M3100 Matematická analýza III DDÚ
1 Opakování
1.1 Hornerovo schéma
Rozložte polynomy pomocí Hornerova schématu:
1. x5
− 4x4
− 3x3
+ 32x2
− 54x + 36 =?
(x − 2)(x − 3)(x + 3)(x2
− 2x + 2)
2. x5
− 19x4
+ 130x3
− 400x2
+ 544x − 256 =?
(x − 1)(x − 2)(x − 4)2
(x − 8)
3. x4
− 6x3
+ 13x2
− 12x + 4 =?
(x − 1)2
(x − 2)2
1.2 Dělení polynomu polynomem
Napište racionální lomenou funkci jako součet polynomu a ryze lomené fukce (dělte polynomy):
1. (x5
− x4
+ 6x2
+ x − 2) ÷ (x4
− 2x3
)
(x + 1) + 2x3
+6x2
+x−2
x4−2x3
2. (x4
+ 6x2
+ x − 2) ÷ (x4
− 2x3
)
1 + 2x3
+6x2
+x−2
x4−2x3
3. (2x5
− x4
+ 3x2
− x + 1) ÷ (x2
− 2x + 4)
2x3
+ 3x2
− 2x − 13 + −19x+53
x2−2x+4
1.3 Rozklad na parciální zlomky
Rozložte ryze lomenné funkce na parciální zlomky:
1. −5x+2
x4−x3+2x2
1
x2 − 2
x + 2x−3
x2−x+2
2. 9x3
−4x+1
x4−x2
3
x−1 + 2
x+1 − 1
x2 + 4
x
3. x3
−4x2
+x−2
x4−2x3+2x2−2x+1
x
x2+1 − 2
(x−1)2
4. x7
+2x6
+3x5
+5x4
−2x3
+3x2
+1
x5+2x3+x
x2
+ 2x − 1 + x
(x2+1)2 − 1
x2+1 + 1
x
1
M3100 Matematická analýza III DDÚ
1.4 Limita posloupnosti
Spočtěte limity posloupností:
1. limn→∞
1
n2
[0]
2. limn→∞
√
n2 + n + 1
[∞]
3. limn→∞
1
n
[0]
4. limn→∞(1
2 )n
[0]
5. limn→∞(−1)n
· 1
n
[0]
6. limn→∞
(n−2)2
(1−4n)(n+1)
2n4−100n3
[−2]
7. limn→∞
5+(−1)n
·n
n+2
[ neexistuje ]
8. limn→∞(
√
n2 + n + 1 −
√
n2 − n)
[1]
9. limn→∞ n( a + 1
n −
√
a)
1
2
√
a
1.5 Limita funkce
Spočtěte limity funkcí:
1. limx→−1
x3
−2x−1
x4+2x+1
−1
2
2. limx→∞(
√
x2 − 2x − 1 −
√
x2 − 7x + 3)
5
2
2
M3100 Matematická analýza III DDÚ
3. limx→3
√
x+1−2
x2−5x+6
1
4
4. limx→0
x5
−x4
3√
1+x4−1
(Rada: Využijte vzoreček a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
).)
[−3]
5. limx→∞( (x + a)(x + b) − x), a ∈ R, b ∈ R
a+b
2
1.6 Taylorův vzorec
Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě [x0, y0] funkcí:
1. f(x, y) = 1 − x2 − y2, [x0, y0] = 1
2 , 1
2
T2(x, y) =
√
2
2 +
√
2
2 ((x − 1
2 ) + (y − 1
2 )) −
√
2
4 ((x − 1
2 )2
+ 2(x − 1
2 )(y − 1
2 ) + (y − 1
2 )2
)
2. f(x, y) = cos x
cos y , [x0, y0] = [0, 0]
T2(x, y) = 1 − x2
2 + y2
2
3. f(x, y) = arcsin x√
x2+y2
, [x0, y0] = [0, 1]
[T2(x, y) = x − x(y − 1)]
4. f(x, y) = ln x2 + y2, [x0, y0] = [1, 1]
T2(x, y) = ln 2
2 + 1
2 ((x − 1) + (y − 1)) − 1
2 (x − 1)(y − 1)
5. f(x, y) = sin x sin y, [x0, y0] = [0, 0]
[T2(x, y) = xy]
6. f(x, y, z) = x
y
z , [x0, y0, z0] = [1, 1, 1]
[T2(x, y) = 1 + (x − 1) + (x − 1)(y − 1) − (x − 1)(z − 1)]
Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně určete přibližné funkční hodnoty:
1. 1, 042,02
[1, 0824, [x0, y0] = [1, 2]]
2. (2, 98)2 + (4, 05)2
[5, 0281, [x0, y0] = [3, 4]]
3. sin 29o
· tan 46o
1
2 + 2−
√
3
2
Π
180 + 2
√
6−4
√
3−1
2
Π2
2·1802
3
M3100 Matematická analýza III DDÚ
2 Nekonečné číselné řady
2.1 Součet číselné řady
Určete součet těchto řad:
1.
