Základní metrické a topologické pojmy
Marie Leváková
Ústav matematiky a statistiky
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
podzim 2013
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
1. x, y = y, x
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
1. x, y = y, x
2. x + y, z = x, z + y, z
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
1. x, y = y, x
2. x + y, z = x, z + y, z
3. αx, y = α x, y
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
1. x, y = y, x
2. x + y, z = x, z + y, z
3. αx, y = α x, y
4. x, x ≥ 0
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
1. x, y = y, x
2. x + y, z = x, z + y, z
3. αx, y = α x, y
4. x, x ≥ 0
5. x, x = 0 ⇔ x = 0.
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
1. x, y = y, x
2. x + y, z = x, z + y, z
3. αx, y = α x, y
4. x, x ≥ 0
5. x, x = 0 ⇔ x = 0.
Norma:
x =
p
x, x .
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
1. x, y = y, x
2. x + y, z = x, z + y, z
3. αx, y = α x, y
4. x, x ≥ 0
5. x, x = 0 ⇔ x = 0.
Norma:
x =
p
x, x .
Cauchy-Schwarzova nerovnost:
| x, y | ≤ x y ∧ | x, y | = x y ⇔ x =
x, y
y, y
y.
Základní metrické a topologické pojmy
Unitární prostory: Komplexní lineární prostor H se nazývá unitární, jestliže pro
∀x, y ∈ H existuje komplexní číslo x, y , nazývané skalární
součin, tak, že ∀x, y, z ∈ H a α ∈ C platí:
1. x, y = y, x
2. x + y, z = x, z + y, z
3. αx, y = α x, y
4. x, x ≥ 0
5. x, x = 0 ⇔ x = 0.
Norma:
x =
p
x, x .
Cauchy-Schwarzova nerovnost:
| x, y | ≤ x y ∧ | x, y | = x y ⇔ x =
x, y
y, y
y.
Ortogonalita: x a y jsou ortogonální, pokud platí
x, y = 0.
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
3. αx = |α| x
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
3. αx = |α| x
4. x ≥ 0
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
3. αx = |α| x
4. x ≥ 0
5. x = 0 ⇔ x = 0
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
3. αx = |α| x
4. x ≥ 0
5. x = 0 ⇔ x = 0
6. x + y 2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ 2 y 2
(rovnoběžníková
nerovnost)
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
3. αx = |α| x
4. x ≥ 0
5. x = 0 ⇔ x = 0
6. x + y 2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ 2 y 2
(rovnoběžníková
nerovnost)
Konvergence podle normy: Posloupnost prvků {xn} ∈ H konverguje podle
normy k x ∈ H, jestliže xn − x → 0 pro n → ∞.
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
3. αx = |α| x
4. x ≥ 0
5. x = 0 ⇔ x = 0
6. x + y 2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ 2 y 2
(rovnoběžníková
nerovnost)
Konvergence podle normy: Posloupnost prvků {xn} ∈ H konverguje podle
normy k x ∈ H, jestliže xn − x → 0 pro n → ∞.
Spojitost skalárního součinu: Jestliže {xn} a {yn} jsou posloupnosti prvků z H
takové, že xn − x → 0 a yn − y → 0 pro n → ∞, pak platí
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
3. αx = |α| x
4. x ≥ 0
5. x = 0 ⇔ x = 0
6. x + y 2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ 2 y 2
(rovnoběžníková
nerovnost)
Konvergence podle normy: Posloupnost prvků {xn} ∈ H konverguje podle
normy k x ∈ H, jestliže xn − x → 0 pro n → ∞.
Spojitost skalárního součinu: Jestliže {xn} a {yn} jsou posloupnosti prvků z H
takové, že xn − x → 0 a yn − y → 0 pro n → ∞, pak platí
1. xn → x
Ortogonální a ortonormální množiny: Množina M ⊆ H je ortogonální, jestliže
pro ∀x, y ∈ M, x = y platí x, y = 0.
Jestliže navíc pro ∀x ∈ M platí x = 1, množina M je
ortonormální.
