Chapter 1
Numerické metody oceňování evropských opcí
Black-Scholesovu rovnici nejdříve převedeme na standardní rovnici vedení tepla (viz. Stochastická analýza). Uvažujme tedy rovnici
du _ (řu
dt ~ dx2 1 ' '
na oblasti IR x (0,T), s počáteční podmínkou (transformovanou výplatní funkcí příslušné opce)
u(x,0) = ij)(x) (1.2)
a pretransformovanými okrajovými podmínkami pro x —> ±00 (připomeňme že například pro hodnotu call opce V(S, t) platí V —> 0 pro S —> 0 a V —> S pro S —> 00).
Jako první krok budeme diskretizovat oblast IR x (0,T). Zvolíme prostorový krok h > 0 a časový krok k > 0. Předpokládejme, že k = ^, jinak řečeno m je počet dělících podintervalů intervalu (0, T). V oblasti IR x (0, T) uvažujme sít mřížových bodů
Xi = ih,    i E Z,        t j = jk,   j = 0,..., m. (1-3)
Aproximaci řešení v mřížovém bodě {x,^tj) označme u\, tedy
u\ « u(xi,tj). (1.4)
Parciální derivace budeme aproximovat příslušnými diferencemi. Uvažujme Taylorův rozvoj 2. řádu v bodě (xi,tj) . Máme Xi+i — Xi = Xi — Xi-i = h, tedy
du      1 O^u
u(xi+1,tj) =u(xi,tj) + —h+ 2dx^h2 + 0^ (1-5)
2 CHAPTER 1. NUMERICKÉ METODY OCEŇOVÁNÍ EVROPSKÝCH OPCÍ
a analogicky
Ou      1 02u
uixi^tj) =u(xi,tj) - g^h+2d^h2 + °^- (L6)
Odečtením
Fin
<i - "Ž-i = 2^fc + 0(fc3) (1.7)
a vydělením h
s chybou 0(h2) pro h —> 0. To je aproximace první derivace pomocí centrální diference.
Sečtením rovnic (s přidáním členů 3. řádu, které se vyruší) dostaneme po úpravě a vydělení h2 aproximaci druhé derivace
(1-9)
Pro časovou derivaci použijeme aproximaci pomocí dopředně diference. Máme
Ou
u(xh tj+1) = u(xí, tj) + -g^k + 0{k2) (1.10)
Odtud
du,      .     uJ-+1 — u\ ,
a^^-V <U1)
s chybou 0(k).
Dosazením aproximací do rovnice vedení tepla dostaneme pro u\ rovnici
V>i+1 ~ U\ _ Ui+1 ~ 2U1 + Ui-1 n 19x
k h2 [ }
s chybou 0{k + h2) pro h,k —>• 0. Tedy hodnotu na časové vrstvě j + 1 lze explicitně vyjádřit pomocí hodnot na vrstvě j,
= 7*4-i + (1 " 27K + 7<i, (1-13)
kde 7 =
Pro konečnost výpočtu musíme ještě omezit obor proměnné x. Zvolíme N tak velké, abychom hraniční hodnoty uJ_N a uJN mohli aproximovat pomocí okrajových podmínek.
Označme     vektor řešení na časové vrstvě j, tedy
u3 = (m-n+i>---X-i>moXi>---X7V-i) (1-14)
1.1. METODA BINOMICKÉHO STROMU
je vektor v WL2N 1. V maticovém zápisu tak dostaneme
ui+1 = Auj + V pro j = 0,..., m — 1, kde A je tridiagonální matice tvaru
A
( 1 - 27 7
7      1 — 27 7
7
V
7
7    1 - 27 /
(1.15)
(1.16)
0
(1.17)
0
Pokud platí takzvaná Courant-Lewy-Frídríchsova podmínka stability
0 < 7 <
(1.18)
tedy
k 1
7^2-2'
(1.19)
pak je explicitní metoda stabilní. To znamená, že přibližná řešení konvergují pro h, k —y 0 k přesnému řešení.