∞
n=1
1
(2n−1)(2n+5)
23
90
2.
∞
n=1
1
(3n−2)(3n+1)
1
3
3.
∞
n=1(
√
n + 2 − 2
√
n + 1 +
√
n)
1 −
√
2
4.
∞
n=1(−1)n 2n−1
3n−1
−3
5
5.
∞
n=1(−1)n 2n
3n
−2
5
6.
∞
n=1 2n
[diverguje]
7.
∞
n=1
n
2n
[2]
8.
∞
n=1
n
3n
(Rada: Postupujte podobně jako v předchozím příkladě, jen spočtěte sn − sn
3 .)
3
4
9.
∞
n=1( 1
2n−1 + 2
3n−1 )
[5]
10.
∞
n=1
2n
−3n
4n
[−2]
11.
∞
n=0
5·4n
−3n+1
6n
[9]
Vyjádřete ve tvaru zlomku:
4
M3100 Matematická analýza III DDÚ
1. 0, 53¯9
27
50
2. −1, 7 ¯15
−566
330
Můžou následující řady konvergovat?
1.
∞
n=1
1
arctan n
[ne]
2.
∞
n=1
n2
2n2+1
[ne]
2.2 Číselné řady s nezápornými členy
Pomocí vhodného kritéria rozhodněte o konvergenci řad:
1.
∞
n=1 arccos( n
n+1 )
[ D (např. limitní srovnávací - s 1
n ) ]
2.
∞
n=1
(n!)2
(2n)!
[ K (např. limitní podílové) ]
3.
∞
n=1
1
(n+1)(n+4)
[ K (např. srovnávací - s 1
n2 ) ]
4.
∞
n=1
n2
(2+ 1
n )n
[ K (např. limitní odmocninové) ]
5.
∞
n=1
nn+ 1
n
(n+ 1
n )n
[ D (např. nutná podmínka konvergence) ]
6.
∞
n=1
2n
n
[ D (např. limitní podílové) ]
7.
∞
n=1
1√
n
[ D (např. srovnávací - s 1
n ) ]
8.
∞
n=1 ln(1 + 1
n2 )
5
M3100 Matematická analýza III DDÚ
[ K (např. limitní srovnávací - s 1
n2 ) ]
9.
∞
n=1
4n−3√
n(
√
3)n
[ K (např. limitní podílové) ]
10.
∞
n=1
1
ln(n+1)
[ D (např. srovnávací s 1
n )
11.
∞
n=1
n
n2+1
[ D (např. limitní srovnávací - s 1
n ) ]
12.
∞
n=1( a
arctan n )n
, a > 0, a ∈ R
[ K pro a < Π
2 , D pro a > Π
2 (např. limitní odmocninové) ]
13.
∞
n=1
1
na , a > 0, a ∈ R
[ D pro a ≤ 1, K pro a > 1 (např. limitní podílové) ]
14.
∞
n=1
en
(n+1)!
[ K (např. limitní podílové) ]
2.3 Alternující číselné řady
Rozhodněte o konvergenci alternujících řad:
1.
∞
n=1
(−1)n√
n
n+100
[K]
2.
∞
n=1
(−1)n
n
√
n
[D]
3.
∞
n=1(−1)n−1 1
n−ln n
[K]
6
M3100 Matematická analýza III DDÚ
2.4 Absolutní konvergence číselných řad
Rozhodněte o absolutní a neabsolutní konvergenci řad:
1.
∞
n=1(−1)n 1√
n
[KN]
2.
∞
n=2
(−1)n
n ln n
[KN]
3.
∞
n=1
sin nα
lnn 10 , α ∈ R
[KA]
4.
∞
n=1(−1)n+1 n
6n−5
[D]
5.
∞
n=1(−1)n+1 1
3
√
n
[KN]
6.
∞
n=1(−1)n−1 2n2
n!
[D]
7.
∞
n=1(−1)
n(n+1)
2 ( n
2n−1 )n
[KA]
8.
∞
n=1
√
9n+1√
4n+1
[D]
Určete, pro která a ∈ R řady konvergují absolutně, neabsolutně, divergují:
1.
∞
n=1
(a)n
n
[ KA pro |a| < 1, KN pro x = −1, D pro |a| > 1 a x = 1 ]
2.
