[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na konec] [Výše]

Kapitola 9
Vázané extrémy

V úvodu Kapitoly 6 jsme zdůraznili, že vyšetřování extrémů funkcí je jednou z nejdůležitějších částí diferenciálního počtu. V předchozích dvou kapitolách jsme si připravili aparát k tomu, abychom mohli vyšetřovat tzv. vázané extrémy. Je to vlastně v jistém smyslu speciální případ lokálních extrémů, avšak metody uvedené v Kapitole 6 zde nejsou vhodné. V prvním odstavci vysvětlíme tzv. metodu Lagrangeových multiplikátorů, kde extrémy původní funkce vyšetřujeme pomocí přiřazené, tzv. Lagrangeovy funkce. Ve druhém odstavci studujeme vázané extrémy pomocí nerovností mezi průměry čísel.

9.1 Metoda Lagrangeových multiplikátorů

Začněme následující úlohou.

Určete absolutní minimum a maximum funkce u = f(x,y,z) na množině M :  x2 + y2 + z2 ≤ 1, x,y,z ≥ 0 (konkrétní tvar funkce f není v tuto chvíli podstatný).

Vyšetřujeme-li při řešení úlohy funkci f na části hranice tvořené kulovou plochou, vyjádříme z = ∘ ----2----2 1− x − y a funkci f(x,y,∘ ----2----2 1− x − y) vyšetřujeme na množině M : x2 + y2 ≤ 1, x,y ≥ 0, tj. najdeme stacionární body uvnitř M a vyšetříme funkci na hranici množiny M. Provést toto na části hranice tvořené čtvrtkružnicí znamená vyjádřit y = √ ----2- 1− x a dosadit do f, tj. vyšetřovat funkci f(x,√-----2 1 − x,0) pro x ∈ [0,1].

Tímto postupem převedeme původní problém vyšetření funkce na hranici na studium extrémů funkce jedné proměnné. Je zřejmé, že tato metoda je nepraktická zejména při větším počtu proměnných. V tomto odstavci si popíšeme tzv. metodu Lagrangeových multiplikátorů, která řešení úlohy podstatně usnadní.

Definice 9.1. Nechť f je funkce n proměnných, M ⊂ 𝒟(f), x∗ = [x1∗,…,xn∗] ∈ M. Existuje-li okolí 𝒪(x∗) bodu x∗ takové, že pro všechna x ∈ M ∩𝒪(x∗) platí f(x) ≥ f(x∗), (f(x) ≤ f(x∗)), říkáme, že funkce f má v bodě A lokální minimum (maximum) vzhledem k množině M. Jsou-li nerovnosti pro x≠x∗ ostré, mluvíme o ostrých lokálních extrémech vzhledem k M.

 

V této kapitole se zabýváme případem, kdy množina M je zadána systémem rovností

g1(x1,…,xn) = 0
g2(x1,…,xn) = 0
⋮ (9.1)
gm(x1,…,xn) = 0,
kde 1 ≤ m < n. V tomto případě se často místo termínu lokální extrém vzhledem k M používá termín lokální extrém vázaný podmínkami (9.1 ) nebo prostě vázaný lokální extrém.

Nejprve zformulujme nutnou podmínku pro existenci vázaného extrému.

Věta 9.1. Nechť funkce n proměnných f,g1,…,gm, 1 ≤ m < n, mají spojité parciální derivace 1. řádu v otevřené množině U ⊂ ℝn a nechť v každém bodě množiny U má matice

( ) ∂∂g1x1- ... ∂∂gx1n (...............) ∂gm- ... ∂gm ∂x1 ∂xn
(9.2)

hodnost m. Buď M množina všech bodů [x1,…,xn], které vyhovují rovnicím (9.1 ). Má-li funkce f v bodě a = [a1,…,an] ∈ M lokální extrém vzhledem k M, existují reálná čísla λ1,…,λm tak, že jsou splněny rovnosti

∂f ∑m ∂gk ---(a)− λk----(a) = 0, j = 1,...,n. ∂xj k=1 ∂xj
(9.3)

