Obsah
1 Základy teorie pravděpodobnosti 3
1.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Opakování základních pojmů teorie pravděpodobnosti . . . . . 4
1.4 Diskrétní náhodné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Závislost a nezávislost náhodných veličin . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Podmíněná pravděpodobnost a podmíněné očekávání . . . . . 10
1.7 Součty náhodných veličin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Náhodná procházka 13
2.1 Jednoduchá náhodná procházka . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Základní vlastnosti náhodné procházky . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Základní techniky pro počítání s náhodnou procházkou . . . . 15
2.3.1 Technika podmínění 1. krokem . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Technika počítání trajektorií . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Princip reflexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.4 Generující funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.5 Charakteristiky náhodných veličin a jejich generující
funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.6 Součty náhodných veličin a konvoluce . . . . . . . . . . 22
2.3.7 Generující funkce a náhodná procházka . . . . . . . . . 23
2.3.8 Časy navštívení bodu r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Zákony arcsinu a Pólyova věta 30
3.1 Zákony arcsinu pro symetrickou náhodnou procházku . . . . . 30
3.1.1 1. zákon arcsinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Stirlingova formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3 2. zákon arcsinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Pólyova věta v Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
4 Poissonův proces 37
4.1 Základní vlastnosti Poissonova procesu . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Cramér - Lundbergův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Inspekční paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Diskrétní modely ve finanční matematice 42
5.1 1-krokový model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Základní věta APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.1 Jištění (Hedging) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Model s více periodami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.1 Trh se dvěma periodami . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.2 Vícekrokový model s T kroky . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Martingaly 53
6.1 Férová hra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Přirozená filtrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 Martingal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4 Samofinancující portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4.1 Dynamické portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4.2 Samofinancující portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 Martingalová transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.5.1 Podmíněná očekávání a martingalová transformace . . 58
7 Úplnost trhu 60
7.1 Věta o úplnosti trhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Wienerův proces (Brownův pohyb) 63
8.1 Limita náhodné procházky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2 Wienerův proces pro cenu akcie . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2.1 Itôovo lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2.2 Odvození Black-Scholesovy rovnice . . . . . . . . . . . 68
2
Kapitola 1
Základy teorie
pravděpodobnosti
Matematické modely ve financích jsou z velké většiny stochastické. Základním
nástrojem který využívají je teorie pravděpodobnosti. V této kapitole
připomeneme některé základní pojmy a techniky z teorie pravděpodobnosti,
tak jak je budeme v dalších kapitolách potřebovat.
1.1 Motivace
Uvažujme jako příklad cenu jedné akcie firmy Apple příští pondělí na konci
obchodování. Dnes je pro nás tato cena neznámá, a modelujeme ji tedy jako
náhodnou veličinu. Ovšem příští týden v úterý již bude známou hodnotou
(konstantou). Pro matematické modelování ve financích je typická tato interakce
náhodných a známých veličin.
Vzájemnému působení náhodnosti a plynutí času se věnuje teorie stochastických
procesů. Připomeňme, že posloupnost náhodných veličin Xt, t ∈ I,
kde I je indexová množina, se nazývá stochastický proces.
Je-li Xt cena zvolené akcie v budoucím čase t, pak zřejmě Xt, Xt+1 nejsou
nezávislé náhodné veličiny. Hodnota Xt něco říká o pravděpodobnostním
rozdělení náhodné veličiny Xt+1. Na druhé straně, přírustky Xt+2 − Xt+1 a
Xt+1 − Xt budou ve většině našich modelů nezávislé. To úzce souvisí s tzv.
hypotézou efektivního trhu. Podle ní všechny informace dostupné v čase t
jsou již obsaženy v ceně Xt. Jak uvidíme, je to také jedním z hlavních argumentů
proč je geometrický Brownův pohyb “přirozeným ” modelem vývoje
cen akcií.
3
1.2 Pravděpodobnost
Teorie pravděpodobnosti je hlavním nástrojem modelování ve finanční matematice.
Je dobré si uvědomit hned na začátku že pojem pravděpodobnost
má více možných interpretací.
1. Frekventistický přístup: Pravděpodobnost jevu je limita jeho relativní
četnosti při velkém počtu opakování téhož experimentu. Nevýhodou
této definice je omezení na opakovatelné jevy. Předpoklad opakovatelnosti
konkrétní situace na trhu není ve financích úplně reálný.
2. Bayesovský přístup: Pravděpodobnost vyjadřuje míru naší nejistoty o
pravdivosti nějakého tvrzení, založenou na informacích, které v danou
chvíli máme. V tomto pojetí je každá pravděpodobnost ve skutečnosti
podmíněná (informacemi které právě máme). Například pravděpodobnost
padnutí šestky na kostce je P(X = 6) = 1
6
, pokud nemáme žádnou
informaci o tom jak je kostka vyrobena. Budeme-li znát například
přesné složení materiálu (nehomogenost dřeva), může se tato pravděpodobnost
změnit.
Matematická technika výpočtů nicméně na interpretaci ve většině případů
nezávisí a je stejná pro obě pojetí.
1.3 Opakování základních pojmů teorie prav-
děpodobnosti
Pravděpodobnostní prostor (model) obvykle označujeme (Ω, A, P), kde
– Ω je prostor elementárních jevů, t.j. všech možných stavů modelovaného
systému které chceme rozlišovat (např. {1, 2, 3, 4, 5, 6} u hodu kostkou).
– A je množina všech pozorovatelných jevů. PrvkyA jsou podmnožiny Ω.
Jev je tedy formálně vzato množina elementárních jevů, které jsou s ním
slučitelné. (Například jev padne sudé číslo je množina {2, 4, 6})
Je-li Ω konečná nebo spočetná (tak tomu bude u všech diskrétních modelů),
je A v definici pravděpodobnostního prostoru nadbytečné, neboť automaticky
A je rovno exp Ω, množině všech podmnožin Ω.
– P : A → 0, 1 je pravděpodobnostní míra. V diskrétním případě stačí
znát hodnoty této míry na elementárních jevech, tedy P : Ω → 0, 1 . P(ω)
je pak pravděpodobnost elementárního jevu ω, a pro obecný jev A ∈ A platí
P(A) =
ω∈A
P(ω).
4
Pokud je ale Ω nespočetná, pak exp Ω má příliš velkou mohutnost, aby
se na ní dala definovat pravděpodobnostní míra. Musíme se pak omezit na
menší σ-algebru. S tím se setkáme až u spojitých modelů.
1.4 Diskrétní náhodné proměnné
Diskrétní náhodná proměnná (náhodná veličina) je funkce
X : Ω → {x1, x2, ...} ⊆ R,
kde {x1, x2, ...} je diskrétní podmnožina R.
Definice 1.4.1. Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X je definována
jako
f(x) = P(X = x).
Definice 1.4.2. Distribuční funkce náhodné veličiny X je
F(x) = P(X ≤ x).
Připomeňme si ještě definici nezávislosti dvou jevů.
Definice 1.4.3. Jevy A, B ⊆ Ω jsou nezávislé, jestliže
P(A) =
P(A ∩ B)
P(B)
,
tedy
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Jinak řečeno (podle prvního vztahu), víme-li že nastal jev B, nezmění to
pravděpodobnost jevu A.
Definice 1.4.4. Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, jestliže
jevy {X = x} a {Y = y} jsou nezávislé pro všechna x a y. Jinými slovy,
znalost hodnoty X nedává žádnou informaci o hodnotě Y .
Pravděpodobnostní funkce obsahuje všechny informace o uvažované náhodné
veličině. Často nám ale stačí její číselné charakteristiky.
Definice 1.4.5. Očekávání (střední hodnota) náhodné veličiny X s pravděpodobnostní
funkcí f(x) je definována jako
E(X) =
x: f(x)>0
xf(x),
5
je-li řada absolutně konvergentní.
Očekávání můžeme vypočítat také pomocí vztahu
E(X) =
ω∈Ω
X(ω)P(ω).
Definice 1.4.6. Je-li k přirozené číslo, k-tý moment mk náhodné veličiny
X je definován jako
mk = E(Xk
).
Definice 1.4.7. k-tý centrální moment σk je definován jako
σk = E((X − m1)k
).
Speciálně,
m1 = E(X)
je střední hodnota a
σ2 = E((X − E(X))2
)
je rozptyl (variance) Tedy σ2 = σ2
, kde σ =
√
σ2 je střední směrodatná
odchylka.
Definice 1.4.8. Nechť A je jev, tj. A ⊆ Ω, a nechť IA : Ω → R je náhodná
veličina definovaná vztahem
IA(ω) =
1 pro ω ∈ A
0 pro ω /∈ A
.
Pak IA se nazývá indikátorová funkce jevu A.
Libovolnou náhodnou veličinu můžeme zapsat pomocí indikátorových funkcí
jevů Ai = {X = xi}. Máme
X =
i
xiIAi
.
IA je příkladem Bernoulliovské náhodné veličiny. Nabývá pouze hodnot 0 a
1.
6
1.5 Závislost a nezávislost náhodných veličin
Lemma 1.5.1. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Potom
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Důkaz: Označme Ax = {X = x} a By = {Y = y}. Pak
XY =
x,y
xyIAx∩By ,
tedy
E(XY ) =
x,y
xyE(IAx∩By ) =
x,y
xyP(Ax ∩ By) =
x,y
xyP(Ax)P(By) = (
x
xP(Ax))(
y
yP(By)) = E(X)E(Y ).
Opak obecně neplatí.
Definice 1.5.2. Říkáme, že náhodné veličiny X a Y jsou nekorelované,
jestliže platí:
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Věta 1.5.3. Nechť X a Y jsou náhodné veličiny. Pak
1. V ar(aX) = a2
V ar(X) pro a ∈ R.
2. Jsou-li X a Y nekorelované (speciálně nezávislé) náhodné veličiny, pak
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).
Důkaz: První tvrzení plyne ihned z definice. Dokážeme druhé tvrzení.
V ar(X + Y ) = E [(X + Y ) − E(X + Y )]2
=
E (X + Y )2
− 2(X + Y )E(X + Y ) + (E(X + Y ))2
=
E((X + Y )2
) − 2E(X + Y )E(X + Y ) + E((X + Y )2
) =
= E(X2
) + 2E(XY ) + E(Y 2
) − 2 (E(X))2
+ 2E(X)E(Y ) + (E(Y ))2
+E(X)2
+ 2E(X)E(Y ) + E(Y )2
7
= E(X2
) + E(Y 2
) + 2E(XY ) − (E(X))2
− 2E(X)E(Y ) − (E(Y ))2
=
= E(X2
) − (E(X))2
+ E(Y 2
) − (E(Y ))2
= V ar(X) + V ar(Y )
kde předposlední rovnost plyne z předpokladu, který implikuje E(XY ) =
E(X)E(Y ).
Definice 1.5.4. Kovariance náhodných veličin X a Y je definována jako
cov(X, Y ) = E [(X − E(X))(Y − E(Y ))] .
Korelační koeficient X a Y je
ρ(X, Y ) =
cov(X, Y )
V ar(X)V ar(Y )
.
Platí:
ρ(X, Y ) = 0 ⇔ E(XY ) = E(X)E(Y ) ⇔ cov(X, Y ) = 0
a
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Dále je
|ρ(X, Y )| ≤ 1.
Klíčová otázka z praktického hlediska je jak ověřit nezávislost dvou daných
náhodných veličin. Definice k tomu většinou vhodná není.
Definice 1.5.5. Nechť X a Y jsou diskrétní náhodné veličiny (na stejném
pravděpodobnostním prostoru). Sdružená distribuční funkce X a Y je
definovaná vztahem
FX,Y (x, y) = P(X ≤ x ∧ Y ≤ y).
Definice 1.5.6. Sdružená pravděpodobnostní funkce: fX,Y : R2
→
[0, 1] je definovaná vztahem
fX,Y (x, y) = P(X = x ∧ Y = y).
Analogicky se definuje sdružená pravděpodobnostní funkce pro více náhodných
veličin. Následující lemma dává dobře ověřitelné kriterium nezávislosti.
Lemma 1.5.7. Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě tehdy
8
když
fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y)
pro všechna x, y ∈ R.
Důkaz: cvičení.
Ze znalosti sdružené pravděpodobnostní funkce fX,Y můžeme vypočítat
marginální pravděpodobnostní funkce fX a fY . Máme
fX(x) = P(X = x) = P(
y
({X = x} ∩ {Y = y}))
=
y
P(X = x ∧ Y = y) =
y
fX,Y (x, y).
