Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
□       s>
Vektorové podprostory
IK množina reálných nebo komplexních čísel,
U vektorový prostor nad K.
Lineární kombinace vektoru Ui, u2,.. ,uk je vektor tvaru
aiui + a2u2 + ■ ■ ■ akuk,
kde ai,a2,. ..ak g K.
Definice
Neprázdnou podmnožinu V c U nazveme vektorovým podprostorem
prostoru U, jestliže
(1)  pro všechna u, v g V je u + v g V,
(2)  pro všechna a g K, u g V je au g V.
Vlastnosti a příklady vektorových podprostorů
Vlastnosti: (i) uuu2,...,uke V, pak£f=1 ajUj e V. (ii) o e V.
(iii) Každý podprostor je vektorový prostor. Příklady:
(1)  {o} a U jsou triviální podprostory prostoru U.
(2)   V = {(s + ř, s,ř)£l3; ř, s g R} je podprostor v R3.
(3)  A je matice k x n, V = {x e R"; Ax = o} je podprostor v R".
(4)  Podprostory v R2: {o}, přímky procházející počátkem, R2.
(5)  Podprostory v R3: {o}, přímky procházející počátkem, roviny procházející počátkem, R3.
(6)  Průnik podprostorů je podprostor.
Lineární obal vektorů
Definice
Lineární obal množiny vektorů {i#i, u2,..., uk} c U je množina
[ni ,u2,...,Uk] = {ai ui + a2u2 + ■■■ + akuk e U; aha2,.. .,ak e K}.
Pro prázdnou množinu [0] = {o}.
Lemma
Lineární obal konečné množiny vektorů z U je vektorový podprostor.
Důkaz: u, v e [ni, 1/2,     , ity] znamená, že u = ^f=1 a,u,, v = £f=i Ď/u,. Potom
u+v = J2(ai + bi)u'i e [1/1,1/2,...,üfc], /=i
au = Y^aaiui e [1/1,1/2,...,iifc].
Lineární obal - úloha
Lze definovat lineární obal nekonečné množiny. Je to opět vektorový podprostor. Prakticky budeme počítat jen s lineárními obaly konečných množin. Kdy je daný vektor v prvkem [i#i, u2,..., u/<]? Právě když rovnice
X]U] +X2U2
xkuk
o neznámých xux2,...,xk má nějaké řešení.
Příklad
U prostor reálných matic 2 x 2. Je
1    2 3   4
1    2 0    1
0    2
1     1
Rovnice x-\
1    2
x2
0   2
v0    \)  '    d \J    \)      \S    4y xi = 1, 2xi + 2x2 = 2, x2 = 3, x\ + x2 = 4, která nemá řešení.
1    2
vede na soustavu
□        \3
Lineární nezávislost vektorů
Vektory i#i, 112,..., ity e U jsou lineárně závislé, existuje-li /c-tice
(xi, x2,..., xk) ^ (0,0,..., 0) z Kk taková, že
(#)        XÍUÍ+X2U2H-------U(,u)( = 0.
Jinými slovy: Rovnice (*) o neznámých X], x2,..., xk má netriviální (= nenulové) řešení.
Příklad
Ui = (1,2,1), u2 = (1,-1,1), u3 = (3,0,3) g R3 jsou lineárně
závislé, nebot 1 • t#i + 2 • ti2 + (-1) • ti3 = o.
Definice
Vektory 111, u2, • • •, uk g L/ jsou lineárně nezávislé, jestliže rovnice
(*) má pouze triviální řešení X] = x2 = ■ ■ ■ = xk = 0.
Jinak:
Xi U] + X2U2 H----------h XfcUfc = 0   =>   Xi = x2 = • • • = X/c = 0.
Jak si představit lineární závislost
Lemma
Vektory ui, u2,..., uk e U jsou lineárně závislé, právě když lze jeden
z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních
Uj = 3i Ü1 + • • • + ay_i tly_i + ay+1 Uy+1 + . . . afcUfc.
Důkaz: •<= Necht Ui = a2u2-\-------h akuk- Potom
(-1)i#i +a2U2H-------\- akuk = o
a koeficient u U] je nenulový.
=> Necht U],u2,..,uk jsou lineárně závislé. Pak
*1 Ü1 + X2U2 H---------h XfcUfc = o
a některý koeficient je různý od 0, např. X]. Proto
k                                                     k
.0                                                                         .0        •*!
Geometrická představa
►  Jediný vektor u-\ je lineárne nezávislý, právě když u-\ ^ o.
Dva vektory ui, u2 jsou lineárně nezávislé, právě když jeden není násobkem druhého.
►  Geometrická představa v R3: Dva I'm. nezávislé vektory u-\, u2 určují rovinu. Každý vektor 1/3 ležící v této rovině je s nimi lineárně závislý. Každý vektor neležící v této rovině je s nimi I'm. nezávislý.