 

 

Poznámka 9.1. i) Dříve než přistoupíme k důkazu tvrzení, objasněme si význam rovnosti (9.3 ). Zprvu uvažujme nejjednodušší případ n = 2,m = 1. Pak M je křivka v ℝ2 zadaná rovnicí g(x,y) = 0 (píšeme x,y, [x∗,y∗] a g místo x1,x2, a a g1). Rovnost (9.3) můžeme psát ve tvaru rovnosti dvou dvojrozměrných vektorů

(fx(x∗,y∗),fy(x ∗,y∗)) = λ(gx(x∗,y∗),gy(x ∗,y∗)).
Když si uvědomíme, že vektor (gx(x∗,y∗),gy(x∗,y∗)) je normálovým vektorem ke křivce g(x,y) = 0 v bodě [x∗,y∗] a vektor (fx(x∗,y∗),fy(x∗,y∗)) je normálovým vektorem k vrstevnici funkce f na úrovni c = f(x∗,y∗), vztah (9.3 ) říká, že vektory (fx(x∗,y∗),fy(x∗,y∗)) a (gx(x∗,y∗),gy(x∗,y∗)) jsou lineárně závislé. Jinými slovy, křivky g(x,y) = 0 a f(x,y) = f(x∗,y∗) mají společnou tečnu v bodě [x∗,y∗]. Tato skutečnost je v plném souladu s úvahami, které jsme použili při řešení Příkladů 6.6.

ii) V obecném případě nechť f′,g′k jsou vektory parciálních derivací funkcí f,gk, k = 1,…,m a nechť M je množina určená systémem (9.1 ). Pak v souladu s terminologií z kapitoly o implicitních funkcích vztah (9.3) říká, že f′(a) ∈𝒩M(a), kde 𝒩M(a) je normálový prostor k M v bodě a.

iii) Funkce

∑m L(x,λ) = L(x1,...,xn,λ1,...,,λm) = f(x1,...,xn)− λkgk(x1...,xn) k=1
se nazývá Lagrangeova funkce a konstanty λk Lagrangeovy multiplikátory. Princip metody Lagrangeových multiplikátorů spočívá v tom, že do Lagrangeovy funkce jsou „zabudovány“ vazebné podmínky a místo vyšetřování funkce f na M vyšetřujeme Lagrangeovu funkci L bez omezujících podmínek. Metodu multiplikátorů lze použít i v případě, kdy množina M je zadána nikoliv jen systémem rovností, ale i systémem nerovností.

 

Důkaz Věty 9.1. Předpokládejme nejprve, že funkce gk jsou afinní, tj.

gk(x) = 〈uk,x〉+ βk,
kde uk ∈ ℝn, βk ∈ ℝ, k = 1,…,m. Předpokládejme, že neexistuje m-tice multiplikátorů, pro něž platí (9.3 ), pak f′(a)∉Lin{g′1(a),…,g′m(a)}. To znamená, že existuje h ∈ ℝn, h ∈ Lin{g′1(a),…,g′m(a)}⊥ (⊥ značí ortogonální doplněk) takové, že 〈f′(a),h〉≠0. Položme y = a + αh.

Vzhledem k tomu, že funkce gk jsou afinní a h ∈ Lin{g′1(a),…,g′m(a)}⊥ = Lin{u1,…,um}⊥, je

gk(y) = 〈uk,a+ αh〉+ βk = gk(a) + α〈uk,h〉 = 0,
tedy y ∈ M. Z diferencovatelnosti funkce f dostáváme
[ ] ′ ′ τ(αh) f(y) = f(a)+ α〈f(a),h〉+ τ(αh) = f(a)+ α 〈f (a),h 〉+ α ,
kde limα→0τ(ααh). Odtud
f(y)−-f(a)= 〈f′(a),h〉+ τ(αh). α α
Je-li nyní např. 〈f′(a),h〉 > 0, limitním přechodem pro α → 0 vidíme, že pro ∣α∣ dostatečně malá je f(y) > f(a) pro α > 0 a f(y) < f(a) pro α < 0. To je ve sporu s tím, že f má v bodě a lokální extrém vzhledem k M.

