Analýza a klasifikace dat přednáška 1 MU RNDr. Eva Janousova IBA » Podzim 2014 Přínos předmětu orientace v principech rozpoznávání a klasifikace dat s důrazem na zpracování medicínských a biologických dat schopnost zvolit a aplikovat adekvátní metodu analýzy a klasifikace dat k dosažení požadovaných výsledků schopnost správné interpretace dosažených výsledků včetně vyhodnocení úspěšnosti klasifikace Janoušová: Analýza a klasifika ;J^J Požadavky ke zkoušce • předmět je ukončen ústní zkouškou - je nutné porozumět probíraným tématům, zvolit správnou metodu na daný analytický problém a umět získané výsledky interpretovat • přednášky jsou kombinovány s cvičením - maximálně 2 absence Janoušová: Analýza a klasifika ;J^J Doporučená literatura • Holčík, J.: Analýza a klasifikace dat. Brno, CERM 2012,112s. http://wwwjba.muni.cz/res/file/ucebnice/holcik-analyza-klasifikace-dat.pdf http://www.iba. muni.cz/index. php?pg=vyuka--ucebnice • Janoušová, E. et al.: online výukové materiály vícerozměrným metodám a analýze a klasifikaci dat http://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-hodnoceni-biologickych-dat-vicerozmerne-statisticke-metody • DUDA R. O., HART P. E., STORK D. G., 2000: Pattern Classification. Wiley-Interscience, New York, 680 pp. • BISHOP C, 2006: Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, New York, 738 pp. • KUNCHEVA L. I., 2004: Combining Pattern Classifiers: Methods and Algorithms. Wiley-lnterscience, New Jersey, 376 pp. Janoušová: Analýza a klasifikac Vícerozměrná data, Bjich popis a vizualizace Janoušová: Analýza a klasifikace dat Schéma analýzy a klasifikace dat Data ___________________,____________________i I Předzpracování ____________________,____________________i I Analýza (redukce) ____________________,____________________i I Klasifikace A B C D E 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 3S Z 164 45 3 2 36 M 90 4 3 26 Z 178 70 1 ABODE 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 3S Z 164 45 3 2 36 M 167 90 4 3 26 Z 178 70 A B C D E 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 38 Z 164 45 3 2 36 M 167 90 4 3 26 Z 17S 70 i________________________________________I nebo Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA W 6 Vícerozměrná data PROMĚNNÉ ID Pohlaví Věk Váha 1 muž 84 85,5 2 žena 25 62,0 3 4 I— CQ > I— CD O Poznámka: proměnné označovány i jako znaky, pozorování, diskriminátory, příznakové proměnné či příznaky Anglicky označení pouze jedním termínem: feature MU ,-.*■»»., Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjjj y Typy dat - opakování Kvalitativní (kategórialni) data: - Binární data - Nominální data - Ordinální data * Kvantitativní data: - Intervalová data - Poměrová data Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 8 Vizualizace jednorozměrných dat - opakování Koláčový graf Pohlaví N=102 52,9% 47,1% □ Ženy (N=54) □ Muži (N=48) Sloupkový graf % 25 -i 20 -15 -10 -5 -0 - <$> <$> & <§> A* <ř> # A* <$> <3> JZL Věk (roky) 25 -i 20 -15 -10 -5 - Histogram 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Krabicový graf (Box Plot) 100 n 75 -50 -25 - T Maximum □ Medián 75% percentu 25% percentu Minimum Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 9 Vizualizace vícerozměrných dat 3D sloupkové grafy dvourozměrný histogram maticové grafy krabicové grafy pro více proměnných ikonové (symbolové) grafy: - profilové sloupce - profily - paprskové (hvězdicové) grafy - polygony - pavučinové grafy - Chernoffovy tváře Janoušová: Analýza a klasifikace dat *jL .. ^0 3D sloupkové grafy >-- • vzájemný výskyt kategorií dvou kategoriálních