Zde jsou uvedeny příklady ze cvičení ke knize Matematika prakticky i
korektně. Tyto příklady jsou také „náhradními příklady za neúčast
pro studenty kombinované formy. Není však nutné, aby studenti spočítali
všechny příklady. Prozatím necháváme na zvážení samotných
studentů, jaké množství z těchto příkladů spočítají, měli by však
práci věnovat alespoň takovou dobu, jakou stráví jejich prezenční
kolegové na cvičeních a přednáškách (tj. 5 hodin týdně).
1.1.4 Cvičení
1. V zoologické zahradě onemocněl hroch. Bylo mu předepsáno 42 mg
vitaminu A, 65 mg vitaminu D. K dispozici máme dva přípravky,
první obsahuje 10 procent vitaminu A a 25 procent vitaminu D,
druhý obsahuje 20 procent vitaminu A a 25 procent vitaminu D.
Jak to hrochovi nadávkujeme?
2. Majitel hospody má čtyřmístné, šestimístné a osmimístné stoly.
Dohromady má 20 stolů. Při plném obsazení je v hospodě 108 zákazníků.
V případě, že je plně obsazeno jen polovina čtyřmístných,
polovina šestimístných a čtvrtina osmimístných stolů, je v hospodě
právě 46 zákazníků. Kolik je v hospodě kterých stolů?
3. V každé z následujících soustav nalezněte podmínky pro čísla a a
b tak, aby měla soustava žádné, resp. právě jedno, resp. nekonečně
mnoho řešení.
a) x − 2y = 1 , ax + by = 5,
b) 3x + y − z = a , x − y + 2z = b , 5x + 3y − 4z = c,
c) x + 2y − 4z = 4 , 3x − y + 13z = 2 , 4x + y + a2
z = a + 3,
d) 2x + y − z = a , 2y + 3z = b , x − z = c,
e) x+ay−z = 1 , −x+(a−2)y+z = −1 , 2x+2y+(a−2)z = 1.
4. Pan František Vopička je hypochondr. Rozhodl se užívat 5 mg
vitaminu A, 13 mg vitaminu B a 23 mg vitaminu C denně. K dispozici
má tři přípravky. Množství vitaminů v jedné tabletě je dáno
následující tabulkou.
Přípravek A B C
1. 1 mg 2 mg 4 mg
2. 1 mg 1 mg 3 mg
3. 0 mg 1 mg 1 mg
Nalezněte všechna možná dávkování tablet v případě, že tablety jsou
již dále nedělitelné. Pan František je navíc skrblík. Které řešení si má
vybrat, jestliže tableta prvního přípravku stojí 3Kč, druhého 4Kč a
třetího 5Kč.
∗5. Nechť (x)A = (β) je soustava n rovnic o n neznámých, jejíž
matice AT
je regulární. Taková soustava se nazývá kramerovská a
má právě jedno řešení tvaru
(χ) =
1
det A
(det B1, . . . , det Bn),
kde matice BT
i vznikne nahrazením sloupce (αi) v matici AT
sloupcem
pravých stran soustavy (β). Určete řešení následujících kramerovských
soustav:
(a)
3x1
+ 2x2
+ x3
= 5
4x2
+ 5x3
= 2
x1
+ 3x2
= 0
(b)
x1
+ 3x2
− x3
= 4
2x1
+ x2
= 4
x1
− x2
+ 2x3
= 5
(c)
x1
+ 3x2
= 4
2x1
+ x3
= 0
−x1
+ 2x2
+ x3
= α
(d)
4x1
+ x2
− x3
= β1
− x2
+ x3
= β2
2x1
+ 3x2
− 2x3
= β3
Za trojici (β1, β2, β3) zvolte postupně (β) = (0, 0, 0);
(3, 5, −1); (2, −10, 24).
6. Určete všechna řešení následujících soustav rovnic. Použijte úpravy
matice BT
na schodovitý tvar.
(a)
3x + y = −1
2x + y = 2
(b)
x1
+ x2
+ 2x3
= −1
2x1
− x2
+ 2x3
= −4
4x1
+ x2
+ 4x3
= −2
(c)
2x1
+ x2
− 4x3
= 0
3x1
+ 5x2
− 7x3
= 0
4x1
− 5x2
− 6x3
= 0
7x1
− 13x3
= 0
7. Udejte příklad homogenní soustavy lineárních rovnic s právě jedním
řešením. Může mít homogenní systém právě dvě řešení? Zdů-
vodněte.
8. Ukažte, že dvě roviny v R3
procházející počátkem mají alespoň
jeden další společný bod (mají nekonečně mnoho společných bodů).
9. Mohou dvě rovnice o třech neznámých mít jednoznačné řešení?
10. Rozhodněte o vzájemné poloze dvojice přímek:
a) p : x + y + z − 1 = 0, 2x + 3y + 6z − 6 = 0
q : y + 4z = 0, 3x + 4y + 7z = 0
b) p : x = −1 + 3t, y = −3 − 2t, z = 2 − t
q : x = 2 + 2t, y = −1 + 3t, z = 1 − 5t
∗11. Řešte následující sítě. Použijte Kirchhoffovy zákony.
1Ω1Ω
1Ω 1Ω
2 V
1 V
10V
20V
2Ω
4Ω
6Ω
Návod: Součet všech proudů přitékajících do uzlu je roven součtu
všech proudů z uzlu vytékajících, napětí zdroje v uzavřené smyčce
je rovnou součtu úbytků napětí na odporech v této smyčce. Úbytek
napětí na odporu se vypočte jako součin protékajícího proudu a
odporu. Označte si, jako neznámé, proudy v jednotlivých větvích
sítě a aplikací těchto zákonů získáte soustavu lineárních rovnic.
12. Určete všechna řešení následujících soustav rovnic. Použijte úpravy
matice BT
na schodovitý tvar.
(a)
−2x + y = 2,
−4x − 2y = −4,
(b)
x1
+ 2x2
+ 3x3
= 4,
2x1
+ x2
− x3
= 3,
3x1
+ 3x2
+ 2x3
= 10,
(c)
x1
+ x2
+ x3
+ x4
= 0,
x1
+ 2x2
+ 3x3
+ 4x4
= 0,
x1
+ 3x2
+ 6x3
+ 10x4
= 0,
x1
+ 4x2
+ 10x3
+ 20x4
= 0.
13. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny:
a) : 5x − z − 4 = 0, p : 3x + 5y − 7z + 16 = 0, 2x − y + z − 6 = 0,
b) : y + 4z + 17 = 0, p : 2x + 3y + 6z − 10 = 0, x + y + z + 5 = 0.
14. Rozhodněte o vzájemné poloze trojice rovin.
a) 1 : 2x−4y+5z−21 = 0, 2 : x−3z+18 = 0, 3 : 6x+y+z−30 =
0,
b) 1 : 2x + y − z + 3 = 0, 2 : 3x − z = 0, 3 : 3y + 2z = 0.
1.2.3 Cvičení
1. Vyádřete v algebraickém tvaru čísla
a) 1+2i
1−2i
2
− 1−2i
1+2i
2
,
b) 1
i
+ 1
1+i
+ 1
1−i
,
c) (1 + i)4
,
d) (2 − 2i)5
(2 − 2i)
3
,
e) 1+i
1−i
+ 1−i
1+i
.
2. Vypočtěte absolutní hodnoty čísel z předchozího příkladu.
3. Řešte rovnice v oboru komplexních čísel.
a) z2
− 3z + 3 − i = 0,
b) z6
− 0 = 0,
c) |z| − z = 1 + 2i,
d) |z| = z3
,
e) (1 − i)z2
− 2(4 + i)z + 3 + 11i = 0,
f) x3
+ 1 = 0,
g) x3
− 1 = 0.
4. Zapište v goniometrickém tvaru komplexní čísla
a) 1 + i,
b) − 1√
2
(cos 7π
4
+ i sin 7π
4
),
c) −i5
,
d) −1
4
(1 + i
√
3).
5. V Gaussově rovině znázorněte množinu, pro kterou jsou splněny
následující rovnosti nebo nerovnosti.
a) |z − 1| ≤ 1,
b) |z − 1| = |z + 1| + 3,
c) |z + 2 − i| > 2,
d) 1 ≤ |3iz − 1| < 3.
∗6. Pro každé ϕ ∈ R a každé n ∈ N dokažte:
1 + itgϕ
1 − itgϕ
n
=
1 + itgnϕ
1 − itgnϕ
.
Návod: Převeďte levou stranu rovnosti na goniometrický tvar, použijte
Moivrovu větu.
1.3.5 Cvičení
1. Jsou zadány matice
A =



1 −1 4
2 0 1
1 2 0


 , B =



1 2
0 −1
1 1


 ,
C =
3 1 0
−1 1 2
, D =



a 0 −1 a
0 2a 3 0
1 −a 1 1


 .
Rozhodněte, které dvojice z těchto matic lze spolu násobit a v jakém
pořadí. Násobení proveďte.
∗2. Dokažte (A · B)T
= BT
· AT
, kde symbol AT
značí matici
transponovanou k A.
3. U následujících matic zjistěte, zda jsou regulární (u číselných matic)
resp. za jakých podmínek jsou regulární (u matic s parametry)
a v kladném případě stanovte matice inverzní. Užijte obou způsobů
výpočtu A−1
a výsledky porovnejte.
1 −1
1 2



−1 0 1
0 1 1
1 0 2






a b 0
c d 0
0 0 e






−2 1 −1
1 0 4
0 1 1



4. Jsou dány matice
A1 =



1 2 0
2 −4 1
0 1 3


 A2 =





i 1 −i 1+i
1 −1 0 i
√
2
−i 0 3 0
1+i i
√
2 0 −i





A3 =



1 i 1−i
−i 0 2
1+i 2 3


 A4 =
0 8−6i
8−6i 0
A5 =
1 2
−2 1
A6 =
1 2 3 4
0 1 2 3
B1 =



0 1 −1
−1 0 2
−2 0 1


 B2 =





3 1
−1 0
4 5
0 1





B3 = 1 0 1 −1 B4 =





2
0
4
5





B5 =



8 4 0 2 1
0 0 0 3 2
0 0 0 0 1


 B6 =



1 0 0 0
0 3 0 0
3 4 2 0



a) Určete, které ze zadaných matic jsou ve schodovitém tvaru resp.
trojúhelníkové.
b) Vypočtěte všechny definované součty a součiny matic Ai s maticemi
Bj.
c) Určete hodnost matic a u čtvercových matic vypočtěte deter-
minant.
5. Nechť A je matice typu m/n, En jednotková matice typu n/n,
Em jednotková matice typu m/m. Vypočtěte součiny AEn a EmA.
∗6. Nechť A je čtvercová matice. Dokažte:
a) Matice A + AT
je symetrická a matice A − AT
antisymetrická
(nad R i C).
b) Každou čtvercovou matici lze zapsat jako součet symetrické a
antisymetrické matice.
7. Zjistěte, zda platí toto tvrzení: Čtvercová matice A je horní trojúhelníková
právě tehdy, když má schodovitý tvar. V kladném případě
tvrzení dokažte, v záporném případě je opravte.
8. Určete znaménka následujících permutací čísel {1, . . . 9}:
a) 1,5,3,4,7,2,8,9,6,
b) 5,2,3,9,8,1,6,7,4,
c) 9,8,7,1,2,3,6,4,5.
∗9. Napište permutaci množiny prvků {1, . . . , n}, která obsahuje
nejvíce inverzí. Určete počet inverzí a znaménko permutace.
∗10. Určete znaménka následujících permutací (tj. rozhodněte, zda
se jedná o sudou nebo lichou permutaci):
a) (2n+1, 2n+2, . . . , 3n−1, 3n, 2n, 2n−1, 2n−2, . . . , 2, 1) prvků
{1, . . . 3n},
b) (n+1, n+2, . . . , 2n−1, 2n, n, n−1, . . . , 2, 1) prvků {1, . . . , 2n}
c) (2n, 2n − 2, . . . 4, 2, 2n − 1, 2n − 3, . . . , 3, 1) prvků {1, . . . , 2n}.
∗11. Dokažte následujcící vztahy pro dané matice
a)
A =
cos x − sin x
sin x cos x
, An
=
cos nx − sin nx
sin nx cos nx
b)
A =



1 1 0
0 1 1
0 0 1


 , An
=



1 n
n(n−1)
2
0 1 n
0 0 1



Návod: a) ukažte nejprve přímým vynásobením, že
cos α − sin α
sin α cos α
·
cos β − sin β
sin β cos β
=
cos(α+β) − sin(α+β)
sin(α+β) cos(α+β)
.
b) Napište matici A jako součet matice diagonální a matice ostře
horní trojúhelníkové a použijte binomickou větu.
1.4.5 Cvičení
1. Určete, zda dané vektory u = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3) , w =
(w1, w2, w3) jsou lineárně závislé či nezávislé
a) u = (1, 2, −2) , v = (−2, −3, 1) , w = (−1, 2, 2)
b) u = (1, 3, −2) , v = (1, 1, 2) , w = (−1, 2, −8).
2. Určete hodnotu parametru a, pro kterou jsou dané vektory lineárně
závislé či nezávislé
a) u = (1, 1, 1) , v = (1, a, 1) , w = (2, 2, a)
b) u = (0, 2, a) , v = (−1, 3, 2) , w = (2, −4, a).
3. Určete, zda daný systém vektorů je ortogonální či ortonormální:
u = (1, −2, 2, 1) , v = (1, 3, 2, 1) , w = (−1, 0, 1, −1).
4. Určete parametry a , b tak, aby daný systém vektorů byl ortogo-
nální
a) u = (1, 1, 2, 0, 0) , v = (1, −1, 0, 1, a) , w = (1, b, 2, 3, −2),
b) u = (2, −1, 0, a, b) , v = (a, b, 0, −2, 1) , w = (a, 2b, 5, b, −a).
5. Určete vektor x = (x, y, z, t), který je ortogonální k dané trojici
vektorů u = (1, 1, 1, 1) , v = (1, −1, −1, 1) , w = (2, 1, 1, 3).
∗6.. Dokažte, že pro smíšený součin [u, v, w] ≡ u · (v × w) platí
[u, v, w] = −[v, u, w] = [v, w, u] = −[v, u, w] = −[w, v, u] = [w, u, v].
7. Dokažte následující vztahy, které platí pro vektory v R3
a) u × u = 0,
b) u × v = −v × u,
c) (ku) × v = u × (kv) , k ∈ R,
d) u × (v + w) = u × v + u × w.
8. Udejte podmínku, která
a) je nutná, ale není dostatečná,
b) není nutná, ale je dostatečná,
c) je nutná a dostatečná,
aby systém vektorů a = (α, β, 0), b = (α, 0, 0), c = (0, β, γ) byl bází
R3
.
9. Skalární součin vektorů a a b je roven velikosti jejich vektorového
součinu.
a) Určete všechny úhly, které mohou vektory a a b svírat.
b) Víte-li, že vektorový součin má směr osy z a vektor a má směr
kladné osy x a navíc velikosti vektorů a a b jsou rovny jedné, zakreslete
do obrázku všechny možnosti, které připadají v úvahu.
Určete velikost |a × b|.
10. Vektory a, b, c ∈ R3
mají v bázi (e1, e2, e3) složky a1
= −1,
a2
= −1, a3
= 0, b1
= 1, b2
= −1, b3
= 0, c1
= 0, c2
= 0, c3
= 2
a v bázi (e1, e2, e3) složky a1
= 1, a2
= −1, a3
= 1, b1
= −1,
b2
= 1, b3
= 0, c1
= 1, c2
= 1, c3
= 1. Vyjádřete vektory
nečárkované báze jako lineární kombinaci vektorů báze čárkované a
naopak, určete matice přechodu.
11. V bázi B = (e1, e2, e3, e4, e5) jsou dány vektory
a1 = (1 0 − 2 3 − 1), a2 = (0 4 − 2 2 0), a3 = (−1 1 0 − 4 2),
a4 = (−2 11 −6 −5 5). Určete, jsou-li lineárně závislé či nezávislé.
12. Přechod mezi bázemi B a B v R4
je dán vztahy
e1 = −e1 + e2 + e3
e2 = e1 + 2e3
e3 = e1 + e2 + e3 + e4
e4 = 3e1 + e4 .
Báze B je ortonormální.
a) Určete matice přechodu T a S. Vyjádřete vektory báze B jako
lineární kombinace vektorů báze B.
b) Vektor a = (1 0 − 2 1) v bázi B. Určete jeho složky v B .
c) Rozhodněte, zda báze B je ortonormální, či nikoliv.
13. Určete možné hodnoty determinantu matice přechodu při přechodu
mezi dvěma ortonormálními bázemi.
∗14. V R2
určete matici přechodu od pevně zvolené ortonormální
báze e1, e2 k bázi pootočené o úhel ϕ. Ukažte, že vynásobením matic
příslušných pootočení o úhly ϕ resp. ϕ získáme matici přechodu od
původní báze k bázi pootočené o součet těchto úhlů. Závisí výsledek
na pořadí násobení?
∗15. V R3
určete matici přechodu od pevně zvolené ortonormální
báze e1, e2, e3 k bázi získané pootočením o úhel ϕ kolem osy z a
následným pootočením o úhel ϑ kolem osy x.
Návod: Určete postupně matice přechodu jednotlivých pootočení a
ty potom vynásobte. Bude výsledek záviset na pořadí?
16. Určete vzdálenost bodu M = [1, 1, 1] od roviny určené bodem
A = [0, 0, 0] a vektory u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1).
17. Jsou dány body A = [0, 0, 1], B = [0, 1, 0], C = [−1, 1, 2]. Určete
bod D ležící na ose x tak, aby rovnoběžnostěn ABCD měl objem 5
objemových jednotek.
2.1.9 Cvičení
1. Určete definiční obor funkcí
a) y = x√
x2−3x+2
,
b) y = ln sin(x − 3) +
√
16 + x2,
c) y = ln (4x − x2),
d) y = 1
x3 | ln |x||,
e) y = |tg(x)| · ln(x2)
x
,
f) y = 3
4−x2 + ln(x3
− x).
2. Rozhodněte o sudosti resp. lichosti funkcí
a) y = x3
,
b) y = |tg(x)| · ln(x2)
x
,
c) y = x2
+ 1,
d) ln |x +
√
1 + x2|,
e) y = 1
x3 | ln |x||,
3. Určete periodu funkcí
a) y = sin 3x,
b) y = sin2
x,
c) y = 2 sin x cos x + 1 − 2 sin2
x,
d) y = sin x + sin 2x + sin 3x.
4. Následující polynomy rozložte v R a určete intervaly, na kterých
mají kladné resp. záporné znaménko.
a) x4
− 2x3
+ 2x2
− 2x + 1,
b) x6
+ 1,
c) x3
− 6x2
− x + 30,
d) x3
− 1,
e) (x2
+ 3x + 2)(x2
+ x),
d) x6
− 1.
5. Určete, na kterých intervalech existuje inverzní funkce k následujícím
funkcím a najděte ji.
a) y = 2x−1
3x+5
,
b) y = 10x−3
,
c) y = 1
2
(ex
− e−x
),
d) y = tg2
(x − π
4
),
e) y = x2
+ 1,
f) y = ex+e−x
2
.
6. Pokud je třeba, podělením polynomů převeďte neryze lomenné
funkce na součet polynomu a ryze lomenné funkce, kterou následně
rozložte na parciální zlomky.
a) x5+2x4−2x3+2x2−x+1
x4(x2+1)
,
b) x4+2x3−10x2+22x−71
x2+2x−15
,
c) 1
(x4−1)2 ,
d) x
(x+1)(x2+1)2 ,
e) 2x4−2x3+x2+1
(x−1)2(x2−x+1)
.
7. Vypočtěte následující limity funkcí:
a) lim
x→∞
3x3−4x2+2
7x3+5x2−3
,
b) limx→∞
x+sin x
x+cos x
,
c) lim
x→0−
arctgx
x
,
d) lim
x0+
(sin x)x
,
e) lim
x→0
1−cos x
x
,
f) lim
x→∞
√
x2+3x
(2x3−2x)
1
3
,
g) lim
x→0+
arctgx√
x
,
h) lim
x→1
x2−1
x−1
.
8. Vypočtěte následující limity posloupností:
a) ((−1)n
), b) (sin n+n
sin n−n
).
2.2.7 Cvičení
1. Určete derivaci funkce a obor její existence
a) e−x2
· ln x,
b) 7−x2
· e−5x
,
c) e−3x
· sin 3x,
d) ln(x2
− a2
) + ln x−a
x+a
,
e) arccos1−
√
x
1+
√
x
,
f) 2tan x2
,
g) 3ln tan x
,
h) ln(e−2x
+ x · e−2x
),
i) x(x2+1)
,
j)
√
x
( 1
x+1
)
.
2. Vyšetřete průběh následujících funkcí:
a) y = arctg1
x
,
b) y = (x−1)3
(x+1)2 ,
c) y = ln sin x,
d) y = cos2
(x),
e) y = ex
x2 ,
f) y = 1+x2
1−x2 ,
g) y = x + 1
1+x
,
h) y = x2−3
x−1
,
i) y = 1
x3−x
,
j) y = (x3
− 3x + 2)
1
3 ,
k) y = xex
,
l) y = 1
1−ex ,
m) y = ex+e−x
2
,
n) y = arctg
√
1 − x2.
3. Určete nejmenší a největší hodnotu funkce f(x) na intervalu [a,b].
f(x) a b
x4
− 8x2
− 9 -1 1
2 · sin 2x + cos 4x 0 π
3
2 · 23x
− 9 · 22x
− 12 · 2x
-1 1
2 · ln3
x − 9 · ln2
x + 12 · ln x e
3
4 e3
sin(sin x) -1 1
4. Částice koná harmonické kmity o amplitudě A = 2·10−4
m a frekvenci
f=400Hz. Určete, jaké největší velikosti rychlosti a zrychlení
částice dosáhne.
Návod: Závislost výchylky na čase je y = A·cos(2πf ·t+ϕ), derivací
této funkce podle času získáme závislost rychlosti, druhou derivací
získáme závislost zrychlení. Hledáme stacionární body těchto závis-
lostí.
5. Nad středem kruhové atletické dráhy poloměru R se má zavěsit
lampa. V jaké výšce je nutno ji zavěsit, aby dráha byla maximálně
osvětlena? Šířku dráhy lze oproti poloměru zanedbat.
Návod: Uvědomte si, že osvětlení je úměrné kosinu úhlu, pod kterým
světlo dopadá, a nepřímo úměrné druhé mocnině vzdálenosti
od zdroje. Zderivováním získané závislosti určíme stacionární body.
∗6. Z Planckova vyzařovacího zákona (závislost energie vyzářené
absolutně černým tělesem na vlnové délce) odvoďte Wienův posunovací
zákon.
Návod: Zderivujte závislost E(λ) = K 1
e
c
λT −1
a položte derivaci
rovnu nule. Získáte podmínku pro stacionární bod λmax = konst.
T
.
7. Vypočtěte následující limity funkcí.
a) limx→∞
(π
2
− arctgx) · ln x,
b) lim
x→0+
(cotgx − 1
x
),
c) lim
x→∞
(1 + 1
x
)x
,
d) lim
x→−∞
x(
√
1 + x2 − x),
e) lim
x→π
2
cos x
2
−sin x
2
cos x
,
f) lim
x→0
√
x+1−1
x
,
g) lim
x→0+
(1
x
)tgx
,
h) limx→∞
x(
√
1 + x2 − x).
8. Vypočtěte následující limity posloupností:
a) (ln n
n
),
b) ( n
ln n
),
c) (n+1
n+2
)n
),
d) (( n2
n2+1
)2n2
).
9. Vypočtěte následující integrály:
a) sin2
xdx,
b) sin3
xdx,
c) 1
sin x
dx,
d) sin 5x · cos 3xdx,
e) sin5
x · cos xdx,
f) dx
(x+1)(x+2)(x+3)
,
g) ecos x
· sin3
xdx,
h) x ·
√
x2 + a2dx,
i) dx√
3x+1+
√
3x−1
,
j) cos 3x−cos x
sin 2x
dx,
k) 2
√
x
√
x
dx,
l) x · sin(x2
+ 1)dx,
m) x
4+x4 dx,
n) 3x2+4x+6
x2+1
dx,
o)
√
2 + x + x2dx,
p) ex
sin xdx,
q) ln x
x
dx.
∗10. Odvoďte rekurentní vzorce pro neurčité integrály:
a) cosn
xdx, (n = 0),
b) dx
(1+x2)n , (n = 1),
c) xn
· cos xdx.
Návod: Příslušný integrál označte jako In a pomocí metody per
partes jeho výpočet převeďte na výpočet integrálů In−1, In−2, ...
11. Má být vybudován bazén tvaru kvádru, čtvercové podstavy o
celkovém objemu 1 m3
. Jaké musí mít rozměry (délka strany podstavy
a a hloubka h), aby jeho povrch byl minimální?
2.3.8 Cvičení
1. Vypočtěte obsah kruhu o poloměru r, vypočtěte jeho hmotnost,
jestliže má plošnou hustotu číselně rovnu σ(x, y) = 1
r
|x| a je umístěn
v počátku.
2. Vypočtěte obsah plochy pod grafem funkce y = sin2
x, y = sin 3x
pro x ∈ [0, π], vypočtěte hmotnost této plochy, jestliže plošná hustota
je σ(x, y) = x.
3. Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = x2
a x = y2
.
4. Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami x + y + y2
= 2 a
x = 0.
∗5. Vypočtěte obsah plochy ohraničené osou x a jedním obloukem
cykloidy: x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t).
6. Vypočtěte pomocí integrálu obsah
a) kruhové úseče,
b) elipsy,
c) trojúhelníka.
7. Vypočtěte pomocí integrálu objem a pro případ konstantní hustoty
také moment setrvačnosti kolem osy symetrie a polohu těžiště
a) válce,
b) kužele,
c) koule,
∗d) elipsoidu (se dvěma stejnými poloosami),
e) kulové úseče.
8. Vypočtěte moment setrvačnosti
a) homogenního oblouku kružnice , vzhledem k ose kolmé na rovinu
kružnice a procházející jejím středem,
b) homogenní úsečky (vzhledem k ose kolmé na úsečku a procházející
jejím středem, resp. libovolným jiným bodem),
c) zapište integrál pro moment setrvačnosti oblouku kružnice se
středem v bodě (0, 0, 0), ležící v rovině xy, která má lineární
hustotu (x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
.
9. Vypočtěte polohu těžiště homogenního oblouku šroubovice (x =
a cos ϕ, y = a sin ϕ, z = bϕ, ϕ ∈ [0, 2π]) a oblouku šroubovice s
hustotou (x, y, z) = [z(x + y)]2
.
10. Asteroida je dána parametrizací x = a cos3
t, y = a sin3
t, t ∈
[0, 2π]. Zakreslete přibližný obrázek a vypočtěte její délku (pozn.
integrovat se bude v mezích od nuly do π
2
- proč?).
11. Vypočtěte plochu, moment setrvačnosti kolem osy symetrie a
polohu těžiště pro následující povrchy pro případ konstantní plošné
hustoty σ = 1.
a) válce,
b) kužele,
c) koule,
12. U každé z křivek vypočtěte charakteristiky uvedené v závorce.
Předpokládejte, že mají lineární hustotu µ = 1.
a) Kardioida: x = a cos ϕ, y = a(ϕ + sin ϕ), ϕ ∈ [0, π] (M, XT ,
JY )
b) Archimedova spirála: r = a · ϕ v polárních souřadnicích
(M),
c) Logaritmická spirála: r = eϕ
v polárních souřadnicích (M,
XT , YT , JX, JY , JZ),
d) Kružnice: r = R v polárních souřadnicích, ϕ ∈ [0, 2π] (M,
XT , YT , JX, JY , JZ),
e) Cykloida: x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), t ∈ [0, 2π] (M,
YT , JX),
f) Asteroida: x = r cos3
t, y = r sin3
t, t ∈ [0, 2π] (M, XT , YT ,
JX, JY , JZ).
3.1.5 Cvičení
1. Jaká je pravděpodobnost, že při současném hodu šesti kostkami
padne
a) na každé kostce jiné číslo,
b) samé jedničky,
c) alespoň tři dvojky,
d) právě tři dvojky,
e) všechna čísla stejná,
f) všechna čísla lichá,
g) součet n, n = 6, . . . , 36.
2. Čtyři osoby si v šatně odložily kabát. Šatnářka při odchodu rozdala
kabáty náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že
a) všechny osoby budou mít svůj kabát,
b) žádná z osob nebude mít svůj kabát,
c) alespoň jedna osoba bude mít svůj kabát,
d) právě jedna osoba bude mít svůj kabát.
3. Dokažte následující kombinatorické identity:
a)
n
i=0
n
i
= 2n
b)
n
k
=
n
n − k
,
∗c)
r
i=0
n + i
i
=
n + r + 1
r
,
d)
n
k − 1
+
n
k
=
n + 1
k
, n > 0; k ≥ 0.
4. Klíčivost semen je ϑ (pravděpodobnost, že semínko vyklíčí), zasadímeli
n semen, jaká je pravděpodobnost, že
a) vyklíčí alespoň jedno semeno?
b) vyklíčí alespoň k semen?
c) vyklíčí právě k semen?
5. Ze skupiny 7 student˚u a 4 studentek se má vybrat šestičlenná
skupina, ve které budou alespoň 2 studentky. Kolika zp˚usoby to lze
provést?
∗6. Každý ze dvou parníků může doplout do přístavu vždy jen jednou
za den, v kterýkoli okamžik nezávisle na druhém parníku. První
se v přístavišti zdrží jednu hodinu, druhý dvě hodiny. Jaká je pravděpodobnost,
že jeden bude muset čekat, až druhý opustí přístaviště?
∗7. Na linkovaný papír se vzdáleností linek d házíme tyčinku délky
l < d. Vypočtěte pravděpodobnost, že při jednom hodu tyčinka
protne některou z linek.
8. Pravdě podobnost, že student A složí zkoušku z Matematiky 1 je
p, pravděpodobnost, že student B složí zkoušku z Matematiky 1 je
q. Jaká je pravděpodobnost, že zkoušku složí:
a) právě jeden ze studentů,
b) alespoň jeden ze studentů,
c) oba studenti,
d) žádný ze studentů.
9. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvě
pětky, jestliže víme, že
a) součet je dělitelný pěti.
b) součet je sudý.
10. Z balíčku standardních mariášových karet taháme čtyři karty.
Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jedna z nich bude srdcové eso
v případě, že
a) kartu po vytažení nevracíme zpět.
b) kartu po vytažení vracíme zpět.
11. Princ si z deseti dívek, z nichž osm je princezen a dvě jsou čarodějnice,
má vybrat nevěstu. Konzultuje se svým dvorním šaškem,
který rozezná princeznu s pravděpodobností 5
6
.
a) Šašek soudí, že dívka D je princezna. Určete pravděpodobnost,
že to je skutečně princezna.
b) Šašek soudí, že dívka D je čarodějnice. Princ tedy zvolí náhodně
jinou dívku. Stanovte pravděpodobnost, že tato náhodně zvolená
dívka je princezna.
∗12. Test studijních předpokladů má sto otázek, na každou z nich
student může zvolit odpovědi A, B, C, D, z nichž právě jedna je
správná. Předpokládejme, že student zná odpověď pouze na k otázek,
u otázek, na něž nezná odpověď, zvolí náhodně z nabízených
možností. Vybereme z vyplněného testu tohoto studenta jednu otázku
náhodně.
a) S jakou pravděpodobností u ní nalezneme správnou odpověď?
b) Předpokládejme, že odpověď je správná. Jaká je pravděpodobnost,
že student jenom hádal?
13. Výrobce Levoručka vyrobí denně 60 výrobků, z toho 10 procent
jsou zmetky. Výrobce Nešika vyrobí denně 40 výrobků, z toho 5
procent jsou zmetky. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný
výrobek z denní produkce je zmetek a pochází
a) od prvního dělníka,
b) od druhého dělníka.
3.2.3 Cvičení
1. Střelec provedl N = 150 výstřelu na terč, který je tvořen soustavou
n = 5 mezikruží MKi , i = 1, . . . , 5. Mezikruží MKi přitom
zasáhl Ni krát, kde N1 = 15, N2 = 20 , N3 = 35 , N4 = 45 , N5 = 35.
Za zásah mezikruží MKi získal i-bodu. Náhodnou veličinu X s diskretním
rozdělením definujeme jako počet bodů získaných pro jeden
náhodný výstřel. Určete
a) rozděleni veličiny X , {(xi, pi)},
b) pravděpodobnost, že pro náhodný výstřel získá střelec alespoň
I bodu, I = 1, 2, 3, 4, 5,
c) střední hodnotu veličiny X,
d) střední kvadratickou odchylku veličiny X,
e) pravděpodobnost, že při výstřelu získá střelec počet bodů v
intervalu i ∈ [2, 4].
2. Na letištních záchodech jsou čtyři kabinky. Je dána distribuční
funkce obsazení kabinek: F(0) = 0, 10, F(1) = 0, 35, F(2) = 0, 60,
F(3) = 0, 95, F(4) = 1. Určete
a) rozdělení náhodné veličiny X odpovídající počtu obsazených
kabinek,
b) střední hodnotu veličiny X a její rozptyl,
c) pravděpodobnost, že budou obsazeny alespoň dvě kabinky.
3. Je dána funkce f(x) = k · x pro 0 ≤ x ≤ 2 a f(x) = 0 jinak.
Určete
a) konstantu k tak, aby f byla funkcí hustoty pravděpodobnosti,
b) střední hodnotu a rozptyl,
c) nejpravděpodobnější hodnotu,
d) medián a čtvrtkvantily,
e) distribuční funkci.
4. Je dána funkce f(x) = k
(x+1)2 pro x ≥ 0 a f(x) = 0 pro x < 0.
Určete
a) konstantu k tak, aby funkce byla hustotou pravděpodobnosti,
b) distribuční funkci,
c) nejpravděpodobnější hodnotu, medián a čtvrtkvantily.
5. Jsou dány funkce f(x) = k
x2 pro 1 ≤ x ≤ 2, f(x) = 0 jinak,
g(x) = c(x − x2
) pro 0 ≤ x ≤ 1, g(x) = 0. Určete
a) konstanty k a c tak, aby funkce byly rozdělením pravděpodob-
nosti,
b) příslušné distribuční funkce,
c) nejpravděpodobnější hodnotu, střední hodnotu, rozptyl, medián
pro každé z rozdělení.
5. Házíme dvěmi kostkami. Náhodnou veličinou X označme součet
bodů na obou kostkách při jednou hodu. Určete
a) rozdělení veličiny X,
b) distribuční funkci,
c) střední hodnotu, rozptyl, nepravděpodobnější hodnotu,
d) pravděpodobnost, že součet bodů na kostkách bude v intervalu
[5, 7].
3.3.4 Cvičení
1. Při pokusu byly naměřeny tyto hodnoty napětí a proudu.
Č. U [V] I [A]
1. 5,0 0,48
2. 10.0 0,98
3. 15,0 1,36
4. 20,0 2,10
5. 25,0 2,51
1. 30,0 3,00
1. 35,0 3,49
1. 40,0 4,04
1. 45,0 4,47
1. 50,0 5,03
Metodou nejmenších čtverců určete hodnotu odporu a odchylku.
Literatura použitá při cvičení:
• Nicholson, Keith: Elementary Linear Algebra with Applications,
Wadsworth Publishers of Canada, Toronto.
• Musilová, Jana; Krupka, Demeter: Lineární a multilineární algebra,
UJEP, Brno 1998
• Budíková, Marie; Mikoláš, Štěpán; Osecký, Pavel: Teorie pravděpodobnosti
a matematická statistika, sbírka příkladů, MU,
Brno 1996.
• Gillman, Leonard; McDowell Robert: Matematická analýza, SNTL,
Praha 1980.
• Herman, Jiří; Kučera, Radan; Šimša, Jaromír: Seminář ze středoškolské
matematiky, MU Brno 1994.