∞
n=1
n2
+1
n32n axn
[ KA pro |a| < 2, KN pro x = −2, D pro |a| > 2 a x = 2 ]
7
M3100 Matematická analýza III DDÚ
3 Posloupnosti a řady funkcí
3.1 Bodová konvergence
Znázorněte prvních pár členů posloupností funkcí {fn(x)}∞
n=1 a určete jejich limitu:
1. fn(x) = arctan nx, x ∈ R
π
2 pro x > 0, 0 pro x = 0, −π
2 pro x < 0
2. fn(x) = n sin x, x ∈ [−π, π]
[−∞ pro x ∈ (−π, 0), 0 pro x = ±π a x = 0, ∞ pro x ∈ (0, π)]
3. fn(x) = sin x
n , x ∈ [−π, π]
[0]
Určete obor konvergence funkčních řad:
1.
∞
n=1 xn
tan x
2n
[x ∈ (−2, 2)]
2.
∞
n=1
n
n+1
1
(3x2+4x+2)n
x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1
3 , ∞)
3.
∞
n=1
1
nx , x ∈ R
[x ∈ (1, ∞)]
4.
∞
n=1
(−1)n
nx , x ∈ R
[x ∈ (0, ∞)]
5.
∞
n=1
1
nln x , x > 0
[x ∈ (e, ∞)]
6.
∞
n=1
(−1)n
nln x , x > 0
[x ∈ (1, ∞)]
8
M3100 Matematická analýza III DDÚ
3.2 Stejnoměrná konvergence
Určete limitu posloupností funkcí {fn(x)}∞
n=1 a rozhodněte, zda se jedná o stejnoměrnou konvergenci na
intervalu I:
1. fn(x) = 1
1+nx , I = [1, ∞)
[f(x) = 0, ANO]
2. fn(x) = nx
1+n2x2 , I = [0, 1]
[f(x) = 0, NE]
3. fn(x) = nx
1+n2x2 , I = [1, 2]
[f(x) = 0, ANO]
4. fn(x) = arctan nx, I = R
f(x) = −π
2 pro x < 0, 0 pro x = 0, π
2 pro x > 0, NE
5. fn(x) = e−nx
, I = R
[f(x) = ∞ pro x < 0, 1 pro x = 0, 0 pro x > 0, NE]
Pomocí Weierstrassova kritéria dokažte stejnoměrnou konvergenci řad:
1.
∞
n=1
sin nx
n2 , I = R
majoranta : 1
n2
2.
∞
n=1
xn
ns , s ∈ R, I = [−1, 1]
majoranta : 1
ns
3.
∞
n=1
sin nx
3√
n4+x4
, I = R
majoranta : 1
3√
n4
4.
∞
n=1
e−x2n2
n2 , I = R
majoranta : 1
n2
5.
∞
n=1
1
(x+n)(x+n+1) , I = [0, ∞)
majoranta : 1
n(n+1)
6.
∞
n=1
arctan nx
n2 , I = R
majoranta :
π
2
n2
9
M3100 Matematická analýza III DDÚ
3.3 Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupností a řad funkcí
1. * Ukažte, že řada
∞
n=1 rn
cos nx, 0 < r < 1, má na I = R spojitý součet s(x) a určete
2π
0
s(x)dx.
[spojitost pomocí stejnoměrné konvergence, 2π]
2. * Určete obor konvergence a součet řady
∞
n=1 n2
xn
.
(Rada: Použijte geometrickou řadu
∞
n=1 xn
a její derivaci.)
x ∈ (−1, 1), x(1+x)
(1−x)3
10
M3100 Matematická analýza III DDÚ
4 Mocninné řady
Určete poloměr a obor konvergence mocninných řad:
1.
∞
n=1
n+1
n xn
[r = 1, O = (−1, 1)]
2.
∞
n=1
xn−1
n3n−1
[r = 3, O = [−3, 3)]
3.
∞
n=1 n2
(x + 2)n
[r = 1, O = (−3, −1)]
4.
∞
n=1
n!
an2 xn
, a > 1
[r = ∞, O = (−∞, ∞)]
5.
∞
n=1
2n
n!
(2n)! x2n
[r = ∞, O = (−∞, ∞)]
6.
∞
n=1
x4n−3
4n−3
[r = 1, O = (−1, 1)]
4.1 Vlastnosti a součet mocninné řady
Určete poloměr konvergence a součet mocninných řad:
1.
∞
n=1(−1)n−1 xn
n
[r = 1, ln(1 + x)]
2.
∞
n=1
x4n−1
4n−1
r = 1, 1
4 ln 1+x
1−x − 1
2 arctan x
3.