proměnných • v softwaru Statistical Graphs - 3D Sequential Graphs - Bivariate Janoušová: Analýza a klasifikace d; (^J Dvourozměrný histogram >- • pro vykreslení vztahu dvou spojitých proměnných • v softwaru Statistical Graphs - 3D Sequential Graphs - Bivariate Histograms... Janoušová: Analýza a klasifikace d; (^J Úkol 1 vykreslete dvourozměrný histogram pro věk a systolický tlak změňte barvu pozadí grafu na transparentní změňte barvu sloupečků (např. na červenou) zvětšete velikost písma u popisků os (u hodnot i názvů proměnných) mu ,-.*■»»., Janoušová: Analýza a klasifikace dí 1=-^ (Mj Tečkový graf rovněž pro vykreslení vztahu dvou spojitých proměnných v softwaru Statistica: Graphs - Scatterplots... 200 195 190 185 180 « 175 170 165 160 155 150 40 -.-.-.-.-1 I-"-'-■-'- 1-■-'-■-'-1 -.-.-.-.- -.-.-.-.- -.-.-.-.- o —.—.-.—.— -.-.-.-.- o o o O O o □ o □ oo —S~ o°8o^ O □ □ ( O ( ( )__ 3 OOO.--( 3 O ( !° 08 "8 ( □ □ oo , O ° JO ***"o ) 3 O ( o o □ ! O o o O o ° < ) o o o 3 O O ( □ ( 3 O O o o ) 3 ( □ 3 OO o O 3 50 £0 70 30 vana £0 100 110 120 Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 14 Maticový graf • vykreslení vztahu více spojitých proměnných • v softwaru Statistical Graphs - Matrix Plots... • upozornění: nastavení, jak se vypořádat s chybějícími hodnotami * o*° 0 & 3 _■: "o A' °o 3*0° o"" Hi _ľ - 1_1 rP mi i- ". =1.3 □U □c o o 0 .-*o ° .j í ■ s ' 1 'o* fei ■ 4 o o o o o 0 ft "a" o o . % 0 o% oj> - ř ° o 8 'ar* :c±i:i S> °o ůgpo°o i íi . * váľa JI o , o w 5 o JČ &° b o o* as? > ° B IT ■ ľ - 1 Loí o 0 í »8 - ^o o ;098° of o o o o ö o°o o o U > s ■itSB6|< ill ™o Boo " ._J_ľĽ_í_ o o 0 í Ojo J oo fi Ů_0vOTr 0 - rioš o i f S.VS.J1HJHW □ Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA W 15 Maticový graf - na diagonále krabicové grafy * v softwaru Statistica: Graphs - Matrix Plots...; na záložce Advanced zatrhnout Display: Box plot U ň U ' o f* ■ °- oo o c _a.11 r- i- u 0 o 0 .L !°o» o p* 15 o % j Ů iTi o o p O ° t^i'SoioiJ tij ň:-gpo°o| o - °o 1 """ """ (p o o ■j O 0 ■ 0 í io o^" o 0 • O OCO 03 0^"V * 5 oQ, H S8° 6 '-■ o o o > o ° ° -° ° -a ° i- ° r o oo 2 í^O t ň .-.ň s00 o Janoušová: Analýza a klasifikace dat /BA IMJ 16 Úkol 2 í- • vykreslete maticový graf pro proměnné: věk, LDL, HDL i celkový cholesterol, systolický a diastolický tlak, přičemž na diagonále budou krabicové grafy • změňte barvu krabicového grafu na černou (můžete nastavit i výplň) • změňte barvu tečkových grafů • zrušte čáry mřížky u tečkových grafů (gridlines) Janoušová: Analýza a klasifikace dat *jL .. y] Krabicové grafy pro více proměnných -20 ukáží nám, zda mají proměnné podobný rozsah hodnot v softwaru Statistical označit příslušné sloupečky v datech - Graphs -Graphs of Block Data - Box Plot: Block columns 220 200 180 160 140 120 100 SO GO 40 20 C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 □ _L [ 1 [ [ ] [ 1 [ 5 1 <£> ■ i i i i i i i i i 2 (ľ 'Ú "ô "ô? [C v > n3 ~5 (TJ ~5 f" C- Cl en □ Median □ 25%-75% X Non-Outlier Range o Ouťiers * Extremes Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 18 Ikonové (symbolové) grafy >- • hodnoty znaků znázorněny jako geometrické útvary či symboly • každému objektu (subjektu) odpovídá jeden obrazec složený z těchto geometrických útvarů či symbolů • umožní vizuálně porovnat, které objekty (subjekty) jsou si podobné • mnoho druhů, v softwaru Statistica např.: 1. Profilové sloupce 2. Profily 3. Paprskové (hvězdicové) grafy 4. Polygony 5. Pavučinové grafy 6. Chernoffovy tváře mu Janoušová: Analýza a klasifikace d; Ikonové grafy - profilové sloupce • výšky sloupců odpovídají