MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Uvod do fyziky plazmatu skripta k přednášce evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE ministerstvo školství, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ doc. Mgr. Lenka Zajíčková, Ph.D. Obsah 1 Úvod 8 1.1 Plazma jako čtvrté skupenství hmoty...................................... 8 1.2 Vytváření plazmatu ............................................... 8 1.3 Zjednodušená kritéria pro definici plazmatu.................................. 8 1.4 Historie pojmu "plazma" ............................................ 8 1.5 Kde plazma najdeme?.............................................. 8 1.6 Kritéria pro definici plazmatu.......................................... 8 1.6.1 Kvazineutralita.............................................. 8 1.6.2 Debyeovské stínění............................................ 8 1.6.3 Plazmová frekvence ........................................... 9 1.6.4 Opakování Maxwellových rovnic .............. ...................... 10 2 Pohyb částic v elektromagnetických polích 11 2.1 Úvod........................................................ 11 2.2 Zachování energie................................................. 11 2.2.1 Bez přítomnosti elektrického pole.................................... 11 2.2.2 Pro magnetostatické a elektrostatické pole............................... 11 2.2.3 Pro časově proměnná pole........................................ 12 2.3 Homogenní magnetostatické pole a plazma jako magnetikum ........................ 12 2.3.1 Formální řešení pohybové rovnice............... ..................... 12 2.3.2 Magnetický moment........................................... 12 2.3.3 Magnetizační proud ........................................... 13 2.4 Homogenní elektrostatické a magnetostatické pole .............................. 14 2.5 Drift způsobený externí silou.......................................... 14 2.6 Prostorově nehomogenní magnetické pole ................................... 15 Obsah 3 2.6.1 Divergentní členy............................................. 15 2.6.2 Gradient a zakřivení........................................... 16 2.7 Aproximativní řešení pohybové rovnice v nehomogenním magnetostatickém poli.............. 16 2.8 Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody ........... 17 2.8.1 Paralelní síla............................................... 17 2.8.2 Kolmá sila................................................. 18 2.8.3 Celková střední síla ........................................... 19 2.9 Gradientní drift VB............................................... 19 2.10 Paralelní zrychlení gyračního středu ...................................... 19 2.10.1 Invariantnost magnetického orbitálního momentu a magnetického toku............... 19 2.10.2 Efekt magnetického zrcadla....................................... 20 2.11 Drift zakřivení .................................................. 21 2.12 Kombinovaný drift gradient-zakřivení ..................................... 22 2.13 Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli........................ 22 2.13.1 Pohybová rovnice a polarizační drift.................................. 22 2.13.2 Dielektrická konstanta plazmatu.................................... 23 3 Základy kinetické teorie plazmatu 25 3.1 Úvod........................................................ 25 3.2 Fázový prostor.................................................. 25 3.2.1 Jednočásticový fázový prostor...................................... 25 3.2.2 Vícečásticový fázový prostor ...................................... 25 3.3 Objemové elementy................................................ 26 3.4 Rozdělovači funkce................................................ 26 3.5 Hustota a průměrná rychlost .......................................... 27 3.6 Boltzmannova kinetická rovnice......................................... 27 3.6.1 Bezsrážková BKR ............................................ 27 3.6.2 Jakobián transformace ve fázovém prostoru.............................. 28 3.6.3 Vliv interakcí mezi částicemi ...................................... 28 3.7 Relaxační model pro srážkový člen....................................... 29 3.8 Vlasovova rovnice................................................. 30 4 Obsah 4 Střední hodnoty a makroskopické veličiny 31 4.1 Střední hodnota fyzikálni veličiny........................................ 31 4.2 Driftová a tepelná rychlost ........................................... 31 4.3 Tok ........................................................ 31 4.4 Tok částic..................................................... 32 4.5 Tenzor toku hybnosti............................................... 33 4.6 Tenzor tlaku ................................................... 33 4.6.1 Definice tlaku............................................... 33 4.6.2 Sila na jednotku plochy (způsobená tepelným pohybem)....................... 34 4.6.3 Síla na jednotku objemu (způsobená tepelným pohybem) ...................... 34 4.6.4 Skalární tlak a absolutí teplota..................................... 34 4.7 Vektor toku tepla................................................. 35 4.8 Tenzor toku tepelné energie................. .......................... 35 4.9 Tenzor toku celkové energie................. .......................... 36 4.10 Vyšší momenty rozdělovači funkce ....................................... 36 5 Rovnovážný stav 37 5.1 Rozdělovači funkce v rovnovážném stavu.................................... 37 5.1.1 Obecný princip detailní rovnováhy a binární srážky ......................... 37 5.1.2 Sumační invariant ............................................ 37 5.1.3 Maxwell-Boltzmannovská rozdělovači funkce.............................. 37 5.1.4 Určení konstatních koeficientů ..................................... 38 5.1.5 Lokální Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce.......................... 38 5.2 Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce............................. 38 5.2.1 Rozdělení komponenty rychlosti..................................... 38 5.2.2 Rozdělení velikosti rychlosti....................................... 39 5.2.3 Střední hodnoty související s rychlostí molekul ............................ 39 5.2.4 Náhodný tok částic............................................ 39 5.2.5 Kinetický tlak a tok tepla........................................ 40 5.3 Rovnováha za přítomnosti vnějších sil..................................... 40 5.4 Stupeň ionizace za rovnovážného stavu a Sahova rovnice........................... 41 Obsah 5 6 Interakce částic v plazmatu 43 6.1 Úvod........................................................ 43 6.2 Binární srážky .................................................. 43 6.3 Dynamika binární srážky ............................................ 44 6.4 Vyjádření úhlu rozptylu............................................. 46 6.4.1 Dvě perfektně elastické tuhé koule................................... 46 6.4.2 Coulombovský interakční potenciál................................... 47 6.5 Účinný průřez................................................... 48 6.5.1 Diferenciální účinný průřez....................................... 48 6.5.2 Celkový účinný průřez rozptylu..................................... 48 6.5.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti................................... 48 6.6 Další srážkové parametry ............................................ 49 6.7 Účinné průřezy pro srážku tuhých koulí.................................... 50 6.7.1 Diferenciální účinný průřez pro rozptyl................................. 50 6.7.2 Celkový účinný průřez pro rozptyl................................... 50 6.7.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti................................... 50 6.8 Účinné průřezy pro Coulombovský potenciál.................................. 51 6.8.1 Diferenciální účinný průřez....................................... 51 6.8.2 Celkový účinný průřez pro rozptyl................................... 51 6.8.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti................................... 51 6.9 Stínění Coulombovského potenciálu....................................... 51 7 Makroskopické transportní rovnice 54 7.1 Momenty Boltzmannovy rovnice ........................................ 54 7.2 Obecná transportní rovnice........................................... 54 7.3 Zákon zachování hmotnosti........................................... 55 7.3.1 Odvození rovnice kontinuity z BKR .................................. 55 7.3.2 Odvození pomocí dynamiky tekutin .................................. 56 7.3.3 Srážkový člen............................................... 56 7.4 Zákon zachování hybnosti............................................ 56 7.4.1 Odvození pohybové rovnice....................................... 56 6 Obsah 7.4.2 Srážkový člen............................................... 57 7.5 Zákon zachování energie............................................. 58 7.5.1 Odvození rovnice pro transport energie................................. 58 7.5.2 Fyzikální interpretace.......................................... 59 7.5.3 Zjednodušující předpoklady....................................... 60 7.5.4 Model studeného plazmatu....................................... 61 7.5.5 Model teplého plazmatu......................................... 61 8 Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu 62 8.1 Makroskopické proměnné pro plazma jako vodivou kapalinu......................... 62 8.2 Rovnice kontinuity................................................ 63 8.3 Pohybová rovnice................................................. 64 8.4 Rovnice energie.................................................. 64 8.5 Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu................................ 66 8.5.1 Maxwellovské rovnice rotace ...................................... 66 8.5.2 Zákon zachování el. náboje....................................... 66 8.5.3 Zobecněný Ohrnuv zákon........................................ 67 8.6 Zjednodušené magnetohydrodynamické rovnice............. ................... 69 9 Vodivost plazmatu a difúze 70 9.1 Langevin rovnice................................................. 70 9.2 Linearizace Langevinovy rovnice ........................................ 71 9.3 Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů................................ 71 9.3.1 Izotropní plazma............................................. 72 9.3.2 Anizotropní magnetoplazma....................................... 72 9.4 Střídavá vodivost a elektronová pohyblivost.................................. 73 9.5 Vodivost při uvažování pohybu iontů...................................... 74 9.6 Plazma jako dielektrikum............................................ 74 9.7 Difúze volných elektronů............................................. 75 9.8 Difúze elektronů v mg. poli........................................... 76 9.9 Ambipolarní difúze................................................ 77 10 Některé základní jevy v plazmatu 79 Obsah 7 10.1 Elektronové plazmové oscilace.......................................... 79 10.2 Problém Debyeovského stínění ......................................... 80 10.2.1 Debyova délka pomocí Vlasovovy rovnice ............................... 82 10.2.2 Stěnová vrstva.............................................. 83 11 Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen 88 11.1 Boltzmannova rovnice.............................................. 88 11.1.1 Odvození Boltzmannova srážkového integrálu............................. 88 11.1.2 Jakobián transformace.......................................... 89 11.1.3 Rychlost změny fyzikální veličiny v důsledku srážek ......................... 90 11.2 Boltzmannův srážkový člen ve slabě ionizovaném plazmatu ......................... 90 11.2.1 Rozvoj rozdělovači funkce ve sférickou harmonickou řadu ...................... 90 11.2.2 Aproximativní vyjádření Boltzmannova srážkového členu ...................... 91 11.2.3 Rychlost změny hybnosti v důsledku srážek.............................. 92 11.3 Fokker-Planckova rovnice ............................................ 92 11.3.1 Odvození Fokker-Planckova srážkového členu............................. 92 Kapitola 1 Uvod Doporučená literatura viz prezentace "Co_je_plazma_zkraceno3.pdf" 1.1 Plazma jako čtvrté skupenství hmoty viz prezentace "Co_je_plazma_zkraceno3.pdf" 1.2 Vytváření plazmatu viz prezentace "Co_je_plaznia_zkraceno3.pdf" 1.3 Zjednodušená kritéria pro definici plazmatu viz prezentace "Co_je_plazma_zkraceno3.pdf" 1.4 Historie pojmu "plazma" viz prezentace "Co_je_plazma_zkraceno3.pdf" 1.5 Kde plazma najdeme? viz prezentace "Co_je_plazma_zkraceno3.pdf" a prezentace "plasma-experinients.pdf" 1.6 Kritéria pro definici plazmatu 1.6.1 Kvazineutralita Pokud nejsou přítomny nějaké vnější poruchy je plazma makroskopicky neutrální, tzv. kvazineutrální. V opačném případě vznik velkých Coulombovských sil obnovujících kvazineutralitu. Musely by být vyvažovány enormně velkou kinetickou (tepelnou) energií částic. Odchylky od kvazineutrality jen na vzdálenostech, na kterých je možné elstat. potenciální energii vyvážit tepelnou energií částic « charakteristická délková míra v plazmatu, tzv. Debyeovská délka. 1.6.2 Debyeovské stínění Debyeovská délka je důležitý fyzikální parametr popisující plazma: míra vzdálenosti, na kterou nabitá částice "pocítí" vliv jiné nabité částice nebo plochy s nenulovým potenciálem. Odstínění je důsledkem kolektivního chování částic. (1.1) 1.6. Kritéria pro dennici plazmatu 9 Pokud je v plazmatu nějaká stěna, jím vytvořená perturbace se může šířit do vzdálenosti řádově Ad od tohoto povrchu. Oblast v blízkosti stěny, která se nedá považovat za kvazineutrální se nazývá stěnová vrstva (angl. sheath). Ad je velmi malé • výboje v plynech T — 104 K a ne — 1016 m~3 =>• Ad — 1CP4 m • ionosféra T — 103 K a ne — 1012 m~3 =>• Ad — 10~3 m. • mezihvězdné plazma => Debyeovská délka až několik metrů Definujeme Debyeovu kouli: koule uvnitř plazmatu o poloměru Ad- Elstat. pole mimo tuto kouli je odstíněno => každý náboj v plazmatu interaguje kolektivně pouze s nabitými částicemi v Debyeově kouli. Počet elektronů v Debyeově kouli je roven Debyeovské stínění je charakteristické pro všechny typy plazmatu => první tři kritéria pro definici plazmatu: 1. V médium musí být dostatek prostoru pro kolektivní stínící efekt L»AD, (1.3) kde L jsou fyzikální rozměry plazmatu. 2. dostatečně velký počet částic uvnitř Debyeovy koule neAD » 1. (1.4) Definujeme plazmový parametr » = ^E (L5) a podmínka g n. 1.6.3 Plazmová frekvence Důležitou vlastností plazmatu je stabilita jeho kvazineutrality. Pokud je plazma vychylováno z rovnovážných podmínek, kolektivních pohybů částic kvůli obnovení nábojové neutrality =>•. charakterizováno přirozenou frekvencí, tzv. plazmová frekvence. Perioda oscilací — přirozené časové měřítko pro srovnání s disipativními mechanizmy potlačujícími kolektivní pohyby elektronů. Elektronová plazmová frekvence 2 \ 1/2 me£0 (1.7) Čtvrtá podmínka pro existenci plazmatu: Srážky mezi elektrony a neutrály tlumí oscilace, ty nesmí být potlačovány příliš V-pe > "en, (1-8) kde ven je srážková frekvence elektronů s neutrály, vve — cjpe/27r. Alternativně CJpet > 1, (1.9) kde t — l/Ven vyjadřuje průměrnou dobu, kterou elektron putuje mezi dvěma srážkami s neutrály. Čtvrtá podmínka pro existenci plazmatu také vyjadřuje, že průměrná doba mezi srážkami elektron-neutrál musí být velká ve srovnání s charakteristickou dobou, během níž se mění fyzikální parametry plazmatu. 10 Kapitola 1. Úvod 1.6.4 Opakování Maxwellových rovnic Maxwellovy rovnice ve vakuu: V-B = 0 (1.10) q_ V-E = — (1.11) VxB = mo(J + £o^) (1.12) VxE = (1.13) 9í V těchto rovnicích vystupuje celková hustota náboje q=q' + qpoi. (1-14) a celková hustota proudu J = f + Jpo\. + Jm (1-15) Jestliže budeme uvažovat Maxwellovy rovnice v nějakém materiálu, jehož dielektrické a magnetické vlastnosti budou zahrnuty do polí, D (elektrická indukce) a H (intenzita magnetického pole), budou rovnice vypadat takto: V-B = 0 (1.16) V D = g' (1.17) dD VxH = J' + ^r (1-18) VxE = -f, (1.19) kde elektrickou indukci můžeme vyjádřit pomocí vektoru polarizace P D = £0E+P (1.20) a vztah mezi magnetickou indukcí B a intenzitou magnetického pole H je dán vektorem magnetizace M B = fi0(H+M) (1.21) Platí, že g = q'-V-P (1.22) (9P J' + - + VxM (1.23) Pro lineární neizotropní materiál platí následující relace D = ÉE (1.24) J = &E (1.25) H = /T1^ (1-26) kde é, á a /i-1 jsou po řadě permitivita, vodivost a permeability materiálu a jde obecně o komplexní tenzory. Pokud jde o lineární materiál jsou tenzory nahrazeny skaláry, takže např. D — sE — SqStE. Kapitola 2 Pohyb částic v elektromagnetických polích 2.1 Uvod Studium pohybu nabitých částic v silových polích umožňuje získat fyzikální náhled na dynamické procesy v plazmatu, protože přírodní i laboratorní plazmata jsou často ovlivňována externími silovými poli. Zároveň to umožňuje získat informace o některých makroskopických jevech, které jsou výsledkem kolektivního chování velkého počtu částic. Magnetické pole B udržuje nabité částice v plazmatu, a tím udržuje samotné plazma. Elektrické pole E je v laboratoři často využíváno pro generaci plazmatu. Pohybová rovnice pro Lorentzovu sílu F je ^ = F = q(E+vxB), (2.1) dí kde p je moment hybnosti částice a v jeho rychlost. Rovnice je relativisticky správná pokud p = ry-mv , (2.2) kde to je klidová hmotnost částice a 7 je Lorentzův faktor definovaný ^(l-^/c2)-1/2. (2.3) V mnoha případech však vystačíme s nerelativistiským přiblížením to^(E+,xB). (2.4) Řešení v homogenním elektrostatickém poli je triviálním opakováním. Stručně si tedy v následující kapitole zopakujeme řešení v homogenním magnetostatickém poli a v kombinaci obou. 2.2 Zachování energie 2.2.1 Bez přítomnosti elektrického pole Pro E — 0 se pohybová rovnice redukuje na dv to— — qv x B . (2.5) dí Když rovnici vynásobíme v a uvědomíme se, že (v x B) ■ v — 0, dostaneme dv d (1 2\ to—— — — —rav \ — 0 . (2.6) dí dí V2 / Částice v pouze magnetickém poli si tedy zachovává svoji kinetickou energie, a tedy i velikost rychlosti. Platí to i pro prostorově proměnlivé magnetické pole. V případě časově proměnného pole musíme uvážit indukci elektrického pole podle V x E = -(dB/dt). 