Ústav fyziky kondenzovaných látek, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita SPECIÁLNÍ PRAKTIKUM B 1 – F7571 Úloha 4 Rentgenové studium strukturních vlastností multivrstev 4.1 Úvodní poznámka Tato úloha je rozšířením úloh z předmětu F6390 Praktikum z pevných látek vyučovaném v jarním semestru. Návody k tomuto praktiku lze nalézt na stránkách ÚFKL www.physics.muni.cz/ufkl/Vyuka. 4.2 Formulace problému Naměření rentgenové odrazivosti na multivrstvě. Určení tlouštěk jednotlivých vrstev z fitování odrazivosti. Určení vlivu drsnosti rozhraní na průběh odrazivosti. Další část má dvě varianty pro případ polykrystalické a epitaxní multivrstvy. Pro polykrystalický vzorek je cílem tohoto praktika změřit difrakční křivku a analyzovat ze šířek píků velikost krystalických zrn a mikropnutí. Pro případ epitaxní vrstvy je úkolem naměřit mapu reciprokého prostoru v symetrické a asymetrické difrakci a určit mřížové parametry, stupeň relaxace a deformaci či napětí ve vrstvě. 4.3 Rtg odrazivost na multivrstvách 4.3.1 Teorie Při maloúhlém rozptylu rentgenového záření (t.j. pro úhly mnohem menší než Braggovy difrakční úhly) nemá krystalická struktura látky velký vliv na rozptyl rentgenového záření. V tomto případě lze látku považovat za kontinuum o určitém indexu lomu. Index lomu rentgenového záření n je obecně komplexní a jeho reálná část je jen o málo menší než jedna. Často se index lomu vyjadřuje ve formě n = 1 − δ + iβ, kde δ a β jsou typicky v řádu 10−5 až 10−7. Z Fresnelových vzorců potom plyne, že odrazivost má měřitelné hodnoty pouze pro velmi tečné úhly dopadu. Proto je zvykem úhel dopadu αi na vzorek v rentgenové optice měřit od povrchu samotného, nikoliv od jeho normály, jak je tomu zvykem pro viditelné záření. Fresnelův koeficient odrazivosti na jednoduchém rozhraní mezi materiály o indexech lomu n1 a n2 je r = n1 sin αi − n2 sin αt n1 sin αi + n2 sin αt = kiz − ktz kiz + ktz , (1) kde kiz, ktz jsou složky vlnových vektorů dopadajícího a lomeného paprsku do osy kolmé k povrchu a úhel lomu αt se spočte pomocí Snellova zákona n1 cos αi = n2 cos αt. (2) Uvedený vztah (1) platí přesně pro s-polarizaci; odchylka od přesného vztahu pro p-polarizaci je však pro malé úhly dopadu zanedbatelná. Uvažujme nyní odrazivost obecného systému sestávajícího z N vrstev na substrátu – obrázek 2. Vrstvy jsou číslovány od povrchu; j-tá vrstva je popsána jejím indexem lomu nj a tloušťkou Tj. Rozhraní jsou číslována od nuly; dolní rozhraní j-té vrstvy má index j a horní index j−1. Substrát má pak index lomu nN+1. Každou vrstvou procházejí dvě vlny: jedna směrem dolů o vlnovém vektoru kj,t = (kj,x, kj,z) s amplitudou 0000000000000000000000 0000000000000000000000 1111111111111111111111 1111111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 0000000000 0000000000 00000000000000000000 1111111111 1111111111 11111111111111111111 0 00 00 1 11 11 0000000000000000011111111111111111αi i r t αr αt K K K n 1n 2 x z Obrázek 1: Schématické zobrazení vlnových vektorů při odrazu na jednoduchém rozhraní. 