Domácí úloha z 29. listopadu 2012 (odevzdává se 6. prosince)
Nechť n je přirozené číslo. Pevně zvolme permutaci ϕ ∈ Sn a pro každé
k = 1, . . . , n označme rk počet cyklů délky k v rozkladu permutace ϕ na
složení nezávislých cyklů (platí tedy n
k=1 k · rk = n).
Výše zvolená permutace ϕ nám dává na množině {1, . . . , n} strukturu
Ω-algebry pro Ω = { }, kde je unární operační symbol, a to takto: pro každé
a ∈ {1, . . . , n} definujeme a = ϕ(a).
Určete (a svůj výpočet vhodně zdůvodněte), kolik tato Ω-algebra má
1. podalgeber;
2. automorfismů (tj. izomorfizmů z ní do ní).
[Rada pro řešení: Pokud Vám není úloha jasná ihned, můžete nejprve
zkusit speciální případy, třeba když je ϕ cyklus délky n nebo když je ϕ
složením několika transpozic a podobně. Jistě při tom objevíte, jak spočítat
obecný případ.]
1