relativním hodnotám proměnných (relativní hodnota je podíl původní hodnoty a maxima z absolutních hodnot dané proměnné) • v softwaru Statistical Graphs - Icon Plots... - Graph type: Columns - zvolit proměnné - na záložce. Options _1 zatrhnout „Display case labels' .a lL #1 #2 JjJJuJLlI #6 £7 #B ~& #10 .1 lil..i.lihl #11 #12 #13 #14 #15 I I i. I . Left to right: vek c e l_c hole stero I vah a #16 #17 #18 #19 *20 diat|ak sys_tlak dia_tlak Janoušová: Analýza a klasifikace dat *£L = j 20 Ikonové grafy - profily obdoba profilových sloupců, jen se středy horních hran profilových sloupců spojí úsečkami v softwaru Statistical Graphs - Icon Plots... - Graph type: Profiles - zvolit proměnné - na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels" #1 #16 #2 #3 #4 #5 #17 #18 #19 #20 Left to right: vek c e l_c hole stero I vana sys_tlak dia tlak Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA m 2i Ikonové grafy - paprskové (hvězdicové) grafy i- • vzdálenosti od středu odpovídají relativním hodnotám proměnných • v softwaru Statistical Graphs - Icon Plots... - Graph type: Stars - zvolit proměnné - na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels" #1 #2 #3 #5 w #6 #11 #16 #7 #12 #17 #8 #13 #18 #9 #14 #19 #10 #15 #20 Clockwise: vek c e l_c hole sterol vana sys_tlak dia tlak Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 22 Ikonové grafy - polygony >- • obdoba paprskových grafů, jen jsou vyplněné • v softwaru Statistical Graphs - Icon Plots... - Graph type: Polygons - zvolit proměnné - na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels" 4 #1 v #2 #3 #4 <^ #5 #6 \ #8 #9 #10 V #11 #12 #13 #14 ♦ #15 Left to right: vek cel_cholesterol vah a sys_tlak dia tlak mu Janoušová: Analýza a klasifikac Ikonové grafy - pavučinové grafy • obdoba paprskových grafů, přidáno znázornění maxima absolutních hodnot • v softwaru Statistical Graphs - Icon Plots... - Graph type: Sun Rays - zvolit proměnné - na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels" #1 #6 #11 #16 #3 A A S7 #12 #17 #3 S3 7C #13 AAA" #18 X 7C S- #9 #14 #19 S3 #10 #15 A #20 Clockwise: vek ce c hole ste rol vaha sys_tlak dia tlak Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA M 24 Ikonové grafy - Chernoffovy tváře • proměnné znázorněny jako části obličeje • v softwaru Statistical Graphs - Icon Plots... - Graph type: Chernoff Faces - zvolit proměnné - na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels" #1 c/V #11 #12 #13 <^^^ cfť #16 #17 #18 #14 #19 #10 -face/w = vek -ear/lev = cel_cholesterol -halfface/h = vana -upface/ecc = sys_tlak — loface/ecc = diajlak Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IM) 25 Úkol 3 * zvolte si typ ikonových grafů, které se Vám zdají nejpřehlednější, a vykreslete graf pro subjekty 80 až 100 s využitím proměnných věk, výška, váha, obvod pasu a boků a BMI Janoušová: Analýza a klasifikace dat *jL .. 26 Analýza a klasifikace dat Janoušová: Analýza a klasifikace dat Schéma analýzy a klasifikace dat Data ___________________,____________________i I Předzpracování ____________________,____________________i I Analýza (redukce) ____________________,____________________i I Klasifikace A B C D E 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 3S Z 164 45 3 2 36 M 90 4 3 26 Z 178 70 1 ABODE 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 3S Z 164 45 3 2 36 M 167 90 4 3 26 Z 178 70 A B C D E 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 38 Z 164 45 3 2 36 M 167 90 4 3 26 Z 17S 70 i________________________________________I nebo Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA W 28 Proč používat klasifikaci dat? 1. Podpora diagnostiky onemocnění mozku (Alzheimerova choroba, schizofrenie atd.): Zdravé subjekty Pacienti Janoušová: Analýza a klasifikace d; (^J Proč používat klasifikaci dat? 2. Odhalení genetického onemocnění na základě dat s microarray experimentů: Zdravé subjekty Pacienti o j a * d j j . «.