 

PICT

obr. 9.1:

Nyní vyšetřeme obecný případ, kdy funkce gk nejsou afinní. Pak bod y sestrojený v předchozí části důkazu již nemusí být prvkem množiny M, proto místo tohoto bodu musíme uvažovat jiný bod. Geometricky je jeho nalezení naznačeno na obrázku 9.1 . Označme v1,…,vn−m bázi prostoru Lin{g′1(a),…,g′m(a)}⊥ a uvažujme systém rovnic

gk(a+ αh + r) = 0, k = 1,...,m, 〈vk,r〉 = 0, k = 1,...,n − m,
(9.4)

kde r ∈ ℝn. Pak jsou vzhledem k nezávislosti vektorů g′k(a) a výběru vektorů vk splněny předpoklady Věty 8.3 a systém rovnic (9.4) určuje implicitně v okolí bodu [α,r] = [0,0] ∈ ℝ × ℝn funkci r = r(α) : ℝ → ℝn. Podle Věty 8.3 pro její derivaci podle α dostáváme r′(α)∣α=0 = 0, což podle l’Hospitalova pravidla znamená, že

lim r(α)-= 0. α→0 α
(9.5)

 

Nyní položme y = a + αh + r(α). Podobně jako v první části důkazu platí

f(y) = f(a) + 〈f′(a),αh + r(α)〉 + τ(αh) =
= f(a) + α[ r(α) τ(αh)] 〈f′(a),h〉+ 〈f′(a),----〉+ ----- α α
a stejnou úvahou jako výše v libovolném okolí bodu a najdeme y,ỹ ∈ M taková, že f(y) < f(a) i f(y) > f(a) – spor. □

 

Definice 9.2. Nechť množina M ⊆ ℝn je dána systémem rovnic (9.1 ). Řekneme, že bod a ∈ M je stacionární bod funkce f na M, jestliže existují Lagrangeovy multiplikátory λ1,…,λm takové, že platí (9.3 ).

 

Věta 9.1 říká, že v případě diferencovatelných funkcí f a gk lokální extrém vzhledem k množině M může nastat pouze ve stacionárním bodě. O tom, zda ve stacionárním bodě nastává, nebo nenastává lokální extrém, rozhodneme pomocí vlastností matice druhých derivací Lagrangeovy funkce L′′(x,λ).

Věta 9.2. Nechť funkce f a gk, k = 1,…,m mají spojité parciální derivace druhého řádu v bodě a, který je stacionárním bodem f na M, a λ1,…,λm jsou příslušné Lagrangeovy multiplikátory, tj. L′(a,λ) = 0. Dále nechť matice (9.2 ) má pro x = a hodnost m. Jestliže pro každé 0≠h ∈ Lin{g′1(a),…,g′m(a)}⊥ platí

〈L′′(a)h,h〉 > 0 (< 0),
(9.6)

má funkce f v bodě a ostré lokální minimum (maximum) vzhledem k M. Jestliže existují h,h ∈ Lin{g′1(a),…,g′m(a)}⊥ taková, že

〈L′′(a)˜h,˜h〉 > 0, 〈L′′(a)¯h,¯h〉 < 0,
(9.7)

v bodě a lokální extrém vzhledem k M nenastává.

 

Důkaz. Především si všimněme, že pro x ∈ M je f(x) = L(x), tj. x∗∈ M je lokálním extrémem f vzhledem k M, právě když je lokálním extrémem Lagrangeovy funkce L. Podobně jako v důkazu Věty 9.1 můžeme body y ∈ M vyjádřit ve tvaru y = a + αh + r(α), kde h ∈ Lin{g′1(a),…,g′m(a)}⊥ a r : ℝ → ℝn splňuje (9.5 ). Pomocí Taylorova vzorce dostáváme

f(y) = L(y) = L(a) + 〈L′(a),αh + r(α)〉 + 1 2〈L′′(ã)(αh + r(α),
(αh + r(α)〉 = f(a) + α2 -2-〈 ( r(α)) r(α)〉 L′′(˜a) h+ -α-- ,h+ --α-, (9.8)
kde ã leží na úsečce spojující a a y (využili jsme faktu, že a je stacionární bod, tj. L′(a) = 0).

