Difrakce – Úvod
Difrakce = konstruktivní interference
Záření: vlnová délka λ
Obecná podmínka difrakce:
!
"# = n.2$
Vznik interferenčních jevů:
periodická n–rozměrná strukura
Krystal - pravidelně uspořádaná rozptylová centra (atomy)
Meziatomové vzdálenosti: jednotky Ångstrom (10–10
m)
Interakce záření s hmotou
1) Rozptyl: pružný (Thomsonův) / nepružný (Comptonův)
2) Absorpce: zvýšení T absorbentu / fotoelektrický jev, Augerův jev
Absorpce roste s vlnovou délkou
Vlnění
Základní pojmy pro popis vlnění:
E energie, h Plankova konstanta, c - rychlost světla
λ vlnová délka- vzdálenost dvou nejbližších
hřebenů
T perioda - čas za který vlnění urazí vzdálenost
vlnové délky, nebo-li doba za kterou proběhne
celá oscilace
A amplituda - maximální výchylka
v rychlost v= λ/T
ν frekvence - počet cyklů za vteřinu ν = 1/T
ω úhlová rychlost ω =2πν	

s vlnový vektor - směr šíření vlny
Geometrické podmínky difrakce
Dráhový rozdíl záření ve směru rozptýleného mezi body 1 a 2
).()cos(||)cos(|| 0ssaaa
rrrrr
!=! "#
Fázový rozdíl
!
"# =
2$
%
r
a.(
r
s &
r
s0 )
Po dosazení podmínky difrakce a úpravě:
!
r
a.(
r
s "
r
s0) = n#
!
"
E = h c / λ
λ = c / ν
ν = c / λ
Pro 3D periodickou strukturu dostáváme sadu tří rovnic
!
r
a.(
r
s "
r
s0) = h#
!
b.(
r
s "
r
s0) = k#
!
c.(
r
s "
r
s0) = l#
kde h, k, l jsou celá čísla a
!
r
a,
!
b,
!
c jsou vektory periodicity
jednotkový vektor
!
r
n =
r
S
|
r
S |
"|
r
n |=1
pak možné vyjádřit
!
r
a.
r
n2sin" = h#
!
(
r
s "
r
s0 ) =
r
n.2sin#
!
a
h
n =
"
2sin# …atd.
rovnice jsou splněny pokud je
!
n totožné s normálou k osnově rovin
hkl
!
d =
"
2sin#
⇒ Braggova rovnice: 2d sinθ = nλ
Reciproká mříž
***
clbkahGhkl
rrrr
++= hkl
hkl
d
G
1
|| =
!
0ss
Ghkl
rrr "
=
Ewaldova konstrukce
!!!!!!!Z geometrie difrakce plyne!!!!!!!
Počet difrakcí:
!
N =
4
3
"
2
#
$
%
&
'
(
)
3
.V*+1
Z Braggovy rovnice:
!
2
"
=
1
dmin
!
N =
4
3
"V *#1
dmin
3
!
dmax <
"
2
Je-li ⇒ žádná difrakce
Pro dané λ difraktují pouze roviny:
!
dmax "
r
a;
r
b;
r
c
!
" <<
r
a;
r
b;
r
c # rtg. zárení
!
d "<
#
2
,dmax >
Kinematická teorie difrakce
1. Rozptyl záření na 1 elektronu
2. Rozptyl atomu
3. Rozptyl 1. buňky
4. Rozptyl malého krystalu
1. Rozptyl na elektronu
Thomsonův vztah (amplituda ptýleného záření 1 elektronem)
2
|| EI =
2
2cos1
16
2
2422
0
2
4
0
!
"#
+
=
Rcm
e
II
E amplituda záření, nepolarizované záření ⇒ dvě složky
v kolmých směrech Ez,Ey
I0 - intensita dopadající na elektron
I - intensita v bodě R
m - hmotnost elektronu
e - náboj
c - rychlost světla
R- vzdálenost místa pozorování
2. Rozptyl na atomu
Atomový rozptylový faktor
!
fa =
Ea
Ee
!
dEa
Ee
=
dq
e
= "dV
….
!
f
r
S( ) = "e
2 # i
$
(
r
s %
r
s0 ).
r
r
dVr ; kde
r
S =
r
s %
r
s0
$&
!==" 0,sin2|| 0 ## pross
rr
!
f 0( ) = "dV = Z#
Závislost f na velikosti difrakčního vektoru; při difrakci je f
nezávislé použité na vlnové délce, krom oblasti absorpčních
hran, kde nastává jev anomální disperse, díky čemuž lze odlišit
rozdílné atomy
Atomový rozptylový faktor je fourierskou transformací el.
hustoty atomu
3. Záření rozptýlené 1 elementární buňkou
Strukturní faktor = Fourierská transformace el. hustoty základní
buňky; amplituda záření rozptýlenéhi m-atomy vůči amplitudě 1e
F(
r
S )= fme
m=1
N
"
2# i
$
(
r
s %
r
s0 ).
r
rm
Difrakční intenzita:
!= 2
|| FI
!
Iej = fme
2" i
#
(
r
s $
r
s0 ).
r
rm
fn
*
e
$
2" i
#
(
r
s $
r
s0 ).
r
rn
n
%
m
%
Meziatomový vektor
!
r
Rmn =
r
rm "
r
rn
!!
"
=
m n
Rss
i
nmej
mn
effI
rrr
).(
2
* 0
#
$
Intensita záření rozptýlená souborem atomů závisí na
meziatomových vektorech
Intensita 1 difrakce nese zprávu o projekci sturktury do jednoho
difrakčního vektoru
nrss
i
N
n
nefSF
rrr
r
).0(
2
1
)(
!
=
"=
#
$
v exponentu vystupuje difrakční vektor, po úpravách dostaneme
Fhkl = fne
n=1
N
"
2#i ( hxn+kyn+lzn )
!!!!!!!!!
Exponenty rozvineme pomocí fcí sin a cos
Symetrické vlastnosti strukturního faktoru:
Friedelův zákon: lkhhkl FF =
a tedy Ihkl = I-h-k-l
Difrakční obraz je vždy centrosymetrický, pokud je f reál. číslo
Inverzní Fourierova transformace strukturních faktorů ⇒
elektronová hustota
!=
+++=
N
n
nnnnhkl lzkyhxfF
1
)(2cos " !=
++
N
n
nnnn lzkyhxfi
1
)(2sin "
Symetrie intenzit difrakčního obrazu:
Laueho grupy symetrie: 1, 2/m, mmm, 4/m, 4/mmm,3,3m, 6/m,
6/mmm, m3, m3 m