Vlastnosti normy: Pro ∀x, y ∈ H a ∀α ∈ C platí:
1. x + y 2
= x 2
+ y 2
+ x, y + y, x
2. x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost)
3. αx = |α| x
4. x ≥ 0
5. x = 0 ⇔ x = 0
6. x + y 2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ 2 y 2
(rovnoběžníková
nerovnost)
Konvergence podle normy: Posloupnost prvků {xn} ∈ H konverguje podle
normy k x ∈ H, jestliže xn − x → 0 pro n → ∞.
Spojitost skalárního součinu: Jestliže {xn} a {yn} jsou posloupnosti prvků z H
takové, že xn − x → 0 a yn − y → 0 pro n → ∞, pak platí
1. xn → x
2. xn, yn → x, y .
Cauchyovská posloupnost: Posloupnost {xn} ∈ H je cauchyovská, jestliže
xn − xm → 0 pro n, m → ∞.
Cauchyovská posloupnost: Posloupnost {xn} ∈ H je cauchyovská, jestliže
xn − xm → 0 pro n, m → ∞.
Hilbertovy prostory: Hilbertův prostor je úplný unitární prostor, tj. takový
prostor, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu
xn − xm → 0 ⇒ ∃x ∈ H : xn − x → 0.
Cauchyovská posloupnost: Posloupnost {xn} ∈ H je cauchyovská, jestliže
xn − xm → 0 pro n, m → ∞.
Hilbertovy prostory: Hilbertův prostor je úplný unitární prostor, tj. takový
prostor, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu
xn − xm → 0 ⇒ ∃x ∈ H : xn − x → 0.
Uzavřený podprostor: Lineární podprostor M je uzavřený podprostor H,
jestliže M obsahuje všechny limitní body, tj.
xn − x → 0 ⇒ x ∈ M.
Cauchyovská posloupnost: Posloupnost {xn} ∈ H je cauchyovská, jestliže
xn − xm → 0 pro n, m → ∞.
Hilbertovy prostory: Hilbertův prostor je úplný unitární prostor, tj. takový
prostor, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu
xn − xm → 0 ⇒ ∃x ∈ H : xn − x → 0.
Uzavřený podprostor: Lineární podprostor M je uzavřený podprostor H,
jestliže M obsahuje všechny limitní body, tj.
xn − x → 0 ⇒ x ∈ M.
Ortogonální komplement:
M⊥
= {y ∈ H : x, y = 0, x ∈ M}
Cauchyovská posloupnost: Posloupnost {xn} ∈ H je cauchyovská, jestliže
xn − xm → 0 pro n, m → ∞.
Hilbertovy prostory: Hilbertův prostor je úplný unitární prostor, tj. takový
prostor, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu
xn − xm → 0 ⇒ ∃x ∈ H : xn − x → 0.
Uzavřený podprostor: Lineární podprostor M je uzavřený podprostor H,
jestliže M obsahuje všechny limitní body, tj.
xn − x → 0 ⇒ x ∈ M.
Ortogonální komplement:
M⊥
= {y ∈ H : x, y = 0, x ∈ M}
Projekční věta: Jestliže M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a
x ∈ H, pak
Cauchyovská posloupnost: Posloupnost {xn} ∈ H je cauchyovská, jestliže
xn − xm → 0 pro n, m → ∞.
Hilbertovy prostory: Hilbertův prostor je úplný unitární prostor, tj. takový
prostor, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu
xn − xm → 0 ⇒ ∃x ∈ H : xn − x → 0.
Uzavřený podprostor: Lineární podprostor M je uzavřený podprostor H,
jestliže M obsahuje všechny limitní body, tj.
xn − x → 0 ⇒ x ∈ M.
Ortogonální komplement:
M⊥
= {y ∈ H : x, y = 0, x ∈ M}
Projekční věta: Jestliže M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a
x ∈ H, pak
1. ∃!(ˆx ∈ M) : x − ˆx = infy∈M x − y
Cauchyovská posloupnost: Posloupnost {xn} ∈ H je cauchyovská, jestliže
xn − xm → 0 pro n, m → ∞.
Hilbertovy prostory: Hilbertův prostor je úplný unitární prostor, tj. takový
prostor, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu
xn − xm → 0 ⇒ ∃x ∈ H : xn − x → 0.
Uzavřený podprostor: Lineární podprostor M je uzavřený podprostor H,
jestliže M obsahuje všechny limitní body, tj.
xn − x → 0 ⇒ x ∈ M.
