Analýza a klasifikace dat přednáška 2 MU RNDr. Eva Janousova IBA » Podzim 2014 Typy klasifikátorů - podle reprezentace vstupních dat i- 1. Podle reprezentace vstupních dat: - příznakové klasifikátory: paralelní (s pevným počtem proměnných) x sekvenční - strukturální (syntaktické) klasifikátory - kombinované klasifikátory 2. Podle jednoznačnosti zařazení do skupin: - deterministické klasifikátory - pravděpodobnostní klasifikátory 3. Podle typů klasifikačních a učících algoritmů: - parametrické klasifikátory - neparametrické klasifikátory 4. Podle způsobu učení: - učení s učitelem: dokonalým x nedokonalým - učení bez učitele 5. Podle podle principu klasifikace: - klasifikace pomocí diskriminačních funkcí - klasifikace pomocí vzdálenosti od etalonů klasifikačních tříd - klasifikace pomocí hranic v obrazovém prostoru Janoušová: Analýza a klasifikace dat *L tyj] 2 Typy klasifikátorů - podle reprezentace vstupních dat i- 1. Podle reprezentace vstupních dat: - příznakové klasifikátory: paralelní (s pevným počtem proměnných) x sekvenční - strukturální (syntaktické) klasifikátory - kombinované klasifikátory 2. Podle jednoznačnosti zařazení do skupin: - deterministické klasifikátory -> budeme se - pravděpodobnostní klasifikátory zabývat paralelním 3. Podle typů klasifikačních a učících algoritmů: príznakovým - parametrické klasifikátory deterministickým - neparametrické klasifikátory klasifikátorům 4. Podle způsobu učení: - učení s učitelem: dokonalým x nedokonalým - učení bez učitele 5. Podle podle principu klasifikace: - klasifikace pomocí diskriminačních funkcí - klasifikace pomocí vzdálenosti od etalonů klasifikačních tříd - klasifikace pomocí hranic v obrazovém prostoru vá: Analýza a klasifika< Typy klasifikátorů - podle principu klasifikace klasifikace pomocí diskriminačních funkcí: - diskriminační funkce určují míru příslušnosti k dané klasifikační třídě - pro danou třídu má daná diskriminační funkce nejvyšší hodnotu o 0+. klasifikace pomocí vzdálenosti od etalonů klasif. tříd: - etalon = reprezentativní objekt(y) klasifikační třídy - počet etalonů klasif. třídy různý - od jednoho vzorku (např. centroidu) po úplný výčet všech objektů dané třídy (např. u klasif. pomocí metody průměrné vazby) ^A 0 0 v A A+" A A A A A klasifikace pomocí hranic v obrazovém prostoru: - stanovení hranic (hraničních ploch) oddělujících klasifikační třídy o ° o o o+ o • <>,' ✓'A o O/ ✓'A A+A A A A A Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA Ml Vícerozměrné normální rozdělení Janoušová: Analýza a klasifikace dat Motivace Dvourozměrný Hustota dvourozměrného histogram normálního rozdělení MU Janoušová: Analýza a klasifikac Vícerozměrné normální rozdělení Hustota vícerozměrného normálního rozdělení: 1 / 1 fx(xlt..., xk) = ■ exp - - (x - iůT I 1(x - [i) V(27r)k|I| |i - střední hodnota E - kovarianční matice 2 Dvourozměrné normálního rozdělení: i 2(1 -p>) s = »(• p - korelace mezi X a Y; o - směrodatná odchylka Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 7 Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou podmínkou vícerozměrné normality? Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou podmínkou vícerozměrné normality? Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 400 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1- 350 ww \ 300 l ■ \ lip 250 fill pil L 200 lil 150 111 100 50 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 + 350 300 250 200 150 100 50 0 -1-1-1-1-1-1-1-1-1- - / í\ ....................................... J wMmwwÉ 1 1 \ ' 1 B 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Vícerozměrný outlier Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 10 Ověření dvourozměrné normality Bagplot = „bivariate boxplot" (tzn. „dvourozměrný krabicový graf') 120 150 155 160 165 170 175 180 185 vy ska 190 195 200 v softwaru Statistical Graphs - 2D Graphs - Bag Plots o vsha ■ Median * Outliers Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA Ověření dvourozměrné normality Vykreslení regulační elipsy („control" elipse): 120 110 100 90 80 70 SO 50 40 30 -1-1-1-1- 1-■-1-1-1-1 -1-1-1-1- -1-1-1-1-1 -1-1-1-1-1 -1-1-1-1- o o o \ 1 0 0 5 ° í O 0 ͧB ° s ° ° o D í o° 3 O „ o „ „ „ 0 o / / ..__„q° :°b q / O / 0 0 □ oo i o 140 150 160 170 vyska 180 190 200 v softwaru Statistica: Graphs - Scatterplots - na záložce Advanced zvolit Elipse Normál Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 12 Normalizace dat • Převod na normální rozdělení (normalita je předpokladem řady statistických testů). • Např. logaritmická transformace: X = ln(Y) nebo X = ln(Y+l), pokud data obsahují hodnotu 0 Asymetrické rozdělení Normální rozdělení f(y) f(x) X = ln(Y) Geometrický průměr Medián Průměr In (y) Další příklady: - odmocninová transf. (pro proměnné s Poissonovým rozložením nebo obecně data typu počet jedinců, buněk apod.: X = JY nebo X = -JY + 1 - arcsin transfomace (pro proměnné s binomickým rozložením) - Box-Coxova tranformace Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA Klasifikace pomocí iskriminačních funkcí Janoušová: Analýza a klasifikace dat Příznakový klasifikátor • klasifikátor je algoritmus (stroj, machine) s tolika vstupy, kolik je proměnných (příznaků) a s jedním diskrétním výstupem, který udává třídu, do které klasifikátor zařadil rozpoznávaný objekt: • x je vektor hodnot jednotlivých proměnných pro daný subjekt: x—(x1 ,x2,... ,xn)T • d(x) je skalární funkce vektorového argumentu x, kterou nazýváme rozhodovací pravidlo klasifikátoru • cor je identifikátor klasifikační třídy o)r = d(x) *1 Côr O Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA (g) 15 Klasifikace pomocí diskriminačních funkcí >- • rozhodovací pravidlo klasifikátoru d(x) založeno na výpočtu diskriminačních funkcí • diskriminační funkce - vyjadřují míru příslušnosti x do jednotlivých klasifikačních tříd • zařadíme x do takové třídy c^j, pro kterou je gj(x) maximální • matematicky: pro obraz x z podmnožiny ^ pro všechna r platí gr(x) > gs(x), pro s =1,2,...,R a r * s o Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjp ^6 Blokové schéma klasifikátoru obecné blokové schéma klasifikátoru: <0r • blokové schéma klasifikátoru pomocí diskriminačních funkcí: Dichotomický klasifikátor >- • pro klasifikaci do dvou tříd • rozhodovací pravidlo klasifikátoru lze zapsat jako: o)r = d(x) = sign(g1(x)-g2(x)) • pokud d(x) > 0 -> zařazení x do třídy • pokud d(x) < 0 -> zařazení x do třídy o)2 x Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^j ^8 Souvislost klasifikace pomocí diskriminačních funkcí ^s klasifikací pomocí hranic_ • hranice mezi dvěma sousedními podmnožinami ^ a ^ je určena průmětem průsečíku funkcí gr(x) a gs(x), definovaného rovnicí gr(x) = gs(x), do obrazového prostoru Příklady diskriminačních funkcí nejjednodušším tvarem diskriminační funkce je lineární funkce: gr(x) = ar0 + ar1x1 + ar2x2+...