Příklad 1.5.8. Nechť X : Ω → {1, 2, 3}a Y : Ω → {−1, 0, 2} jsou náhodné
veličiny, a sdružená pravděpodobnostní funkce je dána tabulkou:
y = −1 y = 0 y = 2 fX
x = 1 1
18
3
18
2
18
6
18
x = 2 2
18
0 3
18
5
18
x = 3 0 4
18
3
18
7
18
fY
3
18
7
18
8
18
18
18
Jsou X a Y nezávislé? Zřejmě ne, v tom případě by řádky tabulky musely
být násobkem jeden druhého. Vypočteme kovarianci těchto dvou náhodných
veličin. Máme
XY : Ω → {−1, 0, −2, −3, 2, 4, 6} .
Dále
E(X) =
1
18
+
10
18
+
21
18
=
37
18
, E(Y ) =
13
18
a
E(XY ) = −1
1
18
+ 2
2
18
− 2
2
18
+ 4
3
18
+ 6
3
18
=
29
18
Celkem tedy
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) =
29
18
−
481
324
=
522 − 481
324
=
41
324
.
9
1.6 Podmíněná pravděpodobnost a podmíněné
očekávání
Připoměňme definici podmíněné pravděpodobnosti pro jevy,
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
.
Ve finančních modelech je obvykle pravděpodobnost podmíněná informací,
kterou máme v danou chvíli. Formálně to zachycuje následující defi-
nice.
Definice 1.6.1. Podmíněná pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Y
za podmínky X = x, kterou budeme označovat fY |X(. | x), je definována
jako
fY |X(y | x) = P(Y = y | X = x),
pro každé x takové, že P(X = x) > 0.
Z definice máme
P(Y = y | X = x) =
P(Y = y ∧ X = x)
P(X = x)
=
fX,Y (x, y)
fX(x)
,
tedy
fY |X(y | x) =
fX,Y (x, y)
fX(x)
,
což je analogický vztah jako platí pro podmíněné pravděpodobnosti jevů
V předchozím příkladu máme pro x = 1
fY |X(y | 1) ∼
1
6
,
3
6
,
2
6
=
fX,Y
fX
.
Víme-li, že X = x, pak Y má novou pravděpodobnostní funkci fY |X(y | x)
jakožto funkci y (x je pevné).
Očekávání vůči této funkci je podmíněné očekávání Y za podmínky X =
x, které označíme Ψ(x) = E(Y | X = x).
Definice 1.6.2. Funkce (tj. náhodná veličina)
Ψ(x) = E(Y | X = x)
se nazývá podmíněné očekávání Y při znalosti X.
10
V minulém příkladu je:
Ψ(1) =
1
6
(−1) +
3
6
0 +
2
6
2 =
1
2
,
Ψ(2) =
−2
5
+
6
5
=
4
5
a Ψ(3) = 6
7
.
Věta 1.6.3. (O celkovém očekávání) Pro podmíněné očekávání Ψ(x) =
E(Y | X = x) platí
E(Ψ(x)) = E(Y ),
tedy
E(Y ) = E(E(Y |X))
Důkaz: cvičení.
1.7 Součty náhodných veličin
Lemma 1.7.1. Nechť X a Y jsou dvě náhodné veličiny na (Ω, A,P) a
f(x, y) je jejich sdružená pravděpodobnostní funkce. Pak pro jejich součet
Z = X + Y platí
P(X + Y = z) =
x
f(x, z − x).
Důkaz: Máme
{X + Y = z} =
x
({X = x ∧ Y = z − x})
tedy
P(X + Y = z) =
x
P({X = x} ∧ {Y = z − x}) =
x
f(x, z − x).
11
Pokud X, Y jsou navíc nezávislé, pak
fX,Y (x, z − x) = fX(x)fY (z − x),
tedy
fX+Y (z) =
x
fX(x)fY (z − x),
což je konvoluce funkcí fX a fY . Označuje se fX fY .
12
Kapitola 2
Náhodná procházka
2.1 Jednoduchá náhodná procházka
Jednoduchá náhodná procházka je základem diskrétních modelů pro pohyb
cen aktiv. Je to “diskrétní verze” Brownova pohybu.
Uvažujme následující hru: Hází se opakovaně mincí (ne nutně férovou).
Padne-li hlava (H), získáme 1 Kč. Padne-li orel (O), prohrajeme 1 Kč. Označme
S0 sumu, kterou máme na začátku a Sn sumu, kterou máme po n hrách.
Je tedy
Sn = S0 +
n
i=1
Xi,
kde Xi je náhodná veličina popisující výsledek i-té hry. Předpokládáme, že
pravděpodobnostní funkce Xi je
P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = 1 − p = q
pro všechna i a navíc Xi jsou nezávislé.
Xi jsou tedy analogií Bernoulliho náhodné veličiny, kde místo hodnot
{1, 0} máme {1, −1} . Pro každé pevné n je Sn náhodná veličina, tedy
{Sn}∞
n=0 je stochastický proces.
Definice 2.1.1. Stochastický proces {Sn}∞
n=0 se nazývá jednoduchá náhodná
procházka. Je-li p = q = 1
2
, nazývá se symetrická jednoduchá
náhodná procházka.
Někdy je vhodnější uvažovat jinou interpretaci – náhodný pohyb částice
po přímce: V každém kroku t = 0, 1, 2, ... se částice posune buď o 1 doprava
s pravděpodobností p nebo o 1 doleva s pravděpodobností q = 1 − p.
13
Velmi užitečné je grafické znázornění jednoduché náhodné procházky.
Body o souřadnicích (n, Sn) spojíme úsečkami. Vzniklá lomená čára se nazývá
trajektorie (cesta) náhodné procházky. Trajektorie je grafické znázornění
realizace náhodného procesu {Sn}∞
n=0.
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5
čas
Varianty náhodné procházky:
• jiné rozdělení Xi (např. normální)
• hodnoty Xi ne v R ale v Rd
(vícerozměrná náhodná procházka).
2.2 Základní vlastnosti náhodné procházky
Lemma 2.2.1. Jednoduchá náhodná procházka je prostorově homogenní,
tedy platí
P(Sn = j | S0 = a) = P(Sn = j + b | S0 = a + b).
Důkaz: Obě strany rovnosti jsou rovny
P(
n
i=1
Xi = j − a)
14
.
Podobně je náhodná procházka homogenní i v čase.
Lemma 2.2.2. Jednoduchá náhodná procházka je časově homogenní,
neboli platí
P(Sn = j | S0 = a) = P(Sn+m = j | Sm = a).
Důkaz: Levá strana je rovna
P(
n
i=1
Xi = j − a),
pravá strana je rovna
P(
n+m
i=m
Xi = j − a).
Rovnost tedy plyne z nezávislosti a stejného rozdělení Xi.
Lemma 2.2.3. Jednoduchá náhodná procházka má Markovovu vlastnost,
tedy
P(Sm+n = j | S0, S1, ..., Sm) = P(Sm+n = j | Sm).
Důkaz: Známe-li hodnotu Sm, pak rozdělení pravděpodobnosti Sn+m závisí
jen na krocích Xm+1, Xm+2, ..., Xm+n, tedy je nezávislé na S0, S1, ..., Sm−1.
Markovovu vlastnost lze intuitivně popsat slovy: “náhodná procházka
nemá paměť, ” “minulost ovlivňuje budoucnost jen skrze současnost”
2.3 Základní techniky pro počítání s náhodnou
procházkou
Tato sekce se věnuje základním technikám počítání s náhodnou procházkou:
• podmínění 1. krokem
• počítání trajektorií
• generující funkci
15
2.3.1 Technika podmínění 1. krokem
Příklad 2.3.1. (zruinování hráče): Uvažujme předchozí hru s férovou mincí
(p = 1
2
). Padne-li hlava (H), hráč získá 1 Kč, padne-li orel (O), hráč prohraje
1 Kč. Nechť S0 = k je jeho počáteční jmění. Hráč si chce koupit auto v
ceně N. Bude hrát tak dlouho, dokud Sn = N (koupí auto) nebo Sn = 0
(bankrot). Jaká je pravděpodobnost, že si hráč koupí auto? Uvažujme jevy:
A ... hráč nakonec zbankrotuje;
H ... první hod je hlava (P(H) = p);
O ... první hod je orel (P(O) = q). Podle věty o úplné pravděpodobnosti
platí
P(A) = P(H)P(A | H) + P(O)P(A | O).
Označme Pk(A) hledanou pravděpodobnost bankrotu pro dané počáteční
jmění k, tedy
Pk(A) = P(H)Pk(A | H) + P(O)Pk(A | O).
Pk(A | H) je ale pravděpodobnost bankrotu v situaci, kdy hráč po 1.
kroku má k+1 (a hra začíná z hlediska pravděpodobnosti znovu, z nezávislosti
Xi). Tedy
Pk(A | H) = Pk+1(A)
a podobně
Pk(A | O) = Pk−1(A).
Označme pk = Pk(A). Dosazením dostaneme
pk = ppk+1 + qpk−1 =
1
2
pk+1 +
1
2
pk−1,
což je diferenční rovnice 2. řádu. Máme
1
2
(pk+1 − pk) =
1
2
(pk − pk−1),
tedy přírůstky pravděpodobnosti jsou konstantní. Označme přírůstky b =
pk − pk−1, tedy pk = p0 + kb. Okrajové podmínky pro diferenční rovnici jsou:
p0 = 1 (okamžitý bankrot)
pN = 0 (okamžitá koupě auta)
Odtud dostaneme 1 + Nb = 0, tedy b = − 1
N
a
pk = 1 −
k
N
.
16
2.3.2 Technika počítání trajektorií
Uvažujme náhodnou procházku vycházející z bodu a. Máme tedy
S0 = a, P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q,
a
Sn = a +
n
i=1
Xi.
Pro pevně danou cestu je pravděpodobnost, že prvních n kroků bude
sledovat právě tuto cestu, rovna pr
ql
, kde r je počet kroků doprava (nahoru)
a l je počet kroků doleva (dolů), tedy
r =| {i : Si+1 − Si = 1, i ≤ n} |,
kde | . | značí velikost množiny.
Každý jev můžeme vyjádřit pomocí vhodné množiny trajektorií (které
jsou s ním v souladu), a jeho pravděpodobnost je součet pravděpodobností
těchto trajektorií. Máme
P(Sn = b) =
r
Mr
n(a, b)pr
qn−r
,
kde Mr
n(a, b) je počet cest (S0, S1, ..., Sn) takových, že S0 = a, Sn = b, a
majících přesně r kroků doprava.
Víme, že r + l = n a r − l = b − a. Odtud 2r = n + b − a, čili
r =
n + b − a
2
a
l =
n − b + a
2
.
Tedy
P(Sn = b) =
n
r
p
n+b−a
2 q
n−b+a
2 =
n
1
2
(n + b − a)
p
n+b−a
2 q
n−b+a
2 ,
pokud 1
2
(n + b − a) ∈ N (jinak je pravděpodobnost rovna 0).
17
2.3.3 Princip reflexe
Označme Nn(a, b) počet všech cest z bodu (0, a) do bodu (n, b). Víme, že
Nn(a, b) = Mr
n(a, b) =
n
1
2
(n + b − a)
.
Dále nechť N0
n(a, b) je počet všech cest z bodu (0, a) do bodu (n, b), které
obsahují nějaký bod (k, 0) na ose x, tedy navštíví bod 0.
Věta 2.3.2. (princip reflexe): Je-li a, b > 0 pak platí
N0
n(a, b) = Nn(−a, b).
Důkaz: Každá cesta z bodu (0, −a) do (n, b) protne osu x poprvé v nějakém
bodě (k, 0). Reflexí této cesty okolo osy x dostaneme cestu z bodu (0, a)
do (n, b), která navštíví osu x. Tato operace dává vzájemně jednoznačnou
korespondenci mezi cestami z (0, −a) do (n, b) a cestami (0, a) do (n, b),
které navštíví osu x. Tedy N0
n(a, b) = Nn(−a, b).
Věta 2.3.3. (o volbách): Je-li b > 0, pak počet cest z bodu (0, 0) do bodu
(n, b), které se nevrátí do bodu 0 je
b
n
Nn (0, b) ,
kde Nn (0, b) je počet všech cest z bodu (0, 0) do bodu (n, b).
