Stochastické procesy ve finanční matematice Doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D. K^^A evropský ^5 I sociál ni * MINISTERSTVO ŠKO ■ fondvcr evropská unie mládeže a tělovýci ! • i IIII; í ministerstvo školství, op vzděláváni - mládeže a tělovýchovy pro konkurH. uieA Pokud je ale Q nespočetná, pak expf2 má příliš velkou mohutnost, aby se na ní dala definovat pravděpodobnostní míra. Musíme se pak omezit na menší (j-algebru. S tím se setkáme až u spojitých modelů. 1.4 Diskrétní náhodné proměnné Diskrétní náhodná proměnná (náhodná veličina) je funkce X : í} -> {x1,x2,...} C IR, kde {xi,x2,...} je diskrétní podmnožina IR. Definice 1.4.1. Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X je definována jako f(x) = P(X = x). Definice 1.4.2. Distribuční funkce náhodné veličiny X je F(x) = P(X < x). Připomeňme si ještě definici nezávislosti dvou jevů. Definice 1.4.3. Jevy A, B C íl jsou nezávislé, jestliže P(A) - P{A n B) F[A}- P(B) ' tedy P(Af]B) = P(A)P(B). 8 Jinak řečeno (podle prvního vztahu), víme-li, že nastal jev B, nezmění to pravděpodobnost jevu A. Definice 1.4.4. Diskrétní náhodné veličiny XaY jsou nezávislé, jestliže jevy {X = x} a [Y = y} jsou nezávislé pro všechna x a y. Jinými slovy, znalost hodnoty X nedává žádnou informaci o hodnotě Y. Pravděpodobnostní funkce obsahuje všechny informace o uvažované náhodné veličině. Často nám ale stačí její číselné charakteristiky. Definice 1.4.5. Očekávání (střední hodnota) náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí f{x) je definována jako E(X)= x:f(x)>0 je-li řada absolutně konvergentní. Očekávání můžeme vypočítat také pomocí vztahu Definice 1.4.6. Je-li k přirozené číslo, k-tý moment mk náhodné veličiny X je definován jako mk = E(Xk). Definice 1.4.7. k-tý centrální moment ak je definován jako ak = E((X-mi)k). Speciálně, m1 = E(X) je střední hodnota a ■ M je náhodná veličina definovaná vztahem í 1 pro w G A jaH = < . 10 pro lu f A Pak ^4 se nazývá indikátorová funkce jevu A. Libovolnou náhodnou veličinu můžeme zapsat pomocí indikátorových funkcí jevů Ai = {X = Xi}. Máme X = ^2xJAi. i Ia je příkladem Bernoulliovské náhodné veličiny. Nabývá pouze hodnot 0 a 1. 1.5 Závislost a nezávislost náhodných veličin Lemma 1.5.1. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Potom E(XY) = E(X)E(Y). Důkaz: Označme Ax = {X = x} a By = {Y = y}. Pak XY = ^2xyIAxnBy, x,y tedy E(XY) = ^xyE(IAxnBy) = J2xyp(A* n Bv) = x,y x,y J2^yP(Ax)P(By) = {Y^xP{Ax)){Y.yP^y)) = E{X)E{Y). x,y x y 10 Opak obecně neplatí. Definice 1.5.2. Říkáme, že náhodné veličiny X a Y jsou nekorelované, jestliže platí: E(XY) = E(X)E(Y). Věta 1.5.3. Necht X a Y jsou náhodné veličiny. Pak 1. Var(aX) = a2Var(X) pro a G IR. 2. Jsou-li XaY nekorelované (speciálně nezávislé) náhodné veličiny, pak Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). Důkaz: První tvrzení plyne ihned z definice. Dokážeme druhé tvrzení. Var(X + Y) = E ([(X + Y)- E(X + Y)f) = E [(X + Y)2 - 2{X + Y)E(X + Y) + (E(X + Y)f] = E((X + Yf) - 2E(X + Y)E(X + Y) + E((X + Y)2) = = E(X2) + 2E(XY) + EiY2) - 2 [(E(X))2 + 2E(X)E(Y) + (EiY))2] +E(X)2 + 2E(X)E(Y) + E(Y)2 = E(X2) + E(Y2) + 2E(XY) - {E(X)f - 2E(X)E(Y) - (E(Y))2 = = (E(X2) - (E(X))2) + (E(Y2) - (E(Y))2) = Var(X) + Var(Y), kde předposlední rovnost plyne z předpokladu, který implikuje E(XY) = E(X)E(Y). Definice 1.5.4. Kovariance náhodných veličin X a Y je definována jako cov(X, Y) = E [(X - E(X))(Y - E(Y))}. Korelační koeficient X a Y je cov(X,Y) p(X, Y) ^/Var(X)Var(Y)' 11 Platí: p(X,Y) = O E(XY) = E(X)E(Y) cov(X,Y) = O a cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y). Dále je |p(x,y)| [0,1] je definovaná vztahem fx,Y(x,y) = P(X = x AY = y). Analogicky se definuje sdružená pravděpodobnostní funkce pro více náhodných veličin. Následující lemma dává dobře ověřitelné kriterium nezávislosti. Lemma 1.5.7. Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právč tehdy, když fx,y(x>y) = fx(x)fY(y) pro všechna x, y G IR. Důkaz: cvičení. Ze znalosti sdružené pravděpodobnostní funkce fx,y můžeme vypočítat marginální pravděpodobnostní funkce fx a fY- Máme 12 fx(x) = P(X = x) = P(|J ({X = x}n{Y = y})) y = ]TP(X = x A Y = y) = J2fxA*,y)-y v Příklad 1.5.8. Nechť X : íl —ř {l,2,3}a Y : íl —ř {-1,0,2} jsou náhodné veličiny a sdružená pravděpodobnostní funkce je dána tabulkou: y = -l y = 0 ž/ = 2 fx X = 1 l 18 a 18 •i 18 a V x = 2 ■2 18 0 3 18 5 18 x = 3 0 4 18 3 18 7 18 fy a 18 7 18 8 18 SIS Jsou X a F nezávislé? Zřejmě ne, v tom případě by řádky tabulky musely být násobkem jeden druhého. Vypočteme kovarianci těchto dvou náhodných veličin. Máme XY :VL^ {-1,0,-2,-3,2,4,6}. Dále 6 10 21 37 „„^ 13 E(X) = — + — + — = —, E(Y) = — K J 18 18 18 18' v ; 18 a E(XY) = -1- + 2- - 2- + 4- + 6- = -v ; 18 18 18 18 18 18 Celkem tedy cavíX.Y) = E(XY) - E(X)E(Y) 29 481 522" 481 41 18 324 324 324 1.6 Podmíněná pravděpodobnost a podmíněné očekávání Připomeňme definici podmíněné pravděpodobnosti pro jevy, P(A | B) = K 1 ; P{B) 13 Ve finančních modelech je obvykle pravděpodobnost podmíněná informací, kterou máme v danou chvíli. Formálně to zachycuje následující definice. Definice 1.6.1. Podmíněná pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Y za podmínky X = x, kterou budeme označovat fy\x(- I x), Je definována jako fY\x(y\x) = P(Y = y\X = x), pro každé x takové, že P(X = x) > 0. Z definice máme P(X = x) fx(x) tedy fY,xiy 1 x)= což je analogický vztah jako platí pro podmíněné pravděpodobnosti jevů. V předchozím příkladu máme pro x = 1 Víme-li, že X = x, pak Y má novou pravděpodobnostní funkci fy\x(y I x) jakožto funkci y (x je pevné). Očekávání vůči této funkci je podmíněné očekávání Y za podmínky X = x, které označíme ty(x) = E(Y \ X = x). Definice 1.6.2. Funkce V(x) = E(Y \ X = x) se nazývá podmíněné očekávání Y při znalosti X. V minulém příkladu je: \, N 3 2 1 »« = 6<-1> + 60+ 62 = 2' 14 ^ 5 + 5 5 atf(3) = f. Věta 1.6.3. (O celkovém očekávání) Pro podmíněné očekávání ^(x) E(Y \ X = x) platí E(*(x)) = E(Y), tedy E(Y) = E(E(Y\X)). Důkaz: cvičení. 1.7 Součty náhodných veličin Lemma 1.7.1. Necht X a Y jsou dvě náhodné veličiny na (fž, A,P) a f(x, y) je jejich sdružená pravděpodobnostní funkce. Pak pro jejich součet Z = X + Y platí P(X + Y = z) = J2ffaz-x)- x Důkaz: Máme {X + Y = z} = \J({X = x A Y = z - x}) X tedy P(X + Y = z) = J2P({X = x}A{Y = z-x}) = J2f(x, z - x). 15 Pokud X, Y jsou navíc nezávislé, pak fX,Y(x, z- X) = fX(x)fY(z - x), tedy Íx+y(z) = ^2fx(x)fY(z - x), X což je konvoluce funkcí fx a fY- Označuje se fx * fy- 16 1.8 Příklady Příklad 1.8.1. Nechť A a, B jsou jevy s pravděpodobnostmi P (A) = | a P{B) = |. Dokažte, že platí — < P(AnB) < - 12 3 a najděte příklady v nichž nastává rovnost. Příklad 1.8.2. Hana má tři děti, každé z nich má stejnou pravděpodobnost být kluk i holka. Uvažujme následující jevy: A = { všechny děti mají stejné pohlaví} B = { nejvýše jedno z nich je kluk} A = {v rodině je jak kluk tak holka} -Ukažte, že A je nezávislé na B a B je nezávislé na C. - Je A nezávislé na C? Příklad 1.8.3. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl a) Bernoulliho rozdělení b) Geometrického rozdělení c) Poissonova rozdělení Příklad 1.8.4. Najděte příklad dvou náhodných veličin, které jsou nekorelované, ale nejsou nezávislé 17 Kapitola 2 Náhodná procházka 2.1 Jednoduchá náhodná procházka Jednoduchá náhodná procházka je základem diskrétních modelů pro pohyb cen aktiv. Je to "diskrétní verze" Brownova pohybu. Uvažujme následující hru: Hází se opakovaně mincí (ne nutně férovou). Padne-li hlava (H), získáme 1 Kč. Padne-li orel (O), prohrajeme 1 Kč. Označme So sumu, kterou máme na začátku, a Sn sumu, kterou máme po n hrách. Je tedy n sn = So + 'y^Xj, i=l kde Xi je náhodná veličina popisující výsledek i-té hry. Předpokládáme, že pravděpodobnostní funkce Xi je P(Xt = l)=p, P(Xt = -l) = l-p = q pro všechna i a navíc Xi jsou nezávislé. Xi jsou tedy analogií Bernoulliho náhodné veličiny, kde místo hodnot {1, 0} máme {1, —1}. Pro každé pevné n je Sn náhodná veličina, tedy {Snj^Q je stochastický proces. Definice 2.1.1. Stochastický proces {Sn}™=0 se nazývá jednoduchá náhodná procházka. Je-li p = q = \, nazývá se symetrická jednoduchá náhodná procházka. 