1.1   Metoda binomického stromu
Pokud zvolíme
h = \Í2k
(1.20)
bude 7 = \ a člen s koeficientem 1 — 27 = 0 vypadne. Metoda pak má tvar
J+i        j j
(1.21)
tedy u{+1 je aritmetický průměr hodnot řešení ve vrstvě t~.
4CHAPTER 1. NUMERICKÉ METODY OCEŇOVÁNÍ EVROPSKÝCH OPCÍ
1.2   Implicitní metoda
V implicitní metodě pro aproximaci časové derivace namísto dopředně diference použijeme zpětnou diferenci,
du
K - K
k
(1.22)
s chybou O (k). Tedy u\ splňuje rovnici
ví ~ uľľ = ul+i ~ 2ul + Ui-1 k h2
opět s chybou O (k + h2) pro h, k —y 0. Tedy
-lui-i + í1 + 2l)ul ~ lui+i = uľľ
(1.23)
(1.24)
kde 7 = -p-. Omezíme se opět na konečnou posloupnost prostorových bodů
h2'
Xi, i = —N + 1,... N — 1. Pak dostaneme soustavu rovnic
Au3
+i
(1.25)
pro j = 0,... m — 1, kterou vyřešíme vhodnou numerickou metodou (obvykle iterační metodou, viz. níže). A je v tomto případě matice
A
( 1 + 27 7
7      I + 27 7
7
V
\
7
(1.26)
7    I + 27/
a b je vektor
0
(1.27)
0
V   1UN J
kde hodnoty řešení v krajních bodech x_^ a x^ aproximujeme pomocí okrajových podmínek.
Hlavní výhodou implicitní metody je stabilita pro libovolnou hodnotu 7. Posloupnost přibližných řešení tedy vždy konverguje k přesnému řešení.
Chapter 2 Americké opce
Připomeňme, že americká kupní opce je kontrakt který dává majiteli právo koupit podkladové aktivum kdykoliv v časovém intervalu [0, T] za realizační cenu K, kde T je čas expirace opce.
Označme VAC resp. VEC hodnotu americké, resp. evropské call opce, a analogicky pro put opce. Zřejmě platí
VAC(S,t) > VEC(S,t) (2.1)
a stejně tak pro put opci. Navíc cena americké call opce musí splňovat
VAC(S, t) > max(St -K,0). (2.2)
Opravdu, jinak by existovala zřejmá arbitráž : koupíme opci a okamžitě ji uplatníme. To dá zisk St — K, celkem pak máme St — K — VAC > 0.
Graf ceny americké call opce tedy nikdy neprotne graf výplatní funkce opce. Na druhé straně, ukážeme že pro evropskou put opci i pro call s dividendou graf ceny protne graf výplatní funkce.
Pro evropskou put opci (bez dividendy) máme
VEP(S, 0) = Ke-rTN(-d2) - SNi-di) (2.3)
tedy
VEP(0, 0) = Ke-'T <K = K-S. (2.4) Podobně pro evropskou call opci na akcii s dividendovou mírou d máme
VEC(S, 0) = Se-dTN(d1) - Ke-rTN(d2). (2.5)
Tedy
yEC
lim —— = e-dT < 1 (2.6)
5
6
CHAPTER 2.  AMERICKÉ OPCE
a tedy
VEC(S,0) < S - K (2.7)
pro dostatečně velké S » K.
Hodnota americké put opce je tedy větší než hodnota příslušné evropské opce a totéž platí pro call opci s dividendou.
2.1   Ocenění amerických opcí
Pro ocenění americké put opce, případně call opce s dividendou musíme vedle hodnoty řešení VAC najít také funkci Su{t) která popisuje hranici předčasného uplatnění. Ta má následující vlastnosti:
— Je-li S < Su(t) pak VAC(S, ť) > max(S' — K, 0) a opci budeme dále držet. Pro malou změnu času platí stejný jistící argument jako pro evropskou opci. Tedy v oblasti 0 < t < T a S < Su(t) platí Black-Scholesova rovnice.
— Je-li S > Su(t), pak VAC(S, ť) = max(S — K, 0) a opci uplatníme
Matematická formulace vypadá následovně:
Chceme najít funkci VAC(S,ť) společně s funkcí Su{t) popisující hranici předčasného uplatnění, tak, aby platilo
— Funkce V = VAC(S,t) splňuje Black-Scholesovu diferenciální rovnici.
dV    a2 d2V dV
na časově proměnné oblasti 0 < t < T a S < Su(t).
— jsou splněny koncové podmínky pro call opci
V(S, T) = max^t - K, 0) (2.9)
— jsou splněny okrajové podmínky pro americkou call opci
V(0,t)=0 (2.10)
V(Su(t),t) = Su(t)-K (2.11)
%(Su(t),t) = l (2.12)
(pro odvození třetí podmínky viz. cvičení). V další části si ukážeme jak tuto úlohu řešit numericky.
2.2. ITERA ČNÍ METODA ŘEŠENÍ SO USTAV LINEÁRNÍCH ROVNICI
2.2   Iterační metoda řešení soustav lineárních rovnic
V této části si ukážeme iterační metodu řešení systému lineárních rovnic, nazývanou SOR metoda, kterou lze adaptovat i na řešení úloh lineární komplementarity, tedy problému na který vede oceňování amerických opcí. Necht uj > 0 je zvolený parametr (tzv. relaxační parametr). Necht
A = L + D + U (2.13)
je rozklad matice A na diagonální část (D) a dolní a horní trojúhelníkovou matici [L a U).
Chceme řešit rovnici
Au = b. (2.14)
To je ekvivalentní rovnici
Du = Du + uj(b- Au). (2.15) Z rozkladu A = L + D + U dostaneme
(D + uL)u = (l-uj)Du-uUu + ujb. (2.16) Matice D + ujL je invertovatelná, tedy u řeší úlohu
u = TUJu + cUJ (2.17)
kde
Tw = (D + ujL)-1({1-uj)Du-ujU) (2.18)
a
cw = lu(D + LuL^b. (2.19)
Pomocí matice Tw definujeme rekurentní posloupnost přibližných řešení úlohy Au = b,
u° = C (2.20) pro zvolený vektor C (např. C = 0) a
u'}+1 = Twu'} + cw (2.21)
pro p = 1,2,..., Pokud posloupnost up konverguje k nějakému vektoru u, pak zřejmě platí
u = Twu + cw, (2.22) tedy u je řešení původní úlohy Au = b.
8
CHAPTER 2.  AMERICKÉ OPCE
Konvergenci dostaneme pomocí Banachovy věty o kontrakci. Pokud dokážeme, že ve vhodné normě (např. spektrální, kdy je norma rovna maximu z absolutních hodnot vlastních čísel)
IM < 1, (2.23)
pak zobrazení
u —y Twu + cw (2.24)
je kontrakce
Platí následující věta:
Věta 2.1. Pro tridiagonální diagonálně dominantní matici existuje u)0 G (1,2) pro které je spektrální norma minimální, a platí
\\T„0\\<1. (2.25)
2.3   Lineární komplementarita pro americké opce
Pro americkou call a put opci platí parciální diferenciální nerovnost dV    a2 d2V dV
pro všechna S G (0,oo) a t G (0,T). Pro ověření tohoto tvrzení uvažujme americký call s dividendami. Víme, že pro 0 < S < Su(t) platí Black-Scholesova rovnice, tedy nastává rovnost. Je-li naopak S > Su(t) pak
V(S,t) = mzx(S-K,0) = S-K (2.27)
nebot Su(t) > K. Dosazením funkce S — K do levé strany Black-Scholesovy rovnice dostaneme
(r - d)S - r(S — K) = r K — dS < r K — DSu{t) < 0, (2.28)
nebot platí
Su(ť) > Jřímax(^,l) (2.29)
(dk.: cvičení). Tedy hodnota americké call opce splňuje následující úlohu lineární komplementarity
dV    a2 d2V dV
a + Těš^-^aš-'^0 (2'30)
V(S,t) > mzx(S- K,0) (2.31)
{% + y % + (r" d)s% ~ rVKv(s>l) ~ max(5 - ^0)) =0 (2-32)
pro S G (0,oo) a t G (0,T).
2.4. ŘEŠENÍ ÚLOHY O LINEÁRNÍ KOMPLEMENTARITĚ
9
2.4   Řešení úlohy o lineární komplementaritě
Máme dánu matici A a vektory bag. Chceme řešit úlohu o lineární komplementaritě v diskrétním tvaru
Au > b,      u> g (2.33)
a
(Au-b)(u-g) = 0, (2.34)
kde všechny tři vztahy jsou chápány po složkách.
Necht A je tridiagonální a diagonálně dominantní matice, tedy platí
cti >      + h\, (2.35)
pro každé i, kde «j jsou hodnoty na hlavní diagonále a /3j,7j hodnoty na vedlejších diagonálách.
2.4.1   Projektovaná SOR metoda
V každém jednotlivém kroku přejdeme od vektoru aproximace up k up+1 tak aby platilo
up+1 > g. (2.36)
Pak se ukáže že limita těchto aproximací je opravdu řešení úlohy. Definujeme posloupnost aproximací řešení úlohy vztahy
u° = C,      up+1 = max(7>p + cw, g), (2.37)
kde maximum opět bereme po složkách. Platí
Věta 2.2. Pokud posloupnost up konverguje k u, pak u je řešením úlohy. Označme
F(u) = max(Tw-u + cw, g). (2.38)
Zřejmě F je nelineární zobrazení. Nicméně důkaz toho že je to kontrakce se redukuje na ověření stejné vlastnosti pro lineární operátor T.
Věta 2.3. F je kontrakce pokud ||TW|| < 1, tedy pokud T samo o sobě je kontrakce.
10
CHAPTER 2.  AMERICKÉ OPCE
2.5   Numerické metody pro americké opce
Chceme řešit úlohu lineární komplementarity
(
du d2u
dt dx2
)(u(x,t) - g(x,t)) = 0,
du d2u
dt dx2
> 0
(2.39)
(2.40)
u(x,t) - g(x,t)) > 0 (2.41)
pro všechna x G IR, 0 < t < T. Funkce g(x,t) je transformovaná výplata příslušného typu opce. Provedeme diskretizaci jako v případě evropských opcí. Pro příslušné aproximace funkcí u a, g označíme a gi hodnoty na časové vrstvě tj, tedy
u> = (ulN+1,...,ujN_1)ER2N-1 (2.42)
Opět zvolíme N tak velké, abychom mohli v krajních bodech aproximovat řešení pomocí okrajových podmínek, jako u evropských opcí. Můžeme vzít
ur
>N-9(xN,tj) (2.43)
protože pro velké hodnoty x je okrajová podmínka přibližně rovna příslušné počáteční podmínce. Pak diskrétní verze úlohy o lineární komplementaritě má vektorový tvar
Auj+1 > u> +V,
u
>g-
(Auj+1 - b)i(u
j = 0,... ,m - 1
gJ+1h = o,
(2.44)
(2.45)
pro všechna i = 1,..., 2N — 1. Matice A je stejná jako u implicitní metody pro evropské opce, tedy tridiagonální matice tvaru
/ 1 + 27      7 \
7      I + 27 7
A
7
7
(2.46)
7    I + 27/
( ig(x-N,tj+i) \ o
o
(2.47)
\ -fg(xN,tj+1) J Řešení najdeme opět pomocí projektované SOR metody.