Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Drsná matematika I – 1. přednáška
Skalární funkce a diferenční rovnice
Jan Slovák
Masarykova univerzita
19. 9. 2011
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Skaláry
3 Skalární funkce
4 Kombinatorické formule
Permutace, kombinace a variace
Permutace, kombinace a variace s opakováním
5 Diferenční rovnice
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Kde je dobré číst?
vlastní poznámky, texty současného nebo předcházejícího
přednášejícího, GOOGLE, atd.
Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta.
Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3.
vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran
(elektronické vydání také na
http://www.kolej.mff.cuni.cz/˜lmotm275/skripta/).
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
František Šik, Lineární algebra zaměřená na numerickou
analýzu, MU, 1998, 176 s. ISBN 80-210-1996-2.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Podmínky pro absolvování předmětu
Dle univerzitních pravidel mají být během prvních dvou týdnů
semestru přesně stanoveny podmínky pro absolvování kurzu .
Protože jde v tomto případě o první (v jistém smyslu pokusný) běh
výuky pro nový studijní obor, rádi bychom k výuce přistupovali
velmi osobně. To je možné i díky malým počtům studentů.
Během semestru budeme jistě psát dvě průběžné písemky, za nimi
bude následovat třetí společně s ústní zkouškou.
K dispozici budou texty průběžně připravované učebnice, podle
které bude přednášena teoretická i praktická část (pondělí a
čtvrtek), a studenti by měli být na čtvrteční cvičení dobře
připraveni na aktivní řešení úloh a diskusi o textu.
Místo domácích úloh bychom rádi dostávali odezvu na text
(komentáře, dotazy, upozornění na chyby v textu apod.)
Formy splupráce budou ještě upřesněny během semestru (po
několika týdnech).
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Míváme (často chorobnou) snahu mít jasno
kolik něco je
za kolik to je,
jak dlouho to je
kde přesně to je
. . .
a výsledkem takových úvah je většinou nějaké „číslo , případně
spousta čísel.
Budeme učeněji říkat „hodnoty .
Za číslo se přitom považuje něco, co umíme sčítat a násobit a
splňuje to obvyklé zákonitosti, ať už všechny nebo jen některé.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Nejjednodušší příklady jsou přirozená čísla, budeme je značit
N = {0, 1, 2, 3, . . . }
(v informatice brána včetně nuly, jinde spíše ne), a čísla celá
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }.
Formálně můžeme definovat
0 := ∅, 1 := {∅}, 2 := {∅, 1}, . . . , n + 1 := {0, 1, . . . , n}.
Pak lze snadno formálně definovat sčítání a násobení celých čísel,
uspořádání, ukázat, že každá podmnožina v N má nejmenší prvek a
spoustu dalších vlastností o kterých zpravidla už dávno
nepřemýšlíme a máme je za samozřejmé.
Budeme navíc místo s čísly manipulovat s písmeny abecedy,
případně jinými znaky, ať už jejich hodnota je nebo není předem
známá.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Vlastnosti sčítání
Vyjmenujme takto obvyklé vlastnosti, které sčítání a násobení čísel
má:
(a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, b, c (KG1)
a + b = b + a, pro všechny a, b (KG2)
existuje prvek 0 tak, že pro všechny a je a + 0 = a (KG3)
pro všechny a existuje (−a) tak, že a + (−a) = 0. (KG4)
Vlastnostem (KG1) – (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy.
Celá čísla Z jsou dobrým příkladem komutativní grupy, přirozená
čísla nikoliv, protože nesplňují KG4 (a případně neobsahují nulu
pokud ji do N nezahrnujeme).
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Vlastnosti násobení
(a · b) · c = a · (b · c), pro všechny a, b, c (O1)
a · b = b · a, pro všechny a, b (O2)
existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 · a = a (O3)
a · (b + c) = a · b + a · c, pro všechny a, b, c. (O4)
Poslední vlastnosti O4 se říká distributivita.
Množiny s operacemi +, · a vlastnostmi (KG1)–(KG4), (O1)–(O4)
se nazývají komutativní okruhy. Potřebujeme však zpravidla ještě
další běžnou vlastnost čísel:
pro každé a = 0 existuje a−1
tak, že platí, a · a−1
= 1. (P)
Když naše objekty splňují navíc i (P), hovoříme o poli (často také
o komutativním tělese).
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Někdy se ale setkáme se slabší dodatečnou vlastností než je (P).
Např. okruh celých čísel Z nesplňuje (P), ale splňuje
a · b = 0 ⇒ buď a = 0 nebo b = 0. (OI)
Hovoříme o oboru integrity.
Prvky nějaké množiny s operacemi + a · splňujícími (ne
nutně všechny) výše uvedené vlastnosti (tj. komutativní
okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry.
Budeme pro ně vesměs užívat latinská písmena ze začátku abecedy.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Většinou hodnoty neznáme, místo toho ale něco víme o závislosti
naší hodnoty na hodnotách jiných.
