Teoretická fyzika - Základy teorie elektromagnetického pole Michal Lenc - podzim 2012 Obsah Teoretická fyzika - Základy teorie elektromagnetického pole........................................1 1. Úvod...................................................................................................................3 1.1 Maxwellovy rovnice................................................................................................3 1.2 Energie a hybnost elektromagnetického pole...........................................................4 1.3 Elektřina a magnetismus.........................................................................................5 1.4 Podmínky na rozhraní.............................................................................................6 1.5 Elektromagnetické vlny...........................................................................................7 2. Elektrostatika......................................................................................................8 2.1 Coulombův zákon...................................................................................................8 2.2 Newtonův zákon.....................................................................................................8 2.3 Poissonova rovnice.................................................................................................9 2.3.1 Greenova funkce.................................................................................................9 2.3.2 Greenova věta...................................................................................................10 2.4 Elektrostatická energie nábojů...............................................................................11 2.5 Multipólový rozklad pole......................................................................................11 2.5.1 Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích.................................................11 2.5.2 Legendreovy polynomy.....................................................................................12 2.5.3 Kulové funkce...................................................................................................13 2.6 Pole bodových nábojů ve vakuu............................................................................14 2.7 Dielektrická koule v homogenním poli..................................................................15 3. Magneto statika..................................................................................................15 3.1 Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou..................................................15 3.2 Magnetické pole kruhové smyčky.........................................................................17 1 4. Kvasistacionární pole........................................................................................17 4.1 Skin-efekt.............................................................................................................17 4.2 Vzájemná indukčnost a vlastní indukčnost............................................................19 4.3 Komplexní odpor..................................................................................................20 5. Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí..................................................21 5.1 Mikroskopické Maxwellovy rovnice.....................................................................21 5.2 Maxwellovy rovnice pro prostředí s triviálními materiálovými vztahy...................23 6. Časově proměnná elektromagnetická pole ve vakuu..........................................24 6.1 Rovinná a kulová vlna...........................................................................................24 6.2 Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály..............................................24 6.3 Pole časově proměnného dipólu............................................................................25 6.4 Lienardův - Wiechertův potenciál.........................................................................28 6.5 Ztráta energie zářením...........................................................................................29 7. Rozptyl záření volnými náboji...........................................................................30 7.1 Thomsonův vzorec...................................... ..........................................................30 7.2 Modifikace Thomsonova vzorce...........................................................................31 7.3 Index lomu............................................................................................................31 8. Elektromagnetické pole v dispersním prostředí..................................................32 8.1 Maxwellovy rovnice..................................... .........................................................32 8.2 Disipace energie....................................................................................................34 8.3 Fázová a grupová rychlost.....................................................................................34 9. Rovnice elektromagnetického pole ve čtyřrozměrném zápisu............................35 9.1 Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity...................................................35 9.2 Náboj v elektromagnetickém poli..........................................................................36 9.3 Tenzor elektromagnetického