∞
n=1(−1)n+1 xn+1
n(n+1)
[r = 1, ln(x + 1) − x]
4.
∞
n=1(−1)n
(2n + 1)x2n
r = 1, −x2
(3+x2
)
(1+x2)2
5.
∞
n=1(n)2
xn−1
11
M3100 Matematická analýza III DDÚ
r = 1, 1+x
(1−x)3
Pomocí součtu mocninné řady určete součet číselných řad:
1.
∞
n=1(−1)n−1 1
n
[ln 2]
2.
∞
n=1
1
n2n
[ln 2]
3.
∞
n=1 n2
(1
4 )n−1
80
27
4.2 Taylorova a Maclaurinova řada
Rozviňte následující funkce do Maclaurinovy řady a určete jejich obor konvergence:
1. f(x) = e
x
2
∞
n=0
xn
2nn! , x ∈ R
2. f(x) = x2
ex
∞
n=0
xn+2
n! , x ∈ R
3. f(x) = (1 + x)e−x
∞
n=0(−1)n xn
+xn+1
n! , x ∈ R
4. f(x) = sin x2
∞
n=0(−1)n+1 x4n−2
(2n−1)! , x ∈ R
5. f(x) = ln 1+x
1−x
(Rada: ln a
b = ln a − ln b)
2
∞
n=1
x2n−1
2n−1 , |x| < 1
6. f(x) = 1
(1+x)2
[
∞
n=0(−1)n
(n + 1)xn
, |x| < 1]
7. f(x) = arctan x
∞
n=0(−1)n x2n+1
2n+1 , |x| ≤ 1
8. f(x) = 1
3−2x
12
M3100 Matematická analýza III DDÚ
1
3
∞
n=0(2
3 x)n
, |x| < 3
2
9. f(x) = 1
x2−1
−
∞
n=0 x2n
, |x| < 1
Určete součet následujících mocninných řad:
1.
∞
n=0
(2n+1)x2n
n!
ex2
(1 + 2x2
)
2. *
∞
n=0
n2
+1
2nn! xn
e
x
2 (x
2 + x2
4 + 1)
Rozviňte následující funkce do Taylorovy řady se středem v bodě x0. Postupujte podle definice (přes
derivace funkce f).
1. f(x) = 1
x , x0 = 3
∞
n=0(−1)n (x−3)n
3n+1
2. f(x) = ex
, x0 = −2
e−2 ∞
n=0
(x+2)n
n!
3. f(x) = ln x, x0 = 1
∞
n=1(−1)n+1 (x−1)n
n
13
M3100 Matematická analýza III DDÚ
5 Užití mocninných řad
Určete přibližnou hodnotu výrazu pomocí prvních n členů:
1. 1
4
√
e
, n = 4
[0, 778]
2. (1, 5)2
, n = 3
[2, 25]
3. 3
√
128, n = 3
[5, 03968]
4. ln 1
2 , n = 3
[−0, 693]
Určete přibližnou hodnotu výrazu s chybou menší než ǫ:
1. sin 10o
, ǫ = 10−6
[0, 17364]
2. arcsin 1
2 , ǫ = 10−5
[0, 5236]
Určete následující limity:
1. limx→0
√
1−x− 3√
1+x2
x
−1
2
2. limx→0
1
x2 − x2
ln(1 + 1
x2 )
[−1]
3. limx→0
sin2
x−x2
x4
−1
3
Určete přibližnou hodnotu výrazu pomocí prvních n členů a odhadněte chybu:
1.
1
0
e−x2
dx, n = 3
[0, 77; |R3| < 0, 03]
2.
1
2
0
arctan x
x dx, n = 3
14
M3100 Matematická analýza III DDÚ
0, 4872; |R3| < 10−4
3.
4
2
e
1
x dx, n = 4
[2, 834]
Určete přibližnou hodnotu výrazu s chybou menší než ǫ:
1.
1
2
0
dx
1+x4 , ǫ = 10−4
[0, 494]
2.
1
2
0
1
x arctan x
4 dx, ǫ = 10−4
[0, 12]
3.