Ortogonální komplement:
M⊥
= {y ∈ H : x, y = 0, x ∈ M}
Projekční věta: Jestliže M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a
x ∈ H, pak
1. ∃!(ˆx ∈ M) : x − ˆx = infy∈M x − y
2. x − ˆx = infy∈M x − y ⇔ (x − ˆx) ∈ M⊥
Cauchyovská posloupnost: Posloupnost {xn} ∈ H je cauchyovská, jestliže
xn − xm → 0 pro n, m → ∞.
Hilbertovy prostory: Hilbertův prostor je úplný unitární prostor, tj. takový
prostor, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu
xn − xm → 0 ⇒ ∃x ∈ H : xn − x → 0.
Uzavřený podprostor: Lineární podprostor M je uzavřený podprostor H,
jestliže M obsahuje všechny limitní body, tj.
xn − x → 0 ⇒ x ∈ M.
Ortogonální komplement:
M⊥
= {y ∈ H : x, y = 0, x ∈ M}
Projekční věta: Jestliže M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a
x ∈ H, pak
1. ∃!(ˆx ∈ M) : x − ˆx = infy∈M x − y
2. x − ˆx = infy∈M x − y ⇔ (x − ˆx) ∈ M⊥
Prvek ˆx se nazývá ortogonální projekce x do M, značí se
ˆx = PM(x). Zobrazení PM : H → M se nazývá projekce H
do M.
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
1. Každé x ∈ H má jedinou reprezentaci pomocí součtu
prvku z M a M⊥
x = PM(x) + (I − PM)(x),
kde I je identické zobrazení.
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
1. Každé x ∈ H má jedinou reprezentaci pomocí součtu
prvku z M a M⊥
x = PM(x) + (I − PM)(x),
kde I je identické zobrazení.
2. PM(αx + βy) = αPM(x) + βPM(y)
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
1. Každé x ∈ H má jedinou reprezentaci pomocí součtu
prvku z M a M⊥
x = PM(x) + (I − PM)(x),
kde I je identické zobrazení.
2. PM(αx + βy) = αPM(x) + βPM(y)
3. x 2
= PM(x) 2
+ (I − PM)(x) 2
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
1. Každé x ∈ H má jedinou reprezentaci pomocí součtu
prvku z M a M⊥
x = PM(x) + (I − PM)(x),
kde I je identické zobrazení.
2. PM(αx + βy) = αPM(x) + βPM(y)
3. x 2
= PM(x) 2
+ (I − PM)(x) 2
4. xn − x → 0 ⇒ PM(xn) → PM(x)
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
1. Každé x ∈ H má jedinou reprezentaci pomocí součtu
prvku z M a M⊥
x = PM(x) + (I − PM)(x),
kde I je identické zobrazení.
2. PM(αx + βy) = αPM(x) + βPM(y)
3. x 2
= PM(x) 2
+ (I − PM)(x) 2
4. xn − x → 0 ⇒ PM(xn) → PM(x)
5. x ∈ M ⇔ PM(x) = x
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
1. Každé x ∈ H má jedinou reprezentaci pomocí součtu
prvku z M a M⊥
x = PM(x) + (I − PM)(x),
kde I je identické zobrazení.
2. PM(αx + βy) = αPM(x) + βPM(y)
3. x 2
= PM(x) 2
+ (I − PM)(x) 2
4. xn − x → 0 ⇒ PM(xn) → PM(x)
5. x ∈ M ⇔ PM(x) = x
6. x ∈ M⊥
⇔ PM(x) = 0
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
1. Každé x ∈ H má jedinou reprezentaci pomocí součtu
prvku z M a M⊥
x = PM(x) + (I − PM)(x),
kde I je identické zobrazení.
2. PM(αx + βy) = αPM(x) + βPM(y)
3. x 2
= PM(x) 2
+ (I − PM)(x) 2
4. xn − x → 0 ⇒ PM(xn) → PM(x)
5. x ∈ M ⇔ PM(x) = x
6. x ∈ M⊥
⇔ PM(x) = 0
7. Jestliže M1 a M2 jsou takové podprostory, že M1 ⊆ M2,
pak
PM1 (PM2 (x)) = PM1 (x)
Vlastnosti projekce: Pro ∀x, yxn ∈ H a pro ∀α, β ∈ C platí:
1. Každé x ∈ H má jedinou reprezentaci pomocí součtu
prvku z M a M⊥
x = PM(x) + (I − PM)(x),
kde I je identické zobrazení.