Důkaz: Pro všechny takové cesty je první krok bod (1, 1) (jinak se nutně
dostaneme do nuly), tedy jejich počet je roven (z časové homogenity):
Nn−1 (1, b) − N0
n−1 (1, b) = Nn−1 (1, b) − Nn−1 (−1, b) =
=
n − 1
1
2
(n − 1 + b − 1)
−
n − 1
1
2
(n + b)
=
n − 1
m − 1
−
n − 1
m
=
b
n
n
m
=
b
n
Nn (0, b) ,
kde jsme označili m = 1
2
(n + b).
Příklad 2.3.4. (Úloha o volbách) Kandidát A má α hlasů; kandidát B
dostal β hlasů, kde α > β, tj. kandidát A zvítězil. Jaká je pravděpodobnost,
že během voleb byl A celou dobu před B?
18
Označme Xi = 1 je-li i-tý hlas pro A, Xi = −1 je-li i-tý hlas pro kandidáta
B. Je tedy n = α + β. Součet
Sk =
k
i=1
Xi
popisuje o kolik vede A nad B v čase k (případně prohrává je-li Sk < 0).
Podle věty o volbách je trajektorií z bodu (0, 0) do bodu (α + β, α − β),
které se nedostanou do 0 přesně
α − β
α + β
Nα+β (0, α − β) .
Hledaná pravděpodobnost je tedy
α−β
α+β
Nα+β (0, α − β)
Nα+β (0, α − β)
=
α − β
α + β
.
Nyní se budeme zajímat o to, jaká je pravděpodobnost, že se náhodná
procházka nevrátí do 0. Máme S0 = 0 a chceme S1 = 0, ..., Sn = 0, jinak
řečeno S1S2...Sn = 0.
Věta 2.3.5. Je-li S0 = 0, pak pro n ≥ 1 platí
P(S1S2...Sn = 0 | Sn = b) =
| b |
n
P(Sn = b),
tedy
P(S1S2...Sn = 0) =
1
n
E(|Sn|).
Důkaz: cvičení
2.3.4 Generující funkce
Uvažujeme posloupnost reálných čísel
a = {ai; i = 0, 1, 2, ..} .
Taková posloupnost obsahuje velké množství informace, kterou můžeme výhodně
“zakódovat” do jediného objektu (funkce), s nímž budeme moci lépe
pracovat. Mimo jiné získáme možnost použít operace (např. derivaci) které
pro posloupnosti nemají smysl.
19
Definice 2.3.6. Generující funkce posloupnosti a je funkce daná součtem
mocninné řady
Ga(s) =
∞
i=0
aisi
pro s ∈ R, pro která řada konverguje.
Posloupnost a dostaneme z generující funkce Ga zpět vztahem
ai =
G
(i)
a (0)
i!
,
kde G
(i)
a (0) je i-tá derivace Ga v bodě 0.
Příklad 2.3.7. Nechť a = {0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, ...} . Pak
Ga = s − s3
+ s5
− s7
+ ... ,
což je geometrická řada s prvním členem s a s kvocientem q = −s2
. Tedy
Ga(s) =
s
1 + s2
pro | s |< 1 (obor konvergence).
Dále budeme definovat generující funkci diskrétní náhodné veličiny.
Definice 2.3.8. Nechť X je diskrétní náhodná veličina, která nabývá hodnoty
v množině {0, 1, 2, ...} , s pravděpodobnostní funkcí
f(i) = P(X = i).
Generující funkce této náhodné veličiny je definovaná jako generující
funkce její pravděpodobnostní funkce, tedy
GX(s) =
∞
i=0
f(i)si
=
∞
i=0
P(X = i)si
.
Platí zřejmě
GX(s) = E(sX
).
Základní vlastnosti generujících funkcí:
1. Existuje nezáporné číslo R (poloměr konvergence) takové, že G(s) konverguje
pro | s |< R a diverguje pro | s |> R.
20
2. G(s) můžeme derivovat nebo integrovat člen po členu, libovolně mnohokrát,
pro | s |< R.
3. Jednoznačnost: Je-li Ga(s) = Gb(s) pro | s |< R , kde 0 < R ≤ R, pak
an = bn pro všechna n.
Příklady generujících funkcí náhodných veličin:
1. Konstantní náhodná veličina. P(X = c) = 1, kde c ∈ N ∪ {0}. Máme
GX(s) = 1sc
= sc
.
2. Bernoulliho náhodná veličina. P(X = 1) = p a P(X = 0) = 1 − p.
Tedy
GX(s) = ps1
+ (1 − p)s0
= 1 − p + ps.
3. Geometrické rozdělení. P(X = n) = p(1−p)n−1
pro n ∈ N. Dostaneme
GX(s) =
∞
i=0
f(i)si
=
∞
n=1
p(1 − p)n−1
sn
=
∞
n=1
ps [(1 − p)s]n−1
=
= ps
∞
n=0
[(1 − p)s]n
=
sp
1 − (1 − p)s
=
sp
1 − s + sp
.
4. Poissonovo rozdělení s parametrem λ. P(X = k) = λk
k!
e−λ
. Tedy
GX(s) =
∞
i=0
λi
i!
e−λ
si
= e−λ
∞
i=0
(λs)i
i!
= e−λ
eλs
= eλs−λ
= eλ(s−1)
,
s využitím n
xn
n!
= ex
.
2.3.5 Charakteristiky náhodných veličin a jejich generující
funkce
Základní charakteristiky náhodných veličin, E(X) a V ar(X), lze jednoduše
spočítat pomocí GX(s).
Věta 2.3.9. Nechť X je náhodná veličina s generující funkcí G(s). Pak
platí:
1. E(X) = GX(1).
21
2. Obecně,
E(X(X − 1)...(X − k + 1)) = G(k)
(1)
(tzv. k-tý faktoriální moment).
Důkaz: První tvrzení je speciální případ druhého. Máme
G(k)
(s) =
i
si−k
i(i − 1)...(i − k + 1)f(i) =
= E(sX−k
X(X − 1)...(X − k + 1)).
Pro s → 1− dostaneme
GX(1) = E(X(X − 1)...(X − k + 1)).
Pro rozptyl dostaneme speciálně vztah
V ar(X) = E(X2
) − E(X)2
= E(X(X − 1) + X) − E(X)2
=
= E(X(X − 1)) + E(X) − E(X)2
= GX(1) + GX(1) − [GX(1)]
2
.
2.3.6 Součty náhodných veličin a konvoluce
Něchť a = {ai, i ≥ 0} a b = {bi, i ≥ 0} jsou dvě posloupnosti, pak konvoluce
c = a b je posloupnost definovaná vztahem
cn = a0bn + a1bn−1 + ... + anb0.
Jsou-li Ga, Gb generující funkce posloupností a a b, pak generující funkce
posloupnosti c je
Gc(s) =
∞
n=0
cnsn
=
∞
n=0
n
i=0
aibn−i sn
=
=
∞
i=0
aisi
∞
n=i
bn−isn−i
=
∞
i=0
aisi
∞
n=0
bnsn
= Ga(s)Gb(s).
Tím jsme dokázali následující tvrzení.
Věta 2.3.10. Generující funkce konvoluce dvou posloupností je součinem
22
generujících funkcí těchto posloupností.
Věta 2.3.11. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak
GX+Y (s) = GX(s)GY (s).
Důkaz: Víme, že pro pravděpodobnostní funkci X +Y platí fX+Y = fX fY
(z nezávislosti) a podle předchozí věty víme, že generující funkce konvoluce
je součin generujících funkcí. Tedy
GX+Y = GXGY .
Je-li S = X1 + X2 + ... + Xn, kde Xi jsou nezávislé, pak z předchozí věty
plyne
GS = GX1 GX2 ...GXn .
Definice 2.3.12. Sdružená pravděpodobnostní generující funkce
náhodných veličin, nabývajících hodnot v N ∪ {0}, je definovaná jako
GX1,X2 (s1, s2) = P (X1 = i ∧ X2 = j) si
1sJ
2 = E(sX1
1 sX2
2 )
Analogicky je možné definovat sdruženou pravděpodobnostní generující funkci
pro více náhodných veličin.
2.3.7 Generující funkce a náhodná procházka
Uvažujme opět náhodnou procházku
Sn =
n
i=1
Xi,
kde P(Xi = 1) = p a P(Xi = −1) = q = 1 − p. Přitom Xi jsou nezávislé a
S0 = 0.
Jak často se náhodná procházka vrací do počátku? Jaké je pravděpodobnostní
rozdělení prvního návratu do počátku? (Pro další návraty je to opět
23
totéž, z nezávislosti Xi.) K zodpovězení těchto otázek využijeme generující
funkce.
Označme
p0(n) = P(Sn = 0)
pravděpodobnost, že náhodná procházka je v 0 v čase n a
f0(n) = P(S1 = 0, S2 = 0, ..., Sn−1 = 0, Sn = 0)
pravděpodobnost, že první návrat do počátku nastal v čase n.
Uvažujme generující funkce těchto dvou posloupností,
P0(s) =
∞
n=0
p0(n)sn
a
F0(s) =
∞
n=0
f0(n)sn
.
Máme p0(0) = 1 (neboť S0 = 0) a f0(0) = 0.
Lemma 2.3.13. Platí
P0(s) = 1 − 4pqs2 −1
2
.
Důkaz: Víme, že Sn = 0 ⇔ počet kroků doprava = počet kroků doleva,
tedy r = n
2
= l. Počet takových cest je n
n
2
pro n sudé a 0 pro n liché.
Označme k = n
2
, tj. n = 2k. Máme
p0(2k) =
2k
k
pk
qk
a
P0(s) =
∞
k=0
2k
k
(pqs2
)k
. (2.1)
Tvrdíme, že P0(s) = 1√
1−4pqs2
. Využijeme obecného binomického rozvoje
(1 + x)a
=
∞
n=0
a
n
xa
,
24
kde
a
n
=
a (a − 1) ... (a − n + 1)
n!
.
Pro a ∈ N je rozvoj konečný, pro a ∈ R ∧ a /∈ N je rozvoj nekonečný.
Dosazením a = −1
2
a x = −4pqs2
dostaneme
1 − 4pqs2 −1
2
=
∞
k=0
−1
2
k
−4pqs2 k
= (2.2)
∞
k=0
−1
2
k
(−4)k
pqs2 k
.
Porovnáním 2.1 a 2.2 tedy stačí dokázat, že
−1
2
k
(−4)k
=
2k
k
.
Pro levou stranu dostaneme
−1
2
−3
2
−5
2
... −2k−1
2
k!
(−1)k
22k
=
2k
(−1)2k 1 · 3 · 5 · ...(2k − 1)
k!
= 2k 1 · 3 · 5 · ... · (2k − 1)
k!
.
Pro pravou stranu
2k
k
=
2k (2k − 1) (2k − 2) ...1
k!k!
= 2k
k!
(2k − 1) (2k − 3) ...3 · 1
k!k!
=
2k (2k − 1) (2k − 3) ...3 · 1
k!
.
Tedy obě strany se rovnají. Tím je lemma dokázáno.
Věta 2.3.14. Platí
1) P0(s) = 1 + P0(s)F0(s)
a
2) F0(s) = 1 − 1 − 4pqs2
1
2
.
Důkaz: Označme A jev, že Sn = 0 a nechť Bk jsou jevy první návrat do
počátku nastal v k-tém kroku (k = 1, 2, ..., n).
25
1) Bk jsou disjunktní a dávají rozklad, tedy
P(A) =
n
k=1
P(A | Bk)P(Bk).
Máme P(Bk) = f0(k) a P(A | Bk) = p0(n − k). Tedy
p0(n) =
n
k=1
p0(n − k)f0(k).
Vynásobíme sn
a sečteme,
∞
n=1
p0(n)sn
=
∞
n=1
n
k=1
p0(n − k)f0(k)sn
=
∞
k=1
f0(k)sk
∞
n=k
p0(n − k)sn−k
= P0(s)F0(s).
Protože ∞
n=1
p0(n)sn
= P0 − 1,
dostáváme P0 − 1 = P0F0, tedy P0 = 1 + P0F0.
Pro důkaz 2) dostáváme z 1)
F0 =
P0 − 1
P0
= 1 −
1
P0
= 1 − 1 − 4pqs2.
Důsledek 2.3.15. Pravděpodobnost toho, že se částice někdy vrátí do
počátku je rovna
∞
n=1
f0(n) = F0(1) = 1− | p − q | .
Speciálně, pro symetrickou náhodnou procházku (p = q) je návrat jistý.
