 1. t— nP b) Kolik členů řady E-!— t—1 n (n + l)(n +2) je třeba sečíst, aby částečný součet aproximoval přesnou hodnotu součtu s chybou menší než 0,001? c) Kolik členů řady E 2" je třeba sečíst, abychom její součet aproximovali s chybou menší než 0,01? d) Najděte odhad zbytku pro Leibnizovu řadu y^-l)"-1! =in2 Řešení, a) Daná řada konverguje; podle Věty 4.6 platí R«< í J n áx 1 xP 1 - p 1 xP- 1 (p - l)nP~l Například pro řadu X ^ máme pro její zbytek odhad Rn < ^, tj. její konvergence je „pomalá". b) Protože n(n+l)(n+2) 1 Jj, plyne z Lemmatu 4.1 a z předchozího příkladu odhad zbytku Rn < Nerovnost ^ < 0,001, tj. n > 500, je splněna pro n > 23. Stačí tedy sečíst 23 členy řady. Součin řad a numerická sumace řad « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 98 z 2f c) Protože * 'jí (n + l)l 2" n + l podílové kritérium (v limitním tvaru) ukazuje, že řada konverguje. Dále je — pro n > 3. Tedy pro n > 3 platí podle Věty 4.5 Rn < On • 1 _ 2" Nerovnost ^ < 0,01, tj. n\ > 100 • 2" je, jak se snadno přesvědčíme, splněna pro n > 8. Stačí tedy sečíst 8 členů řady. d) Podle Věty 4.4 je \Rn\ < Abychom tedy určili číslo ln2 např. s chybou menší než 0,01, je třeba sečíst alespoň 100 členů řady XX-1)"-1 ~- To ukazuje, že tato řada je nevýhodná pro počítání logaritmů, její konvergence je příliš „pomalá". Jiný způsob výpočtu logaritmů ukážeme v Příkladu 7.4. Cvičení 4.1. Určete Cauchyův součin řad Y- *Y- n=0 n=0 Součin řad a numerická sumace řad « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 99 z 2f 4.2. Nechť q ě!,í > 1. Určete Cauchyův součin řady 5Zn=i » se seb°u samou. Pomocí získaného výsledku určete součet řady ■ 4.3. Kolik členů následujících řad je třeba sečíst, abychom jejich součet aproximovali s chybou menší než 0,01: a) X^l ~nh b) X^l ^ C) X^l(_1)" '|í- 4.4. Kolik členů řady je třeba sečíst, aby zbytek byl menší než 0,0001: oo t oo t CX) *)E--- b)E^2- c)E-- ^ n(n +1)(« + 2)(« + 3) ^«ln2« n=l n=2 n=l Součin řad a numerická sumace řad Součin řad Člověk s jedněmi hodinkami ví přesně, kolik je hodin. Člověk s dvojími si není nikdy jistý. lejstnh Obsah Verze k tisku « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 100 z 21 Kapitola 5 Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Důležitou roli v matematice hrají nekonečné řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V tomto případě mluvíme o řadě funkcí ^ fn(x) a jejím součtem je nějaká funkce f(x). K bouřlivému rozvoji řad funkcí došlo v druhé polovině 17. století a zejména pak v 18. století, kdy byly funkce vyjadřovány ve tvaru nekonečných řad. Středem pozornosti matematiků byly následující otázky pro počítání s nekonečnými řadami funkcí: Jsou-li funkce f„(x) spojité na intervalu I,je také funkce f(x) - ^2 fn(x) spojitá na I ? Kdy lze integrovat nekonečnou řadu funkcí člen po členu, tj. zaměnit pořadí integrace a sumace? Kdy lze derivovat nekonečnou řadu funkcí člen po členu, tj. zaměnit pořadí derivace a sumace? « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 101 z 2( Odpovědi na tyto otázky budou obsahem této kapitoly V následujících dvou kapitolách pak budeme podrobně studovat dva nej důležitější případy řad funkcí, kterými jsou > mocninné řady, kdy funkce f„(x) jsou mocninné funkce, tj. f„(x) - anxn; tyto řady jsou vhodné pro aproximaci (přibližné vyjádření) funkce v okolí bodu x - 0; > Fourierovy řady, kdy funkce f„(x) jsou tvaru f„(x) - an smnx +bn cosnx; tyto řady jsou vhodné pro aproximaci periodických funkcí. Ukážeme, že klíčovou úlohu v těchto problémech hraje velmi důležitá vlastnost řad funkcí, kterou je stejnoměrná konvergence. 5.1. Pojmy posloupnost a řada funkcí Nejprve zaveďme pojem bodové konvergence pro posloupnost funkcí. Definice 5.1. Nechť {fnix)}^ je posloupnost funkcí na intervalu / a xQ e e / je libovolné. Je-li číselná posloupnost {/n(^o)}JSi konvergentní, říkáme, že posloupnost {/nC*)}^! je konvergentní v bodě xQ. Řekneme, že posloupnost funkcí bodově konverguje k funkci f(x) na intervalu I, jestliže konverguje v každém bodě x e /, tj. ke každému x e / a každému s > 0 existuje ň0eN tak, že pro všechna n e N, n > nQ, platí \fn(x) — f(x)\ < s. Píšeme lim fn(x) - f (x) pro x e / nebo /„ -> f na /. Všimněme si, že číslo n0eN závisí jak na volbě čísla s, tak na volbě bodu x e /, takže při témže s a různých x e / může být příslušné nQ různé. Příklad 5.1. Znázorněte prvních n členů posloupnosti funkcí {/nOO}^ a určete její limitu: a) fn(x) - x", x e [0, 1] b) f„(x) - arctgwx, iéM. Řešení. Platí lim xn = 0 x e [0, 1), 1 x = 1, f x>0, lim arctg«x = ^ 0 x = 0, -f x<0. Všimněme si, že limitní funkce obou posloupností jsou nespojité funkce, třebaže funkce x" i arctg nx jsou spojité na M. Obrázek 5.1 byl vygenerován pomocí následující posloupnosti příkazů. > display(seq(plot(x~n,x=0..1,y=0..1,style=line, > color=black),n=l. . 15)) ; > display(seq(plot(aretan((n)*x),x=-10..10, > style=line,] color=black),n=l..5)); Nekonečné řady funkcí definujeme analogicky jako číselné řady a bodovou konvergenci řad funkcí definujeme pomocí bodové konvergence posloupnosti «-tých částečných součtů. Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 103 z 21 o x 1 Posloupnosti a řady funkcí Obr. 5.1: Posloupnosti funkcí {xn} a {arctg«x} Definice 5.2. Nechť {/„(i))™] je posloupnost funkcí definovaných na intervalu /. Symbol ^/„(x) nebo fi(x) + f2(x) ■fn(x)- (5.1) nazýváme nekonečnou řadou funkcí. Posloupnost {sn(x)}^j,kdesn(x) = f\{x) + + ■ ■ ■ + fn(x), nazýváme posloupností částečných součtů řady fn(x)-Jestliže posloupnost částečných součtů {Snix)}^ konverguje pro všechna x e /, řekneme, že řada (5.1) bodové konverguje na intervalu / a funkci s (x) = lim sn (x) nazýváme součtem řady X fn(x) ■ Bodová konvergence posloupnosti funkci, resp. řady funkci, závisí na intervalu, na kterém konvergenci vyšetřujeme. Největší množinu (vzhledem k množinové inkluzi), na níž posloupnost funkcí bodově konverguje, nazýváme oborem konvergence posloupnosti funkcí {/„(x)}. Stejně definujeme obor konvergence řady funkcí ^ fn(x). Příklad 5.2. Určete obor konvergence řady: n=l n(n + l) b) jy»2 n=l Posloupnosti a řady funkcí Řešení. Postupujeme tak, že proměnnou x považujeme za parametr a pro toto x vyšetřujeme absolutní konvergenci, příp. konvergenci, číselné řady. a) Podle podílového kritéria pro číselné řady platí lim lim n(n + l) (« + !)(«+ 2) x" n - lim n^oo n + 2 X = X Proto řada konverguje pro |x| < 1. Jestliže |x| = 1, nelze podílovým kritériem o konvergenci rozhodnout, proto je třeba vyšetřit body x = ±1 zvlášť. Je-li x = 1, dostáváme řadu ,1 a tato řada je konvergentní (viz Pří- ' t—i n(n+l) J o v klad 1.2). Je-li x = — 1, dostáváme řadu XX-1)" n(n'+1), která konverguje absolutně. Pro |x| > 1 není splněna nutná podmínka konvergence. Oborem konvergence dané řady je interval [—1, 1], přičemž konvergence je absolutní. « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 105 z 21 b) V tomto případě se jedná pro všechna x e M o řadu s kladnými členy; použijeme odmocninové kritérium a dostaneme lim v7e~n2x = lim e~nx = 0 < 1 pro x > 0. Pro x = 0 dostáváme řadu ^ 1, která diverguje, a pro x < 0 řadu e"2'*', která je také divergentní. Oborem konvergence dané řady je interval (0, oo). 5.2. Stejnoměrná konvergence Jednou ze základních otázek v teorii posloupností a řad funkcí je, nakolik se vlastnosti členů posloupnosti přenášejí na limitní funkci, resp. součet řady. U některých vlastností nevyvstávají větší obtíže.Například limita posloupnosti (součet řady) nezáporných funkcí je zřejmě také nezáporná funkce; z vlastností posloupností reálných čísel rovněž plyne, že limita posloupnosti (součet řady) neklesajících funkcí je rovněž neklesající funkce. Oproti tomu, jak ukazuje Příklad 5.1, se na limitní funkci obecně nepřenáší velmi důležitá vlastnost, kterou je spojitost. Tím je motivována následující definice „silnějšího typu" konvergence, kterou je stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí: Definice 5.3. Řekneme, že posloupnost funkcí {fnix)}^ konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu /, jestliže ke každému s > 0 existuje n0 e N tak, že pro všechna neN,/i>%a všechna x e / platí \fn(x) — f(x)\ < s. Píšeme /„ f na /. Poznámka 5.1. Se stejnoměrnou konvergenci spojitých funkci na intervalu [a, b] jsme se setkali již v teorii metrických prostorů, kde jsme vyšetřovali metrický prostor (C[a, b], pc) (viz [3], str. 8,22). Připomeňme, že C[a,b] je množina reálných spojitých funkcí na intervalu [a, b] a pc je metrika tzv. stejnoměrné konvergence Pc(f,g)= max \f(x)-g(x)\. Ukažme, že tato definice je ekvivalentní s Definicí 5.3. V metrickém prostoru Pc (C[a, b], pc) posloupnost funkcí {/n}^i konverguje k funkci /, tj. f„(x) -» f(x), jestliže lim pc{fn, f) = 0 <(=» lim maxxe[aM \f„(x) - f(x)\ = 0 <(=» n—>oo n—>oo Ve > 0 3«0 e N V« > «0 platí maxK|fliíl] |/„(x) - < e <(=» Ve > 0 3«0 e N V« > «0 a Vx e [a, ŕ] platí \f„(x) - f(x)\ < e, což je Definice 5.3. Obecně lze v terminologii metrických prostorů definovat stejnoměrnou konvergenci jako konvergenci v prostoru ohraničených funkcí na intervalu / se suprémovou metrikou (viz [3, strana 15]). Geometrický význam stejnoměrné konvergence fn=% f spočívá v tom, že od určitého indexu n0 všechny další členy posloupnosti „leží v epsilonovém okolí" limitní funkce /, tj. mezi grafy funkcí / — e a / + e. Srovnejme definici bodové a stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí. > Bodová konvergence (/„ -> /): (Vx e 7)(Ve eR,s> 0)(3n0 e N)(Vn eN,n> n0)(\fn(x) - f(x)\ < e). Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 107 z 21 > Stejnoměrná konvergence (/„ f): (Ve eR,s> 0)(3n0 e N)(Vx e 7)(V« eN,n> n0)(l/»W - < <0- Vidíme, že se oba pojmy od sebe liší pouze v „pořadí kvantifikátorů" - zatímco v definici stejnoměrné konvergence závisí číslo /i0éN pouze na volbě čísla s > 0, v definici bodové konvergence je n0 závislé i na bodě x e I. Proto ze stejnoměrné konvergence posloupnosti {/„} k funkci f na. I plyne bodová konvergence k / na /. Opak obecně neplatí, jak ukazuje následující příklad. Příklad 5.3. Rozhodněte, zda posloupnost funkcí 2nx fn(x) 1 + n2x2 stejnoměrně konverguje na intervalu [0, 1]. Řešení. Pro každé x e [0, 1] platí 2nx lim fn(x) - lim n^oo 1 + n2X2 0. Limitní funkcí posloupnosti je tedy f(x) - 0. Zjistěme, zda se jedná o stejnoměrnou konvergenci. Buď si přímo všimneme, že /„(-) = 1 nebo postupujeme jako při hledání absolutního extrému funkce y - 1+2^_2 na [0, 1]: určíme první derivace a zjistíme, v kterých bodech je rovna nule. Platí 2nx V 2«(l-«2x2) l+«2x2/ (l+«2x2)2 Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 108 z 21 pro x x a x = — -, přičemž hodnota — - neleží ve vyšetřovaném intervalu. Pro n7 ť n J - dostaneme uvedenou hodnotu /"„(-) = 1. Je-li nyní 0 < s < 1, pak pro každé n e N a x = ^ e [0, 1) platí, že !/„(*) - /(x)| 2«x 0 /»(- 1 > e. 1 + «2x2 Proto není daná posloupnost stejnoměrně konvergentní na intervalu [0, 1]. Stejnoměrnou konvergenci řady funkcí definujeme již snadno pomocí posloupnosti jejích «-tých částečných součtů. Definice 5.4. Řekneme, že řada funkcí ^ f„(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I ke svému součtu s(x), jestliže posloupnost {sn(x)} jejích částečných součtů stejnoměrně konverguje na / k funkci s(x). 5.3. Kritéria stejnoměrné konvergence V tomto odstavci uvedeme kritéria pro vyšetřování stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí a zejména řady funkcí. Následující dvě tvrzení mají spíše teoretický význam a užívají se zejména v důkazech dalších kritérií a vět. Lemma 5.1 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium stejnoměrné konvergence). Posloupnost funkcí {f„(x)} konverguje stejnoměrně na intervalu I právě tehdy, když ke každému s e M, e > 0 existuje nQ e N takové, že pro všechna m,n e e N, m > «0> n — no aPro všechna x e / platí \fm(x) — f„(x)\ < s. Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 109 z 21 Důkaz. Nechť /„ f na / a buď e > O libovolné. K číslu | > 0 existuje n0 e N tak, že pro n > n0 a x e / platí |/„(x) — f(x)\ < |. Tedy pro m > n0, n > n0 a x e / platí |/m(x) - fn(x)\ = |/m(x) - f(x) - [fn(x) - f(x)]\ < \ fm(x) -- f(x)\ + \f„(x)- f(x)\ <§ + §= £. Nechť je splněna podmínka věty. Volíme-li libovolně, ale pevně, bod x0 e /, vidíme, že číselná posloupnost {/„(x0)} je cauchyovská a tedy konvergentní. Je tedy {/„(x)} bodově konvergentní na /. Označme lim fn(x) - f(x); nyní doká- žeme, že /„ f na /. Buď tedy sel, s > 0 libovolné. K číslu § > 0 existuje «o e N tak, že pro m > n0, n > n0 a všechna x e / platí |/„(x) — fm(x)\ < |. Limitním přechodem pro m -» oo odtud plyne |/„(x) — /(x)| < | < s. Tedy opravdu /„ ^ / na /. □ Lemma 5.2 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí). Rada funkcí X fn(x)Je na intervalu I stejnoměrně konvergentní právě tehdy, když ke každému s > 0 existuje n0eN takové, že pro všechna n e N, n > «0, libovolné m e N a a každé x e / /j/aŕí" 1/n+lC*) + /n+2(*) + • • • + /„+m(*)l < £ ■ Důkaz. Podle definice řada X /nOO stejnoměrně konverguje na / k s (x) právě tehdy, když posloupnost částečných součtů sn(x) řady X /nOO stejnoměrně konverguje ks(i). Podle předchozího lemmatu je tato podmínka splněna právě tehdy, když ke každému s e M, s > 0 existuje /i0eN takové, že pro všechna n e N, n > nQ, libovolné m e N a pro všechna x e / platí (x) - sn(x)\ = |/n+i(x) + /n+2(x) + □ Věta 5.1 (Weierstrassovo kritérium). Nechť {fn(x)}je posloupnost funkcí na I. Nechť existuje posloupnost nezáporných čísel {an} taková, že řada ^fln konverguje a platí \fn(x)\ < an pro všechna x e / a n e N. Pak řada ^ fn{x) konverguje stejnoměrně na intervalu I. Důkaz. Nechť jsou splněny podmínky věty. Zvolme s > 0 libovolné. Podle Lemmatu 1.1 existuje ň0eN tak, že pro n > nQ a libovolné m e N platí an+l + an+2 + + ■ ■ ■ + an+m < s. Pak pro n > nQ, libovolné m e N a každé x e / platí \f„+i(x) + ■■■ + fn+m(x)\ < \ f„+i(x)\ + ■■■ + \f„+m(x)\ < Tvrzení nyní plyne z Lemmatu 5.2. □ oo Příklad 5.4. Rozhodněte, zdaje řada ^ ^^-^ stejnoměrně konvergentní na M. Řešení. Pro všechna x e M, n e N platí | sin«x| < 1, a proto sin nx 1 Číselná řada ^ \ je konvergentní (viz Příklad 2.1), proto podle Věty 5.1 řada konverguje stejnoměrně na M. Weierstrassovo kritérium je dobře prakticky použitelné, dává však pouze postačující podmínku stejnoměrné konvergence. K formulaci dalších kritérií, jejichž důkaz lze nalézt např. v [8, 18], zaveďme následující pojmy: Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 111 z 2( O posloupnosti funkcí {f„(x)} řekneme, že je na intervalu / neklesající, resp. nerostoucí, jestliže je číselná posloupnost {/„(x0)} neklesající, resp. nerostoucí pro všechna x0 € I. Posloupnost funkcí, která je buď neklesající, nebo nerostoucí na /, se nazývá monotónní na /. O posloupnosti funkcí {/„(x)} řekneme, že je na intervalu / stejnoměrně ohraničená, jestliže existuje k e M, k > 0 tak, že pro všechna n e N a všechna x e / platí \f„(x)\ < k. Věta 5.2 (Dirichletovo a Ábelovo kritérium). Nechť {f„(x)}, {g„(x)} jsou posloupnosti funkcí na I, {g„(x)} je monotónní na I. Nechť je splněna některá z následujících podmínek: 1. (Dirichlet) Rada X f n (x) má stejnoměrně ohraničenou posloupnost částečných součtů a g„(x) z3 0 na I; 2. (Abel) Rada X f n (x) stejnoměrně konverguje na I a posloupnost {g„(x)} je stejnoměrně ohraničená na I. Potom řada X fn(x)gn(x) stejnoměrně konverguje na I. Z Dirichletova kritéria plyne následující kritérium: Důsledek 5.1. Nechťposloupnost částečných součtů řady X f n (x)Je stejnoměrně ohraničená na intervalu I a nechť{an} je monotónni číselná posloupnost taková, ze lima„ = 0. Pak řada X anfnix) konverguje stejnoměrně na I. Příklad 5.5. Dokažte, že řada X S1M^ konverguje stejnoměrně na intervalu [8, 2tí - 8], kde áel, 0 < 8 < jt (viz Obr. 5.2, 5.3). Řešení. V Příkladu 3.5-a) jsme dokázali, že daná řada konverguje na M. Vyšetřeme nyní stejnoměrnou konvergenci. Položme fn(x) - únnx, an - - pro n e N. Podle Příkladu 3.5 je sn(x) — sin x + sin 2x + ■ ■ ■ + sin«x sin ^x sin |x sin jx takže \Sn(x)\ sin; pro x e [S, 2tí — 8]. Posloupnost {an} je zřejmě nerostoucí a lima„ = 0, a proto podle Důsledku 5.1 konverguje řada ^ stejnoměrně na intervalu [8, 2% — 8]. Z obrázku 5.3 je vidět, že v bodech x - kit, kde k e N, se funkce bude „trhat" a součet řady není v těchto bodech spojitou funkcí. Poznamenejme, že uvedená řada se nazývá Fourierovou řadou a její součet je Yl^Li - \(% ~ x) pro x e (0, 2tt) (viz cvičení 8.12). ; Obrázky 5.2 a 5.3 byly vygenerovány pomocí procedury CSsoucetR: > CSoucetR := proč (fce, p, i, rp, ri) > RETURN(di splay(seq(plot(unapply(sum(fce,i > = 1 .. o),p)(p),p = rp,labels = ['', ''] , > discont=true), o = ri))) > end: > with(plots) : > sl:=CSoucetR(sin(n*x)/n,x,n, 0. .2*Pi,1) : > s2:=CSoucetR(sin(n*x)/n,x,n, 0. .2*Pi,4) : Posloupnosti a řady funkcí Obr. 5.2: n-tý částečný součet řady £Si Pro « = 1,4, 35, x e [0, 2tt] > s3:=CSoucetR(sin(n*x)/n,x,n,0..2*Pi,35): > display(sl,s2,s3); > CSoucetR(sin(n*x)/n,x,n,-3*Pi..3*Pi,45); K vytváření animovaných obrázků můžeme použít proceduru AnimR: > AnimR := proc (fee, p, i, rp, poc) > RETURN(animate(unapply(sum(fee,i=l .. o),p)(p), > p = rp,o =1 .. poc, frames = poc)) > end; Posloupnosti a řady funkcí Obr. 5.3: n-tý částečný součet řady t1 Pro n - 45 Řadu pěkných příkladů na stejnoměrnou konvergenci číselných řad je možno najít na adrese http://adela.karlin.mff.cuni.cz/kamrpyrih/animace/k0061/kapitola.htm., Nejjednodušším kritériem pro stejnoměrnou konvergenci posloupnosti je patrně následující upravený „přepis definice": Věta 5.3. Nechť {f„(x)} je posloupnost funkcí na I a an = sup{|/„(x) - f(x)\\x e /}. Platí fn f nal, právě když je posloupnost {an} nulová, tj. lima„ = 0. Příklad 5.6. Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci následujících posloupností: a) fn(x)=x", x E [0, 1) b) f„(x) - arctg«x, x e M. « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 115 z 21 Řešení, a) Pro každé x e [0, 1) platí lim xn - 0. Limitní funkcí posloupnosti {xn} je tedy f(x) - 0. Avšak an - sup{|x"|; x e [0, 1)} = 1, a proto podle Věty 5.3 není posloupnost {xn} stejnoměrně konvergentní na [0, 1). b) Podle Příkladu 5.1 b) platí jt lim arctg nx - — sgn x, x e Avšak pro n e N libovolné platí an — sup{| arctg nx sgn(x)|; x e 2 ' a proto podle Věty 5.3 není daná posloupnost stejnoměrně konvergentní na M. Jiné zdůvodnění, že tato posloupnost není stejnoměrně konvergentní, ukážeme v následujícím odstavci pomocí spojitosti. 5.4. Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad funkcí Stejnoměrná konvergence je v teorii funkčních řad a posloupností velmi důležitá. Na Příkladu 5.1 jsme ukázali, že bodová konvergence není dostatečnou podmínkou k tomu, aby se některé důležité vlastnosti, jako je spojitost funkce, přenášely na limitní funkci. V tomto odstavci ukážeme několik nej důležitějších vlastností stejnoměrně konvergentních posloupností a řad. Nejprve se budeme zabývat otázkou spojitosti, integrace a derivace pro posloupnosti funkcí a poté stejným problémem pro řadu funkcí. Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 116 z 21 Věta 5.4. Nechťposloupnost funkcí {fn(x)} stejnoměrně konverguje na intervalu I k funkci f. Jsou-li všechny funkce f„(x) spojité na 1, je i f(x) spojitá na I. Důkaz. Nechť x0 e /. Buď e e M, s > O libovolné. K číslu | > 0 existuje n0 e N tak, že pro n e N, « > «0 a pro všechna x e / platí | /„ (x) — /(x) | < |; speciálně tedy platí |/„0(x) — f(x)\ < | pro všechna x e /. Funkce /„0 je spojitá na /, tedy i v bodě x0; proto k číslu | existuje okolí 0(xQ) bodu x0 tak, že |/„0(x) — — /„0(x0)| < | pro všechna x e 0(xQ) n /. Odtud plyne pro x e 0(xo) n / vztah \f(x) - f(xQ)\ = |/(x) - /no(x) + /no(x) - /„0(x0) + /„0(x0) - f(xQ)\ < < l/W - /«o(*)l + l/»o(*) - /«o(xo)l + l/»o(*o) - /(*o)l < f + f + f = e, což dokazuje spojitost funkce / v bodě x0. Bod x0 byl však libovolný, a proto je / spojitá na/. □ Příklad 5.7. Uvažujme posloupnosti funkcí z Příkladu 5.1: a) fn(x) - x", x e [0, 1] b) f „(x) - arctg«x, x e M. Funkce x" jsou spojité, avšak jejich limita není spojitá na [0, 1]. Proto posloupnost {xn} nemůže být na tomto intervalu stejnoměrně konvergentní. Podobně plyne, že posloupnost {arctg nx} není stejnoměrně konvergentní na M. Věta 5.4 říká, že stejnoměrná konvergence je dostatečnou podmínkou pro to, aby limita posloupnosti spojitých funkcí byla spojitá. Následující věta ukáže, že v případě monotónní posloupnosti je předpoklad stejnoměrné konvergence nutný. Důkaz lze nalézt v [8, 15]. Věta 5.5 (Diniho). Buď{fn(x)} monotónní posloupnost spojitých funkcí na intervalu [a, b] a nechť fn —> f na I. Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak fn=% f na [a,b]. Věta 5.6. Nechť posloupnost funkcí {f„(x)} stejnoměrně konverguje na intervalu [a, b] k funkci f. Jsou-li všechny funkce f„(x) integrovatelné na [a, b], je i f(x) integrovatelná na [a, b] a platí j^ f(x) dx = lim f„(x) dx, tj. / ( lim /„(x))dx = lim / fn(x)dx. Důkaz. Buď s > O libovolné. K číslu 4(foe_a) > 0 existuje nQ e N tak, že pro všechna n e N, n > nQ a všechna x e [a, ŕ] platí \ fn(x) — f (x)\ < 4(foe_a). Vyberme takové n > nQ pevně; tedy pro všechna x e [a, b] platí /„(x) — 4(fo1a) < < f (x) < /„(x) + 4(foe_a). Odtud mj. plyne, že / je ohraničená na [a, b], neboť /„ je ohraničená. Protože /„ je integrovatelná na [a, b], k číslu | > 0 existuje dělení D - {x0, x\, ..., xk} intervalu [a, b] takové, že S(D, fn) — s(D, fn) < |, kde S(D, fn), s(D, fn) je dolní a horní součet /„ při dělení D (viz např. [14]). Označíme-li mt - inf{/(x); x e [x,-!, x,]}, Mt - sup{/(x); x e [x,-!, x,]}, = = inf{/„(x); x e [x,-!, x,]}, Afr- = sup{/„(x); x e [x,-!, x,]}, plyne z předchozích < m; < M,- < Ni + 4(fo1a) pro všechna i = 1, ..., & a tedy i -j. Vynásobíme-li tuto nerovnost kladným číslem (x, — , k, obdržíme nerovnosti «, -Mi - mi < N , 2(h — xŕ_i) a sečteme-li všechny takto vzniklé nerovnosti pro i = 1, 4(b-a) ~ rii S(D, f) - s(D, f) < S(D, /„) - s(D, /„) + 5(D,/„)-í(D,/„) + /t 2(fo-fl) ' XXX< i-l W-l ) = 2 < 2 + 2 e. Je tedy / integrovatelná na [a, b]. Buď nyní opět s > 0 libovolné. K číslu 2(foe_a) > 0 existuje % eN tak, že pro všechna n e N, « > nQ a všechna x e [a, ŕ] platí |/„(x) — f(x)\ < 2(foe_a). Tedy Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 118 z 2( pro všechna n e N, n > nQ platí /•b pb / f„(x)dx - / f(x)dx < Ja Ja < Í \fn(x) ~ f(x)\ dx < J a tj- limC fn(x) dx = Jl /(x)dx. s s -(b — ä) — — < s, 2(b-a) 2 □ Lemma 5.3. Budí interval, x0 e I a {/„(x)} posloupnost funkcí, která stejnoměrně konverguje na I \ {x0} k funkci f(x)1. Nechťpro každé n e N existuje lim f „(x) - an. Pak existuje lima„ a platí lim an - lim f(x), tj. X^XQ X^Xq lim I lim fn(x) I — lim I lim f„{x) n^-oc \x^xq I x^xq \n^-oc Důkaz. Buď s > 0 libovolné. Podle Cauchyova-Bolzanova kritéria k číslu | > 0 existuje «0 e N tak, že pro m > nQ, n > nQ a všechna x e I \ {x0} platí \fm(x) — - fn(x)\ < I- Tedy i lim |/m(x) - f„(x)\ = \am - an\ < B- < e pro m > nQ, ^ x^xq z~ n > nQ, takže číselná posloupnost {an} je cauchyovská, a proto také konvergentní. Označme lim ukažme, že lim f(x) - a. x^xq Buď opět s > 0 libovolné. K číslu | > 0 existuje /i| eN tak, že pro n >nx a všechna x e 7 \ {x0} platí \ fn(x) — f (x)\ < |. Protože lima„ = a, existuje stejnoměrnou konvergencí na množině / n {xq} rozumíme stejnoměrnou konvergenci na intervalech určených touto množinou Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 119 z 2( < |. Položme «3 «2 £ N tak, že pro n > n2 platí \an — a libovolně, ale pevně n > n3. Protože lim fn(x) - tak, že pro x e 0(xQ) n /, x xQ platí \fn(x) — a, x /x0 platí |/(x) -a| < |/(x)-/„(x)| + |/„(x) což dokazuje vztah lim f(x) -a. max{«!,«2} a zvolme an, k číslu | existuje okolí O (x0) ,| < |. Tedy pro x e 0(xo) n /, -an\ + \an-a\ < f+ f+ f = £, □ >x0 Věta 5.7. Buď {f„(x)} posloupnost funkcí, které mají na otevřeném intervalu I derivaci. Nechť{f„(x)} konverguje na I a {/^(x)} konverguje stejnoměrně na I. Pak funkce f(x) - lim f„(x) má na I derivaci a platí f'(x) - lim f'n(x), tj. ( lim /„(*))' = lim f'n (X). Důkaz. Buď x0 e / libovolný, ale pevný bod. Chceme dokázat, že f'(xQ) = lim fú(xo), tj- lim X^-XQ f(x) - f(xQ) X — Xq lim lim fn(x) — fn(Xo) X — Xq Ukážeme, že posloupnost j ^n{x\Jxn^ J stejnoměrně konverguje na / \ {x0}. Buď s > 0 libovolné; protože {/^(x)} konverguje stejnoměrně na /, k číslu s > 0 existuje «0 e N tak, že pro m > nQ, n > nQ a všechna x e / platí \f'm(x) — — f'n(x)\ < e. Volme pro okamžik m > nQ, n > nQ pevně a x e /, x / x0. Podle Lagrangeovy věty existuje číslo c mezi x0 a x tak, že platí (fm(x) — fn(x)) — Posloupnosti a řady funkcí (fm(xo) - f„(x0)) = (fm(c) - /„'(c)) (x - xQ). Odtud plyne f mix) — fm(xQ) fn(x) — fn(Xo) X — Xq 1 X — Xq i(fm(x) ~ f„(x)) - (fm(xQ) - fn(xQ))) Proto je posloupnost | ^x)xJxfxo) } podle Cauchyova-Bolzanova kritéria (Lemma 5.1) stejnoměrně konvergentní na / \ {x0}. Nyní zřejmě fn(x) ~ f„(xQ) f(x) - f(xQ) lim a pro každé n e N existuje lim X^XQ X — Xq X — Xq fn(x)-f„(xp) X —XQ lim /„'(x0) lim lim f(x)-f(x0) X—Xq fn(x) — fn(Xo) Podle Lemmatu 5.3 existuje lim 7^_^XQJ = fř(x0) a platí - lim X^-XQ X — Xq f(x) - f(xQ) ■ lim lim X — Xq X — Xq Bod xQ e / byl libovolný, tedy pro každé x e / platí f'(x) - lim f'n(x). □ Nyní uvedeme věty o spojitosti, integraci a derivaci řady funkcí, které budeme později používat u mocninných řad. Tyto věty dávají velmi mocný nástroj pro práci s nekonečnými řadami tím, že umožňují integrovat, resp. derivovat, stejnoměrně konvergentní řady „člen po členu". Posloupnosti a řady funkcí « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 121 z 21 Věta 5.8. Nechť řada funkcí 2_, fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I a má součet s(x). Jsou-li všechny funkce f„(x) spojité na I, pak je i s(x) spojitá na I. Důkaz. Nechť {sn} je posloupnost částečných součtů řady X fn(x)- Podle předpokladu je sn =3 s na /. Avšak každá funkce sn, jakožto součet konečného počtu funkcí spojitých na /, je spojitá na intervalu /. Tvrzení nyní plyne z Věty 5.4. □ Věta 5.9. Nechť řada funkcí X fn(x) stejnoměrně konverguje na intervalu [a, b] a má součet s(x). Jsou-li všechny funkce f„(x) integrovatelné na [a, b], je i s(x) integrovatelná na [a, b] a platí /b 00 pb pb / °° \ °° pb S(x) dx = Y f«W dx' & / ( zC f"^ ) ^ = Z_l / f" (x) dx. Důkaz. Je-li {sn(x)} posloupnost částečných součtů řady X fn(x), pak sn =3 s na [a, b]. Každá funkce sn(x) však, jakožto součet konečného počtu integrovatelných funkcí, je integrovatelná na [a, b]. Podle Věty 5.6 je s(x) integrovatelná na [a, b]. Dále podle téhož tvrzení je pb pb pb I s(x)dx- lim / sn(x)dx- lim / [f\(x) + ■ ■ ■ + fn(x)] dx — Ja n^°° Ja n^°° Ja lim ' pb pb ~| °° pb / fl(x)dx + ---+ f„(x)dx =Y AW^- J a J a J „ i Ja □ Posloupnosti a řady funkcí Příklad 5.8. Je dána řada funkcí YJ r" cos nx - s(x), kde 0 < r < 1. Ukažte, že n=0 je funkce s(x) spojitá na R, a určete fQ n s(x) dx. Řešení. Ukažme nejprve, že je daná řada stejnoměrně konvergentní na R. K tomu použijme Weierstrassovo kritérium: platí |r"cos«x| < r" pro všechna x e R, přičemž řada YJ r" je geometrická řada s kvocientem \r\ < 1, tj. je konvergentní