pole..........................................................................37 9.4 První pár Maxwellových rovnic............................................................................39 9.5 Druhý pár Maxwellových rovnic...........................................................................39 2 9.6 Tensor energie - hybnosti.....................................................................................40 9.7 Vlnová rovnice a rovinné vlny..............................................................................41 1. Uvod 1.1 Maxwellovy rovnice Základ teorie elektromagnetického pole tvoří Maxwellovy rovnice a pohybové rovnice náboje v elektromagnetickém poli. Maxwellovy rovnice popisující elektromagnetické pole vytvářené ve vakuu volnými náboji hustoty p a proudy hustoty j jsou s0 dt — VxB = ř„— +J , VB = 0 jU0 dt (1.1) Druhý Newtonův zákon pro částici s nábojem e je É + vxB dp dt (1.2) Konstanty v (1.1) jsou dány volbou soustavy jednotek SI. Intenzita elektrického pole je udávána ve Vin-1, indukce magnetického pole má jednotku T. Platí 1 = c2 , ju0 = AxlQT' HirT1 , c = 299792458 m s"1 . (1.3) Sq //q Zavádíme také indukci elektrického Ď = sQE a intenzitu magnetického pole H = b///0 . Pomocí těchto veličin můžeme Maxwellovy rovnice přepsat do tvaru vb = 0 , VxĚ = -— , dt (1.4) - - - - 5D - VD = p , VxH= —+j . dt První řádek rovnic v (1.4) určuje charakter pole, druhý řádek rovnic spojuje pole se zdroji. Ve tvaru (1.4) platí rovnice i v látkovém prostředí, na rozdíl od vakua jsou však v látkovém prostředí vztahy mezi vektory indukce a intenzity netriviální a často velmi komplikované. To, že za základní vektory pole považujeme právě elektrickou intenzitu a magnetickou indukci, je dáno charakterem Lorentzovy síly v (1.2) a prvním řádkem rovnic v (1.4). 3 1.2 Energie a hybnost elektromagnetického pole Mějme testovací částici s energií s a hybností p . Při přechodu ke spojitému rozložení náboje a proudu je Aí = F-Af = —F • J At , F =pÉAV +JxBAV => — — =J É . (1.5) p AV At Energie získaná částicí za jednotku času je tedy j • E AV, je tedy práce vykonaná polem za jednotku času vztažená ne jednotku objemu — j • E . S využitím vztahu Ě-(VxH)-H-(VxĚ) = V-(HxĚ) (1.6) odvodíme z Maxwellových rovnic výraz H.^ + Ě.^ = -j.Ě-V.(ĚxH) . (1.7) ôt ôt J V / Na pravé straně vystupuje hustota vykonané práce a nějaký tok, výraz na levé straně můžeme tedy interpretovat jako časovou změnu hustoty energie. Po zavedení veličin hustoty energie W a Poyntingova vektoru S W = i(ÉĎ + Bfí) , S=ÉxH (1.8) můžeme (1.7) psát v integrálním tvaru jako —jWdV + Jj-ĚdV + jS-ňdS = 0 . (1.9) Obdobnou úvahu můžeme provést pro hybnost. Při přechodu ke spojitému rozložení náboje je A p = F At , F =pĚAV+TxBAV => —^ = pĚ+TxB . (1.10) AV At Z Maxwellových rovnic odvodíme výraz ^ ÔB ÔĎ -j Dx-+-xB = dt dt (l.H) Ě(V Ď)-Bx(VxH) + h(V-B)-Ďx(VxĚ)- JxB-/?Ě . Poslední dva členy na pravé straně popisují Lorentzovu sílu, můžeme tedy výraz na levé straně interpretovat jako časovou změnu hustoty hybnosti pole G = ĎxB . (1.12) Provedeme úpravu výrazů v (1.11) 4 d 1 —i 2 1 — i 2 1 r Ď v ÔE T?. ÔĎ^ 2 — I. • 1 f B v -H 5BN 2 5Xj 5xi, (1.13) a zákon zachování má pak tvar ~n ŕ 3 — JG;dV + j"p;dV + 2TijnjdS = 0 • Definovali jsme Maxwellův tensor napětí T;j jako1 Tij=-(EiDj+HiBj)+^Sij(Ě.Ď + H.B) a hustotu hybnosti prostředí (1.14) P; = pE, + jxB + 1 - dE ^ dD ~ 6>H -i dB D---E---hB---H (1.15) (1.16) č?Xj č?Xj d\ d\ Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok hybnosti z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustotě energie W-^Tíí =0 (1.17) 1.3 Elektřina a magnetismus Pro statické (na čase nezávislé) jevy můžeme zvlášť studovat elektrostatiku a zvlášť magnetostatiku, jak je vidět z Maxwellových rovnic (1.4). Pro elektrostatiku je VĎ = p , VxĚ = 0 (1.18) a pro magnetostatiku VxH = J , VB = 0 . (1.19) Řešíme-li úlohu pro homogenní prostředí s triviálními vztahy mezi indukcí a intenzitou, tj. Ď = £i£qE , B = //r/4,H , (1.20) Vede substituce Ě = -V^ (1.21) k tomu, že rovnice s rotací v (1.18) je splněna identicky a rovnice s divergencí dává Poissonovu rovnici 1 Jsou možné i jiné definice, které se vždy shodují pro vakuum. Vzhledem k obtížnosti experimentálního ověřování v jiném prostředí není otázka správného rozdělení hybnosti mezi „pole" a „hmotu" rozřešena. 5 A^ = —í— . (1.22) Naopak substituce B = VxÄ (1.23) vede k tomu, že rovnice s divergencí v (1.19) je splněna identicky a rovnice s rotací vede na rovnici2 AÄ-V(v-Ä) = -JuiJu0] . (1.24) Vektorový potenciál nezmění hodnotu magnetické indukce, přičteme-li k původnímu vektoru gradient libovolné skalární funkce (rotgrad f =0). Toho můžeme využít k volbě takového potenciálu A= Ä + V f , jehož divergence je nulová3 a místo (1.24) máme opět (vektorovou) Poissonovu rovnici AA=-//r//0J . 1.4 Podmínky na rozhraní Máme-li dvě homogenní prostředí se společným rozhraním, řešíme rovnice pole zvlášť v každém z nich. Potom musíme zajistit, aby byly na společném rozhraní splněny podmínky plynoucí z Maxwellových rovnic. Na obrázku4 je popis všech potřebných veličin: n normála a f tečna k rozhraní, rovnoběžné s rozhraním jsou i podstavy válce o ploše AS a delší hrany obdélníku délky A£. Kratší hrany obdélníka i stěny válce mají zanedbatelné délky. 2 rotrotV = Vx(VxV) = v(V-v)-(v-V)v = grad(divV)-AV . 3 divA=0 znamená, že funkci f volíme jako řešení rovnice A f =-divA . 4 J. D. Jackson: Classical Electrodynamics (John Wiley@Sons, 1999), Figure 1.4. 