Důsledek 2.3.16. (Pólyova věta v dimenzi 1) Symetrická náhodná
procházka se s pravděpodobností 1 vrátí do počátku.
Důsledek 2.3.17. Je-li p = q = 1
2
, tedy návrat je jistý, pak očekávání času
T0 prvního návratu do počátku je
E(T0) =
∞
n=1
nF0(n) = F0(1) = ∞.
Důkaz:
26
1. Máme
F0(1) = 1 − 1 − 4pq = 1 − 1 − 4p(1 − p) = 1 − 1 − 4p + 4p2 =
= 1 − (1 − 2p)2 = 1− | 1 − 2p |= 1− | 1 − p − p |= 1− | q − p | .
Pro q = p = 1
2
je F0(1) = 1 − 0 = 1.
2. Je-li návrat jistý, tedy p = 1
2
, pak P(T0 = ∞) = 0, a tedy E(T0) =
F0(1), kde F0 = 1 − 1 − 4pqs2. Máme
F0 = −
1
2
1
1 − 4pqs2
(−4pq2s) =
4pqs
1 − 4pqs2
,
tedy lim
s→1−
F (s) = +∞.
2.3.8 Časy navštívení bodu r
Označme
fr(n) = P(S1 = r, S2 = r, ..., Sn−1 = r, Sn = r)
pravděpodobnost, že se náhodná procházka dostane poprvé do bodu r v čase
n, s generující funkcí
Fr(s) =
∞
n=0
fr(n)sn
.
Věta 2.3.18. Platí
1. Fr(s) = [F1(s)]r
pro r ≥ 1,
2. F1(s) =
1−(1−4pqs2
)
1
2
2qs
.
Důkaz: Označme Tr = min {n; Sn = r} počet kroků potřebných k dosažení
hodnoty r poprvé. Nechť r > 0. Abychom dosáhli r, musíme se dostat nejdříve
do bodu 1, a potom z bodu 1 do bodu r. To je z prostorové homogenity totéž
jako dostat se z 0 do r − 1. Odtud plyne Tr = T1 + Tr−1. Z nezávislosti tedy
dostaneme Fr = F1Fr−1. Máme
f1(n) = P(S1 = 1, S2 = 1, ..., Sn−1 = 1, Sn = 1) =: P(A) =
= P(A | S1 = 1)P(S1 = 1) + P(A | S1 = −1)P(S1 = −1) =
= P(A | S1 = 1)p + P(A | S1 = −1)q = 0p + f2(n − 1)q.
27
Odtud
f1(n) = f2(n − 1)q.
Vynásobíme sn
f1(n)sn
= qf2(n − 1)sn
a sečteme přes n > 1. Tedy
n=2
f1(n)sn
=
n=2
qf2(n − 1)sn
=
n=2
sqf2(n − 1)sn−1
= sq
n=1
f2(n)sn
.
Odtud dostáváme
F1 − ps = F2qs.
Víme, že F2 = F2
1 , tedy
F1 − ps = F2
1 qs
což vede ke kvadratické rovnici
qsF2
1 − F1 + ps = 0.
Řešením dostaneme dva kořeny
F1 =



1−
√
4qps2
2qs
1+
√
4qps2
2qs
.
Kořen
1+
√
4qps2
2qs
ale nevyhovuje zadání, protože má v bodě 0 limitu ∞. Tím
je tvrzení dokázáno.
Důsledek 2.3.19. Pravděpodobnost, že náhodná procházka někdy navštíví
kladnou část reálné osy, je rovna min 1, p
q
.
Důkaz: Hledaná pravděpodobnost je rovna pravděpodobnosti že náhodná
procházka navštíví bod 1. Ta je rovna
∞
n=1
f1(n),
součtu pravděpodobností, že se dostaneme do bodu 1 v nějakém čase n. Víme,
že
F1(s) =
∞
n=0
f1(n)sn
.
28
Dosazením s = 1 dostaneme
∞
n=1
f1(n) = F1(1) =
1 − (1 − 4pq)
1
2
2q
=
1 − 1 − 4p(1 − p)
2(1 − p)
=
1 − (1 − 2p)2
2(1 − p)
=
1− | 1 − 2p |
2(1 − p)
=
1− | q − p |
2q
=
=
1−(−(q−p))
2q
= 1−p+q
2q
= 2q
2q
= 1 pro q < p
1−q+p
2q
= 2p
2q
= p
q
pro q > p
.
Příklad 2.3.20. Ruleta má 37 čísel (včetně 0). Budeme sázet stále na lichá
čísla, tedy p = 18
37
a q = 19
37
. Pravděpodobnost, že budeme někdy vyhrávat je
p
q
= 18
19
.
29
Kapitola 3
Zákony arcsinu a Pólyova věta
3.1 Zákony arcsinu pro symetrickou náhodnou
procházku
V této podkapitole uvedeme dva zákony arcsinu, pro časy pobytu napravo
od počátku (tj. v kladných hodnotách) a pro poslední navštívení počátku.
3.1.1 1. zákon arcsinu
Věta 3.1.1. (1. zákon arcsinu pro poslední návštěvu počátku) Uvažujme
symetrickou náhodnou procházku, t.j. p = 1
2
, a nechť S0 = 0. Pravděpodobnost,
že poslední návštěva počátku do času 2n nastane v čase 2k, je
rovna
P (S2k = 0) P (S2n−2k = 0) .
Důkaz: Označme α2n(2k) pravděpodobnost, že poslední návštěva počátku
do času 2n nastane v čase 2k. Máme
α2n(2k) = P (S2k = 0) P (S2k+1S2k+2...S2n = 0 | S2k = 0) .
Z časové homogenity plyne
α2n(2k) = P (S2k = 0) P (S1S2...S2n−2k = 0 | S0 = 0) .
Tvrzení tedy plyne z následujícího lemmatu.
Lemma 3.1.2. Pro symetrickou náhodnou procházku platí:
P(S1...S2m = 0) = P(S2m = 0),
30
kde P(S2m = 0) = 2m
m
1
2
2m
.
Důkaz: Využijeme důsledek věty o volbách: Je-li S0 = 0, pak pro n ≥ 1
platí
P (S1S2...Sn = 0) =
1
n
E (| Sn |) .
Dále ze symetrie plyne
P(S1...S2m = 0) =
1
2m
E(| S2m |) = 2
1
2m
m
k=1
2kP(S2m = 2k)
= 2
m
k=1
2k
2m
P(S2m = 2k) = 2
m
k=1
2k
2m
2m
m + k
1
2
2m
=
2
1
2
2m m
k=1
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
.
neboť platí
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
=
2k
2m
2m
m + k
.
Opravdu, máme
(2m − 1) ... (m − k + 1)
(m + k − 1)!
−
(2m − 1) ... (m − k)
(m + k)!
=
=
(m + k) (2m − 1) ... (m − k + 1) − (2m − 1) ... (m − k + 1) (m − k)
(m + k)!
=
(2m − 1) ... (m − k + 1) [(m + k) − (m − k)]
(m + k)!
=
2k
2m
2m (2m − 1) ... (m − k + 1)
(m + k)!
=
=
2k
2m
2m
m + k
.
V posledním členu výraz se sumou je tzv. teleskopický součet. Z takovéhoto
součtu nám zůstane jen první a poslední člen, ostatní se vyruší. Odtud plyne,
že
2
1
2
2m m
k=1
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
= 2
1
2
2m
2m − 1
m
−
2m − 1
2m
= 2
1
2
2m
2m − 1
m
=
1
2
2m
(2m − 1) ...m2
m!
31
=
1
2
2m
2m (2m − 1) ... (m + 1)
m!
=
1
2
2m
2m
m
= P (S2m = 0) ,
a odtud plyne tvrzení věty.
V následující podkapitole uvidíme proč se těmto tvrzením říká zákon
arcsinu.
3.1.2 Stirlingova formule
Chceme porovnat hodnotu n! (která se v různých formách vyskytuje v kombinačních
číslech pro počty trajektorií) s mocninnými funkcemi. Víme, že
nn
n (n − 1) ...21 2n
, tedy nn
n! 2n
.
Jak rychle jde ale posloupnost an = n!
nn k nule? Lze ji srovnat s geometrickou
posloupností? Pro n → ∞ dostaneme
an+1
an
=
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
=
n!
(n+1)n
n!
nn
=
n
n + 1
n
=
1
e
.
Tedy (zatím jen hodně přibližně) můžeme psát
n!
nn
∼
1
en
,
neboli n! ∼ nn
en . Stirlingova formule dává přesnější odhad. Platí
n! ≈
nn
en
√
2πn
v tom smyslu, že
limn→∞
n!
nn
en
√
2πn
= 1.
Ze Stirlingovy formule dostaneme odhad na hodnotu u2k = P (S2k = 0) .
Lemma 3.1.3. Platí u2k
≈ 1√
πk
pro k → ∞, tedy
lim
k→∞
u2k
1√
πk
= 1.
Důkaz: Máme
u2k = P (S2k = 0) =
2k
k
1
2
2k
32
=
(2k)!
k! (2k − k)!
1
2
2k
=
(2k)!
(k!)2
1
2
2k
≈
(2k)2k
e2k
√
2π2k
kk
ek
√
2πk
2
1
2
2k
=
22k
k2k
√
2π2k
kk
√
2πk
2
1
22k
=
√
2
√
2πk
=
1
√
πk
.
Tím je lemma dokázáno.
Podle zákonu arcsinu je
α2n(2k) = u2ku2n−2k,
tedy
P (S2k = 0 ∧ S2k+1...S2n = 0) = P (S2k = 0) P (S2n−2k = 0) .
Ze Stirlingova vzorce máme
α2n(2k) ≈
1
√
πk
1
π (n − k)
=
1
π k (n − k)
.
Hodnota k (n − k) je maximální pro k = n
2
, tedy α2n(2k) je minimální pro
k = n
2
.
Označme T2n čas posledního navštívení bodu 0 do času 2n. Pak pro x ∈
(0, 1) máme
P (T2n ≤ 2xn) =
k≤xn
1
π k (n − k)
.
=
xn
0
1
π u (n − u)
du =
2
π
arcsin
x
n
,
neboť
2 arcsin
x
n
= 2
1
1 − x
n
1
2
1
x
n
1
n
=
1
1 − x
n
x
n
n
=
1
(n−x)x
n2 n
=
1
(n − x) x
.
33
3.1.3 2. zákon arcsinu
2. zákon arcsinu se týká časů pobytu na jedné straně od počátku (tj. doby,
kdy jeden z hráčů byl ve vedení).
Věta 3.1.4. Nechť p = 1
2
a S0 = 0. Pravděpodobnost, že náhodná procházka
stráví přesně 2k časových intervalů napravo od počátku je (opět) rovna
P (S2k = 0) P (S2n−2k = 0) .
Důkaz: učebnice Grimmett, Stirzaker.
3.2 Pólyova věta v Rn
Definice 3.2.1. Mějme posloupnost náhodných vektorů X1, X2, ..., Xn, ...,
kde
Xi = X
(1)
i , X
(2)
i , ..., X
(m)
i
je m-rozměrný vektor. Nechť platí
P X
(j)
i = 1 =
1
2
a
P X
(j)
i = −1 =
1
2
pro všechna i ∈ N a pro všechna j ∈ {1, 2, ..., m}, a všechna X
(j)
i jsou
navzájem nezávislé náhodné veličiny.
m-rozměrná náhodná procházka je definována vztahem
S(j)
n = S
(j)
0 +
n
k=1
X
(j)
k ,
tedy vektorově
Sn = S0 +
n
k=1
Xk.
Pro m = 2 uvažujme množinu mřížových bodů
Z2
= {(i, j) | i, j ∈ Z} = Z ⊕ Z.
Nechť S0 = (0, 0), pak
P [S1 = [1, 1]] = P [S1 = [−1, −1]] =
34
= P [S1 = [−1, 1]] = P [S1 = [1, −1]] =
1
4
Věta 3.2.2. (Pólyova věta): Pravděpodobnost, že se náhodná procházka
vrátí nekonečněkrát zpět do počátku je rovna 1 pro m = 1 a m = 2 a je rovna
0 pro m > 2.
Poznamenejme, že pro m = 3 je pravděpodobnost alespoň jednoho návratu
do počátku
.
= 0, 35.
Důkaz: Jako u jednorozměrné procházky označme
p0 (n) = P (Sn = 0)
pravděpodobnost návratu v čase n, a
f0 (n) = P (Sn = 0 ∧ S1S2...Sn−1 = 0)
pravděpodobnost prvního návratu v čase n. Nechť P0 a F0 jsou generující
funkce těchto posloupností. Víme, že platí
F0 = 1 −
1
P0
.
