Matematická ekonomie Jan Paseka 15. září 2014 2 Úvod Matematickou ekonomii bychom mohli definovat jakožto oblast vědy, která obsahuje různé aplikace matematických pojmů a technik pro ekonomii, zejména pak pro ekonomické teorie. Alternativní přístup pak je, že provedeme výčet všech součástí matematické ekonomie. V tomto úvodu je historie matematické ekonomie rozdělena do tří širokých a částečně se překrývajících období: období marginalistů (1837-1947), období množinově-teoretických/lineárních modelů (1948-1960) a současné období integrace (1961-nyní). 1. Období marginalistů: 1838-1947 Počáteční období matematické ekonomie bylo to, ve kterém si ekonomie vypůjčila metodologii přírodních věd a nástroje matematiky, aby vyvinula formální teorii založenou na matematické analýze. Za předpokladu dostatečně hladkých funkcí (např. funkce užitečnosti a výrobní funkce) a maximalizujícího chování účastníků byla vyvinuta dostatečně úplná teorie chování mikroekonomických agentů a teorie obecné rovnováhy. Základním prostředkem byl kalkulus - tj. diferenciální a integrální počet, zejména použití totální a parciální derivace a metody Lagrangeových multiplikátorů pro charakterizaci maxim. Zároveň byly v tomto období vyvinuty moderní teorie spotřeby, výroby, oligopolu a obecné rovnováhy. Původní prací, kterou můžeme považovat za počáteční bod matematické ekonomiky, byla Cournotova práce z roku 1883. Cournotův přínos lze rozdělit na dva hlavní směry: teorie podniků - firem a interakce firem a spotřebitelů v jednoduché tržní ekonomice. Cournotova základní hypotéza byla, že firmy si vybírají tak, aby 3 4 maximalizovaly svůj zisk. Cournot studoval a přesně definoval případy dokonalé soutěže a monopolu. Zároveň zavedl rovnost mezi nabídkou a poptávkou v jednoduché tržní ekonomice a studoval problém oligopolu, kde je omezena soutěživost prodávajících. Cournotovo řešení oligopolu zůstalo standardním přístupem a jeho vhodné zobecnění hraje důležitou roli v teorii her. Teorie firmy: Cournotova maximalizační hypotéza byla rozšířena v rámci zkoumání výrobní funkce v poslední čtvrtině 19. století tak, že mohla vzniknout úplná teorie poptávky po vstupech a nabídky výstupů. Vývoj byl sdílen mnoha autory jako jsou např. Walras (1874), Wicksteed (1894), Wicksell (1893) a J.B. Clark (1889). Teorie spotřebitele: Rozvoj teorie spotřebitele závisející na maximalizaci funkce užitečnosti při omezeném rozpočtu spotřeby byl započat v roce 1854 Gossenem a dále studován Jevonsem (1871), Walrasem (1874) a dále dopracován Marshallem (1890). Úplné odvození vlastností funkce užitečnosti bylo provedeno Slutským (1915) a dále studováno Hicksem a Allenem (1934) aj. Základy teorie užitečnosti byly prohloubeny několika způsoby: nahrazení kardinální užitečností ordinální přináleží Fisherovi (1892) a Paretovi (1909); axiomatizace kardinální užitečnosti je dílem Frische (1926, 1932) a Alta (1936); přístup pomocí preferencí byl započat Samuelsonem (1938) a dále rozvíjen Houthakkerem (1950) a Uzawou (1960). Obecná rovnováha: Základní pojetí, že trhy jsou ve vzájemném vztahu a že proto je rovnovážný stav ekonomie charakterizován současně existující rovností mezi nabídkou a poptávkou na všech trzích, přináleží Walrasovi (1874). Toto pojetí bylo dále rozvinuto a vyloženo Paretem (1896, 1909). To, že rovnovážný stav může být dosažen, bylo dokázáno tím, že počet rovnic byl rovný počtu neznámých (viz Marshall (1890)). Optimalita konkurenční rovnováhy byla diskutována jak Walrasem tak Paretem. Stabilita rovnováhy: V případě rovnováhy jednoduchého trhu byly podmínky stability diskutovány Courno-tem (1838) a Marshallem (1890). Otázky stability obecné rovnováhy byly diskutovány rozsáhle Walrasem (1874). První diskuse z přesného pohledu se objevila v Hicksovi (1939a) a Samuelsonem (1941). Z posledních prací jmenujme práce Arrowa, Hahna, Hurwicze aj. Optimální alokace zárojů: První systematický výpočet užitků a nákladů přináleží Dupuitovi (1844). Jasná definice optimality v případě mnoha účastníků byla podána Paretem (1909). Charakterizace optimálních a 5 částečně optimálních stavuje nyní známa jakožto tzv. ekonomie blahobytu, tuto syntézu provedli Hotelling, Bergson a Hicks. Speciální problém optimalizace v čase byl poprvé studován Ramseyem (1928) a následovně Hotellingem (1931). Zobecněné vyjednáváni: Edgeworth (1881) jakožto první studoval výstupy ekonomie, ve které mohly být realizovány všechny druhy dohod o zboží, nikoliv toliko ty možné v cenovém systému. Množina možných výstupů se nazývala smluvní křivka. Obecná verze tohoto pojmu, nyní známá jakožto jádro, byla dále studována v plné obecnosti v teorii her. Vyvrcholení školy marginalistů založené na kalkulu, které zkombinovalo mnoho předcházejících výsledků s novějším vývojem, lze najít ve dvou klasických knihách, které jsou stále velmi důležité: Hicks (1946) a Samuelson (1947). 2. Období množinově teoretického/lineárního modelu: 1948-1960 Období množinově teoretického/lineárního modelu bylo období po 2. světové válce, ve kterém byl dřívější kalkul matematické analýzy nahrazen množinově-teoretickými základy a lineárními modely. Použití teorie množin znamená větší obecnost v tom, že klasické předpoklady hladkosti funkcí mohly být nahrazeny podstatně obecnějšími funkcemi. Použití lineárního modelu znamená zacházení s pojmy, které nešlo vyjádřit pomocí hladkých funkcí, tj. např. vrcholy polyedrů. Tento nový přístup byl ve skutečnosti započat důležitým článkem von Neumanna (1937) v období ekonomického růstu. Přitom v tomto článku je metodologie podstatně důležitější než jeho obsah. Jiná práce, která hrála důležitou roli v rozvoji množinově-teoretického přístupu byla Arrowova kniha o axiomatizaci teorie sociálního výběru a individuálním ohodnocení (1951). Byly v ní použity množinově-teoretické metody, které umožnily vytvoření systému pro studium problémů obecné teorie rovnováhy. Dva z velmi důležitých článků pro rozvoj teorie obecné rovnováhy byly Wald (1933-34), který provedl první přesnou analýzu obecné rovnováhy, a Arrow s Debreuem (1954), kteří pomocí množinově-teoretických prostředků formulovali problém existence konkurenční rovnováhy a dokázali její existenci za patřičných podmínek. Problém existence byl dále analyzován McKenziem, Galem, Nikaidou a Debreuem. Důležitým nástrojem byla Kakutaniho věta o pevném bodě (1941) - zobecnění Brouwerovy věty o pevném bodě. 6 V rámci teorie spotřebitele byly pro další axiomatický rozvoj důležité články Debreua a Radera. Aplikace množinově-teoretických pojmů kulminovala pak v klasické Debreuově knize (1959) a jejíž úloha je srovnatelná s pracemi Samuelsona a Hickse pro klasické období. Lineární model pro meziodvětvové vztahy byl vyvinut Leontievem (1941, 1966). Další příbuzné aktivity na tomto poli patří Koopmansovi, Morgensternovi a Kantorovičovi. Dále byl studován von Neumannův mnohaodvětvový model růstu. Tento model hrál důležitou roli jak v obecné teorii rovnováhy tak v teorii růstu. Zároveň bylo v tomto období vyvinuto lineární programování, vycházející z prací Dantziga. Tento přístup kulminoval v pracích Dorfmana, Samuelsona, Solowa a Galeho. Tyto práce přitom neobsahovaly pouze lineární programování, nýbrž lineární modely obecné rovnováhy a lineární růstové modely. Jedním z nej důležitějších modelů je pak Malinvaudův model akumulace kapitálu. Teorie her byla rovněž založena na analýze lineárních modelů. Její počátky se datují k von Neumannovi (1928), ale základní vývoj se objevil v práci von Neumanna s Morgensternem (1947) a Nashe (1950). 3. Současné období integrace: 1961-nyní Současné období je období integrace, ve kterém moderní matematická ekonomie kombinuje prvky kalkulu, teorie množin a lineárních modelů. Je zároveň obdobím, ve kterém byly matematické idee rozšířeny potencionálně do všech oblastí ekonomie. V současné době jsou mnohé odvětví matematické ekonomie ve vývoji a tento vývoj se ukazuje být nanejvýš přínosným. Zmiňme mj. 11 důležitých témat ve vývoji v této etapě. (1) Nejistota a informace: Toto téma sestává z teorie averze k riskování (viz práce Pratta a Arrowa); rovnovážný stav při nejistotě (viz práce Diamonda a Radnera); mikroekonomické aplikace (viz práce McCalla); pojištění dle Borche aj. (2) Globální analýza: Toto téma obsahuje matematické metody, které kombinují kalkulus a topologii, a jsou použity ke studiu vlastností ekonomických rovnovážných stavů a jejich změně v dané ekonomii. Debreu (1970) byl průkopníkem v tomto studiu za podmínek, že máme pouze konečný počet rovnovážných stavů. 7 (3) Teorie duality: Tato teorie používá a kombinuje množinově-teoretické metody a metody kalkulu, zejména v mikroekonomice. Připomeňme mj. práce Hotellinga, Roye, McKenzieho, Shepharda, Samuelsona a Diewerta. (4) Agregovaná funkce poptávky: Teorie spotřebitele ukazuje, že funkce poptávky jednotlivců maximalizujích užitek musí splňovat jisté omezující podmínky. Sonnenschein (1973) jako první podal argument, že agregované funkce poptávky nejsou omezeny podmínkou, že individuální funkce poptávky vznikají z maximalizace užitku. Dále zmiňme práce Mantela (1974) a Debreua (1974). (5) Jádro ekonomie a trhy s kontinuem obchodníků: Intuitivní pojem velkého počtu obchodníků spolu s předpokladem dokonalé soutěže vedl k tomu, že počet obchodníků konverguje k nekonečnu nebo že máme kontinuum obchodníků. Připomeňme práce Shubika (1959), Scarfa a Debreua (1962) aj. (6) Dočasná rovnováha: Pojem dočasné rovnováhy byl zaveden Hicksem (1939). V takovéto rovnováze se obchod uskutečňuje sekvencionálně tak, že každý účastník předpovídá svůj budoucí zisk na základě současného a minulého stavu ekonomie. Rovnováha může obsahovat všechny ceny pohybující se dostatečně rychle k vyprodání všech trhů, nebo jinak řečeno dovolí přídělový systém. (7) Výpočet rovnovážných cen: To je speciální případ výpočtu pevných bodů zobrazení, pro která je pevný bod interpretován jako rovnovážný cenový vektor, přičemž získané rozdělení je přijatelné, pokud se vyprodají všechny trhy. Hlavní práce jsou Scarf (1967, 1973). (8) Teorie sociálního výběru: Teorie sociálního výběru se zabývá agregací preferencí jednotlivců do sociálního výběru. Základy byly položeny Arrowem (1951), v této knize jsou položeny základní kameny teorie a dokázány věty o možnosti resp. nemožnosti takovéhoto výběru. (9) Optimální zdanění: První práce z této oblasti patří Ramseyovi (1937) a Hotellingovi (1938), nejdůležitější články pak Boiteuxovi (1956), Mirrleesovi (1971) a Diamondovi s Mirrleesem (1971). (10) Teorie optimálního růstu: Toto téma bylo studováno zejména Samuelsonem se Solowem (1956), Samu-elsonem (1965), Koopmansem, Galem a dalšími. Původně byl tento problém formulován jakožto problém optimálních úspor Ramseyem (1928). Tento problém byl pak zobecněn a zkombinován s meziodvětvovým modelem růstu. Matematické základy jsou založeny na teorii dynamických systémů a teorii řízení. 8 (11) Teorie organizování: Tato oblast obsahuje teorii týmové práce, decentralizace, plánování a problém stimulace. Z novějších prací připomeňme práce Marschaka a Hurwicze. Tento učební text si neklade žádné nároky na úplnost či původnost. Případné komentáře či kritické připomínky k textu očekávám nejlépe na e-mailové adrese paseka@math.muni.cz či jinou formou. Text je průběžně doplňován a měněn a je umístěn k volnému použití na ftp serveru oboru matematika PřF MU. Části textu jsou tvořeny referáty zpracovanými studenty Pavel Janík ml., Monika Ryn-dová, Libuše Tománková v rámci stejnomenné přednášky na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity. Veškerá zodpovědnost za styl a obsah je na autorovi. Obsah 1 MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII 15 1 Úvod a přehled........................................... 15 2 Úloha matematického programovaní a způsoby jejího řešení................... 16 2.1 Weierstrassova věta..................................... 17 2.2 Věta o lokálním a globálním maximu........................... 18 3 Úloha bez omezení......................................... 19 3.1 Věta o podmínkách prvního řádu............................. 19 3.2 Věta o podmínkách 2. řádu ................................ 20 3.3 Věta o postačujících podmínkách............................. 20 3.4 Příklad : Kvadratické účelové funkce........................... 21 4 Klasické programování: Lagrangeovy multiplikátory....................... 22 4.1 Věta o Lagrangeových multiplikátorech.......................... 22 4.2 Věta o ohraničené Hessově matici............................. 25 4.3 Věta o postačujících podmínkách pro klasické programování.............. 26 4.4 Příklad: Kvadraticko-lineární úloha............................ 26 5 Nelineární programování - Kuhn-Tuckerovy podmínky...................... 28 5.1 Věta o Kuhn-Tuckerových podmínkách.......................... 29 9 10 OBSAH 5.2 Věta Kuhn-Tuckera o sedlovém bodě........................... 31 5.3 Příklad: Úloha kvadratického programování....................... 33 6 Lineární programování............... ........................ 34 6.1 Věta o existenci....................................... 35 6.2 Věta o dualitě........................................ 36 6.3 Slabá doplňující věta.................................... 36 7 Mikroekonomie: matematické programování a teorie srovnávací stability .................................... 37 7.1 Věta srovnávací stability.................................. 38 8 Neoklasická teorie domácnosti................................... 40 8.1 Věta o poptávce....................................... 43 8.2 Slutského věta........................................ 44 9 Neoklasická teorie firmy ............... ....................... 47 9.1 Věta o nabídce....................................... 48 9.2 Teorie srovnávací stability firmy.............................. 50 10 Závěry................................................ 53 2 Teorie spotřebitele 55 1 Komodity a ceny.......................................... 55 2 Spotřebitelé............................................. 56 3 Preference.................. ............................ 57 4 Funkce užitečnosti ......................................... 61 5 Vlastností preferencí a funkcí užitečnosti............................. 63 5.1 Monotonie, nenasycenost a konvexnost.......................... 64 5.2 Separabilita......................................... 65 5.3 Spojitá poptávka...................................... 67 5.4 Poptávka bez tranzitivity ................................. 69 OBSAH 11 5.5 Poptávka za předpokladů separability........................... 71 6 Funkce nákladů a nepřímé funkce užitku............................. 72 7 Vlastnosti diferencovatelné funkce užitku............................. 75 7.1 Diferencovatelná poptávka................................. 81 3 Teorie ekonomické rovnováhy 85 1 Základní pojmy........................................... 85 1.1 Prostor komodit....................................... 85 1.2 Cenový prostor....................................... 86 1.3 Agenti............................................ 86 1.4 Existence rovnováhy.................................... 87 1.5 Walrasův zákon....................................... 88 1.6 Aproximace vícehodnotových zobrazení.......................... 89 1.7 Vlastnosti konvexních množin a obalů........................... 90 2 Výrobce............................................... 93 2.1 Úvod............................................. 93 2.2 Vlastnosti produkčních množin .............................. 94 2.3 Maximalizace zisku..................................... 95 3 Spotřebitel.............................................. 96 3.1 Úvod............................................. 96 3.2 Vlastnosti spotřebních množin............................... 96 3.3 Preference spotřebitele................................... 97 3.4 Užitková funkce....................................... 98 3.5 Rozpočtové omezení.................................... 98 3.6 Rovnováha spotřebitele................................... 99 4 Rovnováha ekonomiky....................................... 100 4.1 Definice rovnováhy..................................... 100 12 OBSAH 4.2 Arrowova-Debreuova věta................................. 101 4 Globální analýza a ekonomie 125 1 Existence rovnovážneho stavu................................... 125 2 Ekonomika úplné směny: existence rovnovážného stavu..................... 140 3 Paretova optimalita......................................... 149 4 Základní věta ekonomiky blahobytu................................ 155 5 Existence rovnováhy v konkurenční ekonomice 165 1 Úvod................................................. 165 2 Simultánni optimalizační přístup ................................. 166 3 Přebytek poptávky......................................... 188 6 Dynamické systémy s aplikacemi v ekonomii 201 1 Základní pojmy........................................... 201 1.1 Dynamický systém v Rn.................................. 201 1.2 Dynamické systémy na varietách ............................. 203 2 Základní nástroje.......................................... 205 2.1 Existence, jednoznačnost a spojitost řešení........................ 206 2.2 Existence rovnováhy.................................... 207 2.3 Jednoznačnost rovnováhy ................................. 208 2.4 Lokální stabilita rovnováhy ................................ 210 2.5 Globální stabilita rovnováhy................................ 211 2.6 Existence cyklů....................................... 213 3 Některé speciální druhy dynamických systémů.......................... 214 3.1 Systémy gradientů..................................... 214 3.2 Hamiltonovské systémy................................... 217 4 Některé nové techniky....................................... 218 OBSAH 13 4.1 Strukturální stabilita.................................... 218 4.2 Teorie katastrof....................................... 219 7 Dualita v mikroekonomii 221 1 Úvod................................................. 221 2 Dualita mezi nákladovou (výdajovou) a produkční (užitkovou) funkcí: Zjednodušený pohled...................... 223 3 Dualita mezi nákladovými a agregačními (produkčními nebo užitkovými) funkcemi...... 241 4 Dualita mezi přímými a nepřímými agregačními funkcemi.................... 245 5 Dualita mezi přímými agregačními a distančními nebo deflačními funkcemi.............................. 250 6 Další věty o dualitě......................................... 253 7 Minimalizace nákladů a derivovaná poptávka po vstupech.................... 258 8 Funkce zisku............................................. 262 9 Dualita a nesoutěživé přístupy k mikroekonomické teorii .................... 267 9.1 První přístup: Problém monopolu............................. 267 9.2 Druhý přístup: Problém monopsonu............................ 268 9.3 Třetí přístup: Problém monopolu jinak.......................... 270 9.4 Čtvrtý přístup: Problém monopolu ještě jednou..................... 271 9.5 Historické poznámky.................................... 272 10 Závěr................................................. 273 Literatura 273 14 OBSAH Kapitola 1 MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII 1 Uvod a přehled Matematické programováni se vztahuje k základnímu matematickému problému maximalizace funkce *. Podstata tohoto problému a způsoby jeho řešení jsou diskutovány v části 2. Historicky má tento problém kořeny v rozvoji početních metod. Odtud tedy jeho první využití bylo ve zpracování nejednodušího typu matematického programování, a sice hledání nevázaného extrému (maximalizace), což je probráno v části 3. Základní motivací pro další rozvoj početních metod byla snaha vyřešit obecnější úlohu mat. programování. To se často nazývá úloha klasického programováni, ve které se hledá maximum funkce při omezení množinou rovnic. Některé úlohy matematického programování, které byly ovlivněny studiem ekonomických problémů se však nepodařilo vyřešit ani ve 20. století. Mezi tyto úlohy například patří úlohy nelineárního matematického * Úlohy jsou zde řešeny jako maximalizace funkce. Pokud chceme funkci minimalizovat, stačí pouze změnit znaménko funkce a jinak postupovat stejně. 15 16 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII programováni kde se hledá maximum funkce při omezení množinou nerovnic, viz část 5. Speciální případ, důležitý sám o sobě, a který měl značný vliv na rozvoj teorie matematického programování, je úloha lineárního programováni tj. maximalizace lineární funkce při omezení množinou lineárních nerovnic, viz část 6. Aplikace matematického programování má širší uplatnění, např. v ekonomii našla řadu uplatnění. Vedla také k různým srovnávacím analýzám stability, které sloužily k porovnávání jej i účinnosti. Matematické programování vedlo zejména k hlubšímu náhledu do oblasti mikroekonomie , jak je dále diskutováno v části 7. Aplikace matematickéh programování jsou rozděleny do dvou úseků, na neoklasickou teorii áomácností v části 8 a neoklasickou teorii firmy v části 9. Kromě použití v základní matematické teorii (část 2 - 6) a aplikacích v ekonomii (část 7-8), má také matematické programování využití v jiných oblastech (např. fyzika, chemie, aj.). O těch se zde však nebudeme zmiňovat, odkaz na ně je možné najít v literatuře citované na konci. Také opomineme různá specifika matematického programování, jako je celočíselné programování, vícekriterialní programování, odkaz je opět uveden v literatuře. 2 Úloha matematického programování a způsoby Obecná forma úlohy matematického programování může být zapsaná ve tvaru: kde x je sloupcový vektor n vybraných proměnných, F(x) je funkce reálných proměnných, (2.3) 2. ÚLOHA MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ A ZPŮSOBY JEJÍHO ŘEŠENÍ 17 a X je podmnožina n-rozměrného euklidovského prostoru, X C En. (2.4) Obecně budeme předpokládat, že X je neprázdná, tj., že existuje přípustný vektor x, kde x je přípustný pravě tehdy, když x G X. V ekonomii se vektor x často nazývá vektor nástrojů , funkce F(x) účelová funkce a množina X množina příležitostí Základní ekonomický problém alokace vzácných zdrojů mezi navzájem si konkurujícími potřebami může být interpretován jako problém matematického programování, kde jednotlivá alokace zdroje je reprezentována příslušným výběrem vektoru nástrojů; vzácnost zdrojů je reprezentována množinou příležitostí, odrážející omezenost nástrojů. Potřeby jsou reprezentovány účelovou funkcí, jejichž výsledky jsou hodnoty příslušné ke každé alternativní alokaci. Funkce 2.1 může být tudiž interpretována v ekonomickém jazyku, jako výběr nástroje v rámci množiny příležitostí, tedy jako maximalizace účelové funkce. Existuje více způsobů řešení problému 2.1. Globální maximum funkce F je vektor x* takový, že 2.1 Weierstrassova věta Věta 2.1 Weierstrassova věta Je-li funkce F(x) spojitá a množina X je uzavřená a ohraničená tj. kompaktní a navíc neprázáná, pak existuje globální maximum. Důkaz. Důkaz této věty je založen na faktu, že obraz X v zobrazení F je definován jako x* G X a (2.6) 18 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII F(X) = {F(x)|xGX} (2.7) což je uzavřená a ohraničená množina na reálne ose, a tedy musí obsahovat i maximální prvek, což je F (x*). Měli by jsme však dát pozor na to, že podmínky věty jsou dostatečné, ale ne nutné pro existenci maxima. Maximum tedy může existovat, aniž jsou tyto podmínky splněny. (Např. maximalizace x2 na intervalu 0 < x < 2 má řešení). Weirstrassova věta může být zesílena za předpokladu, že F(x) bude shora polospojitá. ■ 2.2 Věta o lokálním a globálním maximu Lokální maximum je vektor x* G X takový, že existuje nějaké e > 0, přičemž Zde Ne(x*) je nějaké £-okolí bodu x*. Maximum je lokální, poněvadž vektor nástrojů získaný jako hodnota účelové funkce není menší než hodnota v jakémkoliv jiném bodě náležejícím X a dostatečně blízko (tj. v N£(x*) pro nějaké e > 0). Ostré lokální maximum je vektor x* G X, který splňuje pro nějaké e > 0 Zřejmě, globální maximum je zároveň lokální (což však neplatí obráceně). Ostré (globální, resp. lokální) maximum je také (globální resp. lokální) maximum, opět to neplatí obráceně. Ostré lokální maximum je jednoznačně určeno. Věta 2.2 Věta o lokálním a globálním maximu Je-li účelová funkce -F(x) konkávni funkce a množina příležitostí X konvexní množina, pak kažáé lokální maximum je i zároveň globální a množina všech takovýchto řešení je konvexní. Je-li navíc F(x) ostře konkávni funkce, pak řešení je jeáiné. Je-li -F(x) ostře (2.9) 3. ÚLOHA BEZ OMEZENÍ 19 kvazíkonkávní, je lokální maximum jediné a zároveň globálni Věta 2.2 je velice důležitá, neboť prakticky všechny metody řešící úlohu matematického programování spíše identifikují lokální než globální maximum. S použitím této věty je možné usuzovat na základě vlastností konkávnosti a konvexity, že lokální optimum je také globální. Úloha maximalizace bez omezeni je ta, že vybereme hodnoty z n proměnných tak, že maximalizujeme funkci F těchto proměnných: V tomto případě je množina příležitostí X (z 2.1) celý prostor En (nebo otevřená podmnožina En). 3.1 Věta o podmínkách prvního řádu Věta 3.1 Věta o podmínkách prvního řádu Je-li F(x) diferencovatelná funkce, pak nutné podmínky prvního řádu proto, aby bod x* byl bodem lokálního maxima funkce F(x) jsou, že x* je stacionární bod funkce F(x), ve kterém jsou všechny první parciální derivace nulové. ^Funkce f(x) je kvazikonkávni funkce právě tehdy, když pro x^x2 G X, kde -F^x1) > -F(x2) platí F(ax1 + (1 — a)x2) > -F(x2) pro všechna a, 0 < a < 1. Funkce F je ostře kvazikonkávni právě tehdy, když pro x^x2 G X, x1 ^ x2, kde Fi'x1) > ^(x2) platí stejná nerovnost jako pro kvazikonkávni funkci, ale ostrá, pro všechna a, 0 < a < 1. Všimněme si, že konkávni funkce je kvazikonkávni, ale kvazikonkávni funkce nemusí být konkávni. 3 Úloha bez omezení X 20 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII (<9F/<9x)(x*) je vektor gradientů tj., (1 x n) řádkový vektor všech 1. parciálních derivací -F(x) a 0 je (1 x n)-rozměrný vektor nul. Tedy, je-li x* = (x*, x2, ....,rr*) lokálni maximum, pak Důkaz. Důkaz této věty může být proveden pomocí Taylorova rozvoje pro hodnotu funkce kolem x*. ■ 3.2 Věta o podmínkách 2. řádu Věta 3.2 Věta o podmínkách 2. řádu Je-li F(x) spojitě diferencovatelná do 2. řádu, pak podmínka nutná proto, aby x* byl bodem lokálníha maxima funkce F(x), je, že příslušná Hessova matice typu (n x n) je v bodě x* negativně semidefinitní. Důkaz. Důkaz může být opět proveden pomocí Taylorova rozvoje. ■ 3.3 Věta o postačujících podmínkách Věta 3.3 Je-li funkce F(x) spojitě diferencovatelná do 2. řádu a podmínky 1. řádu jsou splněny pro vektor gradientů 3.2 a navíc platí zesílené podmínky 2. řádu tj. 3.4 je negativně definitní, pak x* je (ostré) lokální maximum pro F(x*). (3.3) a tvaru (3.4) Důkaz. V důkazu opět využijeme Taylorovu větu. I 3. ÚLOHA BEZ OMEZENÍ 21 Tyto tři podmínky uvedené pro úlohu bez omezení jsou analogické pro úlohu s omezením, která je diskutována v části 4 a 5. 3.4 Příklad : Kvadratické účelové funkce Jako příklad úlohy bez omezení si uvedeme maximalizaci kvadratické účelové funkce ^ n ^ n n max F(x) = cx + -x'Qx = ^ CjXj + - ^ ^ qijXíXj, (3.5) j=l i=l j=l kde c je n-rozměrný vektor a Q je symetrická matice řádu (nx n). První část účelové funkce je lineární cx, druhá část je kvadratická x'Qx (vydělená dvěma pro pozdější snadnější úpravy). Z nutné podmínky 2. řádu pro existenci lokálního maxima 3.2 dostaneme d F — (x*) = c + x*/Q = 0, (3.6) ox Z nutných podmínek 2. řádu 3.4 dostáváme, že Q je negativně semidefinitní. Z věty o postačujících podmínkách víme, že je-li Q negativně definitní, pak x* je ostré lokální maximum. Tedy Q je negativně definitní, pak F(x) je ostře konkávni a x* je globální maximum. Mimo to, je-li Q regulární, pak pro x* dostáváme x* = -Q-V. (3.7) Maximum účelové funkce potom je F(x*) = -cQ-V + ^(cQ-1)Q(Q-1c/) = -^cCTV > 0, (3.8) protože Q je negativně definitní. 22 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII 4 Klasické programování: Lagrangeovy multiplikátory Úloha klasického programováni je ta, že vybereme hodnoty z n proměnných tak, že maximalizujeme funkci těchto proměnných na množině stejných omezení. maxF(x) pro g(x) = b. (4.1) Tento vektor nástrojů x a hlavní (cílová, účelová) funkce F(x) jsou stejné, jako v 2.1, kde F(x) je reálná funkce definována na En. Vektor reálných funkcí g(x) je zobrazení z En do Em, znázorňující m-omezené fce a sloupcový vektor b je m x 1 rozměrný vektor omezujících konstant, S(x) / gi(x1,x2,... ,xn) \ g2(xx , X2, • • • , xn J b ŕ h\ (4.2) y gm(x1,x2,... ,xn) ) V termínech primárního (základního) problému 2.1 klasický problém matematického programování koresponduje s případem, ve kterém množina příležitostí může být zapsána jako X = {x G £n|g(x) = b} = {(x1,x2,.. .,xn)'\gi(x1,x2, ...,xn) bh i 1,2,...,m}. (4.3) 4.1 Věta o Lagrangeových multiplikátorech Popis řešení klasického problému programování, který je analogický s Větou o podmínkách 1. řádu pro neomezené úlohy, je získán pomocí Věty o Lagrangeových multiplikátorech. Pro tuto větu zavedeme řádkový vektor m-dodatečných nových proměnných nazývaných Lagrangeovy multiplikátory, y = (ž/i, ž/2, • • • ,ym), (4.4) 4. KLASICKÉ PROGRAMOVÁNÍ: LAGRANGEOVY MULTIPLIKÁTORY 23 a to jeden pro každé dané omezení, Lagrangeova funkce je pak definována jako následující reálná funkce n-původních a m-přidaných proměnných, L(x,y) = F(x)+y(b-g(x)) = F(x1,x2,...,xn) + Y,T=1yí(bi-gí(x1,x2,...,xn)), kde poslední výraz je skalárním součinem řádkového vektoru Lagrangeových multiplikátorů a sloupcového vektoru složeného z rozdílu omezujících konstant a omezujících funkcí. Potom, v souladu s větou o Lagrangeových multiplikátorech, předpokládáme, že n > m (kde n — m je stupeň volnosti), F(x) a g(x) je m + 1 funkcí se spojitými prvními parciálními derivacemi a omezující podmínky jsou lineárně nezávislé v řešení, tj. jestliže x* je lokální maximum úlohy, m, (4-6) (tj. Jacobiho matice složená z 1. parciálních derivací omezujících funkcí rozměru m x n má plnou řádkovou hodnost), nutné podmínky 1. řádu tvoří pak m+n nulovacích podmínek prvních parciálních derivací Lagran-geovy funkce L(x, y), ^(x*,y*) = ^(x*)-y*^(x*) = 0 (npodmínek), (4.7) ox ox ox dL — (x*, y*) = b — g (x*) = 0 (m podmínek), (4.8) kde posledních m podmínek vyžaduje, aby omezení bylo nalezeno právě v x*. Věta 4.1 Věta o Lagrangeových multiplikátorech Je-li x* bod lokálního maxima (extrému), pak existuje m-rozmérný vektor Lagrangeových multiplikátorů y* takový, že dle J^.l je gradient F(x) v x* je lineární 24 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII kombinaci gradientů funkcí g«(x) v tomto bodě, přičemž Lagrangeovy multiplikátory budou koeficienty této lineární kombinace, a to f<**>-*'!<*> * gw-Ě^M-l.'.....* («> Důkaz. Tato věta je obvykle dokazována užitím věty o implicitní funkci. I ■ Těchto n podmínek je analogických s podmínkami 1. řádu 3.2 nulování vektoru gradientu. Ve skutečnosti proto věta redukuje na Větu o podmínkách 1. řádu v případě, že m = 0, což je právě neomezený případ. Druhá část věty o Lagrangeových multiplikátorech nám dává interpretaci těchto m dodatečných proměnných. Nezahrnuje jednu úlohu klasického programování, ale celou množinu takových úloh, které jsou charakterizovány omezujícími konstantami b. Jestliže se některá z těchto konstant změní, změní se i hodnota maximalizující účelové funkce. Maximální hodnotu dostaneme jako F* = F(x*) = L(x*,y*), (4.10) kde druhá rovnost vychází z faktu, že omezení vyhovují řešení 4.8. Lagrangeovy multiplikátory v jejich optimálních hodnotách y* měří stupeň přírůstku maximalizované hodnoty F*, podle toho, jak se příslušné omezující konstanty mění, y* = dF*/dbtj. y* = dF*/dbi, i = 1,2,...,m. (4.11) Tedy každý Lagrangeův multiplikátor měří citlivost maximalizované hodnoty účelové funkce na změny příslušných omezujících konstant, přičemž celá další část úlohy zůstává stejná. V ekonomických úlohách, ve kterých F má rozměr hodnoty (cena x množství) zisku či důchodu a b má rozměr množství jako vstup či výstup, Lagrangeovy multiplikátory b* interpretujeme jako cena, nazýváme ji stínová cena, z toho důvodu, abychom ji odlišili od tržní ceny. Měří přitom přírůstek hodnoty v případě změny omezení. 4. KLASICKÉ PROGRAMOVÁNÍ: LAGRANGEOVY MULTIPLIKÁTORY 25 Geometrickou interpretaci a charakter řešení můžeme pro klasické programování získat přes Lagrangeovy multiplikátory. Rovnost omezení definuje množinu příležitostí X v 4.3, které za předpokladu 4.6 má rozměr n — m. Nezávislost předpokladu v 4.6 implikuje, že v řešení x*, každá směrnice dx vyhovující (4.12) leží v tečném nadrovině k X v bodě x*. Gradienty vektorů omezujících funkcí -^(x*) jsou ortogonální k této tečnému nadrovině v bodě x*. Podmínky 1. řádu 4.9 znamenají geometricky, že gradient vektoru účelové funkce (dF/dx)(x*), pro kterou funkční hodnoty bodů F(x) ve směru gradientu zvětší směrem k x*, je vážená kombinací gradientů vektorů omezujících funkcí, váhy jsou Lagrangeovy multiplikátory y*. Tedy (dF/dx)(x*) je také ortogonální k tečné nadrovině k X v bodě x* a to ve směru dx v tečné nadrovině, ^(x*)dx = y*|^(x*)dx = 0. (4.13) 4.2 Věta o ohraničené Hessově matici Analogií v případě klasického programování k větě o podmínkách 2.řádu pro neomezené problémy je věta o ohraničené Hessově matici. Podle této věty Hessova matice druhých parciálních derivací Lagrangeovy funkce d2L dx? dx2 \ a2 l dxidx a2L \ d2L dx2 (4.14) dxndxi musí být negativně semidefinitní na množině vektorů dx určené splněním m podmínek dí dx (x*)dx = 0, (4.15) 26 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII kde (x*,y*) je bod lokálního maxima. 4.3 Věta o postačujících podmínkách pro klasické programování Poslední analogií je věta o postačujících podmínkách. Podle věty o postačujících podmínkách pro klasické programování, jestliže je splněno n + m podmínek l.řádu 4.7 a 4.8 pro bod x*, potom zesílené podmínky ohraničené Hessovy matice, které zaručí, že Hessova matice v 4.14 je negativně definitní na množině určené 4.15, nám zajistí, že x* je bod lokálního maxima pro funkci F(x) s m omezujícími podmínkami. Ekvivalentně, podmínky vyžadují aby ohraničená Hessova matice, definovaná jako Hessova matice funkce L(x, y) na všech proměnných / n n 9.9i 9.9i \ (4.16) \ dxn ' ' ' dxn dxndxi dx2, ' J kde dg/dx. je Jacobiho matice z 4.6, splní n — m podmínek tak, že v posledních n — m hlavních minorech se střídají znaménka, přičemž znaménko prvního bude (—l)m+1. Poznamenejme, že obě tyto věty, tato i předcházející, se redukují na odpovídající věty pro neomezený případ, kdy m = 0. 4.4 Příklad: Kvadraticko-lineární úloha Příklad klasického programování, který vychází z oddílu 3.4, je kvadraticko-lineární úloha: 1 maxF(x) = cx H—x'Qx pro A x = b. (4-17) 0 chĺ <9x <9x2 u ... u 0.. dgi dx\ \ dg! dg„ dx\ ' ' ' dxn dgm dgrr dx\ ' ' ' dxn d2L d2L g ag-rn ag-m dx\ dx\ ' ' ' dx\dxn d2L d2L 4. KLASICKÉ PROGRAMOVANÍ: LAGRANGEOVY MULTIPLIKÁTORY 27 Zde je účelová funkce stejná jako v 3.5, a omezení je m lineárních rovnic, n Ax = b tj. dijXj = bi, i = 1,2,...,m, (4-18) určených maticí A typu m x n a sloupcovým vektorem b typu m x 1. Lagrangeova funkce je pak L(x,y) =cx+ix/Qx + y(b-Ax), (4.19) kde y je vektor Lagrangeových multiplikátorů. Použitím n + m podmínek l.řádu 4.7, 4.8, B T — =c + x*/Q-y*A = 0, (4.20) ox dL — = b - Ax* = 0. (4.21) «9y Těchto n + m podmínek vyžaduje, aby platilo x* = -Q-1^'-A'y*')- (4-22) Lagrangeův multiplikátor může být získán vynásobením maticí A a užitím omezení A x* = -A Q-V + (A Q_1A')y*' = b. (4.23) Najděme tedy řešení pro vektor Lagrangeových multiplikátorů y* = (b' + cQ-1A')(AQ-1A')-\ (4.24) a dosazením tohoto řešení do 4.22 obdržíme 28 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII x* = -CrV - A'(A Q^A')-1^ + A Q-V)]. (4.25) Označíme-li x* řešení úlohy bez omezení v 3.1 dané 3.7, řešení omezeného problému může být psát jako x* = x* + Q"1 A'(A Q^A')-1^' - Ax*). (4.26) Tedy, jestliže x* odpovídá omezujícím podmínkám, potom to je také řešení úlohy s omezením. Mimo to rozdíl mezi řešením úlohy s omezením a bez omezení, x* — x* je lineární funkcí množství, pro která řešení úlohy bez omezení nevyhovuje omezující podmínce b — Ax*. 5 Nelineární programování - Kuhn-Tuckerovy podmínky Úloha nelineárního programování spočívá ve volbě nezáporných hodnot n proměnných tak, aby maximalizovaly funkci těchto n proměnných, které splňují m nerovností, maxF(x) pro g(x) < b, x > 0. (5-1) X Zde vektor nástrojů x a účelová funkce F(x) jsou stejné jako v 2.1, kde F(x) je reálná spojitě diferencovatelná funkce definovaná na En. Hodnoty vektorové omezující funkce g(x) a vektor omezení h jsou stejné jako v 3.1, kde g(x) je spojité diferencovatelné zobrazení z En do Em. Z hlediska základního problému 2.1, úloha nelineárního programování koresponduje s případem, ve které množina příležitostí může být zapsaná jako: X = {x G En | g(x) < b, x > 0} = {(x1,x2,...,xny\gi(x1,x2,...,xn) < bu i = 1,2, ...,m, (5.2) Xj > 0, j = 1,2,...,n}. Tato úloha je zevšeobecnění úlohy klasického programování 4.1, protože rovnosti jsou speciálním případem nerovností. 5. NELINEÁRNI PROGRAMOVÁNÍ - KUHN-TUCKEROVY PODMÍNKY 29 5.1 Věta o Kuhn-Tuckerových podmínkách Charakteristika řešení úlohy nelineárního programování, která je analogická jak s Větou o podmínkách l.řádu pro úlohy bez omezení a s Větou o Lagrangeových multiplikátorech pro klasické programování, je zajištěna Větou o Kuhn-Tuckerových podmínách. Stejně jako v případě klasického programování zavedeme řádkový vektor m dodatečných nových proměnných, nazývaných Lagrangeovy multiplikátory, a to pro každé omezení. Lagrangeova funkce může být definována jako následující reálná funkce o n původních a m přidaných proměnných: stejně jako v 4.5. Kuhn-Tuckerovy podmínky jsou potom definovány v bodech x*,y*, jako 2n + 2m nerovností a 2 rovnosti: (5.3) /(x,y) F(x)+y(b-g(x)) F(xu x2,..., xn) + yh=i yi(bi - 9Áx1, x2, ■ ■ ■ xn)) (5.4) (5.5) Z toho n + m nerovností reprezentuje omezení původního problému: (m podmínek) (5.6) x* > 0 (n podmínek) (5.7) zatímco přidaných n + m nerovností vyžaduje 30 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII ^(x*,y*) = ^(x*) - y*^(x*) < O (n podmínek), (5.8) oy ox ox y* > 0 (m podmínek), (5-9) Přitom n podmínek v 5.8 je napsáno raději jako nerovnosti než rovnosti ve 4.7, kvůli nezáporným omezením na x v 5.7, nebo, více všeobecně, protože hraniční řešení jsou přípustné. Dalších m podmínek v 5.9 vyžaduje nezápornost Lagrangeova multiplikátoru, je to z toho důvodu, že omezení v 5.6 jsou psaná raději jako nerovnosti než rovnosti: jestliže omezení je rovnost, potom příslušný element y* je neomezený stejně jako v klasickém případu programování. Dvě podmínky rovnosti Kuhna-Tuckera: 7 = 1 V 3 y*|r(x*)H = o, (s.io) dl m y* — (x*,y*) = ^yWi - <*(x*)) = 0, (5.11) ^ i=i dohromady s ostatními podmínkami, je vyžadováno, aby všechny výrazy v obou těchto sumách byly nulové. Tedy jestliže jedna z nerovností vyhovuje řešení i v případě, že je ostrá, potom je odpovídající (duální) proměnná rovna nule. — (x*)-y*^(x*) <0 implikuje x* = 0, j = 1, 2,..., n, (5.12) Pi (x*) < bi implikuje y* = 0, i = 1, 2,..., m, (5.13) Tyto podmínky jsou známé jako slabé doplňující podmínky nelineárního programování. Podmínka 5.11 také implikuje, že pro řešení je hodnota Lagrangiánu zároveň maximální hodnota účelové funkce. 5. NELINEÁRNI PROGRAMOVÁNÍ - KUHN-TUCKEROVY PODMÍNKY 31 L(x*,y*) = F(x*) = F*. (5.14) Podle podmínek Věty Kulma-Tuckera platí, že jestliže je splněno vhodné silné omezení, pak Kuhn-Tuckerovy podmínky jsou nutné podmínky pro úlohy nelineárního programování, takže když x* je řešením 5.1, pak zde existuje vektor Lagrangeových multiplikátorů y* splňující 5.5. Stejně jako v případě klasického programování, řešení metodou Lagrangeových multiplikátoru interpretujeme jako citlivosti maximalizované hodnoty účelové funkce na změny omezujících konstant, dF* dF* y* = — i.e. y* = —, i = l,2,...,m, (5.15) kde F* je definována jako F* = F(x*) = L(x*,y*). (5.16) Přesněji, z doplňujících podmínek 5.13 vyplýva, že když v řešení je ostrá nerovnost, pak příslušný Lagrangeův multiplikátor je roven nule a tedy růst omezující konstanty o vhodně malou hodnotu nezmění maximalizovanou hodnotu účelové funkce. 5.2 Věta Kuhn-Tuckera o sedlovém bodě Věta, která je analogická Větě o postačujících podmínkách pro úlohy bez omezení a Větě o postačujících podmínkách úlohy klasického programování, je reprezentována Kuhn-Tuckerovou větou o sedlovém bodu. Vezmeme-li Lagrangeovu funkci definovanou v 5.4, pak sedlový bod je definován jako: maxminL(x, y) pro x > 0, y > 0. (5-17) x y Tudíž x*, y* řeší úlohu o sedlovém bodě právě tehdy, když pro všechna x > 0, y > 0 platí, 32 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII ) 0 (nebo když nezápornost x není částí úlohy), podmínky 5.8 a 5.9, když všechna x* > 0 (nebo když nezápornost x není část problému). Tudíž gradient účelové funkce musí být v řešení nezáporná vážená kombinace gradientů omezující funkce. (5.19) 5. NELINEÁRNI PROGRAMOVÁNÍ - KUHN-TUCKEROVY PODMÍNKY 33 Vektor gradientu účelové funkce musí proto ležet v kuželu generovaném normálami k množině příležitostí v bodě x*. _ * 5.3 Příklad: Úloha kvadratického programování Příkladem úlohy nelineárního programování je úloha kvadratického programování (jako v 4.17, kde omezení jsou ve formě množiny nerovností) (5.20) 1 maxF(x) = cx H—x'Qx pro Ax < b, x > 0. (5.20) x 2 Zde c je daný 1 x n řádkový vektor, Q je daná n x n negativně semidefinitní symetrická matice, A je daná m x n matice a b je daný m x 1 sloupcový vektor. Lagrangián (Lagrangeho polynom) je daný v 4.19 a Kuhn - Tuckerovy podmínky jsou §=c + x*'Q-y*A<0lxn, § = b- Ax* > 0mxl, §x* = (c + x*/Q-y*A)x* = 0, y*f = y*(b - Ax*) = 0, (5.21) x* > 0, y* > 0. Tyto podmínky charakterizují řešení úlohy. Protože Q je negativně semidefinitní, účelová funkce F(x) je konkávni a lineární transformace Ax je konvexní. Mimoto jsou splněny omezující kvalifikované podmínky. Úloha je jedna z úloh konkávního programování, ve které Kuhn - Tuckerovy podmínky 5.21 jsou obě nutné a dostačující. Vektor x* tak řeší úlohu kvadratického programování 5.20 právě tehdy, když y* je takové, že x*, y* vyhovují Kuhn - Tuckerovým podmínkám 5.21. 34 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII 6 Lineární programování Úloha lineárního programování je to, že vybereme nezáporné hodnoty n proměnných tak, že maximalizujeme lineární tvar těchto proměnných, za podmínek omezení m lineárními nerovnicemi. maxcx pro Ax < b, x > 0. (6-1) X x je vektor nástrojů stejně jako v 2.1, 3.1 a 4.1; A je daná m x n matice (a^); b je daný sloupcový vektor s m prvky jako v 4.1 a 5.1; a c je daný řádkový n-rozměrný vektor. Z pohledu úlohy nelineárního programování 5.1 lineární úloha odpovídá případu, ve kterém je účelová funkce v lineárním tvaru. n a každá z omezujících funkcí je rovněž v lineárním tvaru n g(x) = Ax tj. gi(x1,x2,...,xn) = ^2a,tjXj, i = 1, 2,... ,m. (6.3) i=i Úloha je tedy speciálním případem úlohy nelineárního programování a je dvojnásobně lineární proto, že je lineární jak v účelové funkci, tak i v omezujících podmínkách. Poněvadž lineární tvar je jak konkávni, tak i konvexní, úloha, uvažovaná jako speciální případ úlohy nelineárního programování, je ekvivalentní s úlohou sedlového bodu maxminL(x, y) = cx + y(b — Ax) pro x > 0, y > 0. (6-4) x y S každou úlohou lineárního programování souvisí duální úloha. Jestliže primární úloha je daná jako v 6.1, pak duální úloha je 6. LINEÁRNI PROGRAMOVÁNÍ 35 minyb pro yA > c, y > 0. (6.5) y Tato úloha je rovněž hledáním extrémů lineární formy s omezujícími podmínkami množiny lineárních nerovností omezené výběrem nezáporných hodnot proměnných. Proměnné duální úlohy, y, jsou Lagrangeovými multiplikátory primární úlohy. Duální úloha duální úlohy je primární úloha, duální úlohou minimalizační úlohy je maximalizační úloha, v duální úloze omezující konstanty se stávají koeficienty účelové funkce, zatímco koeficienty účelové funkce se stávají omezujícími konstantami. Úloha sedlového bodu pro duální úlohu je minmaxL(y, x) = yb + (c — yA)x pro y > 0, x > 0. (6.6) y x a tedy Lagrangeova funkce je stejná jak pro primární, tak pro duální úlohu L(x,y) = L(y,x) = cx + yb - yAx. (6.7) Kuhn - Tuckerovy podmínky, které jsou stejné jak pro primární, tak pro duální úlohu, jsou § = c - y*A < 0lxn, g; = b - Ax* > 0mxl, f x* = (c - y*A)x* = 0, y*f = y*(b - Ax*) = 0, (6.8) x* > 0, y* > 0 Tři hlavní věty lineárního programování - věta o existencí, věta o dualitě a slabá doplňující věta - mohou být dokázány na základě těchto Kuhn-Tuckerových podmínek. 