logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz IV - pokračování KLASIFIKACE PODLE MINIMÁLNÍ VZDÁLENOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMETRIKY PRO URČENÍ VZDÁLENOSTI MEZI DVĚMA OBRAZY þS KVALITATIVNÍMI PŘÍZNAKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONTINGENČNÍ MATICE þvycházejí z pojmu kontingenční matice (tabulka); þpředpokládejme, že hodnoty uvažovaných vektorů patří do konečné k-prvkové množiny F kategoriálních, nebo případně diskrétně kvantitativních hodnot. Dále předpokládejme, že máme vektory x,y Î F n, kde n je jejich délka a nechť A(x,y) = {aij}, i,j Î F, je matice o rozměru k ´ k, a její prvky aij jsou určeny počtem případů, kdy se hodnota i nachází na určité pozici ve vektoru x a současně se na téže pozici nachází hodnota j ve vektoru y. Matici A nazýváme kontingenční tabulkou (maticí). Pokud je kontingenční tabulka rozměru 2 x 2, tj. k = 2, nazýváme ji čtyřpolní tabulkou, slouží ke srovnání dichotomických znaků. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONTINGENČNÍ MATICE - PŘÍKLAD þpředpokládejme, že množina F obsahuje symboly {0, 1, 2}, tj. k = 3 a vektory x a y jsou þx = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T a þy = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T, n = 6. Potom kontingenční matice A(x,y) je þ þ þ þsoučet hodnot všech prvků matice A(x,y) je roven délce n obou vektorů, tj. v našem případě þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA þje definována počtem pozic, v nichž se oba vektory liší þ þ þtj. je dána součtem všech prvků matice A, které leží mimo hlavní diagonálu. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA þpro k = 2, kdy jsou hodnoty obou vektorů binární, se definiční vztah Hammingovy vzdálenosti transformuje na þ þ þ kde třetí člen v závorce kompenzuje případ, kdy jsou hodnoty xi i yi rovny jedné a součet prvních členů v závorce je tím pádem roven dvěma, nicméně nastává shoda hodnot, která k celkové vzdálenosti nemůže přispět. þprotože xi a yi nabývají hodnot pouze 0 a 1, můžeme také psát þ þdíky speciálnímu případu hodnot xi a yi je možná i nejjednodušší forma þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA þv případě bipolárních vektorů, kdy jednotlivé složky vektorů nabývají hodnot +1 a -1, je Hammingova vzdálenost určena vztahem levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 1 þUrčete Hammingovu vzdálenost vektorů z předchozího příkladu, tj. þx = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T a þy = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T. þVzájemným porovnáním obou vektorů lze určit, že oba vektory se liší v první, druhé a páté souřadnici, to znamená, že se oba vektory liší ve třech pozicích, což definuje hodnotu Hammingovy vzdálenosti obou vektorů, tj . þdHQ(x,y) = 3. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 1 þUrčete Hammingovu vzdálenost vektorů z předchozího příkladu, tj. þx = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T a þy = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T. þ þZ kontingenční matice A(x,y) je vzdálenost určena součtem všech prvků matice A(x,y) mimo hlavní diagonálu. þTedy dHQ(x,y) = a12 + a21 + a31 = 1 + 1 + 1 = 3. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 2 þUrčete Hammingovu vzdálenost binárních vektorů þx = (0, 1, 1, 0, 1)T a þy = (1, 0, 0, 0, 1)T. þ þPodle definičního principu je vzdálenost obou vektorů dána počtem pozic, ve kterých se oba vektory liší, tj. þdHQB(x,y) = 3. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 2 þUrčete Hammingovu vzdálenost binárních vektorů þx = (0, 1, 1, 0, 1)T a þy = (1, 0, 0, 0, 1)T. þ þPoužijeme-li vztah þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 2 þUrčete Hammingovu vzdálenost binárních vektorů þx = (0, 1, 1, 0, 1)T a þy = (1, 0, 0, 0, 1)T. þ þPodle vztahu þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 2 þUrčete Hammingovu vzdálenost binárních vektorů þx = (0, 1, 1, 0, 1)T a þy = (1, 0, 0, 0, 1)T. þ þKonečně, podle vztahu þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 3 þUrčete Hammingovu vzdálenost bipolárních vektorů þx = (1, 1, 1, -1, 1)T a þy = (1, -1, 1, -1, -1)T. þ þPodle definičního principu se oba vektory liší ve dvou pozicích, tj. þdHQP(x,y) = 2. þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 3 