> o d d w • t. c • j o .> - u * , u a a j 94 • 4 k d • 0 • j ■ d * d ■ \> »*£ * j ú • i a u >i d d d • 99 j 4 ■j a d - j m d dOO >* J j • t d d j •* i/ d « j 4 d 1 d d > d * i d • c . d a d d o d j • « d > d ů a • u j » d í 0 d > j d d j j *j d d -j c a j o ■» a d c 0 d d • d d CO d j o j a • 1 d c a d d * 0 t d d * d i> d 0 d « a •* d d d > J d i d o d d d J d -t ■ * j d 1» * l d d d • d 0 « * d j j- 0 í * • t d Pacient? x Zdravý? Janoušová: Analýza a klasifikac Proč používat klasifikaci dat? 3. Zjištění demence a dalších onemocnění na základě kognitivních testů: Demence ano? x Demence ne? Janoušová: Analýza a klasifikace dat Proč používat klasifikaci dat? 4. Rozpoznání hmyzu: Nejedovaté housenky Proč používat klasifikaci dat? 5. Rozpoznání vadných výrobků: Matičky bez vady Janoušová: Analýza a klasifikace d (^J Proč používat klasifikaci dat? 6. Rozpoznání tváře při vstupu do zabezpečené budovy: Proč používat redukci dat? Obrazová data Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 35 Proč používat redukci dat? X -i—< .m _Í2_ voxely 100x 1 000 000 -i—< .m I2 pac. kon. Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 36 Proč používat redukci dat? X -i—< .m _Í2_ voxely 100x 1 000 000 voxely X-| ■ ■ ■ subjekty ii 100 x i2 1 000 (D I2 pac. kon. Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 37 Cíle analýzy a klasifikace dat - shrnutí • rozhodnutí o typu či charakteru objektu - např. že daná rostlina je pomněnka lesní (Myosotis sylvatica), zvíře že je medvěd hnědý (Ursus arctos), nebo že daná budova je vystavěna v renesančním slohu -klasifikační, resp. rozpoznávací úloha; • posouzení kvality stavu analyzovaného objektu - např. zda je pacient v pořádku, nebo má infarkt myokardu, cirhózu jater, apod. - opět klasifikační, resp. rozpoznávací úloha; • rozhodnutí o budoucnosti objektu - např. zda lze pacienta léčit a vyléčit, zda les po 20 letech odumře, jaké bude sociální složení obyvatelstva na daném územíavdanémčase- klasifikační, resp. predikční úloha • poznámka: v některých oblastech se pojem predikce a klasifikace rozlišuje: — pojem klasifikace \e používán, použije-li se klasifikačního algoritmu pro známá data; pokud jsou data nová, pro která apriori neznáme klasifikační třídu, pak hovoříme o predikci klasifikační třídy — pojem klasifikace používáme, pokud vybíráme identifikátor klasifikační třídy z určitého diskrétního konečného počtu možných identifikátorů; pokud určujeme (predikujeme) spojitou hodnotu, např. pomocí regrese, pak hovoříme o predikci, i když tento pojem nemá časovou dimenzi mu ,-.*■»»., Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjp 33 Schéma analýzy a klasifikace dat Data ___________________,____________________i I Předzpracování ____________________,____________________i I Analýza (redukce) ____________________,____________________i I Klasifikace A B C D E 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 3S Z 164 45 3 2 36 M 90 4 3 26 Z 178 70 1 ABODE 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 3S Z 164 45 3 2 36 M 167 90 4 3 26 Z 178 70 A B C D E 1 id vek pohlaví výska vaha 2 1 38 Z 164 45 3 2 36 M 167 90 4 3 26 Z 17S 70 i________________________________________I nebo Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA W 39 Schéma analýzy