Máme
P (částice se někdy vrátí do počátku) =
∞
n=1
f0 (n) = F0 (1) = 1 −
1
P0 (1)
,
kde ale
P0 (1) =
∞
n=1
p0 (n) .
Odtud dostáváme, že
P (částice se někdy vrátí do počátku) =



1 pokud
∞
n=1
p0 (n) diverguje
< 1 pokud
∞
n=1
p0 (n) konverguje
Podle Stirlingovy formule víme, že u2k ≈ 1√
πk
. Pro m = 1 je z nezávislosti
komponent
p0 (n) = P (Sn = 0) ≈
1
πn
2
=
2
π
1
√
n
.
35
Víme, že
∞
n=1
1
√
n
diverguje, protože
∞
n=1
1
ns
konverguje pro s > 1 (z integrálního kriteria). Pro m > 1 je
P (Sn = 0) = P S(1)
n = S(2)
n = ... = S(m)
n = 0 = P S(1)
n = 0
m
,
tedy
p0 (n) = P (Sn = 0) ≈
2
π
1
√
n
m
=
2
π
m
2 1
n
m
2
.
Dále ∞
n=1
p0 (n) ≈
∞
n=1
1
n
m
2
konverguje pro m
2
> 1, tj. m > 2. Tedy pro m > 2 je hledaná pravděpodobnost
alespoň jednoho návratu do počátku menší než 1, pro m = 1 a m = 2
je tato pravděpodobnost 1. Pravděpodobnost nekonečně monoha návratů je
tedy rovna 0 pro m > 2 a rovna 1 pro m ≤ 2.
36
Kapitola 4
Poissonův proces
4.1 Základní vlastnosti Poissonova procesu
Definice 4.1.1. Poissonův proces s intenzitou λ je proces N = {N(t) : t ≥
0} nabývající hodnoty v S = {0, 1, 2, . . . } takový, že
1. N(0) = 0 a pro s < t je N(s) < N(t).
2. P(N(t + h) = n + m|N(t) = n) =



λh + o(h) pro m = 1
o(h) pro m > 1
1 − λh + o(h) pro m = 0
.
3. Je-li s < t, pak počet N(t) − N(s) událostí v intervalech [s, t] je nezávislý
na N(s), t.j. počtu událostí v [0, s].
N(t) . . . počet příchodů, událostí, emisí do času t.
N je tzv. čítací proces. Je také příkladem Markovovského řetězce ve spojitém
čase.
Zajímá nás rozložení N(t).
Věta 4.1.2. N(t) má Poissonovo rozdělení s parametrem λt, tedy
P(N(t) = j) =
(λt)j
j!
e−λt
, j = 0, 1, 2, . . .
Důkaz. Podmíníme N(t + h) hodnotou N(t):
37
P(N(t + h) = j) =
i
P(N(t) = i) P(N(t + h) = j|N(t) = i)
=
i
P(N(t) = i) P((j − i) příchodů v čase (t, t + h))
= P(N(t) = j − 1) P(1 příchod) + P(N(t) = j) P(žádný příchod) + o(h).
Tedy pj(t) = P(N(t) = j) splňuje
pj(t + h) = λhpj−1(t) + (1 − λh) · pj(t) + o(h) pro j = 0
p0(t + h) = (1 − λh) · p0(t) + o(h).
V první rovnici odečteme pj(t), vydělíme h a necháme h → 0. Pak
pj(t) = λpj−1(t) − λpj(t) pro j = 0 (4.1)
a podobně z 2.rovnice
p0(t) = −λp0(t).
Okrajové podmínky jsou
pj(0) = δj0 =
1 pro j = 0
0 pro j = 0.
To je systém diferenčně-diferenciálních rovnic pro pj(t).
Řešení najdeme pomocí generujících funkcí (v proměnné s a s parametrem
t).
Definujeme
G(s, t) =
∞
0
pj(t)sj
= E(sN(t)
).
Rovnici 4.1 vynásobíme sj
a sečteme přes j. Dostaneme
∂G
∂t
= λ(s − 1)G
s okrajovou podmínkou G(s, 0) = 1. Řešení je zřejmě
G(s, t) = eλ(s−1)t
= e−λt
∞
0
(λt)j
j!
sj
38
Uvedeme si ještě důležitou alternativní definici.
Definice 4.1.3. Nechť T0, T1, . . . jsou dány vztahem
T0 = 0, Tn = inf{t : N(t) = n}.
Pak Tn se nazývá čas n-tého příchodu.
Definice 4.1.4. Definujeme časy mezi příchody (Inter-arrival times) jako
náhodné veličiny
Xn = Tn − Tn−1.
Ze znalosti N(t) umíme najít hodnoty Xn. Naopak z Xn lze zrekonstruovat
N(t) pomocí
Tn =
n
1
Xi; N(t) = max{n; Tn ≤ t}.
Věta 4.1.5. Náhodné veličiny X1, X2, . . . jsou nezávislé a mají exponenciální
rozdělení s parametrem λ.
Připomenutí: Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem
λ > 0, jestliže její distribuční funkce je
F(x) = 1 − e−λx
x ≥ 0 (4.2)
Uvažujme Bernoulliho pokusy v časech δ, 2δ, 3δ, . . . a nechť W je čas čekání
na 1.úspěch. Pak
P(W > kδ) = (1 − p)k
a EW =
δ
p
.
Zvolme t pevně. Do času t jsme udělali přibližně k = t
δ
pokusů. Nechť δ → 0.
Abychom dostali netriviální limitu, musí také p → 0. Nechť p
δ
→ λ. Pak
P(W > t) = P W >
t
δ
· δ ∼= (1 − λδ)
t
δ → e−λt
Důkaz. Nejdřív uvažujeme X1:
P(X1 > t) = P(N(t) = 0) = e−λt
.
Dále podmíníme X2 hodnotou X1,
P(X2 > t|X1 = t1) = P(žádný příchod v [t1, t1 + t]|X1 = t1).
39
Událost {X1 = t1} se vztahuje k intervalu [0, t1], zatímco událost ”žádný
příchod v [t1, t1+t]” k času > t1. Z definice Poissonova procesu jsou nezávislé,
tedy
P(X2 > t|X1 = t1) = P(žádný příchod v [t1, t1 + t]) = e−λt
.
Tedy X2 je nezávislá na X1 a má stejné rozdělení. Tvrzení dále plyne analogicky,
indukcí přes n.
4.2 Cramér - Lundbergův model
Cramér - Lundbergův model je základním modelem v matematické teorii
neživotního pojištění.
Předpoklady Cramér - Lundbergova modelu:
1. Pojistné nároky nastávají v časech 0 ≤ T1 ≤ T2 ≤ . . . , což jsou časy
příchodu homogenního Poissonova procesu N(t)
2. Pojistný nárok přicházející v i-tém čase Ti má velikost Xi. Posloupnost
Xi tvoří nezávislé stejně rozdělené nezáporné náhodné veličiny
3. Posloupnosti Ti a Xi jsou navzájem nezávislé. Tedy i N(t) a Xi jsou
nezávislé.
Definice 4.2.1. Proces
S(t) =
N(t)
i=1
Xi,
který popisuje celkový pojistný nárok do času t se nazývá složený Poissonův
proces
4.3 Inspekční paradox
Uvažujme homogenní Poissonův proces s intenzitou λ a předpokládejme, že
se právě nacházíme v pevně danném čase t. Přirozená otázka je jaké má
rozdělení doba od posledního příchodu, a naopak doba do nejbližšího následujícího
příchodu.
Označme
B(t) = t − TN(t)
40
čas od posledního příchodu a
F(t) = TN(t)+1 − t
čas do následujícího příchodu.
Zajímá nás sdružené rozdělení náhodných veličin B(t) a F(t). Speciálně,
co můžeme na základě znalosti B(t) řici o F(t)?
Intuitivně by se mohlo zdát, že čím delší je B(t), tím kratší by mělo být
čekání na další příchod. Přesto výpočet sdruženého rozdělení ukazuje že B(t)
a F(t) jsou nezávislé. Tento výsledek se obvykle nazývá inspekční paradox.
41
Kapitola 5
Diskrétní modely ve finanční
matematice
V této kapitole se budeme věnovat 1-krokovým a vícekrokovým diskrétním
modelům finančního trhu. Jak uvidíme, vícekrokový (binomický) model je
založen na jednoduché náhodné procházce.
5.1 1-krokový model
Uvažujeme jednu pevně zvolenou akcii, a předpokládejme, že – v čase t = 0
je cena akcie S0 známá hodnota, – v čase t = 1 je cena akcie S1 náhodná
veličina (neznámá hodnota). Hodnota S1(ω) je funkcí tržního scénáře ω ∈ Ω,
kde
Ω = {ω1, ..., ωk}
je prostor tržních scénářů
Dále předpokládejme, že existuje bezrizikové aktivum, jehož hodnota v
čase t = 0 je rovna 1 a v čase t = 1 je rovna er
za všech tržních scénářů.
Hodnota r se nazývá bezriziková úroková míra. Předpokládáme, že úroková
míra je stejná jak pro půjčování, tak pro ukládání peněz.
Příklad 5.1.1. Forwardová smlouva (uzavřená v čase t = 0) je následující
závazný kontrakt: V čase t = 1 koupí X od Y jednu akcii za cenu F.
Za uzavření smlouvy se neplatí. Jaká je “správná” cena F? Věta 5.1.2.
Jestliže neexistuje arbitráž, pak jediná možná cena ve forwardové smlouvě je
F = S0er
.
42
Arbitráží je míněna možnost jak si bez rizika zajistit zisk “z ničeho”. Přesnou
definici si uvedeme za chvilku.
Důkaz: Dokážeme, že jak F > S0er
, tak F < S0er
vede k arbitráži.
1) Nechť F > S0er
(výhodné pro Y ). Uvažujme následující strategii:
t = 0 ... Y si vypůjčí v bance S0, koupí akcii a uzavře forwardovou smlouvu
na prodej akcie.
t = 1 ... Y prodá akcii za F, do banky vrátí S0er
.
Zůstane mu bezrizikový zisk F − S0er
> 0, strategie tedy dává arbitráž.
2) Nechť F < S0er
(výhodné pro X) Uvažujme teď tuto strategii:
t = 0 ... X prodá akcii na krátko (tedy vypůjčí si akcii – tzv. short-selling)
za S0, uloží výnos do banky a uzavře forwardovou smlouvu na koupi akcie.
t = 1 ... X dostane z banky S0er
, koupí akcii za F a vrátí ji (tj. uzavře
krátkou pozici). Zůstane mu S0er
− F > 0, tj. bezrizikový zisk. Opět je to
arbitráž.
Tedy pokud neexistuje arbitráž, pak F = S0er
.
Příklad 5.1.3. Evropská call opce dává držiteli právo koupit akcii v
čase t = 1 za cenu K (tzv. realizační cena opce). Kupec opce zaplatí v čase
t = 0 za toto právo prodejci cenu V0. Jaká je férová cena V0?
V čase t = 0 neznáme S1. Držitel opce ji v čase t = 1 uplatní, je-li K < S1
(jinak koupí akcii levněji na trhu). Tedy hodnota v čase t = 1 je
V1 = (S1 − K)+ =
S1 − K pokud S1 > K
0 pokud S1 ≤ K
.
43
Výplatní funkce Evropské call opce
K
S1
V1
Jaká je hodnota V0? Předpokládejme, že existují dva možné tržní scénáře
(ω1, ω2) a nechť pro t = 1 máme S1(ω1) = d1 a S1(ω2) = d2.
S0
S1 = d2 … ω2
S1 = d1 … ω1
Chceme určit V0, za předpokladů
1. d1 < K < d2
44
2. d1 ≤ S0er
≤ d2
(pro S0er
< d1 ≤ d2 dostaneme arbitráž a stejně tak v opačném případě).
Uvažujme portfolio (x1, x2, x3) ∈ R3
, kde x1 je počet aktiv peněžního trhu
(bezrizikových), x2 je počet akcií a x3 počet opcí.
Hodnota portfolia v čase t = 1 za scénáře ω1 je
y1 = x1er
+ x2d1 + 0x3
Hodnota portfolia v čase t = 1 za scénáře ω2 je
y2 = x1er
+ x2d2 + (d2 − K)x3
Zobrazení T : (x1, x2, x3) → (y1, y2) je lineární zobrazení z R3
→ R2
,
které má nenulové jádro dimenze 1.
