Domáca úloha M5858 č. 8
1. Vyriešte Legendreho diferenciálnu rovnicu pre obecné koeficienty v prípade,
keď viete, že jedno fundamentálne riešenie je možné nájsť v tvare
polynómu y1(t) = i=0 aiti
.
Legendreho rovnica:
x −
αt
1 − t2
x +
β
1 − t2
x = 0, α, β ∈ R \ {0}.
HINT:
Na odvodenie konkrétneho tvaru polynómu y1 postupujte rovnako ako na
cvičeniach, tj. dosaďte y1 do Legendreho rovnice, čo vygeneruje podmienky
kladené na jeho koeficienty, následne si konkrétne zvolte koeficient a0,... . Na
získanie druhého lineárne nezávislého riešenia použite vzorec:
y2(t) = y1(t)
t
t0
exp −
s
t0
a(τ)dτ
y2
1(s)
ds, a(τ) =
ατ
1 − τ2
.
Pokud se vám nepodaří takto zadanou úlohu vyřešit, nepropadejte panice
a zkuste najít řešení pro případ α = 2.
Ani neúspěch při řešení této speciálnější rovnice není důvodem k depresi.
Zkuste ještě případ α = β = 2.
2. Modifikácia základného rastového modelu
Uvažujme rastový model v tvare
x (t) = µ(x)x(t).
Funkcia µ predstavuje špecifickú mieru rastu populácie.
a) Vymyslite funkciu µ tak, aby spĺňala vami vopred dané predpoklady
ktoré by naviac mohli byť realistické (tj. skutočne by sa tak mohla istá
populácia správať).
b) Pokúste sa nájsť novú funkciu µ tak, aby spĺňala predpoklady rastového
modelu klimaxovej populácie.
V oboch prípadoch potom urobte kvalitatívnu analýzu modelu rozborom
stacionárnych bodov a načrtnite fázový portrét tohto modelu.
HINT:
Inšpirujte sa dynamikou klimaxovej populácie počítanej na cvičeniach.
Mgr. Milan Bačík
doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.