2.2.2 Pro magnetostatické a elektrostatické pole d_ /l dí \2'' Protože Vx£ = 0 můžeme elektrické pole napsat pomocí elektrostatického potenciálu E — — V: -rav2 q(E-v). (2.7) 1 2\ A ISdr d(f> díl 2™ H-^^-^^í, (2-8) 12 Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích takže ±(±mv2 + q)=0 (2.9) 2.2.3 Pro časově proměnná pole Jestliže jsou pole časově proměnná, VxE^O, není E gradient skalární funkce. Protože ale V • B — 0, můžeme definovat magnetický vektor potenciál A jako B = VxA (2.10) a psát V*B+»»=Vxe + JL(Vx,,) = Vx(e + £)=0 (2.11) takže můžeme el. pole zapsat jako dA E = -V-^ (2.12) V tomto případě se musí další analýza provést pomocí Lagrangiánu L definovaného pro částice v elmag poli jako L=^mv2-U, (2.13) kde U — q{4> — v ■ A) je potenciální energie závislá na rychlosti. 2.3 Homogenní magnetostatické pole a plazma jako magnetikum 2.3.1 Formální řešení pohybové rovnice V případě neexistence elektrického pole řešíme pohybovou rovnici dv m— = q(vxB). (2.14) dí Je výhodné rozložit rychlost v na komponentu V|| paralelní se směrem B & v± kolmou na B. Pak pro tyto dvě komponenty rychlosti dostaneme následující formální řešení V|| — konst (2-15) v± = Í2cxrc, (2.16) kde S2C = -— = —Í2c = ncí2c. (2.17) m m Výsledná trajektorie částice je superpozicí pohybu s konstantní rychlostí podél B a kruhového pohybu v rovině kolmé na B, takže částice opisuje šroubovici. Uhel mezi B a směrem pohybu částice (úhel sklonu) a = sin- (^) = taň"* (^) . (2.18) Poloměr kruhové dráhy nazývaný též gyračni, cyklotronový nebo Larmorův poloměr je Tc " ŠTC " ~\g\B ' (2.19) 2.3.2 Magnetický moment Magnetický moment m asociovaný s cirkulačním pohybem náboje, tj. proudem /, je kolmý k ploše A, kterou definuje trajektorie cirkulujícího náboje a má opačný směr než externě aplikované pole B. Jeho velikost je dána \m\=IA. (2.20) Proud můžeme vyjádřit jako tok náboje: J=]£l=Mn£ (221) 2.3. Homogenní magnetostatické pole a plazma jako magnetikum 13 kde Tc — 2tt/ÍIc je perioda orbitálního pohybu (cyklotronová nebo Larmorova perioda). Velikost m může tedy vyjádřit i jako H = l^£^ = i|g|ncrc2 (2.22) nebo použitím vztahu fžc — \q\B/m a rc — v±/ílc jako kde Wj_ vyjadřuje část kinetické energie částice asociované s transverzální rychlostí v±. Ve vektorové podobě pak můžeme psát W\ ™=-bTB- (2-24) 2.3.3 Magnetizační proud Uvažujme nyní soubor nabitých částic, kladných a záporných ve stejném počtu (např. případ plazmatu s malou hustotou, kde můžeme zanedbat srážky částic). Pak platí, že střední doba mezi srážkami je mnohem větší než gyrační perioda (tato podmínka je splněna pro mnoho plazmat ve vesmíru). Pak magnetické momenty, které jsou spojené s pohybem částic (hustotou proudu), vytváří vnitřní magnetické pole, které může být tak silné, že významně mění vnější magnetické pole. Abychom vyjádřili výslednou hustotu el. proudu, uvažujme makroskopický objem, který obsahuje velké množství částic. Nechť S je část plochy v tomto objemu a křivka C tuto plochu ohraničuje. Na rozdíl od částic na trajektoriích, které protínající plochu S jedenkrát (trajektorie 1 na obrázku), částice na trajektoriích protínající S dvakrát (trajektorie 2 na obrázku) nepřispívají k výslednému proudu. Označíme dl element křivky C. Počet trajektorií, které obkrouží dl je nA ■ dl, kde n je počet trajektorií odpovídajících proudu I na jednotkový objem a A je orientovaná plocha, kterou každá trajektorie uzavírá. Výsledný proud protínající S je pak dán integrací proudu kolem dl přes celou křivku C: In = jlnA-ál. (2.25) Protože m — IA je magnetický moment na jednotku objemu, je vektor magnetizace vektor M dán M = nm = nIA, (2.26) takže /„ = j M ■ dl = J (VxM)-dS. (2.27) Definujeme průměrnou plošnou hustotu magnetizačního proudu Jm protínajícího plochu S: /«= / Ju-dS, (2.28) ■Js takže dostáváme J m = VxlW, (2.29) kde M = nm=-(^f^B. (2.30) Hustotu náboje pm spojenou s hustotou magnetizačního proudu Jm můžeme vyjádřit z rovnice kontinuity ^f + V-JM=0. (2.31) Protože Jm — V x M a protože pro libovolný vektor a platí V • (V x a) — 0, je hustota náboje pm konstantní v čase. V Maxwellově rovnici VxB^mo (j + eo^j (2.32) můžeme rozdělit celkovou hustotu proudu J na dvě složky: magnetizační hustotu proudu Jm a hustotu J' odpovídající jiným zdrojům, tj. J = JM + J'- (2.33) 14 Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích Když vyjádříme Jm pomocí M, dostaneme což můžeme ještě přeuspořádat jako VxB = Mo(Vx/W + J' + e0^) , (2.34) V x ( — B M) = J' + e0^-. (2.35) \Ho J dt a dostaneme očekávaný vztah mezi magnetickou indukcí B a intenzitou magnetického pole H B = no(H+M) (2.36) který dává známou Maxwellovu rovnici VxH=/ + f0|. (2.37) Pokud je M úměrné B nebo H, získáme ze vztahu (2.36) M = XmH, (2.38) tedy existuje jednoduchý lineární vztah mezi B a H. Konstanta xm se nazývá magnetická susceptibilita prostředí. Pro plazma je však M oc 1/B (viz rovnice (2.30)), takže není výhodné popisovat plazma jako magnetické prostředí. 2.4 Homogenní elektrostatické a magnetostatické pole Provedeme opět formální řešení pohybové rovnice m^ = q(E+vxB) (2.39) Ej_ x B B2 qE\\ —t + V\ v(t) = Í2C x rc + „9 + + v\\(0). (2.40) m První člen představuje gyrační kruhový pohyb, druhý člen je drift Ve gyračního středu ve směru kolmém na E± a B, třetí člen je konstantní zrychlení gyračního středu podél B a poslední člen je počáteční rychlost rovnoběžná s B. Rychlost Ve nezávisí na hmotnosti ani znaménku náboje a často se nazývá plazmová driftová rychlost nebo elektromagnetický plazmový drift. Protože E\\ x 6 = 0, můžeme psát 2.5 Drift způsobený externí silou Jestliže je přítomna nějaká další externí síla (gravitační nebo inerciální, pokud uvažujeme neinerciální souřadný systém), musí se pohybová rovnice modifikovat: dv to— = q(E + v x B) + F . (2.42) dt Efekt této síly je formálně podobný působení el. síly. Předpokládejme, že F je homogenní a konstantní v čase. Potom analogicky k elektromagnetické driftové rychlosti, tato síla způsobí drift, jehož komponenta kolmá na B je » = 15£- (2-43) V případě homogenního gravitačního pole F — mg m q x B ,n , '-tV- (2-44) 2.6. Prostorově nehomogenní magnetické pole 15 2.6 Prostorově nehomogenní magnetické pole Pro prostorově nehomogenní pole je integrace pohybové rovnice matematicky náročný problém. Pokud nás však nezajímají detaily pohybu částice a můžeme předpokládat, že magnetické pole je silné a pomalu se měnící, zatímco el. pole je slabé. Prostorovou škálou je v tomto případě gyrační poloměr: |VS'rc«l. (2.45) B Řešení pohybu částic založeném na této aproximaci se často říká aproximace gyračního středu nebo Alfvénova aproximace Pokud se může libovolná ze tří komponent vektoru B měnit v prostoru, máme celkem 9 parametrů. dBx I dx dBy jdx dBz/dx VB — (x y i) ( dBx/dy dBy/dy 0Bz/dy | ( ý | (2.46) dBx/dz dBy/dz dBz/dz Pouze osm jich je však nezávislých, protože V ■ fi = ■ dx dy d „ „ dBx dBv dBz n V ■ B = —- + —^ + —- = 0 (2.47) V následujícím budeme předpokládat kartézský systém souřadnic, v němž B(0,0,0) = B0 = £0i (2.48) Devět komponent tenzoru VB můžeme seskupit do čtyř skupin: divergentní členy dBx/dx, dBy/dy, dBz/dz • gradientní členy dBz/dx, dBz/dy • členy zakřivení dBx/dz, dBy/dz • smykové členy dBx/dy, dBy/dx 2.6.1 Divergentní členy Abychom lépe rozumněli prostorové nehomogenitě magnetického pole, je dobré si znázornit magnetické siločáry pro jednotlivé případy. Diferenciální element siločáry vyjádříme jako ds = dxx + dyý + dzž (2.49) Pak musí platit, že ds x B = 0 (2.50) což dává vztah d£=d» = di. (2.51) Bx By Bz Protože nás nyní zajímá jen divergentní člen a kolem počátku směřuje pole především podél osy z, můžeme rozvést Bx a By do Taylorovy řady: Bx(xlt 0, 0) = Bx(0, 0, 0) + (jj^j xľ = {^§^j xi (2-52) By(0, yi, 0) = By(0, 0,0) + yi = yi (2.53) Magnetické siločáry protínající rovinu z — 0 y bodě (xi,yi, 0) splňují následující rovnice dx Bx 1 (dBx dz Bz Bz \ dx dy By 1 f OBy dz Bz Bz \ dy xi (y = 0) (2.54) yi (x = 0) (2.55) 16 Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích 2.6.2 Gradient a zakřivení Magnetické pole vyjádřené následujícím vztahem vykazuje gradient ve směru x B — Bzž — B0(l + ax)ž (2.56) Musíme si uvědomit, že v oblasti, kde J — 0, by toto pole nesplňovalo Maxwellovu rovnici V x B — 0, takže musíme přidat i člen zakřivení Bxx — B0azx a magnetické pole vyjádříme jako. B — B0 [azx + (1 + ax)ž] (2.57) Většinou ovšem nastává situace, kdy jsou přítomny všechny členy odpovídající divergenci, gradientu a zakřivení (např. magnetické pole Země). Smykové členy nevyvolávají v aproximaci prvního řádu žádné drifty, a proto se jimi dále nebudeme zabývat. 2.7 Aproximativní řešení pohybové rovnice v nehomogenním magnetostatickém poli Opět uvažujeme případ B(0,0,0) = B0 = 50i (2.58) Blízko počátku můžeme provést Taylorův rozvoj B(r) = B0 + r • (VB) + ... (2.59) a předpokládáme ÔB = |r • (VB)| < |B0|. (2.60) takže magnetické pole působící na částici se liší velmi málo od pole ve gyračním středu. Clen prvního řádu Taylorova rozvoje r • (VB) můžeme explicitně zapsat jako r.(VB) = (r.V)B=(a:|+I/|;+z|)B = dBfr dBfr dBfr\ . / dBy dBy dBy ox oy oz J \ ox oy oz dBz dBz dBz\ . . x—^+y—^+z—^)ž (2.61) ox oy Oz J přičemž derivace musí být provedeny v počátku souřadného systému. Jestliže dosadíme aproximativní vyjádření B (2.59) do pohybové rovnice, dostáváme áv to— — q(v x B o) +qv x[r ■ (VB)] (2.62) v = v{0> + v{1> = —— + —— (2.63) ,(o) „(i) (2.64) Rychlost částice je přibližně součtem kde i/1) je porucha prvního řádu a i/0-1 je řešením rovnice nulového řádu c m - dt které již bylo diskutováno dříve. Pokud dosadíme rozvoj rychlosti do rovnice (2.62) a zanedbáme členy druhého řádu m^- = q(v x B0) + íji/0) x [r(0) • (VB)] (2.66) Druhý člen představuje jakousi dodatečnou sílu k případu homogenního magnetického pole. Tato síla však není konstantní a závisí na okamžité poloze částice. Proto se během jedné gyrační periody objeví malé oscilace. Pokud nás zajímá jen pohyb gyračního středu, stačí se zajímat o tuto sílu vystředovanou přes jednu gyrační periodu. to—— — q (v^ x Bq ) (2.65) 2.8. Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody 17 2.8 Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody Zavedeme souřadný systém, jehož počátek se pohybuje počáteční rychlostí částice ve směru rovnoběžném s 8. V homogenním poli by pak částice konala kruhový pohyb. V uvažovaném slabě nehomogenním poli se trajektorie částice nebude příliš lišit. Pokud by ale byly siločáry mg pole zakřivené, nebyl by náš zvolený souřadný systém inerciální, museli bychom uvažovat inerciální síly a v důsledku toho by se projevil další drift. Prozatím budeme předpokládat, že siločáry zakřiveny nejsou a tomuto problému se budeme věnovat v jedné z dalších kapitol. Vzhledek k výše uvedeným předpokladům se vektory nulového řádu, a r^-°\ nachází v rovině (x,y). Silový člen r(0) • (VB)} (2.67) můžeme rozdělit na komponentu F\\ podél Bq (osy z) a komponentu Fj_ kolmou k Bo- Použijeme-li lokální válcové souřadnice (r, 6, z), jejichž osa z míří ve směru Bq, máme r<°).(Vfi) = r(°)?. (2.68) ar Protože (9-složka mg pole je rovnoběžná s nepřispívá k F, zatímco BTr přispívá k F\\ a Bzž k Fj_. Proto F,, = g(,(»)xŕ)r(»)^,|9|A(0)^i (2-69) F± = gf^xf)r(°)^ = -|?|A(0^ř, (2.70) V / ar ar kde r(°) je cyklotronový poloměr odpovídající Bq nc~ \q\B0 ■ [2J1) Použijeme-li vztah pro velikost magnetického momentu (2.23), můžeme vztahy přepsat .dBr F,, = 2\m\-^-ž (2.72) F± = ~2\m\^rř (2'73) Střední hodnoty F|| a F± přes jednu gyrační periodu jsou «> = 2l-l,(5F/^d»)=2|-|f<(^)> (2J4) (F±) = -2|m|(i^M9)=-2M<(r2&)). (2.75) Vlivem střední síly (F||) dané vztahem (2.74) dochází ke zrychlení gyračního středu ve směru paralelním k Bo- Jde o efekt divergentních členů B. Střední síla (Fl) je odpovědná za drift gyračního středu ve směru kolmém. Jde o vliv gradientních členů B. 2.8.1 Paralelní síla Budeme se snažit nějak lépe vyjádřit ((^r)}- Maxwellova rovnice V • B — 0 ve válcových souřadnicích: l^(rBr) + ~(Bg) + -?-(Bz) = 0. (2.76) r or r o0 oz První člen můžeme rozepsat i«(rB,) = W:+*. (2.77) r or or r Protože pro r — 0 máme BT — 0 a protože blízko počátku se BT mění jen málo, můžeme psát Br 0Br r dr (2.78) 18 Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích a využitím předchozích dvou rovnic máme z V • B — 0 dBr 1 (IdBe dBz dr 2 \r 88 dz Nyní vyjádříme střední hodnotu přes jednu gyrační periodu: Dále platí <(^)>=-5-K^> (2.79) (2.80) (2.81) a protože dBz/dz je uvnitř trajektorie částice pomalu se měnící funkce, můžeme ji vytknout před integrál dBz\. 1 / /dBz\ dBz dB . . -drp-^n^)d6^^^^- (2-82) Navíc jsme nahradili Bz polem B, protože všechny prostorové změny jsou velmi malé. Konečně tedy dostáváme což využijeme pro vyjádření střední hodnoty paralelní síly ,dB (F||) = -|m|-^-f =-|m|(VS)|| nebo m (F||) = (m-V)Sf [(B-V)B]n (2.84) (2.85) 2.8.2 Kolmá síla V rovině (x,y) budeme nyní uvažovat kartézskou soustavu souřadnic x — rcos((9) a y — rsin((9). Pak ř — cos(9)x + sm(6)ý d dx d ^ dy d d ^ . d dr dr dx dr dy dx dy Odtud (ř(^)) = ([cos(ř?)x + sin(ř?)ý] (ň,dBz . dBz cos(6»)-^— + sm(0) — (2.86) (2.87) = (cos2(ř?)^x) + (sin(0)cos(0)^ý) + ox ox + (cos(0) sm(0)^x) + (sm2(0)^ý). dy dy (2.88) Dále budeme aproximovat (dBz/dx) výrazem (dB/dx) a (dBz/dy) výrazem (dB/dy). Protože jde o pomalu se měnící členy, můžeme je vytknout před integrál střední hodnoty a s využitím (sin(0) cos(0)) — 0, (sin2((9)) — (cos2((9)) — 1/2 dostaneme A 135. 1 dB , {-r~dV' ~ 2~ďx~X+ 2~ďyy' Tento výraz dosadíme do (2.75) pro sílu (2.89) (2.90) 2.9. Gradientní drift V B 19 2.8.3 Celková střední síla S využitím výsledků předchozím dvou odstavců můžeme napsat výslednou střední sílu (F) = -|m|(VB)|| - |m|(VB)_l = -\m\VB . (2.91) Alternativně můžeme využít vektorové identity (VxB)xB = (B-V)B-V^B2j (2.92) a psát (F) = -M[(6.V)B-(VxB)xB]. (2.93) B Protože m — — \m\B/B, dostáváme (F) = (m-V)B + m x (V x B). (2.94) Toto je obvyklý tvar pro sílu působící na malý prstencový proud vnořený v nehomogenním magnetickém poli. První člen na pravé straně udává sílu působící jen na magnetický dipól. 2.9 Gradientní drift VB Ze vztahů (2.43) a (2.90) vidíme, že síla (F±) způsobí drift gyračního středu s rychlostí (F±) x B \m\ (VB) x B Tento gradientní drift je kolmý na B a jeho gradient. Jeho směr závisí na znaménku náboje, což může způsobit elektrický proud. Fyzikální důvod gradientního driftu: gyrační poloměr klesá, když se pole zvětšuje —> poloměr zakřivení dráhy se zmenšuje v místech se silnějším B. Kladné ionty rotují po směru hodinových ručiček pro B směřující k pozorovateli, záporné náboje opačně (viz obr. ??) —> kladné ionty driftují vlevo, elektrony vpravo. V případě bezsrážkového plazmatu je hustota magnetizačního proudu Jq způsobená gradientním driftem dána vztahem i kde sumace běží přes všechny nabité částice ve vhodně zvoleném objemovém elementu ôV. Z předchozích dvou vztahů máme (zají-. „97) \SV^' ' B \ i / 2.10 Paralelní zrychlení gyračního středu V případě existence divergentních členů nehomogenity magnetického pole, tj. jeho podélné změny (divergence nebo konvergence siločar ve směru osy z) urychluje síla (F||) částice ve směru klesajícího pole nezávisle na znaménku náboje (viz obr. ??). V následující části budeme diskutovat některé důsledky tohoto odpuzování gyračního středu od oblastí konvergujících magnetických siločar. 2.10.1 Invariantnost magnetického orbitálního momentu a magnetického toku Vyjdeme ze vztahu (2.84) pro (F\\) m^*={F,) = -\m\^2. (2.98) Jestliže vynásobíme obě strany rovnice t>|| — dz/dt a nahradíme \m\ — Wj_/B dostaneme 20 Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích Protože v magnetostatickém poli platí W\\ + W± = konst. (2.100) neboli é^> = -ít] = -é (H i • <2-101' dostaneme za pomoci (2.99) d , x W± dB dz W± dB , ďt(^) = ^Läľďt = ^ďr> (2-102) kde dB/dt představuje změnu B, jak ji vidí pohybující se částice. Srovnáme-li tento výsledek s následující identitou dojdeme k závěru, že neboli \m\ = —^ = konst.. (2.105) i) Jestliže se tedy částice pohybuje do oblasti konvergujícího nebo divergujícího B, mění se její gyrační poloměr, ale magnetický moment zůstává konstantní. Magnetický moment se ovšem zachovává pouze v použité aproximaci, tj. pokud jsou prostorové změny B uvnitř uzavřené části trajektorie malé ve srovnání s velikostí B. Proto se říká, že v tomto případě je orbitální magnetický moment adiabatickým invariantem, obvykle se mluví o prvním adiabatickém invariantu. Magnetický tok <í>m plochou uzavřené části trajektorie částice je 2-7TTO = Js B ■ d* = = = (2.106) Proto a částice pohybující se v oblasti konvergujícího pole B bude obíhat po dráze se stále menším poloměrem, aby magnetický tok uzavřený touto orbitou zůstal konstantní. 2.10.2 Efekt magnetického zrcadla Částice pohybující se směrem ke konvergujícím magnetickým siločárám získává W±_ v důsledku adiabatické invariance \m\ a <í>m (W±/B — konst. a B roste). Protože celková kinetická energie je v magnetostatickém poli konstantní, klesá W|| => pro dostatečně silné mg pole se může částice zastavit a pohybovat zpět => odraz částice Pokud máme dvě mg zrcadla, částice je uvězněna mezi nimi => magnetická nádoba. Toto zachycení ale není úplně perfektní. Jeho účinnost se udává jako "poměr zrcadla" Bm/Bq, kde Bm je intenzita mg pole v bodě reflexe (zde je úhel sklonu šroubovice tt/2) & Bq je mg pole ve středu mg nádoby. Uvažujme nabitou částici, která má ve středu nádoby úhel sklonu ao- Nechť v je rychlost částice, která v magnetostatickém poli zůstává konstantní. Protože se ani magnetický moment \m\ — Wj_/B nemění, platí ^mv2(sm2 a)/B = ^mv2(sm2 a0)/B0 , (2.108) kde a je úhel sklonu částice v místě s mg indukcí B. Proto pro tuto částici v libovolném bodě mg nádoby platí s™2 a(z) _ sin2 a0 " ■ (2-109) Předpokládejme nyní, že částice se odráží u ústi zrcadla, tj. a — tt/2 pro B (z) — Bm a proto (sin2a0)/B0 = l/Bm. (2.110) 2.11. Drift zakřivení 21 To znamená, že částice mající úhel sklonu ao ve středu nádoby rovný a0 = sin-MOBo/S™)172] = airr\vjv)0 (2.111) je odražena v bodě, kde je mg indukce Bm. V mg nádobě s poměrem Bm/Bo se částice mající úhel sklonu ve středu nádoby větší než ao odrazí před koncem mg nádoby. Na druhou stranu, jestliže má částice úhel sklonu ve středu nádoby menší než ao, nedosáhne tento úhel nikdy hodnoty tt/2 => částice unikne => existuje tedy ztrátový kužel se středem ve středu nádoby a s vrcholovým úhlem 2ap daným podle vztahu (2.111) poměrem Bm/B0. Kvůli výše uvedeným závěrům mají zařízení bez otevřených konců, tj. s mg siločárami uzavřenými do sebe, podstatnou výhodu při udržení plazmatu. Jednou z možností je torodiální geometrie. Zde ovšem činí problémy v udržení radiální nehomogenita pole. Proto je superponováno poloidální magnetické pole, což dává spirálové siločáry jako v tokamaku. Bohužel nestability a malé fluktuace opět ztěžují udržení horkého plazmatu. Dobrým příkladem mg nádoby je magnetické pole Země, které zachycuje nabité částice z vesmíru nebo vzniklé ionizací atmosféry. Tyto částice tvoří Van Allenovi radiační pásy (viz obr. ??). 