Předpokládejme, že platí (9.6), pak vzhledem ke spojitosti druhých derivací funkce L stejné nerovnosti platí i pro ã místo a, je-li ∣α∣ dostatečně malé. Limitním přechodem pro α → 0 v (9.8) dostáváme pro ∣α∣ dostatečně malé

sgn[f(y)− f(a)] = sgn〈L′′(a)h,h〉,
tedy v bodě a nastává lokální extrém f vzhledem k M, a to minimum, je-li 〈L′′(a)h,h〉 > 0, a maximum, platí-li opačná nerovnost.

Nyní předpokládejme, že existují h,h ∈ Lin{g′1(a),…,g′m(a)}⊥ taková, že platí (9.7). Položme y1 = a + αh + r(α), y2 = a + αh + r(α). Stejným způsobem jako v předchozí části důkazu lze ukázat, že pro ∣α∣ dostatečně malá platí f(y1) > f(a) a f(y2) < f(a), tj. v bodě a lokální extrém f vzhledem k M nenastává. □

 

Nyní si tvrzení posledních dvou vět shrňme do praktického návodu hledání vázaných extrémů funkcí se spojitými druhými derivacemi.

1. Vytvoříme Lagrangeovu funkci L(x,λ) = f(x) −∑ k=1mλkgk(x).

2. Určíme stacionární body f vzhledem k M, tj. určíme x1,…,xn a λ1,…,λm jako řešení systému n + m rovnic

-∂-L(x,λ) = 0, i = 1,...,n, gj(x) = 0, j = 1,...,m. ∂xi
Nechť a ∈ M je takto vypočtený stacionární bod f vzhledem k M a λ1,…,λm jsou příslušející multiplikátory.

3. Ze systému m lineárních rovnic

-∂g1 ∂x1(a)h1 + ⋯ + ∂g1- ∂xn(a)hn = 0 ,
⋮    
∂gm- ∂x1(a)h1 + ⋯ + ∂gm- ∂xn(a)hn = 0
pro proměnné h1 ,…,hn vypočteme m proměnných v závislosti na n − m zbývajících. Takto vypočtené vektory h ∈ ℝn jsou prvky tečného prostoru k M v bodě a, 𝒯M(a) = Lin{g′1(a),…,g′m(a)}⊥. Tento výpočet je možný, neboť podle předpokladu má matice (9.2 ) hodnost m. Pro určitost předpokládejme, že jsme vypočetli h1,…,hm v z ávislosti na hm+1,…,hn.

4. Určíme druhý diferenciál Lagrangeovy funkce vzhledem k proměnným x ve stacionárním bodě a

∑n ∂2L d2L(a,λ) = ------(a)hihj = 〈L′′(a)h,h〉, i,j=1 ∂xi∂xj
za λ1,…,λm dosadíme příslušející multiplikátory a za h1,…,hm vyjádření z předchozího bodu.

5. Vyšetříme definitnost vzniklé kvadratické formy n−m proměnných (je to vlastně restrikce kvadratické formy d2L(a,λ) na tečný prostor 𝒯M(a)). Je-li tato forma pozitivně (negativně) definitní, nastává v bodě a ostré lokální minimum (maximum), a je-li indefinitní, v bodě a vázaný extrém nenastává.

Příklad 9.1. i) Najděte lokální extrémy funkce u = 2 xa2 + 2 yb2 + 2 zc2-, a > b > c, na množině M : x2 + y2 + z2 = 1.