1
0
cos x2
dx, ǫ = 10−4
[0, 905]
Vyjádřete mocninnou řadou:
1.
x
0
sin t2
dt
∞
n=0(−1)n x4n+3
(4n+3)(2n+1)! , x ∈ (−∞, ∞)
2.
x
0
ln(1+t)
t dt
∞
n=0(−1)n xn+1
(n+1)2 , x ∈ (−∞, ∞)
3.
x
0
dt
1−t9
∞
n=1
x9n−8
9n−8 , x ∈ [−1, 1)
4. sin x
x dx
∞
n=0
x2n+1
(2n+1)(2n+1)! , x ∈ (−∞, ∞)
Řešte diferenciální rovnice pomocí mocninných řad:
1. y′
= 1
2 y
y = a0e
x
2 sin x
2. y′′
+ xy′
+ y = 0
y = a0(1 − 1
2 x2
+ 1
8 x4
− 1
48 x6
+ . . .) + a1(x − 1
3 x3
+ 1
15 x5
− 1
100 x7
+ . . .)
Určete řešení diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou:
1. y′
− y2
− x(x + 1) = 0, y(0) = 1
y = 1 + x + 3
2 x2
+ 5
3 x3
+ 19
12 x4
+ . . .
2. y′′
− y cos x − x = 0, y(0) = 1, y′
(0) = 0
y = 1 + 1
2! x2
+ 1
3! x3
+ . . .
15
M3100 Matematická analýza III DDÚ
6 Fourierovy řady
Nalezněte Fourierovu řadu funkcí:
1. f(x) = sgnx, x ∈ [−π, π]
∞
n=1
4
(2n−1)π sin(2n − 1)x
2. f(x) = 1, x ∈ (0, π) a = −1, x ∈ (−π, 0)
∞
n=1
4
(2n−1)π sin(2n − 1)x
3. f(x) = ex
, x ∈ [0, 2π]
e2π
−1
π
1
2
∞
n=1( 1
n2+1 cos nx − n
n2+1 sin nx)
4. f(x) = π2
− x2
, x ∈ [−π, π]
2π2
3 + 4
∞
n=1(−1)n+1 cos nx
n2
5. f(x) = 0, x ∈ [−π, 0] a = sin x, x ∈ [0, π]
1
π + 1
2 sin x − 2
π
∞
n=1
cos 2nx
4n2−1
6. f(x) = 0, x ∈ [−π, 0] a = x, x ∈ [0, π]
π
4 − 2
π
∞
n=1(cos(2n−1)x
(2n−1)2 + (−1)n+1 sin nx
n )
7. f(x) = |x| , x ∈ (−l, l)
l
2 − 4l
π2
∞
n=1
1
(2n−1)2 cos (2n−1)πx
l
Sestrojte pokračování funkce f(x) na intervalu I:
1. sudé: f(x) = cos x, I = [0, π]
4
π
∞
n=1(−1)n+1 cos(2n−1)x
2n−1
2. liché: f(x) = x(π − x), I = (0, π)
8
π
∞
n=1
sin(2n−1)x
(2n−1)3
3. sudé: f(x) = cos x, I = 0, π
2 a = − cos x, I = π
2 , π
2
π + 4
π
∞
n=1(−1)n−1 cos 2nx
4n2−1
4. liché: f(x) = 1, I = (0, 1)
4
π
∞
n=1
sin(2n−1)πx
π(2n−1)
16
M3100 Matematická analýza III DDÚ
7 Integrální počet funkcí více proměnných
7.1 Dvojný integrál
Vypočtěte dvojný integrál M
f(x, y) dx dy funkce f(x, y) přes obdélník M:
1. f(x, y) =
√
y + x − xy2
, M = [0, 1] × [1, 3]
2
√
3 − 4
2. f(x, y) = 1
(2x+y+1)2 , M = [0, 4] × [0, 1]
1
2 ln 9
5
3. f(x, y) = xy2
exy
, M = [0, 2] × [0, 1]
[2]
4. f(x, y) = x + y, M = [a, b] × [c, d]
1
2 (a − b)(c − d)(a + b + c + d)
Vypočtěte dvojný integrál M
f(x, y) dx dy funkce f(x, y) přes množinu M. Nejprve si načrtněte ob-
rázek.
1. f(x, y) = x − y, M je omezena křivkami y = 0, y = x, x + y = 2
2
3
2. f(x, y) = x2
+ y, M je omezena křivkami y = x2
, y2
= x
33
140
3. f(x, y) = e2x+y
, M je omezena křivkami x + y = 2, y = 0, y = 1, x = 0
e4
−e3
−e+1
2
4. f(x, y) = cos(x + y), M je omezena křivkami y = π, y = x, x = 0
[−2]
5. f(x, y) = x2
y2 , M je omezena křivkami x = 2, y = x, xy = 1
9
4
Vypočtěte míru m(M) množiny M omezené následujícími křivkami. Nejprve si načrtněte obrázek.