18 Někdy je vhodnější uvažovat jinou interpretaci - náhodný pohyb částice po přímce: V každém kroku t = 0, 1, 2,... se částice posune buď o 1 doprava s pravděpodobností p, nebo o 1 doleva s pravděpodobností q = 1 — p. Velmi užitečné je grafické znázornění jednoduché náhodné procházky. Body o souřadnicích {n, Sn) spojíme úsečkami. Vzniklá lomená čára se nazývá trajektorie (cesta) náhodné procházky. Trajektorie je grafické znázornění realizace náhodného procesu {Sn}™=0. Varianty náhodné procházky: • jiné rozdělení Xi (např. normální) • hodnoty Xi ne v IR, ale v IRd (vícerozměrná náhodná procházka). 2.2 Základní vlastnosti náhodné procházky Lemma 2.2.1. Jednoduchá náhodná procházka je prostorově homogenní, tedy platí P(Sn =j\S0 = a)= P(Sn = j + b I S0 = a + b). 19 Důkaz: Obě strany rovnosti jsou rovny n P(^Xi=j-a) Podobně je náhodná procházka homogenní i v čase. Lemma 2.2.2. Jednoduchá náhodná procházka je časově homogenní, neboli platí P(Sn = j \ Sq = a) = P(Sn+m = j | Sm = a). Důkaz: Levá strana je rovna n P(ž2Xi=j-a), i=i pravá strana je rovna n+m P{ Xi=j-a). i=m+l Rovnost tedy plyne z nezávislosti a stejného rozdělení Xim Lemma 2.2.3. Jednoduchá náhodná procházka má Markovovu vlastnost, tedy P(Sm+n = j | Sq, Si,Sm) = P(Sm+n = j | Sm). Důkaz: Známe-li hodnotu Sm, pak rozdělení pravděpodobnosti Sn+m závisí jen na krocích Xm+1, Xm+2, Xm+n, tedy je nezávislé na S0, Si, Sm_i. Markovovu vlastnost lze intuitivně popsat slovy: "náhodná procházka nemá paměť " "minulost ovlivňuje budoucnost jen skrze současnost". 20 2.3 Základní techniky pro počítání s náhodnou procházkou Tato sekce se věnuje základním technikám počítání s náhodnou procházkou: • podmínění 1. krokem • počítání trajektorií • generující funkci 2.3.1 Technika podmínění 1. krokem Příklad 2.3.1. (zruinování hráče): Uvažujme předchozí hru s férovou mincí (p = \). Padne-li hlava (H), hráč získá 1 Kč, padne-li orel (O), hráč prohraje 1 Kč. Nechť So = k je jeho počáteční jmění. Hráč si chce koupit auto v ceně N. Bude hrát tak dlouho, dokud Sn = N (koupí auto) nebo Sn = 0 (bankrot). Jaká je pravděpodobnost, že hráč zbankrotuje? Uvažujme jevy: A ... hráč nakonec zbankrotuje; H ... první hod je hlava (-P(H) = p); O ... první hod je orel (-P(O) = q). Podle věty o úplné pravděpodobnosti platí P (A) = P(H)P(A | H) + P (O) P (A | O). Označme Pfc(A) hledanou pravděpodobnost bankrotu pro dané počáteční jmění k, tedy Pk(A) = P(H)Pk(A I H) + P(0)Pk(A | O). Pfc(A | H) je ale pravděpodobnost bankrotu v situaci, kdy hráč po 1. kroku má k+1 (a hra začíná z hlediska pravděpodobnosti znovu, z nezávislosti Xt). Tedy Pfc(A | H) = Pfc+1(A) a podobně Pfc(A|0)=Pfc_1(A). 21 Označme pk = Pfc(A). Dosazením dostaneme Pk = PPk+i + qpk-i = -jPk+i + ^Pk-i, což je diferenční rovnice 2. řádu. Máme 1 1 2^+1 - Pk) = 2(P* _ Pfc-i)' tedy přírůstky pravděpodobnosti jsou konstantní. Označme přírůstky b = Pk — Pk-i, tedy pk = Po + Okrajové podmínky pro diferenční rovnici jsou: Po = 1 (okamžitý bankrot) Pat = 0 (okamžitá koupě auta) Odtud dostaneme 1 + Nb = 0, tedy b = — -^ a 2.3.2 Technika počítání trajektorií Uvažujme náhodnou procházku vycházející z bodu a. Máme tedy S0 = a, P(Xt = l)=p, P{Xi = -l)=q a n j=i Pro pevně danou cestu je pravděpodobnost, že prvních n kroků bude sledovat právě tuto cestu, rovna prql, kde r je počet kroků doprava (nahoru) a / je počet kroků doleva (dolů), tedy r =\ {i: Si+i - Si = 1, i < n - 1} |, kde | . | značí velikost množiny. 22 Každý jev můžeme vyjádřit pomocí vhodné množiny trajektorií (které jsou s ním v souladu), a jeho pravděpodobnost je součet pravděpodobností těchto trajektorií. Máme P(Sn = b\S0 = a) = Y,Mrn(a,b)fqn-r, r kde M^(a,b) je počet cest (So, S±, Sn) takových, že So = a, Sn = b, a majících přesně r kroků doprava. Víme, žer + / = nar — l = b — a. Odtud 2r = n + b — a, čili n + b — a a n — b + a ~ 2 ' Tedy . , . / Tí \ n-\-b — a n — b-\-a í Tí \ n-\-b — a n — b-\-a P(Sn = b\S0 = a)=^jP 2 g 2 =[1_{n + b_a))P 2 1 > , pokud |(n + 6-fl) e N (jinak je pravděpodobnost rovna 0). 2.3.3 Princip reflexe Označme Nn(a,b) počet všech cest z bodu (0,a) do bodu (n,b). Víme, že Nn(a,b) = Mrn(a,b) = í n Y V|(íi + o - a)J Dále nechť A^(a, 6) je počet všech cest z bodu (0, a) do bodu (n, b), které obsahují nějaký bod (k,0) na ose x, tedy navštíví bod 0. Věta 2.3.2. (princip reflexe): Je-li a, b > 0, pak platí N°n(a,b) = Nn(-a,b). Důkaz: Každá cesta z bodu (0, —a) do (n, b) protne osu x poprvé v nějakém bodě (k,0). Reflexí této cesty okolo osy x dostaneme cestu z bodu (0, a) 23 do (n, b), která navštíví osu x. Tato operace dává vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi cestami z (0, — a) do (n,b) a cestami (0, a) do (n,b), které navštíví osu x. Tedy N®(a, b) = Nn(—a, b). Věta 2.3.3. (o volbách): Je-li b > 0, pak počet cest z bodu (0,0) do bodu (n, b), které se nevrátí do bodu 0, je -Nn(0,b), n kde Nn (0, b) je počet všech cest z bodu (0, 0) do bodu (n, b). Důkaz: Pro všechny takové cesty je první krok bod (1,1) (jinak se nutně dostaneme do nuly), tedy jejich počet je roven (z časové homogenity): iVn_x (1,6)- iV°_! (1,6) = iVn_x (1, 6) - iVn_x (-1, 6) = n — 1 \ f n — 1 \ f n — 1 \ ín — 1 \(n - 1 + 6 - \\(n + b)) = [m - l) ~ \ m 6 /n\ 6 = - )=-Nn(0,b), n \m J n kde jsme označili m = |(n + 6). Příklad 2.3.4. (Úloha o volbách) Kandidát A má a hlasů; kandidát B dostal j3 hlasů, kde a > j3, tj. kandidát A zvítězil. Jaká je pravděpodobnost, že během voleb byl A celou dobu před Bl Označme Xi = 1, je-li i-tý hlas pro A, Xi = — 1, je-li i-tý hlas pro kandidáta B. Je tedy n = a + j3. Součet Sk — ^y^Xj i=l popisuje, o kolik vede A nad B v čase k (případně prohrává, je-li Sk < 0). Podle věty o volbách je trajektorií z bodu (0, 0) do bodu (a + j3,a — j3), které se nedostanou do 0, přesně OL — P a + p 24 Hledaná pravděpodobnost je tedy Na+f5 (0, a - f3) ~a + /3' Nyní se budeme zajímat o to, jaká je pravděpodobnost, že se náhodná procházka nevrátí do 0. Máme S0 = 0 a, chceme Si ^ 0, Sn ý 0, jinak řečeno S\S 1 platí P(S1S2...Sn Ý 0 A Sn = b) = ^P(Sn = 6), n tedy P(S1S2...Sn^0) = ^E(\Sn\). Důkaz: cvičení 25 2.3.4 Generující funkce Uvažujeme posloupnost reálných čísel a = {cti; i = 0, 1, 2, ..} . Taková posloupnost obsahuje velké množství informace, kterou můžeme výhodně "zakódovat" do jediného objektu (funkce), s nímž budeme moci lépe pracovat. Mimo jiné získáme možnost použít operace (např. derivaci), které pro posloupnosti nemají smysl. Definice 2.3.6. Generující funkce posloupnosti a je funkce daná součtem mocninné řady oo Ga(s) = ^CLiS* i=0 pro s G IR, pro která řada konverguje. Posloupnost a dostaneme z generující funkce Ga zpět vztahem Oi- , kde Ga\o) je i-tá derivace Ga v bodě 0. Příklad 2.3.7. Nechť a = {0, 1, 0, -1, 0, 1, 0,...} . Pak Ga = S - S3 + S5 - S7 + ... , což je geometrická řada s prvním členem s a s kvocientem q = —s2. Tedy pro | s |< 1 (obor konvergence). Dále budeme definovat generující funkci diskrétní náhodné veličiny. Definice 2.3.8. Nechť X je diskrétní náhodná veličina, která nabývá hodnoty v množině {0, 1, 2,...}, s pravděpodobnostní funkcí m = p{x = i). 26 Generující funkce této náhodné veličiny je definovaná jako generující funkce její pravděpodobnostní funkce, tedy oo oo Gx(s) = 52/(1)3* = 52P(X = i)s\ i=0 i=0 Platí zřejmě Gx(s) = E(sx). Základní vlastnosti generujících funkcí: 1. Existuje nezáporné číslo R (poloměr konvergence) takové, že G(s) konverguje pro | s |< R a diverguje pro | s |> R. 2. G(s) můžeme derivovat nebo integrovat člen po členu, libovolně mnohokrát, pro | s |< R. 3. Jednoznačnost: Je-li Ga(s) = Gb(s) pro | s \< R', kde 0 < R' < R, pak an = bn pro všechna n. Příklady generujících funkcí náhodných veličin: 1. Konstantní náhodná veličina. P(X = c) = 1, kde c G N U {0}. Máme G x (s) = lsc = sc. 2. Bernoulliho náhodná veličina. P (X = 1) = p a P (X = 0) = 1 — p. Tedy Gx(s) = ps1 + (1 — p)s° = 1 — p + ps. 3. Geometrické rozdělení. P (X = n) = p{l — p)n_1 pro n E N. Dostaneme oo oo oo Gx(s) = ^ms* = Yj>(i - p)n-1*n = $> [(i - p^r1 = j=0 n=l n=l n=0 sp sp (1 — p) s 1 — s + sp 27 4. Poissonovo rozdělení s parametrem A. P(X = k) = ^-e A. Tedy gx(s) = y^-e-xs* = e-xy^- = e-xeXs = eXsX = e^, i=0 i=0 s využitím E„ = e"- 2.3.5 Charakteristiky náhodných veličin a jejich generující funkce Základní charakteristiky náhodných veličin, E(X) a Var(X), lze jednoduše spočítat pomocí Gx(s). Věta 2.3.9. Nechť X je náhodná veličina s generující funkcí G x (s). Pak platí: 1. E(X) = G'X(1). 2. Obecně, E(X(X - l)...(X -k + l))= G{x\l) (tzv. k-tý faktoriální moment). Důkaz: První tvrzení je speciální případ druhého. Máme G(x\s) = Y^s'-Hii - - k + = i = E(sx-kX(X - l)...(X - k + 1)). Pro s —> 1_ dostaneme G{x\l) = E(X(X - 1)...