2.11 Drift zakřivení Až doposud nebyly diskutovány jevy způsobené zakřivením mg siločar. Zde budeme studovat pouze drift způsobený zakřivením siločar (členy dBx/dz a dBy/dz), ale je dobré si uvědomit, že v tomto případě pole nesplňuje podmínku V x B — 0, takže drifty způsobené zakřivením a gradientem pole se vyskytují pohromadě. Budeme předpokládat, že členy dBx/dz a dBy/dz jsou tak malé, že zakřivení siločar je velmi velké ve srovnání s gyračním poloměrem. Zavedeme lokální systém souřadnic pohybující se podél siločar rychlostí v\\. Jednotkové vektory systému budou B ve směru siločáry, h\ ve směru hlavní normály k siločáře a «2 ve směru kolmém na siločáru. Protože nejde o inerciální systém, objeví se odstředivá síla. Fc mvfi Fc = —j^-Äi, (2.H2) kde R označuje lokální poloměr zakřivení mg siločar a v\\ F x B mvn ^^->XB)' (2-U3) Chceme vyjádřit jednotkový vektor h\ pomocí vektoru B (podél siločar). Uvažujme element úseku siločáry ds svírající úhel d(f> s B: ds = Rd(p. (2.114) Jestliže dB označí změnu B díky posunu o ds, pak dB míří ve směru h\ a jeho velikost je |dB| = \B\d = d. (2.115) Následně dB = nid(/>. (2.116) Když podělíme tuto rovnici rovnicí (2.114) dostáváme dB _ rii ds R Derivaci d/ds podél B můžeme zapsat jako (B • V), takže tuto rovnici můžeme dále upravit rii (2.117) R (B-V)B. (2.118) Poslední rovnici můžeme dosadit do rovnice (2.112) Fc = -mvf,(B ■ V)B. (2.119) 22 Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích Protože síla Fc je kolmá ke směru mg indukce B (její směr je dán vektorem —fíi), způsobí drift s rychlostí mvf, ŕc=-^[(e-V)6]x8 (2.120) Protože B — B B, můžeme předchozí dvě rovnice zapsat také jako 2W» . Fc = -^l(B-V)B}±, (2.121) 2W» . vc = -^[{B-V)B]xB. (2.122) Protože pro náboje opačného znaménka je drift zakřivení opačného směru, objeví se elektrický proud 2.12 Kombinovaný drift gradient-zakřivení Drift zakřivení a gradientní drift se vždy objevují společně a oba míří stejným směrem, protože VB míří opačným směrem než Fc. Proto mohou být tyto dva drifty jednoduše sečteny: vGC = vG + vc = -2-^(VS) x B - ^H(B ■ V)B] x B (2.124) Jestliže neexistují objemové proudy (např. ve vakuu), takže V x B — 0, umožňuje vektorová identita (2.92) zápis v kompaktnější podobě "GC = + \vl){V\B2) X B ■ (2'125) V zemské magnetosféře blízko rovníku gradientní drift (B klesá s výškou) a drift zakřivení způsobují pomalý drift kladně nabitých částic západním směrem a záporně nabitých částic východním směrem, tzv. prstencový proud. 2.13 Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli V následujících kapitolách budeme analyzovat pohyb nabitých částic v přítomnosti časově proměnných polí. V prvních dvou případech budeme uvažovat kombinaci homogenního časově proměnného el. pole a homogenního magnetostatického pole B. Tento předpoklad je splněn pokud je toto magnetostatické pole mnohem větší než magnetické pole indukované časovou změnou E. El. pole můžeme považovat za homogenní, pokud jsou jeho prostorové změny zanedbatelné vzhledem ke gyračnímu poloměru. 2.13.1 Pohybová rovnice a polarizační drift Na okamžik budeme předpokládat, že charakteristický čas změny el. pole je mnohem větší než gyrační perioda. Složka rychlosti částice model mg siločar je dána vztahem mdv\\/dt — qE\\, takže můžeme obecně psát V||(t)-¥1l(0) = -^ ľ:E\\(ť)dť, (2.126) m Jo což nám zatím nepřináší žádnou novou zajímavou informaci. Protože pole E je pomalu se měnící, nečekáme, že složka rychlosti kolmá na mg siločáry se bude příliš lišit od stacionárního případu. Proto je rozumné hledat analogické řešení k řešení ve tvaru v±_ — v']_ + Ve, tj. V_L = v'_L + VE + Vp, (2.127) 2.13. Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli 23 kde ve — E x B/B2 je elektromagnetická driftová rychlost, která se s časem pomalu mění. Dosazení tohoto vztahu do kolmé složky pohybové rovnice dává m^(v'± + vE+ vP) = ±\Hnc)2, (2.132) |e/i>j_| rovněž malý, můžeme člen m(dvp/dí) ve srovnání s jinými členy rovnice (2.131) zanedbat a získáme rovnici m^L = qv'xB, (2.134) dt která je identická případu statických polí. Z toho důvodu odpovídá v'j_ obvyklému kruhovému pohybu kolem mg siločar a nezávisí na změnách el. pole. Následující dva typy rychlostí tento kruhový pohyb doplňují: »E = (2.135) Pomalé změny el. pole tedy způsobí drift s rychlostí t>p nazývaný polarizační driftová rychlost. Protože fp má opačný směr pro částice opačného znaménka, časově závislé el. pole produkuje čistý polarizační proud v neutrálním plazmatu a plazma se tedy chová jako dielektrikum. Hustota polarizačního proudu Jv je rychlost toku kladných a záporných nábojů skrz jednotkovou plochu a je dána vztahem i i kde sčítáme přes všechny kladné a záporné náboje nacházející se v malém objemovém elementu SV a pm je hustota hmotnosti plazmatu. 2.13.2 Dielektrická konstanta plazmatu Polarizační vlastnosti plazmatu souvisí s časovou změnou el. pole. V konst. poli se totiž mohou elektrony a ionty nerušeně pohybovat, a tedy zachovávat kvazineutralitu. Protože se plazma chová jako dielektrikum, můžeme vzít do úvahy hustotu polarizačního proudu Jv tak, že zavedeme dielektrickou konstantu plazmatu. Za tím účelem můžeme rozdělit celkovou hustotu proudu J na hustotu polarizačního proudu Jp a hustotu proudu způsobenou jinými zdroji J0 J = JP + J0. (2.138) Kombinací Jv se členem e^dE/dt, který se objevuje na pravé straně Maxwellovy rovnice V x B, dostaneme dE± pm dE± pm dE± dE± ,„1Q^ e°~dT ~B^~dt "eo(1 + 7^]^f = e^T' (2-139) 24 Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích kde e = e0er = e0(l + (2.140) je efektívni elektrická permitivita ve směru kolmém na mg pole. V některých případech můžeme být relativní permitivita er velmi vysoká. Výsledná hustota náboje pp, která se akumuluje jako důsledek polarizačního proudu Jp, musí splňovat rovnici kontinuity dpp Z (2.141) a (2.137) máme Celková hustota náboje může být rozdělena na df . V • Jp = 0 . (2.141) Pp = -§|V-Ex. (2.142) P = Po+Pp, (2.143) kde po odpovídá Jo- Za předpokladu, že paralelní složka el. pole zmizí vidíme, že V • E = l(po + Pp) = ^ - V • E . (2.144) Odtud s pomocí (2.140) máme Hustotu náboje pv můžeme tedy vzít korektně do úvahy zavedením efektivní elektrické permitivity e V ■ E = — . (2.145) e Správnost zavedení efektivní elektrické permitivity plazmatu můžeme dále ověřit výpočtem celkové hustoty energie odpovídající poli E, která je pro dielektrické médium o efektivní permitivitě e dána eE2/2. Hustota energie el. pole je dána jako WE = ^e0E2 (2.146) Abychom vyjádřili dodatečnou driftovou kinetickou energii získanou částicí v důsledku polarizačního driftu, uvědomíme si, že vychýlení gyračního středu Ar pro změnu AE± za čas Aí je to ,(9Ej, . m . . _ . Ar^^Aí.—(^Aí.—AE,. (2.147) Příslušná práce vykonaná el. polem je pak AW = gE± • (Ar) = ^E± • (AE±) = A(Íto£Í/B2) . (2.148) Kinetickou energii částice odpovídající polarizačnímu driftu pak vyjádříme s využitím (2.135) jako AW = A(^mv2E). (2.149) Sečteme-li přes všechny částice v jednotkovém objemu příspěvky, dostaneme celkovou změnu energie systému AWV = A(^Pmv2E) = A(ipm^i/B2). (2.150) Hustota kinetické energie odpovídající kruhovému pohybu částice není ovlivněna změnami el. pole. Celková hustota energie Wt — We + Wy odpovídající el. poli je WT = \e0E2 + \pmv2E = \e0E2{l + -^) = \eE2 (2.151) za předpokladu, že neexistuje paralelní složka el. pole. Tento výsledek dokončuje ověření správnosti zavedení efektivní el. permitivity plazmatu. Kapitola 3 Základy kinetické teorie plazmatu 3.1 Úvod Plazma je systém obsahující velké množství interagujících částic, takže je vhodné využít pro jeho analýzu statistický přístup. 3.2 Fázový prostor V každém časovém okamžiku je částice plazmatu lokalizována pomocí polohového vektoru r r — xx + yý + zž, (3.1) kde x, ý a z označuje jednotkové vektory ve směru os x, y a z. Rychlost těžiště částice je dána vektorem v — vxx + vyý + vzz, (3.2) kde vK — dx/dt, vy — dy/dt a vz — dz/dt. Analogicky ke konfigurační prostoru definovaném souřadnicemi poloh (x,y,z) zavedeme rychlostní prostor (vx,vy,vz) (viz obr. 3.2). 3.2.1 Jednočásticový fázový prostor Klasická mechanika - dynamický stav každé částice určen polohovým vektorem a vektorem rychlosti => zavádíme fázový prostor (x,y, z,vK,vy,vz) (/i-prostor). Dynamický stav každé částice reprezentován jedním bodem. Když se částice pohybuje, její reprezentativní bod opisuje trajektorii ve fázovém prostoru. Systém N částic je v každém okamžiku popsán N body fázového /i-prostoru. 3.2.2 Vícečásticový fázový prostor T-prostor: systém N částic bez vnitřních stupňů volnosti reprezentován jedním bodem v ôA^-dim prostoru, 3A souřadnice poloh (ři,r2, ■■-,r^) a 3A souřadnice rychlostí (vi, V2,Vn)- Jeden bod v T-prostoru koresponduje s mikroskopickým Obrázek 3.1: Konfigurační a rychlostní prostor. 26 Kapitola 3. Základy kinetické teorie plazmatu dA3r dA3r dA3v O v dA3v Obrázek 3.2: Schematické znázornění objemového elementu d?rd?v se souřadnicemi r a, v v šestirozměrném prostom. stavem celého systému částic. 3.3 Objemové elementy Malý objemový element v konfiguračním prostoru je dán jako d?r — dxdydz. Zde konečně velký objemový element obsahující dostatečné množství částic. Na druhou stranu dostatečně malý ve srovnání s charakteristickými rozměry prostorových změn fyzikálních veličin. Pokud v plynu obsahujícím 1018 molekul/m3 vezmeme v úvahu např. d3r — 1CP12 m3 (bod), nachází se v objemu d3r stále ještě 106 molekul. Ve fázovém prostoru (/i-prostoru) je diferenciální objemový element zobrazen jako 6D kostka: d3r d3v — dx dy dz dvx dvy dvz, (3-3) Počet bodů uvnitř objemového elementu d3r d3v je obecně funkcí času a polohy objemového elementu ve fázovém prostoru. Souřadnice r a v fázového prostoru jsou navzájem nezávislé, protože představují polohu individuálních objemových elementů ve fázovém prostoru. 3.4 Rozdělovači funkce deNa(r, v,ť) počet částic typu a uvnitř objemového elementu d?rd?v kolem souřadnic fázového prostoru (r,v) v čase t. Rozdělovači funkce ve fázovém prostoru je hustota bodů reprezentujících částice a d6Na(r,v,t) fa(r, v, t) = ———- (3.4) arr drv /a(r, v, ť) je kontinuální, kladná a konečná funkce svých argumentů. Klesá k nule, když se rychlost blíží k nekonečnu. Rozdělovači funkce je obecně funkcí polohového vektoru r => nehomogenní plazma. V rychlostním prostoru může být rozdělovači funkce anizotropní, pokud závisí na orientaci vektoru rychlosti v, nebo izotropní pokud nezávisí na orientaci v, ale pouze na jeho velikosti, tj. na rychlosti částice v —\ v \ . Plazma v termodynamické rovnováze je popsáno homogenní, izotropní a časově nezávislou rozdělovači funkcí. 3.5. Hustota a průměrná rychlost 27 Jeden ze základních problémů kinetické teorie je určení rozdělovači funkce daného systému. 3.5 Hustota a průměrná rychlost Hustota na(r, ť) na(r,t) = ^ Jj6Na(r,v,t) (3.5) nebo za použití definice (3.4) na(r,t) = í fa(r,v,t)d3v. (3.6) J v Průměrná (driftová) rychlost uQ(r, í) je definovaná jako makroskopická rychlost toku částic a v okolí bodu s polohým vektorem r v čase t Ua(-ľ> *) = ( lw3 I VlrN^r> V> *)■ (3-7) Použijeme-li definici rozdělovači funkce (3.4) dostáváme ua(r, t) = —l— í vfa(r, v, t)d3v. (3.8) na(r,t) Jv Tento vztah reprezentuje obvyklý statistický postup pro vyjadřování průměrných hodnot veličin. na{r, t) a ua(r, t) jsou makroskopické proměnné, které závisí pouze na souřadnicích raí. 3.6 Boltzmannova kinetická rovnice Závislost rozdělovači funkce na nezávislých proměnných (r, v) a t se řídí tzv. Boltzmannovou kinetickou rovnicí (BKR). Zde odvodíme bezsrážkovou BKR i obecnou podobu BKR zahrnující vliv interakcí mezi částicemi, aniž bychom explicitně odvodili konkrétní výraz pro srážkový člen. 3.6.1 Bezsrážková BKR Připomeneme si, že d6Na(r, v,t) = fa(r, v,t)d3rd3v (3.9) Předpokládejme, že na každou částici působí vnější síla F. Bez interakcí bude částice za čas dt v bodě: r'(t + dt) = r(t) + vdt (3.10) v'{t + dť) = v(t) + adt, (3.11) kde a — F/ma je zrychlení částice a ma její hmotnost. =>• částice a nacházející se v čase t v okolí (r, v) uvnitř d3rd3v budou za čas dt zaujímat objem d3r' d3v' v okolí bodu (r', v'). Jde o stále stejné částice a neuvažujeme žádné srážky: fa(r', v',t + dt)d3r' d3v' = fa(r, v,t)d3rd3v. (3.12) Objemový element d3rd3v může mít zdeformovaný tvar v důsledku pohybu částic: d3r'd3v' =| J | d3rd3v, (3.13) kde J označuje Jakobián transformace z (r, v) na (r', v'). Platí | J \— 1, takže d3r'd3v' = d3rd3v (3.14) a z rovnice (3.12) dostáváme [/Q(r', v', t + dt)- fa(r, v, t)]d3r d3v = 0. (3.15) První člen na levé straně rovnice (3.15) rozvineme do Taylorovy řady okolo /Q(r, v, ť) ,dfa , ^Jk + V dt x dx y dy dfa-, , , dfa dfa 8fa fa(r + vdí, v + adí, t + dt) = /Q(r, í) + [-^ + (vx-£ + vy^- + (3.16) v7,^—) + (ax---h ay---h az-—)]dt, oz ovx at;y at;z 28 Kapitola 3. Základy kinetické teorie plazmatu přičemž zanedbáváme členy řádu (dt)2 a vyšší. Použijeme-li operátor nabla v = xTx+*di + *d-z (3'17) a podobně definujeme nabla operator v rychlostním prostoru V„ = x—+y—+ z—, (3.18) OVX OVy ovz dostáváme z (3.16) ~dfa(r, M) /Q(r + udí, v + adt, t + dt) — fa(r, v, í) + <9í + v • V/Q(r, i/,í) + a • V„/Q(r, v,t) dt. (3.19) Po dosazení do vztahu (3.15) máme <9/a(r, M) <9í což je Boltzmannova kinetická rovnice v bezsrážkovém případě Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru + v • V/Q(r, v, t) + a • V„/Q(r, i/, í) = 0, (3.20) = o, (3.21) Vt kde operátor i = ž+v-v+a-v" (3-22) představuje úplnou derivaci vzhledem k času, ve fázovém prostoru. => zákon zachování hustoty bodů ve fázovém prostoru, tzv. Liouvillův teorém - srážky stejně jako radiační ztráty a procesy vzniku a zániku částic nepovažujeme za důležité. 3.6.2 Jakobián transformace ve fázovém prostoru 3.6.3 Vliv interakcí mezi částicemi Vliv interakcí mezi částicemi? => modifikace vztahu (3.20). Díky srážkám mohou během času dt některé částice a, které byly původně v d3rd3v, z tohoto elementu zmizet a obráceně jiné částice, které byly mimo tento objemový element, se v něm mohou objevit. Čistý zisk nebo úbytek částic a z d3rd3v způsobený srážkami v průběhu časového intervalu dt označíme St dórdóvdt, (3.23) srazk kde (5/Q(r, v,ť)/ôť)srazk představuje rychlost změny fa(r, v,t) díky srážkám. Pokud tedy uvažujeme srážky, musíme vztah (3.15) přepsat jako [fa(r', v',t + dt)- fa(r, v, t)]d3r d3v = (5^r' ^ ) d3rd3vdt (3.24) V ot J srazk a Boltzmannova rovnice modifikována pro tento případ má tvar ,v-Vfa(r,v,t)+a-Vvfa(r,v,t)=[--- . (3.25) dt V St /srazk Za použití operátoru úplného diferenciálu podle času definovaného vztahem (3.22) můžeme tento vztah přepsat do kompaktní podoby Vfa(r,v,t) (5fa(r,v,ty vt V st (3.26) Přesná podoba srážkového členu tímto ale není definována. 3.7. Relaxační model pro srážkový člen 29 r j (t + dt) O dA3r dA3 v Obrázek 3.3: Schematické znázornění pohybu objemového elementu ve fázovém prostoru a částic vstupujících nebo vystupujících z tohoto elementu v důsledku srážek. 3.7 Relaxační model pro srážkový člen Uvažujeme velmi jednoduché vyjádření srážkového členu, tzv. Krookův model nebo relaxační model. Existuje i mnohem propracovanější vyjádření, např. Boltzmannův srážkový integrál nebo Fokker-Planckův srážkový člen. Předpokládá se, že srážky obnovují lokální rovnováhu (lokálně rovnovážná rozdělovači fce fao(r, v)). Pokud nepůsobí externí síly, systém, který původně není v rovnováze a je popsán rozdělovači funkcí /Q(r, v,t), dosáhne v průběhu času díky srážkám lokální rovnováhy podle exponenciálního zákona. Doba charakteristická pro tento proces je tzv. relaxační doba t. Relaxační doba řádově odpovídá době mezi dvěma srážkami a může být rovněž vyjádřena jako v-1, kde v je relaxační srážková frekvence. Model byl původně vyvinut Krookem: /Sfa(r, v,t)\ _ (fa - faO) V at / srazk (3.27) Podle tohoto vztahu pro srážkový člen platí, že když fa — fao máme (5fa(r, v,t)/ôt)srazk — 0, takže ve stavu lokální rovnováhy se rozdělovači funkce díky srážkám nemění. Fyzikální smysl relaxačního modelu? Uvažujme BKR se srážkovým členem bez vnějších sil a prostorových gradientů, fao a T jsou na čase nezávislé: dfcc (/a - /q0) ,„ 0SA ~~dt ~ r-' (3'28) což můžeme přepsat jako d^+fa^faQ^ (3 29) Ot T T Řešení této jednoduché nehomogenní diferenciální rovnice dostaneme pomocí řešení příslušné homogenní rovnice, tj. Ce~llT (C je konstanta). Kompletní řešení rovnice je tedy /a(v,í) = fa0 + [/Q(v, 0) - /Q0]e-t/T. (3.30) Tedy, rozdíl mezi fa a faQ exponencielně klesá v čase rychlostí, která odpovídá relaxační srážkové frekvenci v — 1/t. 30 Kapitola 3. Základy kinetické teorie plazmatu Užitečný srážkový model, v mnoha případech vede k výsledků téměř identickým s těmi, které získáme pomocí Bolt-zmannova srážkového integrálu. Především vhodný pro slabě ionizované plazma (pouze srážky iontů s neutrály). Ale relaxační model se dá použít pouze pro srážky částic přibližně stejných hmotností. 