1. y = 6 − x2
, x + y − 4 = 0
9
2
17
M3100 Matematická analýza III DDÚ
2. y = x2
, y = 8 − x2
64
3
3. x2
= 4y, x2
= 8y, y2
= 2x, y2
= 4x
8
3
Zaměňte pořadí integrace v integrálu. Nejprve si načrtněte obrázek.
1.
b
a
x
a
f(x, y) dy dx
b
a
b
y
f(x, y) dx dy
2.
1
0
1−y
−
√
1−y2
f(x, y) dx dy
0
−1
√
1−x2
0
f(x, y) dy dx +
1
0
1−x
0
f(x, y) dy dx
3.
1
0
√
x
x
f(x, y) dy dx
1
0
y
y2 f(x, y) dx dy
4.
2
0
ln(y+1)
y ln
√
3
f(x, y) dx dy
ln 3
0
2x
ln 3
ex−1
f(x, y) dy dx
7.2 Trojný integrál
Vypočtěte trojný integrál M
f(x, y, z) dx dy dz funkce f(x, y, z) přes kvádr M. Nejprve si načrtněte
obrázek.
1. f(x, y, z) = xy2
z, M = [0, 2] × [1, 3] × [1, 2]
[26]
2. f(x, y, z) = 6e3x+2y+z
, M = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
(e3
− 1)(e2
− 1)(e − 1)
3. f(x, y, z) = x2
+ y2
, M = [−a, a] × [−b, b] × [−c, c]
8
3 abc(a2
+ b2
)
Vypočtěte trojný integrál M
f(x, y, z) dx dy dz funkce f(x, y, z) přes množinu M. Nejprve si načrtněte
obrázek.
18
M3100 Matematická analýza III DDÚ
1. f(x, y, z) = z, M je omezena plochami z = 0, y =
√
x, y = 2
√
x, x = 0, x + z = 1
8
105
2. f(x, y, z) = z, M je omezena plochami x = 0, y = x, y2
+ z2
= 1
1
8
3. f(x, y, z) = y cos(x + z), M je omezena plochami y = 0, y =
√
x, z = 0, x + z = π
2
π2
16 − 1
2
4. f(x, y, z) = (x + y)z, M je osmina koule x2
+ y2
+ z2
≤ 1 ležící v 1. oktantu
2
15
5. f(x, y, z) = x2
, M je koule x2
+ y2
+ z2
≤ a2
, a > 0
4
15 πa5
Vypočtěte míru m(M) množiny M omezené následujícími plochami. Nejprve si načrtněte obrázek.
1. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = π
2 , z = cos y sin y
π
4
2. z = 0, x + y + z = 6, y = 0, 3x + 2y = 12
[4]
3. x = y2
, y = x2
, z = x2
+ y2
, z = 2x2
+ 2y2
3
35
4. x = 0, x = 2, y = 0, y = 3, z = 0, x + y + z = 4
55
6
7.3 Transformace integrálu
7.3.1 Transformace do polárních souřadnic
Pomocí transformace do polárních souřadnic vypočtěte integrál A
f(x, y) dx dy funkce f(x, y) přes množinu
A omezenou podmínkami:
1. f(x, y) = x2
+ y2
, A: 1 ≤ x2
+ y2
≤ 4, y ≥ |x|
15
8 π
2. f(x, y) = 2x − 3y, A: x2
+ y2
≤ 9
19
M3100 Matematická analýza III DDÚ
[0]
3. f(x, y) = 1 − x2
− y2
, A: x2
+ y2
≤ 1
π
2
4. f(x, y) = 1, A: x ≥ 0, y ≥ 0, x2
+ y2
≤ x + y
π
4 + 1
2
Transformujte do polárních souřadnic integrál A
f(x, y) dx dy, kde množina A je omezena podmínkami:
1. A : a2
≤ x2
+ y2
≤ b2
, y ≥ 0, x ≥ y
π
4
0
b
a
ρf(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ dϕ
2. A : x2
+ y2
≤ 1, x + y ≥ 1
π
2
0
1
1
cos ϕ+sin ϕ
ρf(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ dϕ
3. A : x2
+ y2
≤ 4x, y ≥ 0
π
2
0
4 cos ϕ
0
ρf(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ dϕ
Pozn: Zde je možno použít i substituci x = 2 + ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, pak je výsledek
π
0
2
0
ρf(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) dρ dϕ
7.3.2 Další transformace dvojného integrálu
Pomocí dané transformace vypočtěte integrál A
f(x, y) dx dy funkce f(x, y) přes množinu A omezenou
křivkami:
1. f(x, y) = x2
− y + 2, A: xy = 1, xy = 4, y = 4x, y = x
4 , transformace: xy = u, y
x = v
113
16 + 12 ln 2
2. f(x, y) = 1, A: x2
= 4y, x2
= 8y, y2
= 2x, y2
= 4x, transformace: x2
y = u, y2
x = v
8
3
20
M3100 Matematická analýza III DDÚ
7.3.3 Transformace do cylindrických souřadnic
Pomocí transformace do cylindrických souřadnic vypočtěte integrál A
f(x, y, z) dx dy dz funkce f(x, y, z)
přes množinu A omezenou podmínkami:
1. f(x, y, z) = xz x2 + y2, A: x2
+ y2
= 1, x2
+ y2
= 4, z = 0, z = 3, x ≤ 0, y ≥ 0
−135
8
2. f(x, y, z) = 1, A: x2
+ y2
= 4, z = 0, z = y2
[4π]
3. f(x, y, z) = 1, A: x2
+ y2
= x, y = 0, z = 0, x + y + z = 2
(Pozn: Zde je možno použít i substituci x = 1
2 + ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z.)