6 Povrchová hustota náboje je označena a, povrchová hustota proudu K (má složky pouze podél rozhraní). Integrální tvar Maxwellových rovnic s divergencemi je ^> Ď-ndS = J* />dV => (D2-Ď1)-nAS = ťrAS a ^> B-ndS = 0 (B2-B1)hAS = 0 . Integrální tvar rovnic s rotacemi je j> É-(txn)d^ = 0 (É2-É1)-(txn)A^ = 0 ^> H-(txn)d^ = J* J-tdS => (H2-H1)-(fxh)A^= K-fA^ . Členy J <9B/<9tdS a J dĎ/dt dS mají omezený integrand a v limitě malé plochy jdou k nule, proto jsme je v posledních dvou vztazích ani nepsali. Máme tak pro normálové složky (Ď2-Ď1)-n = ť7 , (B2-B1)-ň = 0 (1.25) a pro tečné složky5 nx(Ě2-É,) = 0 , nx(H2-H!) = K . (1.26) 1.5 Elektromagnetické vlny Zavedeme-li pro popis časově proměnného elektromagnetického pole vektorový a skalární potenciál vztahy B = VxA , É = -V^-— , (1.27) dt máme po dosazení do Maxwellových rovnic dt sn , ~ x (1-28) A A 0 A Y7ÍY7 A ÔA AA"^//o^7T-V V-A+^0//0— =-//0j . dt ^ dt J S využitím kalibrační transformace (tj. transformace, která nevede ke změnám vektorů E a B) Platí X' t xn =t • nxX a vektor t je libovolný tečný vektor k rozhraní. 7 ôi// ~dt můžeme dosáhnout, aby platilo V • Ä+ SnlL — = 0 00 dt a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní vlnovou rovnici 1 P ^--2-^T =--» c ot f0 -r 1 32 Á AA"— ^7F = -//o J • c ot (1.29) (1.30) (1.31) 2. Elektrostatika 2.1 Coulombův zákon Síla, kterou působí náboj q2 (nacházející se v místě 2) na náboj v místě 1 je p =_\_Sifkf 1 a 3 12 ' 4^0 r12 r = r — r r = r — r 112 11 12 ' 4 2 ľ1! 12 a síla, kterou působící náboj qt (nacházející se v místě 1) na náboj q2 v místě 2 je je tedy r — r — r r — W — r F,=-F2 (2.1) (2.2) (2.3) 2.2 Newtonův zákon Newtonův gravitační zákon zde uvádíme pro porovnání. Síla, kterou působí hmotnost rr^ (nacházející se v místě 2) na hmotnost n\ v místě 1 je ~ nvm^ r =v -v r =lř-řl M ^ 3 121 ' 121 12 11 ' 121 |*2 1l| (2.4) 8 a síla, kterou působí hmotnost u\ (nacházející se v místě 1) na hmotnost ir^ v místě 2 je F2 — G - r12 , r12 — xx — r2 , r12 — li*, — r2| , (2.5) je tedy samozřejmě opět Ft = - F2. 2.3 Poissonova rovnice 2.3.1 Greenova funkce6 Poissonovu rovnici pro elektrostatické pole -A0 = -?- (2.6) i rovnici pro gravitační pole A^ = 4^-G// (2.7) budeme psát jednotným způsobem jako H|^) = |J) , (2.8) kde H=-A a \]} = p/sQ nebo |j^ = -4;rG//. Předpokládejme, že známe vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru H (x|H|x/) = (x|Í^^J^J(^m|]|x/) = 2:^^:(x>m(x) . (2.9) V m y m Předpokládejme dále, že žádná z vlastních hodnot není rovna nule. Položíme pak Greenovu funkci rovnu (xlólx^^xlí^^l^^jllx'J^-L^íx^^x) . (2.10) n lrm/\rml / ' 1 n V m m J m \i Potom dostáváme (x|GH|x') = (x|^IO<^j](ZAk.>(^|]h,) = WÍZknX^lllxXxlflx^^X-x') . (2.11) Řešení Poissonovy rovnice tak zapíšeme ve tvaru (xk) = (x|G|j) = {(xlÔlx'^x'l^dx' (2.12) nebo 6 Tento odstavec možno vynechat. 9 n K 2.3.2 Greenova věta Všimněme si nejprve působení laplaciánu na funkci 1/r . Máme V- = -4 , V-ív-] = 0 (2.14) r r v ry všude, kde je tato funkce dobře definována, tedy s výjimkou bodu r = 0. Použitím Gaussovy věty na kouli se středem v počátku máme V-^V-jdV = -4^ . (2.15) K Pokud považujeme A(l/r)za funkci, je její chování neobvyklé. Zapisujeme ji pomocí Diracovy delta funkce jako A- = -4xó(3)(r) . (2.16) r Z Gaussovy věty plyne Greenova věta. Mějme identity V-(uVv) = uV-(Vv) + (Vu)-(Vv) , V-(vVu) = vV-(Vu) + (Vv)-(Vu) . Po odečtení rovnic a užití Gaussovy věty dostáváme Greenovu větu j"(uAv-vAu)dV = j" (uVv-vVu)ňdS . (2.17) v av Máme teď pro u = 0 a v=l/r A0 = --?- , A- = -4^J(3)(f) . (2.18) s0 r Rozšíříme-li integrační oblast na celý prostor a předpokládáme-li dostatečně rychlý pokles funkcí v nekonečnu, dostáváme c '(f)=:r- v ; d3ť . (2.19) r-ť Ve dvourozměrném případě je postup podobný. Všimněme si nejprve působení laplaciánu na funkci ln r . Máme Vlnr=^ , V-(vlnr) = 0 (2.20) 10 všude, kde je dobře definována, tedy s výjimkou bodu r=0. Použitím Gaussovy věty na kružnici se středem v počátku máme jV-(vlnr)dS =2n , (2.21) K je tedy chování funkce A(lnr) neobvyklé. Zapisujeme je pomocí Diracovy delta funkce jako A ln r = 2xô(2)(ľ) . (2.22) Z Greenovy věty potom dostáváme (pozor na podmínky v nekonečnu a "rozměr" lnr ) r - r á2?1 (2.23) 2.4 Elektrostatická energie nábojů. Elektrostatickou energii spojitého rozložení náboje XJ=^-jp0dV (2.24) můžeme pro soustavu bodových nábojů p{f ) = ^a£a (f -ř^) zdánlivě snadno napsat jako důsledek prostého dosazení 1~ ' (2.25) Z Coulombova zákona máme 4^o b rab -i r = r — r , ' 1ab ""-a 1b (2.26) Musíme tedy vyloučit působení pole vytvořeného daným bodovým nábojem sama na sebe, abychom mohli psát konečný výraz pro energii U 1 -J]-6"6" 8^" £0 a*b rab (2.27) 2.5 Multipólový rozklad pole. 2.5.1 Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích je r2 dv 1 d Av = —— i Separací proměnných V dľ J 1 d f ŕsmGdO • /i^Vl 1 dly/ sin 6- d9 r2 sin29 dqř dojdeme ke třem obyčejným diferenciálním rovnicím (2.28) (2.29) 11 d20(» , . , d dtp1 y J dr dR(r) 1 d sin# d9 sin 6 d9 A2 dr m A2 R(r) = 0 J 2 "\ (2.30) sin2# 0(#) = O Jednoduše odvodíme, že (požadavek periodicity v proměnné ) = A P + ^ j m\; P,m (cos 9) exp (i m) Y,0 = tMM3cos2 # " J) ^ = " J— sin#cos#exp(i#>) y 8;r y 16 ýT" y 8;r Velmi důležitým speciálním případem rozkladu (2.44) je vztah pro Legendreův polynom obecného úhlu mezi dvěma jednotkovými vektory n = (siné? cos cp, sin 9 sin cp, cos 9) a n' =(sinacos/?,sinasin/3,cosa) , tedy cos;k = n-n; = cos 9cos a + sin 9 sin a cos {cp - /?) , A ir m=1 (2 46) r1{cosr) = ^-ZV*(^mm(e>Q r dO D dr k rovnicím A+4 1 R3 A siné* 2B/ A+^- 5 R3 Rj cosé?: siné* , A--r í R3 (2.52) cosé* . Pole v nekonečnu musí nabývat původní hodnoty, je tedy A, = E . Pole v počátku musí být konečné, a to vyžaduje B2 =0. Zbývající rovnice pro Bj a Aj snadno vyřešíme, takže máme 1+ Sl £l 1 + 2s1 + s2 £\ ~ £2 R3 Ercos(9 0B-td£ = /u0 j" J-ndS = //0 J (3.9) 16 3.2 Magnetické pole kruhové smyčky Do vztahu pro vektorový potenciál (3.4) dosadíme za proudovou hustotu ]{ľ'^d3ľ' = í ô(p'-a) ô (i!