(X - k + 1)). Pro rozptyl dostaneme speciálně vztah Var(X) = E(X2) - E(X)2 = E(X(X - 1) + X) - E(X)2 = = E(X(X - 1)) + E(X) - E{Xf = Gx(l) + G'x(l) - [G'x{l)f . 28 2.3.6 Součty náhodných veličin a konvoluce Nechť a = {a,h i > 0} a b = {b,h i > 0} jsou dvě posloupnosti, pak konvoluce c = a -k b je posloupnost definovaná vztahem cn = a0bn + ai&„_i + ... + anb0. Jsou-li Ga, Gb generující funkce posloupností a a b, pak generující funkce posloupnosti c je oo / n n=0 n=0 \i=0 / oo \/oo \ / oo \ / oo \ ^ots* Y}n-^1 = Y.a^ Y}-sn = Ga{s)Gb{s). J=0 / \n=i / \i=0 / \n=0 / Tím jsme dokázali následující tvrzení. Věta 2.3.10. Generující funkce konvoluce dvou posloupností je součinem generujících funkcí těchto posloupností. Věta 2.3.11. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak Gx+Y(s) = Gx(s)GY(s). Důkaz: Víme, že pro pravděpodobnostní funkci X + Y platí fx+Y = fx*fy (z nezávislosti), a podle předchozí věty víme, že generující funkce konvoluce je součin generujících funkcí. Tedy Gx+Y = GxGy. Je-li S = X\ + X2 + ... + Xn, kde Xi jsou nezávislé, pak z předchozí věty plyne Gs = GXlGx2---Gxn-29 Definice 2.3.12. Sdružená pravděpodobnostní generující funkce náhodných veličin, nabývajících hodnot v N U {0}, je definovaná jako Analogicky je možné definovat sdruženou pravděpodobnostní generující funkci pro více náhodných veličin. 2.3.7 Generující funkce a náhodná procházka Uvažujme opět náhodnou procházku kde P(Xi = 1) = p a P(Xi = — 1) = q = 1 — p. Přitom X,i jsou nezávislé a 50 = 0. Jak často se náhodná procházka vrací do počátku? Jaké je pravděpodobnostní rozdělení prvního návratu do počátku? (Pro další návraty je to opět totéž, z nezávislosti Xi.) K zodpovězení těchto otázek využijeme generující funkce. GXl,x2 (si, s2) = P (Xi = * A X2 = j) s\4 n i=l Označme p0(n) = P(Sn = 0) pravděpodobnost, že náhodná procházka je v 0 v čase n, a /o(n) = P(S1 Ý 0, S2 Ý 0, Sn^ ^0,Sn = 0) pravděpodobnost, že první návrat do počátku nastal v čase n. Uvažujme generující funkce těchto dvou posloupností, oo n=0 30 n=0 Máme p0(0) = 1 (neboť S0 = 0) a /0(0) = 0. Lemma 2.3.13. Platí P0(s) = (l-Apqs2) Důkaz: Víme, že Sn = 0 <=>> počet kroků doprava = počet kroků doleva, tedy r = | = /. Počet takových cest je (V) pro n sudé a 0 pro n liché. Označme k = |, tj. n = 2k. Máme M2k) = (2*)pV a W = E(2fcfc)(pg*2)fc. (2-1) Tvrdíme, že Po(s) = , 1 Využijeme obecného binomického rozvoje i/l-4pqs2 »i—n \ / \n I n=0 kde 'a\ a (a — 1)... (a — n + 1) Pro a G N je rozvoj konečný, pro aGKAo^Nje rozvoj nekonečný. Dosazením a = — | a x = —Apqs2 dostaneme l-4pqs2y* = 52( 2) {-Apqs2)k= (2.2) fc=0 00 / 1 fc=0 ^ ' 31 Porovnáním 2.1 a 2.2 tedy stačí dokázat, že j) (-4)* = (* Pro levou stranu dostaneme 2 V 2/ V 2/ '•• V 2 / ('_l)fc22fc = A;! ,fc, 135 ...(2fc-1) ofc13 5...(2fc-l) 2fc(-l)' ifc! ifc! Pro pravou stranu 2k\ _ 2k (2k - 1) (2k - 2) ...1 _ k (2k - 1) (2ifc - 3) ...3 1 ifc 7 k\k\ k\k\ (2ifc - 1) (2ifc - 3) ...3 1 ifc! Tedy obě strany se rovnají. Tím je lemma dokázáno. Věta 2.3.14. Platí 1) P0(s) = l + P0(s)F0(s) a 2) F0(s) = 1 - (1 - 4pqs2ý . Důkaz: Označme A jev, že Sn = 0 a nechť Bk jsou jevy "první návrat do počátku nastal v k-tém kroku" (k = 1, 2, n). 1) B k jsou disjunktní a dávají rozklad, tedy n P(A) = Y,P(A I Bk)P(Bk). k=l Máme P(Bk) = fo(k) a P (A | Bk) = p0(n — k), z časové homogenity. Tedy n Po(n) = ^2po(n - k)f0(k). k=l 32 Vynásobíme sn a sečteme, oo oo n n=l n=lk=l o \ / oo \ vfc=l / \n=k J Protože oo Yj>o(n)sn = P0 - 1, n=l dostáváme P0 — 1 = PoPo, tedy P0 = 1 + PoPo-Pro důkaz 2) dostáváme z 1) P° 1 = 1 - -L = 1 - y/l - Apqs2. F° P 'P Důsledek 2.3.15. Pravděpodobnost toho, že se částice někdy vrátí do počátku, je rovna J2fo(n)=F0(l) = l-\p-q\. n=l Speciálně, pro symetrickou náhodnou procházku (p = q) je návrat jistý. Důsledek 2.3.16. (Pólyova věta v dimenzi 1) Symetrická náhodná procházka se s pravděpodobností 1 vrátí do počátku. Důsledek 2.3.17. Je-li p = q = \, tedy návrat je jistý, pak očekávání času T0 prvního návratu do počátku je oo P(T0) = £>/0(n) = Po'(l) = oo. n=l Důkaz: 33 1. Máme F0(l) = 1 - y/1 - Apq = 1 - y/1 - 4p(l -p) = 1 - v7! - 4p + 4p2 = 1 - ^/(l - 2p)2 = 1- | 1 - 2p |= 1- | 1 -p-p |= 1- | q -p I Pro g = p = i je F0(l) = 1-0 = 1. 2. Je-li návrat jistý, tedy p = \, pak P(T0 = oo) = 0, a tedy E(T0) F^l), kde F0 = 1 - ^/l - 4pgs2. Máme Apqs fÓ = -t;^==^(-4p<1^) 2 \J\ — Apqs2 a/1 — Apqs2 tedy lim Fq(s) = +oo. S->1- 2.3.8 Časy navštívení bodu r Označme /r(n) = P(S1 j^r, S2^ r, S,^ ^ r, Sn = r) pravděpodobnost, že se náhodná procházka dostane poprvé do bodu r v čase n, s generující funkcí oo n=0 Věta 2.3.18. Platí 1. Fr(s) = [Fi(s)]r pro r > 1, l-(l-4pgs2)5 Důkaz: Označme Tr = min {n; Sn = r} počet kroků potřebných k dosažení hodnoty r poprvé. Nechť r > 0. Abychom dosáhli r, musíme se dostat nejdříve do bodu 1, a potom z bodu 1 do bodu r. To je z prostorové homogenity totéž jako dostat se z 0 do r — 1. Odtud plyne Tr = 7\ + Tr_i. Z nezávislosti tedy dostaneme Fr = FiFr_i. Máme pro n > 1 A (n) = P^x ^ 1, S2 Ý 1, Sn-i ^ 1, Sn = 1) =: = 34 = P {A I St = l)P{S1 = 1) + P (A | S! = -1)P(S1 = -1) = = P(A \ S, = l)p + P(A \Sl = -l)q = Op + f2(n - l)q. Odtud fi(n) = f2(n-l)q. Vynásobíme sn h(n)sn = qf2(;n-l)sn a sečteme přes n > 1. Tedy £/i(nK = Xy2(n-iK = n=2 «=2 ^g/2(n-l)sn-1 = sgX)^Han- n=2 n=l Odtud dostávame Fi - ps = F2qs. Vime, že F2 = F?, tedy F1 - ps = Ffqs, což vede ke kvadratické rovnici qsFl -F1+ps = 0. Řešením dostaneme dva kořeny l-y/l-4qps2 * l + y/l-iqps2 2q~s Kořen 1+ ^^^^ ale nevyhovuje zadání, protože má v bodě 0 limitu oo. Tím je tvrzení dokázáno. Důsledek 2.3.19. Pravděpodobnost, že náhodná procházka někdy navštíví kladnou část reálné osy, je rovna min jl, ||. 35 Důkaz: Hledaná pravděpodobnost je rovna pravděpodobnosti, že náhodná procházka navštíví bod 1. Taje rovna oo n=l Em součtu pravděpodobností, že se dostaneme do bodu 1 v nějakém čase n. Víme, že oo n=0 Dosazením s = 1 dostaneme n=l 1 - ^/(l - 2p)2 1- | 1 - 2p | 1- g-p 2(1-p) 2(1 -p) 2g i^H = i^ = | = l prog

p- Příklad 2.3.20. Ruleta má 37 čísel (včetně 0). Budeme sázet stále na lichá čísla, tedy p = || a q = Pravděpodobnost, že budeme někdy vyhrávat je P _ 18 g 19 ■ 2.3.9 Maxima Věta 2.3.21. Necht S0 = 0. Pro n > 1 platí P(Sn = b k s1 s2... sn ý o) = - P(Sn = b) n a tedy P(S1S2...Sn7'0) = - E(\Sn\). n Důkaz: Nechť Sn = b > 0. Podle věty o volbách je počet cest z bodu (0, 0) 36 do bodu (n, b), které nenavštíví počátek celkem b JV„(0,6). n Tedy P(Sn = b k S1 S2... Sn Ý 0) = - JVn(0, b) = - P(Sn = b). n n Podobně pro b < 0. Jakou maximální hodnotu nabývá náhodná procházka do času rí? Označme Mn = max{Si] 0 < i < n} a opět S0 = 0, tedy Mn > 0. Věta 2.3.22. Nechť S0 = 0. Pak pro n > 1 platí P(Mn > r k Sn = b) , P(iSn = 6) pro 6 > r (gy-b P(Sn = 2r-b) prob Sn, tedy 1. část je jasná. Dále máme pro b < r: Nechť N^(0,b) je počet cest z (0,0) do (n,b), které obsahují nějaký bod s hodnotou r, t.j. (i,r) pro 0 < i < n a nechť pro takovou cestu c je (ic, r) první takový bod. Uvažujme reflexi takové cesty pro ic < k < n okolo přímky y = r. Tak dostaneme cestu d z (0, 0) do (n, 2r — b). Každá taková cesta d vznikne z jednoznačně určené cesty c. Tedy A^(0,6) = iVn(0,2r-&). Dále (Mn > r k Sn = b) = i\£(0, b) p^ = \ r—b Q \ „. , . n + 2r-b n-2r+b p J \ r—b ^) P(Sn = 2r-b). p J 37 Jaká je pravděpodobnost, že náhodná procházka dosáhne nového maxima v daném čase? Věta 2.3.23. Necht b = 0. Pravděpodobnost fb(n), že náhodná procházka se poprvé dostane do bodu b v čase n je fb(n) = ^ P(Sn = b). n Důkaz: Plyne z předminulé věty a principu reverze (obrácení). Nechť pro původní trajektorii náhodné procházky je n (0, Si,..., Sn) = (0, Xi,Xi + x2,..., 1=1 Uvažujme obrácenou trajektorii (0,71,...,?;), kde n (0, Ti,..., Tn) = (0, Xn, Xn + Xn-i,..., Xi). í=i Xi jsou IID, tedy obě mají stejné rozložení (pro libovolné p). Původní náhodná procházka splňuje Sn = b > 0 & Si,...,Sn Ý 0 (podmínky předminulé věty) právě tehdy když obrácenná náhodná procházka splňuje Tn = b a Tn — Tn_i = (Xn + • • • + Xi) — (Xn + • • • + Xn_i+i) = X\ + • • • + Xi > 0 pro každé i, tedy první dosažení bodu b nastane v čase n. Odtud fb(n) =P(Sn = bLS1S2...Sn^0) = - P(Sn = b). n 38 Pro b < 0 je důkaz zcela analogický. Označme dále //& je očekávaný počet návštěv bodu b před prvním návratem do počátku (předpokládáme stále S0 = 0). Pak oo oo /ib = ^2P(Sn = blk St S2 ■ ■ ■ Sn j£ 0) = Y fb(n) = P(Sn = b pro nějaké n). n=l n=l Tedy pro p = \ platí následující věta: Věta 2.3.24. Necht p = \ a S0 = 0. Pak pro libovolné b ^ 0 je očekávaný počet návštěv bodu b před návratem do 0 roven 1. Důkaz: Nechť fb = P(Sn = b pro nějaké n > 0). Podmíněno hodnotou Si máme 1 f b = -jifb+l + fb-l) pro 6 > 0, s okrajovou podmínkou f0 = 1. Navíc je /b = + 5 pro nějaké konstanty A, 5. Jediné řešení ležící v intervalu [0,1) je tedy fb = 1 pro Wb > 0. Ale fb = fib, odkud plyne dokazované tvrzení. 