3
16 π + 1
12
4. f(x, y, z) = 1
x2+z2+1 , A: y = 2 −
√
x2 + z2, y = 1
(Pozn: Zde je vhodné použít substituci pro rotační těleso s osou rotace v ose y.)
2π(−1 + 1
2 ln 2 + π
4 )
5. f(x, y, z) = 1, A: 2z = x2
+ y2
, z = x2 + y2
4
3 π
6. f(x, y, z) = 4xyz, A: z ≥ x2
2 + y2
2 , x2
+ y2
+ z2
≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0
7
6
7. f(x, y, z) = 1, A: z = 0, z = b, b > 0, z = ln(x2
+ y2
)
π(eb
− 1)
7.3.4 Transformace do sférických souřadnic
Pomocí transformace do sférických souřadnic vypočtěte integrál A
f(x, y, z) dx dy dz funkce f(x, y, z)
přes množinu A omezenou podmínkami:
1. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, A je část koule o poloměru 1 ležící v 1. oktantu
π
8
2. f(x, y, z) = x + y + z, A: x2
+ y2
+ z2
≤ 4, y ≥ 0, z ≥ 0
[4π]
3. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, A: z ≥ x2 + y2, 1 ≤ x2
+ y2
+ z2
≤ 4
15(2−
√
2)
4 π
4. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, A: x2
+ y2
+ z2
≤ 2z
8π
5
5. f(x, y, z) = 1, A: x2
+ y2
+ z2
≤ 2z, x2
+ y2
≤ 3z2
5π
9 )
21
M3100 Matematická analýza III DDÚ
8 Aplikace vícerozměrných integrálů
Pomocí dvojného, resp. trojného integrálu odvoďte obsah, resp. objem rovinného, resp. prostorového tělesa:
(Pozn. Obsah tělesa počítáme stejně jako míru tohoto tělesa jakožto množiny, tj. jako integrál z f = 1.
Pro určení mezí v integrálu je potřeba si dané těleso vhodně umístit do souřadných os - středy kružnic do
počátku, některé strany čtverců přímo do os atd.)
1. čtverec o straně a
a2
2. obdélník o stranách a a b
[ab]
3. rovnoramenný trojúhelník o základně a a výšce a
2
a2
4
4. kruh o poloměru r
πr2
5. krychle o hraně a
a3
6. hranol o hranách a, b, c
[abc]
7. jehlan o podstavě tvaru čtverce o straně a a výšce a
2
a3
6
8. válec o poloměru r a výšce v
πr2
v
9. kužel o poloměru r a výšce v
πr2
v
3
10. koule o poloměru r
4
3 πr3
22
M3100 Matematická analýza III DDÚ
9 Křivkový integrál
9.1 Délka křivky
Vypočtěte délku L(K) křivky K:
1. K je půlkružnice x2
+ y2
= r2
, y ≥ 0, r > 0
[L(K) = rπ; parametrizace : x = r cos t, y = r sin t, t ∈ 0, π ]
2. K je polovina elipsy x2
9 + y2
4 = 1, y ≥ 0
[L(K) = 7, 933; parametrizace : x = 3 cos t, y = 2 sin t, t ∈ 0, π ]
3. K je cykloida x = a(t − sint), y = a(1 − cost), a > 0, t ∈ 0, 2
[L(K) = 8a]
4. K je řetězovka y = a
2 (e
x
a + e− x
a ), x ∈ −a, a , a > 0
L(K) = a(e − 1
e ); parametrizace : x = t, y = a
2 (e
t
a + e− t
a ), t ∈ −a, a
9.2 Křivkový integrál I. druhu
Vypočtěte K
f(x, y, z) ds, resp. K
f(x, y) ds:
1. f(x, y) = 1
x2+y2 , K má parametrizaci F(t) = (et
cos t, et
sin t, et
), t ∈ 0, ln 2
√
3
2
2. f(x, y, z) = x + y2
− z, K je úsečka mezi body A = [2, −1, 1], B = [1, 3, 3]
11
6
√
21; parametrizace : x = 2 − t, y = −1 + 4t, z = 1 + 2t, t ∈ 0, 1
3. f(x, y) = x2
, K = [x, y] ∈ R2
, y = ln x, x ∈ 1, 2
1
3 (5
√
5 − 2
√
2); parametrizace : x = t, y = ln t, t ∈ 1, 2
4. f(x, y) = |y|, K je oblouk paraboly y2
= 2x, x ∈ 0, 1
2
3
2 (2
√
2 − 1); parametrizace : x = t2
2 , y = t, t ∈ −1, 1
5. f(x, y) = xy, K je obdélník o vrcholech [0, 0], [0, 2], [4, 0], [4, 2]
(Rada: Obdélník považujte za sjednocení 4 úseček, spojujících vždy 2 vedlejší vrcholy. Integrál přes
obdélník je pak součtem 4 integrálů přes úsečku.)