Tedy pro portfolio (0, 0, 1) existuje jednoznačné portfolio (x1, x2, 0),
které má stejnou hodnotu jako (0, 0, 1) v obou scénářích (tzv. replikující
portfolio).
Hodnoty x1 a x2 najdeme řešením rovnic
x1er
+ x2d1 = 0
pro V1 (ω1) a
x1er
+ x2d2 = d2 − K
pro V1 (ω2).
Řešením dostaneme:
x1 =
−d1e−r
(d2 − K)
d2 − d1
a
x2 =
d2 − K
d2 − d1
.
Portfolio (x1, x2, 0) má stejnou hodnotu jako (0, 0, 1) v každém scénáři.
Musí mít tedy stejnou hodnotu i v čase t = 0 (jinak by existovala arbitráž).
Tedy
V0 = −e−r d1(d2 − K)
d2 − d1
1 +
d2 − K
d2 − d1
S0 = (d2 − K)
er
S0 − d1
d2 − d1
e−r
+ 0
= e−r
V1 (ω2) p + V1 (ω1) (1 − p) ,
45
kde V1 (ω1) = 0, e−r
je diskontní faktor a
p =
er
S0 − d1
d2 − d1
se nazývá “tržní” (risk-neutrální, rovnovážná) pravděpodobnost scénáře ω2.
Tedy V0 je diskontované očekávání hodnoty opce v čase t = 1 vzhledem
k tržní pravděpodobnostní míře.
5.2 Základní věta APT
APT označuje arbitrážní teorii oceňování (Arbitrage Pricing Theory). Uvažujme
trh s K aktivy A1
, ..., AK
volně obchodovatelnými, kde A1
je bezrizikové
aktivum. Cena podílu aktiva Aj
v čase t = 0 je Sj
0 (známá hodnota).
Dále máme tržní scénáře
Ω = {ω1, ..., ωN }.
Předpokládejme, že A1
je bezrizikové, tj.
S1
1(ωj) = er
pro všechna j = 1, ..., N, kde r je úroková míra.
Sj
1 (ωi) bude označovat hodnotu aktiva Aj
v čase t = 1 za scénáře ωi.
Jsou to tedy náhodné veličiny, neboli funkce na prostoru tržních scénářů Ω.
Celkem dostáváme matici N × K s prvky Sj
1 (ωi).
Definice 5.2.1. Portfolio je vektor
Θ = (θ1, θ2, ..., θK) ∈ RK
,
kde θj je počet podílů aktiva Aj
v portfoliu. Pro θj < 0 je majitel v krátké
pozici v aktivu Aj
(o velikosti | θj |). V čase t = 0 je hodnota Θ rovna
V0 (Θ) =
K
j=1
θjSj
0.
Pro t = 1 závisí hodnota Θ na ωi,
V1 (Θ, ωi) =
K
j=1
θjSj
1 (ωi) .
46
Definice 5.2.2. Arbitráž je portfolio, které “získává peníze z ničeho”, tj.
formálně buď
V0 (Θ) ≤ 0 a V1 (Θ, ωj) > 0
pro všechna ωj ∈ Ω, nebo
V0 (Θ) < 0 a V1 (Θ, ωj) ≥ 0
pro všechna ωj ∈ Ω.
Definice 5.2.3. Pravděpodobnostní míra πi = π(ωi) na množině Ω všech
scénářů je rovnovážná pravděpodobnostní míra (neboli risk-neutrální
míra), jestliže pro všechna Aj
je hodnota podílu v čase t = 0 rovna diskontovanému
očekávání vzhledem k pravděpodobnostní míře π hodnoty podílu
v čase t = 1. Tedy
Sj
0 = e−r
N
i=1
π(ωi)Sj
1(ωi)
pro všechna j = 1, ..., K, kde e−r
je diskontní faktor.
Věta 5.2.4. (Základní věta APT): Rovnovážná pravěpodobnostní míra
existuje právě tehdy, když neexistuje arbitráž.
Důkaz:
Implikace ⇐ je snadná. Jestliže existuje rovnovážná pravděpodobnostní
míra π a Θ je portfolio, jehož hodnota v čase t = 1 je ≥ 0 za všech scénářů,
pak
V0(Θ) = e−r
N
i=1
π(ωi)V1(Θ, ωi) ≥ 0,
odkud plyne že Θ není arbitráž (a arbitráž tedy neexistuje).
Nyní chceme dokázat opačnou implikaci: Neexistuje-li arbitráž, pak existuje
rovnovážná pravděpodobnostní míra taková, že
Sj
0 = e−r
N
i=1
π(ωi)Sj
1(ωi).
Pro j = 1 platí tento vztah automaticky,
1 = S1
0 = e−r
N
i=1
π(ωi)er
47
= e−r
N
i=1
π(ωi)S1
1(ωi).
Uvažujme nyní 2 ≤ j ≤ K. Označme ε množinu všech vektorů tvaru
y = (y2, ..., yK), kde
yj = e−r
N
i=1
π(ωi)Sj
1(ωi)
pro všechna j = 2, 3, ..., K, pro nějakou pravděpodobnostní míru π.
ε ⊆ RK−1
je uzavřený konvexní polyedr. Je konvexním obalem svých
extrémních bodů, které odpovídají pravděpodobnostem π (ωi) = 1, π (ωj) =
0 pro j = 0.
Chceme dokázat, že neexistuje-li arbitráž, pak
S = S2
0, ..., SK
0 ∈ ε.
Jinak řečeno, pokud S /∈ ε, pak existuje arbitráž. Využijeme větu o oddělující
nadrovině.
Věta 5.2.5. (Věta o oddělující nadrovině:) Nechť F ⊆ Rn
je uzavřená konvexní
množina a x /∈ F. Pak existuje v ∈ Rn
tak, že v · x < v · y pro všechna
y · F, kde · je skalární součin.
Důkaz: Nechť a je nejbližší bod v F k bodu x, pak vektor a−x má hledané
vlastnosti.
Podle této věty máme
S ∈ ε ⇒ ∃Θ = (θ2, ..., θK) = 0
tak, že pro všechna y ∈ ε platí:
y · Θ > S · Θ .
ε obsahuje extrémní body, tedy pro všechna i platí:
e−r
K
j=2
θj · Sj
1(ωi) >
K
j=2
θj · Sj
0.
Levou stranu nerovnosti označme Ci, pravou stranu D. Ukážeme, že existuje
arbitráž.
Zvolme θ1 tak aby Ci > θ1 > D pro všechna i. Pak portfolio (−θ1, θ2, ..., θK)
je arbitráž. Jeho hodnota v čase t = 0 je < 0 a hodnota v čase t = 1 je > 0
pro všechna ωi.
Uvažujeme evropskou call opci, jejíž výplatní funkce je
48
V1 = (S1 − K)+.
Dále S1(ωi) = di pro i = 1, 2 a d1 < d2. Pokud neexistuje arbitráž, pak
existuje π taková, že cena akcie v t = 0 je diskontované očekávání
S0 = e−r
· (π(ω1) · d1 + π(ω2) · d2) ,
a navíc víme, že π(ω1) + π(ω2) = 1. Speciálně tedy platí d1 < S0er
< d2 (v
předchozím to byl předpoklad, teď to platí automaticky).
Dostaneme
π(ω1) =
d2 − S0er
d2 − d1
a
π(ω2) =
S0er
− d1
d2 − d1
.
Je-li opce volně obchodovatelná, a má-li zůstat trh bez arbitráže, musí
totéž platit i pro opci, tedy:
V0 = π(ω2)(d2 − K) + π(ω1)0 = π(ω2)(d2 − K) =
S0er
− d1
d2 − d1
(d2 − K).
5.2.1 Jištění (Hedging)
Uvažujme aktiva A1
, A2
, ..., AK
, B. Nechť Sj
t (ωi) a SB
t (ωi) jsou ceny Aj
,
resp. B, v čase t a scénáři ωi, kde t = 0, 1.
Definice 5.2.6. Portfolio Θ = (θ1, θ2, ..., θK) je replikující portfolio pro
B, jestliže
SB
1 (ωi) =
K
j=1
θjSj
1(ωi)
pro všechna i = 1, ..., N.
Věta 5.2.7. Nechť Θ = (θ1, θ2, ..., θK) je replikující portfolio pro B. Neexistujeli
arbitráž, pak v čase t = 0 platí:
SB
0 =
K
j=1
θjSj
0.
Důkaz: Nechť tvrzení neplatí. Je-li SB
0 >
K
j=1
θjSj
0, pak portfolio (−1, θ1, θ2, ..., θK)
49
v aktivech B, A1
, A2
, ..., AK
je arbitráž, protože
K
j=1
θjSj
0 − SB
0 < 0
a
SB
1 (ωi) −
K
j=1
θjSj
1(ωi) = 0
pro všechna ωi ∈ Ω.
Analogicky, pro
SB
0 <
K
j=1
θjSj
0
vezmeme opačné portfolio.
5.3 Model s více periodami
5.3.1 Trh se dvěma periodami
Uvažujme jedno bezrizikové aktivum a 1 rizikovou akcii. Tržní scénáře jsou
nyní
Ω = {(++) , (+−) , (−+) , (−−)} .
50
t = 0
t = 1
t = 2
+
+
-
- +
+ +
- Předpokládejme,
že
S1(+) = uS0
S1(−) = dS0
S2(++) = uS1(+) = u2
S0
S2(+−) = dS1(+) = udS0
S2(−+) = uS1(−) = duS0
S2(−−) = dS1(−) = d2
S0
(u jako up a d jako down.) Máme tři částečné trhy. V každém uděláme stejný
výpočet jako v jednokrokovém modelu. Dostaneme rovnovážné pravděpodobnosti
(pro jednoduchost předpokládejme, že r = 0)
pu =
1 − d
u − d
51
(S0 se vykrátí) a
pd =
u − 1
u − d
.
Celkem rovnovážná pravděpodobnostní míra bude:
P(++) = p2
u, P(−−) = p2
d, P(+−) = P(−+) = pupd.
5.3.2 Vícekrokový model s T kroky
Množina všech možných scénářů je v tomto případě
Ω = {(+, +, +, ..., +) , (+, +, ..., +, −) , ..., (−, −, ..., −)} .
Má 2T
prvků, je tedy 2T
možných scénářů.
Pro scénář ω ∈ Ω je jeho rovnovážná pravděpodobnost
P(ω) = pK
u pT−K
d ,
kde K je počet + ve scénáři ω.
Chceme-li ocenit opci, její cena bude diskontované očekávání její hodnoty
v čase T
VT = (ST − K)+
vůči rovnovážné pravděpodobnostní míře. Pro jednoduchost uvažujme r = 0.
Nechť m je nejmenší přirozené číslo takové, že S0um
dT−m
≥ K. Máme tedy
V0 =
T
n=m
pn
upT−n
d
T
n
S0un
dT−n
− K
=
T
n=m
(1 − d)n
(u − 1)T−n
(u − d)T
T
n
S0un
dT−n
− K ,
kde T
n
je počet trajektorií s celkem n plusy.
Poznámka. Položíme-li d = 1
u
, pak v limitě pro T → ∞ a u = e
σ√
T dostaneme
Black-Scholesův spojitý model pro oceňování opcí. σ je parametr
nazývaný volatilita.
Model který jsme uvažovali v této podkapitole se také často nazývá binomický.
Jeho autory jsou Cox, Ross a Rubinstein.
52
Kapitola 6
Martingaly
6.1 Férová hra
Martingal je matematickým vyjádřením myšlenky “férové hry”
Implicitně jsme se s tímto pojmem již setkali, v kapitole o diskrétních
modelech trhu.
Připomeňme, že v jednokrokovém modelu trhu se dvěma scénáři existuje
rovnovážná pravděpodobnostní a platí
S0 = e−r
EP (S1) = E e−r
S1 ,
Tedy cena v čase t = 0 je diskontované očekávání vzhledem k pravděpodobnosti
P ceny v čase t = 1.
Obecně, pro T-krokový model máme analogicky
S0 = EP ST e−rT
.
Navíc, pro libovolný čas t ≤ T platí
St = EP ST e−r(T−t)
| S0, S1, ..., St ,
tedy St je podmíněné očekávání diskontované hodnoty ST , podmíněné informacemi
o tržním scénáři, které máme v čase t.
