Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Drsná matematika I – 2. přednáška Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta 26. 9. 2011 Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Obsah přednášky 1 Literatura 2 Pravděpodobnost 3 Nezávislé jevy 4 Podmíněná pravděpodobnost 5 Geometrická pravděpodobnost Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Plán přednáky 1 Literatura 2 Pravděpodobnost 3 Nezávislé jevy 4 Podmíněná pravděpodobnost 5 Geometrická pravděpodobnost Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Kde je dobré číst? vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího přednášejícího, GOOGLE, atd. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Kde je dobré číst? vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího přednášejícího, GOOGLE, atd. Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta. Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/˜lmotm275/skripta/). Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. František Šik, Lineární algebra zaměřená na numerickou analýzu, MU, 1998, 176 s. ISBN 80-210-1996-2. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Plán přednáky 1 Literatura 2 Pravděpodobnost 3 Nezávislé jevy 4 Podmíněná pravděpodobnost 5 Geometrická pravděpodobnost Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už funkce, jejichž hodnoty byly dány formulí nebo popisem změny hodnoty v závislosti na změnách závislé proměnné. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už funkce, jejichž hodnoty byly dány formulí nebo popisem změny hodnoty v závislosti na změnách závislé proměnné. Další obvyklý případ – sledované hodnoty jsou výsledkem nějaké nahodilosti a my se snažíme popsat s jakou pravděpodobností nastane ta či ona možnost. Nejbanálnější příklad: házení kostkou s šesti stranami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. Matematický model takového házení „poctivou“ kostkou předepisuje, že každá ze stran padá stejně často. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už funkce, jejichž hodnoty byly dány formulí nebo popisem změny hodnoty v závislosti na změnách závislé proměnné. Další obvyklý případ – sledované hodnoty jsou výsledkem nějaké nahodilosti a my se snažíme popsat s jakou pravděpodobností nastane ta či ona možnost. Nejbanálnější příklad: házení kostkou s šesti stranami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. Matematický model takového házení „poctivou“ kostkou předepisuje, že každá ze stran padá stejně často. Pro konkrétní kostku je ale jisté, že skutečné relativní četnosti výsledků nebudou stejné. Z velikého počtu pokusů lze usoudit na relativní četnosti jednotlivých výsledků hodů a tyto ustanovit jako pravděpodobnosti v našem matematickém popisu. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už funkce, jejichž hodnoty byly dány formulí nebo popisem změny hodnoty v závislosti na změnách závislé proměnné. Další obvyklý případ – sledované hodnoty jsou výsledkem nějaké nahodilosti a my se snažíme popsat s jakou pravděpodobností nastane ta či ona možnost. Nejbanálnější příklad: házení kostkou s šesti stranami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. Matematický model takového házení „poctivou“ kostkou předepisuje, že každá ze stran padá stejně často. Pro konkrétní kostku je ale jisté, že skutečné relativní četnosti výsledků nebudou stejné. Z velikého počtu pokusů lze usoudit na relativní četnosti jednotlivých výsledků hodů a tyto ustanovit jako pravděpodobnosti v našem matematickém popisu. Nicméně při sebevětším počtu pokusů nemůžeme vyloučit možnost, že se náhodou povedla velice nepravděpodobná kombinace výsledků a že se tím náš matematický model skutečnosti stal (pro tento konkrétní případ) nedobrým. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V matematice pracujeme s abstraktním matematickým popisem pravděpodobnosti. To, do jaké míry je takový popis adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku (ta ale umí pomoci). Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V matematice pracujeme s abstraktním matematickým popisem pravděpodobnosti. To, do jaké míry je takový popis adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku (ta ale umí pomoci). Vrátíme se k tomuto tématu, ale až na konci čtvrtého semestru v matematické statistice! Jde o teorii umožňující posoudit, do jaké míry lze očekávat, že vybraný model je ve shodě s realitou. K jejímu studiu bude již potřebný dosti rozsáhlý matematický aparát. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Náhodné jevy) Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Ω všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Náhodné jevy) Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Ω všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Ω konečná množina s prvky ω1, . . . , ωn, představujícími jednotlivé možné výsledky. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Náhodné jevy) Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Ω všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Ω konečná množina s prvky ω1, . . . , ωn, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina A ⊂ Ω představuje možný jev. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Náhodné jevy) Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Ω všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Ω konečná množina s prvky ω1, . . . , ωn, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina A ⊂ Ω představuje možný jev. Systém podmnožin A základního prostoru se nazývá jevové pole, jestliže Ω ∈ A, tj. základní prostor, je jevem, je-li A, B ∈ A, pak A \ B ∈ A, tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich množinový rozdíl, jsou-li A, B ∈ A, pak A ∪ B ∈ A, tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich sjednocení. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jevové pole je tedy systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A ∈ A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jevové pole je tedy systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A ∈ A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). Komplement Ac = Ω \ A jevu A je jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jevové pole je tedy systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A ∈ A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). Komplement Ac = Ω \ A jevu A je jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Průnik dvou jevů opět jevem, protože pro každé dvě podmnožiny A, B ⊂ Ω platí A \ (Ω \ B) = A ∩ B. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jevové pole je tedy systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A ∈ A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). Komplement Ac = Ω \ A jevu A je jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Průnik dvou jevů opět jevem, protože pro každé dvě podmnožiny A, B ⊂ Ω platí A \ (Ω \ B) = A ∩ B. Pro naše házení kostkou je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a jevové pole je tvořeno všemi podmnožinami. Např. náhodný jev {1, 3, 5} pak interpretujeme jako „padne liché číslo“. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, společné nastoupení jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∩i∈I Ai , nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∪i∈I Ai , Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, společné nastoupení jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∩i∈I Ai , nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∪i∈I Ai , A, B ∈ A jsou neslučitelné jevy, je-li A ∩ B = ∅, Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, společné nastoupení jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∩i∈I Ai , nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∪i∈I Ai , A, B ∈ A jsou neslučitelné jevy, je-li A ∩ B = ∅, jev A má za důsledek jev B, když A ⊂ B, Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Terminologie připomíná souvislosti s popisem skutečných modelů: celý základní prostor Ω se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina ∅ ∈ A se nazývá nemožný jev, jednoprvkové podmnožiny {ω} ∈ Ω se nazývají elementární jevy, společné nastoupení jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∩i∈I Ai , nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai , i ∈ I, odpovídá jevu ∪i∈I Ai , A, B ∈ A jsou neslučitelné jevy, je-li A ∩ B = ∅, jev A má za důsledek jev B, když A ⊂ B, je-li A ∈ A, pak se jev B = Ω \ A nazývá opačný jev k jevu A, píšeme B = Ac. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Pravděpodobnost) Pravděpodobnostní prostor je jevové pole A podmnožin (konečného) základního prostoru Ω, na kterém je definována skalární funkce P : A → R s následujícími vlastnosti: je nezáporná, tj. P(A) ≥ 0 pro všechny jevy A, je aditivní, tj. P(A ∪ B) = P(A) + P(B), kdykoliv je A ∩ B = ∅ a A, B ∈ A, pravděpodobnost jistého jevu je 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli (Ω, A). Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Pravděpodobnost) Pravděpodobnostní prostor je jevové pole A podmnožin (konečného) základního prostoru Ω, na kterém je definována skalární funkce P : A → R s následujícími vlastnosti: je nezáporná, tj. P(A) ≥ 0 pro všechny jevy A, je aditivní, tj. P(A ∪ B) = P(A) + P(B), kdykoliv je A ∩ B = ∅ a A, B ∈ A, pravděpodobnost jistého jevu je 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli (Ω, A). Důsledky Pro všechny jevy platí P(Ac) = 1 − P(A). Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Pravděpodobnost) Pravděpodobnostní prostor je jevové pole A podmnožin (konečného) základního prostoru Ω, na kterém je definována skalární funkce P : A → R s následujícími vlastnosti: je nezáporná, tj. P(A) ≥ 0 pro všechny jevy A, je aditivní, tj. P(A ∪ B) = P(A) + P(B), kdykoliv je A ∩ B = ∅ a A, B ∈ A, pravděpodobnost jistého jevu je 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli (Ω, A). Důsledky Pro všechny jevy platí P(Ac) = 1 − P(A). Additivnost platí pro jakýkoliv konečný počet neslučitelných jevů Ai ⊂ Ω, i ∈ I, tj. P(∪i∈I Ai ) = i∈I P(Ai ), kdykoliv je Ai ∩ Aj = ∅, i = j, i, j ∈ I. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Definition (Klasická konečná pravděpodobnost) Nech Ω je konečný základní prostor a nech jevové pole A je právě systém všech podmnožin v Ω. Klasická pravděpodobnost je takový pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) s pravděpodobnostní funkcí P : A → R, P(A) = |A| |Ω| . Zjevně takto zadaná funkce skutečně definuje pravděpodobnost. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jako příklad, jak z házení kostkou dostat různě pravděpodobné jevy, budeme pozorovat součty při hodu více kostkami. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jako příklad, jak z házení kostkou dostat různě pravděpodobné jevy, budeme pozorovat součty při hodu více kostkami. Uvažujme takto: při hodu jednou kostkou je každý výsledek stejně pravděpodobný s pravděpodobností 1 6 . Při hodu dvěmi kostkami je každý předem zvolený výsledek (a, b), tj. dvojice přirozených čísel od jedné do šesti (včetně pořadí), stejně pravděpodobný s pravděpodobností 1 36 . Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jako příklad, jak z házení kostkou dostat různě pravděpodobné jevy, budeme pozorovat součty při hodu více kostkami. Uvažujme takto: při hodu jednou kostkou je každý výsledek stejně pravděpodobný s pravděpodobností 1 6 . Při hodu dvěmi kostkami je každý předem zvolený výsledek (a, b), tj. dvojice přirozených čísel od jedné do šesti (včetně pořadí), stejně pravděpodobný s pravděpodobností 1 36 . Pokud se budeme ptát po dvou pětkách, je tedy pravděpodobnost poloviční než u dvou různých hodnot bez uvedení pořadí. Pro jednotlivé možné součty uvedené v horním řádku nám vychází počet možností v řádku dolním: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Následující věta je promítnutím tzv. kombinatorického principu inkluze a exkluze do naší konečné pravděpodobnosti: Theorem Buďte A1, . . . , Ak ∈ A libovolné jevy na základním prostoru Ω s jevovým polem A. Pak platí P(∪k i=1Ai ) = k i=1 P(Ai ) − k−1 i=1 k j=i+1 P(Ai ∩ Aj ) + k−2 i=1 k−1 j=i+1 k =j+1 P(Ai ∩ Aj ∩ A ) − · · · + (−1)k−1 P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak). Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Následující věta je promítnutím tzv. kombinatorického principu inkluze a exkluze do naší konečné pravděpodobnosti: Theorem Buďte A1, . . . , Ak ∈ A libovolné jevy na základním prostoru Ω s jevovým polem A. Pak platí P(∪k i=1Ai ) = k i=1 P(Ai ) − k−1 i=1 k j=i+1 P(Ai ∩ Aj ) + k−2 i=1 k−1 j=i+1 k =j+1 P(Ai ∩ Aj ∩ A ) − · · · + (−1)k−1 P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak). Jde o dobrý příklad matematického tvrzení, kde nejtěžší je najít dobrou formulaci a pak se dá říci, že (intuitivně) je tvrzení zřejmé. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Princip inkluze a exkluse Speciálním případem předchozí věty je situace, kdy všechny konečné podmnožniny základního prostoru jsou jevy a všechny elementární jevy mají stejnou pravděpodobnost. Ve formuli z předchozí věty pak všechny pravděpodobnosti dávají právě počet prvků příslušných podmnožin, až na společný faktor 1 n , kde n je počet prvků základního prostoru. Pak můžeme vyčíst následující tvrzení pro obecnou konečnou množinu M a její podmnožiny A1, . . . , Ak. Budeme psát |M| pro počet prvků množiny M, tj. pro mohutnost množiny M. |M \ (∪k i=1Ai )| = |M| + k j=1 (−1)i 1≤i1<··· 0: P(A1 ∩ · · · ∩ Ak) = P(A1)P(A2|A1) · · · P(Ak|A1 ∩ · · · ∩ Ak−1). Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Přímo z definice také vyplývá tzv. „věta o násobení pravděpodobností“ pro jevy A1, . . . , Ak splňující P(A1 ∩ · · · ∩ Ak) > 0: P(A1 ∩ · · · ∩ Ak) = P(A1)P(A2|A1) · · · P(Ak|A1 ∩ · · · ∩ Ak−1). Skutečně, dle předpokladu jsou i pravděpodobnosti všech průniků, které jsou brány ve výrazu za hypotézy, nenulové. Pokrácením čitatelů a jmenovatelů získáme i napravo právě pravděpodobnost jevu odpovídajícího průniku všech uvažovaných jevů. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Plán přednáky 1 Literatura 2 Pravděpodobnost 3 Nezávislé jevy 4 Podmíněná pravděpodobnost 5 Geometrická pravděpodobnost Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Uvažme rovinu R2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu Ω se známým obsahem vol Ω (symbol „vol“ od anglického „volume“, tj. obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec. Náhodné jevy budou reprezentovány podmnožinami A ⊂ Ω za jevové pole A bereme systém podmnožin, u kterých umíme určit jejich obsah. Třeba všechna konečná sjednocení trojůhelníků. Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v Ω, kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A. Podobně jako u klasické pravděpodobnosti pak definujeme pravděpodobnostní funkci P : A → R vztahem P(A) = vol A vol Ω . Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vyberem dvě hodnoty a < b v intervalu (0, 1) ⊂ R. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní „jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina?“. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vyberem dvě hodnoty a < b v intervalu (0, 1) ⊂ R. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní „jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina?“. Odpověď je docela jednoduchá: volba čísel a, b je volbou libovolného bodu (a, b) ve vnitřku trojúhelníku Ω s hraničními vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 1] (načrtněte si obrázek!). Potřebujeme znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a + 1 2 , tj. vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, 1 2 ], [0, 1], [1 2, 1]. Evidentně dostáváme P(A) = 1 4 . Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vyberem dvě hodnoty a < b v intervalu (0, 1) ⊂ R. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní „jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina?“. Odpověď je docela jednoduchá: volba čísel a, b je volbou libovolného bodu (a, b) ve vnitřku trojúhelníku Ω s hraničními vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 1] (načrtněte si obrázek!). Potřebujeme znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a + 1 2 , tj. vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, 1 2 ], [0, 1], [1 2, 1]. Evidentně dostáváme P(A) = 1 4 . Zkuste si samostatně odpovědět na otázku „pro jakou požadovanou minimální délku intervalu (a, b) dostaneme pravděpodobnost jedna polovina?“. Literatura Pravděpodobnost Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Jednou z účinných výpočetních metod přibližných hodnot je naopak simulace známé takovéto pravděpodobnosti pomocí relativní četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu. Např. známá formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah jednotkového kruhu je roven právě konstantě π = 3, 1415 . . . , která vyjadřuje poměr obsahu a čtverce poloměru. Pokud zvolíme za Ω jednotkový čtverec a za A průnik Ω a jednotkového kruhu se středem v počátku, pak vol A = 1 4 π. Máme-li tedy spolehlivý generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme relativní četnosti, jak často bude vzdálenost vygenerované dvojice (a, b) menší než jedna, tj. √ a2 + b2 < 1, pak výsledek bude při velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo 1 4 π. Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká metody Monte Carlo.