I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

Věta 26

Funkce $f$ $f$ má v bodě $x_0$ diferenciál (je diferencovatelná v $x_0$ ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace $f'(x_0)$ . Přitom platí

$\mathrm{d}f(x_0)(h)=f'(x_0)\cdot h,\quad\text{píšeme též $\mathrm{d}f(x)=f'(x)\,\mathrm{d}x.$}$

Pro dostatečně malé $h$ platí:

$\hspace*{20mm}f(x_0+h)\doteq f(x_0)+f'(x_0)h,\\\quad\text{též $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ pro $x\to x_0$.}$

Věta 27 (Taylorova věta)

Nechť má funkce $f$ v okolí bodu $x_0$ vlastní derivace až do řádu $n+1$ pro nějaké $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ . Pak pro všechna $x$ z tohoto okolí platí tzv. Taylorův vzorec

$\hspace*{15mm}f(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+$	$\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+$
	$+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),$
$\text{kde} \qquad R_n(x)$	$=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$

přičemž $\xi$ $\xi$ je vhodné číslo ležící mezi $x_0$ a $x$ . Chyba $R_n(x)$ se nazývá zbytek.

Zbytek uvedený v Taylorově větě je v tzv. Lagrangeově tvaru, což není jediná možnost jeho vyjádření.
Pokud v Taylorově vzorci vynecháme zbytek, obdržíme tzv. Taylorův polynom.
Pokud v Taylorově větě položíme $x_0=0$ , získáme tzv. Maclaurinův vzorec, resp. tzv. Maclaurinův polynom.

Příklad č. 295» Zobrazit zadání «

Určete $\mathrm{d}f(x_0)(h)$ pro $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ a $x_0=1$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Příklad č. 296» Zobrazit zadání «

Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete $\sqrt{382}$ .

Řešení» Zobrazit řešení «