Jak uvidíme za chvilku, tato vlastnost znamená, že diskontovaný proces
St je martingal.
Připomeňme si ještě formální definici stochastického procesu.
Definice 6.1.1. Mějme měřitelný prostor (Ω, A), množinu reálných čísel R
a indexovou množinu T = ∅ (která hraje roli času). Dále mějme zobrazení X :
53
Ω×T → R, takové, že pro všechna t ∈ T je X (•, t) náhodná veličina (kterou
značíme Xt). Pak takové zobrazení nazýváme stochastický proces
definovaný na množině T. Značíme {Xt; t ∈ T}.
Stochastické procesy dělíme na 4 základní typy:
• diskrétní proces s diskrétním časem (např. náhodná procházka)
• diskrétní proces se spojitým časem (např. Poissonův proces)
• spojitý proces s diskrétním časem (např. Markovovy řetězce)
• spojitý proces se spojitým časem (např. Wienerův proces)
6.2 Přirozená filtrace
Definice 6.2.1. Ve vícekrokovém trhu se informace o tržním scénáři odhaduje
krok po kroku. Pro t ≤ T definujeme
Ft = {všechny jevy určené během prvních t period} .
Zřejmě Ft je σ-algebra. Konečná posloupnost (Ft)0≤t≤T se nazývá přirozená
filtrace prostoru tržních scénářů Ω.
Obecně, systém σ-algeber (Ft)0≤t≤T se nazývá filtrace, jestliže platí
Ft ⊆ Fs
kdykoliv je t ≤ s. To znamená, že s rostoucím časem neztrácíme informace,
σ-algebra se s rostoucím časem nezmenšuje, typicky se naopak zvětšuje.
Příklad 6.2.2. 2-krokový model trhu. Množina tržních scénářů v tomto
modelu je
Ω = {(++) , (+−) , (−+) , (−−)} .
V čase t = 0 jsou určeny pouze jevy Ω a ∅, tedy
F0 = {∅, Ω} .
V čase t = 1 jsou určeny jevy: F+ = {(++) , (+−)} a F− = {(−+) , (−−)}.
Tedy
F1 = {∅, Ω, F+, F−} .
54
V čase t = 2 jsou určeny všechny jevy (každá podmnožina Ω), tedy
F2 = exp Ω = { všechny podmnožiny Ω} .
Příklad 6.2.3. T- krokový model. Množina ΩT tržních scénářů je množina
posloupností délky T se složkami + nebo -. Celkem je takových scénářů 2T
.
Částečný scénář je posloupnost
ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξt)
délky t ≤ T, kde ξj = + nebo ξj = − pro j = 1, 2, ..., t. Množinu těchto
scénářů označme Ωt.
Pro každý částečný scénář ξ = (ξ1, ..., ξt) definujeme jev F (ξ) jako
množinu všech úplných scénářů, jejichž prvních t složek jsou právě ξ1, ..., ξt.
Tedy
F (ξ) = {ω ∈ Ω : ωj = ξj pro všechna j = 1, 2, ..., t} .
Úplné scénáře odpovídají koncovým uzlům stromu, částečné pak nekoncovým.
σ-algebry Ft definujeme pak takto
Ft = {všechna konečná sjednocení jevů F (ξ) , kde ξ=(ξ1, ξ2, ..., ξt) ∈ Ωt}
Cena akcie v čase t závisí na tržním scénáři, ale jen na jeho složkách
do času t, nezávisí na složkách scénáře v časech > t. Tedy proces ceny je
adaptovaný přirozené filtraci, ve smyslu následující definice.
Definice 6.2.4. Posloupnost náhodných veličin Xt je adaptovaná přirozené
filtraci, jestliže pro každé t a pro každý tržní scénář ω = ξ1, ..., ξT
hodnota Xt (ω) závisí jen na částečném scénáři ω1, ω2, ..., ωt.
6.3 Martingal
Definice 6.3.1. Nechť F je přirozená filtrace prostoru tržních scénářů
Ω = {ω1, ω2, ..., ωN } a P je pravděpodobnostní míra na Ω. Adaptovaná
posloupnost náhodných veličin Xt se nazývá martingal, jestliže platí
E (Xt+1 | Ft) = Xt
pro všechna t ∈ {0, 1, ..., T − 1}.
55
Pokud
E (Xt+1 | Ft) ≥ Xt
mluvíme o submartingalu, pokud
E (Xt+1 | Ft) ≤ Xt
mluvíme o supermartingalu.
Ft obsahuje veškeré informace dostupné v čase t. Často je tato informace
obsažena v hodnotách X1, X2, ..., Xt. Pak máme
E (Xt+1 | Ft) = E (Xt+1 | X1, X2, ..., Xt)
Příklad 6.3.2. (Symetrická jednoduchá náhodná procházka). Nechť
P (Xi = 1) = 1
2
= P (Xi = −1) a Sn = X1 + ... + Xn. Pak Sn je martingal.
6.4 Samofinancující portfolia
6.4.1 Dynamické portfolio
Uvažujme T-krokový model trhu s aktivy A1
, A2
, ..., AK
. Označme SA
t (ω)
cenu podílu aktiva A v čase t ve scénáři ω a ΘA
t (ω) počet podílů aktiva A,
které držíme v portfoliu Θ v čase t za scénáře ω.
Posloupnost ΘA
t musí být adaptovaná přirozené filtraci. Dynamické portfolio
je omezené, jestliže náhodné veličiny ΘA
t jsou všechny omezené.
6.4.2 Samofinancující portfolio
Hodnota portfolia Θ po rebalancování (upravení) v čase t za scénáře ω je
V Θ
t = V Θ
t (ω) =
A
ΘA
t (ω) SA
t (ω) ,
kde sčítáme přes všechna aktiva A = A1
, A2
, ..., AK
.
Hodnota V Θ
t+1 po proběhnutí obchodování v čase t bude obecně jiná, než
V Θ
t .
Pokud do portfolia nepřidáváme ani neodebíráme prostředky, musí být
jeho hodnota těsně po rebalancování stejná jako před rebalancováním. Tedy
platí
ΘA
t SA
t+1 (ω) = ΘA
t+1SA
t+1 (ω) ,
56
kde SA
t+1 jsou nové ceny a ΘA
t+1 jsou nové podíly v portfoliu.
Úpravou pak dostaneme
V Θ
t+1 (ω) − V Θ
t (ω) =
A
ΘA
t SA
t+1 (ω) − SA
t (ω) .
To je podmínka pro samofinancující portfolio.
Věta 6.4.1. Nechť v T-periodickém trhu M neexistuje arbitráž a nechť existuje
bezrizikové aktivum s úrokovou mírou r = 0. Pak vzhledem k rovnovážné
pravděpodobnostní míře je proces cen (St) libovolného obchodovatelného aktiva
martingalem vzhledem k přirozené filtraci
Definice 6.4.2. Nechť Ft je přirozená filtrace a Yt je posloupnost náhodných
veličin adaptovaných Ft. Yt se nazývá předvídatelná posloupnost,
jestliže pro všechna t ≥ 1 je Yt Ft−1 - měřitelná. (tedy hodnota Yt je určena
již v čase t − 1).
6.5 Martingalová transformace
Definice 6.5.1. Nechť posloupnost náhodných veličin {Xt} pro 0 ≤ t ≤ T
je martingal a nechť {Yt} pro 0 ≤ t ≤ T je předvídatelná posloupnost. Pak
martingalová transformace {(Y • X)t}0≤t≤T je posloupnost náhodných
veličin definovaná jako
(Y • X)t = X0 +
t−1
j=0
Yj (∆X)j+1 ,
kde (∆X)t+1 = Xt+1 − Xt.
Věta 6.5.2. Martingalová transformace je martingalem vzhledem k Ft.
Důkaz: Cvičení.
Důsledek 6.5.3. Nechť M je T-periodický trh bez arbitráže, obsahující
bezrizikové aktivum s úrokovou mírou r = 0 a nechť M má rovnovážnou
pravděpodobnostní míru P. Pak pro každé samofinancující portfolio je proces
jeho ceny V Θ
t 0≤t≤T
martingalem.
Důkaz: Z podmínky pro samofinancující portfolio plyne, že proces ceny je
martingalová transformace, a tedy martingal.
57
6.5.1 Podmíněná očekávání a martingalová transfor-
mace
Vlastnost martingalu znamená, že “očekávaná budoucí hodnota = současná
hodnota”. Následující obrázky mají ilustrovat graficky pojem martingalu. Do
grafu zaneseme příslušné hodnoty a očekávání‘:
t = 0 : S0
E(S1|S0)
t = 1 : S1
E(S2|S1)
t = 2 : S2
E(S2|S2)
t = 0
t = 1
t = 2
92
80
130
120
54
60
36
36
72
72
80
80
180
180
p=1/2
p=1/2
p=1/2
p=1/2
p=1/2
p=1/2
Předchozí obrázek není martingal - u martingalu jsou nahoře i dole stejné
58
hodnoty, viz následující obrázek:
t = 0
t = 1
t = 2
100
100
120
120
80
80
70
70
90
90
100
100
140
140
p=1/2
p=1/2
p=1/2
p=1/2
p=1/2
p=1/2
59
Kapitola 7
Úplnost trhu
7.1 Věta o úplnosti trhu
Uvažujeme trh M s aktivy A1
, ..., Ak
. Podle základní věty arbitrážní teorie
(APT) plyne z neexistence arbitráže existence rovnovážné pravděpodobnostní
míry (může jich být i více).
Definice 7.1.1. Trh bez arbitráže se nazývá úplný, jestliže existuje právě
jedna rovnovážná pravděpodobnostní míra. Trh je neúplný, pokud existuje
více rovnovážných pravděpodobnostních měr.
Definice 7.1.2. Derivát je obchodovatelné aktivum, jehož hodnota V1 v
čase t = 1 je funkcí V1 (ωi) tržního scénáře. Tedy V1 je náhodná veličina na
Ω = {ω1, ..., ωN }.
Definice 7.1.3. Replikující portfolio pro daný derivát V , jehož hodnoty
v čase t = 1 za scénáře ωi jsou rovny V1 (ωi) je portfolio Θ = (θ1, ..., θk) v
aktivech A1
, ..., Ak
takové, že:
V1 (ωi) =
k
j=1
θjSj
1 (ωi) ,
kde Sj
1 (ωi) je cena j-tého aktiva Aj
za scénáře ωi.
Z neexistence arbitráže plyne, že
V0 =
k
j=1
θjSj
0,
tedy pokud existuje replikující portfolio, derivát má jednoznačně určenou
cenu v čase t = 0.
60
Věta 7.1.4. (o úplnosti trhu): Nechť M je trh bez arbitráže s bezrizikovým
aktivem. Existuje-li pro každý derivát replikující portfolio v A1
, ..., Ak
,
pak je trh úplný. Naopak je-li M úplný a rovnovážná pravděpodobnostní míra
dává kladnou pravděpodobnost každému scénáři (tj. π (ωi) > 0 pro ∀i), pak
pro každý derivát existuje replikující portfolio (a tedy derivát má jednoznačně
určenou cenu).
Důkaz je založen na jednoduchých myšlenkách z lineární algebry. Deriváty
tvoří vektorový prostor (izomorfní RN
). Trh je úplný, právě tehdy když vektory
hodnot aktiv A1
, A2
, ..., Ak
v jednotlivých scénářích generují RN
. Tedy
vektory Sj
1 (ωi), j = 1, ..., k generují RN
. Speciálně platí k ≥ N.
Důkaz: Chceme nejdříve dokázat, že pokud existuje replikujcí portfolio,
pak M je úplný.
Uvažujme pro pevně zvolený scénář ωl ∈ Ω následující derivát Dl, jehož
hodnota v čase t = 1 je rovna
V1 (ωi) =
0 pro i = l
1 pro i = l
.
Podle předpokladu existuje replikující portfolio pro Dl, označme ho Θ =
(θ1, ..., θk), v aktivech A1
, ..., Ak
. Tedy
V0 = θjSj
0.
Je-li π rovnovážná pravděpodobnostní míra, pak také
V0 = e−r
N
i=1
V1 (ωi) πi = e−r
π (ωl) .
Odtud plyne
π (ωl) = er
k
j=1
θjSj
0
a tedy π je jednoznačně určena.
Zbývá nám dokázat opačnou implikaci. Označíme
aj = Sj
1 (ω1) , Sj
1 (ω2) , ..., Sj
1 (ωN )
vektor v RN
pro každou hodnotu j (tedy každé aktivum Aj). Derivát je
vektor v RN
, který dá se replikovat právě tehdy, když vektor jeho hodnot v
jednotlivých scénářích patří do lineárního obalu vektorů aj.
