1
Řešení lineárního nehomogenního systému
x = −3x − 2y + 5 sin t
y = 2x − 7y + 8 cos t
Přidružený homogenní systém je
x = −3x − 2y
y = 2x − 7y,
v maticovém zápisu
x
y
=
−3 −2
2 −7
x
y
.
Vlastní čísla matice systému:
−3 − λ −2
2 −7 − λ
= λ2
+ 10λ + 21 + 4 = λ2
+ 10λ + 25 = (λ + 5)2
.
Vlastní číslo λ = −5 je dvojnásobné, řešení homogenního systému je tvaru
x(t)
y(t)
=
a + bt
c + dt
e−5t
.
Musí platit
x
y
=
b − 5a − 5bt
d − 5c − 5dt
e−5t
=
−3 −2
2 −7
a + bt
c + dt
e−5t
=
−3a − 2c − (3b + 2d)t
2a − 7c + (2b − 7d)t
e−5t
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné t v odpovídajících si složkách dostaneme
systém (algebraických) rovnic
b − 5a = −3a − 2c
−5b = −3b − 2d
d − 5c = 2a − 7c
−5d = 2b − 7d.
Po úpravě a vynechání lineárně závislých rovnic
2a−b−2c = 0
b −d = 0.
Odtud dostaneme d = b, c = 1
2(2a − b) = a − 1
2b a obecné řešení přidruženého homogenního
systému
x(t)
y(t)
=
a + bt
a − 1
2b + bt
e−5t
= a
1
1
e−5t
+ b
t
t − 1
2
e−5t
.
2
Fundamentální systém řešení tedy je
y1 =
1
1
e−5t
, y2 =
t
t − 1
2
e−5t
a fundamentální matice je
Y(t) =
1 t
1 t − 1
2
e−5t
.
Inverzní matice k fundamentální je
Y(t)−1
=
1 − 2t 2t
2 −2
e5t
.
Partikulární řešení nehomogenního systému
x
y
=
−3 −2
2 −7
x
y
+
5 sin t
8 cos t
=
−3 −2
2 −7
x
y
+ b(t)
je tvaru
˜x(t)
˜y(t)
= Y(t)c(t),
kde pro vektorovou funkci c platí (podle metody variace konstant)
c(t) = Y(t)−1
b(t)dt.
Platí
Y(t)−1
b(t) = e5t 1 − 2t 2t
2 −2
5 sin t
8 cos t
=
(5 − 10t) sin t + 16t cos t
10 sin t − 16 cos t
e5t
takže po integraci (dva až třikrát per partes) dostaneme
c(t) =


−307
338 cos t + 365
338 sin t + t 1170
338 cos t − 442
338 sin t
−45
13 cos t + 17
13 sin t

 e5t
.
Partikulární řešení nehomogenního systému tedy je
˜x(t)
˜y(t)
= e−5t 1 t
1 t − 1
2


−307
338 cos t + 365
338 sin t + t 45
13 cos t − 17
13 sin t t
−45
13 cos t + 17
13 sin t

 e5t
=
=


−307
338 cos t + 365
338 sin t
139
169 cos t + 72
169 sin t.


Obecné řešení nehomogenního systému tedy je
x = ae−5t + bte−5t + 365
338 sin t − 307
338 cos t, y = a − 1
2b e−5t + bte−5t + 72
169 sin t + 139
169 cos t.