2. PM(αx + βy) = αPM(x) + βPM(y)
3. x 2
= PM(x) 2
+ (I − PM)(x) 2
4. xn − x → 0 ⇒ PM(xn) → PM(x)
5. x ∈ M ⇔ PM(x) = x
6. x ∈ M⊥
⇔ PM(x) = 0
7. Jestliže M1 a M2 jsou takové podprostory, že M1 ⊆ M2,
pak
PM1 (PM2 (x)) = PM1 (x)
Uzávěr: Uzávěr M množiny M (značí se taky sp(M)) je nejmenší
uzavřená množina obsahující M.
(sp(M) = {x ∈ H : xn − x → 0, xn ∈ L(M)}, kde L(M) je
lineární obal množiny M).
Projekce na konečné ortonormální množině: Jestliže {e1, . . . , en} je
ortonormální podmnožina H a M = sp{e1, . . . , en}, pak pro
∀x ∈ H platí
Projekce na konečné ortonormální množině: Jestliže {e1, . . . , en} je
ortonormální podmnožina H a M = sp{e1, . . . , en}, pak pro
∀x ∈ H platí
1. PM(x) =
Pn
i=1 x, ei ei
Projekce na konečné ortonormální množině: Jestliže {e1, . . . , en} je
ortonormální podmnožina H a M = sp{e1, . . . , en}, pak pro
∀x ∈ H platí
1. PM(x) =
Pn
i=1 x, ei ei
2. PM(x) 2
=
Pn
i=1 | x, ei |2
Projekce na konečné ortonormální množině: Jestliže {e1, . . . , en} je
ortonormální podmnožina H a M = sp{e1, . . . , en}, pak pro
∀x ∈ H platí
1. PM(x) =
Pn
i=1 x, ei ei
2. PM(x) 2
=
Pn
i=1 | x, ei |2
3. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
≤ x −
Pn
i=1 αi ei
2
pro ∀αi ∈ C
Projekce na konečné ortonormální množině: Jestliže {e1, . . . , en} je
ortonormální podmnožina H a M = sp{e1, . . . , en}, pak pro
∀x ∈ H platí
1. PM(x) =
Pn
i=1 x, ei ei
2. PM(x) 2
=
Pn
i=1 | x, ei |2
3. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
≤ x −
Pn
i=1 αi ei
2
pro ∀αi ∈ C
4. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
= x −
Pn
i=1 αi ei
2
⇔ αi =
x, ei pro i = 1, . . . , n
Projekce na konečné ortonormální množině: Jestliže {e1, . . . , en} je
ortonormální podmnožina H a M = sp{e1, . . . , en}, pak pro
∀x ∈ H platí
1. PM(x) =
Pn
i=1 x, ei ei
2. PM(x) 2
=
Pn
i=1 | x, ei |2
3. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
≤ x −
Pn
i=1 αi ei
2
pro ∀αi ∈ C
4. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
= x −
Pn
i=1 αi ei
2
⇔ αi =
x, ei pro i = 1, . . . , n
5.
Pn
i=1 | x, ei ei |2
≤ x
Projekce na konečné ortonormální množině: Jestliže {e1, . . . , en} je
ortonormální podmnožina H a M = sp{e1, . . . , en}, pak pro
∀x ∈ H platí
1. PM(x) =
Pn
i=1 x, ei ei
2. PM(x) 2
=
Pn
i=1 | x, ei |2
3. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
≤ x −
Pn
i=1 αi ei
2
pro ∀αi ∈ C
4. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
= x −
Pn
i=1 αi ei
2
⇔ αi =
x, ei pro i = 1, . . . , n
5.
Pn
i=1 | x, ei ei |2
≤ x
Koeficienty αi = x, ei se nazývají Fourierovy koeficienty
vzhledem k množině {e1, . . . , en}.