61
Nechť existuje π (ωi) jednoznačně určená, taková, že π (ωi) > 0 pro všechna
i. Budeme postupovat sporem: Nechť existuje derivát D, který nemá replikující
portfolio. Tedy jsou-li jeho hodnoty ve scénářích ωi rovny f (ωi) a
označíme-li
f = (f (ω1) , ..., f (ωN )) ,
pak f není lineární kombinací aj, a tedy aj negeneruje RN
. Existuje tedy
vektor v = (v1, ..., vN ), který je kolmý na vektory aj pro všechna j, tedy
platí
N
i=1
viSj
1 (ωi) = 0
pro j = 1, ..., k. Aktivum A1
je bezrizikové, tedy
A1
1 (ωi) = er
pro všechna i. Speciálně tedy v⊥ (1, ..., 1) a
N
i=1
vi = 0.
Pro dostatečně malé ε > 0 označme
π∗
(ωi) = π (ωi) + εvi.
Máme
N
i=1
π∗
(ωi) =
N
i=1
π (ωi) +
N
i=1
vi = 1 + 0 = 1.
Navíc, je-li ε dostatečně malé, pak π∗
(ωi) > 0, neboť π (ωi) > 0, a platí
N
i=1
π∗
(ωi) Sj
1 (ωi) =
N
i=1
π (ωi) Sj
1 (ωi) + ε
N
i=1
viSj
1 (ωi) =
N
i=1
π (ωi) Sj
1 (ωi) .
Tedy π∗
je další rovnovážná pravděpodobnostní míra, což je spor. Tím je
tvrzení dokázáno.
62
Kapitola 8
Wienerův proces (Brownův
pohyb)
8.1 Limita náhodné procházky
Wienerův proces je stochastický proces ve spojitém čase se spojitými hodnotami,
který můžeme intuitivně chápat jako limitu náhodné procházky při
zmenšování časového a prostorového kroku ∆x ∆t (tedy pro ∆x → 0 a
∆t → 0).
Nechť P {Xi = 1} = P {Xi = −1} = 1
2
, kde Xi, ..., Xn, ... jsou stejně
rozdělené nezávislé náhodné veličiny s E (Xi) = 0 a V ar (Xi) = 1. Potom
Sn = S0 + X1 + X2 + ... + Xn,
kde S0 = 0 je standardní symetrická náhodná procházka.
Zvolme délku časového kroku ∆t a velikost prostorového kroku ∆x. Pro
t = n∆t, tedy n = t
∆t
, definujeme proces
St = Sn∆t = (X1 + X2 + ... + Xn) ∆x.
Z nezávislosti přírůstků Xj plyne, že E (St) = 0 a
V ar (St) = (∆x)2
n = (∆x)2 t
∆t
.
Zajímá nás chování tohoto procesu v limitním přechodu ∆x → 0 a ∆t →
0. Uvažujeme mocninnou závislost mezi ∆x a ∆t. Položme ∆t = (∆x)p
, kde
p > 0. Pro ∆t → 0 pak dostáváme
V ar (St) =
(∆x)2
∆t
t



→ 0 pro p < 2
= t pro p = 2
→ ∞ pro p > 2
.
63
Konečný nenulový rozptyl tedy dostaneme jen pro volbu p = 2. Pro
∆t = (∆x)2
dostaneme v limitě pro ∆t → 0 standardní Wienerův proces.
Z Centrální limitní věty plyne, že St má v limitě pro ∆t → 0 a (∆x)2
= ∆t
normální rozdělení N (0, t).
Věta 8.1.1. (Lindenbergova centrální limitní věta) Nechť X1, X2, ...
jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením, které mají střední
hodnotu µ a konečný rozptyl σ2
. Označme
Yn =
(X1 + X2 + ... + Xn − µn)
√
n
pro n = 1, 2, .... Pak Yn konverguje v distribuci k rozdělení N (0, σ2
).
Definice 8.1.2. Stochastický proces Wt, kde t ∈ [0, ∞), se nazývá standardní
Wienerův proces, jestliže platí:
1. W0 = 0
2. (spojitost) S pravděpodobností 1 je trajektorie Wienerova procesu spo-
jitá.
3. (nezávislost) PřírůstkyWienerova procesu jsou nezávislé, tj. pro 0 ≤
t1 < s1 ≤ t2 < s2 ≤ ... ≤ tn < sn jsou přírůstky Ws1 − Wt1 , Ws2 −
Wt2 , ..., Wsn − Wtn navzájem nezávislé.
4. (normalita přírůstků) Přírůstky Ws − Wt pro s > t mají rozdělení
N (0, s − t).
Speciálně z vlastností 1 a 4 máme
Wt ∼ N (0, t) ∼
√
tN (0, 1) .
Označme ∆W přírůstek Wienerova procesu za čas ∆t. Máme
∆W =
√
∆tε,
kde ε má standardní normální rozdělení N (0, 1).
Pro očekávání a rozptyl ∆W dostaneme
E (∆W) =
√
∆tE (ε) = 0
64
a
V ar (∆W) = E (∆W)2
= ∆t.
Zobecněný Wienerův proces můžeme definovat pomocí infinitezimálního
přírůstku
dX = adt + bdW,
kde a, b jsou konstanty a W je standardní Wienerův proces. Koeficient a je
koeficient driftu a b je koeficient volatility. Opět máme
∆X = a∆t + bε
√
∆t,
tedy
E (∆X) = a∆t
a
V ar (∆X) = b2
∆t.
Pro b = 0 máme
dX = adt,
tedy Xt = at je deterministický proces.
Další možné zobecnění: koeficienty a, b se mohou měnit a mohou záviset
na t a případně i na hodnotách X.
8.2 Wienerův proces pro cenu akcie
Wienerův proces není vhodný pro popis vývoje ceny akcie z několika důvodů:
• Ceny akcie mohou nabývat i záporné hodnoty.
• Při Wienerově procesu je pravděpodobnost, že se cena zvýší o 1 Kč
stejná je-li S = 1 Kč, nebo S = 100 000 Kč. To co je ve skutečnosti
důležité není absolutní změna (ta závisí mimo jiné také na jednotkách
v nichž cenu vyjadřujeme), ale relativní změna vůči ceně akcie.
Je-li volatilita nulová, máme
∆S = µS∆t.
Z tohoto vztahu můžeme vyjádřit relativní přírůstek
∆S
S
= µ∆t,
65
kde µ je konstanta (drift). Odtud dostáváme
dS
S
= µdt
a řešením diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
St = S0eµT
.
Obecně
dS = µSdt + σSdW,
kde µ je drift a σ je volatilita. Tak je definován geometrický Wienerův
proces. Máme
dS
S
= µdt + σdW
a diskretizací dostaneme:
∆S = µS∆t + σSε
√
∆t,
kde ε ∼ N (0, 1).
Tedy
∆S
S
= µ∆t + σε
√
∆t,
odkud
∆S
S
∼ N µ∆t, σ2
∆t .
Jinak řečeno,
E
∆S
S
= µ∆t
a
V ar
∆S
S
= σ2
∆t.
K vyřešení rovnice, t.j. odvození explicitního vztahu pro S potřebujeme
Itôovo lemma.
8.2.1 Itôovo lemma
Pro porovnání připomeňme nejdříve diferenciál deterministické funkce.
• 1 proměnná: dG = ∂G
∂x
dx
66
• funkce 2 deterministických proměnných x, t:
∆ ≈
∂G
∂t
∆t +
∂G
∂x
∆x,
neboli
dG =
∂G
∂t
dt +
∂G
∂x
dx.
V případě Wienorova procesu platí heuristický vztah
(dW)2
= dt
proto budeme mít navíc člen
1
2
∂2
G
∂x2
(dX)2
.
Itôovo lemma je analogií pravidla pro diferenciál složené funkce a slouží
k výpočtu přírůstků funkce stochastického procesu.
Nechť hodnota stochastického procesu X splňuje rovnici
dX = a (X, t) dt + b (X, t) dW,
kde W je standardní Wienerův proces a a, b jsou funkce X a t. Nechť G (x, t)
je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce dvou proměnných x, t. Jakou rovnici
splňuje přírůstek procesu G (X, t)?
Itôovo lemma říká, že pro G platí
dG =
∂G
∂t
dt +
∂G
∂x
dX +
1
2
∂2
G
∂x2
(dX)2
kde za dX dosadíme a (dX)2
počítáme podle pravidel
dtdt = 0, dtdW = 0, (dW)2
= dt.
Tak dostaneme celkem
dG =
∂G
∂t
+
1
2
∂2
G
∂x2
+ a
∂G
∂x
dt +
∂G
∂x
bdW.
67
8.2.2 Odvození Black-Scholesovy rovnice
Black-Scholesova rovnice popisuje vývoj hodnoty evropské opce v BlackScholesově
modelu. Předpokládejme, že pohyb ceny akcie je popsán geometrickým
Wienerovým procesem
dS = µSdt + σSdW,
neboli
dS
S
= µdt + σdW.
Použijeme Itôovo lemma na funkci G (S, t) = lnS . Máme
∂G
∂t
= 0,
∂G
∂S
=
1
S
,
∂2
G
∂S2
=
1
S2
.
Tedy z Itôova lemmatu
dG = µ −
σ2
2
dt + σdW
a
d (ln S) = µ −
σ2
2
dt + σdW.
Odtud plyne, že ln ST − ln S0 má normální rozdělení se střední hodnotou
µ − σ2
2
T a rozptylem σ2
T. Tedy
ln ST ∼ N ln S0 + µ −
σ2
2
T; σ2
T .
ST má tedy lognormální rozdělení, tj. ln ST má normální rozdělení.
Máme rovnici pro cenu akcie, která sleduje geometrický Wienerův proces
dS = µSdt + σSdW (8.1)
Nechť f je cena evropské call opce s danou realizační cenou K a časem
expirace T. Zisk z takové opce v čase T je
(ST − K)+ .
f závisí na S a t a je tedy funkcí dvou proměnných, f (S, t). Hodnota f (S, t)
je cena opce v čase t v situaci, kdy cena akcie je rovna S.
Podle Itôova lemmatu platí pro změnu ceny opce
68
df =
∂f
∂t
dt +
∂f
∂S
dS +
1
2
∂2
f
∂S2
(dS)2
.
za dS dosadíme z 8.1, tedy
df =
∂f
∂t
dt +
∂f
∂S
(µSdt + σSdW) +
1
2
∂2
f
∂S2
(µSdt + σSdW)2
.
Jelikož (dt)2
a dtdW jsou členy vyššího řádu a víme, že (dW)2
= dt, dostá-
váme:
df =
∂f
∂t
+
∂f
∂S
µS +
1
2
∂2
f
∂S2
σ2
S2
dt +
∂f
∂S
σSdW (8.2)
Vhodnou kombinací 8.1 a 8.2 můžeme sestavit portfolio z akcií a opcí,
jehož výnos je deterministický. Jinak řečeno, můžeme eliminovat stochastický
člen dW.
Označme Π hodnotu portfolia složeného z 1 opce a −∂f
∂S
akcie, tedy
Π = −
∂f
∂S
S + 1f
Pro přírůstek hodnoty portfolia za čas dt máme:
dΠ = −
∂f
∂S
dS + 1df.
Po dosazení z 8.1 dostaneme
dΠ = −
∂f
∂S
µS +
∂f
∂t
+
∂f
∂S
µS +
1
2
∂2
f
∂S2
σ2
S2
dt,
stochastický člen se vyruší.
Přírůstek hodnoty portfolia dΠ se musí (z neexistence arbitráže) rovnat
zisku z bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r, tj.
dΠ = rΠdt.
Celkem dostaneme
∂f
∂t
+
1
2
∂2
f
∂S2
σ2
S2
dt = r −
∂f
∂S
S + f dt
a
∂f
∂t
+
1
2
∂2
f
∂S2
σ2
S2
+
∂f
∂S
Sr = rf
69
To je Black-Scholesova parciální diferenciální rovnice.
Po transformaci (substitucích) dostaneme rovnici difuze (rovnici vedení
tepla)
∂f
∂t
= ·
∂2
f
∂S2
Řešením společně s transformovanou koncovou podmínkou (známe hodnotu
f (T) = (ST − K)+) dostaneme Black-Scholesův vzorec.
70