Řešení. Nejprve sestavíme Lagrangeovu funkci úlohy a určíme stacionární body.

x2 y2 z2 2 2 2 L(x,y,z,λ) = a2 + b2 + c2 − λ(x +y + z − 1).
Derivováním a přidáním vazebné podmínky dostáváme
Lx = 2x2- a − 2λx = 0 ⇒ x( ) 12 − λ a = 0,
Ly = 2y b2 − 2λy = 0 ⇒ y( ) 1-− λ b2 = 0,
Lz = 2y c2 − 2λz = 0 ⇒ z( 1 ) c2 − λ = 0,
x2 + y2 + z2 = 1.
Z prvních tří rovnic plyne, že vždy dvě ze souřadnic x,y,z musí být nulové (neboť pouze jeden z výrazů v závorkách může vždy být nulový). Dostáváme šestici stacionárních bodů a příslušejících multiplikátorů P1,2 = [±1,0,0],λ1,2 = a12, P3,4 = [0,±1,0],λ3,4 = b12, P5,6 = [0,0,±1],λ56 = 1c2-. Určíme druhý diferenciál funkce L (použijeme obvyklý zápis s dx,dy,dz místo h1,h2,h3)
( ) ( ) ( ) 2 1- 2 -1 2 1- 2 d L(x,y,z,λ) = 2 a2 − λ (dx) + 2 b2 − λ (dy) + 2 c2 − λ (dz)
a diferencováním vazebné podmínky dostáváme 2xdx + 2y dy + 2z dz = 0. Odsud plyne, že v bodech P1,2 je dx = 0, v bodech P3,4 je dy = 0 a v P5,6 je dz = 0. Využitím této skutečnosti vyšetřeme definitnost formy d2L na tečném prostoru v bodech P1−6 ke kouli x2 + y2 + z2 = 1.
P1,2 : d2L = 2(-1 b2 −1- a2)(dy)2 + 2(-1 c2 −1- a2)(dz)2,
P3,4 : d2L = 2(-1 a2 −1- b2)(dx)2 + 2(-1 c2 −1- b2)(dz)2,
P5,6 : d2L = 2(-1 c2 −1- b2)(dx)2 + 2(1- c2 −1- b2)(dz)2.
Protože a > b > c, je kvadratická forma v bodech P1,2 pozitivně definitní, v bodech P5,6 negativně definitní a v bodech P3,4 indefinitní. To znamená, že v P1,2 je ostré lokální minimum (rovno 1a2), v P5,6 je ostré lokální maximum (rovno 1c2-) a v bodech P3,4 extrém nenastává.

ii) Odvoďte vzorec pro vzdálenost bodu x∗ = [x1∗,…,xn∗] od roviny a1x1 + ⋯ + anxn = b v prostoru 𝔼n.

Řešení. Označme a = [a1,…,an], x = [x1,…,xn]. Pak můžeme úlohu zapsat ve vektorovém tvaru

∘-------------- 〈x − x∗,x − x∗〉 → min, 〈a,x〉 = b.
Je-li x bodem minima této úlohy, je také bodem minima úlohy
1 2〈x − x∗,x − x∗〉 → min, 〈a,x〉 = b
(tato úvaha nám usnadní derivování). Lagrangeova funkce této úlohy je
∑n n∑ L(x,λ) = 1〈x− x∗,x − x ∗〉 − λ(〈a,x〉− b) = 1 (xk − x∗k)2 − λ( akxk − b). 2 2 k=1 k=1
Derivováním dostáváme (používáme pro stručnost vektorový zápis)
Lx = x− x∗ − λa = 0, 〈a,x 〉 = b.
Z první rovnice x = x∗ + λa a dosazením do druhé rovnice 〈a,x∗ + λa〉 = b, odtud
∗ ∗ λ = (b−-〈a,x〉) =⇒ x − x∗ = b−-〈a,x-〉-⋅a, ∣∣a∣∣2 ∣∣a∣∣2
tedy
∘ -------------- ∣b− 〈a,x∗〉∣ ∣b − a1x∗1 − ⋅⋅⋅− anx∗n∣ 〈x − x∗,x − x∗〉 =----∣∣a∣∣--- = ---∘--2--------2---, a1 + ⋅⋅⋅+ an
což je vzorec dobře známý z lineární algebry.

iii) Určete obsah elipsy, která vznikne při řezu elipsoidu x2- a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 rovinou Ax + By + Cz = 0 (obsah elipsy je P = ppq, kde p,q jsou délky poloos elipsy).

