Příklad 1. Určete poloměr konvergence a součet následující řady.
∞
n=1
x4n−3
4n − 3
Řešení. Posloupnost koeficientů mocninné řady můžeme zapsat po částech takto:
ak =
1
4n−3
pro k = 4n − 3
0 jinak
Spočteme limitu superior této posloupnosti:
a = lim sup
k→∞
k
|ak| = lim
n→∞
4n−3 1
4n − 3
= e0
= 1,
kde předposlední rovnost dostaneme standardním rozepsáním odmocniny do exponenciály
a logaritmu a následným využitím L’Hospitalova pravidla. Poloměr
konvergence je tedy
r =
1
a
= 1.
Platí
∞
n=1
x4n−3
4n − 3
=
∞
n=1
x4n−4
,
∞
n=1
x4n−4
=
1
x4
∞
n=1
x4n
=
1
x4
·
x4
1 − x4
=
1
1 − x4
pro x ∈ (−1, 1). Nyní už přikročíme k výpočtu samotného součtu řady, platí
∞
n=1
x4n−3
4n − 3
=
∞
n=1
x
0
t4n−4
dt =
x
0
∞
n=1
t4n−4
dt =
x
0
1
1 − t4
dt.
Po rozkladu na parciální zlomky a integraci dostáváme
x
0
1
1 − t4
dt =
1
2
arctg t −
1
4
ln |1 − t| +
1
4
ln |1 + t|
x
0
=
=
1
2
arctg x −
1
4
ln |1 − x| +
1
4
ln |1 + x|
pro x ∈ (−1, 1). Zbývá vyšetřit krajní body - zkuste si sami.
1
Příklad 2. Určete poloměr konvergence a součet následující řady.
∞
n=1
n(n + 2)xn
Řešení. Platí
r = lim
n→∞
n(n + 2)
(n + 1)(n + 3)
= lim
n→∞
n2
+ 2n
n2 + 4n + 3
= 1.
Opět si v limitě všimněte poměru an
an+1
, kvůli kterému dostáváme přímo poloměr
konvergence řady. Platí
xn+2
= (n + 2)xn+1
= (n + 2)xn
x, odtud (n + 2)xn
=
(xn+2
)
x
.
Dále podobně, platí
(xn+2
)
x
= (n + 2)nxn−1
, odtud (n + 2)nxn
= x
(xn+2
)
x
.
Máme tedy vypsané důležité vztahy, a opět tedy přikročíme k výpočtu samotného
součtu řady. Pro x ∈ (−1, 1) platí
∞
n=1
n(n + 2)xn
= x
1
x
·
∞
n=1
xn+2
= x
1
x
· x2 x
1 − x
,
kde v poslední rovnosti jsme opět sečetli geometrickou posloupnost. Po zderivování
a úpravě dostáváme
x
1
x
· x2 x
1 − x
=
(3 − x)x
(1 − x)3
pro x ∈ (−1, 1). Zbývá vyšetřit krajní body - zkuste si sami.
2