Příklad
Zjistěte, zda vektory u] = (1,2,1,0)7", u2 = (1,1, -1,2)T,
u3 = (1,0,1,1)T g R4 jsou lineárně závislé.
Rovnice Xi (1,2,1,0)7+ x2(1,1,-1,2)7 + x3(1,0,1,1)7 = (0,0,0,0)
dává homogenní soustavu
*i     +    x2    +   x3   =   0
2xí    +    x2                 =0
2x2   +   x3   =   0
□        \3         -         =         -E      -0<\(y
Báze konečnědimenzionálního prostoru
Vektory U],u2,..,Un generují prostor U, jestliže
[tll,tl2,...,tln] = U.
Jinými slovy: každý vektor u e U lze psát jako lineární kombinaci
u = ai U] + a2u2 H-------h anun.
Vektorový prostor se nazývá konečnědimenzionální, jestliže je generován nějakou konečnou množinou vektorů.
Definice
Báze konečnědimenzionálního prostoru U je posloupnost vektorů
(i#i, t#2,..., un) taková, že
(1)  vektory 1/1,1/2, ■■ -,un generují U,
(2)  vektory t#i, ti2,..., ti„ jsou lineárně nezávislé.
Příklady
R3 ei ^(I^O)7", e2 = (0, ^O)7", e3 = (0,0, l^jebáze R3. Říkáme jí standardní. ui = (1,0,1 )T, u2 = (0,1,1), u3 = (0,0,1) je jiná báze
R3.
R3[x] prostor reálných polynomů v proměnné x stupně < 3. Má bázi (1,x, x2,x3).
C[0,1] prostor spojitých reálných funkcí na intervalu [0,1] není konečnědimenzionální prostor.
Naší snahou bude dokázat, že každý konečnědimenzionální prostor má bázi a že každé dvě báze takového prostoru mají stejný počet prvků.
□        \3
Výběr lineárně nezávislých generátorů
ve*3.
Necht vektory V], v2,..., vk e U jsou lineárně nezávislé a necht vektory Ui,u2,.. •, u/ g U jsou libovolné. Potom lze z druhého seznamu vektorů vybrat vektory u,, ,w2,...,Uir tak, že
(1)  vektory v^, v2,..., vfc, ii/,, u/2,..., ii/r jsou lineárně nezávislé,
(2)  [^, v2,..., Vfc, u/,, U/2,..., uir] = [vuv2,..., vk, u], u2,     , u/].
Důsledek
V konečnědimenzionálním prostoru L/ lze každý seznam lineárně
nezávislých vektorů doplnit na bázi. Speciálně, v U existuje báze.
Důkazy
Důkaz důsledku: V],v2,...,vk lineárně nezávislé. U má konečnou dimenzi, tedy existují U],u2,...,ui
[tli,tl2, ...,Ui] = U.
Podle předchozí věty lze vybrat indexy i-\, i2,..., ir tak, že vektory V], v2,..., vk, u,,, ti/2,..., u,; jsou lineárně nezávislé a
[Ví ,v2,..., Vk, U i,, u,2,..., u/r] = [vhv2,..., vk, UhU2,..., U i]
D [UuU2,...,Ui]] = U.
Tedy vuv2,..., vk, u-h, u,2,..., u-,r tvoří bázi prostoru U. Speciálně seznam vektorů v může být prázdný a bázi lze vybrat ze seznamu generátorů.
Důkaz věty se provádí indukcí podle čísla n, tj. počtu vektorů u.
Algoritmus pro předchozí větu v Kn
Mějme vektory Ui,u2,.. •, u/ g Kn. Chceme z nich vybrat seznam lineárně nezávislých vektorů se stejným lineárním obalem:
[ü/1,üfe,...,ü,>] = [ül,Ü2,...,ü/].
Algoritmus: Zapíšeme vektory ui,u2,..,ui jako sloupce matice. Provedeme řádkové úpravy této matice na schodovitý tvar. V něm určíme sloupce /'1, i2,..., ir, v nichž leží vedoucí koeficient některého řádku. Vektory u,-, ti/2,..., u,; mají výše požadovanou vlastnost.
Příklad:
(l#1     u2    u3    u4)
ľ •	•    -\
0    2	•    •
0    0	0    1
\0    0	0    0/
Hledané vektory jsou t/i, t/2, u*.
□               r3>                -                =
Zdůvodnění algoritmu na příkladu
(l#1     u2    u3    u4) ~>
/1     .    .    .\
0    2    •    •
0    0    0    1
\0    0    0    0/
ui, Ü2, Ü4 jsou I'm. nezávislé, nebot soustava x-\ u\ + x2i/2 + x4u4 = o má pouze triviální řešení.