[24]
6. * f(x, y) = y, K je křivka popsaná rovnicí (x2
+ y2
)2
= x2
− y2
, pro x > 0, y > 0
(Rada: polární souřadnice)
1 −
√
2
2 ; parametrizace : x =
√
cos 2t cos t, y =
√
cos 2t sin t, t ∈ 0, π
4
23
M3100 Matematická analýza III DDÚ
9.3 Křivkový integrál II. druhu
Vypočtěte K
A dr:
1. A dr = x dx + y dy + z dz, K je křivka x = cos t, y = sin t, z = t, t ∈ 0, 2π (s počátečním bodem
[1, 0, 0])
2π2
2. A dr = (2 − y) dx + x dy, K je křivka x = t − sin t, y = t − cos t, t ∈ 0, 2π
[−2π]
3. A dr = x dx + y dy + (xz − y) dz, K je křivka x = t2
, y = 2t, z = 4t2
, t ∈ 0, 1 s počátečním bodem
[1, 2, 4]
−5
2
4. A dr = (x + y) dx − 2y dy, K je část křivky dané rovnicí y = x2
+ 1, mezi body [0, 1] a [2, 5]
−52
3 ; parametrizace : x = t, y = t2
+ 1, t ∈ 0, 2
5. A dr = (x + y) dx + (x − y) dy, K je kladně orientovaná (tj. proti směru pohybu hodinových ručiček)
elipsa x2
a2 + y2
b2 = 1
[0; parametrizace : x = a cos t, y = b sin t, t ∈ 0, 2π ]
6. A dr = x1 dx1 + . . . + xn dxn, K je úsečka v Rn
s počátkem [1, . . . , 1] a koncem B = [5, . . . , 5]
[12n; parametrizace : xi = t, i = 1, . . . , n, t ∈ 1, 5 ]
9.4 Greenova věta
Pomocí Greenovy věty vypočtěte K
A dr:
1. A dr = (x + 2y) dx + (y − 4x) dy, K je kladně orientovaná kružnice x2
+ y2
= 2x + 2y + 1
[−6π]
2. A dr = y dx − x dy, K je záporně orientovaná kružnice x2
+ y2
= 2x
[2π]
3. A dr = (x + y) dx + (x − y) dy, K je kladně orientovaná elipsa x2
a2 + y2
b2 = 1
[0]
24
M3100 Matematická analýza III DDÚ
9.5 Nezávislost křivkového integrálu II. druhu na integrační cestě
Dokažte, že K
A dr nezávisí na integrační cestě a vypočtěte jeho hodnotu pro libovolnou křivku s počátečním
bodem A a koncovým bodem B:
1. A dr = xdx + y dy, A = [0, 1], B = [3, −4]
[12]
2. A dr = 1
x2 (y dx − x dy), A = [1, 2], B = [2, 1]
3
2
3. A dr = −x dx−y dy√
x2+y2
, A = [2, 5], B = [0, 1]
√
29 − 1
4. A dr = (x + yz) dx + (y + xz) dy + (z + xy) dz, A = [0, 0, 0], B = [1, 2, 3]
[13]
5. A dr = y2
z dx + (2xyz + 1) dy + xy2
dz), A = [1, 2, 1], B = [2, 1, 2]
[−1]
6. A dr = x dx+y dy+z dz√
x2+y2+z2
, A = [1, 1, 1], B = [2, 2, 2]
√
3
25