Řešení. K určení obsahu elipsy potřebujeme určit délky jejích poloos. To jsou vzdálenosti bodů ležících zároveň na elipsoidu i v řezné rovině, které mají nejmenší, resp. největší vzdálenost od počátku. Vzdálenost bodu [x,y,z] od počátku je dána vztahem ∘x2--+y2-+-z2. Místo této funkce budeme hledat extrémy funkce u = x2 + y2 + z2, která se snáze derivuje, a vypočtený výsledek odmocníme. Řešíme tedy úlohu

2 2 2 x2 y2 z2 u = x + y + z → max(min), a2 + b2 + c2 = 1, Ax + By +Cy = 0.
Lagrangeova funkce úlohy je L(x,y,z,λ,μ) = x2 + y2 + z2 −λ(2 xa2- + 2 yb2 + 2 zc2 − 1) −μ(Ax + By + Cy). Jejím derivováním a připojením vazebných podmínek dostáváme systém rovnic
2x − 2λ2x-− μA = 0, 2y− 2λy2-− μB = 0, 2z − 2λz2 − μC = 0, a 2 2 2 b c x- + y- + z-= 1, Ax + By + Cz = 0. a2 b2 c2
Vynásobíme-li první rovnici x, druhou y, třetí z a sečteme je, pak využitím vazebných podmínek dostáváme rovnost x2 + y2 + z2 = λ, tedy umax = λmax a umin = λmin. Vyjádříme-li z prvních tří rovnic x,y,z a dosadíme do rovnice roviny, obdržíme rovnici
( ) A2 B2 C2 μ --(---λ-)+ --(---λ-)+ --(---λ-) = 0. 2 1 + a2 2 1+ b2 2 1 + c2
Protože μ≠0 (jinak x = y = z = 0 a tento bod neleží na elipsoidu), z této rovnice vynásobení m jmenovateli zlomků dostáváme
( )( ) ( )( ) A2 1− λ- 1− λ- + B2 1− -λ 1− λ- + b2 c2 a2 c2 2( λ)( λ ) +C 1− a2 1 − b2 = 0.

Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru kvadratické rovnice λ2 + K1λ + K2, kde

a2b2c2(A2 + B2 + C2) K2 = --2-2---2-2----22-. A a + B b + C c
Koeficient K1 můžeme také vyjádřit explicitně, jeho hodnota však není podstatná, neboť rovnici nemusíme řešit. Nepotřebujeme totiž znát kořeny rovnice λ1,2, nýbrž pouze jejich součin λ1λ2 – ve skutečnosti nepotřebujeme znát délky poloos, stačí nám znát jejich součin. Tento součin je roven absolutnímu členu K2 v kvadratické rovnici. Protože jsme hledali extrémy funkce x2 + y2 + z2 místo funkce ∘ ----------- x2 + y2 + z2, je hledaná plocha elipsy
∘------------------ S = p∘ λ1λ2 = p ∘K2-= pabc --A2-+-B2-+-C2---. A2a2 + B2b2 + C2c2

 

9.2 Vázané extrémy a nerovnosti

V tomto odstavci si ukážeme, jak lze v některých speciálních (ale poměrně často se vyskytujících) případech hledat vázané extrémy, aniž by bylo nutné použít aparát Lagrangeových multiplikátorů. I když je tento postup poněkud vzdálený od metod diferenciálního počtu, uvádíme jej zde pro jeho výbornou praktickou použitelnost. Čtenáři doporučujeme všechny úlohy tohoto odstavce vyřešit pro srovnání také metodou Lagrangeových multiplikátorů.

Nejprve připomeňme pojem kvadratického, aritmetického, geometrického a harmonického průměru n-tice čísel. Nechť x1 ,…,xn jsou kladná reálná čísla, označme

 

𝒬n(x1,x2,…,xn) = ∘ -x2+-x2+-⋅⋅⋅+-x2 -1---2--------n- n,
𝒜n(x1,x2,…,xn) = x1 + x2 + ⋅⋅⋅+ xn -------n--------,
𝒢n(x1,x2,…,xn) = n√x--x-...x- 1 2 n,
ℋn(x1,x2,…,xn) = n 1----1--------1- x1 + x2 +⋅⋅⋅+ xn.