39 2.4 Příklady Příklad 2.4.1. Najděte počet cest z bodu (0,0) do bodu (3,7). Příklad 2.4.2. Najděte počet cest z bodu (1,2) do bodu (7,4) které nenavštíví počátek. Příklad 2.4.3. Najděte generující funkce posloupností a) {0,1,0-1,0,1,...} b) {1,2,3,4,5...} c) n _I I _I I } / L ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' ' J Příklad 2.4.4. Pomocí generující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny s geometrickým rozdělením. 40 Kapitola 3 Zákony arcsinu a Pólyova věta 3.1 Zákony arcsinu pro symetrickou náhodnou procházku V této podkapitole uvedeme dva zákony arcsinu, pro časy pobytu napravo od počátku (tj. v kladných hodnotách) a pro poslední navštívení počátku. 3.1.1 1. zákon arcsinu Věta 3.1.1. (í. zákon arcsinu pro poslední návštěvu počátku) Uvažujme symetrickou náhodnou procházku, t.j. p = \, a necht S0 = 0. Pravděpodobnost, že poslední návštěva počátku do času 2n nastane v čase 2k, je rovna P(S2k = 0)P(S2n_2k = 0). Důkaz: Označme a2n(2k) pravděpodobnost, že poslední návštěva počátku do času 2n nastane v čase 2k. Máme a2n(2k) = P (S2k = 0) P (S2k+1S2k+2...S2n ŕO\S2k = 0). Z časové homogenity plyne a2n(2k) = P (S2k = 0) P (S1S2...S2n^2k ŕO\S0 = 0). Tvrzení tedy plyne z následujícího lemmatu. 41 Lemma 3.1.2. Pro symetrickou náhodnou procházku platí: P(S1...S2m^0)=P(S2m = 0), kdeP(S2m = 0) = ^) Q)2m Důkaz: Využijeme důsledek věty o volbách: Je-li So = 0, pak pro n > 1 platí P(S1S2...Sn^0) = -E(\Sn n Dále ze symetrie plyne P(Si...S2m Ý 0) = ^E{\ S2m I) = 2^~YJ2kP{S2m = 2k) fc=l k=l v /■ -r \ 2m m 5) E fc=i m 2k ( 2m \ ÍV2m k=l 2m - 1 m + k — 1 m + kj V 2 2m - 1 m + k neboť platí 2m - 1 \ Í2m - 1 \ _ 2k í 2m ym + k — lj \m + k J 2m \m + k/ Opravdu, máme (2m - 1)... (m — k + 1) (2m - 1)... (m - fc) _ (m + A;-l)! (m + A;)! ~ (m + A;) (2m — 1)... (m — A; + 1) — (2m — 1) ... (m — k + 1) (m — k) (m + A;)! (2m - 1)... (m - k + 1) [(m + k) - (m - fc)] 2A: 2m (2m - 1)... (m - k + 1) (m + A;)! 2m (m + A;)! 2A: / 2m 2m Im + k V posledním členu výraz se sumou je tzv. teleskopický součet. Z takového součtu nám zůstane jen první a poslední člen, ostatní se vyruší. Odtud plyne, že 7 k=l 2m - 1 m + k — 1 2m - 1 m + k 2m 2m - 1\ /2m - V m J \ 2m , 42 t'l\2m (2m - l\ _ (l\2m (2m- 1) ...m • 2 2 y \ m J \2 J m\ a odtud plyne tvrzení věty. V následující podkapitole uvidíme, proč se těmto tvrzením říká zákon arcsinu. 3.1.2 Stirlingova formule Chceme porovnat hodnotu n\ (která se v různých formách vyskytuje v kombinačních číslech pro počty trajektorií) s mocninnými funkcemi. Víme, že nn > n (n - 1) ...2 • 1 > 2n, tedy nn > n\ > 2n. Jak rychle jde ale posloupnost an = ^ k nule? Lze ji srovnat s geometrickou posloupností? Pro n —> oo dostaneme On+l _ (n+l)n+1 _ (n+l)n _ ( n \ i n + 1 / e Tedy (zatím jen hodně přibližně) můžeme psát n\ 1 nn er neboli n\ ~ Stirlingova formule dává přesnější odhad. Platí v tom smyslu, že n\ ~ —v/2Ťm /'Z/7? r, \.r>Cl ,- 1. Ze Stirlingovy formule dostaneme odhad na hodnotu u2k = P (S2k = 0) Lemma 3.1.3. Platí u2k —= pro k —> oo, tedy lim —p- = 1. fc—>00 - V 7rfc 43 Důkaz: Máme Uu=P{s.2k=o)J2kk) (r* (2k)\ fl\2k [2k)\ fl k\ (2k — k)\ \2J (k\f \2 (2*0 2k V2n2k fl\ 22kk2kV2n2k f 1 \ a/2 2 1 2J /--r\2 V22fc7 V2^k V^k ^V2^j (kk^/2^k Tím je lemma dokázáno. Podle zákonu arcsinu je a2n(2k) = u2ku2n-2k, tedy P (S2k = 0 A S2k+1...S2n ^0) = P (S2k = 0) P (S2n-2k = 0). Ze Stirlingova vzorce máme 1 1 1 a2n(2k) ^n~k a/ít (n — k) 7r \Jk (ti — k) Hodnota a/k (n — k) je maximální pro A; = |, tedy a2n(2A;) je minimální pro h. _ n ft, — 2. Označme T2n čas posledního navštívení bodu 0 do času 2n. Pak pro x E (0, 1) máme P(T2n<2xn)= Ys^ŤT k 2. Poznamenejme, že pro m = 3 je pravděpodobnost alespoň jednoho návratu do počátku = 0, 35. Důkaz: Jako u jednorozměrné procházky označme po (n) = P(Sn = 0) pravděpodobnost návratu v čase n a /o (n) = P (Sn = 0 A S-i^...^-! Ý 0) pravděpodobnost prvního návratu v čase n. Nechť P0 a F0 jsou generující funkce těchto posloupností. Víme, že platí Máme oo ^ P (částice se někdy vrátí do počátku) = Y"jo (n) = F0(l) = 1 — , -fo(l) n=l v ' 46 kde ale oo P0 (1) = ]TPo (n) + 1. n=l Odtud dostáváme, že ÍOO 1 pokud J^po (^) diverguje "Z1 < 1 pokud J^po (n) konverguje n=l Podle Stirlingovy formule víme, že u2k ~ Pr0 m = 1 je z nezávislosti komponent p0(n) = P(Sn = 0)K 1 2 1 Víme, že 7T| V 7T co 1 V — diverguje, protože 71=1 E1 n=l konverguje pro s > 1 (z integrálního kriteria). Pro m > 1 je P (Sn = 0) = p (s« = s =... = = 0) = (P (S« = 0))' tedy i- \ TYL m m P„(n) = P(S„ = o)«|^ =(í)T(sNT Dále OO OO ^ Vp0 (n) ~ E— ' ' n 2 n=l n=l konverguje pro ^ > 1, tj. m > 2. Tedy pro m > 2 je hledaná pravděpodobnost alespoň jednoho návratu do počátku menší než 1, pro m = lam = 2 je tato pravděpodobnost 1. Pravděpodobnost nekonečně monoha návratů je tedy rovna 0 pro m > 2 a rovna 1 pro m < 2. 47 3.3 Příklady Příklad 3.3.1. Uvažujme symetrickou jednoduchou náhodnou procházku. Nechť T je čas prvního návratu do počátku. Dokažte, že P(T = 2n) = ^—(2n\2-2n. y ' 2n - 1 V n ) Příklad 3.3.2. Ukažte, že pro jednoduchou náhodnou procházku pravděpodobnostní funkce maxima splňuje P(Mn = r) = P(Sn = r) + P(Sn = r + 1) pro r > 0. 48 Kapitola 4 Markovské řetězce 4.1 Diskrétní Markovské řetězce Uvažujme posloupnost náhodných veličin X0, Xi,..., Xn,..., (4.1) které nabývají hodnoty ve spočetném nebo konečném stavovém prostoru S. Pro každé n je tedy Xn náhodná veličina, nabývající N různých hodnot, kde N je velikost množiny S (N může být rovno nekonečnu). Definice 4.1.1. Stochastický proces X = {Vn}^L0 se nazývá Markovský řetězec, pokud splňuje Markovovu podmínku P{Xn = s \ X0 = x0,..., Xn_i = a:n_i) = P{Xn = s | Xn_x = a:n_i) (4.2) pro každé n G N a s, x0,... xn_\ G S. Množina S je nejvýše spočetná, tedy bez újmy na obecnosti můžemem předpokládat, že S C N. Pak Xn = i znamená, že proces je v i-tém stavu v čase n. Vývoj systému je popsán pravděpodobnostmi přechodu P(Xn+1 =3\Xn=i) (4.3) které obecně závisí nan,i,j. Pokud pravděpodobnosti nezávisí na n, je proces homogenní. Definice 4.1.2. Markovský řetězec je homogenní, jestliže platí P(Xn+1 =j\Xn = i)= P{X1 = j \ X0 = i) (4.4) 49 pro každé n, i, j. Přechodová matice P = (p^) je \S\ x \S\ matice přechodových pravděpodobností Dále budeme předpokládat, že X = {Xn}^l0 je homogenní Markovský řetězec s přechodovou maticí P = (pij). Věta 4.1.3. Přechodová matice P je stochastická matice, tedy platí 1. P má nezáporné členy, 2. součty prvků v každém řádku jsou rovny jedné, tedy pro každé i. První tvrzení je zřejmé, druhé plyne z faktu že řetězec musí ze stavu i přejít do nějakého stavu (případně i stejného). Naopak, každá matice s vlastnostmi z předchozí věty může být přechodovou maticí nějakého procesu, věta tedy dává úplnou charakterizaci takových matic. Krátkodobý vývoj procesu je určen maticí P. Abychom mohli zkoumat dlouhodobý vývoj, budeme uvažovat matici přechodu za časový interval délky n. Definice 4.1.4. n kroková přechodová matice je matice (4.5) (4.6) 3 (4.7) kde Pij(m, m + n) = P (X, n+m m = % (4.8) Z homogenity zřejmě máme (4.9) Věta 4.1.5. Platí 50 P{m,n + m) = Pn. (4.10) Nechť fi = P(Xn = i) (4.11) je pravděpodobnostní funkce pro Xn a fin je řádkový vektor se složkami K1, tes. (4.12) Pak platí Hn = irPn. (4.13) Vývoj procesu tedy záleží na počátečním rozdělení a na iteracích matice P. Příklad 4.1.6. Uvažujme jednoduchou náhodnou procházku. Stavový prostor jev tomto případě S = Za platí p pro j = i + 1 Pij = { Q Pro j = i - 1 • (4.14) 0 jinak 4.2 Klasifikace stavů Definice 4.2.1. Stav i se nazývá rekurentní (trvalý), pokud P(Xn = i pro nějaké n \ X0 = i) = 1 (4-15) Pokud P(Xn = i pro nějaké n \ X0 = i) < 1, (4.16) pak se stav nazývá tranzientní (přechodný). Definice 4.2.2. Střední čas rekurence stavu je dán vztahem /it = E(Tt\X0 = i), (4.17) kde Tj = min(n >l:Xn=j). (4.18) 51 Stav i je nulový, pokud Hi = oo (4.19) a je nenulový, pokud jli < OO. (4.20) Definice 4.2.3. Perioda d(i) stavu i je definovaná jako gcd(n : pu(n) > 0). (4.21) Stav se nazývá periodický, pokud d{i) > 1. Nazývá se aperiodický, pokud d{i) = 1. Platí tedy pokud n nedělí d(i). Definice 4.2.4. Stav se nazývá ergodický, pokud je rekurentní, nenulový a aperiodický. Příklad 4.2.5. Pro náhodnou procházku jsou všechny stavy periodické s periodou 2. V případě p Ý \ jsou tranzientní. Pro p = \ jsou nulové rekurentní. Piiin) = 0, (4.22) 52 4.3 Příklady Příklad 4.3.1. Házíme opakovaně kostkou. Které z následujících procesů jsou Markovské řetězce? 