Zadání příkladů na 2. cvičení Příklad 1.: Nechť X[1], X[2], … jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, které nabývají hodnot z množiny J = {0, 1, 2, …}. Dokažte, že stochastický proces je markovský řetězec. Příklad 2.: Nechť je markovský řetězec s množinou stavů J = {0,1}. Pravděpodobnosti přechodu 1. řádu jsou dány maticí . Jaká je pravděpodobnost, že po jednom kroku bude řetězec ve stavu 0 (resp. 1), jestliže jeho počáteční stav zvolíme a) podle výsledku hodu mincí b) podle výsledku náhodného pokusu, v němž je stavu 0 dosaženo s pravděpodobností 1/3 a stavu 1 s pravděpodobností 2/3. Příklad 3.: Model dvoustavového systému Nechť je markovský řetězec s množinou stavů J = {0,1}. Pravděpodobnosti přechodu 1. řádu jsou dány maticí , vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (γ, 1- γ). Pro n = 2 najděte simultánní pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X[1], X[2], X[3]). Příklad 4.: Uvažme markovský řetězec z příkladu 2 b). Vypočtěte pravděpodobnost jevu, že X[1]^ X[2]. Příklad 5.: (Model mužských zaměstnání) Předpokládáme rozdělení mužských zaměstnání do tří tříd: vědečtí pracovníci, kvalifikovaní pracovníci, nekvalifikovaní pracovníci. Je známo, že 80% synů vědeckých pracovníků se stane vědeckými pracovníky, 10% kvalifikovanými a 10% nekvalifikovanými pracovníky. Ze synů kvalifikovaných pracovníků 60% bude kvalifikovanými pracovníky, 20% vědeckými a 20% nekvalifikovanými pracovníky. Konečně v případě nekvalifikovaných pracovníků 50% synů bude nekvalifikovanými pracovníky, 25% kvalifikovanými a 25% vědeckými pracovníky. Předpokládejme, že každý muž má syna. Jaká je pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem? Příklad 6.: V příkladu 5 nyní předpokládejme, že muž má syna jen s pravděpodobností 0,8. Zaveďte nyní homogenní markovský řetězec se čtyřmi stavy – první tři jsou stejné jako v předešlé úloze a čtvrtý odpovídá případu, kdy muž nemá syna a proces končí. Jaká je pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem? Příklad 7.: (Klasifikace roků podle úrody jablek) V severní Nové Anglii můžeme klasifikovat roky podle úrody jablek jako úrodné, průměrné a neúrodné. Pravděpodobnost, že po úrodném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,4; 0,4; 0,2. Pravděpodobnost, že po průměrném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,2; 0,6; 0,2. Pravděpodobnost, že po neúrodném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,2; 0,4; 0,4. Rok 1965 byl úrodný. Vypočtěte vektor absolutních pravděpodobností pro rok 1967. Příklad 8.: V příkladu 7 předpokládejme, že pravděpodobnost, že rok bude úrodný, je 1/4 průměrný 1/2 a neúrodný 1/4. Jaký je vektor absolutních pravděpodobností pro příští rok?