Zadání příkladů na 1. cvičení


Příklad 1.: Na přímce jsou vyznačeny body –1, 0, 1. V bodě 0 se nachází kulička. Náhodně házíme
mincí. Jestliže padne líc, posuneme kuličku do bodu 1, jestliže padne rub, posuneme ji do bodu –1.
Je-li kulička v bodě 1 a padne-li líc, ponecháme ji v bodě 1, padne-li rub, posuneme ji do bodu 0.
Je-li kulička v bodě –1 a padne-li rub, ponecháme ji v bodě –1, padne-li líc, posuneme ji do bodu
0.

Modelujte tuto situaci vhodným SP.

Pro posloupnost 10 hodů mincí {L, L, L, R, R, L, R, L, R, R} graficky znázorněte odpovídající
realizace SP.

Příklad 2.: Nechť náhodná veličina X ~ Ex(λ), tj.

hustota: , distribuční funkce: . Zavedeme SP , kde X[t] = tX, t > 0.

a) Najděte jednorozměrnou distribuční funkci Φ[t](x) tohoto SP.

b) K distribuční funkci Φ[t](x) najděte hustotu φ[t](x).

Příklad 3.: Náhodná veličina X má distribuční funkci Φ(x). Nechť c, t R, t > 0. Zavedeme SP , kde
X[t] = tX + c.

a) Najděte jednorozměrnou distribuční funkci Φ[t](x) tohoto SP.

b) Najděte dvourozměrnou distribuční funkci .

Příklad 4.: Náhodná veličina X má distribuční funkci Φ(x). Nechť t > 0. Zavedeme SP

, kde X[t] = tX^2. Určete jednorozměrnou distribuční funkci Φ[t](x) tohoto SP.

Příklad 5.: Nechť X[1], X[2], X[3], … jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, které mají
všechny stejnou distribuční funkci Φ(x). Nechť . Zavedeme SP . Určete pravděpodobnostní rozložení
tohoto SP.

Příklad 6.: Nechť náhodná veličina X ~ Ex(λ), tj. E(X) = 1/ λ, D(X) = 1/ λ^2. Zavedeme SP , kde
X[t]= tX. Najděte střední hodnotu, rozptyl, autokovarianční a autokorelační funkci tohoto SP.

Příklad 7.: Nechť Y, Z jsou standardizované náhodné veličiny, které jsou nekorelované. Zavedeme SP
, kde X[t] = t + Y.cos ωt + Z.sin ωt, ω > 0 konstanta. Zjistěte, zda daný SP je slabě stacionární.

Příklad 8.: Uvažme SP z příkladu 7. Zavedeme standardizovaný SP , kde  . Zjistěte, zda tento
standardizovaný SP je slabě stacionární.

Příklad 9.: Nechť Y, Z jsou náhodné veličiny se středními hodnotami E(Y) = μ[1], E(Z) = μ[2] a
rozptyly D(Y) = σ[1]^2, D(Z) = σ[2]^2. Jejich koeficient korelace je R(Y,Z) = 0,7. . Zavedeme SP ,
kde X[t] = 2tY + Z. Najděte střední hodnotu, rozptyl a autokovarianční funkci tohoto SP.

Příklad 10.: Nechť γ[X](t[1],t[2]) je autokovarianční funkce SP . Nechť f(t), g(t) jsou reálné
funkce definované na T. Zavedeme SP , kde Y[t] = f(t)X[t] + g(t). Najděte autokovarianční funkci
tohoto SP.

Příklad 11.: Nechť SP  má střední hodnotu  a autokovarianční funkci . Zavedeme SP , kde Y[t] =
tX[t]+ t^2 + 1. Najděte jeho střední hodnotu a autokovarianční funkci.