logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mann-Whitney U-test
Wilcoxonův test
Znaménkový test
11. + 12. Neparametrické testy

logo-IBA logomuni
Shrnutí statistických testů
Typ srovnání
Nulová hypotéza
Parametrický test
Neparametrický test
1 skupina dat vs. etalon
Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu.
jednovýběrový t-test
Wilcoxonův test;
znaménkový test
2 skupiny dat nepárově
Obě skupiny hodnot pochází ze stejného rozdělení.
nepárový t-test
Mann-Whitneyův test
2 skupiny dat párově
Zkoumaný efekt mezi páry hodnot je nulový.
Párový t-test
Wilcoxonův test;
znaménkový test
shoda rozdělení
rozdělení dat ve skupině odpovídá teoretickému (vybranému) rozdělení.
Shapiro-Wilkův test;
Kolmogorovův-Smirnovův test;
Lilieforsův test
χ2 test,
test dobré shody
homoskedasticita
(shoda rozptylů)
rozptyl obou (všech) skupin je shodný.
Levenův test
více skupin nepárově
Zkoumaný efekt mezi skupinami hodnot je nulový.
ANOVA
Kruskal- Wallisův test
korelace
Neexistuje (příčinná, důsledková) vazba mezi skupinami hodnot.
Pearsonův koeficient
Spearmanův koeficient;
Kendallův koeficient

logo-IBA logomuni
Shrnutí statistických testů
Jsou data normálně rozdělená?
Lze použít transformaci?
Kolik je skupin?
Jsou data párová?
Co chci spočítat?
Mají sku- piny stejný rozptyl?
Nelze spočítat
NE
ANO
ANO
Co chci spočítat?
Co chci spočítat?
Jedno-výběro-vý t-test
Párový t-test
Nelze spočítat
Dvouvý
běrový
t-test
Mann-
Whitney
U-test
Sada Pears.
kor. koef.
ANOVA
Kruskal-Wallisův
test
Nelze spočítat
Wilco-xonův
test
Spear-manův/
Kendallův
k. k.
Wilco-xonův test
Nelze spočítat
Nelze spočítat
Kuskal-Wallisův test
Pearso-nův kor. koef.
ANO
NE
ANO
NE
Jsou data párová?
ANO
NE
Mají sku- piny stejný rozptyl?
ANO
NE
Co chci spočítat?
Co chci spočítat?
Kolik je skupin?
Co chci spočítat?
Jsou data párová?
ANO
NE
Jsou data párová?
Nelze spočítat
Mann-Whitney
U-test
Co chci spočítat?
Co chci spočítat?
Co chci spočítat?
ANO
NE
Parametrické testy
Kolomogorovův-Smirnovův test
Shapiro-Wilkův test
F test
Levenův test
Co chci spočítat?
log
arcsin

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Mann-Whitneyův U test
Neparametrická varianta t-testu se skoro stejnou silou v případě normálně rozdělených dat. Vždy pro
dvě skupiny naměřených hodnot.
Předpoklad: Pravděpodobnost že X > Y = pravděpodobnosti, že Y > X.
↓
Vypočtená U statistika má přibližně normální rozdělení (pro malé počty jsou hodnoty tabelovány
zvlášť).
Postup: Hodnoty z obou sad měření se seřadí podle velikosti.
Počítá se U statistika pro první nebo druhou sadu (obvykle pro tu s nižšími hodnotami)
U1 je součet počtů hodnot ze sady 2 nižších než jednotlivé prvky sady 1 (postupně se sčítá pro
všechny prvky ze sady 1).
Alternativní výpočet:
R1 je součet pořadí skupiny 1.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Mann-Whitneyův U test
Provede se normalizace:
Vypočtená statistika z se porovná s tabelovanými hodnotami normálního rozdělení resp. pro nižší
počty s tabelovanými hodnotami pro Mann- Whitneův U test.
z je normalizovaná statistika
mU je průměr statistiky U
σU je směrodatná odchylka statistiky U

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Mann-Whitneyův U test
Neparametrická varianta t-testu se skoro stejnou silou v případě normálně rozdělených dat. Vždy pro
dvě skupiny naměřených hodnot.
Předpoklad: Pravděpodobnost že X > Y = pravděpodobnosti, že Y > X.
↓
Vypočtená U statistika má přibližně normální rozdělení (pro malé počty jsou hodnoty tabelovány
zvlášť).
Postup: Hodnoty z obou sad měření se seřadí podle velikosti.
Počítá se U statistika pro první nebo druhou sadu (obvykle pro tu s nižšími hodnotami)
U1 je součet počtů hodnot ze sady 2 nižších než jednotlivé prvky sady 1 (postupně se sčítá pro
všechny prvky ze sady 1).
Alternativní výpočet:
R1 je součet pořadí skupiny 1.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Mann-Whitneyův U test
Provede se normalizace:
Vypočtená statistika z se porovná s tabelovanými hodnotami normálního rozdělení resp. pro nižší
počty s tabelovanými hodnotami pro Mann- Whitneův U test.
z je normalizovaná statistika
mU je průměr statistiky U
σU je směrodatná odchylka statistiky U