1. Největší číslo Mn, které padlo do »-tého hodu. 2. Počet šestek které padly v n hodech. 3. V čase r čas Cr od poslední šestky. 4. V čase r čas Br do příští šestky. Příklad 4.3.2. Ukažte, že libovolná posloupnost nezávislých náhodných veličin s hodnotami ve spočetné množině je Markovský řetězec. Kdy bude takový řetězec homogenní? 53 Kapitola 5 Markovské řetězce ve spojitém čase 5.1 Základní vlastnosti Uvažujme stochastický proces X(t), t > 0, ve spojitém čase, který nabývá hodnoty v nezáporných celých číslech. Definice 5.1.1. Proces X(t), t > 0 je Markovský řetězec ve spojitém čase, jestliže pro všechna s,í>0a nezáporná celá čísla i,j,x(u) platí Markovská vlastnost P(X(t + s) =j\X(s) = i,X(u) = x(u),0 S + t\Ti > s) = P(Ti > t), 54 tedy tato náhodná veličina nemá pamět a musí mít exponenciální rozdělení. Tímto způsobem můžeme popsat Markovský řetězec ve spojitém čase. Je to proces, který kdykoliv vstoupí do stavu i, pak - čas který stráví v tomto stavu má exponenciální rozdělení, s intenzitou, kterou označíme v,i - pokud proces opustí stav i, pak vstoupí do jiného stavu j s pravděpodobností Pij, kde V principu je možná situace, kdy stav má nekonečnou hodnotu vim Takový stav se nazývá okamžitý, a proces jej okamžitě opustí. V dalším ale takové stavy uvažovat nebudeme. Markovský řetězec ve spojitém čase se nazývá regulární, pokud s pravděpodobností jedna je počet přechodů v libovolném konečném intervalu konečný. Definujme Víme, že Ví je intenzita s jakou proces opouští stav i a P^ je pravděpodobnost že pak přejde do stavu j. Celkem tedy q^ je intenzita s jakou proces přechází ze stavu i do stavu j. Dále označíme pravděpodobnost, že řetězec, který je momentálně ve stavu i, se za čas t bude nacházet ve stavu j. 5.2 Procesy zrodu a zániku Definice 5.2.1. Markovský řetězec ve spojitém čase, pro který platí qij = o jakmile \i — j\ > 1, se nazývá proces zrodu a zániku. Pij(t) = P(X(t + s)=j\X(s)=i) 55 Jinak řečeno, proces zrodu a zániku může ze stavu i přejít pouze do stavu i + 1 nebo i — 1. Pokud hodnota procesu reprezentuje velikost populace, pak přechod do stavu i + 1 chápeme jako zrození nového jedince, přechod do stavu i — 1 pak znamená zánik jedince. Označme příslušné přechodové pravděpodobnosti jako = Qí,í+i, l^i = Qi,i-i- Máme zřejmě Ví = Xí + fii, a J2qtl=v,t. j Platí tedy P'i,i+i = t : = 1 — P'í,í-i-\ + fJ-i Jako příklad uvažujme proces patřící mezi takzvané fronty. Konkrétně půjde o frontu typu M/M/s. V tomto případě máme Ín/i pro 1 < n < s ■ s/i pro n > s Možná interpretace tohoto procesu je následující. Předpokládejme, že zákazníci přijíždí k benzinové pumpě s s stojany podle Poissonova procesu s intenzitou A. Každý zákazník jede ihned ke stojanu, pokud je některý volný. Pokud ne, postaví se do fronty. Když zákazník ukončí čerpání, opustí systém a první zákazník v řadě, pokud nějaký je, přijede ke stojanu. Předpokládejme, že časy obsluhy jsou exponenciální se střední hodnotou K Pokud je X(t) počet zákazníku v systému, pak jde o proces zrodu a zániku s uvedenými parametry. 56 Lineární model růstu s migrací odpovídá procesu, pro který platí ßn = riß, \n = n\ + 0. Každý jednotlivec rodí s intenzitou A. Migraci popisuje parametr 9, zánik probíhá s intenzitou fi. 5.3 Kolmogorovova rovnice Našim základním objektem jsou přechodové pravděpodobnosti Pij(t) = P(X(t + s)=j\X(s)=i). Lemma 5.3.1. Platí ,. 1 - Pa(t) lim- = Vj t^o t lim t ql3. Dále máme PtJ(t + s) = ^Pik(t)Pkj(s). k=0 Odtud plyne pij(t+h) = ^2pik(h)pkj(t), k=0 neboli P..{t + h)- Pi3-(í) = J2P^(h)Pkl(t) - (1 - Prt(h))Ptl(t). k+i Vydělením h a limitním přechodem pro h —> 0 dostaneme s využitím předchozího lemmatu Um ^t + ft)-^W = ,lra V 5f)^(í) - M h^o h h^o^ h k+i 57 Tak dostáváme následující tvrzení. Věta 5.3.2. (Kolmogorovova zpětná rovnice) Pro všechna i,j, a t > 0 platí plÁt) = zZ^PkÁt)-^pll(t)- 58 Kapitola 6 Poissonův proces 6.1 Základní vlastnosti Poissonova procesu Definice 6.1.1. Poissonův proces s intenzitou A je proces N = {N(t) : t > 0} nabývající hodnoty v5 = {0,l,2,...} takový, že 3. Je-li s 1. 1 — Xh + o(h) pro m = 0 P(N(t)=3) (Aí) Aí j =0,1,2,... e 59 Důkaz. Podmíníme N (t + h) hodnotou N (t): P(JV(ŕ + h)=j) = YJ P(N(t) = i) P(N(t + h)= j\N(t) = i] i = p(-W(*) = *) p((Í - *) příchodů v čase (t, t + h)) i = P (N (t) = j - 1) P(l příchod) + P (N (t) = j) P(žádný příchod) + o(h). Tedy Pj(t) = P(N(t)=j) splňuje p j (t + h) = Xhpj-^t) + (1 - Xh) pj(t) + o(h) pro j ^ 0 p0(í + /i) = (1- Xh) Po(t) + o(h). V první rovnici odečteme p j (t), vydělíme h a necháme h —> 0. Pak p;(í) = XPj-i(t) - \Pj(t) pro j Ý 0 (6.1) a podobně z 2.rovnice p0(í) = -Apo(í). Okrajové podmínky jsou fn\ x f1 Pr0 = 0 p.(0) = 0, jestliže její distribuční funkce je F(x) = 1 - e~Xx x>0. (6.2) Uvažujme Bernoulliho pokusy v časech 6, 26, 36,... a nechť W je čas čekání na první úspěch. Pak P(W > kô) = (1 -p)k a EW = -. p Zvolme t pevně. Do času t jsme udělali přibližně k = | pokusů. Nechť 5—^0. Abychom dostali netriviální limitu, musí také p —> 0. Nechť f —> A. Pak P(W >t)= p(w > (^j ó^j ^ (1 - \óý -+ e-xt. Důkaz. Nejdříve uvažujeme X\. P(Xx > t) = P(N(t) = 0) = e~Ai. 61 Dále podmíníme X2 hodnotou X±, P(X2 > t\Xľ = íx) = P(žádný příchod v [íi,íi + í]|Xi = h). Událost {Xi = ti} se vztahuje k intervalu [0,ti], zatímco událost "žádný příchod v [ti,ti + í]" k času většímu než tx. Z definice Poissonova procesu jsou nezávislé, tedy P(X2 > t\Xx = íi) = P(žádný příchod v [t^h +1]) = e~xt. Tedy X2 je nezávislá na X\ a má stejné rozdělení. Tvrzení dále plyne indukcí přes n. □ 6.2 Cramér - Lundbergův model Cramér - Lundbergův model je základním modelem v matematické teorii neživotního pojištění. Předpoklady Cramér - Lundbergova modelu: 1. Pojistné nároky nastávají v časech 0 < T\ < T2 < ..., což jsou časy příchodu homogenního Poissonova procesu N(t). 2. Pojistný nárok přicházející v i-tém čase Ti má velikost Xim Posloupnost Xi tvoří nezávislé stejně rozdělené nezáporné náhodné veličiny. 3. Posloupnosti T a Xi jsou navzájem nezávislé. Tedy i N(t) a Xi jsou nezávislé. Proces N(t) sit) = YJx.^ který popisuje celkový pojistný nárok do času t, se nazývá složený Poissonův proces. 62 6.3 Inspekční paradox Uvažujme homogenní Poissonův proces s intenzitou A a předpokládejme, že se právě nacházíme v pevně daném čase t. Přirozená otázka je, jaké má rozdělení doba od posledního příchodu a naopak doba do nejbližšího následujícího příchodu. Označme B{t) = t — Tjv(t) čas od posledního příchodu a F(t) = 7jv(t)+i — t čas do následujícího příchodu. Zajímá nás sdružené rozdělení náhodných veličin B{t) a F{t). Speciálně, co můžeme na základě znalosti B(t) řici o F(t)l Intuitivně by se mohlo zdát, že čím delší je B{t), tím kratší by mělo být čekání na další příchod. Přesto výpočet sdruženého rozdělení ukazuje, že B{t) a F{t) jsou nezávislé. Tento výsledek se obvykle nazývá inspekční paradox. 63 Kapitola 7 Složený Poissonův proces 7.1 Moment generující funkce Definice 7.1.1. Stochastický proces S(t) se nazývá složený Poissonův proces, jestliže jej lze zapsat ve tvaru N(t) S(t) = J2^, (7-1) i=i kde N(t) je Poissonův proces a Xi jsou IID náhodné veličiny, nezávislé na procesu N(ť). Definice 7.1.2. Moment generující funkce náhodné veličiny X je definována vztahem M(t) = E (etx) pro t > 0. Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou /, pak /oo éxf (x) dx. -oo Pro každé A; G N je E (Xk) = M{k) (0). Opravdu, derivujme integrál podle parametru, /oo xéxf (x) dx, -oo 64 tedy /oo x f (x) dx = E (X). -oo Analogicky, fc-násobným derivováním dostaneme /oo xketxf (x) dx. -oo Tedy M{k) (0) = E (Xk) . Chceme spočítat moment generující funkci složeného Poissonova procesu. Z věty o celkovém očekávání dostaneme E(etx) =exp(Aí(^(í)-l)). (7.2) Derivováním moment generující funkce získáme pro momenty následující vztahy. Věta 7.1.3. Pro očekávání složeného Poissonova procesu platí E(S(t)) = At£(Xi) (7.3) a pro jeho rozptyl Var(S(t)) = XtE(Xl). (7.4) 7.2 Vlastnosti exponenciálního rozdělení Definice 7.2.1. Spojitá náhodná veličina má exponenciální rozdělení, jestliže její hustota je dána vztahem f(x) = \e~Xx. (7.5) pro x > 0 a je rovna nule jinak. Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je tedy 65 F(x) = 1 - e-Xx (7.6) pro x > 0, a rovna nule jinak. Moment generující funkce exponenciálního rozdělení je dána vztahem E[etx] = j extXe-Xxdx = -—-. (7.7) Momenty náhodné veličiny X můžeme získat derivováním moment generující funkce. Tím dostaneme E[X] = \ (7.8) a Var[X] = 1. (7.9) Jednou z hlavních vlastností exponenciálního rozdělení je to, že nemá pamět. Platí totiž P{X > s + t\X > t} = P{X > s}. (7.10) Je-li například X životnost dané součástky, pak předchozí vztah říká, že pravděpodobnost, že součástka bude fungovat alespoň s + t hodin, za podmínky že již funguje t hodin, je stejná jako počáteční pravděpodobnost že bude fungovat alespoň s hodin. 7.3 Vlastnost absence paměti Exponenciální rozdělení je jediné rozdělení které nemá pamět. Dokážeme to následovně. Nechť F = P{X>x}. (7.11) Pak platí F(s + t) = F(s)F(t). (7.12) Jinak řečeno, F splňuje funkcionální rovnici h(s + t) = h(s)h(t). (7.13) 66 Dokážeme teď, že jediná zprava spojitá řešení této rovnice mají tvar odpovídající exponenciálnímu rozdělení. Ze vztahu h(s + i) = h(s)h(t) (7.14) máme h(-) = h(- + -) = h2(-). (7.15) n n n n Opakováním stejného argumentu dostaneme =ft-(i). (7.16) Dále platí h(l) = h(- + --- + -) = hn(-). (7.17) n n n Odtud h(^) = h(l)^ (7.18) a dále h(x) = h(l)x, (7.19) protože h je pospojitá zprava. Platí Ml) = h2(\) > 0, (7.20) a tedy h(x) = e-Xx, (7.21) kde A = — \ng(l). Musí tedy platit F(x) = eXx, (7.22) protože distribuční funkce je zprava polospojitá. 67 7.4 Míra rizika Mějme spojitou náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F a hustotou /. Definice 7.4.1. Funkce míry rizika je definována jako A(í) = M (7.23) Představme si, že sledujeme životnost nějaké součástky, a předpokládejme, že součástka již funguje t hodin. Chceme spočítat pravděpodobnost, že nevydrží další časový úsek dt, tedy P{X G (t,t + dt)\X > t}. (7.24) Máme ^r,r , -, X G (t,t + dt),X > t P{X e(t,t + dt)\X>t} =-pix>^-> (7-25) coz je rovno Xe(t,t + dt) f(t)dt (7.26) P(X > t) F{t) = \{t)dt. (7.27) Tedy \{t) reprezentuje intenzitu pravděpodobnosti, že í-letá součástka přestane fungovat. Je-li rozdělení exponenciální, pak z vlastnosti absence paměti je rozdělení stejné jako počáteční, tedy A je konstantní. To můžeme ověřit i přímým výpočtem, A(t) = ^ = A. (7.28) Míra rizika pro exponenciální rozdělení je tedy konstantní. Ukážeme ještě, že míra rizika naopak jednoznačně určuje pravděpodobnostní rozdělení. Opravdu, máme X(t) = ~^F^\ (7.29) V ; F(t) 68 Integrováním dostaneme lnF(ŕ) = - / X(s)ds + k, (7.30) Jo tedy F(t) = ceJox{s)ds. (7.31) Pro t = 0 dostaneme c = 1. Celkem tedy F(t) = ef°x(s)ds. (7.32) 69 7.5 Příklady Příklad 7.5.1. Mouchy a vosy přilétají na talíř jako nezávislé Poissonovy procesy s intenzitou A a //. Ukažte, že přílet hmyzu na talíř je dán Poissono-vým procesem s intenzitou A + //. Příklad 7.5.2. Hmyz přilétá na talíř jako Poissonův proces s intenzitou A a má zelenou barvu s pravděpodobností p, nezávisle na barvě ostatního hmyzu. Ukažte, že přílety zeleného hmyzu se řídí Poissonovým procesem s intenzitou pX. 70 Kapitola 8 Procesy obnovy 8.1 Rozdělení poctu příchodů Jak jsme viděli v předchozí kapitole, časy mezi příchody pro Poissonův proces tvoří nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením. Přirozené zobecnění Poissonova procesu dostaneme tak, že budeme uvažovat namísto exponenciálního libovolné rozdělení. Definice 8.1.1. Nechť X1,X2,... je posloupnost nezáporných nezávislých náhodných veličin se stejnou distribuční funkcí F. Hodnoty Xi,X2, ■ ■ ■ reprezentují časy mezi jednotlivými událostmi. Označme H = E[Xj] střední hodnotu času mezi jednotlivými událostmi. Položme a n Sn = ^ ^ Xi. i=l Tedy Sn je čas n-té události. Zajímá nás počet událostí, které nastaly do času t. Ten se rovná největší hodnotě n takové, že n-tá událost nastala před nebo přesně v čase t, tedy N(t) = sup{n\Sn < t}. 71 Protože časy mezi příchody jsou nezávislé a stejně rozdělené, při každém příchodu začíná z pravděpodobnostního hlediska proces znovu. Základní vztah pro odvození pravděpodobnosti rozdělení počtu příchodů vychází z následujícího faktu: Počet událostí které nastaly do času t je větší nebo roven n právě tehdy, když n-tý příchod nastal do času t. Tedy N{t) >n = Sn < t. Odtud dostaneme P(N(t) =n) = P{N(t) >n)- P(N(t) > n + 1) = P(Sn Soér, tak F < S0er vede k arbitráži. 1) Nechť F > S0er (výhodné pro Y). Uvažujme následující strategii: t = 0 ... F si vypůjčí v bance S0, koupí akcii a uzavře forwardovou smlouvu na prodej akcie. t = 1 ... Y prodá akcii za F, do banky vrátí S0er. Zůstane mu bezrizikový zisk F — Soer > 0, strategie tedy dává arbitráž. 2) Nechť F < S0er (výhodné pro X). Uvažujme teď tuto strategii: t = 0 ... X prodá akcii na krátko (tedy vypůjčí si akcii - tzv. short-selling) za So, uloží výnos do banky a uzavře forwardovou smlouvu na koupi akcie. t = 1 ... X dostane z banky S0er, koupí akcii za F a vrátí ji (tj. uzavře krátkou pozici). Zůstane mu S0er — F > 0, tj. bezrizikový zisk. Opět je to arbitráž. Tedy pokud neexistuje arbitráž, pak F = S0er. Příklad 9.1.3. Evropská call opce dává držiteli právo koupit akcii v čase t = 1 za cenu K (tzv. realizační cena opce). Kupec opce zaplatí v čase t = 0 za toto právo prodejci cenu V0. Jaká je férová cena V07 V čase t = 0 neznáme Si. Držitel opce ji v čase t = 1 uplatní, je-li K < Si (jinak koupí akcii levněji na trhu). Tedy hodnota v čase t = 1 je pokud Si > K pokud Si < K 75 Jaká je hodnota Vo? Předpokládejme, že existují dva možné tržní scénáře (wi,cj2) a nechť pro t = 1 máme Si(ui) = di a Si^) = d2. Chceme určit V0 za předpokladů 76 1. di < K < d2 2. d1 < S0er < d2 (pro Soer < di < d2 dostaneme arbitráž a stejně tak v opačném případě). Uvažujme portfolio (xi, x2, x3) G IR3, kde x\ je počet aktiv peněžního trhu (bezrizikových), x2 je počet akcií a x3 počet opcí. Hodnota portfolia v čase t = 1 za scénáře uji je yi = x\é' + x2d\ + 0^3 Hodnota portfolia v čase t = 1 za scénáře uj2 je y2 = xxé' + x2d2 + (d2 - K)x3 Zobrazení T : (xi, x2, x%) —> (yi, y2) je lineární zobrazení z IR3 —> IR2, které má nenulové jádro dimenze 1. Tedy pro portfolio (0, 0, 1) existuje jednoznačné portfolio (rci, x2, 0), které má stejnou hodnotu jako (0, 0, 1) v obou scénářích (tzv. replikující portfolio). Hodnoty x\ a x2 najdeme řešením rovnic pro Vi (ui) a pro Vi (u}2). Řešením dostaneme x\é' + x2d\ = 0 x\é' + x2d2 = d2 — K -die-r (d2 - K) Xi = - d2 — di d2-K x2 d2 — d\ Portfolio (xi, x2, 0) má stejnou hodnotu jako (0, 0, 1) v každém scénáři. Musí mít tedy stejnou hodnotu i v čase t = 0 (jinak by existovala arbitráž). 77 Tedy V0 = c-rrfi(rf2 - K)^ + d2 - K ^ = _ / e^p - dA + Q (í2 — di d2 — d\ \ d2 — d\ ) = e-r(V1(uJ2)p + V1(uJl)(l-p)), kde Vi (uji) = 0, e~r je diskontní faktor a erSo — di a2 — di se nazývá "tržní" (risk-neutrální, rovnovážná) pravděpodobnost scénáře lo2. Tedy V0 je diskontované očekávání hodnoty opce v čase t = 1 vzhledem k tržní pravděpodobnostní míře. 9.2 Základní věta APT APT označuje arbitrážní teorii oceňování (Arbitrage Pricing Theory). Uvažujme trh s K aktivy A1, AK volně obchodovatelnými, kde A1 je bezrizikové aktivum. Cena podílu aktiva A^ v čase t = 0 je (známá hodnota). Dále máme tržní scénáře Q = {cüi, uN}. Předpokládejme, že A1 je bezrizikové, tj. Sl(uj) = er pro všechna j = 1, N, kde r je úroková míra. S{ (oji) bude označovat hodnotu aktiva A5 v čase t = 1 za scénáře Ui. Jsou to tedy náhodné veličiny, neboli funkce na prostoru tržních scénářů Q. Celkem dostáváme matici N x K s prvky S{ (ují). Definice 9.2.1. Portfolio je vektor 0 = (9i, 02, 9K) G RK, 78 kde 9j je počet podílů aktiva Aj v portfoliu. Pro 9 j < 0 je majitel v krátké pozici v aktivu Aj (o velikosti \9j\). V čase t = 0 je hodnota 0 rovna K Vo (e) = $j9X Pro t = 1 závisí hodnota 0 naw;, K v1 (©, ^) = Y,eisi fa) ■ Definice 9.2.2. Arbitráž je portfolio, které "získává peníze z ničeho", tj. formálně buď V0 (0) < 0 a K (0, ^) > 0 pro všechna oj j G Q, nebo Vb (0) < 0 a V1 (0, ^) > 0 pro všechna oj j G Q. Definice 9.2.3. Pravděpodobnostní míra 7tj = 7r(cjj) na množině Q všech scénářů je rovnovážná pravděpodobnostní míra (neboli risk-neutrální míra), jestliže pro všechna A5 je hodnota podílu v čase t = 0 rovna diskon-tovanému očekávání vzhledem k pravděpodobnostní míře n hodnoty podílu v čase t = 1. Tedy N pro všechna j = 1, K, kde e~r je diskontní faktor. Věta 9.2.4. (Základní věta APT): Rovnovážná pravěpodobnostní míra existuje právě tehdy, když neexistuje arbitráž. Důkaz: Implikace =>• je snadná. Jestliže existuje rovnovážná pravděpodobnostní míra n a 0 je portfolio, jehož hodnota v čase t = 1 je > 0 za všech scénářů, pak N V0(Q) = e-r^(ui)V1(Q,ui)>0, í=i 79 odkud plyne že 0 není arbitráž (a arbitráž tedy neexistuje). Nyní chceme dokázat opačnou implikaci: Neexistuje-li arbitráž, pak existuje rovnovážná pravděpodobnostní míra taková, že N So = e~ry^n(ui)S{(uJí). Pro j = 1 platí tento vztah automaticky, N i=i N = e~ry^n(ujj)Sl(uJí). i=i Uvažujme nyní 2 < j < K. Označme e množinu všech vektorů tvaru V = (ž/2, Vk), kde N V j = e~r^\(ui)S{{ui) i=i pro všechna j = 2, 3, K, pro nějakou pravděpodobnostní míru n. e C ]RX_1 je uzavřený konvexní polyedr. Je konvexním obalem svých extrémních bodů, které odpovídají pravděpodobnostem n (ují) = 1, n (uj) = 0 pro j ý 0- Chceme dokázat, že neexistuje-li arbitráž, pak S = {^oi ■■■■> $o ) ^ £- Jinak řečeno, pokud S e, pak existuje arbitráž. Využijeme větu o oddělující ňadro vině. Věta 9.2.5. (Věta o oddělující nadrovině:) Necht F C W1 je uzavřená konvexní množina a x F. Pak existuje uGl" tak, že v ■ x < v ■ y pro všechna y G F, kde ■ je skalární součin. Důkaz: Nechť a je nejbližší bod v F k bodu x, pak vektor a —x má hledané vlastnosti. 