a klasifikace dat Data ___________________,____________________i I Předzpracování ____________________,____________________i I Analýza (redukce) ____________________,____________________i I Klasifikace rekonstrukce a doplnění chybějících údajů; filtrace rušivých x zvýraznění užitečných složek dat; konverze typu dat (A/Č převod); určení a výběr hodnot příznaků (reprezentativních parametrů) - pro příznakové klasifikátory; nalezení primitiv (charakteristických tvarových segmentů) - strukturální klasifikátory; redukce dat zatřídění do skupin (tříd, kategorií) i________________________________________I Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 40 Analýza dat • Analýza (z řečtiny - rozbor, rozčlenění) je vědecká metoda založená na dekompozici celku na elementární části. Cílem analýzy je identifikovat podstatné a nutné vlastnosti elementárních částí celku, poznat jejich podstatu a zákonitosti. • opakem je syntéza - označení pro proces spojení dvou nebo více částí do jednoho celku (následuje po analýze - spojíme znalosti dohromady; např. lékaři dělají syntézu výsledků, které jim pošlou statistici) • ze statistického pohledu: analýza = celý proces zpracování dat • především ve smyslu redukce dat: - výběr proměnných z předem zvolené množiny proměnných - vyjádření původních proměnných pomocí menšího počtu skrytých (tzv. latentních) nezávislých proměnných • poznámka: není ale jisté, že celková množina proměnných bude obsahovat všechny podstatné proměnné - musíme se spolehnout na experty Janoušová: Analýza a klasifikace dat Klasifikace versus diskriminační analýza * klasifikace - rozdělení (konkrétní či teoretické) dané skupiny (množiny) objektů na konečný počet dílčích skupin (podmnožin), v nichž všechny objekty mají dostatečně podobné společné vlastnosti. Předměty (jevy), které mají podobné uvažované vlastnosti tvoří třídu (skupinu). * diskriminační analýza - hledá vztah mezi kategoriální proměnnou a množinou vzájemně vázaných proměnných; je to podskupina klasifikačních metod * poznámka: analýza a klasifikace dat občas nazývána souhrnně jako „rozpoznávání obrazů'' (pattern recognition), „dolování z dat" (data mining) či „strojové učení" (machine learning) Janoušová: Analýza a klasifikace dat *jL .. 42 Typy klasifikátorů - podle reprezentace vstupních dat i- 1. Podle reprezentace vstupních dat: - příznakové klasifikátory: paralelní x sekvenční - strukturální (syntaktické) klasifikátory - kombinované klasifikátory 2. Podle jednoznačnosti zařazení do skupin: - deterministické klasifikátory - pravděpodobnostní klasifikátory 3. Podle typů klasifikačních a učících algoritmů: - parametrické klasifikátory - neparametrické klasifikátory 4. Podle způsobu učení: - učení s učitelem: dokonalým x nedokonalým - učení bez učitele 5. Podle podle principu klasifikace: - klasifikace pomocí diskriminačních funkcí - klasifikace pomocí vzdálenosti od etalonů klasif. tříd - klasifikace pomocí hranic v obrazovém prostoru Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L 43 Typy klasifikátorů - podle reprezentace vstupních dat • příznakové - vstupní data vyjádřena vektorem hodnot jednotlivých proměnných (příznaků): - paralelní - zpracování vektoru jako celku (např. Bayesův klasifikátor) - sekvenční - zpracování (občas i měření) proměnných postupně (např. klasifikační stromy) B C D E 1 id vek pohlaví výska vaha 11 38 Z 164 45 36 M 167 90 ij 26 Z ITS 70 • strukturální (syntaktické) - vstupní data popsána relačními strukturami • kombinované-jednotlivá primitiva doplněna příznakovým popisem Janoušová: Analýza a klasifikace dat Typy