Návod na 3. cvičení v počítačové učebně, Markovské řetězce, PS 2011
Definice absorpčního stavu a absorpčního řetězce:
Stav Jj∈ je absorpční stav, jestliže pjj = 1.
Homogenní markovský řetězec s konečnou množinou stavů se nazývá absorpční, jestliže
každý jeho trvalý stav je absorpční.
Definice fundamentální matice absorpčního řetězce:
Matice ( ) 1−
−= QIM , kde I je jednotková matice řádu s a Q je matice řádu s obsahující
pravděpodobnosti přechodu mezi neabsorpčními stavy, se nazývá fundamentální matice
absorpčního řetězce.
Věta o součtu prvků v řádcích fundamentální matice:
Střední hodnotu počtu kroků, které řetězec stráví v neabsorpčních stavech, když vychází
z neabsorpčního stavu i a skončí v absorpčním stavu, vypočítáme jako součet prvků v i-tém
řádku fundamentální matice M. Maticový zápis: t = Me, kde e je sloupcový vektor typu s x 1
ze samých jedniček.
Definice matice přechodu do absorpčních stavů:
Matice B = MR, kde M je fundamentální matice a R je matice typu r x s obsahující
pravděpodobnosti přechodu z neabsorpčních do absorpčních stavů, se nazývá matice
přechodu do absorpčních stavů.
Upozornění: Následující příklady lze řešit s využitím funkce absorb.m
Příklad 1.: (Soustruh v kovoobráběčské firmě)
Jistá malá kovoobráběčská firma vlastní soustruh. Soustruh se může nacházet v následujících
stavech, které jsou sledovány s časovým krokem jeden týden: stav 1 – bude v provozu, stav 2
– bude v opravě, stav 3 – dá se k prodeji, stav 4 – dá se do šrotu.
Situace je vyjádřena pomocí homogenního markovského řetězce { }0n Nn;X ∈ s množinou
stavů { }4,3,2,1J = , přičemž ,jXn = je–li soustruh v n-tém týdnu ve stavu j.
Máme dánu matici přechodu:














=
1000
0100
05,005,02,07,0
005,01,085,0
P
a) Nakreslete přechodový diagram.
Řešení:
b) Klasifikujte stavy na absorpční a neabsorpční a najděte kanonický tvar matice přechodu.
Řešení:
Trvalé stavy jsou 3 a 4, oba jsou absorpční, řetězec je tedy absorpční. Stavy 1 a 2 jsou
neabsorpční.
Kanonický tvar matice přechodu:
3 4 1 2














=
2,07,005,005,0
1,085,0005,0
0010
0001
2
1
4
3
P
c) Vypočtěte fundamentální matici a interpretujte její prvky.
Řešení:
1 2
( ) 





=−=
−
314
216
2
1
QIM
1
.
Interpretace prvků matice M: je-li v daném týdnu soustruh v provozu, pak můžeme očekávat,
že než se prodá nebo dá do šrotu, bude v průměru 16 týdnů v provozu a 2 týdny v opravě. Jeli
soustruh v daném týdnu v opravě, pak můžeme očekávat, že než se prodá nebo dá do šrotu,
bude v průměru 14 týdnů v provozu a 3 týdny v opravě.
d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky.
Řešení:
3 4






==
15,085,0
1,09,0
2
1
MRB
Interpretace prvků matice B: je-li soustruh v daném týdnu v provozu, pak s pravděpodobností
0,9 půjde do prodeje a s pravděpodobností 0,1 půjde do šrotu. Je-li soustruh v daném týdnu
v opravě, pak s pravděpodobností 0,85 půjde do prodeje a s pravděpodobností 0,15 půjde do
šrotu.
e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí.
Řešení:






=











==
17
18
2
1
1
1
314
216
2
1
Met
Znamená to, že když je soustruh v daném týdnu v provozu resp. v opravě, tak bude v průměru
trvat 18 resp. 17 týdnů, než půjde do prodeje nebo do šrotu.
Příklad 2.: (Pracovníci ve firmě)
Jistá firma provedla dlouhodobý průzkum pohybu pracovníků v jednom odboru společnosti.
V průzkumu byly specifikovány 4 stavy, a to stav 1 - propuštění ze zaměstnání, stav 2 odchod
z osobních důvodů, stav 3 - práce ve funkci referenta a stav 4 - práce v řídicí funkci.
Jednotkovým časovým obdobím bylo jedno čtvrtletí. Známe matici přechodu:














=
88,003,001,008,0
1,08,007,003,0
0010
0001
P
Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1.
Částečné výsledky:






=
52,943,1
76,471,5
M
Interpretace 2. řádku matice M: pracovník, který nastoupil do vedoucí funkce společnosti,
bude pro společnost pracovat asi 2 roky a 9 měsíců, z toho 2 roky a 4,5 měsíce v řídicí funkci
a 4,5 měsíce jako referent.






=
2,08,0
45,055,0
B
Interpretace 2. řádku matice B: pracovník, který pracuje ve vedoucí funkci společnosti,
s pravděpodobností 0,8 bude propuštěn a s pravděpodobností 0,2 odejde sám.
Příklad 3.: Myš je vložena do bludiště tvaru:
V každém okamžiku si myš vybere náhodně jedny z dveří přihrádky, v níž se právě nachází a
přejde do příslušné přihrádky. Předpokládáme, že v přihrádce 3 je potrava a myš tuto
přihrádku neopustí, jakmile do ní jednou vstoupí. Pohyb myši v bludišti lze modelovat
pomocí HMŘ { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů J = {0,1, 2, 3}, přičemž Xn = j, když
v okamžiku n je myš v j-té přihrádce.
Matice přechodu:
P =














1000
2/102/10
3/13/103/1
0010
Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1.
Částečné výsledky:










=
33,1133,0
67,0267,0
67,0267,1
M
Interpretace 1. řádku matice M: Myš, která vychází z přihrádky 0, stráví v průměru 1,67
kroku v přihrádce 0 resp. 2 kroky v přihrádce 1 resp. 0,67 kroku v přihrádce 2 než dospěje
k potravě.










=
1
1
1
B
Znamená to, že když myš vychází z kterékoli přihrádky, tak s pravděpodobností 1 dospěje
k potravě.