na R. Protože daná řada je stejnoměrně konvergentní a funkce r" cos nx jsou spojité na R, je spojitá i funkce s(x). K integraci použijeme Větu 5.9 a dostáváme pln °° 1—1 pln pln I r" cos nx dx - / r" cos nxdx - I dx+ + ^ / r" cos «x dx = 2tt + ^ r" sin«x 2it 2jt. Věta 5.10. Buď {f„(x)} posloupnost funkcí majících na otevřeném intervalu I derivaci. Nechť YJ f„(x) konverguje na I a YJ/^(x) konverguje stejnoměrně na I. Pak funkce s(x) - YJ fn(x) má na I derivaci a platí (OO \ / oo £/»(*)) = £/„'(*)■ n=l ' n=l Důkaz. Nechť {,$„} je posloupnost částečných součtů řady YJ fn(x). Pak {,$„} konverguje na / a {s^} stejnoměrně konverguje na /. Podle Věty 5.7 má funkce Posloupnosti a řady funkcí s (x) - E fn(x) derivaci na I a platí s'(x) = lim s'n(x) = lim (f[(x) + ■■■ + /„'(x)) = T f „{x). □ Poznámka 5.2. Za silnějšího předpokladu než je uveden ve Větě 5.10 - mají-li funkce /„(x) spojitou derivaci na otevřeném intervalu I - lze dokázat uvedené tvrzení bez použití Lemmatu 5.3 a Věty 5.7 takto: Nechť s(x) = E /»(*)» S (x) = E /„'(*)■ Pak funkce S (x) je podle Věty 5.8 spojitá na I. Zvolme x0,x\ e /, x\ > x0, libovolné. Podle Věty 5.9 je S(x) integrovatelná na [x0, x\\ a platí Q S(x) dx = Q E /,'(*) áx = E /„'(x) dx = = E (/n(*l) - fn(xQ)) = E ~ E /«(Xo) = ~ s(x0). Jelikož je S (x) spojitá, má funkce f* S (t) dt - s (x) — s(xQ) podle věty o integrálu jako funkci horní meze (viz [13]) derivaci na / a platí S(x) - s'(x), tj. E /n'(x) = = s'(x). Cvičení 5.1. Určete limitu f (x) následujících posloupností {/„(x)} a rozhodněte, zda se jedná o stejnoměrnou konvergenci na intervalu /: Posloupnosti a řady funkcí a) f„(x) = x n _ ^2n b) fn(x) l+nx ' i = [o, i] / = [1, oo) c) fn(x) = e" 5.2. Určete obor konvergence následujících řad ^ fn(x)'- a) fn(x) = (ln*)" c) fn(x) = ± 1 b) /„(Jc)=jc»tgi n+l (3jc244jc+2)" 5.3. Pomocí Weierstrassova kritéria dokažte stejnoměrnou konvergenci následujících řad J2 fn(x): a) /,(*) = Jí, / = [-l,l] d) Mx) = *%-, I b) /„(x) = ^íeM,/ = [-l,l] e) fn(x) - 1 , / = [0, oo) c) /„(*) = / = [-!,!] f, / = [0, oo). 5.4. Dokažte stejnoměrnou konvergenci následujících řad ^ fn(x)'- a) /„(x) b) /„(*)= ln 1 + C) fn(x) sin x sin nx , / = [0, oo) , |x| < a, a e Posloupnosti a řady funkcí 5.5. Určete součet řady funkcí 2_^o r" cos nx ~ s(x)> kde 0 < r < 1, a ověřte, že funkce s(x) je spojitá na M (viz Příklad 5.8). Návod: Sečtěte řadu 2_^o(r" co&nx + ir" sin«x) = Y^^re'x)n■ 5.6. Je dána řada ne~nx. Rozhodněte, zdaje tato řada stejnoměrně konvergentní na [8, oo), 8 > 0, a určete ln 3 00 /»ln 3 '— / £ ■/ln 2 „ , Posloupnosti a řady funkcí Kapitola 6 Mocninné řady V předcházející kapitole jsme vyšetřovali řady funkcí ^fn(x), jejíž členy jsou funkce fn(x) definované na intervalu /. Jestliže za funkce fn(x) zvolíme mocninné funkce fn(x) - an(x — xQ)n, pak takto vzniklou řadu budeme nazývat mocninnou řadou. V této kapitole uvidíme, že obor konvergence mocninné řady je jednobodová množina nebo interval. Ukážeme, že mocninné řady jsou stejnoměrně konvergentní na každém kompaktním podintervalu tohoto intervalu. Jak plyne z předcházející kapitoly, tato vlastnost umožňuje integrovat a derivovat mocninné řady člen po členu. V oddíle 6.3 ukážeme, jak lze funkce vyjádřit pomocí mocninných řad. 6.1. Obor konvergence Definice 6.1. Buď {an}^ posloupnost reálných čísel, xQ libovolné reálné číslo. Mocninnou řadou se středem v bodě xQ a koeficienty an rozumíme řadu funkcí tvaru oo aQ + a\{x — xq) +a2(x — xQ)2 + ■ ■ ■ + an(x — xQ)n + ■ ■ ■ — an(x — xQ)n. n=0 Poznámka 6.1. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že středem mocninné řady je číslo xQ - 0. Jinak pomocí substituce x — xQ - y lze převést řadu o středu v bodě xQ na mocninnou řadu o středu v počátku. Věta 6.1. Necht'^2 anxn je mocninná řada a nechť a — lim sup ý\an \ . Je-li a — 0, pak řada absolutně konverguje pro všechna x e M - říkáme, ze řada vždy konverguje. Je-li a — oo, pak řada diverguje pro všechna x 0 - říkáme, že řada vždy diverguje. Je-li 0 < a < oo, pak řada absolutně konverguje pro \x\ < - a diverguje pro \x\ > i. 1 1 a Je-li O < a < oo, pak se číslo r — - nazývá poloměr konvergence a interval (—r, r) se nazývá konvergenční interval. Chování řady v krajních bodech konver-genčního intervalu je třeba vyšetřit zvlášť, protože závisí na tvaru mocninné řady. Oborem konvergence mocninné řady, která vždy nediverguje, je proto konvergenční interval s případnými jeho krajními body, pokud v nich řada konverguje. Jestliže řada YJa„x" vždy konverguje, tj. a - 0, definujeme její poloměr konvergence jako r = oo a její konvergenční interval jako (—00, 00). Jestliže řada YJa„x" vždy diverguje, tj. a = 00, definujeme její poloměr konvergence jako r = 0. Důkaz Věty 6.1. Nejprve poznamenejme, že každá mocninná řada YJa„x" konverguje ve svém středu, tj. v bodě x = 0. Pro lepší srozumitelnost provedeme důkaz za silnějšího předpokladu, kdy existuje lim ý\an\. Obecný případ lze dokázat obdobně; podrobný důkaz viz např. [8]. Nechť x / 0 je libovolné pevné číslo. Položme cn - anxn a vyšetřujme absolutní konvergenci číselné řady YJ cn. Podle odmocninového kritéria tato řada absolutně konverguje, jestliže platí lim /jej = lim ?J\anxn | = lim ^J\an\ |x|" = |x|lim/íaj = M« < 1-Rozlišme tři případy: (i) Je-li a - 0, pak lim $\cn\ - 0 a řada cn - anxn konverguje absolutně v každém bodě x e M. (ii) Je-li a - 00, je lim ý\c„\ - 00 pro všechna x ^ 0, tj. řada diverguje pro všechna x / 0. (iii) Nechť O < a < oo. Pak lim^J\cn\ — \x\a < 1 •<=>- |x| < — —r, a odkud plyne, že řada ^ c„ = fln*n konverguje absolutně pro \x\ < r a diverguje pro |x| > r. □ Poznámka 6.2. Existuje-li lim ^/|a„| = a, pak má mocninná řada ^ anxn poloměr konvergence 1 limTIoJ (přitom klademe r = oo, je-li a - 0, a r = 0, je-li a = oo). Podle Poznámky 2.1 platí, že existuje-li lim \ ^tl\, pak existuje také lim Zj\an\ a obě jsou si rovny. Proto pokud existuje tato limita, lze poloměr konvergence určit jako r = lim Příklad 6.1. Určete poloměr a obor konvergence následujících mocninných řad: EX t—^ Z. „ t—^ , «x (-l)"(x +2)" oo , f) J^2" j ,2n Řešení, a) Platí an — -, a proto poloměr konvergence je a, ■n n+\ r - lim = lim = 1, n tj. pro x e (—1,1) řada absolutně konverguje. Je-li x - — 1, dosazením do dané řady dostaneme Leibnizovu řadu XX-l)n_1~> která je konvergentní (viz Příklad 3.1). Je-li x - 1, pak dostaneme harmonickou řadu X ~> která je divergentní (Příklad 1.4). Obor konvergence je interval [—1, 1). Řešme nyní tento příklad s využitím Maplu, nejdříve opět metodou „krok za krokem". > a:=n->l/n: rada:=Sum(a(n)*x~n, n=l..infinity); Pro poloměr konvergence dostáváme: > Limit(abs(a(n)/a(n+l)), n=infinity):%=value(%); Vyšetříme nyní krajní body intervalu (—1, 1). Dosazením krajních bodů do dané řady dostáváme číselné řady - o jejich konvergenci, resp. divergenci rozhodneme pomocí procedury csum. Procedura vrací hodnotu true (řada konverguje) nebo falše (řada divirguje). > read 'csum4.txt': > kl:=subs(x=-l, rada);csum(op(1,kl), n); n + l lim n (-1)" n=l true k2 = subs(x=l, rada);csum(op(1,k2), n); oo k2:=Y-^ n n=l falše Tedy oborem konvergence je interval [—1, 1). Nyní se pokusíme výpočet poloměru konvergence zautomatizovat pomocí nových procedur. Uvádíme nejdříve procedury pomocné (používají se v případě, že střed mocninné řady není v bodě 0), vlastní výpočet pak provádí procedura Polomer (rada). Parametr rada zadáváme ve tvaru anxn, případně ve tvaru an(x — xQ)n. > NalezniStred := proč (rada) > local počet, i, poradí, stred; > počet := nops(rada); > for i to počet do if subs(x = 0,op(i,rada)) o > subs(x = 1,op(i,rada)) then > poradí := i fi > od; > stred:= -op(l,subs(x = 0,op(poradí,rada))); > stred > end: Mocninné řady PrevedNaStred := proč (rada) local stred, i, počet, poradi,mocnina, výsledek; počet := nops(rada); for i to počet do if subs(x = 0,op(i,rada)) o subs(x = 1,op(i,rada)) then poradi := i f i od; stred := NalezniStred(rada) ; mocnina := op(2,op(poradi,rada) ) ; if type(rada,'"') then výsledek := x~op(2,rada) else výsledek := rada/op(poradi,rada)*x~mocnina fi; výsledek end: > Polomer := proč (a) > local r, nrada, i, počet, poradí, > mocnina, y, f, g; > nrada := PrevedNaStred(a); počet := nops(nrada); > for i to počet do if > subs(x = 0, op (i, nrada) ) osubs (x = 1, op (i, nrada) ) > then poradi := i fi od; > mocnina := op(poradi, nrada) ; > if type(nrada,'"') then r := 1 else > nrada :=nrada/mocnina; > f:= solve ({y = op (2 , mocnina ) }, {n}) ; > g := subs(y = n,op(2,op (f) )) ; > nrada := subs(n = g,nrada); > r := limit(abs(nrada/subs(n = n+l,nrada)), > n = infinity) > fi; > end: Řešení příkladu 6.1. a) s využitím těchto procedur vypadá takto > Polomer(op(1,rada)) ; 1 tj. poloměr konvergence je r = 1. K určování poloměru konvergence je možno použít i proceduru PSconv z balíku math [19]. > with(math):#pouze, pokud je balík instalován > PSconv(rada); 1 b) Pro poloměr konvergence platí r = lim 2"(« + l)2 1 «2 + 2« + l 1 lim---:— = - lim---= -. 2 n^oo n2 2 V krajních bodech intervalu x - ±| dostáváme řady ~ (-1)" oo n=l n=l které konvergují. Proto je oborem konvergence interval [—2, 2]- '■ K řešení dále využíváme obě výše uvedené procedury. > rada:=Sum(2~n*x~n/(n~2), n=l..infinity); 2nxn rada := n=l > Polomer(op(1,rada)) ; > kl:=subs(x=-l/2,rada);csum(op(1,kl) , n); 2" (—)" 2 n=l true k2:=subs(x=1/2,rada);csum(op(1, k2) , n) ; 2" (-)" 2 n=l true Znamená to, že v krajních bodech x - ±± řada konverguje, tj. oborem konvergence je interval \—\, j\. c) Pro tuto řadu je an - ^, a proto r = lim «(« + 1)! lim-= lim« = oo. Obor konvergence je interval (—oo, oo) - řada vždy konverguje. > rada:=Sum(n*x~n/(n!), x=l..infinity); oo rada := n x Použijeme-li proceduru PSconv autora A. F. Walze dostáváme chybný výsledek: PSconv(rada); 1 Námi uvedená procedura Poloměr dává > Poloměr(op(1,rada)) ; oo což je správný výsledek. Mocninné řady « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 136z2( d) Střed této řady je bod xQ - — 2 a poloměr konvergence r = lim ln+\ n + 1 + y/n + 1 = lim -—-= 1. n^oo n + Jn Konvergenční interval je proto x e (—3, — 1). V bodě x - — 3 je řada (-l)"(-3+2)n n + y/ň E— . n + y divergentní, např. použijeme-li srovnávacího kritéria s řadou ^ ■ ^ bodě x -- — 1 je řada E konvergentní podle Leibnizova kritéria (Věta 3.1). Proto je oborem konvergence interval (—3, —1]. ; Opět otestujeme obě procedury. V tomto případě procedura PSconv dává správný výsledek, naopak naše procedura vyžaduje asistenci: > a:=n->l/(n + sqrt(n) ) : > rada:=Sum((-1)~n*a(n)*(x+2)~n, n=l..infinity); (-l)"(x + 2)n rada :— n + y/ň PSconv(rada); 1 > NalezniStred(op(1,rada)); -2 > Polomer(op(1,rada)) ; lim (-1)" (n + 1 + y/n + 1) (« +V«)(-l)(n+1) Zde Maple není schopen spočítat uvedenou limitu. Po úpravě (odstranění absolutní hodnoty) již dostáváme správný výsledek. > limit(a(n)/a(n+l), n=infinity); 1 > kl:=simplify(sub s(x=-3,rada) );csum(op(1,kl) , n); t—1 n + Jn n-l v falše > k2:=subs(x=-l,rada);csum(op(1, k2) , n) ; t—1 n + J n n-l v tme e) Pro poloměr konvergence platí 1 1 r = lim ■ lim (1 + x-)nl lim ■ (í + -)n e Mocninné řady < ► Zpět Videa Pif, počet] Zavřít Konec | Strana 138z2( V krajním bodě x - - není splněna nutná podmínka konvergence (Věta 1.1), neboť užitím 1'Hospitalova pravidla lze ukázat, že lim ■ (1 -Y /(l l— = lim 1 \n\ « ) 1 •v/ě Proto také v bodě x - — - není splněna nutná podmínka konvergence a oborem konvergence je interval (—-, -). f) Zde je Pak pro n - 2k je 2k pro « = 2&, 0 pro « - 2k — 1. ^2* = V2 a pro « = 2£ - 1 je a/2 pro « = 2k, 0 pro n = 2k — 1. 0, tj. Proto lim sup ^/|a„| - ~J2 a poloměr konvergence je r = V krajních bodech x - ±-tť není splněna nutná podmínka konvergence, neboť lim2"(-^) Oborem konvergence je tedy interval (—-^). 6.2. Vlastnosti a součet mocninné řady Jak víme z Kapitoly 5, klíčovou roli u funkcionálních řad hraje stejnoměrná konvergence. Následující věta říká, na jakém intervalu je mocninná řada stejnoměrně konvergentní. Věta 6.2. Nechť r > 0 je poloměr konvergence mocninné řady ^2anxn. Pak tato řada stejnoměrně konverguje na každém uzavřeném podintervalu [—p, p] intervalu (—r, r). Důkaz. Nechť x e [—p, p], kde 0 < p < r. Pak \anxn\ = \an\\xn\ < \an\pn, přičemž číselná řada Y\an\pn konverguje podle Věty 6.1. Z Weierstrassova kritéria (Věta 5.1) plyne, že řada ^ anxn konverguje stejnoměrně na [—p, p]. □ Tato věta má následující tři důsledky o součtu, integraci a derivaci mocninných řad. Důsledek 6.1. Nechť mocninná řada ^2anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak součet této řady je spojitá funkce na intervalu (—r, r). Důkaz. Buďx0 e (—r, r) libovolný, ale pevný bod. Pak existuje p (0 < p < r) tak, x0 e [—p, p]- Z Vět 5.8, 6.2 a ze skutečnosti, že všechny funkce anxn jsou spojité na M, plyne, že součet mocninné řady je spojitá funkce na [—p, p]. Zejména je tato funkce spojitá v bodě x0, a protože x0 je libovolný bod z (—r, r), je tato funkce spojitá na intervalu (—r, r). □ Důsledek 6.2. Nechť mocninná řada Xflnx" má poloměr konvergence r > 0. Pak pro všechna x e (—r, r) ^/ařř /* / °° \ oo x oo ^_n+1 í J]fl„ř" jdŕ = / ««ř"dř = J2a"~i ' (6-1} přičemž mocninná řada na pravé straně má stejný poloměr konvergence r. Důkaz. Vztah 6.1 plyne z Vety 6.2 a 5.10. Dokažme, že mocninná řada na pravé straně vztahu 6.1 má stejný poloměr konvergence. Důkaz provedeme za silnějšího předpokladu, kdy existuje lim f/\an\. Obecný případ lze nalézt v [8, 15]. Použijeme-li Větu 6.1 pro řadu na pravé straně rovnosti (6.1), dostaneme „+l/ \an\ hm "V|a„| 1 lim J-- =- - -, n + 1 lim y n + 1 r neboťlim %y|a„| = lim |«„ | = lim(^/|an|)sr = i a užitím ľ Hospitalova pravidla je lim %/n + l = 1. □ Z Důsledku 6.2 okamžitě plyne tvrzení o integraci mocninné řady v konstantních mezích: Důsledek 6.3. Nechť mocninná řada Xflnx" má poloměr konvergence r > 0. Pak pro libovolný interval [a, b] C (—r, r) platí /J, / OO x OO „j, oo oo J>*»)d* = W anx«*x = Y.itrX-Y.it^X ■ (6-2) Příklad 6.2. Určete součet mocninné řady 2_^o x" a pomocí integrace této řady oo určete součet číselné řady ^ . Řešení. Danou mocninnou řadu lze sečíst jako geometrickou řadu s kvocientem x, kde Ixl < 1. Dostaneme i ■X + x + ■ ■ ■ + x +••• = n=0 l-X Ixl < 1. Poznamenejme, že 2_^o x" = X^i x" 1 a / x" ' ^x = 7T- Odtud plyne, že f2 xn~ldx = —, Jo «2» a podle Důsledku 6.3 je součet číselné řady £^-E/£/"' /"5 1 1 = / -dx = -ln-=ln2. Jo l-x 2 Důsledek 6.4. Nechť mocninná řada ^anxn má poloměr konvergence r > 0. PaÄ £>ro všechna x e (—r, r) platí (OO \ I oo ^ J>„xnj = J](fl„xn)' = ^^„i"-1, (6.3) "n-l n-l n-l přičemž mocninná řada na pravé straně má opět poloměr konvergence r. Mocninné řady Důkaz. Tvrzení o existenci derivace s' (x) arovnost ve vztahu (6.3) vyplynou ihned z Věty 6.2 a Věty 5.9, jakmile dokážeme tvrzení o rovnosti poloměrů konvergence řad v (6.3). Ukažme, že mocninná řada na pravé straně vztahu (6.3) má stejný poloměr konvergence. Důkaz opět provedeme za silnějšího předpokladu, kdy existuje lim\V\an\. Použijeme-li Větu 6.1 pro řadu na pravé straně rovnosti (6.3), dostaneme lim n^/n\an\ = lim "'^/ň lim "^/joj = - , r n neboť lim n~^/\ä^\ = lim \an\^ = linií ýVh\ ) = 7 a lim "^/ň = 1. □ Mocninné řady Příklad 6.3. Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady ^ nxn. Pomocí n=l 00 získaného výsledku sečtěte číselnou řadu ^ ^. n=l Řešení. Poznamenejme, že součet číselné řady ^ ^ jsme určili v Příkladu 1.2 c), a to přímo z definice součtu řady. Ukažme nyní jiný postup sčítání číselných řad -pomocí mocninných řad. Uvažujme mocninnou řadu ^nxn. Její poloměr konvergence je r = = lim — = lim -2- = 1. Součet řady určíme z rovnosti (xnY - nxn~l a z věty a„+\ n+l J v ' J o derivaci řady (Důsledek 6.4). Dostáváme n=l n=l n=l ^ n=l ' ^ ' V ' pro všechna x e (—1, 1). Odtud dosazením za x = | dostaneme Známe-li součet mocninné řady, můžeme určovat součty číselných řad pro všechna x ležící uvnitř konvergenčního intervalu. Chceme-li určit součet číselné řady v krajním bodě konvergenčního intervalu, je třeba použít následující Ábelovu větu: Věta 6.3 (Ábelova). Nechť mocninná řada ^2anxn má poloměr konvergence r, kde 0 < r < 00 a nechť je v bodě x — r tato řada konvergentní. Pak součet s(x) této řady je funkce zleva spojitá v bodě r, tj. platí lim s(x) - X anr"- Důkaz. Stačí ukázat, že za uvedených předpokladů je konvergence řady X anx" stejnoměrná na intervalu [0, r]. Pro x e [0, r] je anxn - anrn (^) ; protože X anfn je konvergentní číselná řada, konverguje stejnoměrně na [0, r]. Dále posloupnost {(^) } je na [0, r] nerostoucí a stejnoměrně ohraničená posloupnost funkcí. Tvrzení nyní plyne z Ábelova kritéria (Věta 5.2). □ Příklad 6.4. Vyjádřete funkci ln(l + x) mocninnou řadou a odtud určete součet 00 Leibnizovy řady XX-1)"-1--Řešení. Pro x e (—1, 1) platí —-— = 1 — x +x2 — x3 + • • • 1 +x Odtud podle Důsledku 6.2 obdržíme pro x e (—1,1) ľx dt ľx ln(l+x)=/ -=/ (1 - t + t2 - t3 + ■ ■ -)dt = Jo 1 + ř Jo 2 3 4 00 n = jc--+---+ ••• = > (-I)""1— . 2 3 4 t— n n-l Pro x - 1 dostaneme Leibnizovu řadu J^(—l)"-1-, což je konvergentní řada, a proto podle Ábelovy věty (Věta 6.3) je její součet \n-l n=l (-1) >----= lim ln(l +x) = ln2. Poznamenejme, že pro x - — 1 řada diverguje, a proto získaný rozvoj funkce ln(l + x) do mocninné řady platí na intervalu (—1, 1]. Příklad 6.5. Určete poloměr konvergence a součet následujících řad: a)E^ b)£«(«+2)x". Řešení, a) Pro poloměr konvergence platí r = lim sup ^/o^ = lim 4" x3/ = 1 Derivací řady člen po členu dostaneme x4""4 4« - 3 / ^ 1 - x4 pro x e (—1, 1). Odtud integrací a rozkladem na parciální zlomky plyne dř 1 f1 dí 1 íx dt ~ x4n-3 _ rx i _ i rx dt i rx dt i rx dt ^ 4« - 3 " Jo 1 - ř4 dí " 4 J0 ~t+4jQ T77 + 2Í0 TT ■2 ' odkud dostáváme 00 „4n-3 E n=l X"" J 1 1 + X 1 -= - ln--h-arctex, x e (—1, 1). 4«-3 4 1- x2 b) Nejdříve upravíme n-tý člen řady tak, abychom jej vyjádřili pomocí deri- vace: (xn+2)' = (n + 2)xn+1, pak (n + 2)x" = - (xn+2)'. x Dalším derivováním dostáváme n(n + 2)xn-' = Q (xn+2)'^ , pak n(n + 2)x" = x Q (xn+2)'^ . Nyní dosadíme do řady OO OO / . x / / . / OO E»(»+2)x- = Emi(0') HME n=l n=l ^ -'V \n=l .n+2 1 / XJ x V 1 — x 3x - 2x2 Mocninné řady Po úpravě je součet řady oo 3 -x .n - X (1-X)3 pro |x| < 1. Odtud např. pro x = ^ dostaneme součet číselné řady oo n(n+2) 3-5 8 27 E 3(1-i)3 9' 8 Poznámka 6.3. Mají-li dvě mocninné řady &nxn ä ^2bnxn stejný poloměr konvergence a týž součet na konvergenčním intervalu, pak platí an - bn pro všechna neN. Důkaz lze nalézt např. v [8, 18]. 6.3. Taylorova a Maclaurinova řada Na rozdíl od předcházejícího odstavce, kdy byla dána mocninná řada a určovali jsme její součet, budeme řešit opačnou úlohu: danou funkci budeme rozvíjet do mocninné řady, tzv. Taylorovy řady. Rozvoje funkcí do mocninných řad mají velké aplikace, kterým je věnována následující Kapitola 7. Připomeňme Taylorovu větu z diferenciálního počtu, kdy je funkce vyjádřena ve tvaru polynomu a zbytku: Nechť / je funkce, která má derivace až do řádu n +1 v uzavřeném intervalu / Jehož krajní body jsou čísla x a x0. Pak platí /(*) = /(x0) + /'(x0) (x - x0) + • • • + /(n)(x0) (x -xQ)n + Rn(x), 1! n\ Rn(x) = ————f(n+l)(ů), kde ů e /, ů Jx, xQ. (6.4) kde R„(x) je Taylorův zbytek, pro který platí x ~ xo)n (n + l)\ Je proto přirozené zavést následující definici: Definice 6.2. Nechť funkce / má v bodě xQ derivace všech řádů. Mocninnou řadu í—' n\ nazýváme Taylorovou řadou funkce / v bodě x0. Je-li x0 = 0, mluvíme o Maclaurinově řadě, která je tedy tvaru ~r^x" ■ n=0 Obecně nemusí platit, že součet Taylorovy řady funkce;/je roven této funkci. Následující dvě věty udávají podmínky, kdy tato rovnost platí. Věta 6.4. Nechť funkce f má v nějakém bodě x0 derivace všech řádů. Pak platí í—' n\ na intervalu I obsahujícím bod x0 právě tehdy, když pro posloupnost {Rn(x)} Taylorových zbytků platí lim R„(x) - 0pro všechna x e /. Důkaz. Rovnost (6.5) platí na 7 právě tehdy, když hmsn(x) - f(x) pro x e I. Avšak sn(x) - Tn(x) - f(x) — Rn(x), takže \imsn(x) - f(x) právě tehdy, když Poznámka 6.4. Dá se ukázat, že lze-li funkci / na nějakém intervalu 7, jehož vnitřním bodem je x0, rozvést do mocninné řady o středu x0, pak je takový rozvoj pouze jediný a je současně Taylorovým rozvojem funkce /. Důkaz tohoto tvrzení lze nalézt v [8]. Věta 6.5. Nechť funkce f má na otevřeném intervalu I derivace všech řádů a nechť posloupnost {/(n)} je stejnoměrně ohraničená na I. Pak Taylorova řada funkce f v libovolném bodě x0 e 7 konverguje na I k f, tj. platí (6.5). Důkaz. Podle předpokladu existuje k e M, k > 0 tak, že |/(n)(x)l < k Pro všechna n e N a všechna x e 7. Podle (6.4) je R„(x) - (n+1); (x — xQ)n+ , odkud \Rn(x)\ < j^y\x - x0|n+1. Protože řada E (^íjilx ~ xol"+1 konverguje pro každé x e 7, jak se snadno přesvědčíme např. podílovým kritériem, platí podle Věty 1.1 lim7?„(x) = 0 na 7. □ k \x - x0|n+1 = 0, proto lim7?„(x) = 0, x e 7. lim (n+ 1)1 Tvrzení nyní plyne z Věty 6.4. □ Příklad 6.6 (Maclaurinovy řady elementárních funkcí). 2 n 00 n ,, a a a v > . (1) e* = 1 + - + — + ••• + — + •••=> ■ 1! 2! n! ^ n! X3 X2n+1 °° X2n+1 (2) sinx = x--+ • • • + (-1)"-+ ... = V(-l)n- 3! (2n + l)! ^ (2n + l)! n=0 x2 „ X2" „ X2 (3) cosx = 1--+ • • • + (-1)"-+ ... = V*(-i)»- 2! (2n)l ^ (2n)\ v2 ..» 00 ..<. t» 1 1 ^ a m . 1 a- (4) ln(l +x)=x-- + ... + (-l)n+1 — + ... = y](-l)n+1 (5) (1 +x)fl = 1 + ( a Ix + •• • + n-0 kde děla číslo ^a\ a(a — l)(a — 2)... (a — n + 1) ly/l/ «! je binomický koeficient. Rozvoje (1), (2) a (3) platí pro x e M, (4) pro x e (-1, 1] a (5) pro x e (-1, 1). Řešení. Rozvoj (4) byl již odvozen v Příkladu 6.4 a je znázorněn na Obr. 6.1. -1 Mocninné řady Obr. 6.1: Funkce ln(l + x) a n-tý částečný součet Maclaurinovy řady této funkce pro n - 1,2,3 Ukažme nyní na rozvoji funkce ln(l + x) některé možnosti, které nám Maple poskytuje pro podporu tématu Taylorova řada. > f:=x->ln(1+x); f := x —> ln(l +x) Určíme Taylorův polynom 3. stupně se středem v bodě 0. Spočtěme potřebné derivace funkce /: > derivacel:=(D)(f); « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 151 z 21 1 derivace 1 :- x l+x derivace2:= (D@@2) (f); derivace! :- x derivace3:= (D@@3) (f); 1 (l+x)2 1 derivace3 :- x -» 2 ■ (l+x)3 Podle věty 6.4 platí: > TayloruvPolynom[3]:=f(0)+derivacel(0)*x+ > derivace2(0)*x~ 2/2+derivace3(0)*x~ 3/6; 1 2 1 , TayloruvPolynom^ :- x — - x + Tento postup lze zobecnit pro libovolnou funkci (splňující předpoklady definice). > TaylorPol:= > (f,xO,n)->sum((D@@i)(f)(xO)/i!*(x-xO)"i,1=0..n); A (D(,))(/)(xO) (x-xoy TaylorPol := (/, xO, n) -» >^- i! í=0 TayloruvPolynom:=TaylorPol(f,0,3); TayloruvPolynom :- x — — x2 + — x3 Ke kontrole výpočtu můžeme použít předdefinovanou proceduru taylor. Proceduru voláme příkazem taylor (f, eqn, n), kde eqn je rovnice tvaru x - c, c je střed Taylorova polynomu. Zápis x - c lze zkrátit pouhým c. Pro takto zadané n platí, že je-li T(x) Tayloruv polynom stupně n — 1 a R(x) - \f(x) — T(x)\, pak lim < oo. jc^O x > taylor(f(x),x=0,4); x — - x2 + - x3 + 0(x4) 2 3 Výsledkem je datová struktura typu ser les. Převod na datový typ polynom provedeme příkazem: > TayloruvPolynom:=convert(%,polynom); 1 2 1 , TayloruvPolynom := x — -x + Nyní vytvoříme procedury pro animaci Taylorových polynomů: > with(plots) : Význam parametrů procedury TRada je shodný s funkcí TaylorPol. Procedura TPlot s vytvoří «-člennou posloupnost, kde i-tý člen je graf Taylorova polynomu ř-tého stupně. > TPlots := proč(f,xO,n,int_x,int_y,degree) > local p,text,tplot,j,bar: > option remember: > p:=[]: > bar:=1/n: > for j from 1 to n do > tplot:=plot(TRada(f,xO,j),x=int_x,y=int_y, > thickness=2,color=COLOR(RGB,0 + j*bar, 0, l-j*bar) ) ; > if degree then > text:=textplot([op(1,int_x)+op(2,int_x)/10, > op(2,int_y),cat('Stupen',j)],align=BELOW); > p:=p,[display(tplot,text)] else > p:=p,tplot; > fi; > od: > end: Příkazem Tplots(f, xO, n, int_x, int_y, degree); proceduru pro vykreslení voláme. xO je střed Taylorova polynomu, n jeho stupeň, int_x a int_y rozsahy zobrazovaných hodnot na osách x a v a konečně degree je proměnná, jež nabývá logických hodnot true nebo false. Pokud je její hodnota true, vypisuje se v grafu i stupeň Taylorova polynomu. > TaylorAnimat := proč(f,xO,n,int_x,int_y) > local p,fplot,tplots: > p:=TPlots(f,xO,n,int_x,int_y,true): > fplot:=display(plot(f(x),x=int_x,y=int_y, > color=aquamarine,thickness=3)): > tplots:=display(fplot, p) : > display(tplots,fplot); > end: > TaylorAnimat2 := proč(f,xO,n,int_x,int_y) > local d,j,fplot,tplots: > option remember: > d:=[]: > for j from 1 to n do > d:=d,[display(TPlots(f,xO,j,int_x,int_y,falše))] > od: > fplot:=plot(f(x), x=int_x, y=int_y, > color=aquamarine, thickness=3): > tplots:=display(fplot,d): > display(fplot,tplots); > end: Význam parametrů u procedur TaylorAnimat a TaylorAnimat2 je shodný s procedurou Tplots. Procedury se liší ve způsobu zobrazování animace, procedura TaylorAnimat zobrazuje spolu s původní funkcí vždy pouze jeden z Taylorových polynomů, procedura TaylorAnimat2 do grafu Taylorovy polynomy postupně přidává. Animace si je možno prohlédnout zde. Ve všech ostatních případech byl tvar Maclaurinovy řady nalezen v diferenciálním počtu, viz např. [13]. Zbývá ověřit, že součet Maclaurinovy řady dané funkce / je právě tato funkce /. (1) Je-li f (x) - ex, pak f(n\x) - ex pro všechna n e N, takže je-li r e M, r > 0, je \f(n\x)\ < ď na [—r, r]. Podle Vety 6.5 konverguje řada (1) k ex na [—r, r]. Protože r e M, r > 0 bylo libovolné, platí tvrzení. (2) Protože sin(n) x - sin(x pro /(x) = sinx platí \f(n\x)\ < 1 pro všechna n e N a všechna x e M. Z Věty 6.5 pak plyne tvrzení. (3) Důkaz tvrzení pro funkci cos x je analogické jako pro sinx. (4) Pro funkci f (x) - (1 + x)a vyjádříme Taylorův zbytek v Cauchyově tvaru (viz [13]): f (n+l)(@x) Rn(x) = -----xn+l(l-@)n, kdeO<0 n + 1 je (£) = 0. Platí proto což je binomická věta. b) Nechť a = -1. Platí ("') l\ _ (-l)(-2)-(-l-ž+l) {—l)k, a proto (1 + x) 1 = 1 - x + x2 což je geometrická řada. Příklad 6.7. Rozviňte následující funkce do Maclaurinovy řady a určete jejich obor konvergence: a) /(*) = ^ b) /(x) = arctgx c) /(x) = In(^) d) /(*)=e-*\ Řešení, a) Položíme-li —x2 = t, dostaneme funkci r—^ = -J= = (1 + ř) 2. Její rozvoj do binomické řady je "(i) n/Ttx2„ (X_2) 4/ (2n)l 2n na intervalu (—oo, oo). Mocninné řady Příklad 6.9. Určete Maclaurinovu řadu funkce tg x. Řešení. Řešme nejprve obecnou úlohu: Nechť h(x) - a předpokládejme, že známe Maclaurinovy rozvoje funkcí f(x), g(x) ve tvaru oo oo /(x) = J]a„x", #(x) = J]£nxn a nechť £0 0. Rozvoj funkce h (x) hledáme ve tvaru mocninné řady s neurčitými oo koeficienty, tj. h(x) - X c„x". Ze vztahu h(x) - pak plyne g(x) -h(x) - f(x) n-0 a tedy oo oo oo ^ ^ bfiX ^ ^ ^«X — ^ ^ £7nX n-0 n-0 n-0 Takto obdržíme rovnost mocninných řad a z Poznámky 6.3 plyne, že tyto řady musí mít stejné koeficienty. Označme oo tg x — Cnx" — Cq + CiX + C2X2 + • • • + c„x" + • • • a dosaďme do vztahu cos x • tg x = sin x Maclaurinovy řady těchto funkcí. Dostaneme \ 2 3 1--+---+ ••• \ ■ (Ca + C\X + C2X + C3X + •••)= X--+---+ ••• 2! 4! 6! / 3! 5! 