Masarykova univerzita • Přírodovědecká fakulta Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH S PROGRAMEM MAPLE V Brno, 1999 Obsah Obsah i Předmluva iv Využití počítače ve výuce matematické analýzy 1 1 Pojem funkce více proměnných 7 2 Limita a spojitost funkce 16 2.1 Metrické vlastnosti W1 ....................... 16 2.2 Limita funkce............................ 17 2.3 Spojitost funkce........................... 24 2.4 Vety o spojitých funkcích...................... 26 3 Parciální derivace 30 3.1 Parciální derivace 1. řádu...................... 31 3.2 Derivace vyšších řádů........................ 34 3.3 Směrové derivace.......................... 37 3.4 Lagrangeova věta o střední hodnotě................ 40 4 Diferenciál funkce 43 4.1 Diferencovatelná funkce, diferenciál................ 43 4.2 Diferenciály vyšších řádů...................... 49 4.3 Kmenová funkce.......................... 50 5 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec 56 5.1 Parciální derivace složených funkcí ................ 56 5.2 Taylorova věta ........................... 66 i 6 Lokální a absolutní extrémy 72 6.1 Lokální extrémy........................... 72 6.2 Absolutní extrémy ......................... 81 7 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí 89 7.1 Zobrazení z R2 do R2........................ 89 7.2 Zobrazení z W do IRm ....................... 93 7.3 Diferenciální operátory matematické fyziky............ 96 8 Funkce zadaná implicitně 100 8.1 Implicitně zadaná funkce jedné proměnné............. 101 8.2 Implicitně zadaná funkce více proměnných ............ 108 8.3 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí .... 111 9 Vázané extrémy 116 9.1 Metoda Lagrangeových multiplikátorů............... 116 9.2 Vázané extrémy a nerovnosti.................... 124 10 Generování grafiky v Maplu 129 10.1 Graf funkce dvou proměnných................... 129 10.2 Vrstevnice.............................. 142 11 Výpočty limit v Maplu 148 11.1 Ilustrační grafika.......................... 148 11.2 Výpočty............................... 153 12 Derivace funkce v Maplu 162 12.1 Parciální derivace 1. řádu...................... 162 Geometrický význam parciálních derivací............. 164 12.2 Derivace vyšších řádů........................ 166 12.3 Směrové derivace.......................... 169 12.4 Parciální derivace složených funkcí ................ 173 13 Aproximace funkce v Maplu 182 13.1 Diferencovatelná funkce...................... 182 13.2 Tečná rovina ke grafu funkce.................... 193 13.3 Užití diferenciálu k přibližným výpočtům............. 199 13.4 Taylorova věta ........................... 202 13.5 Kmenová funkce.......................... 207 ii 14 Extrémy funkce v Maplu 210 14.1 Lokální extrémy...........................210 14.2 Absolutní extrémy .........................229 14.3 Vázané extrémy...........................236 15 Funkce zadaná implicitně v Maplu 241 15.1 Generování PC-grafu funkce zadané implicitně..........241 15.2 Výpočty...............................245 Přílohy 253 P 1 Software pro podporu výuky matematické analýzy ........253 P 2 Materiály na Internetu........................257 Výsledky cvičení kapitol 1-9 262 Použitá literatura 270 Rejstřík 273 iii Předmluva Tento CDROM je učebním textem nového typu využívající možností současné výpočetní techniky Jde o moderní způsob výuky matematické analýzy, kdy prostřednictvím počítačových technologií se student učí matematickou analýzu a naopak. Podnětem k vytvoření vytvoření CDROMu byla potřeba zvýšit geometrickou představivost studentů a zmodernizovat výuku využitím moderních technologií. Jako první partie z matematické analýzy byl vybrán „Diferenciální počet funkcí více proměnných" a to z těchto důvodů: problémy zde řešené jsou vhodné pro počítačové zpracování, vybrané téma vyžaduje dobrou geometrickou představivost v prostoru a nedostatek zahraničních materiálů k tomuto tématu. Základem CDROMu byl učební text [D], práce [P3] a zkušenosti s přípravou CDROMů na Masarykově univerzitě v Brně ([DKV, So]). K počítačové realizaci byl vybrán program Maple V pro svoje snadné ovládání a široké rozšíření na vysokých školách v České republice. Vlastní text je uložen ve formátu PDF (Portable Document Formát), který se stává standardem pro elektronickou publikační činnost a je nezávislý na platformě. Kromě jiného umožňuje prostřednictvím křížových odkazů rychle vyhledávat souvislosti napříč celým textem. CDROM je určen pro posluchače odborného studia matematiky, fyziky, informatiky a pro posluchače učitelského studia matematiky a dále všem zájemcům o výuku matematické analýzy s využitím počítače a uživatelům CAS systému Maple. Materiály zde uvedené jsou koncipovány tak, aby uživatele vedly k samostatnému použití výpočetní techniky při studiu diferenciálního počtu funkcí více proměnných či k přípravě dalších materiálů pro podporu výuky. Spojení textu, grafiky, počítačových vstupů a výstupů by mělo vytvořit prostředí sloužící k maximálně efektivnímu zvládnutí probírané problematiky. CDROM je rozdělen do dvou základních částí - na část teoretickou a část praktickou. Teoretická část je rozdělena do devíti kapitol, v úvodu každé kapitoly jsou připomenuty příslušné pojmy z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné. Nové pojmy a tvrzení z diferenciálního počtu funkcí více proměnných jsou nejprve iv formulovány pro funkce dvou proměnných a teprve potom obecně pro funkce n proměnných. Pouze v případech, kdy je situace zcela stejná pro dvě a více proměnné, uvádíme přímo definice a tvrzení pro n > 2. Na konci každé kapitoly jsou uvedena cvičení, jejichž výsledky lze najít na konci textu. Praktická část ilustruje využití programu Maple V v diferenciálním počtu funkcí více proměnných. K probírané problematice je zde systémem Maple vytvořena ilustrační grafika a ukázky počítačového řešení příkladů. Teoretická i praktická část jsou úzce svázány prostřednictvím křížových odkazů (po seznámení s teoretickým pojmem si pouhým stiskem tlačítka myši můžeme prohlédnout jeho geometrickou interpretaci a můžeme se seznámit i se způsobem, jakým byla ilustrační grafika vygenerována). Všechny počítačové materiály jsou uloženy na CDROMu. Tedy uživatel CDROMu může snadno generovat podobné obrázky bez nutnosti studování syntaxe příkazů Maplu. Závěrem bychom chtěli poděkovat doc. RNDr. J. Kubenovi, CSc. za vypracování obrázků v první části textu, za pomoc při psaní v systému ETgX a převod první části textu do formátu PDF. Tento CDROM vznikl za podpory Fondu rozvoje VŠ v rámci řešení projektu č. 448/1999. Brno, prosinec 1999 Autoři v Využití počítače ve výuce matematické analýzy Rychlý rozvoj výpočetní techniky v současnosti ovlivňuje téměř všechny oblasti lidského života. Stranou nezůstává ani proces výuky na vysokých školách. V našich podmínkách bylo zatím použití počítače ve výuce spíš nahodilé a bylo ponecháváno na iniciativě vyučujících. Až v poslední době se tímto způsobem výuky začíná zabývat větší počet vyučujích, kteří si své zkušenosti sdělují na konferencích pořádaných Českým sdružením uživatelů Maplu a na celostátních seminářích kateder matematiky fakult připravujících učitele matematiky (např. Počítačem podporovaná výuka matematiky a příprava didaktického experimentu, Rybník u Poběžovic, 8.-11. září 1998). Otázky tohoto způsobu výuky však nejsou zatím souhrnně zpracovány a zodpovězeny. Tato kapitola je proto věnována problematice využití výpočetní techniky ve výuce matematické analýzy. Jejím cílem je ukázat možnosti tohoto způsobu výuky a najít odpověď na otázky: „Kde, proč a jak používat počítač při výuce matematické analýzy" a zároveň upozornit i na úskalí používání počítačových systémů ve výuce. Využití počítače ve výuce matematické analýzy může být na základě našich zkušeností rozděleno následujícím způsobem: • počítačová grafika • počítačové řešení úloh Počítačová grafika - pod tímto termínem budeme v dalším rozumět jakýkoliv grafický výstup pořízený počítačem (obrazovka, tiskárna, ploter, ... ). Grafika může být statická (graf funkce) nebo dynamická (animace v CAS systémech). Počítačové řešení úloh - pod počítačovým řešením úloh rozumíme využití počítače při řešení zadaného matematického problému. Úlohy, při kterých získáváme řešení pouze použitím standardního příkazu systému, nebudeme uvažovat. V takovém případě je pro nás počítač jakousi „černou 1 2 Využití počítače ve výuce matematické analýzy skřínkou", která nám dává výsledek bez našeho přispění a bez pochopení, co se děje „uvnitř". Naše pozornost bude soustředěna na netriviální a smysluplné použití počítače při řešení matematických problémů, tj. tam, kde: • počítač pomáhá při rutinních a zdlouhavých výpočtech (předpokládá se, že daná technika výpočtu byla již dříve probrána) • počítač pomáhá při opakování a prohloubení probírané látky jiným, netradičním postupem (úloha je formulována tak, že bez znalosti nezbytné teorie je počítačově neřešitelná) • počítač pomáhá při vysvětlení, objasnění daného teoretického pojmu či závislosti (často v úzkém spojení s počítačovou grafikou) Vedle těchto dvou základních způsobů využití počítače ve výuce matematické analýzy někdy používane i programů k testování znalostí. Tyto slouží k mechanickému procvičování a prověřování získaných vědomostí a dovedností. Protože program Maple V není určen k tvorbě takových testů, uvádíme pouze v kapitole 15.2 odkazy na testovací programy na Internetu. Pokusme se nyní nalézt odpovědi na otázky položené v předcházejícím odstavci. Kde Kde, přesněji ve které fázi a formě výuky a vzdělávání v matematické analýze, lze efektivně využívat výpočetní techniku? Ze získaných zkušeností plyne, že výpočetní techniku lze používat při • přednáškách • cvičeních • samostatné přípravě studentů. Při přednáškách využíváme nejčastěji počítačové grafiky. Méně časté je použití počítačového řešení úloh, ale i to nachází při přednáškách uplatnění a to zejména při usnadnění zdlouhavých výpočtů a při úpravách výrazů. Testovacích programů při přednáškách nevyužíváme. Při cvičeních hraje klíčovou roli počítačové řešení úloh, které doplňují počítačová grafika a testovací programy (myšlena jsou speciální cvičení v počítačové laboratoři). To samé platí i pro samostatnou přípravu, pouze roste úloha testovacích programů. Využití počítače ve výuce matematické analýzy 3 Proč Proč výpočetní techniku, přesněji výše uvedených způsobů, ve výuce matematické analýzy využívat? Geometrická představivost hraje v matematické analýze významnou úlohu (studenti někdy nemají s daným matematickým pojmem spojenu konkrétní geometrickou představu). K jejímu vytváření významnou měrou přispívá i počítačová grafika. Ta nám umožňuje tuto geometrickou představu vytvářet i v případech, které jsou bez použití počítače jen těžko realizovatelné (viz např. obr. 11.6). Při řešení příkladů si pak student může vytvořit geometrickou představu o tom co má počítat a může získané výsledky s počítačovou grafikou konfrontovat (viz např. příklad 14.4). Zjednodušení rutinních výpočtů umožní studentům věnovat více času výběru metody řešení a interpretaci výsledků. V důsledku toho můžeme obohatit různorodost typů, zvýšit počet a prohloubit náročnost problémů, které studenti samostatně řeší. Ilustrací takového přístupu je například určování limity funkce dvou proměnných (kapitola 11.2). Nezanedbatelný je i příspěvek počítačového řešení úloh k opakování a prohloubení učiva. Ilustrujme tento přístup na hledání stacionárních bodů funkce dvou proměnných (příklad 14.1). Student musí nejdříve sám sestavit soustavu rovnic pro nalezení stacionárních bodů. Počítače pak využije k výpočtu odpovídajích parciálních derivací a k výpočtu soustavy rovnic (při řešení postupuje stejně jako při řešení pomocí „tužky a papíru", pouze vlastní zápis provádí formou příkazů zvoleného počítačového systému). Dalším stupněm je pak automatizace tohoto postupu pomocí programovacího jazyka zvoleného systému. Počítačové řešení úloh přispívá i k objasnění teoretických pojmů a prohloubení jejich pochopení (např. znázornění geometrického významu směrových derivací, kapitola 12.1). Ve všech uvedených případech umožňuje studentům použití počítače soustředit se na podstatu problému více než na mechanické zvládnutí výpočtu. Použití počítače ve výuce má však i svá úskalí. Ne vždy totiž počítačovým programem získáme výsledek, který odpovídá skutečnosti. Při výuce studentů u počítače je proto třeba klást důraz na interpretaci a kontrolu získaných výsledků. Studenti mají často tendenci používat počítačový program mechanicky, bez uvažování. Uveďme si jeden ilustrační příklad: Příklad. Pomocí počítače nakreslete graf funkce f(x) = ex + ln |(4 — x)\ pro x e (0,5). K řešení byl použit systém Maple. > f:=x->E**x+ln(abs(4-x)); /:=*-► Ex +ln(|4-x|) 4 Využití počítače ve výuce matematické analýzy > plot(f(x),x=0..5, labels=[x,y]); Rada studentů se zde soustředí především na syntaxi příkazu a je se získaným výsledkem spokojena (obr. 1). Podrobnější analýzou zadané funkce ale zjistíme, že tato funkce / je v bodě 4 nespojitá a limx^4 f(x) = —oo. Grafický výstup proto poté upravíme přidáním parametru discont=true a zvýšením počtu referenčních bodů (tj. bodů, které Maple používá k aproximaci zadané funkce). Pro větší názornost volíme x z intervalu (3.9, 4.1) (obr. 2). >plot(f(x), x=3.9..4.1, y=47..58, numpoints=500, > discont=true, labels=[x,y]); obr. 1 obr. 2 V dalších částech práce průběžně upozorňujeme na nebezpečí bezmyšlenkovitého použití počítače. Budou uvedeny příklady, kdy počítač dává nesprávné nebo neúplné výsledky (obr. 10.5, příklad 14.4,... ). Tyto jsou na druhou stranu důležité z hlediska motivace. Ukazují, že počítač není „všemocný" a teprve porozumění probírané látce dělá z počítače skutečně „mocného" pomocníka. Jak Jak, přesněji s jakým technickým vybavením a při jaké organizaci výuky (časové i obsahové), počítačem podporovanou výuku realizovat? Zabývejme se nejdříve podrobněji technickou realizací uvedených způsobů použití počítače ve výuce matematické analýzy. Pro využití počítače při přednáškách je nejvýhodnější trvale instalovat v posluchárně počítač s projektorem, případně LCD panelem a promítacím plátnem. Při tomto uspořádání může projekční plátno sloužit jako „inteligentní tabule", kdy např. můžeme změnou parametrů zadání již vyřešeného příkladu okamžitě vyřešit příklad modifikovaný. Výhodou tohoto uspořádání je tedy možnost dynamické změny parametrů (např. oproti grafickým Využití počítače ve výuce matematické analýzy 5 výstupům připraveným na tiskárně) a přímé interakce vyučujícího s počítačovým programem. Příklady počítačového řešení úloh by bez tohoto uspořádaní bylo jen obtížně možno na přednáškách realizovat. Pokusy s konáním přednášek přímo v počítačové učebně končily většinou nezdarem. Studenti v tomto případě věnovali větší pozornost interakci s počítačem než výkladu vyučujícího. Další nevýhodou pak bylo různé tempo postupu. Studenti s menší znalostí práce s počítačem nebyli schopni po určité době výklad sledovat. Dále se ukázalo, že cvičení je optimální provádět naproti tomu v počítačové učebně a to tak, aby každý student pracoval u svého počítače či terminálu. Výhodou je možnost individuálního postupu u každého studenta. Nezbytnou je také podmínka volného přístupu studentů do počítačové učebny, protože řada úkoluje určena k samostatnému řešení během týdne. Kromě nezbytného hardwaru je zapotřebí i vhodný software. Pro matematickou analýzu je nejvýhodnější zajištění některého z CAS systémů, výuku je však možno realizovat i pomocí specializovanějších public domain programů, které jsou volně přístupné na počítačové síti Internet. K výuce některých partií je možno využívat také interaktivních programů, přístupných na Internetu. O těchto možnostech bude podrobněji pojednáno v části 15.2. Druhá otázka - začlenění počítačem podporované výuky do osnov závisí zejména na typu (zaměření) školy. Ideální by bylo k současným „klasickým" cvičením přidat ještě další hodiny počítačové výuky. V USA v rámci projektu CALC (Calculus As a Laboratory Course) byla klasická cvičení zrušena úplně, výpočetní operace a metody jsou procvičovány v rámci počítačové výuky. Dosavadní výsledky a hodnocení projektu ukazují, že studenti zahrnutí do projektu dosahují u zkoušek lepších výsledků a hlubšího pochopení látky než studenti v tradičních třídách, v těchto třídách je ale na vyšší úrovni početní zručnost. Informace o projektuje možno nalézt na http://www.math.duke.edu/education/proj_calc/. Zavedení výuky podobné projektu CALC však v našich podmínkách naráží na téměř nulovou možnost zvýšení počtu hodin věnovaných výuce matematické analýzy. Stávající sylabus je dimenzován tak, že zavedení počítačové výuky by bylo na úkor současného obsahu učiva. Snížení počtu hodin klasických cvičení na úkor počítačových laboratoří by mohlo mít za následek snížení početních schopností studentů, což je zejména u studentů učitelského studia jevem nežádoucím. Těžiště využití počítače je zde tedy především při přednáškách a jako doplnění klasických cvičení (zejména příklady