3.8 Vlasovova rovnice Aproximace - pohyb částic plazmatu je řízen jednak vnějšími silovými poli a jednak makroskopicky vystředovanými Vlasovova rovnice je parciální diferenciální rovnice, která popisuje časový vývoj rozdělovači funkce ve fázovém prostoru a která přímo využívá makroskopicky vystředovaných elektromagnetických polí. Tuto rovnici můžeme získat z Boltzmannovy rovnice (3.20), když zahrneme do silového členu makroskopická pole d f 1 ot ma Zde Fext představuje vnější síly včetně síly Lorentzovi odpovídající externě přiloženým elektrickým a magnetickým polím a Ej„t, Bj„t jsou vystředované vnitřní elektrické a magnetické pole vznikající v důsledku přítomnosti a pohybu všech nabitých částic uvnitř plazmatu. Aby byly vnitřní makroskopické elmag pole Ej„t a Bj„t konzistentní s makroskopickým nábojem a proudy existující v plazmatu, musí splňovat Maxwellovy rovnice V-Emt = (3.32) V-Bmt = 0 (3.33) VxEmt = (3.34) VxBint = Mo(j + eo^|^, (3.35) kde hustota náboje v plazmatu p a hustota proudu v plazmatu J jsou dány výrazy p(r,t) = ^2qana(r,t) = ^qa / /Q(r, v,ť)<řv (3.36) J(r,í) = ^gQnQ(r,í)uQ(r, ť) = j v/Q(r, v, í)d3w, (3.37) kde sumace probíhá přes různé nabité částice v plazmatu a uQ(r,í) je makroskopická průměrná rychlost pro částice typu a daná vztahem (3.8). Rovnice (3.31 až (3.35) představují kompletní soustavu self-konzistentních rovnic, které se musí řešit zároveň. Takže např. v iterativní postupu začneme s nějakými přibližnými hodnotami Ej„t(r, ť) a Bj„t(r, ť). Vyřešíme rovnici (3.31 a získáme /Q(r, v, ť) pro různé typy částic. Z rovnic (3.36) a (3.37) pak za použití vypočítaných rozdělovačích funkcí fa dostáváme hustotu náboje a proudu (p a J) v plazmatu. Jejich velikosti pak substitujeme do Maxwellových rovnic, které řešíme pro Ei„t(r, ť) a Bj„t(r, ť). Nyní hodnoty vystředovaných makroskopických elmag polí opět dosadíme do Vlasovovy rovnice a pokračujeme v postupu znovu dokola, abychom získali self-konzistentní řešení pro rozdělovači funkce jednotlivých typů částic. Ačkoliv Vlasovova rovnice explicitně nezahrnuje srážkový člen na pravé straně, tj. nebere v úvahu krátkodosahové srážky, není až tak v tomto směru restriktivní, jak by se mohlo zdát, protože část efektů spojených s interakcí částic je už zahrnuta v Lorentzově síle přes vnitřní self-konzistetní vystředované elmag pole. Kapitola 4 Střední hodnoty a makroskopické veličiny 4.1 Střední hodnota fyzikálni veličiny Ke každé částici v plazmatu můžeme přiřadit nějakou její vlastnost %(r, v,ť). Celková velikost veličiny %(r, v, t) pro částice a uvnitř objemového elementu fázového prostoru d3r d3v je X(r, v,t)crNa(r, v,t) = x(r, v,t)fa(r, v,t)d3rd3v. (4.1) Velikost této veličiny uvnitř objemového elementu d3r nezávisle na rychlosti d3r í X(r,v,t)fa(r,v,t)d3v. (4.2) J v Střední hodnota (x(r, v, t))a = / X(r, v, t)fa(r, í)ďV (4.3) na(r,t) Jv 4.2 Driftová a tepelná rychlost Nechť x{ri v,ť) — v => střední neboli driftová (unášivou) rychlost ua{r,ť) (4.4) ua(r,t) = (i/)Q = —j—_- í vfa(r, v,t)d3v, na(r,t) Jv Pokud x(r, i/, ť) je nezávislá na rychlosti částic (x(r,í))a = x(r,í), (4.5) takže např. (uQ) = uQ. Rychlost tepelného neuspořádaného pohybu neboli náhodná rychlost je definována vzhledem k ua(r,t) takto Va = v ua. (4.6) Následně vždy platí, že (Va) — 0, neboť (v)a — ua. 4.3 Tok Makroskopické veličiny hustota proudu částic (nebo tok částic), tenzor tlaku a vektor toku tepla (nebo tok tepelné energie) zahrnují vždy tok nějaké mikroskopické veličiny %(r, v,t). Tok %(r, v,t) je definován jako velikost veličiny x(ľ, v, t) přenesené skrze daný povrch na jednotku plochy a jednotku času. Uvažujme povrchový element dS = dSň, (4.7) kde ň je jednotkový vektor ve směru normály povrchového elementu. Konveční orientace normály ň: • pro uzavřený povrch => kladná normála ven, • pro otevřený povrch => postup obvodem se jeví proti směru hodinových ručiček ze směru normály. 32 Kapitola 4. Střední hodnoty a makroskopické veličiny Částice v plazmatu se pohybují skrz povrchový element dS nesouce s sebou vlastnost x(r, v, t). Počet těchto částic typu za čas dtl Částice mající rychlost (v, v + dv) a projdou skrze dS v časovém intervalu (t, t + dť) musí ležet v objemu hranolu o základně dS a stěně vdt. Objem hranolu: d3r = dS-vdt=h- vdS dt. (4.8) Počet těchto částic v tomto objemu: /Q(r, v,ť)d3rd3v = /Q(r, v,t)ň ■ vdSdtd3v, (4.9) =>• celková přenesená velikost x(r, v, t) během času dt skrze plochu ňdS: / x(r,v,t)fa(r,v,t)ň ■ vd3vdSdt. (4.10) J v (4.11) Čistý zisk transportu (tok) veličiny x(r, v, í) ve směru ň: ^an(x) = / x(r v,t)fa(r, v,ť)h ■ vd3v nebo za použití symbolů pro střední hodnotu *cm(x) = «a(r,í)(x('', v,t)ň ■ v)a = nQ(x^„)a, (4-12) kde vn — ň ■ v označuje komponentu v ve směru jednotkového vektoru ň. • x(r, i/, í) je skalární veličina =>■ 'řaníx) Je komponenta vektoru toku 0a(x) ve směru h, tj. *o„(x) = n-*a(x), (4.13) kde 4>a{x) = na(Xv)a. (4.14) • x(ri v,ť) je vektorová veličina =>■ tok ve tvaru tenzoru 3. řádu a tak dále. Můžeme oddělit příspěvek díky driftové rychlosti ua(r,t) a příspěvek související s náhodnou tepelnou rychlostí Va: *an(x) = na{xVan) + na{xuan), (4.16) kde VQ„ = ň • Va a mq„ — ň ■ ua. Je-li uQ = 0 nebo zvolíme dS v souřadném systému, který se pohybuje driftovou rychlostí ua *an(x) = na(XVan), (4.17) 4.4 Tok částic Tbfc částic: počet částic, které projdou daným povrchem na jednotku plochy za jednotku času. Vezmeme-li %(r, v, ť) — 1 ve vztahu (4.12): rQ„(r, í) = na{vn)a = nauan, (4-18) protože (VQ„) = 0. Jestliže uQ = 0, můžeme uvažovat tok pouze z kladného směru místo celkového čistého toku r+„(r,t)=/" Ä • 1/Q/Q(r, M)d3i;, (4.19) kde integrujeme pouze přes rychlosti h ■ Va > 0. Náhodný tok hmoty v kladném směru ň je tedy dán vztahem mQ,r+rt, kde ma je hmotnost částic a. 4.5. Tenzor toku hybnosti 33 4.5 Tenzor toku hybnosti • • • celková hybnost přenesená skrze povrchový element hdS na jednotku plochy a času. Xj=mav-j, (4.20) kde j je jednotkový vektor =>• složka TLajn(r, ť) tenzoru toku hybnosti Iíajn(r,t) = na(ma(j ■ v)(ň ■ v)}a = gma(vjVn)a, (4-21) kde gma — nama je hustota hmotnosti částic a. Platí ({uaVa) = ua(Va) = 0) (4.22) nebo v tenzorové podobě ňa(r,t) = gma(l/a ® l/Q) + £>mQUQ ® uQ. (4.23) V kartézských souřadnicích definovaných jednotkovými vektory x — (1, 0, 0), ý — (0,1, 0), ž = (0, 0,1) můžeme tenzot toku hybnosti zapsat ti a — X ýnQ2;y + x C (4.24) -ayx H~ ý ýUayy + ý í S1 ZHayZ ■azx ~l~ ž ýnQzy + ž e 'o zHazz. , /M (4.25) na2a; naZy T1q,ZZ J V*/ Obvykle ovšem tenzor 2. řádu zapisujeme jen jako matici 3x3 obsahující prvky TLaij- TLaij — naji => matice 3x3 je symetrická => pouze 6 prvků tenzoru toku hybnosti na sobě nezávislých. 4.6 Tenzor tlaku 4.6.1 Definice tlaku Tlak plynu - sila na jednotku plochy vytvářená chaoticky se pohybujícími se molekulami plynu díky srážkám se stěnou nádoby obsahující plyn. Tato síla je rovna rychlosti přenosu hybnosti molekul na stěnu nádoby díky tepelnému (chaotickému) pohybu. Definici tlaku zobecníme na jakýkoliv bod uvnitř plynu (myšlený plošný element dS — ňdS pohybující se střední rychlostí toku uvnitř plynu). Tlak na dS - tok hybnosti na plochu dS díky náhodnému pohybu částic. Definujeme parciální tlak každého druhu částic a. Vezmeme-li %(r, v,t) — maVaj, dostaneme prvek Pajn tenzoru tlaku Pctjn — Qma(VajVan) ■ (4.26) Tenzor tlaku je tedy dán jako Pol — Qmoi (Va®Va). (4.27) Z (4.25) získáme vztah mezi tenzorem tlaku Pa a tenzorem toku hybnosti ľla Pa = ha- QmaUa® Ua. (4.28) 34 Kapitola 4. Střední hodnoty a makroskopické veličiny 4.6.2 Sila na jednotku plochy (způsobená tepelným pohybem) Mějme malý objemový element ohraničený uzavřeným povrchem S a dS — ňdS jako element povrchu patřící k S, jehož normála ň směřuje ven. Předpokládejme na okamžik, že všechny částice a mají stejnou rychlost Va. • Va svírá úhel menší než 90° s ň =^ na(Va ■ ň)dS je počet částic, které opouštějí objem => pokles hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: ÍY\^ 777 q Va(Va ■ ň)dS, protože (Va ■ ň) > 0 • Va svírá úhel větší než 90° s í? 4 na(Va ■ ň)dS je počet částic, které přicházejí do objemu => vzrůst hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —namaVa(Va ■ ň)dS, protože (Va ■ h) < 0 Zobecněním, rychlost změny hybnosti plazmatu v uzavřeném objemu S, díky výměně částic a skrz povrchový element hdS: -nama(Va{Va ■ ň)}dS = -Pa ■ MS (4.29) Síla na jednotku plochy fa působící na plošný element ňdS jako výsledek náhodného pohybu částic je fa = -Pa-ň=-gma(Va(ya-ň)). (4.30) Jestliže vezmeme ň — x, máme P3; ' " — xPctxx yPctyx zPazx, (4-31) kde Paxx je normála k ploše => hydrostatický tlak, zatímco prvky Payx a Pazx jsou tlaky díky tangenciálním silám. 4.6.3 Síla na jednotku objemu (způsobená tepelným pohybem) Sílu na jednotku objemu uvnitř plazmatu způsobená náhodným pohybem získáme integrací (4.29) - lim Ú- l PandS] — —V • Pa (4.32) v^o V Js a z Gaussova teorému Pa.ndS=- f VPQďV (4.33) s Jv 4.6.4 Skalární tlak a absolutí teplota Důležitá makroskopická veličina je skalární tlak neboli střední hydrostatický tlak: Pa g ^ ^ ^aij^ij g ^ ^ Pai,i g (.^axx Payy Pazz)i (4.34) i,j i kde Ôíj je Kronekerovo delta. Ze vztahu (4.26) Pa = \pma (V£x + VŽy + Vlz) (4.35) Protože V% — V%x + V2y + V£z, dostaneme pa = \pma{VŽ) (4.36) Dalším důležitým makroskopickým parametrem je teplota. Absolutní teplota Ta pro částice a je mírou střední kinetické energie náhodného pohybu částic. Z termodynamiky: střední tepelná energie kTai/2 přísluší každému translačnímu stupni volnosti (i — x,y,z): ^TQÍ = ÍmQ x + ý ý + ž ž)pa = Ípa, (4.40) kde 1 je jednotkový tenzor - I1 ° °\ 1=0 1 0 (4.41) V o o i y V tomto případě d d d — V • Pa — -(x—pa + YTTPa + Ž-Z-Pa) = -VpQ, (4.42) ai az takže pro izotropní rozdělení rychlosti je síla na jednotkový objem způsobená náhodným pohybem dána gradientem skalárního tlaku. V některých praktických příkladech předpokládáme, že Pa = x xPaxx +ý ýPayy + z zPazz (4.43) nebo / Paxx 0 0 \ (4.44) což vyjadřuje anizotropii náhodných rychlostí, ale nepřítomnost tangenciálních sil, tj. viskozity. V tomto případě máme rozdílnou absolutní teplotu Tai pro každý směr. 4.7 Vektor toku tepla Komponenta vektoru toku tepla qan je def. jako tok náhodné neboli tepelné energie skrz povrch s normálou h. Vezmeme x(r, v, ť) — maV2/2 a dostaneme qan = qa■« = -^pma(Va Va.n) (4.45) P 0 0 0 p ayy 0 0 0 p OLZZ Vektor toku tepla je tedy a ~ 2 í/Q = ^pmQ(142^)- (4-46) 4.8 Tenzor toku tepelné energie Standardně můžeme zavést tenzor 3. řádu toku tepelné energie Q a = pma (Va Va) (4.47) a jeho složky Qaijk = pma(VmVajVak) (4.48) Za použití kartézských souřadnic Qa = Qax®x + Qay®ý,+Qaz®ž (4.49) kde každé Qan (n = x, y, z) je tenzor 2. řádu ^axxn Qaxyn Qaxzn Qan — | Qayxn Qayyn Qayzn (4.50) ^azxn Qazyn Qazzn Abychom získali vztah mezi vektorem toku tepla qa a tenzorem toku tepelné energie Qa, přepišme vztah (4.45) jako 1 2 a tedy Qan — 0 Pma {(VLVan) + (VlyVan) + (V^Van)) (4.51) Qan — ^{^Qaxxn ~v~ Qayyn H~ Qazzn) (4.52) 36 Kapitola 4. Střední hodnoty a makroskopické veličiny 4.9 Tenzor toku celkové energie Analogicky jako při definici tenzoru toku tepelné energie Emjk(r, i) = pma(viVjVk)a, (4.53) což představuje jednu z 9 složek tenzoru toku celkové energie Ea{r,ť). Tato složka je vlastně součtem tří výrazů (viVjVk)a = (VmVajVak + umVajVak + uajVakVm (4.54) Uctk^aiVaj ^ai^aj^ak) ■ Neboť (uai) — uai a (Vai) — 0 a za použití (4.48) a (4.26) Pma(ViVjVk)a Pma^ai^aj^ak ("en Pa)ijk Qaijki (4.55) kde jsme použili zápis ("cn Pa)ijk ^ai-^ajk ^aj -^aki ^ak-^aij ■ (4.56) Takže vztah (4.53) můžeme zapsat ve tvaru tenzoru 3. řádu Éa(r,t) = pma(v® v®v)a = pmaua ua ua + (ua, Pa) + Qa (4.57) Tenzor celkového toku energie je tedy součtem toku energie přenesené konvektivnim pohybem částic (1. dva členy) a toku tepelné energie Qa způsobeného náhodným tepelným pohybem částic. 4.10 Vyšší momenty rozdělovači funkce První čtyři momenty rozdělovači funkce jsou hustota nQ(r, t), driftová rychlost uai(r,t), tenzor 2. řádu toku hybnosti naij(r,í) a tenzor 3. řádu toku celkové energie Eaijk(r,t): na(r,t) = í fa(r,v,t)d3v (4.58) J v um(r,t) = (vi)a = —j—-ívlfa(r,v,t)d3v (4.59) na(r,t) Jv nmi(r,t) = pma(viVj)a = ma ViVjfa(r,v,t)dv (4.60) J v Emjk(r,t) = pma{viVjVk)a = ma / vlvjvkfa(r, v,t)d3v (4.61) Jestliže uai(r,t) — 0, máme va — Va => z tenzoru toku hybnosti /7Q(r, í) se stane tenzor tlaku PQ a z tenzoru toku celkové energie Ea(r,t) se stane tenzor toku tepelné energie Qa. Jako formální rozšíření výše uvedených definicí, můžeme, pokud je to nutné, zavést vyšší momenty rozdělovači funkce MS..fc('.*)= í viVj...vkfa(r,v,t)d3v, (4.62) J v kde složky rychlosti Ví se v integrálu objeví TV-krát. Kapitola 5 Rovnovážný stav 5.1 Rozdělovači funkce v rovnovážném stavu Předpokládejme • pouze jeden druh částic • Fext = 0 • homogenně distribuované částice • časově nezávislé řešení BKR I) =° ^ 5í/Sraz Později odvodíme výraz pro rovnovážnou rozdělovači funkci pomocí Boltzmannova srážkového integrálu, ale nyní budeme jednoduše pracovat s obecným principem detailní rovnováhy tak, jak se používá ve statistické fyzice. 5.1.1 Obecný princip detailní rovnováhy a binární srážky Za rovnovážných podmínek je pravděpodobnost výskytu jakéhokoliv fyzikálního jevu rovna pravděpodobnosti jevu inverzního (kompenzace). fhďvďv! = /'/ídVdM (5.2) a protože můžeme dokázat, že d?vd3vi — d?v'd3t>í dostaneme MhW = nv')fíM) (5.3) Předpoklad, že rychlosti částic nejsou korelované je tzv. předpoklad molekulárního chaosu. Dobře platí pokud hustota plynu je tak malá, že střední volná dráha je větší něž charakteristický dosah sil mezi částicemi. Ačkoliv toto obecně není případ plazmatu, experiment ukazuje, že Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce je často použitelná. 5.1.2 Sumační invariant Je výhodné zavést koncept sumačního invariantu srážky: X(v) + XW = + X(v[) (5-4) Ze zákona zachování hmotnosti, hybnosti a energie získáváme tyto sumační invarianty: m + nii — m + mi (5-5) mv + míVi — mv'+ miv[ (5-6) ^mv2 + = ^m(v')2 + ^mi(t)'i)2 (5.7) (5.8) 5.1.3 Maxwell-Boltzmannovská rozdělovači funkce Použijeme přirozený logaritmus na rovnici (5.3) lnZ + ln/^ln/' + ln/í (5.9) 38 Kapitola 5. Rovnovážny stav => ln / je sumační invariant srážkového procesu =>■ lineární kombinace sumačních invariantů m, mv a mv2/2: ln/ = m(a0 + ai • v-a2v2/2), (5.10) kde ao, a± — a\xx + a\yy + a\yy a a2 jsou konstanty. ln/ = m[a0 + (a\x + a2y + a2J/(2a2)] - -ma2[(i)I - alx/a2)2 + (vy - aly/a2)2 + (vz - alz/a2)2 — m[a0 + a2/(2a2)] - ^ma2(v - ai/a2)2 (5-H) a definujeme konstanty lnC = m[a0 + a2/(2a2)] (5.12) v0 = 3i/a2, (5.13) takže / = Cexp[--ma2(v-v0)2], (5.14) což je Maxwell-Boltzmannovo nebo Maxwellovo rozdělení. 5.1.4 Určení konstatních koeficientů Při určení pěti neznámých konstantních koeficientů v Maxwellově rozdělení vycházíme z fd3v (5.15) 1 r. « Následně dostáváme u = (v} = - fvďv (5.16) ™ .A, ^nkT = inm(y2) = \m I fV2d3v. (5.17) 2 2 Z Jv Uvědomme si, že n a T jsou konstanty nezávislé na r a t. 5.1.5 Lokální Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce Často sice nejsme ve stavu termodynamické rovnováhy, ale velmi blízko. Dobrou aproximací je pak zavedení lokálni Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce 5.2 Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce Předpokládáme, že u — 0 nebo se pozorovatel pohybuje střední rychlostí plynu => v — V: /Wŕ.-n(^)3,2exp(-íg)ŕ„ ,5.20) 5.2.1 Rozdělení komponenty rychlosti g(vx)dvx = f(v)dvxdvydvz (5-21) J Vy J Vz a dosazením M.-B. rozdělovači funkce ^Ä-n(^)3/2exp(_S)^'/oo expr^)dVy Ľ exp(r^)dVz- (5-22) 5.2. Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce 39 Každý integrál je roven {2ttkT/m)1/2, takže 9Mdvx = n(—) exp^-—j dvx (5.23) =>■ každá komponenta rychlosti ma Gaussovské rozdělení, které je symetrické kolem [vi) — 0 pro i — x,y, z. Ale (v2) je kladné a vyjadřuje disperzi 1 í'+°° kT (v?) = - / ffMÄ = — ■ (5-24) Tento výsledek je v souladu s ekvipartičním teorémem \m{vj) = \kT (5.25) 5.2.2 Rozdělení velikosti rychlosti Protože M.-B. rozdělení je izotropní, můžeme definovat rozdělení velikosti rychlosti v = \v\. Přejdeme do sférických souřadnic d3v = v2 sin 9d9d(f>dv. (5.26) Rozdělovači funkce velikosti rychlosti F(v) F(v)dv= / / /\v)v2 sin 9d9d(f>dv (5.27) Je J