7! Po roznásobení levé strany obdržíme rovnost dvou mocninných řad, které musí mít stejné koeficienty. Porovnejme koeficienty u odpovídajících si mocnin: c0 = 0 Cl = 1 \cQ + c2 = O =^ c2 = O ' 2! C0 Cl + c3 = 1 1 r 4!Cl ^C2 + C4 = O 2lc3 + c5 — \ C3 - 2! " =^ c4 = O =^ c5 = - 4! J_ 2!3 J2_ 15 - Po dosazení koeficientů do výrazu tg x = X cn*n dostáváme hledaný rozvoj n=0 tgx 1 3 X + -x 3 15 pro x e Mocninné řady Příklad 6.10. Určete součet následujících mocninných řad: (2n+l)jc2" a) X — n=0 n=0 Řešení, a) S využitím věty o záměně derivace a sumace mocninné řady (Důsledek 6.4) můžeme danou řadu napsat ve tvaru E n=0 (2n + l)x = E ^ (*M )'= EV =^7 Platí proto n=0 n=0 E (2n + l)x 2n - (xe ) = e (1 + 2x ) pro x e b) Podle Maclaurinova rozvoje funkce ex je °° v" °° 1 /v' n=0 n=0 v Mocninné řady Nyní určíme součet řady ]P K tomu upravíme «-tý člen řady takto: n=0 «X" / X" = x 2"«! V 2"«! «2x" 2"«! = x x 2"«! Proto 00 9 „ 00 En r v-^ -- > x I x. 2"«! ^ V V 2"«! n=0 n=0 XX EA 2nn\ XIX XX e21 - + — 2 4 Protože obě řady X 2^!x"' 5ľ y^l konvergují, je součet řady En +1 , * / x x \ -x" = ( - + — + 1 ) pro x € R. 2"nl \2 4 / ť Historická poznámka. Nejjednodušším příkladem mocninné řady je geometrická řada 1 + x + x2 + x3 • • • =-. 1 -x Historicky první mocninnou řadu, která není geometrická, objevili indičtí matematici již v 15. století, a to řadu arctg x = x — s jejím důležitým speciálním případem jt 1 1 - = 1- - + -- ... . 4 3 5 Bohužel, tento objev nebyl dlouho znám, a tím neovlivnil rozvoj teorie mocninných řad. Teorie mocninných řad byla započata v době, kdy N. Mercator publikoval (1668)řadu ln(l + x) = x — Racionální funkce, např. 1/(1 + x2), lze rozvést pomocí geometrické řady; rozhodující objev učinil I. Newton (1665), když objevil obecnou binomickou řadu. Poté Newton odvodil řadu 13 5 arcsinx — x + -x3 H--x5 H--x7 + • • • , 6 40 112 odkud pomocí inverze odvodil mocninnou řadu pro sinx. Podrobnosti z historie nekonečných řad lze nalézt např. v [4, 18]. Cvičení 6.1. Určete poloměr a obor konvergence následujících řad: oo a) E^n 0E^ n-\ n-\ oo oo b) E 2"*2n g) E«2*" n-l n-l c) E(-Dn+1f h)E^ n-l n-l °° "_1 °° ( !)2 d) E Í) E (27T)!X e) Eg§*2" J) Pro0 - •- 2n-nl 2n + \ pro x e [—1, 1]. Užití mocninných řad Pro odhad zbytku této řady použijeme Větu 4.5, podle které platí \R„ \ < \a„ l-q kde -*n+l Určeme nejprve obecně qx v závislosti na hodnotě x. Platí (2n + l)!! Í7K ,2n+3 2"-n! 2« + l = x 2«+i.(« + l)! 2«+ 3 (2n - 1)!! x2n+1 (2« + l)2 x pro všechna n e N. 2(« + 1)(2« + 3) Proto pro x = 0,45 dostáváme g = (0,45)2 = 0,2025 a odhad chyby je 0,2025 \R„ \ < \a„ 1 - 0,2025 < 10" Snadno se ověří, že tato nerovnost je splněna pro n - 2, tj. 1,3 s arcsin0,45 = 0,45 + -(0,45)3 + — (0,45)5 = 0,466. 6 40 Příklad 7.3. Určete přibližnou hodnotu čísla jt pomocí tří nenulových členů rozvoje funkce: a) arctgx b) arcsinx. Řešení, a) V Příkladu 6.7-b) jsme odvodili Maclaurinův rozvoj funkce arctgx: 3 5 7 X X X arctgx - x —3" + _5---~ + " ' Pro x e [—1. !]■ Jedna možnost výpočtu čísla jt je dosadit vnitřní bod konvergenčnŕho intervalu, v němž jeho hodnotu známe jt V3 V3 1/V3\3 1/V3 — - arctg-=---- +- - 6 3 3 3V3/5V3 odkud jt = 6^ - \ (^fj + l (^fj ^ = 3,156. Dosadíme-li pravý krajní bod x = 1, dostaneme jt 111 arctg 1 = — = 1--+---+ ••• , 4 3 5 7 odkud plyne jt = 4(1-| + í) = 3,46. Jiná možnost výpočtu je využít součtového vzorce pro arctgx (viz řešení Příkladu 1.2-d)), podle kterého je 1 1 IX arctg - + arctg - = arctg 1 = —. Z rozvoje arctgx určíme přibližnou hodnotu 1 1 1/1\3 1/1\5 1 1 i/i\3 i/r5 arctg - =---- + -1 - I , arctg - =--, 2 2 3 V2/ 5V2/ 3 3 3 V3/ 5 V3 odkud dostaneme jt = 4^arctg \ + arctg = 1,858 + 1,287 = 3,145. b) Postupujeme obdobně: dosadíme známé hodnoty do Maclaurinova rozvoje funkce arcsinx odvozeného v Příkladu 7.2-b), např. x = 1 nebo x = i a dostaneme . / 1 3 \ . jt = 2arcsinl = 2 1 + - + —= 2,483, 6 40/ 1 . /I 1 /1\3+ 3 /lx 5 Tt = 6arcsin-=6 - + - - +— - =3,139. 2 V2 6V2/ 40 V2y Porovnáním s hodnotou na kalkulátoru Jt = 3,1415927... vidíme, že výpočet pomocí obou cyklometrických funkcí arctgx, arcsinx je zhruba stejně přesný. Nej-větší přesnosti v obou případech budeme dosahovat tehdy, jestliže bude hodnota argumentu blízko nuly. Pokud je hodnota argumentu na okraji konvergenčnŕho intervalu [—1, 1], je určená hodnota Jt velice nepřesná. 7.2. Určování funkčních hodnot logaritmů K výpočtu logaritmů je někdy výhodné použít rozvoj funkce ln ý^, který jsme odvodili v Příkladu 6.7-c) 1+x / x3 x5 x2n+1 \ ln-=2 x+ — + — + ••• +-+ ■■■), |x| < 1. (7.2) l-x\ 35 2« + 1 J Srovnáme-li tento rozvoj s rozvojem funkce ln(l + x), liší se oba rozvoje nejen rychlostí konvergence, ale i oborem hodnot vnitřních složek obou logaritmických funkcí. Označme 1 +X gi(x) = l + x, g2(x) = --, x e (-1,1). 1 — x Oborem hodnot funkce g\(x) je interval (0,2), zatímco oborem hodnot druhé funkce interval (0, oo). Např. In3,ln5 nelze vypočítat pomocí rozvoje funkce ln(l +x). Rozdíl v rychlosti konvergence, tj. v počtu členů rozvoje při dané chybě, bude dobře vidět v následujících příkladech. Příklad 7.4. Kolik členů rozvoje následujících funkcí je třeba vzít, abychom určili číslo ln2 s chybou menší než 10~5: 1 + x a) ln(l+x) b) ln-. Řešení, a) Podle Příkladu 6.4 je 1 1 1 ln2 = 1 - - +--- 2 3 4 a podle Vety 4.4 je chyba \Rn\ < Máme-li proto určit číslo ln2 s chybou menší než 10~5, musí být \Rn\ < ^ < 10~5, tj. je třeba sečíst 100000 členů této řady. b) Nejprve určíme hodnotu x, pro kterou je - 2. Přímým výpočtem dostaneme x - | a po dosazení do (7.2) dostaneme ,3 3 V3/ 5V3, Pro odhad chyby Rn v řadě na pravé straně rovnosti použijeme Větu 4.5, podle níž ln2 = 2 \Rn\ < \On\-3— < 10"5, 1 - q Určeme qx v závislosti na hodnotě x: fln+i 2x2n+3 2n + 1 kde 2n + 3 2x 2n+l = X ,2« + 1 2« + 3 < xz pro n e N. Pro x = | dostáváme g = (1) . Numerickým výpočtem ověříme, že pro « = 4 je splněno 1^1 < 2 /l 1 9 1,41 • 10"6 < 10"5. 9 \3 J 9 8 Proto v tomto případě stačí vzít k výpočtu ln2 prvních pět nenulových členů, tj. ln2 = 2 - + -( - .3 3 V 3 11 5\3 - - 7\3 -(- 9\3 0,6931. Z uvedeného příkladu je vidět, že v případě, kdy se hodnota x v rozvoji funkce ln(l +x) blíží k hranici konvergenčního intervalu (—1, 1], je mnohem výhodnější použít rozvoje funkce ln , u kterého dostaneme stejně přesný výsledek při součtu mnohem méně členů. Tento rozvoj je třeba použít také tehdy, kdy hodnota x přesáhne konvergenční interval, např. x - 4. 7.3. Výpočet limit Při určování limit jsme zatím používali elementární způsoby výpočtu (úprava limitní funkce) nebo 1'Hospitalovo pravidlo. K výpočtu některých limit lze někdy velmi výhodně použít mocninných řad. Příklad 7.5. Určete následující limity: a) lim x^q c) lim x^q Vl +X - yYT 2(tgx — sinx) — x3 b) lim d) lim x^q x - x ln 1 + - V x ex sinx — x(l + x) Řešení, a) K vyjádření odmocnin použijeme binomický rozvoj funkcí Vl + x a $1 — x. Dostaneme lim x^Q vi+x - ■■ lim — x^Q X 1 1 , 1 + -x--X ■ 2 8 1 /5 1 lim — I -x--x 1 1 , 1--X--X + • • • 3 9 • ) = lim f - - ——j J x^o\6 12 >o x \6 12 b) Použijeme Maclaurinův rozvoj ln(l + x) a dostaneme 1 lim x^-oc x - x ln 1 + lim x^-oc X — X 1 1 1 1 x 2x2 3x3 4x 4 1 , 1 1 lim---. x^oo \ 2 3x 4x2 Užití mocninných řad « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 179 z 21 c) Použijeme Maclaurinovy rozvoje funkcí tgx, sinx (viz Příklad 6.9 a 6.6) a dostaneme 2 (tgx — sinx) — x3 lim---= _lim2[(x + fx3 + ^ + fx7 + ---)-(x-lx3 + lx5-lx7 + ---)] x^O x5 X3 1 íl , 542 _ \ 1 = lim — -x +-x + • • • = -. «oj5 V4 7! / 4 d) Nejprve určíme Maclaurinův rozvoj funkce ex sinx. Protože Maclaurinovy řady obou funkcí e*, sinx jsou absolutně konvergentní pro všechna x e M, platí podle Věty 4.1 exsinx = I 1 +x + — x2 + • • • | (x—-x3 + • • 2! A 3! Iv= - I 2! 3! x +x2 + —x3--x3 Odtud dostaneme ď sinx - x(l +x) (x+x2 + |x3 - ^x5 + ---) -x(l+x) lim- = lim x^O X3 x^O , 1 1 2 \ 1 lim---x x^oV 3 30 / 3 7.4. Přibližný výpočet integrálů Dosud umíme integrovat funkce, jejichž primitivní funkce jsou tzv. elementární funkce neboli konečného tvaru, tj. lze je vyjádřit pomocí základních elementárních funkcí (např. racionální, exponenciální, goniometrické nebo cyklometrické), pomocí algebraických operací a skládaní v konečném počtu. V tomto odstavci ukážeme, jak lze integrovat některé funkce, jejichž primitivní funkce nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí; takové funkce se nazývají vyšší transcendentní funkce a lze je vyjádřit právě mocninnými řadami. 2 Uvedme příklad: chceme určit primitivní funkci k funkci a e~x . Obě funkce f(x) = e , g(x) = \ x 1 pro x - 0, jsou spojité na M, tudíž k nim existují funkce primitivní. Avšak tyto primitivní funkce nelze nalézt žádnou známou integrační metodou, neboťjde o vyšší transcendentní funkce. Uvedené funkce /, g lze vyjádřit mocninnou řadou a její integrací pak určit jejich primitivní funkce ve tvaru mocninných řad. Příklad 7.6. a) Pomocí prvních tří nenulových členů přibližně vypočtěte J0' e-*2 dx a odhadněte chybu. b) S chybou menší než 10~4 přibližně vypočtěte fQ2 c) Pomocí prvních čtyř členů přibližně vyjádřete fQ2 dx a odhadněte chybu. d) Vyjádřete mocninnou řadou funkci f* dř. ^ 2 Řešení, a) Maclaurinuv rozvoj funkce e~x jsme určili v Příkladu 6.7-d) r2 , X4 X6 „x2n e-* = 1 - x2 +---+ • • • + (-1)"— + • • • , x e R. 2! 3! «! Odtud integrací, přičemž řadu na pravé straně integrujeme člen po členu, dostaneme fx ,2 x3 x5 „ x2n+1 / e_řdr=x--+-+ ... + (_!)»-+ ..., Jo 3 5- 2! v ' (2n + l) •«! kde x e M. Určitý integrál lze pak vyjádřit řadou Jo e~xl dx = 1 - - + —---— + ■■■ + (-1)"- 1 3 5-2! 7-3! (2« +1) •«! což je alternující číselná řada s klesajícími členy. Pro ni platí, že velikost chyby při součtu prvních tří členů je menší než absolutní hodnota čtvrtého členu (viz Věta 4.4), tj. 1 1 \R3\ < -= — < 0,024. 7-3! 42 Přibližná hodnota integrálu fQl e-*2 dx =1 — 1 + ^= 0,77 je určena s chybou menší než 0,03. b) Integrovanou funkci vyjádříme mocninnou řadou —!—- = 1 -x4+x8 + --- + (-l)n - x4n + --- , |x| < 1, 1 + X4 odkud integrací plyne i dx L i+*4 L ^ ■x4+x8 ) dx X --4 5 -(- 5 \2 x13 x4n+1 .. + (- 1)" 4« + 1 i/iy 1 / 13 9 UJ .2 + • • Jedná se o alternující číselnou řadu a podle zadání má být chyba menší než 10~4. Pro n - 3 platí |/?3| < ^ (5) = 9,39 • 10~6 < 10~4, proto stačí sečíst první tři členy. Hledaná hodnota je dx 1+x4 - - 5 V2 1 / l 9 V2 0,4940. c) Nejprve poznamenejme, že integrovaná funkce je spojitá na (0, |) a ohraničená na [0, |], neboť lim = 1. Proto je určovaný integrál vlastní Rie- mannův integrál. Užitím rozvoje funkce arctgx, který jsme odvodili v Příkladu 6.7, je arctgx = 1 + —+ ••• + (-!)" r2n 2n + 1 Ixl < 1. Dosazením do integrálu dostáváme J X L 32 + 52 + + \ l) (2n+i)2 + JQ - Jedná se o alternující číselnou řadu, a proto pro odhad chyby platí \R4\ < a5 = ~ si (2) = 2,4 • 10~5 < 10~4. Hledaná hodnota integrálu je určena s chybou menší než 1CT4. d) Užitím binomického rozvoje funkce (1 + t)a, kde a - i, ř = x4 dostaneme pro všechna x /O, x e (—1, 1) /i 4 1 Odtud plyne lim 2 = 0, a proto lze integrovanou funkci spojitě dodefinovat na celé M. K této funkci existuje primitivní funkce, kterou lze pro x e (—1,1) vyjádřit Maclaurinovou řadou tvaru 7l +ř4 - 1 x3 3x7 21xn ---dř =---+- ř2 4-3 32-7 384-11 7.5. Řešení diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad V tomto odstavci ukážeme, jak lze řešit diferenciální rovnice pomocí mocninných řad. Tato metoda spočívá v tom, že řešení definované v okolí bodu x = x0 hledáme oo ve tvaru mocninné řady y - ^an(x — x0)n. Otázkami konvergence mocninných řad, které jsou řešeními diferenciálních rovnic, se zabývat nebudeme. Rovněž zde nebudeme řešit obecnější úlohu, kdy rovnice má v bodě x = x0 tzv. singulární bod oo a řešení je třeba hledat ve tvaru zobecněné mocninné řady y - *Y^an(x — xQ)k+n, k € M. (např. Besselova rovnice a její řešení Besselovy funkce). Podrobnosti lze nalézt např. v [ ]. Příklad 7.7. Řešte diferenciální rovnice pomocí mocninné řady: a) y" + y = 0 b) y" + kxy = 0. Řešení. Obecné řešení obou rovnic hledáme ve tvaru y - a^+a^x + • • •+anxn + ■ ■ ■. Pak pro derivace této funkce platí y' - fli + 2a2x + 3a3x2 + ■ ■ ■ + nanxn~l + ■ ■ ■ y" - 2a2 + 3 • 2a3x + •••+«(« — l)anxn~2 + ■ ■ ■ . a) Dosazením za y, y" do diferenciální rovnice dostáváme 2a2 + 3 • 2a3x + •••+«(« — l)a„xn~2 + • • • + aQ + a\X + • • • + anxn + ■ ■ ■ = 0, tj. sečtením koeficientů u stejných členů (2a2 + Oq) + (3 • 2a3 + a\)x + • • • + (n(n — l)an + an-2)x"~2 + • • • — 0. Odtud plyne n(n — l)an + a„_2 = 0, tj. an - — , kde a„_2 je rekurentně určeno z předchozích kroků. Z uvedených vztahů je vidět, že přesné určení koeficientů an závisí na volbě a0> a\■ Uvažujme dva případy: 1. Je-li a0 = 0, pak a2n - 0, tj. v řadě se vyskytují pouze liché členy. Pro ax e M libovolné dostaneme a2n+l - a2n-l 2n(2n + 1) = (-D" fll (2« + 1)! a resem rovnice je x^ x y - ax I x — — + ••• + (— 1)" 2n+l 3! (2« + 1)! — fli sinx. 2. Je-li fl! = 0, pak a2n+1 = 0, tj. v řadě se vyskytují pouze sudé členy. Pro aQ e libovolné je a2n - a2n-2 2n(2n - 1) = ... = (-!)" (2n)\ x2 „ x2n y = a0 1--+ --- + (-l)n- y 1 2! (2n)! a0 cos x • Užití mocninných řad Poznamenejme, že je-li aQ - ax - 0, tj. an - O pro všechna n, pak řešení y = 0, což je obsaženo v předchozích případech. Dohromady je obecné řešení y — aQcosx + ci\ sinx, aQ, ci\ e R. b) Postupujeme obdobně. Po dosazení do rovnice za y, y" dostáváme oo oo n(n — l)anxn~2 + kx anxn - 0, po úpravě 2a2 + •••+«(«— l)flnx"~2 + • • • + k(aQx + a^x1 + • • • + a„_3Xn~2 + ■■■) = 0. Odtud a2 = 0 a porovnáním koeficientů u mocniny x"~2 můžeme určit rekurentní vztah pro an: k n(n — l)an +ka„-3 - 0 =>■ a„ =--a„_3 pro « = 3,4, • • • . «(« — 1) Proto a2 = a5 = ■ ■ ■ = 0 a a0> fli volíme libovolně. Dostaneme tyto případy: Je-li fldei libovolné, pak a3 = — |a0 , fl6 = — ^ěfl3 = 7§ôflo atc^-Je-li fl| el libovolné, pak a4 - — \^a\ , ^7 = —j^aA - 7^42fli atď Dohromady obecné řešení lze vyjádřit ve tvaru y - fln I1 — "X3 + X6 + •••)+ fli ( x ——x4 + —-—x7 + •••). v 6 180 J \ 12 12-42 / Příklad 7.8. Určete řešení rovnic při počátečních podmínkách: a) / = l + x-y2, y(0) = l; b) xy(4)+4/"-xy - 1 = 0, y(l) = = 1,/'(l) = -2,y"'(l) = 6. Řešení. Nejprve poznamenejme, že podle věty o existenci a jednoznačnosti Cau-chyovy počáteční úlohy platí, že hledaná řešení obou úloh existují a jsou jednoznačně určena. a) Partikulární řešení hledáme ve tvaru Maclaurinovy řady, kde hodnoty y(n) (0) určíme takto: Dosadíme-li počáteční podmínku do rovnice, dostaneme y'(0) = 0. Postupně pro derivace vyšších řádů platí y" = l-2yy', y" (0) = 1, y'" = -2y'y'-2yy", f (0) = -2, y(4) = -6y'y"-2yy"', y(4)(0) = 4. Partikulární řešení splňující předepsanou počáteční podmínku je i l 2 l 3 ^ 4 y - l + -x--x + -x + ■ ■ ■ . 