Domáca úloha M5858 č. 5
Nájdite riešenia (homogénnych/nehomogénnych) lineárnych diferenciálnych
rovníc n-tého rádu s konštantnými koeficientami.
Zaveďme označenie y(n)
(x) := dny
dxn .
1.
y − 9y + 26y − 24y = 0
2.
4y − 4y + y = 0
3.
y(4)
+ 6y(3)
+ 9y(2)
= 0
4.
y(5)
− 3y(4)
+ 2y(3)
− 6y(2)
= 0
5.
y + 7y + 19y + 13y = 0
6.
y + y =
sin x (2 + cos2
x)
cos3 x
7.
y − 2y = −4e4x
sin e2x
8.
y − 2y = 2 cos 2x
9.
y + 2y + y = 3e−x
√
x + 1
10.
y + 4y + 4y = e−2x
lnx
11.
y + y =
2
cos3 x
12.
y + 3y + 2y = (ex
+ 1)−1
13. V elektrickom okruhu so striedavým prúdom je pri vhodne použitých
jednotkách kapacity kondenzátora, ohmického odporu indukčnej cievky
a samoindukčnosti hodnota elektrického prúdu v čase t zadaná diferenciálnou
rovnicou:
d2
x
dt2
+ 4
dx
dt
+ 3x = sin t.
pozn. V špeciálnom prípade budú konštanty c1, c2 určené pomocou počiatočných
podmienok, napríklad ak vieme hodnotu elektrického prúdu
v čase t0 a to, ako sa mení. Všimnime si ale, že obe fundamentálne
riešenia tejto rovnice konvergujú pre rastúci čas t k nule a to pomerne
rýchlo, tj.
c1e−t
& c2e−3t
−→ 0 pre t → ∞.
Takže pre akékoľvek hodnoty počiatočných podmienok stacionárny stav
(ustálený stav pre t → ∞ ) má tvar 1
10
[sin t − 2 cos t].
doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.
Mgr. Milan Bačík