klasifikátorů - dle jednoznačnosti zařazení do skupin • deterministické klasifikátory: - každý objekt musí patřit do nějaké třídy a nemůže být současně ve více třídách - pozn. použití termínu „deterministický klasifikátor" v případě, že klasifikátor daná data zpracuje vždy se stejným výsledkem (např. Bayesův klasifikátor) x „nedeterministický klasifikátor", který může při opakovaném zpracování daných dat klasifikovat různě (např. neuronové sítě - záleží na tom, jaká bude inicializace) • pravděpodobnostní klasifikátory: - stanoví pravděpodobnost zařazení obrazů do daných klasifikačních tříd - např. člověk má s pravděpodobností 0,6 infarkt, s pstí 0,3 má atrofii srdeční komory a s pstí 0,1 je zdravý Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjjj 45 Typy klasifikátorů - dle typů klasifikačních a učících algoritmů • parametrické klasifikátory: - potřeba nastavit či určit parametry - např. prahová klasifikace (potřeba stanovit práh), metoda podpůrných vektorů (potřeba stanovit parametr „C") atd. • neparametrické klasifikátory: - není potřeba nastavovat žádné parametry - např. klasifikace podle vzdáleností od reprezentativního objektu (tzv. „etalonu'') skupin • pozn. z tohoto pohledu jsou klasifikační stromy parametrické klasifikátory, pokud to však hodnotíme ze statistického pohledu, jsou to neparametrické metody, protože nemají předpoklad normálního rozdělení mu ,-.*■»»., Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjjj 45 Typy klasifikátorů - podle způsobu učení • učení s učitelem - k dispozici trénovací množina, u níž známe zařazení každého objektu do jednotlivých klasifikačních tříd - učení s dokonalým učitelem - učitel se nemůže splést (tzn. předpokládáme, že všechny trénovací objekty jsou správně označené, že patří do dané třídy) - učení s nedokonalým učitelem - připouštíme, že v trénovací množině mohou být nesprávně označené subjekty (např. u některých duševních onemocnění se lékař může splést a označit pacienta za schizofrenika, i když trpí bipolární poruchou, což se však prokáže až za několik let, takže v naší trénovací množině je takto špatně zařazený subjekt) • učení bez učitele: - trénovací množina není k dispozici a často ani předem neznáme, jaké třídy (skupiny) se v datech budou vyskytovat - typickým příkladem je shlukování mu ,-.*■»»., Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjjj 47 Typy klasifikátorů - podle principu klasifikace klasifikace pomocí diskriminačních funkcí: - diskriminační funkce určují míru příslušnosti k dané klasifikační třídě - pro danou třídu má daná diskriminační funkce nejvyšší hodnotu klasifikace pomocí vzdálenosti od etalonů klasif. tříd: - etalon = reprezentativní objekt(y) klasifikační třídy - počet etalonů klasif. třídy různý - od jednoho vzorku (např. centroidu) po úplný výčet všech objektů dané třídy (např. u klasif. pomocí metody průměrné vazby) klasifikace pomocí hranic v obrazovém prostoru: - stanovení hranic (hraničních ploch) oddělujících klasifikační třídy 0 5 10 15 Objem mozkových komor A A A A □ □ □ o 0 o o o+ O O,' O O''A ✓'A A,.A A A A A Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 48 Příprava nových učebních materiálů pro obor Matematická biologie je podporována projektem OPVK č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0043 „Interdisciplinární rozvoj studijního oboru Matematická biologie" — -;- lvi 11 n i o i Lno i v w o r\ w i_ o i v i , ur v^ueidvdiii ÍOndvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost evropský sociální MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Janoušová: Analýza a klasifikace dat