(5-36) 40 Kapitola 5. Rovnovážny stav 5.2.5 Kinetický tlak a tok tepla Z definice tenzoru kinetického tlaku P = Pm(y ® V) = m / V <8> V/Ä (5.37) a vektoru toku tepla q=\pm{V2V) = )fn jv2Vf<ŕv (5.38) dostaneme za použití M.-B. rozdělení P = pm({V2)x ®x+ (V2)ý ®ý + {V2)z (š z) = nÄ;T(x ®x + ý®ý + ž®ž) (5.39) a q = 0, (5.40) protože integrály s lichými integrandy jsou rovny nule. Skalární tlak je tedy p = nkT. (5.41) 5.3 Rovnováha za přítomnosti vnějších sil Plyn za rovnovážných podmínek vložený do pole konzervativních sil je popsán rozdělovači funkcí, která se liší od M.-B. rozdělovači funkce exponenciálním tzv. Boltzmannovým faktorem. Pole konzervativních sil popíšeme pomocí potenciální energie U(r): F(r) = -Vt/(r). (5.42) Protože jde pouze o funkci r, předpokládáme, že řešení BKR je ve tvaru f(r,v) = f0(yMr), (5.43) kde f o (v) je M.-B. rovnovážná rozděl, fce. Určíme neznámou funkci ip(r) z BKR za rovnovážných podmínek v přítomnosti konzervativních sil: v.V[f0(v)^(r)] --[VU(r)].Vv\fo(vMr)] = 0. (5.44) Ze vztahu pro f o (v) můžeme ověřit V,. f„(iA = - kT V„/o(u) = -SoW, (5-45) takže rovnice (5.44) se zjednodušuje fo(v)v.[VÍj(r) + ^(r)VU(r)} = 0 (5.46) a odtud Protože ď0 = Vi/> • dr, můžeme vztah (5.47) přepsat jako a řešení této rovnice je kde An určíme z V,(r) = A0exp[-^], (5.49) f(r,v)d3v = n(r), (5.50) takže n(r)=A0exp[-^]^/0(^V (5.51) Označíme n0 hustotu v oblasti, kde t/(r) — 0 za rovnovážných podmínek, takže no = / /o(«)^, (5-52) 5.4. Stupeň ionizace za rovnovážného stavu a Sahova rovnice 41 kde jsme museli zvolit Aq — 1. Za rovnovážných podmínek, pro u — 0 a v přítomnosti konzervativnívh sil máme tedy rozdělovači funkci ve tvaru /(r)W) = /0(«)exp[-—]=no(^) exp[----] Hustota částic v systému s touto rozdělovači funkcí je popsána vztahem: n(r) = n0exp[——]. Faktor exp[—U(r)/kT], který určuje nehomogenitu f (r, v) je B oltzmannův faktor. Důležitým případem v plazmatu je přítomnost elstat. pole E = -V0(r), kde (r) je elstat. skalární potenciál. Potenciálni energie je U (r) = #(r) a hustota částic s nábojem q v rovnovážném stavu (5.53) (5.54) n(r) = n0 exp[ kT (5.55) (5.56) (5.57) 5.4 Stupeň ionizace za rovnovážneho stavu a Sahova rovnice Ze statistické mechaniky můžeme určit stupeň ionizace plynu v termodynam. rovnováze za teploty T bez znalosti detailů ionizačního procesu. Pouze musíme rozumět pojmu ionizační energie (potenciál), který se udává v elektronvoltech. Hodnoty 1. ionizačního potenciálu některých atomů: Element U(eV) Helium (He) 24 59 Argon (Ar) 15 76 Nitrogen (N) 14 53 Oxygen (0) 13 62 Hydrogen (H) 13 60 Mercury (Hg) 10 44 Iron (Fe) 7 87 Sodium (Na) 5 14 Potassium (K) 4 34 Cesium (Cs) 3 89 V plazmatu se teplota elektronů, ale i jiných systémů často udává v elektronvoltech. Využijeme vztahu eT[eV] = kT[K], (5.58) takže 1 eV ~ 11600 K => pouze při velmi vysokých teplotách tepelná energie částice 3kT/2 dosáhne ionizační energie. Přesto můžeme dosáhnout značného stupně ionizace i při nižších teplotách <ř=> částice z ocasu Maxwellova rozdělení u vysokých energií mají dostatečnou energii! Při řešení problému ionizace vezmeme stav a jako stav ion-elektronového páru a stav b jako stav neutrálního atomu => U — Ua — Ub je ionizační energie. Použijeme vztah pro Boltzmanův faktor (5.54), ale musíme uvažovat kvantově-mechanicky: na ga r (Ua - Ub) m gb -expy kT (5.59) 42 Kapitola 5. Rovnovážny stav kde ga a gb jsou statistické váhy stavů s energiemi Ua a Ub, tj. degenerace těchto stavů. Pro konkrétní příklad systému majícího pouze tyto dva stavy je část a všech částic s vyšší energií Ua: na 1 na ' 1 (5.60) (na + nb) nb \ nb nebo z (5.59) a pro U — Ua — Ub {9al9b) exp(-U/kT) ^ (ga/gb)exp(-U/kT) + í Při řešení problému ionizace je tedy a je stupeň ionizace, který můžeme vyjádřit ze znalosti ionizační energie a teploty. Jak vypadá závislost stupně ionizace na teplotě? Teplota, při níž je a — 0.5 => ^exp(--i?-) = l, (5.62) gb kJ-i/2 tj- Ti/2=m£m (5-63) Procento částic v ionizovaném stavu se mění z téměř nuly na téměř jedničku v úzkém teplotním intervalu, který můžeme odhadnout. Aproximujme a(T) přímkou a hledejme interval AT, na němž a — 0 a a — 1: x 7 i 1/2 Ze vztahu (5.61) za předpokladu d{ga/gb)/dT — 0 Ua2 ída(T)\ \ dT ), T^ga/gb)exp(-U/kT) U (5.65) 4kT2/2 takže AT = 4Tl/2 = 4U Í5 66^ kln(ga/gb) [k\n{ga/' gb)]2 odkud vidíme, že čím vyšší je ga/gb, tím menší je AT. Degenerace ionizovaného stavuje mnohem vyšší => téměř skoková fce kolem T1/2. Degeneraci (váhy) ga a gb stavů musíme určit kvantově-mechanicky. Zde jen výsledek pro zanedbání malé interakce mezi volným elektronem a iontem a zanedbání vnitřních stupňů volnosti všech částic: 3/2 £a _ í 2irmekT\ _L gb \ h2 J n. \rir-) ~ (5-67) kde h je Planckova konstanta a rii je hustota iontů. Dosazením do (5.59) dostáváme Sahovu rovnici nt (2irmek\3/2 3/2 1 U — = ,2 T 1 — exP(-T7^)- (5-68) nn \ I rii kl Nebo vyjádřením konstatních faktorů, teploty T v eV a rii v m 3 ^ = 3.00 x 1027T3/2- exp(--). (5.69) nn n% T => Pokud je celková hustota n — rii + nn nízká, můžeme i při teplotách hodně pod ionizační energií dosáhnout značného stupně ionizace. Sahovu rovnici můžeme přepsat do obvyklejšího tvaru s využitím stupně ionizace a — rii/n — ne/{n — ne) a2 1 / 2TnnekT\3/2 . V 1 — a n y-^2—) exp[-kŤ exp(-—). (5.70) Kapitola 6 Interakce částic v plazmatu 6.1 Úvod Slova srážka a interakce mohou být používány v mikroskopickém světě jako synonyma. Srážky dělíme na • elastické, tj. pružné - platí zákon zachovaní hmotnosti, hybnosti a energie takovým způsobem, že nedochází ke změnám vnitřních stavů částic, vzniku ani zániku částic. • neelastické, tj. nepružné - změna vnitřního stavu několika nebo všech zúčastněných částic, možnost vzniku nebo zániku částic; rekombinace nabitých částic za vzniku částice neutrální; záchyt nabité částice částicí neutrální za vzniku větší nabité částice; energie elektronu atomu se může zvýšit => excitace elektronu do vyššího stavu nebo dokonce oddělení elektronu od atomu, tj. ionizace. V plazmatu musí především rozlišovat • interakce mezi nabitými částicemi: podle Coulombova zákona, tj. závislost 1/r2 =>• dalekodosahové interakce => mnohonásobné interakce • interakce mezi nabitou částicí a neutrálem nebo dvěma neutrály: silové pole neutrální částice dostatečně silné pouze v oblasti elektronového obalu => krátkodosahové interakce => neutrální částice neinteragují často s dalšími částicemi a naprosto zřídka s více částicemi zaráz => především binárni srážky Mnoha-částicové Coloumbovské interakce můžeme popsat také jako současné binární interakce, v praxi jako sérii následných binárních interakcí s malým úhlem. Tyto interakce jsou důležité pro chování plazmatu. Nicméně ve slabě ionizovaném plazmatu nehrají několikanásobné interakce velkou roli a jednoduché binární srážky adektávně popisují jevy v plazmatu. Největší roli v těchto typech plazmatu pak hrají elektrony, protože rychle reagují na el. a mg. pole. 6.2 Binární srážky Uvažujme pružnou srážku dvou částic o hmotnosti m a m,\ o rychlostech v a V\ před srážkou a v' a v{ po srážce. V následujícím textu budou veličiny s ěárkou označovat veličiny po srážce. Můžeme pracovat v laboratorním systému souřadnic, ale konvečně spíše v systému, kde částice m je v klidu a částice mi se přibližuje relativní rychlostí g = v1 v. (6.1) Po srážce je relativní rychlost g'=v[- (6.2) Záměrná vzdálenost b je definována jako definována jako minimální vzdálenost přiblížení, pokud by nedošlo k interakci. Uhel rozptylu je % a úhel orientace orbitální roviny (nebo roviny srážky) vzhledem k nějakému danému směru kolmému na orbitální rovinu je e. Rychlost těžiště srážejících se částic před srážkou je mv + mxvi c0 =-■- (6.3) m + mi a po srazce , mv' + miv[ m + mi Počáteční rychlosti můžeme vyjádřit pomocí Cq a g (6.4) v = c0 - — g (6.5) m i/i = c0 + —g, (6.6) 44 Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu kde /i označuje redukovanou hmotnost Podobně obdržíme i rychlosti po srážce H=-;-• (6.7) v' = c>-^g> (6.8) m v\ = c> + ^g>. (6.9) Ze zákona zachování hybnosti během pružné srážky mv + m\v\ — mv' + m\v[ (6.10) nebo ze vztahů (6.3) a (6.4) (m + mi)c0 — (m + mi)c0, (6-H) takže c0 = c0 (6.12) Ze zákona zachování energie během pružné srážky máme — (mv2 + TOif2) — — [miv ')2 + m\[v ,1)2] (6.13) a přímou úpravou vztahů (6.5), (6.6), (6.8) a (6.9) ^(mv2 + mxv\) = i(m + toi)cq + ^Mff2 (6.14) ^m("')2+"íiM)2] = ^(^ + ^i)có2 + ^Mff'2- (6-15) co — c0 = (6-16) tedy velikost, ale nikoliv směr, je zachována při binárních pružných srážkách. Uhel x mezi g a g' je ú/ieí rozptylu nebo také deflekční úhel. Abychom dostali vztah mezi vektory g a g', zvolíme např. kartézké souřadnice s osou z ve směru g. Máme tedy ffx=ffy=0 (6.17) gz = g = g' (6.18) g'x — g sin x cos e (6.19) = g sin % sin e (6.20) g'z = gcosx, (6-21) kde e určuje relativní orientaci roviny srážky. Pokud tedy známe počáteční rychlosti a úhel rozptylu x můžeme určit rychlosti po srážce. Opačně, pokud známe konečné rychlosti a x, můžeme určit původní rychlosti. Tento fakt umožňuje jednoduše uvažovat o inverzní srážce, protože x je stejné jako pro přímou srážku (b, vzájemná síla a g jsou stejné). Uhel rozptylu je jediná veličina, která závisí na detailech srážkového procesu. V případě vzájemné síly, která závisí pouze na vzdálenosti mezi interagujícími částicemi, x závisí na následujících parametrech: 1. zákon vzájemného silového působení 2. velikost vzájemné rychlosti g 3. záměrná vzdálenost b. 6.3 Dynamika binární srážky Dynamika binární srážky je řízena zákonem vzájemného silového působení. Pro každé b existuje odpovídající x a j ej icli vztah je závislý na zákonu vzájemných sil. Tento vztah je obsažen v diferenciálním účinném průřezu definovaném v odstavci 6.5. 6.3. Dynamika binární srážky 45 Uvažujme srážku dvou částic m a m\ v souřadném systému částice m. Polohový vektor částice m\ bude r. Předpokládáme, že síla interakce je centrální síla, tj. F(r) = F(r)r a potenciální energii lze vyjádřit takto (konzervativní síla): F(r) = -Vt/(r) dU{r) (6.22) (6.23) Pro centrální sílu je torze N — r x F(r) nulová. Torze je časová změna momentu hybnosti L — r x p .. dl- =>■ moment hybnosti je pohybová konstanta; r je stále kolmé na konstantní směr L => pohyb leží v rovině. Použijeme polární souřadnice (r, 6) a uvědomíme si, že jednotkové vektory ŕ a 6 závisí na 6: dr dr _ dr dr _ dŕ dŕ? — = —r + r— = —r + r--. dt dt dt dt dd dt Protože dr/dô — 6 nebo jinak zapsáno dr dr _ dŕ? ~ — = —r + r—6 dt dt dt r — r r + rt (6.24) (6.25) (6.26) (6.27) Trajektorii částice nalezneme ze zákona zachování energie a momentu hybnosti pomocí analogie s jednočásticovým problémem. Kinetická energie relativního pohybu je Ze ZZE £k = ÍMŕ-ŕ=ÍM(ŕ2+r2ŕ?2). l-^+r262) + U{r)=l-M2. Potřebujeme vyjádřit 9. Moment hybnosti vzhledem k počátku je dán L — r x (fiř) — fj,r29(r x Š). Původní hodnota momentu hybnosti je L — (ir x g — (ibg{r x 0), a tedy r26 = bg. Pomocí vztahu (6.29) získáme diferenciální rovnici pro dráhu r{&). Napíšeme dr dr dd dt dd dt ' použijeme (6.31) a (6.29) k eliminaci d6/dt a dr/dt. Diferenciální rovnice trajektorie: b2 dr \ 2 r4 r což přeskupíme takto dô d0 = ±- 1 ^ 2U(r) 1 _ Ď2 _ 2U(r) r2 [ig2 -1/2 dr. Výběr znaménka se musí udělat z fyzikálního náhledu. Kladné znaménko se použije pro 6 > 6m, záporné pro kde 6m je úhel v bodě největšího přiblížení (vertexa trajektorie). Polohový vektor v tomto bodě označíme rm. Vzdálenost největšího přiblížení rm dostaneme z (6.33), když si uvědomíme dr/d6 — 0 pro r — rm: 1 b2 2U(rm) ^ Q r?n lig2 (6.28) (6.29) (6.30) (6.31) (6.32) (6.33) (6.34) < dm, (6.35) 46 Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu Obrázek 6.1: Schematické znázornění srážky tuhých koulí. tedy = b \ 2U(rm)' -1/2 (6.36) Abychom určili úhel rozptylu x, uvědomme si, že a integrujme vztah (6.34) od 6m po jiný úhel 6: x = tt-29n ± ^ x_&__ 2U(x) x2 ng2 -1/2 (stejná konvence znamének). Pro r —> oo máme 9i\ —> 0, zatímco 9i+\ —> 28m, takže ľ00 b_ ľ P 2U(r) Jrm r2 r2 ll92 -1/2 a úhel rozptylu je x(6,<7) = 7r-2 1 _ lP_ _ 2U(r) r2 ng2 dr -1/2 dr. (6.37) (6.38) (6.39) (6.40) Abychom mohli vypočítat x musíme znát záměrnou vzdálenost b, počáteční rychlosti g a vzájemnou potenciální energii interagujících částic U(r). 6.4 Vyjádření úhlu rozptylu Ukážeme si dvě konkrétní použití vztahu (6.40) k určení úhlu rozptylu x pomocí záměrné vzdálenosti b a počáteční rychlosti g. 6.4.1 Dvě perfektně elastické tuhé koule Uvažujme srážku dvou perfektně elastických tuhých koulí o poloměru Ri & R2. Potenciální energie je dána U(r) = Opror > Rx + R2 (6.41) — 00 pro r < Ri + i?2. 6.4. Vyjádření úhlu rozptylu 47 Protože koule nemohou do sebe pronikat je jejich vzdálenost r > Ri + R2 (rm — Ri + R2) a tedy zjednodušíme vztah (6.40) jako 1 - -1/2 dr. Použijeme substituci y — b j r: což dává b/r„ X = *-2 (í-yTL/Zdy, Jo X — 7ľ — 2 arcsin ■ Pro b > i?i + i?2 nedochází k žádné interakci =>• rm — b. Pro b < Ri + R2 se koule sráží =>• rm — Ri + R%. b X — 7T — 2 arcsin Rl + i?2 = 0 pro b > i?i + i?2 pro 6 < i?i + i?2 (6.42) (6.43) (6.44) (6.45) 6.4.2 Coulombovský interakční potenciál Uvažujme případ Coulombovského pole, jehož interakční potenciální energie je 1 qqx U(r) = 47T£n r (6.46) kde q a qi jsou elektrické náboje částic o hmotnosti m a m\. Dosazenín do vztahu (6.40), kde jsme již vzali konkrétní vyjádření potenciální energie, tedy rm — b2/(—b0 + y/bq + b2) dostaneme X(b,g) =tt-2 r2 2TT£oiig2r -1/2 Vzdálenost nejbližšího přiblížení rm můžeme dostat z (6.36) a (6.46). Zavedeme konstantu qqi b0 = Airsong2 (6.47) (6.48) takže bg vyjadřuje vzdálenost, na které je el. potenciální energii interakce dvakrát větší než relativní kinetická energie v nekonečnu. Substitucí proměnné y — í/r a použitím bg ve vztahu (6.47) dostaneme x(b, g)=v-2b (-6V - 2b0y + l)-í,zdy. Jo Použijeme standardní vztah pro integraci (Rektorys): (ax2 + fix + ry)~1/2dx -a -2ax — fi (fi2 - 4a7)V2 kde v našem případě a — —b2, fi — — 2bg a 7 — 1. Použijeme meze integrálu, kde rm je dáno vztahem (6.36): x(b, g) — 2 arcsin Tato rovnice se ekvivalentně dá přepsat jako (b2 + b2)V2 (6.49) (6.50) (6.51) (6.52) • X — 71 =^ b — 0 • x = V2 => b = bo • % = 0 ^> 6 ^ 00 • znaménko náboje částic stejné => bg a x Jsou kladné • znaménko náboje částic různé => bg a x Jsou záporné 48 Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu 6.5 Účinný průřez Zatím interakce pouze dvou částic ALE účinný průřez definován ve smyslu svazku totožných částic dopadajících na terč => mějme svazek částic o hmotnosti m\ rovnoměrně rozprostřených v prostoru dopadajících rychlostí g — V\ — v na částici to. Částice se záměrnou vzdáleností b se rozptylují pod úhlem x, se vzdáleností b + db pod úhlem x + dx- Počet částic rozptýlených za ls do (x, X + dx) závisí na toku částic ľ. 6.5.1 Diferenciální účinný průřez Počet částic dN rozptýlených za jednotku času db do prostorového úhlu díl vyjádřeného pomocí úhlů % a e: ^ = a(X,e)Tdíl, (6.53) kde ít(x, e) je diferenciální účinný průřez nebo úhlová rozdělovači funkce. Stejný počet částic dopadá před srážkou z oblasti dané intervaly (b, b + db) a (e, e + de): ^=Tbdbde. (6.54) dt A tedy (7(x,e)dfl — b db de. (6.55) Protože díl — smxdxde: a(x, e) sm xdx — b db (6.56) a dále v(x,e) db_ dx (6.57) smx Absolutní hodnota je použita, protože b klesá, když x stoupá ALE dif. účinný průřez vyjadřuje kladnou veličinu - počet rozptýlených částic. Veličinu db/dx vyjádříme ze vztahu pro x(b,g) (6.40), jestliže budeme znát U(r). u(xi£) má rozměr plochy. 6.5.2 Celkový účinný průřez rozptylu ct je definován jako počet částic rozptýlený za jednotku času a jednotku toku částic do všech směrů od rozptylového centra: f t — j (y(x,e)d,íl— j de er(x, e) sin^c^. (6.58) Jn Jo Jo Účinný průřez samozřejmě závisí na relativní rychlosti g. Ve speciálním případě, kdy je interakční poteciál izotropní (např. Coulombovský), máme crt=27r/ a(x)smxdx- (6.59) ■Jo 6.5.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti Účinný průřez lze definovat pro různé interakční procesy. Jeden z důležitých je přenos hybnosti: prenos hybnosti za sekundu m dopadající tok hybnosti ' (6.60) Hybnost před srážkou je T/ig. Po srážce je hybnost ve směru dopadu /igcosx, takže přenesená hybnost je /ig(l — cosx). Celkový přenos hybnosti všemi dopadajícími částicemi Ypg / (1 -cosx)v(x, e)dft, (6.61) Jn a protože celkový tok hybnosti dopadajících částic je T/ig om = / (1 - cosx)cr(x, e)rffi. (6.62) Jn V případě izotropní interakce a využitím díl — sin xdxde am = 2tt / (1 - cosx)cr(x)sinxcžx. (6.63) Jo 6.6. Další srážkové parametry 49 Obrázek 6.2: Hybnost před a po srážce. Protože cr(x) můžeme chápat jako úhlovou rozdělovači funkci lze ji brát jako váhovou funkci pro výpočet střední hodnoty jakékoliv funkce F(x) závislé na úhlu rozptylu: což můžeme psát jako a podle definice střední hodnoty (F(X)) = 2tt fQF(x)y(x)dn (F(x)) = — I F(x)a(x)smXdx °t Jo 2/4 a crt = ttD2. Uvědomme si, že pro srážku tuhých koulí existuje mezní hodnota b, nad kterou nedochází ke srážce. Právě toto způsobí, že celkový účinný průřez ot není nekonečná hodnota. 6.7.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti Ze vztahu (6.63) pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.78) am = 2-rr / -(i?!+i?2)2(l-cosx)sinxáx=-tt(í?i+i?2)2( / sinx^X-/ cos x sin x^x) ■ (6.80) Po integraci 0, bude celkový účinný průřez ot nekonečný. Ze vztahů (6.59) a (??) I ? / sm x (7t = 2Tr cr(x) sin xdx = 2nb0 ——--^dx, (6.89) kde Xmin — 0. Integrováním °t=*%[ . 2, 1 ... -1], (6.90) Sm (Xmm/2) což jasně dává ot = oo pro Xmin = 0. Příspěvek částic s velmi malými deflekčními úhly činí tedy celkový účinný průřez nekonečným. 6.8.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti Substitucí (??) do (6.63) dostáváme r ? r sinx (7m = 2ir (1 - cosx)cr(x)smxdx = 2tt60 / ——--dx, (6.91) JXram Jxrnm V1 COS X) kde opět Xmin = 0a integrací máme om = 4^2 ln[ . 1 ], (6.92) Sm (Xmm/2) což opět dává crm = oo pro Xmin — 0. 6.9 Stínění Coulombovského potenciálu Nekonečné hodnoty pro ot a um pro Coulombovský potenciál jsou interpretovány jako chybějící mezní hodnota záměrné vzdálenosti b (malé x velké b). Abychom tedy získali rozumné hodnoty a t a um musíme nějak modifikovat naše úvahy a na základě rozumného důvodu zavést max. hodnotu záměrné vzdálenosti b — bc. Ze vztahu ct(x, e)díl — bdbds a definice celk. účinného průřezu (6.58): at = 2tt / c b db, (6.93) Jo kde jsem zavedli max. hodnotu b — bc, takže at = irb2c. (6.94) Zavedení max. hodnoty •<=> nedochází k interakcím pro částice ve vzdálenostech b > bc Rozptyl pro úhly (tt/2, tt), tj. (0, bg) se obvykle nazývá rozptyl pod velkými úhly nebo těsné srážky. Pokud se budou brát v úvahu pouze těsné srážky, máme ^t.velke = 71^0 ! (V2 < X < 71"), (6-95) 52 Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu kde b0 = qq1/(4Trsoiig2). Víme, že v případě nabitých částic v plazmatu dojde k jejich stínění oblakem částic s opačným znaménkem. Míra efektivnosti tohoto stínění je Debyeova délka: XD = (e-Élý. (6.96) rioez Koule o poloměru A^i je Debyeova koule. Vezmeme-li do úvahy toto stínění: tf(r) = -^-^exp(--^) (6.97) 4-7re0 r ad tedy pro r A^i je to téměř nula. Výpočet crt za použití Debyovské potenciální energie je velmi komplikovaný a vyžaduje numerické řešení. Je ovšem možné použít alternativní zjednodušující přístup, který vede k dobrému souhlasu s řešením numerickým: vezmeme Coulombovský potenciál pro r Ač => bc — Xd- Obecně platí Xd > b0. (6.98) Rozptyl pro bg < b < Xd vedoucí k % < 7r/2 se nazývá rozptyl pod malými úhly a jeho příspěvek k celk. účinnému průřezu je . (6.100) Cf,velké bQ Oq => důležité jsou srážky způsobující rozptyl pod malými úhly, nemůžeme je zanedbat a z integrace pro bc — Xd => at = ttX2d (6.101) Zavedeme max. hodnotu bc — Xd i pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.92) máme A2 (rm = 2^2ln(l+-f), (6.102) protože sin(ixc) = (l + |r1/2. (6.103) Použijeme označení A=^, (6.104) přičemž A ^> 1, takže crm=47r^lnA (6.105) Funkce A se mění relativně pomalu, pro většinu laboratorních typů plazmatu je ln A — 10-20. Abychom mohli vypočítat A uvažujme zjednodušeně: • 1 = -e, qi = e • uq hustota elektronů a iontů • T teplota obou • Maxwell, rozdělení pro oba typy částic, žádná driftová rychlost (í?2) = — / / íeíiÁVi - v)2d3vd3Vl = — / fe(-+ v2)d3v =- (6.106) a tedy 2 - ■ / - ^ Jti Juj n0 J v mi bo ~ ^eon(g2} ~ IWÍ (6'107) tj- A = í27TJkTXD = 127m0X3D = 9WD, (6.108) kde jVd je počet částic v Debyově kouli. 