2 3 6 b) Řešení nyní hledáme ve tvaru Taylorovy řady se středem v bodě x - l m y'(i), n y"(i), ~ y"'(i), , y = y(i) + —fi-i* ~ !) + ^r(x ~ l} + ~l$F(x ~ } "' ■ Při dosazování do Taylorovy řady je třeba určit y(4\l) a případně vyšší derivace. Pro určení y(4)(l) vyjádříme y(4) a dosadíme počáteční podmínky, tj. /l28 [n = 3] 7.5. Určete přibližnou hodnotu výrazu pomocí prvních n členů: a) ln 2 [n = 3] e) log 5 [n = 10] i) ln | [n = 3] b) In 3 [n = 6] f) log 11 [n = 10] j) ln f [n = 5] c) ln5 [n = 9] g) log5 2 [n = 3] k) log i [n = 10] d) lnll [n = 10] h) log2 3 [n = 3] 7.6. Určete následující limity: a) lim ■ b) lim x^0 l\—X— Vl+X2 c) lim--j d) lim e) lim ^ - x2 ln (l + ^) g) lim co»;f2 h) lim 7 (7 - cotg x) i) lim (± - cotg2 x) x^0 x j) lim šsiipi! x^q x k) lim (i - -M Užití mocninných řad « ► Zpět Videa Pif, počet] Zavřít Konec | f) lim tg x —x COS x Strana 190z2( 7.7. Vyjádřete mocninnou řadou: a) f^dt b) f* ln (1+Q 10 1 dl c) /; VT+ř1 dť d) P ,dŕ u> Jo VT^p e^) /*-^- c> Jo l-t" f) J^sin^dř 7.8. Určete přibližnou hodnotu výrazu pomocí prvních n členů nebo se zadanou přesností: b) fQl ^ dx [n = 5] d) Jj' - • arctg | dv [na setiny] 0,5 cU C) '1+JEZ [na tisíciny] r4 I c) J2 e* dx [n - 4] f) _/"' cosx2 dx [na tisíciny] Užití mocninných řad Obsah Verze k tisku i ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana z 7.9. Určete partikulární řešení diferenciálních rovnic: a) y' - y2 - X(x + í) = 0,y(0) = í b) y' + xy2 - 2cosx = 0, y(0) = 1 c) y" - exy = 0, y(0) = 2, /(O) = 1 d) y" - ycosx -x = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 7.10. Vyjádřete řadou obecné řešení diferenciálních rovnic: a) y" + xy' + y - 0 b) y" + ax2y = 0, kde a e M. Hezké chvíle utečou jako nic. Ošklivé trvají véčnost. Kapitola 8 Fourierovy řady Předmětem této kapitoly je vybudování teorie pro aproximaci periodických funkcí. Nejjednodušším netriviálním příkladem periodických funkcí jsou trigonometrické funkce cos«x, sin«x (n e N). Nabízí se proto myšlenka obecnou 2jt--periodickou funkci aproximovat buď lineární kombinací konečného počtu těchto funkcí Tn(x) — aQ + ^^(fl/t co&kx + bt_ sinÄx), aQ, a*, ŕ* e nebo nekonečnou řadou fl0 ■ 'y^(an co&nx + bn sin«x). (8.1) (8.2) n=l Fourierovy řady Funkce tvaru (8.1) se nazývá trigonometrický polynom (název polynom je odůvodněn tím, že užitím elementárních vztahů z trigonometrie lze Tn(x) vyjádřit jako polynom v proměnných cosx, sinx), řada tvaru (8.2) se nazývá trigonometrickou řadou. Ukazuje se, že při úvahách o aproximaci trigonometrickými řadami je podstatnou vlastností ortogonalita systému funkcí {cos«x, sin«x; n e N U {0}}. Kromě systému {cos«x, sin«x} existují další systémy funkcí {cpn(x)}, které splňují obdobné vlastnosti, např. ortogonální polynomy a Besselovy funkce. Všechny tyto systémy mají velké aplikace při řešení parciálních diferenciálních rovnic, podrobnosti lze nalézt např. v [12, 17]. Tato kapitola je rozdělena na tři odstavce: v prvním vybudujeme obecnou teorii Fourierových řad vzhledem k libovolnému ortogonálnímu systému funkcí {cpn(x)}. V druhém odstavci budeme obecné výsledky o Fourierových řadách aplikovat na trigonometrické funkce {cos«x, sin«x} a v třetím odstavci uvedeme podmínky pro konvergenci těchto Fourierových řad. 8.1. Fourierovy řady vzhledem k systému {cpn(x)} Jak jsme naznačili v úvodu, při budování teorie Fourierových řad hraje podstatnou vlastnost ortogonalita (kolmost) systému funkcí {cpn(x)}. Zaveďme následující definice: Definice 8.1. Buďte /, g integrovatelné funkce na intervalu [a, b]. Číslo (/■ J a f(x)g(x)áx nazýváme skalárním součinem funkcí /, g. Funkce /, g se nazývají ortogonální (na intervalu [a, b]), právě když (/, g) - 0. Snadno ověříme tyto vlastnosti skalárního součinu: (1) (/, 8) = (8, f) (2) (f + g,h) = (f,h) + (g,h) (3) (cf, g) = c(f, g) pro c e R (4) (/, /) > 0. Z (2) a (3) plyne indukcí obecněji: (ci/i+ •••+£«/«,£) =ci (fi,g) + --- +c„(f„,g) Definice 8.2. Buď / integrovatelná funkce na intervalu [a, b]. Normou funkce f rozumíme číslo ||/|| = V(/> /)■ Funkce / se nazývá normovaná, právě když 11/11 = 1- Fourierovy řady « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 195z2( Je tedy ||/||2 = f2(x) áx. Všimněme si ještě, že je-li / funkce s vlastností | /1| > 0, pak funkce ■ f je normovaná. Definice 8.3. Buď {cpn} konečná nebo spočetná posloupnost integrovatelných funkcí na intervalu [a, b]. Tato posloupnost se nazývá ortogonální, právě když každé dvě funkce cpm,cpn (m ý n) jsou ortogonální a každá funkce cpn má kladnou normu. Posloupnost {cpn} se nazývá se ortonormální, právě když je ortogonální a každá funkce cpn je normovaná. Posloupnost {cpn} je tedy ortonormální, právě když platí: í 0 pro m 4n = i 1 prom=« Poznamenejme ještě, že je-li {cpn} ortogonální posloupnost, pak 1• m = ll/ll2- J]q2||^| Protože 11/ - ELi <*rf > 0, plyne odtud I^H^H2 < ll/lľ pro libovolné n e N (tzv. Besselova nerovnost). (8.4) Důsledek 8.1. Nechť {cpn} je ortogonální posloupnost funkcí na intervalu [a, b], f integrovatelná funkce na [a, b] a nechťcn (n e N) jsou Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k posloupnosti {cp„}. Pak řada n=l konverguje a platí i/i (8.5) (8.6) n=l Zejména platí limcn\\(pn\\ = 0. Důkaz. Z Besselovy nerovnosti (8.4) plyne, že posloupnost částečných součtů číselné řady (8.5) je shora ohraničená. Protože jde o řadu s nezápornými členy, je tato řada konvergentní (viz Kapitola 3). Z Besselovy nerovnosti (8.4) také plyne, že J]c2||^||2 = lim J]c2||^ l/l n=l Podle Věty 1.1 je pak limc2||»u^i (8.8) Důkaz. Jelikož f-T. Ck*H^II2^0' tj. platí (8.8). □ Poznámka 8.3. Předchozí vztahy se poněkud formálně zjednoduší, je-li posloupnost {cpn} ortonormální. Besselova identita má pak tvar f-Y,wx = \\ff- J2cl Parsevalova rovnost má tvar a podle (8.6) platí y>2<||/||2, limc„=0. n=l 8.2. Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx} V tomto odstavci se budeme zabývat výlučně Fourierovými řadami vzhledem k systému {1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos«x, sin«x, (8.9) Fourierovy řady Protože jsou tyto funkce 2jt-periodické, půjde v tomto případě o aproximaci 2jt--periodických funkcí. Lemma 8.1. Buď f periodická funkce s periodou 2jt, jež je integrovatelná na intervalu [0, 2tt]. Pak pro libovolné a e M platí />a+2n />2n / ./(x)dv- / /(.v)d.v. J a JO Důkaz. Platí />a+2n p2h />a+2n / f(x)áx= / f(x)ůx+ / /(x)dx. Označme symbolem Sn(f) n-tý částečný součet Fourierovy řady funkce /. Funkci / lze na intervalu [xQ — s,xQ + s] vyjádřit jako f - g — h, kde g, h jsou neklesající na tomto intervalu. Z vlastnosti skalárního součinu plyne S„(f) = Sn(g) - Sn(h); můžeme proto předpokládat přímo, že / je neklesající na [xQ — s, x0 + s]. > Buď / integrovatelná funkce na intervalu [—Tt, Tt], xQ e [—jt, Jt], neN. Pak platí 1 n sin(2« + l)ř S„(f)(xQ) = - / [f(xQ + 2ř) + f(xQ - 20] • . f dř. Tt J0 sinř Označme sin(2« + l)ř sin t pro n e N; tato funkce bývá někdy nazývána «-tým Dirichletovým jádrem. > Tzv. princip lokalizace: Buď / integrovatelná funkce na intervalu [—Tt, Tt], x0 e [-Tt, Tt], 8 e R, 0 < 8 < f. Pak platí lim Sn(f)(xQ)-- f [f(xQ + 2t) + f(xQ-2t)]Dn(t)dt n Jo 0. Princip lokalizace ukazuje, že o tom, zda Fourierova řada funkce / konverguje v bodě xQ e [—Jt, Jt] a k jakému součtu, rozhodují pouze vlastnosti funkce / v (libovolně malém) okolí bodu x0. > Buď h e M, h > 0 a nechť / je monotónní funkce na intervalu [0, h]. Pak platí -h lim ľ sin«ŕ jt l/ /(O—— d/ = -/(0+). > Píšeme D„(t) ve tvaru sin(2« + l)t sin(2« + l)ŕ D„(ř) = ——-- = —--- + sin(2« + \)t ■ sin t 1 sin t a dokážeme, že lim í [/(x0 + 2ř) + /(x0-2ř)] Jo > Dokážeme platnost vztahu sinř lim - f [f(x0 + 2t) + f(XQ-2t)]Dn(t)dt * Jo sin(2« + l)ř dř = 0. f(XQ+) + f(XQ-) odkud již limSn(f)(xQ) = i[/(x0+) + /(x0-)]. □ Poznámka 8.6. Nechť funkce / je po částech spojitá na intervalu [— Jt, Jt]. Funkci /* nazveme 2jz-periodickým rozšířením funkce /, jestliže f(x), x e (—Jt, Jt), f(x - 2&Tt), x e ((2k - l)jt, (2k + l)jt), k e [/(-jt+) + /(jt-)] , x - (2k + 1)jt, k e Z. Fourierovy řady « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 211 z 21 Jestliže Fourierova řada funkce / konverguje na intervalu [—tt, tt] k funkci určené v Dirichletově větě (Věta 8.4), pak konverguje na (—00, 00) k 2tt-periodickému rozšíření této funkce. Zejména, je-li funkce / spojitá na intervalu [—tt, jt], Fourierova řada konverguje na (—00, 00) k 2tt-periodickému rozšíření/* funkce /. Poznámka 8.7. Ukažme, jak lze odvozených výsledků využít k nalezení Fourie-rových řad periodických funkcí s periodou p ý 2%. Označme kvůli jednoduchosti p - 2h a předpokládejme, že / je integrovatelná funkce na intervalu [—h,h]. Pak funkce 8(t) = f(-t je periodická s periodou 2tt; je-li přitom / po částech spojitá a po částech monotónní na [—h, h], zřejmě je také funkce g po částech spojitá apo částech monotónní na [—jt, jt]. Proto lze funkci g rozvinout do Fourierovy řady (8.10) na [—jt, jt], odkud zpětnou transformací t - j x obdržíme Fourierovu řadu funkce / na [—h, h] ve tvaru --h > I a„ cos —x + b„ sin —x 2 ^\ h h kde Fourierovy koeficienty jsou dány vzorci 1 ŕ /(x)cos— xdx («eNU{0}), -h h 1 fh «tt bn — — I /(x)sin—xdx (n e N). h J_h h Příklad 8.1. Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) - x2 na intervalu [—tt, tt]. Řešení. Protože/je po částech monotónní a spojitá na [— tt, tt], přičemž/(—tt) = = /(tt), konverguje její Fourierova řada na [—tt, tt] k /. Dále je / sudá, takže bn - 0 pro n e N a Dvojí aplikací metody per partes dostaneme 4 4 an - — cos«tt = — • (-1) . «z n£ Tedy pro x e [—tt, tt] platí: tt2 x =--h 4 > -cos «x 3 ^ n2 Položíme-li zde x = tt, obdržíme odkud Položíme-li x = 0, obdržíme Poznamenejme ještě, že nalezená Fourierova řada konverguje na (—00, 00) a její součet je funkce, jež je 2 Tt-periodickým rozšířením funkce /; její graf je na Obr. 8.2. f Řešme příklad 8.1 nejprve metodou „krok za krokem". Spočítáme koeficienty aQ, an a bn, kde n e N. > a[0]:=1/Pi*int(x~2, x=-Pi..Pi); 2 2 Cit) \— — Tt 3 > assume(n, integer); > a[n]:=1/Pi*int(x~2*cos(n*x), x=-Pi..Pi); fl„_ := 4-— n~£ Protože funkce je sudá, bude koeficient bn roven nule. Tuto skutečnost ověříme výpočtem. > b[n]:=1/Pi*int(x~2*sin(n*x), x=-Pi..Pi); K- := 0 Fourierova řada funkce f(x) - x2 má tedy tvar: > x~2=a[0]/2 + sum(a[n]*cos(n*x)+b[n]*sin(n*x) , > n=l..infinity); 2 1 2 /-sr,A (-ircos(«~x) \ Nyní znázorněme Fourierovy polynomy grafem. Nejdříve vytvoříme funkci four, která pro zadané m vytvoří funkci proměnné x z prvních m členů Fourierovy řady. > four:=m->a[0]/2+sum(a[n]*cos(n*x)+b[n]*sin(n*x), > n=l..m): Například Fourierův polynom F3(x) má tvar: > F [3] (x) =four (3) ; Načteme knihovnu plot s obsahující funkce pro kreslení grafů. > with(plots) : Do proměnné graf 1 uložíme graf funkce x2. > graf1:=plot(x~2, x=-Pi..Pi, color=aquamarlne, > thickness=3): Do proměnné graf 2 graf polynomu F3(x). > graf2:=plot(four(3), x=-Pi. .Pi, color=red) : Grafy zobrazíme společně pomocí příkazu display (Obr. 8.1). > display(graf2, grafl); Nyní vytvořme animaci znázorňující aproximaci funkce x 2 Fourierovou řadou. Pro animaci použijeme prvních 10 členů Fourierovy řady. > clenu:=10: Do proměnné anim uložme animaci polynomu Fm(x) při rostoucí hodnotě m. > anim:=animate(four(m), x=-3*Pi..3*Pi, > m=0..clenu, frames=clenu+1, color=red, > numpoints=150): Obr. 8.1: Funkce x2, x e (—jt, jt) a její Fourierův polynom pro n - 3 Pro společné zobrazení spolu s grafem funkce x 2 opět použijeme příkaz display. > display(anim, grafl); Jak je na animaci vidět, řada konverguje k periodickému rozšíření funkce x2. Nyní se pokusíme tento postup zautomatizovat pomocí vhodných procedur: > restart: > with(plots): Funkce Period(f,a,b) vytvoří periodické rozšíření funkce / zadané na intervalu (a, b). Fourierovy řady « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 216 z 21 > Period:=proc(f, a::realcons, b::realcons) > local f2, modL, L; > L:=abs(b-a): > modL := x->x-floor ( (x-a)/L)*L: > f2:=x->f(modL(x)): > eval(f2): > end: Funkce ClenyFourierRady (f, a, b, m) vytvoří seznam prvních m členů Fourierovy řady funkce / na intervalu (a, b). > ClenyFourierRady:=proc(f, a::realcons, > b::realcons, m::integer) > local aO, L, N, i, rozvoj, porn; > rozvoj:=[]: Zjistíme délku intervalu. > L:=abs(b-a): Spočítáme koeficient aQ, koeficienty an a bn budeme počítat až pro konkrétní hodnoty n. > aO:=eval(1/L*int(f(x), x=a..b)): Počítáme postupně všechny členy a přidáváme je do seznamu. > for i from 0 to (m-1) do > if i=0 then rozvoj:=a0: > else > pom:=2/L*int(f(x)*cos(2*Pi/L*i*x), > x=a..b)*cos (2*Pi/L*i*x)+ 2/L*int(f(x) > *sin(2*Pi/L*i*x),x=a..b)*sin(2*Pi/L*i*x): > rozvoj:=rozvoj,porn: > f i: > od: > eval([rozvoj]): > end: Funkce VytvorPol (sezclenu,m) vytvoří pomocí seznamu členů Fouriero vy řady sezclenu Fourierův polynom Fm(x). > VytvorPol:=proc(sezclenu::list, m::integer) > local i, f, rada; Sečteme prvních m + 1 členů rozvoje a ze součtu vytvoříme funkci proměnné x. > rada:=sum(sezclenu[i+1], 1=0..m): > f:=unapply(rada, x): > f: > end: Animaci znázorňující konvergenci Fourierovy řady vytvoří funkce AnimGrafFourierFce(f,rada,int1,int2,limit,pocclen,inc). 