1 0000000 0000000 1111111 1111111 000000 000000 111111 111111 000000 000000 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 0000000 0000000 1111111 11111110000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1 x z 0 1 j−2 j−1 j j+1 N Ei Er Ej−1,t Ej−1,r Ej,r Ej,t substrat s,tE rj−1,j rj,j−1 j−1T Tjj,j−1t j−1,jt Obrázek 2: Vlnové vektory a amplitudy ve dvou sousedních vrstvách a Fresnelovy koeficienty na rozhraní mezi nimi. Ej,t(x, z) a druhá směrem nahoru s vlnovým vektorem kj,r = (kj,x, −kj,z) a amplitudou Ej,r(x, z). Vyjádříme amplitudu vln v j-té vrstvě pomocí vektoru Ej(x, z) = Ej,t(x, z) Ej,r(x, z) . Vyjádříme-li amplitudu vlny šířící se v j-té vrstvě na jejím horním rozhraní jako E (j−1) j , pak amplituda na jejím spodním rozhraní se vyjádří jako E (j) j = e−ikj,zTj 0 0 eikj,zTj E (j−1) j = ˆΦjE (j−1) j , (3) kde jsme definovali matici ˆΦj popisující fázový posun ve vrstvě. S pomocí Fresnelových koeficientů (viz obrázek 2) získáme vztahy mezi amplitudami na rozhraní E (j−1) j,t = rj,j−1E (j−1) j,r + tj−1,jE (j−1) j−1,t a E (j−1) j−1,r = rj−1,jE (j−1) j−1,t + tj,j−1E (j−1) j,r . Tyto rovnice se dají transformovat do maticové formy jako E (j−1) j−1 = 1 1 + rj−1 rj−1 1 1 rj−1 E (j−1) j = ˆRjE (j−1) j , (4) kde jsme označili rj−1 = rj−1,j a využili vztahů mezi Fresnelovými koeficienty. Potom je možné vyjádřit amplitudu dopadající a odražené vlny na povrchu vzorku pomocí vlny v substrátu jako E (0) 0 = ˆME (N) N+1 = ˆR0 ˆΦ−1 1 ˆR1 ˆΦ−1 2 . . . ˆRN−1 ˆΦ−1 N ˆRN E (N) N+1. (5) Předpokládejme, že substrát je dostatečně tlustý tak, aby amplituda vlny odražené na zadní straně vzorku byla zanedbatelná, tedy EN+1,r = 0. Pak lze snadno vyjádřit podíl amplitud odražené a dopadající vlny stejně tak jako odrazivost systému pomocí prvků matice ˆM Er Ei = M21 M11 , R = M21 M11 2 . (6) Fresnelovy indexy a vlnové vektory závisí na úhlu dopadu a měříme tedy odrazivost jako funkci úhlu dopadu R(αi). V praxi se nejčastěji setkáváme s periodickými multivrstvami (supermřížkami, obrázek 3). V takovémto případě se dá reflexní matice vyjádřit pomocí vztahu ˆM = ˆR0 ˆΦ−1 A ˆRA ˆΦ−1 B ˆRB L−1 ˆΦ−1 A ˆRA ˆΦ−1 B ˆRsub, kde L je počet opakování dvojvrstvy AB. Vypočtené odrazivosti pro různé hodnoty tlouštěk jednotlivých vrstev a počet opakování jsou nakresleny v obrázcích 4 a 5. V závislosti odrazivosti na úhlu dopadu jsou jasně patrná hlavní maxima, jejichž poloha závisí na tloušťce jedné periody T = TA + TB podle přibližného vztahu (α(m) )2 − α2 crit = λ 2T m 2 , (7) 2 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 000000 000000 000000 111111 111111 111111 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 0000000 0000000 1111111 1111111 0000000 0000000 1111111 1111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 0000000 0000000 1111111 1111111 TA BT substrat A B A B A B αi Obrázek 3: Schématické zobrazení vlnových vektorů při odrazu na vzorku s periodickou multivrstvou na substrátu. V tomto případě se multivrstva sestává z trojnásobně opakované dvojice vrstev A a B. 10 -14 10 -12 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 0 1 2 3 4 5 6 odrazivost uhel dopadu 20x4nm 10x4nm 5x4nm 10x8nm Obrázek 4: Závislost odrazivosti na úhlu dopadu pro různý počet period multivrstvy InAs(0.5nm)/AlAs(3.5nm) na InP substrátu. Poslední křivka ukazuje závislost pro 10 period, ale dvojnásobnou tloušťku jedné periody. Křivky jsou vůči sobě pro přehlednost posunuty. kde αcrit je kritický úhel totálního odrazu. Mezi hlavními maximy se nachází vedlejší (satelitní) maxima; jejich počet mezi dvěma hlavními maximy je o jedno menší než je celkový počet period multivrstvy L, obrázek 4. Průběh odrazivosti je modulován také funkcí poměru tlouštěk TA TB ; jsou-li tloušťky v poměru nesoudělných přirozených čísel TA : TB = n : m vymizí každé (n + m)-té hlavní maximum. 