6.9. Stínění Coulomhovského potenciálu 53 Tabulka 6.1: Hodnoty parametru A pro teploty T v K a ne v cm T/ne 103 106 109 1012 1015 1018 1021 102 12.8 9.43 5.97 103 16.3 12.8 9.43 5.97 104 19.7 16.3 12.8 9.43 5.97 105 23.2 19.7 16.3 12.8 9.43 5.97 106 26.3 22.8 19.3 15.9 12.4 8.96 5.54 107 28.5 25.1 21.6 18.1 14.7 11.2 7.85 108 30.9 27.4 24.0 20.5 17.0 13.6 10.1 Kapitola 7 Makroskopické transportní rovnice 7.1 Momenty Boltzmannovy rovnice Pokud známe rozdělovači fci => makroskopické veličiny jako hustota, střední rychlost, teplota apod. V termodynamické rovnováze => Maxwell-Boltzmannova rozd. fce. V jiném případě musíme řešit komplikovanější BKR. ALE rovnice pro časové a prostorové změny makroskopických proměnných mohou být odvozeny z BKR bez jejího řešení => makroskopické transportní rovnice Makroskopické veličiny souvisí s momenty rozdělovači fce a trasportní rovnice pro tyto proměnné získáme z momentů Boltzmannovy rovnice. První tři momenty: vynásobením rovnice výrazy ma, mav a mav2/2 a integrací přes rychlostní prostor => zákon zach. hmotnosti, hybnosti a energie. Vždy se nám ale objeví nějaká neznámá makrskop. veličina navíc, takže abychom mohli soustavu vyřešit, musíme udělat nějaké vhodné předpoklady o nejvyšším momentu rozděl, fce. V této kapitole se konstruuje pro každý typ částic vlastní transportní rovnice. Existuje mnoho možností vytvoření soustavy transportních rovnic podle zjednodušujících předpokladů, např. model studeného nebo teplého plazmatu. 7.2 Obecná transportní rovnice Uvažujme fyzikální vlastnost částic v plazmatu x(v) a vezměme obecnou BKR: ^ + „.V/„ + ..V./„=(^)__. (7.1) Každý člen BKR vynásobíme x(v) a z analogie výpočtu střední hodnoty x(v) uděláme totéž s celou BKR A/"j3„, , í-----u; j3„, , /\,„Y7 f rfi„, - (df<*\ rfi„ X^ř + / xv'vfa + / xaV--^dv = X{^fl dv' (7-2) sraz Dále upravíme každý člen rovnice zvlášť. První ělen: Poslední člen je nula a z definice střední hodnoty: Druhý ělen: 8 f 8 X^fd3v = m(na(X)) (7.4) (7.5) í xv ■ Vfad3v = V • ( í vXfad3v) - ľ favVXd3v - ľ faXV ■ vd3v J v J v J v J v Clen V • v a V x Jsou nula: / xv ■ Vvad3v = V • (na(Xv)a) (7.6) J v Třetí ělen: / xa ■ Vvfad3v = / V„ • aXfad3v - / faa ■ \7vXd3v - / fax^v ■ ad3v (7.7) J v J v J v J v 7.3. Zákon zachovaní hmotnosti 55 Poslední integrál vymizí pokud V„-a=-V„-F = 0, (7.8) ma složka vektoru sily Fi nezávisí na příslušné složce rychlosti ví, kde i — x, y z. Toto omezení nevylučuje mg. silu Foc = qav x B: Fx = qa(vyBz - vzBy) (7.9) První integrál na pravé straně rovnice (??) je součtem tří trojných integrálů: J Vv ■ (axfg)d3v = J J J J^(aixfa)dvxdvydvz. (7-10) Pro každý z těchto tří integrálů (i — x, y, z) máme J J J Q^~(a'xXf^dvxdvydvz = J J dvydvz(axxfa\-^) = 0, (7.11) protože fa(r, v, t) —> 0 pro Vi —> ±oo. Protože první a poslední integrál vztahu (7.7) je roven nule, máme / Xa ■ Vvfad3v = -nQ(a • V,,x)Q (7.12) Kombinací předchozích výsledků dostáváme obecnou transportní rovnici d d ^KWq) + V • (na(xv)a) -na(a- \7vX)a = df (na(x)a) kde člen na pravé straně označuje rychlost změny veličiny x na jednotku objemu v důsledku srážek: ^(na(x)a) 7.3 Zákon zachování hmotnosti 7.3.1 Odvození rovnice kontinuity z BKR Rovnici (7.13) zde využijeme pro x — ma- Vyjádříme a dostaneme rovnici kontinuity kde pma — nama a srážkový člen (7.13) {x)a = ma (7-15) (xv)a = ma(v)a = maua ^vX — V„mQ = 0 %^ + V • (Pmaua) = SQ, (7.16) ot q (ídfa\ rfi (dpma\ vyjadřuje rychlost produkce nebo ztráty částic a na jednotku objemu v důsledku interakcí. Pokud k nim nedochází d p (7.17) dt neboli + V ■ (pmQuQ) = 0 (7.18) ^ + V • (naua) = 0 (7.19) ot Rovnici zákona zachování náboje odtud dostaneme násobením nábojem qa dp, df i V • Ja — 0, (7.20) kde pa — naqa je hustota náboje a Ja — paua je hustota el. proudu. 56 Kapitola 7. Makroskopické transportní rovnice 7.3.2 Odvození pomoci dynamiky tekutin Uvažujme objem tekutiny V uzavřený plochou S s elementem plochy dS — ňdS. Střední počet částic opouštějící objem V skrz dS za jednotku času je naua ■ dS (7.21) =>• počet částic opouštějící celý objem: Celkový počet částic v objemu: naua ■ dS. (7.22) S nad3r. (7.23) v Pokud nedochází k produkci nebo ztrátě částic v objemu, musí platit d s Ul Jv naua ■ dS = / nadór (7.24) a za použití Gaussova teorému divergence naua ■ dS — / V(naua)crr (7-25) J s Jv dostaneme ľ č)n Jv ~W + V'(n«"«) d3r = 0, (7.26) což musí platit pro libovolný objem V, takže dostáváme rovnici kontinuity (7.19). 7.3.3 Srážkový člen Procesy spojené se změnou počtu částic => obvykle nepružné srážky (ionizace, rekombinace, zachycení náboje). Jak je můžeme reprezentovat v rci kontinuity: • efekt ionizace - rychlostní koeficient pro ionizaci K\, tj. počet párů elektron/iont produkovaných za jednotku času je Kineng, kde ng je hustota neutrálního plynu. Ve slabě ionizovaném plazmatu je možné považovat ng za konstantní a počet vzniklých párů zapsat pomocí srážkové frekvence ^;ne • efekt rekombinace - rychlostní koeficient pro rekombinaci KT, tj. úbytek párů elektron/iont za jednotku času, za předpokl. jednoho druhu iontů (n; — ne) je KTn2 • efekt záchytu záporného náboje - rychlost úbytku elektronů Kanen& neboli podobně jako pro ionizaci v&ne Se — me(y\ne - KTnl - vane) (7.27) 7.4 Zákon zachování hybnosti 7.4.1 Odvození pohybové rovnice Nahradíme x(v) výrazem mav v (7.13). Vezmeme-li v úvahu, že v — Va + ua a (Va) — 0, můžeme členy transportní rovnice upravit takto: 1. člen 2. člen d , i \ \ dua dpma , . T^(pma{v)a) = pma-Qjr + ua (7.28) V • (pma(v ® v)a) = V • [pma(ua ua + ua l^) je tenzor kinetického tlaku Va: V • (pmQ(l/Q ® 1/Q» — V • "Pá (7.33) Odvozená rovnice již obsahuje makroskopické veličiny, ale není vhodná pro praktické výpočty ani zapamatování. Takže ještě budeme upravovat dále. Třetí člen na levé straně rovnice (7.31) můžeme rozepsat takto d d d ~ô (Pma^axUa) 7^ (Pma^ayUa) 7^ * ox oy oz V • {pmaua ® ua) = —{pmauaxua) + —{pmauayUa) + — (pmqmQZuQ) = (7.34) P ma \ l^ax ^ ~r ^qii ^ ~t~ WQ2 * ax c*y oz ^i^PmoL^OLx) ^i^Pmct^cty) ^i^Pmct^ctz) dx dy dz — P ma ma "q j Dosazením (7.33) a (7.34) do (7.31) a za použití rovnice kontinuity (7.16) dostáváme d u Pmai^r + ("« ' V)wQ] + V ■ PQ - na(F)a = Aa uaSa. (7.35) ot Clen v hranaté závorce můžeme zapsat pomocí totálního diferenciálu: což odpovídá časové změně pozorované ze souřadného systému pohybujícího se střední rychlostí ua. Jestliže uvažujeme Lorentzovu sílu a gravitační sílu, je poslední člen rce (7.35) -na(F}a = -naqa(E + ua x B) - namag, (7.37) kde pole E a B představují vyhlazené makroskopické pole. Pohybová rovnice je tedy Pma^ = naqa(E + ua x B) + pmag - V • Va + Aa - uaSa (7.38) Fyzikální význam: časová změna hybnosti v každém elementu kapaliny je způsobena externími silami, třením (viskozitou) a tlakovými silami samotné kapaliny a dále vnitřními silami, které odpovídají interakcím => z.z. hybnosti Často můžeme viskozitu zanedbat, tj. neuvažujeme nediagonální členy Va. Pokud je navíc rozdělovači funkce izotropní, jsou diagonální členy Va stejné a rovné skalárnímu kinetickému tlaku pa. Zanedbáme-li dále člen vedoucí k tvorbě nebo zániku částic, máme Pma-jr = na1a{E + ua x B) + pmag - Vpa + Aa (7.39) at 7.4.2 Srážkový člen Clen Áa označuje rychlost změny střední hodnoty hybnosti na jednotku objemu způsobenou srážkami. Důsledek zachování celkové hybnosti při elastických srážkách stejných částic => Áa — 0. ALE pro kapalinu složenou z různých částic Aa^0. Často používaný vztah pro přenos hybnosti srážkami (nemusí platit vždy, předp. Maxwell, r. fce a relatině malý rozdíl středních rychlostí částic): Aa = -pma ^2 vaí3(ua - Ufj), (7.40) 0 kde konstanta úměrnosti vap je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi částicemi a a j3. Protože během srážky se musí zachovávat celková hybnost pmaVaj3{ua - Up) + pmj3Vj3a{Uj3 - Ua) = 0. (7-41) ^> PmaVafj — PmfjVfia (7.42) 58 Kapitola 7. Makroskopické transportní rovnice 7.5 Zákon zachovaní energie 7.5.1 Odvození rovnice pro transport energie Nahradíme x(v) výrazem mav2/2 v (7.13). Platí pro 1. člen na{x)a = 7^pma{V2) + ^pmau2a = ^(3pa + pmau2a) (7.43) a ve 3. členu ^vX = ^ma\7v(v.v) = mQ(v • V„)v = mav (7.44) Členy na levé straně obecné transportní rovnice (7.13) jsou tedy 1. člen 2. člen 3. člen V • (na(xv)a) = V • [^pma{(v ■ v)v)a] -na((F/ma) ■ Vvx)a = -na(F ■ v)a (7.45) (7.46) (7.47) Součtem těchto členů získáme rovnici zachování energie 3 dpa d 1 1 2~dT + ^2PmaU^ + V ' ^2Pma^V ' ~ na^F ' = Mcn kde Ma je rychlost změny hustoty energie v důsledku srážek Ma = ^ma j v2(-^)STazd3v = 9(5PmQ(w2)Q) <9í (7.48) (7.49) Alternativně se může rovnice také zapsat jinak, viz dále. Vezměme nejprve část třetího členu (7.48) a v — Va + ua: ([(ua + Va) ■ (ua + Va)](ua + Va)) = (7.50) = ((u2a + 2ua ■ Va + V2)(ua + 14)) = = u2aua + (V2)ua + 2(VaVa) ■ ua + (V2Va). Clen pma(Va ®Va) představuje tenzor kinetického tlaku Va a ^pma(V2Va) je vektor toku tepla qa. Ukázali jsme, že \pma{V2) = 3pQ/2. Proto v • [^Pma((v ■ v)v)a] = V • [^pmau2aua + ^(3pa)ua+Va ■ ua + qa] = (7.51) = V • (^pmau2aua) + ^(3pQ)(V • uQ) + i(uQ • V)(3pQ) + V • (Pa ■ ua) + V • qa Dosazením do (7.48) a za použití označení d/dí pro úplný diferenciál, máme rce (7.64) se redukuje na difúzni rovnici pro Ta ^nak^ = V-(KVTa), (7.66) kde K je koeficient tepelné vodivosti (souvisí s koeficientem viskozity) • srážkový člen je nula nebo zanedbatelný; neviskózní kapalina, tj. tenzor tlaku se redukuje na skalární tlak; neuvažujeme tepelnou vodivost (qa — 0); vztah (7.61) => + 3|a (v . Ua)+paiy . Ua) = o. (7.67) Dosazením (7.63) za V • ua pro Sa — 0 dává d , 3pa. 5po; izotermální rovnice energie. Vezmeme stavovou rovnici pro ideální plyn p — nkT a pro T — konst a rovnice, kterou potřebujeme je Vp = kTVn (7.77) Také platí, že dp = kTdn = (p/pm) dpm = dpm, (7.78) kde izotermální rychlost zvuku je Vt = (p/pm)1/2 = (fcT/m)1/2 (7.79) 7.5. Zákon zachovaní energie 61 7.5.4 Model studeného plazmatu • 1. moment BKR => rce kontinuity => hustota částic na (nebo hustota hmotnosti pmaiPha) ve vztahu s driftovou rychlostí ua => 2 makroskopické veličiny => potřebujeme 2 makroskopické transportní rce • 2. moment BKR => pohybová rce (rce zachování hybnosti) => driftová rychlost ua ve vztahu s hustotou částic na a tenzorem kinetického tlaku Va => 3 makroskopické veličiny => potřebujeme 3 makroskopické transportní rce • 3. moment BKR => rce energie => neznámé veličiny na, ua, Va a vektoru toku tepla qa =>■ Zadný konečný systém transportních rovnic nemůže tvořit uzavřený systém, takže musíme zavést nějaké aproximace. Nejjednodušší model je model studeného plazmatu. Model používá pouze rovnici kontinuity a hybnosti. Tenzor tlaku se položí roven nule, tj. zanedbává se vliv tepelného pohybu částic a síla způsobená změnou tlaku. Máme tedy dvě transportní rce: dp„ dt V • {pmaUa) — Sa (7.80) Pma^- = naqa(E + ua x B) + pmag + Aa - uaSa (7-81) Pokud můžeme navíc zanedbat vznik a ztrátu částic a => Sa — 0. Vztah používaný pro srážkový člen pro přenos hybnosti Aa je dán vztahem (7.40). Model vlastně předpokládá, že teplota plazmatu je nulová, takže rozdělovači fce je Diracova delta fce fa(r, v,t) = d\v - u(r,í)|. 7.5.5 Model teplého plazmatu Zde se uvažují tři transportní rovnice a ve třetí rci se zanedbává člen s vektorem toku tepla V • qa — 0. Tato aproximace se nazývá adiabatická aproximace. Protože tepelná vodivost je nula, není plazma viskózni a nediagonální členy tenzoru tlaku jsou nula. Dále s předpokládá, že diagonální členy jsou stejné, a tedy V • Va — V • pa. V modelu teplého plazmatu tedy máme tyto tři transportní rce dpm, dt V • (Pmaua) = Sa (7.82) Prna^- = naqa(E + ua x B) + pmag - Vpa + Aa- uaSa (7.83) ft(^) + ^(V-ua)=Ma-ua-Aa+ l-ulSa. (7.84) Pokud navíc předpokládáme, že změna energie v důsledku srážek je zanedbatelná, redukuje se rovnice (7.84) na adiaba-tickou rovnici PaPml = konst. (7.85) Kapitola 8 Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu 8.1 Makroskopické proměnné pro plazma jako vodivou kapalinu Uvažujme plazma jako celek a celkové makroskopické veličiny. Hustota hmotnosti: Pra = ^ Pma = X! ncjna, (8.1) a a hustota náboje: p = ^2naqa, (8.2) a střední rychlost kapaliny u: pmu = ^2pmaiia. (8.3) a Střední rychlost každého typu částic uvažovaná vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u je difúzni rychlost wa Wa = Ua U = Ua - — PmaUa (8.4) Pra a Hustota toku hmotnosti neboli hmotnostní tok Jra = namaUa = Prali (8.5) a a hustota el. proudu neboli tok náboje J = ^2naqaua = pu + ^nQgQivQ (8.6) Tenzor kinetického tlaku jednotlivých komponent plazmatu jsme definovali jako Pa = pma{Va®Va), (8.7) kde l/Q — v — ua je náhodná rychlost. Jde vlastně o přenos hybnosti částicemi skrze povrchový element pohybující se driftovou rychlostí. Pro celé plazma definujeme alternativní náhodnou rychlost VaQ pro částice a vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u Va0 = v- u. (8.8) Celkový tlak je tedy definován jako rychlost přenosu hybnosti všemi částicemi plazmatu skrze element povrchu pohybující se celkovou střední rychlostí u. Tenzor celkového kineticého tlaku P je tedy P = ^PmQ(l/Q0®l/aO>. (8.9) Platí Va0 = Va + wa (8.10) a tedy P = ^lpma({Va + wa)(š(Va + wa)), (8.11) a což roznásobíme jako P ^^2pma{{Va <8> Va) + (Va ® wa) + (wa ® Va) + (wa ® wa)). (8.12) 8.2. Rovnice kontinuity 63 Z dennice wa vidíme, že (wa) — wa, a proto P = ^PQ + ^pmQivQ® wa. (8.13) a a Celkový skalární kinetický tlak p je P = ^ E n, = E Ana (VaOi^aOi) = ^ E Pma (Kľ0) («■ 14) 3 i a Pomoci (8.13) Definujeme vektor celkového toku tepla q a hustotu tepelné energie Je užitečné najít vztah mezi f = ^E^<^o> (8-17) a q. Takže pomocí 1^,0 = l/Q + kvQ dostaneme q = ^ E^-^X) + ^(VQ) + 2((i*Q • VQ)VQ) + (8.19) + (V2)wa + w2awa + 2((Va) ■ wa)wa], přičemž (Va) — 0, takže f = \ E P^\(Vya) + 2wa ■ (Va)Va) + (V2)wa + vrawa] (8.20) Ze vztahu (8.18), (8.7) a pa — pma{V2)/3 přepíšeme předchozí vztah jako _ -3 1 q = E (la + WQ • PQ + -pQlVQ + -Pma^lVa). (8.21) Pro izotropní případ q = ^2(qa +7;PaWa +-pmawlwa). (8.22) 8.2 Rovnice kontinuity Rovnici kontinuity pro jednotlivé částice sumujeme <9í což dává ^p+V.(PmU) = 0, (8.24) neboť suma Sa je nula díky zachování celkové hmostnosti v systému. Rovnici můžeme také přepsat pomocí d/dt — d/dt + u • V jako %i+PmV-U = 0 (8.25) dt 64 Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu 8.3 Pohybová rovnice Podobně postupuje i v případě rovnice z.z. hybnosti: X^m"!"^-- + ("a • V)oQ] = ^2naqaE + ^2naqa(ua x B) + (8.26) Protože celk. hybnost všech částic se zachovává je srážk. člen nula ~dt + K ' V)uQ] =pE + JxB + pmg-V-P+ (8.27) ^2 V ' ('°mQ: wQ «) wQ) - ^ uQ5Q Člen obsahující Sq, můžeme eliminovat pomocí rovnice kontinuity. Zapíšeme rovnost ^uaSa = ^ua[?^ + V-(pmaua)], (8.28) což kombinujeme se členy na levé straně rovnice (8.27) a členem uaSa na její pravé straně. Dostáváme výraz £[^f^ + V • (pmauaua)}, (8.29) kde využijeme vztah pro celkovou střední rychlost (8.3), druhý člen expandujeme nahrazením ua — wa + u. Vidíme, že ^2PmaWa = ^pmQ(liQ - ll) = pmU- pmU = 0. (8.30) Vztah (8.29) upravíme tedy jako + V(PmQ«iQ ® Uq)] = + V • (Pmu ® U) + (8.31) 9u , , r9p„ ot ot Ct V(pmaWa IVQ) = Pm[-^7 + (O ' V)wJ + U[-^T- + V • (pmU dt y ' ' ôt du X! V ■ (PmaWaWa) = Pm^jJ + ^V (pmaWa WQ), kde jsme využili rci kontinuity. Potom pohybová rovnice je Pml& =PE + J x B + pmg- V • P. (8.32) 8.4 Rovnice energie Vezmeme rovnici vyjádřenou v rychlostech a opět sumujeme rovnici energie pro jednotlivé typy částic: ^(\pma(v2}a) + J2 V ' (\p™a(v2v}a) - ]TnQ(F • v)a = 0, (8.33) a a a kde srážkový člen Ma sumovaný přes všechny částice je nula. Nahradíme v — Vao + u a expandujeme každý člen rovnice. Pro první člen máme d_ dt \ Cli / L ct m [ L ^Pma(Va0) j+ôi^ 2PmaU ) = dt{T) + dt \2PmU u + 2wa ■ u) (8.34) kde jsme použili vztah (8.17) a fakt, že ^2a pmawa — 0 8.4. Rovnice energie 65 Před úpravou druhého členu si uvědomíme, že (v2v)a = ((V20+u2 + 2Va0-u)(Va0 + u)} (8.35) = (^cľo^o) +1*2wQ + 2(1/q0 ® Va0) ■ u + {V20)u + u2u + 2(wa ■ u)u, protože Vao — Va + wa a (Va) — 0. Proto V-GT^m>2i/)Q)= (8.36) = V • (^ ^Pma(VQ20\/Qo)) + V • Pma{Va0 <8> VQ0> ' U) + + V-(^ipmQ(l/Q20)ii)+V-(^|pmQit2u) 2f 1 2~/'iiilk \ ■ au/"/ 1 * v / ^ 2ŕ Když použijeme definici celkového toku tepla q a tenzoru celkového kinetického tlaku P, můžeme toto dále upravit jako V • ($2 \pma{v2v)a) = V • q + V • (P • u) + (8.37) +V.(yli) + V.(Ípmqm2Ii) Pro třetí člen máme 52na{F ■ v)a = ^nQ[gQ(E • u)Q + gQ((v x B) • v)a + ma{g ■ v)a], (8.38) a a kde jsme uvažovali elmag sílu a silu gravitační. Protože (v)a — ua a pro lib. vektor v platí (v x B) ■ v — 0, máme J2na(F-v}a = J-E + Jm-g, (8.39) kde E a g jsou vystředovaná makroskopická pole. Kombinováním předchozích výsledků dostaneme |(y) + V • (f u) + |(^2) + V • {\Pmu2u) + (8.40) V • q + V • (P • u) - J • E - Jm • g = 0. Třetí a čtvrtý člen zkombinujeme jako 5/1 9N „ /l 9 n 1 9rdpm „ . . -Du. .„ Q-^2PmU) + V ' (2PmM U) = 2 + ' (Pm")] + " ' (PmČí }' ( } což dále upravíme za použití rce kontinuity a pohybové rovnice: 9 11 -Q^2pmU^ + V ' (-2Pmu2") = Pu ■ E + u ■ (J x B) + J™ ■ 9 - u ■ (V ■ P)- (8.42) Tento výsledek použijeme opět v rci energie a dostaneme tvar _d (y) + yV • u + V • q + (P • V) • u = J • E - ^ x B) _ pu . £. (8 43) • 1. člen - časová změna celk. hustoty tepelné energie vzhledem k referenčnímu systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u • 2. člen - přispívá ke změně celk. hustoty tepelné energie díky přenosu tepelné energie v objem, elementu v důsledku pohybu částic • 3. člen - tok tepla • 4. člen - práce vykonaná na objem, elementu tlakovými silami (normálovými i tečnými) • členy na pravé straně - práce vykonaná na objem, elementu el. silami existujícími v referenčním systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u. Tento fakt je zřejmý po úpravách níže. 66 Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu Před další úpravou si uvědomme, že hustota el. proudu se skládá ze dvou částí J = E™"1?""" = YnaqaWa + ^2naqau = f + pu, (8.44) a a a kde pu je hustota el. proudu konvekčni, tj. tok prostorového náboje s rychlostí u a J' je hustota el. proudu vodivostni, tj. hustota el. proudu v systému pohybujícím se rychlostí u. Na druhé straně můžeme psát u ■ (J x B) — —J ■ (u x B) — —J' ■ (u x B). (8.45) Dosazením obou horních výrazů do rce energie dostaneme ^(y) + y V • u + V -q + (P- V) u = f E<, (8.46) kde E' — E + u x B je el. pole existující v souř. systému pohybujícím se rychlostí u. Clen J' ■ E' představuje tedy rychlost změny hustoty energie díky Joulovskému ohřevu. 