1. parametr - funkce. 2. parametr - seznam členů Fourierovy řady (získaný výstupem procedury ClenyFour ierRady). 3. parametr - horizontální rozsah grafu. 4. parametr - vertikální rozsah grafu. 5. parametr - celkový počet Fourierových polynomů použitých k animaci. 6. parametr - udává, kterým polynomem se začne. 7. parametr - udává rozdíl indexů dvou po sobě následujících polynomů. Na- příklad, budeme-li chtít pouze polynomy F\{x), F3(x) a F5(x), bude roven dvěma. 8. parametr - souřadnice referenčního bodu pro výpis indexu Fourierova polynomu. Údaj je vypisován napravo od zadaného referenčního bodu. Parametr je volitelný. > AnimGrafFourierFce:=proc() local fce, rada, intl, int2, pocclen, inc, limit, i, gl, g2, g3, f, anim, barva2, bod; > fce:=args[1]: > rada:=args[2]: > intl:=args[3]: > int2:=args[4] : > limit:=args [5] : > pocclen:=args[6]: > inc:=args [ 7] : > if (nargs>7) then bod:=args[8] : fi: > anim:=[]: Zkontrolujeme, zda má seznam členů dostatečný počet položek. > if ((nops(rada))<(pocclen+(limit-1)*inc)) then > ERROR(cat{'Seznam clenu obsahuje pouze ', > nops(rada), ' položek, je požadováno alespoň ', > ((limit-1)*inc+l), ' položek.'), NULL); > f i: Do gl uložíme graf původní funkce nakreslený zelenomodře. > gl:=plot(fce, intl, int2, color=aquamarine, > discont=true, thickness=3, numpoints=100); V cyklu budeme vytvářet grafy funkcí odpovídající Fourierovým polynomům. > for i from 0 to (limit-1) do > f:=VytvorPol(rada, pocclen+i*inc): Vytvoříme barevný přechod pro lepší rozlišení jednotlivých polynomů. > barva2:=COLOR(RGB, i/limit, 0, 0.9-i/limit): > g2:=plot(f, intl, int2, color=barva2, > thickness=l, numpoints=200): Pokud jsme zadali více než sedm argumentů, budeme vypisovat i údaj o hodnotě indexu m polynomu Fm(x). > if (nargs>7) then > g3:=textplot([bod[1], bod[2], > convert('m'=pocclen+i*inc, string)], > color=barva2, align=RIGHT): > anim:=anim, display(g3, g2, gl): V opačném případě vykreslíme pouze proložené grafy polynomiálních funkcí. > else > anim:=anim, display(g2, gl): > f i: > od: > end: Řešme nyní příklad 8.1 s pomocí těchto nových procedur. Spočítáme prvních dvacet členů Fourierovy řady funkce x2 na intervalu (—jt, jt). > rada:=ClenyFourierRady(x->x~2, -Pi, Pi, 20): Vytvoříme periodické rozšířeni funkce x2. > fce:=Period(x->x~2, -Pi, Pi): Do proměnné graf 1 uložíme graf periodického rozšíření (Obr. 8.2). > graf1:=plot (fce, -3*Pi..3*Pi, -1.5..11, > color=aquamarine, thickness=3, discont=true): > display(graf1); Nyní spočítáme polynom F0(x) a vykreslíme jeho graf společně s periodickým rozšířením (Obr. 8.3). > pol:=VytvorPol(rada, 0) : > pol(x); 1 ^ — Jt 3 > graf2:=plot(pol, -3*Pi..3*Pi, -1.5..11, > color=red, numpoints=200): > display(graf2, grafl); -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 2 4 6 Obr. 8.2: Period, rozšíření funkce x 2 Obr. 8.3: Fourierův pol. pro n - 0 Fourierovy řady Totéž pro Fourierův polynom F2(x) (Obr. 8.4). > pol:=VytvorPol(rada, 2) : > pol(x); 1 3 tc — 4cos(x) + cos(2x) > graf2:=plot(pol, -3*Pi..3*Pi, -1.5..11, > color=red, numpoints=200): > display(graf2, grafl); Pomocí funkce AnimGraf FourierFce znázorníme první čtyři Fourierovy polynomy do jednoho obrázku (8.5). Obr. 8.4: Fourierův polynom pro n - 2 Obr. 8.5: Fourierovy polynomy pro n = 0, 1,2, 3 > anim:=AnimGrafFourierFce(fce, rada, > -3*Pi..3*Pi, -1.5..11, 4, 0, 1): > display(anim, insequence=false); Použijeme-li v příkazu display volbu insequence=true, místo prokládaného grafu vytvoříme animaci. > anim:=AnimGrafFourierFce(fce, rada, > -3*Pi..3*Pi, -1.5..11, 10, 0, 1, [-7, 10]): > display(anim, insequence=true); Příklad 8.2. Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) - ex na intervalu [0, 2jt]. Řešení. Platí 1 í2n 1 1 ao = - / ex dx = -[e*]2,t = -(e2lt - 1). Jt Jo Jt Jt Dále metodou per partes nalezneme primitivní funkci k funkci ex cos nx ve tvaru ex (cos nx + n sin nx) n2 + 1 a primitivní funkci k funkci ex sin «x ve tvaru ex (sin nx — n cos «x) je tedy £7n — Jt n2 + 1 e* (cos «x + « sin «x) n2 + 1 2it 1 e 2it e^ (sin nx — n cos «x «2 + 1 2it Jt n2 + 1 1 n -(e2*- 1) jt n2 + 1 Protože / je monotónní a spojitá na [O, 2jt], je součet její Fourierovy řady na (O, 2jt) roven přímo /. V krajních bodech tohoto intervalu je součet roven (e2lT + + l)/2, viz Obr. 8.6. Pro x e (O, 2jt) tedy platí: ,2it 1 e = 2 + ^ l«2 + 1 cos nx n2 + 1 sin «x a pro x = O, x = 2jt je součet řady na pravé straně roven (e + l)/2. Odtud obdržíme oo Y — ^ n2 + 1 Tt(e2n + 1) - (e 2ti 1) 2(e 2it 1) Fourierovy řady Obr. 8.6: Periodické rozšíření funkce ex, x e (0, 2tt) Příklad 8.3. Funkci f(x) - x rozviňte na intervalu [0, tt] do kosinové řady. Řešení. Sudé periodické rozšíření této funkce je znázorněno na Obr. 8.7. Přitom platí fl0 2 r x dx — — o ^ « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 225 z 21 Příklad 8.4. Najděte Fourierův rozvoj funkce f(x) - x na intervalu [—1, 1]. Řešení. Periodické rozšíření této funkce je uvedeno na Obr. 8.8. V tomto případě je h - 1; dále je / lichá, a proto an - 0 pro n e N U {0} a bn — 2 J xúnniíxdx- 2 . 2 f1 ---[X COS «Ttx]0 H--/ COS«Ttxdx = H7T H7T JQ 2 2 . 2 =--cos«JtH—-—-[sin«Jtx]0 -—(— 1) Obr. 8.8: Periodické rozšíření funkce x, x e (—1, 1) Tedy 0 oo jt ^ n=l ("I) .n —1 sin«jrx pro x e (—1, 1). Na závěr se budeme zabývat otázkou, kdy Fourierova řada dané funkce / konverguje stejnoměrně na [—jt, jt]. V této souvislosti je vhodné si všimnout, že pokud / je nespojité v alespoň jednom bodě x0 e [— jt, jt], pak její Fourierova řada nemůže konvergovat stejnoměrně, neboť součet stejnoměrně konvergentní trigonometrické řady je podle Věty 5.8 spojitá funkce na [—jt, jt]. Stejnoměrnou konvergenci lze proto očekávat pouze u Fourierových řad spojitých funkcí. Důkaz následujícího tvrzení neuvádíme, lze jej nalézt např. v [8]. Věta 8.5. Nechť'2tt -periodická funkce f(x) je spojitá na intervalu [—jt, jt] a její derivace f'(x) je na temže intervalu po částech spojitá. Pak její Fourierova řada konverguje k funkci f(x) stejnoměrně na intervalu (—oo, oo). Poznámka 8.8. Lze dokázat (viz např. [8]) větu o jednoznačnosti pro součet trigonometrické řady (tzv. Heineho-Cantorova věta): Jestliže trigonometrická řada 2 OO / n=l ^ cos nx + bn sin nx a trigonometrická řada * 00 / cos «x + sin «x mají stejný součet pro všechna x é!\M, kde M je nejvýše spočetná množina, pak platí an = a*, (n = 0, 1, 2, ...), r„ = £*, (« = 1,2,...). Cvičení 8.1. Nalezněte Fourierovu řadu funkce f(x) - sgn(x) na intervalu [—tc, tc] ' -1, x e [-tc,0), sgn(x) — • 0, x — 0, 1, x e (0, tc]. Fourierovy řady « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 228 z 21 Postup je stejný jako v příkladě 8.1. Nejprve ukážeme řešení metodou „krok za krokem". > assume(n, integer); Všimněme si, že funkce sgn(x) je lichá, proto budou členy aQ a an rovny nule. Ověříme výpočtem: > a[0]:=1/Pi*(int(signum(x), x=-Pi..Pi)); aQ '■- 0 > a[n] :=1/Pi*(int(signum(x)*cos(n*x) , > x=-Pi. .Pi) ) ; a„_ := 0 > b[n] :=1/Pi*(int(signum(x)*sin(n*x) , > x=-Pi. .Pi) ) ; (-1)"- - 1 b„~ :=-2—- 7t říje vidět, že pro n sudé je bn - 0; proto další úpravy provádíme pro n liché, tj. n=2k-l. > assume(k, integer); > b[n] :=simplify(subs(n=2 *k-l,b[n] ) ); bn- ■= 4--- 7t(2Jt~-l) Fourierova řada funkce sgn(x): 'sgn(x)'=Sum(b[n]*sin((2*k-l)*x), k=l..infinity); ( \ V"* r ä sin((2&~ -í) x) sgn(x) = 2^ (4--7—) i~=l F2(x)=4- jt (2£~ - 1) Fourierovy polynomy opět znázorníme grafem (Obr. 8.9) a animací. > four:=m->sum(b[n]*sin((2*k-l)*x), k=l..m): Pro k - 2 (n - 3) dostáváme: > F [2] (x) =four (2) ; sin(x) 4 sin(3x) -+-- jt 3 Jt > with(plots) : > graf1:=plot(signum(x), x=-Pi..Pi, > color=aquamarine, discont=true, thickness=3): > graf2:=plot(four(2), x=-Pi..Pi, > color=red): > display(graf2, grafl); > anim:=animate(four(m), x=-6..6, m=1..10, > frames=10, numpoints=250, color=red): > display(anim, grafl); Nyní ukážeme řešení s využitím Mapleovských procedur. Do proměnných a a b uložíme krajní body intervalu. > a:=-Pi:b:=Pi: Definujeme funkci. > fce1:=x->signum(x): Fourierovy řady Fourierovy řady Obr. 8.9: Funkce sgn(x), x e (—jt, jt) a její Fourierův polynom pro n - 3 Spočítáme prvních dvacet členů Fourierovy řady. > rada:=ClenyFourierRady(fcel, a, b, 20): Vytvoříme periodické rozšíření funkce sgn(x). > fce:=Period(fcel, a, b): Graf periodického rozšíření uložíme do proměnné graf 1. > graf1:=plot (fce, -8..8, -1.5..1.5, > color=aquamarine, thickness=3, discont=true): Spočítáme hodnotu polynomu F\ (x) a vykreslíme jeho graf spolu s periodickým rozšířením funkce sgn(x) (Obr. 8.10). > pol:=VytvorPol(rada, 1) : > pol(x); sin (x) > graf2:=plot (pol, -8..8, -1.5..1.5, > color=red, numpoints=200): > display(graf1, graf2); Obr. 8.10: Fourierův pol. pro n - 1 Obr. 8.11: Fourierův pol. pro n - 5 Podobně Fourierův polynom F5(x) je tvaru (Obr. 8.11): > pol:=VytvorPol(rada, 5) : > pol(x); Fourierovy řady sin (x) 4 sm(3x) 4 sm(5x) 4-+--+-- jt 3 Jt 5 Jt > graf2:=plot (pol, -8..8, -1.5..1.5, > color=red, numpoints=200): > display(graf2, grafl); Podobně jako v předcházejícím příkladě použijeme pro vytvoření prokládaného grafu funkci AnimGraf FourierFce (Obr. 8.12) a animace. > anim:=AnimGrafFourierFce(fce, rada, -8..8, > -1.5. .1.5, 3, 2, 2) : > display(anim, insequence=false); > anim:=AnimGrafFourierFce(fce, rada, -8..8, > -1.5. .1.5, 10, 1, 2, [-7.8, 1.3]): > display(anim, insequence=true); 8.2. Rozložte ve Fourierovu řadu funkci /(*) = 0, xe[-jt,0], sinx, x e [0, Jt]. -1.5- Obr. 8.12: Fourierovy polynomy pro « = 1,3,5 8.3. Mějme zadánu funkci /(*) = Rozložte tuto funkci v kosinovou Fourierovu řadu cosx, x e [0, ^], cosx, x e (^, 7t]. « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 234 z 21 8.4. Určete rozvoj periodické funkce s periodou 2jt, která je v základním intervalu periodicity definována: /(*) 0, X - 2 ^ n integrací dokažte vztah 00 E n=l pro každé x e [0, 2tc]. COS«X Tt2 TtX X2 Fourierovy řady « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 236 z 21 8.13. Pomocí Parsevalovy rovnosti dokažte, že pro sudou funkci f(x) na intervalu (—jt, jt) platí vztah ^ + an - \ Iq /2(x) a odtud pro f(x) - x2 odvoďte 8.14. Udejte příklad trigonometrické řady, jež není Fourierovou řadou žádné funkce. Návod: Uvažte Poznámku 8.4. 8.15. Udejte příklad trigonometrické řady, jež bodově konverguje na [—jt, jt], ale není Fourierovou řadou žádné integrovatelné funkce. Návod: Podle Dirichletova kritéria řada ^ konverguje pro každé x e e [—jt, Jt]. Kdyby tato řada byla Fourierovou řadou funkce /, pak podle Poznámky 8.4 i< if-n f2(x) dx, což je spor. 8.16. Dokažte: Jestliže na intervalu [— jt, jt] trigonometrická řada stejnoměrně konverguje, pak je Fourierovou řadou svého součtu. Další příklady rozvojů funkcí do Fourierových řad zpracované pomocí Maplu najdete zde. vzorec SUDA ŽanCos nx Člověk občas narazí na pravdu, ale většinou se otřepe a jde zase dál. Fourierovy řady Kapitola 9 Videoukázky Tato kapitola obsahuje pomocné texty pro sledování videonahrávek. Doporučujeme v jednom okně sledovat videonahrávku, a v druhém mít otevřené tyto texty. 9.1. Klipl: přednáška - nekonečné číselné řady Video spustte otevřením tohoto odkazu (předpokladem je instalace webového prohlížeče a software pro přehrávání videa ve formátu MPEG 1 a jeho asociace s koncovkou .mpg). oo R) Součet řady: Určíme jako limitu posloupnosti «-tých částečných součtů Sn — Cl\ + CI2 + * * * + Cín. 1. 3 limi„ = jel ... ^fl„ konverguje. Platí: an - s =>■ lima„ = 0 (nutná podmínka konvergence řady) 2. 3 limi„ = ±oo ... 5Zfl« diverguje 3. í limi„ ... Y an diverguje Kritéria konvergence Na konvergenci či divergenci řady nemá vliv chování konečně mnoha členů, nemusíme tedy striktně psát an, budeme psát zkráceně Y an. Podle typu nekonečné řady rozlišujeme kritéria 1. řada s nezápornými členy Y an, an > 0 • Srovnávací kritérium - jestliže pro dostatečně velká n je an < bn, pak platí Y bn konverguje =>■ fl« konverguje a„ diverguje => diverguje • Podílové a odmocninové kritérium lim ^f1 - q nebo lim tfa^ - q < 1 > 1 -1 konverguje diverguje nelze nic říci • Limitní srovnávací kritérium „ L < oo, b„ konv. lim f* = L ^ b„ Y2 an konverguje E an diverguje L > 0, E bn div. = 00 • Integrální kritérium Efl« konv. <=>- f f(x)dx konverguje, kde / je 1 klesající a platí f(n) - an. oo 2. Alternující řady ^2(—l)n+lan, an > 0 i Leibnizovo kritérium: řada konverguje, jestliže je posloupnost a„ klesající a lim a„ - 0. 3. Řady s libovolnými členy ^an, an e R • absolutní konvergence (E \an \ konverguje) E o-n absolutně konverguje E On konverguje • neabsolutní konvergence pro řady typu E anb„ - Dirichletovo kritérium: ^anbn konverguje, jestliže lima„ = 0, H----+ bn\ < c (řada E má omezené částečné součty) - Ábelovo kritérium: Ylanbn konverguje, jestliže \bn\ < c a Efl« konverguje. Videoukázky rejstřík _Obsah_| Verze k tisku | Zpět Videa Dif. počet Zavřít Konec Strana 241 z 261 Operace s nekonečnými řadami 1. Algebraické operace (a) součet E an + E ^« = XXfl« + bn) za předpokladu konvergence obou řad (b) součin - situace je mnohem komplikovanější, existuje nekonečně mnoho způsobů, jak definovat součin řad - viz Kapitola 4. 