Projekce na konečné ortonormální množině: Jestliže {e1, . . . , en} je
ortonormální podmnožina H a M = sp{e1, . . . , en}, pak pro
∀x ∈ H platí
1. PM(x) =
Pn
i=1 x, ei ei
2. PM(x) 2
=
Pn
i=1 | x, ei |2
3. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
≤ x −
Pn
i=1 αi ei
2
pro ∀αi ∈ C
4. x −
Pn
i=1 x, ei ei
2
= x −
Pn
i=1 αi ei
2
⇔ αi =
x, ei pro i = 1, . . . , n
5.
Pn
i=1 | x, ei ei |2
≤ x
Koeficienty αi = x, ei se nazývají Fourierovy koeficienty
vzhledem k množině {e1, . . . , en}.
Separabilita: Hilbertův prostor H je separabilní právě tehdy, když
H = sp({et , t ∈ T}, kde T je spočetná množina.
Ortonormální reprezentace v separabilním Hilbertově prostoru: Nechť
H = sp({e1, e2, . . . } je separabilní Hilbertův prostor, kde
{ei }∞
i=1 je ortonormální množina. Pak pro ∀x, y ∈ H platí
Ortonormální reprezentace v separabilním Hilbertově prostoru: Nechť
H = sp({e1, e2, . . . } je separabilní Hilbertův prostor, kde
{ei }∞
i=1 je ortonormální množina. Pak pro ∀x, y ∈ H platí
1. Množina všech konečných lineárních kombinací
{e1, e2, . . . } je hustá, tj. pro ∀x ∈ H a ∀ε > 0 ∃n ∈ N a
α1, . . . , αn ∈ C taková, že x −
Pn
i=1 αi ei < ε.
Ortonormální reprezentace v separabilním Hilbertově prostoru: Nechť
H = sp({e1, e2, . . . } je separabilní Hilbertův prostor, kde
{ei }∞
i=1 je ortonormální množina. Pak pro ∀x, y ∈ H platí
1. Množina všech konečných lineárních kombinací
{e1, e2, . . . } je hustá, tj. pro ∀x ∈ H a ∀ε > 0 ∃n ∈ N a
α1, . . . , αn ∈ C taková, že x −
Pn
i=1 αi ei < ε.
2. x =
P∞
i=1 x, ei ei pro ∀x ∈ H
Ortonormální reprezentace v separabilním Hilbertově prostoru: Nechť
H = sp({e1, e2, . . . } je separabilní Hilbertův prostor, kde
{ei }∞
i=1 je ortonormální množina. Pak pro ∀x, y ∈ H platí
1. Množina všech konečných lineárních kombinací
{e1, e2, . . . } je hustá, tj. pro ∀x ∈ H a ∀ε > 0 ∃n ∈ N a
α1, . . . , αn ∈ C taková, že x −
Pn
i=1 αi ei < ε.
2. x =
P∞
i=1 x, ei ei pro ∀x ∈ H
3. x 2
=
P∞
i=1 | x, ei |2
Ortonormální reprezentace v separabilním Hilbertově prostoru: Nechť
H = sp({e1, e2, . . . } je separabilní Hilbertův prostor, kde
{ei }∞
i=1 je ortonormální množina. Pak pro ∀x, y ∈ H platí
1. Množina všech konečných lineárních kombinací
{e1, e2, . . . } je hustá, tj. pro ∀x ∈ H a ∀ε > 0 ∃n ∈ N a
α1, . . . , αn ∈ C taková, že x −
Pn
i=1 αi ei < ε.
2. x =
P∞
i=1 x, ei ei pro ∀x ∈ H
3. x 2
=
P∞
i=1 | x, ei |2
4. x, y =
P∞
i=1 x, ei ei , y
Ortonormální reprezentace v separabilním Hilbertově prostoru: Nechť
H = sp({e1, e2, . . . } je separabilní Hilbertův prostor, kde
{ei }∞
i=1 je ortonormální množina. Pak pro ∀x, y ∈ H platí
1. Množina všech konečných lineárních kombinací
{e1, e2, . . . } je hustá, tj. pro ∀x ∈ H a ∀ε > 0 ∃n ∈ N a
α1, . . . , αn ∈ C taková, že x −
Pn
i=1 αi ei < ε.
2. x =
P∞
i=1 x, ei ei pro ∀x ∈ H
3. x 2
=
P∞
i=1 | x, ei |2
4. x, y =
P∞
i=1 x, ei ei , y
5. x = 0 ⇔ x, ei = 0 pro ∀i = 1, 2, . . .