Formálně píšeme, že hodnota
y = f (x)
naší „závislé veličiny y je dána „nezávislou veličinou x.
Přitom bereme f jen formálně (jenom víme, že je definována) nebo
operačně (tj. f (x) je dáno formulí poskládanou ze známých
operací.
Je-li hodnotou skalár, hovoříme o skalární funkci. Hodnoty mohou
být také dány pouze přibližně nebo s jistou pravděpodobností.
Matematické úvahy z formálního popisu nachází explicitní formule,
které funkce popisují. Pracujeme s:
s přesným a konečným výrazem
s nekonečným výrazem
s přiblížením neznámé funkce známým odhadem (většinou s
vyčíslenou možnou chybou)
s odhadem hodnot s vyčíslením jejich pravděpodobnosti apod.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Example
(1) Roční mzda pracovníků (hodnoty nezávislé veličiny jsou
jednotliví pracovníci x z nějaké množiny, f (x) je jejich roční mzda
za dané období),
(2) měsíční mzda konkrétního pracovníka v čase (nezávislou
hodnotou je čas v měsících, závislou příjem).
(3) Plocha obrazce v rovině, objem tělesa v prostoru, rychlost
konkrétního auta v čase atd. Dovedeme si jistě představit, že ve
všech uvedených případech může být hodnota dána nějakou volně
popsanou souvislostí nebo naměřena přibližně nebo odhadnuta atd.
(4) Obyčejné sčítání nebo násobení přirozených čísel
(5) Důležitou operačně definovou skalární funkcí na přirozených
číslech je faktoriál, který definujeme vztahy
f (0) = 1, f (n + 1) = (n + 1) · f (n).
Píšeme f (n) = n! a definice zjevně znamená n! = n · (n − 1) · · · 1.
(To není příliš efektivní formule pro velká n, lepší ale těžko hledat.)
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Permutace
Z množiny n předmětů vytváříme pořadí jejich prvků.
Pro volbu prvního prvku je n možností, další je volen z n − 1
možností atd., až nám nakonec zbude jediný poslední prvek.
Proto je na dané konečné množině S s n prvky právě n! různých
pořadí. Hovoříme o permutacích prvků množiny S.
Jestliže si předem prvky v S očíslujeme, tj. ztotožníme si S s
množinou S = {1, . . . , n} n přirozených čísel, pak permutace
odpovídají možným pořadím čísel od jedné do n.
Dokázali jsme tak:
Theorem
Počet různých pořadí na konečné množině s n prvky je dán funkcí
faktoriál:
f (n) = n!
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Kombinace
Dalším jednoduchým příkladem hodnoty určené formulí je počet
způsobů, kterými lze vybrat k různých rozlišitelných předmětů z
množiny n předmětů.
Zjevně máme n(n − 1) · · · (n − k + 1) možných výsledků
postupného výběru našich k prvků, přitom ale stejnou výslednou
k-tici dostaneme v k! různých pořadích.
Dokázali jsme tedy:
Theorem
Pro počet kombinací k-tého stupně z n prvků platí (samozřejmě
je k ≤ n)
c(n, k) =
n
k
=
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
k(k − 1) . . . 1
=
n!
(n − k)!k!
.
Číslům c(n, k) říkáme binomická čísla.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Pokud nám ale záleží i na pořadí vybrané k-tice prvků, hovoříme o
variaci k-tého stupně. Jak jsme si již ověřili:
Theorem
Pro počet variací platí
v(n, k) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)
pro všechny 0 ≤ k ≤ n (a nula jinak).
Binomická čísla dostala svůj název od tzv. binomického rozvoje:
(a + b)n
=
n
k=0
n
k
ak
bn−k
protože koeficient u mocniny akbn−k je roven právě počtu
možností, jak vybrat k-tici z n závorek v součinu.
Všimněme si, že pro odvození jsme potřebovali pouze
distributivitu, komutativnost a asociativitu násobení a sčítání.
Formule proto platí v každém komutativním okruhu.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Jako ukázku, jak vypadá matematický důkaz si odvoďme několik
jednoduchých tvrzení o kombinačních číslech. Definujme n
k = 0,
kdykoliv je buď k < 0 nebo k > n.
Theorem
Pro všechna přirozená čísla k a n platí
1
n
k = n
n−k
2
n+1
k+1 = n
k + n
k+1
3
n
k=0
n
k = 2n
4
n
k=0 k n
k = n2n−1.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Pascalův trojúhelník
Všechna kombinační čísla si můžeme sestavit do tzv. Pascalova
trojúhelníku, kde každé číslo obdržíme jako součet dvou
bezprostředně nad ním ležících sousedů:
n = 0 : 0 1 0
n = 1 : 0 1 1 0
n = 2 : 0 1 2 1 0
n = 3 : 0 1 3 3 1 0
n = 4 : 0 1 4 6 4 1 0
n = 5 : 1 5 10 10 5 1
V jednotlivých řádcích máme právě koeficienty u jednotlivých
mocnin z binomického rozvoje, např.