} e j p1 á p' dz' dtp' , kde e^ =-sin(V- l7t ^(a + p)2 + K(k)+;2"/;22"z22E(k) (a-p) +z2 (3.12) (3.13) (3.14) 4. Kvasistacionární pole. 4.1 Skin-efekt. Maxwellovy rovnice v přiblížení kvasistacionárního pole 7 Následující vztah můžeme chápat jako definici přiblížení kvasistacionárního pole: u proudů uvažujeme pouze proud daný Ohmovým zákonem. 17 VĚ = 0 , VxĚ = -— , dt (4.1) VxB = //0crĚ , VB = 0 . vedou na r) F ŕ)R AĚ = Ju0a — , -— = VxĚ . (4.2) dt dt Uvažujme nekonečný přímý drát kruhového průřezu. V důsledku symetrie má elektrické i magnetické pole jedinou složku Ě = E(r)exp{-iřyt}éz , B = B(r)exp{-iŕyt}é^, (4.3) a máme tedy ld_ r dr f dE^ r- v dr j dF + k2E = 0 , i»B =--, (4.4) dr kde jsme označili k=^f=í±i , í= OZ . (4.5) Řešeními rovnic (4.4) konečnými na ose jsou E(r) = KJ0(kr) , B(r) = -i — K J, (kr) . (4.6) co Konstantu úměrnosti K získáme pomocí jedné nebo druhé následující podmínky (proud protékající drátem má danou hodnotu resp. tok magnetického pole plochou protínanou drátem musí mít danou hodnotu) R 2^-o-JE(r)rdr = 1 , 2^RB(R) = //0I . (4.7) o Máme tedy uvnitř vodiče E(r)= ' Z1";0"' . B(r) = AliM . (4.8) w ctttK2 2J!(kR) w 2^-RJ1(kR) Pro malé hodnoty frekvence je E^-^ , B(r).£L£ , (4.9) zatímco pro velké hodnoty máme v blízkosti r »R 18 I .1/2 B /u0 I f R .1/2 exp< R-r exp^i R-r cot ře„ 2^-R^r j [ S J {{S Vztahy (4.10) získáváme z asymptotického rozvoje Besselových funkcí M*) i 2 A"' cos z- ľ + - — l 2 2 (4.10) (4.11) 50 Hz 50 MHz 02 0.4 0.6 0.8 Průběh relativní hodnoty hustoty proudu pro měděný drát poloměru 1 mm se specifickým odporem l/cr=l,555-10~8 Qm při dvou různycn rreKvencích ( f =50Hz a f =50MHz) je ukázán na obrázku. Je vidět, že při síťové frekvenci je skin-efekt zanedbatelný. 4.2 Vzájemná indukčnost a vlastní indukčnost. Uvažujme dvě geometricky pevné cívky s proměnným proudem v cívce 2. Indukované napětí v cívce 1 vyvolané změnou pole buzeného cívkou 2 je U, l-JÉV^dS, , JB2-n1dS1=^Aí-dA dt (O (O (O ^ o- (2) dL (4.12) 12 Po dosazení dostáváme U,=M, dI> l12 dt M 12 (j)C) ()(2) d£2-dlx (4.13) Poznámka: normála k ploše je dána pravidlem pravé ruky, tedy ve směru vektorového součinu tečny a vnitřní normály k orientované (proti směru hodinových ručiček) uzavřené křivce na ploše. 19 Pokud by tekl proměnný proud cívkou 1, bylo by indukované napětí v cívce 2 U2 = M21^ , M21=M12 = M . dt (4.14) Ale také změna magnetického toku cívkou 1 vytvoří indukované napětí v této cívce, stejné platí pro cívku 2. Obecně tedy můžeme psát U, T dl, „dL d I, T dL L—L + M—2- , U9=M—L-L,—2-dt dt dt dt (4.15) Časová změna energie magnetického pole je rovna záporně vzaté práci dW dt dL dL f U, I,-U2I2 = 1^1,—^-+L,I2 dt dt M dL 1 dt + 1 dl, dt (4.16) takže pro energii magnetického pole je W = ^L1I12+|l2I22-MI1I2 , L1L2>M: Energii magnetického pole máme ovšem také vyjádřenu jako W -JBHdV = -JJ AdV 2 y 2 v (4.17) (4.18) (4.19) (4.20) Při odvození rovnosti obou výrazů v (4.18) je postupně využito vztahů B = VxÄ , h(VxÄ)-Ä(VxH) = v(ÁxH) , VxH = J Vztahu pro energii využijeme pro výpočet vlastní indukčnosti L = —^-ÍB2dV . Uvažujme dvě cívky ve tvaru solenoidu každou o N závitech těsně na sobě. Průřez cívek je S a jejich délka £. Pole první a druhé cívky jsou tedy přibližně Bj ^ ju0 N, B2 « //0 N l2/£ a pro indukčnosti máme I^^I^^-M^jUqN2 S/l. Pro energii magnetického pole pak //0N2S W 21 (4.21) 4.3 Komplexní odpor Pro obvod s odporem, kondenzátorem a indukčnosti v sériovém zapojení máme U=RI + Q + Lf!l , I=f!Q , C dt dt tedy pro harmonický průběh U =U0exp{-kyt} , I = I0 exp{-kyt} (4.22) (4.23) 20 dostáváme vztah U=ZI , Z = R-i co L co C (4.24) Vezmeme-li reálnou část (4.24), dostáváme U0cos(ť»t - cp) I <»L 1 ÍR2 + 1 R co R C (4.25) Pro soustavu induktivně vázaných obvodů má zobecnění rovnice (4.22) tvar Ua=RA+ —+ "ZLab— . la C V dt dt (4.26) který pro periodické děje dává Ua=£ZabIb , Zab = Ra (4.27) Vlastní frekvence dostaneme z podmínky řešitelnosti soustavy rovnic pro proudy při všech Ua=0,tedy det(Zab) = 0 . (4.28) Rovnice (4.26) lze formálně získat dosazením lagrangiánu £ a disipativní funkce 91 £ = Y-Lb t?2 ab dt dt v dt j (4.29) do obecného vztahu d a£ d£ dm dtada aQa dt dt Jde tedy o analogii k souboru tlumených harmonických oscilátorů buzených vnější silou. (4.30) 5. Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí 5.1 Mikroskopické Maxwellovy rovnice Náboje a proudy rozdělíme na ty, kterou jsou vázané na prostředí a na vnější náboje a proudy. Mikroskopické Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí tedy budou V-é = ^±^ , Vxé = -^ , s0 dt 1 - - de ^ - - -— Vxh = s0 — + py + jext , V-h=0 . jU0 dt (5.1) 21 Vytvoříme střední hodnoty a dostaneme (p) + Axt VE 1 VxE =--, dt d E VxB = ^0 —+ (/7v)+je jU0 dt (5.2) VB = 0 , kde jsme označili (e) = Ě , (h) = B . (5.3) Celkový náboj vázaný na prostředí, plně uzavřené uvnitř oblasti V je roven nule \v(p)dV = 0 => (p) = -V-P , (5.4) přičemž P=0 vně materiálu. Potom je totiž z Gaussovy věty nulovost celkového náboje zaručena Jv(p)dV = -JvV-PdV = JsP-ndS = 0 . (5.5) Uvažujme dipólový moment jY(/?)dV = -j> (V-P)dV = -jY(ň-P)dS + j(P-V)f dV = JPdV . (5.6) v v s v v Proveďme nyní řez materiálem tak, aby byl plně uzavřen uvnitř nějaké plochy S. Celkový proud touto plochou vázaný na prostředí je dán celkovou hodnotou časové změny průmětu vektoru polarizace f(/?vVňdS= — -ndS ^> (pv) = VxM+ — V 1 c dt X 1 dt dP (5.7) přičemž M =0 vně materiálu. Potom je totiž lim — 0 J - - dP VxM +— -ndSdt dt (5.8) TMS7{fiIÄ-dídt + í.[ŕ(T)-ŕ(°)]-fidS} = 0 Uvažujme magnetický moment 9 Je to obdoba situace v mechanice kontinuity: středujeme přes malý objem, který sice obsahuje dostatek atomů či molekul pro vyhlazení mikroskopických fluktuací, ale stále jej můžeme z makroskopického hlediska považovat za „bod" prostředí. 22 -jY x(pv)dV = -jY x(VxM)dV = i" 2\ (5-9) -Jfx(ňxM)dS --J(MxV)xfdV = JMdV 2J v ; 2 ^ s ^ v v Definice vektorů polarizace P a magnetizace M pomocí momentů je důležitá pro jednoznačnost, jinak by vyhovovaly také P+Vxf aM+Vf. Povšimněme si, že spojení rovnic (5.4) a (5.7) dává rovnici kontinuity ^- + y.{Py) = o . (5.10) Vynecháme-li teď indexy „ext", dostáváme konečný tvar Maxwellových rovnic (1.4) VB = 0 , VxĚ =--, dt (5.11) - - - - 5D - VD = p , VxH= —+j . dt Materiálové vztahy jsou pak Ď = ^0Ě + P , H=—(B-M) . (5.12) /A) V kovových materiálech pokládáme J = <7É . (5.13) 5.2 Maxwellovy rovnice pro prostředí s triviálními materiálovými vztahy V homogenním izotropním lineárním prostředí bez disperse máme jednoduché materiálové vztahy Ď = sTs0Ě , H = —-—B . (5.14) Zavedeme-li pro popis elektromagnetického pole vektorový a skalární potenciál B = VxA , É = -V^-— , (5.15) dt máme po dosazení do Maxwellových rovnic A^V-Ä- p dt £T£0 d2 A C - - d(j)^ (5.16) AA-f^f,,^ —-V V-A+£rJuT£0Ju0 — dt dt2 S využitím kalibrační transformace 23 dt můžeme mít Ä^Ä+Vy/ , (t>^(t>-^- (5.17) dt a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní vlnovou rovnici n2 d2ý p V-Ä+sľiuľsoiu0^- = 0 (5.18) A^- c dt sT s0 a a n2^a Označili jsme rychlost světla ve vakuu c a index lomu n 1 (5.19) n2 = etMr ■ (5-20) 6. Časově proměnná elektromagnetická pole ve vakuu 6.1 Rovinná a kulová vlna Vlnová rovnice v jednorozměrném případě a vlnová rovnice pro sféricky symetrické řešení v trojrozměrném případě jsou dV(x,t) 1 dV(x,t) dx2 c2 dt2 ~ ' (6.1) ]_d_ r2 dr Obecné řešení těchto rovnic je dy/(r ,t) dr 1 d>(r.t) c2 5t2 y/(x,t) = f I t-- +g t + - I , C C \ (6.2) y/(r,t) = -fít--| + -g t + r r v c/ r v c. Na tato řešení se můžeme dívat jako na rovinnou vlnu jdoucí ve směru nebo proti směru osy x respektive na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu. 6.2 Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály První řešení z řešení (6.2) se sférickou symetrii je velmi důležité, neboť nám umožní zapsat obecně zpožděné potenciály, způsobené zadaným rozložením náboje a proudu. Připomeňme si, že platí 24 1 A- = -4ä- j1'(f) . r Obecné řešení nehomogenních rovnic pro potenciály 1 d2 P můžeme tedy získat jako A^- AA- c2 dt2 1 d2A "c2 dt2 P Vo j ^(řj,t): r2,t *12 -d3f. (6.3) (6.4) (6.5) A(r;,t) = ^ j r2,t *12 -d3r, (6.6) kde r12 = — |. Po derivování a integraci dá čitatel integrandu pravou stranu nehomogenní rovnice, jmenovatel je funkce, která je řešením homogenní vlnové rovnice. 6.3 Pole časově proměnného dipólu Uvažujme všechny náboje soustředěny kolem počátku souřadnic. Pak můžeme pro vektorový potenciál psát A(f,t): A) 4>r ^ J|r',t-I d3ř'=-^£ c J Attx ~~ e v t (6.7) neboli Skalární potenciál spočteme integrací kalibračního vztahu dtp (6.8) dt -czVA . (6.9) Jednoduchými úpravami dostaneme 25 V-A= A) 4;rr3 d_ dt r \ r ô c dt2 P t—| + --rp|t- VxÄ=--^-fx 4;rr ô J x\ r ô~ . r (6.10) Skalární potenciál je tedy ^(f,t) 1 f 4;r£0 r3 r) r d r (6.11) Pro intenzity dostaneme É (r, t): 3í?H)fHKK -^--xr dt2 xr B(r,t)= ^3dV^'C\r , pít-L)=Jt-L)+LdAlll y ' \7tŕ dt { c) { cJ c dt Dostatečně daleko od dipólu máme É (r, t) kde jsme označili 1 i-DÍt-Ilxn , B(f,t) = AlDÍt-ll , 4ks0c2 r c 4;rc r l c (6.12) (6.13) , 92p t-D|t--| =-^r^xn < r (6.14) Pro hustotu energie máme a Poyntingův vektor je W snE2 + — B2 D2 o j \67i2 c4 sn r2 - 1 - - 1 1 , S= — ExB =-—---D2n . I6?r2 c3 sn r2 (6.15) (6.16) Platí přirozeně W cn (6.17) Příklad: Vezměme rozložení proudu ve tvaru j(f,t) = J J(x)j(y)sinl —|cos(ŕyt)éz , 0t)ez (6.19) a podle (6.14) n (o _, - , 2LJ . . . f r V D| t--| =--sin6/sinŕy| t--|e„ (6.20) n y c j Příklad: V kvantové teorii vezmeme místo integrálu z proudové hustoty maticový element operátoru proudu mezi počátečním a koncovým stavem elektronu v atomu. Ze Schrôdingerovy rovnice ih f h2 2m -A+V Vi -ih j ôt f h2 2m -A+V (6.21) j dostaneme po úpravě d_ dtv 1 ' 1' 2mi (6.22) Vztah (6.22) umožňuje zapsat „rovnici kontinuity" dpn dt ■ + V-jfi=0 (6.23) kde hustota náboje a hustota proudu odpovídající přechodu i —>■ f jsou ■r eh Jfi 2 mi y/{V y/{- y/{V y/{ (6.24) Vynásobení (6.23) vektorem f a malou úpravou získáme vztah d d dy d dz (6.25) Dosadíme jfi dané tímto vztahem do (6.7). Integrály s derivacemi podle prostorových souřadnic dají nulu, takže zbude jen první člen s derivací podle času. Porovnání s (6.8) vede k výrazu pro dipólový moment. Vezmeme přitom v úvahu, že pro stacionární stavy ^(f ,t)=u;(f)exp^—^-E;tj , y/f (f,t) = u* (r)exp^-Ef tj . (6.26) S označením coíl =(Ef - E^/h můžeme psát pro dipólový moment vyvolaný elektronovým přechodem i —>■ f pfi (t) = exp(iŕyfi t)e jY u*f (f)u; (f )d3 f . (6.27) 27 6.4 Lienardův - Wiechertův potenciál Ať se nabitá částice pohybuje po zadané trajektorii f = rQ (t) . Hustota náboje je pak p(f,t) = e^(f-f0(t)) Vzorec pro skalární potenciál přepíšeme jako (6.28) ^(F,t): 4 K sn i j\ f p(r',ť) r - r ť - t + r - r dťďf j ô ť - t + r - r (6.29) dť , kde jsme označili Ř(V) = ř-ř0 (V) , R(V) = Ŕ(ť) ■ S pomocí vztahu ť - t + ■ R(01_ 4'-o v j ! R(Q^(0 cR(tr) t =t R(0 (6.30) napíšeme výraz pro skalární potenciál jako e 1 ^(r,t): 4^0 R(t) R(tr)'^(tr) t = t--^ (6.31) Výraz pro vektorový potenciál je pak obdobně Ä(f,t): e//0 4- R(g_R(Q-v(0 R(0 t = t —±±L (6.32) Vezměme teď jednoduchý případ pohybu s konstantní rychlostí podél osy x. Podmínku pro nalezení časového zpoždění přepíšeme na ,2/. . \2 c2(t-tr)z = (x-vtr)2 + y2 + z2 odkud v L j t =t vx 1 c c f v2' (x-vt)2+ 1-^ (y2 + z2) 1/2 (6.33) (6.34) Jmenovatel výrazů (6.31) a (6.32) pro potenciály můžeme psát jako , x v(x-vtr) c(t-tr)--^-^ = c vx , c2 , (6.35) Po malé úpravě pak dostáváme 28 ^(f,t) 1 1 4^o (l-/?2) 1/2 pro skalární potenciál a Ä(f,t) = (As(f,t),0,0) , \(r,t): pro vektorový potenciál, kde jsme označili (x-yt)2 e//0 1 1/2 1-A2 2 2 + y + z 1/2 Vektor intenzity elektrického pole je Ě(f,t): 1 1 4^o (l-/?2) a vektor indukce magnetického pole je 1/2 r*3 (x-vt,y,z) (6.36) (6.37) (6.38) (6.39) (6.40) Pro vektor hustoty impulsu pole G = s0 E x B dostáváme G(f,t) e2 Mo 1 v .2 1 o2 *6 (y2 + z2,-y(x-vt),-z(x-vt)) (6.41) 16 ^ 1-/T r a pro hustotu energie W = (s0 E2 + B2///0) ji výraz , , e2 1 (x-vt)2+(l + /?2)(y2 + z2) W f,t) = —^--^-^ 1 / ,{y-'- . (6.42) V J 32tt2s0 1- p1 r 6 6.5 Ztráta energie zářením Pro Poyntingův vektor dipólového elektromagnetického pole jsme měli výrazy (6.14) a (6.16). Pro jednu nerelativistickou částici s nábojem e, která se pohybuje se zrychlením w je pak Ď=ewxh (6.43) a intenzita záření vychází jako dl = S-nr2dQ: w2sin2#dQ 16 7Z1 £0C3 (6.44) Po integraci přes celý prostorový úhel dostaneme pro vyzařovanou intenzitu ((£ je energie částice) 29 dt 6 n s0 c -w (6.45) 7. Rozptyl záření volnými náboji. 7.1 Thomsonův vzorec Budeme popisovat rozptyl záření, které dopadá na soustavu nabitých částic. Zavedeme proto pojem účinného průřezu. Ať dl značí intenzitu záření, tj. střední hodnotu energie vyzařované soustavou za jednotku času do elementu prostorového úhlu dQ a S je střední hodnota velikosti Poyntingova vektoru (střední hodnota toku energie) dopadajícího záření. Potom je definován diferenciální účinný průřez (účinný průřez rozptylu do elementu prostorového úhlu dQ) jako veličina rozměru elementu plochy d(7 = — S (7.1) Uvažujme teď rozptyl elektromagnetické vlny jedním volným nábojem. Budeme předpokládat, že rychlost získaná nábojem bude malá a že vlnová délka dopadající vlny je mnohem větší než amplituda vyvolaných kmitů náboje okolo původní polohy (do této polohy umístíme počátek souřadnic), tedy můžeme psát d2f m- dť eĚ0 cos^k -f - cut + « eĚ0 cos(<»t - a) . (7.2) Pro intenzitu dipólového záření kmitajícího náboje máme podle (6.45) dl 16 Tt1 sn m2 c3 E0 xn cos2 (ryt - a)áQ. - o o 2 2 3 0 327T sn m c E2 sin2 #dQ (7.3) a pro střední hodnotu Poyntingova vektoru dopadající vlny 1 S = c s0 E2 cos2 [cdt -a) = —c s0 E( (7.4) takže diferenciální účinný průřez je der: ^47rsQ mc' j sin2 #dQ Celkový účinný průřez je pak dán Thomsonovým vzorcem 8/r v4jf0mc* j 8 2 -71 r 3 (7.5) (7.6) 30 Veličina re označuje tzv. klasický poloměr elektronu. Vztah pro poloměr získáme tak, že položíme elektrostatickou energii elektronu „poloměru" re rovnu klidové energii e2 mc2 . (7.7) Axe0 re 7.2 Modifikace Thomsonova vzorce Uvažujme nyní nikoliv volný náboj, ale tlumený oscilátor, tedy d r cl x c —- + /— + C0gľ= — E0cosť»t . (7.8) dť dt " m Pro dipólový moment p = er odsud dostáváme e2 (co2 - co2)coscot + ycoúncot p = —-----2- m (co2-co2) +y Celkový účinný průřez je v tomto případě co E0 . (7.9) 8^ 2 CO /Tím cr =-r -z- . (7.10) 1. e / 2 2\2 , 2 2 7.3 Index lomu Definujeme polarizovatelnost a{co) jako konstantu úměrnosti ve vztahu mezi (lokálním) elektrickým polem Eloc a dipólovým momentem p . Vyjdeme z komplexního zápisu (7.8) d2f df 9 _ e + r— + »o f = — Elocexp(-iřyt) . (7.11) dt2 ' dt " m Potom e2 p = s0a(co)Eloc , a(co) =---—:-- . (7.12) £0mco0 -\YCO- co Polarizace je pak P = N p . Musíme ovšem uvážit, jaké pole působí na náboj. Připomeňme z elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokální pole rovno Él0C=Ě , Ěloc = Ě + -P , Ěloc = Ě + -Lp , (7.13) £0 J£0 podle toho, jde-li o štěrbinu podél nebo napříč pole nebo o kulovou dutinu. Pro úplnost poznamenejme, že pro magnetické pole máme v podobné situaci Bloc=B-M , 4c=B , 4c=B-|m . (7.14) 31 Pro dielektrika uvažujeme o vázaných nábojích uvnitř kulové dutiny, můžeme tedy psát Na P= ] e0E (7.15) 1 —Na 3 a pro index lomu (za velmi častého předpokladu ju(co) = jU0) n2 = l + ^- . (7.16) l--Na 3 Obvyklá forma tohoto vztahu je (Clausius - Mossotti) ,n2-l 'n2 +2 Na . (7.17) Ve vodiči uvažujeme o téměř volných elektronech (nevázaných k atomu, tedy coQ = 0) a dále máme pro konstantu y (ze dvou různých vyjádření proudu a zápisu změny hybnosti za dobu mezi srážkami) Ne2 j= y =- . (7.18) mcr Také lokální pole je rovno vnějšímu, opět díky neustálému pohybu téměř volných elektronů. Odtud máme pro index lomu v kovu n g>\ o Ne2 n2 = l--E- , a>\= — . (7.19) a>2+ia>a>l%- meo (T 8. Elektromagnetické pole v dispersním prostředí. 8.1 Maxwellovy rovnice Maxwellovy rovnice pro Fourierovy složky (píšeme obecně bez vyznačení prostorové proměnné) počítané jako co f(t)=—J f(o>)exp(-ifi>t)dfi> (8.1) ^ — OD jsou W-B(eo) = 0 , VxŘ(co) = -icoĎ(co) , v ! \ (8.2) V-D(») = 0 , VxE (co) = i co B (co) . Předpoklad lineárního a příčinného vztahu mezi intenzitou a indukcí elektrického pole připouští následující vztah 32 Ď(t) = e0 Ě(t) + jZe(r)Ě(t-r)dr Podobně pro magnetické veličiny ( ^ B(t) = //0 H(t) + jZm(r)H(t-r)dr . v o J Fourierova transformace (8.3) a (8.4) vede k výrazům Ď(cd) = sQ s(cd)Ě(cd) , B(cd) = /jq/j(cd) H (<») kde Z tohoto vyjádření máme hned s(-cd) = s* (cd) , //(-<») = //*(<») (8.3) (8.4) (8.5) s(co) = \ + jVe(r)exp(i<»r)dr , //(») = 1 + jVm (r)exp (i <»r)dr . (8.6) (8.7) lim s(co) = 1 , lim//((y) = l (8.8) Komplexní veličiny s (co) a //(<») je zvykem značit pomocí reálných a imaginárních částí jako žr(fi>) = žr'(fi>) + ižr"(fi>) , ju(co) = /j'(co) + i//'. (8.9) Pro dielektrika nabývá s (co) při (y —>■ 0 konečnou hodnotu statické relativní permitivity. Pro kovy je chování zajímavější. Z porovnání dvou tvarů (V x H ) [co —>■ 0) dostáváme -iřy^(řy ^0)Ě(řy ^0) ^crĚ(řy^O) ^(řy ^0) S využitím vztahů (8.5) můžeme Maxwellovy rovnice (8.2) přepsat na VB(řy) = 0 , VxB(V) = -i n2(co) co Ě(co) V-Ě(řy) = 0 , VxĚ(cd) = ícdB(cd) , kde £0 Mo 2 c , s (cd) ju (cd) = n2 {cd) . Vhodnou volbou kalibrace potenciálů je cj> (cd) = 0 , V • A(cd) = 0, takže Ě(cd) = ícdÁ(cd) , B(cd) = VxÄ(cd) (8.10) (8.11) (8.12) (8.13) 33 a pro vektorový potenciál máme Helmholtzovu rovnici AA(») +-^A(ŕy) = 0 . (8.14) c 8.2 Disipace energie Vezměme nyní výraz (1.7) V-S = H.^+Ě.^ . (8.15) dt dt Uvažujme monochromatickou elektromagnetickou vlnu. Poněvadž pravá strana (8.15) obsahuje kvadratické výrazy, musíme pracovat s reálnými reprezentacemi pole, tj. dosazovat Ě = — |^E(ŕy)exp(-iŕyt) + É* (ŕy)exp(iŕyt) <3D- = ia>^ j^-g(<£>)É(<ž>)exp(-i<ž>t) + s*(ť»)É*(ŕy)exp(iŕyt) (8.16) (8.17) 1 r - H = — H (řy)exp(-iřyt) + H* (řy)exp(iřyt) 2 d_B _ ia>^i0 (řy^exp(-iť»t) + ji (<»)H* (řy)exp(iřyt) Pro časovou střední hodnotu Poyntingova vektoru S(řy) = lim-jS(řy,t)dt (8.18) o dostáváme ze vztahu (8.15) dosazením z (8.16) a (8.17) ■ sn s" l co)\E l co}' V-Š(V) = — \e0e"(a)\Ě(a>)[ + //0//(V)|H (g>)\ (8.19) Energie přidávaná do jednotky objemu prostředí přicházející elektromagnetickou vlnou je proměňována na teplo. Podle druhé věty termodynamické musí být toto teplo při disipaci energie vytvářeno, musí tedy být cos"(a>)>Q) , a>tr(a>)>0 . (8.20) 8.3 Fázová a grupová rychlost Uvažujme šíření vlny ve směru osy z. Předpokládejme, že prostředí má jen slabou dispersi, tedy kvadrát indexu lomu bude součinem reálných částí permitivity a permeability (čárky vynecháváme) a vlnu napíšeme jako 34 A= a(ŕy-ť»0)exp a> z - a>t áa> . (8.21) j Amplitudová funkce je soustředěna kolem centrální frekvence coQ, takže podstatnou roli bude hrát jen malá „grupa" vln s blízkými frekvencemi. Provedeme rozvoj fáze kolem centrální frekvence ú)Yí(co) ť»nn(ŕyn) -^-Lz-co\.= " v >;z-a>Qt + { d[ť»n(<»)] áco (co-coQ) Vlnu (8.21) aproximujeme výrazem f \ f \ A= exp ico0 Z --1 a(^)exp Z --1 lvf ) ty lV8 ) kde jsme označili fázovou rychlost (index 0 u frekvencí už vynecháváme) c (8.22) f n(<») (8.23) a grupovou rychlost d ť»n(řy) (8.24) áa> (8.25) Pokud je index lomu menší než jedna, může nabývat fázová rychlost hodnot větších jak rychlost světla ve vakuu. Fázová rychlost je však jen abstraktní veličina. Zato grupová rychlost vystupuje například jako rychlost přenosu energie, měla by tedy podle Einsteinovy teorie být vždy menší než c. Proto musí být splněna podmínka áco Není triviální to ukázat, ale podmínka skutečně splněna je. 9. Rovnice elektromagnetického pole ve čtyřrozměrném zápisu 9.1 Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity Hustotu náboje píšeme jako dQ = pdV , p = 2>a č(3)(f-řa) . (9.1) Ze vztahu 35 dQdx1 = pdVdx1 = p—dVdt dt (9.2) porovnáním geometrických vlastností (dva skaláry dQ- element náboje a dVdt = dQ-element čtyřobjemu a jeden čtyřvektor dx1) vyplývá, že musíme definovat další čtyřvektor (proudu) j' = p^- = (cp,p\) = (cp, J) . Ve výrazu pro účinek můžeme pak psát při přechodu ke spojitému rozdělení náboje ejj\dx[ = jpJ\dx[dV = -jj\ j'dQ . Náboj, který ubude v nějakém objemu, můžeme zapsat dvojím způsobem -J^dV = fj-5dS • (9.3) (9.4) (9.5) S pomocí Gaussovy věty pak z (9.5) plyne V-j+^ J dt dV = 0 (9.6) j tedy (objem je libovolný) rovnice kontinuity \.j.^ U- 0 . (9.7) dt dx1 Zákon zachování náboje (rovnice kontinuity) zaručuje, že při kalibrační transformací se účinek změní pouze o divergenci dx1 0 7 dx1 dx1 dQ . (9.8) 9.2 Náboj v elektromagnetickém poli Účinek pro nabitou částici v elektromagnetickém poli, který je invariantní a má „minimální interakci", můžeme zvolit jako b b S =-mcjds-eJA^x1 , A=l — ,A (9.9) Lagrangeova funkce a zobecněná hybnost jsou L = -mc Jl—- + eA-v-e^ , P=^ d L m v ■ + eA=p + eA . (9.10) 36 Je pak 10 — = eV(Ä-v)-eV^ = e(v-V)Ä+evx(VxÄ)-ev> —fp + eÄ) = —+ e—+ e(v-V)Ä . dtv i dt dt 1 ' Lagrangeova rovnice je tedy kde jsme označili ^P=e(Ě + vxB) , dt v ' E = -Vé-— , B = VxA . dt Ve čtyřrozměrné notaci óS = ó -mcjds - ej^dx1 b mcJx1 du. + e^4-íx' dxk - e^-^Sxk dx1 dxk dxk (mcU; + e AjJx1 Použili jsme při odvození integraci per partes a vztahy Sds = uidSx1 , SAt=^^Sxk . dx Obvyklým postupem dostáváme výraz pro zobecněnou hybnost P1 =mcuI +e Á a pohybovou rovnici du; ck d\ 5 A mc—L = eFiku , Fik =——--^ . d s ô x1 ô x 9.3 Tenzor elektromagnetického pole Ve vztahu (9.17) jsme zavedli tenzor elektromagnetického pole 10 Při úpravě použijeme identitu známou z vektorové V(a-b) = (a-v)b + (b-v)á + bx(Vxá) + áx(Vxb). 37 f O Ex/c Ey/c Ez/c^ -Ex/c O -Bz By -Ey/c Bz O -Bx -Ez/c -By Bx O , Fik í 0 -Ex/c -Ey/c -Ez/ Ex/c 0 -Bz By Ey/c Bz 0 -Bx lEz/c "By Bx 0 .