4.3.2 Experimentální vybavení a postup měření Rtg difraktometr s měděnou rentgenkou, monochromatizační a kolimační optické prvky, štěrbiny, počítačem řízený goniometr a scintilační detektor. Na začátku měření bude změřena intenzita dopadajícího záření. Naměřená křivka odrazivosti, tj. závislost I(αi) odražené intenzity na úhlu dopadu dělená intenzitou dopadajícího záření bude po měření uložena do souboru na disku. 10 -12 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 0 1 2 3 4 5 6 odrazivost uhel dopadu 2nm/2nm 1nm/3nm 0.5nm/3.5nm Obrázek 5: Závislost odrazivosti na úhlu dopadu pro různé poměry tlouštěk jednotlivých vrstev v multivrstvě (InAs/AlAs)×20 na InP substrátu. Křivky jsou vůči sobě pro přehlednost posunuty. 3 4.3.3 Vyhodnocení odrazivosti Očíslujte hlavní interferenční maxima, jejich polohy zapište do tabulky. Polohami proložte závislost (7) a určete tloušťku jedné periody. Z počtu vedlejších maxim určete počet opakování periody v měřené multivrstvě. Takto nalezenou tloušťku vrstvy srovnejte s hodnotou, kterou jste dostali nafitováním křivky odrazivosti po ukončení měření specializovaným programem, pomocí kterého jste získali i drsnosti rozhraní σ, což jsou typické výstupy z měření multivrstvy metodou rentgenové zrcadlové odrazivosti. 4.4 Měření a analýza difrakčního záznamu polykrystalických vzorků 4.4.1 Teorie Při dopadu monochromatického rtg záření na práškový vzorek dochází k difrakci na zrnech, která jsou orientována tak, že splňují Braggovu rovnici 2dhkl sin θ = λ, (8) kde dhkl je mezirovinná vzdálenost vydělená řádem difrakce pro difrakci s Laueho indexy (h, k, l).1 Braggovu rovnici můžeme vyjádřit pomocí rozptylového vektoru = Kf −Ki, kde Ki a Kf jsou vlnové vektory dopadající a difraktované vlny. Zřejmě platí Q = 2 2π λ sin θ. (9) Braggova rovnice pak odpovídá Laueho rovnici Q = 2π dhkl = Ghkl, (10) kde hkl je vektor reciproké mříže. Je-li práškový vzorek tvořen malými zrny, dochází k rozšíření difrakčních linií. V reciprokém prostoru je intenzita difraktovaného záření úměrná druhé mocnině absolutní hodnoty Fourierovy transformace tvarové funkce krystalu. Šířka maxima v reciprokém prostoru je pak nepřímo úměrná velikosti krystalitu ∆Q ≈ 2π D . Diferenciací předchozího vztahu (9) dostaneme pro úhlovou šířku difrakčního maxima ∆Q = 2 2π λ cos θ∆θ ≈ 2π D , 2∆θ ≈ λ D cos θ . (11) Přesnějším postupem získáme Scherrerovu rovnici, viz odvození v literatuře [2, 3] 2w(2θ, rad) = 0.94λ D cos θ , (12) kde 2w šířka v polovině výšky maxima (FWHM – full width at half-maximum) difrakčního píku měřeného v úhlu 2θ a D je průměrný rozměr krystalitu ve směru kolmém k difraktujícím rovinám. Použijeme-li místo šířky v polovině maxima integrální šířku β, definovanou jako podíl integrální intenzity píku a intenzity v maximu, dostaneme pak Stokesův-Wilsonův vztah β(2θ, rad) = λ L cos θ , (13) kde L je objemově vážená střední hodnota rozměru krystalitu ve směru kolmém na difrakční roviny. Pro vzorek obsahující monodisperzní krystality, t. j. všechny krystality jsou stejně velké, jsou hodnoty D a L stejné, v ostatních případech se tyto hodnoty liší v závislosti na rozdělení velikostí krystalitů. V reálných vzorcích ještě navíc může docházet k rozšíření difrakčních linií kvůli nehomogennímu rozložení deformace krystalové mříže. Označme střední hodnotu mezirovinné vzdálenosti d a lokální mezirovinnou 1 Pro kubické krystaly s mřížovým parametrem a platí dhkl = a √ h2 + k2 + l2 . 