Algebra II
6. Přednáška1
Definice. Necht T je těleso. Libovolný podokruh R tělesa T takový, že R je těleso, nazýváme podtělesem tělesa T. Jinými slovy podokruh R tělesa T je podtělesem, jestliže Va G R, a ^ O platí a-1 G R. Říkáme též, že T je rozšířením tělesa R. Nebo také, že R C T je rozšířením těles (v literatuře se hojně používá T/R je rozšířením těles).
Věta. Jsou-li R, T tělesa a p : R —> T homomorfismus okruhů, pak je p injektivní.
Důkaz. Nechť p : R —> T je homomorfismus okruhů, pak ker<y9 je ideál R a 1 ker p , vždyť p(l) — 1 ^ 0, tj. keriy? ^ R, proto ker<y9 je nulový ideál, jiné ideály už R nemá.
Věta. Každé těleso charakteristiky      0 obsahuje podtěleso izomorfní s 7lp. Každé těleso charakteristiky nula obsahuje podtěleso izomorfní s q.
Důkaz. Nechť i? je těleso, char R — 0. Pak jediný homomorfismus okruhů p : Z —>• R, určený předpisem p(m) — ml pro každé m e Z, je injektivní. Pak existuje homomorfismus okruhů Q —> R definovaný takto:
Z <---> R 3 p^ipin))-1
Zřejmě předchozí diagram komutuje a podle předchozí věty je homomorfismus Q —> R injektivní.
Poznámka. Je-li R podtělesem tělesa T, pak můžeme aditivní grupu (T, +) chápat jako vektorový prostor nad R (skalárním násobkem vektoru í e T skalárem r G i? je součin r • t počítaný v tělese T, axiomy vektorového prostoru jsou splněny, protože v T platí distributivní zákony, násobení je asociativní a 1 je jednička). Pak máme definovánu dimenzi dim^T G NU{oo} (zřejmě tato dimenze nemůže být nula).
Definice. Necht R Q T je rozšířením těles. Stupněm [T: R] tohoto rozšíření rozumíme dimenzi vektorového prostoru T nad tělesem R.
Věta. Necht R C S, S C T jsou rozšíření těles. Pak platí
[T : R] — [T : S] ■ [S : R],
kde užíváme konvence n ■ oo — oo • n — oo pro každé n G N U {oo}.
Důkaz. Je-li [S : R] — oo, pro každé n G N v S existuje n lineárně nezávislých prvků nad R, protože 5CT jsou tyto prvky v T a platí [T : R] — oo.
Je-li [T : S] — oo, pro každé n G N v T existuje n lineárně nezávislých prvků nad S. Ty jsou lineárně nezávislé i nad R, a proto [T : R] — oo.
Nechť n — [T : S], m — [S : R] G N. Nechť a±,..., an je báze T nad S, f3\,..., f3m báze S nad R. Ukážeme, že Uifij (1 < í < n, 1 < j < m) je bází T nad R. Nechť 7 G T je libovolný. Pak existují ôi,..., ôn G S, že 7 — X)ľ=i $iai- Existují tedy eij G R, že ôi — YľjLi £ijPj Pro každé i. Dosazením
n    /  m \ nm
i=l  \ j=l J i=l j=l
Tedy cti P j (1 < i < n, 1 < j < m) je množina generátorů T nad R.
Je-li J^ľ=i ~Yľj=i £ij(ai/3j) Pro nějaké Eíj G R nulový vektor, pak z lineárni nezávislosti a±,... ,an nad S dostaneme, že YľjLi £ijPj ~ 0 Pro každé i — 1,..., n a z lineárni nezávislosti fim nad R dostaneme, že Síj — 0 pro každé i, j. Tedy ctiPj (1 < i < n, 1 < j < m) je báze T nad R.
Pouze část přednášky, která se nenachází ve skriptech profesora Rosického.