80 Podle této věty máme tak, že pro všechna y G e platí: y-Q* > S-Q*, e obsahuje extrémní body, tedy pro všechna i platí: K K 3=2 j=2 Levou stranu nerovnosti označme C i, pravou stranu D. Ukážeme, že existuje arbitráž. Zvolme 6i tak, aby C{ > Qi > D pro všechna i. Pak portfolio (—61, 62, 9K) je arbitráž. Jeho hodnota v čase t = 0 je < 0 a hodnota v čase t = 1 je > 0 pro všechna ují. Uvažujeme evropskou call opci, jejíž výplatní funkce je V\ = (Si-K)+. Dále Si(ui) = di pro i = 1, 2 a di < d2. Pokud neexistuje arbitráž, pak existuje 7T taková, že cena akcie v t = 0 je diskontované očekávání S0 = e~r ■ (tt(wi) • dľ + 7r(w2) • d2), a navíc víme, že 7r(wi) + 7r(w2) = 1- Speciálně tedy platí di < Soer < d2 (v předchozím to byl předpoklad, teď to platí automaticky). Dostaneme d2 - S0er 7r(wi) 7t(w2) d2 — di Soer — di d2 — di Je-li opce volně obchodovatelná a má-li zůstat trh bez arbitráže, musí totéž platit i pro opci, tedy: or -J Vq = n(u2)(d2 -K)+ n(ui)0 = n(u2)(d2 - K) = f ~ 1 (rf2 - K). d2 — di 81 9.2.1 Jištění (Hedging) Uvažujme aktiva A1, A2, AK, B. Nechť S:l(uj,t) a Sfiui) jsou ceny Aj, resp. B, v čase t a scénáři uj,h kde í = 0,1. Definice 9.2.6. Portfolio 9 = #2, • je replikující portfolio pro 5, jestliže K Sf{LJi) = YýiS{{ui) pro všechna i = 1, iV. Věta 9.2.7. Nechť Q = (9U 92, 9 K) je replikující portfolio pro B. Neexistuje-li arbitráž, pak v čase t = 0 ^afa': A" Důkaz: Nechť tvrzení neplatí. Je-li > pak portfolio ( — 1, 91, 92, v aktivech 5, A1, A2, AK je arbitráž, protože K YfiSl - s* < o i=i a A" pro všechna c K. Máme tedy ^o=£ító"nQ (SQu«éF-«-K) n=m ^ ' n=m \ / x ' kde (^) je počet trajektorií s celkem n plusy. Poznámka. Položíme-li d = ^, pak v limitě pro T —> oo a u = e^ř dostaneme Black-Scholesův spojitý model pro oceňování opcí. a je parametr nazývaný volatilita. Model, který jsme uvažovali v této podkapitole, se také často nazývá binomický. Jeho autory jsou Cox, Ross a Rubinstein. 85 9.4 Příklady Příklad 9.4.1. Najděte cenu evropské call opce při daných hodnotách S0 = 100, r = 0, SxM = 110, SxM = 95, K = 105 Příklad 9.4.2. Najděte cenu evropské put opce při daných hodnotách S0 = 40, r = 0, SxM = 50, SxM = 35, K = 45 Příklad 9.4.3. Najděte horní a dolní odhad pro cenu evropské call opce v neúplném trhu se třemi scénáři, při daných hodnotách S0 = 10, r = 0, S1(u1) = 12, S1(u2) = 11, S1(u3) = 9, K = 10 86 Kapitola 10 Martingaly 10.1 Férová hra Martingal je matematickým vyjádřením myšlenky "férové hry". Implicitně jsme se s tímto pojmem již setkali, v kapitole o diskrétních modelech trhu. Připomeňme, že v jednokrokovém modelu trhu se dvěma scénáři existuje rovnovážná pravděpodobnostní míra P a platí S0 = e-rEP (S1) = EP (e-rS1) . Tedy cena v čase t = 0 je diskontované očekávání vzhledem k pravděpodobnosti P ceny v čase t = 1. Obecně, pro T-krokový model máme analogicky S0 = EP (STe-rT) . Navíc, pro libovolný čas t < T platí St = EP (STe~r<"T~^ | S0,Si, St) , tedy St je podmíněné očekávání diskontované hodnoty St, podmíněné informacemi o tržním scénáři, které máme v čase t. Jak uvidíme za chvilku, tato vlastnost znamená, že diskontovaný proces St je martingal. 87 Připomeňme si ještě formální definici stochastického procesu. Definice 10.1.1. Mějme měřitelný prostor (fž, A), množinu reálných čísel IR a indexovou množinu T 7^ 0 (která hraje roli času). Dále mějme zobrazení X : íl x T —> IR, takové, že pro všechna t E T je X (•, í) náhodná veličina (kterou značíme Xt). Pak takové zobrazení nazýváme stochastický proces definovaný na množině T. Značíme {Xt; t G T}. Stochastické procesy dělíme na 4 základní typy: • diskrétní proces s diskrétním časem (např. náhodná procházka) • diskrétní proces se spojitým časem (např. Poissonův proces) • spojitý proces s diskrétním časem (např. Markovovy řetězce) • spojitý proces se spojitým časem (např. Wienerův proces) 10.2 Přirozená filtrace Definice 10.2.1. Ve vícekrokovém trhu se informace o tržním scénáři odhaduje krok po kroku. Pro t < T definujeme T t = {všechny jevy určené během prvních t period} . Zřejmě Ft je (j-algebra. Konečná posloupnost (^rí)0<í t. Tedy proces ceny je adaptovaný přirozené filtraci, ve smyslu následující definice. Definice 10.2.4. Posloupnost náhodných veličin Xt je adaptovaná přirozené filtraci, jestliže pro každé t a pro každý tržní scénář uj = £1, £T hodnota Xt (co) závisí jen na částečném scénáři £1; £2, •••> £t- 89 10.3 Martingal Definice 10.3.1. Nechť P je přirozená filtrace prostoru tržních scénářů Q = {oji, oj2, ojn} a P je pravděpodobnostní míra na Q. Adaptovaná posloupnost náhodných veličin Xt se nazývá martingal, jestliže platí E (Xt+i | Pt) = Xt pro všechna t G {0, 1, T — 1}. Pokud E(Xt+1\Pt)>Xt, mluvíme o submartingalu, pokud E(Xt+1\Pt) 1 je Yt Ft-\ - měřitelná, (tedy hodnota Yt je určena již v čase t — 1). 10.5 Martingalová transformace Definice 10.5.1. Nechť posloupnost náhodných veličin {Xt} pro 0 < t < T je martingal a nechť {Yt} pro 0 < t < T je předvídatelná posloupnost. Pak 91 martingalová transformace {(Y • X)t}Q 1, je martingalem vzhledem k Xn. Příklad 10.6.2. Nechť Xn jsou nezávislé náhodné proměnné splňující E(Xn) = 0 a Var(Xn) pro všechna n. Uvažujme posloupnost částečných součtů Sn z předchozího příkladu. Dokažte, že vztahy M0 = 0 a Mn = Sl pro n > 1 definují martingal vzhledem k posloupnosti Xn. 95 Kapitola 11 Úplnost trhu 11.1 Věta o úplnosti trhu Uvažujeme trh M s aktivy A1, Ak. Podle základní věty arbitrážní teorie (APT) plyne z neexistence arbitráže existence rovnovážné pravděpodobnostní míry (může jich být i více). Definice 11.1.1. Trh bez arbitráže se nazývá úplný, jestliže existuje právě jedna rovnovážná pravděpodobnostní míra. Trh je neúplný, pokud existuje více rovnovážných pravděpodobnostních měr. Definice 11.1.2. Derivát je obchodovatelné aktivum, jehož hodnota V\ v čase t = 1 je funkcí V\ (oji) tržního scénáře. Tedy Vi je náhodná veličina na í) = {uu 0JN}. Definice 11.1.3. Replikující portfolio pro daný derivát V, jehož hodnoty v čase t = 1 za scénáře oj i jsou rovny V\ (oj i), je portfolio 0 = (6i, 6k) v aktivech A1, Ak takové, že: k kde S{ (oji) je cena j-tého aktiva A5 za scénáře ojí. 96 Z neexistence arbitráže plyne, že k v0 - y^9jSj0, tedy pokud existuje replikující portfolio, derivát má jednoznačně určenou cenu v čase t = 0. Věta 11.1.4. (o úplnosti trhu): Nechť M je trh bez arbitráže s bezrizikovým aktivem. Existuje-li pro každý derivát replikující portfolio v A1, Ak, pak je trh úplný. Naopak je-li M úplný a rovnovážná pravděpodobnostní míra dává kladnou pravděpodobnost každému scénáři (tj. n (coi) > 0 pro Mi), pak pro každý derivát existuje replikující portfolio (a tedy derivát má jednoznačně určenou cenu). Důkaz je založen na jednoduchých myšlenkách z lineární algebry. Deriváty tvoří vektorový prostor (izomorfní MN). Trh je úplný právě tehdy, když vektory hodnot aktiv A1, A2, Ak v jednotlivých scénářích generují RN. Tedy vektory S{ (ují), j = 1, k generují RN. Speciálně platí k > N. Důkaz: Chceme nejdříve dokázat, že pokud existuje replikujcí portfolio, pak M je úplný. Uvažujme pro pevně zvolený scénář ui G Q následující derivát Di, jehož hodnota v čase t = 1 je rovna Podle předpokladu existuje replikující portfolio pro Di, označme