(lil      Ü2      Uí) ~>
u3 je lineární kombinací předchozích vybraných vektorů Ui, u2-Soustava ^ 111 + x2u2 = "3 má totiž řešení
/1	• *\
0	2    •
0	0    1
\o	0    0/
(   tli       Ü2   I   "3
/1 '	•\
0    2	•
0    0	0
\ 0    0	0/
□               r3>                -
Steinitzova věta
Následující věta nám umožní dokázat, že každé dvě báze prostoru U mají stejný počet vektorů.
Věta (Steinitzova)
Necht vi,v2,...,vke[ui,U2,..., un] c U. Jestliže jsou vektory
vi,v2,...,Vk lineárně nezávislé, pak k < n.
Provedeme nepřímý důkaz. Místo implikace p => q, budeme dokazovat implikaci non q => non p. Výrok p: "Vektory v],v2,...,vk jsou lineárně nezávislé." Výrok q: "k < n"
Důkaz Steinitzovy věty - 1. část
Necht k > n. Každý z vektorů 1/7 je lineární kombinací vektorů
tll,tl2,...,tln,
v-, = ai/t#i + a2iu2
aniUn = {Ui,U2,...,Un)
32/
w
Pro všechny vektory to můžeme zapsat takto:
vuv2, ...,vk) = (uuu2, ...,u„)
/au    3i2   •••    3ik\ a2\    a22   ...    a2k
\ani    an2   ...    anfc/
Matice A = (a,y) má n řádků a /( sloupců. Uvažujme homogenní soustavu rovnic Ax = o s neznámou xgK*.
□        \3
Důkaz Steinitzovy věty - 2. část
Matice A má více sloupců (k) než řádků (n), takže po úpravě na schodovitý tvar existuje sloupec (/-ty), v němž neleží vedoucí koeficient žádného řádku. Tedy při řešení můžeme neznámou xy zvolit libovolně, například různou od 0. Tedy soustava má netriviální řešení (*i, x2,..., xk) e Kk. Potom
Xi V] +x2v2
XkVk
[vhv2,...,vk)
fxA x2
w
[(tli ,u2,...,un)-A]x = {uuu2,..., un)   [Ax]
0
U1.U2,
Tedy vektory V],v2,. ..,vk jsou lineárně závislé.
,Un
\oJ
□               r3>                -                =
Důsledek Steinitzovy věty a definice dimenze
Důsledek
Jsou-li (i#i, Ü2, • • •, un) a (v\, v2,..., vk) dvě báze vektorového
prostoru U, pak n = k.
Důkaz:
Vektory (vi,v2,..., vk) jsou lineárně nezávislé a leží v
U=[uuu2,..., un]. Podle SV je k < n.
Vektory (ui, u2,..., un) jsou lineárně nezávislé a leží v
U=[vhv2,..., vk]. Podle SV je n < k.
Tedy k = n.
Definice
Necht U je konečnědimenzionální vektorový prostor nad K. Počet
prvků nějaké báze se nazývá dimenze prostoru U nad K, označení
dimK U.
Dimenze konkrétních prostorů
dimK Kn = n Tento prostor má bázi ei, e2,..., e„, přitom e, je vektor, který má na Mém místě 1, všude jinde nuly.
dimK Kn[x] = n + 1 Báze tohoto prostoru je (1, x, x2,..., x").
dimR C = 2 Báze vektorového prostoru C nad R je
například tvořena dvěma komplexními čísly 1 a /'.
dimKMatfcxn(IK) = n- k Najděte nějakou bázi!
u        <3        -        =        =     -00*0
Čtyři užitečné věty o dimenzi - první dvě o bázi
První věta
Necht dimK U = n. Jsou-li vektory vuv2,...,vn lineárně nezávislé,
pak tvoří bázi prostoru U.
Důkaz: Již víme, že každý seznam lineárně nezávislých vektorů lze doplnit na bázi. Ta bude mít n prvků. Kv],v2,...,vn není tedy potřeba přidávat žádný další vektor.
Druhá věta
Necht dimK U = n. Jestliže vektory U],u2,...,un generují U, pak
tvoří bázi prostoru U.
Důkaz: Z daných vektorů U],u2,..,Un lze vybrat lineárně nezávislé se stejným lineárním obalem. Ten je roven U. Proto vybrané vektory tvoří bázi. Ta musí mít n prvků. Je tedy tvořena všemi vektory uuu2,...,un.
Další dvě o podprostorech
Třetí věta
Necht V je podprostor v konečnědimenzionálním vektorovém
prostoru U nad K. Potom má V konečnou dimenzi a platí
dimK V < dimK U.
