Signály a lineárni systémy Signály spojité v čase Institut biostatistiky a analýz Masarykova univerzita 7. listopadu 2012 Signály a lineárni systémy Harmonická funkcia x(t) = A.cos(ωt + φ0) A ω φ0 T = 2π ω Frekvenčné spektrum- rozloženie amplitúd a počiatočných fáz jednotlivých harmonických zložiek v závislosti na frekvencii Signály a lineárni systémy Konvolúcia Konvolúcia je definovaná vzťahom x(t) = x1(t) ∗ x2(t) = ∞ −∞ x1(τ)x2(t − τ)dτ Vlastnosti konvolúcie komutativita distributvita asociativita šírkova vlastnosť konvolúcie Signály a lineárni systémy Konvolúcia príklad Konvolúcia x(t) = x1(t) ∗ x2(t) = ∞ −∞ x1(τ)x2(t − τ)dτ x2(t) sa nazýva konvolučné jadro a určme si ho ako x2(t) = 1, t ∈ 0, 3 0, inak x1(t) nech je postupne x1(t) = 1, t ∈ 0, 1 0, inak x1(t) = 1, t ∈ 0, 2 0, inak x1(t) = 1, t ∈ 0, 3 0, inak x1(t) = 1, t ∈ −1, 1 0, inak vyrátajte a nakreslite graf konvolúcie c(t) = x1(t) ∗ x2(t) Signály a lineárni systémy Korelácia a kovariancia Korelačná funkcia (pre periodické signály) je definovaná R(t) = 1 T T 0 x1(τ)x2(t + τ)dτ určte korelačnú funkciu pre x1(t) = sin πt 2 x2(t) = 4 + sin πt 2 Autokovariančná funkcia je daná C(t) = 1 T T 0 (x(τ) − µ)(x(τ + t) − µ) vyrátajte autokovariančnú funkciu pre x(t) = 3 + cos πt Signály a lineárni systémy Fouriérova transformácia a spektrálna hustota Fouriérova transformácia a spektrálna hustota funkcie x(t) sú dané predpisom X(ξ) = ∞ −∞ x(t)e−iξt dt niektoré vlastnosti x1(t) + x2(t) = X1(ξ) + X2(ξ) x(t/a) = aX(aξ) x (t) = iξX(ξ) (X(ξ)) = iξx(t) Vyrátajte Fouriérovu transformáciu štandardizovaného normálneho rozloženia f (x) = 1 √ 2π e−x2 2 Čo sa stane keď fouriérujeme konvolúciu dvoch funkcií? Signály a lineárni systémy Centrálna limitná veta Nech X a Y sú nezávislé spojité náhodné veličiny. X má hustotu f a Y sa riadi hustotou g. Potom X + Y ∼ f ∗ g Linderbergova centrálna limitná veta: Nech Xi , i = 1, 2, . . . , je postupnosť nezávislých rovnako rozložených náhodných veličín s hustotou f , F ∈ C2(R).E(Xi ) = 0, E2(Xi ) = 1. Potom hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny X1+X2+···+Xn√ n sa blíži k hustote štandardizovaného normálneho rozloženia, teda P(a ≤ X1 + X2 + dots + Xn √ n ≤ b) → 1 √ 2π b a e−x2 2 dx Signály a lineárni systémy