þUrčete Hammingovu vzdálenost bipolárních vektorů þx = (1, 1, 1, -1, 1)T a þy = (1, -1, 1, -1, -1)T. þ þZ kontingenční matice, která je pro tento případ rovna þ þ þje dHQP(x,y) rovna součtu hodnot prvků ležících mimo hlavní diagonálu, tj. dHQP(x,y) = 2. þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMMINGOVA METRIKA – PŘÍKLAD 3 þUrčete Hammingovu vzdálenost bipolárních vektorů þx = (1, 1, 1, -1, 1)T a þy = (1, -1, 1, -1, -1)T. þ þPomocí vztahu þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMETRIKY PRO URČENÍ PODOBNOSTI MEZI DVĚMA OBRAZY þS KVALITATIVNÍMI PŘÍZNAKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpřípady obecné þpřípady s dichotomickými příznaky, pro které je definována celá řady tzv. asociačních koeficientů. þ (Asociační koeficienty až na výjimky nabývají hodnot z intervalu á0, 1ñ, hodnoty 1 v případě shody vektorů, 0 pro případ nepodobnosti.) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz OBECNÉ METRIKY þHAMMINGOVA METRIKA þpro nedichotomické příznaky levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TANIMOTOVA METRIKA þPředpokládejme, že máme dvě množiny X a Y a nX, nY a nXÇY jsou kardinality (počty prvků) množin X, Y a X Ç Y . V tom případě je Tanimotova míra podobnosti dvou množin určena podle vztahu þ þ þ þ- jinými slovy, Tanimotova podobnost dvou množin je určena počtem společných prvků obou množin vztaženým k počtu všech rozdílných prvků. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TANIMOTOVA METRIKA þPro výpočet Tanimotovy podobnosti dvou vektorů s kvalitativními příznaky jsou použity všechny páry složek srovnávaných vektorů, kromě těch, jejichž hodnoty jsou obě nulové. þDefinujme pro porovnávané vektory x a y hodnoty þ a þ þkde k je počet hodnot souřadnic obou vektorů a aij jsou prvky kontingenční matice A(x,y), tzn. že nx, resp. ny udává počet nenulových položek vektoru x, resp. y. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TANIMOTOVA METRIKA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TANIMOTOVA METRIKA - PŘÍKLAD þUrčete hodnoty Tanimotových podobností sTQ(x,x), sTQ(x,y) a sTQ(x,z), jsou-li vektory þx = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T a þy = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T a þz = (2, 0, 0, 0, 0, 2)T. þZe zadání je množina symbolů F = {0, 1, 2}, k = 3, n = 6. þKontingenční tabulky jsou levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TANIMOTOVA METRIKA - PŘÍKLAD þV prvním případě při maximální podobnosti jsou nenulové prvky kontingenční tabulky pouze na hlavní diagonále, v případě nejmenší podobnosti jsou naopak na hlavní diagonále jen nulové prvky. þV případě první podobnosti sTQ(x,x) je nx = 5, nY = 5, součet prvků na hlavní diagonále Saii také 5 a konečně součet SSaij opět 5. Hodnota podobnosti pak po dosazení je þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TANIMOTOVA METRIKA - PŘÍKLAD þPro podobnost sTQ(x,y) je nx = 5, ny = 4, součet prvků na hlavní diagonále Saii = 3 a konečně součet SSaij = 3. Hodnota podobnosti pak po dosazení je þ þ þ þKonečně, pro podobnost sTQ(x,z), což představuje srovnání dvou nejméně podobných vektorů, je nx = 5, ny = 2, součet prvků na hlavní diagonále Saii = 0 a konečně součet SSaij = 1. þHodnota podobnosti pak po dosazení je þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DALŠÍ OBECNÉ METRIKY þDalší míry podobnosti vektorů x,y Î F n jsou definovány pomocí různých prvků kontingenční matice A(x,y). Některé z nich používají pouze počet shodných pozic v obou vektorech (ovšem s nenulovými hodnotami), jiné míry používají i shodu s nulovými hodnotami. Příkladem metriky podobnosti z první uvedené kategorie může být např. metrika definovaná vztahem þ þ nebo i metrika þ þPříkladem metriky druhé uvedené skupiny þje např. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ASOCIAČNÍ KOEFICIENTY xj false/0 true/1 xi false/0 D C true/1 B A A.hodnota k-té souřadnice obou vektorů signalizuje, že u obou obrazů sledovaný jev nastal (oba odpovídající si příznaky mají hodnotu true, resp.1) – pozitivní shoda; B.ve vektoru xi jev nastal (xik = true), zatímco ve vektoru xj nikoliv (xjk = false, resp.0 ); C.u obrazu xi jev nenastal (k-tá souřadnice má hodnotu xik = false), zatímco u obrazu xj ano (xjk = true); D. sledovaný jev nenastal (oba odpovídající si příznaky mají hodnotu false) – negativní shoda. Při výpočtu podobnosti dvou vektorů sledujeme kolikrát pro všechny souřadnice obou vektorů xj a xj nastaly případy shody či neshody – A+D určuje celkový počet shod, B+C celkový počet neshod a A+B+C+D = n, tj. celkový počet souřadnic obou vektorů (obrazů). levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JACCARDŮV – TANIMOTŮV ASOCIAČNÍ KOEFICIENT þcož je díky zjednodušení i dichotomická varianta metriky podle vztahu þ þ þ þTento vztah se dominantně používá v ekologických studiích. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz RUSSELŮV – RAOŮV ASOCIAČNÍ KOEFICIENT þje to dichotomická varianta metriky podle vztahu levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SOKALŮV – MICHENERŮV ASOCIAČNÍ KOEFICIENT þje dichotomická varianta vztahu levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DICEŮV (CZEKANOWSKÉHO) ASOCIAČNÍ KOEFICIENT þV případě Jaccardova a Diceova koeficientu je třeba vyřešit (pokud jsou používány v situacích, kdy může nastat úplná negativní shoda) jejich hodnotu, když A = B = C =0. Pak zpravidla předpokládáme, že sJT(x,y) = sDC(x,y) = 1. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ROGERSŮV – TANIMOTŮV ASOCIAČNÍ KOEFICIENT þoba posledně uvedené koeficienty zvyšují význam shod v datech – Diceův koeficient zvýšením váhy počtu pozitivních shod v čitateli i jmenovateli, v druhém případě zvýšením váhy počtu neshod ve jmenovateli. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HAMANŮV ASOCIAČNÍ KOEFICIENT þnabývá na rozdíl od všech dříve uvedených koeficientů hodnot z intervalu á-1, 1ñ. Hodnoty -1 nabývá, pokud se příznaky pouze neshodují, je roven nule, když je počet shod a neshod v rovnováze a +1 v případě úplné shody všech příznaků. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZ asociačních koeficientů, které vyjadřují míru podobnosti, lze jednoduše odvodit i míry nepodobnosti (vzdálenosti) pomocí formule þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þNa základě četností A až D lze pro případ binárních příznaků vytvářet i zajímavé vztahy pro již dříve uvedené míry: þHammingova metrika þ þEuklidova metrika þ þPearsonův korelační koeficient levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDETERMINISTICKÉ METRIKY PRO URČENÍ VZDÁLENOSTI MEZI DVĚMA MNOŽINAMI OBRAZŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PODOBNOST MEZI TŘÍDAMI þ„podobnost“ jednoho obrazu s více obrazy jedné třídy (skupin, množin, shluků); þ„podobnost“ obrazů dvou tříd (skupin, množin, shluků); þ þzavedeme funkci, která ke každé dvojici skupin obrazů (Ci, Cj) přiřazuje číslo D(Ci, Cj), které podobně jako míry podobnosti či nepodobnosti (metriky) jednotlivých obrazů musí splňovat minimálně podmínky: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PODOBNOST MEZI TŘÍDAMI þPODMÍNKY þ þ(S1) D(Ci, Cj) ³ 0 þ(S2) D(Ci, Cj) = D(Cj, Ci) þ(S3) D(Ci, Ci) = maxi,jD(Ci, Cj) þ(pro míry podobnosti) þ(S3’) D(Ci, Ci) = 0 pro všechna i þ (pro míry vzdálenosti) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz METODA NEJBLIŽŠÍHO SOUSEDA þje-li d libovolná míra nepodobnosti (vzdálenosti) dvou obrazů a Ci a Cj jsou libovolné skupiny množiny obrazů {xi}, i=1,…,K, potom metoda nejbližšího souseda definuje mezi skupinami Ci a Cj vzdálenost þ þ þPozn.: þPři použití této metody se mohou vyskytovat v jednom shluku často i poměrně vzdálené obrazy. Tzn. metoda nejbližšího souseda může generovat shluky protáhlého tvaru. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz METODA K NEJBLIŽŠÍCH SOUSEDŮ þJe zobecněním metody nejbližšího souseda. þJe definována vztahem þ þ þtj. vzdálenost dvou shluků je definována součtem k nejkratších vzdáleností mezi obrazy dvou skupin obrazů. þ þPozn.: þPři shlukování metoda částečně potlačuje generování řetězcových struktur. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz METODA NEJVZDÁLENĚJŠÍHO SOUSEDA þopačný princip než nejbližší sousedi þ þ þPozn.: þGenerování protáhlých struktur tato metoda potlačuje, naopak vede ke tvorbě nevelkých kompaktních shluků. þ þje možné i zobecnění pro více nejbližších sousedů þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz METODA CENTROIDNÍ þvychází z geometrického modelu v euklidovském n rozměrném prostoru a určuje vzdálenost dvou tříd jako čtverec Euklidovy vzdálenosti těžišť obou tříd. þ je-li těžiště třídy definováno jako střední hodnota z obrazů patřících do této třídy, tj. þ þ þ pak þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz METODA PRŮMĚRNÉ VAZBY þvzdálenost dvou tříd Ci a Cj je průměrná vzdálenost mezi všemi obrazy tříd Ci a Cj. Obsahuje-li shluk Ci P obrazů a Cj Q obrazů, pak jejich vzdálenost je definována vztahem þ þ þ þPozn.: þMetoda často vede k podobným výsledkům jako metoda nejvzdálenějšího souseda. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz WARDOVA METODA þvzdálenost mezi třídami (shluky) je definována přírůstkem součtu čtverců odchylek mezi těžištěm a obrazy shluku vytvořeného z obou uvažovaných shluků Ci a Cj oproti součtu čtverců odchylek mezi obrazy a těžišti v obou shlucích Ci a Cj. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz WARDOVA METODA þjsou-li a těžiště tříd Ci a Cj a těžiště sjednocené množiny, pak Wardova vzdálenost obou shluků je definována výrazem þ þ þ þ þ þPozn.: þMetoda má tendenci vytvářet shluky zhruba stejné velikosti, tedy odstraňovat shluky malé, resp. velké. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 001.jpg WARDOVA METODA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMETRIKY PRO URČENÍ VZDÁLENOSTI MEZI DVĚMA MNOŽINAMI OBRAZŮ POUŽÍVAJÍCÍ JEJICH PRAVDĚPODOBNOSTNÍ CHARAKTERISTIKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NA ÚVOD þKlasifikační třídy (množiny obrazů se společnými charakteristikami) nemusí být definovány jen výčtem obrazů, nýbrž vymezením obecnějších vlastností - definicí hranic oddělujících část obrazového prostoru, která náleží dané klasifikační třídě, diskriminační funkcí, pravděpodobnostními charakteristikami výskytu obrazů v dané třídě, atd. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NA ÚVOD þPokud si na metriky klademe určité požadavky, i metriky pro stanovení vzdálenosti dvou množin, pro něž využíváme rozložení pravděpodobnosti výskytu obrazů, by měly vyhovovat standardním požadavkům. Logicky tyto metriky splňují následující vlastnosti (protože jejich výpočet je založen na poněkud jiném přístupu a protože i dále uvedené vlastnosti nesplňují vše, co od metrik očekáváme, bývá zvykem je značit jiným písmenem, zpravidla J): þ1. J = 0, pokud jsou hustoty pravděpodobnosti obou množin identické, tj. když p(x|w1) = p(x|w2); þ2. J ³ 0; þ3. J nabývá maxima, pokud jsou obě množiny disjunktní, tj. když þ þ þ(Jak vidíme, není mezi vlastnostmi pravděpodobnostních metrik uvedena trojúhelníková nerovnost, jejíž splnění by se zajišťovalo vskutku jen velmi obtížně.) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NA ÚVOD þZákladní myšlenkou, na které jsou pravděpodobnostní metriky založeny, je využití pravděpodobnosti způsobené chyby. Čím více se hustoty pravděpodobnosti výskytu obrazů x v jednotlivých množinách překrývají, tím je větší pravděpodobnost chyby. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NA ÚVOD þPravděpodobnost Pe chybného zařazení je (VIZ Bayesův klasifikátor) rovna þ þ þ þPro dichotomický případ (R = 2) je celková pravděpodobnost chybného rozhodnutí určena vztahem þ þcož lze podle Bayesova vzorce upravit i do tvaru þ þ þ Kolmogorovova variační vzdálenost levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NA ÚVOD þHodnota Kolmogorovovy variační vzdálenosti přímo souvisí s pravděpodobností chybného rozhodnutí. Ostatní dále uvedené pravděpodobnostní vzdálenosti odvozené z obecné formule þ þuž tuto přímou souvislost nemají. þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METRIKY þChernoffova metrika þ þBhattacharyyova metrika þ þ(Jak lze snadno rozpoznat, Bhattacharyyova metrika je speciální případ Chernoffovy metriky pro s = 0,5). þDivergence þ þPatrickova -Fisherova metrika þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPRŮMĚRNĚNÉ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METRIKY þzprůměrněná Chernoffova metrika þ þzprůměrněná Bhattacharyyova metrika þ þ þzprůměrněná divergence þ þ þzprůměrněná Patrickova -Fisherova metrika þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříprava nových učebních materiálů þoboru Matematická biologie þje podporována projektem ESF þč. CZ.1.07/2.2.00/28.0043 þ„INTERDISCIPLINÁRNÍ ROZVOJ STUDIJNÍHO OBORU MATEMATICKÁ BIOLOGIE“ INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU