SPECIÁLNÍ A OBECNÁ TEORIE RELATIVITY Jana Jurmanová Situace ve fyzice do Einsteina •„Celá fyzika je již v podstatě hotová s vyjímkou …“ •Mechanika je ucelená fyzikální teorie slavící úspěchy v astronomii •Elektrodynamika – úspěchy při vysvětlení elektromagnetických i optických jevů •Názory na podstatu světla – korpuskulární kontra vlnová teorie (nyní vede vlnová). • isaacspectrum Inerciální systém •1. Newtonův zákon – existuje inerciální soustava, vůči ní lze určovat klid a pohyb (soustava vzdálených hvězd = absolutní prostor) •Každá soustava, která je vůči této soustavě v klidu či rovnoměrném přímočarém pohybu, je též inerciální. •Prostředí potřebné pro šíření světla je totožné s absolutním prostorem. Prostředí pro šíření světla – ÉTER • • cvjpvb vlnění Éter by měl vyplňovat celý vesmír a mít následující vlastnosti: 1. Je dokonale prostupný pro hmotná tělesa. 2. Je absolutně nehybný vůči světlu, které se v něm šíří. Éter je absolutní •Snaha o změření rychlosti pohybu éteru vůči Zemi – měření času je nepřesné, raději interferenční jevy •Michelson-Morleyho experiment z L L PZ Z1 Z2 D Rozbor Michelsonova-Morleyova experimentu •Paprsek, který nemění směr pohybu a odráží se na zrcadle Z2, doputuje do detektoru za čas •Paprsek, který se odráží od zrcadla Z1, doputuje do detektoru za čas •Dráhový rozdíl d je roven c-násobku rozdílu časů, čili •Jednotlivá interferenční maxima jsou vzdálena o λ, takže lze pozorovat posuv o m=d/ λ proužku vůči stavu, kdy by se Země nepohybovala. •Otočíme-li zařízení o pravý úhel, dojde k posunu proužků na druhou stranu, celkový posuv •Pro V=30km/s,L=10m, λ=500nm je m=0,4 … ale posuv nepozorován! • „Prerelativita“ do Einsteina •Snaha o vysvětlení výsledků Michelsonova-Morleyho experimentu •Fitz-Gerald, Lorentz –rameno interferometru se zkracuje ve směru pohybu (důsledek působení elmg. sil na elektricky nabité částice ramene) •Poincaré: pohyb vůči éteru je principiálně nezjistitelný. •Einstein: •„Co bych viděl, kdybych letěl spolu se světelným paprskem?“ patent Platí: Maxwellovy rovnice •„A řekl Bůh: • • • •a bylo světlo.“ • • • • Rychlost šíření světla závisí jen na vlastnostech prostředí, v němž se šíří. Platí: Skládání rychlostí Moje rychlost má velikost v’ (vzhledem k vlaku). Vlak jede rychlostí V (vzhledem ke kolejím). Jeho rychlost vzhledem ke kolejím má velikost v’+V Klasické skládání rychlostí 0 x y S 0 x’ y’ S’ A CO NA TO ALBERT EINSTEIN? Co kdybych … letěl spolu se světelným paprskem? Je to ve sporu s Galileovým principem relativity. Světlo z obličeje nedoletí k zrcadlu – protože se v zrcadle nevidím, dokáži poznat, že se pohybuji vůči éteru. Ale to bych přece neměl… Světlo z obličeje doletí k zrcadlu – jsem přece v klidu vůči éteru. ALBERT MICHEL ÉTER Princip relativity •Ve všech inerciálních soustavách platí stejné fyzikální zákony (= to, je-li daný systém v klidu či pohybuje-li se rovnoměrně přímočaře, nepoznáme, dokud „nevykoukneme“ ven). •(GALILEO GALILEI, 1564-1642 ) • Galileo_9 Přijmu tedy princip relativity jako postulát… Což je ve sporu s konečnou rychlostí c šíření elektromagnetického vlnění ve vakuu, která plyne z Maxwellových rovnic – neměnnost c přijmu jako druhý postulát. Takže éter vlastně není a musím se bez něj obejít. Pak je tohle taky divné. Albertovo světlo letí rychlostí c, Albert letí rychlostí c, čili Albertovo světlo vůči mě letí rychlostí 2c. ALBERT MICHEL Je tedy třeba upravit klasický zákon skládání rychlostí: •Takže pro pohyb v jedné přímce (pouze x) musí platit • • •Tedy pro v’=c (a stejně i pro V=c) Platí: Skládání rychlostí Moje rychlost má velikost v’ (vzhledem k vlaku). Vlak jede rychlostí V (vzhledem ke kolejím). Jeho rychlost vzhledem ke kolejím má velikost v’+V Klasické skládání rychlostí 0 x y S 0 x’ y’ S’ Já bych měl být taky, ale … mohu vůbec letět rychlostí světla? ALBERT ALE …. ? Já už jsem spokojen. !!! Názory klasické (newtonovské) mechaniky na čas a prostor •Čas je absolutní. („Absolutní, pravdivý, v matematice používaný čas sám o sobě plyne již ze své přirozené podstaty rovnoměrně, nezávisle na vnějších podmínkách.“ ISAAC NEWTON, 1643-1727) •Prostorové vzdálenosti jsou také absolutní. • Newton_2 Nová transformace souřadnic •Stará (Galileiho) transformace souřadnic: • • • •vede na starý zákon skládání rychlostí •Nová (Lorentzova) transformace souřadnic • • • •vede na nový zákon skládání rychlostí A NAVÍC: Vede k dilataci času a kontrakci délek •Události soumístné ( ): • • • •Čas je tedy vždy delší než vlastní čas . Hodiny v systému S se tedy proti hodinám v S’ zpožďují – dilatace času díky pohybu. • •Události současné ( ): • • • •Ve vlastní vztažné soustavě S’ je prostorová vzdálenost větší než v S, délka měřená z jiné vztažné soustavy je kratší než vlastní – kontrakce délek. Nejslavnější vztah • einstein-e-mc2 Elementární odvození ekvivalence hmotnosti a energie •Následující odvození zákona ekvivalence, které nebylo dosud publikováno, má dvě přednosti. Ačkoliv využívá principu speciální relativity, nepředpokládá formální aparát teorie, ale užívá pouze tří dříve známých zákonů: • •1. zákona zachování hybnosti •2. výrazu pro tlak záření; to jest pro hybnost komplexu záření pohybujícího se v zadaném směru •3. dobře známého výrazu pro aberaci světla (vliv pohybu Země na zdánlivou polohu stálic – Bradley). • • • • • Aberace stálic a hybnost fotonu •Objevena již 1727 Bradleyem •Polohy hvězd na nebeské sféře opisují v průběhu roku elipsy, jejichž velká poloosa má vždy velikost • •Vysvětlil jako důsledek ročního pohybu Země, díky kterému se mění úhel, pod kterým se k nám pohybují paprsky hvězd H P c V -V α • •Hybnost fotonu: Nejprve uvažujme o následujícím systému. Nechť těleso B spočívá volně v prostoru vzhledem k souřadnicové soustavě K0. Dva komplexy záření S a S’, každý o energii E/2, se pohybují v kladném a záporném směru osy x0 a jsou zároveň absorbovány tělesem B. • Snímek1 Touto absorpcí vzroste energie tělesa B o hodnotu E. Těleso B zůstává vzhledem k souřadnicové soustavě K0 z důvodů symetrie v klidu. Snímek2 Dále uvažujeme týž proces vzhledem k souřadnicové soustavě K, která se pohybuje vzhledem k souřadnicové soustavě K0 konstantní rychlostí v v záporném směru osy z0. Vzhledem k souřadnicové soustavě K je popis procesu následující: Snímek3 Těleso B se pohybuje v kladném směru osy z rychlostí v. Oba komplexy záření mají nyní vzhledem k souřadnicové soustavě K směry, které svírají úhel α s osou x. Zákon aberace říká, že v první aproximaci platí α=v/c, kde c je rychlost světla. Z úvahy provedené vzhledem k souřadnicové soustavě K0 víme, že rychlost v tělesa B se absorpcí komplexů záření S a S’ nezmění. Snímek4 Nyní užijeme zákona zachování hybnosti našeho systému v souřadnicové soustavě K vzhledem ke směru osy z. I.Před absorpcí nechť má těleso B hmotnost M; Mv je pak výraz pro hybnost tělesa B (podle klasické mechaniky). II. Každý z komplexů záření má energii E/2, a tudíž podle dobře známého závěru Maxwellovy teorie má hybnost E/2c. Přesně řečeno je to hybnost komplexu záření S vzhledem k souřadnicové soustavě K0. Avšak je-li v malé ve srovnání s c, je hybnost vzhledem k souřadnicové soustavě K táž až na malou veličinu druhého řádu (v2/c2 je malé ve srovnání s 1). Složka této hybnosti ve směru osy z je (E/2c)sinα, čili s dostatečnou přesností (až na malé veličiny vyššího řádu) (E/2c)α neboli (E/2)(v/c2). Komplexy záření S a S’ mají tudíž dohromady hybnost E(v/c2) ve směru osy z. Celková hybnost systému před absorpcí je tudíž II. Po absorpci nechť má těleso B hmotnost M’. Předpokládáme zde možnost, že hmotnost se zvýší absorpci energie E (to je nutné proto, aby byl konečný výsledek naší úvahy konzistentní). Hybnost systému po absorpci je tudíž M’v . Nyní předpokládejme platnost zákona zachování hybnosti a aplikujeme jej vzhledem ke směru osy z. To dává rovnici čili Tato rovnice vyjadřuje zákon ekvivalence energie a hmotnosti. Vzrůst energie o hodnotu E je spojen se vzrůstem hmotnosti o hodnotu E/c2. Protože energie je podle obvyklé definice určena až na aditivní konstantu, můžeme tuto konstantu volit tak, že platí „Jestliže každý gram látky obsahuje tak ohromnou energii, proč to zůstalo tak dlouho nepovšimnuto? Odpověď je dosti jednoduchá: pokud se žádná energie nevydává navenek, nemůže být pozorována. Je to jako kdyby člověk, který je pohádkově bohatý, nikdy neutratil ani nevynaložil jediný cent; nikdo by nemohl říci, jak je bohatý.“ (1946) převzato z Albert Einstein, Z mých pozdějších let (Jak vidím svět II.), Lidové noviny, Praha 1995 „Dávej pozor, Bondy, co ti řeknu; je to nad lidský rozum, ale není v tom ani kousek švindlu. Tak tedy ten můj Karburátor opravdu spaluje hmotu, dočista spaluje, že z ní nezbude ani prášku; nebo spíš ji rozbije, rozpráší, rozloží v elektrony, zkonzumuje, vymele, já nevím, jak to nazvat; zkrátka úplně ji spotřebuje. Nemáš ani ponětí, jaká ohromná energie je v atomech. S půl centem uhlí v kotli můžeš obeplout parníkem celý svět, osvětlovat celou Prahu, pohánět celou Rustonku nebo co chceš; uhlovým oříškem budeš topit a vařit pro celou rodinu. A nakonec nebude třeba ani uhlí; zatopíme si prvním oblázkem nebo hrstí hlíny, kterou sebereme před domem. Každý kousek hmoty má v sobě víc energie než ohromný parní kotel; jen ji vyždímat! Jen umět hmotu dokonale spálit!“ Karel Čapek, Továrna na Absolutno, 1926 Může tedy Albert letět rychlostí světla? •NE, protože by se jeho délka zkrátila na nulu (kontrakce délek). •NE, protože jeho čas by vůbec neplynul (dilatace času) •NE, protože by jej vůbec nešlo na tuto rychlost urychlit: • • •Albert by tedy musel být foton ( ). • Čas a prostor nebo časoprostor •Přestává být důležitá pouze prostorová vzdálenost ,ale podstatná je vzdálenost „časoprostorová“= interval (pro velmi blízké body ) • •Takto definovaný interval je invariantní vůči Lorentzově transformaci, což znamená Minkowskiho kužel ct x Světelný kužel přítomnost 30% 30% Minulost a budoucnost ct x Světelný kužel přítomnost budoucnost minulost světočára Jinde ct x Světelný kužel přítomnost JINDE JINDE Návrat v prostoru (v