4 vzdálenost d + ∆d. Potom se difrakční úhel liší o hodnotu ∆θ, kterou získáme diferenciací Braggovy rovnice (8) ∆θ = − ∆d d tan θ, (14) kde ε = ∆d d je vlastně komponentou tenzoru deformace příslušející směru difrakčního vektoru. Předpokládejme statistické rozdělení lokální deformace s šířkou η, pak bude též profil difrakčního maxima vykazovat stejné statistické rozdělení se šířkou β(2θ, rad) = 4η tan θ. (15) Předchozí analýza se týkala tzv. mikropnutí, tedy lokálních odchylek deformace od střední mříže. Setkáváme se ještě s tzv. makrodeformací, kdy jsou všechny krystality deformovány stejným způsobem a střední mezirovinná vzdálenost neodpovídá hodnotám nedeformovaného krystalu. Tento jev se projevuje posunem celých difrakčních linií vůči tabelovaným hodnotám. Celková šířka je ovlivněna oběma předchozími efekty. Profil difrakčního maxima je konvolucí obou profilů, jsou-li tyto profily lorentzovské, pak se šířky sčítají β(2θ, rad) = λ L cos θ + 4η tan θ. (16) Každý z příspěvků závisí jiným způsobem na difrakčním úhlu, čehož využijeme k jejich odlišení. Vynásobením rovnice faktorem cos θ dostaneme vztah β(2θ, rad) cos θ = λ L + 4η sin θ, (17) který se používá při konstrukci Williamsonova-Hallova grafu, kde vyneseme závislost šířky difrakčního maxima vynásobeného kosinem difrakčního úhlu na sinu difrakčního úhlu. W-H graf proložíme přímkou, jehož směrnice udává střední deformaci krystalitů a konstanta je nepřímo úměrná střední velikosti krystalitu. Williamsonovu-Hallovu analýzu můžeme provést jak s integrální šířkou β, tak i s pološířkou 2w. Naměřený difrakční profil je ovšem rozšířen ještě dalšími přístrojovými efekty: divergencí svazku a spektrálním rozšířením (svazek není monochromatický). Přístrojové rozšíření závisí na konstrukci difraktometru a je třeba ho pro každý konkrétní difraktometr určit, abychom jeho vliv odstranili ještě před provedením Williamsonovy-Hallovy analýzy. Obecně lze však říci, že divergence svazku úhlově rozšíří každé difrakční maximum stejným způsobem, zatímco spektrální složení záření se na šířce difrakčních maxim projeví podobnou závislostí na difrakčním úhlu jako mikropnutí. V našem případě budeme postupovat tak, že naměřené šířky difrakčních profilů opravíme o přímo změřenou divergenci svazku a známé spektrální složení použitého záření, a teprve poté provedeme Williamsonovu-Hallovu analýzu. Při studiu reálných vzorků se můžeme často setkat s tím, že závislost šířky difrakčních maxim na úhlu neodpovídá závislosti (17), při jejím odvození jsme totiž předpokládali, že velikost krystalitů je stejná ve všech krystalografických směrech, t.j. mají v průměru zhruba kulový tvar. Reálná zrna však mohou mít jehličkový či destičkový tvar protažený v určitém krystalografickém směru, jemuž příslušné difrakční maxima jsou pak výrazně užší než ostatní. Podobně i rozložení mikrodeformace nemusí být ve všech krystalografických směrech stejné kvůli anizotropním elastickým vlastnostem krystalů. Stejné napětí pak vyvolává