Věta 9.3. Nechť x = [x1,…,xn] je n-tice kladných čísel. Platí nerovnosti

𝒬n(x) ≥ 𝒜n(x) ≥ 𝒢n(x) ≥ ℋn(x),
přičemž rovnosti nastávají, právě když x1 = x2 = ⋯ = xn.

 

Důkaz. Viz skriptum [H-K-S]. □

 

Kromě nerovností mezi průměry je účinným nástrojem i tzv. Cauchyova nerovnost.

Věta 9.4. Pro libovolné dvě n-tice reálných čísel x = (x1,…,xn),y = (y1,…,yn) platí

( )1 ( ) 1 n∑ ∑n 2 2 ∑n 2 2 ∣xkyk∣ ≤ xk yk , k=1 k=1 k=1
přičemž rovnost nastane, právě když existuje reálné t takové, že yk = txk, k = 1,…,n, tj. právě když vektory x a y jsou lineárně závislé.

 

Důkaz. Viz [H-K-S]. □

 

Příklad 9.2. i) Mezi všemi trojúhelníky s konstantním obvodem o určete ten, který má největší obsah.

Řešení. Vyjdeme z Heronova vzorce pro obsah trojúhelníka

∘ ------------------ P = s(s− a)(s− b)(s − c),
kde a,b,c jsou strany trojúhelníka a s = (a+b+c)∕2 = o∕2 je tzv. poloperimetr. Označíme-li x = s−a, y = s−b, z = s−c a uvážíme-li, že najít maximum funkce P je totéž jako najít maximum funkce P = s−13P23, můžeme úlohu formulovat takto:
P˜(x,y,z) = 3√xyz-→ max, x+ y +z = o. 2
Využitím nerovnosti mezi algebraickým a geometrickým průměrem dostáváme
˜ P (x,y,z) ≤ (x +y + z)∕3 = o∕6,
přičemž rovnost nastává, právě když x = y = z = o∕2. Máme tedy systém rovnic
o o o s− a = 6, s − b = 6, s − c = 6,
jehož řešením je a = b = c = o∕3. Tedy mezi všemi trojúhelníky s daným obvodem o má největší obsah rovnostranný trojúhelník a tento maximální obsah je Pmax = o2 12√3-.

ii) Mezi všemi trojicemi kladných čísel x,y,z s konstantním součtem a najděte ta, pro která je součet převrácených hodnot minimální.

Řešení. Z nerovnosti mezi harmonickým a aritmetickým průměrem dostáváme

1---31--1-≤ x-+-y+-z = a, x + y + z 3 3
přičemž rovnost nastane, právě když x = y = z = a∕3. Odtud -1 x+ 1 y + 1 z ≥--9-- x+y+z = -9 a, tedy součet převrácených hodnot je minimální, jsou-li všechna tři čísla stejná a rovna a 3.

iii) Na elipsoidu xa22 + y2b2 + z2c2- = 1 najděte bod v prvním oktantu s vlastností, že objem čtyřstěnu tvořeného souřadnými stěnami a tečnou rovinou k elipsoidu v tomto bodě je minimální.

Řešení. Nejprve připomeňme, že objem čtyřstěnu vypočteme podle vzorce V = 1 6x0y0z0, kde [x0,0,0],[0,y0,0],[0,0,z0] jsou průsečíky tečné roviny se souřadnými osami (sestrojíme-li trojboký hranol se základnou tvořenou trojúhelníkem s vrcholy [0,0,0], [x0,0,0], [0,y0,0] a výškou z0, jeho objem je 1 2x0y0z0 a je trojnásobkem objemu daného čtyřstěnu). Vyjádřením proměnné z z rovnice elipsoidu nebo pomocí derivace implicitní funkce snadno ověříme, že rovnice tečné roviny k elipsoidu v bodě [x,y,z] je

z¯z y¯y xx¯ c2 + b2 + a2-= 1.
(9.9)

