Domáca úloha M5858 č. 10
Uvažujme model spoločenstva dravec-korisť s vnútrodruhovou kon-
kurenciou.
Zaveďme označenie:
N1 · · · veľkosť populácie koristi
N2 · · · veľkosť populácie dravca
1 · · · špecifická miera rastu populácie koristi
2 · · · špecifická miera mortality populácie dravca
α · · · miera vnútrodruhovej konkurencie koristi
γ1 · · · špecifická miera ničenia populácie koristi dravcom
κ · · · efektívnosť premeny zničenej koristi na populáciu dravca
Predpokladáme, že všetky konštanty sú kladné a nech γ2 := κγ1. Rovnako
ako u klasického Lotka-Volterrovho modelu dravec-korisť sa predpokladá,
že dravec a korisť žijú izolovane od ostatných druhov a že dravec sa živí
výhradne korisťou. Keby bol od koristi izolovaný, postupne by vymrel, tj.
2 > 0. Tiež predpokladáme, že korisť má dostatočné množstvo potravy na
prežitie, tj. 1 > 0.
Potom model spoločenstva dravec-korisť s vnútrodruhovou konkurenciou
má tvar
N1 = N1( 1 − αN1 − γ1N2),
N2 = N2(− 2 + γ2N1).
ZADANIE: Rozhodnite o existencii a jednoznačnosti riešenia tohoto systému,
určte nulkliny/sing. body, typ singulárnych bodov a načrtnite fázový
portrét za predpokladu:
α 2 > 1γ2.
Pokúste sa túto situáciu zachytenú na fázovom portréte interpretovať na biologickej
úrovni.
Preveďte lineárny systém
x = ax + by
y = cx + dy
do polárnych súradníc (polárne súradnice x(t) = ρ(t) sin ϕ(t), y(t) = ρ(t) cos ϕ(t)).
Pokúste sa stanoviť typ singulárneho bodu [0, 0] rozborom všetkách možností,
ktoré môžu nastať pri rôznych voľbách konštant a, b, c, d ∈ R.
Poznámka. V prípade, že c = −b a d = a, systém má singulárny bod typu
OHNISKO.
1. Stanovte typ singulárneho bodu systému:
x = x2
− y2
y = 2xy
HINT: Preveďte systém do polárnych súradníc a následne vypočítajte
rovnicu trajektórie, ktorá ukáže typ singulárneho bodu (sing. bod je
typu dipól).
Transformujte súradnice tohto lineárneho nehomogénneho dif. systému
tak, aby sa singulárny bod previedol do počiatku súradnicovej sústavy a
následne určte typ tohto singulárneho bodu.
2.
x = x − 2y − 1
y = 5x − y − 23
3.
x = x + y − 2
y = −2x + 3y − 1
4. Nakreslite fázový portrét pre systém
x = y
y = x2
HINT: Vypočítajte rovnicu trajektórie a určte jej definičný obor.
5. Dokážte, že singulárny bod [0, 0] je izolovaný a následne určte jeho typ.
a)
x = ex+y
− sin x − 1
y = ln(1 − x2
) + x + y
b)
x = x − y + 1
y = − sin x
HINT: Na príklad 5. aplikujte vetu o variačnej matici(linearizácia všeobecného
systému pomocou Jacobiho matice vyčíslenej v singulárnom
bode)!
6. Rozhodnite o existencii a jednoznačnosti riešenia, určte nulkliny, singulárne
body, smerové vektorové pole a načrtnite tvar trajektórii systému
x = y
y = −x3
+ 4xy
Ďalej dokážte, že množiny
P1 : y = x2
2+
√
2
P2 : y = x2
2−
√
2
sú invariantné, na druhú stranu ukážte, že množina P3 : y = 0 invariantná
nieje.
HINT: Pre množinu P3 stačí ukázať, že po dosadení do systému za
y = 0 je pre x ∈ R systém nenulový. Množiny Pi, i = 1, 2 sa dokážu
analogicky. Stači ukázať, že
(y − kx2
) = y − 2kxx = −x3
+ 4xy − 2kxy = 0
pre y = kx2
& k1,2 = 1 ±
√
2
2
.
Poznámka: Tento príklad ukazuje, ako je niekedy možné z tvaru kriviek
nulklín odhadnúť všeobecný tvar invariantnej množiny, ktorá následným
dosadením do systému vygeneruje podmienky kladené na koeficienty
invariantnej množiny(tj. množina v ktorej ∀každá trajektória
ktorá začne, alebo sa do tejto množiny dostane, už ju neopustí pre čas
t → ±∞).
Mgr. Milan Bačík
doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.