ilustrační grafiky). Ukázkami ve výuce a při cvičeních by měli být studenti motivováni k samostatné práci a k experimentování v počítačové laboratoři. (Předpokladem je opět volný přístup do počítačové laboratoře 6 Využití počítače ve výuce matematické analýzy vybavené vhodným softwarem). Snazší je zavedení výuky v počítačových laboratořích na školách, kde je matematika aplikovanou vědou, tj. zejména na vysokých školách technického směru. Zde můžeme rozdělit cvičení na část klasickou a počítačovou (např. střídavě po 14 dnech jako na strojní fakultě VUT v Brně). U těchto oborů je výhodné, aby po analýze problému vlastní výpočet provedl počítač. (Není zde kladen takový důraz na početní zručnost studentů). Technické poznámky V počátečních kapitolách počítačového zpracování tématu je v textu řešení příkladů uváděn zápis ve dvojí podobě. Nejdříve je uveden obvyklý matematický zápis (sazba je provedena systémem LTgX) a následně je uveden zápis výpočtu v Maplu. Poté, co si čtenář postupně zvykne na zápis v Maplu, je matematický zápis vynecháván a uváděny jsou již pouze příkazy Maplu. Mapleovské vstupy jsou v textu označovány > a změnou typu písma na strojopisné. Vstup (zadání příkazu) je v Maplu ukončován pomocí znaků ; nebo:. Pokud je vstup zakončen znakem ;, následují ihned řádky s výstupem, při ukončení pomocí : se řádky s výstupem nevypisují na obrazovku a nejsou tedy uvedeny ani v textu. Vstupy a výstupy byly získány exportem (automatickým převedením) Mapleovských zápisníků do TgXu (v textu je vždy uvedena úplná posloupnost příkazů). Všechny pro účely této práce naprogramované procedury jsou uloženy v knihovně mvcalp. Při programování procedur byl kladen důraz na jednoduchost a matematickou správnost více než na programátorskou efektivnost a úplnost tak, aby procedury nebyly zbytečně složité a aby je byli schopni vytvářet i studenti bez hlubší znalosti programovacích jazyků. Knihovna mvcalpa všechny Mapleovské zápisníky s ilustračními příklady jsou taktéž uloženy na CDROMu. Všechny obrázky jsou uloženy v postscriptu1 a jsou přístupné také prostřednictvím Internetu na: http://www.math.muni.cz/~plch/difer/difer.html. Maple V R3 byl zvolen pro svoje snadné ovládání a pro svou dostupnost. Během tvorby práce došlo k dalšímu vývoji programu, proto se v práci vyskytují i odkazy na verzi Maple V R4 (verze Maple V R5 byl k dispozici teprve až v době závěrečného zpracování, proto na ni v textu neodkazujeme). Maple byl provozován na počítači s operačním systémem Linux. Přechodem k jinému operačnímu systému (Windows 95) může dojít ke zvýšeni doby, potřebné k výpočtu (zejména u generování grafiky). 1 Jeden z nejpoužívanějších jazyků pro popis stránky (PDL), vyvinutý společností Adobe Systems. Kapitola 1 Pojem funkce více proměnných Reálná funkce jedné reálné proměnné, stručně funkce jedné proměnné, je zobrazení z IR do IR. Zobecněním tohoto pojmu je zobrazení zM" (n > 2) do IR, které se nazývá funkce více proměnných. Cílem této kapitoly je naučit se určovat pro funkci dvou a více proměnných její definiční obor a graf. Přestože tato kapitola, jako jediná, neobsahuje žádnou matematickou větu, je svým zaměřením na geometrii v IR2 a IR3 fundamentální. Definice 1.1. Nechť M c Rn, n > 1, M ^ 0 . Zobrazení / : M -> M se nazývá reálná funkce n reálných proměnných a množina M se nazývá definiční obor této funkce a značí se <£)(/). Z předchozí definice vyplývá, že po formální stránce funkce / : M -> M je množina uspořádaných dvojic [x, y] e M x M, x = [x\, ..., xn] (tj. relace na M x M), která má následující vlastnosti: 1. x e M, y e M. 2. Ke každému bodu x — [x\, ..., xn] e M existuje právě jedno číslo y (bod prostoru K) tak, že [x, y] e /. Obraz bodu x = [x\, ..., xn] e M v zobrazení /, tj. reálné číslo y takové, že [x, y] e /, označujeme f (x) nebo f{x\, ..., xn) a nazývá se hodnotafunkce f nebo také funkční hodnota v bodě x — [x\, ..., xn]. Z definice funkce více proměnných vyplývá, že tato funkce je jednoznačně určena udáním jejího definičního oboru <£>(/) a předpisem, kterým je každému bodux = [xi,..., xn] e <©(/) přiřazena funkční hodnota f(x). Pokud j e předpis dán vzorcem a není udaný definiční obor funkce, pak definičním oborem rozumíme množinu všech bodů x e IR", pro něž má tento vzorec smysl. 7 8 Pojem funkce více proměnných Pro n = 2 budeme místo f(x\, x2) psát /(x, y) apro n = 3 místo f(x\, X2, X3) píšeme f(x,y,z). Příklad 1.1. i) Zobrazte v rovině definiční obor funkce Řešení. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka /(y-2)2 + x2 - 1 (x2 + y2 - 6x) > 0. To nastane právě když (y - 2)2 4 nebo (v - 2)2 + x2 - 1 > 0 a (x2 + y2 - 6x) > 0 + x2 - 1 < 0 a (x2 + v2 - 6x) < 0. Rovnice (y-zy + x = 1 je rovnicí elipsy se středem v bodě [0, 2] a poloosami délek a = 1 a b = 2, rovnice x2 + y2 — 6x =0 je rovnicí kružnice se středem v bodě [3, 0] a poloměrem r = 3, neboť tuto rovnici lze převést na tvar (x — 3)2 + y2 = 9. Množina všech bodů [x, y] e M2 splňující výše uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce /, je znázorněna na vedlejším obrázku. Je to uzavřená množina v IR2. ii) Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2+y2-l) + y \x\ + \y\ - \Í2. Řešení. Definičním oborem funkce arccos je interval [—1, 1], první sčítanec je tedy definován pro [x, y] splňující nerovnosti ■1 < x2 + y2 - 1 < 1, Pojem funkce více proměnných 9 tj- O 2 . 2 x + y 2, což je vnitřek a hranice kruhu se středem v počátku a poloměrem r = a/2. Definičním oborem druhého sčítance je množina bodů [x, y] splňující nerovnost \x\ + \y\ — V2~ > 0. Načrtněme v rovině křivku danou rovnicí \x\ + \ y \ = a/2. V prvním kvadrantu je tato rovnice ekvivalentní rovnici x + y = a/2, což je rovnice přímky. Ve zbývajících kvadrantech postupujeme obdobně a obdržíme kosočtverec načrtnutý na vedlejším obrázku. Definičním oborem funkce / je množina vyšrafovaná na tomto obrázku. Tato množina je uzavřená v IR2. iii) Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x,y) = ln(y ln(y — x)). Řešení. Logaritmovaný výraz musí být kladný, musí být tedy splněna nerovnost y ln(y — x) > 0, která je ekvivalentní dvojici nerovností ln(y — x) > 0, y > 0; ln(y — x) < 0, y < 0, které jsou dále ekvivalentní systémům nerovností v>0, y — x > 1 a y<0, y — x < 1, y — x > 0 (poslední nerovnost plyne z definičního oboru funkce ln(y — x)). Řešením těchto dvou systémů nerovností je množina načrtnutá na obr. 1.1. Je to otevřená množina vK2. iv) Zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arcsin ^ + arcsin(l — y). Řešení. Definičním oborem funkce arcsin je interval [—1, 1]. Proto musí být splněny podmínky: 1 < x y 2^' y2 > -x, y2 > x, y t^O a zároveň — 1 < 1 — y < 1, tj. y € [0, 2]. Celkem tedy £>(f) = {[x,y]:y' -x, y x, y e (0, 2]}, tato množina je načrtnuta na obr. 1.2. Je to množina, která není ani otevřená ani uzavřená v R2 (neboť [0, 0] £ £>(/)). 10 Pojem funkce více proměnných Definice 1.2. Nechť / je funkce n proměnných definovaná na množině M c n > 2. Grafem funkce f nazýváme množinu bodů G(f) = {[x, y] € Rn+1 : x = [xi,..., xn] € M, y = f(x)}. Pyz Pxz Pxy obr. 1.3 Souřadné stěny pxy, pxz, pyz Pro funkci dvou proměnných, tj. n = 2, je grafem funkce množina bodů v třírozměrném prostoru. V příkladech, se kterými se zde setkáme, to bude vždy nějaká třírozměrná plocha. Pro získání názorné představy, jaký je tvar a průběh této plochy, nám pomohou řezy rovinami z = 0, y = 0, x = 0 (což jsou rovnice souřadných stěn pxy, pxz, pyz, viz obr. 1.3) a rovinami s nimi rovnoběžnými. Pojem funkce více proměnných 11 Definice 1.3. Nechť McR2a/:M^Mje funkce dvou proměnných definovaná na M, c e IR. Množinu fc = {[x, y]eM : f(x, y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Pojem vrstevnice funkce lze samozřejmě analogicky definovat i pro funkce n proměnných, n > 3, zde však ztrácíme názorný „geografický" význam. Chápeme-li graf funkce dvou proměnných jako reliéf krajiny, pak vrstevnice funkce na úrovni c je množina všech bodů s nadmořskou výškou rovnou c, tj. náš pojem vrstevnice je totožný s geografickým významem tohoto slova. Příklad 1.2. i) Pomocí vrstevnic a řezů rovinami pxz, pyz zobrazte graf funkce f(x,y) = Jx2 + y2. Řešení. Vrstevnice funkce na úrovni k > 0 jsou dány rovnicemi k = v7*2 + y2 tj. k2 = x2 + y2, což jsou kružnice se středem na ose z a poloměrem k, viz obr. 1.4. Řez rovinou pyz tj. x = 0 dává z = yfy2 = \y\- Řezem je lomená čára s vrcholem v počátku daná rovnicí z = \y\. Podobně řez rovinou y = 0 dává z = \x\. V obou případech je řezem lomená čára s vrcholem v počátku o rovnici z = \y\, resp. z = \x\, viz obr. 1.5, 1.6. (V terminologii technického kreslení a zobrazovacích metod se vlastně jedná o průmět do svislých souřadných nárysen, tj. nárys a bokorys). A y obr. 1.4: Půdorys obr. 1.5: Bokorys obr. 1.6: Nárys Na základě získaných výsledků již můžeme říci, že grafem funkce z = y/x2 + y2 je rotační kužel s vrcholem v počátku a hlavní osou z, nacházející 12 Pojem funkce více proměnných se v poloprostoru z > 0, viz obr. 1.10. Na tomto obrázku je znázorněn i dolní kužel, který je grafem funkce z = —y/x2 + y2. 2 2 ii) Zobrazte v IR3 graf funkce f(x,y) = ^ + ^ž,a,b > 0. Řešení. Podobně jako v předchozím příkladu vrstevnice jsou dány rovnicemi 2 2 x y k = — + f-, x + y = i. b2' &a2 /:&2 což jsou rovnice elipsy se středem v počátku a poloosami a^/k, b\fk, viz obr. 1.7. Řezy rovinami y = 0, x = 0 dávají - _ - 2_ což jsou rovnice parabol s vrcholem v počátku souřadných stěnách pxz a pyz, viz obr. 1.8, 1.9. Celkem vidíme, že grafem je plocha, která se nazývá eliptický paraboloid. Tato plocha je prostorově v okolí počátku znázorněna na obr. 1.11. obr. 1.7: Půdorys obr. 1.8: Bokorys obr. 1.9: Nárys iii) Zobrazte v M3 definiční obor funkce f(x,y, z) = ln(—z2 — x2 — y2 + l). Řešení. Logaritmická funkce je definován jen pro kladná čísla. Proto musí být -z2 - x2 - y2 + 1 > 0, tj. x2 + y2 + z2 < 1 a tedy £>(/) = U*, ľ, z] e M3 : x2 + y2 + z2 < í}. V řezech rovinami z = 0, y = 0, x = 0 postupně dostáváme x2 + y2 < 1, x2 + z2 < 1, y2 + z2 < 1, což jsou body uvnitř kružnice se středem v počátku a poloměru r = 1, celkem je tedy definičním oborem vnitřek koule se středem v bodě [0, 0, 0] a poloměrem r = 1, je to otevřená množina v IR3. Pojem funkce více proměnných 13 obr. 1.10: z = ±yx2 + y2 v2 v2 obr. 1.11: z = S + h 2x Příklad 1.3. i) Načrtněte v rovině vrstevnice funkce z = ex2+y2 2x Řešení, Vrstevnice funkce mají rovnici c = ex2+y2 a odtud lne Označíme-li nyní ln c = k, postupnými úpravami dostáváme k = 2x x2 + y2 a tedy pro k ^ 0 (tj. c ^ 1), 2x 2_i_,,2 ■ xz+y k(x2 + y2) = 2x x2 - -x + y2 = 0 k 1 , , 1 Z poslední rovnice je již vidět, že vrstevnicemi dané funkce pro c 7^ 1 jsou kružnice se středem S = [1,0] = [^,0] a poloměrem r = ^ = ^ procházející počátkem, avšak bez počátku (neboť pro bod [0, 0] není funkce definována). Pro c = 1 dostáváme 0 = tedy osa y (bez počátku). x2+y2' tj. x = 0, vrstevnicí dané funkce je pro c = 1 ii) Načrtněte vrstevnice funkce z = \x\ — \y\ + \x — y\. Řešení. Nejprve se zbavíme ve vyjádření funkční závislosti absolutních hodnot. Provedeme diskusi v jednotlivých kvadrantech. 14 Pojem funkce více proměnných la) x > O, y > O, x > y z = x — y + x — y = 2(x — y). Ib) x > O, y > O, x < y ==>• z = x — y — x + y = 0. II) x < O, y > O, (zde vždy x < y) ==>• z = —x — y — x + y = —2x. Obdobným způsobem získáme vyjádření funkční závislosti bez absolutních hodnot ve zbývajících dvou kvadrantech a jako výsledek obdržíme situaci znázorněnou na obr. 1.12. Protože pro libovolná [x,y] e M2 platí nerovnost | jc — y \ > \y\ — \x\ (zdůvodněte proč), je vždy f(x, y) > 0, tj. pro c < Oje fc = 0. Pro c > 0 načrtneme v jednotlivých sektorech křivku \x\ — \y\ + \x — y\ = c a pro c = 0, 1, 2, 3 je výsledek znázorněn na obr. 1.13. c = 0 obr. 1.12: z — \x — y\ + \x\ — \y\ obr. 1.13: vrstevnice Cvičení. 1.1. Zobrazte v rovině definiční obory funkcí: 1)z = V/l-^-V g)z= /£±£í 2x—x2—y2 arccos x+y b) z = yi-(f+ í) h)z c) z = ln(x + y) i) z = y/l- (x2 + yY d) z = v/(x2 + v2-l)(4-x2-v2) j) z = J^/r) e) z = arcsin -y - k) z = ln [x ln(y - x)] f)z = 713^2+ l) z = y (l - x2 - j2)(f + - 2y) 1.2. Načrtněte vrstevnice funkcí: Pojem funkce více proměnných 15 a) z = x2 + y2 c) z = xy, kde x > O b) z = x2 - y2 ď)z = ■ y 1.3. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami pxz, pyz načrtněte v prostoru grafy funkcí: a)z = 2- x- y c) z = y/l - x2 - y2 d) z = \ (x2 - y2) e)z = 2^TŠ7 b)z=x2 + y2 f)z = 2-Jx2 + y2 1.4. Určete definiční obory funkcí: a) u = y/l + x2 — y2 — z2 f) u = ln (xyz) X2 y2 z2 a2 b2 c2 X2 y2 z2 a2 b2 c2 b) u = Vl - x + Vľ + 3 + 0. Okolí O (a) bodu a e IR" je definováno pomocí metriky p v IR" jako množina Oe(a) = {xeř: p(x,a) < s}. Není-li poloměr okolí podstatný, budeme index s vynechávat. Podle výběru metriky dostáváme různé typy okolí. Např. v IR2 dostaneme kruhové okolí, zvolíme-li euklidovskou metriku P2([xi, vil, Úl, yi\) = v7Oi - xi)2 + (ji - yi): 16 Limita funkce 17 čtvercové okolí dostaneme volbou maximové metriky A»([*i, yi\, [X2, y>2\) = max{|xi - x2\, |yi -či kosočtvercové okolí, zvolíme-li součtovou metriku PiiUi, ľiL [x2, yi\) = \x\ - x2\ + |yi - yi\- Podstatná je ekvivalentnost těchto metrik, která znamená, že existence (neexistence) limity nezáleží na tom, kterou z těchto ekvivalentních metrik zvolíme (viz [D-D]). Z důvodu formální jednoduchosti zvolme v této kapitole maximální metriku, ve které je okolí bodu a = [a\,..., an] € M.n kartézským součinem okolí jednotlivých souřadnic ci\,..., an, tj. Oe(a) = {x = [x\,..., xn] e M" : max \xi — a, | < s}. \(/) (připomeňme, že bod x e <£>(/) je hromadným bodem množiny <£>(/), jestliže každé jeho ryzí okolí obsahuje alespoň jeden bod této množiny). 2.2. Limita funkce Definice 2.1. Řekneme, že funkce / : W M {n > 1) má v bodě a e (IR*)" limitu L, L e IR*, jestliže ke každému okolí 6>(L) bodu L existuje ryzí okolí O (a) bodu a takové, že pro každý bod x e O (a) n <£>(/) platí fix) e O ÍL). Píšeme lim fix) = L . 18 Limita a spojitost funkce Limita se nazývá vlastní, jestliže l e IR, v opačném případě (l = ±00) se nazývá nevlastní limita. Bod a e (IR")* se nazývá limitní bod. Uvedená definice limity je univerzální definicí pro funkci jedné či více proměnných, pro vlastní či nevlastní limitu a pro vlastní i nevlastní limitní body. Specifikací okolí pro vlastní limitní bod i limitu a e IR", l e IR dostáváme tzv s — 8 definici vlastní limity ve vlastním bodě. Tuto definici zde zformulujeme pro funkci dvou proměnných. Definice 2.2. Řekneme, že funkce / : IR2 -> IR má v bodě [xo, yo\ £ IR2 limitu l e IR, jestliže ke každému s > 0 existuje 8 > 0 takové, že pro každý bod [x, y] e <£>(/) splňující \x - x0\ < 8, \y - y0\ < 8, [x, y] ^ [x0, y0], platí \f(x, y) — L\ < e. Píšeme lim fix, y) = L. (x,y)-*(x0,yo) Zásadní rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou a více proměnných spočívá v „dimenzi" okolí limitního bodu - u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (což znamená, že funkce má limitu v bodě, má-li obě jednostranné limity a tyto se sobě rovnají), zatímco u funkce více proměnných je těchto možností nekonečně mnoho; můžeme se blížit k danému bodu po přímkách, po parabolách či obecných množinách. Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak, dostaneme-li různé hodnoty limity pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat. Příklad 2.1. i) Pomocí konkrétní specifikace okolí limitního bodu a limity definujte lim fix, y) = 00. (x,y)^(l,0) Řešení. Vzhledem k tomu, že okolí bodu 00 je tvaru (A, 00) a ryzí 5-okolí bodu [1, 0] je {(1 — 8, 1 + 8) x i—8, 5)}\{[1, 0]}, dostáváme tuto specifikaci obecné Definice 2.1: limita lim(x j3,)_>(1jo) fix, y) = 00, jestliže ke každému A e IR existuješ > 0 takové, že pro všechna [x, y ] e <©(/) splňující \x — l\ < 8, \y\ < 8, [x,y]^[í,0] platí fix, y) > A. Limita funkce 19 ii) Dokažte, že funkce f {x, y) = 2]_ 2 má v bodě [0, 0] x ~\~y nevlastní limitu oo. Řešení. Nechť A e IR ie libovolné. Položme 8 = JL-Pro J V2|A| \x\ < 8, \y\ < 8 platí x2 + y2 < 282 = Aj. Odtud pro [x, y] # [0,0] platí -pL- > \A\ > A. Tedy k A e M libovolnému jsme našli 8 > 0 takové, že pro [x, y] ^ [0, 0] splňující \x\ < 8, \y\ < 8 platí 2\_ 2 > A, tj. podle definice x ~\~y limity lim(XjJ)^(o,o) = oo. Graf funkce z = je znázorněn na vedlejším obrázku. Podobně jako u funkce jedné proměnné platí následující věty o limitách funkcí. Protože definice limity funkce více proměnných pomocí okolí boduje stejná jako pro funkci jedné proměnné, jsou i důkazy těchto tvrzení stejné jako pro funkce jedné proměnné a čtenáři doporučujeme šije provést jako cvičení. Veta 2.1. Funkce f má v bodě [xq, yo] nejvýše jednu limitu. Veta 2.2. Nechť\m\^x ,y)^.