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Neparametrická obdoba párového t-testu
—Wilcoxon test
—Jsou vytvořeny diference mezi soubory, je vytvořeno jejich pořadí bez ohledu na znaménko a poté je
sečteno pořadí kladných a pořadí záporných rozdílů. Menší z těchto dvou hodnot je srovnána
s kritickou hodnotou testu a pokud je menší než kritická hodnota testu, pak zamítáme hypotézu shody
obou souborů hodnot. Pro test existuje aproximace na normální rozložení, ale pouze pro velká n>25.
Před zásahem
Po zásahu
Změna
Absolutní pořadí
6
2
4
10
2,5
3
-0,5
1,5
6,3
5
1,3
6
8,1
9
-0,9
5
1,5
2
-0,5
1,5
3,4
4
-0,6
3
2,5
1
1,5
8
1,11
2
0,89
4
2,6
4
-1,4
7
1
3
-2
9

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Wilcoxonův test – příklad I
člověk
A
B
diference
pořadí
1
142
138
4
4,5
2
140
136
4
4,5
3
144
147
-3
3
4
144
139
5
7
5
142
143
-1
1
6
146
141
5
7
7
149
143
6
9,5
8
150
145
5
7
9
142
136
6
9,5
10
148
146
2
2
A…….parametr krve před podáním léku
B…….parametr krve po podání léku
W+  …… S pořadí kladných rozdílů = 51
W-   …… = 4
                           W = min(W+;W-) = 4
                              počet párů = n = 10
Pokud je W menší než kritická hodnota testu, pak zamítáme hypotézu shody distribučních funkcí obou
skupin.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Wilcoxonův test – příklad II
—Byla testována nová dieta pro laboratorní krysy, při pokusu byl zjišťován její vliv na různých
liniích krys, bylo proto zvoleno párové uspořádání kdy krysy v obou dietách jsou spojeny přes svoji
linii, tj. na začátku byly dvojice krys stejné linie, jedna z nich byla náhodně přiřazena k dietě,
druhá z dvojice pak do druhé diety.
—
1.nulová hypotéza je, že váha krys není ovlivněna použitou dietou, alternativní, že ovlivnění
dietou existuje
2.spočítáme diference – tyto diference jsou nenormální a proto je vhodné využít neparametrický test
3.Spočítáme sumu pořadí kladných a záporných diferencí, zde je menší suma záporných diferencí – 31
4.výsledkem výpočtu je p>0,05 a tedy nemáme dostatečné důkazy pro zamítnutí nulové hypotézy, nelze
říci, že by nová dieta byla efektivnější než stará
5.pro doplnění výsledků je vhodné zjistit také skutečnou velikost rozdílu hmotností ve skupinách,
např. ve formě mediánu
—

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody - základní teorie
Testuje shodu reálné distribuce hodnot do n skupin s teoretickou distribucí.
Předpokladem je, že velikost rozdílu mezi očekávaným a skutečným počtem hodnot v každé skupině je
náhodně rozdělená → multinomické rozdělení.
Součet druhých mocnin relativních rozdílů očekávaného a skutečného počtu hodnot  má přibližně
χ2 rozdělení.
chi.jpg
χ2 rozdělení pro kladné hodnoty (suma čtverců) se liší podle počtu stupňů volnosti k (počtu skupin)
- se zvyšujícím se k přechází v normální rozdělení.
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
=
2
-
∑

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody - základní teorie
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
=
+
2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
1. jev
2. jev
-
2
-
+
…
chi2.jpg chi2b.jpg chi2c.jpg chi2d.jpg

logo-IBA
Očekávané četnosti
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
M. Cvanová
V případě platnosti nulové hypotézy je poměr mezi buňkami jednoho sloupce v různých řádcích
nezávislý na výběru tohoto sloupce.
V případě platnosti nulové hypotézy je poměr mezi buňkami jednoho řádku v různých sloupcích
nezávislý na výběru tohoto řádku.
Pokud tyto poměry normalizujeme, získáváme tabulku očekávaných četností.
Řádkové a sloupcové součty se touto operací nemění.
Ano
Ne
S
Ano
20
82
102
Ne
10
54
64
S
30
136
166
Ano
Ne
S
Ano
18,4
83,6
102
Ne
11,6
52,4
64
S
30
136
166
Pozorované četnosti
Očekávané četnosti
102 × 30 / 166

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody - základní teorie
Binomické jevy (1/0)
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
=
+
2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
I. jev 1
II. jev 2
-
2
-
Příklad
10 000 lidí hází mincí           rub: 4 000 případů (R)
                                            líc: 6 000 případů (L)
Lze výsledek považovat za statisticky významně odlišný
(nebo neodlišný) od očekávaného poměru R : L = 1 : 1 ?
 Rozdíl je vysoce statisticky významný (p << 0,001]
Tabulková hodnota:

logo-IBA
Znaménkový test
Zjednodušení neparametrického párového Wilcoxonova testu.
Namísto velikosti rozdílů se počítá pouze jejich orientace (signum).
Případy, kde sgn(d) = 0 se z analýzy vylučují.
Sečtou se kladné a záporné rozdíly a menší ze součtů je hledaná statistika m.
Statistika m se porovná s tabulkovou hodnotou pro danou hladinu pravděpodobnosti:
znamenkovy_test.jpg