Odtud dostáváme, že úseky vyťaté tečnou rovinou na souřadných osách jsou x0 = a2 ¯x- (položíme y = 0 = z v (9.9)), z0 = b2 ¯y-, z0 = c2 -¯z. Řešíme tedy úlohu

1 a2b2c2 x2 y2 z2 V = 6 -xyz-→ min, a2 + b2 +-c2 = 1,
která je, pokud jde o extremální bod, ekvivalentní úloze
− 1 1 3∘ xy-z-- x2 y2 z2 ˜V = (6V) 3 = 3√abc- ab-c-→ max, a2 + b2 +-c2 = 1.
Z nerovnosti mezi kvadratickým a geometrickým průměrem dostáváme, že Ṽ je maximální, jestliže x a = y b = z c, což vzhledem k vazebné podmínce nastane, když x = √- 3a, y = √- 3b, z = √- 3c, a pro tyto hodnoty dostáváme minimální objem V min = 1ab8√c3-.

iv) Na elipsoidu x2 + 2 y4- + 2 z9 = 1 najděte bod, který je nejblíže rovině x + y + z = 2√ -- 14.

Řešení. Pro vzdálenost bodu [x0,y0,z0] od roviny ax + by + cz = d platí vzorec (viz Příklad 9.1 ii))

d = ∣ax0√ +-by0 +-cz0 −-d∣. a2 + b2 + c2
Protože elipsoid leží pod rovinou x + y + z = 2√ -- 14, budeme řešit úlohu
√ -- x-+-y+-z −-2-14 2 y2 z2 − √3- → min, x + 4 + 9 = 1,
(9.10)

která je (pokud jde o bod, v němž je dosaženo minima) ekvivalentní úloze

2 2 x+ y+ z → max, x2 + y + z-= 1. 4 9
Tuto úlohu vyřešíme pomocí Cauchyovy nerovnosti. Platí
∘ ------------ y- z 2 y2 z2√ -------- √-- x+ y+ z = x+ 22 + 33 ≤ x + 4 + 9 1+ 4+ 9 = 14,
přičemž rovnost nastává, právě když jsou vektory (x,y 2,z 3), (1,2,3) lineárně závislé, tj. existuje t ∈ ℝ takové, že x = t, y 2 = 2t, z 3 = 3t. Vezmeme-li v úvahu vazebnou podmínku x2 + y2 4 + z2 9 = 1, dostáváme t = ±-1- √14, tj. (hledaný bod leží v I. kvadrantu)
1 4 9 x = √--, y = √--, z = √--- 14 14 14
a dosazením do (9.10 ) dostáváme dmin = ∘ -- 14 3.

 

Cvičení PIC

9.1.  Určete vázané extrémy funkce f na množině určené rovnostmi:

a) f(x,y,z) = xy2z3, x + 2y + 3z = a, a,x,y,z > 0

 

b) f(x,y,z) = sinxsiny sinz, x + y + z = p2

 

c) f(x,y,z) = xyz, x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0

 

d) f(x,y,z) = xy + yz, x2 + y2 = 2, y + z = 2, x,y,z > 0

 

e) f(x1,…,xn) = x12 + ⋯ + xn2, xa11 + ⋯ + xann = 1, ai > 0, i = 1,…,n

 

f) f(x1,…,xn) = αx11+…+αxnn,  β1x1 + ⋯ + βnxn = 1, αi,βi,xi > 0, i = 1,…,n

 

g) f(x1,…,xn) = x1α1…xnαn, x1 + ⋯ + xn = 1, αi > 0, i = 1,…,n

 

 

9.2. 

 

9.3.  Řešte extremální úlohy:

 

 

PIC

 

∗

Všechny dobré zásady jsou již napsány. Nyní ještě zbývá je uskutečnit. (B. Pascal)

∗

[Další] [Předchozí] [Předchozí – na konec] [Na začátek] [Výše]