(Xo ,y0) f(x, y) = 0 a funkce g je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu [xq, yo] (tj. existuje konstanta K > 0 taková, ze \g(x,y)\ < K v tomto ryzím okolí). Pak lim f(x,y)g(x,y) = 0. (x,y)^-(x0,y0) Veta 2.3. Nechťh(x, y) < f(x,y) < g(x, y) v nějakém ryzím okolí bodu [xq, yo] a platí lim h(x, y) = lim g(x, y) = L. (x,y)^(xQ,y0) (x,y)^(xQ,y0) Pak lim f(x, y) = L. (x,y)^(x0,y0) Veta 2.4. Nechť lim f(x,y) = L\, lim g(x,y) = L2 (x,y)^(x0,y0) (x,y)^(x0,y0) aL\, L2 e IR. Pak pro každé c, c\, C2 e IR platí lim cf(x, y) = cL, (x,y)-*(x0,yo) lim [cif(x, y) + c2g(x, y)] = c\L\ + c2L2, (x,y)^(x0,y0) lim [f(x,y)g(x,y)] = LlL2. (x,y)^(x0,y0) 20 Limita a spojitost funkce Je-li L 2 7^ 0, pak f {x,y) L\ hm -= —. (x,y)^(x0,y0) g(x, y) L2 Veta 2.5. Má-li funkce f v bodě [xq, yo] e (M*)2 vlastní limitu, pak existuje ryzí okolí bodu [xq, yo], v němž je funkce f ohraničená. Poznámka 2.1. Počítání limit funkcí dvou a více proměnných je často obtížnější než v případě funkcí jedné proměnné, neboť k počítání tzv. neurčitých výrazů (limity typu ", ") nemáme k dispozici žádnou analogii ľ Hospitalova pravidla. Proto při výpočtu limit tohoto typu používáme různých úprav funkce, jejíž limitu počítáme. Nejčastěji používané úpravy jsou ukázány v následujících příkladech. Příklad 2.2. Vypočtěte limity následujících funkcí i) /(*,y) = ggf vbodě[l,0]. Řešení. Pokud můžeme souřadnice limitního bodu do příslušného výrazu dosadit (tj. po dosazení neobdržíme neurčitý výraz), je hodnota limity dané funkce rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Platí tedy ,. x + y + l 1 lim -= - . (jc,y)->(i,o) x + y + 3 2 ii) f{x, y) = f+f v bodě [0, 0]. ^x2+y2+l -1 Řešení. Protože bychom dosazením souřadnic limitního bodu získali neurčitý výraz typu ^, najdeme hodnotu limity obratem typickým i pro funkce jedné proměnné. Čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme výrazem y/x2 + y2 + 1 + 1. Po této úpravě dostáváme x2 + y2 r (x2 + y2) (Jx2 + y2 +1 + 1) lim —-= lim---------= (jc,y)->(0,0) y/x2 _|_ y2 _|_ l _ l (jc,y)->(0,0) x2 + y2 + 1 - 1 = lim (vV + y2 + 1 + 1) = 2. (jc,y)->(0,0) iii) f(x,y) = (x + y) sin - sin - v bodě [0, 0]. x y Řešení. Protože lim^^)^^^)^ + y) = 0 a | sin ^ sin ^| < 1 pro každé [0, 0] ^ [x, y] e M2, je podle Věty 2.2 lim(Xjj)^(o,o) (x + y) sin \ sin -y = 0. iv) /(x,y) = fgvbodě(l,oo) Limita funkce 21 Řešení. Nejprve ukážeme, že lim(xj3,)^(ij0o) ^y = O- Nechť e > O je libovolné. Musíme najít 8 > 0 a A e IR taková, že pro x e (1 — 8, 1 + 5) a y > A platí < e. Nechť 8 > 0 je libovolné a položme A = | + 8 — 1. Pak pro x e (1 - 8, 1 + 5), y > A platí x + y>l-S + S- l + ± = ±, odtud ^ < e. Protože funkce cos y je ohraničená, platí lim(xj3,)^(ij0o) fyy = 0. v) f(x, y) = xy ln(x2 + y2) v bodě [0, 0]. Řešení. Z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné víme, že lim t ln t = 0 (to lze snadno spočíst pomocí 1'Hospitalova1 pravidla). Protože platí nerovnost \xy\ < x \y (která je ekvivalentní nerovnosti (x ± y)2 > 0), platí 0< |xyln(x2 + y2)| < l-{x2 + y2)ln(x2 + y2). Položme t = x2 + y2. Je-li (x, y) -> (0, 0), je t -> 0+ a tedy lim (x2 + y2) ln(x2 + y2) = lim ř ln t = 0. (jc,;y)-K0,0) í^0 Nyní z nerovnosti (2.1) a Věty 2.1 plyne lim xy ln(x2 + y2) = 0. (jc,y)->(0,0) vi) /(x, y,z) sin(x-y+z-l) x—y+z—1 v bodě [1, 1, 1]. Řešení. Příklad vyřešíme metodou substituce. Položme t = x — y + z — 1. Pro (x, y, z) -> (1, 1, 1) je ř -> 0. Protože lim^o = 1, k libovolnému s > 0 existuje <$! > 0 takové, že pro 0 < \t\ < 8i je | ^ — 11 < e. Položme 5 = j. Pak pro [x, y, z] e IR3 splňující |x — 1| < 8, \y — 1| < 5, \z — 1| < 5, x — y + z — 1 # 0 je0< \x — y + z — 11 < <$i atedy sin(x - y + z - 1) y + z- i i lim (jc,y,z)->(l,l,l) sin(x - y + z - 1) x y + z- i = i. Řekli jsme, že existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Naopak, dostaneme-li různé hodnoty limity ^uillaume de 1'Hospital (1661-1704), francouzský matematik. 22 Limita a spojitost funkce pro různé cesty, znamená to, že limita v daném bodě nemůže existovat. Tohoto faktu užíváme při důkazu neexistence limity funkce dvou proměnných ve vlastním bodě [xo, yo] zavedením polárních souřadnic r, cp definovaných vztahy x — xq = r cos (p, y — y0 = r sin (p, kde r > 0 udává vzdálenost bodů [xo, yo] a[x,y],

. (jc,)0-ko,0) x2 + y2 r^o+ r2 2 Protože výsledek závisí na cp, tj. na cestě, po které se blížíme k bodu [0, 0], uvedená limita neexistuje. Graf této funkce viz obrázky 11.4 a 11.5. Poznámka 2.2. Zavedením polárních souřadnic při výpočtu limity vyšetřujeme chování funkce / v okolí limitního bodu [xo, yo] na přímkách se směrovým vektorem (cos cp, sincp). Pokud limita vyjde nezávisle na úhlu cp, je to pouze nutná podmínka pro existenci limity v bodě [xo, yo], protože pro jiný způsob „blížení", např. po parabolách, můžeme obdržet zcela odlišný výsledek. Jako příklad uvažujme funkci / : IR2 -> IR definovanou takto /(*> y) = ■ ^-2, [x,v]#[0,0], 0, [*,?] = [0,0]. Po transformaci do polárních souřadnic dostáváme r3 cos2 cp sin cp r cos2 cp sin cp lim —r—0---r^— = lim —---—— = 0, r^o rl{rl cos4 (p + sin2 (p) r^o rl cos4 (p + sin2 (p přesto však limita funkce v bodě [0, 0] neexistuje. Vskutku, položíme-li y = kx2, tj. k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, dostáváme kx k lim x^0x4+k2x4 í+k2, což je výsledek závisející na konstantě k, viz obrázek 11.6. Limita funkce 23 Následující věta udává podmínku, za které je nezávislost limity na cp po přechodu k polárním souřadnicím i postačující pro existenci limity. Věta 2.6. Funkce f má v bodě [xq, jo] limitu rovnu L, jestliže existuje nezáporná funkce g: [0, oo) -> [0, oo) splňujícílimr^o+ g(r) — 0 taková, ze \f(xo + rcos(p, yo + r sincp) - L\ < g(r) pro každé (p e [0, 2tt] a r > 0 dostatečně malá. Speciálně, platí-li po transformaci do polárních souřadnic lim f(x,y)= lim h(r)g((p) (x,y)^(x0,y0) r^0+ kde limr^o+ h(r) — 0 a funkce g((p)je ohraničená pro (p € [0, 2n), pak lim f(x,y) = 0. (x,y)^(x0,y0) Důkaz- Protože limr^o+ g(r) — 0, ke každému s > 0 existuje 5 > 0 tak, že pro 0 < r < 8 jeg(r) < s, tj. \f(xQ + r cos (0, 0), je r -> 0+ a tedy x3 + j3 r3(sin3

(0,0) X1 + j2 r^0+ r2(sňl2 ^ + COS2 (p) r^0+ neboť funkce g( M. Funkce f má v tomto bodé limitu L pravé kdyžpro každou posloupnost bodů {[xn, yn]}, kde [xn, yn] ^ [xq, yo] pro velká n, konvergující k bodu [xq, yo] má posloupnost {f(xn, yn)} limitu L. 2.3. Spojitost funkce Definice 2.3. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě [xo, yoLjestližemávtomto bodě vlastní limitu a platí lim f{x, y) = f(x0, yo). (x,y)^-(x0,y0) Pro funkci n proměnných dostáváme zcela stejnou definici spojitosti: Nechť / je funkce n proměnných, n > 2. Řekneme, že funkce / je spojitá v bodé x* — [x*, ..., x*], jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim f{x) = fix*). Porovnejme tuto definici s definicí spojitosti zobrazení mezi metrickými prostory. Zobrazení / z prostoru (P, p) do prostoru iQ, a) je spojité v bodě x* e P, jestliže ke každému okolí V bodu fix*) e Q existuje okolí U bodu x* takové, že pro každé x* e 1í je fix*) e V. Je-li (P, p) prostor M" s některou z výše uvedených ekvivalentních metrik Heinrich Heine (1821-1881), německý matematik Spojito st funkce 25 Pi, P2, Poo (viz odstavec 2.1.) a (Q, a) je M1 s metrikou er (x, y) = \x — y |, pak je definice spojitého zobrazení stejná s definicí spojité funkce n proměnných v bodě x*. Vzhledem k tomu, že spojitost funkce dvou a více proměnných se definuje pomocí pojmu limity funkce stejně jako pro funkci jedné proměnné, obdobně platí věta, že součet, součin a podíl spojitých funkcí je spojitá funkce a dále platí věta o spojitosti složené funkce. Věta 2.8. Jsou-li funkce f g spojité v bodě [xo, yo] e IR2, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce f + g, fga je-li g(xo, yo) # 0, je v tomto bodě spojitá také funkce f/g- Věta 2.9. Nechť funkce g, h jsou spojité v bodě [xo, yo], uq = g(xo, yo), vo = h(xo, yo) a funkce f je spojitá v bodě [uq, vq]. Pak je v bodě [xq, yo] spojitá složená funkce F(x, y) = f(g(x, y), h(x, y)). Příkladem funkcí spojitých v celé rovině jsou např. polynomy ve dvou proměnných, funkce sin u, cos u, e11, kde u je polynom ve dvou proměnných. Příklad 2.5. Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité 2x — 5y sin(x2y + xy2) a)f(x,y) = ——--- b)f(x,y) =---—. xl + yl — 1 cos(x — y) Řešení, a) Funkce f\(x,y) = 2x — 5y, fxix, y) = x2 + y2 — 1 jsou polynomy ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce / není spojitá v bodech, ve kterých není definována, tj. kde x2 + y2 = 1. Body, v nichž funkce není spojitá tvoří kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1. b) Funkce fi (x,y) = x2y + xy2, fxix, y) = x — y a sin u, cos u jsou spojité v celé rovině. Podle Věty 2.9 o podílu není funkce / spojitá v bodech, kde cos(x-y)=0, tj. y=x + (2£ + l)^ k € Z. Příklad 2.6. Zjistěte zda funkce f(x,y) definovaná následujícím způsobem je spojitá v bodě [0, 0]: fix, y) = - ^ pro[x,y]#[0,0] 0 pro[x,y] = [0,0]. Řešení. Nejprve ověřme, zda existuje lim^-y^co) f(x,y). Zvolíme-li y = kx, snadno vidíme, že výsledná hodnota záleží na k, neboli že záleží na přímce, po 26 Limita a spojitost funkce které se k počátku blížíme. Proto uvedená limita neexistuje a daná funkce nemůže být v počátku spojitá. Poznámka 2.4. Je-li funkce / spojitá v bodě [xo, jo] £ M2, pak jsou spojité i funkce jedné proměnné g(x) — f(x, jo) v bodě xq ah(y) — f(xo, j) v bodě jo- Spojitá funkce dvou proměnných je tedy spojitou funkcí proměnné x při konstantním j a spojitou funkcí j při konstantním x. Opačné tvrzení neplatí! Ze spojitosti vzhledem k jednotlivým proměnným neplyne spojitost jakožto funkce dvou proměnných. Uvažujme funkci z předchozího příkladu. Není obtížné ověřit, že pro libovolná pevná xq, jo e M jsou funkce f(x, jo), f(xo, j) spojité v M, avšak funkce dvou proměnných / není spojitá v bodě [0, 0], neboť v tomto bodě limita neexistuje. 2.4. Vety o spojitých funkcích Stejně jako pro funkci jedné proměnné, platí pro funkci n proměnných Weier-strassova1 a Bolzanova2 věta. Uvedeme obě věty pro funkci dvou proměnných. Připomeňme, že Weierstrassova věta pro funkce jedné proměnné se týká funkcí spojitých na uzavřeném a ohraničeném intervalu, přičemž spojitost na uzavřeném intervalu znamená spojitost zleva (zprava) v pravém (levém) krajním bodě a normální spojitost ve vnitřních bodech. Pro funkci dvou proměnných definujeme spojitost na množině takto. Definice 2.4. Řekneme, že funkce / je spojitá na množině M c IR2, jestliže pro každý bod [xo, y o] e M platí lim f{x, y) = f(x0, jo)- (x,y)^-(x0,yo) (x,y)eM Limitní vztah chápeme takto: Ke každému e > 0 existuje 8 > 0 takové, že pro každé [x, y] e 0&i[xo, jol) n M platí \f(x, y) - f(x0, j0)| < e. Veta 2.10. (Weierstrassova) Nechť funkce f je spojitá na kompaktní množině M C IR2. Pak nabývá na M své nejmensí a největsí hodnoty. Důkaz. Uvedená věta je důsledkem obecné věty z metrických prostorů: Je-li / spojité zobrazení mezi metrickými prostory, pak obrazem kompaktní množiny je kompaktní množina. V Eukleidovských prostorech je kompaktní množinou ^arl T. W. Weierstrass (1815-1897), německý matematik 2Bernard Bolzano (1781-1848), český matematik a filosof Věty o spojitých funkcích 27 každá ohraničená uzavřená množina. Odtud okamžitě plyne ohraničenost množiny / (M). Protože každá neprázdná shora ohraničená množina má supremum, existuje K= sup f(x,y). (x,y)eM Zbývá dokázat, že existuje bod [xo, y o] e M takový, že f(xo,yo) = K. Podle definice suprema existuje pro libovolné n e N bod [xn,yn] e M tak, že f(xn,yn) > K — -. Posloupnost {[x„,y„]} je ohraničená, proto existuje vybraná podposloupnost {[x„k, ynk]} konvergující k bodu [xo, yo\. Vzhledem k uzavřenosti množiny M je [xq, y q] e M a ze spojitosti funkce / plyne, že {f(*nk, ynk)} fixQ, y0). Poněvadž f(x„k, y„k) > K - ± pro všechna k, je lim^^oo f(x„k, y„k) = f(x0, y o) > K. Z definice suprema plyne f(x0, y o) < K, a proto f(x0, y o) = K. Podobně se dokáže tvrzení o nej menší hodnotě funkce /. □ Poznámka 2.5. Důsledkem této věty je ohraničenost spojité funkce na kompaktní množině, což bývá někdy spolu s Větou 2.10 formulováno ve dvou větách jako první a druhá Weierstrassova věta. V následující větě je třeba předpokládat, že množina M je souvislá. Připomeňme z teorie metrických prostorů, že otevřená množina M c E2 se nazývá souvislá," jestliže pro každé dva body X, Y e M existuje konečná posloupnost bodu X\,..., Xn e M, X\ — X,Xn — Y taková, že všechny úsečky XíXí+\ jsou podmnožinami M. Věta 2.11. (Bolzanova) Nechť funkce f je spojitá na otevřené souvislé množině M C IR2. Nechť pro A, B e M platí f (A) ^ f (B). Pak ke každému číslu c ležícím mezi hodnotami f (A) a f(B) existuje C e M tak, že f (C) = c. Důkaz. Položme g (x, y) = f(x,y) — c.Ze souvislosti množiny M plyne existence konečné posloupnosti bodů X\,..., Xn e M, X\ = X, Xn = Y takové, že všechny úsečky XiXi+\ jsou podmnožinami M. Uvažujeme-li hodnoty g(X{), pak buď existuje index i takový, že g (X i) = 0 nebo existuje j takové, že g (X j) < 0, (> 0), g(Xj+i) > 0 (< 0). Označíme-li X j = [xi, yi], Xj+l = [x2, yi\, jsou parametrické rovnice úsečky XjXj+í x = xi + (x2 - xi)t, y = yi + (y2 - yi)t, t e [0, 1]. Položme G (t) = f(xi + (x2 - *i)ŕ, yi + (y2 - yi)t), t e [0, 1]. Pak G(0) = g (X j) < 0 (> 0), G(l) = g(Xj+i) > 0 (< 0) a G je spojitá funkce na uzavřeném 28 Limita a spojitost funkce intervalu. Podle Bolzanovy věty pro funkci jedné proměnné existuje to e (0, 1) tak, že G (to) = 0. Zvolíme-li C = [x\ + (X2 — x\)to, y\ + (y2 — y\)to\ dostaneme g(C) = 0, tj. f(C) = c. □ Poznámka 2.6. Důsledkem této věty je následující tvrzení: Nechť funkce / je spojitá na otevřené souvislé množině M C M2. Existují-li A, B e M takové, že f (A) < 0, f (B) > 0, pak existuje C e M tak, že f (C) = 0 (tzv. první Bolzanova věta). Cvičení. 2.1. Pomocí konkrétní specifikace okolí limitního bodu a limity definujte a) lim f(x, y) = oo b) lim f(x, y) = —oc 2.2. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) iim d) lim (jc,)0-K1,1) ■s/x2+y2 (XjJ)^(_4j_i) x +y b) lim — e) lim xy2 cos -\ (x,y)^(e2,\) y (x,y)->(0,0) c) lim hp£l (x,j)^(l,0) ^Jx2+y2 2.3. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) lim ^ e) lim x+y b) lim 4?? f) lim ^ (jc,y)->(0,0) x +^ (jc,y)->(0,2) * (x,yyH0,0) X+y (jc,y)"(So,oo) ^2"^+J2 .-2 , „2 c) lim v%^2 1 S) lim t?? d) lim (x2 + y2)xV h) lim ^í^i (jc,y)->(0,0) (jc,y)->(0,2) * 2.4. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) lim (x2 + y2)z-{x+y) d) lim (-rM*' (x,j)^(oo,oo) (x,y)^(oo,ooyx +^ y 2 9 , 9 e b) lim + e) lim c) lim l7™{x*\rí f) lim (1+xV) Vety o spojitých funkcích 29 2.5. Dokažte, že funkce f(x,y) = nemá v bodě [0,0] limitu. 2.6. Určete body nespojitosti funkcí: a) z = d) z = sin — ' xy b)z = 4?3 „\ x-y C) 7 = —— ' ^ x+y e) z = - i sin x- sin y f)z = ln|l x 2.7. Určete body nespojitosti funkcí: V z — —~r x4+xy3 b) z = c) z = x2+3y x2—3y ď) z = arccos - ' y ' xyz f)z = ln &y -i V(x-a)2+(j-i))2+(z-c)2 2.8. Zjistěte, zda funkce / je spojitá v bodě [0,0]: a) fix, y) = b) f(x,y) = xy x2+y2 0 pro [x, y] ^[0,0] pro [x,y] = [0, 0] Ä pro [x, v] # [0,0] 0 pro [x, y] = [0, 0] Učitel by měl působit tak, že to, co nabídne, je přijímáno jako cenný dar, ne jako úmorná povinnost. (A.Einstein) * Kapitola 3 Parciální derivace Derivace funkce je druhým základním pojmem diferenciálního počtu. Cílem této kapitoly je zavést tento pojem pro funkci více proměnných a ukázat souvislost s limitou a spojitostí funkce. Připomeňme definici a geometrický význam derivace funkce jedné proměnné: derivace funkce / :I^Kv bodě xq je limita f Oo) = hm -. (3.1) x^x0 x — Xq Derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke křivce y = f (x) v bodě [xq, /(xq)]. Má-li funkce derivaci v bodě xq, je v tomto bodě spojitá a tudíž zde existuje také limita funkce. Jak jsme již ukázali v předcházející kapitole, je limita funkce dvou a více proměnných komplikovanějším pojmem než v případě funkce jedné proměnné, neboť k bodu [xo, yo] (v případě dvou proměnných) se můžeme blížit mnoha způsoby. Zcela přirozené je začít zkoumat situaci, blížíme-li se k bodu [xo, yo] ve směru souřadných os x a y. Tím se dostáváme k pojmu parciální derivace funkce dvou proměnných. Při „parciálním"1 derivování se vždy na jednu z proměnných x, y díváme jako na konstantu a podle druhé derivujeme. Blížíme-li se k bodu [x0, yo\ ve směru předem daného vektoru u = (u\, 112), jde o směrovou derivaci, která je přirozeným zobecněním pojmu parciální derivace. Pro funkci n proměnných je situace analogická. Doslovný český překlad slova parciální je „částečný". 30 Parciální derivace 1. řádu 31 3.1. Parciální derivace 1. řádu Definice 3.1. Nechť funkce / : IR2 -> IR je definovaná v bodě [xq, yo] a nějakém jeho okolí. Položme cp(x) = f(x, yo). Má-li funkce cp derivaci v bodě xo, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce / podle proměnné x v bodě [x0, y0] a označujeme fx(x0, y0), event. g(x0, y0), fx(x0, yo)-To znamená, že , r yo), fýUo, yo))' Poznámka 3.1. i) Má-li funkce z = f(x,y) parciální derivace ve všech bodech množiny ./V C <£>(/), jsou tyto derivace funkcemi proměnných x, y. Označujeme je fx(x, y), fy(x, y),popř. j^f(x, y), j$f(x, y), f'xix, y), f'y{x, y),zx,zy,z'x,z'y. ii) Zcela analogicky se definují parciální derivace funkce n proměnných. Je-li z = f(x\,..., xn) funkce n proměnných, x* = [x*,..., x*] e IR", definujeme ^(x*) = lim i [/(x*,..., x*_j, x* + t, x*+1,..., x*) - /(x*,..., x*)]. iii) Z definice parciální derivace plyne, že při jejím výpočtu postupujeme tak, že všechny argumenty kromě toho, podle něhož derivujeme, považujeme za konstanty. Protože parciální derivace fx. funkce n proměnných je definována jako „obyčejná" derivace podle proměnné x,, platí pro počítání parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. Uvedeme je přímo pro funkci n proměnných. Veta 3.1. Nechť funkce f, g : IR" —>• IR mají parciální derivaci podle proměnné Xi, i e {1,..., n}, na otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a podíl má na M parciální derivaci podle x; a platí 9 3 3 — [f(x) ± g(x)] = —f(x) ± —gix), d T ■ ň X: ň Y; 32 Parciální derivace ^lf(x)g(x)] = ^f(x)g(x)+g(x)^f(x), dXi dXi dXi 3 (fixy f(x)g(x)- f(x)^g(x) dxi \g(x)) g2{x) přičemž tvrzení o podílu derivací platí za předpokladu, že g(x) ^ 0. Příklad 3.1. i) Vypočtěte parciální derivace funkce dvou proměnných a) z = arctg | b) z = xy, x > 0. Řešení, a) Při výpočtu parciální derivace podle proměnné x považujeme proměnnou y za konstantu, tj. y Analogicky, 1 /l x2 + yz x Zy = 1 _|_ li \xj x2 + r b) Parciální derivaci podle x určíme jako derivaci mocninné funkce a derivaci podle y jako derivaci exponenciální funkce se základem x, tj. zx = yxy~l, zy = xy \nx. ii) Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce Řešení. Při výpočtu parciální derivace podle proměnné xi považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty: d dxi xt H-----h xi e 2 pxf+-+xZ xí + ---+xí e*í+~+< + 2xiJx2 + ---+X2 e*í+-+*» = XÍ + ---+X1 [l+2(x2 + ---+x2n)] Parciální derivace 1. řádu 33 Geometrický význam parciálních derivací. z = f(x, y) Nechť je dána funkce / : Rz -> R a G f je její graf. Nechť % je rovina daná rovnicí y = yo. Za rozumných předpokladů (např. spojitost funkce /) je průsečíkem G f n 71 křivka y v rovině % a parciální derivace fx(xo,yo) udává směrnici tečny t k této křivce v bodě Qq = [xo, yo, f(x0, y o)], viz vedlejší obrázek. (Připomeňme, že směrnice tečny t je tg a). Podobně, derivace fy(xo, y o) u-dává směrnici tečny ke křivce v bodě Qo, která vznikne průsečíkem plochy G f s rovinou x = xq. Zatímco u funkcí jedné proměnné plyne z existence derivace v daném bodě její spojitost, u funkcí více proměnných toto tvrzení neplatí. Má-li funkce f : R2 —>• IR parciální derivace v bodě [xq, yo], nemusí být v tomto bodě spojitá, jak ukazuje následující příklad. Příklad 3.2. Funkce definovaná předpisem f(x, y) = ■ 1 pro x = 0 nebo y = 0 0 jinak má v bodě [0, 0] obě parciální derivace (rovny nule) a není zde spojitá, neboť v tomto bodě neexistuje limita (grafem funkce je podstavná rovina, z níž je „vyzdvižen" osový kříž). Skutečnost, že z existence parciálních derivací neplyne spojitost, je zcela přirozená, neboť parciální derivace udávají informaci pouze o chování funkce ve směrech rovnoběžných se souřadnými osami, přičemž v jiných směrech se funkce může chovat „velmi divoce". 34 Parciální derivace 3.2. Derivace vyšších řádů Definice 3.2. Nechť [xq, yo] € D(fx). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné x v bodě [xo, yo], nazýváme tuto derivaci parciální derivací 2. řádu podle x funkce / v bodě [xo, yo] a značíme fxx(xo, yo) nebo také y (x0, yo). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné y v bodě [xo, yo], nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu funkce / v bodě [x0, y0] a značíme fxy(x0, yo) nebo také %Jr(x0, y0). Obdobně definujeme parciální derivace 2. řádu fyx(xo, y o) a fyy(xo, yo). Parciální derivace n-tého řádu in > 3) definujeme jako parciální derivace derivací in — l)-tého řádu. Příklad 3.3. i) Vypočtěte derivace 2. řádu obou funkcí z Příkladu 3.1 i). Řešení, a) V případě funkce z = arctg | jsme vypočetli zx = — x2+y2, zy = Odtud Zxx = A (Zx) = A (__y—) = 2xy dx x dx \ x2 + y2 J (x2 + y2)2 Podobně d_/_ y \ x2 + y2- 2y2 y2 - x2 Zxy dy \ x2 + y2) ' (x2 + y2)2 ' (x2 + y2)2' d ( x \ _ x2 + y2 - 2x2 y2 -x2 Zyx ~dx~ \x2 + y2) ~ (x2 + y2)2 ~ (x2 + y2)2, 3 / x \ 2xy Zyy =dy~ WT72) = " (x2 + y2)2• Pro funkci z = xy z části b) je zx = yxy~l, zy = xy lnx. Odtud zxx =y(y - í)xy~2, zxy = xy~l + yxy~l lnx, zyx =yxy~l lnx + xy — = xy~l + yxy~l lnx, zyy = xy ln2x. ii) Ukažte, že pro funkci u = , 1 platí uxx + uyy + uzz = O.1 ^/x1+y1+z1 svedený příklad hraje důležitou roli ve fyzice; podrobněji viz příklad 5.3ii) Derivace vyšších řádů 35 Řešení. Při výpočtu parciálních derivací využijeme skutečnost, že funkce u závisí na proměnných x,y, z symetricky Platí x (x2 + y2 + z2)i' (x2 + y2 + z2)i - 3x2(x2 + y2 + z2)Hx2 + y2 + z2Ý 1 3*' + x2 + y2 + z2 (x2 + y2+z2)2 Ze symetrické závislosti na zbývajících proměnných pak dostáváme 1 3y Uyy — „ „ „ ~T~ 2 x2 + y2 + z2 (x2 + y2 + z2)2' 1 3z 2 ^77 - i <-> i "I" zz ~ x2 + y2+z2 (x2 + y2 + z2)2' Odtud nyní snadno ověříme platnost rovnice uxx + uyy + uzz = 0. Všimněme si, že u obou funkcí v části i) předcházejícího příkladu vyšla rovnost zxy = zyx- Následující věta ukazuje, že tyto rovnosti nejsou náhodné. Věta 3.2. (Schwarzova1) Nechť funkce f má spojité parciální derivace fxy, fyx v bodě [xq, yo]. Pak jsou tyto derivace záměnné, tj. platí fxy(x0, y o) = fyx(x0, y0). (3.2) Důkaz. Ze spojitosti funkcí fxy a fyx v bodě [xo, yo] plyne existence 8-okolí U = (xq — 8, xo + 8) x (yo — 8,yo + 8) bodu [xo, yo\, v němž jsou parciální derivace fxy a fxy definovány. Pro 0 < h < 8 položme -„x f(xo + h,yo + h)-f(xo + h,yo)-f(xo,yo + h) + f(xo,yo) F (li) =-—2- (3.3) a dále označme \y\, 0 pro \x\ < \y\. Pak pro y ^ 0 je fx (0, y) = 0 a pro y = 0 je podle definice parciální derivace fx(0, 0) = lim---= hm---= 0. h^0 h h^0 h Pro x ^0a/iv absolutní hodnotě dostatečně malá je fix, h) = xh, tedy fjx,h)-fjx,0) xh-0 fy (x, 0) = hm-= hm-= x y h-,o h h-,o h a konečně f m m r /(°' h)-fj0,0) 0 fy (0, 0) = lim---= lim - = 0. yK ' h^o h h^oh Směrové derivace_37 Využitím těchto výsledků plyne z definice parciálních derivací 2. řádu /XJ(0, 0) = hm---= hm 0 = 0, f mm r fy(h,0) - fy(0,0) h-0 fyx(0, 0) = hm -1--—--= hm —-— = 1. y h-,o h h-,o h Matematickou indukcí můžeme tvrzení Schwarzovy věty rozšířit pro derivace vyssich radu. Věta 3.3. Má-li funkce f v bodě [xq, yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n, pak hodnota parciální derivace řádu n v libovolném bodě z tohoto okolí závisí pouze na tom, kolikrát se derivovalo podle proměnné x a kolikrát podle proměnné y, nikoliv na pořadí, v jakém se podle těchto proměnných derivovalo. 3.3. Směrové derivace Parciální derivace funkce / v bodě x e W1 jsou obyčejné derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce / na přímku jdoucí bodem x a rovnoběžnou s / -tou souřadnicovou osou. Zobecněním parciálních derivací jsou směrové derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce na přímku j doučí bodem x a maj ící směr daného vektoru u e V". To znamená, že vyšetřujeme funkci (p(t) — f(x + tu), která je již funkcí jedné proměnné, a pro ni je pojem derivace již dobře znám. Poznamenejme, že V" je standardní označení pro zaměření rc-rozměrného euklidovského prostoru. Definice 3.3. Nechť / je funkce n proměnných, x je vnitřní bod <£>(/), u e V". Položme (p(t) — f(x + tu). Má-li funkce (p derivaci v bodě 0, nazýváme ji smerovou derivací funkce / v bodě x (derivací / ve směru vektoru u) a označujeme fu(x). To znamená, že (p(t)-(p(O) f(x + tu)-f(x) fu(x) = lim- = lim-. í^O t t^o t Poznámka3.2. i) Nechť (e\,..., en) je standardní báze v V" (vektor má na í-tém místě jedničku a na ostatních místech nuly). Pak fei(x) — fXi(x), tj. směrová derivace podle vektoru et je totožná s parciální derivací podle proměnné x{. ii) Jelikož je směrová derivace obyčejnou derivací funkce (p, platí pro počítání tato pravidla: Nechť existuje /„, gu\ bodě x e W1. Pak a) pro všechna c e M existuje fcu (x) a platí fcu (x) — cfu (x) 38 Parciální derivace b) (f ± g)u(x) = fu(x) ± gu(x) C) (fg)u(x) = fu(x)g(x) + f(x)gu(x) d) Je-li g(x) / O, pak g/u g O) iii) Naopak neplatí aditivita směrových derivací vzhledem ke směrům. Jestliže existují fu, fv, nemusí existovat fu+v a pokud existuje /„+„, může být fu + fv / fu+v, viz následující příklad, část ii). iv) V Příkladu 3.2 jsme ukázali, že z existence parciálních derivací funkce / v bodě [xq, jo] neplyne spojitost funkce. V části iii) následujícího příkladu ukážeme, že ani existence směrové derivace v bodě [xo, jo] ve směru libovolného vektoru m e V2 není postačující pro spojitost. Toto je na první pohled překvapující skutečnost, uvědomíme-li si však, že směrové derivace popisují chování funkce /, blížíme-li se k bodu [xo, jo] po přímkách, a definice limity (pomocí níž je definována spojitost v bodě [xo, jo]) zachycuje všechny způsoby „přiblížení" (např. po parabolách), je toto zcela přirozené. Příklad 3.5. i) Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, j) = arctg (x2 + j2) v bodě [1, —1] ve směru vektoru u — (1, 2). Řešení. Přímým dosazením do definice a využitím ľ Hospitalova pravidla dostáváme arctg[(l+ř)2 + (-l+2ř)2]-arctg2 /(i,2)(l, 1) = lim--- arctg(2 -2t + 5t2) - arctg 2 -2 + lOř 2 lim- = lim-r-rr = —. f^O t t^o 1 + (2 - 2t + 5ř2)2 5 ii) Ukažte, že pro funkci /(x,j) = x-$±fi pro(x,j)^[0,0] xz+yz [0 pro (x, j) = [0,0] a vektory u = (1, 0), v = (0, 1) existují/M(0, 0), fv(0, 0), fu+v(0, 0), avšak fu+v(0, 0) ^ /«i(0,0) + /„(0, 0). Řešení. Platí fu = fx, fv = fy Protože f(t, 0) = 0 = /(0, t), je /„(0,0) = 0 = fv(0, 0). Pro derivaci ve směru vektoru u + v — (1,1) dostáváme z definice směrové derivace fu+v(0, 0) = lim -[/(0 + ř, 0 + ř) - /(0, 0)] = lim ^—^ = 1. Tedy 1 = fu+v(0, 0) # /M(0, 0) + /„(0, 0) = 0. Směrové derivace 39 iii) Ukažte, že funkce / definovaná předpisem f(*,y)=\M>- PKA,v)AO,0], (O, pro (x, y) = [0,0] má v bodě [0, 0] směrovou derivaci ve směru libovolného vektoru m e V2 a přesto není v tomto bodě spojitá. Řešení. Je-li 0 ^ u — {u\, u2) e V2 libovolný, podle definice směrové derivace platí 1 t4u4 ■ t2u2 fu(0, 0) = lim -[/(0 + tui, 0 + tui) - /(0, 0)] = lim —-j-= t^o t t^o t{ru\ + t4u\) tU4U2 = 1Ím A R zL = 0. f->0 ru\ + m4 Blížíme-li se k bodu [0, 0] po parabolách y — kx2, dostáváme x4 ■ k2x4 k2 lim x^0XS+k4XS l+k4' To však znamená, že lim f(x, y) neexistuje, tedy funkce / není v bodě [0, 0] spojitá. Definuj eme-li směrové derivace 2. řádu vztahem fuv(x ) = lim-, í^0 t platí analogické tvrzení jako věta o záměnnosti smíšených parciálních derivací. Věta 3.4. Nechť u, v e V", funkce f : W1 —> M má v bodě x* spojité směrové derivace fuv a fvu- Pak jsou si tyto derivace rovny, tj. fuv (x ) = fvu (x ) ■ Poznámka 3.3. Předpokládejme, že funkce / má v bodě x* spojité parciální derivace 2. řádu a označme f"(x*) — (fXiXj), i, j — 1, ... ,n, matici parciálních derivací druhého řádu funkce / v bodě x* (tato matice se někdy nazývá Hessova matice funkce / v bodě x*), pak pro libovolná u, v e V" existuje smíšená směrová derivace fuv(x*) a platí fuvíX*) = fvuíX*) = {f"(x*)U, V) = (f"(x*)v, U), kde (,} je obvyklý skalární součin v M". 40 Parciální derivace 3.4. Lagrangeova věta o střední hodnotě Jedním z důležitých tvrzení diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné je Lagrangeova1 věta o střední hodnotě. Tato věta říká, že pro diferencovatelnou funkci / : [a, b] -> M lze rozdíl f(b) — f (a) vyjádřit ve tvaru f(b) - f (a) = f'(š)(b - a), kde £ e (a, b). Její analogií pro funkce dvou proměnných jsou následující dvě tvrzení; první pro parciální derivace, kdy „body střední hodnoty" leží na hranici obdélníku určeného danými dvěma body, a druhé tvrzení pro směrovou derivaci. Věta 3.5. Předpokládejme, ze funkce f má parciální derivace fx a fy ve všech bodech nějakého obdélníku M C M2 a nechť[xo, yo], Ol, Ji] G M. Pak existují čísla £, rj ležící mezi xq, x\ resp. yo, yi taková, ze /Ol, yi) - /Oo, yo) = fx(M, yi)Ol - *o) + fy(x0, r))(yi - y0). Důkaz- Platí /Oi, yi) - /Oo, yo) = /Oi, yi) - /Oo, yi) + /Oo, yi) - /Oo, yo) = = fx(M, yi)Oi - ^o) + /yOo, i)Oi - jo). V poslední úpravě jsme aplikovali Lagrangeovu větu pro funkce jedné proměnné na funkce Jo) poněkud odlišně, a to /Oi, ji) - /Oo, jo) = /Oi, ji) - /Oi, jo) + /Oi, jo) - /Oo, jo), dostáváme nepatrně odlišné vyjádření /Oi, ji) - /Oo, jo) = fxiMl, jo)Oi - -«o) + /yOl, ii)(ji - jo). V tomto vyjádření body [£i, yo] a [x\, r]\] leží na zbývajících dvou stranách obdélníku. Projdeme-li důkaz Věty 3.5, snadno zformulujeme analogickou větu pro funkce n proměnných. Jsou-li x* — [x*,..., x*], x = [xi,..., xn] e M", existují body zi, ■ ■ ■, zn eř ležící na hranách n-rozměrného kvádru určeného body x* a x takové, že /o) - /o*) = J2 ^-(zk)(xk - x*k). Joseph Louis Lagrange (1736-1813), francouzský matematik Lagrangeova věta o střední hodnotě 41 Aplikujeme-li Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro funkci jedné proměnné na funkci (p(t) — f(x + tu), dostáváme větu o přírůstku v následujícím tvaru. Věta 3.6. Nechť f : W1 —> M má derivaci ve směru vektoru u e V" ve všech bodech úsečky {x + tu; t e [0, 1]}. Pak existuje takové číslo ů e (0, 1), ze platí f(x + u)-f(x) = fu(x + ůu). Cvičení. 3.1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí: a) z = x3 + 2x2y + 3xy2 + Ax - 5y + 100 h) z = arctg b) z = ^4^ i)z = ^ c) z = x sin (x + 2y) j) z = ln O + y/x^+y2) d) z = sin í • cos l k)u= e^1"^ e) u = Xy/l - y2 + yVl - x2 - Z\/l - x2 - y2 1) z = arctg | f) z = e >■ m) z = arcsin - g)z = ln(^) n)w=ln _ , l-s/x1+y1+z2 y l+jx2+y2+z2 3.2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí: a) z = x b) z = 2 xy xy c) z = (±y d) z = xy ■ ln(x + y) e) z = (2x + y)2x+y g) z = xy ■ ďmnxy h) u = x z i) z = arctg (x - y)2 j) u = sin(x2 + y2 + z2) k) u = xyZ r_|_ aj \ 2 —^ + arcsin xy J x+y xy 3.3. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu následujících funkcí v daných bodech: a) z = y2 + y • Vl + x: b) z = ln(x + \ _ X-COS J —J-COSX ' ^ 1+sinx+sinj v [2,5] v [1,2] v [0,0] 42 Parciální derivace 3.4. a) Vypočtěte uz v bodě [0,0,^], je-li u = ysin2 x + sin2 y + sin2 z. b) Vypočtěte ux + uy + uz v bodě [1,1,1], je-li u = ln(l + x + y2 + z3). 3.5. Ověřte rovnost zxy = zyx u funkcí: a) z = x2 — 2xy — 3y2 b) z = arccos ^ 3.6. Najděte parciální derivace 1. a 2. řádu funkcí: a) z = x4 + y4 - 4x2y2 g) z = x(x+y) b) z = w h)z = ln^~2-x y ■s/x1+y1+x c) z = ji i) z = ln(x + y2) d) z= r^— j) z = ln y/x2 + y2 e) z = x siníx + y) k) z = arcsin , x f) z = ^ l)z = (l+x2y Moudrost není produktem vzdělání, ale celoživotním úsilím. (A. Einstein) Kapitola 4 Diferenciál funkce Diferenciálem funkce / jedné proměnné v bodě xq rozumíme přírůstek funkce na tečně vedené ke grafu funkce v bodě [xo, f(xo)]. V tomto případě existence diferenciálu neboli diferencovatelnost funkce je ekvivalentní existenci derivace v bodě xo. Připomeňme, že / : IR -> IR je diferencovatelná v bodě xo, jestliže existuje reálné číslo A takové, že f(x0+h)-f(x0)-Ah lim-= 0. h^O h U funkce n proměnných (n > 2) je totální diferenciál definován analogicky: je to přírůstek funkce na tečné nadrovině vedené ke grafu funkce bodem xo e IR". Přesnou definici pojmu tečná nadrovina uvedeme později; v podstatě je to ňadro vina (tj. afinní podprostor dimenze n — 1), která má s grafem funkce lokálně (tj. v okolí bodu, kde tečnou nadrovinu sestrojujeme) společný právě jeden bod. Se zavedením těchto pojmů okamžitě vznikají tyto otázky: Kdy v daném bodě existuje tečná nadrovina ke grafu funkce neboli kdy je funkce diferencovatelná? Stačí k tomu pouhá existence parciálních derivací jako u funkce jedné proměnné? Odpovědi na tyto a další podobné otázky jsou obsahem této kapitoly. 4.1. Diferencovatelná funkce, diferenciál Nejdříve definujme pojem diferencovatelnosti a diferenciálu pro funkce dvou proměnných. 43 44 Diferenciál funkce Definice 4.1. Řekneme, že funkce / : IR2 -> IR definovaná v okolí bodu [xq, y o] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, 5 taková, že platí /(*o + Ä,;yo+*)-/(*o, ľo)- (Ah + Bk) lim -, -= 0. (4.1) (*,*)-► (0,0) V/i2 + k2 Lineární funkce Ah + B k proměnných h, k se nazývá diferenciál funkce v bodě [xq, y0] a značí se df(x0, yo)(h, k), příp. df(x0, y0). Poznámka 4.1. i) Ekvivalentní zápis definice diferencovatelnosti funkce dvou proměnných je tento: existují A, B e IR a funkce x : IR2 -> IR tak, že platí f(x0 + h,y0+k)- f(x0, y0) = Ah + Bk + r(h, k) (4.2) kde r(h,k) lim / = 0. (4.3) (*,*)-► (0,o) V/i2 + k2 ii) Jmenovatel limity ve výrazu (4.1) je velikost vektoru (h,k) v euklidovské metrice. V odstavci 2.1 jsme zdůraznili ekvivalentnost metrik p\, p2 a Poo- Proto nahradíme-li výraz \/h2 + k2 výrazem \h\ + \k\ (velikost (h,k) v metrice p\) nebo výrazem max{|/i|, |A:|} (velikost (h,k) v metrice p^), dostaneme definici ekvivalentní s Definicí 4.1. V předchozí kapitole jsme ukázali, že pro funkce dvou a více proměnných z existence parciálních derivací ani směrových derivací neplyne spojitost. Následující dvě věty ukazují, že diferencovatelnost funkce je tou „správnou" vlastností, která implikuje spojitost a některá další vlastnosti funkce. Veta 4.1. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [xq, y$~\, pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz. Z diferencovatelnosti funkce / v bodě [x0, y o] plyne lim [f(x0 + h, y0+k) - f(x0, y0)] = lim [Ah + Bk + xQi, k)] = 0, (0,0) (/!,£)-► (0,0) neboť podle Poznámky 4.1.i) je lim^^to.o) k) = 0. Odtud lim f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0), (h,k)->(0,0) Diferencovatelná funkce, diferenciál 45 je tedy funkce / spojitá v bodě [xq, y(0,0) h V'h2 + k2 k + + (Ä,Ä,o) [/^0'yo + Ů2k) ~ fy(xo>yo)]' VFTF = o, neboť ze spojitosti parciálních derivací plyne, že limity výrazů v hranatých závorkách jsou nulové, a platí h V/*2 + k2 < 1, V/*2 + k2 < 1, tj. podle Věty 2.2 je výsledná limita nulová. Dokázali jsme platnost (4.1). □ Příklady funkcí, které jsou, resp. nejsou diferencovatelné v daném bodě - viz příklady 13.4, 13.5, 13.9. Obecně, funkce n proměnných / : M" —> M je diferencovatelná v bodě x* e Rn, jestliže existuje a — (a\, ..., an) e V" takové, že pro h — (h\, ..., hn) e V" platí /(x* + /0-/(x*)-(a,/í) lim- = 0, h^o IIAH 48 Diferenciál funkce kde \\h\\ — ^Jh2 + • • • + h2 a (a, h) — YTi=\ aini Je obvyklý skalární součin v M". Diferenciálem funkce / v bodě x* pak rozumíme lineární funkci definovanou předpisem n i—> (a,n), tj. df(x*)(h) — (a, h). Stejně jako ve Větách 4.1 a 4.2, z existence diferenciálu v bodě x* plyne spojitost funkce a existence parciálních derivací v tomto bodě a pro vektor těchto parciálních derivací f'(x*) platí f'(x*) — a, tj. ^(x*) — a,-, ? = 1, ..., n. Na závěr tohoto odstavce ukažme, že z diferencovatelnosti funkce plyne - kromě spojitosti a existence parciálních derivací - také existence směrové derivace ve směru libovolného vektoru. Ukážeme také, jak lze pomocí diferenciálu tyto směrové derivace spočítat. Věta 4.4. Předpokládejme, ze funkce f : W1 —> Wje diferencovatelná v bodě x* e W1 a nechť u € V". Pak existuje směrová derivace fu(x*) a platí Mx*) = (f'(x'), u) = T ^-(x*)uk. tldxk Důkaz- Nechť / je diferencovatelná v bodě x*. Z definice směrové derivace dostáváme f(X* +tu)~ f(x*) df(x*)(tu) + T(tu) fu(x ) = lim-= lim t t^o t | lim ^ = í^o \\tu\ neboť lim^ogí = 0. C Ve fyzikální terminologii se vektor f'(x*) nazývá gradient funkce / v bodě x* a značí se grad /(jc*). Z lineární algebry víme, že skalární součin (grad f(x*), u) nabývá pro vektory u dané konstantní délky největší hodnotu, jestliže jsou vektory grad/(x*) a u lineárně závislé. Protože směrová derivace fu(x*) udává rychlost změny funkce / ve směru vektoru u, je grad f(x*) směr, v němž funkce / v bodě x* nejrychleji roste. Podobně, — grad f(x*) je směr, v němž funkce nejrychleji klesá. Poznámka 4.4. Diferenciál definovaný v Definici 4.1 se nazývá také totální nebo také Fréchetův a lze jej definovat i pro zobrazení mezi lineárními normovanými prostory, což jsou většinou nekonečně dimenzionální prostory. Kromě toho existují jiné, obecnější diferenciály, používané často v diferenciálním počtu v normovaných lineárních prostorech, např. slabý (Gáteauxův) diferenciál. Podrobnější informace o této problematice lze nalézt ve skriptu [N2]. Diferenciály vyšších řádů 49 4.2. Diferenciály vyšších řádů V tomto odstavci zavedeme diferenciály vyšších řádů pro funkce více proměnných. Připomeňme, že diferenciál m-tého řádu funkce jedné proměnné v bodě x e IR je mocninná funkce m-tého stupně přírůstku h dmf(x)(h) = f(m\x)hm. Přírůstek h se často označuje také dx, tj. dm f(x) = f^m\x)(dx)m, přičemž existence diferenciálu m-tého řáduje ekvivalentní existenci derivace /(m)(x). Pojem diferenciálu m-tého řádu funkce n proměnných bychom mohli definovat pomocí jisté limity jako v Definici 4.1 pro diferenciál prvního řádu a pak ukázat, že z existence m-tého diferenciálu plyne existence parciálních derivací m-tého řádu, které jsou rovny jistým konstantám vystupujícím v limitním vztahu definujícím m-tý diferenciál (srovnej s Větou 4.1 pro m = 1). Podrobně je tento postup uveden ve skriptu [N2]. Zde pro jednoduchost uvedeme pouze konečný výsledek, který nejprve zformulujeme pro funkci dvou proměnných. Definice 4.2. Nechť funkce / : IR2 -> IR má v bodě [xq, yo] spojité parciální derivace až do řádu m včetně. Diferenciálem m-tého řádu funkce / v bodě [xo, yo] rozumíme homogenní funkci m-tého stupně dmf(x0,yo)(h,k) = ^)^J^i^yQ)hÍ^~Í- Poznámka 4.5. Pro případ m = 1 je vzorec pro dm f samozřejmě totožný se vztahem (4.4). Pro m = 2, 3 dostáváme diferenciály 2. a 3. řádu d2f(x0, yo) = fxxixo, y0)h2 + 2fxy(x0, yo)hk + fyy(x0, y0)k2 d3f(x0, yo) = = fxxxixo, yo)h3 + 3fxxy(x0, yo)h2k + 3fxyy(x0, yo)hk2 + fyyy(x0, yo)k3. Pro případ n proměnných je diferenciál m-tého řádu homogenní funkce n proměnných h — {h\,... ,hn) j r\ ffl p dmf{x*){h)= V m\ " 1 (x*)hj^...ht. 50 Diferenciál funkce Tento vztah se často zapisuje pomocí formálního umocnění takto: (9 d \m — hl+■■■ + —hn) f(x% přičemž po „normálním" umocnění nahradíme součiny 3 * V1 / 3 * xk — /(**) ...(—f(x*) axi I \dxn členy dnf , d>"f / ^ dxf dxJnn Např. diferenciál 2. řádu funkce dvou proměnných lze pomocí formálního umocnění zapsat takto: 2 í 9 9 V d f(xo, yo) = —h + — k f(x0, yo). \dx dy / 4.3. Kmenová funkce V tomto odstavci řešíme následující úlohu: Je dána dvojice funkcí dvou proměnných P(x, y), <2(x,y)a máme rozhodnout, zda existuje funkce H(x, y) taková, že Hx = P, Hy = Q. V kladném případě máme tuto funkci určit. Funkce H se nazývá kmenová funkce funkcí P, Q. Odpověď na otázku existence kmenové funkce dává následující věta. Věta 4.5. NechťP, Q jsou spojité funkce proměnných x, y definované na otevřené jednoduše souvislé1 množině Q C M2, které mají na této množině spojité parciální derivace Py, Q x. Pak výraz P (x, y)dx + Q(x, y)dy je diferenciálem nějaké funkce, právě když platí Py(x, y) = Qx(x, y) pro každé [x,y] e Q. (4.7) Důkaz. „<="'■ Nechť platí (4.7) a [xo, yo] e Q je libovolné. Položme H(x,y) = í P(t,y)dt+ í Q(x0,t)dt. oblast se nazývá jednoduše souvislá, jestliže libovolnou uzavřenou křivku ležící v lze spojitě deformovat v do bodu. Kmenová funkce 51 PakHx(x,y) = P(x,y)a PX PX Hy(x, y) = Q(x0, y) + Py(t, y) dt = Q(x0, y) + Qx(t, y) dt = Jx0 Jx0 = Q(x0,y) + Q(t,y)\tt2xX0 = Q(x,y). „=>■": Je-li výraz P dx + Qdy diferenciálem nějaké kmenové funkce H, pak P = Hx, Q = Hy. Ze spojitosti parciálních derivací Py, Qx plyne spojitost smíšených derivací Hxy a Hyx, které jsou si rovny (Schwarzova věta 3.2) a rovnost Hxy = Hyx je ekvivalentní rovnosti (4.7). □ Příklad 4.3. Rozhodněte, zda výraz (x2 — y2)dx + (5 — 2xy)dy je diferenciálem nějaké funkce; v případě, že ano, určete tuto (kmenovou) funkci. Řešení. Nejprve ověříme, zda je uvedený výraz opravdu diferenciálem. Platí 9 d — (5 - 2xy) = -2y, — (x2 - y2) = -2y, dx óy tj. podle Věty 4.5 je zadaný výraz diferenciálem jisté kmenové funkce H. Dále platí x3 H (x, y) = j (x2 - y2)dx = '— - yĹx + M se spojitými parciálními derivacemi prvního řáduje výraz P\{x)dx\ + • • • + Pn(x)dxn diferenciálem jisté kmenové funkce n proměnných v bodě x — [x\,..., xn], právě když d d — Pj(x) = —Pi(x), i,j = l,...,n, i^j. oxi dxj Praktický postup při určování kmenové funkce v případě tří proměnných je ilustrován v následujícím příkladu. Příklad 4.4. Rozhodněte, zdaje výraz (y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz diferenciálem jisté funkce H(x, y, z)- Pokud ano, tuto funkci určete. Řešení. Nejprve ověříme, zdaje daný výraz opravdu diferenciálem: 9 d d d — (y+z) = 1 = —(x + z), T(x + y) = 1 = — (y + z), dy dx dx dz d d — (x+z) = l = — (x+y). dz dy Kmenovou funkci určíme takto: H(x, y,z) — j'(y + z) dx = yx + zx + C(y, z), kde funkce C(y,z) opět hraje roli integrační konstanty. Derivováním podle y a z a porovnáním s funkcemi u dy, dz dostáváme d — H(x,y,z) = x + Cy(y,z) = x+z, tj. Cy(y,z) = z dy d — H(x,y,z) = x + Cz(y,z) = x + y, tj. Q(y,z) = y. dz Tím jsme dostali stejný problém jako v Příkladu 4.3, kdy je třeba určit funkci C(z, y), jestliže známe obě její parciální derivace. Stejným postupem jako v Příkladu 4.3 snadno zjistíme, že C(y, z) — yz + c, c e M. Zadaný výraz je diferenciálem funkce H(x, y, z) — xy + yz + xz + c, cel Kmenová funkce 53 Poznámka 4.7. Skutečnost, zda je výraz P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz (4.9) diferenciálem jisté funkce, hraje fundamentální roli v teorii křivkových integrálů a v jejich fyzikálních aplikacích. Funkce P, Q, R můžeme chápat jako souřadnice nějakého silového pole v prostoru - vektor F(x, y, z) — (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) udává směr a velikost síly působící v bodě [x, y, z]- Toto pole se nazývá konzervativní nebo také potenciálové, jestliže se při pohybu v tomto poli po libovolné uzavřené křivce nevykoná žádná práce (tuto vlastnost má například pole gravitační). Lze ukázat, že pole F je konzervativní, právě když je výraz (4.9) diferenciálem jisté funkce H. Tato funkce se ve fyzikální terminologii nazývá potenciál silového pole. Cvičení. 4.1. Určete diferenciál funkce v daném bodě, popř. v obecném bodě tam, kde není konkrétní bod specifikován: &)z = xy + z,[x0,yo\ = [l,l] e) z b) z = arctg\, [x0, y0] = [1, -1] f) z c) z = arctg [x0, y0] = [VI, 1] g)u d) u = x?, [xo, yo, zo] = [2, 1, 1] h)u 4.2. Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně: a) arctg c) 7(1, 02)3 + (1, 97)3 e) b) arcsin d) ln(0, 972 + 0, 052) f) e0'053"0-02 g) O kolik cm3 se změní přibližně objem kužele s poloměrem podstavy r = 10cm a výškou /i=10cm zvětšíme-li poloměr podstavy o 5mm a výšku o 5mm zmenšíme. h) O kolik přibližně musíme změnit výšku komolého jehlanu se čtvercovou základnou s délkami hran a = 2m, b =lm a výškou v =lm, jestliže a zvětšíme o 7cm a b zmenšíme o 7cm chceme-li, aby objem zůstal nezměněn. = y/x2 + y2, [x0, y0] = [3, 4] = arcsin J—, [x0, y0] = [1, VI] V* +y = x2^yi, [xo, yo, zo] = [1,0,1] = (f)*- 54 Diferenciál funkce xy 4.3. Rozhodněte, zda funkce / je diferencovatelná v bodě [0, 0]: [x,y]#[0, 0] [x,y] = [0, 0] i)/(íj) = VW b)/(x,y) = c) /(*, ľ) = ' s/x2+y2 0 U, y] ŕ [0,0] 1 [x, v] = [0,0]. 4.4. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě: a) fix, y) = y/\ - x2 - y2, [x0, y0, zo\ = [^, ^, ^] b) fix, y) = x2 + xy + 2y2, [x0, y0, z0] = [1, 1, 4] c) fix, y) = arctg y- [x0, y0, z0] = [1, -1, ?] d) /(*, y) = e — p.* +y [xq, y0, zq] = [0, 0, ?]. ď)f(x,y)=x> 4.5. Na grafu funkce / najděte bod, v němž je tečná rovina (nadrovina) rovnoběžná s danou rovinou (ňadrovinou): a) f(x, y) = x3 + y3, p = Í2x + 3y - z = 0 b) fix, y) = y/l - x2 - y2, p = ax+by-z = 0 -y2, p = x + y + z = 0 p = x — z = 0 e) f{x, y, z) = x^Jz2 + y2, p = x + y- z- u= 0 f) fix) = yjx\ H-----\-x2, p = aixi H-----h anxn + xn+l = 0. 4.6. Pomocí diferenciálu vypočtěte směrové derivace funkce / ve směru vektoru u v daném bodě: a) fix, y) =xy, u = (1, 2), [x0, y0] = [1, 1] b) fix, y, z) = Jx2 + y2 + z2, u = (1, 0, 1), [x0, y0, z0] = [0, 1, 0]. 4.7. Vypočtěte diferenciály vyšších řádů zadaných funkcí (v obecném bodě): a) z = x ln(xy), d2z =? b) z = x3 + y3 - 3xyix - y), d2z =? c) z = ix2 + y2)ex+y, dnz =? d) z = ln(x + y), dnz =? e) z = g, d"z =? f) u = xyzex+y+z, dnu =?. 4.8. Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce, a pokud ano, najděte je: a) ix + ln y) dx + (- + sin y) dy c) x dx+y dy b) x sin 2y dx + x2 cos 2y dy ■sjx2+y2 d) iy2 -í)dx + i2xy + 3y) dy 4.9. Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce, a pokud ano, najděte je: Kmenová funkce 55 a) (3x2 - 3xyz + 2)dx + (3y2 - 3xz + ln y + l)dy + (3z2 - 3xy + l)dz u y z dx _|_ xz dy . xy dz u yzax xzay ' l+x2y2z2 l+x2y2z2 l+x2y2z2 Nikdy nepovažujte své studium za povinnost, ale za záviděníhodnou příležitost naučit se poznávat osvobozující účinky krásy ve sféře ducha, abyste z toho vy získali osobní potěšení, a společenství, k němuž budete později patřit, výhody. (A. Einstein) Kapitola 5 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Stejně jako u funkce jedné proměnné potřebujeme u funkcí více proměnných určit parciální derivace složené funkce. To je obsahem prvního odstavce, kde také ukážeme použití odvozených vzorců. Druhý odstavec této kapitoly je věnován Taylorovu vzorci pro funkci více proměnných. Podrobnější srovnání s funkcí jedné proměnné provedeme v každém odstavci zvlášť. 5.1. Parciální derivace složených funkcí Vzorce pro parciální derivace složených funkcí jsou jedním z nejdůležitějších nástrojů řešení rovnic matematické fyziky. Tyto rovnice jsou tzv. parciální diferenciální rovnice - to jsou rovnice, které obsahují parciální derivace neznámé funkce a jejichž řešení jsou funkce dvou či více proměnných. Odvozené vzorce umožňují transformovat tyto rovnice na jednodušší tvar, z něhož buď již umíme najít řešení nebo alespoň můžeme vyvodit řadu důležitých vlastností řešení rovnice. Na úvod připomeňme, jak se derivuje složená funkce jedné proměnné. Nechť funkce u = g (x) má derivaci v bodě xq. Označme uq = g(xo). Má-li funkce y = f (u) derivaci v bodě uq, pak složená funkce y = F (x) = f (g (x)) má derivaci v bodě xq a platí: y'ixo) = f'(uo)g'(xo). Nyní odvodíme podobné vztahy pro parciální derivace složené funkce dvou proměnných. Bude nás především zajímat případ, kdy vnější funkce / není explicitně zadána (obvykle je to hledané řešení parciální diferenciální rovnice). 56 Parciální derivace složených funkcí 57 Věta 5.1. Nechť funkce u = u(x, y), v = v(x, y) mají parciální derivace prvního řádu v bodě [xq, yo], označme uq = u(xq, yo), vq = v(xq, yo). Je-li funkce z = f(u, v) diferencovatelná v bodě \uq, vq], pak složená funkce z = F(x, y) = f(u(x,y),v(x, y)) má parciální derivace 1. řádu v bodě [xq, yo] a platí: dF df du df dv -z-(x0, yo) = —(u0, v0) — (x0, yo) + —Oo, v0) — (x0, yo) dx du dx dv dx dF df du df dv — (xq, yo) = —Oo, vq) — (xq, yo) + — Oo, v0) — (xq, y0). dy du dy dv dy (5.1) Zkráceně píšeme Zx = ZUUX + ZVVX, Zy=ZuUy+ZvVy (5.2) nebo také dz dz du ^ dz dv dz dz du ^ dz dv ^ dx du dx dv dx' dy dudy dv dy Důkaz. Dokážeme pouze první vzorec v (5.1), druhý se dokáže zcela analogicky. Vyjdeme přímo z definice parciální derivace. dF F(x0 + t,y0) - F(x0,yo) t-(*o, yo) = lim---= dx t^o t (54) r f{u(xo + t, y0), v(xq + t, y0)) - f(u(x0, yo), v(x0, y0)) = lim-. f^o t Označíme-li u(t) = u(xo + t, yo), v(t) = v(xo + t, yo), z diferencovatelnosti funkce / plyne existence funkce x splňující (4.3) takové, že f(u(t), v(t)) - f(u0, v0) = = fu(uo, v0)(u(t) - u0) + fv(uo, v0)(v(t) - v0) + r(u(t) - u0, v(t) - v0). Dosazením tohoto vztahu do (5.4) dostáváme dF 1 -z-(x0, yo) = hm - [fu(u0, v0)(u(t) - u0) + fv(u0, v0)(v(t) - v0)+ dx t^o t u(xq + t, yo) — u(xq, yo) +r(u(t) - uo, v(t) - v0)] = fu(u0, v0) lim--h í^o t ,r v(x0 + t,y0)-v(x0,yo) , r r(u(t) - u0, v(t) - v0) + fv(uQ, vq) lim--h hm-= í^o t t^o t ľ(u(t) - Uq, v(t) - Vq) = fu(u0, vq)ux(xq, yo) + fv(u0, v0)vx(xq, yo) + lim f^o t 58 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec K dokončení důkazu nyní stačí ukázat, že poslední limita je nulová: x(u(t) - u0,v(t) - v0) x(u(t) - u0,v(t) - v0) lim-= lim — r~I " x(u(t) — Uq, V(t) — Vq) = V Mí (-«0, yo) + u*(*o> ľo) • lim == = 0. V posledním výpočtu jsme využili faktu, že lim^o u(t) = uq, lim^o v(t) = vo, neboť funkce w (O = u(xo + t, yo), v(t) = v(xo + t, yo) jsou spojité v bodě t = 0-to plyne z existencí parciálních derivací funkcí u, v v bodě t = 0 a pro funkci jedné proměnné plyne z existence derivace spojitost. □ Příklad 5.1. i) Je dána funkce z = e" sin v, kde w = xyau = x + y. Vypočtěte ZX &Zy. Řešení. Protože vnitřní i vnější složky mají spojité parciální derivace v celém IR2, má složená funkce parciální derivace v každém bodě tohoto prostoru. Dosazením do (5.2) dostáváme zx = zuux + zvvx = (e" sin v)y + (e" cos v), zy = zuUy +zvVy = (e" sin v)x + (ď cos v). Zbývá dosadit zauav,u=xyav = x + ya dostaneme zx = exy(y sin(x + y) + cos(x + y)), zy = exy(x sin(x + y) + cos(x + y)). ii) Pomocí transformace do nových nezávisle proměnných u = x + y, v = x — y najděte všechny diferencovatelné funkce / : IR2 —>• IR splňující rovnost fx(x,y) + fy(x,y)=0. (5.5) Řešení. Označme z = f(x,y). Pak zx = zuux + zvvx = zu + zv, zy = zuuy + zvvy = zu- Zy Dosazením dostáváme zu + zv + zu - zv = 2zM = 0, tedy zu = 0. To znamená, že funkce z = z(u, v) nezávisí na proměnné u a tedy z(u, v) = g (v), kde g je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Dosazením za v vidíme, že všechny diferencovatelné funkce dvou proměnných, které splňují (5.5) Parciální derivace složených funkcí 59 jsou tvaru f(x,y)=g(x — y), kde g je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. iii) Proveďte totéž jako v předchozím příkladě zavedením polárních souřadnic cp = arctg |, r = yj x2 + y2 do rovnice yfxix, y) - xfy(x, y) = 0. (5.6) Řešení. Vypočtěme nejprve parciální derivace funkcí r a cp. _ x y 1* r — i-■» fy — y/x2 + y2 y/x2 + y2 y x + y2' J x2 + y2 Označíme-li opět z = f(x,y) a dosadíme-li do vzorečků pro derivace složené funkce prvního řádu, dostáváme _ x _ y Zx ~Zr /~T~,-2 Z(p r2 _|_ v2 ' y/xz + yz x + y Zv =Zr ,-^= + Z X což po dosazení do (5.6) a úpravě dává rovnici zv = 0, a tedy z(r, M a m-tice funkcí g: M" —> M, které mají spojité parciální derivace 2. řádu. Označme ut — gki^i, ■ ■ ■, xn), k — 1, ..., m, Pak složená funkce F{x\, ..., xn) — f {g\{x\ ..., xn), ..., gm(x\, ..., xn) platí kde i, j — 1,2, ... ,n ave vzorci (5.9) je u — (u\ ..., u„), x — (x\,..., xn). Poznámka 5.3. i) Jsou-li funkce gi ve Větě 5.3 lineární, pak všechny členy v druhé sumě v (5.9) jsou nulové (neboť druhá derivace lineární funkce je nulová). Pak metoda formálního vynásobení derivací prvního řádu a následná náhrada součinů prvních derivací odpovídajícími druhými derivacemi dává přímo vztahy pro druhou derivaci. Takto je tomu např. v Příkladu 5.2 i). ii) Uvedli jsme si zde pouze vzorce pro parciální derivace složené funkce 1. a 2. řádu, které jsou potřeba v rovnicích matematické fyziky. Metodou stejnou jako v důkazu Věty 5.2 lze odvodit vztahy pro třetí a vyšší derivace, nebudeme je zde však již uvádět, neboťjsou formálně poměrně složité. a(x, y)zxx + 2b(x, y)zxy + c(x, y)zyy + f(x, y, z, zx, zy) = 0. (5.9) 64 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Příklad 5.3. i) Transformujte Laplaceovu rovnici v IR3 M-XX ~\~ Uyy -\- UZZ — 0 do sférických souřadnic x — r cos (p sin ů, y — r sin (p sin ů, z — r cos ů. Řešení. Mohli bychom postupovat podobně jako při řešení Příkladu 5.2 iii), zde však pro ilustraci různých možných metod postupujeme odlišně. Vyjádříme nejprve r, (p, ů pomocí x, y, z- Jednoduchými úpravami dostáváme l~o ť o y „ V*2 + y2 r — JxL + yL + z ,

• M, xo,xeIRa/i = x — *o- Taylorův polynom (mnohočlen) stupně n e N funkce / se středem v bodě xq je polynom Tn(x; x0) = a0 + ax{x - x0) H-----h a„(x - x0)n, ak = —-—, k\ k = 0,..., n. Koeficienty % určíme z požadavku, aby polynom Tn měl v bodě xq stejnou funkční hodnotu a hodnotu prvních n derivací jako funkce /. Taylorův polynom používáme k přibližnému výpočtu funkčních hodnot funkce / v okolí bodu xq. Taylorova věta udává velikost chyby, které se dopustíme, aproximujeme-li funkci Taylorovým polynomem. Obdobně je tomu u funkce více proměnných. Taylorův polynom funkce / : IR" —>• IR je polynom více proměnných, který má s funkcí / v daném bodě x* = [x*,..., x*] e IR" stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu všech parciálních derivací až do řádu n, kde n je stupeň polynomu. Pro funkce dvou proměnných dostáváme toto tvrzení. Věta 5.4. (Taylorova) Nechť funkce f : IR2 —^ IR má v bodě [xq, yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n + 1 včetně. Pak pro každý bod ^rook Taylor (1685-1731), anglický matematik Taylorova věta 67 [x, y] z tohoto okolí platí f(x,y) = Tn(x,y) + Rn(x,y) (5.10) kde df df Tn(x, y) = f(x0, y0) + —(x0, y0)h + — (x0, y0)k + dx 3yy + 2! Išx2 y°^h +2^xdy<"X0,y°^hk + 3y2 JH-----h Rn(x,y) = —— £ . / (xo + fl/i, y0 + ůk)hn+l~'k' a kde h = x — xq, k = y — yo, ů e (O, 1). Poznámka 5.4. Vzorec (5.10) se nazývá Taylorův vzorec, polynom Tn Taylorův polynom a Rn zbytek v Taylorově vzorci. Taylorův vzorec lze zapsat pomocí diferenciálů takto 1 2 fix, y) = fixQ, y0) + dfixQ, y0)(h, k) + -d f(x0, y0)ih, k) H-----h + -dnfix0, y0)ih, k) + ]dn+lfixQ + ůh, y0 + ůk)Qi, k). n\ [n + 1)! Důkaz Věty 5.4. Zaveďme pomocnou funkci jedné proměnné Fit) = fixo + th, y0 + tk). Platí F(l) = F(x0 + h, y0 + k) = F(x, y), F(0) = f(x0, y0). Pomocí Taylorova vzorce pro funkci jedné proměnné dostáváme F(l) = F(0) + F'(0) + ^F"(0) + ■■■ + -F(n)(0) + ] F(n+1\ů), 2! n\ [n + 1)! kde ů e (0, 1). Pro výpočet derivací funkce F využijeme vztahů pro parciální derivace složených funkcí. Dostáváme . d 3 3 F (0) = —fixo + th, y0 + tk)\t=o = t-/(*o> yo)h + t-/(*o> ľo)*, flř dx óy 68 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec d2 d2 F"(0) =—F(t)\t=0 = ^/Oo + th, y0 + tk)\t=0 = =fxx(x0, y0)h2 + 2fxy(x0, y0)hk + fyy(x0, y0)k2 a analogicky obdržíme Stejně postupujeme i při výpočtu zbytku Rn. □ Příklad 5.4. i) Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě [xq, yo\ = [1, 1] pro funkci fix, y) = ±. Řešení. Vypočteme nejprve všechny potřebné parciální derivace 1 x 1 2x fx = ~, fy= Ť> fxx = 0, fXy = ~, fyy = T • y y y r Podle Věty 5.4 T2(x, y) = /(i, 1) + Mh 1)0 - i) + fyih 1)0 - i) + + l-U*Ah 1)0 - i)2 + 2fxy(\, 1)0 - 1)0 - i) + fyyíh 1)0 - i)2] = = i + O - i) - O - i) - O - 1)0 - i) - O - i)2 = = — y2 — xy + 2x + 2y — 1. ii) Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně vypočtěte přibližně a) 7(2, 98)2 + (4, 05)2 b) 1, 042-02. Výsledek porovnejte s hodnotou získanou pomocí diferenciálu z Příkladu 4.2 ii). Řešení, a) Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce z = f(x,y) = y/x2 + y2 v bodě [xq, yo] = [3, 4] a diferencemi h = —O, 02, k = O, 05. Parciální derivace funkce z jsou _ x - y yl Zx — /—^-^-5 Zy — i—--— , ZXX — 7^+7' ^ + ?2)3/2 2 ZXv — xy 02 + y2)3/2' yy 02 + y2)3/2 Taylorova věta 69 Taylorův polynom je roven T2(x, y) = f(3, 4) + fx(3, 4)(x - 3) + fy(3, 4)(y - 4) + +\[fxx(3, 4)(x - 3)2 + 2fxy(3, 4)(x - 3(y - 4) + fyy(3, 4)(y - 4)2] = = 5 + ^[3(x - 3)+4(y - 4)] + ^[16(x-3)2-24(x-3)(y-4)+9(y-4)2]. Odtud 7(2, 98)2 + (4, 05)2 = 5 + i(-0, 06 + 0, 2) + 1 +—(16 • 0, 0004 - 24 • 0, 001 + 9 • 0, 0025) = 5, 0281332. V příkladu 4.1 ii) jsme pomocí diferenciálu dostali výsledek 7(2, 98)2 + (4, 05)2 = 5, 028. b) V Taylorově vzorci pro funkci z = xy položme [xo, Vol = [1, 2], /i = 0, 04, k = 0, 02. Nejprve vypočtěme všechny potřebné parciální derivace. Platí zx = yxy~l, zx{\,2) = 2,Zy= xylnx, zy(í,2) = 0, zxx = y(y - í)xy~2, zxx(í,2) = 2, zxy = xy~l + yxy~l lnx = xy~l(í + ylnx), zxy(l, 2) = 1, zyy = xy lnxlnx = xyln2x,zyy(l,2) =0. Pak T2(x, y) = í+2(x-í) + (x- l)2 + (x - í)(y - 1)). Odtud 1, 04202 = 1 + 2 • 0, 04 + 0, 0016 + 0, 0008 = 1, 0824. V Příkladu 4.1 ii) j sme pomocí diferenciálu obdrželi přibližný výsledek 1, 04202 = 1,08. iii) Mnohočlen P(x, y) = x3 + 3y3 + xy2 + 2x2 + xy + x — 2y napište jako polynom v proměnných u = x — l,v = y + 2. Řešení. Nechť T3(x, y) Taylorův polynom 3. stupně funkce P se středem xq = 1, yo = —2. Pak ve zbytku i?3(x, y) vystupují 4. derivace funkce P, které jsou však všechny nulové, neboť P je polynom 3. stupně. Tedy T3(x, y) = P(x, y) a stačí nalézt určit koeficienty v T3(x,y). Postupně dostáváme P(l, — 2) = —20 Px = 3x2 + v2+4x+y + l, Px{\, -2) = 10, Py = 9y2+2xy+x-2, Py{\, -2) = 31, Pxx =6x + 4, Pxx(í, -2) = 10, Pxy = 2y + 1, Pxy(í, -2) = -3, Pyy = 18y + 2x, Pyy(l, -2) = -34, Pxxx = 6, Pxxy = 0, Pxyy = 2, Pyyy = 18, Odtud T3(x, y) = -14 + 10(x - 1) + 31(y + 2) + 5(x - l)2 - 3(x - í)(y + 2) --17(y + 2)2 + (x - l)3 + (x - í)(y + 2)2 + 3(y + 2)3. 70 Derivace složené funkce, Taylorův vzorec Jestliže ve výsledku provedeme umocnění, po úpravě samozřejmě dostáváme polynom P. Tuto kontrolu výsledku necháváme čtenáři jako cvičení. Zformulujme na závěr kapitoly ještě Taylorův vzorec pro obecný případ funkcí n proměnných. Důkaz tohoto tvrzení neuvádíme, neboť je v podstatě stejný jako pro dvě proměnné. Věta 5.5. Nechť funkce f : M" —> M má v bodě x* — [x*,..., x*] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro h — [h\, ..., hn] platí f{x* + h) = fix*) + dfix*)ih) + \d2fix*)ih) + ■■■ + —dmfix*)ih) + Rm(x), 1 m\ kde Rmix)=í ] dm+lfiX* + ůh)ih), #€(0,1) (m + 1)! je zbytek v Taylorově vzorci a dkfix*)ih) = Y -:--1 . ix*)h\x ...ht ;j+...+;„=£ J1 JZ Jn OX1 ...Xn je k-tý diferenciál funkce f v bodě x*. Cvičení. 5.1. Využitím uvedené substituce najděte všechny funkce splňující danou rovnost: a) yzx - xzy =0, u = x, v = ^x2 + y2. b) xzx + yzy = 0, u = x, v = y-. c) ux + Uy + uz = 0, I = x + y - 2z, rj = x - 2y + z, X = z. 5.2. Diferenciální rovnice transformujte do nových proměnných u, v. V případech, kdy po transformaci vyjde jednoduchý výsledek, pokuste se najít jejich řešení: a) Zxx ~ yzyy - \zy = 0, u = x 2^/j, v = x + 2^/y. b) y2Zxx + x2zyy - 2xyzxy - xzx - yzy = 0, u = jx2 + y2, v =xy. c) x2Zxx ~ (x2 + y2)zxy + y2zyy =0, u = x + y,v = ^ + ±. d) Zxx ~ 2zxy + Zyy = 0, u = x -\- y, v = ~~y~ ■ e) xyzxx - (x2 + y2)zxy + xyzyy + yzx + xzy = 0, u = \ix2 + y2), v = xy. f) xzxx ~ yzyy =0, u = *J~x + IR nabývá v bodě x* e IR" lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí 0(x*) bodu x* takové, že pro každé x e 0(x*) platí /(*) < /(**) (/(*) > /(**)). Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro x ^ x* ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. Pro (ostrá) lokální minima a maxima budeme požívat společný termín (ostré) lokální extrémy. Příklad 6.1. i) Funkce f(x,y) = yjx2 + y2 má v bodě [x,y] = [0,0] ostré lokální minimum, neboť f (0,0) = 0 a pro každé [x, y] ^ [0, 0] je f(x, y) > 0. (Grafem funkce je kuželová plocha, viz obr. 13.2.) 72 Lokální extrémy 73 ii) Funkce / : IR2 -> IR definovaná předpisem fix, y) = ■ x2 + y2, pro [x, y] # [0, 0], 1, pro[x,y] = [0,0], má v bodě [0, 0] ostré lokální maximum, neboť pro [x,y] ^ [0, 0] dostatečně blízko počátku platí f(x,y) < f(0, 0) = 1. Uvedené příklady ilustrují skutečnost, že pro existenci lokálního extrému v nějakém bodě funkce nemusí mít v tomto bodě parciální derivace, nemusí zde být dokonce ani spojitá. V následuj ícím odvodíme nutné a postačuj ící podmínky pro existenci lokálního extrému v případě, že má funkce v daném bodě parciální derivace. Podobně jako u funkce jedné proměnné, je nutná podmínka formulována pomocí stacionárního bodu a postačující podmínka pomocí parciálních derivací 2. řádu. Definice 6.2. Nechť / : IR" -> IR. Řekneme, že bod x* € IR" je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě x* existují všechny parciální derivace funkce / a platí |^(x*) = 0, i = í,...,n. (6.1) OXi Následující věta, která prezentuje nutnou podmínku existence lokálního extrému, bývá v některé literatuře citována jako Fermatova věta.1 Věta 6.1. Nechť funkce f : IR" -> IR má v bodě x* e IR" lokální extrém a v tomto bodě existují všechny parciální derivace funkce f. Pak je bod x* jejím stacionárním bodem, tj. platí (6.1). Důkaz. Předpokládejme, že některá z parciálních derivací funkce / v bodě x* je nenulová, tj. platí fXi (x*) 7^ 0. To vzhledem k definici parciální derivace znamená, že funkce (pit) = fix* + te{), kde a = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), jednička je na ř-tém místě, má nenulovou derivaci v bodě t = 0 a tedy zde nemůže mít lokální extrém. To však znamená, že ani funkce / nemůže mít v bodě x* lokální extrém. □ Poznámka 6.1. Funkce / : IR" —>• IR může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Sierře de Fermat (1601-1665), francouzský matematik. 74 Lokální a absolutní extrémy Zdůrazněme, že stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému, jak ukazuje obrázek, kde je znázorněn graf funkce f(x,y) = f(xo, yo) + (y — yo)2 — (x — xo)2, která má stacionární bod [xo, yo], avšak v tomto bodě nemá lokální extrém (takový bod se nazývá sedlo, viz obr. 6.1). z y obr. 6.1 V následující větě odvodíme postačující podmínku, aby funkce měla ve stacionárním bodě lokální extrém. Připomeňme situaci pro funkci jedné proměnné g : IR -> IR. Nechť t0 e IR je stacionární bod této funkce. O tom, zda v tomto bodě je nebo není extrém, rozhodneme podle hodnot vyšších derivací funkce g v to. Speciálně, je-li g"(to) > 0(< 0), má funkce g v bodě íq ostré lokální minimum (maximum). Toto tvrzení se dokáže pomocí Taylorova rozvoje funkce g v íq. Platí g(t) = g(t0)+g'(t0)(t - to) + l-g"im - to)2 = g(t0) + \g'\m - to)2, kde | je číslo ležící mezi t a íq. Je-li nyní funkce g" spojitá, pak g"(to) > 0 (g"(t0) < 0) implikuje > 0 < 0) pro % dostatečně blízká t0. Pak g"(£)(r - t0)2 > 0 (g"(m - to)2 < 0) a tedy g(t) > g(t0) (g(t) < g(t0)) pro / dostatečně blízko íq, tj. funkce g nabývá v to ostrého lokálního minima (maxima). Analogicky postupujeme u funkcí více proměnných. Zformulujme nejprve postačující podmínku pro existenci lokálního extrému pro funkci dvou proměnných. Lokální extrémy 75 Věta 6.2. Nechť funkce f : IR2 -> IR má v Zwdě [xo, yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť [xq, yo] je její stacionární bod. Jestliže D(x0, yo) = fxxixo, yo)fyy(x0, yo) - [fxy(x0, yo)Ý > O, (6.2) pak má funkce f v [xq, yo] ostrý lokální extrém. Je-li fXx(xo, yo) > O, jde o minimum, je-li fxx (xq, yo) < O, jde o maximum. Jestliže D{xq, yo) < O, pak v bodě [xq, yo] lokální extrém nenastává. Důkaz. Nechť Dixo, yo) 7^ 0. Ze spojitosti parciálních derivací 2. řádu funkce / plyne spojitost funkce D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) - [fxy(x, y)]2 a funkce fxx v bodě [xo, yo]- Odtud plyne, že pro [x, y] dostatečně blízká bodu [xo, yo] platí sgnD(x, y) = sgnD(x0, y o), sgn/xx(x, y) = sgn/xx(x0, yo)- Taylorův vzorec pro n = 1 se středem [xo, yo] dává 1 2 f(x,y) = f(xo,yo) + -[fxx(ci,c2)(x-xo) + 2 (6.3) +2fxy(cl, c2)(x - x0)(y - yo) + fyy(c\, c2)(y - yo)2] kde [ci, c2] leží na úsečce spojující [xo, yo] a [x, y]. Označme A = fXx(c\,c2),B = fxy(ci,c2),C = fyy(ci,c2), h = x - x0, k = y — y o a uvažujme kvadratický polynom dvou proměnných P (h, k) = Ah2 + 2Bhk + C k2. Pak vztah (6.3) můžeme psát ve tvaru f(x0 + h,y0+k) = /(x0, y0) + P(h, k). (6.4) Vyšetřeme nyní znaménko polynomu P(h,k). Uvažujme dva případy. I. D(xo, yo) > 0. Pro k = 0 je Pih, 0) = Ah2, přičemž A ^ 0 (plyne ze vztahu AC - B2 > 0). Proto Pih, 0) > 0 pro A > 0, Pih, 0) < 0 pro A < 0. Pro k ^ 0 lze Pih, k) psát ve tvaru PQi,k)= k2Ai\)2 + 2B\+C. Označme Qit) = At2 + 2Bt + C kde, t = -. k Jelikož AC — B2 > 0, tj. Q má záporný diskriminant, je pro A > 0 polynom Qit) > 0 pro všechna í e la odtud Pih, k) > 0 pro všechna h, k e IR. Podobně v případě A < 0 je Pih, k) < 0. To podle (6.4) znamená, že pro A > 0 má funkce / v [xo, yo] ostré lokální minimum a pro A < 0 ostré lokální maximum. 76 Lokální a absolutní extrémy II. D(xo, yo) < O, tj. diskriminant polynomu Q(t) je kladný. To znamená, že existují t\,t2 e IR taková, že Q(t\) > 0 a <2fe) < 0- Položme [h\,k\] = [ati, a], [fi2, ^2] = [oit2, a], kde a / O. Pak *i) = a2Q(h), P(h2, k2) = a2Q(t2), tj. pro [xi, yi] = [x0 + hi,y0+ k{\, [x2, y2] = [x0 + h2, y0 + k2] platí f(xi,yi) > f(x0, y0), f(x2, yi) < f(x0, yo)- Protože a/0 bylo libovolné, tj. [x\, y\], [x2, yi\ mohou být libovolně blízko [xq, yo], v tomto bodě extrém nenastává. ^ Příklad 6.2. Určete lokální extrémy funkce z = x3 + y3 — 3xy. Řešení. Funkce, jejíž extrémy hledáme, je polynomem proměnných x, y, a proto jsou její parciální derivace spojité v celém IR2. Proto lokální extrémy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech, které najdeme jako řešení soustavy rovnic zx = 3x2 — 3y = 0, zy = 3y2 — 3x = 0. Z první rovnice plyne y = x2 a dosazením do druhé rovnice dostáváme x4 - x = x(x - í)(x2 + x + 1) = 0, odtud x\ = 0, X2 = 1 (kvadratický troj člen x2 + x + 1 má záporný diskriminant a je proto vždy kladný). Existují tedy dva stacionární body P\ = [0,0], P2 = [1, 1]. Dále platí zxx =6x, zyy = 6y, zxy = — 3. Odtud dostáváme D(x, y) = 36xy - 9, tj. D(P0 = -9 < 0, D(P2) = 36 - 9 = 27 > 0. Podle Věty 6.2 v bodě Pj extrém nenastává a v bodě P2 nastává ostré lokální minimum, neboťzXx{P\) = 6 > 0. Poznámka 6.2. V případě, že ve stacionárním bodě [xq, yo] platí D(xq, yo) = 0, o existenci extrému v tomto bodě nelze na základě druhých derivací rozhodnout. Pro funkce jedné proměnné máme k dispozici tvrzení, které říká, že funkce / má ve stacionárním bodě xo, v němž f"(xo) = 0, lokální extrém nebo inflexní bod podle toho, je-li první nenulová derivace v xo sudého nebo lichého řádu. U funkcí více proměnných není však aparát vyšších derivací v praktických případech příliš vhodný. V některých příkladech lze o existenci lokálního extrému rozhodnout vyšetřením lokálního chování funkce v okolí bodu [xo, yo], bez počítání druhých derivací. Tento postup je ilustrován na následujících dvou příkladech. Lokální extrémy 11 Příklad 6.3. i) Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2. Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic Zx = 4x3 - 2x - 2y = 0, zy = 4y3 - 2x - 2y = 0. (6.5) Odečtením rovnic dostáváme x —y = 0, odtud x = y a dosazením do jedné z rovnic v (6.5) dostáváme tři stacionární body P\ = [0, 0], P2 = [1, 1], P3 = [-1,-1]. Dále D(x, y) = fxxfyy - [fxy]2 = (Í2x2 - 2)(í2y2 - 2) - 4. Protože D(P2) = D(P3) = 96 > 0 a fxx(l, 1) = fxx(-l, -1) = 10 > 0, má funkce / v obou těchto stacionárních bodech ostré lokální minimum. Ve stacionárním bodě P\ je však D(P\) = 0, proto o existenci extrému v tomto bodě nelze takto rozhodnout. Zde postupujeme následujícím způsobem: Funkci / můžeme upravit na tvar f(x, y) = x4 + y4 - (x + y)2. Odtud f(x, -x) = 2x4 > 0 pro x ^ 0. Na druhé straně f(x, 0) = x4 — x2 = x2(l — x2) < 0 pro x e (—1, 0) U (0, 1). Tedy v libovolném okolí bodu [0, 0] funkce / nabývá jak kladných tak záporných hodnot, což spolu s faktem, že /(0, 0) = 0 znamená, že v tomto bodě lokální extrém nenastává. ii) Určete lokální extrémy funkce z = f(x, y) = xy ln(x2 + y2). Řešení. Stacionární body určíme jako řešení soustavy rovnic zx=y ln(x2 + y2) + xy zy = x ln(x2 + y2) + xy 2x x2 + y2 2y y = X ln(x2 + y2) + \n(x2 + y2) + 2x< x2 + y2 2y2 x2 + y2 Jsou možné čtyři případy: a) [x, y] = [0, 0], v tomto bodě však není funkce definována. b) x = 0, pak lny2 = 0, tj. y = ±1. Označme Ph2 = [0, ±1]. c) y = 0, lnx2 = 0 , tj. x = ±1. Označme P3A = [±1, 0]. x2 + yz 0, 0. d) ln(x2 + y2) + Ix1 x2+y2 = 0, ln(x2 + y2) + 2y2 x2+y2 o, 78 Lokální a absolutní extrémy odtud x2 = y2 a soustavě rovnic vyhovuje čtveřice bodů Ps_8 = [±-^=, O tom, v kterém z těchto stacionárních bodů nastává extrém, rozhodneme vyšetřením znaménka funkce /. Funkce / nabývá nulové hodnoty na souřadných osách (v počátku má limitu rovnu 0 - viz příklad 2.2 v) a v bodech kružnice x2 + y2 = 1. Uvnitř jednotkové kružnice je funkce v I. a III. kvadrantu záporná, ve II. a IV. je kladná. Vně jednotkové kružnice je tomu naopak (načrtněte si obrázek). Odtudje zřejmé, že v bodech P\2 = [0, ±1], P34 = [±1,0] extrém nenastává, neboť funkční hodnota je zde nulová a v libovolném okolí tohoto bodu nabývá funkce jak kladných tak záporných hodnot. Dále je vidět, že v bodě ^j=\ (ležícím uvnitř jednotkové kružnice) je lokální minimum, neboť na hranici množiny, která je tvořena souřadnými osami a jednotkovou kružnicí a kde leží tento bod, je funkce nulová a uvnitř této množiny je funkce / záporná. Pak nutně v jediném stacionárním bodě uvnitř této množiny musí být lokální minimum. Stejnou úvahou zjistíme, že lokální minimum je i v bodě [—j=, —-==] a ve zbývajících dvou bodech je lokální maximum. Graf funkce z = xy ln(x2 + y2) a její vrstevnice jsou znázorněny na obrázku 14.9 a 14.10. Na tomto znázornění je dobře vidět charakter jednotlivých stacionárních bodů. Poznámka 6.3. Je-li funkce / diferencovatelná v bodě [xo, yo] a fx(xo,yo) = 0 = fy(xo, yo), pak tečná rovina ke grafu funkce / v bodě [xo, jo] Je vodorovná. Je-li výraz D(xq, jo) > 0 a fxx(xo, jo) > 0 (< 0), pak je v bodě [xo, jo] lokální minimum (maximum), tj. v okolí tohoto bodu leží graf funkce nad (pod) tečnou rovinou. Projdeme-li důkaz Věty 6.2, snadno zjistíme, že i v případě, kdy [xo, jo] není stacionární bod, jsou podmínky D(xq, jo) > 0, fXx(xo, jo) > 0 (< 0) dostatečné pro to, aby graf funkce / v okolí bodu ležel nad (pod) tečnou rovinou v tomto bodě. Příklad 6.4. Rozhodněte, zda graf funkce f(x, j) = x3 + j3 — 2xj leží v okolí bodu [1,1] nad nebo pod tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě. Řešení. Přímým výpočtem určíme parciální derivace funkce / v bodě [1,1]: fx — 1, fy — 1, fxx — 6, fXy — —2, fyy — 6. Podle (4.6) má tečná rovina ke grafu funkce v bodě [1, 1] rovnici z — x + j — 2. Vzhledem k tomu, že D(l, 1) = 34 — 4 = 32 > 0, leží podle předchozí poznámky graf funkce v okolí bodu [1,1] nad tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě. Pro funkce tří a více proměnných je situace podobná jako pro dvě proměnné. O existenci extrému ve stacionárním bodě „rozhoduje" kvadratický polynom n proměnných v Taylorově rozvoji. Pouze rozhodnout, kdy tento polynom nemění své znaménko, je poněkud složitější. K tomu připomeňme nejprve některé pojmy z lineární algebry. Lokální extrémy 79 Definice 6.3. NechťA = (a//)> h j — 1je symetrická matice, h e M". Řekneme, že kvadratická forma P(h) — (Ah, h) — Y11 j=i aijninj určená maticí A je pozitivně (negativně) semidefinitní, jestliže P(h) > 0, (P(h) < 0), pro každé AeE". (6.6) Jestliže v (6.6) nastane rovnost pouze pro h — 0, řekneme, že forma P je pozitivně (negativně) definitní. Jestliže existují h, h e M" taková, že P (h) < 0 a P(/í) > 0, řekneme, že kvadratická forma P je indefinitní. Často místo o definitnosti resp. indefinitnosti kvadratické formy P mluvíme o definitnosti resp. indefinitnosti matice A. V následujících úvahách pro funkci / : W1 -> M symbolem /' značíme n —rozměrný vektor, jehož komponenty jsou parciální derivace |^ a symbol /" značí n x n matici, jejíž prvky jsou parciální derivace 2. řádu funkce /, tj. (f")ij — dxJx., i, j — 1,... ,n. Věta 6.3. Nechťx* e M" je stacionární bod funkce f a předpokládejme, ze f má v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu. Polozme A — (a//) = f"{x*\tj.aij=fXiXj{x*\ i) Je-li kvadratická forma PQí) — (Ah, h) pozitivně (negativně) definitní, má funkce f v bodě x* ostré lokální minimum (maximum). ii) Je-li kvadratická forma P indefinitní, v bodě x* extrém nenastává. iii) Má-li funkce f v bodě x* lokální minimum (maximum), je kvadratická forma P pozitivně (negativně) semidefinitní. Důkaz. Vzhledem k tomu, že důkaz prvních dvou tvrzení je zcela stejný jako pro dvě proměnné, dokážeme pouze tvrzení iii). Předpokládejme, že funkce / má v x* např. lokální minimum a kvadratická forma P není pozitivně semidefinitní, tj. existuje A e K" takové, že P(Ji) < 0. Protože pro pevné h e M" je kvadratická forma P spojitou funkcí koeficientů této formy aij, existuje e > 0 takové, že je-li \aij — bij\ < s, i, j — 1, ..., n a B — (bij), platí (Bh, h) < 0. To vzhledem ke spojitosti derivací druhého řádu funkce / znamená, že {f"(x)h, h) < 0, je-li x dostatečně blízko x*, tj. pro x splňující x G &s (x*), kde S > 0 je vhodné reálné číslo. Nyní nechť {an} je libovolná posloupnost kladných reálných čísel konvergujících k nule a položme xn — x* + anh. Pak xn —> x*, tedy pro dostatečně velká n je xn e 0&(x*) a z Taylorova vzorce pro n — 1 dostáváme /(*„) - f(x*) = (f'(x*), anh, ) + (f"(yn)anh, anh) = a2n(f"(yn)h, h) < 0, kde yn leží na úsečce spojující x * ai„. Proto yn e 0&(x*) pro n dostatečně velká a odtud f(xn) < f(x*), což je spor s tím, že funkce / má ví* lokální minimum. C Poznámka 6.4. Podle předchozí věty neumíme o existenci lokálního extrému v daném stacionárním bodě x* rozhodnout v případě, kdy je matice f"(x*) pouze semidefinitní. 80 Lokální a absolutní extrémy Analogicky jako u funkce jedné proměnné (i když podstatně komplikovaněji), lze určit postačující podmínky pomocí definitnosti kubických a vyšších forem, které odpovídají diferenciálům vyšších řádů, viz [N2], str. 70. O tom, jak rozhodnout o definitnosti kvadratické formy určené danou symetrickou maticí A, vypovídá následující věta. Věta 6.4. i) Kvadratická forma P určená symetrickou maticí A — (a//)> n P(h) = (Ah,h) = ^2 aijhihj U=l je pozitivně (negativné) definitní, právě když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná (záporná). Forma P je pozitivně (negativně) semidefinitní, právě když všechna vlastní čísla jsou nezáporná (nekladná). ii) Kvadratická forma P je pozitivně definitní, právě když jsou všechny hlavní minory matice A, tj. determinanty \an\ au ai2 (221 a22 au a\i au ai3 «23 au «21 012 . «22 • ■ Cl2n = det A «32 «33 a„2 • O-nn kladné. Kvadratická forma P je negativně definitní, právě když hlavní minory střídají znaménko, počínajíc záporným. Příklad 6.5. Určete lokální extrémy funkce u = x + + — +- ležící v prvním oktantu, tj.x > 0, y > 0, z > 0. Řešení. Nejprve určíme stacionární body, tj. derivujeme a řešíme soustavu rovnic ,2 „2 1 y 4x2 0 Axz , y y 2x z = 0 y 2z 2 0 r = 0, 2xz2 = 0, 0. y y z" Z první rovnice plyne y — ±2x,a protože hledáme pouze kladné řešení, uvažuj eme pouze případ y — 2x. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 2x(4x2 — z2) — 0, odtud z — 2x (případ z — —2x opět neuvažujeme). Dosazením do třetí rovnice obdržíme 8x3 — 2x — 0 a tato rovnice má kladné řešení x — j, tedy na množině x > 0, j>0, z > 0 má soustava rovnic jediné řešení B — [^, 1, 1]. Vypočteme druhé derivace ■2 1 2z2 y 2x UXX ~ 2X3' Uyy~1r~ lxy y 2x2' o, 2 4 = - + y 2z 'y2 Absolutní extrémy 81 a v bodě B — 1, 1] : uxx — 4, uyy — 3, uzz — 6, mxj = 2, mxz = 0, uyz — —1. Dále použijeme Větu 6.3. Pro bod B — [j, 1, 1] je a její všechny tři hlavní minory jsou kladné, jak zjistíme snadným výpočtem. Celkově má daná funkce u v prvním oktantu jediný lokální extrém v bodě B — , 1, 1], kde nastává ostré lokální minimum. 6.2. Absolutní extrémy Definice 6.4. Nechť / : Rn -> R, M c £>(/). Řekneme, že bod x* e M je bodem absolutního minima (maxima) funkce / na M, jestliže f(x*) < f(x) (f(x*) > f(x)) pro každé x e M. Jsou-li nerovnosti pro i// ostré, mluvíme o ostrých absolutních extrémech. Místo termínu absolutní extrém se používá často pojem globální extrém. Připomeňme, že spojitá funkce jedné proměnné na uzavřeném a ohraničeném intervalu nabývá své největší a nejmenší hodnoty buď v bodě lokálního extrému ležícím uvnitř intervalu nebo v jednom z krajních bodů. Pro funkce více proměnných je situace podobná. Věta 6.5. Nechť M c R" je kompaktní množina (tj. uzavřená a ohraničená) a funkce f : M —>• IR je spojitá na M. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálního extrému ležících uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Důkaz. Tvrzení o existenci absolutních extrémů plyne ihned z Weierstrassovy věty (Věta 2.10). Zbývající tvrzení je triviální, neboť jestliže bod absolutního extrému není hraničním bodem (tj. je vnitřním bodem M), musí být i lokálním extrémem. 0 0 0 0 du — 4dx + 3dy + 6dz + 2dxdy — 2dydz. Tato forma je pozitivně definitní, neboť matice této formy je □ Předchozí věta dává praktický návod, jak hledat absolutní extrémy diferencovatelných funkcí (s takovými se v praktických situacích setkáváme nejčastěji) na 82 Lokální a absolutní extrémy kompaktních množinách. Najdeme stacionární body ležící uvnitř množiny a pak vyšetříme danou funkci na hranici množiny. Vyšetření funkce na hranici množiny M C K" je obecně poměrně složitý problém a pojednává o něm devátá kapitola. Pro funkce dvou proměnných je však situace poměrně jednoduchá. V tomto případě jsou velmi často hranice nebo její části tvořeny grafy funkcí jedné proměnné. Vyšetřit funkci na hranici pak znamená dosadit rovnici křivky, která tvoří část hranice do funkce, jejíž extrémy hledáme a vyšetřovat extrémy vzniklé funkce jedné proměnné. Tento postup je nejlépe srozumitelný na následujících příkladech. Příklad 6.6. i) Určete nejmenší a nej větší hodnotu funkce z = f(x, y) = xy — x2 — y2 + x + y v trojúhelníku tvořeném souřadnými osami a tečnou ke grafu funkce y = ^ v bodě [2, 2]. Řešení. Nejprve určeme rovnici tečny ke grafu funkce y = ^. Platí y' = — ^, tj. rovnice tečny je y — 2 = — | (x — 2) = — x + 2. Tedy množinou M, na níž hledáme absolutní extrémy je množina M = {[x, y] e R2 : x > 0, y > 0, y < 4 - x}. Určíme stacionární body funkce z zx = y - 2x + 1 = 0, zy = x - 2y + 1 = 0, odkud dostáváme stacionární bod [x, y] = [1, 1] e M. Nyní vyšetřeme funkci / na hranici množiny M, která se skládá z úseček I. y = 0, x e [0, 4] II. x = 0, y e [0, 4] III. y = 4 - x, x e [0, 4]. I. y = 0, x e [0,4]. Dosazením dostáváme u = f (x,Q) = —x2 +x a hledáme absolutní extrémy této funkce jedné proměnné pro x e [0, 4]. Platí u'(x) = —2x + 1=0, odtud x = \. Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou = |, w(0) = 0, w(4) = 12. II. x = 0, y e [0, 4]. Dosazením dostáváme v = f(0, y) = — y2 + y a stejně jako v části I u(0) = 0, u(4) = -12, = \. III. y = 4 — x, x e [0,4]. Dosazením dostáváme w = f(x,4 — x) = x(4—x)-x2-(4-y)2+x+4-x = -3x2+í2x-12. Platí w'(x) = -6x + í2 = 0, odtud x = 2, w(2) = 0. V krajních bodech w(0) = —12, w(4) = —12. Porovnáním funkčních hodnot funkce / na hranici (tj. hodnot funkcí u, v, w v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce Absolutní extrémy 83 vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce / v jediném stacionárním bodě [1, 1] vidíme, že fmin = -12 pro [x, y] = [0, 4] a [x, y] = [4, 0], /max = 1 pro [x, y] = [1, 1]. Závěrem poznamenejme, že algebraické úpravy spojené s vyjádřením funkce / na hranici bývají nejčastějším zdrojem numerických chyb. Máme však k dispozici poměrně dobrou průběžnou kontrolu. V bodě [x, y] = [4, 0] se stýkají části hranice I a III a tedy funkce u zl musí pro x = 4 nabývat stejné funkční hodnoty jako funkce w z III v x = 4. V našem případě je u (4) = —12 = u>(4). Podobně v bodě [0, 0] se stýkají části I a II a v bodě [0, 4] části II a III. Také v těchto bodech průběžná kontrola vychází, neboť w(0) = 0 = u(0) a w(0) = u (4) = —12. Doporučujeme čtenáři tuto kontrolu vždy provést, neboť značně minimalizuje možnost šíření numerické chyby ve výpočtu. ii) Určete nejmenší a největší hodnotu funkce z = (2x2 + 3y2)e~x2~y2 na množině M = {[x, y] e R2 : x2 + y2 < 4}. Řešení. Nejprve určíme stacionární body ležící uvnitř množiny M, kterou je kruh o poloměru 2. Vypočteme parciální derivace Zx =4xe-x2-yl - 2x(2x2 + 3y2)e~x2-y2 = -2xe~x2-y2 [2x2 + 3y2 - 2], Zy =6ye~x2-y2 - 2y(2x2 + 3y2)e~x2-y2 = -2ye~x2-y2 [2x2 + 3y2 - 3]. a položíme je rovny nule: xe~x2-y2 [2x2 + 3y2 - 2] = 0, ye-2-^2 [2x2 + 3y2 - 3] = 0. Odtud dostáváme 4 možnosti: A) x=0 = y => /(0,0)=0. B) x = 0, 3y2 = 3 y = ±1, /(0, ±1) = 3c"1. C) y = 0, 2x2 = 2 x = ±1, /(±1, 0) = 2c"1. D) 2x2 + 3y2 — 2 = 0 a 2x2 + 3y2 — 3 = 0- tento systém nemá řešení. Nyní vyšetřeme funkci / na hranici množiny M. Tu si rozdělíme na dvě části, horní a dolní půlkružnici. l.y = V4 - x2, x e [-2, 2], u = f (x, V4 - x2) = (2x2 + 3(4 - x2))e"4 = (12 — x2)e~4. Najdeme největší a nejmenší hodnotu funkce u na intervalu [—2, 2]. Těchto extremálních hodnot je dosaženo buď v lokálním extrému uvnitř intervalu 84 Lokální a absolutní extrémy [—2, 2] nebo v některém z krajních bodů x = ±2. Platí u' = —2xe 4 = 0 => x = 0. Odtud u(0) = e"4, w(±2) = 8e"4. II. y = -V4 e [—2, 2]. Zde je situace zcela stejná jako pro I, neboť fix, -y) = fix, y). Porovnáním všech vypočtených hodnot vidíme, že /max = 3e_1, pro [x, y] = [0, ±1], /min = 0, pro [x, y] = [0, 0]. Graf vyšetřované funkce je znázorněn na obr. 14.13 a 14.14; zde lze ověřit, že všechny stacionární body leží uvnitř kruhu M. iii) Je dán drát délky /, tento drát je rozdělen na tři části. Z jedné je vytvořen kruh, z druhé čtverec a ze zbylé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých částí tak, aby plocha omezená těmito obrazci byla minimální resp. maximální. Řešení. Označíme-li x délku strany čtverce, y poloměr kruhu a z délku strany trojúhelníka, platí 4x + 2izy + 3z = /, odtud z = l~Ax~lny. Pro součet obsahů čtverce, kruhu a trojúhelníka platí P = x2 + ity2 + —z2 = x2 + ity2 H--^-=(1 - 4x - 2ny)2 4 ' 12V3 a hledáme absolutní extrémy této funkce na množině M = {[x, y] : x, y > 0, 4-x + 2%y < l,}. Nejprve vypočteme parciální derivace a stacionární body: 8 4jt Px=2x--— (/ -4x- 2jry) =0, Py = 2ny--— (/ -4x- 2ny) = 0. 12V3 12V3 Odtud x =-f> y =-7= 4 + 7t + 3V3 8 + 27t + 6V3 a funkční hodnota v tomto stacionárním bodě je l2 Pix,y) = 4(4 + x + 3V3) Nyní vyšetřeme funkci P na hranici množiny M. I. y = 0, x € [0, |], označme (pix) = P(x,0) = x2 + ^(/ - 4x)2. Pak ^(0) = ^, / í2 y = 2(7t+3V3' = 4(3V3+k) • III. y = x e [O, f], označme = P(x, ^) = x2 + - 4x)2. co(0) = co({) = co'(x) = 2x - l(l - 4x) = O x = ^, Porovnáním všech vypočtených hodnot zjistíme, že největší obsah dostaneme, jestliže celý drát stočíme do kružnice, tj. I2 Pmax = — pro [x, y] = 4jt 2n a nejmenší obsah Pmjn = P(x, y) = 4(4+^g^, jestliže jej rozdělíme takto: 41 část na čtverec ... 4x =-—, 4+7Z + 3V3 Til část na kruh... 2jry = část na trojúhelník... 3z = 4 + 7T + 3V3' 3^3/ 4 + % + 3VŠ' Na závěr této kapitoly si ještě ukažme metodu, jak lze řešit úlohy na absolutní extrémy v některých speciálních případech, např. umíme-li sestrojit vrstevnice funkce, jejíž extrémy hledáme, a pokud množina, kde tyto extrémy hledáme, je „dostatečně jednoduchá". Celý postup je nejlépe srozumitelný na příkladech. Příklad 6.7. i) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = x2 — 4x + y2 — 4y + 10 na množině M : x2 + y2 < 1. Řešení. Platí f (x, y) = (x — 2)2 + (y — 2)2 + 2. Protože konstanta 2 nemá vliv na to, v kterém bodě nastávává abs. minimum a maximum (má vliv pouze na hodnotu těchto extrémů), stačí najít absolutní extrémy funkce g (x, y) = (x —2)2 + (y — 2)2. Tato funkce však udává druhou mocninu vzdálenosti bodu [x, y] od bodu [2, 2]. Úlohu proto můžeme přeformulovat takto: V jednotkovém kruhu najděte bod, který je nejblíže a nejdále od bodu [2, 2]. Geometricky je nyní řešení úlohy zřejmé. Sestrojíme přímku y = x spojující počátek s bodem [2, 2]. Průsečíky této přímky s kružnicí x2 + y2 = 1 jsou řešením naší úlohy, tj. 2x2 = 1, odkud x = ±-^. Minimu nastává v bodě [-^, -^] a 86 Lokální a absolutní extrémy maximum v bodě [— , — ] a extremální hodnoty j sou /min = 11—4a/2, /max = 11 + 4a/2. Všimněme si také, že průsečíky přímky y = x s jednotkovou kružnicí jsou body, kde mají jednotková kružnice a vrstevnice funkce / - soustředné kružnice se středem [2, 2] - společnou tečnu. ii) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = x — y na množině M : x2 + y2 < 1. obr. 6.2 obr. 6.3 Řešení. Vrstevnice funkce / jsou přímky načrtnuté na obrázku 6.2. Nutnou podmínkou (a zde i dostatečnou) pro to, aby hodnota c e IR byla hodnotou absolutního maxima resp. minima funkce / je, že přímka x — y = c je tečnou ke kružnici x2 + y2 = 1. Vskutku, pokud přímka x — y = c kružnici protne, znamená to, že pro č dostatečně blízká c protne kružnici i přímka x — y = č. To však znamená, že funkce x — y nabývá na M hodnot jak větších než c (pro č > c) i menších (pro č < c). Jestliže přímka x — y = c kružnici vůbec neprotne, znamená to, že tyto body neleží v M a tedy nepřipadají v úvahu. Zbývá tedy pouze možnost, že přímka x — y = c je tečnou. Z obrázku je nyní zřejmé, že maximum nastane v bodě [-^, — -^], jeho hodnota je a/2 a minimum je v bodě [— -^], jeho hodnota je — a/2. iii) Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x,y) = xy na množině M : |*| + \y\ < 1. Řešení. Množina M a vrstevnice funkce / jsou načrtnuty na obrázku 6.3 (vrstevnicemi j sou grafy funkcí xy = c, tj.ro vnoosé hyperboly y = £). Stejnou úvahou jako v předchozím příkladu zjistíme, že funkce nabývá absolutního maxima /max = \ v bodech [±|, ±|] a absolutního minima fmin = — | v bodech [±|, =|=|]. Absolutní extrémy 87 Cvičení. 6.1. Najděte lokální extrémy funkcí: a) z = x2 + y2 — xy — 2x + y f) z = x—2y+\n^x2 + y2+3 arctg b) z = xy(4-x-y) g) z = yVl + x + x^/l + y c) z = 4(x - y) - x2 - y2 h) u = x3 + y2 + z2 + I2xy + 2z d) z = xy + 50 + 20 i} J x y u = x + É + f + i>x>y>z>0 e) z = x2 + xy + y2 — ln x — lny j) z = x2+xy + y2 + ^ + ^ k) u = xyz(12 — x — 2y — 3z) D u = x\x\.....xnn{\ - X\ - 2x2 - ■ ■ ■ - nXfi), X\, X\,..., xn > 0 m) u = *i + t + ! + --- + £ľ + í'*i" ,xn>0. 6.2. Udejte příklad funkce / : IR2 —^ IR2 splňující uvedené podmínky: a) fx(l, 1) = 0 = fy(l, 1), ale v bodě [1,1] nenastává lokální extrém, b) / má v bodě [0, 1] ostré lokální minimum a v bodě [1,0] ostré lokální maximum. c) / má v bodě [—1,0] ostré lokální minimum, v bodě [0, 0] sedlo a v bodě [1,0] ostré lokální maximum. 6.3. Pomocí vrstevnic funkce / určete její nejmenší a největší hodnotu na množině M: a) f{x, y)=x + y,M : \x\ < 1, |y| < 1, b) fix, y) = x2 - 2x + y2 - 2y + 3, M : x > 0, y > 0, x + y < 1, c) fix, y) = \x\ + \y\, M: (x - l)2 + (y - l)2 < 1, d) fix, y, z) = x + y + z, M : x2 + y2 < 1, 0 < z < 1, e) fix, y, z) = x2 + y2, M : x2 + y2 + z2 < 1. 88 Lokální a absolutní extrémy 6.4. Určete nejmenší a největší hodnotu funkce / na množině M: a) f(x, y) = x2+2xy + 2y2 — 3x — 5y, M je trojúhelník určený body A = [0, 2], 5 = [3,0],C = [0,-1]. b) f(x, y) = x2 + y2 + 3xy + 2, M je omezená grafy funkcí y = \x\ a y = 2. c) f(x, y) = x2 + y2 — xy — x — y, M je trojúhelník určený body A = [— 1, 0], 5 = [1,2],C = [3,0]. d) f(x, y) = x2 + y2 — xy — 2, M = {[x, y] : x2 + y2 < 1, y > |x| - 1}. e) f(x, y) = 2x2 + 4y2 na M : {[x, y] : x2 + y2 < 9}, f) /(x, y) = x2 + y2 - 2x + 2y + 2 na M = {x2 + y2 < 1}. 6.5. Určete absolutní extrémy funkce / na množině M: a) fix, y) = sinx siny sin(x + y), M : 0 < x, y < jt, b) /(x, y) = x2 - xy + y2, M : |x| + |y| < 1, c) f(x, y,z) = x + 2y + 3z, M : x2 + y2 < z < 1, d) = (Q+Xl)gx+2;;;:.(Xn+fc),M : a < X!,...^^ < b, 0 < a < b (tzv. Huyghensova1 úloha), nejprve řešte úlohu pro n = 2. Věčným zázrakem světa je jeho pochopitelnost... To, ze je svět pochopitelný, je zázrak. (A. Einstein) Christian Huyghens (1629-1695), nizozemský matematik a fyzik Kapitola 7 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí V této kapitole využijeme výsledků předcházejících částí ke studiu vlastností zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí. Výsledky, které zde odvodíme hrají důležitou roli mj. v teorii integrálu funkcí více proměnných, a to při důkazu věty o substituci ve vícerozměrném integrálu, viz [R2]. 7.1. Zobrazení z M2 do M2 Definice 7.1. Nechť jsou dány funkce /, g dvou proměnných a <£> = <£>(/) fl £)(g). Dále nechť zobrazení F : <£> -> M2 je dáno předpisem F [x, y] 1—> [f(x, y), g(x, v)]. Pak řekneme, že zobrazení Fje určeno funkcemi f, g, tyto funkce nazýváme složky nebo také souřadnicové funkce zobrazení F a píšeme F — [f, g}. Příklad 7.1. Vypište složky zobrazení pro stejnolehlost se středem v počátku soustavy souřadnic, otočení o úhel (p a pro kruhovou inverzi určenou jednotkovou kružnicí. Řešení, i) Stejnolehlost se středem v počátku. Je-li k koeficient stejnolehlosti, pak F [x, y] 1—> [kx, ky]. ii) Otočení o úhel (p e [0, iz] v kladném smyslu. Pro odchylku 1// dvou přímek procházejících počátkem a bodem [x\, yi], resp. [x2, y2~\ platí 1*1*2 + y\yi\ COS l/Ž = x\ + y2^/x| + y^ 89 90 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí (kosinus úhlu je roven podílu skalárního součinu a součinu velikostí vektorů určených počátkem a body [x\, y\], resp. [x2, y2]). Proto zobrazení F, které bodu [x, y] přiřadí bod otočením o úhel (p kolem počátku v kladném smyslu (tj. proti směru otáčení hodinových ručiček) je tvaru F [x, y] i—> [x cos (p — y sm(p, x sm(p + y cos 0 takové, že u — ax, v — ay. Z podmínky na vzdálenost bodů [x, y] [u, v] od počátku dostáváme y/x2 + y2Vw2 + v2 — a(x2 + y2) — 1, odtud a — (x2 + y2)-1. Toto zobrazení je proto tvaru F x y [x, y] i—► [ 2 2, 2 2]. xL + yL xL + jz Příklad 7.2. Zobrazení množiny komplexních čísel do sebe lze chápat také j ako zobrazení z M2 do M2. Například zobrazení, které komplexnímu číslu z — x + iy přiřadí jeho druhou mocninu z2, definuje zobrazení [x, y] i—[x2 — y2, 2xy] neboť z2 = (x + iy)2 — x2 — y2 + 2ixy. Definice 7.2. Řekneme, že zobrazení F — {f, g} z M2 do M2 je spojité v bodě [xo, yo], jsou-li funkce /, g spojité v [xo, jo]- Řekneme, že F je diferencovatelné v bodě [xo, yo], jestliže každá z funkcí /, g je diferencovatelná v bodě [xo, yo]- Zobrazení dF(xo, yo) : M2 —> M2 dané předpisem [/í, i—> [df(x0, yo)(h, k), dg(x0yo)(h, k)] = = ifxixo, yo)h + fy(xo, yo)k, gx(x0, yo)h + gy(x0, yo)k] nazýváme diferenciál zobrazení F v bodě [xq, yo] a značíme dF(xo, yo) Podle této definice je tedy diferenciál zobrazení F lineárni zobrazení z M2 do M2. Protože z lineárni algebry vime, že každé lineárni zobrazení mezi konečnědimenzionálními prostory lze reprezentovat vhodnou maticí, dostáváme se k následující definici. Zobrazení z K2 do R2 91 Definice 7.3. Nechť zobrazení F — {/, g} z M do M je diferencovatelné v bodě [xo, jol- Matici typu 2x2 F\x0,yo) = (fx^'yo] (7.1) \gx(x0,yo) gy(xo,yo)J nazýváme Jacobiho matice zobrazení F v bodě [xo, yo], determinant této matice nazýváme jacobián zobrazení F v bodě [xq, yo]. Nejprve odvodíme vzorec pro diferenciál složeného zobrazení. Je zcela analogický vztahu pro derivaci složené funkce jedné proměnné, stačí „zapomenout", že místo zobrazeními mezi jednodimenzionálními prostory se jedná o vícerozměrná zobrazení. Věta 7.1. Nechť F — {f\, f2}, G — {g\, g2] jsou zobrazení z M2 do M2. Pak pro Jacobiho^ matici složeného zobrazení H — F o G platí H'(x,y) = F'(u,v)G'(x,y), (7.2) kde [u,v] — G(x, y), tj. u — g\{x, y), v — g2(x, y). Pro jejich jacobiány dostáváme detH'(x, y) = detF'(«, v)áetG'(x, y). Důkaz- Nechťh\, h2 jsou souřadnicové funkce zobrazení H, tj. hi(x, y) = fi(gi(x, y),g2(x, y)), h2(x, y) = f2(gi(x, y), g2(x, y)). (7.3) Aplikací Věty 5.1 dostáváme d d d d d —hi(x, y) = —fi(u, v)—gi(x, y) + —fi(u, v)—g2(x, y) (7.4) ôx au ox av dx a podle Definice 7.3 F'(u, u) = [ , G'(x, y) = : J \%(u,v) f (u,v)J \^(x,y) f(x,y)y Vynásobíme-li tyto dvě matice, vidíme, že prvek nacházející se vlevo nahoře je právě roven ^(x, y), kde h\ je dáno v (7.3). Stejným způsobem ověříme, že i ostatní prvky součinu matic F' ■ G' jsou totožné s výrazy pro prvky matice H získané pomocí (7.2), čímž je rovnost (7.2) dokázána. Vzorec pro jacobiány plyne z faktu, že determinant součinu dvou matic je roven součinu determinantů. C V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné jsme vyšetřovali lokální vlastnosti funkce (tj. v okolí daného bodu) pomocí derivace funkce v tomto bodě (což je pro ^arl Jacobi (1804-1851), německý matematik 92 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí funkci jedné proměnné v podstatě ekvivalentní diferenciálu této funkce, neboť funkce / : M -> M je v nějakém bodě diferencovatelná, právě když zde existuje konečná derivace /'). Podobně budeme postupovat v případě zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí. Věta 7.2. Předpokládejme, že složky zobrazení F — {f, g} : M2 -> M2 mají v bodě [xq, yo] spojité parciální derivace prvního řádu a Jacobiho matice F'(xq, yo)je regulárni, tj. det F'(xq, yo) ^ 0. Pak existuje okolí U bodu [xq, yo] v němž je zobrazení F prosté a pro Jacobiho matici inverzního zobrazení F1-1 v bodě [uq, vq\ — F(xq, yo) platí {F-l)'{uo, vo) = [F'(x0, yo)]'1 . (7.5) Důkaz- Tvrzení zde nebudeme dokazovat se všemi podrobnostmi (detailní důkaz je proveden v [Ri]). Zdůrazněme zde pouze hlavní myšlenku důkazu. Diferenciál dF{xQ, yo) zobrazení F : M2 -> M2 je nejlepší lineární aproximace F v okolí bodu [xo, jo]- Je-li zobrazení dF{xQ, yo) prosté - to nastane právě když je jeho matice F'{xq, yo) regulární -je v jistém okolí bodu [xo, jo] prosté i samo zobrazení F. Vztah (7.5) dokážeme takto: Z definice inverzního zobrazení je F~1(F(x, y)) — [x, y]. Položme [u, v] — F(x, y). Ze vztahu pro Jacobiho matici složeného zobrazení plyne {F~l)'{u, v) F'(x, y) — E-jednotkovámatice (neboťJacobiho matice identického zobrazení je jednotková matice) a odtud {F~l)'{u, v) — [F'(x, j)]-1. C Příklad 7.3. i) Rozhodněte, zda zobrazení F — {f, g] : M2 -> M2 se souřadnicovými funkcemi f (x, y) — xy, g(x, y) — ^ je prosté v okolí bodu [x, y] — [2, 1], pokud ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě [u, v] — F(2, 1). Řešení. Jacobiho matice zobrazení F je fx(x,y) fy(x, y) F'(x, y) - \8x(x,y) gy(x,y) a pro bod [x, y] — [2, 1] je det 7^(2, 1) = —4, tedy F je prosté v jistém okolí bodu [2, 1]. Pro Jacobiho matici inverzního zobrazení F~l v bodě [2, 2] = F(2, 1) platí (F-1)\2, 2) = [F(2, l)]"1 = 0 _22) 1 = (j ji) . ii) Určete Jacobiho matici zobrazení F : M2 —> M2, které je složením kruhové inverze, jejíž řídící kružnice je jednotková, a otočení o úhel ^ v kladném smyslu, přičemž nejprve se provádí kruhová inverze. Řešení. Kruhová inverze přiřadí bodu [x, j]bod ix2+ 2 > ^2^2] a otočení o úhel ^ vkladném smyslu přiřadí bodu [x, y] bod [—y, x], viz příklad 7.1. Tedy složené zobrazení Zobrazení z W do M! 93 přiřadí bodu [x, j] bod [— x2^_ 2> ^n^f\- Jacobiho matice tohoto zobrazení je F'(x,j) = 2xy y2—x2 (x2+y2)2 (x2+y2)2 y2—x2 2xy t (x2+y2)2 ~ (x2+y2)2, Poznámka 7.1. i) Jacobiho matici inverzního zobrazení v Příkladu 7.3, část i) můžeme vypočíst také přímo - prostřednictvím explicitního vyjádření inverzního zobrazení k F. Vypočteme-li z rovnic u — xy, v — ^ proměnné x a y pomocí u a v, dostáváme /— fu ±^/uv, y — ± / - V v a vzhledem k tomu, že hledáme inverzní zobrazení v okolí bodu [1, 1], bereme v obou rovnicích +. Pak {F-')'{u, v) = (jX fX -9"J dvy' ^2^/uv Dosadíme-li sem [u, v] — F(2, 1) = [2, 2], dostáváme vskutku stejný výsledek jako v Příkladu 7.3. ii) Ze skutečnosti, že detF'(xo, jo) = 0 pro nějaké zobrazení F : M2 -> M2 ještě neplyne, že F není prosté v okolí bodu [xo, yo], tj. podmínka det F'{xq, jo) 7^ 0 je pouze dostatečná, nikoliv nutná, pro to, aby zobrazení F bylo prosté v okolí bodu [xo, jol-Například zobrazení F dané předpisem [x, j] [x3, j3] zobrazuje prostě M2 na M2, přestože det F'(0, 0) = 0. 7.2. Zobrazení z R" do JET Pro zobrazení mezi prostory dimenzí vyšších než dvě je situace zcela analogická. Jsou-li n, m e N a f\,..., fm : M" -> M, pak přiřazení F [Xl, ...,X„] i-> [fl(xi, Xn), fm(xi, X„)] definuje zobrazení F : R" -> Mm. Funkce f\,...,fm se nazývají složky nebo souřadnicové funkce zobrazení F. Jsou-li všechny složky spojité v bodě x*, řekneme, že F je spojité v bodě x*. Jsou-li f\,...,fn diferencovatelné v bodě x* e M", řekneme, že zobrazení F je diferencovatelné v bodě x*. Jeho diferenciál dF(x*) definujeme jako lineární zobrazení z M" do Rm dané předpisem h = [hu ..., hn] 1—► [dfi(x*)(h), dfm(x*)(h)], 94 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí kde df\(x*), ..., dfm(x*) jsou diferenciály souřadnicových funkcí v bodě x*, tj. dfk(x*Kh) = dMx*)(hu ...,hn) = y\ ^(x*)hi. OXi 1=1 Matice tohoto lineárního zobrazení (je to matice typu m xň) F'(x*) (V.6) se nazývá Jacobiho matice nebo také derivace zobrazení Fax případě n — m se její determinant nazývá jacobián zobrazení F v bodě x *. V některé starší literatuře se j acobián značí D(f]_,..., fn) d(fi, ...,/„) * -(x ) nebo -(x ). D(xi, ..., x„) 3(xi,..., xn) Věta 7.3. Nechť zobrazení G : M" —> Wm je diferencovatelné v bodě x* e M" a zobrazení F : Mm —> Mk je diferencovatelné v bodě y* — G (x*). Pak složené zobrazení H — FoG : K" —> je diferencovatelné v bodě x* a platí H'(x*) = F'(y*)G'(x*) = F/(G(x*))G/(x*). (7.7) Je-li n — m a detG'(x*) ^ 0, existuje okolí bodu x*, v němž je zobrazení G prosté, tj. existuje zde inverzní zobrazení G-1 a pro jeho Jacobiho matici v bodě y* — G(x*) platí (G-1),(y*) = [G,(x*)]-1. (7.8) Poznámka 7.2. Vzorce (7.7) a (7.8) pro Jacobiho matici složeného zobrazení a Jacobiho matici inverzního zobrazení jsou formálně zcela stejné jako vzorce pro derivaci složené a inverzní funkce jedné proměnné, zde však musíme dávat pozor na pořadí obou činitelů, neboť násobení matic není komutativní operace. Matice F' je typu k x m, G'je typu m x n, násobení těchto matic je tedy možné pouze v pořadí uvedeném v (7.7) (tímto způsobem se také pořadí činitelů nejlépe pamatuje). Příklad 7.4. Vypočtěte Jacobiho matici zobrazení F : M3 -> M?, které bodu [x, y, z] přiřadí jeho sférické souřadnice y/x2 + y 2 f I y [x, y, z] i—> [y x2 + y2 + z2, arctg -, arctg -- ]. Zobrazení z M.n do 95 Řešení. Podle (7.6) platí F'(x, y, z) dx arctg V 37 -i- ( s/x2+y2+z2 y x2+y2 xz dy V'x2 + y2+z2 Ty 7 3 arctg s/x2+y2+z2 x2+y2 yz dz V'x2 + j2 + z2 y dz arctg 3 arctg dz & Z \ / s/x2+y2+z2 0 aA2+j2 y(x2+J2+z2)v/x2+J2 (x2+J2+z2)v/x2+J2 (jZ+yZ+^y ii) Jak jsme již poznamenali v Příkladu 7.2, zobrazení F : C -> C množiny komplexních čísel do sebe můžeme chápat jako zobrazení z M2 do M2, které komplexnímu číslu z — x + iy přiřadí číslo F (z) — f (x, y) + ig(x, y), kde /, g jsou reálné funkce dvou proměnných. Podobně jako v reálném oboru definujeme derivaci komplexní funkce F v čísle zq — xq + iyo vztahem F'(zo) = lim F (z) - F(zo) Z^ZO z — zq přičemž limita komplexní funkce v tomto vztahu se chápe zcela analogicky j ako v reálném oboru a znamená, že ke každému e > 0 existuje S > 0 takové, že pro všechna z splňující 0 < \z — zo\ < S platí F (z) - F(zo) z - zq F'(zo) < s. Dokažte toto tvrzení: Nechť funkce /, g jsou diferencovatelné v bodě [xo, jol- Pak komplexní funkce F má v bodě zq — xq + iyo derivaci, právě když platí tzv. Cauchyovy--Riemannovy1 podmínky 9/ dg df — (xq, jo) = —(xq, yo), —(xq, jo) dx dy dy dx (xq, jo). Augustin Louis Cauchy (1789-1857), francouzský matematik, Bernhard Riemann (1826-1866), německý matematik, oba j sou považováni za spolutvůrce moderní matematiky. 96 Zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí Řešení. Označme F'{zq) — A + iB. Z diferencovatelnosti funkcí /, g v bodě [xo, jo] plyne _ ľ F(z)-F(zo) , 0 = lim--F (zo) = z^zo z — zo f(x,y) + ig(x,y)-[f(xo,yo) + ig(x0,yo)] — lim--(A + iB) — (x,y)^(x0,yo) (x - xo) + i(y - yo) v /O. y) - /(*o, Jo) - A(x - x0) + 5(j - jo) , = lim--h (x,y)^(x0,yo) (x - xo) + i(y - yo) g(x,y) - g(xo,yo) - B(x - xo) - A(y - yo) -\-i lim - = (x,y)^(x0,y0) (X - Xo) +i(y ~ Jo) ,. (fx(xo, jo) - A)(x - x0) + (fy(xo, jo) + B)(y - j0) = lim - --h (x,y)^(x0,yo) y/(x - X0)2 + (j - JO)2 (gx(xo, JO) - B)(x - x0) + (gy(xo, jo) - a)(j - jo) +í lim - —-. (x,y)^(x0,y0) yf{x - Xq)2 + (j - J0)2 Odtud /x(x0, jo) = a = ^(x0, jo), fy(xo, jo) = -5 = -gx(x0, jo)- 7.3. Diferenciální operátory matematické fyziky V odstavci 4.1 jsme uvedli, že ve fyzikální terminologii a také v některých odvětvích matematiky, např. v numerických metodách, se vektor parciálních derivací /' funkce / nazývá gradient funkce a značí se grad/. Zobrazení F : M? -> M3 se ve fyzikální terminologii nazývá vektorové pole. Lze je chápat jako zobrazení, které bodu o souřadnicích [x, j, z] přiřadí vektor s počátečním bodem v počátku a koncovým bodem F(x, j, z) = [P(x, j, z), g(x, j, z), # (x, j, z)], kde P, Q, R jsou souřadnicové funkce. Důležitými fyzikálními charakteristikami vektorových polí jsou tzv. divergence vektorového pole divF(x, z, y) = Px(x, y, z) + Qy(x, j, z) + Rz(x, j, z) a rotace vektorového pole mtF(x,z, y) = [Ry(x, j,z)- gz(x, j,z), Pz(x, j, z) - j, z), gxC*, j, z) - Py(x, j, z)] (tedy divergence je skalární veličina a rotace vektorová veličina). Příklad 7.5. Vypočtěte divergenci a rotaci gravitačního pole vytvořené hmotným bodem o jednotkové hmotnosti umístěným v počátku souřadné soustavy. Diferenciální operátory matematické fyziky 97 Řešení. Z fyziky je známo, že dva hmotné body o hmotnostech m\,m.2 se navzájem přitahují silou, jejíž velikostje |F| = KmJ™2; kde k — 6, 67-10-11 Nm2 /kg2 je Newtonova gravitační konstanta a J je vzdálenost bodů. Tedy bod [x, y, z] s jednotkovou hmotností bude přitahován do počátku silou, jejíž směr je opačný než směr vektoru s počátkem v [0, 0, 0] a koncem v [x, y, z] a jehož velikost |F| je rovna k(x2 + y2 + z2)-1. Tedy F(x, y, z) — —a[x, y, z] a hodnotu skaláru a určíme z podmínky pro velikost F, tj. ay/x2 + y2 + z2 = k(x2 + y2 + z2)"1 a tedy a = k(x2 + j2 + z2)"l Odtud j, z) = j, z), Q(x, y, z), y, z)] = k [--J, --§] , kde r = y/x2 + j2 + z2. Nyní vypočteme všechny parciální derivace funkcí P, Q, R potřebné k určení div F a rot F. ( 1 3x2\ / 1 3j2\ / 1 3z2 odtud snadno ověříme, že pro [x, y, z] ^ [0, 0, 0] je div F — 0. Podobně vypočteme Py = Qx=k^f, PZ^Rx^k^, Qz — Ry — K~^~> a tedy i rot F — 0. Manipulace s diferenciálními výrazy obsahující operátory rotace a divergence se podstatně usnadňuje zavedením tzv. Hamiltonova nabla operátoru V.1 Tento symbol je formálně definován jako vektorový operátor předpisem /a a a V :=( — , — , — \dx dy dz tj. jako operátor, který funkci / : M3 —> M přiřazuje vektorové pole v/ = fdf df df \dx ' dy ' 3z Toto je alternativní označení pro vektorové pole které diferencovatelné funkci / přiřazuje její derivaci. Operátor V lze s výhodou použít i při formalizaci operátorů divergence a rotace. Uvažujme nejprve případ divergenčního operátoru. Formálně můžeme aplikaci operátoru divergence na pole F zapsat takto divF = (V,F)=((|44),(ř,P)) =