Komplexní čísla
(Seminář z matematiky I - m1130/02 2014)
(1) Zapište v algebraickém tvaru čísla: 2-i l+2i
(a)
(b) 2 +
3 + i    1 — 3i 1 3
3i i3
(c)
1 + i (2) Vypočtěte:
1-i V2+ /l-ix 2
1 + i
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
l-i +
l+2i
3-i
V3 + iV2
|2 + 3i|2 + (2 + 3i)2
V6 + V2 V6-V2.
■h--:-1
4 4 V/2+73 + iV/2+73
3 —4i
5i
+
2+i
1 —2i
l+2i
(3) Řešte rovnice v oboru C:
(a) \z\-z= l+2i
(b) z2+|z| =0
(c) ^2--j-^ž + 2z= 10Í
(d) i(z-\) = \z-\\2
(4) Určete všechna ryze imaginární čísla z, pro něž platí:
(a) \z - 1 + i| = z
1 2
T1
-2]
V130	
	10
	~V5~
	5
[4713]	
	[1]
[l + VŠ]	
"2	4 "
5 '	"51.
"3	
_2	-2i
[0;	i:-il
[10-40Í]
[1]
[neexistují]
3 .
41
(5) Rozhodněte, která z následujících čísel jsou komplexní jednotky:
y/3-i  1 + i  (2 +
; \2
;30
1- i
2    '   2  ' 3-4i '   *  ' V2"'COSTÔ + 1SmTÔ
[A, N, A, A, A, A]
(6) V Gaussově rovinně znázorněte všechna komplexní čísla z, pro něž platí:
(a) |z+i| ^ |z+l| 1
l+i 1 — 2i
	l-2i
	zh--:-
	1
(b) Z-^PJ <fel
(C)   Z+T^—.   > \Z~1\ (d)
(7) V goniometrickém tvaru vyjádřete čísla:
(a) 2
(b)
-1 + i -3 +i
2+i (c) |3 + 2i|
(d) i
80
/   N     1 Tt .     . Tt
(e) 1 + cos — + i sin — 4 4
(f) 1 + cos <p + i sin <p
(g) sin <p + i cos <p
cos a + i sin a cos /3 + i sin j5
(8) Vypočtěte:
(a) (-1 + i)66-i (1 + i)80
n s   f, Tt      .   . Tt
(b) |^1 + cos —+ i sin —
12
v7^ ( cos--h i sin —
V 4 4
' 3rc    . . 3rcY
V 2  cos--h i sin —
V 4 *J. |VT3(cos0+isin0)]
[cos0+ i sinO]
V/2 + v/2 (cos —h i sin — V     8 8
(D f      (D (D
2cos — cos —h i sin — 2 V     2 2
tt       \     .   .   f Tt
cos ( - - <pj + i sin ^- - <p
[cos(a- j3) + i sin(a- j3)]
[-129 - 233 • i] [36]
(c) (VŠ-i)
(d)
1 + i 1-i
-25
(e) (tgl-i)4
(9) Určete argument <p tak, aby platila rovnost:
. .  /    2tz    . . 2tz\ . ....
(a) I cos — + i sin — I (cos <p + i sin <p) = i
ns   f       l7t      ■   ■   l7t\ / •   • ^
(b) I cos — + i sin — I (cos <p + i sin <p) = — 1
cos ^ + i sin ^
(c) -6    . ,   6 = 1
(d)
cos <p + i sin<p cos | + i sin | cos (p + i sin <p
1 \/3 / "2~1T
cos4 + i sin4 cos4 1
~6 3tt'
T
'7tt' ~8~
(10) V oboru komplexních čísel řešte rovnice:
(a) (x2+x+l) (x2+x- 1) =0
„ . x + 2 x—l x — 5 x+l
(c) 2x2 + x+l = 0
-liiv^. —1±n/5 2      ' 2
4
•l±iVŤ
4
(11) Určete, pro které hodnoty p E M. mají rovnice dva reálné kořeny, resp. jeden dvojnásobný reálný kořen, resp. imaginární kořeny:
(a) px2 + 2(p- l)x + p-5 = 0
(4,-)a„/0;-I;(-
1
-oo--
' 3
(b) (p + 3)x2 + 3(p-6)x + 5-lSp = 0        [pro /? ^ -3 má rovnice 2 reálné kořeny]
(c) px2 + (2p- l)x + p = 0
-<^W^0;i;Q,oo
(12) Rozložte na součin lineárních dvojčlenů:
(a) x2 + x+ 1
(x+l-(l-iV3^(x+l-(l + iV3)^
(b) 3x2 + 2x + 2
(c) x2-3x + 5
(13) Řešte v C binomické rovnice:
(a) x3 - i = 0
(b) x6 + 64 = 0
(c) xs + 1 = 0
(d) x5- 1- iv/3=0
(e) - 1 + i = 0
(14) V množině C řešte rovnice:
3(*+I(l-h/5))(*+I(l + iV5 („-1(3 + 1^)) (x-i(3-iVň;
>/3   1.    V3    1. .
^ + 21;-^"21;"1
[±v/3±i;±2i]
TZ + 2kTZ     .   .   TZ + 2kTZ  l     ^ ^ '
cos----h i sin---, k = 0,1,2,3,4,5,6,7
8
8
\/2 ^cos ^
+ i sin
6/^1        74 + . 4
y 2  cos ——---h i sin
5
7-£+2k7r
= 0,1,2,3,4
,£ = 0,1,2
(a) *2-2;t + 9 + 6i =0
(b) *2 + (2-3i);t-5(l + i) =0
(c) ^2-4 = 3i
(d) x2
(e) x2-
4
l + iV3
12
.100
(l-i)96-i(l+i)98
0
[3i;2-3i]
[l + 2i;-3 + i] 3V2    .y/2    3V2 .y/2
~ir+1ir; 2~~l^r
[±64]
±i