Dirichletův princip
(1) Na konferenci 70 delegátů hovoří 11 různými jazyky, stejným jazykem
nejvíce 15 z nich. Za oficiální je považován takový jazyk, kterým
hovoří nejméně 5 delegátů. Dokažte, že to jsou alespoň tři jazyky.
(2) Karel se 50 dní za sebou připravoval k maturitě z matematiky.
Každý den vyřešil aspoň jednu úlohu, celkem to bylo 79 úloh. Dokažte,
že existuje jeden nebo několik po sobě jdoucích dní, ve kterých
Karel celkem vyřešil právě 20 úloh.
(3) Jaký největší počet králů můžeme umístit na šachovnici, aby se
žádní dva navzájem neohrožovali?
(4) Každý bod roviny je obarven jednou ze dvou barev. Ukažte, že některý
obdélník má všechny vrcholy stejné barvy.
(5) V autobuse je 38 cestujících, přitom ti, kteří se neznají, mají mezi
cestujícími společného známého. Dokažte, že některý cestující má
v autobuse aspoň sedm známých.
(6) Deset rodin z jednoho domu trávilo zahraniční dovolenou. Každá jela
jinam a poslala domů pohlednice pěti z ostatních rodin. Dokažte, že
některé dvě rodiny si poslaly pohlednice navzájem.
(7) Každý z deseti přátel dostal kartičku, na kterou napsal své čtyři
nejoblíbenější měsíce kalendářního roku. Dokažte, že některé dva
měsíce jsou současně zapsány na nejméně dvou kartičkách.
(8) Každí dva ze 17 vědců si navzájem dopisují o právě jednom ze tří témat
T1, T2, T3. Dokažte, že lze někteří tři vědci si navzájem dopisují
stejném tématu Ti.
(9) Tenisový turnaj osmi hráčů se hrál systémem „každý s každým jeden
zápas . Dokažte, že lze určit hráče A, B, C, D tak, že hráč A porazil
hráče B, C i D, hráč B porazil hráče C i D a hráč C porazil hráče D.
(10) Ze dvou znaků, řekněme A a B, lze sestavit 25
= 32 pětimístných
kódů. Kolik (nejvíce) z nich lze vybrat tak, aby se každé dva z vybraných
kódů lišily v nejméně dvou pozicích?