1   Výpočet číselných charakteristik náhodných veličin
Vyjádření k domácímu úkolu
Stará látka Normálni rozložení
• náhodná veličina
— diskrétni
* pstní fce
* distr fce
— spojitá
* hustota
* distr fce
• Náhodná veličina X ~ N(fi, a2)
• Střední hodnota E (X) = fi, rozptyl D (X) = a2.
• posunutí, rozptyl
standardizované normálni rozložení
• fj, = 0, a2 = 1
• r/~iV(0,l)
• distribuční fce:
• hodnoty distr. fce jsou tabelovány pro u > 0
• pro u < 0 používáme přepočtový vzorec <&(—«) = 1 — <&(w).
1
1.1   Nová látka:
Vlastnosti normálního rozložení
• Pokud X ~ N(/i, a2), potom X ~ ^ ^ JV(0,1)
• Pokud X ~ N(fi, o-2), potom A = a + bX ~ iV(a + &V2)
• X1... Xn- Xt ~ iV(/xí; a2), potom F = £ľ=i X, ~ N(£ti ^ £ľ=i ^)
Číselné charakteristiky náh.veličin
• F(x),p(x),f(x) ... funkcionální charakteristiky
— obsahují veškerou informaci o chování náh.veličiny
• někdy nás zajímají pouze rysy chování náh.veličiny
• k tomu slouží číselné charakteristiky
— kvantily
— střední hodnota
— rozptyl / směrodatná odchylka
— kovariance
— korelace
a-kvant il
• a-kvantil náh.veličiny X
• ua(X)
• obdoba a-kvantilu v popisné statistice
• křivka hustoty:
— plocha pod křivkou ... pst ... = 1
— tuto plochu rozdělíme na 2 části
* tmavá plocha a
* světlá plocha 1 — a
— pst, že náhodná veličina X se realizuje hodnotou menší nebo rovnou hodnotě ua(X)
— číslo ua(X) nazýváme a — kvantilem spojité náhodné veličiny.
— a = P(X < ua(X))
— platí vztah
ua = -ui-a (2)
— speciální kvantily
2
* medián
* 1. kvart il
* 3. kvart il
— Pearsonovo rozložení X ~ X2(n) ■ ■ ■ nesymetrické
— Studentovo rozložení X ~ t(n) ... symetrické ... t0
— Fisherovo-Snedecorovo rozložení X ~ F(ni,n2)
R-příkazy
— qnorm(oí, mean=, sd= )
— qchisq(a, n)
— qt(a, n)
— qf(a,ni,n2)
Příklad:
-íi-
l-a
■ ■ Uq.25 — —Uq.75 . .ltQ.5 = 0.5
.. u0.75 = 0.674 13.120
1. U ~ N(0; 1);... u0.25 = -uo.75 = -0.674
2. ř/~iV(0;ť
3. ř/~iV(0;ť
4- XŽ.o25(25) =
5. í0.99(30) = 2.45 7
6. X ~ iV(3, 5)... xo.25 =?
— Najdeme 0.25-kvantil pro £7 ~ -/V(0; 1) —> «0.25
— platí U
a
-0.674
X = alf + //=>- Xo.25 = O""o.25 + y" =
^0.25 = 75(-0.674) + 3 = 1.49
(3)
střední hodnota fi
• nese informace o střední poloze
• střední hodnota diskrétní náhodné veličiny
00
E(X) = ^xp(x)
—00
• střední hodnota spojité náhodné veličiny
/oo xf(x)dx -00
• může se stát, že náhodná veličina X nemá střední hodnotu
• jde o idealizovaný průměr; značí se /i a výběrový ekvivalent je aritm. průměr m
• střední hodnota diskrétní transformované náhodné veličiny
E(Y)=E(g(X)) = Y,g(x)p(a
(4)
(5)
[x
(6)
3
1.1.1 Vlastnosti střední hodnoty
1. E (a) = a
2. E (a + bX)=a + bE(X)
3. E(X1 + X2) = EX1 + EX2
4. E(X1 + ...,Xn) = EX1 + ...EXn
rozptyl
• určuje, jak moc je náhodná veličina variabilní, jakou má tendenci realizovat se poblíž/daleko centrální polohy
• značíme D(X), a2
• teoretický protějšek s2 = ^ Yľi=i(xí ~ m)2] m Je arit m. průměr, nebo medián
• čím více se hodnoty v souboru navzájem liší, tím je hodnota rozptylu vyšší, kdyby celý soubor byl složen z 1, pak by rozptyl byl 0
D(X) = E([X - E(X)]2) (7)
• X porovnáme s její střední hodnotou, tuto odchylku umocníme na druhou a z kvadrátů všech X vypočítáme střední hodnotu
• rozptyl diskrétní náh.veličiny
oo
D{X) = E([X - E{X)f) = ]>> - E(X)]2p(x) (8)
— oo
• rozptyl spojité náh.veličiny
/oo [x - E(X)]2f(x)dx (9) -oo
• yjD(X) je směrodatná odchylka
1.1.2 Vlastnosti rozptylu
1. D(X) = E(X2) - [EX]2
2. D (a) = 0
3. D (a + bX) = b2D(X)
4. jsou-li náh.vel. stoch.nezáv, potom D(Xi + X2) = D(Xi) + D(X2)
5. jsou-li náh.vel. stoch.nezáv, potom D(X\ + ... Xn) = D(Xi) + ... D(Xn)
4
• Příklad: Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Vypočtěte střední hodnotu EX a rozptyl DX.