Důkaz: Necht dimK U = n. Kdyby V nebyl generován konečným počtem vektorů, dostaneme postupně posloupnost V], v2,..., i/n+i g V I'm. nezávislých vektorů ve V, tudíž i v U. To je však ve sporu se Steinitzovou větou. Tedy V je konečné dimenze a má proto bázi V], 1/2,..., vk. Tento seznam lineárně nezávislých vektorů lze doplnit na bázi prostoru U. Tedy dimK V = k < n = dimK U.
Čtvrtá věta
Necht V je podprostor v konečnědimenzionálním vektorovém
prostoru U nad K. Jestliže dimK V = dimK U, pak V = U.
Důkaz: Necht dimK U = n = dimK V. Necht vuv2,...,vn je báze podprostoru V. Tyto vektory jsou lineárně nezávislé v U, a proto podle První věty tvoří bázi prostoru U. Tedy V = [vi, v2,..., vn] = U.
Souřadnice vektoru Věta
Necht U je vektorový prostor konečné dimenze. Posloupnost vektorů U],u2,...,un\e báze prostoru U, právě když každý vektor u e U lze psát právě jedním způsobem ve tvaru
U = S]U] + 32 Ü2
anun-
Důkaz provedeme na tabuli.
Definice
Necht a = (ui, u2, • • •, un) je báze prostoru U. Každý vektor u e U lze psát ve tvaru (♦). n-tici koeficientů ^, a2,..., an) nazýváme souřadnice vektoru u v bázi a a zapisujeme ve tvaru sloupce
u
/ai\
a2
w
U = (UhU2,---,Un)
/ai\
a2
□               r3>                -
Příklady
Příklad
a = (1, x - 1, (x - 1 )2 je báze prostoru polynomů R2[x]. Polynom
x2 + x - 1 má v této bázi souřadnice
T
(x2 + x-1)a = (3 | ,
nebot x2 + x - 1 = 1 • 1 + 3 • (x - 1) + 1 • (x - 1 f.
Příklad
Bázi e = (ei, e2,..., en) vektorového prostoru Kn nazývame
standardní baží. Pro každý vektor x g K" platí
/xi\
w
xiei +x2e2
XnGn,
/Xl\
x2
w
□               r3>                -                =
Prirazení souřadnic jako zobrazení
Každá báze a v prostoru U nad IK dimenze n definuje zobrazení ( )a : U —> Kn, které vektoru přiřazuje jeho souřadnice v bázi a. Toto zobrazení je bijekce a navíc platí
(u+ v)a = {u)a + {v)a, {au)a = a{u)a.
Důkaz je jednoduchý důsledek definice souřadnic.
Průnik a součet podprostoru Věta
Průnik libovolného počtu vektorových podprostoru prostoru U je opět podporostor v U.
Pozor! Sjednocení vektorových podprostoru není obecně vektorový
podprostor. Najděte příklad!
Místo sjednocení pracujeme v lineární algebře se součtem
podprostoru.
Definice
Necht V, W a V, jsou vektorové podprostory v U. Definujeme
V+W={v+weU; v e V, w e W},
V, + V2 + ■ ■ ■ + Vk = {ví + v2 + ■ ■ ■ + vk e U; v, e V,}.
Věta
Součet vektorových podprostoru je opět podprostor.
u        <3        -        =        =     -00*0
Direktní součet
Příklad
U = R4, V = {(xi,x2,x3,x4) Gl4; x] + x2 + x3 + x4 = 0}, W = {(0, y2,0, y4) g R4}. Potom V + W = R4, nebot
(x1,x2,x3,x4) = (x1,x2,x3,-x1 -x2-x3) +(0,0,0,^ +x2 + x3 + x4)
eV+W.
Definice
Součet podprostorů V + W se nazývá direktní, jesliže VnW= {o}.
Direktní součet zapisujeme V® W.
Součet v příkladu není direktní, nebot (0,1,0, -1) g V n W.
Věta
Součet podprostorů V + W je direktní, právě když každý vektor
u g V + W lze psát ve tvaru u = v+w, v e V, w e W, právě jedním
způsobem.
Věta o dimenzi součtu a průniku
Předchozí tvrzení umožňuje definovat direktní součet více podprostorů takto:
Definice
Necht k > 2. Součet podprostorů V] + V2-\-------h Vk je direktní,
jestliže každý vektor u e V] + V2-\-------\- Vk lze psát ve tvaru
u = V] + v2 -\-------h vk, v, g V;, právě jedním způsobem.
Příklad
Necht V =[vi,v2,..., vk], 1/1/= [iv1; w2,..., 1/1/7]. Potom
y + IV = [^, v2,..., vk, Wi, w2,..., iv/].
Každý vektor z \/ + l/ľ je totiž součet ^f=1 a,-ii/ + £J=1 tywj.
Věta
Necht \/ a 1/1/ jsou podprostory ve vektorovém prostoru U konečné
dimenze nad K. Potom
dimK V + dimK U = dimK( VnU) + dimK( V + 1/1/).
□               r3>                -                =