v různých krystalografických směrech různě velkou deformaci. Tyto jevy mohou vést k poměrně značným odchylkám od závislosti (17). V současné době se Williamsonova-Hallova metoda již příliš neužívá, stejně jako o něco propracovanější metoda Warrenova-Averbachova [3], ale nejčastěji se používá fitování celého difrakčního záznamu (známá je hlavně Rietveldova metoda), na což existuje velké množství specializovaného softwaru, například program FullProf [4] a řada jiných [5]. Nicméně však poměrně jednoduchá Williamsonova-Hallova metoda poskytuje základní a ve velkém množství případů i dostačující informaci o studovaném vzorku. 4.4.2 Experimentální uspořádání a postup měření Používáme Cu rentgenku s Göbelovým parabolickým zrcadlem jako monochromátor a kolimátor před vzorkem. Za vzorkem je úhlové rozlišení dosahováno pomocí kolimátorů z rovnoběžných plechů (Sollerova clona – parallel plate collimator) a dále následuje grafitový sekundární monochromátor. Měření provádíme pro konstantní úhel dopadu na vzorek (typicky 0,5◦ až 10◦) a skenujeme ramenem analyzátoru s detektorem – tedy v úhlu 2θ. Měření práškové difrakce je velmi málo citlivé na přesnou justaci polohy vzorku, stačí přesně nastavit polohu ramene detektoru. 5 parabolické zrcadlo sekundární monochromátor detektor Sollerova clona vzorek 2θ rentgenka Obrázek 6: Schéma experimentálního uspořádání. Pro jednoduchost jsou vynechány vstupní štěrbiny. Sollerova clona, grafitový sekundární monochromátor a detektor jsou společně umístěny na pohyblivém rameni goniometru. 4.4.3 Parametry použitého zařízení Divergence primárního svazku za Göbelovým zrcadlem je asi 0,01◦, vstupní divergence použité Sollerovy clony je asi 0,5◦ (k dispozici je ještě delší Sollerovu clona s divergencí 0,2◦). Divergenci primárního svazku můžeme zanedbat vzhledem k divergenci Sollerovy clony. Záření Cu rentgenky je tvořeno dvěma hlavními spektrálními čarami: čára CuKα1 λ1 = 1,54056 Å a CuKα2 λ2 = 1,544398 Å. Intenzita čáry Kα2 je poloviční vzhledem k čáře Kα1. Ostatní čáry, hlavně CuKβ jsou odfiltrovány sekundárním grafitovým monochromá- torem. 4.5 Difrakce na epitaxní vrstvě 4.5.1 Deformace a napětí v epitaxních vrstvách V následukícím textu budeme předpokládat kubický krystal s orientací povrchu (001), což bývá nejobvyklejší případ pro polovodičové struktury. Kubické materiály mají tři nezávislé elestické parametry: C11, C12 a C44 [6]. Dále budeme předpokládat, že substrát není deformován; tento předpoklad je splněn, jestliže je tloušťka substrátu mnohem větší než tloušťka vrstvy. Mřížový parametr substrátu označíme jako as a mřížový parametr vrstvy v nedeformovaném stavu jako al. Potom se definuje "lattice mismatch"(není mi znám český ekvivalent) jako: ǫl = al − as as . (18) V obecném případě je vrstva deformována její mřížové parametry se liší od nedeformovaných hodnot. Obvykle jde o tzv. biaxiální deformaci (z kubické mřížky se stává tetragonální) a definujeme mřížový parametr v rovině povrchu a a ve směru růstu (kolmo na rovinu povrchu) a⊥. Potom zavedeme deformaci v rovině ǫ a ve směru růstu ǫ⊥ vztahy ǫ = a − al al , ǫ⊥ = a⊥ − al al . (19) Rozlišujeme tyto základní případy deformace vrstev: • Pseudomorfní vrstva – v tomto případě je mřížový parametr v rovině roven mřížovému pasrametru substrátu a = as. Krystalová mříž vrstvy je natolik deformována, že dokonale kopíruje substrátovou mřížku. Obvykle pouze pro velmi tenké vrstvy a malý mismatch. Žádné nebo velmi málo dislokací 6 na rzhraní vrstav/substrát. Deformace v rovině je rovna záporně vzatému mismatchi (za předpokladu al ≈ as) ǫ = −ǫl. (20) • Relaxovaná vrstva – v tomto případě není krystalová mřížka vrstvy deformovaná a mřížový parametr v rovině i ve směru růstu se rovnají a = a⊥ = al. Obvykle nastává pro tlusté vrstvy s velkým mismatchem, když energie potřebná k deformaci vrstvy překoná energii nutnou k vytvoření sítě tzv. misfit dislokací na rozhraní vrtsva/substrát. Deformace vrstvy je nulová ǫ = ǫ⊥ = 0. (21) • Obecně relaxovaná vrstva – stav mezi výše uvedenými. Napětí je relaxováno pouze částečně, zůstává nějaká zbytková hodnota. Definujeme stupeň relaxace R = a − as al − as , (22) který nabývá nulové hodnoty pro ideálně pseudomorfní vrstvu a jedné pro zcela relaxovanou vrstvu. • Mřížka je skloněná o úhel φ vzhledem k substrátové mřížce - viz obrázek 8 vpravo. Tento případ se může kombinovat se všemi výše uvedenými. Elastické napětí v rovině σ a ve směru růstu můžeme určit z deformace σ⊥ podle Youngova zákona σ = (C11 + C12)ǫ + C12ǫ⊥, σ⊥ = 2C12ǫ + C11ǫ⊥. (23) Povrch vrstvy je volný a proto je napětí ve směru růstu nulové σ⊥ = 0. (24) Z předchozích vztahů můžeme dostat výraz pro volný mřížový parametr vrstvy al = C11,la⊥ + 2C12,la C11,l + 2C12,l , (25) kde mřížový parametr vrstvy jsme vyjádřili z hodnot mřížových parametrů v rovině vrstvy a⊥ a ve směru růstu a , které můžeme změřit rtg difrakcí. Napětí v rovině vrstvy je pak rovno σ = C11,l + C12,l − 2C2 12,l C11,l ǫ . (26) 4.5.2 Mapování reciprokého prostoru V této části se budeme zabývat základy měření rozložení intenzity v reciprokém prostoru a určování mřížových parametrů epitaxních vrstev. Obecné schéma rtg rozptylu v uspořádádní na odraz je znázorněno v obrázku 7. Dopadající svazek je popsán vlnovým vektorem Ki, o velikosti 2π/λ, kde λ je vlnová délka. Vlnováý vektor difraktovaného svazku je Kf a rozptylový vektor je roven Q = Kf − Ki. Difrakční maxima leží v polohách, kde je rozptylový vektor Q roven vektoru reciproké mříže. Relativní polohy bodů reciproké mříže vrstvy a substrátu jso znázorněny schematicky na obrázku 8 pro případy relxované a pseudiomorfní epivrstvy. Obvyklá definice označuje směr kolmý k povrchu jako Qz, pro případ povrchu (001) je to směr [001]. V symetrické difrakci je difrakční vektor Q je kolmý k povrchu, pro případ orientace povrchu (001) má difrakční rovina Laueho indexy 00l. Pro neskloněnou mřížku leží difrakční maximum vrstvy i substrátu na ose Qz a můžeme snadno určit mřížový parametr ve směru růstu z poloh difrakčních maxim podle vztahů Qz,l = 2π a⊥ l, and Qz,s = 2π as l. (27) 7 Qx Qz fK Q wafer 2θ ω Ki rentgenka parabolické zrcadlo vzorek krystalový monochromátor analyzátor krystalový detektor 2θ ω Obrázek 7: Vlevo: Schéma rtg rozptylu. Vpravo: experimentální uspořádání pro vysokorozlišující rtg difrakci s krystalovým monochromátorem a analyzátorem. Q Q Q x zQQzz x Qx φ φ φ Obrázek 8: Nahoře: relativní poloha difrakčního maxima vrstvy (červeně) a substrátu (černě) v symetrické (body v okolí osy Qz) a asymetrické difrakci (vpravo od osy Qz). Dole: Schematické znázornění vzájemné polohy krystalové mřížky vrstvy a substrátu. Vlevo: relaxovaná epitaxní vrstva. Uprostřed: pseudomorfní epitaxní vrstva. Vpravo: Relaxovaná a skloněná epitaxní vrstva. Určení úhlu sklonění φ je rovněž velmi jednoduché – určíme ho z odchylky polohy difrakčního maxima vrstvy od osy Qz podle obrázku 8. V asymetrické difrakci pro neskloněnou mřížku vrstvy s Laueho indexy h k l můžeme určit mřížové parametry v rovině vrstvy i ve směru růstu podle vztahů Qz,l = 2π a⊥ l, and Qx,l = 2π a h2 + k2, (28) a obdobné vztahy pro polohy substrátových maxim. Pro skloněnou vrstvu je třeba polohy difrakčních maxim vrstvy opravit o úhel sklonění φ. Odvození vztahu pro tuto korekci necháme na čtenáři. Současné měření substrátové difrakce a difrakce od vrstvy umožňuje použití substrátového píku jako referenčního bodu pro se známým mřížovým parametrem. Takové měření je přesnější než výpočet z absolutních hodnot rozptylového vektoru Q. 4.5.3 Experimentální uspořádání a postup měření Používáme Cu rentgenku s krystalovým monochromátorem a analyzátorem. Měření provádíme jao mapování ve dvou úhlech ω a 2θ. Měření rtg difrakce na monokrystalech je velice citlivé na přesnou justaci polohy vzorku, proto je třeba najít optimální polohu vzorku i pro náklon ve směru kolmém na difrakční rovinu a pro asymetrickou difrakci i azimutální rotaci vzorku. 8 4.6 Úkoly k měření 4.6.1 Úkoly k měření rtg reflektivity 1. Nastavte aparaturu a vzorek pro měření rtg odrazivosti. 2. Změřte závislost odrazivosti na úhlu dopadu pro zadaný vzorek. 3. Určete analýzou naměřené křivky periodu, tloušťky jednotlivých vrstev, počet period, případně drsnosti rozhraní. 4.6.2 Úkoly k měření difrakce na polykrystalickém vzorku 1. Nastavte aparaturu a vzorek pro měření difrakce na polykrystalu. 2. Změřte závislost difraktované intenzity na difrakčním úhlu. 3. Určete mřížový parametr, velikosti zrn a mikropnutí v polykrystalickém materiálu. 4.6.3 Úkoly k měření difrakce epitaxní vrstvy 1. Nastavte vzorek pro měření jedné symetrické a jedné asymetrické difrakce. 2. Změřte rozložení difraktované intenzity v reciprokém prostorupro dvě difrakce. 3. Určete mřížové parametry, stupeň relaxace a úhel sklonění epitaxní vrstvy. 4.7 Kontrolní otázky 1. Jaký je vliv malé šířky svazku (např. 0,1 mm) dopadajícího tečně pod malým úhlem na povrch vzorku o délce např. 5 mm? 2. Jaký se dá očekávat vliv drsnosti rozhraní v multivrstvě na průběh odrazivosti? 3. Jak by vypadal vztah (17) vyjádřen pro šířku v polovině výšky (FWHM)? 4. Jakým způsobem provedeme korekci polohy difrakčního maxima na úhel sklonění epitaxní vrstvy? Doporučená literatura [1] U. Pietsch, V. Holý, T. Baumbach, High-Resolution X-Ray Scattering From Thin Films and Multilayers, Springer, Berlin, 1999 a 2004. [2] V. Valvoda, M. Polcarová, P. Lukáč, Základy strukturní analýzy, Karolinum, Praha 1992. [3] B. E. Warren, X-ray diffraction, Dover Publications, New York 1990. [4] FullProf homepage: http://www.ill.eu/sites/fullprof/ [5] Sbírka softwaru například na stránce http://xray.cz/ecm-cd/soft/xray/index.htm. [6] Tabulky mřížových parametrů polovodičů můžeme najít například v O. Madelung, Semiconductors: Data Handbook, Springer 2004, nebo pro vybrané polovodiče na http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/index.html. Otevřená krystalografická databáze je přístupná na webových stránkách http://www.crystallography.net/. 9