+ arpxp diskriminační funkce na základě statistických vlastností množiny objektů: gr(x) = P(a)r|x) kde P(cjor | x) je pravděpodobnost zatřídění x do třídy o)r -> Bayesův klasifikátor Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L . 20 Lineární diskriminační funkce gr(x) = ar0 + ar1x1 + ar2x2 + ... + arpxp kde ar0 je práh diskriminační funkce posouvající počátek souřadného systému a arj jsou váhové koeficienty i-tého příznaku Xj Janoušová: Analýza a klasifikace d (^j Lineární diskriminační funkce gr(x) = ar0 + ar1x1 + ar2x2 + ... + arpxp kde ar0 je práh diskriminační funkce posouvající počátek souřadného systému a ari jsou váhové koeficienty i-tého příznaku Xj Lineární diskriminační funkce gr(x) = ar0 + ar1x>, + ar2x2 + ... + arpxp kde ar0 je práh diskriminační funkce posouvající počátek souřadného systému a ari jsou váhové koeficienty i-tého příznaku Xj Lineární diskriminační funkce gr(x) = ar0 + ar1x1 + ar2x2 + ... + arpxp kde ar0 je práh diskriminační funkce posouvající počátek souřadného systému a ari jsou váhové koeficienty i-tého příznaku Xj Bayesův klasifikátor • diskriminační funkce určeny na základě statistických vlastností množiny obrazů • vyjdeme z Bayesova vzorce: P(a)fc|x) =-yr——, kde ■ P(o)k |x) je aposteriorní podmíněná pravděpodobnost zatřídění obrazu x do třídy o)r ■ p(x\(jůk) je podmíněná hustota pravděpodobnosti výskytu obrazu x ve třídě ú)k, k = 1,2 ■ P((jůk) je apriorní pravděpodobnost třídy ú)k ■ p(x) je celková hustota pravděpodobnosti rozložení obrazu x v celém obrazovém prostoru Janoušová: Analýza a klasifikace dat *jL .. 25 Bayesův klasifikátor - kritéria i- • Kritérium maximální aposteriorní pravděpodobnosti • Kritérium minimální pravděpodobnosti chybného rozhodnutí • Kritérium minimální střední ztráty • Kritérium maximální pravděpodobnosti MU ,-'■■>, Janoušová: Analýza a klasifikac Bayesův klasifikátor- kritéria Kritérium maximální aposteriorní pravděpodobnosti " " ' I ' I V li i • I I 'I I I ■ / • Kritérium maxima Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L [^J.. 27 Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti >- • zatřídění obrazu x do třídy s větší aposteriorní pravděpodobností, tedy: když P^cú^x) > P(o)2lx) ~> zařazení x do třídy když P^cú^x) < P(o)2lx) ~> zařazení x do třídy o)2 0,12 r Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti i- Příklad: Bylo provedeno měření objemu hipokampu a mozkových komor (v "2 12" "5 7" cm3) u 3 pacientů se schizofrenií a 3 kontrol: XD = 4 10 > x# — 3 9 .3 8. .4 5. Určete, zda testovací subjekt x = [3,5 9] patří do skupiny pacientů či kontrolních subjektů pomocí Bayesova klasifikátoru. o > O M O O 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 3 4 5 Objem hipokampu • pacienti • kontroly • testovací subjekt Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 29 Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti Příklad: Bylo provedeno měření objemu hipokampu a mozkových komor (v "2 12" "5 7" cm3) u 3 pacientů se schizofrenií a 3 kontrol: XD = 4 10 > x# — 3 9 .3 8. .4 5. Určete, zda testovací subjekt x = [3,5 9] patří do skupiny pacientů či kontrolních subjektů pomocí Bayesova klasifikátoru. Označeni a pomocne výpočty: nD = 3; nH = 3; n = 6 P(o)k\x) = p(x\(úk)'P((úk) P 00 Apriorní psti: n - = 0,5 6 -=0,5 6 Podmíněné hustoty psti: p(x|ů)k) = vriw'exp (- \{* - *)T Sfc"1(x -x)) Potřebujeme vypočítat: vícerozměrné průměry xD a xH; kovarianční matice SD a SH. Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 30 Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti Příklad: Bylo provedeno měření objemu hipokampu a mozkových komor (v "2 12" "5 7" cm3) u 3 pacientů se schizofrenií a 3 kontrol: XD = 4 10 > x# — 3 9 .3 8. .4 5. Určete, zda testovací subjekt x = [3,5 9] patří do skupiny pacientů či kontrolních subjektů pomocí Bayesova klasifikátoru. Označeni a pomocne výpočty: P(o)k\x) = p(x\(úk)'P((úk) p 00 Vícerozměrné průměry: iD = H^ti i^2] = [3 10] XH = [t£ľÍW ^ľľ=HiXí2] = [4 7] Výběrové kovarianční matice: Sd = S„ = ~D CD " bll s12 >21 s22. ~H CH I bll s12 CH CH >21 s22. -Ľ. Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 31 Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti i Příklad: 1. Klasifikace podle objemu mozkových komor: o > O M O o; O 13 12 11 10 9 8 7 6 5 P(ú)D\x2) P(ú)H\x2) 0,176-0,5 0,1485 0,121-0,5 0,1485 O > O M O o; O = 0,593 = 0,407 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 4 5 Objem hipokampu -> subjekt zařazen do třídy pacientů pacienti kontroly testovací subjekt Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 32 Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti Příklad: 2. Klasifikace podle objemu hipokampu: P(o»H|x1)=2gS=0.5 -> nelze jednoznačně určit, kam subjekt zařadíme o > O M O O 13 12 11 10 8 2 3 4 5 Objem hipokampu 2 3 4 5 Objem hipokampu • pacienti • kontroly • testovací subjekt Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 33 Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti Příklad: 3. Klasifikace podle obou proměnných: o u > O M o; Iq o 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 • pacienti • kontroly • testovací subjekt 2 3 4 5 Objem hipokampu PCcoD\x) = °-^T= 0,582 P(WH|x)=^|2i= 0,418 0.05 -> subjekt zařazen do třídy pacientů Janoušová: Analýza a klasifikace dat /BA IMJ 34 Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti Příklad - klasifikace podle obou proměnných: CM 5 o o o oo M O 5= CD _Q O CM • pacienti • kontroly • testovací subjekt T T T T T 1 2 3 4 5 Objem hipokampu 0.05 Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA W 35 Bayesův kl. - kritérium maximální aposteriorní psti i- Příklad - Výpočet hranice pomocí diskriminačních funkcí: Pro hranici je rozdíl diskriminačních funkcí roven 0: P(a)D\x) - P(a)H\x) = 0 P((úD\X) = P((úH\X) P^D|X) = 1 -> kritérium maximální aposteriorní pravděpodobnosti P(0)H\X) . , . . PwdX 0,582 Leva strana je rovna: ——— =- 1,4 Pravá strana je rovna: 1 -> protože věrohodnostní poměr (na levé straně) je větší než výraz na pravé straně, subjekt zařadíme do třídy pacientů MU ,-.