— Náhodná veličina X je diskrétního charakteru
— střední hodnota EX:
* k výpočtu střední hodnoty potřebujeme znát pstní fci pro všechny možné jevy:
* P(X = 1) = 1/6, P(X = 2) = 1/6, P(X = 3) = 1/6, P(X = 4) = 1/6, P(X = 5) = 1/6, P(X = 6) = 1/6
E(X) = 4 + 2^ + 3^+4 + 5^ + 6^ (10) 6      6      6      6      6 6
= 3.5 (11)
* Střední hodnota počtu ok při hodu kostkou je 3.5. rozptyl DX:
* D(X) = E([X - E{X)f) = Y^Jx - E{X)fP{x)
* EX jsme vypočítali
* E(X2) vypočteme podle vztahu E(Y) = E(g(X)) =       9Íx)p(x)i kde y = 9ÍX) = X2
E(X2) = l2- + 22- + 32- + 42- + 52- + 62-6       6       6       6       6 6
= 15.1
* DX = E(X2) - (EX)2 = 15.1 - 3.52 = 2.917.
* Rozptyl počtu ok při hodu kostkou je 2.917.
standardizovaná náh.veličina
X_E(X)
realizace st.náh.vel. jsou bezrozměrná čísla, která nám říkají o kolikanásobek směrodatné odchylky y^D(X) je ralizace X posunuta doprava/doleva od střední hodnoty
E(X) = 0
a2 = 1
centrování, škálování, standardizace
5
Kovariance C (X, Y)
• vždy mezi dvěmi náh.veličinami X,Y
• disrkétní náhodná veličina: C(X,Y) = E([X — EX][Y — EY]) =
oo oo
Y,YM-EX^y-EY^p^y)
-oo —oo
kde p(x, y) je simultánni pstní fce.
spojitá náhodná veličina
C (X,Y) = E([X - EX][Y - EY])
oo roo
[x-EX][y-EY]f(x,y)dx,
oo J —oo
kde f (x,y) je simultánni hustota
• střední hodnota součinu centrovaných náh.veličin X,Y
• znaménko kovariance určuje, zda je vztah mezi náh.veličinami přímý nebo nepřímý
Korelace
• dvou náh.veličin X, Y
• střední hodnota součinu standardizovaných veličin X,Y
• charakterizuje těsnost LINEÁRNÍHO vztahu mezi laľ
Rixx) = E'x-EXY-EY^ C(A'y>
VĎX    VĎY J y/ĎX^/DY
6
• Příklad:
Na pohřebišti se našlo několik koster, které pravděpodobně patřili obětem uctívacích rituálů. Kostrám chybí vždy na rukou buď jeden nebo dva prsty a na nohou tři nebo čtyři prsty. Máme dva znaky: Znak X - chybějící prsty na rukou má dvě varianty (X\ - 1 prst; X2 - 2prsty). Znak Y - chybějící prsty na nohou má také dvě varianty (Yľ - 3prsty; Y2 - 4prsty). Pst kombinace R1+N3 je 0.1, pst kombinace R1+N4 je 0.3, pst kombinace R2+N3 je 0.35 a kombinace R2+N4 je 0.25. Určete kovarianci a korelaci znaků laľ.
Data můžeme uspořádat do přehledné tabulky: 0.1, 0.3, 0.35 a 0.25 jsou simultánní psti p(xi, íjj).
	N3 N4	p(x)
Rl R2	0.1 0.3 0.35 0.25	0.4 0.6
p(y)	0.45 0.55	1
00 00
c(x, n = E I> - EX^ - EY^x> y)
-00 —00
EX = 1 * 0.4 +2* 0.6 = 1.6 EY = 3 * 0.45 + 4 * 0.55 = 3.55
C(X, Y) = (1 - 1.6)(3 - 3.55)0.1 + (1 - 1.6)(4 - 3.55)0.3+ + (2 - 1.6)(3 - 3.55)0.35 + (2 - 1.6)(4 - 3.55)0.25 = 0.33 * 0.1 - 0.27 * 0.3 - 0.22 * 0.35 + 0.18 * 0.25
-0.0É
E{X2) = l20.4 + 220.6 = 2.8 E(Y2) = 320.45 + 420.55 = 12.85 DX = E(X2) - (EX)2 = 2.8 - 1.62 = 0.24 DY = E(Y2) - (EY)2 = 12.85 - 3.552 - 1.62
0.2475
R(X,Y)
C(X,Y) /ĎXVTŤY
-0.05
yÔ24V0.2475
-0.325
7