8.5 Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu Pokud bychom uvažovali pouze elektrony a jeden druh kladných iontů (případ pro fúzní úplně ionizované vodíkové plazma, kde se makroskopické rovnice pro celé plazma používají), získali jsme v předchozích kapitolách z původních 6 makroskopických rovnic pouze 3 (hydrodynamické transportní rovnice). Musíme tedy ještě nějaké makroskopické rovnice (elektrodynamické) vyrobit. Podobně jako makroskopické rovnice pro jednotlivé typy částic, netvoří uzavřený systém rovnic. 8.5.1 Maxwellovské rovnice rotace Vx£ = -f (8.47) V x B = p0(J + e0^) (8.48) 8.5.2 Zákon zachování el. náboje získáme z rovnice kontinuity pro jednotlivé typy částic vynásobení rovnice výrazem qa/ma a sumací přes všechny částice: |-(VnQÍjQ) + V • C£naqaua) = V(—)SQ, (8.49) ot z—' z—' z—' ma a a a z čehož ^+V-J = 0 (8.50) Musíme si uvědomit, že tato rovnice se dá odvodit i z Maxwell, rce VE (8.47) a z Maxwell, rovnice pro divergenci E V ■£=-£-. (8.51) Vezmeme divergenci (8.48) V- J + e0^(V-E) = 0, (8.52) zkombinujeme s (8.51) a dostáváme (8.50). => rovnice (8.51) tedy není nezávislá na rovnici (8.50). Dále si uvědomíme, že uděláme-li divergenci vztahu (8.47), dostaneme ^(V ■ B) — 0 (8.53) neboli V • B = konst. (8.54) Takže Maxwellova rovnice V • B = 0 (8.55) je vlastně počáteční podmínkou rovnice (8.47). 8.5. Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu 67 8.5.3 Zobecněný Ohmův zákon Postupujeme stejně jako u zákona zach. el. náboje - vezmeme pohybovou rovnici (zákon zach. hybnosti) pro jednotlivé typy částic, vynásobíme qa/ma a sumujeme přes všechny částice: ^2naQa(^r) + ^naqa(ua ■ V)uQ = ^nQ(—)(F)Q - (8.56) Cfv 777 q Cl Cl Cl -V • [£(—)PJ + £( — )4Q - )«^« (8-57) Úprava druhého členu na pravé straně rovnice (8.56): Definujeme tenzor elektrokinetického tlaku pro částice a pz = {^)Pa = nQÍfo(\/Q ® Va) (8.58) a pro plazma jako vodivou kapalinu máme analogicky pE=J2P* +^Znaqawa®wa. (8.59) CL CL Tedy -V • $2( — )Pa] = -V-PE + V-(J2naqawa ® i*Q) (8.60) m a a a Úprava čtvrtého členu na pravé straně rovnice (8.56): Použijeme rovnici kontinuity a ua — wa + u - ^2(—)uaSa = -^2 wa^-(naqa) - ^ wQ[V • (naqawa)] - (8.61) dť CL - "UV • K?a«)] - - "(V ' J) (8-62) Podobně první a druhý členu na levé straně rovnice (8.56) upravíme jako •mCL i f r\. X^ntt9tt"~7T" + ^2(naqawa ■ V)wa + ^2(naqau ■ V) • wa + p^- + (J.V)u (8.63) Zjednodušení celé rovnice (8.56): Použijeme následující vztah pro dva vektory: V • (ab) = ď(V • a) + (a • V)ď, (8.64) využijeme vyjádření hustoty el. proudu (8.44) a předchozí zjednodušené výrazy: % + V • («/ + Ju) + V • PE = V nQ(^)(F)Q + V(—)/»Q. (8.65) Rovnice (8.4-7), (8.4-8), (8.50) a (8.65) tvoří soustavu deseti rovnic, které doplňují rovnici zachování hmotnosti, hybnosti a energie pro vodivou kapalinu. Rovnice (8.65) je ale stále v obecném, pro praxi nepoužitelném tvaru. Jednoduchý a používaný tvar této rovnice můžeme získat pro plně ionizované plazma s jedním druhem iontů: Vyjádříme hustotu el. proudu a náboje jako J = ^2 n»1cíua = e(níuí - neue) (8.66) CL p = ^2naqa = e(nl - ne). (8.67) 68 Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu Globální střední rychlost je " = -(PmeUe + PmiUi, (8.68) Pm kde pm — pme + pmi. Zkombinováním této rovnice s (8.66) dává Uí = -^(^ + -) (8.69) Pmi ?7Ze 6 u = JL(^ + í}j (8.70) Pme 6 kde p — mem,i/(mem,i) označuje redukovanou hmotnost. Dále předpokládáme, že střední rychlosti elektronů a iontů vztažené ke globální střední rychlosti u, tj. difuzní rychlosti we a Wi, jsou malé ve srovnání s tepelnými. Pak zjednodušíme vztah (8.59) takto PE = PlE + Ff = e(-^ - (8.71) mi me Silový člen v rovnici Ohmová zákona (8.65) nahradíme elekromagnetickým polem ľ««(-)(F)a = Yjna{^)[qa{E + ua x £?)] = (8.72) 1 1 1 me me Tli ne n ml me me Tli ne n me ml = e2(^ + + e\^Ul + ^-ue) x B. rrii me rrii me V něm nahradíme ue a Ui ze vztahů (8.70) a (8.69) a zjednodušíme VnQ(^)(F)Q = e2(^ + ^)E + e2(^ + x B + e(-----)J x B. (8.73) z—' ma rxii me me m. m, me Tento vztah dále zjednodušíme za použití následujících aproximací (rrii ^ fne, ne — rii — n): (8.74) (8.75) (8.76) llle llli llle takže máme PE — —(e/me)Pe a z (8.73) 2 YnQ(^)(F)Q = — (E + ií x B) - — J x B (8.77) a Srážkový člen v (8.65) napíšeme ve dříve uvedeném tvaru Ae = -Pmeľei(ue-Ui) (8.78) A = -PmiVie{Ui-Ue), (8.79) přičemž platí pmí^íe = pmei/a, takže (jQ 11 y ( — )Aa = CPmeVei(Ue ~ Uj)(--1--) = -^eíJ, (8.80) z—' ma rrii rne a kde jsem použili (8.66) pro J, ne — rii — n a aproximaci mj ^> me. Nyní můžeme použít výsledky z (8.71), (8.77) a (8.80) a dosadit je do (8.65) dJ e tJ- + V ■ (u/ + Ju) - —V • P = (8.81) at m e 716 C =-(E + u x B)--J x B - í/eiJ. me me 8.6. Zjednodušené magnetohydrodynamické rovnice 69 Protože jsme předpokládali ne — rii, musí p — OaJ — J'.V určitých situacích se dá předpokládat, že J a u jsou malé perturbace, a proto je jejich součin zanedbatelný. Dále zavedeme označení 9 ne en(ue — un) můžeme vyjádřit — — -VenmeUe, (9.3) ne kde ven je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi elektrony a těžkými neutrálními částicemi. V tomto vztahu jsme zanedbali střední rychlosti neutrálních částic, protože tyto částice jsou mnohem hmotnější než elektrony (ALE nezanedbáváme jejich tepelnou rychlost). Dosadíme srážkový člen a dostáváme Langevinovu rovnici ^ --e(E + ue x B) - ,eM (9.4) Fyzikální smysl srážkového členu? Pokud nepůsobí el. a mg. síla -T— = -VenUe, (9-5) dí což můžeme vyřešit ue(í) = ue{$)exp{-vent). (9.6) Tedy srážky elektronů s neutrály snižují střední rychlost elektronů exponencielně rychlostí odpovídající srážkové frekvenci. 9.2. Linearizace Langevinovy rovnice 71 Rovnici analogickou k (9.4) můžeme napsat pro ionty mi-^-= Ze(E + Ui x B) - VinmiUi, (9.7) kde Ze je náboj iontu. V mnoha případech jako je např. vysokofrekvenční plazma, můžeme zanedbat pohyb iontů (hmotnost iontů 103 - 104 krát vyšší než elektronů), tj. Ui — 0. Plazma, v nemž je důležitý pouze pohyb elektronů se obvykle nazývá Lorentzův plyn. 9.2 Linearizace Langevinovy rovnice Langevinova rovnice ve tvaru (9.4) obsahuje nelineární členy - součin dvou proměnných. V mnoha případech můžeme situaci zjednodušit linearizací těchto členů, která je použitelná v případě změn o malých amplitudách. • Totální diferenciál ue obsahuje člen (ue • V)ue. Zanedbání tohoto členu je možné pokud jsou střední rychlost a její prostorové změny malé nebo pokud je střední rychlost kolmá na svůj gradient (transverzální vlny) • V nelineární členu ue x B budeme separovat mg. indukci B(r,t) na dva členy B(r,t) = B0 + B'(r,t), (9.8) takže q(E + ue x B) = q(E + ue x B0 + uex B'). (9.9) Pokud můžeme předpokládat, že můžeme člen \ue x B'\ v (9.9) zanedbat. B'\ < \E\ (9.10) S využitím dvou výše uvedených linearizačních zjednodušení získáváme následující Langevinovu rci Ou me~ôf — ~e(E + "e x B0) - venmeue (9-11) Kdy můžeme toto zanedbání udělat? V mnoha praktických problémech se proměnné E, B' a ue mění harmonicky v čase i prostoru. Využijeme rovinných vln, protože jde o jednoduchý případ a jakákoliv fyzikálně realizovatelná vlna se dá vyjádřit jako superpozice rovinných vln. E, B', ue (x exp[i(k ■ r - ut)], (9.12) kde oj je kruhová frekvence, k vlnový vektor ve směru šíření vlny. Diferenciální operátory V a d/dt se pak transformují na ík a —íuj. Dosazením (9.8) do Maxwell, rce Vx£ = —dB/dt dostaneme ikxE = iu:B', (9.13) takže B' = ^l. (9.14) Lú Nyní můžeme ověřit nerovnost (9.10) \ue x(kx E)/lo\ < |£|. (9.15) Velikost nelineárního členu \ue x B'\ může být tedy rovna nebo menší než \ (uekE)/uj\. Nelineární člen můžeme zanedbat pokud \ue(k/uj)\< 1 (9.16) nebo ekvivalentně Kl « \u/k\, (9.17) kde uj/k představuje fázovou rychlost rovinné vlny. Protože tento člen obvykle dosahuje rychlosti světla, zatímco amplituda střední rychlosti elektronů ue je mnohem menší, můžeme skutečně nelineární člen zanedbávat. Pokud ale dojde k rezonanci, je uj/k velmi malé, zatímco ue se stává velké. V tomto případě se pak nelineární člen zanedbat nedá. 9.3 Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů Použijeme Langevinovu rovnici pro ustálený stav, abychom odvodili stejnosměrnou vodivost plazmatu. V této kapitole předpokládáme slabě ionizované homogenní plazma, ve kterém můžeme použít model Lorentzova plynu. Předpokládáme, že aplikované el. pole je konstantní a homogenní. 72 Kapitola 9. Vodivost plazmatu a difúze 9.3.1 Izotropní plazma Pokud nepůsobí mg. síla, můžeme Langevinovu rci pro ustálený stav zapsat jako -e£ - mevenue = 0. (9.18) Hustota el. proudu J — —eneiie. (9.19) Kombinací předchozích dvou rovnic j^H^Le. (9.20) meve Z Ohmová zákona J — uqE můžeme pak vyjádřit stejnosměrnou vodivost pro izotropní elektronový plyn n„e2 ' ř (9'51) a a a a celkový tenzor vodivosti je jednoduše S = J2S<*- (9-52) Pro plazma obsahující elektrony a několik typů iontů (index j) dostáváme ze vztahů (9.44), (9.45) a (9.46) pomocí plazmové frekvence ujpa a Sq (i/ce - za;)2 + ft2e —/ (i/,-,, - za;)2 + íí^. e%ce-^)2 + fi2e (^jn — za;)2 + fž2- n = ^[^y+Er^i] (9-55) 9.6 Plazma jako dielektrikum Až doposud jsme ale uvažovali o nabitých částicích pohybujících se ve vlastních vnitřních polích, takže jsme brali v úvahu tyto rovnice D = e0E (9.56) B = HoH, (9.57) které jsou používané pro volný prostor bez nábojů. Efekt existence plazmatu se pak projevoval pohybem a interakcí nabitých částic uvnitř plazmatu. Pokud neuvažujeme vnitřní pohyb částic, můžeme plazma popisovat jako dielektrikum charakterizované dielektrickým tenzorem. Pak nás zajímají pouze obecné makroskopické vlastnosti a nikoliv elementární pohyb částic. Místo Langevinovy rovnice vezměme Maxwellovu rovnici VxB = Mo(J + eo^) (9.58) a zde zahrňme efekt plazmatu pomocí tenzoru vodivosti S definovaném vztahem J — S ■ E. (9.59) Dosadíme do Maxwellovy rovnice a předpokládáme časově proměnné harmonické variace el. pole: V x B — mu0S ■ E — íuj/iQeoE. (9.60) Pokud 1 označíme jednotkový tenzor nebo ekvivaletně kde iS V x B = -iw/i0e0(H--)■£ (9.61) V x B = -iujpoS ■ E, (9.62) £ = e0(l + —) (9.63) se nazývá dielektrický tenzor plazmatu. Používání tohoto tenzoru představuje jiný přístup pro popisování plazmatu než jsme používali doposud: D = £ ■ E. (9.64) 9.7. Difúze volných elektronů 75 Poznamenejme, že £ závisí na frekvenci uj a můžeme ho zapsat v maticové podobě kde ei —£2 0 £ = e0 ( e2 ei 0 | , (9.65) 0 0 e3 ei = l + — cr± (9.66) -i £2 = ~~ijh (9.67) e3 = 1 + —cr0 (9.68) 9.7 Difúze volných elektronů Přítomnost gradientů tlaku v transportní rovnici hybnosti představuje sílu, která vyrovnává jakékoliv nehomogenity hustoty plazmatu. V diskuzi vodivosti a dielektrických vlastností jsme gradient tlaku neuvažovali, ale difúze částic je právě výsledkem této síly, takže musí vzít nenulový tlak do úvahy. Zde odvodíme difuzní koeficient pro elektrony v "teplém"slabě ionizovaném plazmatu za těchto předpokladů: • transportní pohybová rovnice pro elektrony s konstantní elektron-neutrál srážkovou frekvencí • odchylky od rovnováhy způsobené nehomogenitami v hustotě jsou velmi malé ne(r,í) =n0+<(r,í), (9.69) kde \n'e \ • prostorová derivace je velikosti řádu L_1 a časová derivace velikosti řádu t_1: 9n'e dt (9.78) DeV2n'e ~ De^ (9.79) __^L. (9.80) ven dt? VenT2 Porovnáme-li (9.78) a (9.80) vidíme, že je-li venr 1, tj. průměrný počet srážek elektronů s neutrály během časového intervalu t je dosti velký, můžeme poslední člen v (9.76) zanedbat a dostáváme difúzni rovnici ^=DeV2n'e. (9.81) Takže pokud je rychlost změny hustoty pomalá ve srovnání se srážkovou frekvencí, je hustota elektronů řízena difuzní rovnicí, v níž je difuzní koeficient dán vztahem (9.77). Podmínka venT 1 znamená zanedbání členu zrychlení v transportní pohybové rovnici, tj. zanedbání due/dt. Pokud zanedbáváme časové změny ue dostáváme z linearizované pohybové rovnice (9.73) kT n0venue =---VnJ,, (9.82) me což můžeme napsat jako Te = -DeVn'e, (9.83) kde Te — riQUe je linearizovaný tok elektronů. Vztah (9.83) je analogický k jednoduchému Ohmovu zákonu J — <7qE, takže tok elektronů způsobený gradientem hustoty je analogický k el. proudu způsobenému el. polem, pokud uvažujeme ustálený stav pro ue. 9.8 Difúze elektronů v mg. poli Uvažujme nyní konst. a homogenní pole B0. Uděláme podobné zjednodušení jako v předchozím a zanedbáme due/dt. Z linearizované pohybové rovnice dostáváme re = -DeVríe---(rex6„). (9.84) meve Uvažujeme kartézskou soustavu souřadnic, osa z ve směru B0, tj. B0 — B0ž: re = -DeVn'e -—(rexž). (9.85) Ve Tato rovnice je analogická k (9.28), kde Te nahradíme J, De nahradíme ctq a -Vn^ nahradíme E. Dále ^cejven — vqBqJ(ene). Takže analogicky s výrazem J — S ■ E můžeme psát kde T> je tenzor difúze v mg. poli pricemz -V-Vn'e, (9.86) DH 0 \ V= -DH Dj_ 0 , (9.87) DH 0 -DH 0 0 0 D\ 2 7 D^ = 2 ľ"02 D- (9'88) ven ' Sice D„ - ^O, ,,89, kT D\\ = De =-— (9.90) Podobně jako v předchozí kapitole, tj. kombinací pohybové rovnice a rovnice kontinuity, můžeme odvodit difuzní rovnici pro n'e. Nejprve zapíšeme liniearizovanou rovnici kontinuity (9.71), tedy pro Te — noiie, jako ^+V-re = 0. (9.91) 9.9. Amhipolarní difúze 77 Dosadíme (9.86) za Te ^ = V-p-V<). (9.92) Za použití matice difuzního koeficientu (9.87) a výpočtu v kartézských souřadnicích dostaneme V-Vn>e = x(D±^ + DH^-) + (9.93) dn' dn'. _ dn' y(-DH—^ + D±—í)+zDe—í. (9.94) Tento výsledek dosadíme do (9.92) Protože dx dy dz dt dx2 dy2 dz2 en £)_i_ < _De a protože £)j_ klesá s rostoucím ílce/ven (podobně jako cr±), je difúze částic ve směru kolmém na mg. pole vždy menší než ve směru rovnoběžném. Transportní pohybová rovnice pro elektronový plyn, pokud zanedbáme člen zrychlení ale vezmeme v úvahu elmag sílu, je obecně (konst. teplota) re = Me(neE + Te xB)-DeVne. (9.97) Vidíme, že tok elektronů je výsledkem obojího, elmag síly i gradientu tlaku. Podíl skalární pohyblivosti J\Ae a difuzního koeficientu je znám jako Einsteinova relace t± = -±- (9.98) 9.9 Ambipolarní difúze Ukázali jsme si, že časově ustálená transportní rovnice hybnosti v případě nepřítomnosti elmag sil a konst. teplotě dává tuto difuzní rovnici pro elektrony: Te = -DeVn'e, (9.99) kde difuzní koeficient volných elektronů je definován IcT De = ^^. (9.100) rrieVce Pokud budeme uvažovat podobnou rovnici pro ionty ve slabě ionizovaném plazmatu máme ľi = -DiVn'i, (9.101) kde kT Di = (9.102) m1vcl označuje difuzní koeficient volných iontů. =>■ neuvažovali jsme interakci mezi elektrony a ionty ALE elektrony difundují rychleji a zanechávají za sebou kladný náboj. Difúze, při které neuvažujeme prostorový náboj, se nazývá volná difúze. V mnoha případech ovšem nemůžeme zanedbat prostorový náboj, vzniklé el. pole ja dáno Maxwellovou rovnicí V.E= P_ = (9103) Odhadneme důležitost prostorového náboje pro difúzi => použijeme bezrozměrnou analýzu: L je char. délka, na které se podstatně mění hustota náboje. Ze vztahu (9.73) E~^, (9.104) takže el. síla na jednotk. hmotnost fE = ~ ~ —■ (9-105) m meo 78 Kapitola 9. Vodivost plazmatu a difúze "Difuzní síla" na jednotk. hmotnost kT ._ . ÍxiTtl , . fD = -Vn---. (9.106) mno mn$L => El. pole prostorového náboje může být zanedbáno pokud f e {meVce + m^)— = 0, (9.115) což můžeme přepsat jako ^ = CaW, (9.116) kde Da= k^ + T^ (9.H7) mevce + mliycl je koeficient ambipolárni difúze. 0 Kapitola 10 Některé základní jevy v plazmatu 10.1 Elektronové plazmové oscilace Pro studium charakteristických plazmových oscilací elektronů použijeme model studeného plazmatu, tj. nebudeme uvažovat tepelný pohyb částic a tedy gradienty tlaku. Dále zanedbáme srážky (změna momentu hybnosti elektronů v důsledku srážek je zanedbatelná) a nebudeme uvažovat pohyb iontů (tento předpoklad se dá případně vynechat a získat pak malou opravu k plazmové frekvenci). Uvažujme velmi malou perturbaci v koncentraci elektronů: ne(r,t)=n0+rie(r,t), (10.1) kde no je konstantní hustota elektronů a \n'e\ ) = V2i/> = 0 (10.21) Jediné řešení této rovnice, které není singulární a konečné v nekonečnu je ip — konst., takže 6 = 0. Elektronové plazmové (Langmuirovy) oscilace jsou tedy stacionární, podélné a elektrostatické. Pokud by se uvažovala existence gradientů tlaku a sada rovnic doplnila adiabatickou rovnicí energie, staly by se tyto oscilace šířícími se vlnami (vlny prostorového náboje nebo také Langmuirovy vlny). 