(9.18) Při Lorentzově transformaci se tenzor elektromagnetického pole transformuje podle vztahu Označíme-li y = l/-y/l-/?2 , dostáváme při transformaci x°=y(x>0+/Jxn) , xi=y(xn+j3x>0) , x: neboli v maticovém zápisu 2_x/2 x3 = x/3 x =Akx AI fy py 0 0^ py y 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 j transformační vztah pro tensor pole í C\ TJ /Ol 0 ;/10 y(F/02+PF/u) y(F/03+PFmy F'1U 0 y(Fn2+PF>02) y(Fn3+PFm) y(F'w+PFm) y(Fm+PF'w) y(F'30+PFm) y(Fm+PF'30) Převedeno do vektorů intenzity a indukce EX = EX , Ey = r(Ey+VBz) 0 p/32 Fz=y(F'z-VB'y) B = B' , B =y\ B' -^F' x x ' y / y ^ c V B = y\ B' + — F' z / I z 2 y (9.19) (9.20) (9.21) . (9.22) (9.23) V nerelativistickém přiblížení (V/c —>■ 0) přechází (9.23) na Ě = Ě'-VxB' , B = B7 . (9.24) Invarianty pole můžeme zkonstruovat z tenzoru pole. Poněvadž je antisymetrický, zúžení nedává nic a máme až kvadratické výrazy gÍmgknFikFmn = FikFik = inv , Fik Fmn = Fik *Fik = inv . (9.25) Duální tenzor vyjádřený pomocí intenzity elektrického pole a indukce magnetického pole má tvar 38 í0 -Bx -Bz Bx 0 -Ez/c Ey/c By Ez/c 0 -Ex/c -Ey/c Ex/c 0 (9.26) Invarianty mají pak vyjádření F, Fik = - 2 f Ě2 B Fik *Pik=4 EB (9.27) 9.4 První pár Maxwellových rovnic Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomoci potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu SFik SPkl öFH ^ Ik+—— + —-£- = 0 (9.28) 5 x1 d x1 5 xk Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelněji je to vidět, užijeme-li zápis pomocí duálního (pseudo)vektoru dF d*Fik _iklm U Mm O ť dxk dxk 0 . (9.29) Nultá komponenta dává tvrzení o nezřídlovém charakteru magnetického pole, další tři komponenty Faradayův indukční zákon VB=0 , VxE dB "dt (9.30) 9.5 Druhý pár Maxwellových rovnic Druhý pár Maxwellových rovnic odvodíme z variačního principu. Za Lagrangeovu funkci elektromagnetického pole zvolíme přirozeně známý invariant s vhodnou konstantou S=-i c Y AJ' + 4//c ik dQ (9.31) 10 c2 P(t> 2 A) B2 +j-A dVdt . j S uvážením P1 öFik = Pik SF1 dostáváme SS Y j^A+^FIkJPik 2//0 cik d _ 1 dQ 2//0 a x! ^4 2//0 (9.32) d ŕ op, dQ Po integraci per partes ve (9.32) 39 ÓS 1 Y AJ +' dF1 CA J Druhý pár Maxwellových rovnic je tedy dFik ~~dr J^dQ- —ÍFik J^dS, ca, j (9.33) ~ A J (9.34) Nultá komponenta je rovnice pro divergenci indukce elektrického pole (zobecnění Gaussovy věty elektrostatiky), zbývající tři pro rotaci intenzity magnetického pole (Ampérův zákon doplněný Maxwellovým posuvným proudem) VD=p , VxH ÔD ~dt + J (9.35) 9.6 Tensor energie - hybnosti Tensor energie - hybnosti dostaneme z teorému Noetherové při transformaci, odpovídající translaci souřadnic X;=^ , Qf = 0 , Tji(x) = qAj dqAi (9.36) Tady je index j vlastně indexem "náhodně" tensorovým. Takto získaný tensor energie hybnosti Tlk není obecně symetrický. Pro Lagrangeovu funkci elektromagnetického pole je dh dh 1 ■FIJ dqA{ ÔAhi ju0 a tensor energie - hybnosti vychází nesymetrický 1 ( i j _ ^ ^ nkm 1 _ik (9.37) rp 1 Jk A g g lm d x1 4 g'KFlmF (9.38) K výrazu pro Tlk můžeme ovšem přidat člen, zaručující symetrii, který přitom neovlivní celkovou hybnost rp lk _ rpik _rpik _|_ ^ 1 ilk Ô x (9.39) Požadavek symetrie se objevuje proto, aby byl splněn i zákon zachování momentu hybnosti, definovaného vztahem Mikl = x; Tkl - xkTn, tedy ÔMlkl dx 0 <=> T =T . (9.40) Pro elektromagnetické pole tensor rlkl snadno najdeme jako rikl = —A1 Fkl , A (9.41) 40 takže výsledný tensor energie - hybnosti bude 1 TIK=— |-glmF"FM+i-g-FlmFI M0\ 4 (9.42) Zapsáno pomocí třírozměrných veličin rp 1K w 1 is ^ c * S« °'a p vc j (9.43) kde W snE2 + — B2 A) S = —ĚxB M0 (9.44) jsou hustota energie a Poyntingův vektor a a „ = snE E„ + — B B„ - WS „ a p 0 a p a p a p (9.45) je Maxwellův tensor napětí. 9.7 Vlnová rovnice a rovinné vlny Vezmeme druhý pár Maxwellových rovnic (ve vakuu) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů dx dx1 dx v d2A .g»_gL*L-o ox ox ox ox (9.46) Lorentzova kalibrační podmínka zjednoduší (9.46) na vlnovou rovnici Pomocí d'Alembertova operátoru 0 □ = A d2 A dxkdxl c2 at2 o (9.47) (9.48) máme pak ve třírozměrném zápisu d(j) dt + V-A=0 , D^ = 0 , DA=0 . (9.49) Hledáme-li řešení ve tvaru rovinné vlny, jde vlastně o konstantní čtyřvektor násobený komplexní jednotkou. Je pak 41 Ä =Re{aiexp(ikJ xJ)} , 1^=0 , k.a'=0 . (9.50) Poslední vztah ve (9.50) je dán Lorentzovou kalibrační podmínkou. Ctyřvektor hybnosti zapisujeme jako k1 co X r 00 ^ k =—n h2=l (9.51) c j c Velmi jednoduše popíšeme pomocí charakteristik rovinné monochromatické vlny Dopplerův jev. Mějme zdroj světla, který je v klidu v soustavě . Soustava se pohybuje vzhledem k laboratorní soustavě K rychlostí V. Ať je úhel mezi směrem pohybu zdroje a směrem šíření světla a . Potom platí 00, '(o) o) cos a. (o) ko = « ! OO k =—cos a (9.52) a odtud oo = oo,r "(0) l-/?cosa Pro rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla máme (9.53) f oo&oo, (0) V IV 1 h—cos oc h----cos2or c 2 c2 (9.54) Tensor energie - hybnosti je Tik =^-Wki kk W 1 a1 a* + Re|a' a; exp(2ikj xj )J (9.55) oo' 2//0 Ve střední hodnotě podle času je druhý člen ve výrazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (9.27) jsou rovny nule. Se speciální volbou kalibrace (spojené ovšem s jednou určitou inerciální souřadnou soustavou) máme Á=(0,Ä) , Ä= aycos(ť»t - kx + a)ey + slz sin(<»t - kx + a)ez , E = ooa.y sin(ť»t - kx + cc)ey - řyazcos(ť»t - kx + a)Sz , (9.56) B = kazcos(ť»t - kx + cc)ey + kay sin(ť»t - k x + a)ez . Eliptická polarizace takové vlny je vidět ze vztahu E2 E2 B2 B2 2 2 oo a„ 2 2 oo a. k2a2 k2a 2 „ 2 1 (9.57) 42 43