6.1 Věta o existenci Podle věty o existenci platí, že když přípustné body existují jak pro primární, tak pro duální úlohu, pak optimální řešení existují pro obě úlohy. Tedy jestliže existují xq, yo takové, že 36 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII Ax° < b, x° > O, y°A > c, y° > O, (6.9) pak existují x*, y* řešící jak primární, tak i duální úlohu. 6.2 Věta o dualitě Z věty o dualitě vyplývá že, pro každé přípustné vektory x°, y° jak pro primární, tak duální úlohu platí cx° < y°b. (6.10) Mimoto přípustné vektory, které vyhovují těmto nerovnostem a rovnostem, poskytují řešení x*, y* duální úlohy, kde cx*=y*b. (6.11) 6.3 Slabá doplňující věta Podle této věty x*, y*, které jsou přípustnými vektory duální úlohy, jsou řešením této úlohu tehdy a jen tehdy, když vyhovují dvěma podmínkám rovnosti Kuhn - Tuckerových podmínek 6.8, dané jako (c-y*A)x*=0, y*(b-Ax*) = 0. (6.12) Z těchto podmínek optimalizované hodnoty duální účelové funkce jsou si rovny navzájem a rovněž hodnotám obou Lagrangeových funkcí v tomto řešení cx* = y*Ax* = y*b = L(x*,y*) = L(y*,x*). (6.13) 7. MIKROEKONOMIE: MATEMATICKÉ PROGRAMOVANIA TEORIE SROVNÁVACÍ STABILITY37 Spolu s ostatními Kuhn - Tuckerovými podmínkami podmínky v 6.12 znamenají, že když jedna z omezujících nerovností je vyhovující v řešení jako ostrá nerovnost, pak odpovídající duální proměnné jsou nulové, tj- (°j ~ E Viaij) < 0 implikuje x* = 0, j = 1,2,..., n, (bi — ^2 aíjx*j) > 0 implikuje y* = 0, i = 1, 2,..., m. Tyto podmínky jsou známé jako slabé doplňující podmínky lineárního programování. Stejně jako v posledních dvou sekcích, můžeme úlohu lineárního programování a její řešení interpretovat i geometricky. Množina příležitostí je polyedr - uzavřená konvexní množina, poněvadž to je průsečík m + n poloprostorů definovaný m nerovnostmi a n nezápornými omezeními. Vrstevnice účelové funkce jsou nadroviny a problém je řešen nejvyšší nadrovinou uvnitř polyedru. Toto řešení nemůže být ve vnitřním bodě. Řešení se musí nacházet ve vrcholu (v tomto případě je jednoznačné) nebo podél hraniční plochy (v tom případě je nejednoznačné). 7 Mikr o ekonomie: matematické programování a teorie srovnávací stability Mikroekonomické úlohy jsou typicky formulované pro ekonomické subjekty (jako jsou např. domácnosti, firmy), které se pokoušejí maximalizovat účelovou funkci při jistých omezeních. Proto jsou formulované jako úlohy matematického programování. Teorie matematického programování je pak používána pro analýzu těchto problémů - tj., specificky charakterizovat rovnovážné řešení a určit jak se řešení mění při změně parametrů úlohy. Posledně zmíněné vymezení - tj., jak změny v parametrech ovlivňují řešení - je nazýváno srovnávací stabilita, protože porovnává dvě rovnovážné situace - počáteční rovnováhu a rovnováhu po jedné nebo více změnách v parametrech. Charakteristika řešení je obyčejně založena na podmínkách 1. řádu úlohy matematického programování a analýza srovnávací statistikyje založena na rozdílu podmínek 1. řádu. Výsledek kvalitativního nebo kvan- 38 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII titativního určení o tom, jak parametry ovlivňují řešení, dává jisté omezení v řešení. 7.1 Věta srovnávací stability Předpokládaná úloha jistého ekonomického subjektu může být charakterizována jako výběr jistých proměnných x stejně jako v úloze klasického programování 4.1 s jednoduchým omezením. Účelová funkce a omezení mohou záviset na g-rozměrném sloupcovém vektoru parametrů a, a tedy úloha může být vyjádřena jako maxF(x,a) pro g(x,a) = 6. (7-1) X Řešení této úlohy je charakterizováno podmínkami 1. řádu 4.7 a 4.8, které zde jsou ve tvaru 6-0(x,a) = O, (7.2) !E(x'a)-ž/lx"(x'a)=o' (7,3) kde y je jednoduchý Lagrangeův multiplikátor odpovídající jednoduchému omezení. Řešení x*, y* závisejí celkově na q + 1 parametrech úlohy (a, b) x* = x*(a,6), (7.4) y* = y*(a,b). (7.5) Vložením tohoto řešení do podmínek 1. řádu dostáváme n + 1 identit 6-p(x(a,6),a) = 0, (7.6) 7. MIKROEKONOMIE: MATEMATICKÉ PROGRAMOVANIA TEORIE SROVNÁVACÍ STABILITY^ dF do — (x(a,6),a) -y(a,&)^(x(a,&),a) = 0. (7.7) Předpokládané funkce F(x) a g(x) jsou spojitě diferencovatelné, identity 7.6 a 7.7 můžeme diferencovat do tvaru dq dq db- ~-dx- -^da = 0, (7.8) ax oa v ' kde dg _ f dg dg dg da \dai da^' ' da (7.10) dx = (drri, dx2,... , dxn)', (7.11) d a = (doi, da2, • • •, d a,,)', (7.12) Řešení pro dx a dy dává, v maticovém zápisu, dy \ _ f o ~m y1 f tda~dh \ , , dx J " l _f|aV |!Í J -T^da ' (7-13) v dx / dx2 \ V dxda kde předpokládáme, že ohraničená Hessova matice je regulární. S užitím tohoto výsledku a s předpoklady, že F(x) a g(x) jsou spojitě diferencovatelné, je zde přípustný bod a ohraničená Hessova matice je regulární, srovnávací statická věta udává, že existuje téměř vždy zobecněná Slutského rovnice ve formě 40 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII <9x da <9x da ) comp + 1 /öx y \db ) 9L <9a ) (7.14) Zde "comp"značí, že je kompenzována parciální derivace podle a 6 tak, že F je konstantní. Tuto zobecněnou rovnici lze přepsat do tvaru Zde jsou výrazy vlevo "pozorovatelné", derivace vybraných proměných podle q + 1 parametrů, derivace podle b, vážená derivací g dle a. Výrazy vpravo jsou "nepozorovatelné", první je matice kompenzované parciální derivace a druhá je nepozorovatelná, když je účelová funkce jedinečná pouze na monotóní transformaci. Matice n x q vpravo, S (a, b), je zobecněná matice substitučního efektu. Druhá část věty dává, že pokud q = n, tedy S (a, b) je čtvercová, potom je symetrická tehdy a jen tehdy, když obě funkce, účelová funkce F(x, a) a omezující funkce g(x, a) mohou být zapsány jako kde Ap a Ag jsou konstanty. Konečně, kvadratická forma S(a,b) je negativně semidefinitní, pokud platí (7.15) (7.16) (7.17) AF -yAg>0 8 Neoklasická teorie domácnosti Domácnost a firma jsou dva velmi důležité mikroekonomické subjekty. Stejně jako u ekonomického subjektu, je u domácnosti předpokládáno chování vedoucí k maximalizaci užitečnosti podřízené rozpočtovému 8. NEOKLASICKÁ TEORIE DOMÁCNOSTI 41 omezení. Předpokládejme n dostupných druhů zboží (a služeb), označme x sloupcový vektor množství zboží nakupovaného a spotřebovávaného domácností x = (x1,x2, ■ ■ ■ ,i„)'; (8.1) U(x) označme funkci užitečnosti pro domácnost, U(x) = U(x1,x2,... ,xn), (8.2) udávající užitečnost jako funkci spotřebovaného množství; p buď řádkový vektor (kladných) daných cen zboží, P = (Pl,P2,-..,Pn); (8-3) a I buď (kladný) daný dostupný příjem domácnosti. Problém domácnosti pak lze zapsat max£/(x) pro px < J, x > 0 (8-4) X Domácnost vybírá nezáporná množství zboží x tak, aby maximalizovala funkci užitečnosti při respektování rozpočtového omezení n px = ^pixi 0, , N Íl ^st/ n n k /j- x nx>0, y>0. (8.7) §x = (g - yp) x = 0, = y(I - px) = 0 " v ; Navíc y* má interpretaci marginální užitečnosti peněz (nebo marginální užitečnosti příjmu), MUm, y* = dU*/dI = MUm, (8.8) kde U* je maximalizovaná hodnota užitečnosti U* = U(x*). (8.9) Totiž při konstantním y* máme z předchozího vztahu 8.7 |^x*(J) = y*I. Derivujeme-li dle J, obdržíme Jsou-li ceny a příjem kladné a užitečnost je monotóně rostoucí ve všech spotřebních úrovních dU/dxj = MU j > 0, (8.10) kde MU j je (kladná) marginální užitečnost zboží j, můžeme pak odvodit, že růst příjmu umožní domácnosti nakoupit více zboží a tak zvýšit užitek. Takže y*, marginální užitečnost zvýšení příjmu, je kladná a, ze slabé doplňující podmínky px* = J (8.11) plyne, že celý příjem je utracen. Z Kuhn-Tuckerových podmínek plyne, že produkt marginální užitečnosti příjmu a cena zboží určují horní hranici pro marginální užitečnost každého zboží MUi 0), podmínka 8.12 přechází v rovnost. Takže je-li j-té zboží nakupováno MUj/pj = y* = MUm, (8.13) takže poměr marginální užitečnosti k ceně je tentýž pro všechny druhy zboží, které jsou aktuálně nakupovány, tento poměr nazveme marginální užitečností peněz. Pokud 8.12 dává ostrou nerovnost, pak dle komplementární podmínky není dané zboží nakupováno (x* = 0). 8.1 Věta o poptávce V souladu s větou o poptávce zde existuje řešení pro požadované nakupované zboží x* a marginální užitečnost peněz y*, jež mohou být považovány za funkci n + 1 parametrů, jmenovitě n cen a příjmů, p a J, x* = x*(p,J), (8.14) y* = y*(p,I), (8.15) předpokládáme x* > 0, U(x) spojitě diferencovatelná do druhého řádu včetně v nejbližším okolí x*, px* = I (nenasycení) a Hessova matice d2U d fdU\ H = (816) je regulární. Funkce 8.14 je poptávková funkce pro n druhů zboží, její existence plyne z teori implicitní funkce. Omezíme-li pozornost na zboží, které je aktuálně poptáváno, podmínka prvního řádu, užívaje řešení, může být zapsána jako n + 1 identit ^(x*(p,/))=í,*(p,/)p, (8.17) ox 44 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII px*(p,/)=/. (8.18) (Omezení pozornosti na zboží, které je aktuálně poptáváno, nepřipouští situaci, ve které při změně parametru zboží, jež není poptáváno, může toto již být poptáváno). V souladu s teorii, podmínky charakterizují rovnovážný stav domácnosti. Pokud poptávková funkce U(x) je ostře konkávni, jsou obě nutnými a dostačujícími podmínkami pro rovnováhu. Dále podle teorie je n poptávkových funkcí v 8.14 pozitivně homogenních stupně nula v cenách a příjmu, x*(Ap,AJ) =x*(p,J), V A, A>0 (8.19) jestliže změna p, I na A • p, X ■ I nezmění úlohu pokud A > 0. (Pouze donucení je ovlivněno, a A • p ■ x < A • / je ekvivalentní k p • x < I při A > 0.) Zvolíme-li A = 1/1, poptávková funkce může být psána (8.20) kde p* je vektor cen relativně vztažených k důchodu, P* = (pi/I,P2/I,-..,Pn/I) (8.21) Zde poptávka závisí pouze na cenách relativně vztažených k důchodu. Teorie poptávky potom charakterizuje poptávkové funkce, určuje jejich homogenitu a indikuje jejich závislost na relativních cenách. 8.2 Slutského věta Slutského věta sumarizuje porovnávací statiku domácnosti, obdrženou jako diferenciaci podmínek 8.17 a 8.18 podle cen a důchodu. Dle kapitoly 7 dostáváme základní maticovou rovnici teorie domácnosti 8. NEOKLASICKÁ TEORIE DOMÁCNOSTI 45 / dy^_ ( 1 dl ôp l ôp <9x* dl <9x* / <9x* Qp \ Qp comp comp O -p -p' H -1 x*' O O y*In y*In (8.22) kde výsledky porovnávací stability jsou sumarizovány dle změn v řešení y*, x* jako parametrů změn lap, dy* d2U* dl Qp , 9x* í dx* dx*2 dx*n dl ~ \ W dl ' • ■ ' dl dy* — f dy* dy* ďy* Qp V dpi ' dp2 ' ' ' ' ' dpn dp / dx^ dx^ ' dpi dp2 \ dp! dp2 (8.23) dx^ \ dpn > 9< i dpn / a všechny proměnné a derivace jsou počítány pro hodnoty řešení y*, x*. Zde "comp"značí, že je kompenzována parciální derivace podle cen, kde důchod je kompenzován tak, že poptávka je konstantní; H je Hessova matice dle 8.16, u níž je předpokládána negativní definitnost a invertibilita, hraniční Hessova matice je regulární a In je identická matice typu nxn. Řešení základní rovnosti, při invertování rozložených matic, dává Slutského rovnost, 46 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII <9x* _ I <9x* dp \ ^ / comp (8.24) dx* í dx* \ / ôs:* opi \ opi / ^ \ -^^ / comp vyjadřující, že celkový efekt změny ceny na poptávku je součtem substitučního efektu kompenzované změny na poptávku a důchodového efektu změny důchodu na poptávku, kde důchodový efekt postihuje vážené —x*. Tato rovnice je první částí Slutského věty. Druhá část teorie uvádí, že matice substitučního efektu je symetrická a negativně semidefinitní, <9x*\ dx* dx* dx* dx* 9FL,Piesymetrickí tj- dÁ+m-xt = dŽ + Wx> Vj'*' (8-25) /<9x*\ z I —— I z' < 0 a = 0 pro z = ap. (8.26) V " / comp Poslední část věty je Engelova podmínka agregace x ' 1 = 1 dl Cournotova podmínka agregace dx* 3 - 1; (8.27) V/; (8.28) a podmínka homogenity 9. NEOKLASICKÁ TEORIE FIRMY 47 <9x* , <9x* J^dx* dx* -p< + -/ = 0 t, g^ + ^/ = 0, V,. (8.29) 9 Neoklasická teorie firmy O firmě jako ekonomickém subjektu předpokládáme, že se chová tak, aby maximalizovala zisk za předpokladu technologických omezení produkční funkce. Za předpokladu, že firma používá n vstupů na produkci jediného výstupu, nechť x je sloupcový vektor vstupů x = (xux2,... ,xn)'; (9.1) q je výstup, /(x) je produkční funkce firmy Q = /(x) = f(x1,x2,... ,xn), (9.2) kde výstup je funkcí vstupů, w je řádkový vektor kladných vah vstupů w = (wuw2,... ,wn); (9.3) a p je kladná cena výstupu. Problém konkurenční firmy je pak max7r = pg —wx pro q = f(x), x > 0. (9-4) q, x Firma zvolí odpovídající hodnotu vstupů a výstupu tak, aby maximalizovala zisk 7r, uvedený ve vztahu 9.4 jako rozdíl mezi příjmy pq a náklady, které jsou dané jako celkové výdaje za všechny vstupy n wx = WjXj. (9-5) 48 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII Produkční funkce může být dosazena přímo do účelové funkce, takže problém může být zapsán max7r(x) = p/(x) — wx pro x > 0. (9.6) X Kuhn - Tuckerovy podmínky pak vyjadřují řešení x* w < 0 íé - w )x = 0 (9.7) x > 0. Pak poměr vstupní hodnoty k výstupní udává horní limit marginální (mezní) produkce každého vstupu Ze slabé doplňkové podmínky vyplývá, že pokud je vstup j nakoupen (tj. x j > 0), podmínka 9.8 se stává rovností, tedy je-li vstup j nakoupen, platí a tedy poměr marginální produkce k bohatství (hodnota vstupu) je stejný pro všechny aktuálně nakoupené vstupy, běžný poměr bývá převrácená hodnota výstupní hodnoty (ceny). 9.1 Věta o nabídce Podle věty o nabídce existuje řešení pro nakoupené vstupy x*, které mohou obsahovat funkce z n + 1 parametrů, tedy n vah w a výstupní cena p MP3=dfldx3 0, /(x) je dvojnásobně spojitě diferencovatelná funkce v okolí x* a Hessova matice je regulární. Funkce v 9.10 jsou vstupní poptávkové funkce, jejichž existence je zaručena. Výstupní nabídková funkce je pak g* = g*(w,p)=/(x*). (9.12) Omezeníme-li pozornost na vstupy, které jsou aktuálně nakoupeny, podmínky 1. řádu, použité při řešení, jsou identity df p^(x*(w,p))=w, (9.13) g*(w,p) = /(x*(w,p)). (9.14) (Je to podobné jako u domácnosti. Omezená pozornost vstupů, které jsou aktuálně nakoupeny, vyloučí případ, ve kterém díky změně parametrů vstup, který nebyl nakoupen, může být nakoupen.) Podle věty o nabídce tyto podmínky charakterizují rovnováhu firmy. Jestli produkční funkce /(x) je ostře konkávní, jsou obě podmínky nutné a postačující pro rovnováhu. Navíc podle teorie n vstupní poptávková funkce 9.10 a výstupní nabídková funkce 9.12 jsou positivní homogenní stupně 0 pro všechny hodnoty vstupu a výstupní ceny x*(Aw, Xp) =x*(w,p), V A > 0, (9.15) q*(Xw,Xp) = q*(w,p), 50 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII protože změna w,p na Aw, Xp změní pouze n ve vztahu 9.4 a maximalizací Xn dostáváme stejné řešení jako maximalizací 7r za předpokladu A > 0. Výběrem A = 1/p pak vstupní poptávkové funkce a výstupní nabídková funkce mohou být zapsány x* = x* (iw) = x*(w*), F / (9-16) Q* = Q* (JwJ = g*(w*), kde w* je vektor reálných hodnot vstupu (bohatství), tj. relativní hodnoty k výstupní ceně w* = (w1/p, w2/p, ■ ■ ■, wn/p). (9.17) Pak vstupní poptávka závisí pouze na n reálných vahách. Věta o nabídce proto charakterizuje jak vstupní poptávkovou tak i výstupní nabídkovou funkci, udává jejich homogenitu a ukazuje jejich závislost na reálných vahách. 9.2 Teorie srovnávací stability firmy Teorie srovnávací stability firmy je získaná pomocí rozdílů podmínek první nabídky 9.13 a 9.14 s ohledem na vstupní ceny w a výstupní cenu p. Sledujíce přístup z odstavce 7 obdržíme základní maticovou rovnici teorie firmy dp \ <9w / <9x* dp <9x* <9w <9x -1 0 o 0 ph y v - (i)' in kde srovnávací stabilita řešení je shrnuta pomocí změny na řešení q*, x* taktéž s parametry p a w. (9.1É 9. NEOKLASICKÁ TEORIE FIRMY 51 dg* dp <9x* dp dx* dp ' dp dp dg* _ / dg* dg* dg* dw V dwi ' <9u>2 ' ' ' ' ' dw„ dx* dw / dx* dx^ dwi dw2 \ dwi dx*n dw2 dx*n dw„ (9.19) dx* \ dwn * a všechny proměnné a derivace jsou vypočteny v hodnotách řešení q*, x*. Derivací df/dx. je zde vektor marginálních produktů, H je Hessova matice 9.11, o které předpokládáme, že je negativně definitní a In je identická matice typu n x n. Řešení základní rovnice vede na vztah q*/dw = -dx*/dp tj. dq*/dWj = -dx*/dp, Vj, (9.20) což nám říká, že efekt jakékoliv hodnoty na výstupu je identický, ale s opačným znaménkem než efekt výstupu ceny na stejný vstup. Tato rovnice je první částí věty. Druhá část věty uvádí, že matice efektů vah vstupních poptávek je symetrická a negativně definitní dx*/dw je symetrická t.j. dx*/dwk = dx*k/dwj, Vj, k, (9.21) z(dx*/dvr)z' < 0 a = 0 pro z = aw. (9.22) Poslední část věty tvrdí, že vzrůst výstupní ceny bude zvyšovat nabídku výstupu 52 KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII dq*/dp > 0. (9.23) Firma může použít teorii lineárního programování. V takovém případě firma produkuje n výstupů Xi,... ,xn s využitím m vstupů b1} . . . ,bm. Produkce jedné jednotky výstupu j požaduje jednotek na vstupu i. Předpokládejme, že krátkodobě všechny vstupy jsou fixní, potom výběr firmy pouze je rozhodnout, jaký mix výstupů produkce je dán těmito vstupy. Úloha je pak úloha klasického lineární programování maxcx pro Ax < b, x > 0, (9.24) X jako v 6.1. Účelová funkce maximalizace je celkový příjem, daný vztahem cx = c1x1 + c2x2 H-----h cnxn, (9.25) kde c j je daná cena a x j je vybraná úroveň výstupu j. Pak m omezení je ve formě anxx + ai2x2 H-----h ainxn c, y > 0, (9.27) y jako v 6.5. Tato úloha může být interpretován jako výběr nezáporných hodnot (stínové ceny) pro vstupy y±,y2,... ym tak, aby minimalizoval náklady vstupů yb = í/i&i + y2b2 H-----h ymbm, (9.28) 10. ZÁVĚRY 53 kde yi je vybraná hodnota a b;t je daná úroveň vstupu i. Pak n omezení je ve tvaru Via-ij + V202j H-----1- ymamj >Cj, j = 1, 2,..., n, (9.29) který nám říká, že jednotkové náklady na zboží j, získané sečtením nákladů produkce jedné jednotky ze všech vstupů, není menší než cena tohoto zboží. Duální problém k problému rozdělení, primární úloha 9.24 je proto problém ohodnocení, duální úloha k 9.27. Podle doplňující podmínky 6.14, jestliže pro nějaký výstup j je nerovnost 9.29 ostrou nerovností, tak nákladová jednotka překročí cenu ( výstup je produkován se ztrátou), pak tento výstup není produkován (x* = 0). Podobně, jestliže pro nějaký vstup i je nerovnost 9.26 ostrá nerovnost, tak není celý vstup využit (přeroste nám nabídka), pak tento vstup je zboží zdarma (y* = 0). A navíc z 6.13 cx* = y*b, (9.30) pak při řešení duální úlohy celkové příjmy z výstupu se rovnají celkovým nákladům vstupů, tj. firma vyrábí s nulovým ziskem. 10 Závěry Z tohoto shrnutí matematického programování s aplikací na ekonomii nám vyjdou dva závěry. 1. Různé problémy matematického programování, které zde jsou zpracována - úloha bez omezení, klasické programování, nelineární programování a lineární programování - všechny jsou vzájemně uzavřeny, s analogickými teoriemi ve všech případech. 2. Stejné problémy matematického programování jsou důležité při aplikaci v ekonomii, zvláště v mikroekonomické teorii domácností a firem. Řešení matematického programování vede u obou k charakteristice rovnováhy každého z těchto subjektů a analýza jejich srovnávací statistiky odpovídá změně parametrů, jako jsou ceny a důchod. KAPITOLA 1. MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII Kapitola 2 Teorie spotřebitele Hlavním účelem teorie spotřebitele je určení vlivu pozorovatelných komoditních požadavků při alternativních předpokladech na cíle a pravidla chování uživatele a na omezení, která přijímá při tvorbě rozhodnutí. Tradiční model spotřebitele je založen na preferencích při možných výběrech, které popisují cíle spotřebitele. Přitom jeho pravidla chování jsou určena maximalizací těchto preferencí při omezení danými rozpočtem, která určují směnné možnosti. Hlavní výsledek naší teorie sestává z kvalitativních aspektů pozorovaných požadavků při změně jejich parametrů, které určují rozhodnutí spotřebitele. Historický vývoj teorie spotřebitele vyjadřuje dlouhou tradici zájmu ekonomů v tomto předmětu zkoumání, který prošel podstatnými koncepčními změnami až do jeho současné podoby. 1 Komodity a ceny Komodity lze rozdělit na zboží a služby. Každá komodita je zcela popsána svými fyzikálními charakteristikami, svým umístěním a časem, ve kterém je dostupná. V případě, že uvažujeme chování komodit při jistém stupni nejasnosti, lze pak přidat ještě dodatečné upřesnění. Tradiční teorie obvykle předpokládá, že existuje 55 56 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE 1 komodit, přičemž pro zkoumaný problém stačí konečný počet fyzikálních charakteristik, umístění atd. Komoditní svazek je posloupnost reálných čísel (x^), h = 1,..., / vyjadřujích množství každé komodity, lze jej tedy popsat jako /-dimenzionální vektor x = (x1}... ,xi), tj. jako bod /-dimenzionálního euklidovského prostoru Rl, tzv. komoditního prostoru. Za předpokladu dokonalé dělitelnosti všech komodit je možné vzít každé reálné číslo jako množství každé komodity, tj. každý bod komoditního prostoru Rl je možným komoditním svazkem. Konečná specifikace počtu komodit přitom vylučuje aplikaci situací, ve kterých se charakteristika může měnit spojitě. Přitom takovéto situace vznikají přirozeným způsobem v kontextu výběru komodit na základě kvality resp. v teorii umístění, kdy je vhodným kritériem skutečná vzdálenost na povrchu. Cena p^ komodity h, h = 1,..., / je reálné číslo, které nám vyjadřuje množství placené při výměně jedné jednotky této komodity. Lze tedy cenový systém (cenový vektor) p = {pi,... ,pi) reprezentovat jako bod v euklidovském prostoru Rl. Hodnota komoditního svazku x při daném cenovém vektoru p je pak p ■ x = Y^h=i Phxh- 2 Spotřebitelé Některé svazky komodit jsou spotřebitelem vyloučeny na základě fyzikálních nebo logických omezeních. Množina všech možný spotřebních svazků, které jsou možné, se nazývá spotřební množina. To je pak neprázdná podmnožina komoditního prostoru, kterou budeme označovat jako X. Obvykle jsou vstupy spotřeby popsány pozitivními množstvími a výstupy negativními. To pak zejména implikuje, že všechny složky práce spotřebního svazku x jsou nekladné. Obvykle budeme předpokládat, že spotřební množin X je uzavřená, konvexní a omezená zdola. Přitom omezení zdola je odůvodněno konečnými omezeními na množství práce, kterou je spotřebitel schopen vykonat. Spotřebitel si musí vybrat svazek ze své spotřební množiny, aby si zajistil existenci. Je-li dán cenový vektor p, hodnota p ■ x pro x E X nám označuje čisté náklady, tj. příjmy spojené se svazkem x odečtené od příslušných výdajů. Protože navíc spotřebitel obchoduje na trhu, jsou jeho možné výběry omezeny požadavkem, že hodnota jeho spotřeby by neměla převýšit jeho počáteční bohatství (příjem). To lze zadat ve tvaru pevného nezáporného čísla w. Navíc může mít spotřebitel k dispozici pevný vektor u E Rl počátečních zdrojů. Nutně pak w = p • u. Množina možných spotřebních svazků, jejichž hodnota 3. PREFERENCE 57 nepřevýší počáteční bohatství spotřebitele se nazývá rozpočtová množina a je určena vztahem f3(p,w) = {x G X : p ■ x < w}. (2.1) Konečné rozhodnutí spotřebitele pro výběr svazku ze spotřební množiny závisí na jeho zálibách a přáních. Ty jsou pak reprezentovány jeho relací preference >z, což je binární relace na X . Pro každé dva svazky x a y, x, y G X, x >z y znamená, že x je alespoň tak dobré jako y. Vzhledem k těmto preferncím si spotřebitel vybere nejvíce preferovaný svazek v rozpočtové množině jako svůj požaáavek (poptávku). Ten je pak definován jako íp(p,w) = {iG /3{p,w) : x' G /3{p,w) ==>- (x >z x' nebo neplatí x' >z. x)}. (2-2) Větší část teorie spotřebitele je založena spíše na popisu chování spotřebitele pomocí maximalizace funkcí užitečnosti než maximalizací preferencí. Přitom pojem relace preference je základnější pojem v teorii spotřebitele a je tedy brán jako výchozí bod každé analýzy chování spotřebitele. Vztah mezi relací preference a funkcí užitečnosti je hlavní kámen základů teorie spotřebitele. Následující analýza je proto založena na dvou částech. V první části se budeme věnovat axiomatickým základům teorie preferencí a teorie užitku spolu se základním poznatky o spotřebitelových požadavcích. V následující části se budeme spíše věnovat klasičtějším výsledkům v kontextu diferencovatelnosti funkcí požadavků. 3 Preference Mezi alternativními svazky komodit ze spotřební množiny máme vztah určený relací preference >z na X. Pro dva svazky x a y z X budeme číst výrok x >z y jako svazek komodit x je alespoň tak dobrý jako svazek komodit y. Obvykle předpokládáme tři základní axiomy vložené na relaci preference, které často považujeme za definici racionálního spotřebitele. Axiom 1 (Reflexivita) Pro všechna x E X platí x >z x, tj. každý svazek je alespoň tak dobrý jako on sám. 58 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Axiom 2 (Tranzitivita) Pro každé tři svazky x,y,z G X takové, že x >z y, y ^ z platí x >z z. Axiom 3 (Úplnost) Pro každé dva svazky x, y G X platí buď x >z y nebo y >z x. Relace preference >:, která splňuje výše uvedené tři axiomy, se nazývá úplné předuspořádánía, my budeme mluvit o preferenčním uspořádání. Přitom lze z preferenčního uspořádání odvodit dva jiné vztahy - relaci silné preference y a relaci indiference ~. Definice. Svazek x je ostře preferován před svazkem y, tj. x>~y právě tehdy, když x^y a neplatí y>z.x. Svazek x je indiferentní se svazkem y, tj. x~y právě tehdy, když x^y a y>z.x. Protože je preferenční uspořádání reflexivní a tranzitivní, je nutně relace ostré preference ireflexivní a tranzitivní. Budeme dále předpokládat, že existují alespoň dva svazky x' a x" tak, že x'yx". Relace indiference definuje na X relaci ekvivalence, tj. je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Platnost těchto tří axiómů není zpochybňována ve většině teorií spotřebitele. Tyto axiomy nám představují předpoklady, které většinou odpovídají empirickým pozorováním. Občas ale některé chování spotřebitele vykazuje nekonzistenci zejména s tranzitiviou a úplností. Totiž, někteří ekonomové argumentují tím, že je příliš moc požadovat po spotřebiteli porovnat všechny možné svazky, když jeho skutečná rozhodnutí budou realizována pouze na jisté podmnožině spotřební množiny. Empirická pozorování nebo experimentální výsledky často indikují netranzitivitu výběru. To může nastat v důsledku jednoduchých chyb, které jednotlivci dělají v reálném životě. Z druhé strany, tranzitivita může být narušena jako důsledek jistých teoretických příčin. Například, jestliže množina spotřebitelů tvoří domácnost, kde se rozhoduje podle pravidla většiny, relace preference může být netranzitivní. Přitom lze místo tranzitivity použít slabší axiomy, abychom dostali smysluplnou teorii. Možnost definování ostré preference y ze slabšího preferenčního uspořádání a obráceně, indikuje v principu možný alternativní přístup vyjití z relace ostré preference a odvození >z a ~. To lze považovat za vhodný 3. PREFERENCE 59 přístup v některých situacích, který je o něco obecnější, protože axiom úplnosti nemá takovou roli jako pro preferenční uspořádání. Přitom však odvozená relace indiference nemusí být tranzitivní. Z empirického pohledu je však pojem preferenčního uspořádání přirozenější. Pozorovaný výběr svazku x před svazkem y lze interpretovat ve smyslu preferenčního uspořádání a ne ve smyslu ostré preference. Axiomy 1-3 popisují vlastnosti uspořádání relace preference, které mají intuitivní význam v teorii výběru. Přitom je nutno předpokládat jisté topologické vlastnosti relace ^. Nejvíce používaný je následující: Axiom 4 (Spojitost) Pro všechna x E X jsou množiny t(x) = {y £ X : y^x} a \,(x) = {y G X : x^y} uzavřené vzhledem k množině X. Množina y(rr) se nazývá hlavní filtr a množina \,(x) se nazývá hlavní ideál. Intuitivně axiom 4 požaduje, aby se spotřebitel choval konzistentně v malém okolí tj. je-li dána nějaká posloupnost yn —>• y G X, yn G \,(x) pro všechna n, je i y G \-(x). Podobně i duálně. Zároveň dostáváme, že pro preferenční uspořádání >z je průnik hlavního filtru a hlavního ideálu třída indiference I(x) = {y G X : y~x} uzavřená množina vzhledem k množině X na základě axiomu 4. Alternativní svazky indiferentní s x tvoří známé křivky indiference pro případ, kdy X C R2. Mimo to okamžitě z axiómů 1-4 dostáváme, že množiny ts(x) = {v ^ X : y>~x} a is(x) = {y G X : x>~y} jsou otevřené vzhledem k množině X. Mluvíme pak o ostrém hlavním filtru a ostrém hlavním ideálu. Připomeňme, že mnoho známých relací preference nemá vlastnost spojitosti. Nejznámějším příkladem je lexikografické uspořádání, což je ve skutečnosti relace ostré preference, jejíž třídy indiference jsou jednoprvkové. Definice. Buďte x = (x1}... ,xi), y = (y±,... ,yi) G Rl. Pak říkáme, že x je lexikograficky větší než y a xj = V j Pro j < k xk > Vk- píšeme xLexy, jestliže existuje k, 1 < k < l tak, že Snadno se pak ověří, že filtr t(x) není ani uzavřený ani otevřený. 60 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Věta 3.1 [Schmeidler (1971)] Buď y tranzitívni binární relace na souvislém topologickém prostoru X. Definujme sdruženou relace ostré preference y předpisem xyy právě tehdy, když xyy a neplatí yy x. Zároveň předpokládejme, že relace ostré preference je neprázdná tj. existuje alespoň jedna dvojice x, y tak, že xyy. Jsou-li navíc všechny hlavní filtry a hlavní ideály uzavřené a všechny ostré hlavní filtry a ostré hlavní ideály otevřené, je relace y úplná. Důkaz. Důkaz zásadně využívá tu skutečnost, že jediná neprázdná obojetná množina (tj. zároveň uzavřená i otevřená) je celý topologický prostor X. Ukažme tedy nejprve, že máme-li dva prvky x a, y tak, že xyy, je nutně X = {z : zyy) U {z : xyz}. Evidentně, {z : zyy} U {z : xyz} C {z : zyy} U {z : xy_z}. Zejména pak levá strana inkluze je otevřená množina a pravá strana je uzavřená množina. Stačí tedy dokázat jejich rovnost. Předpokládejme, že prvek u G t(ž/)? u tsiv)- Tedy nutně y~u tj. y>z.u. Protože x>~y, je i x>~u tj. u G is(x). Analogicky, nechť prvek u G i(x), u ^ is(x) tj. u>zx. Pak i uyy tj. u G tsiv)- Předpokládejme nyní, že existují dva nesrovnatelné prvky v X, řekněme v a w. Protože existuje alespoň jedna dvojice prvků x, y tak, že xy-y, je nutně X = {z : zyy} U {z : xyz}. Nutně tedy buď v>~y nebo x>~v. Předpokládejme nejprve, že v>~y. Odtud pak X = {z : zyy} U {z : vy z}. Protože v a w nejsou srovnatelné, je wyy a vyy. Přitom množiny \.s(v) a is(w) jso otevřené, tedy i jejich průnik je otevřená množina. Protože y G is(v) fl is(w), je průnik neprázdný a protože v a w jsou nesrovnatelné, nemohou oba prvky ležet v průniku. 4. FUNKCE UŽITEČNOSTI 61 Ukažme, že {z : vyz} H {z : wyz} = {z : vy z} U {z : w>zz}. Nechť vyz, wyz a z neleží v průniku tj. např. neleží v {s : vys}. Tedy z>zv. Z tranzitivity pak w>zv, což je spor. Podobně, neleží-li zv {s : wys}, je z>zw a tedy v>zw, což je opět spor. Celkem je pak {z : vy z} H {z : wyz} uzavřená, neprázdná. Je tedy rovna X, což je opět spor. Jsou tedy v a w srovnatelné. | 4 Funkce užitečnosti Problém reprezentace relace preference pomocí číselné funkce byl vyřešen v publikacích Eilenberga (1941), Debreua (1954, 1959 a 1964), Radera (1963) a Bowena (1968). Z historického pohledu pojem funkce užitečnosti je základní pojem pro míru spotřebitelovy spokojenosti. Pareto (1896) byl první, který rozpoznal, že libovolná rostoucí transformace dané funkce užitečnosti zajistí identické maximalizační chování spotřebitele. Jejich důležitost a metodologické důsledky rozpoznali Slutsky (1915) a Wold (1943-1944), kteří provedli první vážnou studii problému reprezentace. Definice. Buď X množina a >z binární relace na X. Pak funkce u : X —> R je reprezentace relace >z tj. funkce užitečností pro preferenční relaci y, jestliže pro všechny prvky x,y G X platí: u(x) > u(y) právě tehdy, když xy_y. Je jasné, že pro každou funkci užitečnosti u a každou rostoucí transformaci / : R —> R je složení v = f o u také funkce užitečnosti pro tutéž relaci preference y. Poznamenejme pro úplnost, že v literatuře byly zavedeny zobecnění výše uvedené definice. Jejich použití v teorii spotřebitele se však neukázalo užitečné. Základní požadavek na funkci užitečnosti pro aplikace v teorii spotřebitele je, že funkce užitečnosti má být spojitá. Snadno je pak vidět, že axiomy 1-4 jsou nutné podmínky pro existenci spojité funkce užitku. 62 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Totiž axiomy 1-3 přímo plynou z definice reprezentace. Abychom dokázali nutnost axiomu 4 o spojitosti funkce u, stačí pozorovat, že pro každý bod x E X platí \x = {z G X : u(z) > u(x)} a \,x = {z G X : u(z) < u(x)}, což jsou uzavřené množiny ze spojitosti funkce u. Základní výsledek teorie užitečnosti je, že axiom 4 kombinovaný s nějakými slabými předpoklady na množinu X je dostatečnou podmínkou pro spojitost funkce u. Přitom platí následující tvrzení dokázané Debreuem (1964). Připomeňme, že dírou množiny S C [—oo, oo] je maximální nedegenerovaný interval obsažený v doplňku množiny S, který má horní a dolní závoru obsažené v množině S. Věta 4.1 Je-li S C [—00,00], pak existuje rostoucí funkce g : S —)• [—00,00] tak, že všechny díry množiny g(S) jsou otevřené. Věta 4.2 Bud' X topologický prostor se spočetnou bazí (resp. souvislý nebo separabilní topologický prostor). Dále buď >z spojité preferenční uspořádání definované na X. Pak existuje spojitá funkce užitečnosti pro relaci y. Důkaz. Dokažme tvrzení pro případ, kdy X má spočetnou bázi. Nejprve najděme vhodnou funkci užitečnosti. Nechť tedy 0\,02,... jsou otevřené množiny obsažené ve spočetné bázi. Pro každé x uvažme množinu N(x) = {n : x>~z pro všechna^ G On} a definujme neN(x) Je-li y>zx, pak je i N(x) C N (y) a tedy i v(x) < v(y). Obráceně, je -li y>~x, pak existuje n G N (y) tak, že x E On, ale neplatí n G N (x). Proto je i N (x) $Z N (y). Je tedy v funkce užitečnosti. 5. VLASTNOSTÍ PREFERENCÍ A FUNKCÍ UŽITEČNOSTI 63 Definujme nyní novou funkci u = g o v, kde g je funkce z věty 4.1. Pak jsou dle této věty všechny díry množiny u(X) = g(v(X)) otevřené. Abychom ověřili spojitost funkce u, stačí ukázat, že pro všechna t G [—00,00] jsou množiny it_1([r, 00]) a it_1([—00, £]) uzavřené. Je-li t G u(X), pak existuje y E X tak, že it(?/) = í. Pak zejména it_1([r, 00]) = {x G X : x^y} a it_1([—00, t]) = {x E X : y^x}. Obě tyto množiny jsou uzavřené na základě spojitosti relace ^. Pokud t ^ u(X) a není-li í obsaženo v nějaké díře, nutně platí (a) t < inf{u(x) : x G X}, nebo (b) t > sup{u(x) : x G X}, nebo (c) [t, 00] = P{[a, 00] : a G a < °°} [—00, t] = f]{[—00, a] : a G u(X),a < 00}. Platí-li (a), je nutně it_1([ŕ, 00]) = X a it_1([—00, t]) = 0. Platí-li (b), je zřejmě it_1([ŕ, 00]) = 0 a it_1([—00, t]) = X. Přitom jak X tak 0 jsou uzavřené množiny. Platí-li (c), je u-1 ([t, 00]) = Q it_1({[a!, 00] : a G a < °°}) it_1([—00, t]) = P -u_1({[—00, a] : a G m(X),qí < 00}). Přitom množiny na pravé straně jsou evidentně uzavřené, je tedy uzavřený i jejich průnik. Nechť tedy t leží v otevřené díře, tj. t G]a, b[, kde a, b E u(X). Pak íz-1([t,oo]) = íí_1([6, 00]) it_1([—00, t]) = it_1([—00, a]). Opětovně, množiny na pravé straně jsou nutně uzavřené. I 5 Vlastností preferencí a funkcí užitečnosti V aplikacích se často přidávají dodatečné předpoklady na relace preference a funkce užitečnosti. Budeme v dalším diskutovat ty nejvíce rozšířené. 64 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE 5.1 Monotonie, nenasycenost a konvexnost Definice. Relace preference >z na Rl se nazývá monotónní, jestliže x > y a x ý V implikuje x>~y. Tato vlastnost vyjadřuje, že je preferované vice zboží před méně zbožím tj. všechna zboží jsou žádaná. Sdružená funkce užitečnosti monotónního preferenčního uspořádání je rostoucí funkce na Rl. Definice. Bod x G X se nazývá bod nasycenosti pro preferenční uspořádání >:, jestliže x>^y pro všechna yex. Je tedy bod nasycenosti maximální prvek vzhledem k relaci preference. Větší díl teorie spotřebitele se věnuje situacím, ve kterých takováto globální maxima neexistují nebo alespoň diskusím o problémech poptávky, pokud zlepšení situace spotřebitele může být dosaženo změnou jeho spotřebitelského svazku. Jinak řečeno, situace, které budou diskutovány, budou nenasycené body. Můžeme-li pro jistý bod x najít v jeho blízkém okolí zlepšení situace spotřebitele, řekneme, že spotřebitel je lokálně neuspokojený v bodě x. Přesněji: Definice. Řekneme, že spotřebitel je lokálně neuspokojený v bodě x G X, jestliže pro každé okolí V bodu x existuje bod z £ V tak, že z>~x. Z této vlastnosti vyplývá, že je vyloučena existence třídy indiference bodu x s neprázdným vnitřkem a že je tedy funkce užitečnosti nekonstantní v okolí bodu x. Definice. Relace preference >z na množině X C Rl se nazývá konvexní, jestliže je množina {y G X : y^x} konvexní pro všechny body x G X. Připomeňme, že funkce u : X —> R se nazývá kvazikonkávní, jestliže platí min{u(x), u(y)} < u(\x + (1 — \)y) pro všechna x,y G X a všechna A, 0 < A < 1. Evidentně pak je funkce užitečnosti u pro preferenční uspořádání >z kvazikonkávní právě tehdy, když je preferenční uspořádání konvexní. Je tedy kvazikonkávnost vlastnost přímo spojená s uspořádáním a je zachovávána při rostoucích transformacích. O takovýchto vlastnostech funkce užitečnosti mluvíme jako o ordinálních vlastnostech na rozdíl od kardinálních vlastností, které jsou spojené s určitou reprezentací u. Konkávnost je pak takováto kardinální vlastnost. 5. VLASTNOSTÍ PREFERENCÍ A FUNKCÍ UŽITEČNOSTI 65 Definice. Relace preference se nazývá ostře konvexní, jestliže pro všechna x, x' G X, x ý x'? x>zx', 0 < A < 1 implikuje Xx + (1 — X)x' > x'. Přidružená funkce užitečnosti ostře konvexní relace preference je vždy ostře kvazikonkávní. Přitom ostrá konvexnost nám zaručuje neexistenci takových relací preference, pro které příslušná relace preference a třída indiference nemá vnitřní body. Je lehce vidět, že hlavní filtry kvazikonkávní funkce jsou konvexní. Je proto funkce užitečnosti pro preferenční uspořádání >z kvazikonkávní právě tehdy, když je preferenční uspořádání konvexní. Je proto kvazi-konkávnost zachovávána při rostoucích transformací. Takové vlastnosti jako kvazikonkávnost jsou nazývány ordínálnína rozdíl od kardinálních vlastností, které jsou vztaženy ke specifické funkci užitečnosti u. Takovou vlastností je například konkávnost. Definice. Preferenční uspořádání se nazývá ostře konvexní, jestliže pro každé dva svazky x a x', x ^ x', x^x' a pro 0 < A < 1, Xx + (1 — X)x'yx'. 5.2 Separabilita Buď N = {Nj}k-=1 rozklad množiny {1,...,/} a předpokládejme, že spotřební množina X má tvar X = Uj=lXj. Takovéto rozklady vznikají přirozeným způsobem, pokud uvažujeme spotřebu vzhledem k různé době, místě apod. Řečeno jednoduše, separabilita pak implikuje, že preference pro svazky v každém členu rozkladu (tj. pro každou dobu, místo apod.) jdou nezávislé na spotřebních úrovních mimo tento člen rozkladu. Buď J = {1,..., k} a pro všechna j G J, x G X definujme Pro každé pevné x®, preferenční uspořádání >z na X indukuje preferenční uspořádání tak, že Xj>zxox'i právě tehdy, když (x®,Xj)>z(x®,x'j) pro všechna Xj,x'j G Sj. Přitom takovéto indukované uspořádání bude záviset na speciálním výběru x--. První pojem separability tvrdí, že tato uspořádání pro pevně zvolený index j nezávisí na výběru x--. 66 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Definice. Preferenční uspořádání >z na množině X = Uj=lXj se nazývá slabě separabílni, jestliže pro všechna j G J, x®, y®. G X = ľl^jXi, >zxo = ^ o. Indukované uspořádání budeme značit jako >:,-. 3 3 j uj Podobně, funkce užitečnosti u : Tlk-=1Xj —y R se nazývá slabě separabílni, jestliže existují spojité funkce v j : Sj —>• R, j G J a V : Rk —>• R tak, že u(x) = V(vi(xi),... ,Vk(xk)). Věta 5.1 Buď >z spojité uspořádáni preference. Pak je >z slabě separabílni právě tehdy, když je každá spojitá reprezentace >z slabě separabílni. Definice. Funkce užitečnosti u : U^=1Xj —> R se nazývá silně separabílni, jestliže existují spojité funkce v j : S j —?■ R, j G J a V : R —?■ R, V rostoucí tak, že u(x) = V (^2jeJ vj{xjÝj ■ Protože je funkce V rostoucí a spojitá, je funkce V~ľ o u aditivní a reprezentuje stejnou relaci preference. Je tedy problém nalezení podmínek na relaci preference, aby byla silně separabílni, ekvivalentní k nalezení podmínek, za nichž existuje aditivní reprezentace. Nechť tedy u(x) = ^2jejVj(xj) označuje aditivní funkci užitečnosti vzhledem k rozkladu N. Uvažujme nějakou neprázdnou vlastní podmnožinu J C J a dva svazky x a x' takové, že všechny jejich komponenty Xj a x'j mají stejnou hodnotu xQ- pro j G J — I. Můžeme proto psát x = (xi,xQJ_I) a x' = (x'I,xQJ_I). Je-li u aditivní, je bezprostředně zřejmé, že indukovaná funkce na součinu UjejSj je nezávislá na speciálním výběru hodnot xqj_j a tedy je indukované preferenční uspořádání nezávislé na výběru xqj_j. Tato vlastnost evidentně platí pro každou neprázdnou vlastní podmnožinu J C J a je zároveň motivujícím prvkem pro definici silně separabílni relace uspořádání. Definice. Preferenční uspořádání >z na množině X = Uj=lXj se nazývá silně separabílni, jestliže je slabě separabílni vzhledem ke všem vlastním rozkladům všech možných sjednocení množin N1}..., N^. To je ekvivalentní s tím, že preferenční uspořádání je silně separabílni, jestliže pro každou neprázdnou vlastní podmnožinu I C J je indukované preferenční uspořádání nezávislé na zvláštním výběru hodnot xqj_j. 5. VLASTNOSTÍ PREFERENCÍ A FUNKCÍ UŽITEČNOSTI 67 Věta 5.2 Buď >z spojité uspořádáni preference. Pak je >z silně separabilni právě tehdy, když je každá spojitá reprezentace >z silně separabilni. 5.3 Spojitá poptávka Je-li dán cenový vektor p^Oa počáteční bohatství w, spotřebitel si vybírá nejlepší svazek ze své rozpočtové množiny jako svou poptávku. Pro preferenční uspořádání splňující axiomy 1-3 evidentně každý maximální prvek vzhledem k relaci preference zároveň maximalizuje odpovídající funkci užitečnosti a obráceně, každý bod maxima funkce užitečnosti maximalizuje relaci preference. Zejména tedy oba přístupy vedou ke stejným svazkům poptávky. Budeme nyní studovat závislost poptávky na dvou vnějších parametrech, ceně a bohatství. Rozpočtová množina spotřebitele byla definována jakožto /3{p,w) = {x G X : p ■ x < w}. Nechť S C Rl+1 označuje množinu dvojic cena-bohatství, pro které je příslušná rozpočtová množina neprázdná. Pak (3 popisuje korespondenci z S do R1 (tj. množinovou funkci z S* do V (R1)). Definice. Korespondence ip z S do T, kde T je kompaktní podmnožina z R1, se nazývá hôrni hemispojitá v bodě y E S, jestliže pro všechny posloupnosti zn —>• z, yn —>• y takové, že zn G ip(yn) platí, že z E ip(y). Výše uvedená definice je ekvivalentní s tím, že funkce ip má uzavřený graf. Přitom evidentně každá horní hemispojitá korespondence ip taková, že ip(y) je jednoprvková množina, je ve skutečnosti spojitá funkce. Definice. Korespondence ip z S do T, kde T je podmnožina z Rl, se nazývá dolní hemispojitá v bodě y G S, jestliže pro každý bod zq G ip(y) a pro každou posloupnost yn —^ y existuje posloupnost zn —> zq tak, že zn G ip(yn) Pro všechna n. Korespondence se nazývá spojitá, je-li jak horní hemispojitá tak dolní hemispojitá. Snadno lze přitom dokázat následující dvě lemmata. 68 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Lemma 5.3 Korespondence rozpočtové množiny (3 : S —> V(X) má uzavřeny graf a její dolní hemispojitá v každém bodě (p,w), pro který platí min{p • x : x G X} < w. Přitom podmínka min{p • x : x G X} < w se obvykle nazývá podmínka minimálního bohatství. Již dříve bylo poznamenáno, že maximalizace pomocí preferenční relace či funkce užitečnosti vedou ke stejné množině poptávkových svazků, je-li preferenční relace reflexivní, tranzitivní a úplná. Je-li tedy u : X —>• R funkce užitečnosti, lze definovat poptávku uživatele jako což je ekvivalentní definici 2.2. Pokud navíc bude funkce užitečnosti spojitá a rozpočtová množina /3{p,w) kompaktní, bude poptávková množina • R je poptávková korespondence ip : S —> V(X) tak, že íp(p,w) ^ 0 a 0 a pro každou dvojici cena-bohatství (p, w). Totiž, x G /3{p, w) <í=^ p-x < w <í=^ (Ap) - x < (\w) <í=^ x G /3(\p, Xw). Podobně, x G íp(p,w) <í=^ x G /3{p,w) a zároveň u(x) > u(x') pro všechna 'x G /3{p,w) <í=^ x G /3(\p, Xw) a zároveň u(x) > u(x') pro všechna 'x G /3(\p, Xw) <í=^ x G tp(Xp, Xw). Pro konvexní preferenční uspořádání bude korespondence poptávky bude pak ip(p, w) konvexní množina, což je vlastnost, která hraje podstatnou roli v existenčních důkazech rovnovážného stavu. Je-li navíc preferenční uspořádání ostře konvexní, je pak korespondence poptávky z ostře konvexní a spojité preferenční uspořádání. Pak je korespondence poptávky ip : S —> V(X) spojitá funkce v každém bodě (p,w) G S, pro který je množina /3{p,w) kompaktní a platí min{p • x : x G X} < w. Navíc, pro všechna X > 0, platí tp(Xp, Xw) = íp(p,w) tj. >p> je homogenní funkce stupně nula. 5. VLASTNOSTÍ PREFERENCÍ A FUNKCÍ UŽITEČNOSTI 69 Pro zbývající část tohoto přehledu budeme značit jako / funkci poptávky. 5.4 Poptávka bez tranzitivity Empirické studie chování poptávky často prokázaly, že ne vždy se spotřebitelé chovají v souladu s požadavkem tranzitivity. Tato skutečnost byla často používána jakožto argument proti obecnému předpokladu, že zkoumání maximalizace preferencí je vhodný způsob pro studium teorie poptávky. Sonnenschein (1971) ukázal, že axiom tranzitivity není nutný pro důkaz existence a spojitosti poptávkové koresponence. Podobnou situaci studoval i Katzner (1971), kde jsou preference definovány lokálně a tedy jsou získány lokální výsledky pro funkci poptávky. Definice. Korespondence poptávky ip : S —> V(X) je definována jako ip(p, w) = {x G ß(p, w) : x^x1 pro všechna x' G ß(p,w)}. Věta 5.6 (Sonnenschein) Nechť ip(p,w) ^ 0 pro všechna (p,w) E S a předpokládejme, že korespondence ß je spojitá v bodě (j)q,wq) G S. Je-li relace prefernce spojitá, je i korespondence poptávky ip horní hemispojitá v bodě (pq,Wq). Předpoklad, že množina ip(p,w) ^ 0 pro všechna (p,w) G S, je implikován jistými modifikovanými předpoklady na ostrou relaci preference, jak plyne z následující věty. Věta 5.7 (Sonnenschein) Nechť >z označuje spojitou relaci preference na množině X tak, že množina {x' : x'yx} je konvexní pro všechna x E X. Jestliže navíc ß(p,w) ^ 0; pak i ip(p,w) ^ 0. Z výše uvedených dvou Sonnenscheinových výsledků plyne, že můžeme získat spojitou funkci poptávky, pokud nahradíme tranzitivitu relace preference její konvexitou. Další výsledky v teorii netranzitivního spotřebitele byly získány Shaferem (1974). Tento přístup formuluje chování spotřebitele jakožto maximalizace spojité číselné funkce vzhledem k rozpočtovým omezením. Tato funkce, jejíž existence a spojitost nezávisí na tranzitivitě, může být považována za alternativní přístup k reprezentaci relace preference. 70 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Věta 5.8 (Shafer (1974)) Nechi >z označuje spojitou, úplnou a ostře konvexní relaci preference na Rl+. Pak existuje spojitá funkce k : Rl+ x Rl+ —y R tak, že 1. k{x,y) >o^ie ts(y), 2. k(x,y) <0^iG is(y), 3. k{x,y) = 0 -<=>- x>z.y a y>z.x, 4- k(x,y) = -k(y,x). Předpoklady věty jsou obvyklé až na to, že je vynechán axiom tranzitivity. Za jeho předpokladu pak existuje funkce užitku a funkce k může být definována, že k{x,y) = u(x) — u(y). Stejně jako předtím, nechť /3{p, w) označuje rozpočtovou množinu spotřebitele. Pak poptávka spotřebitele sestává ze všech bodů v rozpočtové množině, která maximalizují funkci k. Přesněji, poptávka je definována jako íp(p,w) = {x G /3{p,w) : k(x,y) > 0 pro všechna y G /3{p,w)} nebo ekvivalentně íp(p,w) = {x G /3{p,w) : x>z.y pro všechna y G /3{p,w)}. Předpoklad ostré konvexity garantuje, že existuje jediný maximální prvek. Následující věta precizuje maximalizační argument. Věta 5.9 (Shafer) Za předpokladů věty 5.7 a pro každý kladný cenový vektor p a kladné bohatství w je poptávka x = f(p,w) = {x G /3{p,w) : k(x,y) > 0 pro všechna y G /3{p,w)} a tato funkce f je spojitá v bodě (p,w). 5. VLASTNOSTÍ PREFERENCÍ A FUNKCÍ UŽITEČNOSTI 71 5.5 Poptávka za předpokladů separability Separabilita preferenčního uspořádání a funkce užitku, ať už slabá nebo silná, má důležité důsledky pro funkci poptávky. Za použití označení a definic z odstavce 5.2 a za předpokladu separability funkce užitku můžeme psát u(x) = V(v1(x1),...,vk(xk)), (5.2) kde Xj, j = 1,..., k jsou vektory množství komodit v S j a X = S± x • • • x Sk- Pak Vj(xj) jsou funkce užitku definované na Sj. Budeme používat vektor p j pro ceny komodit v třídě rozkladu Nj. Definice. Pro všechny Wj G Rl+ definujme podrozpočtovou množinu f3J(pj,Wj) = {xj G Sj : Pj ■ Xj < Wj}. (5.3) Nyní můžeme zavést pojem podmíněné poptávky fj(pj,Wj) jakožto to Xj, které maximalizuje funkci Vj{xj) přes podrozpočtovou množinu /3J\pj,Wj). Definice. Podmíněná funkce poptávky je definována jako fj(Pj,wj) = ixj £ l3J(pj,Wj) : Vj(xj) > ^(x°),x° Ý xj,x°j e l3J(pj,Wj)}. (5.4) Tyto podmíněné funkce poptávky sdílí všechny vlastnosti obvyklých funkcí poptávky až na to, že jejich definiční obor a obor hodnot jsou omezeny proměnnými pj, Wj a Sj. Jsou-li dány Vj(xj), p j a Wj, je i poptávka Xj známa. Přitom proměnná Wj není dána vnějšně, ale jakožto část obecného optimalizačního problému. Buď dále fj(p,w) j-podvektor funkce poptávky f(p,w). Pak je Wj dáno jakožto w*(p, w) = p j ■ fj(p, w). (5.5) Poznamenejme, že v obecnosti je potřeba celého cenového vektoru, abychom určili w*. Když používáme w* vzniklé pomocí Wj(p, w), lze očekávat že z podmíněných funkcí poptávky získáme tentýž vektor poptávky jako fj(p,w). 72 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Věta 5.10 Za předpokladu separability funkce užitku platí fj(p,w) = fj(pj,w*Ap,w)) pro všechna j. (5.6) Důkaz. Uvažme libovolně, ale pevně vektor (pq,wq). Nechť x* = fj(poj, w*(pq,wq)) pro jisté j a nechť xq = f(pQ,wq). Evidentně, xqj G /3j(po.,:,w*(pq,wq)). Předpokládejme, že x* ^ x$y Pak Vj(x*) > Vj(xqj) a protože je funkce V monotone rostoucí v proměnné Vj(xj). Evidentně je prvek (x0,, x*) v rozpočtové množině /3(p,w) a tedy předpoklad Vj(x*) > Vj(xqj) neplatí. Tedy nutně Vj(x*) = Vj(xqj) tj. x* = xqj7 protože Xj je jediný vektor maximalizující Vj(xj) přes všechna x j G f3j(poJ:, w*(p0, w0)). Proto podmínka 5.6 platí pro (po, Wq). Protože (po, "^o) bylo vybráno libovolně, platí pro všechny přípustné (p, w) a věta je tímto dokázána. I Význam věty 5.10 je dvojí. Nejprve je zřejmé, že ostatní ceny ovlivňují poptávku pro x j pouze pomocí skalární funkce w*(p, w), což je podstatné omezení nap,-. Dále, pokud je možné pozorovat a určit bohatství Wj empirickou cestou, můžeme se koncentrovat na podmíněnou funkci poptávky, pro kterou pouze potřebujeme znát pouze cenu pj. Jako příklad lze uvážit chování poptávky v jistém časovém období, řekněme jednom roce. Za obvyklého (implicitního) předpokladu separability během různých časových období je pak pouze nutné znát úplné náklady pro tuto periodu (wj) a odpovídající cenový vektor (pj). V tomto kontextu můžeme uvažovat (5.5) jako spotřební funkci spjatou s celkovými spotřebními náklady vzhledem k celkovému bohatství a cenami pro všechny periody. 6 Funkce nákladů a nepřímé funkce užitku Alternativní přístup v analýze poptávky byl proveden Samuelsonem v roce 1947. V současnosti mluvíme o tzv. dualitě v analýze poptávky. V jistých případech dosáhneme tímto způsobem přímější analýzy senzitivity u(x0) = VÍv^XqA, Vj(x0j),vk(x0k)) < Viv^xoj,Vj(x*),vk(x0k)), (5.7) 6. FUNKCE NÁKLADŮ A NEPŘÍMÉ FUNKCE UŽITKU 73 cen a dovoluje nám kratší a transparentnější přehled jistých klasických vlastností funkce poptávky. Popišme v krátkosti základní vlastnosti a výsledky pro podstatně omezenější situace než byly výše uvedené. Tato omezení budou použita v následujících paragrafech. Od doposud budeme předpokládat, že spotřební množina X bude kladný ortant Rl+ a že všechny ceny a bohatství jsou kladné. Toto implikuje, že rozpočtová množina je kompaktní a že podmínka minimálního bohatství je splněna. Zejména je pro spojitou funkci užitku korespondence poptávky ip horní hemi-spojitá. Dále budeme předpokládat nenasycenost buď relace preference nebo funkce užitku. To pak implikuje, že spotřebitel použije všechno své bohatství za maximalizace preferencí. Je-li dána dosažitelná úroveň funkce užitku v = u(x),x G X, je nákladová funkce minimální množství nutné k získání úrovně užitku alespoň takové jako v pro danou cenu p. Je tudíž nákladová funkce E : Rl+ x R —y R definovaná jako Přitom lze snadno dokázat následující vlastnosti nákladové funkce. Lemma 6.1 Pokud spojitá funkce užitku splňuje axiom lokální nenasycenosti, je pak nákladová funkce: 1. rostoucí a spojitá v proměnné v pro každý cenový vektor p, 2. neklesající, pozitivně lineárně homogenní a konkávni v proměnné p pro každou úroveň užitku v. Nechť nyní y = E(p,v) označuje minimální úroveň nákladů. Protože je funkce E rostoucí a spojitá v proměnné v, existuje její inverzní funkce v = g(p,y), která vyjádří užitek v jakožto funkci nákladů a cen, která se nazývá nepřímou funkci užitku. Je snadné vidět, že Vzhledem k vlastnostem nákladové funkce je nutně nepřímá funkce užitku 1. rostoucí a spojitá v proměnné y pro každý cenový vektor p, 74 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE 2. nerostoucí v cenách a homogenní stupně 0 v příjmech a cenách. Zejména tedy z definice E a, g obdržíme následující identity: v = g(p, E(p, v)) a y = E(p, g(p, y)). (6.3) Je-li dán cenový vektor p a úroveň užitku v, je nákladové minimum E(p,v) získáno na jisté podmnožině určené E(p,v) a p. Jsou-li preference ostře konvexní, existuje jediný bod x E X minimalizující náklady a označme minimalizační funkci jako x = h(p,v). Nutně pak z definice Funkce h se nazývá Hícksova funkce poptávky kompenzovaná příjmem, h je spojitá v obou argumentech a homogenní stupně nula v cenách. Uvažme nyní náš původní problém maximalizace funkce užitku vzhledem k rozpočtovým omezením p-x < w. Pak náš předpoklad lokální nenasycenosti a ostré konvexity implikuje existenci spojité maximalizační funkce f(p,w). Tato funkce se nazývá Marshallova tržní funkce poptávky a splňuje vlastnost Z těchto definic získáme druhou dvojici identit, které popisují základní vztah mezi Hicksovou funkcí poptávky kompenzované příjmem a Marshallovou tržní funkcí poptávky: Jednu z důležitých vlastností Hicksovy funkce poptávky lze obdržet bezprostředně. Pro pevnou úroveň užitku v, uvažujme dva cenové vektory p a p', dále asociacované vektory poptávky x = h(p, »)ai' = h(p', v). Z toho, minimalizují náklady, obdržíme (6.4) (6.5) h(p, w) h(p,g(p,w)) f(p,E(p,w)). (6.6) (6.7) 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNÉ FUNKCE UŽITKU 75 Pro změnu Apk = Pk — v'k ceny jednotlivé komodity k tak, že všechny ostatní ceny zůstanou konstantní tj. Aph = ph - p'h = 0, h ý k implikuje Jinak řečeno, nárůst ceny jedné komodity nezpůsobí nárůst poptávky pro tuto komoditu. Hicksova funkce poptávky není tedy rostoucí funkcí ceny. Tato vlastnost se občas nazývá jako nekladnost vlastního substitučního efektu. Detailní diskuse pro diferencovatelné funkce bude provedena v dalších paragrafech. 7 Vlastnosti diferencovatelné funkce užitku Následující paragrafy se věnují funkcím užitku a poptávky za předpokladu diferencovatelnosti, kteý je standardním předpoklad v teorii spotřebitelské poptávky. Buď tedy u : X —>• R funkce užitku, která je třídy C2 bez kritických bodů * reprezentující úplnou a spojitou relaci preference třídy C2 na X, která je monotónní a ostře konvexní. Pak je tato funkce 1. spojitá, 2. rostoucí tj. u(x) > u(y) pro x > y, x ^ y, 3. ostře kvazikonkávní tj. u(ax + (1 — a)y) > u(y) pro a G (0,1), i / p u(x) > u(y). 4. dvojnásobně spojitě diferencovatelná tj. její druhé parciální derivace existují a jsou spojitými funkcemi v proměnné x. *Pro prvek x G U je derivace D f (x) v bodě x lineární zobrazení z Rk do Rn (tj. matice parciálních derivací). Pak říkáme, že x se nazývá singulární (kritický) bod zobrazeni f, pokud tato derivace není surjektivní zobrazení. Poznamenejme, že pokud k < n, jsou všechny prvky z U singulární. Singulární hodnoty jsou jednoduše obrazy vzhledem k / všech singulárních bodů; prvek y G Rn se nazývá regulární hodnota, pokud není singulární hodnota. Apk ■ Axk < 0. 76 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE Dále budeme předpokládat, že derivace prvního řádu, tj. jj^r, i = 1, • • •, l, jsou kladné. Mluvíme o tzv. marginálních (mezních) užitcích. Speciálně pak vektor délky / marginálních užitků budem označovat ux. Protože derivace druhého řádu jsou spojité funkce jejich argumentů, máme nutně d2u d2u Buď tedy Uxx Hessova matice řádu / funkce užitku u tj. matice druhých parciálních derivací funkce u s prvky Uij. Ze symetrie druhých parciálních derivací pak máme, že Uxx je symetrická matice tj. Uxx = Uxx. Vlastnost ostré kvazikonkávnosti, kterou má funkce užitku, pak implikuje další omezení na první a druhé derivace funkce užitku. Věta 7.1 Bud' u ostře kvazikonkávní funkce užitku. Pak pro všechny prvky x E X platí zTUxxz < 0 pro všechna z E {y E R1 : ux ■ y = 0}. (7-1) Důkaz. Buď x E X libovolný. Nechť z E R1 : ux ■ z = 0. Pak z Taylorova vzorce máme u(y)=u(x) + a—--\-a —---h g{y), (7.2) kde y = x + az a g je reálná funkce spojitá v okolí x tak, že \imy^x || ^^||2 = 0. Tedy u(y) = u{x) + o?z ^cxxZ + g(y). Předpokládejme, že z ^cxxZ > 0. Nutně pak existuje «o > 0 tak, že pro všechna a E (—«o,Qío) platí f (a) = /(O) + |a;2/"(0) + o~(a), kde f (a) = u(x + az), f (a) = ux+az ■ z, f" (a) = zTUx+az,x+azz > 0, a(a) = Přitom lima^0~^r^ = 0- Předpokládejme, že a > 0. Pak z ostré kvazikonkávnosti min{/(—a), f (a)} < /(0) a z předchozího f (a) — /(0) > 0 a f (—a) — /(0) > 0, což je spor. Tedy z ^íxxZ < Q. | 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNÉ FUNKCE UŽITKU 77 Vlastnost ostré kvazikonkávnosti funkce užitku není dostatečná, abychom obdrželi všude diferencovatelnou funkci poptávky. Proto zavedeme následující pojem. Definice. Ostře kvazikonkávní funkce užitku se nazývá silně kvazikonkávní, jestliže z Uxxz 0 (F' a F" jsou skaláry) a F" je spojitá. Položme v(x) = F(u(x)). Pak mezi prvními a druhými derivacemi funkcí u(x) a v(x) platí následující vztahy: čh=FichL neboli vx = F'u. OXj OXj X 1 dxidxj dxidxj \dxi) \dxj d2V _ F'&U +F«ŕchL\(du\ tj> y = FU + F«UxUT (7.6) Protože je F' kladné, má vx stejné znaménko jako ux. Naproti tomu prvky matice Vxx nemusí mít stejné znaménka jako prvky matice Uxx. Máme však, že zTUxxz < 0 pro každý vektor z G {y G R1 : ux-y = 0, y 7^ 0} implikuje zTVxxz < 0 pro každý vektor z G {y G R1 : vx ■ y = 0, y 7^ 0}. Skutečně, vxz = F'u^z = 0 a tedy zTVxxz = zTF'Uxxz + zTF"uxu^z = F'zTUxxz + F"zTuxu^z = F'zTUxxz tj. oba výrazy zTUxxz a zTVxxz 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNÉ FUNKCE UŽITKU 79 mají stejné znaménko z kladnosti F'. Poznamenejme, že se nejedná o nový výsledek ale jiný způsob důkazu, že ostrá a silná kvazikonkávnost odrážejí vlastnosti relace preference. Protože ale marginální (mezní) užitky 4^f nejsou invariantní vzhledem monotónním rostoucím transformacím, budou nás zajímat poměry dvojic marginálních užitků, např. du dxj =Ui_ <77, du Ui' "i Nutně pak je výraz 7.7 invariantní vzhledem k monotónním rostoucím transformacím (F', které je jak ve jmenovateli tak čitateli, se pokrátí.). Zachováme-li nyní úroveň funkce užitku konstantní a měníme-li pouze proměnné x i a Xj, obdržíme lokálně: du \ , „ f du Tedy máme Ui dx* RtJ = — = --i- (7.9) Rij se nazývá marginální (mezní) míra substituce i-té komodity za j-tou komoditu. Přitom R^ reprezentuje množství komodity j věnované na výměnu za zvýšení komodity i, přičemž míra užitku zůstává konstantní. O Rij budeme předpokládat, že je klesající funkcí x i tj. při stejné míře užitku bude množství komodity Xj menší věnované na výměnu za zvýšení komodity při větším x,i než když je x,i menší. Předpoklad o DMRS pro každou dvojici plyne ze silné kvazikonkávnosti funkce užitku. Klesající marginální míra substituce znamená, že (7.10) 80 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE což nám dává — (i',,"' — '2 ii, ii j ii, j + u j j ii- Uj (7.11) Výraz v závorkách je roven zTUxxz pro Zk = 0, k ^ i j J db Z i — 11 j db Zj — Ui- Protože je výraz u j > 0 a = 0, máme ze silné kvazikonkávnosti, že výraz 7.10 je záporný. Přitom obrácená implikace plyne při jistých dodatečných předpokladech. Pojem marginální míry substituce byl tradičně používán ve spojitosti se slabou a silnou separabilitou. Než se budeme této spojitosti věnovat, bude pro nás užitečné si všimnout důsledků diferencovatelnosti funkce u(x) v případě (slabé) separability. Za předpokladu separability víme, že existuje a tedy existují i a Protože Vj(xj) má všechny vlastnosti funkce užitku, je nutně > 0. Je tedy i > 0, protože |^ > 0. ■J avj 1 1 axi Nechť nyní i,k G Nj. Pak (7.12) Z diferencovatelnosti pro všechna i&Nj,l 0, i = 1,... ,n. Jsou tedy nutně jak ux tak i p kladné vektory tj. prvky P, zejména tedy z 7.19 dostáváme, že Lagrangeův multiplikátor A je kladné reálné číslo. Nutná podmínka druhého řádu pro nabývání maxima je pak zTLxxz < 0 pro všechna z G Rl taková, že pTz = 0. (7-21) Přitom Lxx = q^qx, vyčísleno v bodě řešení systému 7.19 a 7.20. Za předpokladu ostré kvazikonkávnosti funkce užitku (viz 7.1) je tato podmínka splněna, protože Lxx = Uxx a dále pTz = 0 implikuje u^z = 0 na základě 7.19 a kladnosti A. 7. VLASTNOSTI DIFERENCOVATELNÉ FUNKCE UŽITKU 83 Systém 7.19 a 7.20 je systém / + 1 rovnic v 2(1 + 1) proměnných - vektory x,p G R1 a skaláry A a w. Pro náš účel budeme p a w považovat za libovolné, pevné a x a A budou neznámé proměnné. Lemma 5.5 nám zaručuje existenci jediného řešení x = f(p,w). Zejména tedy existuje jediné řešení pro A, totiž Xw = XpTx = uxx = uxf(p,w) tj. A = Q(p,w) = Hai/ípE), Snadno se ověří, že řešení systému 7.19 a 7.20 je v proměnné x invariantní vzhledem k monotónním rostoucím transformacím funkce u(x), ale proměnná A už ne. Pro takovouto transformaci F jsou podmínky 7.19 a 7.20 převedeny na F'ux - X*p = 0, (7.22) w-pTx = 0. (7.23) Podělíme-li 7.22 výrazem F' > 0 a položíme-li A = ^7, obdržíme rovnici 7.19. Evidentně je tedy řešení pro x invariantní, zatímco A* je Lagrangeův multiplikátor pro transformovaný problém. Věnujme se nyní diferencovatelnosti funkcí f(p,w) a Q(p,w) v bodě (x°, X°,p, w), kde x° = f(p,w), A° = Q(p,w). Máme ,ux (Uxxdx)X — uxdX T= Ä1 Lbx y^JxxKXJ^j/\ LLxKX/\ /_0.x dp = d— =-—-(p,w) (7.24) tj- Podobně, UQxxdx - pdX - A°dp = 0. (7.25) dw = d(pTx) = pTdx + xTdp(p, w), (7.26) tj- dw — pTdx — x° dp = 0. (7.27) Přitom Uxx = Uxx(x°) Po snadné úpravě pak obdržíme tzv. základní maticovou rovnici poptávky spotřebitele: 84 KAPITOLA 2. TEORIE SPOTŘEBITELE 'U°xx p' dx " X°E 0 " dp pT 0 -dA _ -x°T 1 _ dw (7.28) kde E je identická matice typu / x /. Můžeme přitom formálně psát Kapitola 3 Teorie ekonomické rovnováhy Tato kapitola je podstatným způsobem založena na článku S. Smalea [28] a monografii G. Debreua [7] ve zpracování v rámci diplomové práce Jiřího Novotného [21]. 1 Základní pojmy 1.1 Prostor komodit Prostor komodit je základním pojmem, na kterém stojí i celý matematický aparát. Jeho podstatou je, že v ekonomice je daný počet komodit (komoditou nerozumíme jen zboží či služby, ale cokoliv, co lze použít ke směně, včetně práce, komodita je určena svými fyzickými vlastnostmi, datem a místem, kdy a kde je dostupná). Nechť je těchto komodit /, / G N. Akci jednotlivého ekonomického subjektu (v našem případě 2-tého spotřebitele nebo výrobce) můžeme zapsat jako komoditní vektor v komoditním prostoru Rl. — ^iZ/ ,... j ^ j /z — 1 j... j / 85 86 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Pomocí tohoto vyjádření akce jednoho subjektu nyní můžeme popsat celou ekonomiku. Pokud je účastníků daný počet, např. m, pak budou všechny akce v ekonomice popsány vektorem komoditních vektorů z prostoru, z E Rlm. Tedy 1.2 Cenový prostor Cenový prostor lze považovat za duální koncept ke konceptu prostoru komoditního. Jako nejlepší k ohodnocení komodit se hodí právě ceny. Tzn. že ke komoditnímu prostoru přiřadíme cenový vektor, přičemž jednotlivé složky si odpovídají (i-tá složka cenového vektoru značí cenu i-té komodity). Aby cenový prostor odpovídal nejlépe reálné situaci budeme uvažovat pouze nezáporné ceny - tuto množinu budeme značit R+ = [0,oo). * Tedy P = (p\...,Pl), PheR+ h = l,...,l je cenový vektor. Další podmínkou je, že cenový vektor je pro všechny účastníky stejný, takže vlastně reprezentuje cenový systém. Hodnotu komoditního vektoru v daném cenovém systému vyjádříme jako skalární součin obou vektorů. i Eh h p X h=l 1.3 Agenti Místo dřívějších, poněkud kostrbatých pojmů "účastník trhu, účastník ekonomiky", nyní zavedeme pojem " agent". Z ekonomického hlediska agentem rozumíme jak spotřebitele, tak výrobce. Pro odlišení těchto pojmů v matematickém konceptu zavedeme následující znaménkovou konvenci pro rozlišení vstupů a výstupů: pro spotřebitele budou vstupy kladné, výstupy záporné, pro výrobce naopak vstupy záporné a výstupy *Komodity s nulovou cenou se v ekonomické teorii nazývají volné. 1. ZÁKLADNÍ POJMY 87 kladné. Díky této konvenci v matematickém vyjádření nemusíme rozlišovat mezi pojmy spotřebitel a výrobce vystačíme pouze s pojmem agent. Je zároveň ošetřena možnost, že agent je současně výrobcem i spotřebitelem. 1.4 Existence rovnováhy Celková nabídka S(p) a celková poptávka D(p) jsou zobrazení z cenového do komoditního prostoru, tedy S,D:Rl+- {0} R1. Předpokládáme, že poptávka i nabídka jsou homogenní, tj. platí D(p) = D(Xp), S(p) = S(Xp) pro A G (0, oo). Ekonomika je v rovnováze právě tehdy, když žádný z agentů nechce změnit její stav. Veškeré vyrobené zboží je také poptáváno a spotřebitelé plně uspokojují své potřeby. D(p) = S(p), poptávka se rovná nabídce. Hledáme tedy vektor p* G Rl+ — {0}, který splňuje D(p*) = S(p*). Označíme-li Z : Rl+ — {0} —>• Rl, Z(p) = D(p) - S(p) jako převis poptávky, pak hledáme takový vektor p*, pro který Z{p*) = o. Zobrazení Z je spojité a homogenní, neboli Z{Xp) = Z(p), pro všechna A > 0. 88 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY 1.5 Walrasův zákon Walrasův zákon říká, že celková hodnota poptávky je rovna celkové hodnotě nabídky. Hodnotu nabídky lze interpretovat jako rozpočtové omezení celé ekonomiky a hodnota převisu poptávky je nulová: i p ■ Z (p) = 0 čili ^phZh(p) = 0 h=l l Nechť je Sl+ľ = {p E Rl+; \\p\\2 = ^2(p1)2 = 1} prostor normalizovaných cenových systémů. Homogenita Z i=i nám dovoluje zúžit definiční obor Z na Sl+ľ E R. Podle Walrasova zákona je Z(p) tečna S1^1 v bodě p, neboť vektor Z(p) je kolmý k p. Slabý Walrasův zákon říká, že pro každý cenový vektor p E Rl+ platí: p ■ Z [p) < 0. Definice 1.1 Nechť a E R a v E Rl, pak zápis v < a znamená, že vh < a, pro h = 1,/. Nechť b E R1 a v E Rl, pak zápis v < b znamená, že vh < bh, pro h = 1,...,/. Podobně i pro =, <, >, >. Věta 1.1 (Debreu-Gale-Nikaidô) Nechť je Z : Rl+ — {0} —> Rl spojité a splňuje slabý Walrasův zákon. Pak existuje p* E Rl+ — {0} takové, že 1. ZÁKLADNÍ POJMY 89 Z{j>*) < 0. Důkaz viz [28, strana 338-339]. Poznámka 1.1 Pokud Z : Rl+ — {0} —> R+ splňuje Walrasův zákon a pro nějaké p* platí Z(p*) < 0, pak buď Zh(p*) = 0 nebo p*h = 0. 1.6 Aproximace vícehodnotových zobrazení S(T) značí množinu konvexních podmnožin množiny T C R1. Definice 1.2 Nechť je K C Rl kompaktní, T C R1 kompaktní a konvexní. Pak zobrazení ip : K —)• S (T) nazýváme korespondence z K do T. Graf korespondence ip je množina T(p = {[x,y]EKxT; y E 0 existuje spojité zobrazení / : K —^ T takové, že Ty C ^(r^). Důkaz viz [6]. 90 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY 1.7 Vlastnosti konvexních množin a obalů Lemma 1.3 Součet dvou konvexních množin Rl je konvexní množina. Důkaz: Nechť a\i a2 E A & bi,b2 G B, kde A a B jsou konvexní množiny. Pak platí í(ai + &i) + (1 - í)(a2 + 62) = (íai + (1 - *)a2) + + (1 - t)h) e A + B. Důkaz: Sl ;icí dokázat, že A + 5 = A + 5. Tvrzení pro více množin se pak již jednoduše dokáže pomocí indukce. Podle lemmatu 1.3 je A + B konvexní množina. Protože A + B je nej menší konvexní množina obsahující A + B, platí Lemma 1.4 Nechť Yj- značí konvexní obal množiny Yj v Rl, pak A + B D A + B. Důkaz opačné inkluze je složitější, rro množinu X C Rl definuj eme n n 1. ZÁKLADNÍ POJMY 91 tedy množina Xn je množinou všech konvexních kombinací n prvků z množiny X. Nechť a±, a2 G A, b±, b2 G B a í, s G i? takové, že í, s G (0,1). Platí tai + (1 - t)a2 + sbi + (1 - s)b2 = tax + t&i + (s - t)bx + (1 - s)b2 + (1 - s)a2 + (s - í)a2 = í(ai + 61) + (s - t)(a2 + 61) + (1 - s)(a2 + 62). (1.1) Dále dostáváme X =\JXk = \JX2r. k=l r=l Z platnosti vztahu (1.1) vyplývá, že Dále platí A2 + B2 C (A + B)3CA + B. X2k + 1 = (X2k^J2 (1.2) (1.3) Inkluze X2k+i D (X2k) Je zřejmá. Obráceně: Nechť x G X2k+i. Pak 2k+i 2fe+1 x = '^^tiXi] kde í i = 1, íj > 0. i=l 2k Pokud 0 < E ti < 1? pak 2fe 2fe+i =2fe + l í," 2fe+i 2fe+1 í=2fe+1 E u , i=2k+l / G (X 2k)2 92 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY 2k Pokud ^2 ti = 0, pak (2k ^ \ / 2k+1 Yl ^kXi + 1 ' 5ľ tiXi 1 G (X2K^2 • i=l J \í=2k + l Analogicky pro ^ t i = 1 • i=i Nyní indukcí dokážeme, že A2k + B2k C A + B. Pro k = 1 to plyne z (1.2). Dále pokračujeme indukcí. Předpokládáme, že inkluze platí pro k. Pro k + 1 pomocí vztahů (1.2) a (1.3) dostaneme A2k + 1 + B2k+1 = (A.2fe)2 + (B2k)2 C (A^k + B2k)% C C (A + B)3 = A + B Tedy platí OO OO OO A + B = {J A2k+ {J B2k = [J (A2fe + 52k) C k=l^_^ k=l k=l Rovnost A + B = A + B tedy platí a lemma 1.4 je dokázáno. Lemma 1.5 Nechť A značí uzávěr množiny A. Pak platí I + ŠC A + B. 2. VÝROBCE 93 Důkaz: Nechť a E A a,b E B a, pro an E A, resp. bn E B platí an —> a, resp. bn —> b. Pak platí, že an + bn E A + B a zároveň an + K ->• a + 6, z čehož vyplývá a + b E A + B. M 2 Výrobce 2.1 Úvod Nyní se budeme zabývat výrobní stranou ekonomiky. Hlavní rolí výrobce je sestavit a uskutečnit svůj výrobní plán. Pro každého z n, j = 1,..., n výrobců to znamená určit množství všech svých vstupů a výstupů. Bod y j E Rl se nazývá produkce a označuje všechny dosažitelné i nedosažitelné produkce daného výrobce, množina dosažitelných produkcí se značí Yj a nazývá se produkční množina. Celková produkční množina a celková dosažitelná produkční množina vzniknou sečtením dílčích množin, tedy: n n y = J2vj a y = J2yj i=i j=i Jelikož tímto sečtením dojde k odstranění přesunů komodit mezi výrobci, představuje y čistý výstup ekonomiky. 94 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY 2.2 Vlastnosti produkčních množin O produkčních množinách předpokládáme (na některých místech výkladu) následující: (a) Y}je uzavřená. Nechť je yq- posloupnost produkcí dostupných j-tému výrobci a pokud yq- —> y®, pak je i yQ- dostupná j-tému výrobci. (a') Y je uzavřená. (b) 0 G Yj (možnost žádné produkce) Výrobce má možnost nedělat nic. (b') 0 G Y. (c) Y H (—Y) = {0} (podmínka nenávratnosti) Tato podmínka říká, že výroba je "jednosměrný proces", kdy výstup již nelze znovu "rozložit"zpět na původní vstupy. (d) Yj je konvexní. Pokud jsou y1- a y2- dosažitelné produkce, je dosažitelný i jejich vážený průměr ty1- + (1 — ť)y2 pro libovolné t G (0,1). (ď) Y je konvexní. (e) Y D (—Rl+) (podmínka volného použití) Celková produkce s nulovými výstupy je dosažitelná. Tzn. že výrobci používají všechny vyprodukované komodity jako vstupy. (f) Y — Rl+ C Y Tato vlastnost je důsledkem vlastností (a'), (ď) a (e) pro Y, viz [7], strana 42. 2. VÝROBCE 95 Z těchto uvedených podmínek vychází Arrowova-Debreuova věta uvedená v následující kapitole. Produkční množiny mají několik dalších vlastností. (g) Nejprve nechť Rl+ = {x G Rl;x > 0} a Y C Rl, pak platí: Y H Rl+ C {0} (nemožnost volné produkce) Výstupy dosažitelné celkové produkce s nulovými vstupy jsou nulové. (h) (Yj + Yj) C Y j (aditivita) Pokud jsou dva výrobní plány dosažitelné samostatně, pak jsou dosažitelné i společně. (i) Yj- je kužel s vrcholem v bodě 0. (konstantní výnosy z rozsahu) Tzn. íjj G Yj =>- tyj EYj,t> 0. Poměry vstupů a výstupů ve výrobě jsou stejné, ale rozsah může být libovolně měněn. 2.3 Maximalizace zisku Každý racionálně uvažující a jednající výrobce (dále budeme uvažovat pouze tyto) se snaží maximalizovat zisk z prodeje svých výstupů. V daném cenovém systému p a při produkci y j se tedy snaží maximalizovat ziskovou funkci 7Vj(p, yj) : Yj —>• R definovanou KjfaVj) =P-Vj- Pro tuto funkci platí *j(tp,yj) = ťKj{p,yj). Celkový zisk všech výrobců je p ■ y. Výrobce si vybírá takovou produkci z produkční množiny Yj, která maximalizuje jeho zisk, tato se pak nazývá rovnovážná produkce. Pokud p ^ 0 a y j je produkce maximalizující zisk, pak množina Y j leží v uzavřeném poloprostoru pod nadrovinou H = {y G R1, p ■ y = p ■ y j} určenou normálovým vektorem p. Množina maxim je dána průnikem Yj a H. 96 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Nabídkou j-tého výrobce rozumíme korespondenci Sj : Rl — {0} —> Yj. Výsledkem je množina všech dosažitelných produkcí, které maximalizují výrobcův zisk, tedy sj(p) = {V^Yj; p-y = m^p• y}- Celková nabídka je korespondence s : Rl — {0} —> Y definována takto: n s(p) = yjsáp)- Celková produkce y maximalizuje zisk na Y tehdy a jen tehdy maximalizuje—li zisk každé yj na Yj. 3 Spotřebitel 3.1 Úvod Spotřebitel je v ekonomice charakterizován svými preferencemi a svým rozpočtovým omezením. Jeho hlavní charakteristiky nám podávají spotřební množina Xi a jeho preference. Spotřební množina Xi je množina všech dosažitelných spotřeb, spotřebu určuje bod Xi komoditního prostoru. Spotřebitelovou rolí v ekonomice je vybrat si a uskutečnit spotřební plán pro budoucnost, tzn. určit množství vstupů a výstupů. 3.2 Vlastnosti spotřebních množin Uvažujme m spotřebitelů. Spotřební množinu i-tého spotřebitele (i = 1,2, m) označme X^. Platí pro ni následující podmínky: (a) Xi je uzavřená množina. 3. SPOTŘEBITEL 97 (b) Xi je zdola ohraničená. To znamená, že existuje takové d,i G R1, že Xi C {x di}, což zapisujeme také Xi > dj. (c) Xj je konvexní. Tzn., pokud rrj a x\ jsou dvě možné spotřeby i-tého spotřebitele, je jeho možnou spotřebou i jejich vážený průměr tx\ + (1 — t)x2, t G (0,1). 3.3 Preference spotřebitele Základem zkoumání chování spotřebitele při výběru optimálního spotřebního koše jsou spotřebitelovy preference. Na jejich základě spotřebitel rozhoduje, která ze spotřeb je pro něj "lepší"nebo "horší". Preference zahrnují faktory biologické, psychologické, kulturní, společenské a další. Tyto preference popisuje úplná preferenční relace Výraz x\ -< x\ znamená, že spotřeba x\ je pro spotřebitele "nejvýše tak dobrá"jako spotřeba x\. Tato relace je reflexivní a tranzitivní. Pro každé xl G Xi jsou množiny {xí G X^Xi ^ x~j} a {xí G X^Xi >zí x~j} uzavřené v Xi (podmínka spojitosti). Výraz x\ ~ x\ znamená, že spotřebitel je k oběma výběrům indiferentní, tedy že nemůže říci, který je "lepší"a který "horší". Tato relace je navíc i symetrická. Pro spotřebitelovy koše x\ a x\ platí x\ ~ x\ právě tehdy, když Bod rEj G Xj se nazývá nasycení, pokud neexistuje lepší dostupná spotřeba. 98 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY 3.4 Užitková funkce Spotřebitelovy preference reprezentuje užitková funkce1 u,i : X,i —>• R. Tato funkce je rostoucí a platí pro ni následující podmínka: (x^y)<* (u(x) < u(y)) Užitková funkce má následující vlastnosti: (a) Ui nemá maximum (podmínka nenasycenosti). Vrcj G Xi, 3x1 E Xi : Xi - Ui(x'), potom Ui(tx + (1 — t)xr) > Ui(x') pro každé t G (0,1). Poznámka 2.1 Funkce u,i je konkávni a přitom splňuje podmínku konvexity (platí zákon klesajícího mezního užitku), naopak konvexní funkce podmínku konvexity splňovat nemusí. Důležitým pojmem pro studium chování spotřebitele je indiferenční plocha, kterou definujeme jako vrstevnici funkce Ui, {x G Rl,Ui(x) = c}. V dvourozměrném případě mluvíme o indiferenční křivce, ta vyjadřuje všechny kombinace daných dvou komodit, které mají pro daného spotřebitele stejný užitek. 3.5 Rozpočtové omezení Spotřebitel samozřejmě nemůže spotřebovávat do nekonečna, je ohraničen svým rozpočtovým omezením. Hodnota w,i těchto prostředků spotřebitele omezuje při výběru kombinací komodit z komoditního prostoru, a to tak, že nemůže tuto hodnotu překročit. Spotřebiteli jsou tedy dostupné pouze ty komoditní vektory, ^Nutnou a postačující podmínkou existence spojité funkce užitku je, aby množina A — {(x,y) G R1 x Rl;x ^ y} byla vzhledem k R1 x Rl uzavřená. 3. SPOTŘEBITEL 99 jejichž hodnota je menší nebo rovna hodnotě jeho prostředků w,-,. V daném cenovém systému pak rozpočtové omezení definujeme jako skalární součin i P ■ x = ^2ph ■ x\ = wí\ ph,xhi e R, Wi e R, h=l přičemž ph jsou složky cenového vektoru a x\ složky komoditního vektoru. i Nadrovina {a G Rl; ^2 ph ■ ah = Wi} se nazývá rozpočtová nadrovina. Nerovnost p ■ x,i < w,i říká, že x,i leží v h=l poloprostoru pod rozpočtovou nadrovinou. Každý spotřebitel disponuje majetkem G XÍ7 přičemž existuje takové x,i G XÍ7 že platí > x,i. Pokud uvažujeme ekonomiku se soukromými vlastníky, potom značí podíl i-tého agenta v j-té firmě s výrobou m y j E R1. Je zřejmé, že 0 < 9i j < 1 a ^2 9 ij = 1. Pro daný cenový systém p je bohatství i-tého agenta m w,t =p-ei + y^9ijp-yj. Vektor w G Rm se nazývá rozloženi bohatství a jeho složkami jsou hodnoty bohatství jednotlivých spotřebitelů (Wi). 3.6 Rovnováha spotřebitele Spotřebitel dosahuje optima, pokud si vybere takový spotřební koš Xi, který mu v preferenčním uspořádání " ^"přináší největší užitek, a zároveň platí, že výdaje p ■ x,i na tento spotřební koš jsou nejvýše rovny jeho bohatství Wi. Námi uvažovaný racionálně jednající spotřebitel si samozřejmě takový koš vybere a bude jej na trhu poptávat. Spotřebitelovou poptávkou rozumíme korespondenci Di(p) : Rl — {0} —> Xi definovanou jako množinu všech 100 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY dosažitelných spotřeb Xi E Xi, v nichž užitková funkce Uí(xí) nabývá svého maxima na rozpočtové množině B i = {x G Xi] p ■ x < Wi}, tedy D i (p) = {x G Bi] Ui (x) = max Ui (x)}. Všechny body z množiny Di(p) jsou navzájem indiferentní a pro všechny x\ G Di(p) a Xi G Bi platí nerovnost Xi ^i x'{. Pro poptávku samozřejmě platí: Di(tp) = Di(p), pro libovolné t > 0. Celková poptávka je korespondence -D(p) : Rl — {0} —> |J Vj definovaná takto: n D(p) = X)A(p). 4 Rovnováha ekonomiky 4.1 Definice rovnováhy m n l Rovnováha ekonomiky je její stav (x,y,p), kde x G f| Xi, y E Yí Yji P £ 'S'h^1 = {p ^ -R+j l|p||2 = S(p«)2 = i=l J = l i=l 1}, který splňuje následující podmínky: m n m (A) Dosažitelnost, neboli ^2 Xi = ^2 y j + ^2 e^. j=i j=i í=i (B) Každý spotřebitel se snaží maximalizovat svůj užitek, neboli x,i je spotřeba, při níž u,i dosahuje maxima n na rozpočtové množině B i = {x E Xi,p ■ x < p ■ e,i + ^2 &ijP ' Vj}- 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 101 (C) Každý výrobce se snaží maximalizovat svůj zisk, neboli y j je výroba, při níž je iTj(p,yj) = p • yj maximálni na Yj. 4.2 Arrowova-Debreuova věta Arrowova-Debreuova věta: Pro ekonomiku splňující podmínky 2.2 (a'), (b'), (c), (ď), (e), (f) a 3.2 (a), (b), (c), 3.4 (a), (b) vždy existuje rovnovážný stav. Než dokážeme Arrowovu-Debreuovu větu, uvedeme a dokážeme větu 4.1 a větu 4.6, které splňují silnější předpoklady. Definice 4.1: Konvexní množina K se nazývá striktně konvexní, jestliže pro všechna x, y G K, x ^ y a t G (0,1) je tx + (1 - t)y G K°, kde K° je vnitřek K. Věta 4.1: Předpokládejme nyní, že ekonomika popsaná výše splňuje kromě předpokladů Arrowovy-Debreuovy věty tyto dodatečné podmínky: (1) Každá Yj je uzavřená a striktně konvexní. (2) Každá u,i splňuje podmínku ostré konvexity tj., pokud u,i(x) > c, u^x1) > c, x ^ x' a 0 < t < 1, potom u(tx + (1 — t)x') > c. Potom existuje rovnovážný stav. Poznámka 4.1 Podmínka (2) z věty 4.1 neznamená, že Ui je striktně konvexní. Dále si uvědomme, že podmínka ostré kon- 102 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY vexity je ekvivalentní s tím, že funkce je ostře kvazikonkávní (viz str. 75). K důkazu věty 4.1 budeme potřebovat několik lemmat. Lemma 4.2: (základní odhad) Nechť je Y uzavřená konvexní podmnožina R1 s vlastnostmi Y H (—Y) = {0} a F D —Rl+. Pak pro dané n b G Ri a n přirozené existuje konstanta c taková, že pokud y±, ...,yn G Y a ^ Vj > b, potom || yj ||< c pro všechna j. K důkazu tohoto lemmatu použijeme následující tři tvrzení. V nich označme K = {y G Y; \\y\\ = 1}. Tvrzení 4.1: Počátek 0 prostoru R1 neleží v konvexním obalu množiny K. Důkaz: r Předpokládejme, že a±x± + ... + arxr = 0 pro Xi G K, 0 < cti < 1, ^ ctj = 1. Pak i=i — Oĺ\X\ = Cti ■ 0 + Ct2x2 + . . . + OLrXr Protože 0, x2, ■ ■ ■, xr G Y a Y je konvexní, leží výraz na pravé straně v Y. Výraz — a±x± lze rozepsat takto: —a±xi = — (a±xi + (1 — «i) • 0) Tedy —ct\X\ leží rovněž v —Y. Z toho vyplývá, že aľxľ G F H (—Y) = {0}. Zároveň ||rri|| = 1, tedy «! = 0, což je spor s předpoklady. 0 tedy nepatří do konvexního obalu množiny K. 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 103 Tvrzení 4.2: Existuje q = (g1, q2,..., gř) G R1, qh > 0 pro všechna /i, takové, že pro všechna x E K platí g • x < 0. Důkaz: Jestliže A C f?ř je kompaktní konvexní množina a bod b E R1 neleží v A, pak lze A od 6 oddělit nadrovinou q±xi + g2^2 + ... + g^ř = c. Nechť je nyní konkrétně A konvexním obalem množiny K, pak dle tvrzení 1 platí 0 A. Existuje tedy nadrovina, která odděluje A a 0. Tato nadrovina má rovnici q-x = c. Pro všechna x E A platí následující nerovnosti: q-x < c 0 = q ■ 0 > c Tedy pro všechna i G íí C A platí q ■ x < 0. Navíc pro všechny vektory vh standardní báze v Rl platí —vh G -ří a -qh = q- (-vh) < 0. Tedy gft > 0, pro všechna /i. ■ Tvrzení 4.3: Existují konstanty e > 0 a /3 > 0 tak, že pro všechna x 0. (2) Nechť ||x|| > 1, pak gGÁ'a platí: x —£>q- j.—t. \\x\\ Tedy —s\\x\\ > q ■ x a odtud q ■ x < —e\\x\\ < —s\\x\\ + f3 + e, neboť (5 + e > 0. Uvedená, nerovnost tedy platí. Důkaz lemmatu 4.2: Nechť q G Rl je vektor z tvrzení 4.2. n Předpokládejme, že >b pro íjj G Y Potom platí: h h 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 105 Nerovnost vynásobíme číslem qh > 0 a dostaneme X>J qh>bhqh. Nyní vše sečteme podle h a výsledkem je nerovnost j=i Odtud dostáváme: j=i j=i j=i Po úpravě: n £\\Vi\\ < rA̱^3± Lemma 4.3: Nechť i = 1, ...,m a nechť X;t > dj. Pro dané c\ E Rl existuje a > 0 tak, že pro všechna Xi E Xi taková, že YXi - Cl' i=l 106 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY platí || Xi || < a, pro všechna i. Důkaz: Platí následující nerovnost: (di)h < (xi)h = (Xl + ... + xm)h - (Xl)h - ... - (x^f - (xt+1)h - ... (xm)h < (Cl)h - (d1)h - ... - (dt^)h - (dl+1)h - ... - (dm)h Tedy pro |(íCj)ft| platí následující: \(Xi)h\ < max(|(d1)'l|,...,|(di_1)'l|,|(di+1)'l|,...,|(dm)'l|, m m \(ci)h ~ E(dk)h + \(Cl)h - E(dk)h + (d2)h\, k=i k=i m \h\\ _ „h \(c1)h-J2(dk)h + (dm)h\) = ah k=l Tedy \(xi)h\ < ah. Definuj me a = \ ^2i{ďh)2 + 1. Z toho dostáváme k=l l l l ni2 < )2 = 5>")2 < 5>")2 +1 = «2- h=l h=l h=l n n Nabídka firmy j je definována jako S j (p) = {y G Yj] p ■ y = maxj,ey. p ■ y}. Nyní nechť b = ^2 di — ^2 e,i 1 i=i i=i m a zvolme c stejně jako v Lemmatu 4.2 tak, že když ^2yj > b, potom || yj ||< c, pro všechna j. Nechť Yj = Yj n Dc, kde Dc = {y G D1; \\ y \\< c}. Pro p G Rl+ - {0}, je S j (p) = y G Yj takové, že funkce 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 107 ^{Piíj) = P ' V-, má na Yj maximum v y. Potom se S j nazývá falešná nabídka firmy j. Lemma 4.4: Funkce 7r(p, y) = p ■ y nabývá na Yj svého maxima právě v jednom bodě. Tedy funkce S j : Rl+ — {0} —> Yj je dobře definována. Dále je spojitá a platí pro ni: (1) Sj(Xp) = Sj(p) pro A > 0. (2) Jestliže ||Sj(p)|| < c, pak n (p, y) = p ■ y nabývá svého maxima na Yj rovněž v bodě Sj(p). Důkaz lemmatu 4.4: Sporem dokážeme, že funkce 7v{p,y) = p ■ y nabývá na Yj svého maxima právě v jednom bodě. Nechť TV {p, y) = p-y nabývá svého maxima v bodech y a. y. Musíme dokázat, že y a, y leží na hranici. Kdyby y G Y°, pak by pro všechna t > 0 bylo (y + tp) ■ p = yp + t\\p\\2 > yp y a y musí tedy ležet na hranici a platí py = py = q- Předpokládejme, žey^y. Potom funkce p ■ y nabývá svého maxima ve všech bodech úsečky yy. Platí tedy P(W + (1 - t)y) = tpy + (1 - t)py = tq + (1 - t)q = q. Body ty + (1 — ť)y musí tedy ležet na hranici, což je ovšem spor se striktní konvexitou množiny Yj fl Dc. Důkaz spojitosti funkce Sj : Rl+ — {0} —> Yj vynecháme. (1) Funkce n(p,y) = py a n(Xp,y) = Xpy nabývají svého maxima ve stejných bodech množiny Yj. Tedy Sj(Xp) = Sj(p). (2) Předpokládejme, že existuje y G Yj\Yj takové, že py > pSj{p). 108 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Uvažujme úsečku y S j (p). Tato úsečka leží celá v Yj, neboť Yj je konvexní. Navíc existuje e > 0 tak, že pro t G (0,e) je lj=(l-t)Sj(p)+tyeYj, neboť < c. Potom t(p, f) = PV = (1 - *)p • + *pž/ > (1 - t)P ■ Š j (p) + tp ■ S j (p) = p ■ Sj{p), což je spor s tím, že S j (p) je maximum ir(p,y) na Yj. m Poptávkou i-tého spotřebitele rozumíme D i (p) = {x G Xf, Ui(x) = m&xxeXi Ui(x) a zároveň p ■ x < Wi}. n ^ Definujme w,i : Rl+ — {0} —> R jako falešný příjem spotřebitele i rovností Wi(p) = p ■ e,i + ^2 d^p ■ Sj(p). n n Funkce Wi je spojitá. Nechť jsou b = ^2*di — J^e^, c jako v lemmatu 4.2 a e počáteční obdaření agenta, i=i i=i n vyberme C\ G Rl tak, že ^2 y j + e < c1? pokud < c pro všechna j. Vyberme a podle Lemmatu 4.3 a nechť Xi = X{ f] Da. Falešná poptávka Di : Rl+ — {0} —> Xi je takové x, že itj(ľč) = max{n(i);i G • x < {^(p)} a Bp = {x e Xf,p ■ x < Wiip)}. Lemma 4.5: (1) Funkce u,i nabývá na Bp svého maxima právě v jednom bodě, tedy funkce Di(p) : Rl+ — {0} —> Xi je dobře definovaná. (2) Ďiip) je spojitá. 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 109 (3) Ďi(Xp) = Ďiip). (4) Je-li < a, pak Di(p) je bodem, kde Ui nabývá svého maxima na množině Bp = {x G X f, p ■ x < Wi(p)} a p ■ Di{p) = Wiip). Důkaz: (1) Bp je kompaktní, proto u,i nabývá na Bp svého maxima. Předpokládejme, že u,i nabývá svého maxima v bodech x a, x, Ui(x) = Ui(x). Jelikož je Bp konvexní, pak úsečka tx + (1 — t)x, t G (0,1) leží v Bp. Z podmínky striktní konvexity pro u,i plyne u(ťx + (1 — t)x) > u(x) = u(x), pro t G (0,1), což je spor s tím, že u,i nabývá v bodech x a x svého maxima. (2) Důkaz vynecháme. (3) Di(Xp) nabývá maxima na množině B\p, pro niž platí BXp = {x e Xf, Xpx < Wi(Xp) = Xpei + ]T 9ijXpSj(p)} = {x G Xi]px < Wiip) =pei + Y, OijPSjÍP)} = Bp Hledáme tedy bod maxima stejné funkce na stejné množině. (4) Nechť x E Xi Cl Da ľl{iG R1; xp < Wi(p)} s normou ||ľč|| < a, navíc je to bod, kde Ui nabývá maxima na Bp. Dále mějme bod x G Xi H {x G Rl;xp < Wi(p)}. Předpokládejme, že Ui(x) > Ui(x). Pak úsečka x x leží celá v {x E R1; xp < u>i(p)}, celá v Xi a její část v Da. Tedy existuje t > 0, í G (0,1) takové, že (1 - ť)x + tx G Xi n {x G R1] xp < Wiip)} n Da = Bp 110 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Z podmínky striktní konvexity na u;t vyplývá, že iti((l — ť)x + tx) > u(x), což je spor. ■ Důkaz věty 4.1: Nejprve si zvolíme konstanty. n n b = dj - ej i=i i=i a c zvolme podle Lemmatu 4.2. Dále nechť Ci = (mc + e1, mc + e2,..., mc + el), kde (e1, e2,..., el) = ^2 e^. Podle Lemmatu 4.3 zvolme a. Pro tato c a a dostaneme Y,- a X,i a z nich falešnou i=i nabídku a falešnou poptávku. Dále definujme funkce S,D, Z : Rl+ — {0} —> Rl takto: m n n Š =J2Šj + J2e*> 5 = ^A, Z = Ď-S. j=l i=l i=l Z má následující vlastnosti : (1) Je homogenní, neboť: TI Tľi TI Ž(\p) = Ď(\p)-S(\p) = ZDi(\p)-Y,Šj(\p)-Ylei = i=l j=l i=l TI Tľi TI = E A (p) - E s3(P) - E ^ = D(p) - S(p) = Z(p) i=l j=l i=l 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 111 (2) Z je spojitá. (3) Splňuje slabý Walrasuv zákon: Pro všechna p je p ■ Z [p] < 0. Platí totiž p-z(p) = p ■ d (p) - p- s (p) = E p • A (p) - E p • s j (p) - Ep- ei = i=l j=l i=l n ^ n n ^ = Ep-A(p) - E«Mp) = Eb- A (p) - w(p)] < o, i=l i=l i=l neboť A (p) e 5ť(p). Podle věty 1.1 existuje p* e Rl+- {0} tak, že Z (p*) < 0. Definujme y* = Sj(p*), x* = D j (p*). Protože Z (p*) < 0 dostáváme n m n n m n X>?-X>i-I>^0 atedy 5>*^ + í = l J=l i = l i = l j = l i = l Dále platí m n n n n j = l i=l i=l i=l i=l a tedy podle Lemmatu 4.2 \\y*\\ < c. Podle Lemmatu 4.4 je y* bodem maxima funkce 7v{p*,y) na Yj. Takže je splněna podmínka (C) z definice rovnováhy. Platí následující nerovnosti n m n n x* < y* + ej < m(c, c,..., c) + = (mc + e1, mc + e2,..., mc + eř) = C\. i=l j=l i=l i=l 112 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Podle Lemmatu 4.3 II * 11 - \\xi II < a- Dle Lemmatu 4.5 je x* bodem, kde Ui nabývá svého maxima na B1. Tedy platí podmínka (B), podle níž spotřebitel maximalizuje svůj užitek na své rozpočtové množině. Nyní dokážeme zbývající podmínku (A). Nechť n m n X!*? = ^2 y j + - z>z e Rl+- i=l j=l i=l Skalárně vynásobíme s p* a dostaneme n m n i=l j=l i=l přičemž všechny složky z a p* jsou větší nebo rovny nule. Zřejmě pro každé i je x* v dosažitelné spotřebě X i. Za předpokladu lokální nenasycenosti existuje x\ v Xi takové, že x* - Wi(p*). Z tohoto důvodu můžeme nalézt bod na přímce [x*,^] různý od x*, který je preferován před x*, ale je dost blízko x*, aby vyhověl celkové nerovnosti. Ale to by odporovalo skutečnosti, že x* maximalizuje funkci Ui na množině Bp* = {x E Xi \ p* ■ x < Wi{p*)}, kde w,t(p*) = p* ■ e,t + £J=1 %p* • y*. Tedy pro každé i platí: n p ' x,t = p -ei + ^Qijp -y-. i=i Sumováním přes i získáme p* ■ z = 0. Odtud plyne ^ • p* = 0. 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 113 Podle vlastnosti 2.2(e) produkčních množin. platí, že Tedy existují y j G Y j tak, že Potom Y-Rl+CY = YJY3, J2y*-zeY j=i m m ííi m m m i=i i=i i=i i=1 m m protože p* • z = 0 a tedy p*^j = ^ P*?/J- j=i i=i je maximum 7t,- na Y,-, tedy Kj(p,yj) = vvi < vy) = nj(p,yj) m m Jelikož ^2 VVj = S PVj mus1' být i=i ' j=i /'//i /'//; • Tedy pro (p*,x*,y) platí (C). Navíc n m n m n i=l J = l i = l j = l í = l 114 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY tedy (p*,x*,y) splňuje podmínku (A) dosažitelnosti stavu ekonomiky. Protože platí podmínky (A), (B) a (C), je stav (p*, x*, y) rovnovážným stavem ekonomiky a Věta 4.1 je tím dokázána. ■ Zobecněním věty 4.1 a dalším krokem k důkazu Arrowovy-Debreuovy věty je následující věta 4.6. Věta 4.6 Nechť jsou splněny předpoklady Arrow-Debreuovy věty a nechť navíc každá Yj je uzavřená a konvexní. Potom existuje rovnovážný stav. K jejímu důkazu budeme potřebovat definice falešné nabídky Sj a falešné poptávky Di jako korespondence. Definujme korespondenci Sj(p) : S1^1 —> Yj takto: Šj(p) = {V £ Yj = Yjí]Dc; p-y = max p • y}. Lemma 4.7 (vlastnosti Sj) Korespondence Sj má tyto vlastnosti: (1) Sj(p) je konvexní uzavřená množina. (2) Graf T§ = {(p,y) G x Yj-, y G S j (p)} je kompaktní. (3) Jestliže yj G S j (p) a \\yj\\ < c, pak yj G Sj(p). Důkaz: (1) Nechť yi,y2 G S j (p) jsou různé a libovolné. Potom ir(yi) = 7r(?/2)- Nechť y3 = ty\ + (1 — t)y2 pro nějaké í G (0,1). Platí t (ž/3) = M/3 = Ptyi + p(l - t)y2 = tpy1 + (1 - t)py2 = = tir(y1) + (l-t)ir(y2)=Tr(yi). 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 115 Tedy y% je prvkem množiny Sj(p). (2) Důkaz vynecháme. (3) Důkaz se provádí stejně jako v Lemmatu 4.4 (2). Funkce Wi : S+ —> R definovaná takto: m je dobře definovaná a spojitá. Falešnou poptávku definujeme jako korespondenci Dt : S*^1 —> Xi určenou vztahem Di(p) = {x E Xi Pi Dc; funkce u,i(x) nabývá maxima v x na Bp = {x E X;,\p • x < Wi}}. Lemma 4.8 (Vlastnosti Dj) Pro korespondenci Di platí: (1) Di{p) je konvexní a uzavřená množina. (2) Graf Tg. = {(p,x) E x Xh x E A(p)} je kompaktní. (3) Ďi(Xp) = Ďiip) pro A > 0. (4) Jestliže x, E Di(p) a ||xj|| < a, pak Xi E Di(p). Důkaz: 116 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY (1) Nejprve ukážeme, že D i (p) je uzavřená. Pro xn G D i (p) platí, že Ui{xn) je bodem maxima funkce Ui(x) na množině B (p). Nechť xn —y x' G Bp, jelikož je u,i(x) spojitá, platí Ui(x') = limitj(ľčn) = max-Uj(x), xeBp tedy x G D{(p) a D{(p) je uzavřená. Nyní ukáži, že D i (p) je konvexní. Pro body z,y G Xi splňující Ui(z) = Ui(y) = maxxeg Ui(x) platí p(tz + (1 - ť)y) = tpz + (1 - t)py < < t ■ vSiip) + (1 - t) ■ Wi(p) = Wiip). Z toho vyplývá, že tz + (1 — ť)y G Bp. Podle vlastnosti (2.4b) Ui(tz + (1 — t)y) > Ui(x) = max-Uj(x). xeBp Tudíž Ui{tz + (1 — ť)y) = majíUi(x) a z toho vyplývá, že tz + (1 — í)y G Di(p). D{(p) je tedy konvexní. (2) Důkaz vynecháme. (3) Di(Xp) nabývá maxima na množině B\p, pro niž platí BXp = {x e Xi] Xpx < Wi(Xp) = Xpei + ]T 9ijXpSj(p)} = {x eXi;px < Wiip) =pei + Y, OijPSjÍP)} = Bp Hledáme tedy bod maxima stejné funkce na stejné množině. (4) Důkaz se provádí stejně jako v Lemmatu 4.5 (4). 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 117 Důkaz věty 4.6 Nejprve si opět zvolíme konstanty. n n ,e,: 1=1 1=1 a c zvolme podle Lemmatu 4.2. Dále nechť Ci = (mc + e1, mc + e2,..., mc + eř). Podle Lemmatu 4.3 zvolme a. Pro tato c a a dostaneme Y,- a Xj a z nich falešnou nabídku Sj(p) s vlastnostmi v Lemmatu 4.7 a falešnou poptávku Dj(p) s vlastnostmi v Lemmatu 4.8. Vezmeme e > 0. Podle věty 1.2 existuje spojitá funkce Sj£ : Sl+ľ —?■ Yj tak, že Stejně pro 79« dostaneme spojité zobrazení D;l£ : S1^1 -í» X, s vlastností rSfa c Be(rSi), pro které navíc na S^1 platí p ■ Ďi£{p) - Wiip) < e p-Die(p) < Wi(p)+e. Definujme Z£ : S+1 R1 a Z£ : i?ř takto n ^ m ^ n Ze(p) = EA£(p)-E^(p)-Ee, i=l j=l i=l Z£(p) = Z£(p) - (p ■ Z£(p)) ■ p. 118 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Pak platí P-Z£(p) = p • Ze(p) - (p ■ Ze(p))(p ■ p) = = p ■ Z£(p) -p ■ Z£(p) = 0. Dále platí n m n p ■ z£(p) = x Di£{p)-P-J2 ^(p)-p-J2e*'p = i=l j = l i=l n m n m m =xDie(p) ■ p - x•p-z^-p-Z^-p+Z^-p i=l j=l i=l j=l j=l n m nm m = X DíeíP) ■ P ~ X ' P ~ X ei ' P + X ^) X ' P i=l j=l i=l j=l j=l n mm - X Díe(p) - P-Wi(p) + Y^ ŠÍP) -P~Y1 ' P < 2£ i=l j=l j=l Z£ splňuje Walrasův zákon. Podle věty 1.1 existuje p£ G S1^1 tak, že Z£{p£) < 0. Podle poznámky 1.1 je buď Zh£{p£) = 0 nebo ph£ = 0. (4.1) Z (4.1) a z nerovnosti pro p ■ Z£{p) plyne Zh£{p£) = (p£ ■ Z£{p£))ph£ < 2e ■ ph£ < 2s, pokud p£ ý 0 nebo ZhÁPe) < 0, 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 119 pokud p£ = 0. Tedy Z£(p£) < 2e pro všechna h. Nechť jsou yj£ = Sj£(p£) a xie = Di£(p£). Dále máme posloupnost {ek}kLi konvergující k 0. Z ní lze vybrat podposloupnost tak, že p£k p* G Sl+ \ yj£k y* G S j (p), xi£k x* G A (p). Stejně jako v důkazu věty 4.1 se ukáže, že když y* G 5j(p*) a \\y*\\ < c, potom y* G Sj(p*), což je podmínka (C) z definice rovnováhy, a že když x* G Diip*) a ||rr*|| < a, potom x* G Di(p*), což je podmínka (B) z definice rovnováhy. Nyní již zbývá pouze dokázat podmínku A z definice rovnováhy. Z definice Zj} plyne, že n m n £4-£ä/?e-5>?<2,. i=l j=l i=l Limitním přechodem dostaneme nerovnost n m n 5>:" - 5>;* - 5>? < o. i=l j=l i=l Tudíž platí n m n i=l j=l i=l 120 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Nyní budeme postupovat stejně jako v důkazu věty 4.1. Položme m n X)*? = ^2 V j + - z, z e Rl+. i=l j=l i=l Skalárně vynásobíme s p* a dostaneme n m n i=l j=l i=l přičemž všechny složky z a p* jsou větší nebo rovny nule. Odtud plyne z ■ p* = 0. Podle vlastnosti 2.2(e) produkčních množin, m Y-Rl+CY = YJY], platí, že Tedy existují y j G Y j tak, že Potom $>*-,GF. m m j=i j=i j=i j=i 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 121 m m protože p* ■ z = 0 a tedy ^2 V* V j = S P*Vj- i=i j=i y* je maximum 7T,- na Y,-, tedy Tj(p,ž/j) = m < py*j = k j (p, y*) m m Jelikož ^2 VVj = S PVj musí být pyj = py*. 3=1 Í=l Tedy pro (p*, x*,y) platí (C). Navíc n m n m n J2x* = Y.y*3 + Y,e* -z = Íly* + 5ľe*> i=l j=l i=l j=l i=l tedy (p*,x*,y) splňuje podmínku (A) dosažitelnosti stavu ekonomiky. Protože platí podmínky (A), (B) a (C), je stav (p*, x*, y) rovnovážným stavem ekonomiky a Věta 4.8 je tím dokázána. Než začnu dokazovat vlastní Arrowovu-Debreuovu větu musím ještě ukázat lemma o vlastnostech množin Yi a Y. Lemma 4.9 Nechť Y* značí uzávěr konvexního obalu množiny Yj, neboli Y* = Yj. Za předpokladu, že ^2 Yj = Y je konvexní a uzavřená, platí m 3=1 Důkaz: 122 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY Podle lemmatu 1.4 je m m m i=i j=i i=i "C" Podle lemmatu 1.5 platí, že m m _ m j=i j=i j=i Pro výraz ^ Yj platí m m E í = E^ = y = r = F a lemma. 4.9 je tedy dokázáno. Důkaz Arrowovy-Debreuovy věty Rozdíl mezi Arrowovou-Debreuovou větou a větou 4.6 spočívá v podmínkách kladených na množiny Yj. Yj m obecně nejsou ani konvexní ani uzavřené, pouze o ^2 Yj se předpokládá, že je uzavřená a konvexní. _ j=1 Nyní místo Yj uvažujme Y* = Yj. Platí m in YjCY* a Evr Y Ev/- 4. ROVNOVÁHA EKONOMIKY 123 Aplikujeme-li větu 4.6 na množiny Y*, obdržíme rovnovážný stav (x*, y*,p). Podle lemmatu 4.9 pro y* E Y* platí, že m m Tedy existují y j E Y j takové, že m m Z^- = Z^ (*) i=i j=i Dokážeme, že platí rovněž P-Vj=P-y*j- (**) Vynásobením výrazu (*) cenovým vektorem p dostaneme p-CZ,y]) = p-CZ,Vi)- (+) 3=1 3=1 p ■ y* je maximum funkce p ■ y j na množině Y* D Yj, pro všechna j. Platí tedy P-y) >p-yj- Aby platila rovnost (+), musí být splněna i rovnost (**). Nyní ověříme, že stav (x*,yj,p) splňuje podmínky rovnováhy, víme-li, že (x*,y*,p) je rovnovážný stav a že m m p-y) =p-yj a E ž/í = E yj- 3=1 3=1 124 KAPITOLA 3. TEORIE EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY n m n m n (A) = + = + i=l j=l i=l j=l i=l (B) x* maximalizuje u,i na množině Bi = {x G Xi] p-x 0)} bude pro nás hrát dvojí roli: nejprve jakožto tzv. komoditní prostor, přičemž komodita je produkt nebo služba určená k výměně; prvek x G Rl+ se nazývá komoditní svazek. Tedy x je Z-tice (x1,... ,xl) tak, že první souřadnice měří množství komodity číslo jedna, atd. Ale zároveň je Rl+ bez počátku prostor cenových systémů; reprezentuje-li tedy p G Rl+ — {0},p = (p1,... ,pl) množinu cen l komodit, je p1 cena jednotky první komodity, atd. 125 126 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE 100* Rovnováha mezi \ nabídkou a poptávkou 60 40 204 „* / p>:_ d od ir 20 ~:bo 40 Obrázek 4.1: Rovnovážný stav Předpokládejme, že studovaná ekonomika má (axiomaticky) zavedené funkce poptávky a nabídky D, S : Rl+ — {0} —> Rl+ z množiny cenových systémů do prostoru komodit. Pak D (p) je komoditní svazek požadovaný ekonomikou (nebo jejími účastníky celkově) za ceny p. Jinak řečeno, za ceny p = (p1,... ,pl) lze koupit komodity v množství D (p). Problém nalezení rovnovážného stavu je nalezení a studium (za vhodných podmínek na D, S) cenového systému p* G Rl+ — {0} tak, že D (p*) = S (p*). Položme Z (p) = D (p) - S (p). Pak Z : R\ — {0} —)• R1 se nazývá nadbytek poptávky a budeme tedy hledat řešení p* G R\ — {0} tak, že Z(p*)=0. (1.1) V této části vložíme na Z podmínky, které jsou přiměřené z hlediska ekonomie a pak ukážeme existenci 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 127 řešení rovnice 1.1 pomocí konstruktivního postupu aparátem diferenciálního počtu. To vše provedeme, aniž bychom přešli k mikroekonomickým základům nadbytku poptávky. V další části podáme klasický mikroekonomický přístup k nadbytku poptávky pomocí agregace poptávkových funkcí individuálních účastníků ekonomiky pro případ ekonomiky úplné směny. Podmínky na funkci nadbytku poptávky jsou Z : Rl+ — {0} —>• Rl je spojitá funkce, (1.2) Z{\p) = Z(p) pro všechna A > 0. (1-3) Tedy Z je homogenní funkce; jestliže se ceny každé komodity úměrně zvětšují či zmenšují, funkce nadbytku poptávky se nemění. To ovšem předpokládá, že se pohybujeme uvnitř úplné nebo uzavřené ekonomiky tak, že ceny komodit nejsou závislé na komoditě ležící mimo systém. i p-Z(p)=0tj. ]Tp^(p) = 0. (1.4) 1=1 Výše uvedená rovnost tvrdí, že hodnota funkce nadbytku poptávky je nula a rovnost 1.4 se nazývá Walrasův zákon. Tuto rovnost můžeme chápat tak, že poptávka v naší ekonomice je v souladu se zdroji ekonomiky. Jedná se o omezený rozpočet spotřeby. Celková hodnota poptávky je rovna celkové hodnotě nabídky účastníky ekonomiky. Bezpochyby je Walrasův zákon nejpropracovanější ze všech podmínek, které jsme vložili na funkci Z. Mikroekonomické opodstatnění podáme později. Než zavedeme naší poslední podmínku na funkci nadbytku poptávky, podáme geometrickou interpretaci předchozích podmínek. Buď S1^1 = {p G Rl+ : ||p||2 = E!=i(ř'í)2 = 1} Prostor normalizovaných cenových systémů. Na základě homogenity funkce Z se stačí omezit na její restrikci na množinu Sl+ľ. Podle Walrasova zákona je funkce Z kolmá k prostoru Sl+ľ v každém bodě; jinak řečeno p ■ Z{p) = 0 neříká nic jiného, než že vektor p je kolmý k vektoru Z{p). Můžeme tedy považovat Z za pole tečných vektorů na množině Sl+ľ. Dále definujeme S1'1 = {p G Rl : ||p||2 = E!=i(p*)2 = 1} 128 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Poslední podmínka na funkci nadbytku poptávky je hraniční podmínka: Z'1 > 0, jestliže p1 = 0. (1.5) Připomeňme, že Z (p) = (Z1 (p),..., Z1 (p)) a p = (p1,...,p1). Podmínka 1.5 můžeme být jednoduše interpretována následovně: je-li i-tá komodita volná (je volně k dispozici, protože její cena je nulová), pak zaručeně pro ni bude funkce nadbytku poptávky nezáporná. V našem modelu mají komodity pozitivní hodnotu. Věta 1.1 Jestliže je funkce nadbytku poptávky Z : Rl+ — {0} —> Rl spojitá, homogenní, splňuje Walrasův zákon a hraniční podmínku tj. podmínky 1.2, 1.3, 1.4 a 1-5, pak existuje cenový systém p* G Rl+ — {0} tak, že Z(p*) = 0. Nalezení cenového systému p* bude provedeno konstruktivně. Důkaz věty 1.1 bude proveden pomocí vět 1.2 a 1.7. Věta 1.2 Buď f : Dl Rl spojité zobrazení splňující následující hraniční podmínku {Bd) Pokud je x G ôDl, pak f (x) není ve tvaru fix pro žádné fi > 0. Pak existuje prvek x* G Dl tak, že platí f [x*] = 0. Přitom D1 = {x G Rl : \\x\\2 = ^=1(^)2 < 1} a ÔDl = S1'1 = {xeRl : \\x\\2 = E!=i(^)2 = !}■ Obecně pak Dlr = {x G R1 : \\x\\2 = E!=i(^)2 < r2) a SDÍ = {x e Rl : \\x\\2 = E!=i(^)2 = r2) Pro všechna r kladná. Přitom speciálně máme hladké zobrazení : Sl~ľ —> Dl~ľ C R1^1 definované předpisem ji-i(x1, ...,xi) = fa,... ,xř_i). Pro důkaz věty 1.2 použijeme dva hlavní výsledky globální analýzy a jejich aplikace pro ekonomii - tj. Sardovu věta a věta o implicitní funkci (věta o inverzním zobrazení). Abychom mohli vyslovit tyto věty, je nutno využít ideu singulárního bodu (kritického bodu) diferenciovatelného zobrazení / : U —> Rn, kde U je otevřená podmnožina kartézského prostoru Rk. Řekneme, že / je třídy Cr, jestliže všechny derivace do řádu 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 129 r včetně existují a jsou spojité. Pro prvek x G U je derivace D f (x) v bodě x lineární zobrazení z Rk do Rn (tj. matice parciálních derivací). Pak říkáme, že x se nazývá singulární (kritický) bod zobrazení f, , pokud tato derivace není surjektivní zobrazení. Poznamenejme, že pokud k < n, jsou všechny prvky z £7 singulární. Singulární hodnoty jsou jednoduše obrazy vzhledem k / všech singulárních bodů; prvek y G Rn se nazývá regulární hodnota, pokud není singulární hodnota. Věta 1.3 Věta o implicitní funkci. Je-li y G Rn regulární hodnota zobrazení f : U —> Rn, které je třídy C1, U otevřená v Rk, pak buď f^1{y) je prázdná množina nebo f~1{y) = V, V je podvarieta U dimenze k — n. Přitom V je podvarieta U dimenze k — n, pokud pro každé x E V můžeme najít diferencovatelné zobrazení h : N (x) -}Os následujícími vlastnostmi: 1. h má diferencovatelnou inverzi, 2. N(x) je otevřené okolí bodu x G U, 3. O je otevřená množina obsahující bod 0 G Rk, 4. h(N(x) H V) = O H C, kde C je systém souřadnic v Rk dimenze m. Věta 1.4 Věta o inverzní funkci. Nechi Gi(x\,..., xn, y\,..., y^), i = 1,..., k jsou funkce třídy C, r > 1, definované na okolí W bodu {a\,..., an, b\,... ,bk) G Rn+k, které splňujíGi{a\,..., an, b\,..., bk) = 0 a Pak existují okolíU bodu (a1;..., an) G Rn a okolí V bodu ... ,bk) G Rk tak, že U xV C W a ke každému bodu (xi,..., xn) G U existuje právě jeden bod (y1}..., y^) G V, pro nějž platí Gí(x1} ..., xn, y1}..., y^) = 0. Takto určené funkce yri = fi(xi,..., xn) jsou rovněž třídy Cr. Občas o nich mluvíme jakožto o řešeních soustavy rovnic G i = 0. (1.6) 130 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Věta 1.5 Sardova věta. Je-li zobrazeni f : U —> Rn, U otevřená v Rk, dostatečně diferencovatelné (třídy Cr, r > 0 a r > k — n), pak množina singulárních hodnot má míru nula. Připomínáme, že množina S C Rn má (Lebesgueovu) míru nula, jestliže pro každé e > 0 existuje taková posloupnost krychlí Zi, i = 1, 2,..., že S C Zi a pro objemy vo\Zi těchto krychlí platí volZj < e. Sjednocení spočetně mnoha množin míry nula má opět míru nula. Poznamenejme, že Sardova věta má sice jednotnou formulaci, ale z obsahového hlediska se dělí na tři významově odlišné případy. Při k < n celá množina f{U) sestává z kritických hodnot - zde vkládáme prostor menší dimenze do prostoru větší dimenze a pak má elementárně f{U) míru nula. I pro k = n jde o jednoduché tvrzení, které lze snadno dokázat přímo. Teprve případ n < k představuje obtížnou část Sardovy věty. Přitom o množině kritických hodnot hladkého zobrazení nelze tvrdit více, než že má míru nula. Tato množina může být například hustá v Rn. Důkaz Sardovy věty lze najít například v monografii [18]. Má-li množina singulárních hodnot míru nula, řekneme, že množina regulárních bodů má plnou míru. Obě z výše uvedených vět lze přímo aplikovat na případ / : U —> C, kde U je podvarieta dimenze k prostoru Rm a V je podvarieta dimenze n prostoru Rq. V tomto případě je derivace D/(rr) : TX(U) —> Tf(x)(V) lineární zobrazení na tečném prostoru. Pro důkaz věty 1.2 uvažme funkci h : Dl —>• Rl třídy C2, která splňuje následující hraniční podmínku: (SB) f(x) = —x pro všechna x G ôDl. Problém je pak najít x* G Dl tak, že platí h{x*) = 0. Abychom jej vyřešili, definujme pomocné zobrazení g : D1 — E —)• S1^1 předpisem g(x) = j]7^j||? kde E = {x G D1 : h (x) = 0} je množina řešení naší rovnosti. Evidentně, g je třídy C2 a tedy dle Sardovy věty dostáváme, že množina regulárních hodnot má plnou míru v Sl~ľ. Buď nyní y G Sl~ľ = SDl taková regulární hodnota tak, že g~ľ(y) je neprázdná množina (jinak by totiž měla množina g(Dl — E) = Sl~ľ míru nula, což je nemožné). Pak dle věty o implicitní funkci dostáváme, že g~ľ(y) je 1-dimenzionální podvarieta, která musí obsahovat — y podle hraniční podmínky (SB). Buď nyní V komponenta g^{y) obsahující prvek — y (totiž y G ÓD1 implikuje — y G ó~Dl, g{—y) = \\h\~^)\\ = = v)-Zejména tedy musí V být regulární křivka začínající v bodě — y a otevřenou v opačném konci. Připomeňme, 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 131 že křivka e se nazývá regulární křivka třídy Cs, jestliže ke každému bodu této křivky existuje na této křivce okolí, které je obloukem třídy Cs. Zároveň je průnik V H 5Dl = {—y} z hraniční podmínky (SB) a nutně je bod — y obsažen ve V pouze jednou jakožto počáteční bod, protože je V regulární v bodě —y. Speciálně je V uzavřená podmnožina D1 — E a tedy všechny její limitní body leží v E. Zejména tedy je množina E neprázdná a pokud začneme z bodu —y, musíme jednou dokonvergovat k E. Tím jsme podali geometrický konstruktivní důkaz existence bodu x* G Dl tak, že platí h{x*) =0. Poznamenejme, že pro přiblížení si konstruktivní povahy výše uvedeného řešení můžeme ukázat, že V je řešící křivka globální Newtonovy obyčejné rovnice Dh(x)^- = —\h(x), kde A = ±1 je vybráno tak, že má stejné znaménko jako Dh(x) a závisí na x. Je-li totiž derivace Dh(x) regulární, pak Eulerova metoda diskrétní aproximace nám dává Xn = Xn-! =F (D/l(xn_i))_1/l(xn_i), což není nic jiného, než Newtonova metoda pro řešení rovnice h{x) = 0. Nyní předpokládejme, že funkce h : Dl —>• Rl je pouze spojitá a stále splňuje h{x) = —x pro všechna x G SDl. Definujme nové spojité zobrazení ho : Dl2 —)• Rl předpisem ho(x) = h{x) pro ||rr|| < 1, ho(x) = —x pro ||rr|| > 1. Buď dále Si, i = 1, 2,..., oo posloupnost reálných čísel konvergující k nule. Pro každé i přirozené zkonstruujeme hladkou tj. C°° aproximaci hi funkce ho tak, že — /?-o(^)|| < £i- Buď dále 0. Ukažme konkrétní konstrukci funkce (J. 132 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Tato funkce je hladká. Pak fukce 0 takové přirozené číslo Íq, že — /io(^)|| < £ pro každé x E a a pro každé číslo i > Íq. Můžeme pak aplikovat výše uvedený výsledek na hi a pak tedy existuje Xi G ôDl2 tak, že hi{xi) = 0. Evidentně, Xi G SDl a zároveň Xi —> {x G Dl : h0(x) = 0} (lze se omezit na vybranou podposloupnost) tj. existuje x G SDl tak, že h{x) = 0. Totiž, pro všechna ô > 0 existuje i$ tak, že ||/i0(^i) — 0|| = ||(/io(^i) — hi{xi)) + {hi{xi) — 0)|| < ô pro všechna i > i$ tj. ||/i0(^)|| = 0. Dokažme nyní větu 1.2 v plné obecnosti. Buď tedy funkce / : Dl —^ Rl pouze spojitá a nechť splňuje podmínku (Bd). Definujme nové spojité zobrazení f q : D\ —> Rl takové, že f(x) = —x pro x G ôDl2 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 133 předpisem f (x) = f {x) pro ||rr|| < 1, f (x) = (2-\\x\\)f(x/\\x\\) + (\\x\\-l)(-x) pro ||rr|| > 1. Z předcházejících výsledků pak víme, že existuje x* G ôDl2 tak , že f{x) = 0. Nutně pak < 1. Jinak by totiž nastal spor s hraniční podmínkou {Bd). Tedy existuje x* G ôDl tak , že f[x) = 0, čímž je důkaz věty 1.2 ukončen. Abychom mohli získat hlavní výsledek - větu 1.1, bude nutno modifikovat větu 1.2 z koulí na simplexy. Definujme A1 = {peRl+:ZLiPt = l} ÍAi = {peA1:(3i){pi = 0)} A0 = {zeRl:Zli=iPi = 0} a pc = (1//,..., 1//) G A1; pc je střed simplexu Ax. V dalším budeme pracovat se spojitými zobrazeními ip : Ax —y A0, která budou splňovat následující hraniční podmínku: (B) Pokud je p G SAi, pak 0. To neříká nic jiného, než že pro hraniční bod p neleží • D1^1 a zobrazení r]d '■ D1^ —> D; přitom Vl Vi rjD(x1,... ,xi-ľ) = (xi,...,^-!,^)^^). 134 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Důkaz. Nejprve ukážeme, že obě zobrazení jsou korektně definovaná tj. že platí ttd(xi, ... ,xi) E Dj_ pro Vi (xi,... ,xi) E r]rj{DlY) a Vd(xi, ■ ■ ■,xi-i) £ Vd(D1Y) pro (xi,...,xi_i) E Dl\_~ ■ K tomu stačí ověřit, že V VI VI \\tt£)(xi, ... ,xi)\ \ < a 11^(^1) • • • j^ř-i)!! < 1- To ale vede na maximalizační úlohy max Ei=i xí za podmínek (P, t1'1 x2 < ± e!=i xí = q maxE!=l^2 + (E!=í^)2 za podmínky (pv) t1'1 x2 < i První je pak triviálně splněna a druhá je ekvivalentní s maximalizačními úlohou maxEt1i^2 + (Etl^)2 za podmínky (P'»?) Et;-2-1 i ■ Pomocí variačního počtu pak snadno ověříme, že maximum úlohy (p\) nastává např. v bodu x\ = x2 = xi-i = i 1 a má hodnotu 1. Přitom je vidět, že složení obou těchto zobrazení nám dává identitu jak na D1^ tak na t]d(D1~i})- Navíc V jsou tato dvě zobrazení lineární izomorfizmy mezi Sq a 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 135 Věta 1.7 Buď ip : Ai —y Aq spojité zobrazeni splňující následující hraniční podmínku (B). Pak existuje prvek p* G Ax tak, že platí ip{p*) = 0. Abychom dokázali větu 1.7 pomocí věty 1.2, budeme konstruovat homeomorfismus zachovávající paprsky. Definujme tedy zobrazení h : Ai —y Aq předpisem h(p) = p — pc; dále buď A : Ao — {0} —y R+ zobrazení definované předpisem \{p) = — j ■ m/p. ■ Položme pak tp : D —>• h(Ai) jakožto ip(p) = \(-^)p. Evidentně, tp je zobrazení zachovávající paprsky. Uvažujme nyní kompozici a : D —y Aq, D % h(A1) ^ A1 4 A0. Tvrdíme pak, že a splňuje hraniční podmínku {Bjj) věty 1.2. Buď tedy q G ô D a nechť p = ip{q) +pc = h^ľ(ifj(q)). Ale dle podmínky (B) neexistuje žádné kladné fi tak, že 0 dle podmínky 1.5. Je tedy podmínka (B) věty 1.7 splněna pro zobrazení ip. Existuje tedy p* G Ax tak, že f{p*) = 0. Tedy Z(p*) = Yli=i zKp*)p*■ Uvažme nyní skalární součin obou stran rovnosti s vektorem Z(p*). Pak \\Z(p*)\\2 = Z(p*) ■ Z(p*) = Y!í=1 Zi{jf) (p* • Z(p*)) = 0 dle 1.4. Tedy i Z(p*) = 0 tj. věta 1.1 platí. Je však vhodné připomenout, že přirozený rovnovážný stav může nastat i v případě, že D{p*) ^ S{p*). Uveďme následující graf 4.2 jednoho trhu pro cenu p = 0. Tedy pro přebytek poptávky je někdy cenový vektor p* G Rl+ — {0} s vlastností Z(p*) < 0 nazýván 136 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Obrázek 4.2: Přirozený rovnovážný stav rovnovážným stavem. Jinak můžeme o takovémto p* G Rl+ — {0} uvažovat jakožto o rovnováze k volnému použití, pro pozdější se zbavení přebytku nabídky pak máme rovnovážný stav Z(p) = 0. Tvrzení 1.8 Pokud funkce Z : Rl+ — {0} —> Rl splňuje Walrasův zákon 1.4 a zároveň Z(p*) < 0, pak pro všechna i bud' Zl(p*) = 0 nebo p*% = 0. Totiž jinak by existoval index i tak , že Zl(p*) < 0 a p*% > 0. Zároveň pro všechna i máme Zí(p*)p*'t < 0 a tedy Eí=i Zt(p*)p*1 < 0, což je spor s Walrasovým zákonem. 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 137 Věta 1.9 ( Debreu-Gale-Nikaidô) Buď funkce Z : Rl+ — {0} —> Rl spojitá funkce splňující slabý tvar Wa-Irasova zákona Pak existuje cenový systém p* G Rl+ — {0} tak, že Z(p*) < 0. Poznamenejme, že věta 1.9 implikuje větu 1.1. Totiž, splňuje-li funkce Z předpoklady věty 1.1, pak dle věty 1.9 existuje cenový systém p* G Rl+ — {0} tak, že Z(p*) < 0. Podle tvrzení 1.8 pro všechna i buď Z'l(p*) = 0 nebo p*1 = 0. Ale dle hraniční podmínky 1.5 je pro p*% = 0 nutně Z'l(p*) > 0 tj. Z'l(p*) = 0 a tedy celkem Z(p*) = 0. Abychom mohli dokázat větu 1.9, zavedeme funkci (3 : R —>• R předpisem /3(t) = 0 pro t < 0 a /3(t) = t pro t > 0. Definujme dále funkci Z : Rl+ — {0} —> Rl následovně: Z (p) = /3(Z%(p)) pro všechny indexy i a cenové vektory p. Podobně jako v důkazu věty 1.1 definujme zobrazení ip : Ax —y A0 předpisem 0 pro t > 0 a P(ť)t = 0 pro t < 0 . Nutně tedy Z\p*) < 0 pro všechna i tj. Z(p*) < 0 tj. věta 1.9 platí. Jiné přirozené zobecnění vět 1.1 a 1.9 bude pro případ, že pl —> 0 implikuje Z\p) —> oo (viz 4.3). Tato věta 1.10 je přirozeným zobecněním Arrow-Hahnovy věty. Předpokládejme nyní, že funkce přebytku poptávky Z je definována pouze na jisté podmnožině X> množiny Rl+ — {0} tak, že X> obsahuje množinu int(Rl+ — {0}) a pokud p E V, pak Xp G T> pro všechna A kladná. Uvažme funkci Z s následujícími vlastnostmi: p ■ Z (p) < 0. (1.7) Z : V —^ R je spojitá funkce, Z(\p) = Z{p) pro všechna A > 0 a pro všechna p G T>, P • Z(p) < 0 pro všechna p G T>, (1.8) (1.9) (1.10) 138 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE 100 p SOBOVI; 20: 0 0 10 20 30 40 Obrázek 4.3: Přirozený rovnovážný stav Pk p & V implikuje ^ Z\pk) ->• oo. (1.11) Věta 1.10 Buď funkce Z : V —>• R1 funkce splňující 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11. Pak existuje cenový systém p* E V tak, že Z{p*) < 0. Uvažme funkci (5 : R —>• R stejně jako v důkazu věty 1.9. Definujme pak novou funkci a : R —>• R v 1. EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 139 závislosti na pevně zvoleném kladném číslu c předpisem {0 pro t < 0, 1 pro t > c, 1 jinak. Definujme pomocnou funkci Z : Rl+ — {0} —> Rl následovně: {1 pokud p T>, (l " " (E5=i Zi{p))) P{Z\p)) + a (e5=i #(p)) Jmak pro všechny indexy i a cenové vektory p. Podobně jako v důkazu věty 1.1 a 1.9 definujme zobrazení ip : Ai —y Aq předpisem íp(p) = Z{p) — (Eí=i ~Z\pÝJ p- Pak v9 splňuje předpoklady věty 1.7. Existuje tedy vektor p* G Ai tak, že . Uvažme nyní skalární součin obou stran rovnosti s vektorem Z(p*). Pak stejně jako v důkazu 1.9 dle 1.10 dostaneme Z(p*) ■ Z(p*) < 0. Tedy É ( 1 " a (ÉZJ'(P*) ) ) ^Z\p*))Z\p*) + a (Í2z3(p*) ) XZ>*) ^ °- «=1 V \i=l / / \i=l / i=l Protože pro všechna reálná t platí ta(t) > 0, nutně pak Tedy 1 -a (jLzi^yj j2^(p*))z^P*) < o. 140 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Zároveň pro všechna reálná t platí (1 - a(t)) > 0 tj. Yli=1 P{Z\p*)) • Z\p*) < 0. Ale zřejmě (5(t)t > 0 pro t > 0 a (5(t)t = 0 pro t < 0 . Nutně tedy Z'l(p*) < 0 pro všechna i tj. Z(p*) < 0. Nechť p* g V. Pak Ž(p*) = (!,...,!) tj. Ip* = Ž (p*) = (!,...,!) tj. p* = pc E V, spor. Tedy věta 1.9 2 Ekonomika úplné směny: existence rovnovážného stavu Tento odstavec se skládá ze dvou částí; v první z nich budeme uvažovat silnější předpoklady s důrazem na diferenciovatelnost, přičemž v druhém budeme pracovat v obecnějším rámci. Existenční tvrzení jsou speciálními případy Arrow-Debreuovy věty. Uvažme nejprve jednoho účastníka s prostorem komodit P = {x G R1 : x = (x1,..., x1), (\/i)(x% > 0)} C Rl+. Tedy prvek x E P bude reprezentovat svazek komodit spojených s tímto ekonomickým agentem. Budeme předpokládat, že preferenční relace na P je reprezentována funkcí užitečnosti u : P —^ R tak, že účastník preferuje prvek x E P před prvkem y E P přesně tehdy, když u(x) > u(y). Podmnožiny u~ľ(c) pro c E R (vrstevnice funkce u) nazýváme indiferentními křivkami (pro preferenční relaci). V dalším budeme předpokládat silný předpoklad klasického typu: Buď nyní g(x) orientovaný jednotkový normálový vektor k indiferentní křivce u 1(c) pro c E R tak, že c = u(x). Můžeme pak vyjádřit g{x) jakožto Tr^^Mn, kde gradw = (^t, • • •, jzj)- Pak je g : P —ř Sl zobrazení třídy C1. Toto zobrazení hraje základní roli v analýze preferencí spotřebitele a teorie poptávky. Náš další předpoklad je monotonie neboli více je lépe tj. platí. Funkce u : P —> R je třídy C2. Tedy 2.2 znamená, že všechny parciální derivace t-t jsou kladné. 2. EKONOMIKA ÚPLNÉ SMĚNY: EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 141 Naše třetí hypotéza je konvexnost a to opět v silném a diferencovatelném tvaru. Pro x E P je derivace ľ) g (x) lineární zobrazení z R1 do kolmé nadroviny g{x)L k vektoru g (x). Můžeme pak uvažovat o g{x)L jakožto o tečném prostom Tg^(Sl^ľ) nebo o tečné rovině k indiferentní křivce. Pak restrikce ľ)g(x) z nadroviny g{x)L do sebe je symetrické lineárni zobrazení. Restrikce T)g(x) z nadroviny g(x)± do sebe má záporné vlastní hodnoty. (2-3) Ekvivalentní podmínka k 2.3 je Druhá derivace D2u(x) jakožto symetrická bilineární forma omezená na tečnou nadrovinu g{x)L k indiferentní křivce v bodě x je (2-4) negativně definitní. Ekvivalenci mezi 2.3 a 2.4 lze ukázat následovně: buď ~Du(x) : R1 —>• R buď první derivace funkce u v bodě x s jádrem označeným Ker (Du(x)). Pak máme v ■ g{x) = ||gr"^|^|| ■ Dále v E Ker (Du(x)) právě tehdy, když v ■ grad-u(rr) = 0 tj. v ■ g{x) = 0 tj. v E g(x)±. Nechť vi,v2 E Ker (Du(x)). Pak v\ ■ g(x) = yj~j^(|yjp Derivujeme-li obě strany podle x, máme D2u(x)(vi)\\giadu(x)\\ — ~Du(x)(vi)~D (\\gradu(x) |graďu(:r)||2 e)2u(x)(vi) Tedy Vl ■ Dg(x) - ■ Připomeňme následující dvě tvrzení z lineární algebry ([5]). Tvrzení 2.1 Buď A matice nad tělesem T, majících n vlastních hodnot (ne nutně navzájem různých). Pak matice A je podobná Jordánově matici. 142 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Tvrzení 2.2 Buď f2 regulárni kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru Vn a buď A její matice vzhledem k bázi M prostoru Vn. Označme Di,i = l,...,n determinant dílčí submatice matice A, která vznikne z matice A vynecháním posledních n — i řádků a posledních n — i sloupců. Pak f2 je pozitivně definitní, právě když D i > O, i = 1,..., n. Dále je vhodné si uvědomit, že forma f2 je pozitivně definitní, právě když — f2 je negativně definitní. Nyní můžeme dokončit důkaz ekvivalence podmínek 2.3 a 2.4. Totiž, má-li matice ľ)g(x) všechny vlastní hodnoty záporné, má v odpovídající bázi Jordánův (trojúhelníkový) tvar B tak, že na diagonále jsou záporná čísla. Položme A := —B. Pak A má na diagonále pouze kladná čísla a dle 2.2 je odpovídající forma k A pozitivně definitní, tj. odpovídající forma k T) g (x) negativně definitní. Obráceně, buď forma ||^ad^)|| negativně definitní, A vlastní číslo matice D g (x) a v příslušný nenulový vlastní vektor. Pak Tedy A < 0, což se mělo dokázat. Ukažme následující tvrzení. Tvrzení 2.3 Pokud funkce užitečnosti u : P —>• R splňuje 2.3, je nutně it_1([c, oo)) ostře konvexní pro všechna c G R. Ukážeme, že minimum funkce u na každém intervalu nemůže nastat ve vnitřku tohoto intervalu. Přesněji, nechť x,x' G P tak, že u{x) > c, u(x') > c. Nechť dále S = {y : y = \x + (l — X)x', 0 < A < 1} je odpovídající interval s krajními body x, x' G P. Nechť dále x* = X*x + (1 - X*)x', 0 < A* < 1 je bod minima pro funkci u na S. Pak x* = x' — \*{x' — x). Navíc Du(x*)(v) = 0 pro v = x' — x. Protože x* je bod minima, nutně D2u(x*)(v, v) > 0. To je však spor 2.4, že D2u(x*) < 0 na Ker (Du(x*)). Je proto u větší než c na S. Závěrečná podmínka na funkci u je hraniční podmínka a jejím důsledkem je zbavení se případných problémů spojených s hranicí podprostoru R\: Indiferentní křivka u ľ(c) je uzavřená v R pro všechna c. (2.5) 2. EKONOMIKA ÚPLNÉ SMĚNY: EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 143 To lze interpretovat jakožto podmínku, že účastník si přeje vlastnit od každé komodity alespoň něco. Je například použita v práci [7] (1959). Odvoďme si nyní funkci poptávky od funkce užitečností účastníka. Předpokládejme proto, že máme dán cenový systém p G intRl+ = P a vektor bohatství w G R+. Tato definice R+ je vhodná ačkoliv ne zcela důsledná. Uvažujme dále rozpočtovou množinu BPyW = {x G P : p ■ x = w}. Můžeme pak za BPyW považovat za množinu komodit, které získáme za ceny p pro bohatství w. Poptávka f(p,w) je komoditní svazek maximalizující užitečnost na množině BPjW. Poznamenejme, že BPjW je ohraničená a neprázdná a tedy funkce u omezená na BPjW má kompaktní indiferentní křivky. Zejména tedy má funkce u na BPjW maximum, které je jediné dle předpokladu konvexity 2.3 a dle 2.3. Je tedy x = f(p,w) poptávka našeho účastníka při cenách p a bohatství w. Přitom je vidět, že poptávka je spojité zobrazení / : inti?^_ —> R+ —> P. Tedy x = f(p,w) je maximum funkce u na BP)W, derivace Du(x) omezená na BPjW je nulová neboli platí g(x) = j^. Z definice p ■ f(p,w) = w a f(Xp,Xw) = f(p,w) pro všechna A > 0. Celkem pak: Tvrzení 2.4 Individuální poptávka je spojité zobrazení f : intRl+ —> R+ —^ P a splňuje 1. g(f(p,w)) = ílu, 2. p ■ f(p,w) = w, 3. f(\p, \w) = f(p,w) pro všechna A > 0. Dále ukážeme následující známou skutečnost [8]. Tvrzení 2.5 Funkce poptávky je třídy C1. Obecné, funkce poptávky je stejné třídy Cr jakožto funkce g. Poznamenejme nejprve, že z tvrzení 2.4 máme zobrazení (p : P -> (intSÍT1) x R+, ip(x) = (g (x), x ■ g (x)), 144 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE což je inverzní zobrazení k restrikci / na množinu (intS^ ) x R+. Protože p je třídy C1, bude / třídy C1 dle věty o implicitní funkci 1.4, pokud derivace Dp(x) je regulární pro všechna x E P. Abychom ukázali, že Dp(x) je regulárni, stačí ověřit, že Dp(x)(i]) = 0 implikuje rj = 0. Nechť tedy rj G R1. Pak D(p(x)(r]) = (D g (x) (r]), r] ■ g (x) + x ■ Bg(x)(r])). Je-li tedy Díp(x)(rj) = 0 , pak Dg(x)(rj) = 0 tj. rj G KerDg(rr). Ale i rj ■ g{x) = 0 tj. rj G ^(a;)^. Zároveň víme z 2.3 že restrikce D g (x) z nadroviny ^(a;)^ je regulárni tj. KerDg(rr) H ^(a;)^ = {0}. Tedy rj = 0. Z výše uvedeného okamžitě plyne, že můžeme psát R1 = KerDg(rr) © g{x)L tj. každý vektor z i?' lze jednoznačně zapsat jakožto rj = rji + f?2? • g{x) = 0, D (7(0;) (772) = 0. Obrázek 4.4: Funkce užitku a poptávka 2. EKONOMIKA ÚPLNÉ SMĚNY: EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 145 Můžeme pak orientovat přímku KerDg(rr) tak, že řekneme, že vektor rj G KerDg(rr) je pozitivní, pokud rj ■ g{x) > 0. Zároveň máme: protože T)g(x) je vždy regulární, je i křivka g^1{p) s p = g (x), p G Sl+ľ pevné, regulární. Mluvíme pak o křivce rozvoje příjmů. V bodě x G P je tečná přímka k g^1{p) právě přímka KerDg(rr) (z definice). Tuto křivku lze pak interpretovat jakožto křivku poptávky rostoucí s bohatstvím při pevných cenách. Můžeme pak uvažovat bohatství jakožto funkci w : P —>• R definovanou jako w(x) = x-g{x). Pak w je ostře rostoucí podél každé křivky rozvoje příjmů. Skutečně, křivka g^1{p) je diferencovatelně parametrizovatelná podle w. Předpokládejme nyní, že bohatství účastníka pochází z obdaření e z P a je funkcí w = p ■ e ceny p. Poslední vlastnost poptávky je dána tvrzením: Tvrzení 2.6 Buď p,i posloupnost cenových vektorů ležící v intP^ konvergující k p* G SRl+ pro i —> oo. Pak \\f(Pí,Pí • e)|| -ř oo pro i -ř oo. Důkaz. Nechť neplatí, že \\f(pi,Pi • e)|| —> oo pro i —> oo. Pak pro nějaké x* G Rl+ existuje vhodná podpo-sloupnost ij, j = 1,2,..., oo tak, že f{pij,Pij • e) —> x*. Totiž pak všechny prvky f{pij,Pij • e) leží v nějaké kompaktní kouli tj. z této posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Můžeme tedy v dalším bez újmy na obecnosti předpokládat, že posloupnost f(j?i,Pi • e) —> x*. Pro každé i položme Wi = Pí • e. Pak e G BPitW; tj. u(f(j?i,pi ■ e)) > u{e). Speciálně f(j?i,Pi • e) G it_1([it(e), oo)). Z uzavřenosti množiny ií_1([tí(e), oo)) pak nutně x* G it_1([it(e), oo)). Dle 2.5 máme, že x* G P. Proto je g{x*) definováno a rovno p*. Ale protože p* G SRl+ dostáváme spor s naším předpokladem monotonie 2.2. Ekonomika úplné směny sestává z: m účastníků se stejným prostorem komodit P. Účastník i pro i = l,...,m má preference reprezentovány funkcí užitečnosti Ui : P —> R splňující podmínky 2.1, 2.2, 2.3 a 2.5. Zároveň předpokládejme, že každý účastník i má k dispozici obdaření G P. Tedy pro cenový systém Pí G Rl+ — {0} je bohatství účastníka i rovno p ■ e^. Můžeme pak interpretovat tento model jakožto ekonomii směny, ve které se každý účastník pokouší směnit své obdařené komodity za svazek komodit, který by zvýšil jeho uspokojení při omezení daným rozpočtem. Pojem ekonomiky lze představit následovně: 146 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Stav ekonomiky se skládá z alokace x G Pm, x = (x±,... ,xm) a cenového systému p,i G S+ . Alokace se nazývá přípustná, pokud = £ej. Tedy celkové zásoby ekonomiky ukládají omezení na alokace; neexistuje produkce. Stav (x,p) G Pm x Sl+ľ se nazývá konkurenční (Walrasovův) rovnovážný stav, pokud splňuje podmínky (A) a (B): (A) Z>i = £ei. což není nic jiného, než podmínka přípustnosti. (B) Pro všechna i, x,i maximalizuje u,i na množině zásob {y G P : p ■ y = p ■ e^} tj. x,i = f (p,p ■ e^). Poznamenejme, že podmínka (B) se nezmění (díky monotonii funkce u,i), jestliže množinu zásob nahradíme množinou {y G P : p ■ y < p ■ e^}. Dále připomeňme, že podmínku (B) lze nahradit podmínkami (BI) a (B2): (BI) p ■ Xi = p ■ Ci pro všechna i. (B2) Pro všechna i, Qí(xí) = Pí. Věta 2.7 Buď dána ekonomika úplné směny tj. m obchodníků s obdařeními Ci, 1 < i < m a preferencemi reprezentovanými funkcemi užitečnosti Ui : P —^ R splňujícími podmínky 2.1, 2.2, 2.3 a 2.5. Pak existuje rovnovážný stav ekonomiky tj. můžeme najít x,iEP,l Rl+ konstantní zobrazení, S{p) = £ej. Podobně klademe D : intf?^ — {0} —> Rl+ D{p) = ^2fi(p,p • &i), kde fi(p,p ■ je poptávka určená funkcí itj. Definujme nadbytek poptávky Z : intRl+ — {0} —> R1 předpisem Z (p) = D{p) — S (p). Poznamenejme, že rovnovážné podmínky (A) a (B) jsou splněny pro vektor (x,p) právě tehdy, když Z (p) = 0 a i; = fi(p,P • e«)- Budeme aplikovat větu 1.10. Ověřme, že jsou splněny podmínky 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11. Evidentně, Z je spojitá funkce, Z je homogenní, protože jak S tak D jsou homogenní funkce, Z splňuje slabý Walrasův zákon. Totiž zejména pro p G intR1, máme p- Z(p) =p- D(p) -p- S(p) = ^P- fi(p,p ■ et) - ^p-ei = ^(p ■xi-p-ei) = 0. 2. EKONOMIKA ÚPLNÉ SMĚNY: EXISTENCE ROVNOVÁŽNÉHO STAVU 147 Ověřme podmínku 1.11. Máme ukázat, že pk —> p ^ intf?^ implikuje Ej=i Z3\pk) —> oo. Ale to je právě tehdy, když ^ fi(Pk,Pk ' eí)J —> oo. Z tvrzení 2.6 máme, že pro každé i platí ' eí)\ \ oo pro k -ř oo tj. ^.=1 (fi(pk,Pk ■ čí)3) oo. Z nezápornosti /; pak nutně i ^V=1 fí(pk,Pk ■ e-i)3 oo. Celkem pak Ej E« fi(Pk,Pk ■ čí)j —> oo. Tedy existuje cenový vektor p* G intRl+ tak, že Z(p*) < 0. Z věty 1.8 pak nutně Z(p*) = 0. Věnujme se nyní ekonomice úplné směny takové, že budeme předpokládat pouze spojité preference. Uvažme nyní preference na celém prostoru komodit Rl+ reprezentované spojitými funkcemi u : Rl+ —> R. Nahraďme podmínky 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11 následujícím podmínkami: Funkce u : Rl+ —> R je spojitá. (2-6) u{\x + (1 — \)x') > c, pokud u(x), u{x') >caO• R, 1 < i < m splňující 2.6, 2.1 a obdaření Ci G P, 1 < i < m, existuje pak rovnovážný stav volného použití (x*,p*). Tedy 1- E^I || Eje«ll a položme Xc = Dc H Rl+. Definujme dále přidruženou funkci falešné poptávky f i : (Rl+ — {0} x Rl+ —y Xc) následovně: fi(p,w) := x0, u(x0) = m&x{uí(x) : x G BPtW}, 148 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE kde BP)W = {x G Xc : p ■ x < w}. Protože je množina BP)W kompaktní, konvexní a neprázdná, okamžitě plyne z ostré konvexity Ui, že je funkce fi(p,w) dobře definovaná. Věta 2.9 Funkce falešné poptávky f i : (Rl+ — {0} x Rl+ —y Xc) je spojitá, je homogenní tj. fi(\p,\w) = fi(p,w) pro všechna A > 0 a p ■ fi(p,w) < w. Zároveň, pokud \ \fí(p,w)\\ < c, pak maximum fi(p,w) funkce Ui existuje na množině l+ : p ■ x < w} ( pravdivá poptávka) a navíc platí fi(p,w) = fi(p,w). Důkaz. Je evidentní, že funkce falešné poptávky fi je spojitá, je homogenní a p ■ fi(p,w) < w. Ukážeme zbývající část věty. Nechť x,i = fi(p,w) tak, že \\fi(p,w)\\ < c. Uvažme x,i G Bp,w tak, že Ui{x,i) > Uí{xí). Nechť s = {y : y = \x,i + (1 — A)£j,0 < A < 1} je odpovídající interval s krajními body Xí,Xí. Pro všechna x\ ý Xí na množině sc\XC máme Ui{x'j) > Uí{xí) z ostré konvexity, což je spor s výběrem Xi jakožto bodu maxima funkce falešné poptávky. I Nyní definujme funkce Ď{p) = ^2ifi(p,p • e«), S(p) = ^V a a Ž : Rl+ — {0} —> Rl jakožto Ž(p) : = Ď{p) — S(p). Pak evidentně Ž splňuje slabý Walrasův zákon a tedy dle věty 1.9 existuje cenový vektor p tak, že Z(p) = 0. Položíme-li tedy Xi = fi(p,w), máme ^V^í = ^V a a | \fi(p, w)\ \ < c. Tedy dle 2.9 je nutně xi = fí(Piw) = fí(Piw) = xi- Zejména je tedy vektor [xi, ... ,xm,p) rovnovážným stavem volného použití ekonomiky úplné směny. | Předpokládejme nyní, že funkce užitku u,i : Rl+ —> R splňuje následující Podmínka nenasycenosti: Funkce u,i : Rl+ —> R nemá maximum. Pak můžeme bez újmy na obecnosti tvrdit, že vektor komodit fi(p,w) = x,i splňuje dokonce rovnost p-fi(p, w) = w. Jinak bychom totiž mohli vybrat komoditní vektor x* G Rl+ mimo BPjW tak, že u,i{x*) > Mj(žj), což je opět spor podmínky ostré konvexity a výběrem x i jakožto bodu maxima na BPjW. Celkem tedy dostaneme, že pro obvyklou funkci nadbytku poptávky Z(p) platí Walrasův zákon v rovnovážném stavu. 3. PARETOVA OPTIMALITA 149 3 Paretova optimalita Budeme nyní pracovat na nějaké otevřené množině W C Rn a funkcemi třídy C2 Ui : W —>• R, 1 < i < m. Můžeme pak W považovat za prostor stavů nějakého sdružení, přičemž členové tohoto sdružení mají preference reprezentované funkcemi užitku itj. Bod x G W se nazývá Paretovým optimem, pokud neexistuje žádný prvek y G W tak, že u,i{y) > u,i{x) pro všechna i a pro nějaké i0 uio{y) > uio(x). O takovém y říkáme, že dominuje stav x. Je-li m = 1, je Paretovo optimum právě obyčejné maximum. Bod x G W je lokálni Paretovo optimum, jestliže existuje okolí N bodu x a x je Paretovo optimum pro funkce užitku Ui : W —>• i?, 1 < i < m omezené na okolí iV. Bod x E W se nazývá sz/né Paretovo optimum, jestliže y E W splňuje ui{y) > Ui(x) pro všechna i, pak nutně x = y. Podobně, bod x G W se nazývá lokálni silné Paretovo optimum, jestliže existuje okolí N bodu x a x je silné Paretovo optimum pro funkce užitku itj : W —^ i?, 1 < i < m omezené na okolí iV. Poznamenejme, že tyto definice lze zavést obecně, např. pro libovolnou podmnožinu W C Rn. Věta 3.1 Bud' Ui : W —^ R, 1 < i < m, funkce třídy C2, kde W je otevřená podmnožina Rn. Je-li x G W lokální Paretovo optimum, existují nezáporná čísla \, ..., Xm > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že YJ^Dut(x) = 0. (3.1) i Pokud navíc platí, že \íD2Uí(x) je negativně definitní na (XiDui(x),..., XmDum(x))±, (3-2) i je x bod lokálního silného Paretova optima. Poznamenejme, že položíme-li m = 1, n = 1, je věta 3.1 standardní věta matematické analýzy funkcí jedné proměnné pro maximum. Je-li m = 1 a n libovolné, jedná se o případ maxima funkce více proměnných. 150 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Věta 3.2 Stiemkeho věta Proto, aby systém lineárních rovnic Ax = 0 měl kladné řešení x > 0,i G i?1 je nutné a dostatečné, aby byl průnik množin {ATp : p G Rn} a R™ — {0} prázdny. Věta 3.3 Tuckerova věta Systém lineárních rovnic Ax = 0,x > 0 a systém lineárních nerovnic ATp > 0 mají vždy dvojici řešení (x,p) takovou, že ATp + x > 0. Důkaz věty 3.1. Nechť Pos = {v G Rm : v = (vi,... ,vm),Vi > 0}, Pos příslušný uzávěr. Přitom u = (ui,... ,um) : W —> Rm. Buď x lokální Paretovo optimum a předpokládejme, že ImD-u(x) H Pos ^ 0. Pak existuje v G Rn tak, že Du(x)(v) G Pos. Dále buď a(t) křivka začínající v x, obsažená ve W taková, že c/(0) = v. Pak, z Taylorova rozvoje funkcí uÍ7 dostáváme, že existuje t0 tak, že pro všechna i a t < t0 je Ui(a(t)) = Ui(a(0)) + tĽu(x)(v)i + i?i(í)í, kde -ř 0 pro t ->• 0, Díí^)^), > i?i(í)j tj. Mj(a(í)) > Ui(a(0)) = Ui(x) tj. x není Paretovo lokální optimum. Nutně tedy \mDu(x) fl Pos = 0. Předpokládejme nyní, že rovnice A • Du(x) = 0 má pouze triviální nezáporné řešení. Pak dle 3.3 platí, že existuje vektor v G Rn tak, že Du(x)(v) G Pos, což není možné. Tedy rovnice A • Du(x) = 0 má netriviální nezáporné řešení, čímž je dokázána první část věty. Ukažme výše uvedené přímo pomocí aparátu lineárního programování: Primární úloha Em \ i=l A* za podmínek (PU) (Dmi(x), .. .,Ľum(x)) ■ 0 \ Am y A, > 0 3. PARETOVA OPTIMALITA 151 a duální úloha min Yľj=i 0 ' v za podmínky (DU) / 1 \ (vu ... ,vn) ■ (Díii(ar),... ,Dum(x)) > V 1 / Protože však primární úloha je neomezená právě tehdy, když existuje netriviální nezáporný vektor A splňující A • Du(x) = 0 a duální úloha nemá přípustné řešení právě tehdy, když lmDu(x) H Pos = 0, máme z věty o dualitě první část naší věty. Předpokládejme nyní, že druhá část naší věty platí pro případ Aj > 0, 1 < i < m a uvažme obecný případ. Přečíslujme indexy tak, že A« > 0, 1 < i < k, A« = 0, k + 1 < i < m. Pak podmínky 3.1 a 3.2 jsou tytéž pro optimalizaci ui,..., um v bodě x a optimalizaci ui,..., uk v bodě x. Protože ale dle předpokladu je věta platná v tomto případě, je x lokální silné Paretovo optimum v bodě x pro funkce u1}..., uk. Je tedy x lokální silné Paretovo optimum v bodě x pro funkce u1}..., um. Stačí se tedy omezit na důkaz případu, kdy jsou všechna \ kladná. Předpokládejme pro jednoduchost, že bod x je počátek Rn a že u(x) = 0 G Rm. Můžeme tedy v dalším volně používat označení x pro libovolný bod z W. Zejména tedy podmínka, že 0 G W je bod lokálního silného Paretova optima, je ekvivalentní podmínce, že existuje okolí N počátku 0 ve W tak, že (u(N) — {0}) fl Pos = 0. Ukážeme tedy, že existuje takovéto okolí N. Označme K = KerDw(O) jádro lineárního zobrazení Dit(0) a KL jeho ortogonální doplněk. Lemma 3.4 Existují reálná čísla r, ô > 0 tak, že pokud \\x\\ < r, x = (rri,^), X\ G K, x2 G KL a \\x21| < ^ll^ill; pak platí pro nenulové x nerovnost \-u(x) < 0. 152 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Důkaz.Nechť H = Y_\ \D2Ui(§). Protože H je negativně definitní na K, je H(x,x) < —a\\x\\2 pro nějaké vhodné kladné číslo a a pro všechny vektory x E K (totiž stačí se omezit na jednotkovou kouli v K, tam má funkce H maximum, které je nutně záporné a rovno —u). Nechť nyní x g Rn, x = (xi,X2), x\ g K, X2 g KL. Pak můžeme psát H(x,x) = H(xi,xi) + 2H(xi,X2) + H(x2,X2). Ale vime, že \H(xi,X2)\ < C||rri|| • \\x2W a \H(x2,X2)\ < CiH^H • H^H pro vhodné nezáporné konstanty C a C\. Můžeme tedy vybrat vhodná dostatečně malá kladná čísla i],ô tak, že pokud \\x2W < pak H (x, x) < — r]\\x\\2. Aplikujeme-li Taylorovu větu o rozvoji pro ||rr|| < r, u{x) = Du(0)(x) + D2u(0)(x, x) + R3(x),kde \X-R3(x)\ < %\\x\\2. Pak X-u(x) = \-Du(0)(x)+\-T)2u(0)(x,x)+\-R3(x) < -r]\\x\\2+X-R3(x) < 0. I Označme nyní J = ImD-u(O) a pišme pro u g Rm jako u = (ua, Ub), ua g J, ui, g JL. Lemma 3.5 Jsou-li dána reálná čísla a > 0 a ô > 0, existuje reálné číslo s > 0 tak, že pokud \\x\\ < r, x = (xi,X2), X\ g K, x2 g KL a \\x2\\ > pak nerovnost \\ub(x)\\ < a\\ua(x)\\. Důkaz. Restrikce Díí(0)xi : KL —> ImD-u(O) zobrazení Dit(0) : Rn —> ImD-u(O) je lineární izomorfismus. Totiž, je-li Du(0)(x) = Du(0)(y) je nutně Du(0)(x - y) = 0 t.j. x - y g K h K± = {0} tj. x = y. Nechť z g ImD-u(O). Pak existuje x g Rn tak, že Du(0)(x) = z. Ale x = x\ + X2, x\ g K, X2 g KL. Tedy z = Du(0)(x) = Díi(0)(a:i) + Du(0)(x2) = 0 + Du(0)(x2). Zároveň poznamenejme, že pro každý lineárni izomorfismus v euklidovském prostoru existují kladné konstanty k1} k2 > 0 tak, že < 11^(^)11 < ^2||^|| pro všechna x. Speciálně tedy existují kladné konstanty c1; c2 > 0 tak, že ||Dií(0)(rr)|| = ||Dit(0)(^2)11 > Ci| |a^211 pro všechna x = x\ + X2 > c\\x\\ pokud H^H > ^ll^ill- 3. PARETOVA OPTIMALITA 153 Rozviňme u(x) do Taylorovy řady. Pak ua{x) + ui,(x) = u(x) = Du(0)(x) + R{x). Přitom pro (3 > 0 můžeme předpokládat, že ||i?(rr)|| < /3\\x\\ pro ||rr|| < s, s > 0 vhodné reálné číslo. Přitom R{x) = Ra(x) + Rb(x), Ra(x) G J, Rb(x) G J±. Tedy \ua(x)\\ = \\Lu(0)(x) + Ra(x)\\ > \\Bu(0)(x) Ra(x)\\ > {C-P)\\A \ub(x)\\ = \\Rb(x)\\ < p\\x\\. Zvolme j3 tak, že < a. Pak ||itř,(:c)|| < a||-ua(x)||. | Dokončeme nyní důkaz věty 3.1. Vyberme a z lemma 3.5 tak, že pokud ||itř,(:c)|| < a||-ua(x)||, pak u(x) (£ ~Poš- {0}. Ukážeme nyní, že rovnice A • Du(x) = 0 má kladné řešení právě tehdy, když ImDit(O) h P os = 0. Ukažme výše uvedené pomocí aparátu lineárního programování: Primární úloha maxAj za podmínek (Dmi(x), .. .,Ľum(x)) A,; > 0 \ Xm J (PIL, 154 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE a duální úloha (DU,) (vľ, . . . ,Vn) ■ (Du^x), . . . ,ĽUm(x)) > (0 . . . 1 0). Protože však všechny primární úlohy (PU,-) jsou neomezené právě tehdy, když existuje netriviální kladný vektor A splňující A • Du(x) = 0 a všechny duální úlohy (DU,) nemají přípustná řešení právě tehdy, když ImD-u(O) H Pos = {0}, máme z věty o dualitě naše tvrzení o průniku ImD-u(O) H Pos. Vyberme tedy kruh se středem 0 a poloměrem r o < min(r, s), r z lemmatu 3.4 a s z lemmatu 3.5, ô z lemmatu 3.5 dle lemmatu 3.4. Nutně pak u(x) ^ Pos — {0} pokud ||rr|| < ro tj. 0 je bod lokálního silného Paretova optima. I Přejděme nyní k rozšíření věty 3.1 o podmínky omezení. Jsou tedy funkce třídy C2 u1}..., um definovány na nějaké otevřené množině W C Rl spolu s omezeními danými podmínkami tvaru gp(x) > 0, (3 = 1,..., k, kde g p : W —> R je funkce třídy C2. Můžeme vyjádřit tento problém jakožto hledání optima restrikcí funkcí ui,..., um na množině Wq c R\ Wq = {x G W : gp{x) > 0, f3 = 1,..., k}. Věta 3.6 Buď Ui : Wq —> R, 1 < i < m, funkce jako výše uvedeno, x G Wq lokální Paretovo optimum. Pak existují nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, //i, ... > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že (3.3) ß přičemž /ig = 0 pro gp(x) ý 0- Pokud navíc platí, že E« ^íD2^^) + Es l^p^Qpi^) Je negativně definitní na (3.4) je x bod lokálního silného Paretova optima. 4. ZÁKLADNÍ VĚTA EKONOMIKY BLAHOBYTU 155 Důkaz. Abychom dokázali první část věty, předpokládejme (bez újmy na obecnosti), že gp(x) = 0 právě pro všechna (3 = 1,..., k a definujme zobrazení ip : W —>• Rm+k předpisem ip = (u1}..., um, g1}..., g^). Tvrdíme pak, že ImDp> na W. I Zakončeme tento odstavec s několika poznámkami: 1. Věta 3.1 je speciální případ věty 3.6 pro k = 0. 2. Předpokládejme, že ga splňují podmínku nedegenerovaností v bodě x G Wq. Pak je množina vektorů Dg/3 pro (3 takové, že gp(x) = 0, lineárně nezávislá tedy speciálně alespoň jedno A« je kladné. 3. Pokud je ve větě 3.6 m = 1, není první část nic jiného než Kuhn-Tuckerova věta. Je-li navíc splněna podmínka nedegenerovaností, lze volit Ai = 1. 4 Základní věta ekonomiky blahobytu Vrat me se nyní k ekonomice úplné směny z odstavce 2. Přitom funkce užitečnosti Ui : P —> R i—tého obchodníka, i = 1,... ,m splňují podmínku 2.1 tj. že funkce Ui : P —> R je třídy C2, podmínku monotonie 2.2 tj., že g,t(x) G P H S1'1 = int^1) pro všechna x E P, zde g,t(x) = ,ggN, kde gradMí = (gi, ...,§), 156 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE podmínku konvexnosti 2.3, že restrikce Dqí(x) z nadroviny gi{x)L do sebe má záporné vlastní hodnoty a nakonec je hraniční podmínku 2.5, že Indiferentní křivka mí_1(c) je uzavřená v R1 pro všechna c. Nebudeme však předpokládat, že bohatství účastníka pochází z obdaření z P a je funkcí w,i = p ■ e,i ceny p. Budeme ale předpokládat, že úplné zdroje naši ekonomiky jsou dány pevným vektorem r G P. Pak množina W dosažitelných alokací neboli stavů má tvar Funkce individuálního užitku Ui : P —> R i-tého účastníka nám indukuje zobrazení Vi : W —>• R tak, že Vi(x) = Ui(xi). Je přirozené si klást otázku, jak vypadají Paretově optimálni stavy pro funkce vÍ7 i = 1,..., m. Věta 4.1 Následující tři podmínky na alokací x G W vzhledem k indukovaným funkcím užitku v;t : W —^ R jsou ekvivalentní: 1. x je lokální Paretovo optimum. 2. x je lokální silné Paretovo optimum. Přitom množinu všech takovýchto x označíme 6. Důkaz. Poznamenejme, že evidentně podmínka (2) implikuje podmínku (1). Ukažme, že (1) implikuje (3). Abychom to dokázali, stačí nám pouze předpokládat o funkcích u,i : P —> R, že jsou třídy C1. Předpokládejme tedy, že x G W je lokální Paretovo optimum. Z první části věty 3.1 máme, že existují nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že AjDwj(x) = 0 tj. ^ AjD-Uj(xj) = 0. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že například Ai je kladné. Uvažme nyní vektor x = (xi,... ,xm) G Platí: 4. ZÁKLADNÍ VĚTA EKONOMIKY BLAHOBYTU 157 k (Rl)m tak, že Ej^« = O, t j. jedná se o tečný vektor k W. Je-li navíc speciálně x = (ľči, 0,..., 0, —x±, 0,..., 0), máme pak Ej \^uí{xí){xí) = \iDui(xi)(ľči) — Xkľ)Uk(xk)(xi) = 0 pro všechna x\ E R1. Nutně tedy, protože Duj(xj) G P pro všechna j, Ai je kladné, je i A& kladné a AiD-Ui(xi) = AfcD-Ufc(xfc). Po podělení normou pak 9i(xi) = 9k(xk)- Je tedy podmínka (3) splněna. Abychom dokázali ekvivalenci těchto tří podmínek, zbývá ukázat, že pokud x splňuje podmínku (3), pak platí (2) tj. x je lokální silné Paretovo optimum. Lemma 4.2 Buď u : P —y R funkce splňující 2.3. Pokud y G P, u(y) > u(x) a x ^y, pak Du{x){y — x) > 0. Pak í y ■ g(x) > x ■ g{x). Důkaz. Pro 0 < t < 1 dle 2.3 je nutně u(x) < u(x + t(y — x)). Nutně tedy je její derivace v bodě x nezáporná tj. platí {á/át)u{x + t{y — x))\t=0 > 0 tj. ~Du(x)(y — x) > 0. Předpokládejme, že ~Du(x)(y — x) = 0. Rozvojem v bodě x dostáváme u(x + t(y — x)) = u(x) + 0 + D2u{x){t{y — x),t(y — x)) +R3(t). Tedy pro dostatečně malá t je u(x) > u(x + t(y — x)), což je spor s výše uvedeným. Chceme nyní ukázat, že x je bod lokálního silného Paretova optima. Nechť nyní y je takový bod, že Vi(x) < v,i(y) pro všechna i. Chceme ukázat, že x = y. Předpokládejme opak. Pak pro nějaké i0 víme, že platí yio-gio(xio) > xio-gio(xio). Položme p = gio(xÍQ). Pak p = g^Xi) pro všechna i. Tedy ^ Vi-P > Y^í xí 'P-Ale protože y G W, nutné E« Vi = r = Ej xi tedy i E« ÍJi'P = r = Ej xi' P- Nutně pak pro všechna i máme Xi = y~i tj. x = y tj. x je silné Paretovo optimum. Zaveďme nyní pojem rovnovážného stavu ekonomiky blahobytu. Řekneme, že stav (x,p) G W x S1^1 je rovnovážným stavem ekonomiky blahobytu, jestliže i-tá projekce Xi je bodem maxima funkce Ui na rozpočtové množině BPjP.Xi = {x G P : p ■ x = p ■ x^. Množinu všech rovnovážných stavů ekonomiky blahobytu budeme označovat A. Z této definice plyne, že bod (x,p), x = (xi, ... ,xm),x,i E P,p E Sl+ľ leží v A, pokud platí: 158 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE i1 e) E^ = r> (2e) 9í(%í) = P pro všechna i = 1, ..., m. Máme-li navíc k dispozici údaje o individuálních obdařeních G P,i = 1, ... ,m tak, že Ej e« = r? dostáváme Walrasův rovnovážný stav (3E) p ■ ei = p ■ Xi, i = 1, ... ,m. Věta 4.3 Mezi množinami 9 a A existuje vzájemně jednoznačná korespondence (3 : A —y 9 definovaná předpisem /3((x,p)) = x a a : 9 —y A definována následovně: a (x) = (x, gi(xi)). Důkaz. Evidentně, (3 je korektně definovaná surjekce. Totiž, vzorem prvku x je prvek (x, gi(xi)). Ukažme, že je i injekce. Nechť (3(x,p) = (3(x, q). Pak nutně p = g±(xi) = q. | V dalším budeme o funkcích užitku Ui předpokládat pouze, že jsou třídy C2. Označme 9S podmnožinu množiny W, která sestává z lokálních silných Paretových optim. Tvrzení 4.4 Je-li bod x G W bod lokálního optima pro indukované funkce užitku na W, pak 1. existují nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že ^2\íDuí(x) = 0, i což implikuje, že gi{x,i) jsou nezávislé na i. Pokud navíc platí, že 2. XiD2Ui{x)(xi) je záporná na množine takových x, že i Xi = 0, Xi ■ gi{x,i) = 0 pro všechna i a pro jisté i0 je xio ^ 0, je x bod lokálního silného Paretova optima tj. x G 9S. 4. ZÁKLADNÍ VĚTA EKONOMIKY BLAHOBYTU 159 Důkaz. Stejně jako ve větě 3.1 víme, že lmDu(x) C\Pos = 0, tj. existuje vektor A tak, že rovnice \-Du(x) = 0 má netriviální nezáporné řešení A, čímž je pomocí 4.1 dokázána první část věty. Položme K = {x : ^2jXj = 0,Xí ■ gi(xi) = 0 pro všechna i}. Pak K je vektorový podprostor a forma H = ^V \í~D2Uí{x) je negativně definitní na množině K. Platí pak zejména obdoba lemmat 3.4 a 3.5. Tedy pak nutně máme x G 9S. I Studujme nyní situaci z věty 4.1 pro prostory komodit s hranicí. Předpokládejme, že každá funkce užitku Ui : Rl+ —> R je restrikce funkce třídy C2 na nějaké otevřené množině obsahující množinu Rl+. Speciálně pak máme definovány derivace Duí(x) a D2Ui(x) na hranici 5Rl+ a podmínky 2.2 a 2.3 mají smysl i pro hraniční Buď r G intRl+ vektor celkových zásob. Položme dále Wq = {x : x G R1™, ■ x j = r}. Pak Wq je prostor přípustných stavů naší ekonomiky úplné směny. Buď dále W relativní okolí množiny Wq vzhledem k množině Wr = {x : x G Rlm,^2j Xj = r} tak, že funkce v,i : W —^ R jsou zde definovány jakožto v,i{x) = Uí(xí), Nechť jsou dále funkce omezení g\ : W —> R určeny předpisem gf(x) = x\. Pak nalezení optima ve Wq je ekvivalentní nalezení optima pro funkce Vi : W —> R s omezeními gf(x) > 0. Věta 4.5 Nechi funkce u,i : Rl+ —> R splňují Je-li bod x G Wq bod lokálního optima pro indukované funkce užitku na Wq, pak 1. existují normovaný nezáporný vektor p G S1^1 a nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že body. pro všechna i a p > \Duí{xí) pro všechna i, přičemž rovnost nastává v k-té souřadnici, jestliže x\ ý 0. Pokud navíc platí, že 160 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE 2. p ■ Xi ý 0 pro všechna i, je x bod lokálního silného Paretova optima. Důkaz. Pro omezení g*(x) = x\ víme, že Dgj(x)(x) = x\ pro všechny vektory x g (Rl)m takové, že ^2íXí = 0. Dle věty 3.6 víme, že existují nezáporná čísla Ai, ... ,Xm > 0, fi±, ...,fik > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že ^2 XíDuí(xí)(xí) + ^2^x1 = 0, i í, j přičemž p p = 0 pro x\ ý 0. Proveďme nyní konkrétní volbu x\ = 1, xJk = — 1 a nechť všechny ostatní souřadnice jsou nulové, pak nutně Xíľu^Xí)^)1 + [i? = \kĽuk(xk)(xky + fi{, přičemž Duk(xk)(xky značí j-tou souřadnici vektoru Duk(xk)(xk). Celkem tedy je vektor q = \kDuk(xk) + fik nezávislý na indexu k. Přitom fik = (fi\,..., filk) > 0 a nutně fik ■ xk = 0. Poznamenejme, že q je nenulový vektor (jinak by nutně všechna A« a p\ byla nulová). Položme p = Položíme-li A^ = ypj, f// = jj^r, máme pak p = \'kĽuk(xk) + /i'k, přičemž X'k > 0, fi'k > 0, fi'k ■ xk = 0. To ale není nic jiného, než první část naší věty. Abychom dokázali zbývající část věty, uvažme prvek y g Wq tak, že Uiijji) > u^Xi) pro všechna i. Dle lemmatu 4.2 platí D-Uj(xj)(í/j — x i) > 0, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když yri = x,i. Platí ale zároveň, že p- Xi = A-D-Uj(xj) • Xi + • Xi = A-D-Uj(xj) • Xi. Nutně tedy je A^ 7^ 0, protože p ■ Xi 7^ 0. Zopakujeme-li tuto úvahu ještě jednou, obdržíme nerovnost p(Vi ~ Xí) > fii ■ yí tj. p ■ yi > p ■ Xi, 4. ZÁKLADNÍ VĚTA EKONOMIKY BLAHOBYTU 161 přičemž rovnost nastává právě tehdy, když y i = Xi. Z druhé strany nutně Ei2/« = r = ^ Xi tj. ' Ví = p ■ r = p ■ Xi a pro všechna i skutečně nastává rovnost. I Zaveďme nyní pojem rovnovážného stavu ekonomiky blahobytu pro Wq. Řekneme, že stav (x,p) G Wq x S1^1 je rovnovážným stavem ekonomiky blahobytu, jestliže x-tá projekce Xi je bodem maxima funkce Ui na rozpočtové množině BPJJ.Xi = {x G P : p ■ x < p ■ Xi}. Množinu všech takovýchto rovnovážných stavů ekonomiky blahobytu budeme označovat Ao- Pokud bod (x,p) leží v Ao, pak Ej^* = r- Věta 4.6 Pokud (x,p) G Ao, existuji nezáporná čísla Xi > 0, i = 1,..., m a nezáporné vektory fii G Rl+, i = 1,... ,m tak, že Xi ■ fii = 0 a p = \Duí{xí) + /ij. Obrácené, pokud (x,p) G Wq x S1^1 tak, že p ■ Xi ^ 0 pro všechna i a navíc A« > 0, /Xj G -R+, x = 1,..., m splňují výše uvedené, pak (x,p) G A0. Důkaz. Protože Xi je maximum funkce xíj na Bp,p.x. pro všechna x, existují Aj,čTj > 0 a nezáporné vektory /Xj G -R+, x = 1,..., m ne všechny nulové tak, že \íT)Ui{xi)(xi) + X/x^D^(xj)(xj) - Gip ■ Xi = 0 pro všechna x~i £ Rl. To je ekvivalentní s tím, že XíDuí(xí) + Hi = ctíP, /j>í- x,i = 0. Pokud by o i = 0, nutně i A« = 0, /íj = 0. Můžeme tedy dělit obě strany rovnosti o i a po přeznačení máme XíľUí(xí) + fii = p, fii-Xi = 0. Tím jsme dokázali první část. Pro důkaz druhé části předpokládejme, že existuje y i G Bp,p.x. tak, že Uí{xí) < Ui{y,i). Pak dle 4.2 platí Dxxí(xí)(x/Í - x i) > 0 a pro p ■ y,t > y,t ■ AjDxx^^) > p ■ xh X,t ^ 0. Tedy y,t <=É Bp,p.Xi, spor. Celkem (x,p) G Aq. I 162 KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Ve zbývající části tohoto odstavce budeme předpokládat, že Duí(xí) G intS^T1 a D2Uí(xí) < 0 na KerDui^Xi). Řekneme, že pro bod x G Wq existuje izolovaná komunita 0 C s C {l,...,m}, jestliže pro každý prvek i E s a každý nenulový prvek x\ ý 0 dostáváme, že xJk = 0 platí pro všechna k ^ s. Lemma 4.7 Předpokládejme, že x E Wq je bez izolovaných komunit a že i, q G {1,..., m} jsou dva účastnici naši ekonomiky. Pak existuje posloupnost i\,..., in agentů tak, že i\ = i,in = q a posloupnost zboží ji,..., jn tak, že xjk / O a pro všechna k nutně buď jk+i = jk nebo ik+\ = ik. Důkaz. Sporem. Bez újmy na obecnosti lze říci, že i = i\ = 1 a uvažme všechny posloupnosti ... ,in), (ji,..., jn) výše uvedeného tvaru tak, že i\ = 1. Označme s jakožto podmnožinu všech možných in dosažitelných tímto způsobem. Je-li S* 7^ 0 vlastní, pak má x izolovanou komunitu. I Důsledek 4.8 Nechť bod x G Wq nemá izolované komunity. Pak existuje jediný odpovídající cenový vektor p e s1^1. Důkaz. Stejně jako ve větě 4.5 a dle věty 3.6 víme, že existují nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, fi±, ..., fik > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že p = XíDu^Xí) + fii, přičemž fii-Xi = 0. Bez újmy na obecnosti můžeme přečíslovat zboží a účastníky tak, že účastník 1 má nějakou část zboží 1 tj. x\ ý 0. Normujme vektor p následovně: p1 = 1. Pak p1 = 1 = AiD-u^rci)1 + p,\ = AiD-u^rci)1, protože fi\ = 0. Je tedy Ai jednoznačně určeno. Buď q nějaký jiný účastník. Uvažme posloupnost i\,... ,in agentů tak, že i\ = 1, in = q a posloupnost zboží j1;..., jn tak, že xf^ / 0 a pro všechna k nutně buď jk+i = jk nebo ik+i = ik. Předpokládejme indukcí, že Xit je určeno pro všechna / < k a chceme určit Ajfe. Jsou dvě možnosti: buď ik-\ = ik a pak Xik = Xik_1 nebo ik-\ 7^ ik a potom jk-\ = jk a oba účastníci ik-i,ik mají nenulové množství zboží jk. Máme tedy rovnosti p>k = Xik_1Duik_1(xik_1):>k a p>k = XikDuik(xikYk. Známe tedy p>k a následně Ajfe. Opět jsme zde použili tu skutečnost, že odpovídající fi^ byla nulová. Zejména tedy máme tedy až na násobek jednoznačně určené všechny koeficienty A«. Buď dále k nějaké zboží. Vyberme index i tak, že x\ 7^ 0. Pak pk = XiDui(xi)k jednoznačně určuje pk, což dokazuje naše tvrzení. | 4. ZÁKLADNÍ VĚTA EKONOMIKY BLAHOBYTU 163 Následující vztah mezi Paretovými optimy a rovnovážnými stavy vyplývá bezprostředně z 4.8. Věta 4.9 Jestliže ekonomika splňuje předpoklad neexistence izolovaných komunit pro všechna Paretova optima, pak mezi množinou 90 Paretových optim a množinou A0 rovnovážných stavů existuje vzájemně jednoznačná korespondence (3q : Aq —> 9q definovaná předpisem /3q((x,p)) = x a «o : #o —> Ao definována následovně: ao(x) = (x,gi(xi)). KAPITOLA 4. GLOBÁLNI ANALÝZA A EKONOMIE Kapitola 5 Existence rovnováhy v konkurenční ekonomice Tato kapitola je podstatným způsobem založena na článku Gerarda Debreuho [10]. 1 Úvod Matematický model konkurenční ekonomiky od L. Walrase (1874-1877) byl koncipován jako pokus vysvětlit rovnovážný stav dosažený velkým počtem malých účastníků ovlivňujících se skrze trh. Sám Walras chápe, že předložená teorie bude neúplná bez matematických argumentů podporujících existenci alespoň jednoho rovnovážného stavu. Nicméně více než půl století rovnost mnoha rovnic o mnoha proměnných zůstala pouhým nepřesvědčivým argumentem ve prospěch existence rovnováhy konkurenční ekonomiky. Studium existenčního problému začalo na počátku třicátých let, když Neisser (1932), Stackelberg (1933), Zeuthen (1933) a Schlesinger (1935) určili několik jeho základních rysů a když Wald (1935, 1936a, 1936b) získal jeho první řešení. Po dalších asi dvaceti letech byla otázka existence rovnováhy konkurenční ekonomiky znovu otevřena v dílech 165 166 KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE Arrow a Debreu (1954), McKenzie (1954, 1955), Gale (1955), Debreu (1956), Kuhn (1956a,1956b), Nikaido (1956), Uzawa (1956) a mnoha dalších autorů, jejichž příspěvky za posledních dvacet pět let tvoří bibliografii s více než 350 položkami. V těchto dílech můžeme rozpoznat čtyři odlišné, ale blízce související přístupy k existenčnímu problému. (1) Za prvé, důkazy existence rovnováhy v konkurenční ekonomice byly shodně získány aplikací věty o pevném bodě Brouwerova či Kakutaniho typu nebo podobnými argumenty. Tyto přístupy, které nabývají v současnosti největší důležitosti, jsou náplní této kapitoly. (2) V posledním desetiletí byly vyvinuty výkonné kombinatorické algoritmy pro počáteční přibližné řešení rovnováhy v konkurenční ekonomice. Tyto algoritmy, které nabízejí konstruktivní odpověď na existenční otázku, jsou probrány v kapitole 21 knihy knihy [3] Scarfem, který zastává hlavní roli v této oblasti výzkumu. (3) Nedávno byly teorie o indexu pevného bodu zobrazení a teorie stupně zobrazení použity pro zjištění existence rovnováhy v konkurenční ekonomice v Dierker (1972, 1974), Mityagin (1972), Smale (1974), Balasko (1975, 1978), Varian (1975a, 1975b), Nishimura (1978), Kal-man a Lin (1978a, 1978b) a Kalman, Lin a Wiesmeth (1978). Dierker se v kapitole 17 knihy [3] dotýká některých těchto otázek. (4) Nakonec, v roce 1976 Smale navrhl diferenciální proces, jehož konvergence k ekonomické rovnováze nabízí alternativní konstruktivní řešení existenčního problému. [Smale (1976)]. Tento přístup je předmětem 8. kapitoly knihy [3]. 2 Simultánní optimalizační přístup Ačkoliv první důkaz existence rovnováhy konkurenční ekonomiky popsal Wald (1935, 1936a, 1936b), dva články od von Neumanna (1928, 1937) znamenaly důležitý krok pro rozvoj v padesátých letech. V prvním z těchto článků von Neumann zjistil dvojici rovnovážných strategií pro dvoučlennou hru s nulovým součtem, sedlový bod pro užitek obou hráčů. V druhém studoval problém existence rovnováhy při vyváženém růstu, převedeném v ekvivalentní problém sedlového bodu, což bylo přímým důsledkem jeho dřívějšího přispění k teorii her. V řešení jeho nového problému sedlového bodu, von Neumann dokázal topologické lemma, které přeformulováno v Kakatuni (1941) ve větu o pevném bodě pro zobrazení se stalo silným nástrojem pro důkaz ekonomické rovnováhy. 2. SIMULTÁNNI OPTIMALIZAČNÍ PŘÍSTUP 167 Před uvedením Kakutuniho věty uvedeme příslušející pojmy. Mějme dvě množiny S a T, korespondence

z S do T přiřazující každému prvku x z S neprázdnou podmnožinu je podmnožina kartézského součinu S x T definovaná jako G( je konvexní, když T je reálný vektorový prostor a pro každé x z S je množina z podmnožiny S euklidovského prostoru do podmnožiny T euklidovského prostoru je shora polospojitá (u.h.c.) v bodě x° z S, když existuje okolí x° na němž je

omezená a pro každou posloupnost xq v S konvergující k x° v S a každou posloupnost yq konvergující k y° v T, a pro každé g, kde í/9 g pak platí y° g Stručněji [x9 -> rr0,^ -> g ^(rr9)] [y° g ^(rr0)]. Tato definice horní polospojitosti >p> v x° zřejmě implikuje, že f(x°) je kompaktní. Horní polospojitost ip na S je definována jako horní polospojitost v každém bodě S. Poznamenejme, že kartézský součin u.h.c. korespondencí je u.h.c. Přesněji, uvažujme pro každé i = 1,..., n korespondenci >p>i z S do T a pro každé x v S definujme i je u.h.c. v x°, pak

je zřejmě u.h.c. v x°. Nakonec, je-li

korespondence z množiny S zobrazené na sebe samu, prvek x° z S je pevný bod

, když x° je prvkem

(x°). Věta 2.1 (Kakutani) Je-li S neprázdná, kompaktní, konvexní podmnožina euklidovského prostoru a

je u.h.c, konvexní zobrazení z S na S, pak

má pevný bod. Aplikace tohoto výsledku byla použita v Nash (1950), jehož větu nyní uvedeme a dokážeme. To ukazuje vhodnost Kakutaniho věty pro důkazy existence ekonomické rovnováhy. Uvažujme hru n-hráčů. Hráč i vybere strategii z množiny Si, která je neprázdná, kompaktní, konvexní podmnožina euklidovského prostoru. Ve skutečnosti Si je množina pravděpodobností nad konečnou množinou čistých strategií i -tého hráče. N -tice strategií vybrána n hráči je prvek s = (si,..., sn) z kartézského součinu S = x™=1Si. Výsledný užitek 168 KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE pro 2-tého hráče je reálné číslo fi(s). O užitkové funkci fi se předpokládá spojitost na S a linearita v Sj. Tedy ve hře zkoumané Nashem je f] lineární vzhledem k proměnným (s1;..., Sj,..., sn). Formálně je hra definována n množinami S±,..., Sn a n funkcemi f\,.. . , fn. Označme N množinu {1,...,n} všech hráčů aJV\i množinu {1,... ,i — + ... ,n} všech hráčů kromě i-tého. iV-prvkový vektor strategií s* je Cournot-Nashova rovnováha, když pro každé i G N, s* maximalizuje fi(si,s*N\i) na Si, tedy když každý hráč vybere strategii maximalizující jeho užitek při daných strategiích ostatních hráčů. Věta 2.2 (Nash) Je-li pro každé i G N, množina Si neprázdná, kompaktní, konvexní podmnožina euklidovského prostoru, a f] je spojitá reálná funkce na S = XjeNSj, lineární v i-té proměnné, pak hra (sj, fí)íeN má rovnovážný bod. Důkaz. Pro každé i definujme zobrazení //j z S do Si následovně. Vezměme prvek s z S, pak Tedy fii(s) je množina strategií i-tého hráče maximalizující jeho užitek při daných strategií ostatních hráčů popsaných vektorem s. Tedy fii(s) je nezávislá na Sj. Bude výhodné použít /ij v uvedeném tvaru. Poznamenejme, že maximalizační operace vystupující v definici /ij může být provedena, jelikož f] je spojitá a Si je kompaktní, neprázdná. Zejména fii(s) je neprázdná. Zobrazení /ij je také konvexní, neboť f i je lineární v Sj a mazimalizační operace je prováděna na konvexní množině. Nakonec ukážeme, že /ij je u.h.c. Nechť (sq) je posloupnost v S konvergující k s° a (xq) je posloupnost v Si konvergující k x° a taková, že pro každé q je xq G /x«(s9). Uvažujme libovolný bod y v Si. Pro každé q platí fí(xq, s^J > fi{y, s9N\j)- V limitě fi(x°, s^J > fi{y, sQN^). Jelikož tato nerovnice platí pro každé y v Si, máme dokázáno x° G /íj(s°). Teď definujme zobrazení fi z S do S jako ^.(s) = {x e Si\fi(x,sN\i) = max fi(y, sN\i)}. (j,(s) = x SIMULTÁNNI OPTIMALIZAČNÍ PRISTÚP Obrázek 5.1: Ilustrace pojmů ze stránky 170 170 KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE Bod s* z S* je Cournot-Nashovým rovnovážným bodem právě, když pro každé i, s* G //j (s*); tedy když s* G (obrázek 5.1). Pojem Cournot-Nashova rovnovážného bodu je proto ekvivalentní s pevným bodem zobrazení fi. Existence takového pevného bodu je dokázána v aplikaci Kakutaniho věty, jejíž předpoklady splňujeme. ■ Předcházející představu rovnováhy a Nashovy věty můžeme zobecnit tak, aby byly aplikovatelné na různé ekonomické problémy. V úvodu zobecnění studujme ekonomického účastníka, jehož prostředí je popsáno prvkem x z množiny X. Tento účastník musí vybrat jednu akci z množiny všech možných akcí Y. Když je jeho prostředí prvek x z X, pak je omezen na výběr neprázdné podmnožiny f{x) z Y. Když vybere akci y z f{xq,zq). V limitě f(x°,y°) > f(x°,z°). Jelikož nerovnost platí pro libovolné z v tp(x°), dokázali jsme, že y° g fi(x°). m Nyní studujme společenský systém složený z n účastníků, i-tý účastník si musí vybrat prvek z množiny A jeho předem možných akcí, o které se předpokládá neprázdnost, kompaktnost a že je konvexní podmnožinou euklidovského prostom. Když ostatní účastníci mimo i-tého vyberou akce (ai,..., <2j_i, <2j+i,... ,an), pak volba i-tého účastníka je omezena na neprázdnou podmnožinu A,i určenou předchozí {n — l)-ticí. Formálně definujme korespondenci ipi z A = x™=1Aj do A,i tak, že spojíme prvek a z A s neprázdnou podmnožinou f i (a) z A, na kterou je volba i-tého účastníka omezena. Množina ipi{a) je zřejmě nezávislá na i-té složce a, ale stejně jako dříve, shledáváme výhodnější definovat ipi na A než na Xje^\iAj. Zobrazení ipi je dle předpokladů spojité a konvexní. Užitek i-tého účastníka vyplývající z volby n-tice a je reálné číslo fi(a), kde funkce / je spojitá na A a kvazikonkávní vzhledem k Oj. Mějme a v A, každý účastník, řekněme i-tý, uvažuje akce a^v dalších účastníků jako dané a vybírá vlastní akci y tak, aby mazimalizoval svůj užitek fí(y, a^\i) na množině max^g^fn) fi(y, a 0 a p* • ** = 0. Podmínka (d) je smysluplná pouze tehdy a jen tehdy pokud všechny statky mohou být volně využity. V tomto případě cenový vektor p* musí zřejmě mít všechny své členy větší nebo rovny nule. Protože pokud statek má zápornou cenu, využitím tohoto statku výrobci mohou neomezeně zvyšovat jejich celkový zisk a podmínka (b) bude porušena. Rovnováha také vyžaduje aby na trhu každého statku byla vyrovnána nabídka s poptávkou, nebo nabídka převyšovala poptávku při nulové ceně. Abychom mohli zformulovat větu 2.5, musíme také formálně definovat dosažitelný stav ekonomiky podmínkami: (a') pro každé i, x,i je z Xf, (b') pro každé j, y^ je z Yj] (c0 TZix* ~ EJ=i v j - TJIUe* < o. To říká, že spotřeba každého spotřebitele je v množině jeho možných spotřeb, výroba každého výrobce je v množině jeho možných výrob a pro každý statek poptávka je nejvýše vyrovnána s nabídkou. Říkáme, že spotřeba Xi je dosažitelná pro i-tého spotřebitele, pokud tu je dosažitelný stav ekonomiky přidělující mu Xi. Dosažitelná spotřební množina Xi i-tého spotřebitele je množina jeho dosažitelných spotřeb. Konečně pro dva vektory x a y z Rl, "x < y"znamená "x < y a x ^ y", zatímco "x 0}. Věta 2.5 Ekonomika £ má volně dostupnou rovnováhu, pokud pro každé i, Xi je kompaktní a konvexní, je tu neuspokojená spotřeba v Xi, 2. SIMULTÁNNI OPTIMALIZAČNÍ PŘÍSTUP 175 množina {(x, x') G X, x Xj | x~x'} je uzavřená, pokud x a x1 jsou dva body z Xi takové, že x - p° ■ x° — e, proto M (p) > M(p°) — e. KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE Obrázek 5.2: Ilustrace pojmů ze stránky 175 2. SIMULTÁNNI OPTIMALIZAČNÍ PŘÍSTUP 177 (b) M je horní polospojitá. Znovu, nechť p° je bod z R1, a e je ostře kladné reálné číslo. Uvažujme libovolný bod x z S. Pak existuje otevřené okolí U (x) bodu p° a otevřené okolí V (x) bodu x takové, že [p E U (x) a y E V^rr)] implikuje [p • y < p° • x + e]. Otevřená okolí V (x) pokrývají kompaktní množinu S. Proto existuje konečná posloupnost V(xi),... ,V(k) z nich, která také pokrývá S. Nechť U° = flí=i U(xí). U° je otevřené okolí p°, ze kterého vezmeme libovolný bod p. Nechť y je kterýkoliv bod z S. Existuje i z {1,..., k} takové, že y E V(xí). Poněvadž p je v U(xí), dostaneme p ■ y < p° ■ Xi + e. Proto p ■ y < M(p°) + e. Následně pro kterékoliv p G U°, M (p) < M(p°) + e. m Nechť nyní p je cenový vektor v R1 a w reálné číslo a definujme rozpočtovou množinu i-tého spotřebitele spojenou s dvojicí (p,w) jako A (p, w) = {x G Xi | p ■ x < w}. Předpokládáme-li, že spotřební množina Xi je neprázdná a kompaktní, oborem příslušného /3i je množina D = {(p,w) G Rl+1 | w > minp • Xi}. Z lemmatu 2.6 plyne, že funkce p \—y minp • Xi je spojitá. Důsledkem toho je množina D uzavřená. Následující lemma 2.7 dává podmínky, za kterých je příslušné (3i spojité. Lemma 2.7 Pokud Xi je neprázdná, kompaktní a konvexní a w° > minp0 • Xi, pak příslušné (3i je spojité v (p°, w°). Důkaz. Graf příslušného (3i je množina {(p,w,x) E D x Xi | p ■ x < w} která je uzavřená. Proto (3i je horní polospojitá. Abychom ukázali, že (3i je dolní polospojitá v (p°,w°), předpokládáme posloupnost (pq,wq) v D konvergující k (p°,w°) a bod z° v /3i(p°). (i) pokud p° ■ z° < w°, pak pro q dostatečně velké, pq ■ z° < wq a konstantní posloupnost zq = z° splňuje podmínky, které se objevují v definici dolní polospojitosti. 178 KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE (ii) pokud p° ■ z° = w°, vybereme bod x° v Xi tak, že p° ■ x° < w°. Tedy p° ■ x° < p° ■ z° a pro q dostatečně velké, nadrovina {z E R1 \ pq ■ z = wq} protíná přímku procházející body x° a z° v právě jednom bodě žq. Definujme zq jako žq pokud žq je mezi x° a z° (odtud v Xi), a jako z° pokud žq není mezi x° a z° (odtud možná ani nemusí být v Xi). Posloupnost zq splňuje podmínky, které se objevují v definici dolní polospojitosti (obrázek 5.3). Obrázek 5.3: Ilustrace pojmů ze stránky 178 2. SIMULTÁNNI OPTIMALIZAČNÍ PRISTÚP 179 Důkaz věty 2.5: Poznamenejme nejprve, že ve volně dostupné rovnováze ((x*), (y*),p*) nemůžeme mít p* = 0, protože v tomto případě i-tf spotřebitel nebude mít rozpočtové omezení a následně si vybere spotřebu mimo X{ t.j. nedosažitelnou spotřebu. Navíc nahrazení cenového vektoru p* cenovým vektorem Xp*, kde A je ostře kladné reálné číslo, nemění žádnou z rovnovážných podmínek. Tedy můžeme omezit hledání rovnovážného cenového vektoru p* > 0 na simplex i P = {PeRl+\YJPh = n- h=l Pro daný cenový vektor p v P, j-tý výrobce maximalizuje svůj zisk ve své výrobní množině Yj. Jeho maximální zisk závislý na p značíme lij (p) = max p - Yj. Podobně, pro daný vektor p v P i-tf spotřebitel maximalizuje svou užitkovou funkci u,i ve své rozpočtové množině n P'ÁP) = {x E Xi \p- x 0. Navíc nerovnost x® implikuje, že pro každé p v P, p ■ x® < p ■ ej. Tedy Vp G P, min p ■ Xi < Wi (p) (2.1.). 2. SIMULTÁNNI OPTIMALIZAČNÍ PŘÍSTUP 181 Následně pro každé p z P množina fy (p) je neprázdná. Je také konvexní. Abychom ukázali, že všechny podmínky teorému 3 jsou splněny, musíme nyní ověřit, že příslušná fy{ je spojitá. Z lemmatu 2.6 funkce iij je spojitá pro každé j. Proto funkce w,i je spojitá. Spojitost příslušné fy{ nyní plyne z lemmatu 2.7 a z (2.1.). Tedy z věty 2.4, má pak společenský systém, který jsme si zavedli, rovnováhu {{x* j, y* maximalizuje zisk v závislosti na p* v Yj, odtud 7Vj{p*) = p Ui v množině fyi(p*) = {x G Xi | p* ■ x < Wi(p*)}, kde Wi(p*) = p Odtud {x G X{ | p* ■ x < Wi(p*)}, kde Wi(p* \/i,p* ■ x* < p* ■ e (yj),P*)- Pro každé y*. A pro každé i, x* maximalizuje funkci <*+e;'=i e.0- ■ y-. E1 ■t] P -Vi obdržíme sečtením přes i, p í=i i=i ■t] Převrácením pořadí ve dvojité sumě a připomenutím, že pro všechna j, ^h=1 Qíj = 1 máme m m n p -x < 2_^p -ei + 2_^p -yj neboli i=l p ■ i=l i=l i=l < 0. S označením z* vektoru přebytku poptávky mezi hranatými závorkami, přepíšeme poslední nerovnost jako p* ■ z* < 0. Nicméně p* maximalizuje užitkovou funkci tržního zprostředkovatele v P. Proto pro každé p E P musí p ■ z* < 0. To znamená, že z* < 0, neboť jestliže h-tá souřadnice z* byla kladná, stačí abychom brali za p kladný jednotkový vektor v h-té souřadnici osy Re, abychom získali skalární součin p ■ z*. Nerovnost z* < 0 nám zajistí, že stav ((#*), (y*),p*) je dosažitelný. Zřejmě pro každé i je x* v dosažitelné spotřebě Xi. Za předpokladu nenásytnosti existuje x\ v Xi takové, že x* - p* ■ yj*. Jak jsme zaznamenali, y* náleží do Ýj, která je obsažena ve vnitřku K. Proto můžeme nalézt na přímce [y*,y'j] bod y1- různý od y*, ale dostatečně blízko k y* v K. Protože bod y" náleží také do Yj, náleží i do Yj. Ale p* ■ y'j > p* ■ yj*, což odporuje faktu, že y* maximalizuje zisk poměrně k p* v Yj. (ii) Pro všechna i je x* nejlepší prvek ~; i v {i G Xí\p* ■ x < p* ■ e« + Yľj=i ®íjP* ' Vj}-Podle definice rovnováhy volné dostupnosti pro hospodářství £ je x* nejlepší prvek ~« v ÄV) = j * e X\p* ■ x < p* ■ et + ' P* ' % | • A jak jsme ukázali p* ■ y* = p* ■ yj pro všechna j. Nyní předpokládejme, že existuje x\ v Xi takové, že p* ■ x'i < p* ■ e,i + Yľj=i ®íjP* 'Vj a x'i >~i x*. Protože x* je ve vnitřku K můžeme nalézt na přímce [x*,^] bod x'l různý od x* ale dostatečně blízko x* v K. Bod x'( je zřejmě také v Xi, a proto i v X^. Navíc x'l >~i x* a p* ■ x'l < p* ■ e« + Eľ=i ' V*ji coz Je ve sporu s optimalitou x* v $i(p*). 2. SIMULTÁNNI OPTIMALIZAČNÍ PŘÍSTUP 187 □ V minulých několika letech poskytovaly předcházející tři věty modely, ve kterých předpoklady tvořené preferencemi byly významně oslabeny. Schmeidler (1969) zavedl existenci konkurenční rovnováhy pro hospodářství s nepřetržitými činiteli bez předpokládaných preferencí. Pro hospodářství s konečnou množinou činitelů, Sonnenschein (1971) obdržel existenci bez přechodných předpokládaných preferencí a Mas-Colell (1974) dokázal větu o existenci, která se obejde bez úplnosti tak dobře jako bez transitivity. Nyní je naším záměrem představit hlavní myšlenku Mas-Colellovy práce a jeho pokračování u Galeeho a Mas-Colella (1975), Shafera and Sonnenscheina (1975a, 1975b) a jiných autorů, zaměřením na zobecnění věty 3 zásluhou Shafera and Sonnenscheina. V souladu se symbolikou věty 2.4 zavedeme Pi z A do Ai definováním Pí{a) = {x G Ailfiid!,... ,ai^,x,ai+1, ...,an)> fi(a)}. Pro všechna a z A tato korespondence specifikuje množinu takových akcí, že i-tf agent ostře preferuje Oj,pokud ostatní agenti mají zadány akce (a\,..., <2j_i, a«+i,..., an). S pomocí tohoto nového pojmu koncepce můžeme definovat rovnováhu sociálního systému jako prvek a* z A takový, že pro všechna i G N, a* G (ß(a*) a Pi{ď) n (j)i{a*) = 0. Za předpokladů věty 2.4, má Pj otevřený graf (díky spojitosti f i) a pro všechna a G A, je množina P«(a) konvexní (díky kvazikonkávnosti f i v jeho i-té proměnné). Dle definice P« musí a« ^ Pí (a) nebo ekvivalentně di ^ coP(a)i pro všechna a e A, kde co znamená konvexní obal. Alternativní přístup sestává se stanovení jednoduchého konceptu korespondence Pi z Ado Ai a z předpokladu, že Pj má otevřený graf pro všechna a G A, a,i ^ coPj(a). Věta 6 tvrdí, že tyto předpoklady, což jsou značně oslabeny spojitost f i a kvazikonkávnost v jeho i-té proměnné, postačují k zajištění existence sociální rovnováhy. Věta 2.9 Jestliže množina Ai je neprázdná, kompaktní a konvexní podmnožina euklidovského prostoru pro všechna i G N, existuje otevřený graf korespondence z A do Ai takový, že a,i ^ coPj(a) pro všechna a e A a (a) J tj. /ij(a) je množina maximalizujících prvků gi(a, ■) v 0j(a). Podle lemmatu 2.3 je korespondence //j(a) shora polospojitá. V důsledku toho korespondence a \—> co /ij(a) z A do Aj je také shora polospojitá [Nikaido (1968, Th. 4.8) nebo Hildenbrand (1974, p. 26)]. Toto ihned předpokládá, že korespondence z A do A definována fj,(a) = xieNco^i(a) je shora polospojitá. Proto podle Kakutaniho věty má korespondence fi pevný bod a*. Pro všechna i £ N je a* £ co/ij(a*). Nicméně fii(a*) C 0, což znamená, že g,i(a*,x) > 0 pro každé x in jii(a*). Proto jJLi(a*) C Pj(a*). Ale to znamená, že a* G coPj(a*), spor. ■ 3 Přebytek poptávky V předešlé části jsme studovali problém existence konkurenční rovnováhy pro transformující se hospodářství včetně problému existence rovnováhy ve společenském systému složeného z konečného počtu činitelů, a zároveň jsme hledali jejich maximální užitkové funkce, nebo-li více obecně, snažili jsme se optimalizovat jejich preference. V této části budeme zkoumat druhý možný přístup, který se soustředí na přebytek poptávky korespondence hospodářství. 3. PŘEBYTEK POPTÁVKY 189 Nechť je S ekonomika stejné jako ve větě 2.5 a uvažme jednoduchý cenový vektor p z P. Nechť j-tý výrobce maximalizuje svůj zisk vzhledem k p ve své výrobě Yj. Označme množinu jeho zisku získaného maximalizací výroby jako rjj(p) a jeho maximální zisk jako 7Vj{p). i-tý spotřebitel maximalizuje svoji užitkovou funkci Ui na množině svého rozpočtu {n x G X\p ■ x < p ■ e{ + X ®ijKj(p) Označme množinu maximální užitečnosti spotřeby pod donucením jako Tak i-tý spotřebitel zvolí libovolný prvek x,i v Cí(p) a J-tý výrobce zvolí libovolný prvek y j v rji(p). Sdružený přebytek poptávky En \-^n v^"i • i í=i x% ~ l^j=i V j ~ 2^i=i ei Je Prvek množiny m n m cíp) = i=l j=l i=l Korespondence C z P do Re tak definovaná se nazývá korespondence přebytku poptávky hospodářství S. A p* dává rovnováhu volné dostupnosti hospodářství S tehdy a jen tehdy, jestliže existuje vektor z* z CÍP*) takový, že z* < 0 a p* ■ z* = 0. Opravdu, jak jsme nyní ukázali, p* dává rovnováhu volné dostupnosti hospodářství S tehdy a jen tehdy, jestliže CÍP*) protíná —Re+. Vskutku, jestliže CÍP*) ^ {~R+) Ý vezmeme bod z* z tohoto průniku. Protože z* G CÍP*) Pro všechna i, existuje x* v CíÍP*) a Pro všechna j existuje y* v i]j(p*) takové, že m n m z* = Z^-Z^*-Ze- i=l j=l i=l A protože z* < 0 stav ((:£*), (y*),p*) je dosažitelný. V důsledku toho pro všechna i je x* v Xj. Ale neexistuje nasycená spotřeba v Xj a to znamená, jak jsme viděli na konci důkazu věty 2.5, že pro všechna i n p . x = p . e. + 0i3-p • y j. 190 KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE Sumací přes i získáme p*z* = 0. Nyní se podíváme na vlastnosti korespondence (. Je dáno p z P pro všechna i, množina Je konvexní (protože je to množina maximalizátorů kvazikonkávních užitkových funkcí u,i na konvexní množině /^'(p)), a pro všechna j je množina rjj(p) konvexní (protože je to množina maximalizátorů lineární ziskové funkce y i—> p ■ y na konvexní množině Yj). Proto pro všechna p G P je množina ((p) jako suma konvexních množin také konvexní. Podle lemmatu 2.7 je pro všechna i korespondence fy spojitá, proto je podle lemmatu 2.3 korespondence ^ shora polospojitá. Také platí, že podle lemmatu 2.3 je pro všechna j korespondence rjj shora polospojitá. Proto je korespondence (jako suma horních polospojitých korespondencí také shora polospojitá. Konečně, pro všechna p G P, pro všechna i a pro všechna Xi z ^(p), pro všechna j a pro všechna y j z rjj(p) dostaneme n p-Xi < p ■ e,j + y^íjP ■ yj- i=i Odtud sumací přes i pro všechna p z P a všechna z z ((p) dostaneme P ■ z < 0. Stručněji pro všechna p z P máme p ■ ((p) < 0. Shrňme: korespondence ( je shora polospojitá a pro všechna p z P je množina £(p) kompaktní, konvexní a splňuje nerovnost p-C(p)<0. (3.1) Existence cenového vektoru p*, pro který £(p) protíná —Re+, bude odvozena z následující poučky [Gale (1955), Nikaido (1956), a Debreu (1956)]. V jejím tvrzení označíme poláru kužele C s vrcholem 0 G i?' výrazem C° = {y G Re\y ■ x < 0 pro všechna x G C}. Řekneme, že kužel s vrcholem 0 je degenerovaný když je prázdný nebo jestliže obsahuje pouze počátek, a že uzavřený konvexní kužel s vrcholem Oje poínted, jestliže neobsahuje žádnou přímku. S označuje jednotkovou kouli {x G P£|||x|| = 1}, tj. množinu bodů Re s Euklidovou normou. (Obrázek 5.4). Věta 3.1 Jestliže C je nedegenerováný pointed uzavřený konvexní kužel s vrcholem 0 v Re a (p*) n C° ^ 0. 3. PŘEBYTEK POPTÁVKY 191 Obrázek 5.4: Ilustrace pojmů ze strany 190 Důkaz. Poznamenejme nejprve, že vnitřek C° není prázdný. Jinak by byl konvexní kužel C° obsažen v nadro-vině H. V důsledku toho přímka D kolmá k H v 0 by byla obsažena v C00, což je pól C°. Nicméně C00 = C [Rockafellar (1970, kapitola 14)]. Takto by byla D obsažena v C, což je spor s předpokladem, že C je pointed. Vyberme vektor q ve vnitřku C° a definujeme n = {p E C\q-p = -1}. Nechť U je okolí q obsažené v C° a nechť p je libovolný bod C různý od 0. Pro všechna y E U platí y ■ p < 0. To implikuje q ■ p < 0. Proto každý bod p E C různý od 0 má jedinou projekci p/—q ■ p z 0 do II. Množina ľ! je zřejmě uzavřená a konvexní. Je také ohraničená. Abychom to viděli, předpokládejme opak, tj. 192 KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE že je tam posloupnost pn G II taková, že ||pn|| —y +00. Posloupnost pn/||Pn|| náleží do kompaktní množiny S. Proto můžeme vybrat podposloupnost p'n z pn takovou, že —y p°. Nicméně pro všechna n platí WnW WnW V limitě q ■ p° = 0, což odporuje skutečnosti, že pro p° v C různé od 0 platí q ■ p° < 0. Projekce p H> z II do C H S* je homeomorfismus. Proto korespondence p ■ z z II do R, tj. p(z) = {p G n|p • z = max II • z}. Podle lemmatu 2.3 je korespondence fi shora polospojitá. Mimoto pro všechna z ze Z je množina p (z) konvexní, protože je to množina bodů, ve kterých se realizuje maximum lineární funkce na konvexní množině. Uvažujme nyní korespondenci ip z II x Z do sebe definovanou i>(p,z) = v(z) x 4>ip)- Množina II x Z je neprázdná, kompaktní a konvexní. Korespondence ip je shora polospojitá a konvexní. Proto podle Kakutaniho teorému má pevný bod (p*,z*). Tedy p* G p{z*) a, z* e (f)(p*)- První z těchto vztahů implikuje že pro všechna p v II platí p ■ z* < p* ■ z*. Druhý pak implikuje, že p*z* < 0. Proto pro všechna p z U (a v důsledku toho pro všechna p z C) platí p ■ z* < 0. Odtud z* G C°. ■ Protože pólara Re+ je —Re+, existence cenového vektoru p* z P takového že C(p*)C\ (—Re+) 7^ 0 ihned plyne z výsledku, který jsme právě dokázali. Věta 3.1 zavádí existenci cenového vektoru dávajícího záporný nebo 3. PŘEBYTEK POPTÁVKY 193 nulový přebytek poptávky jako přímý důsledek hluboké matematické úvahy, Kakutaniho teorému pevného bodu. Lze se otázat, zda předcházející důkaz neužívá zbytečně mocné nástroje. Tato otázka byla záporně zodpovězena v Uzawa (1962a), který ukázal, že věta 3.1 přímo implikuje Kakutaniho větu o pevném bodu. Nechť ip je shora polospojitá konvexní korespondence z P do sebe. Ukážeme, že ip má pevný bod. Obrázek 5.5: Vysvětlení pojmů ze stránky 194 Pro všechna p z P definujme H(p) jako nadrovinu procházející nulou, ortogonální k p a nechť 0 implikuje yx < 0, proto yy < 0. Odtud yy = 0 a y = 0. Dále 0 G 0(p*) a p* G -ŕ/>(p*). Ekvivalence Kakutaniho věty a věty 3.1 nestačí k důkazu, že první z nich (nebo výsledek stejné síly) je nutná k existenci rovnováhy pro korespondenci převisu poptávky vytvořené tržními silami, která ma vlastnosti jmenované ve (3.1), což umožňuje získání rovnováhy základními prostředky. Proto je otázkou, zda pro danou korespondenci ( mající vlastnosti (3.1) existuje ekonomiha generující korespondenci převisu poptávky. Využíváme opakovaně skutečnost, že v ekonomice s předpokladem nenasycenosti spotřebitelů, jejichž preference splňují podmínky konvexity z vět 2.5 a 2.8, je každý z nich svázán rozpočtovým omezením a v důsledku toho je hodnota převisu poptávky rovna nule. Tato podmínka známá jako Walrasův zákon lze formálně vyjádřit jako pro každé p z definičního oboru ( platí p ■ ((p) = 0. Práce charakterizující funkci převisu poptávky (Shafer a Sonnestein, kap. 14 knihy [3]) dává odpověď na předešlou otázku v případě, že ( je spojitá funkce splňující Walrasův zákon. Nechť K je nějaká daná podmnožina relativního vnitřku P, pak ekonomika s l spotřebiteli vytváří funkci převisu poptávky shodující se na K se (. Tento výsledek, společně s Uzawovou poznámkou, ukazuje, že důkaz existence rovnováhy vyžaduje matematický aparát stejné síly jako teorie pevného bodu. Ve zbytku této části budeme studovat případ jednoduché ekonomiky s l komoditami a m spotřebiteli. Množina spotřeby i-tého spotřebitele je uzavřený kladný kužel Re+ v prostoru komodit Re a jeho relace preference ^ splňující následující předpoklady: uzavřenost: množina{(x,x') G Re+ x Re+\x ^ x'} je uzavřená monotonie: nechť x a rr'jsou dva body z Re+ takové, že x < x', pak x -0a majetek w > 0, pak rozpočtová množina j3i(p,w) = {x G Re+\px < w} 3. PŘEBYTEK POPTÁVKY 195 2-tého spotřebitele je kompaktní a neprázdná. Navíc (p,w) má okolí, na kterém je fy omezená. Podle lemmatu 2.7 je fy spojitá v bodě (p,w). Z uzavřenosti relace preference vyplývá [např. Debreu(1959)] exitence užitkové funkce reprezentující ^ na Re+. Maximalizace u,i na rozpočtové množině fy(p,w) dává množinu £(p,w) = {x G fy(p,w)\ pro každé y G fy(p,w) a y ^« x} nejlepších prvků Re+ pro ^ při rozpočtovém omezení px < w. Dle lemmatu 2.3 je korespondence poptávky ^ shora polospojitá. Monotónnost relace preference implikuje, že rozpočtové omezení je závazné, tj. p-£,i(p,w) = w, coz udává následující chování korespondence Xi [Hildebrant (1974, str. 103, Důsledek 1)]. Pro vektor x z Re definujeme normu \x\ = z^h=i \x \- Potom vzdálenost od počátku 0 k X C Re je dána jako d[0,X] = inf^xl^l- Uvažujme posloupnost (pq,wq) v P x R konvergující k (pq,w0) pro všechny q, pq náleží do relativního vnitřku P a wq > 0, zatímco p0 náleží do relativní hranice dP a w0 > 0. Jinými slovy q, pq ^> 0, zatímco p0 má některé složky nulové. Za těchto podmínek posloupnost d[0, £i(pq, wq)] jde do +oo, jak bude následně dokázáno. Lemma 4 Jestliže relace preference je uzavřená a monotónní na Re+,pq > 0 z P konverguje k pq z dP, wq > 0 z R konverguje k w0, pak d[0,£i(pq,wq)] —> +oo. Důkaz Předpokládejme, že tento závěr neplatí. Pak existuje podposloupnost (j/ , wq) z (pq, wq) taková, že d[0, £i(p'q, w')] je omezená. Pro každé q lze vybrat x'q z d[0, £i(p'q, w')] takové, že x'q je omezené. Proto lze z (p', wq, x'q) vybrat podposloupnost (pq,wq,xq) konvergující k (j)0,wq,Xq). Nechť B je uzavřená koule se středem 0, x0 náleží do jejího vnitřku a definujme fy jako fy(p,w) = B n fy(p,w). Pokud wq > 0, pak korespondence fy je dle lemmatu 2.7 spojitá na (po, w$). Dle lemmatu 2.3 je xq nejlepší 196 KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE prvek z J3i(po,wo) vzhledem k relaci preference, přestože je xq z vnitřku B a po má některé složky nulové. Proto existuje x z $í{pq,Wq) takové, že x0 < x, tudíž x0 -< x, což je spor s optimalitou x0 z $i{po, w0).O Nyní zavedeme dodatečnou podmínku na relaci preference Slabá konvexíta: Nechť x, x' jsou prvky Re+ takové, že i ^ i' a r G [0,1], pak x ^« (1 — r)x + rx'. Tento předpoklad znamená, že pro všechna p>0zPaw>0Giíje množina ^(p, w) konvexní. Korespondence poptávky ^ je definována pro všechna (p,w) E P x R taková, že p > 0 a w > 0, její hodnoty jsou konvexní podmnožiny Re+, je shora polospojitá, splňuje rovnost pXí(p,w) = w a má hraniční vlastnost jestliže (pg,Wq) je posloupnost z P x R konvergující k (po,Wq) (i) pro každé q,pq ^> 0 a wq > 0, (ii) po G dP a w0 > 0, pak d[0,£i(pq,wq)] —> +oo. Místo původní relace preference splňující podmínky uzavřenosti, monotonie a slabé konvexity můžeme vzít korespondenci ^ splňující předešlé (podstatně slabší) předpoklady. Nyní definujeme ekonomiku £ specifikovanou pro každé i = 1,.., m, korespondenci poptávky ^ a počáteční dotací ^> 0 z Re i-tého spotřebitele. Formálně £ = (6, ej)j=i,..,m. Pro daný cenový vektor p ^> 0 je hodnota dotace i-tého spotřebitele rovna pei, poptávková množina £i(p,pei), převis poptávky je £i(p,pe«) — e« a převis poptávky celé ekonomiky £ je m Vlastnosti korespondence ( celé ekonomiky £ jsou ihned získány z podmínek pro individuální korespondence, (je definováno pro všechna p > 0 z P, jeho hodnoty jsou podmnožiny Re, je zdola ohraničená, shora 3. PŘEBYTEK POPTÁVKY 197 polospojitá a splňuje Walrasův zákon: Pro všechna p>0zP platí p • C(p) = 0 Podmínku ohraničeností: Pokud pg > 0 z P konverguje k pq g <9P, pak d[0, C(j?q)] ~~^ +oo. Tyto vlastnosti zajišťují existenci vektoru cen p, pro který platí 0 g Cip)- Hildebrandově formě (1974, str.150,Lemma 1) předcházeli McKenzie (1954), Gale (1955), Nikiado (1956), Debreu (1956), Arrow a Hahn (1971), Dieker (1974, část 8). Uvedený důkaz je od Neuefinda (1977). Věta 3.2 Nechi korespondence ( je konvexní, zdola omezená, shora polospojitá, splňuje Walrasův zákon a podmínku ohraničeností. Pak existuje p* > 0 z P takové, že 0 g CÍP*)- Důkaz. Nechť i E = {pe P\p* > 0 a 3z g Cip) tak, že ^ zh < 0}. h=l Protože ( je zdola ohraničená, pro měnící se p g E je vzdálenost d[0, C(j?)] omezená. Z podmínky ohraničenosti plyne, že v E neexistuje posloupnost pq jdoucí k pq g dP. V důsledku toho je vzdálenost od p k d P zdola omezená kladným reálným číslem. Tedy existuje konvexní kužel C s vrcholem v 0 g Re takový, že E c int C a C \ 0 c int Aplikací věty 3.1 na kužel C a korespondenci ( obdržíme p* g C h P takový, že C(P*) H C° ^ 0. Nechť z je prvkem tohoto průniku. Podle Walrasova zákona (l/£,..,l/£) náleží do E, a proto i do C a Y^h=i zh — 0- P* patří do E, resp. int C. Navíc, díky dalšímu užití Walrasova zákona, platí p* ■ z = 0. Tato rovnost pro p* g int C a z g C° dává z = 0. ■ Nyní zavedeme dodatečnou podmínku na relaci preference. Ostrá konvexíta: Nechť x,x' jsou dva různé body z Re+ takové, že x ^ x' a r je reálné číslo z (0,1), pak x -w) ma jediný prvek, který označíme fi(p,w). Tak je v ekonomice S, pro všechna i = 1, ..,m, specifikována poptávková funkce f] a počáteční obdaření e^. Funkce převisu poptávky F je definována pro každé p>0zP následovně m f(p) = ^2\fi(p,pei) - ei}- Každý bod (p, w), pro který p ^> 0, w > 0, má okolí, v němž je f i ohraničená. V takovém okolí polospoji-tost shora korespondence (p, w) \—> fi(p, w) znamená spojitost funkce f]. Proto je funkce F spojitá pro každé p ^> 0. Další vlastnosti funkce F vyplývají z vlastností korespondence (. Konkrétně je F zdola omezená, splňuje Walrasův zákon: Pro všechna p>0zP platí p ■ F (p) = 0 Podmínku ohraničeností: Pokud pg > 0 z P konverguje k p0 g dP, pak —y +oo. Jako důsledek Věty 8 [Dieker(1974, část 8)] uvedeme, že tyto vlastnosti implikují existenci cenového vektoru p, pro který F(p) = 0. Důsledek 3.3 Nechť F je spojitá, zdola omezaná, splňuje Walrasův zákon a podmínku omezeností, pak existuje p* ^> 0 takový, žeF(p*) = 0. Přímá cesta k obdržení tohoto důsledku závisína různé normalizaci vektoru p, který omezíme, aby měl jednotkovou euklidovskou normu. Tedy p náleží do kladné části jednotkové koule se středem v počátku S = {p g Re\p > 0, ||p|| = 1}. Z Walrasova zákona vyplývá, že vektor F(p) je pro cenový vektor p z S kolmý k p, a proto ho lze vzít jako tečnu k S v bodě p. Jinými slovy F může být bráno jako vektorové pole na S. Z podmínky omezenosti 3. PŘEBYTEK POPTÁVKY 199 a předpokladu existence dolní meze pro F vyplývá, že F(p) směřuje k hranici dS. Existuje (pomocí obvyklého argumentu jako v části 6) p* z S takové, že F(p*) = 0 (Obrázek 5.6). Obrázek 5.6: Ilustrace pojmů ze strany 199 200 KAPITOLA 5. EXISTENCE ROVNOVÁHY V KONKURENČNÍ EKONOMICE Kapitola 6 Dynamické systémy s aplikacemi v ekonomii Tato kapitola je podstatným způsobem založena na článku H.R. Variana [30]. Přináší přehled některých základních matematických výsledků týkajících se dynamických systémů, které prokázaly svou užitečnost v ekonomii. 1 Základní pojmy 1.1 Dynamický systém v Rn Stav systému je složený z celkového popisu, co potřebujeme znát k tomu, abychom mohli popsat budoucí změny systému. Ve většině ekonomických aplikacích je stav systému popsán n-ticí reálných čísel. Stavový prostor systému je složen ze všech možných nebo příslušných stavů. Téměř ve všech ekonomických aplikacích je stavový prostor považován za podmnožinu Rn. V některých aplikacích je pak stavový prostor považován za topologický ekvivalent jednotkového kruhu, Dn = {xeRn : \\x\\ < 1}. 201 202 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII Příklad 1.1 Předpokládejme standardní obecný model rovnováhy, kde máme fc-rozměrný vektor přebytkových poptávek, z(p) je homogenní funkce k nezáporných cen. Potom získáme stavový prostor ekonomiky jako množinu všech nezáporných cen, Rk+. Mnohem vhodnější volba stavového prostoru může být založena na poznatku, že ceny mohou být normalizovány za požadavku, že J^pf = 1. Takovýto stavový prostor bude právě kladný ortant jednotkové sféry, Sk-ľ = {x e Dk :\\x\\ = l,x> 0}. Poznamenejme, že S*-1 je topologicky ekvivalentní jednotkovému kruhu dimenze k — 1. Označme X stavový prostor systému, který splňuje dané podmínky. Stavová přechodová funkce T je funkce z X x R do X. Přitom reálnou část chápeme jako čas a T{x,t) nám udává stav systému v čase t, jestliže v čase 0 se systém nacházel ve stavu x. Ve většině aplikací není stavová přechodová funkce zadána explicitně, ale implicitně, a to systémem diferenciálních rovnic, Xi{t) = ^(í) = /i(a:i(í),...,a:n(í)), i = 1,..., n. Xi(0) = x0i. Vektorově pak: x{t) = f{x{t)), x(0) = Xq. Nechť x : R —> X je řešením tohoto systému diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou x(t) = x0. Potom pomocí x(t) definujeme stavovou přechodovou funkci takto: T(xq, t) = x(t). 1. ZÁKLADNÍ POJMY 203 Někdy chceme zdůraznit závislost stavu v čase t na počátečním stavu x. V takovémto případě definujeme operátor toku diferenciální rovnice $>t(x) jako: ^t(x) = T(x,t). Dynamický systém potom definujeme jako stavový prostor se stavovou přechodovou funkcí. Pěkný způsob vizualizace těchto představ je přes použití vektorového pole. Tím zde myslíme přiřazení vektoru f(x) každému bodu x ze stavového prostoru. Křivky řešení (tzn. trajektorie, orbity atd.) pro systém diferenciálních rovnic x = f (x) budou právě obrazy funkce &t(x), kde t bude procházet přes všechna reálná čísla a x přes S. Je zřejmé, že jestliže x je bodem křivky řešení <&t(-), potom f[x) je tečným vektorem k této křivce v bodě x. Viz obrázek 6.1 na straně 204. 1.2 Dynamické systémy na varietách V některých ekonomických aplikacích chceme, aby byl stavový prostor mnohem obecnější než Rn nebo Dn. Vhodnou koncepcí se zdá být pojem stavového prostoru na varietách. Nejdříve budeme definovat uzavřený poloprostor Hm = {(x1}..., xm) G Rm : xm > 0}. Potom definujeme pojem difeomorfismu. Zobrazení / : X —> Y je difeomorfismus, jestliže / je homeomorfismus a jak / tak f~ľ jsou diferencovatelné. Nakonec můžeme definovat pojem variety. Definice. Podmnožina X C Rk je hladkou m-varietou, jestliže pro každé x G X je okolí U H X difeomorfní s otevřenou podmnožinou V H Hm poloprostoru Hm. (Čtenář by měl být upozorněn, že toto se obvykle nazývá varieta s hranicí. Jelikož však většina variet, které zde budeme uvažovat, bude mít hranice, jeví se úspornější používat tuto terminologii.) Nechť x je bodem m-variety X. Nechť g je difeomorfismus mezi U H X a V fl Hm vzhledem k x. Potom g se nazývá parametrizací U H X. Jelikož g je zobrazením mezi Rk a Rm, jeho derivace je reprezentována maticí ľ)g(x) řádu k x m. Tečným prostorem variety X v bodě x je obraz prostoru Rm podle lineárního zobrazení Dg~ľ(y), kde y = g (x). 204 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII Vektrorové pole KňVJkj/ řešen/ Obrázek 6.1: Ilustrace pojmů ze stránky 203 2. ZÁKLADNÍ NÁSTROJE 205 Z geometrického pohledu chápeme varietu jako zobecnění myšlenky m-dimensionální roviny a tečný prostor jako zobecnění pojmu tečné nadroviny. Vektorové pole na varietě X je zobrazení / : X —> Rm takové, že f(x) je tečným prostorem variety X v bodě x. Tedy / můžeme považovat za definici obyčejného systému diferenciálních rovnic na podmnožině prostoru Rk. Pomocí vět o existenci a jednoznačnosti můžeme najít řešení x : R —y Rk k tomuto systému diferenciálních rovnic. Jelikož je vždycky tečný vektor k x (t) v bodě x tečnou k povrchu variety x, musí ležet křivky řešení diferenciálního systému ve varietě X. Takto vlastně vektorové pole / definuje přirozeným způsobem dynamický systém na X. 2 Základní nástroje Pro daný systém diferenciálních rovnic a stavový prostor se objevuje řada otázek: 1. Existence řešeni: Zda pro dané x = f {x) a x(0) = x0 existuje nutně řešení x(t). Jaké má vlastnosti x{t)l 2. Existence rovnováhy: Vyskytují se nějaké body x*, pro něž platí f{x*) = 0? 3. Počet rovnovážných stavů: Kolik existuje rovnovážných stavů? 4. Lokální stabilita rovnováhy: Pokud je systém slabě vychýlen z rovnováhy, vrátí se do ní? 5. Globální stabilita rovnováhy: Jestliže začneme z libovolného stavu x, je systém schopen se dostat do rovnovážného stavu? 6. Existence cyklů: Jestliže začneme ve stavu x, vrátíme se do něj zpět? Následující pasáže popisují některé z matematických nástrojů používané pro řešení předešlých otázek. 206 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII 2.1 Existence, jednoznačnost a spojitost řešení Nechť / : X —> Rn a x = f {x) definuje systém diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami x(0) = x0. Řešením systému je diferencovatelná funkce x : I —> X, kde I je interval v R tak, že: (1) ^f(*) =/(*(*)), (2) x(0)=x0. Z existence a jednoznačnosti řešení plyne: Věta 2.1 Nechť X je otevřená podmnožina Rn a nechť xq je prvkem X. Nechť f : X —> Rn je spojitě diferencovatelná funkce. Pak existuje a > 0 a jediné řešení x : (—a, a) —> X diferenciální rovnice x = f (x), které splňuje počáteční podmínku x(0) = xq. Z této věty plyne, že pro existenci řešení stačí, že / je spojitá. Z jednoznačnosti řešení plyne jedno důležité topologické omezení, že výsledné grafy (křivky) se nesmí křížit. Tento druh regularity je velmi dalším cenným omezením pro spojitou diferencovatelnost. Velmi často nás zajímá vývoj tvaru výsledných křivek na základě počátečnícj podmínek. Zejméno, pokud se výsledné křivky mění spojitě, pak, pokud x,y jsou dostatečně blízko, pak $t(rr) a §t{y) jsou taky blízké. Věta 2.2 Nechi f je definována stejné jako v předchozí větě a nechť y : [ío^i] -> X je řešením našeho systému tak, že y (ta) = y$. Pak existuje okolí U'(y0) bodu y0 tak, že pro libovolné x0 z U(yo) existuje řešení y : [to,ti] —> X tak, že x (ta) = x0 a nějaká konstanta K tak, že \y(t) — x(t)\ < K\y0 — Xa\exp(\K(t — ť;0))|), pro všechna t G [to, ti]. Tato věta říká, že tok diferenciální rovnice $t : X —> X je spojitý jakožto funkce x. 2. ZÁKLADNÍ NÁSTROJE 207 2.2 Existence rovnováhy Rovnováha dynamického systému x = f (x) je bod x*, pro který f (x*) = 0. Pokud dynamický systém je v rovnováze, zůstane v ní napořád. Řešme otázku, jak se dynamický systém dostane do rovnovážné situace. Věta 2.3 Nechi f : Dn —> Rn je spojité vektorové pole na jednotkové koulí, které na hranící koule směřuje dovnitř; tj. x ■ f(x) < 0 pro všechna x G Dn tak,že \ \x\ \ = 1. Pak existuje x* G Dn tak, že f(x*) = 0. Samozřejmě věta je pravdivá pro libovolný stavový prostor homeomorfní ke kruhu. Příklad 2.4 Vezměme v úvahu Walrasův model popsaný v příkladě 1.1, strana 202. Uvažujme z(p) jakožto funkci na S^T1. Mějme tři předpoklady o z: 1. Spojitost Funkce z(p) : S1^1 —> Rk je spojitá. 2. Walrasův zákon: p ■ z(p) = 0 pro p G S^T1. 3. Vhodnost: Zi(p) > 0, pokud Pí = 0, i = 1,..., k. Pak existuje p* G S1^1 tak ,že z(p*) = 0. Pro pochopení si představme, že Walrasův zákon implikuje ,že z(p) musí ležet v tečném prostoru pro S1^1 a z vhodnosti pak plyne, že z(p) směřuje dovnitř pro p na hranici S1^1. Výsledek pak plyne z předchozí věty. Předpoklady věty mohou být oslabeny několika způsoby. Například následující předpoklad nahradí Walrasův zákon. 4. Žádná inflace: Pro každé p G S1^1 neexistuje t ^ 0 tak, že z(p) = tp. Všimněme si, že můžeme zobrazit z(p) na tečný prostor pro S1^1 bez zavedení nové rovnováhy. Obdobně okrajové podmínky v existenční větě mohou být zbytečně velmi omezující. Slabší nahrazení je předpoklad, že / nikdy nesměřuje přímo ven z hranice Dn. 208 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII 5. Nikdy nesměřuje ven: Pro každé x G Dn, \ \x\\ = 1 neexistuje t > 0 tak, že f (x) = tx. Abychom omezili tento případ na původní případ, poznamenejme jen, že můžeme Dn uzavřít koulí o poloměru 2. Na hranici koule definujeme vektorové pole -x = — x/\\x\\, jež evidentně směřuje dovnitř. Nyní plynule rozšíříme toto vektorové pole na původní pro Dn tak, že bereme konvexní kombinace /(rr/||:c||) a —Jednoduše vidíme, že nová konstrukce nezavádí žádné nové nulové body, takže aplikujeme přímo existenční tvrzení. 2.3 Jednoznačnost rovnováhy Předpokládejme, že máme hladký dynamický systém na kouli, který ukazuje dovnitř na hranicích koule. Z posledního odstavce víme, že existuje alespoň jedna rovnováha x*. Za jakých podmínek bude pouze jedna rovnováha? Základním nástrojem, který nám odpoví na tuto otázku, je Poincarého index vektorového pole. Rozmysleme si prvně jednorozměrný případ. Nechť -x = f(x) definuje hladké vektorové pole na jednotkovém intervalu, které ukazuje na hranici dovnitř; tj. /(O) > 0 a /(l) < 0. Potom se ukáže několik zřejmých věcí: 1. Kromě „degenerovaných" případů existuje konečný počet rovnováh. 2. Obecně je toto číslo liché. 3. Jestliže f'(x*) má ve všech rovnovážných bodech pouze jedno znaménko, může existovat pouze jedna rovnováha, viz obr. 6.2. Ukazuje se, že všechny tyto postřehy můžeme zobecnit pro vícedimenzionální případy. V tomto případě buď / : Dn —> Rn hladké vektorové pole na kouli Dn, které ukazuje dovnitř na hranici Dn. Nechť x* je rovnovážný stav. Index I(x*) stavu x* je definován jako: 2. ZÁKLADNÍ NÁSTROJE 209 Obrázek 6.2: Jednoznačnost rovnovážného stavu 210 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII + 1 jestliže det(-D/(x*)) > 0, -1 jestliže det(-D/(x*)) > 0, číslo závisející na topologických úvahách jestliže det(-D/(x*)) = 0. Nyní máme základní větu diferenciální topologie: Věta 2.5 (Poincaré-Hopf) Předpokládejme, že f : Dn —> Rn má konečný počet izolovaných rovnováh x i, i = 1,... ,k, a že f směřuje dovnitř na hranici Dn. Potom k £/(sť) = +l. 1=1 Příklad 2.6 Aplikujme nyní tuto větu na problém jednoznačnosti Walrasovy rovnováhy. Mějme vektorové pole dané z : S^1 —> Rk. Abychom mohli vypočítat index každé rovnováhy, potřebujeme zvolit lokální parametrizaci g : S^1 —?■ Rk~1. Je geometricky jasné, že projekce na Rk~x může sloužit jako odpovídající parametrizace. Algebraicky to pouze znamená, že zapíšeme k x k Jacobiho matici Dz(p*) a vynecháme poslední řádek a sloupec. Index rovnováhy I(p*) je determinant det(—Dz(p*)) Jacobiho matice typu {k — 1) x {k — 1). Nyní můžeme použít Milnorův argument a dojdeme k tomu, že jestliže det(—Dz(p*)) ^ 0 ve všech rovnováhách pro p*, pak existuje pouze omezený počet rovnováh. Jednoznačnost potom vyplývá jednoduše: jestliže je det(—Dz(p*)) > 0 ve všech rovnováhách, může být pouze jediná. Jestliže je pouze jediná rovnováha, pak det(—Dz(p*)) > 0. 2.4 Lokální stabilita rovnováhy Nechť x* je rovnováha dynamického systému. Přibližně řečeno, tato rovnováha je lokálně stabilní, jestliže se systém vrací k x* z okolních stavů. Jestliže by rovnováha byla ekonomicky významná v systému, který by zůstával stabilní po jakoukoliv dobu, potom by měla být lokálně stabilní. Budeme níže formulovat přesnou představu tohoto pojmu a prozkoumáme dále kritéria stability: 2. ZÁKLADNÍ NÁSTROJE 211 Dennice. Rovnováha je lokálně asymptoticky stabilní, jestliže existuje nějaké e > 0 takové, že \xq — x*\ < e implikuje, že $>t(xo) konverguje k x* pro t jdoucí do nekonečna. Věta 2.7 Nechi x* je rovnováha funkce f : X —> Rn a nechi Df{x*) má všechny vlastní hodnoty záporné. Potom je x* lokálně asymptoticky stabilní. Příklad 2.8 Uvažujme Walrasův model rovnováhy popsaný dříve (Příklady 1.1, 2.4 a 2.6). Zde bude dobré vybrat trochu odlišnou normalizaci pro ceny. Nastavme fc-tou cenu rovnu jedné a měřme ostatní ceny vzhledem k ní. Nechť z je zobrazení, které přiřazuje k k — 1 normalizovaným cenám k — 1 přebytků poptávky. Podle Walrasova zákona, jestliže p* > 0 a zi(p*) = 0, z2{p*) = 0, ..., Zk-i(p*) = 0, pak zk{p*) = 0; potom rovnováhy systému p = z{p) jsou přesně Walrasovy rovnováhy p*, které budou lokálně stabilní, jestliže Dz(p*) má všechny vlastní hodnoty záporné. Jaká je ekonomická interpretace této podmínky? Podle Slutského rovnice můžeme psát Dz(p*) jako n n i=i i=i kde Si(p*) je substituční matice pro i-tého spotřebitele (o níž je známo, že je negativně definitní) a Yi(p*) je důchodový efekt pro i-tého spotřebitele. Matice S(p*) je negativně definitní a proto má všechny vlastní hodnoty záporné; proto jestliže není „agregátní důchodový efekt" Y(p*) příliš veliký, pak systém p = z{p) bude lokálně stabilní v p*. 2.5 Globální stabilita rovnováhy Nechť x* je rovnováha dynamického systému. Potom x* je globálně stabilní, jestliže se x(t) přibližuje k x* pro t jdoucí do nekonečna, pro libovolnou počáteční podmínku x0. Tedy x* je globálně stabilní, jestliže lim^oo^(:r) = x* pro všechna x. Zřejmě globální stabilita implikuje lokální stabilitu; avšak globální stabilita je o mnoho silnější podmínka. Kdy řekneme, že je dynamický systém globálně stabilní? Základním nástrojem je pojem Lyapunovovy funkce. 212 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII Dennice. Nechť x = f {x) je dynamický systém na X s rovnováhou x*. Předpokládejme, že můžeme najít diferencovatelnou funkci V : X —> R takovou, že V(x*) = 0, V(x) > 0 pro x ý x*, DV(x(t))/dt < 0 pro x^x* Potom V nazýváme Lyapunovovou funkcí. Přitom druhá podmínka nám říká, že derivace funkce V podél trajektorií systému V(x) je na X negativně definitní. Základním výsledkem je: Věta 2.9 Buď f : X —>• Rn dynamický systém s X kompaktní a s rovnováhou x*. Předpokládejme, že můžeme najít Lyapunovovu fci pro tento systém. Potom x* je globálně stabilní rovnováha. Bohužel obecně neexistuje jednoduchý způsob nalezení Lyapunovovy funkce. Ve většině ekonomických aplikací jsou ale Lyapunovovy funkce přirozené. Lyapunovova metoda poskytuje postačující podmínku stability. Pokud máme vhodnou funkci, ověření je snadné. Příklad 2.10 Nechť p* je rovnováha Walrasova systému p = z (p). Předpokládejme, že z(p) se řídí „slabým axiomem odhalených preferencí" tak, že p* ■ z{p) > 0 pro všechna p ^ p*. Potom p* je globálně stabilní rovnováha. Abychom toto mohli dokázat, potřebujeme ukázat, že stavový prostor lze vybrat kompaktní a systém připouští Lyapunovovu funkci. Vynecháme první část důkazu a jednoduše ukážeme, že V(p) může být vybráno tak, aby V(p) = \\p — p*\\2 = Y^í=iÍPí ~ Pí)2-Pro provedení důkazu stačí derivovat V(p(t)): 2. ZÁKLADNI NÁSTROJE 213 a použít skutečnost, že pi(t) Ziip(t)): dV(p(t)) k k 2 ^Pí(í)^(p(í)) - ^K(í)^(p(í)) = "V • *(p) < 0 i=l i=l přičemž poslední krok plyne z Walrasova zákona a slabého axiomu odhalených preferencí. 2.6 Existence cyklů Nechť / : X —> Rn, x = f (x) je hladký (smooth) dynamický systém. Bod x je v uzavřené orbitě, jestliže x není rovnováha, ale <&t{x) = x pro nějaké t ^ 0. Tedy, stav je v uzavřené orbitě, jestliže se systém nakonec vrací do tohoto stavu. Uzavřené orbity se obvykle nazývají cykly. Užitečné kritérium pro existenci uzavřených orbit je Poincaré-Bendixsonova věta. Abychom mohli uvést tuto větu, potřebujeme některé definice. Bod y G X je uj-limitní bod pro x, jestliže existuje posloupnost tn —> oo, která má limitu límn^00Qtn(y) = x. u-limitní množina pro x, L^x) je množina všech limitních bodů pro x. Jestliže x* je rovnovážný bod, pak L^x*) je tvořen pouze bodem x*. Jestliže x* je globální stálá rovnováha, pak L^x) = x* pro libovolné x G X. Jestliže x leží na uzavřené orbitě C, pak L^x) = C. Ve vyšších dimenzích mohou mít w-limitní množiny složité struktury. Nicméně v dvourozměrných systémech je jejich struktura celkem jednoduchá: Věta 2.11 Neprázdná kompaktní uj-limitní množina spojitě diferencovatelného systému v R2, který neobsahuje rovnovážný bod, je uzavřená orbita. Příklad 2.12 Mějme Walrasiánský systém se třemi druhy zboží tak, že p = z (p) definuje dynamický systém na S+. Předpokládejme, že tento systém ukazuje dovnitř z hranice S+, a berme tento systém jako dynamický systém na D2. Víme, že musí existovat nejméně jedna rovnováha p*, kde z(p*) = 0. Předpokládejme, že všechny rovnovážné body jsou zcela nestálé (totally unstable) ve smyslu, že vlastní hodnoty Dz(p*) jsou kladné. Potom musí existovat uzavřená orbita - „tržní cyklus". 214 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII Důkaz je přímou aplikací Poincaré-Bendixsonovy věty. Nejprve si všimněme, že může existovat pouze jedna rovnováha p*. Zvolme nějaké jiné p G D2 a uvažme w-limitní limitu L^p). Ta je neprázdná, uzavřená a tedy kompaktní podmnožina na D2. Dále neobsahuje žádný rovnovážný bod kromě p*, který je jediný a nestabilní. Tedy L^p) musí být uzavřená orbita. 3 Některé speciální druhy dynamických systémů Doposud jsme se zabývali obecnými dynamickými systémy. V této kapitole se budeme zabývat dvěma speciálními typy dynamických systémů, které se často využívají v ekonomii. 3.1 Systémy gradientů Dynamický systém na X, / : X —> Rn, x = f (x) se nazývá systém gradientů, pokud existuje nějaká funkce V : X —> R, kde f(x) = — ~DV(x). Funkce V(x) se často nazývá potenciálová funkce systému; f(x) se nazývá gradient V na x. Geometrická interpretace gradientních systémů je důležitá. Na obrázku 6.3 na straně 215 je nakreslen graf potenciálové funkce V : R2 —> R a také vrstevnice (level sets) tohoto grafu v R2. Směrová derivace (directional derivative) V(x) ve směru h = (h1}..., hn), \\h\\ = 1 se definuje jako DV(x) ■ h. Směrová derivace ukazuje, jak rychlý bude přírůstek funkce V ve směru h. Navíc, jak výše uvedený vzorec naznačuje, je přesnou projekcí DV(x) na vektor h. Proto je jasné, že projekce bude maximalizována, pokud DV(x) sám ukazuje ve směru vektoru h. Takže máme pěknou geometrickou interpretaci gradientu: ukazuje ve směru, kde je přírůstek V nejrychlejší. Navíc není těžké vidět že vektor DV(x) musí být kolmý na vrstevnice V v bodě x. Na vrstevnicích V v bodě x jsou spolu propojeny body s konstantní hodnotou V = const. Proto směrová derivace V ve směru tečny na vrstevnici V na, x musí být nulová. To ale říká, že vektor ~DV(x) je kolmý na libovolný tečný vektor a proto je kolmý na vrstevnice samé. 3. NĚKTERÉ SPECIÁLNÍ DRUHY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 215 V(x1 ,x2) Obrázek 6.3: Systém gradientů 216 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII Podle těchto sledování velice lehce zkonstruujeme trajektorii x = — DV (x), jakmile známe funkci V. Typický příklad je na obrázku 6.3. Některé speciální vlastnosti systémů gradientů jsou: Věta 3.1 Nechi f : X —> Rn je dána předpisem x = f (x) = —DV (x), kde V : X —>• R je nějaká hladká funkce. Pak platí: 1. Je-li x* izolované minimum V, je x* asymptoticky stabilní rovnováha pro x = —DV(x); 2. Každý uj-limitní bod trajektorie je rovnováha. 3. Vlastní hodnoty D f (x) jsou reálné pro všechna x g X. Část 3. věty 3.1 plyne z toho, že D f (x) je přesně a musí tedy být reálná symetrická matice. Často je důležité vědět, že opak platí. Pokud máme dynamický systém na X, x = f (x) tak, že D f (x) je vždy reálná symetrická matice, pak existuje potenciálová funkce V : X —y R taková, že f (x) = — DV(x). Příklad 3.2 Uvažme poněkud stylizovaný Walrasiánský model, kde spotřebitelé mají užitečnostní funkce lineární v penězích. Problém maximalizace užitečnosti spotřebitele i je: max Ui(xi) + rrii za podmínky p ■ x,i + = wi} Xi = požadavek i-tého spotřebitele na zboží (x\,..., x!?), ^ rrii = požadavek i-tého spotřebitele na peníze, Wi = počáteční obdaření i-tého spotřebitele penězi, p = cenový vektor o složkách (pi,... ,Pk)-Poptávková funkce i-tého spotřebitele x,i(p) musí splňovat podmínky 1. řádu, ôuiixiip^/ôxj =pj, j = 1,..., k, neboli vektorově ĽUi(Xi(p)) = p. 3. NĚKTERÉ SPECIÁLNÍ DRUHY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 217 Diferencováním této identity podle p dostaneme JÝuí(xí(p)) ■ ĽXi(p) = Ek. Tedy T>Xi{p) = [Ľ2Ui(xi(p))] i Odtu pak Jakobián pro poptávkovou funkci každé osoby je inverze Hessiánu funkce užitku. Nyní nechť u je nějaká agregátní nabídka k zboží a definujme přebytkovou agregátní poptávkovou funkci z(p) = Yľi=i xí(p) ~ u- Uvažujme dynamický systém p = z (p). Po spočítání je pak ~Dz(p) reálná symetrická matice, takže máme systém gradientů. Není příliš obtížné najít potenciálovou funkci tohoto systému. Nechť je Vi(p) = Ui(xi(p)) nepřímá funkce užitku funkce i-té osoby. Pak potenciálová funkce systému p = z (p) je dána jako Další vlastnosti pak vyplývají velice rychle. Pokud předpokládáme, že Uí(xí) je ostře konkávni funkce, D2Uí(x) bude negativně definitní matice. Proto má všechny vlastní hodnoty záporné. Aplikací předchozích výsledků uvidíme, že systém má jedinou globální stabilní rovnováhu, která fakticky minimalizuje sumu nepřímých funkcí užitku. 3.2 Hamiltonovské systémy Buď x = f(x,y), ý = g(x,y) dynamický systém pro lapalxľCjfx Rn. Tento systém se nazývá hamiltonovský systém, pokud máme funkci H : X x Y —^ R, hamiltonovskou funkci tak, že: n i=l x = f(x,y) = DyH(x,y), V = g(x,y) = BxH(x,y). 218 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII Hamiltonovské systémy vycházejí úplně přirozeně z klasické mechaniky a slouží k sjednocení studia mnoha jevů v této oblasti. Ekonomové si nedávno začali uvědomovat mnoho jejich přirozených aplikací v ekonomii. Základním znakem hamiltonovských systémů v ekonomii je, že mají obvykle žádoucí vlastnosti stability. V klasické teorii hamiltonovských mechanismů je H kvadratická, takže hamiltonovské systémy jsou lineární systémy diferenciálních rovnic. V tomto případě, klasická Poincarého věta ukazuje, že je-li A vlastní hodnota lineárního systému v bodě (x*,y*) pak —A je také vlastní hodnota. Proto rovnováhy hamiltonovských systémů jsou symetrické sedlové body. Obecně, když jsou hamiltoniány nelineární, stejný typ sedlových bodů se vyskytuje, pokud je funkce H(x, y) konkávni v x a konvexní v y. 4 Některé nové techniky V této části se budeme zabývat dvěma novými oblastmi studia dynamických systémů a diskutovat jejich potenciální aplikace v ekonomii. 4.1 Strukturální stabilita Buď / : X —>• Rn vektorové pole na nějakém stavovém protoru X. Potom, přibližně řečeno, je tento systém strukturálně stabilní, jestliže malá výchylka ve funkci / nezmění topologickou strukturu vektorového pole x = f(x). Uvažme například případ, kde X = R2 a f(x) = Ax, kde A je regulární matice typu 2x2. Potom víme, že počátek je jediným rovnovážným bodem v systému a topologická povaha toku kolem počátku je dána povahou vlastních hodnot matice A. Pro "většinu"voleb A bude systém daný x = Ax strukturálně stabilní, protože malé výchylky v A nezmění znaménko vlastních hodnot. Jediná výjimka je, když obě vlastní hodnoty mají reálnou složku nulovou. V tomto případě se tok systému skládá z uzavřených orbit obklopujících počátek. Nicméně malé výchylky A, které dávají vlastním hodnotám nenulové reálné složky, ukazují tok bez jakýchkoli uzavřených orbit. Topologická struktura systému ukazuje drastickou změnu - máme případ strukturální nestability. 4. NĚKTERÉ NOVÉ TECHNIKY 219 Vraťme se nyní k původnímu nastavení pro vektorové pole x = f {x). Vezměme za stavový prostor tohoto systému Dn. Nechť V je prostor všech spojitě diferencovatelných funkcí z Dn do Rn a opatřený standardní normou pro funkce třídy C1; dvě funkce jsou blízké, jestliže jejich funkční hodnoty jsou blízké a jejich derivace jsou blízké. Potom můžeme brát perturbaci (výchylku) / jako volbu nějaké funkce v nějaké £-kouli se středem /. Chceme, aby topologická struktura pole x = f {x) byla invariantní vzhledem k malým výchylkám /. Co to znamená? Jak můžeme popsat představu, že dvě vektorová pole mají stejné kvalitativní rysy? Související pojem je pojem topologické ekvivalence. Zhruba řečeno, toky dvou dynamických systémů na Dn jsou topologicky ekvivalentní, jestliže existuje homeomorfismus h : Dn —> Dn, který přenese orbitu z jednoho toku na orbitu toku druhého. Homeomorfismus můžeme uvažovat jako spojitou změnu souřadnic, takže topologická ekvivalence dvou toků znamená, že můžeme najít spojitou změnu souřadnic tak, že jeden tok vypadá jako druhý. Nakonec definujeme pojem strukturální stability. Dynamický systém x = f {x) na Dn je strukturálně stabilní, jestliže existuje nějaké okolí funkce / takové, že pro každou funkci g v tomto okolí, tok indukovaný polem x = g{x) je topologicky ekvivalentní s tokem /. Volně řečeno, dynamický systém je strukturálně stabilní, jestliže malé výchylky původní funkce / nezmění kvalitativní povahu toku. 4.2 Teorie katastrof Mějme dynamický systém daný / :Ix7l-> Rn, x = f (x, a). Systém je zde uvažován jako parametrizovaný nějakým parametrem a = (a1;..., ar). Předpokládejme, že parametr a je pomalu proměnný v čase. Většina malých časových změn v a nezpůsobí radikální změny v kvalitativní povaze dynamického systému. Nicméně někdy dostaneme opravdu strukturální změnu. Například, mějme systém na R1 daný oc — oc I Oj • Jestliže a je kladné, neexistuje rovnováha systému. Jestliže a je nulové, existuje právě jedna rovnováha, 220 KAPITOLA 6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY S APLIKACEMI V EKONOMII x* = 0; a jestliže a je záporné, existují dvě rovnováhy x\ = —o}l2,x*2 = +a1^2. Topologická povaha systému prodělá radikální změnu, když a prochází nulou. Říkáme, že nula je bod katastrofy systému Cílem teorie katastrof je klasifikovat všechny cesty, ve kterých systém může prodělat strukturální změnu. Bohužel tento cíl je velmi daleko. Současný stav této teorie je dobře rozvinutý pouze ve studiu lokálních katastrof systémů gradientů. Nechť V : Rn x Rr —y R je potenciální funkce pro systém gradientů. Rn interpretujme jako stavový prostor systému a Rr jako parametrický prostor. Potom rovnováhy systému x = DxV(x, a), jsou právě singularity funkce V(x,a); x* je rovnováha tehdy a jenom tehdy, pokud se DxV(x,a) rovná nule. Tedy otázka, jak se změní povaha systému x = DxV(x, a),, když se změní a, se může zredukovat na hledání singularit V(x, a). Příklad uvedený výše x = x2 + a odpovídá této konstrukci, protože je to systém gradientů s V(x, a) = x3/3 + ax. Pozoruhodné je, že pro r <= 4, že existuje pouze sedm odlišných druhů „stabilních" singularit. Je to sedm základních katastrof podle Thomova klasifikačního teorému. Zhruba řečeno, „nedegenerovaná" singularita V(x, a) může být klasifikována jako jeden z těchto sedmi základních typů. Příklad uvedený výše, kde V(x, a) = x3/3 + ax, je příklad překladové (záhybové) katastrofy, nejjednodušší elementární katastrofy. Kapitola 7 Dualita v mikroekonomii 1 Úvod Co se myslí tím, když se řekne, že existuje dualita mezi nákladovou a produkční funkcí? Předpokládejme, že je dána produkční funkce F a že u = F (x), kde u je maximální množství výroby (produkce), které může být vyrobeno technologií během určitého období, jestliže vektor vloženého (vstupního) množství x = (xi, x2,..., x^v) je užit během období. Tudíž produkční funkce F popisuje technologii dané firmy. Na druhou stranu minimální celkové náklady firemní výroby na nej menší výstup (produkci) úrovně u dané vstupními cenami (pi,P2, ■ ■ ■ ,Pn) = P jsou definovány jako C(u, p) ) a to je samozřejmě funkce u, p a dané produkční funkce F. To co není tak samozřejmé, je to, že (za určitých podmínek regularity) nákladová funkce C(u, p) rovněž zcela popisuje technologii dané firmy, tj. daná firemní nákladová funkce C může být použita k definování firemní produkční funkce F. Tudíž se jedná o dualitu mezi nákladovou a produkční funkcí v tom smyslu, že každá z těchto funkcí může popisovat technologii firmy stejně dobře. V první části této kapitoly rozvineme tuto dualitu mezi nákladovou a produkční funkcí podrobněji. V druhé části odvodíme podmínky regularity, jež nákladová funkce C musí mít (bez ohledu na tvar funkce 221 222 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII nebo zvláštních regulárních vlastností produkční funkce F), a ukážeme, jak může být produkční funkce zkonstruována z dané nákladové funkce. Ve třetí části rozvineme tuto dualitu mezi nákladovou a produkční funkcí vícero formálnějším způsobem. Ve čtvrté části budeme uvažovat o dualitě mezi (přímou) produkční funkcí F a vzájemně si odpovídající nepřímou produkční funkcí G. Daná produkční funkce F, vstupní ceny p = (j?i,P2, ■ ■ ■ ,Pn) a vstupní rozpočet y dolarů, nepřímé produkční funkce G(y, p) je definována jako maximální výstup (produkt) u = F (x), který může být vyroben (vyprodukován) daným rozpočtem vynuceným vstupními náklady pTx = Y^iLi VO^í V-Tudíž nepřímá produkční funkce G(y,p) je funkcí maximálního přípustného rozpočtu y, vstupních cen p, se kterými výrobce počítá a produkční funkci F výrobce. Za určitých regulárních podmínek se ukáže, že G může také zcela popisovat technologii a tudíž je tu dualita mezi přímou a nepřímou produkční funkcí. Výše uvedené duality mezi náklady, produkcí (výrobou) a nepřímou produkční funkcí se také může interpretovat v kontextu teorie spotřeby: prostě nechat (dovolit) F být užitkovou funkcí spotřebitele, x vektorem nakoupeného zboží (nebo nájemné), u užitkovým stupněm spotřebitele a y příjmem spotřebitele nebo výdaji (náklady) na N komodit. Potom C(u, p) je minimální náklad (výdaj) dosahující užitkový stupeň u daný tak, že spotřebitel počítá s cenami p za zboží a to je dualita mezi užitkovou funkcí F spotřebitele a funkcí C, která je často nazývána nákladovou (výdajovou) funkcí v kontextu teorie spotřebitele. Podobně G(y, p) může být nyní definována jako maximální užitek, který spotřebitel může dosáhnout tak, že počítá s cenami p a příjem y vydá na N komodit. V souvislosti se spotřebitelem je G nazývána jako nepřímá užitková funkce spotřebitele. Tudíž každá z našich duálních teorií má dvě interpretace: jednak v souvislosti s výrobou a jednak v souvislosti se spotřebitelem. V části 2 chceme využít výrobní teoretickou terminologii kvůli konkrétnosti. Nicméně v následující části budeme používat více neutrální terminologii, která bude zahrnovat jak produkční tak i spotřební interpretaci. Produkční resp. užitkovou funkci F budeme nazývat agregační funkce, nákladovou resp. výdajovou funkci C nákladová funkce a nepřímou produkční resp. užitkovou funkci G nepřímá agregační funkce. V páté části je zavedena funkce vzdálenosti D(u, x). Vzdáleností funkce poskytuje ještě další způsob charakteristiky technologie. Hlavní použití vzdálenostní funkce je v konstrukci Malmquistova (1953) množstevního 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' indexu. V části 6 prodiskutujeme několik dalších teorií duality: tj. prodiskutujeme další metody pro ekvivalentní popis technologie, buď lokálně nebo globálně, v jednovstupém nebo v iV-vstupém kontextu. Čtenář, který se zajímá o aplikaci, může přeskočit části 3-6. Matematické teorie prezentované v části 2-6 mohou vypadat jen jako čistě teoretické výsledky (pro matematické účely) bez praktického využití. Avšak toto není ten případ. V části 7-10 předvedeme některé aplikace dříve rozvinutých teorií. Tyto aplikace spadají do dvou hlavních kategorií: 1)měření technologií nebo preferencí (část 9 a 10) 2)odvození srovnatelných statistických výsledků (část 7 a 8). V části 10 se zaměříme na firmy, které mohou produkovat mnoho výstupů, zatímco zpracovávají mnoho vstupů (kdežto předtím jsme se zabývali pouze jedním vstupem). Uvedeme některé teorie duality a povšimneme si jejich některých aplikací. Nakonec v části 11 a 12 se krátce zmíníme o některých dalších oblastech ekonomiky, kde mohou být duální teorie aplikovány. Důkazy jsou v některých částech vynechány : důkazy mohou být nalezeny v odkazované literatuře nebo v Diewertovi (1982). 2 Dualita mezi nákladovou (výdajovou) a produkční (užitkovou) funkcí: Zjednodušený pohled Předpokládejme, že máme dánu N- rozměrnou vstupní produkční funkci F: u = F (x), kde u je množství vyprodukovaného výstupu za určitou dobu a x = (x1;..., x^r) > O^v je nezáporný vektor vstupu zpracovaného za tuto dobu. Dále předpokládejme, že výrobce může nakoupit množství zpracovávaných vstupů za pevné kladné ceny p = (pi,..., p^v) >> On a že se výrobce nepokusí mít monopolní sílu na trhu vstupů.* *V části 11 je tato podmínka zmírněna. 224 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Nákladová funkce výrobce C je definována jako výsledek problému minimalizace ceny výroby při zachování výstupní úrovně u, za podmínky, že výrobce počítá se vstupním vektorem cen p: V této části je ukázáno, že nákladová funkce C vyhovuje překvapivému počtu podmínek regularity, bez ohledu na funkcionální tvar produkční funkce F, poskytující jen řešení cenového minimalizačního problému 2.1. V následující části je ukázáno, jak tyto podmínky regularity nákladové funkce mohou být pužity v případě důkazu komparativních statistických teorií o odvození poptávkové funkce pro vstupy ([24]). Dříve než zavedeme vlastnosti nákladové funkce C, je vhodné dát prostor následujícím minimalizačním podmínkám regularity produkční funkce F: Předpoklad 1 pro F F je spojitá shora, tj. pro všechna u G rangeF je L(u) = {x : x > O^v, F(x) > u} uzavřená množina. Jestliže F je spojitá funkce, pak samozřejmě F bude rovněž spojitá shora. Předpoklad 1 je dostatečný k implikaci toho, že řešení cenového (nákladového) minimalizačního problému 2.1 existuje. Následujících sedm vlastností pro nákladovou funkci C může být nyní odvozeno jen za předpokladu, že produkční funkce F vyhovuje předpokladu 1. Vlastnost 1 pro C Pro každé u G prostor F a p ^> On, C(u, p) > 0, tj. C je nezáporná funkce. X Důkaz. C(u,p) = min{pTx : x > O^v, P(x) > u} X = pTx*, kde x* > 0N a F(x*) > u > 0, neboť p 3> 0^ a x* > 0^. 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' Vlastnost 2 pro C Jestliže p ^> On a k > O, potom C(u,kp) = kC(u,p) pro každé u G rangeF, tj. nákladová funkce je (jednoznačně) lineárně homogenní ve vstupních cenách pro fixní výstupní úroveň. Důkaz. Nechť p ^> On, k > 0 a u G rangeF. Pak Vlastnost 3 pro C Jestliže nějaká kombinace vstupních cen roste, pak minimální produkční náklady reálného výstupu úrovně u se sníží, tj. jestliže u G rangeF a p1 > p°, pak C(u, p1) > C(u, p°). Důkaz. Vlastnosti nákladové funkce byly intuitivně zřejmé z ekonomického pohledu. Ale následující důležité vlastnosti nejsou tak intuitivně zřejmé. Vlastnost 4 pro C Pro všechna u G rangeF, C (u, p) je konkávni funkce p. C (u, kp) min{(A;p) x : F(x) > u} x k min{pTx : F (x) > u} = k C (u, p). > > 226 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Důkaz: Nechť u E rangeF, p° > 0N, p1 > 0N a O < A < 1. Pak C(u, p°) = min{p0Tx : F(x) > u} = p0Tx° a X C(u, p1) = min{p1Tx : F(x) > w} = p1Txx. Nyní X C(u, Ap° + (1 - A)px) = min{(Ap° + (1 - A)p1)Tx : F(x) > u} X = (Ap° + (1 - A)p1)TxA = Ap0TxA + (1 - A)p1TxA > Ap0Tx° + (1 — A)p1Tx1, neboť xA je přípustné pro minimalizaci nákladů ve spojitosti s cenovým vektorem vstupů p° a p1, ale není nutně optimální pro tyto úlohy = AC(m,p0) + (1-A)CKp1). Základní idea ve výše uvedeném důkazu je opakovaně použita v duální teorii. Vzhledem k neintuitivní povaze vlastnosti 4 je asi výhodné poskytnout geometrickou interpretaci ve 2-vstupovém případě (tj. N = 2). Předpokládejme, že výrobce produkuje výstup úrovně u. Definujme množinu S° jako množinu nezáporných kombinací vstupů, které jsou buď na nebo pod optimální nákladovou čárou (izokvantou), kdy výrobce počítá s cenami p°; tj. S° = {x : p0Tx < C(u, p°),x > 0^}, kde C° = C(u,p°) = p0Tx° je minimum produkčních nákladů výstupu u daných tak, že výrobce počítá s cenami p° ^> On- Všimněme si, že vektor vstupů x° řeší nákladovou minimalizační úlohu v tomto případě. Nyní předpokládejme, že výrobce počítá se vstupními cenami p1 ^> On a definujme Sľ,Cľ, a x1 analogicky, tj. S1 = {x : p1Tx < C(u, p1), x > 0^}, C1 = C (u, p1) = P1Tx1, kde vektor vstupů x1 řeší nákladový minimalizační problém, kdy výrobce počítá s cenami p1. Nechť 0 < A < 1 a nyní předpokládejme, že výrobce počítá s průměrnými cenovými vstupy Ap°+(1 — A)p1. 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' Definujme S , C a x jako předtím: Sx = {x: (Ap0 + (l-A)p1)Tx07V}, Cx = C(M,Ap0 + (l-A)p1) = (Ap° + (l-A)p1)TxA, kde xA řeší nákladový minimalizační problém, kdy výrobce počítá s průměrnými cenami Ap° + (1 — A)p1. Nakonec uvažujme nákladovou izokvantu, která by byla výsledkem, jestliže výrobce spotřebovává průměr ze dvou počátečních nákladů AC° + (1 — A)C1, odpovídajících průměru cen vstupů Ap° + (1 — A)px. Množina nezáporných kombinací vstupů, která je buď na nebo pod nákladovou linií, je definována jako množina S* = {x : (Ap° + (1 — A)p1)Tx < AC° + (1 — A)C1, x > 0^}. K ukázání konkávnosti C potřebujeme ukázat, že Cx > XC° + (1 — A)C1 nebo (ekvivalentně) potřebujeme ukázat, že Sx obsahuje množinu S*. To může být dokázáno tak, že nákladová izokvanta příslušící množině S*, L* = {x : (Ap° + (1 —A)px)Tx = AC°+(1 —A)C1} protíná průnik nákladových izokvant příslušících množinám S° a S1. Nákladová izokvanta příslušící množině Sx, Lx = {x : (Ap° + (1 — A)px)Tx = Cx} je zřejmě souběžná (paralelní) s L*. A konečně Lx musí být buď shodná s L* nebo ležet nad ní, protože kdyby Lx byla pod L*, tak by existoval bod na u izokvantě, který by ležel pod alespoň jednou z nákladových izokvant L° = {x : p0Tx = C0} nebo L1 = {x : p1Tx = C1}, což by odporovalo minimalizaci nákladů v x° nebo x1. Vlastnost 5 pro C Pro všechna u G rangeF, C (u, p) je spojitá v p pro p ^> On- [Důkaz této vlastnosti je založen na výsledcích ve Fenchelovi (1953, str.75) a Rockafellarovi (1970, str. 82).] Vlastnost 6 pro C C (u, p) je neklesající v u pro pevné p, tj. jestliže p ^> 0N,u°,uľ G rangeF, a u° < u1, pak C(u°,p) < C{u\p). 228 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Důkaz: Nechť p ^> On, u°, u1 G prostor F a u° < u1. Pak C (u1, p) = min{pTx : F (x) > u1} x > min{pTx : F(x) > u0}, neboť kdyby u° < u1, pak x {x : F(x) > u1} C {x : F(x) > m0} a minimum pTxnad větší množinou nemůže růst = C(u°,p). V porovnání s předcházejícími vlastnostmi nákladové funkce vyžaduje následující vlastnost silný matematický aparát. Protože tyto matematické závěry jsou užitečné nejenom v této kapitole, ale i v kapitolách následujících, na chvíli odbočíme a uvedeme je. V následujících definicích nechť S značí podmnožinu IRM, T je podmnožinou IRX, {xn} je posloupnost bodů z množiny S a {yn} posloupnost bodů z množiny T. Pro úplnější diskusi o následujících definicích a teoriích — viz. [3, Chapter 1 of the Handbook, Green a Heller]. Definice: $ je korespondence (mnohoznačné zobrazení) z S do T, jestliže pro každé x E S existuje neprázdná množina obrazů Q(x), která je podmnožinou T. Definice: Korespondence $ je shora semispojitá (neboli shora hemispojitá) v bodě x° G S, jestliže \imnxn = x°, yn G Q(xn), \imnyn = y°, implikuje y° G Q(x°). Korespondence $ je zdola semispojitá v bodě x° G S, jestliže \imnxn = x°, y° G Q(x°) implikuje, že existuje posloupnost {yn}, tak že yn G Q(xn) a \imnyn = y°. Korespondence $ je spojitá v x° G S, jestliže je shora a zdola semispojitá v bodě x°. Lemma 2 [Berge (1963, p. 116)]: 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' $ je shora semispojitá korespondence na S právě tehdy, když graf $ = {(x,y) : x G S,y G &(x)} je uzavřená množina S x T. Theorem shora semí-spojitého maxima [Berge (1963, p. 116)] Nechť / je shora spojitá funkce definovaná na S x T, kde T je kompaktní (uzavřená, ohraničená) podmnožina MK. Předpokládejme, že $ je korespondence z S do T a že $ je shora semi-spojitá na S. Pak funkce g definovaná g (x) = maxy{/(x, y) : y G &(x)} je jednoznačně definována a je shora semi-spojitá na S. Theorem maxima [Debreu (1952, pp. 889 - 890); (1959, p. 19); Berge (1963, p. 116)] Nechť / je spojitá funkce reálných hodnot definovaná na S* x T, kde T je kompaktní podmnožina M.K. Nechť $ je korespondence z 5 do T a nechť $ je spojitá na S. Definujme (maximum) funkce g jako g (x) = m&xy{f(x,y) : y G &(x)} a korespondenci £ jako = {y : y G $(rr) a f (x,y) = g (x)}. Potom funkce g je spojitá na 5 a korespondence £ je shora semi-spojitá na S. Vlastnost 7 pro C Pro každé p ^> 0n,C(u,p) je zdola spojitá v u; tj. jestliže p* ^> 0n,u* G range F, un G rangeF pro všechna n, u1 < u2 < ... a lim-un = u*, pak limn C(un,p*) = C (u*, p*). Důkaz vlastnosti 7 se nachází v Diewert (1982). Za účelem přiblížení této vlastnosti v C, čtenář může zjistit, že je výhodné zvolit N = 1 a nechat produkční funkce F (x) jako následující krokovací funkci (shora spojitá) [Shepard (1970, p. 89)]: F (x) = {0, jestliže 0 < x <; 1, jestliže 1 < x < 2; 2, jestliže 2 < x < 3;... }. Pro p > 0 je odpovídající nákladová funkce C (u, p) následující (zdola spojitá) krokovací funkce: C (u, p) = {0, jestliže 0 = u;p, jestliže 0 < u < 1; 2p, jestliže 1 < -u < 2;... }. 230 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Výše uvedené vlastnosti nákladové funkce mají empirické důsledky, jak si ukážeme později. Nicméně, jeden důsledek může být uveden na tomto místě. Předpokládejme, že můžeme sledovat náklady, vstupní ceny a výstup (zisk) pro firmu a předpokládejme dále, že máme ekonometricky odhadnutou následující lineární nákladovou funkci: kde a a 7 jsou konstanty a p3 je vektor konstant. Může být (2.2) skutečnou nákladovou funkcí firmy? Odpovědí je ne, jestliže firma konkurenčně minimalizuje náklady a jestliže jedna ze dvou konstant a a 7 je nenulová, v tomto případě C nevyhovuje Vlastnosti 2 (lineární homogenita cen vstupů). Nyní předpokládejme, že máme určenou nějakou skutečnou nákladovou funkci C firmy, ale že neznáme produkční funkci F firmy (s výjimkou toho, že F splňuje Předpoklad 1). Jak můžeme použít danou nákladovou funkci C(u,p) (splňující výše uvedené vlastnosti 1 - 7) k vytvoření příslušné produkční funkce F(x) firmy? Odpovídající k produkční funkci u = F (x) je skupina produkčních isoploch {x : F{x) = u} nebo skupina rovinných množin L(u) = {x : F{x) > u}. Pro každé u G prostoru F může být nákladová funkce použita k vytvoření krajní aproximace množiny L(u) následujícím způsobem. Vyberte ceny vstupů p1 ^> 0^ a nakreslete povrch izokvanty {x : p1Tx = C(u,pľ)}. Množina L(u) musí ležet nad (a protínat) touto množinou, protože C(u,pv) = minx{p1Tx : x G L (u)}; tj. L (u) C {x : p1Tx < C(-u,p1)}. Vyberte další dodatečné vstupní cenové vektory p2 ^> On, p3 ^ On, • • • a graf povrchů izokvanty {x : p1Tx = C(u,pľ)}. Je lehce vidět, že L (u) musí být podmnožinou všech množin {x : p1Tx < C(u,pľ)}. Tedy: C (u, p) ct + (5 p + 7it (2.3) P>0jv tj. L (u) množina skutečných produkčních možností musí být obsažena v množině L* (u) krajních aproximovaných produkčních možností, která je obdržena jako průnik všech opěrných celkových nákladových poloprostorů na skutečné množině technologií L(u). 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' -u isoquant^ {x:F(x) = u} c* \ \ L°-A ApJ + 11-MpJ XCO + ll-MC1 Xpjj + d-Mpjj cVpJ Ľ (0,01 Obrázek (2.1) Na obrázku (2.1) je L*(u) označena přerušovanou čarou. Povšimněte si, že okraj (hranici) této množiny vytváří aproximace skutečných isokvant u a že tyto aproximované isokvanty se kryjí se skutečnými jen zčásti, nemají zpětné zakřivení a nekonvexní části skutečných isokvant. Jestliže již byla skutečná skupina množin L*(u) aproximovaných produkčních možností vytvořena, aproximované produkční funkce může být definována jako F*(x) = maxjíí : x G L*(u)} = maxjíí : pTx < C (u, p) pro každé p ^> On} (2.4) pro x > On- Všimněme si, že maximalizační problém definovaný ve (2.4) má nekonečný počet omezení (jedno omezení pro každé p ^> On)- Tedy (2.4) může být použito k definování aproximované produkční funkce F*, máme-li pouze nákladovou funkci C. Je jasné (viz. obrázek 2.1), že aproximovaná produkční funkce F* se nebude obecně překrývat se skutečnou funkcí F. Je tedy také jasné, že z hlediska sledovaného tržního chování, jestliže výrobce konkurenčně minimalizuje náklady, potom nezáleží, zda výrobce minimalizující náklady podléhá omezení produkční funkce dané jako F nebo F*: pozorovaná tržní data nás nikdy nepřivedou ke zjištění, zda výrobce má výrobní funkci F nebo aproximovanou funkci F*. Je také jasné, že jestliže chceme, aby se aproximovaná produkční funkce F* kryla se skutečnou funkcí F, 232 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII pak je nezbytné, aby F splňovala následující dva předpoklady: Předpoklad 2 pro F F je neklesající, tj. jestliže x2 > x1 > On, pak F{x2) > F(xľ). Předpoklad 3 pro F F je kvázi-konkávni funkce, tj. pro každé u G prostoru F, L (u) = {x : F (x) > u} je konvexní množina. Jestliže F splňuje Předpoklad 2, potom zpětné zakřivení izokvant nemůže nastat, jestliže F splňuje Předpoklad 3, potom nekonvexní izokvanty, znázorněného modelu, na obrázku 2.1, nemohou nastat. Není příliš obtížné si všimnout, že pokud F splňuje Předpoklady 1-3 a nákladová funkce C se počítá podle (2.1), potom aproximovaná produkční funkce F* (spočítaná podle (2.4)) se bude krýt se skutečnou produkční funkcí F, tj. je zde dualita mezi nákladovými funkcemi splňujícími Vlastnosti 1-7 a produkčními funkcemi splňujícími Předpoklady 1-3. První člověk, který dokázal Theorem formální duality byl Shephard V následující části si uvedeme podobný Theorém duality po zavedení některých silnějších podmínek na příslušnou produkční funkci F. Následující výsledek je podklad pro mnoho teoretických a empirických aplikací teorie duality. Lemma 3 [Hicks (1946, p. 331); Samuelson (1947, p. 68); Karlin (1959, p 272); a Gorman (1976)] Předpokládejme, že produkční funkce F splňuje Předpoklad 1 a že nákladová funkce C je definována pomocí (2.1). Nechť u* G prostoru F, p* ^> 0^ a předpokládejme, že x* je řešení minimalizace nákladů při produkci u*, když ceny vstupů p* existují, tj. (1953). (2.5) X Jestliže navíc je C derivovatelná podle cen vstup; v bodě (u*,p*), pak: (2.6) 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' kde VpC(u*,p*) = [dC{u*,p\,... ,p*N/dp!,.. .,dC{u*,p\,... ,p*N)/dpNf je vektor prvních parciálních derivací C podle složek cenového vektoru vstupů p. Důkaz: Libovolný vektor vhodných vstupních cen p ^> On,x* je přípustný pro problém minimalizace nákladů definovaný pomocí C(u*,p), ale není nutně optimální, tj. pro každý p ^> On máme následující nerovnost: pTx* > C(u*,p). (2.7) Pro p ^> On definujme funkci g(p) = pTx* — C(u*,p). Z (2.7) plyne, že g(p) > 0 pro p ^> On a z (2.5) g{p*) = 0. Tedy, g(p) nabývá globálního minima v p = p*. Protože g je diferencovatelná v p*, musí být splněna první nezbytná podmínka pro lokální minimum: VPg{p*)=x*-VpC{u\p*) = 0N, které implikuje (2.6). Q.E.D. Tedy derivace nákladové funkce výrobce C(u,p) podle cen vstupů p dává výrobcův systém funkcí poptávky po vstupech, který minimalizuje náklady x(u,p) = VpC(u,p). Výše uvedená lemma by měla být pečlivě srovnána s následujícím závěrem. Lemma 4 [Shephard (1953, p. 11)] Jestliže nákladová funkce C(u,p) splňuje Vlastnosti 1-7 a navíc je diferencovatelná podle cen vstupů v bodě (u*,p*), pak x(u*,p*) = VpC(u*,p*), (2.8) kde x(u*,p*) = [xi(u*,p*),...,Xn(u*,p*)]T je vektor množství vstupů minimalizující náklady potřebných k vytvoření u* jednotek výstupu, máme-li ceny p*, kde příslušná produkční funkce F* je definována pomocí (2.4), u* e prostoru F* a p* > Ojv- 234 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Rozdíl mezi Lemmatem 3 a Lemmatem 4 je, že Lemma 3 předpokládá existenci produkční funkce F a nestanovuje vlastnosti nákladové funkce, kromě derivovatelnosti, zatímco Lemma 4 předpokládá pouze existenci nákladové funkce splňující příslušné podmínky regularity a odpovídající produkční funkce F* je definována za použití dané nákladové funkce. Tedy, z ekonometrického pohledu, Lemma 4 je užitečnější než Lemma 3: za účelem získání podobného systému vstupních poptávkových funkcí, vše, co musíme udělat je předpokládat funkční tvar C, který splňuje příslušné podmínky regularity a derivovat C podle složek cenového vektoru vstupů p. Není nutné odhadnout odpovídající produkční funkci a také není nutné trvat na někdy obtížné algebře při derivování funkcí poptávky po vstupech prostřednictvím Lagrangeových technik. Historické poznámky Tvrzení, že existují dva nebo více ekvivalentní způsoby popisující výkony a technologii, tvoří jádro teorie duality. Matematickým základem pro ekonomickou teorii duality je Minkowského Věta (1911), uvedená v Fenchel (1953, p. 48-50) a Rockafellar (1970, p. 95-99): každá uzavřená konvexní množina může být reprezentována jako průnik svých opěrných podprostorů. Tedy, za jistých podmínek, uzavřená konvexní množina L(u) = {x : F{x) >u,x> On} může být reprezentována jako průnik podprostorů generovaných nákladovými izoplochami dotýkajícími se množiny produkčních možností L(u),f]p {x : pTx > C(u,p)}. Jestliže spotřebitel (výrobce) má rozpočet y > 0, který spotřebuje na N komodit, pak maximální užitek (nebo výstup) při cenách p^> On může obdržet jako řešení rovnosti y = C (u, p) nebo řešením (kde upotřebíme lineární homogenitu C v p) pro u jako funkci normalizovaných cen, p/y-. Nazvěme výslednou funkci G, tak že u = G{p/y). Alternativně, G může být definována přímo z produkční funkce F následujícím způsobem pro p 3> O^v, y > 0: 1 = C {u,p/y) (2.9) = max (2.10) nebo 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' Houthakker (1951-52, p. 157) nazval funkci G nepřímou užitkovou funkcí a, stejně jako nákladovou funkci C, také může charakterizovat preference nebo technologické zvláštnosti za jistých podmínek (Část 4 dále). Důvod pro uvedení tohoto u této části oddílu je, že historicky to bylo zavedeno do ekonomické literatury před nákladovou funkcí od Antonelliho (1971, p. 349) v 1886 a potom Kónusem (Konyus) (1924). Tedy, první článek, který připustil, že preference mohou být ekvivalentně popsány přímou nebo nepřímou funkcí užitku ukázal Konyus a Byushgens (1926, p. 157), kteří si všimli, že rovnice u = F (x) a u = G (p/y) jsou ekvivalentní pro stejné body, ale v odlišných souřadnicích: první rovnice je v bodových souřadnicích, zatímco druhá v rovinných a tečných souřadnicích. Konyus a Byushgens (1926, p. 159) také zavedli minimalizační problém, který dovoluje odvodit přímou užitkovou funkci z nepřímé užitkové funkce a, konečně, znázornili do grafu různé preference v cenovém prostoru pro případ dvou druhů zboží. Teorie duality v anglicky psané literatuře pravděpodobně začala dvěma články od Hotellinga (1932, 1935), který asi jako první ekonom užil slovo dualita: Stejně tak jako máme užitkovou funkci u spotřebních veličin, jejichž derivací jsou ceny, tak máme duálně funkci cen, jejíž derivací jsou spotřební veličiny. [Hotelling (1932,p. 594)]. Hotteling (1932, p. 594) také připustil, že nákladová funkce může být zobrazována křivkami, které jsou konkávne rostoucí, tj. poznal, že nákladová funkce C(u,p) by vyhovovala doplněné podmínce v p. Hotelling (1932, p. 590; 1935, p. 68) také zavedl ziskovou funkci II, která poskytuje ještě další způsob jak může být popsána technologie klesajících výnosů z rozsahu. S použitím našeho zápisu je funkce II definována jako II(p) = max {F(x)-pTx} (2.11) Hotelling určil, že poptávkové funkce, maximalizující zisk [xi(p),..., xn(p)]T = x(p), mohou být obdrženy diferencováním ziskové funkce, tj. x(p) = —Vpn(p). Tedy, jestliže je n třídy C2, tak lze snadno odvodit Ho-tellingovy podmínky symetrie (1935, p. 69): Op j OpiOpj opi 236 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Roy (1942, p. 20) definoval nepřímou užitkovou funkci G* jako v (2.10) výše a potom odvodil analogii Lemma 3, výše uvedené, která je nazvána Royova identita (1942, pp. 18-19), P\ -VpG*(p,y) xi^\ = °p~,\. (2.13) \yj VyG*(p,y) kde x(p/y) = [xi(p/y),... ,xn(p/y)]T je vektor poptávkových funkcí maximalizujících užitek získaných tak, že spotřebitel (výrobce) má ceny p ^> On a důchod y > 0 na spotřebu. Roy (1942, pp. 24-27) ukázal, že G* se snižuje v ceně p, v důchodu a homogenní stupně 0 v (p,y); tj. G*(Xp,Xy) = G*(p,y) pro A > 0. Tedy G*(p,y) = G*(p/y, 1) = G(p/y) = G(v), kde v = p/y je vektor normalizovaných cen. V článku z roku 1947 Roy odvodil následující verzi Royovy identity (1947, p. 219), kde nepřímá užitková funkce G je použita místo G*: , x dG(v) IA dG(v) =-^"7 5>"^ -1.2,....iV. (2.14) Francouzský matematik Ville (1951, p. 125) také odvodil užitečné vztahy (2.14) v roce 1946. Snad proto by měla (2.14) být nazývána Villeho identita. Ville (1951, p. 126) si všiml, že jestliže přímá užitková funkce F(x) je lineárně homogenní, potom nepřímá funkce G (v) = max x{F(x) vTx < 1, x > O^v} je homogenní stupně —1, tj. G(Xv) = X~ľG(v) pro A > 0,v ^> 0n a tedy —G(v) = = Y^/jLivj (dG(v)/dvj). Substituce poslední identity do (2.14) dává jednodušší rovnici (viz. také Samuelson (1972)]: Xi(v) = -d\nG(v)/dvi, i = l,2,...,N. (2.15) V tomto oddíle by měl být také uveden Antonelli (1971, p. 349), který získal Royovu verzi identity v 1886 a Konyus a Byushgens (1926, p. 159) téměř odvodili toto v roce 1926 následujícím způsobem: vzali v úvahu problém minimalizovaného nepřímého užitku G (v) s normalizovanou cenou v při omezení vTx = 1. Jak si Houthakker (1951-52, pp. 157-158) později všiml, tento minimalizační problém s omezením generuje přímou užitkovou funkci, tj. pro x ^> On máme: F(x) = min{G(í;) : vTx < l,v > 0N}- (2.16) 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' Konyus a Byushgens získali podmínky prvního řádu pro problém (2.16): VvG(v) = fix. Jestliže vyloučíme Lagrangeův multiplikátor fi z tohoto posledního systému rovnic užitím vTx = 1, získáme vztah x = VVG(v) j'v1VVG(v), který je v (2.14) zapsán ve vektorovém tvaru. Konyus a Byushgens však tento poslední krok přesně neprovedli. Jiné pozoruhodné pojednání napsal Wold (1943-44). Definoval zde nepřímou užitkovou funkci G(v) (nazval ji „funkce cenové preference") a ukázal, že plochy indiference cenového prostoru jsou konvexní k počátku nebo lineární,tj. ukázal, že G(v) je kvazikonvexní funkce"!" pfi normalizovaných cenách v. Woldova raná práce je shrnuta v Wold (1953, str. 145-148). Malmquist (1953, str. 212) také definuje nepřímou užitkovou funkci G (v) a ukazuje, že je to kvazikonvexní funkce ve v. Jestliže produkční funkce F vyjadřuje konstantní výnosy z rozsahu produkce (tj. F(\x) = XF(x) pro všechna A > 0,x > On) a je spojitá, potom se odpovídající nákladová funkce rozkládá následujícím způsobem: Nechť u > 0,p ^> On] potom C{u,p) = mm{pTx : F(x) > u} X = mm{upT(x/u) : F(x/u) > 1} X = u min{pT,2 : F (z) > 1} z = uC(l,p). (2.17) (Výše uvedený důkaz předpokládá, že existuje alespoň jedno x* > 0 takové, že F(x*) > On, takže množina {z : F{z) > 1} je neprázdná.) Samuelson (1953-54) předpokládá, že produkční funkce F je lineárně homogenní a podléhá zobecněnému zákonu klesajících výnosů, F{x' + x") > F{x') + F(x") (který je ekvivalentní konkávnosti F, pokud je F lineárně homogenní). Definuje (str. 15) jednotkovou nákladovou funkci C(l,p) a zjišťuje, že C(l,p) má stejné vlastnosti v p jako F v x. Také poznamenává (str. 15), že rovina na ploše ^Funkce G je kvazikonvexní právě tehdy, když (—G) je kvazikonkávní. 238 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII odpovídající jednotkovému výstupu (oblast nekonečné substitučnosti) bude odpovídat rohu na jednotkové nákladové ploše. Tuto poznámku učinil již Shephard (1953, str. 27-28). Shephardova monografie z roku 1953 se zdá být prvním moderním, přesným pojednáním o teorii duality. Shephard (1953, str. 13-14) uvádí, že nákladovou funkci C(u,p) můžeme interpretovat jako opěrnou funkci pro množinu {x : F{x) > u}, a užívá tohoto faktu k určení vlastností C(u,p) vzhledem k p. Shephard (1953, str. 13) také zmiňuje Minkowského větu (1911) o konvexních množinách a Bonnesenovu a Fenchelovu monografii o konvexních množinách. Musíme poznamenat, že Shephard neobjevil přímo dualitu mezi produkčními a nákladovými funkcemi, objevil dualitu mezi produkčními a distančními funkcemi, kterou budeme definovat v další části, a pak mezi distančními a nákladovými funkcemi. Shephard (1953, str. 4) definuje homotetíckou produkční funkci. Je to taková funkce, kterou lze napsat ve tvaru F(x) = [f(x)], kde / je homogenní funkce stupně jedna a 0 je spojitá, rostoucí funkce /. Seznámíme se s následujícími dodatečnými předpoklady o F (nebo /): Předpoklad 4 o F F je (nezáporně) lineárně homogenní; tj. jestliže x > On, A > 0, pak F(Xx) = XF(x). Předpoklad 5 o F F je slabě pozitivní; tj. pro každé x > 0n,F(x) > 0, ale F(x*) > 0 pro alespoň jedno x* > On- Nyní můžeme usuzovat, že 0(/) je spojitá, rostoucí funkce jedné proměnné pro / > 0 a 0(0) = 0. Za těchto podmínek existuje inverzní funkce 0_1, která má stejné vlastnosti jako 0 platí 0_1[0(/)] = /. Jestliže f(x) splňuje výše uvedené předpoklady 1, 4 a 5, potom se nákladová funkce 2. DUALITA MEZI NÁKLADOVOU (VÝDAJOVOU) A PRODUKČNÍ (UŽITKOVOU) FUNKCÍ: ZJEDNODUŠEN' odpovídající F (x) = 0,p ^> 0^; pak C(u,p) mmx{pTx : u} minx{pT : f(x) > 0_1[it]}

1} (2.18) kde

0 pro u > 0, 0_1Nc(p)> kde c(p) = mmz{pTz : f {z) > 1} je funkce jednotkových nákladu, která odpovídá lineárně homogenní funkci /, nezáporně (kladně) lineárně homogenní, neklesající, konkávni a spojité funkci p (viz výše vlastnosti 1-5). Nebudeme, jako obvykle, schopni odvodit původní produkční funkci On} a spojitá na svém definičním oboru. (ii) F je rostoucí, t.j. x" ^> x' > On implikuje F{x") > F(x'). (iii) F je kvazikonkávní funkce. Poznamenejme, že uvedené vlastnosti (i) a (ii) jsou silnější než předpoklady 1 a 2 o F učiněné v předchozí části. To znamená, že můžeme odvodit o něco silnější podmínky pro nákladovou funkci C(u,p), která odpovídá F{x) splňující podmínky I. Nechť U je obor hodnot funkce F. Z (i) a (ii) je vidět, že U = {u : ú < u < u}, kde u = F(0n) < u. Poznamenejme, že nejmenší horní závora u může být konečné číslo nebo +oo. Při aplikaci teorie spotřebitele nemáme důvod předpokládat, že u je konečné číslo (tj. u může být rovno — oo), ale to jenom mírně ubírá na obecnosti. Definujme množinu kladných cen P = {p : p ^> On}- Věta 1 242 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Jestliže F splňuje podmínky I, pak C (u, p) = mmx{pTx : F (x) > u} je definovaná pro všechna u E U a, p E P splňující podmínky II uvedené níže. Důkaz viz Diewert(1982). Podmínky II pro C (i) C(u,p) je reálná funkce N + 1 proměnných definovaná na U x P bodově spojitá v (u,p) v definičním oboru. (ii) C(u,p) = 0 pro každé p E P. (iii) C (u, p) je rostoucí v u pro každé p E P; t.j. pokud p E P,u',u" E U při u' < u", potom C (u', p) < C(u",p). (iv) C (ú, p) = +oo pro každé p E P; t], jestliže p E P,un E U, limnwn = u, potom limnC(-un,p) = +oo. (v) C (u, p) je (pozitivně) lineárně homogenní v p pro všechna u E U; tj. u E U, X > 0,p E P implikuje C(u,Xp) = XC(u,p). (vi) C (u, p) je konkávni v p pro všechna u E U. (vii) C (u, p) je rostoucí v p pro u > ú a u E U. (viii) C je taková, že funkce F* (x) = maxu{w : pTx > C (u, p) pro každé p E P, u E U} je spojitá pro x > 0^. Důsledek 1.1 Jestliže C (u, p) splňuje podmínky II uvedené výše, potom definiční obor C může být rozšířen z U x P na U x Q. Rozšířená funkce C je spojitá v p pro p E íl = {p : p > 0^} pro všechna u E U'. $ ^C(u,p) nemusí být striktně rostoucí v u, pokud p leží na hranici íl. Např. uvažme funkci f(x\,X2) = x\, která má duální nákladovou funkci C{u,p\,p2) = Piu, která není rostoucí v u, pokud p\ = 0. 3. DUALITA MEZI NÁKLADOVÝMI A AGREGAČNÍMI (PRODUKČNÍMI NEBO UŽITKOVÝMI) FUNKCEMI24 Důsledek 1.2 Pro každé x > On, F*(x) = F(x), kde F* je funkce definovaná nákladovou funkcí C v bodě (viii) podmínek II. Důsledek 1.2 ukazuje, že nákladová funkce dokáže kompletně popsat produkční funkci, která splňuje podmínky I; tj. užijeme-li McFaddenovu (1966) terminologii, nákladová funkce je postačující statistika pro produkční funkci. Důkaz věty 1 je přímý s výjimkou bodů (i) a (viii), které obsahují vlastnost spojitosti produkční nebo nákladové funkce. Spojitost se jeví jako obtížný pojem teorie duality. Proto se snažíme této vlastnosti v předchozí části vyhnout tak, jak je to jen možné. O problému spojitosti již dříve diskutovali Shephard (1970), Friedman (1972), Diewert (1974a), Blackorby, Primont a Russell (1978) a Blackorby a Diewert (1979). Abychom dokázali vztah mezi spojitostí L(u) a tím, že C(u,p) je spojitá na U x P, požadujeme, aby byla funkce F rostoucí (vlastnost I(ii)).§ Pokud je vlastnost I(ii) nahrazena předpokladem slabé monotonie (tak, jako náš starý předpoklad 2 o P z předchozí části), pak náhorní rovina na grafu F („tlusté" indiferenční plochy v jazyce teorie užitku) způsobí nesouvislosti v C vzhledem k u [srov. Friedman (1972, str. 169)]. Poznamenejme, že II(ii) a II(iii) implikují, že C(u,p) > 0 pro ít>«a])>0Araže H(iv) není nezávislá vlastnost C, protože plyne z II(ii), (iii), (v) a (vi). poznamenejme také, že F není ryze kvazikonkávní, tj. že množina produkčních možností L(u) = {x : F{x) > u} je ryze konvexní. Konečně, je zřejmé, že máme-li danou pouze nákladovou funkci podniku C, můžeme použít funkci F* definovanou ve smyslu nákladové funkce v II(viii), abychom vytvořili produkční funkci podniku. Tato skutečnost je formálně zapsána v následující větě. § Friedman (1972) ukazuje, že I(ii) a spojitost shora (předpoklad IoFv předchozí části) postačují k implikaci joint spojitosti C na U x P. Nicméně, pokud nebudeme předpokládat vlastnost aditivity F, ze spojitosti zdola nemůžeme vyvodit, že C(u,p) je rostoucí v u pro p G P (vlastnost, která plyne z I(i) až I(ii)). 244 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Věta 2 Jestliže C splňuje podmínky II uvedené výše, potom F* definovaná II(viii) splňuje podmínky I. Navíc, pokud C*(u,p) = mmx{pTx : F*(x) > u} je nákladová funkce definovaná F*, potom C* = C. Důsledek 2.1 Množina supergradientů C vzhledem k p v bodě (u*,p*) E U x P,dC(u*,p*) je množinou řešení problému nákladové minimalizace minx{p*T x : F*(x) > u*}, kde F* je agregační funkce odpovídající dané nákladové funkci, která splňuje podmínky II. [Supergradíenty splňují x* G dC(u*,p*) právě tehdy, když C (u*, p) < C (u*, p*) + x*T(p — p*) pro všechna p > 0^.] Důsledek 2.2 [Shephardovo (1953, str. 11) lemma] Jestliže C splňuje podmínky II a kromě toho je diferencovatelná vzhledem k cenám vstupů v bodě (u*,p*) G U x P, potom řešení x* problému nákladové minimalizace minx{p*T x : F (x) > u*} je jediné a je rovno vektoru parciálních derivací funkce C (u*, p*) podle prvků vektoru cen p; tj. x* = X7pC(u*,p*). (3.1) Předchozí dvě věty poskytly verzi Shephardovy (1953, 1970) věty o dualitě mezi nákladovými a agergačními funkcemi. Podmínky pro C, které odpovídají našim podmínkám I pro F, se zdají být zřejmé kromě bodu II(viii), který nezbytně zaručuje spojitost agregační funkce F* odpovídající dané nákladové funkci C. Podmínku II(viii) můžeme vynechat, jestliže zesílíme podmínku II(iii): C(u,p) je rostoucí v u pro každé p náležející do S = {p : p > On, lJjP = !}• Lze ukázat, že výsledné F* je spojité [srov. Blackorby, Pri- 4. DUALITA MEZI PŘÍMÝMI A NEPŘÍMÝMI AGREGAČNÍMI FUNKCEMI 245 mont a Russell (1978)]. Mnoho užitečných funkcionálních tvarů však nesplňuje zesílení podmínky II(iii).^ Alternativní metoda, jak se zbavit podmínky II(viii), krerá zachovává spojitost přímé agregační funkce F* odpovídající dané nákladové funkci C, je objevit lokální věty o dualitě, tj. předpokládejme, že C splňuje podmínky II(i) II(vii) pro (u,p) G U x P, kde P je nyní omezeno na kompaktní, konvexní podmnožinu kladného ortantu. Lokálně spojitá funkce F* může být definovaná pomocí C a naopak má C jako svou nákladovou funkci na U x P. Tento přístup provozují Blackorby a Diewert (1979). Historické poznámky Věty o dualitě mezi P a C dokázali za různých podmínek Shephard (1953, 1970), McFadden (1962), Chipman (1970), Hanoch (1978), Diewert (1971a, 1974a), Afriat (1973a) a Blackorby, Primont a Russel (1978). Věty o dualitě mezi C a úrovňovými množinami F,L(u) = {x : F (x) > u} dokázali Uzawa (1964), McFadden (1966, 1978a), Shephard (1970), Jacobsen (1970, 1972), Diewert (1971a), Friedman (1972) a Sakai (1973). 4 Dualita mezi přímými a nepřímými agregačními funkcemi Předpokládejme, že přímé agregační (užitkové nebo produkční) funkce F splňují Podmínky I vypsané v předchozí části. Základní optimalizační problém, o kterém budeme v této části uvažovat, je problém maximalizace užitku (nebo výstupu) F{x), který podléhá rozpočtovému omezení pTx < y, kde p ^> On je vektor cen komodit (nebo vstupů) a y > 0 je množství peněz, které může spotřebitel (výrobce) utratit. Protože y > 0, můžeme rozpočtové omezení pTx < y nahradit vTx < 1, kde v = p/y je vektor normalizovaných cen. 1Např. uvažme funkci C(u,p) — bTpu, kde b > Ojv, ale b není ^> Ojv- Tato funkce odpovídá Leontiefově agregační funkci nebo agregační funkci s pevnými koeficienty. 246 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Nepřímá agregační funkce G (v) je definovaná pro v ^> On jako G (v) = max{F(x) : vTx < l,x > 0N}- (4.1) x Věta 3 Jestliže přímá agregační funkce F splňuje podmínky I, potom nepřímá agregační funkce G splňuje následující podmínky: Podmínky III pro G (i) G (v) je reálná funkce N proměnných definovaná na množině kladných normalizovaných cen V = {v : v ^> On} a na tomto definičním oboru je spojitá. (ii) G je klesající, tj. jestliže v" ^> v' ^> On, pak G (v") < G (v'). (iii) G je kvazíkonvexní na V. (iv) G" je taková, že funkce F(x) = minv{G(v) : vTx < l,v > On} definovaná pro x ^> On je spojitá na tomto definičním oboru a má spojité rozšíření** na nezáporný výsek Q = {x : x > On}- "G zde je rozšíření G na nezáporný výsek, které je definováno Fenchelovou (1953) uzáverovou operací; tj. definujme nadgraf původního G jako T = {(u, v) : v On, u > G (v)}, definujme uzávěr T jako T a definujme rozšířené G jako G (v) = infu{?i : (u,v) G T} pro v > Oat. Výsledné rozšířené G je zdola spojité (množiny {v : G (v) < u,v > Oat} jsou uzavřené pro všechna u). Pokud je oborem hodnot funkce F množina U = {u : u < u < u}, kde u < u, potom obor hodnot nerozšířeného G je {u : u < u < u} a obor hodnot rozšířeného G je {u : u < u < u}, takže pokud u — +oo, potom G (v) — +oo pro v — On a definovaná pro ostatní body v na hranici nezáporného ortantu. **F je rozšířená na nezáporný výsek Fenchelovou uzáverovou operací: definujme podgraf původního F jako A = {(u, x) : x On,u < F(x)}, definujme uzávěr A jako A a definujme rozšířenou F jako F (x) = supu{?i : (u, x) G A} pro x > On Jestliže je nerozšířená funkce F spojitá pro x On, lze dokázat, že rozšířená funkce F je spojitá shora pro x > On- Podmínka III(iv) implikuje, že rozšířená funkce F je spojitá zdola pro x > On- 4. DUALITA MEZI PŘÍMÝMI A NEPŘÍMÝMI AGREGAČNÍMI FUNKCEMI 247 Důsledek 3.1 Přímá agregační funkce F může být opět získána z nepřímé agregační funkce G; tj. pro x ^> On,F(x) = minv{G(v) : vTx On}- Důsledek 3.2 Nechť F splňuje podmínky I a nechť x* ^> On- Definujme uzavřenou konvexní množinu normalizovaných opěrných nadrovin v bodě x* jako uzavřenou konvexní množinu H(x*) = {x : F(x) > F(x*),x > 0^}.^ Pak (i) H(x*) je množina řešení nepřímého užitkového (nebo produkčního) minimalizačního problému m\nv{G(v) : vTx* < l,v > On}, kde G je nepřímá funkce, která odpovídá F podle definice (7.4) a (ii) pokud v* G H (x*), pak x* je řešením přímého užitkového (nebo produkčního) maximalizačního problému maxx{F(x) : v*Tx < l,x > 0N}- Důsledek 3.3 [Hotellingova (1935, str. 71); Woldova (1944, str. 69-71; 1953, str. 45) identita] Jestliže F splňuje podmínky I a navíc je diferencovatelná pro x* ^> On s nenulovým vektorem gradientu VF(x*) > On, potom x* je řešením přímého užitkového (nebo produkčního) maximalizačního problému maxx{F(x) : v*Tx On}, kde v* =_i_í_ (4 2) x*TVF(x*)' v ' ' Systém rovnic (4.2) známe pod pojmem systém inverzních poptávkových funkcí, i-tá rovnice ,r n Vil V = v* = [dF(x*)/dxi] J J2x*j9F(x*)/d. .i=i ^Jestliže v* e H(x*), pak v*Tx* — í,x* > 0N a F(x) > F(x*) implikuje v*Tx > v*Tx* — 1. Uzavřenost a konvexnosť H (x*) ukázal Rockafellar (1970, str. 215). 248 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII vyjadřuje cenu i-té komodity pi podělenou výdaji y jako funkci vektoru množství x*, které si spotřebitel nebo výrobce vybere, pokud bude maximalizovat F(x) při rozpočtovém omezení v*Tx = 1. Nyní budeme předpokládat, že máme dánu dobře se chovající nepřímou agregační funkci G a ukážeme, že pomocí této funkce lze definovat dobře se chovající funkci F takovou, že G je její nepřímá funkce. Věta 4 Předpokládejme, že G splňuje podmínky III. Potom F(x), která je definovaná pro x ^> On F(x) = min{G(v) :vTx 0N} (4.3) v má rozšíření na x > On, které splňuje podmínky I. Navíc, jestliže definujeme G*(x) = m&xx{F(x) : vTx < l,x > On} pro v ^> On, potom G*(v) = G (v) pro všechna v ^> On- Důsledek 4-1 Nechť G splňuje podmínky III a nechť v* ^ On- Definujme uzavřenou konvexní množinu normalizovaných opěrných nadrovin v bodě v* jako uzavřenou konvexní množinu H*(v*) = {v : G (v) < G(v*),v > On}- Pak (i) H*(v*) je množina řešení přímého užitkového (nebo produkčního) maximalizačního problému maxx{F(x) : v*Tx < l,x > On} kde F je přímá funkce, která odpovídá dané nepřímé funkci G podle definice(4.3) a (ii) pokud x* G H (v*) , pak v* je řešením přímého užitkového (nebo produkčního) minimalizačního problému minv{G(v) : vTx* < l,v > On}- Důsledek 4.2 [Villeova (1946, str. 35); Royova (1947, str. 222) identita] Jestliže G splňuje podmínky III a navíc je diferencovatelná pro v* ^> On s nenulovým vektorem gradientu VG(i)*) < On , potom x* je jediným řešením přímého užitkového (nebo produkčního) maximalizačního 4. DUALITA MEZI PRIMYMI A NEPŘÍMÝMI AGREGACNIMI FUNKCEMI 249 problému maxx{F(x) : v*Tx On}, kde * _ x = VG(v*) (4.4) v *TVG(v*)' Vidíme, že (4.4) poskytuje protějšek Shephardovu lemmatu v předchozí části. Jak uvidíme později, Shephardovo lemma a Royova identita jsou základem pro mnoho teoretických i empirických aplikací. Závěrem poznamenejme, že podmínka III(iv) se zdá být také trochu divná. Umožňuje nám odvodit přímou agregační funkci z dané nepřímé funkce splňující podmínky III.íí Hístorícké poznámky Věty o dualitě mezi přímými a nepřímými agregačními funkcemi dokázali Samuelson (1965, 1969, 1972); Newman (1965, str. 138-165); Lau (1969); Shephard (1970, str. 105-113); Hanoch (1978); Weddepohl (1970, kap. 5); Katzner (1970 str. 59-62); Afriat (1972a, 1973c) a Diewert (1974a). Práce, které uvádějí do souvislostí předpoklady na systém poptávkových funkcí spotřebitele a přímou agregační funkci F (problém integrovatelnosti) napsali Samuelson (1950b); Hurwicz a Uzawa (1971); Hurwicz (1971) a Afriat (1973a, b). Geometrickou interpretaci Royovy identity najdeme v Darrough a Southey (1977), některá rozšíření viz Weymark (1980). íÍBez podmínky III(iv) můžeme stále vyvozovat spojitost F(x) přes x ^> On, ale výsledná F nemusí nutně mít spojité rozšíření na x > On- (Pokud F není nutně konkávni, ale je pouze kvazikonkávní pro x On, její rozšíření nemusí být nutně spojité.) Diskuse a příklady k problému spojitosti viz Diewert (1974a, str. 121-123). 250 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII 5 Dualita mezi přímými agregačními a distančními nebo deflačními funkcemi V této části budeme uvažovat o čtvrté alternativní metodě charakterizace preferencí spotřebitelů nebo technologií. Tato metoda je zvláště užitečná pro definici jisté třídy indexních čísel podle Malmquista (1953, str. Jako obvykle, nechť F(x) je agregační funkce splňující podmínky I uvedené výše v části 3. Pro u náležející do vnitřku oboru hodnot F (tj. u G int U, kde U = {u : ú < u < ú}) a x ^> On, definujme distanční nebo deflační funkci* t Pojem deflační funkce pro D je výstižnější z ekonomického pohledu. D jako Takže D(u*,x*) je nejvétší číslo, které bude snižovat (zvyšovat pokud F (x*) < u*) bod x* ^> On na hranici množiny užitkových (nebo produkčních) možností L (u*) = {x : F (x) > u*}. Pokud D(u*,x*) > 1, pak x* ^> On produkuje vyšší stupeň užitku, nebo produkce než stupeň označený u*. Ukázalo se, že matematické vlastnosti D (u, x) podle x jsou ty samé jako vlastnosti C (u,p) podle p, ale vlastnosti D podle u jsou převrácené vlastnostem C podle u, jak ukazuje následující věta. Pokud F splňuje podmínku I, potom D definované v (5.1) splňuje Podmínku IV níže. Podmínka IV pro D *Shephard (1953, str. 6; 1970, str. 65) zavedl distanční funkci do ekonomické literatury. Užil mírně odlišné, ale ekvivalentní definice D(u,x) = 1/ minA{A : F(\x) > u, A > 0}. ^McFadden (1978a) a Blackorby, Primont a Russell (1978) nazvali D transformační^funkcí. V matematické literatuře [např. Rockafellar (1970, str. 28)] je D nazýváno jako měrná (kontrolní) funkce. 232). (5.1) Věta 5 5. DUALITA MEZI PŘÍMÝMI AGREGAČNÍMIA DISTANČNÍMI NEBO DEFLAČNÍMIFUNKCEMľl51 (i) D (u, x) je funkce nabývající reálných hodnot s N + 1 proměnnými definovanými na intU x intíl = {u : u < u < u} x {x : x ^> On} a je spojitá na této oblasti. (ii) D(u,x) = +oo pro každé x G intíl; tj. un G intU,limun = u,x G mtfž implikuje limnD(un,x) = +oo (iii) D(u,x) je klesající v u pro každé x G mtfž; tj. jestliže x G mtfž, m', m" G m££7 s u' < u", potom D (u', x) > D{u",x). (iv) D(u,x) = 0 pro každé x G intíl; tj. wn G intU,limun = u, x G mtíž implikuje limnD(un ,x) = 0 (v) D(u,x) je (pozitivně) lineárně homogenní v x pro všechna u G intU; tj. m G intU, X > 0, x G mtíž implikuje D(u,Xx) = XD(u,x). (vi) D(u,x) je konkávni v x pro všechna u G mtř7 (vii) D(u,x) je rostoucí v x pro všechna u G intU; tj. m G intU, x',x" G mtíž implikuje D(u,x' + x") > definovaná pro x ^> On má spojité rozšíření na x > Oat. Důsledek 5.1 F (x) = {u : u E intU,D(u,x) = 1} = .F (x) pro každé x ^> On a tudíž F = F; tj. původní agregační funkce F je získána z distanční funkce D podle definice (5.2) pokud F splňuje Podmínku I. Stejně tak jako pro nákladovou funkci C(u,p) popisovanou v Sekci 3, D splňující Podmínky IV na intU x intíl může být jednoznačně rozšířena na intU x íl použitím Fenchelovy uzáverové operace. Může být ověřeno, že rozšířená D splňuje Podmínky IV (v), (vi) a (vii) na intU x íl, ale společná Podmínka spojitosti IV(i) a podmínky monotónnosti v u nemusí být splněny. Mělo by být také poznamenáno, že jestliže Podmínka I (iii) (kvazi-konkávnost F) by byla vynechána, platnost Věty 5 by byla zachována s tím rozdílem,že by musela být vynechána Podmínka IV(vi) (konkávnost D v x). Následující věta ukazuje, že deflační funkce D může být také použita pro definici spojité agregační funkce F. D(u,x'). (viii) D je taková, že funkce 252 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Věta 6 Jestliže D splňuje Podmínky IV, má F definovaná v (5.2) pro x G intíl rozšíření na íl, které splňuje Podmínky I. Navíc, jestliže definujeme deflační funkci D* korespondující s F jako D*(u,x) = {k : F (y) = u,k > 0}, (5.3) k potom D* (u, x) = D (u, x.) pro (m, x) G intU x intíl. Důsledek 6.1 Pokud D splňuje Podmínky IV a navíc je spojitě diferencovatelná v (-u*, x*) G intU xintíl s D(u*, x*) = 1 a dg < 0, potom x* je řešení přímé maximalizační úlohy maxx{F(x) : v*±x. < l,x > 0^}, kde F je definováno v (5.2) a v* > On je definováno jako 7j* = VxL>(m*,x*). (5.4) Navíc, F je spojitě diferencovatelná v x* s ^ S^' (5'5) Tudíž spotřebitelský systém inverzních poptávkových funkcí může být získán diferencováním deflační funkce D splňující Podmínky IV ( plus diferencovatelnost) podle složek vektoru x. Historické poznámky Věty o dualitě mezi distančními nebo deflačními funkcemi D a agregačními funkcemi F byly dokázány Shephardem (1953,1970), Hanochem (1978), McFaddenem (1978a) a Blackorbyem, Primontem a Russellem (1978). 6. DALŠÍ VĚTY O DUALITĚ 253 Je zde řada zajímavých souvislostí (a vět o dualitě) mezi přímou a nepřímou agregační, nákladovou a deflační funkcí. Například Malmquist (1953, str. 214) a Shephard (1953, str. 18) ukazují, že se deflační funkce pro nepřímou agregační funkci, maxk{k : G(|) 0}, rovná nákladové funkci , C(u,v). Úplný popis těchto vzájemných vazeb a dalších vět o dualitě s různými podmínkami regularity mohou být nalezeny v dílech Hanocha (1980) a Blackorbyho, Primonta a Russella (1978). Některé aplikace jsou v Deatonovi (1979). Lokální věty o dualitě mezi deflační a agregační funkcí jsou v dílech Blackorbyho a Diewerta (1979). 6 Další věty o dualitě Konkávni funkce mohou být také popsány pomocí konjung ováných funkcí. Navíc se ukázalo, že uzavřené konvexní množiny mohou také být za určitých podmínek (viz Rockafellar (1970, str. 102-105) a Karlin (1959. str. 226-227)) popsány pomocí konjugované funkce. Tudíž přímá agregační funkce F, mající množiny na konvexní úrovni L(u) = {x : F(x) > u}, může být také popsána svojí konjugovanou funkcí stejně tak jako svojí nákladovou, deflační či nepřímou agregační funkcí. Tento přístup pomocí konjugovaných funkcí byl započat Hotellingem (1932, str. 36-39; 1960; 1972) a rozšířen Samuelsonem (1947, str. 36-39; 1960; 1972), atd. Nebudeme se zabývat tímto přístupem detailně, i když v další části si zopakujeme těsnou spojitost vět o dualitě mezi užitkovou a transformovanou funkcí. Další třída vět o dualitě ( které také začal Hotelling (1935, str. 75) a Samuelson(1960)) je získána rozdělením komoditního vektoru x > On na dva vektory x1 a x2 a potom definováním spotřebitelskou proměnnou agregátní funkcí ( alternativně je nazvána podmínkovou nepřímou funkcí užitku) g jako g{x\v\y2) = may^{F{*\y?) : p2Tx2 < y2,*2 > 0N2, (6.1) kde p2 ^> On je pozitivní spotřebitelský cenový vektor zboží x2, a y2 > 0 je spotřebitelský rozpočet, který byl určený na utracení za zboží x2. Množina řešení (6.1), x2(x1, p2, y2), je spotřebitelská podmíněná (na x1) poptávková korespondence. Pokud g splňuje náležitosti podmínek regularity, podmíněné poptávkové funkce mohou být generovány aplikováním Royovy identity (4.4) na funkci G{v2) = ^(x1,?;2,1), kde v2 = p2/y2. Pro formální věty o dualitě mezi přímou a variabilně nepřímou agregační funkcí viz. Epstein, Diewert a 254 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Blackorby, Primont a Russell. Pro další aplikace této duality viz. Epstein ( pro aplikace spotřebitelské volby v nejistotě) a Poliak a Diewert (estimace preferencí pro veřejné zboží použitím tržních poptávkových funkcí). Konečně, variabilně nepřímá funkce užitku může být použita pro důkaz Hicksovy verze věty o složeném zboží - skupina zboží se chová stejně jako jedna komodita, pokud se ceny ve skupině zboží mění ve stejném poměru - pro aplikace při méně striktních podmínkách než u Hickse viz. Poliak, Diewert a Blackorby, Primont a Russell. Nyní stručně pojednáme o rozsáhlé literatuře, tj. o důsledcích různých speciálních struktur jedné z mnoha ekvivalentních reprezentací technologie (jako třeba přímá či nepřímá agregační funkce nebo nákladová funkce). Například Shephard ukázal, že homoteticita přímé funkce implikuje, že nákladová funkce je fakto-rovaná do 0_1(it)c(p)( viz rovnice (2.18)). Jiným příkladem speciální struktury je separabilita. Reference, které se zabývají implikacemi separability a/nebo homoteticity zahrnují Shephard, Samuelson, Gorman, Lau, McFadden, Hanoch, Poliak, Diewert, Jorgenson a Lau, Blackorby, Primont a Russell a Blackorby a Russell. Pro implikace separability a/nebo homoteticity na Slutského koeficientech nebo na parciálních elasticitách substituce viz Sono, Pearce, Goldman a Uzawa, Geary a Morishima, Berndt, Blackorby a Russell, Diewert a Blackorby a Russell. Pro implikace Hicksovy Věty o agregovaných elasticitách substituce viz. Diewert. Pro empirické testy předpokladu separability viz. Berndt a Christensen, Burgess a Jorgenson a Lau; pro teoretické diskuse o těchto testových procedurách viz. Blackorby, Primont a Russell a Jorgenson a Lau, Lau, Woodland a Denny a Fuss. Pro implikace předpokladu konkávnosti přímé agregační funkce nebo předpokladu konvexity nepřímé agregační funkce viz. Diewert. Výše zmíněné věty o dualitě jsou v podstatě "globální". "Lokální"přístup uvedl ve své práci Blackorby a Kiewer, kde je předpokládáno, že daná nákladová funkce C(u, p) splňuje Podmínky II na U x P, kde U je konečný interval a P je uzavřená, konvexní a ohraničená podmnožina pozitivních cen. Potom zkonstruovali odpovídající přímou agregační, nepřímou agregační a deflační funkci, které jsou duální k dané "lokálně" platné nákladové funkci C. Důkazy těchto "lokálních"vět o dualitě se ukázaly být mnohem jednodušší než odpovídající "globální"věty o dualitě presentované v tomto článku ( a jinde), a to z toho důvodu, protože problém spojitosti se neobjevuje díky předpokladu, že U x P je kompaktní. Tyto "lokálnfvěty o dualitě 6. DALŠÍ VĚTY O DUALITĚ 255 jsou prospěšné v empirických aplikacích, protože ekonometrické estimace nákladových funkcí často nesplňují příslušné podmínky regulariy pro všechny ceny, ale podmínky mohou být splněny na menší podmnožině cen, která je empiricky relevantní množinou cen. Epstein rozšířil teorii duality tak, aby pokrývala více obecných maximalizačních úloh. V Epsteinovi je uvažována následující úloha maximalizace užitku, která se objevila v kontextu teorii volby v podmínkách nejistoty: maxX)Xi)x2{F(x,x1,x2) : x > Oa^x1 > O^^x2 > 0^, (6.2) pTx + p1Txx < y1, pTx + p2Tx2 < y2}, (6.3) kde x představuje současnou spotřebu, x* představuje spotřebu ve stavu i(i = 1,2), p je současný cenový vektor, p* je diskontní budoucí cenový vektor, který nastane jestliže nastane stav i a y% > 0 je spotřebitelský diskontní příjem jestliže nastane stav i. V Epsteinovi je uvažována následující maximalizační úloha: max{F(x) : x > 0N,c(x,a) < 0}, (6.4) X kde c je daná omezovači funkce, která závisí na vektoru parametrů a. Nebudeme se snažit provést detailní analýzu Epsteinových výsledků, ale raději budeme prezentovat více abstraktní verzi jeho základní techniky, která snad zachytí základ teorie duality. Základní maximalizační úloha, kterou jsme studovali je maxx{F(x) : x G B(v)}, kde F je funkce N reálných proměnných x definovaných na nějaké množině S a B(v) je omezující množina , která závisí na vektoru o M parametrech v, které se mění na množině V. Naše předpoklady o množinách S a V a o omezující množině odpovídající B jsou: (i) S a V jsou neprázdné kompaktní množiny v MN a IRM. (ii) Pro každé v £ V, je B (v) neprázdná a B (v) C S. (iii) Pro každé x G S, je inverzní korespondence 5_1(x) neprázdná a £-1(x) C V. (6.5) 256 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII (iv) Korespondence B je spojitá na V. (v) Korespondence B~ľ je spojitá na S. Naše předpoklady na základní funkci F jsou: (i) -F je reálná funkce N proměnných definovaná na S* a je na S* spojitá. (6.6) (ii) Pro každé x* G S, existuje v* e V takové, že F(x*) = maxx{F(x) : x G B (v*)}. Funkce G duální k F je definovaná pro v E V takto: G(v) = max{F(x) : x G B (v)}. (6.7) Věta 7 Jestliže S, V a B splňují (6.4) a F splňuje (6.5), potom G definovaná v (6.6) splňuje následující podmínky: (i) G je reálná funkce M proměnných definovaná na V a je na V spojitá. (6.8) (ii) Pro každé v* G V, existuje x* G S* takové, že G (v*) = minv{G(v) : v G -B_1(x*)}. Navíc, defnujeme-li funkci F* duální k G pro x G S* takto: F*(x) =minv{G(v) :v E B-\x), (6.9) potom F* (x) = .F(x) pro každé x G S*. 6. DALŠÍ VĚTY O DUALITĚ 257 Důsledek 7.1 Nechť x* G S a definujeme H(x*) jako množinu v* E V takových, že F(x*) = maxx{F(x) : x G B (v*)}. Jestliže v* G H (x*), potom x* je řešením maxx{F(x) : x G B (v*)} a v* je řešením minv{G(v) : v G B-V)}. Důkaz viz. Diewert (1982). Všimněte si, že předpoklad na F (6.5) (ii) je náhražka našeho starého předpokladu kvazi-konkávnosti v Sekci 4 a množina H(x*) definovaná v důsledku 7.1. nahrazuje množinu normalizovaných pomocných nadrovin, které se objevují v důsledku 3.2. Díky symetrické podstatě našich předpokladů, je zřejmé, že důkaz následující věty je stejný jako důkaz věty 7 až na to, že nerovnosti jsou převrácené. Věta 8 Jestliže S, V a B splňují (6.4) a G splňuje (6.7), potom F* definovaná v (6.8) splňuje (6.5). Navíc, definujeme-li funkci G* jako duální k F* pro v E V takto: G*(v) = maxx{F*(x) : x G B (v)}, (6.10) potom G* (v) = G (v) pro každé v E V. Důsledek 8.1 Nechť v* E V a, definujeme H*(v*) jako množinu x* E S takových, že G (v*) = minv{G(v) : v E -B_1(x*)}. Jestliže x* G H*(v*), potom v* je řešení minv{G(v) : v E -B_1(x*)} a x* je řešením maxx{F*(x) : x G B(v*)}. Všimněme si, že Podmínka (6.7) (ii) pro G nahrazuje naši starou podmínku kvazi-konvexity pro G v Sekci 4, a množina H*(v*) definovaná v důsledku 8.1 nahrazuje množinu normalizovaných pomocných nadrovin, které se objevují v důsledku 4.1. 258 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Nemůžeme stanovit doplněk k důsledku 3.3 (identita Hotelling-Woldova) a důsledku 4.2 (Ville-Royova identita), protože bylo nutné v těchto důsledcích použít diferencovatelnost F a G a příslušnou omezující funkci. Tudíž, abychom odvodili doplňky k důsledkům 3.3 a 4.2 v současném kontextu, museli bychom přidat předpoklady pro F (nebo G) a pro omezující korespondenci B. Přesto výše zmíněné věty ilustrují podstatu struktury teorie duality. Mohou být také interpretovány jako příklady lokálních vět o dualitě. 7 Minimalizace nákladů a derivovaná poptávka po vstupech Předpokládejme, že technologie firmy může být popsána její produkční funkcí F, kde u = F (x) je maximální výstup, která může být vyprodukován použitím nezáporného vektoru vstupů x > 0^. Předpokládejme, že F splňuje Předpoklad 1 Sekce 2 (tj. produkční funkce je spojitá shora). Jestliže si firma vezme ceny vstupů p ^> On jako dané (tj. firma se nechová jako vstupní monopol), potom v Sekci 2 uvidíme, že funkce celkových nákladů firmy C(u, p) = mmx{pTx : F(x) > u} byla korektně definovaná pro všechna p ^> On a u G R(F), kde R(F) je obor hodnot F. Navíc C(u,p) byla lineárně homogenní a konkávni v cenách p pro každé u a byla neklesající v u pro každé pevné p. Nyní předpokládejme že C má druhou spojitou derivaci podle jeho argumentů v bodě (u*,p*), kde u* G R(F) a p* = (p*,..., p*N) ^> On- Z Lemmatu 3 v Sekci 2 nákladové funkce minimalizující poptávku po vstupech Xi(u, p), ...,Xn(u, p) existují v (u*, p*) a jsou rovny parciálním derivacím nákladové funkce podle N vstupních cen: Tudíž, předpoklad že C má spojité druhé derivace v (u*,p*) zajišťuje, aby nákladové funkce minimalizující poptávku po vstupech Xj(it, p) existovaly a měly první spojitou derivaci v (u*, p*) Definujeme [dxi/dpj] = [dxi(u*, p*)/dpj] jako matici typu N x N derivací iV-vstupních funkcí Xi(u*, p*) 7. MINIMALIZACE NÁKLADŮ A DERIVOVANÁ POPTÁVKA PO VSTUPECH 259 podle N cen p*,i,j = 1, 2,N. Z (7.1) plyne, že [^] = VjpC(U*,p*)> (7.2) kde VppC(-u*, p*) = [<92C(m*, p*)/(9pj<9pj] je Hessova matice nákladové funkce podle vstupních cen vyčíslených v (u*, p*). Druhá spojitá derivovatelnost C podle p v (u*, p*) implikuje (viz. Youngova věta), že VppC(u*, p*) je symetrická matice taková, že použitím (7.2) dostaneme i|l = l|lT = ifl1- (7'3) tj. dxi(u*, p*)/dpj = dxj(u*,p*)/dpí pro všechna i a j. Protože je C konkávni v p a má druhou spojitou derivaci podle p v okolí bodu (u*,p*), plyne z toho podle Fenchela nebo Rockafellara, že Vc\u*,p*) je negativně semidefinitní matice. Takže podle (7.2), zT\-^-]z < 0 pro všechny vektory^. (7-4) Takže pro z = e^, i-tf jednotkový vektor,(7.4) implikuje ---< 0,t = 1,2, ...,N, (7.5) dpi tj. -i-tá nákladová funkce minimalizující poptávku po vstupech nemůže mít pozitivní sklon vzhledem k i-té vstupní ceně pro i = 1, 2,N. Protože je C lineárně homogenní v p, máme C(u*,Xp*) = XC(u*,p*) pro všechna A > 0. Budeme-li derivovat tuto poslední rovnici podle pi pro A blízké 1, získáme rovnici Ci(u*, Xp*)X = XCi{u*,p*), kde Cí(u*,p*) = C(u*,p*)/dpí. Tudíž Cí(u*,Xp*) = Ci(u*,p*) a derivováním této poslední rovnice podle A dostaneme (pokud se A = 1) N Y,P)d2C{u\p*)/dptdPj=0, i=l 260 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII pro i = 1,2,..., N. Takže, použitím (7.2) najdeme vstupní poptávkové funkce Xj(it*, p*) splňující následujících N omezení: [^]P* = V^K,p*)p* = 0^, (7.6) * 1T TVJ • kde p* = [p*,p*,...,p Závěrečné obecné omezení pro derivování vstupní poptávkové funkce můžeme získat následovně: pro A blízké 1, derivujme obě strany C(u*, Ap*) = \C(u*, p*) podle u a potom výslednou rovnici derivujme podle A. Pro A = 1 dostaneme poslední rovnici ve tvaru: N J2p*j92C(u*,p*)/dudPj = dC(u*,p*)/du. i=l Všimněme si, že druhá parciální diferencovanost C a (7.1) implikují, že d2C(u*,p*)/dudPj = d2C(u*,p*)/dPjdu = = d[dC(u*,p*)/dPj]/du = d*j(u*,p*)/du. Takže *d2C(u*,p*) " ^(u*,p*) N Vn(„,*^ N j=i ~ j=l P, dudpj ^—' 3 du dC(u*,p* au ž °- <7 71 Nerovnost dC(u*,p*)/du > 0 plyne z vlastnosti, že C neklesá v u. Nerovnost (7.7) nám říká, že změny v nákladové funkci minimalizující poptávku po vstupech indukované rozšířením výstupu nemůžou být všechny záporné, tj. ne všechny vstupy mohou být nevýznamné. S dodatečným předpokladem, že F je lineárně 7. MINIMALIZACE NÁKLADŮ A DERIVOVANÁ POPTÁVKA PO VSTUPECH 261 homogenní (a tedy existuje x > On takové, že F(x) > 0), můžeme vyvodit (Sekce 2), že C(u,p) = uc(jp), kde c(p) = C(l,p). Tedy, když je F lineárně homogenní, dc(u*) Xl(u*,p*)=u*-^,l = l,...,N, (7.8) opí a dxi(u*,p*)/du = dc(p*)/dpi. Tedy jestliže x* = Xj(it*,p*) > 0 pro i = 1, 2,..., N, užitím (7.8) dostaneme dodatečné omezení čhti(u*, p*) u* u*[dc(p*)/dpi] du (7.9) jestliže je F lineárně homogenní, tj. včechny elasticity vstupu k výstupu jsou jednotkové. Pro obecný případ dvou vstupů nám obecné omezení (7.3)-(7.7) umožní dostat se k následujícím omezením šesti parciálních derivací poptávkové funkce pro dva vstupy xi(it*, p*, p2) a x.2(u*, p*, p2): d~x.\/dpi < 0, 9x2/'dp2 < 0, dxi/dp2 > 0, 8x2/dpi > 0 (a jestliže je jedna z nerovností ostrá, potom jsou ostré všechny, protože p*<9xi/<9pi = -p2dx1/dp2 = -p*2dx2/dpi = (p2)2(p*iy1dx2/dp2) a p*<9xi/<9w + pldx2/du > 0. Tedy, znaménka u dx.i/du a u dx.2/du jsou neznámé, ale pokud je jedno záporné, druhé musí být kladné. Pro konstatní výnosy z rozsahu výroby nejasnost ohledně znamének vymizí: máme dx.i(u*,p*)/du > 0,dx.2(u*,p*)/du > 0 a alespoň jedna nerovnost musí být ostrá pokud je u* > F(02). Výhoda derivování těchto dobře známých komparativních statických výsledků používáním teorie duality je ta, že omezení (7.2)-(7.7) jsou platná i v případech, kdy přímá produkční funkce F není diferencovatelná. Například Leontiefova produkční funkce má lineární nákladovou funkci C(u,p) = uaTp, kde (a1,a2, •••)aAr) = aT > 0N je konstantní vektor. Může být ověřeno, že omezení (7.2) jsou platná pro tuto nediferencovatelnou produkční funkci. Historické poznámky 262 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Analogie k (7.3) a (7.4) v kontextu ziskových funkcí byly získány Hotellingem. Hicks a Samuelson dostali vztahy (7.2)-(7.6) a Samuelson získal také (7.7). Všichni tito autoři předpokládali, že primární funkce F byla diferencovatelná a jejich důkazy používaly podmínku prvního řádu pro úlohu minimalizace nákladů (nebo maximalizace užitku) a vlastnosti determinantů pro důkaz svých výsledků. Doposud jsme se zabývali problémem firmy, která používá mnoho různých vstupů na výrobu jednoho výrobku. Avšak ve skutečném světě chrlí převážná většina firem mnoho druhů různých výrobků. Proto bude nezbytné zamyslet se nad problémem modelování firmy s mnoha vstupy a výstupy. Pro ekonomické aplikace bude užitečné zavést tzv.variabilnífunkci zisku II (p, x), která označuje maximum tržeb mínus variabilní platby za vstupy, které může být dosaženo při daných cenách p ^> 0/ variabilních vstupů a výstupů a při daném vektoru pevně daných vstupů x ^> Oj. Označme variabilní vstupy a výstupy /-rozměrným vektorem u = (u1,u2, ...,uj), fixní vstupy nechť jsou označeny J-rozměrným vektorem —x = (—Xi, —X2,—xj). Dále označme T množinu všech možných kombinací vstupů a výstupů, které říkáme množina produkčních možností. Výstupy jsou zachyceny kladnými čísly, vstupy zápornými, takže je-li Ui > 0, pak i-té variabilní zboží jest výstup produkovaný naší firmou. Formálně se definuje II pro p 3> 0/ a —x Oj (posledních J zboží jsou vždy vstupy); (ii) pokud (u', — x') G T,u' < u" a —x' < —x", potom (-u",—x") G T (volná dispozice); (iii) pokud (-u,—x) G T, potom jsou komponenty vektoru u ohraničené shora (hranice možností při pevných vstupech). Potom má II následující vlastnosti: (i) II(p, x) je nezáporná reálná funkce definovaná pro každé p ^> 0/ a x > Oj taková, ze: II(p,x) < pT6(x) pro každé p ^> Oj. (ii) pro každé x > Oj je ľl(p, x) (pozitivnř) lineárně homogenní, konvexní a spojitá v p a (iii) pro každé p ^> 0/ je ľl(p, x) (pozitivně) lineárně homogenní, konkávni spojitá 8 Funkce zisku u 8. FUNKCE ZISKU 263 a neklesající v x. Navíc, Gorman (1968), McFadden (1966) a Diewert (1973a) ukázali, že množina T může být zkonstruována pomocí U následujícím způsobem: Tudíž, existuje dualita mezi množinami produkčních možností T a funkcemi variabilního zisku II, pokud jsou splněny výše uvedené podmínky regularity. Pomocí Shephardova lematu (3.1) a Royovy identity (4.4) můžeme dokázat následující tvrzení: Holellingovo lemma (1932, str. 594) Splňuje-li funkce variabilního zisku II podmínky regularity (10.1) a navíc je diferencovatelná vzhledem k cenám variabilního množství v bodě p* ^> 0/ a x* > Oj, potom <9II(p*,x*)/dpí = Mj(p*,x*) pro i = 1,2,...,/, kde itj(p*,x*) je takové množství čistého výstupu i, které maximalizuje zisk přičemž je dán vektor variabilních cen p* a vektor fixních vstupů x*, které jsou k dispozici. Hotellingovo lema lze použít k odvození funkce nabídky variabilního výstupu a poptávky po variabilních vstupech. Potřebujeme pouze, aby byl zaručen funkcionální tvar H(p, x) konzistentní s podmínkami regularity pro II a diferencovatelnost vzhledem ke komponentám vektoru p. Například uvažme funkci transloga-ritmického variabilního zisku II definovanou: i=l i=l h=l (8.3) 264 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII kde = 7tó a i = 1; X^' = 0> J = l,2,...,J;X7í, = 0, i = 1,2,...,/. (8.4) i=l i=l h=l Podobně, Ľ.(p, x) je homogenní stupně jedna v x tehdy a jen tehdy, když: j j J £>- = 1; X>* = 0' « = l,2,...,/;X>3-fe = 0, j = 1,2,..., J. (8.5) i=i i=i fc=i Je-li II(p,x) > 0, definujeme podíl nabídky i-té proměnné jako: piUi(p,x)/Ľ.(p,x) = Sj(p,x). Hotellingovo lemma použité na translogaritmickou funkci definovanou v (8.3) dává následující systém funkcí podílu čisté nabídky: i J s,t(p,x) = cti + E7ih^P/i + ESíjlnxj' « = 1,2,...,/. (8.6) /i=i i=i Neboť je suma všech podílů jednička, jenom J — 1 rovnic v (8.6) je nezávislých. Rovnice (8.3) a J — 1 rovnic z (8.6) lze použít k odhadu parametrů funkce translogaritmického variabilního zisku. Povšimněme si přitom, že tyto rovnice jsou lineární v neznámých parametrech stejně jako omezení (8.4) a že můžeme použít modifikace lineárních regresních technik. Alternativní funkcionální tvary funkcí variabilního zisku jsou navržené v McFadden (1978b), Diewert (1973a) a Lau (1974a). Empirické poznatky vypracoval Kohli (1978), Woodland (1977c), Harris(Appelbaum (1977) a Epstein (1977). Velice příbuzný je přístup tzv. sdružené nákladové funkce C(u, w) = minxjuj^x : (u, —x) G T}, kde T je množina produkčních možností stejně jako dříve, w ^> Oj je kladný vektor cen vstupů. Jako obyčejně, pokud je C(u,w) diferencovatelná vzhledem k cenám vstupů w (a splňující příslušné podmínky regularity), potom 8. FUNKCE ZISKU 265 můžeme z Shephardova lemmatu odvodit systém poptávkových funkcí x.(u,w), které minimalizují náklady. Dostáváme pak: Sdružené nákladové funkce empiricky odhadoval Burgess (1976a) (který využíval funkcionální tvar Halla (1973)), Brown, Caves, Christensen (1975) a Christensen, Greene (1976) (který využíval translogaritmický funkcionální tvar pro C(u,w), což je analogicky jako u transabilního zisku definované v (8.3). Historické poznámky Samuelson (1953-54, str.20) nás obeznámil s funkcí národní produkce, což je přístup zmíněné funkce variabilního zisku. Zároveň upozornil na některé vlastnosti. Gorman (1968) a Mc-Fadden (1966, 1978a) vynesl na světlo světa tvrzení o dualitě mezi množinou produkčních možností (splňující různé podmínky regularity) a korespondující funkcí variabilního zisku. Alternativní tvrzení o dualitě jsou v Shephard (1970), Diewert (1973a, 1974b), Sakai (1974) a Lau (1976). Pro speciální případ jediného fixního vstupu se lze poučit z Shephard (1970, str.248-250) nebo Diewert (1974b). McFadden (1966, 1978a) zavedl funkci sdružené nákladové funkce, sepsal její vlastnosti a dokázal tvrzení 0 formální dualitě mezi sdruženou nákladovou funkcí a množinou produkčních možností T, stejně jako je to 1 v Shephard (1970) a Sakai (1974). Existují také mnohem jednodušší tvrzení o množině produkčních možností a transformačních funkcí, které dávají maximální množství jednoho výstupu, jenž daná firma může vyrobit (nebo optimální množství požadovaného vstupu) při pevně daných množstvích ostatních vstupů a výstupů. To nalezneme například v Diewert (1973), Jorgenson; Lau (1974a, 1974b) a Lau (1976). Hotellingovo lemma lze zobecnit tak, abychom postihli i případ nediferencovatelné funkce variabilního zisku: gradient funkce LT vzhledem k p je nahrazen množinou subgradientů. Toto zobecnění bylo poprvé uveřejněno v Gorman (1968, str.150-151) a McFadden (1966, str.11) a opakováno v Diewert (1973a, str.313) a Lau (1976, str.142). Je-li n(p, x) diferencovatelná vzhledem ke komponentám vektoru fixních vstupů, potom Wj = dll(p, x)/dxj lze interpretovat jako hodnotu, kterou firma přisuzuje jedné dodatečné jednotce j-tého fixního výrobního (8.7) 266 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII faktoru. Neboli je to "stínová cena" j-tého vstupu (Lau (1976, str.142)). Pokud je navíc firma vystavena vektoru cen w ^> Oj výrobních faktorů pro "fixní"vstupy a během určitého období lze měnit množství těchto "fixních"faktorů, pak pokud firma minimalizuje náklady na dosažení daného množství variabilního zisku, dostaneme ( Diewert (1974a, str. 140)) A tyto vztahy mohou být rovněž využity v ekonometrických aplikacích. Translogaritmický varibalní zisk byl nezávisle navržen v Russel(Boyce (1974) a Diewert (1974a, str.139). Jde zjevně o přímou modifikaci translogaritmického funkcionálního tvaru podle Christen, Jorgenson(Lau (1971) a Saragan (1971). Vlastnosti porovnávacích statistik Il(p, x) nebo C(u,w) byly popsány v Samuelson (1953-54), McFadden (1966, 1978a), Diewert (1974, str. 142-146) a Sakai (1974). V teorii mezinárodního obchodu se všeobecně předpokládá existence sektorových produkčních funkcí, fixní domácí zdroje x a pevné ceny p mezinárodně obchodovatelného zboŘí. Pokoušíme-li se v takovém případě maximalizovat čistou hodnotu mezinárodně obchodovatelného zboží vyráběného ekonomikou, dostáváme variabilní funkci zisku ekonomiky, Il(p, x) nebo Samuelsonovu funkcí národního produktu. Pokud jsou sektorové produkční funkce "vystaveny"konstantním výnosům z rozsahu, bude mít H(p,x) obvyklé vlastnosti zmíněné výše. Avšak existence sektorových technologií implikuje dodatečná omezení na porovnávací statistiky národní produkční funkce II: viz. Chipman (1966,1972, 1974b), Samuelson (1966), Ethier (1974), Woodland (1977a, 1977b), Diewert and Woodland (1977), Jones, Schienkman (1977) a další v odkazech těchto prací. Závěrem poznamenejme, že vlastnosti Il(p, x) vzhledem k x jsou přesně ty vlastnosti, které má neoklasická produkční funkce. Když je x vektor primárních vstupů, potom můžeme Il(p, x) interpretovat jako funkci přidané hodnoty. Pokud se mění ceny p (průměrně) proporcionálně v čase, může být Il(p, x) očištěna od inflace trendem všeobecných cen, čímž dostáváme funkci reálné přidané hodnoty, která má vlastnosti neoklasické produkční funkce; viz. Khang (1971), Bruno (1971) a Diewert (1978c, 1980). 9. DUALITA A NESOUTĚŽIVÉ PŘÍSTUPY K MIKROEKONOMICKÉ TEORII 267 9 Dualita a nesoutěživé přístupy k mikroekonomické teorii Doposud jsme předpokládali, že výrobci a spotřebitelé berou ceny jako dané a optimalizují množství proměnných, které mají pod kontrolou. V této kapitole naznačíme, jak může být teorie duality využito v případě mo-nopsonického či monopolistického chování na straně spotřebitelů nebo výrobců. Nebudeme se to pokoušet přesně vysvětlovat, toliko ilustrujeme používané techniky na 4 příkladech. 9.1 První přístup: Problém monopolu Předpokládejme, že monopolista produkuje výstup Xo při produkční funkci F(x), kde x ^> On je vektor variabilních vstupů Nechť je dále monopolista vystaven (inverzní) poptávkové funkci p0 = wD(xq), tzn. Po > 0 je cena, při které se prodá x0 jednotek výstupu, D je spojitá, kladná funkce v x0, proměnná w > 0 reprezentuje vliv "dalších proměnných"na poptávku. Dlužno dodat, že pokud prodává monopolista spotřebitelům, w může vyrovnat disponibilní důchod uvažovaného časového období. Pokud monopolista prodává výrobcům, w může být lineárně homogenní funkce cen, kterým jsou vystaveni ostatní výrobci. A konečně, předpokládejme, že monopolista chová "soutěžně"na trhu vstupů, když cenový vektor cen vstupů je dán pevně. Potom lze problém maximalizace monopolistova zisku zapsat takto: max {p0x0 - pTx : x0 = F(x),p0 = wD(x0),x > 0N} = P0,x0,x = max{wD[F(x)]F(x) - pTx : x > 0N} = X = max{wF*(x) - pTx : x > 0N} = II* (w, p), (9.1) X kde F*(x) = D = [F(x)]F(x) = poX0/w je funkce tržeb očištěná od inflace w nebo pseudoprodukční funkce a II* je příslušná funkce pseudozisku (vzpomeňme kapitolu 10), která korespondující s F*. Povšimněme si, že w hraje roli ceny pro F*(x). Pokud je F* konkávni funkce, potom bude U*(l,p/w) funkce konjugovaná k F* [vzpomeňme na: Samuelson (1960), Lau (1969, 1978) a Jorgenson, Lau (1974a, 1974b) konjugované přístupy 268 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII k teorii duality] a II* bude duální k F* (tzn. F* může být dopočtena z II*). I když není F* konkávni, existuje-li maximum v (11.1) v relevantním okolí cen (w,p), potom může být II* využito k reprezentaci relevantní části F* (tzn. "volný dostupný"obal F* dostaneme z II*). Pokud je navíc II* diferencovatelná v (w*,p*) a Xq,Pq)x* řeš€ (11.1), pak Hotellingovo lemma dává: u*0 = ^ = Vwn>*,p*)a-x* = Vpn*(w*,p*). (9.2) Pokud je k tomu II* spojitě diferencovatelná druhého řádu v (w*,p*), pak můžeme odvodit obvyklé výsledky pro porovnávací statistiky funkcí prodeje očištěných od inflace, uq(w*,p*) = VwIl*(w*,p*) a funkce poptávky — x(u>*,p*) = VpH*(w*, p*); zejména V2II*(-u;*, p*) je pozitivně semidefinitní symetrická matice a [w*,p*T]V2U*(w*,p*) = 0N+1. Vztah (9.2) lze využít k odhadu ekonometrických parametrů II* a tudíž nepřímo k odhadu F*: jednoduše řečeno, postulujeme funkcionální tvar II*, diferencujeme II*, což "napasujeme"na (9.2) pro danou časovou ředu pozorovaných hodnot pq,p,w,xq a x. Nevýhodou metody jsou: (i) nelze vyjádřit D z F; (ii) nelze testovat, zda-li se vlastně výrobce chová "tržně"na trhu výrobků; (iii) nemůžeme použít naše odhadnuté rovnice k predikci výroby x0 nebo prodejní ceny p0 odděleně. 9.2 Druhý přístup: Problém monopsonu Uvažme problém spotřebitele, který maximalizuje funkci užitku F(x), která splňuje "Podmínky I", ale odtud již dále pro spotřebitele nepředpokládáme fixní ceny nakupovaných komodit. Takže je spotřebitel schopen monopsonicky využít jednoho či více svých dodavatelů. Pak v období r nechť je vystaven nelineárnímu rozpočtovému omezení ve tvaru: hr(x) = 0, kde x > On je vektor jeho nákupu (nebo rent). Nechť xr > On je řešení pro období r problému maximalizace "omezeného"užitku, tzn.: max{F(x) : hr(x) = 0,x > 0N} = F(xr); r = 1,...,T. (9.3) X Dále nechť r-tá funkce rozpočtového omezení hr je diferencovatelná v xr s Vx/?-(xr) ^> O^v pro každé r. Pak můžeme linearizovat r-té rozpočtové omezení okolo x = xr tak, že vezmeme rozvoj Taylorovy řady prvního 9. DUALITA A NESOUTĚŽIVÉ PŘÍSTUPY K MIKROEKONOMICKÉ TEORII 269 řádu. Linearizované rozpočtové omezení je hr(x.r) + [Vx/ir(xr)]T(x — xr) = 0 nebo [Vx/í-r(xr)]T(x — xr) = 0, neboť hr(x.r) = 0 použitím (9.3). Lehce se nahlédne, že povrch užitku: {x : F(x) = F(xr),x > 0^} je tečná nejenom k původnímu nelineárnímu rozpočtovému povrchu {x : hr(x) = 0,x > 0^} v x = xr, ale také k povrchu linearizovaného rozpočtového omezení {x : [V/ir(xr)]T(x — xr) = 0,x > 0^} v x = xr. Neboť se předpokládá F kvazikonkávní, je množina {x : -F(x) > F(xr),x > 0^} konvexní a linearizované rozpočtové omezení je opěrnou nadrovinou k této množině, tzn.: max{F(x) : prTx < prTxr, x > 0N} = F(xr), r = 1,..., T, (9.4) X kde pr = V/v(xr) pro r = 1,2, ...,T. Nyní je (9.4) pouhou řadou "agregátorových"maximalizačních úloh typu, který jsme studovali v kapitole 4 (r-tý vektor normalizovaných cen se definuje jako vr = pr/prTxr) a odhadovací techniky nastíněné v kapitole 9 (vzpomeňme například vztah (9.9)) mohou být použity k odhadu parametrů přímých užitkových funkcí duálních k F. Kapitola 4 se zabývá lineárními rozpočtovými omezeními a proto je irelevantní, jestli je F kvazikonkávní nebo ne (vzpomeňme naši diskusi a diagram v kapitole 2). Avšak nyní požadujeme dodatečné předpoklady, že F je kvazikonkávní, aby se rigorózně ospravedlnila záměna (9.3) za (9.4). Povšimněte si také, že abychom mohli použít tuto proceduru, je nezbytné znát vektor derivací Vxhr(x.r) pro každé r; tzn. musíme znát derivace nabídkových funkcí, které spotřebitel využívá v každém období - informace, kterou první přístup nepožaduje. Model monopsonu zde prezentovaný je ve skutečnosti mnohem širší než klasický model monopsonis-tického využívání: ceny, kterým je spotřebitel vystaven se mohou měnit s nakupovaným množstvím kvůli nepřebernému množství důvodů, zahrnujíce v to i náklady transakce, množstevní slevy a existenci progresivního zdanění. Většina daňových systémů vede k rozpočtovým omezením se skoky nebo nediferencova-telnými body. To nezpůsobuje žádné problémy s výše uvedenou procedurou, jestliže pozorovaná spotřebitelova volba mezi spotřebou a volným časem nepadne přesně do bodu skoku v tomto rozpočtovém omezení. 270 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII 9.3 Třetí přístup: Problém monopolu jinak Znovu se věnujme problému monopolu vyloženému výše. Nechť Xq > 0,xr > O^v je řešením problému maximalizace zisku monopolu pro r-té období, což lze zapsat: max{-u;rD(x0)x0 — prTx : x0 = F(x),x > 0^} = x = W-D(x5)x5-prTxr,r = l,2,..,T, (9.5) kde Pq = wtD(x.q) > 0 je pozorovaná prodejní cena výstupu během r-tého období, wtD(xq) je inverzní poptávková funkce pro období r, p ^> On je vektor cen vstupů pro období r. Pokud je funkce F spojitá a konkávni (tak, že množina produkčních možností {(xo,x) : Xo < F(x),x > 0^} je uzavřená a konvexní) a když inverzní poptávková funkce D je diferencovatelná v Xq pro r = 1,2, ...,T, pak je cílová funkce r-tého maximalizačního problému v (9.5) může být linearizován v okolí (xQ,xr) a tato linearizovaná cílová funkce bude tečná k povrchu produkce x0 = F(x) v (xQ,xr). Tudíž: max{p£x0 - prTx : x0 = F(x), x > 0^} = U(pr0, pr) = x0,x = p5x5-prTxr,r = l,...,T, (9.6) kde pQ = wtD(x.q) + wtD'(x!q)x.q = Pq + wtD'(x.q)x^ > 0 je stínová neboli mezní cena výstupu r-tého období (Pq < Pq jestliže wr > 0 a _D'(xq) < 0 a II je "pravdivá"funkce firemního zisku, která je duální k produkční funkci F (vzpomeňme II* definovanou v prvním přístupu, která je duální ke konvexnímu obalu D[F(x)]F(x) = F*(x)). Takže problém maximalizace pravdivé nelineární funkce monopolistického zisku (9.6), který má obvyklou strukturu jakmile mezní ceny výstupu p'Q byly vypočteny tak, aby mohly být použity obvyklé ekonometrické techniky [vzpomeňme vztah (10.5) v Kapitole 10]. Porovnáním třetího přístupu s prvním zjistíme, že třetí přístup vyžaduje extra předpoklad o konkávnosti produkční funkce (konvexní technologie) a dodatečné informace, jako například znalost sklonu poptávkové funkce, kterou monopolista využívá, se požaduje pro každé období. 9. DUALITA A NESOUTĚŽIVÉ PŘÍSTUPY K MIKROEKONOMICKÉ TEORII 271 Lehce se nahlédne, že tento přístup lze zobecnit na firmu vyrábějící víc výrobků, která současně využívá trh se vstupy i výstupy: všechno co potřebujeme je předpoklad konvexnosti technologií a (lokální) znalosti poptávkových a nabídkových funkcí, které firma využívá, aby mohly být spočítány příslušné stínové ceny. Výše uvedené techniky mohou nýt zřejmě použity v situacích, kdy se firma nechová monopolisticky ani monopsonisticky ve smyslu využívání trhů, ale je vystavena cenám jejích vstupů a výstupů, které závisí na pořízeném nebo prodaném množství, zahrnujíce náklady na transakce a množstevní slevy. 9.4 Čtvrtý přístup: Problém monopolu ještě jednou Předpokládejme nyní, že produkční funkce splňuje, jako obyčejně, "Podmínky I"a nechť Xq > 0,xr > O^v je řešení maximalizační úlohy monopolistického zisku pro období r (9.5), které lze přepsat jako max{^JD(x0)x0 - C(x0, pr) : x0 > 0} = wrD(i^)^ - prTxr, r = 1,... ,T, (9.7) kde C značí nákladovou funkci duální k F. Pokud je inverzní poptávková funkce D diferencovatelná v Xq > 0 a <9C(xq, pr)/<9x0 existují, pak podmínky prvního řádu pro r-tý maximalizační problém v (9.7 dávají podmínku wtD(x.q) + wrD'(xq)xq — <9C(xq, pr)/<9x0 = 0 nebo, s použitím pozorované prodejní ceny výstupu v r-tém období prQ = wtD(x.q), Pl = -wrD'(^0 + dC(^f\r = 1,..., T. (9.8) Jestliže je nákladová funkce C diferencovatelná v cenách vstupů v bodě (x^, pr) pro každé období r, pak dává Shephardovo lemma dodatečné rovnice xr = VpC(xr0,pr),r = l,...,T. (9.9) Předpokládejme, že část inverzní poptávkové funkce, která záleží na x0, lze -D(x0) adekvátně aproximovat v relevantním okolí x0 následující funkcí: L)(xo) = a - pinxo, (9.10) 272 KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII kde a > 0,(3 > O jsou konstanty. Substituce (9.10) do (9.8) dává rovnice pr0 = wrf3 + dC(xr0,pr) <9x0 r = 1,...,T. (9.11) Při daných pozorovaných rozhodováních dané firmy o cenách a množstvích pr0, pr, Xq, x a při informaci o w (většinou lze předpokládat, že w = 1) může být systém rovnic (9.9) a (9.11) naráz ekonometricky odhadnut jakmile známe diferenciální funkcionální tvar nákladové funkce C(xo,p). Pokud je (3 = 0 v (9.11), pak se producent chová tržně, prodává-li výstup za cenu p rovnou mezním nákladům, <9C(xq, pr)/<9x0. Rovnice (9.11) je zároveň konzistentní s chováním producenta jako monopolisty, který tvoří cenu "naivní přirážkou", neboli "naivní markup", (záleží na hodnotě w). Máme tak základ pro statistické testování tržní struktury: (i) když (3 = 0, pak je chování producenta v souladu s tržní situací známou jako "price taking"; (ii) kdyR je (3 > 0 a (3wt/pq < 1 pro všecna r = 1,2, ...,T, pak dostáváme chování klasického monopolisty; (iii) pokud je (3 > 0, ale (3wr/prQ > 1 pro nějaké r, potom máme chování "markup"monopolisty; (iv) když (3 < 0, pak nebude chování firmy v souladu s žádným ze tří popsaných způsobů. Tento přístup nabízí oproti předchozím přístupům několik výhod: (i) můžeme nyní statisticky testovat soutěžní chování; (ii) požadavky na informace jsou nízké - nepotřebujeme exogénni informaci o poptávkové elasticitě; (iii) nemusíme předpokládat, že produkční funkce F je je konkávni, takže model je konsistentní s rostoucími výnosy z rozsahu produkce; a nakonec (iv) postup je velmi jednoduchý - jen vložíme podmínku (3wr do rovnice soutěže, cena se rovná mezním nákladům. 9.5 Historické poznámky Základ prvního přistupuje v Lau (1974a, str. 193-4; 1978), ale své kořeny má už v Hotelling (1932, str. 609). Druhý přístup je v Diewert (1971b), ale kořeny jsou v práci Fisch (1936, str. 14). Třetí přístup (izomorfní ke druhému přístupu) je popsán v Diewert (1974a, str. 155). Čtvrtý přístup je od Appelbaum (1975), který požaduje trochu jiné předpoklady pro funkcionální tvar inverzní popávkové funkce. Appelbaum(1975, 1979) také naznačuje, jak by bylo možné jeho přístup rozšířit na několik monopolistických nabídkových výstupů 10. ZÁVĚR 273 nebo monopsonistických poptávkových vstupů a ukazuje příklad empirického testování založeného na datech o amerického odvětví zpracovávající naftu a zemní plyn. Další empirický příklad této techniky je založen na obchodu mezi USA a Kanadou v Appelbaum(1979). Čtvrtý přístup byl použit v Schworm (1980) v kontextu investiční teorie, kde se ceny investičního zboží odvíjí od nakupovaného množství. 10 Závěr Věnovali jsme velkou pozornost duálnímu přístupu k mikroekonomické teorii v Sekcích 2-6 této kapitoly. V Sekcích 7 a 8 jsme ukázali, jak může být teorie duality využito k odvození obvyklých porovnávacích statistických tvrzení pro teorii výrobců a spotřebitelů. Bohužel, počet děl, využívajících teorii duality je tak veliký, že nejsme schopni je všechny uvést. KAPITOLA 7. DUALITA V MIKROEKONOMII Literatura [1] R.G.D. Allen : Mathematical economics. Macmillan, London 1963. [2] K.J. Arrow: Social choice and individual values. Wiley, New York 1951, 2nd edition 1963. [3] K.J. Arrow, M.D. Intriligator: Handbook of mathematical economics. Elsevier Science, Amsterdam 1994. [4] C. Berge: Topological spaces, Macmillan, New York 1963. [5] L. Bican : Lineární algebra. SNTL, Praha 1979. [6] A. Cellina: A Theorem on the Approximation of Compact Multi-valued Mappings. Rendiconti Academia Nazionale Lincei, (8) 47 (1969), 429-433 [7] G. Debreu: Theory of value, An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. John Wiley & Sons, Inc.,New York, 1959. [8] G. Debreu: Smooth preferences, Econometrica, 38:387-616, 1972. [9] Debreu, G.: Ekonomická teorie v matematické formulaci (přednáška při příležitosti udělení Nobelovy ceny), Nobelova cena za ekonomii, Academia, Praha, 1993 275 276 LITERATURA [10] G. Debreu: Existence of Competitive Equilibrium, Handbook of Mathematical Economics. 15.kap. Elsevier Science, Amsterdam, 1994, 697-743. [11] W.E. Diewert: Duality theory in economics, North Holland, Amsterdam 1982. [12] J. Dupačová, J. Plesník, M Vlach: Lineárne programovanie. ALFA, Bratislava 1990. [13] W. Fenchel: Convex cones, sets and functions, Lecture Notes, Department of mathematics, Princeton University, Princeton 1953. [14] J. Green, W.P. Heller: Mathematical analysis and convexity with application to economics in Handbook of mathematical economics, editors K.J. Arrow, M.D. Intriligator, Elsevier Science, Amsterdam 1994, p. 15-53. [15] J.R. Hicks: Value and capital, Oxford University Press, New York 1946. [16] H. Hotelling: Demand functions with limited budgets, Econometrica, 3, 1925, p. 66-78. [17] S. Karlin: Mathematical methods and theory in games, programming and economics, vol. I, Addison-Wesley, Palo Alto, California 1959. [18] I. Kolář: Uvod do Thomovy teorie katastrof Academia, Praha 1988. [19] H. Minkowski: Theorie der konvexen Körper, Gesammelte Abhandlungen II, B.G. Teubner, Leipzig und Berlin 1911. [20] H. Nikaido: Convex structures and economic theory, Academic Press, New York 1968. [21] J. Novotný: Existence rovnovážného stavu v ekonomice s produkcí, Brno, 2002. [22] A. Pultr: Podprostory euklidovských prostorů, SNTL, Praha 1986. LITERATURA 277 [23] R.T. Rockafellar: Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton 1970. [24] P.A. Samuelson: Foundations of Economic Analysis, Cambridge 1963. [25] R.W. Shephard: Cost and production functions, Princeton University Press, Princeton 1953. [26] R.W. Shephard: Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton 1970. [27] R. Sikorski: Diferenciální a integrální počet funkce více proměnných, Academia, Praha 1973. [28] S. Smale: Global Analysis and Economics, Handbook of Mathematical Economics. 8.kap. Elsevier Science, Amsterdam, 1994, 331-369. [29] J. Soukupová a kol.: Mikroekonomie. 2.vyd. Management Press, Praha, 1999. [30] H. R. Varian: Dynamical Systems with Appplications to Economics, Handbook of Mathematical Economics. 3.kap. Elsevier Science, Amsterdam, 1994, 93-110. [31] J. von Neumann: Uber ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwers-chen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 8:73-83, 1937. [32] M.S. Vošvrda: Teoretická ekonomie, Univerzita Karlova, Praha 1994. [33] J. Zalská: Teorie všeobecné rovnováhy, vybrané problémy, Brno, 2000. Rejstřík korespondence 167 A aditivita výrobních plánů 95 alokace 146 Arrowova-Debreuova věta 101 B bohatství 2-tého spotřebitele 173 C cena komodity 125 cenový systém 143 Cournot-Nashova rovnováha 168 Č čistá hodnota spotřeby 2-tého spotřebitele 172 D difeomorfismus 203 dosažitelná spotřeba 174 dosažitelná spotřební množina 174 dosažitelný stav ekonomiky 174 dynamický systém 203 E ekonomika £173 ekonomika úplné směny 145 F falešná nabídka firmy 107 falešná poptávka 108 falešný příjem spotřebitele i 108 funkce falešné poptávky 147 funkce kolmá k prostoru 127 funkce nabídky 126 funkce ostře kvazikonkávní 75 funkce poptávky 126, 143 funkce splňující podmínku ostré konvexity 101 funkce užitečnosti 143 G gradient 214 graf korespondence 167 278 REJSTŘÍK H hamiltonovská funkce 217 hamiltonovský systém 217 hladká m-varieta. 203 I index I(x*) stavu x* 208 izolovaná komunita 162 K komoditní prostor 125 komoditní svazek 125 konkurenční rovnovážný stav 146 konstantní výnosy z rozsahu 95 konvexní korespondence 167 kritický bod zobrazení 129 křivka rozvoje příjmů 145 L w-limitní bod pro x 213 w-limitní množina pro x 213 lokálně asymptoticky stabilní rovnováha 211 lokální Paretovo optimum 149 lokální silné Paretovo optimum 149 Lyapunovova funkce 211 M maximální prvku relace 173 možnost žádné produkce 94 N nadbytek poptávky 126 nemožnost volné produkce 95 nenasycenost 175 neuspokojená spotřeba 175 O operátor toku 203 P Paretovo optimum 149 pevný bod korespondence 167 plná míra množiny 130 počáteční obdaření agenta 108 počáteční obdaření komoditami 173 podíly ze zisku výrobců 173 podmínka nedegenerovanosti 155 podmínka nenasycenosti 148 podmínka volného použití 94 Poincaré-Bendixsonova věta 213 Poincarého index vektorového pole 20 poptávka 143 poptávka 2-tého spotřebitele 108 potenciálová funkce systému 214 preference 2-tého spotřebitele 172 produkce j-tého výrobce 173 prostor cenových systémů 125 převis poptávky nad nabídkou 179 přípustná alokace 146 280 REJSTŘÍK R reflexivní preferenční relace 172 regulární hodnota 129 relace ostré preference 172 rovnováha dynamického systému 207 rovnováha ekonomiky 100 rovnováha k volnému použití 136 rovnováha sociálního systému 187 rovnovážný bod společenského systému 171 rovnovážný stav 126 rovnovážný stav ekonomiky blahobytu 157, 161 rovnovážný stav ekonomiky S 173 rozpočtová množina 143 rozpočtová množina 2-tého spotřebitele 177 S shora polospojitá korespondence 167 silné Paretovo optimum 149 singulární bod zobrazení 129 singulární hodnota 129 směrová derivace 214 spojitá korespondence 170 společenský systém 171 spotřeba 2-tého spotřebitele 172 stav ekonomiky 146 stav ekonomiky S 173 stav systému 201 stav y dominuje stav x 149 stavová přechodová funkce 202 stavový prostor systému 201 strategie hry 167 striktně konvexní množina 101 strukturálně stabilní systém 218 systém gradientů 214 T tečný prostor variety 203 technologické znalosti 173 tranzitivní preferenční relace 172 U uzavřená orbita 213 uzavřený poloprostor 203 V varieta 203 varieta s hranicí 203 vektorové pole na varietě 205 W Walrasovův rovnovážný stav 146 Walrasův zákon 127 Z zdola polospojitá korespondence 170