2. Základní zákony pro součet nekonečných řad oo oo (a) Distributivní zákon an) - E kan za předp. konvergence E an i i (b) Asociativní zákon (ax + a2) + (a3 + a4) + ■ ■ ■ - a\ + (a2 + a3)... za předp. konvergence J2 (c) Komutativní zákon ax + a2 + a3 + • • • = a3 + ax + a2 + • • • platí pouze za předp. absolutní konvergence E an 9.2. Klip2: cvičení - řešené příklady na konvergenci řad Video spustte otevřením tohoto odkazu (předpokladem je instalace webového prohlížeče a software pro přehrávání videa ve formátu MPEG 1 a jeho asociace s koncovkou .mpg). Zjistěte konvergenci řad: 2 En -i— Jedná se o řadu s nezápornými členy, použijeme odmocninové kritérium: n/ 9 1 lim 2+ i 2 n Výsledek: řada konverguje. z—' n In n Opět se jedná o řadu s nezápornými členy, nyní ale použijeme integrální kritérium oo oo dx ľ dt ľ dx ľ dt J xlnx J t 2 2 OO. Použili jsme substituci ln x = t. Jelikož integrál diverguje, i daná řada diverguje. n 3- E arccos ■ n + 1 Jedná se opět o řadu s nezápornými členy, nevíme, co čekat - porovnáme tuto Videoukázky řadu s harmonickou řadou V -. Limitní srovnávací kritérium: arccos —x 0 UHosp. arccos ^ lim -= - =r- lim 0 n^-oo 1 n+l—n ,. VH^)1 (n+1) lim -j- ■ —L n2 2 2 lim —=-= lim —-= oo > 0 n^oo / 2"+l („ | 1)2 «^°° V2« + 1 • |« + 1| (n+1)2 ^ ' Řada X ^ diverguje =>■ daná řada diverguje. sin« Emu í — Nyní máme řadu s libovolnými členy, zkusíme absolutní konvergenci: 1 sin« 6" 6" Řada ffí konverguje (např. odmocninové kritérium: limy^ = | < 1) podle srovnávacího kritéria daná řada konverguje absolutně. sin2 n 5- Jedná se o řadu alternující, ale nelze použít Leibnizovo kritérium, protože j J není klesající. Musíme tedy použít nějaký jiný způsob - upravíme dle vzorce pro poloviční úhel výraz sin2 n - 1 c°s2n a rozdělíme původní řadu na dvě řady: (a) XX-1)" 5~ - konverguje podle Leibnizova kritéria. (b) XX-1)"2^5 - řada s libovolnými členy. Upravíme: (—1)" cos2« = cos«Tt cos2« = -(cos«(jt + 2) + cos(jt — 2)). Řada X cos nx ma omezené částečné součty pro x ^Ikit, lim ^ = 0 podle Dirichletova kritéria konvergují řady cos«(jt + 2) ^-^ cos h(tt — 2) EUUS M (JI -I- Z.) n ' ^ a proto konverguje i řada X(—1)" cos 2« 2« Jelikož obě tyto řady konvergují, konverguje i řada původní. 9.3. Klip3: přednáška - nekonečné řady funkcí Video spustte otevřením tohoto odkazu (předpokladem je instalace webového prohlížeče a software pro přehrávání videa ve formátu MPEG 1 a jeho asociace s koncovkou .mpg). oo ^/„(*), X € I n=l Stejnoměrná konvergence • Posloupnost {sn(x)}, x e / konverguje k funkci s(x): yxeI lim sn(x) =s{x), Vjce/VE>o3„0Vn>no '■ \sn(x) ~ s(x)\ < S • Posloupnost {sn(x)}, x e / stejnoměrně konverguje k s(x): Ve>o\n0VxeI '■ \sn{x) ~ s(x)\ < S • Řada ^ fn(x) stejnoměrně konverguje na intervalu /, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost n-tých částečných součtů. Weierstrassovo kritérium: fn(x) stejnoměrně konverguje, jestliže \fn(x)\ < an Vx e / a ^^a„ konverguje. Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad • {sn(x)} stejnoměrně konverguje ks(i) a funkce sn jsou spojité na / s je spojitá na /. Př. {e~nx}, I = [0, oo) '1 x = 0 s(x) = lim e 0 x > 0 Proto posloupnost není stejnoměrně konvergentní. • Derivace řady. Platí (£/»(*))' = £/„'(*) na/ za předpokladu, že YJ/„(x) konverguje na / a YJ/n'(x) konverguje stejnoměrně na /. • Integrace řady. Platí b b j £/„(x)dx = / za předpokladu, že jsou funkce /„ integrace schopné na [a, b] a jestliže je X fn na [a, b] stejnoměrně spojitá. Mocninné řady oo Existuje číslo 0 < r < oo s vlastností (—00, —r) U (r, 00) diverguje (—r, r) konverguje O krajních bodech intervalu (—r, r) nelze obecně nic říci, je třeba je vyšetřit zvlášť. Číslo r se nazývá poloměr konvergence. Každá mocninná řada je stejnoměrně konvergentní na každém uzavřeném podintervalu [—p, p] intervalu (—r, r), kde p < r. Použití: rozvoj funkcí do mocninných řad. Příklad 9.1. Rozviňte do mocninné řady funkci arctgx. Řešení. Nejprve danou funkci zderivujeme a tuto derivaci snadno rozvineme do mocninné řady: (arctgx)' =-- = 1 — x2 + x4 — • • • platí pro |x| < 1. 1 +x2 Nyní pravou stranu zintegrujeme člen po členu a dostáváme požadovaný výsledek x3 x5 arctg x=x —3" + _5--''' Pro 'x' < ^' Výsledky cvičení Kapitola 1 1.1. a) 1 b) j| c) § d) i e) | f) 3 g) 5 h) 1.3. a)-c) divergují 1.4. a) x - 10 b) x Součet obvodu 8(2 + ~Jl), součet obsahů 8. nekonečné geometrické řady: 48 + 24 + 12 + 6 4 Obsah Sierpiňského koberce je P - 1 — 9 14 15 kit nebo x b) 2Z 33 ' 50 ÄTt. 1.5. 1.2. a) 5_H 6 ' ,v" -- ~ 6 1.6. Úloha vede k určení součtu • • • , jejíž součet je s - 96 1.7. tt =0. Kapitola 2 2.1. a) konverguje b) konverguje c) konverguje d) diverguje e) konverguje pro 0 < a < 1, diverguje pro a > 1 f) diverguje g) konverguje pro a > 1, diverguje pro a e (0, 1] h) konverguje i) konverguje j) konverguje k) konverguje 1) diverguje m) konverguje n) diverguje o) diverguje pro a > §» konverguje pro 0 < a < j p) diverguje q) diverguje. 2.2. a2n-\ -- -^tt, a2n - i. 2.3. Neexistuje [Návod: je-li lim sup j/d^ > 1, pak existuje Výsledky cvičení {nk}, nk -» oo tak, že lim n^fa^k > 1. Označíme-li bk - ank, je řada ^bk divergentní. Protože an > 0, je divergentní i řada ^ an. 2.4. viz [5]. Kapitola 3 3.1. a) konverguje b) konverguje c) diverguje d) diverguje e) konverguje f) konverguje. 3.2. a) konverguje neabsolutně b) konverguje absolutně c) konverguje neabsolutně d) diverguje e) konverguje absolutně f) konverguje absolutně g) konverguje absolutně h) konverguje neabsolutně. 3.3. a) Pro x > 0 řada konverguje absolutně, pro x < 0 řada diverguje, b) Pro x e (-, é) řada konverguje absolutně, pro ostatní x řada diverguje, c) Pro \x\ < 2 řada konverguje absolutně, pro \x\ > 2 a x - 2 diverguje, pro x - —2 konverguje neabsolutně. d) Pro x > 0 řada konverguje absolutně, pro x < 0 řada diverguje. Kapitola 4 4-1- E„"o ^ = &X+y 4-2- Cauchyův součin je ^ = ^, odkud plyne ££i £ = (Fo5 4'3- a) " = 5 [VyužiJte ^ 4"5] b) " = 7 [Využijte Větu 4.6] c) n = 5 [Využijte Větu 4.4] 4.4. a) 3(n + l)(n + 2)(n + 3) > 104 b) ln n > 104 Kapitola 5 5.1. a) ne (neboťlim fn(x) - 0 a /„(-^) = \) b) ano (podle definice) 5.2. a) x e e (e, e) b) x e (-2, 2) c) x e (—oo, — 1) U (—|, oo). 5.3. Majorantní řady: 5.4. a) - Weierstrassovo krité- c) - Dirichletovo kritérium a) \ b) 4 c) ^ d) \ e) f) 'n1 ' ns ' 2" 'n1 ' n(n+l) 7 rium (-37=) b) - Weierstrassovo kritérium (- ./17 4 fi in ti Kapitola 6 0). 5.5. 1 —r cos x 1—2r cosx+r2 5.6. Výsledky cvičení 6.1. a) r = 1, (-1, 1) b) r = -^ (-J=, J=) c) r = 1, (-1, 1] d) r = = 3, [-3, 3) e) r = oo f) r = 1, (-1, 1) g) r = 1, (-1, 1) h) r = 1, [-1, 1] i) r = 4, (-4, 4) j) r = oo k) r = oo 6.2. a) |x| < 1 b) (1 X) (x + 1) ln(l + x) - x, x e (-1, 1] c) arctgx, |x| < 1 d) (l~x2)2, \x\ < 1 e) 2ln^, |x| < 1 f) arctgx, |x| < 1 g)±ln^, |x| < 1 h)2x arctgx-ln(l + +x2), |x| 4n2-l «> J W - n -r 2 am.* ^ ^„=1 4n2_j o. Q A _ H 1 cos(2n-l)* v-^°° í' 0'í»'/^;-4 n 2^„=l (2n-l)2 + 2^k=l í r> y r- r n 4 x—voo - n n cos(2n+l)jt ' - n ^ n l^n=\\ í> 4n2-l J yA> ~ 4 it i-n=\ (2n-l)2 _l)k-UjnM S5 f(x) = £~ ^ S6 f(x) = ^(.i)^ 8.7./(x) = ^(-l)»íggŕ. 8Ä/(i) = iE^^f.Ž 8.9. tt - ^ - í.., —2 _2 ..... _ -—.rv-\ „:„ í: -^2 = ¥ + 4E£1(-D i _ Z _ 4Z_ 1 - 2 n2 2^*=1 (2n-l)2 /t2 ' 12 (2n-l)nx COS 1-p— 6 8.10. x = n - 2 ^ f 8.11. Výsledky cvičení Použitá literatura [1] Berman G.N.: Sborník zadačpo kursu matematičeskogo analýza, Nauka, Moskva, 1971. [2] Děmidovič B. P.: Sborník zadač i upražněnij po matematičeskomu analýzu, Nauka, Moskva, 1964. [3] Došlá Z. - Došlý O.: Metrické prostory, teorie a příklady, Masarykova univerzita, Brno, 1996. [4] Edwards, C. H.: The Historical Development of the Calculus, Springer--Verlag, 1979. [5] Fichtengolc G. M. : Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija II, III, Nauka, Moskva, 1966. [6] Heck A.: Introduction to Maple, Springer-Verlag, New York, 1993. [7] Israel R.: Maple Advisor Database, http://www.math.ubc.ca/~israel/advisor/, 1998. [8] Jarník V.: Diferenciální počet II, Academia, Praha, 1974. [9] Jarník V.: Diferenciální rovnice, Academia, Praha, 1956. [10] Kroutil P.: Absolutní konvergence číselných řad a řady funkcí, diplomová práce MU Brno, 1998. [11] Kuběna P.: Nekonečné řady s programem Maple, diplomová práce MU Brno, 2001. [12] Kufner A. - Kadlec J.: Fourierovy řady, Academia, Praha, 1969. [13] Novák V.: Diferenciální počet v M, skriptum Masarykovy Univerzity, Brno, 1996. [14] Novák V.: Integrální počet v M, skriptum Masarykovy Univerzity, Brno, 1996. [15] Novák V.: Nekonečné řady, skriptum UJEP, Brno, 1981. [16] Rovenski V.: Geometry of Curves and Surfaces with Maple, Birkhäuser, Boston, 2000. [17] Tichonov A. N. - Samarskij A. A.: Rovnice matematické fyziky, Nakladatelství ČSAV, Praha, 1955 (překlad z ruštiny). [18] Veselý J.: Matematická analýza pro učitele, Matfyzpres Praha, 1997. [19] Walz A. F.: The math package, http://sunsite.informatik.rwth-aachen. de/maple/mplmath.htm, 2001. [20] Westermann T.: Mathematishe Begriffe visualisiert mit Maple V, Springer, Heidelberg, 2000. [21] Wright F.: Computing with Maple, CRC Press, Boca Raton, 2002. Rejstřík Abel, 75 Achilles, 13 d'Alembert, 50 Archimedes, 13 Bernoulli, 29 Bessel, 185, 200 Besselova identita, 200 nerovnost, 200 binomická řada, 157 věta, 157 Bolzano, 55 Cantor, 228 Cauchy, 55 derivace mocninné řady, 142 posloupnosti funkcí, 120 řady funkcí, 123 diferenciální rovnice, 185 Dini, 117 Dirichlet, 75 Dirichletovo jádro, 210 divergence číselné řady, 15 vybraných řad, 78 Fourier, 113 Fourierovy koeficienty, 198, 205 funkce cyklometrická, 175 elementární, 181 Rejstřík konečného tvaru, 181 mocninné, 102 po částech monotónní, 209 po částech spojitá, 209 vyšší transcendentní, 181 Grandi, 29 Herne, 228 l'Hospital, 178 integrace mocninné řady, 141 posloupnosti funkcí, 118 řady funkcí, 122 klip cvičení - řešené příklady na konvergenci řad, 243 přednáška - nekonečné číselné řady, 239 přednáška - nekonečné řady funkcí, 246 kombinační číslo, 157 konvergence absolutní, 33, 70 bodová, 102, 104, 107 číselné řady, 15 Fourierovy řady, 209, 227 neabsolutní (relativní), 70 nutná podmínka, 26, 66 podle středu, 201 stejnoměrná, 102, 106, 108, 109, 227 konvergenční interval, 129 kritérium Ábelovo, 75,76, 112 Cauchyovo-Bolzanovo, 28 Dirichletovo, 75, 112 integrální, 56 Kummerovo, 54 Leibnizovo, 66-69, 93, 96 limitní podílové, 99 limitní Raabeovo, 54, 55, 74 limitní srovnávací, 42 odmocninové, 71 odmocninové (Cauchyovo), 47 podílové, 71, 72 podílové (ďAlembertovo), 50, 55 srovnávací, 41, 47, 71 kritérium stejnoměrné konvergence Rejstřík Obsah _J Verze k tisku < ► _Zpět_| Videa Dif. počet Zavřít Konec Strana 257 z 2í Cauchyovo-Bolzanovo pro posloupnost funkcí, 109 Cauchyovo-Bolzanovo pro řady funkcí, 110 Dirichletovo a Ábelovo, 112 Weierstrassovo, 111 Kummer, 54 kvadratickou odchylka, 198 Leibniz. 29 Maclaurin, 144 Maclaurinův rozvoj arcsinx, 172 arctgx, 158 tgx, 162 elementárních funkcí, 150 logaritmické funkce, 144, 158 Mercator, 165 Moivre, 75 norma funkce, 195 normovaná funkce, 195 obor konvergence mocninné řady, 129 posloupnosti funkcí, 105 řady funkcí, 105 odhad zbytku alternující řady, 96, 98 číselné řady, 96 řady, 95, 97, 98 Oresme, 27, 34 ortogonalita systému funkcí, 194 trigonometrického systému, 203 ortogonální funkce, 195 Parsevalova rovnost, 201 periodická funkce, 209 poloměr konvergence, 129 posloupnost funkcí, 102 bodově konvergentní, 102, 107 neklesající, 112 nerostoucí, 112 ortogonální, 196 ortonormální, 196 stejnoměrně konvergentní, 106, 108 stejnoměrně ohraničená, 112 princip lokalizace, 210 přerovnání řady, 77, 79 Rejstřík Rejstřík Obsah 1 Verze k tisku Dif. p Konec Zavřít Strana 258 z 261 přibližný výpočet čísla tz, 174 integrálů, 181 logaritmů, 176 odmocnin, 171 příkazy Maplu AnimGrafFourierFce,218, 222,233 AnimR,114 ClenyFourierRady, 217, 218 convert, 19 CSsoucetR,113 csum, 46, 58, 131 display,223 four,215 geom, 37 kvocgeom, 37 limraabk, 62 limsrovk, 46 Period,216 Polomer,132, 136 poslcass,19 preskl, 81, 82 PSconv, 134,136,137 rieman, 81, 82 sierpkob, 36 sum, 20, 37 sumplots, 20 taylor,153 TaylorAnimat, 155 TaylorAnimat2,155 TaylorPol,153 Tplots,154 TRada,153 Raabe, 54, 55 Riemann, 183 rozšíření funkce liché, 207 periodické, 209 sudé, 207 řada absolutně konvergentní, 70 alternující, 66, 96 binomická, 157 číselná, 15 divergentní, 15 Fourierova, 113, 198,205 funkcí, 101, 104 geometrická, 16, 158, 165 Grandiho, 29 harmonická, 26 Rejstřík Rejstřík _Obsah Verze k tisku konvergentní, 15 kosinová, 207 Leibnizova, 67, 98 Maclaurinova, 148 mocninná, 128, 165 stejnoměrná konvergence, 140 neabsolutně konvergentní, 70 oscilující, sinová, 207 Taylorova, 147, 148 trigonometrická, 194 určitě divergentní, 15 vzniklá přerovnáním, 77, 79 řada funkcí bodově konvergentní, 104 stejnoměrně konvergentní, 109 Sierpiňského koberec, 35 Sierpiňski, 35 skalární součin funkcí, 195 součet číselné řady, 15 dvou řad,30 mocninné řady, 140 řady funkcí, 101, 104 Taylorovy řady, 148 součin řad, 89 absolutně konvergentních, 90 Cauchyův, 92-94, 99, 100 Dirichletův, 91-93 spojitost limitní funkce, 117 součtu řady funkcí, 122 Swineshead, 14 Taylorův polynom, 147, 152, 153 zbytek, 148 trigonometrický polynom, 194 věta Ábelova, 144 Diniho, 117 Dirichletova, 209 Heineho-Cantorova, 228 Mertensova, 93 Moivreova, 75 Riemannova, 79 Taylorova, 147 videonahrávky, 11 klipl, 239 klip2, 243 Rejstřík « ► Zpět Videa Dif. počet] Zavřít Konec | Strana 260 z 21 klip3, 246 Weierstrass, 111 zákon asociativní, 32 distributivní, 30, 88 komutativní, 65, 77, 78 o sdružení, 32 pro pedagogy, 64 Zenon z Eleje, 13