Jak najít Venuši
Prostým okem Filip Hroch
ÚTFA, MU
September 2014
Sandro Botticelli — La nascita di Venere
Jak na Venuši?
► Jak lokalizovat Venuši na nebi?
Přibližná poloha (ekliptika, vzdálenost od Slunce) Poloha ve Sluneční soustavě
► Poloha relativně vůči Zemi
► Poloha na nebi
Co víme
► Venuše i Země obíhají kolem Slunce po elipsách blížící se kružnicím a velkou poloosou r© = 1 AU a rg = 0.7 AU.
► Venuše i Země obíhají v rovině sluneční soustavy (ekliptika).
► Známe přibližné parametry drah.
► nějvětsí elongace (úhlová vzdálenost od Slunce)
— = sin a 44°
► promítá se podél ekliptiky
Na nebi
Približná heliocentrická poloha Země
Předpokládáme pohyb po kružnici pouze v rovinně ekliptiky.
Referenční čas		1. January
Velká poloosa dráhy	a	1.0 AU
Střední délka	Lo	100°
Perioda	P	365 dní
Table: Přibližné elementy dráhy Země v rovinném modelu podle Hvězdářské ročenky 2006.
Postup výpočtu
1. Počet dní od počátku roku t — to (kolikátý den v roce),
2. výpočet délky planety L = Lq + n (t — to), kde střední denní pohyb n = 360°/P.
3. heliocentrické kartézské souřadnice X© = r cos L, Y© = r sin L.
Približná heliocentrická poloha Venuše
Předpokládáme pohyb po kružnici pouze v rovinně ekliptiky.
Referenční čas		1. January
Velká poloosa dráhy	a	0.72 AU
Střední délka	L	182°
Perioda	P	225 dní
Table: Přibližné elementy dráhy Země v rovinném modelu podle Hvězdářské ročenky 2006.
Geocentrická poloha Venuše
Pravoúhlé souřadnice
x   =   Xg — X©
y = Y9-Y®
Polární souřadnice se středem v Zemi
A|   = x2+y2
tanAp   = —
x
Výsledek: Ekliptikální souřadnice Venuše Ag>, (3g as 0. Ekliptikální souřadnice Slunce A© = A® — 180°,/3p «s 0. Uhlová vzdálenost Venuše od Slunce:
A9 — A©
Přesný výpočet dle Keplera
Postupujeme dle dokumentu z HORIZON systém:
http://ssd.jpl.nasa.gov/?planet_pos
Zpřesnění
► Pohyb planet lépe vystihuje elipsa
► Dráhy planet jsou k ekliptice mírně skloněné
Řešení Keplerovy rovnice
Iterační metoda: 1. Odhadneme přibližnou hodnotu řešení ze střední anomálie
£(°) = M. (1)
Provedeme zpřesnění dosazením do Keplerovy rovnice
E(/+1) = M + esinE^. (2)
3. V iteracích pokračujeme tak dlouho, dokud rozdíl mezi posledními dvěma neklesne pod nějakou předem danou hodnotu
|£(0 _£('■+!) | <e. (3)
Při výpočtech poloh planet většinou vystačíme s pěti platnými místy (e ~ 10~5). Všechny výpočty při iteracích Keplerovy rovnice provádíme v radiánech.
Na základě znalosti E můžeme vypočíst všechny ostatní veličiny potřebné ke znalosti polohy tělesa sluneční soustavy. Délka průvodiče (vzdálenost od Slunce):
r = a(l-e cos E) = -'-. (4)
v '     1 + e cos v
Pravá anomálie (úhel mezi průvodičem z ohniska elipsy planety a přímkou apsid — obdoba fázového úhlu)
(5)
Heliocentrické pravoúhlé ekliptikální souřadnice X, Y, Z získame za použití substituce
L = m + v - Q, (6)
ze vztahů
X   =   r(cos Q cos L — sin Q sin L cos /'),
y   =   r(sin Q cos Z. + cos Q sin Z. cos /'), (7)
Z   =   r sin/.sin/.
a heliocentrické ekliptikální souřadnice R, A, B tedy:
X   =   r cos B cos A,
V = r cos 6 sin A, (8) Z   = rsinB.