ho 0 = (0i, 0k), v aktivech A1, Ak. Tedy pro i ý l pro i Vq - Y0jSJo. Je-li 7t rovnovážná pravděpodobnostní míra, pak také N i=l 97 Odtud plyne k 7t (wí) = e^jSi 3=1 a tedy n je jednoznačně určena. Zbývá nám dokázat opačnou implikaci. Označíme ďj = (S{ (wi), S{ (u2), S{ (ujn)) vektor v WLN pro každou hodnotu j (tedy každé aktivum Aj). Derivát je vektor v WLN, který se dá replikovat právě tehdy, když vektor jeho hodnot v jednotlivých scénářích patří do lineárního obalu vektorů ďj. Nechť existuje n (oj i) jednoznačně určená, taková, že n (oji) > 0 pro všechna i. Budeme postupovat sporem: Nechť existuje derivát D, který nemá replikující portfolio. Tedy jsou-li jeho hodnoty ve scénářích ují rovny / (ují) a označíme-li / = (/W,..., /N), pak / není lineární kombinací a j a tedy a j negeneruje WLN. Existuje tedy vektor v = (vi, vn), který je kolmý na vektory a j pro všechna j, tedy platí n 52viSi fa) = ° 1=1 pro j = 1, k. Aktivum A1 je bezrizikové, tedy A\ (uí) = er pro všechna i. Speciálně tedy vl. (1, 1) a n 52v* = °- i=i Pro dostatečně malé e > 0 označme 7t* (Ui) = 7t (Ui) + SVi. Máme n n n ^7t* (uí) = ^7t (uí) + 52vi = 1 + 0 = 1. i=l i=l i=l 98 Navíc, je-li e dostatečně malé, pak n* (cjj) > 0, neboť tt (u>í) > 0, a platí N N N N i=l i=l i=l i=l Tedy 7r* je další rovnovážná pravděpodobnostní míra, což je spor. Tím je tvrzení dokázáno. 99 Kapitola 12 Wienerův proces 12.1 Limita náhodné procházky Wienerův proces je stochastický proces ve spojitém čase se spojitými hodnotami, který můžeme intuitivně chápat jako limitu náhodné procházky při zmenšování časového a prostorového kroku Ax a At (tedy pro Ax -> 0 a At -> 0). Nechť P{Xi = 1} = P{Xi = -1} = \, kde Xh Xn,... jsou stejně rozdělené nezávislé náhodné veličiny s E (Xi) = 0 a Var (X,i) = 1. Potom Sn — So + X\ + X2 + • • • + X, ni kde So = 0, je standardní symetrická náhodná procházka. Zvolme délku časového kroku At a velikost prostorového kroku Ax. Pro t = nAt, tedy n = definujeme proces St = SnAt = (Xx + X2 + ... + Xn) Ax. Z nezávislosti přírůstků Xj plyne, že E (St) = 0 a Var (St) = (Axfn = (Axf Zajímá nás chování tohoto procesu v limitním přechodu Ax —> 0 a At —> 0. Uvažujeme mocninnou závislost mezi Ax a At. Položme At = (Ax)p, kde 100 p > 0. Pro At —> 0 pak dostávame (AxÝ prop<2 Far (5í) = i^-t ^ = í pro p = 2 . [ —>• oo pro p > 2 Konečný nenulový rozptyl tedy dostaneme jen pro volbu p = 2. Pro At = (Ax)2 dostaneme v limitě pro At —> 0 standardní Wienerův proces. Z Centrální limitní věty plyne, že St má v limitě pro At —y 0 a (Ax)2 = At normální rozdělení N (0, t). Věta 12.1.1. (Lindebergova centrálni limitní věta) Nechť Xi, X2, ... jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením, které mají střední hodnotu fi a konečný rozptyl a2. Označme (X1 +X2 + ... +Xn - fin) y -1 n n 2\ pro n = 1, 2, .... Pak Yn konverguje v distribuci k rozdělení N (0, a ). Definice 12.1.2. Stochastický proces Wt, kde t G [0,oo), se nazývá standardní Wienerův proces, jestliže platí: 1. W0 = 0 2. (spojitost) S pravděpodobností 1 je trajektorie Wienerova procesu spojitá. 3. (nezávislost) PřírůstkyWienerova procesu jsou nezávislé, tj. pro 0 < ti < s1 < t2 < s2 < ... < tn < sn jsou přírůstky WSl - Wtl, WS2 -Wt2, WSn — Wtn navzájem nezávislé. 4. (normalita přírůstků) Přírůstky Ws — Wt pro s > t mají rozdělení N(0, s-ť). Speciálně z vlastností 1 a 4 máme Wt ~ N(0, t) ~ VtN(0, 1). 101 Označme AW přírůstek Wienerova procesu za čas At. Máme AW = VÄle, kde e má standardní normální rozdělení N (0, 1). Pro očekávání a rozptyl AW dostaneme E (AW) = V At E (e) = 0 Var (AW) = E ((AW)2) = At. Zobecněný Wienerův proces můžeme definovat pomocí infinitezimálního přírůstku dX = adt + bdW, kde a, b jsou konstanty a W je standardní Wienerův proces. Koeficient a je koeficient driftu a b je koeficient volatility. Opět máme tedy AX = aAt + beVAt E (AX) = aAt Var (AX) = b2At. Pro 6 = 0 máme dX = adt, tedy Xt = at je deterministický proces. Další možné zobecnění: koeficienty a, b se mohou měnit a mohou záviset na t a případně i na hodnotách X. 102 12.2 Wienerův proces pro cenu akcie Wienerův proces není vhodný pro popis vývoje ceny akcie z několika důvodů: • Ceny akcie nemohou nabývat záporné hodnoty, zatímco Wienerův proces ano. • Při Wienerově procesu je pravděpodobnost, že se cena zvýší o 1 Kč, stejná, je-li S* = 1 Kč nebo S = 100 000 Kč. To, co je ve skutečnosti důležité, není absolutní změna (ta závisí mimo jiné také na jednotkách, v nichž cenu vyjadřujeme), ale relativní změna vůči ceně akcie. Je-li volatilita nulová, máme AS = fiSAt. Z tohoto vztahu můžeme vyjádřit relativní přírůstek &s — = /íAí, kde // je konstanta (drift). Odtud dostáváme dS — = fiat a řešením diferenciální rovnice se separovanými proměnnými St = Soe*. Obecně dS = fiSdt + aSdW, kde fi je drift a a je volatilita. Tak je definován geometrický Wienerův proces. Máme d S — = fidt + adW o a diskretizací dostaneme: AS = fiSAt + aSeVÄi, 103 kde e ~ N (O, 1). Tedy odkud Jinak řečeno, — = \iAt + aeVAt, AS S N (fj,At, a2At) . Var ) = K vyřešení rovnice, t.j. odvození explicitního vztahu pro S, potřebujeme Itôovo lemma. 12.2.1 Itôovo lemma Pro porovnání připomeňme nejdříve diferenciál deterministické funkce. • 1 proměnná: dG = ^f-dx 1 ax • funkce 2 deterministických proměnných x, ť. A„ dG dG AG « — At + — Ax, dt dx neboli ,„ dG^ dG , dG = -^—dt + ——dx. dt dx V případě Wienerova procesu platí heuristický vztah (dW)2 = dt, proto budeme mít navíc člen Itôovo lemma je analogií pravidla pro diferenciál složené funkce a slouží k výpočtu přírůstků funkce stochastického procesu. 104 Nechť hodnota stochastického procesu X splňuje rovnici dX = a (X, t)dt + b (X, t) dW, kde W je standardní Wienerův proces a a, b jsou funkce X a t. Nechť G (x, t) je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce dvou proměnných x, t. Jakou rovnici splňuje přírůstek procesu G (X, t)? Itôovo lemma říká, že pro G platí _ <9G dGJV ld2G,Jv.2 dG = lňdt + l^dX+2^dX)> kde za dX dosadíme a (dX)2 počítáme podle pravidel dtdt = 0, dtdW = 0, (dW)2 = dt. Tak dostaneme celkem dG = — + --^b2 + a— dí + — bdW. \ ot Z o x ox J ox 12.2.2 Odvození Black-Scholesovy rovnice Black-Scholesova rovnice popisuje vývoj hodnoty evropské opce v Black-Scholesově modelu. Předpokládejme, že pohyb ceny akcie je popsán geometrickým Wienerovým procesem dS = fiSdt + aSdW, neboli dS , 1TTT — = fiat + adW. o Použijeme Itôovo lemma na funkci G (S, t) = InS 9G_ d2G _ ~dt ~ ' d~Š ~S~' dlP " Tedy z Itôova lemmatu Máme -1 'Š2' 105 a2 dG = [/i- — )dt + adW a2 d(lnS)= \^- — )dt + adW. Odtud plyne, že ln St — ln So má normální rozdělení se střední hodnotou (ji - 4) T a rozptylem o2T. Tedy a2 \nST ~ N \\nSQ + \ p - — j T; azT j . St má tedy lognormální rozdělení, tj. InSV má normální rozdělení. Máme rovnici pro cenu akcie, která sleduje geometrický Wienerův proces dS = fiSdt + aSdW. (12.1) Nechť / je cena evropské call opce s danou realizační cenou K a časem expirace T. Zisk z takové opce v čase T je {St - K)+ . f závisí na S a t a je tedy funkcí dvou proměnných, / (S, t). Hodnota / (S, ť) je cena opce v čase t v situaci, kdy cena akcie je rovna S. Podle Itôova lemmatu platí pro změnu ceny opce d! = díát+dísds + \%{ds)2- Za dS dosadíme z 12.1, tedy d f d f 1 d2 f df = -±dt + (fiSdt + aSdW) + - —4 (fiSdt + aSdW)2 . ot ob 2obz Jelikož (dt)2 a dtdW jsou členy vyššího řádu a víme, že (dW)2 = dt, dostá- vame: 106 Vhodnou kombinací 12.1 a 12.2 můžeme sestavit portfolio z akcií a opcí, jehož výnos je deterministický. Jinak řečeno, můžeme eliminovat stochastický člen dW. Označme li hodnotu portfolia složeného z 1 opce a —1| akcie, tedy df Pro přírůstek hodnoty portfolia za čas dt máme: dU= dS+ldf. Po dosazení z 12.1 a 12.2 dostaneme dU ={-dštlS+m + dštlS+2dš-2aS) dí' stochastický člen se vyruší. Přírůstek hodnoty portfolia dlí se musí (z neexistence arbitráže) rovnat zisku z bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r, tj. dU = rUdt. Celkem dostaneme dt 2dS2 J \ dS m + 2dš-2aS +dšSr = rf- To je Black-Scholesova parciální diferenciální rovnice. Po transformaci (substitucích) dostaneme rovnici difúze (rovnici vedení tepla) d£ = &f_ dt dS2' Řešením společně s transformovanou koncovou podmínkou (známe hodnotu / (T) = (ST — K)+) dostaneme Black-Scholesův vzorec. 107 12.3 Příklady Příklad 12.3.1. Vypočítejte diferenciály následujících procesů X(t) = 3í + ew(í) X(t) =t + W{tf X(t) =5 + sinW(t) Příklad 12.3.2. Nechť X je zobecněný Wienerův proces s parametry // a