(a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5
.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Pořadí n prvků, z nichž mezi některými nerozlišujeme, nazýváme
permutace s opakovaním. Nechť je mezi n danými prvky p1
prvků prvního druhu, p2 prvků druhého druhu, . . . , pk prvků
k-tého druhu, p1 + p2 + · · · + pk = n, potom počet pořadí těchto
prvků s opakováním budeme značit P(p1, . . . , pk). Zřejmě platí:
Theorem
P(p1, . . . , pk) =
n!
p1! · · · pk!
.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Volný výběr prvků z n možností, včetně pořadí, nazýváme variace
k-tého stupně s opakováním, jejich počet budeme značit
V (n, k). Předpokládáme, že stále máme pro výběr stejně možností,
např. díky tomu, že vybrané prvky před dalším výběrem vracíme
nebo třeba házíme pořád stejnou kostkou. Zřejmě platí:
Theorem
V (n, k) = nk
.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Pokud nás výběr zajímá bez zohlednění pořadí, hovoříme o
kombinacích s opakováním a pro jejich počet píšeme C(n, k).
Theorem
Počet kombinací s opakováním k-té třídy z n prvků je pro všechny
0 ≤ k a 0 < n
C(n, k) =
n + k − 1
k
.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
V předchozích odstavcích jsme viděli formule, které zadávaly
hodnotu skalární funkce definované na přirozených číslech
(faktoriál) nebo dvojicích čísel (binomická čísla) pomocí
předcházejících hodnot. Tomu lze rozumět také tak, že místo
hodnoty naší funkce zadáváme její změnu při odpovídající změně
nezávislé proměnné. Např.
n + 1
k + 1
−
n
k + 1
=
n
k
říká, že rozdíl počtu možností, jak vybrat k + 1 prvků z n + 1
možností, je vyjádřitelný pomocí (možná již známé) hodnoty.
Takto se skutečně velice často postupuje při matematické
formulaci modelů, které popisují reálné systémy v ekonomice,
biologii apod. My si tu povšimneme jen nejednoduššíých případů a
budeme se k této tématice postupně vracet.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Obecnou diferenční rovnicí prvního řádu rozumíme výraz
f (n + 1) = F(n, f (n)),
kde F je známá skalární funkce závislá na dvojicích přirozených
čísel.
Je zřejmé, že takový vztah, spolu s volbou pro f (0), zadává
jednoznačně celou nekonečnou posloupnost hodnot
f (0), f (1), . . . , f (n), . . . . Jako příklad může sloužit definiční
formule pro faktoriál, tj.
n! = n · (n − 1)!
Vidíme, že skutečně vztah pro f (n + 1) závisí na n i na hodnotě
f (n).
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
lineární diferenční rovnice
Po konstantní závislosti je nejjednodušší
f (n + 1) = a · f (n) + b,
kde a, b ∈ N. Takovou rovnici umíme snadno řešit. Je-li b = 0, pak
zjevně
f (n) = an
f (0).
To je např. vztah pro tzv. Malthusiánský model populačního růstu,
který vychází z představy, že za zvolený časový interval vzroste
populace s konstantní úměrou a vůči předchozímu stavu.
Rovnice s b nenulovým se objeví při úročení (ať už vkladu nebo
půjčky – jde jen o znaménko . . . )
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Obecně pro rovnice prvního řádu s proměnnými koeficienty platí
Theorem
Obecné řešení diferenční rovnice prvního řádu
f (n + 1) = an · f (n) + bn
s počáteční podmínkou f (0) = y0 je dáno vztahem
f (n) =
n−1
i=0
ai y0 +
n−1
r=0
n−1
i=r+1
ai br .
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Corollary
Obecné řešení lineární diferenční rovnice prvního řádu s
konstantními koeficienty a = 1, b a počáteční podmínkou
f (0) = y0 je
f (n) = an
y0 +
1 − an
1 − a
b.
Důkaz.
Dosazením konstantních hodnot za ai a bi do obecné formule
dostáváme první sčítanec okamžitě.
Pro vyčíslení součtu součinů v druhém si je třeba všimnout, že se
jedná o výrazy (1 + a + · · · + an−1)b. Sečtením této geometrické
řady (připomeňme, že 1 − an = (1 − a)(1 + a + · · · + an−1))
dostaneme právě požadovaný výsledek.
Literatura Skaláry Skalární funkce Kombinatorické formule Diferenční rovnice
Uveďme si praktický příklad na řešení diferenčních rovnic prvního
řádu:
Example
Mirek si chce koupit nové auto. Auto stojí 300 000 Kč. Mirek by
chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu
nabízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek bych chtěl
auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka?