Procvičovací úkol č.8 - Zadání
Stará látka:
Příklad č.l: Bylo zkoumáno 9 vzorků půdy s různým obsahem fosforu (veličina X). Hodnoty veličiny Y označují obsah fosforu v obilných klíčcích (po 38 dnech), jež vyrostly na těchto vzorcích půdy.
číslo vzorku	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X	1	4	5	9	11	13	23	23	28
Y	64	71	54	81	76	93	77	95	109
Těchto 9 dvojic hodnot považujeme za realizace náhodného výběru (X1; Yi),..., (X9, Y9) z dvourozměrného rozložení s kovariancí a 12 a koeficientem korelace p. Najděte bodové odhady kovariance a 12 a koeficientu korelace p. Výslednou hodnotu koeficientu korelace interpretujte.
Příklad č.2 Přírůstky cen akcií v % na burze v New Yorku u 10-ti náhodně vybraných společností dosáhly těchto hodnot: 10,16, 5,10,12, 8,4, 6, 5,4.
(a) Odhadněte střední hodnotu p a směrodatnou odchylku o růstu cen akcií.
(b) Výsledky interpretujte.
Nová látka
Příklad č.l: Systematická chyba měřícího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a měřením etalonu, jehož správná hodnota je p = 10.00. Nezávislými měřeními za stejných podmínek byly získány hodnoty: 10.24, 10.12, 9.91, 10.19, 9.78, 10.14, 9.86, 10.17, 10.05, které považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozložení N(p,a2). Na hladině významnosti a = 0.05 testujte hypotézu, že odchylky přístroje jsou způsobeny pouze náhodnými vlivy, tedy hypotézu, že střední hodnota etalonu je 10.00. Hypotézu otestujte pomocí R všemi následujícími způsoby
(a) kritického oboru;
(b) intervalu spolehlivosti;
(c) p-hodnoty.
(d) Ke každému typu testování napište, zda na základě výsledku zamítáme/nezamítáme hypotézu Hq ve prospěch alternativní hypotézy H\ na zadané hladině významnosti. Nakonec učiňte hromadný závěr (proveďte interpretaci výsledku testování): Napište jasnou odpověď na otázku, zda jsou odchylky způsobeny pouze náhodnými vlivy či nikoliv.
# a)   Testováni  pomoci  kritického oboru:
# statistika tO [1] 0.9426111 #kriticky obor:
W =   (-inf   ;   -2.306004>  a  <2.306004;   inf)
# b)   Testováni  pomoci IS:
# dolni  hranice IS [1] 9.926073
1
# hôrni hranice IS [1] 10.17615
#  c)   Testováni  pomoci p-hodnoty:
#p-hodnota
[1] 0.3734702
Párové testy:
Párové testy používáme, máme-li data z dvourozměrného normálního rozložení. Tyto testy používáme například tehdy, chceme-li porovnat rozdíl párových součástí objektu, případně párových orgánů člověka. Typickým příkladem je srovnávání, zda levé ucho má stejnou délku jako pravé ucho, zda je výška levého nadočnicového oblouku stejná, jak výška pravého nadočnicového oblouku, je-li levá pneumatika na autě sjetá stejně, jako pravá pneumatika, apod. Párové testy můžeme také použít na zkoumání podobných rysů dvojčat.
Nechť tedy máme náhodných výběr (Xi, Y\)... (Xn, Yn) z dvourozměrného normálního rozložení, přičemž n > 2. (X může být např. délka levého ucha, Y je délka pravého ucha a máme celkem n lidí, jimž jsme uši měřili). Střední hodnota délky levého ucha (X) je střední hodnota délky pravého ucha (Y) je /x2.
Příklady s párovými daty se počítají tak, že utvoříme rozdíly Z\ = X\ — Y\... Zn = Xn — Yn. (Z\ je tedy rozdíl v délce pravého a levého ucha jednoho člověka: Pepy Veselého, Z2 je rozdíl v délce pravého a levého ucha Tondy Smutného, ...). Tím jsme párová data převedli na jednovýběrová (Z\... Zn tvoří náhodný výběr z normálního rozložení se střední hodnotou fi = //i — /x2). S daty dále pracujeme jako s jednovýběrovými daty a testujeme nulovou hypotézu H0 : fi = 0 (rozdíl středních hodnot je nulový) oproti alternativní hypotéze H\ : fi 7^ 0 pomocí jednovýběrového testu o střední hodnotě /i, když a2 neznáme.
Výběrový průměr pro náhodný výběr rozdílů Z\.. .Zn má tvar klasického aritmetického průměru
a výběrový rozptyl pro náhodný výběr rozdílů Z\.. .Zn má tvar jako klasický výběrový rozptyl (při výpočtu tedy postupujeme skutečně úplně stejně, jako při testu o střední hodnotě /i, když a2 neznáme).
Příklad č.2: Bylo vylosováno 6 vrhů selat a z nich vždy dva sourozenci. Jeden z nich vždy dostal náhodně dietu č.l a druhý dietu č.2. Přírůstky v Dg jsou následující: (62;52), (54;56), (55;49), (60;50), (53;51), (58;50). Předpokládejme, že uvedené dvojice tvoří náhodný výběr z dvourozměrného rozložení s vektorem středních hodnot /x2) a že jejich rozdíly se řídí normálním rozložením. Na hladině významnosti a = 0.05 testujte pomocí R hypotézu, že výkrmná dieta nemá vliv na hmotnostní přírůstky selat. Testování proveďte pomocí intervalu spolehlivosti: Rozhodněte, zda zamítáme Hq na hladině významnosti a a interpretujte výsledek testu.
# Interval spolehlivosti:
# dolni hranice [1] 0.6264613
n
i=l
i=l
2
# horni hráni [1] 10.70687