*■»»., Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjjj 35 Bayesův klasifikátor - kritéria Kritérium minimální pravděpodobnosti chybného rozhodnutí Kritérium minimální střední ztráty l/ritórii im mavimální nra\/HĎnnHnhnncti MU Janoušová: Analýza a klasifikace dí |MJ Bayesův kl. - kritérium min. psti chybného rozhodnutí Vyjdeme z výpočtu hranice pomocí diskriminačních funkcí: P (a)D\x) - P(a)H\x) = 0 p(x\ú)D) ■ P((úd) p(x\ú)H) ■ P((úh) = 0 p(x) p(x) Můžeme vykrátit p(x), protože celková hustota pravděpodobnosti je stejná pro obě diskriminační funkce: p(x\(úD) ■ P((úD) - p(x\(úH) ■ P(o)H) = 0 kritérium minimální psti chybného rozhodnutí Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 38 Bayesův kl. - kritérium min. psti chybného rozhodnutí p(x|ojD) P(coH) . , . . . , , , , , , ———- = ——- -> kriterium minimální psti chybného rozhodnuti p(x\ú)H) P(ú)D) Pro náš příklad: . , . p(x|ú)p) 0,078 Leva strana je rovna: ———- =-= 1,4 j p(x|ojh) 0,056 Pravá strana rovna ——- = — = 1 P{ú)D) 0,5 -> protože věrohodnostní poměr (na levé straně) je větší než výraz na pravé straně, subjekt zařadíme do třídy pacientů Poznámka: Kdyby byly apriorní pravděpodobnosti jiné, např. = ^ = 2, byl by testovací subjekt zařazen do třídy kontrolních subjektů. MU Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjjj 3g Bayesův kl. - kritérium min. psti chybného rozhodnutí Poznámka: Kdyby byly apriorní pravděpodobnosti jiné, např. PJ^Hl = ttz: — 2, P(o)D) 3/9 byl by testovací subjekt zařazen do třídy kontrolních subjektů. d o d o o o d -10 0 10 15 20 25 -10 0 10 15 20 25 Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 40 Bayesův klasifikátor - kritéria • Kritérium maximální aoosteri • Kritérium minimální střední ztráty Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^\ 41 Bayesův kl. - kritérium minimální střední ztráty >- • Chceme do výpočtů zahrnout ztrátu při chybné klasifikaci obrazu ze třídy cůs do třídy ú)r - ztráta definována pomocí ztrátové funkce A(a)r \a)s) • Ztrátové funkce zapíšeme do matice ztrátových funkcí: ?l(co1 g>l) ^(co1 co2) ••• ?l(co1 o>r) A = • • • ©i) • • • co2) ••• • • • • • • 00r) ©i) Mg>r co2) ••• McoR 00r) např. A = ir , \ , J = L n -> víc penahzuji, když je IA(ú)h\ú)d) A(ú)h\(í)h)\ 12 OJ pacient nesprávně zařazen do třídy kontrolních subjektů, než když je kontrolní subjekt nesprávně zařazen do třídy pacientů Janoušová: Analýza a klasifikace dat IBA IMJ 42 Bayesův kl. - kritérium minimální střední ztráty Odvození kritéria minimální střední ztráty: • Celková střední ztráta J(a) je průměrná hodnota z dílčích středních ztrát: r J(a) = J Z X^°r \®s )• P(xK )• )dx • Chceme minimalizovat střední ztrátu: r J(a*) = min J X k )• P(XK )• p0^ )^x • Hledáme minimální střední ztrátu, pokud ale chceme využít principu diskriminačních funkcí, budeme hledat maximum z výrazu se záporným znaménkem -> diskriminační funkce potom bude tvaru: R s=l MU ,^-»»., Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L ^jjyjjj 43 Bayesův kl. - kritérium minimální střední ztráty i- R Diskriminační funkce obecně: gr(x) = -^A(ú)r|ú)s) -p(x\(jůs) ■ P((jůs) s=l Diskriminační funkce pro dichotomický klasifikátor: gi(x) = -ACwíIwí) ■ pCxl^i) ■ PC^i) - A(o)1|o)2) ■ p(x\(ú2) ■ P( kriterium minimálni strední ztráty P(x|ÚJ2) [Ä((jÚ2\(jú1)-Ä((jú1\(jú1))P{ú)1) Janoušová: Analýza a klasifikac Bayesův kl. - kritérium minimální střední ztráty Celková střední ztráta v případě dvou tříd je: J(a)= J^A,(co1|cos).p(x|a)s).P(a)s)dx+ j ^A,(co2|cos).p(x|a)s).P(a)s)dx = ^ s=1 cs^2 s=1 = ^(co^co^.Píco^ Jpíxlco^.dx + ^(00^0)2)^(0)2\ Jp(x|(D2)-dx K.1 + x((02 |o)1 ).P((D1 ] J P(X 0)1) .dx|+ ^((D2|C02)P(C02) Jp(x|(D2) dX = = ?l((D1 CO^.PfcO^.fl - a) + ?l((D1 (D2)P(0)2) P|+ ^(0D2 CO-j ).P(C0-j + rk((Ď2 C02 )-P(C02 )(1 - P) Janoušová: Analýza a klasifikace dat /BA IMJ 45 Bayesův kl. - kritérium minimální střední ztráty P(x|ú>p) (A(ú)d|(óh)-á((óhIcúh))p(cúh) ^......._ , . ^ ^ ——-r = -p——■—-———■—rr—■:—r -> kriterium minimální střední ztráty p (x\coH) (X{úíh I (úd)-X((úd I cjd) )P((úd) Pro náš příklad: ' ^ • P(x|wD) 0,078 „ . Leva strana je rovna: ———r = —— = 1,4 1 p(x|ct)H) 0,056 ' Pravá strana je při různém nastavení vah rovna: • x = q] (tzn., více penalizuji, pokud je pacient nesprávně zařazen do třídy kontrolních subjektů, než když je kontrolní subjekt nesprávně zařazen do třídy pacientů), pak pravá strana je rovna ^-o] 05 = a subjekt zařadím do třídy pacientů. • x = (penalizuji shodně nesprávné zařazení do třídy kontrolních subjektů i pacientů - kritérium minimální pravděpodobnosti chybného rozhodnutí), pak pravá strana je rovna ^ = 1 a subjekt zařadím do třídy pacientů. • x = q] (tzn., více penalizuji, pokud je kontrolní subjekt nesprávně zařazen do třídy pacientů, než když je pacient nesprávně zařazen do třídy kontrolních subjektů), pak pravá strana je rovna P °^0,5 = 2 a subjekt zařadím do třídy kontrolních subjektů. K J (l-0)-0,5 J y J Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L .. 45 Bayesův kl. - kritérium minimální střední ztráty * Poznámka: pokud nastavíme matici ztrátových funkcí ve tvaru A = ^ dostáváme kritérium minimální psti chybného rozhodnutí: p(x|újd) = (A(ú)d\ú)h) - A(ú)h\ú)h))p(ú)h) p(x\a)H) " (A((úh\(úd) - A(o)D\a)d))p(a)D) p(x|ú)D) = (1 - 0)P(ú)H) p(x|6)„) (1-0)P(6)D) . P(x|wd) P (6)//) -> kritérium minimální psti chybného rozhodnutí Janoušová: Analýza a klasifikace dat *jL . 47 Bayesův klasifikátor - kritéria Kriterium maxi Kritérium maximální pravděpodobnosti mu Janoušová: Analýza a klasifikace dí |MJ Bayesův kl. - kritérium maximální psti * Předpoklady: i i - rovnoměrné zastoupení K tříd, tzn. P(o)D) = P(o)H) = - = - = 0,5 K 2 - nulové ztráty při správném rozhodnutí, tzn. A((jůd\(jůd) = A((jůh\(jůh) = 0 * pak získáváme po dosazení do obecného vzorce pro výpočet věrohodnostního poměru: p(x\(úD) (A((úd\(úh) -O)- 0,5 p(x\ú)H) (A(ú)h\ú)d) -O)- 0,5 ———- = ——■—r -> kriterium maximami pravdepodobnosti p(x\(úH) X((úh\(úd) Janoušová: Analýza a klasifikace dat *|L . 4g Bayesův kl. - kritérium maximální psti P(x\(ÚD) X{(ÚD\(ÚH) . , . • 'I ' a- a U 4-- ———- = ——■—- -> kriterium maximami pravděpodobnosti P(x|w//) X(júh\(úd) Pro náš příklad: , - 4. • P(x|h|x) • Kritérium minimální pravděpodobnosti chybného rozhodnutí P(x|úJD) _ P(x|újh) P(ú)d) • Kritérium minimální střední ztráty p(x|újd) _ (A(újd|(x)ií)—ä(g)}{jo)h))pÍ^h) p(x\ú)H) (A(cúh\ú)d)-A(ú)d\(i)d))p(<(a)d) • Kritérium maximální pravděpodobnosti P(x|ú>p) _ A(újd|újh) P(x\ú>h) ä(ú)h\ú)d) mu Janoušová: Analýza a klasifikace dat XlL. 51 Příprava nových učebních materiálů pro obor Matematická biologie je podporována projektem OPVK č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0043 „Interdisciplinární rozvoj studijního oboru Matematická biologie" — -;- lvi 11 n i o i Lno i v w o r\ w i_ o i v i , ur v^ueidvdiii ÍOndvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost evropský sociální MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Janoušová: Analýza a klasifikace dat