10.2 Problém Debyeovského stínění Uvažujme vliv el. pole přidané nabité částice. Testovací částice nechť má kladný náboj +Q. Zvolíme sférické souřadnice. Zajímá nás el. potenciál 4>(r). Blízko částice bude ne(r) a n;(r) mírně odlišné, zatímco ve velkých vzdálenostech elstat. potenciál mizí ne(oo) — n;(oo) — no- Protože jde o ustálený stav a konzervativní pole a platí E(r) = -V0(r) ne(r) — n0 exp n; (r) — no exp kT (0 kT (10.22) (10.23) (10.24) kde předpokládáme stejnou elektronovou i iontovou teplotu T. 10.2. Problém Debyeovského stínění 81 Celková hustota náboje p (r) včetně testovacího náboje Q p(r) = -e[ne(r) - n{{r)] + QS(r) kde ô (r) je Diracova delta funkce. Použitím (10.23) a (10.24) p(r) = -en0 <^ exp e^(r) kT exp e5(r) Substituce (10.22) (10.26) za g v následující Maxwell, rci P(r) dává V2(r) - ^ exp V • E(r) kT exp e(r). Abychom mohli postupovat analyticky, předpokládáme, že rušivý náboj je slabý, takže potenciálni energie je mnohem menší než střední tepelná energie Za těchto předpokladů a tedy kde Ad je Debyeova délka exp ± 1 ± e^(r) kT An = fe0kT\1/2 1 fkT^1'2 Uoe2 / (10.29) (10.30) (10.31) (10.32) Protože problém má sférickou symetrii, elstat. potenciál závisí jen na velikosti r. Vztah (10.31) se může přepsat (pro 0) jako J_ d_ r2 dr ar TT^{r) = 0 (r^0) Abychom to vyřešili, uvědomme si, že el. pole izolované částice je takže elstat. Coulombovský potenciál E(r) = 4>c(r) 1 1 47ren r (10.33) (10.34) (10.35) Ve velmi těsné blízkosti testovací částice má být potenciál přibližně stejný jako okolo textovací částice ve vakuu. Takže je vhodné hledat řešení v tomto tvaru. (r) = c(r) F(r) = -9- ^ (10.36) 47reo r kde F(r) —> 1 pokud r —> 0. Dále se vyžaduje, aby —> 0 pro r —> oo. Substitucí předpokládaného tvaru potenciálu (10.36) do (10.33) d2F(r) 2 dr2 A2, Tato jednoduchá diferenciální rovnice pro F(r) má řešení /x/2rN F(r) = A exp Ar £? exp \/2í '~Ärľ (10.37) (10.38) Podmínka, že 4>{r) vymizí pro velké hodnoty r vyžaduje A — 0. Podmínka, že _F(r) se blíží jedniččce pro r jdoucí k nule vyžaduje B — 1. Řešení rovnice (10.33) je tedy (r) = 0C (r) exp - \/2r\ 1 Q / \/2V - i —--exp i-- 47TĚ0 í* A d (10.39) 82 Kapitola 10. Některé základní jevy v plazmatu Tento výsledek je všeobecně známý jako Debyovský potenciál, protože toto řešení bylo poprvé ukázáno pány Debye a Huckel v jejich teorii o elektrolytech. Z tohoto řešení vyplývá, že 4>{r) je mnohem menší než Coulombovský potenciál, jestliže vzdálenost r překročí vzdálenost Ad, nazývanou Debyova délka. V předchozích výpočtech jsme dělali aproximace, takže by bylo dobré zkontrolovat výsledek výpočtem celkového náboje. Náboj Q je neutralizován rozložením náboje v okolí. Ze vztahu pro celkovou hustotu náboje (10.26) a za použití aproximace exponenciálního tvaru (10.30) dostáváme hustotu náboje ve tvaru p{r) = -2^m + QS{r). (10.40) Dosazením 0 a podmínka e _ e2exp(-V2r/\D) _ Ap exp (—y/2 r/AD) (-10 43) kT ~ 4TTe0rkT ~ 3AD r i ■ ) kde A^d je počet částic v Debyově sféře. Protože tento počet je v plazmatu velmi velký, je zřejmé, že poměr e(p/kT {r) = t^- - exp (-r/Ap). (10.44) V tomto případě zmizel faktor -y/2- 10.2.1 Debyova délka pomocí Vlasovovy rovnice e V-V/e + — (V0)-V„/e=O v-V/i-—(V0)-V„/i = O m; «a(r) = / fa(r,v) d3v p(r) = -e / (/e-/i)ďi; + QÍ(r) V20-- í(/e-/ť)d3^-^(r) 90=0(1") fa(r,v) = /0Q(«)exp 10.2. Problém Debyeovského stínění 83 -- e(t>\ f ? i3„, „,m / e'\ 1 f A3„ exp [ J / /0ed « - exp I -— ) / /0íd í; n0 = / /oa(«)d3w a = e, z --5(r) e \ ( e expi-l-exp fcT --5(r) 10.2.2 Stenová vrstva Když je nějaký pevný povrch vnořen do plazmatu, získává automaticky záporný náboj, a tedy záporný potenciál vzhledem k plazmatu. Blízko tohoto povrchu je tzv. stěnová vrstva, v níž je rozdílná hustota elektronů a iontů. Uvnitř stěnové vrstvy roste potenciál monotónně ze záporné hodnoty u stěny až na hodnotu plazmového potenciálu. Tloušťka vrstvy, v níž není splněna kvazineutralita, závisí na Debyově délce a velikosti potenciálu stěny. Plovoucí potenciál Řešení problému silně závisí na geometrii. Ukážeme si aproximativní řešení pro nekonečnou plochu x — 0. Nabité částice, které dopadají z plazmatu na stěnu, jsou většinou ztraceny. Ionty rekombinují a vrací se do plazmatu jako neutrály. Elektrony buď rekombinují nebo vstupují do vodivostního pásu pevné látky, pokud jde o kov. Již dříve jsme odvodili, že tok částic na jednu stranu desky, je v případě izotropní rozdělovači funkce dán vztahem: TQ = (10.45) kde (v)a je střední rychlost částic a. Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělení jsme zjistili, že (v)a = J-J— (10-46) V 7T V mn a tok částic je tedy -^L. (10.47) Zirma Je zřejmé že, pokud je hustota elektronů a iontů stejná, tok elektronů na plochu značně převýší tok iontů protože člen y/Te/me je mnohem vyšší než y/Ti/rrii. Pro nejméně hmotný iont, tj. iont vodíku, je me/m; — 1836. Izolovaná stěna v kontaktu s plazmatem rychle akumuluje záporný náboj, protože na počátku na ni dopadne mnohem více elektronů. Záporný potenciál začne elektrony postupně odpuzovat až se tok elektronů a iontů vyrovná a stěna získá záporný potenciál, který se nazývá plovoucí Chceme odhadnout plovoucí potenciál na izolované stěně v ustáleném stavu, kdy se vytvořila stěnová vrstva. Tento potenciál pro x — 0 označíme w. (10.48) Referenční potenciál v nekonečnu: 4>{oo) = 0. (10.49) Elektrony a ionty budou v termodynamické rovnováze, mají teplotu T, a působí na ně pole konzervativních sil nabité desky. V x —> oo je plazma neporušené a jeho hustota je uq. Platí tedy ne(r)=n0exp(^^) , (10.50) ni(r)=n0eXp(-^y (10.51) V těchto vztazích nebereme v úvahu driftovou rychlost nabitých částic. V další kapitole se ovšem ukáže, že pokud Ti ,...„> maua—— =---■--qa —. (10.59) dx na dx dx Pro zjednodušení ještě uděláme dvě aproximace. Ze vztahu (10.58) máme dna na dua dx ua d.x Pak můžeme poměr levé strany rovnice (10.59) a prvního členu její pravé strany vyjádřit jako dua I ___ _.2 \maua dx kTa (10.60) (10.61) Dvě aproximace, které uděláme: • pro elektrony zanedbáme levou stranu (10.59), tj. setrvačnost elektronů: 10.2. Problém Debyeovského stínění 85 pro ionty zanedbáme 1. člen na pravé straně (10.59), tj. jejich teplotu: miui^- + e^ = 0 (10.63) dx dx Podle poměru (10.61) jsou tyto dvě aproximace splněny pouze pokud tepelná energie elektronů je mnohem větší než jejich kinetická energie a pokud tepelná energie iontů je mnohem menší než jejich kinetická energie, tj. meu2e < kT < miuf. (10.64) Tento předpoklad dokážeme později. Pro elektrony integrujeme (10.62) a dostáváme e(f>(x) = kT\nne{x) + (konst). (10.65) Za předpokladu, že ne — rii a pro — 0 máme ne(x) = n0exp (^^j)^J ■ (10.66) Tento výraz je identický k (10.50), což není překvapující, protože podmínka meu2 oo musí 4>(oo) — 0, nj(oo) = uq a Uj(oo) = moí- Takže Ci = n0M0í; C2 = 2miM0í (10.69) a využitím těchto rovností v (10.67) a (10.68) dostáváme nl(x)ul(x) — n0u0l, (10.70) e{x) < 0, pomalu klesá ačkoliv vztah (10.51) předpovídal růst. Fyziálně to znamená, že záporný potenciál na stěně zvyšuje Ui{x), jak se ionty ke stěně přibližují, a protože tok iontů Uí(x)uí(x) musí zůstat podle vztahu (10.70) konstantní, musí se rii{x) snižovat. Ttot chování je znázorněno na obrázku. Abychom dostali rovnici pro potenciál 4>(x) dosadíme (10.66) a (10.72) do Poissonovy rovnice V2(/>=— (ne-rii) (10.73) a dostáváme d24> n0e dx2 6g exp (g) - fl - ^ V kT , v (10.74) Musíme nějak určit uqí daleko od stěny. Navíc je rovnice nelineární, takže abychom ji mohli analyticky vyřešit, je nutné udělat další aproximaci. Viděli jsme, že | e | je malé ve srovnání s kT i m;!!^. Proto můžeme nahradit členy na pravé straně (10.74) pro e/kT C 1 a e/'(tojiíq^ _

(oo) — 0 je X2=\2D(l-^) . (10.78) (x)=Aexp(-^),kde (10.79) A je konstanta. Protože jsme předpokládali, že kT {x) exponencielně klesá (protože je A záporné, 4>{x) vlastně roste), jak se pohybujeme stěnovou vrstvou směrem k plazmatu a asymptoticky se blíží k nule. Protože X ~ Xo, dějí se tyto variace na vzdálenostech řádově Debyovy délky. Řešení je striktně řečeno platné jen pro hranici plazma-stěnová vrstva, ale pokud bychom jej extrapolovali až na stěnu s okrajovou podmínkou 0(0) — w, platí A — 4>w. Kdyby kT bylo větší než tojiíq^, bylo by X imaginární a el. potenciál by osciloval. Proto pro vytvoření stěnové vrstvy platí kT < miU20l, (10.80) tzv. Bohmovo kritérium. Určit potenciál na stěně za použití hydrodynamických rovnic není triviální záležitost. Všechny přibližné metody navržené pro případ Te — T dávají řešení (??) již dříve odvozené za velmi zjednodušených předpokladů. Navíc neexistuje konzistentní způsob jak určit driftovou rychlost iontů pro x — oo, ale můžeme ji aproximovat následovně. Tok iontů musí být konstantní, takže se rovná uqUoí toku na stěnu. Odtud 27tto; \ kT Podobně pro elektrony 27ttoe V kT a použitím (10.53) UOe = ./JZlexp(^). (10.82) "Oe — U0i (10.83) Ještě bychom měli ověřit platnost předpokladu (10.64). Tok částic na(x)ua(x) je konstantní pro všechna i a je roven noiío- Z (10.66) vidíme, že minimální hodnota ne{x) je ng exp(e(pw/kT), protože w je záporné. Proto a s použitím (10.82) nebo v souhlasu s (10.64). Podobně pro ionty n° ^ ( e(ťw i n n qa\ ue = —u0e < u0e exp —— (10.84) ne \ kl kT ue<,l— (10.85) kT zm - 27T (10.86) u% = — u0l > u0l (10.87) tli 10.2. Problém Debyeovského stínění 87 "•ž vS°p (la88) 1 Kapitola 11 Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen Odvodíme Boltzmannův srážkový člen pro binárni srážky. Srážkový člen obsahuje integrály přes rychlosti částic, takže BKR je vlastně integro-diferenciální rovnice. Platnost omezená na slabě ionizované plazma. Coulombovské interakce můžeme ale započítat jako sérii po sobě následujících slabých binárních srážek a dostáváme Fokker-Planckův srážkový člen. 11.1 Boltzmannova rovnice 11.1.1 Odvození Boltzmannova srážkového integrálu Srážk. člen (ôfa/ôť)Siazk představuje změnu rozděl, fce v důsledku srážek. Jde o bilanci částic ANa uvnitř objemového elementu d3rd3v kolem (r, v) Zel CBjS dt ANa = ( % ) d3rd3vdt. (11.1) V st ysrazk Je výhodné separovat AJVa do dvou částí AJVa = AiV+-AiVa-, (11.2) kde AJV+ označuje přírůstek částic ležících v d3r, které mají po srážce rychlost ležící v objemu d3v a AN~ označuje úbytek částic ležících v d3r, které mají před srážkou rychlost ležící v intervalu d3v. Vyjádříme AiVa . Uvažujme částice ležící v d3r kolem r, které mají rychlost ležící v d3v kolem v. Tyto jsou rozptýleny srážkami s jinými částicemi (nemusí jít o částice a) ležícími ve stejném prostorovém elementu a majícími rychlost z d3vi kolem v\. Uvažujme, že jde o částice j3 a jejich tok dopadající na částice a je I> = f0(r, in,í)d37;i|in -v\= f0(r, Vl,t)d3vig. (11.3) Průměrný počet interakcí jedné částice a v čas. intervalu dt je Tfjbdbdedt — fp{r, Vi,t)d3vigbdbdedt, (11-4) kde záměrná vzdálenost leží v intervalu b a b + db a rovina srážky mezi úhly e a e + de. Předpokládáme, že čas dt je velký ve srovnání s interakční dobou částic. Počet srážek částic f3 se všemi částicemi a ležící v d3rd3v kolem (r, v) za čas dt je dán součinem fa(r, v,t)d3rd3vf/3(r, v1,t)d3v1gbdbdedt. (11-5) Zde jsme předpokládali, že počet srážek počet srážek těchto dvou druhů srážek je úměrný součinu Q(r, v, ť) /a(r, V\, ť). Takže zanedbáváme jakoukoliv korelaci => molekulárni chaos. Celkový počet částic, které jsou rozptýleny dostaneme integrací a sumací AN-= fa(r,v,t)d3rd3vdtJ2 f í f'U{r,v1,ť)d3v1gbdbde (11.6) Podobně vyjádříme AJV+. Uvažujeme inverzní srážku v prostorovém elementu d3r kolem r, v níž se částice a s původní rychlostí v d3v' kolem v' sráží s částicemi j3 majícími původní rychlost z d3v'1. Výsledek je rozptyl částic a do d3v kolem v. Průměrný počet srážek mezi jednou částicí a a částicemi j3 je fl3(r,v[,t)d3v'1g'bdbdedt. (11.7) Potom AN+ = fa(r,v',t)d3rd3v'dtJ2 í í f fľA', v[,t)d3v'ig'bdbde. (11.8) 11.1. Boltzmannova rovnice 89 Víme, že g' — g — \ V\ — v\ a z teorie Jakobiánu d3v'd3v[ = \J\d3vd3v1. (11.9) V následující podkapitole ukážeme, že \ J\ — 1, takže d3v'd3v[ = d3vd3Vl. (11.10) Vztah (11-8) můžeme tedy zapsat jako AN+= fa(r,v',t)d3rd3vdtJ2 f í í fl3(r,v[,t)d3v1gbdbde. (H-H) p Jvi Jb J c Nyní zkombinujeme výrazy pro AN~ a AJV+ a výraz b db de nahradíme výrazem cr(fl)dfl, takže dostáváme výraz pro Boltzmannův srážkový integrál 5_u\ = /AJV+-AJV- = E / / (M - Uf,)d3vl9cT(n)dn, (11.12) kde jsme použili označení /4 = Mr,v,t) (11.13) f'p = //3(r,^i',í) (11.14) /Q = /Q(r,M) (11.15) = //3(r,^i,í) (11.16) (11.17) Explicitně tedy můžeme BKR zapsat jako (11.18) takže jde o integro-diferenciální rovnici 11.1.2 Jakobián transformace Transformace použitá v předchozí podkapitole je kde což můžeme vyjádřit jako J = d3v d3v[ = \ J\ divdv1, d{v', v{) = 9(v'x,v'y,v'z,v'lx,v'ly,v'lz) d(v,vi) d{vx,vy,vz,vlx,vly,vlz)' ( 9< 9v'y ... Mi \ dvx dvj. dv. 9< 9vy dVy dVy dv'lz dVy dv' dv' (11.19) (11.20) (11.21) • uvx vuy _ _ _ ) Pomocí vztahů zavedených v kapitole o interakcích částic můžeme d3v d3vi vyjádřit pomocí rychlosti těžiště Vq a vzájemné g rychlosti před srážkou d3vd3vx = \Jc\d3V0d3g, (11.22) kde Jc je Jakobián transformace. Uvažujme nejprve pouze x-komponentu v (11.22): dvx dvlx = I ^r'Vlx\ \dV0x dgx. d(V0x,gx) Vypočítáme determinant naznačené matice 2x2 dvx dvlx = (— + —) dV0x dgx = dV0x dgx (11.23) (11.24) 90 Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen Součin všech tří komponent odpovídajících x, y a z složkám dává d3v d3v1 = d3V0 d3g. (11.25) Podobně d3v'd3v[ = d3V^d3g'. (11-26) Viděli jsme, že Vq — Vg. Vektory g a g' se liší pouze směrem, ale mají stejnou velikost, takže d3g — d3g'. V důsledku tedy d3vd3v1 = d3v'd3v'1 (11.27) 11.1.3 Rychlost změny fyzikální veličiny v důsledku srážek Rychlost změny fyzikální veličiny x(v) na jednotkový objem v důsledku srážek vyjádříme jako 5t Za použití Boltzmannova srážk. integrálu dostáváme 'S(na(x)a) X(^)SrazkrfV (H.28) zk Jv Út 5t E // í{.f'Jhi-Un)X9^)dnd3v1d3v. (11.29) srazk p J Q. J v\ J v Uvědomíme si, že ke každé srážce existuje srážka inverzní se stejným účinným průřezem. Takže E// f fafkx9 jejich rozděl, fce není příliš prostorově nehomogenní a anizotropní • za rovnovážného stavu elektrony nevykazují žádnou driftovou rychlost a jejich rozděl, fce je homogenní a izotropní 11.2.1 Rozvoj rozdělovači funkce ve sférickou harmonickou řadu Označíme (v, , 6) sférické souřadnice v rychlostním prostoru. Podle předpokladů je závislost /(r, v, ť) na a 9 velmi malá, takže je možné rozvinout /(r, v,t) v řadu podle úhlových rychlostních souřadnic a 9 a vzít pouze prvních pár členů tohoto rozvoje. Provedeme tedy rovoj do sférické harmonické řady pomocí Fourierovského rozvoje v a asociovaných Legendrových polynomů PrJl(cos9) v 9: oo oo f(r,v,t) = E Z^2Pn(cos0) ■ [fmn(r,v,t)cos(m) + gmn(r,v,t)sm(m)}, (11.32) m—O n—0 kde funkce fmn a gmn jsou koeficienty rozvoje. • První člen v (11.32) odpovídá m — 0 a. n — 0, a. protože Pq(cos 9) — 1, je roven foo(ľ,v, ť). Toto je izotropní rozdělovači fce odpovídající rovnovážnému stavu. • Clen s m = 1 a n = 0 se rovná nule, protože P01(cos 9) — 0 11.2. Boltzmannův srážkový člen ve slabě ionizovaném plazmatu 91 • Další vyšší člen je pro m — 0 a. n — 1, přičemž P}1 (cos 0) — cos 6, takže je to /oi (r, v, ť) cos 9 Vezmeme-li tedy do úvahy pouze první dva nenulové členy rozvoje /(r, v, t) = /00(r, v, t) + ^/oi(r, v, í), (11.33) kde jsme cos (9 nahradili výrazem (y ■ vz)/v 11.2.2 Aproximativní vyjádření Boltzmannova srážkového členu Boltzmannův srážkový člen je dán vztahem (11.12) a pro binární srážky elektronů s neutrály jej můžeme zapsat jako (^)Srazk = JJJjfefnl - fefnljgbdbdeďv!, (11.34) kde jsme cr(Q,)(Kl nahradili b db de. Zde fe reprezentuje nerovnovážnou rozděl, fci elektronů a /„ je izotropní rovnovážná rozděl, fce neutrálních částic. V první aproximaci předp., že neutrální částice jsou v klidu a nejsou ovlivněny srážkami s elektrony. Tedy 1^=^ = 0 (11.35) fm = fnl (11.36) a rovnici (11.34) přepíšeme jako (-^Wzk = / fnid3v1 / de {fe-fe)gbdb. 01 Jvl Jo Jo Protože hustota neutrálních částic je (11.37) nn= / fmďv! (11.38) Jvl dále upravíme (-^rW = n„ j( de J (fe-fe)gbdb. (11.39) Rozdělovači fce pro elektrony před srážkou je /e = fe(r,v,t) = f00(r,v,t) + ?-p.f01(r,v,t) (11.40) a po srážce fe = fe(r,v',t) = foo(r,v',t) + ^p-foi(r,v',t) = (11.41) = foo(r,v,t) + -——f01(r,v,t). v V posledním vztahu jsme předpokládali, že v' — v, neboť elektrony neztrácejí energii, protože neutrály jsou mnohem těžší a jsou v klidu. Výsledně tedy píšeme f'e-fe=(V'~V)'Vzfoi(r,v,t). (11.42) v Beze ztráty na obecnosti můžeme zvolit osu vz paralelně s původní vzájemnou rychlostí g elektronu, takže (v1 - v) ■ vz = (g1 - g) ■ unítvz = g(cos\- 1) = v(cos\- 1), (11.43) kde x je rozptylový úhel (úhel mezi g a g'). Dosazením (11.43) do (11.42) dostáváme f'e-fe = - (1 -cosx)/0i(r,7;,í), (11.44) takže srážkový člen můžeme zapsat jako (-^)Srazk = -nngf01(r, v,t) J dej (l-cosx)bdb. (11.45) Protože účinný průřez pro přenos hybnosti mezi elektrony a neutrály je definován jako crm = / (1 -cosx)cr(^)dn = / de / (l-cosx)6cfl> (11.46) Jo Jo 92 Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen můžeme (11.45) psát takto (^)srazk = -nngcrmf01(r,v,t). (11.47) ot Pokud substituujeme /01(r,f,í) v (11.47) pomocí (11.41) a uvědomíme si, že v použité aproximaci stacionárních iontů (v ■ vz)/v = (g ■ vz)/g = 1, pak (-Ír)srazk = -nnV(Tm(fe - fe0) = -Vr{v){fe - fe0), (11.48) ot kde jsme zavedli rychlostně závislou srážkovou frekvenci pro přenos hybnosti ur(v) — nnvcrm a /oo byla nahrazena symbolem fe$, tak jak jsme to používali dříve. Vyjádření srážkového členu (11.48) je podobné relaxačnímu Krookovu modelu až na fakt, že srážková frekvence je závislá na rychlosti. 11.2.3 Rychlost změny hybnosti v důsledku srážek Podle definice srážkového členu Áe v transportní pohybové rovnici máme me Ue) f ,Sfe, ,3 Ae = [-jt-}srazk = me J v(—)srazkd v. (11.49) Dosadíme (11.48) a dostáváme Ae = -me / vr(v)vfed3v + me / vr(v)vfe0d3v. (11.50) Pokud bychom předpokládali, že srážková frekvence vr nezávisí a rychlosti a pokud el. plyn nemá žádnou driftovou rychlost v rovnovážném stavu, tj. «e0 = — / vUďv = 0, (11.51) ne J v máme Ae — -nemevrue — -pmevriie, (11.52) kde ue je průměrná rychlost elektronů v nerovnovážném stavu. Tato rovnice odpovídá vztahu, který jsme použili v Langevinově rovnici. 11.3 Fokker-Planckova rovnice Uvažujeme Coloumbovské interakce. Vychýlení nabitých částic s velkým defiekčním úhlem v důsledku Coulombovských interakcí nahradíme řadou po sobě následujících slabých binárních srážek, tj. srážek s malým úhlem rozptylu. Fokker-Planckův srážkový člen může být tedy přímo odvozen z Boltzmannova srážk. členu. Uvažujeme srážky mezi částicemi a a (3. 11.3.1 Odvození Fokker-Planckova srážkového členu Veličina x(v) Je libovolná funkce rychlosti asociovaná s částicemi a. Změna této veličiny na jednotkový objem v důsledku srážek je J^x(v)(?lk)Sľazkd3v = J^J^ Jyaf01-faf01)x9'y(n)dnd3v1d3v^ (11.53) fafpiix' - xV(íí) dfl d3Vl d3v ' Q j v\ j v , kde x' — x(v') je jediná funkce rychlosti po srážce. Pro slabé srážky můžeme psát v' = v + Av, (11.54) kde A v je malá veličina. Protože x' = x0O=x(v + Ai0, (11-55) můžeme rozvinout x' do Taylorovy řady x(v + Av) = x(v) + 7T^ + \ E 7T7hAv*Avi + ''' (H-56) oví 2 oviOVj i ij J 11.3. Fokker-Planckova rovnice 93 Dosazením (11.56) do (11.53) dostáváme /x 94 Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen Protože tato rovnice platí pro libovolnou fci Xi Pro X — 1 platí (^)srazk = _ £ A-{fa{AVl)av) + \ £ g^iUAviAvjU). (11.67) Toto je srážkový člen Fokker-Planckovy rovnice. Střední hodnoty (Avi)av a (AviAvj)av jsou tzv. Fokker-Planckovy koeficienty dynamického třeni a difúze v rychlostním prostoru. Vyjadřují střední rychlost změny Aví a AvíAvj v důsledku mnoha po sobě následujících Coulombovských srážek. Poděkování Vznik těchto skript byl podpořen z prostředků ESF v rámci projektu Inovace výuky aplikované fyziky na PřF MU pod OP Vzdělání pro konkurenceschopnost, reg. č. CZ.1.07/2.2.00/15.0181.